Matemã¡tica 2

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SEE-AC Coordenação de Ensino Médio MAT Matemática 165

*MÓDULO 1*

Geometria

Avanço lento e gradual

A geometria é uma das áreas mais antigas no campo

da matemática: sua origem remonta a muitos séculos

antes de Cristo. Os historiadores dizem que ela surgiu no

Egito. Quando o rio Nilo enchia, na vazante, e apagava

as delimitações dos terrenos dos egípcios, era preciso

recorrer aos conhecimentos geométricos para recalcular

e redistribuir tudo. Para calcular a forma da Terra e a

distância dos planetas e das estrelas, era a geometria

que socorria os estudiosos.

“Na história da matemática, os gregos da Antiguidade

se destacam por ter inventado a maneira como a

matemática moderna é levada a cabo: por meio de

axiomas, provas, teoremas, mais provas, mais teoremas,

e assim por diante”, escreve o físico e estatístico norte-

-americano Leonard Mlodinow. Diversos dos grandes

formuladores das teorias da probabilidade, cujo trabalho

é apresentado no livro O Andar do Bêbado, de Mlodinow,

começaram a carreira como geômetras (especialista em

geometria).

A humanidade passou quase 2.000 anos para

transformar esses entes geométricos em fórmulas

matemáticas, o que só foi possível em meados de 1600,

com o amadurecimento da álgebra. Com isso, tornou-se

possível descrever e efetuar cálculos das formas planas,

como quadrados, triângulos e círculos por meio de

símbolos matemáticos como as letras que utilizamos hoje

em dia.

“Os gregos, gênios da geometria, criaram um

pequeno conjunto de axiomas, verdades matemáticas

aceitas sem contestação, e avançaram a partir daí,

provando muitos teoremas elegantes que detalhavam as

propriedades das retas, planos, triângulos e outras

formas geométricas”, diz Mlodinow. “A partir desse

conhecimento, conseguiram discernir, por exemplo, que

a Terra tem a forma de uma esfera e chegaram até a

calcular seu raio.”

Platão, um dos patriarcas da filosofia, criou a

Academia. Ali, durante 15 anos, seus pupilos

começavam estudando a matemática e a geometria para,

ao final, estudar a arte de esgrimir argumentos, a

dialética. Na época, estava sendo desenvolvido o estudo

dos átomos, mas ainda se acreditava que o mundo era

feito de apenas quatro elementos – terra, fogo, ar e água.

Platão propôs que os átomos desses elementos tinham a

forma de sólidos específicos: tetraedros (4 faces) para o

fogo, hexaedros (6 faces) para a terra, octaedros (8

faces) para o ar e dodecaedros (12 faces) para a água.

Para Teeteto, colaborador de Platão, o universo estaria

envolvido por um gigantesco icosaedro (20 faces). Tanto

os sólidos geométricos quanto as figuras planas seriam

formados por elementos ainda mais primitivos, como o

ponto, a reta e o plano.

Euclides sintetizou grande parte dos conhecimentos

geométricos em seus 13 livros, chamados de Elementos,

elaborados por volta do terceiro século antes de Cristo.

Seus textos utilizam axiomas, ou seja, afirmações que

não exigem provas para que se considerem verdadeiras.

Todas as proposições e os teoremas são provados com

as definições já demonstradas anteriormente. O ponto, a

reta e o plano são os elementos que constituem o início

da construção do sistema axiomático de Euclides, daí

serem considerados conceitos geométricos primitivos. No

século XVII, o francês René Descartes sofisticou a noção

de ponto ao propor, no plano cartesiano, o ponto como

um par ordenado de coordenadas (x, y), dando início à

geometria analítica.

Foi a partir dessas ideias básicas, inicialmente não

muito mais sofisticadas do que o que se aprende hoje

nos ensinos fundamental e médio, que começaram a se

desenvolver a arquitetura, o planejamento urbano, a

astronomia e várias outras ciências.

REPRODUÇÃO

Diagramas do livro Elementos, do matemático grego Euclides

A geometria é uma das áreas mais antigas da

matemática. Durante séculos foi considerada uma

espécie de “rainha” dessa ciência por ter utilidade

eminentemente prática, como para medir terrenos,

alturas e distâncias.

O ponto, a reta e o plano são os conceitos

geométricos primitivos. Essas e outras noções

fundamentais da geometria foram sintetizadas pelo

matemático Euclides, no terceiro século antes de

Cristo, por meio de axiomas – verdades matemáticas

aceitas sem contestação.

A geometria analítica, disciplina que une geometria e

álgebra, teve forte influência do francês René

Descartes, que propôs localizar pontos no plano

usando um sistema de coordenadas e, a partir

disso, calcular suas distâncias e outras relações. No

plano bidimensional , podemos representar

figuras planas; usando um sistema de três eixos

, podemos representar objetos tridimensionais

e localizar pontos no espaço.

O sistema de coordenadas geográficas foi muito útil

para o desenvolvimento de aparelhos de localização,

como o GPS (Global Positioning System), que vem

se tornando cada vez mais popular com as

tecnologias de comunicação móvel.

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********** ATIVIDADES 1 **********

Texto para as questões 1 e 2.

Por todos os lados

As formas estão nos objetos domésticos mais simples, assim como nas sofisticadas animações em 3D

Formas e medidas nos cercam por toda parte.

Lidamos com elas para decorar o quarto, atravessar a

rua ou até mesmo organizar a comida no prato. Em

particular, os produtores de desenhos animados

trabalham muito bem com elas.

Em Up – Altas Aventuras, da produtora Pixar, o

vendedor de balões aposentado Carl Fredricksen é

fascinado por voar desde a infância e sonha em um dia

explorar o Paraíso das Cachoeiras, desbravado por seu

herói Charles Muntz. O filme ganhou em 2010 o Oscar de

melhor animação e o de melhor trilha sonora.

DIVULGAÇÃO

“Sem a matemática, não teríamos esses ambientes e personagens visualmente ricos”, disse o cientista da computação Tony DeRose, da Pixar, a produtora do filme Up

Durante toda a vida, Fredricksen cercou-se de objetos

geométricos, desde os balões com que trabalhava – e

que ajudaram sua casa a levantar voo – até um pequeno

distintivo feito com uma tampinha de refrigerante, que

ganhou de presente de sua falecida mulher, Ellie.

Muitas dessas formas podem ser matematizadas – ou

seja, transformadas em sentenças matemáticas para que

os computadores gráficos das produtoras consigam

transformar essas sentenças em desenhos. “Sem a

matemática, não teríamos esses ambientes e

personagens visualmente ricos”, disse o cientista da

computação Tony DeRose, da Pixar, à revista Science

Daily.

Para dar vida a filmes como Up, a Pixar criou um

software especial, chamado RenderMan. O programa

identifica as formas geométricas de cada imagem e as

processa para transformá-las em um tipo de desenho

que dê sensação de profundidade, como se vê na vida

real.

Em 2007, a produtora dispunha de 100

supercomputadores para dar animação às imagens.

Transformar matematicamente cada segundo de

animação – ou 24 imagens – toma seis dias em um

computador. Na cena do desenho animado desta página,

há vários elementos gráficos que podem ser

representados por uma equação. Repare, por exemplo,

na corda que prende o menino Russell à corda puxada

por Fredricksen. A corda esticada tem a forma de uma

reta, que pode ser representada pela equação

. Já o nariz de Fredricksen poderia ter seu

“volume” calculado pela fórmula , pois é

semelhante a uma esfera. Com a ajuda da computação

gráfica, essas fórmulas viram desenhos que divertem

multidões de espectadores.

O software RenderMan identifica e depois modela cada uma das formas geométricas em imagens, e as transforma para que ganhem sensação de profundidade

Superinteressante, São Paulo, dez. 2010.

.1. (AED-SP)

O que significa “matematizar” uma forma?

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.2. (AED-SP)

Qual a função do software RenderMan?

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.3. (UNESP)

Considere as seguintes proposições:

todo quadrado é um losango;

todo quadrado é um retângulo;

todo retângulo é um paralelogramo;

todo triângulo equilátero é isósceles.

Pode-se afirmar:

(A) só uma é verdadeira.

(B) todas são verdadeiras.

(C) só uma é falsa.

(D) duas são verdadeiras e duas são falsas.

(E) todas são falsas.

.4. (UNESP)

Se é um plano e uma reta não perpendicular a ,

então:

(A) não existe um plano passando por perpendicular a

.

(B) existem, no mínimo, dois planos passando por e

perpendiculares a .

(C) existe um e só um plano passando por e

perpendicular a .

(D) existe uma infinidade de planos passando por e

perpendiculares a .

(E) todo plano passando por não é perpendicular a .

.5. (FATEC-SP, adaptada)

A reta é um dos conceitos primitivos da geometria. A

partir desses conceitos, pode-se construir todos os outros

elementos da geometria.

É correto afirmar que:

(A) por três pontos não colineares passa uma única reta.

(B) quando traçamos uma reta, sabemos onde ela inicia

e onde ela termina.

(C) por um único ponto passa uma única reta.

(D) por dois pontos passam duas retas distintas.

(E) entre dois pontos distintos de uma reta existem

infinitos pontos.

.6. (FUVEST-SP)

Os entes geométricos estão em tudo que nos cerca. Daí

talvez a origem da famosa frase atribuída a Pitágoras:

“Tudo são números”. Se pensarmos em uma avenida, em

uma rua, no pneu de um carro e no telhado de uma casa,

estamos nos referindo nessa ordem, abstratamente, aos

conceitos matemáticos de:

(A) retas paralelas, reta, circunferência e triângulo.

(B) retas concorrentes, ponto, círculo e quadrado.

(C) retas paralelas, ponto, circunferência e triângulo.

(D) retas concorrentes, reta, circunferência e triângulo.

(E) retas paralelas, reta, círculo e quadrado.

.7. (ENEM-MEC)

Assim como na relação entre o perfil de um corte de um

torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam

da rotação de figuras planas em torno de um eixo.

Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada,

obtêm-se os sólidos de revolução que estão na coluna da

direita.

A correspondência correta entre as figuras planas e os

sólidos de revolução obtidos é:

(A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. (D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.

(B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. (E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.

(C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.

Texto para as questões 8 e 9.

A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma

cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura

e a Câmara dos Vereadores. Observe que o

quadriculado não representa os quarteirões da cidade,

servindo apenas para a localização dos pontos e retas no

plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é

formada pelos pontos equidistantes da catedral e da

prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não

mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes

da prefeitura e da Câmara dos Vereadores.

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.8. (UNICAMP-SP, adaptada)

Com base nas informações mencionadas, se a delegacia

da cidade se situa na Av. Juscelino Kubitschek e é o

ponto mais próximo entre a prefeitura e esta avenida, as

coordenadas em que se localizaria a delegacia no mapa

estão enunciadas no item:

(A) (2, 4).

(B) (4, 2).

(C) (3, 4).

(D) (4, 3).

(E) (2, 2).

.9. (UNICAMP-SP, adaptada)

Seguindo a forma de determinação dos lugares

apresentada pelo mapa anterior, podemos determinar os

lugares da catedral, prefeitura e câmara,

respectivamente, por meio das coordenadas:

(A) (2, 1); (1, 2); (5, 3).

(B) (1, 2); (3, 1); (5, 2).

(C) (1, 1); (1, 3); (3, 5).

(D) (1, 1); (3, 1); (3, 5).

(E) (1, 1); (3, 1); (5, 3).

.10. (ENEM-MEC)

A figura a seguir é a representação de uma região por

meio de curvas de nível, que são curvas fechadas

representando a altitude da região, com relação ao nível

do mar. As coordenadas estão expressas em graus de

acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude,

no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à

direita está associada à altitude da região.

Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento

sobrevoa a região a partir do ponto X = (20; 60). O

helicóptero segue o percurso:

0,8º L 0,5º N 0,2º O 0,1º S 0,4º N 0,3º L.

Ao final, desce verticalmente até pousar no solo.

De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em

um local cuja altitude é

(A) menor ou igual a 200 m.

(B) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.

(C) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.

(D) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m.

(E) maior que 800 m.

********** ATIVIDADES 2 **********

C1 Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.

.11. (ENEM-MEC)

Em Alexandria viveu Diofante, entre os anos 325 e

409, e a pequena parte de sua obra que chegou até

nossos dias revela a mais antiga prática de abreviações

na Matemática.

Na história da álgebra, no período anterior a Diofante,

expressões são apresentadas só com palavras, inclusive

os números. Com Diofante, surge a álgebra, na qual

algumas expressões são escritas e outras abreviadas.

Adaptado de GUELLI, Oscar. Uma aventura do

pensamento. Sexta série. Editora Ática.

Na linguagem de Diofante, por exemplo, “u 3” significa 3

unidades, “M” significa menos e, quando não há nenhum

sinal, significa uma adição.

As frases abaixo estão escritas em símbolos de Diofante.

x u 3 é igual a u 6

M u 7 é igual a u 10

Em símbolos atuais, as frases podem ser escritas,

respectivamente, por

(A) x + 3 = 6 e x – 7 = 10

(B) 3x = 6 e x – 7 = 10

(C) x + 3 = 6 e 7x – 10 = 0

(D) 3 – x = 6 e 7x = 10

(E) 3 – x = 6 e x – 7 = 10

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*Anotações*

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H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

.12. (ENEM-MEC)

Os sistemas de escrita numérica mais antigos que se

conhecem são os dos egípcios e dos babilônios, que

datam aproximadamente do ano 3500 a.C. Os egípcios

usavam um sistema de agrupamento simples, com base

10.

Texto: Valéria Ostete Jammis, Luchetta, 21/10/2000.

Cajou, Florian. A history of Mathematical Notations,

Dover Publications INC, New York, 1993.

Para eles, um traço vertical valia 1; o número 10 era

representado por um osso de calcanhar invertido; o 100,

por um laço; e o 1000, por uma flor de lótus. Outros

números eram escritos com a combinação desses

símbolos.

Os números abaixo estão escritos em símbolos egípcios.

Em símbolos atuais, os números podem ser escritos,

respectivamente, por

(A) 2223 e 1222.

(B) 1222 e 6322.

(C) 2236 e 1122.

(D) 2336 e 1222.

(E) 1336 e 1122.

H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

.13. (ENEM-MEC)

As distâncias entre as estrelas, os planetas e os satélites

são muito grandes. Como o quilômetro não é uma

unidade adequada para medir essas distâncias, criou-se

a unidade “ano-luz”. O ano-luz é a distância que a luz

percorre em um ano. Considerando que a luz se desloca

no vácuo a cerca de 300 mil quilômetros por segundo, o

ano-luz equivale a aproximadamente 9 trilhões e 500

bilhões de quilômetros.

Usando potências de base 10, podemos escrever:

(A) 1 ano-luz = 95 x 109 km

(B) 1 ano-luz = 95 x 1010 km

(C) 1 ano-luz = 95 x 1011 km

(D) 1 ano-luz = 95 x 1012 km

(E) 1 ano-luz = 95 x 108 km

H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

.14. (ENEM-MEC)

Em certo país, o presidente eleito permanece no cargo

por 5 anos, enquanto um prefeito é eleito para um

mandato de 4 anos. No ano de 1998, houve eleições

tanto para presidente quanto para prefeitos.

As eleições para presidente e para prefeitos nesse país

voltarão a ocorrer no mesmo ano em

(A) 2008.

(B) 2014.

(C) 2018.

(D) 2020.

(E) 2028.

H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.

.15. (ENEM-MEC)

O prefeito de uma cidade de porte médio dispõe do

número de habitantes de cada bairro e do número de

óbitos do primeiro semestre de 2002:

Bairro População N.º de óbitos

Vista Alegre 6.230 341

Pitombo 34.591 83

Vila do Bento 10.100 41

Jardim das Rosas 6.900 131

Considerando o índice de mortalidade (razão entre o

número de óbitos e o de habitantes), o prefeito deveria

empregar a maior parte da verba no(s) bairro(s)

(A) Pitombo.

(B) Vila do Bento.

(C) Vista Alegre.

(D) Jardim das Rosas.

(E) Pitombo e Vila do Bento, pois o índice é o mesmo.

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*MÓDULO 2*

Matemática financeira – Juros

Uma só canetada

A questão dos juros atinge “as mais diversas e

surpreendentes esferas da vida prática, social e

espiritual, a começar pelo processo de envelhecimento a

que nossos corpos estão inescapavelmente sujeitos”,

escreveu o economista Eduardo Gianetti da Fonseca no

livro O Valor do Amanhã (Companhia das Letras, 2005).

Segundo ele, o deterioramento da saúde na velhice é o

juro que se paga pela longevidade. Paga-se no futuro o

que se aproveita no presente.

O conceito de juros é quase tão antigo quanto o uso

da moeda. Eles são a remuneração pelo capital – ou

seja, a forma de recompensar quem emprestou por

esperar pela devolução do dinheiro. Estamos pagando

para a pessoa (ou o banco) não gastar o dinheiro com

outra coisa.

O tamanho dos juros, porém, expressa também o

medo que o emprestador tem de não ser pago. Em

contextos em que há receio pelo cumprimento dos

pagamentos, portanto, os juros sobem – dessa forma, o

lucro maior nos empréstimos compensa os possíveis

calotes que parte dos clientes, já se espera, deve dar. E

também, infelizmente, as pessoas que pagam em dia

acabam pagando mais caro por causa das que dão

calote.

Há basicamente dois tipos de juro que são

usualmente cobrados pelo mercado. O primeiro é o juro

simples, cujo aumento percentual incide somente sobre o

capital, isto é, o valor inicial da transação – seja

empréstimo, compra ou renda. O segundo é conhecido

como juro composto, pois seu aumento percentual incide

sobre o agregado do capital e de juros anteriores ao

período. Isto é, é um juro que incide pelo juro já cobrado

– daí o infame efeito “bola de neve”, que estudaremos a

seguir. Neste módulo, veremos como você pode resolver

problemas que envolvam os juros simples.

Os juros simples são a maneira mais fácil de calcular

juros. Aqui, eles incidem sobre o capital principal. Não

são comumente usados nas finanças profissionais,

porque os períodos de empréstimo geralmente ocorrem

em vários meses e anos, mas são importantes para

compreender o conceito de juros.

Acompanhe um caso hipotético. Uma pessoa tem

uma aplicação inicial (representada por , de “capital”),

uma taxa de juros ( , de “interesse”, nome dos juros em

inglês e espanhol, geralmente representado em forma

decimal) e um período ( , de “tempo” em meses, ou anos,

ou dias, dependendo do contrato assinado). A fórmula é:

Se ela tomou emprestados R$ 1.000,00, a uma taxa

de juros de 5% ao mês (ou 0,05, na forma decimal), para

pagar após dez meses, o cálculo do quanto vai pagar de

juros fica assim:

Podemos unir essas duas equações em uma só. Com

ela, todos os problemas que envolvam os juros simples

podem ser resolvidos (a letra significa “montante”):

Fatorando essa expressão, podemos simplificá-la e

chegarmos à fórmula final dos juros:

DEDOC / RUBENS CHAVES

Fila em banco: juros são tão antigos quanto o uso da moeda

Porcentagem é uma ferramenta importante para

comparar grandezas diferentes. Ela pode ser

calculada como uma proporção, multiplicando-se

depois por 100 e inserindo o símbolo %.

Determinar o valor que sofre uma transformação

percentual é fundamental. Um aumento de 10% num

salário de 1.000 reais significa um acréscimo de 100

reais ao contracheque. Posteriormente, um desconto

de 10% no salário resultante, de 1.100 reais, significa

um corte de 110 reais. Embora seja a mesma

porcentagem, o tamanho do corte é diferente.

Somar porcentagens de todos os subgrupos dentro

de um grupo resulta sempre em 100%. As

porcentagens podem passar de 100 se cada um dos

indivíduos puder fazer mais de uma escolha.

Multiplicar e dividir porcentagens é um risco. Use a

regra de três para saber quanto uma porcentagem

de um subgrupo significa dentro do grupo.

Inflação é o fenômeno em que a correção monetária

corrói o valor do dinheiro. No Brasil, esse processo

se acelerou nas décadas de 1980 e 1990.

Juros são a remuneração do capital – ou seja, o que

se paga pelo direito de usar dinheiro alheio.

Expressam a incerteza no recebimento.

Juros simples são os juros aplicados apenas sobre o

capital. Para calcular, use a fórmula

J=C∙i∙t, em que é o capital, é a taxa e é o tempo

ou prazo.

Montante é o capital somado de juros, ou o tamanho

da dívida depois de remunerado o capital.

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Juros compostos, usados pelos bancos, acumulam

juros sobre juros. Para calcular o montante, use a

fórmula , em que é o capital, é a

taxa e é o tempo ou prazo considerado.

Pesquisas eleitorais usam porcentagens para

mostrar a proporção dos eleitores que pretendem

votar em cada candidato. Para decidir a eleição,

porém, contam apenas os votos válidos.

Ponto percentual é o conceito usado para dizer que

alguém tinha 10% de intenção de voto e caiu para

5% das intenções – ou seja, perdeu 5 pontos

percentuais, e não 5% das intenções que tinha.

Novamente, é uma questão de qual é a base a que

nos referimos.

********** ATIVIDADES 1 **********

Texto para as questões de 1 a 3.

Para que serve o Copom

Como as taxas de juros são usadas pelas autoridades monetárias para controlar a inflação e regular a economia

De tempos em tempos, você ouve no noticiário que o

governo “aumentou os juros em meio ponto” ou “baixou

os juros em 0,75 ponto”. Você sabe o que isso significa?

Essa medida é parte da política econômica definida pelo

Banco Central e decidida nas reuniões do Comitê de

Política Monetária (Copom).

Criado em 1996, nos mesmos modelos dos comitês

monetários dos bancos centrais norte-americano e

europeus, o Copom tem como objetivo criar diretrizes

transparentes para a política monetária brasileira e definir

a taxa de juros, visando a controlar a inflação. A taxa

básica de juros, a Selic, define o valor dos juros de

empréstimos baseados em títulos públicos, que os

bancos fazem uns com os outros. Assim, a taxa acaba

sendo um fator importante no custo do dinheiro e

influencia os juros que os bancos cobrarão de seus

clientes.

A taxa Selic é fixada na reunião do Copom e vigora

até a reunião seguinte. O Copom é formado pela diretoria

colegiada, o presidente e várias autoridades do Banco

Central, que, por sua vez, é subordinado ao Ministério da

Fazenda.

Desde 1999, o Copom estabelece metas de inflação

para o país, uma das principais diretrizes da política

monetária atual. Para definir a taxa básica de juros, o

comitê faz uma análise da conjuntura econômica atual,

levando em consideração fatores como inflação do mês

anterior, economia internacional, finanças públicas,

balanços de pagamentos, mercado monetário,

perspectivas da inflação, expectativas para variáveis

macroeconômicas entre outros. Levando tudo isso em

conta, a flutuação da taxa de juros visa, principalmente, a

controlar a inflação. E como isso funciona? Quando a

taxa Selic é reduzida, fica mais fácil fazer empréstimos,

as pessoas passam a comprar mais e os preços tendem

a subir, elevando assim a inflação. Por outro lado,

quando a taxa de juros sobe, o consumo diminui,

derrubando também os preços e mantendo a inflação

controlada. A taxa de juros alta cria vantagens e

desvantagens. Para os investidores especulativos

estrangeiros que investem em títulos brasileiros, juros

altos representam mais lucro – assim, mais dólares são

injetados no mercado interno brasileiro, mantendo a

cotação da moeda nacional controlada. O câmbio

também interfere nos preços que chegam ao consumidor,

mais um fator de controle da inflação.

No entanto, se a taxa de juros permanece alta por

muito tempo, as pessoas passam a comprar menos e as

indústrias diminuem a produção, o que acaba

provocando desemprego. Por isso existe tanta pressão

para a queda nos juros, para dar ânimo ao setor

produtivo, que passa a contratar mais, impulsionando

assim toda a economia.

Em 2011, na primeira reunião do Copom durante o

governo de Dilma Rousseff, realizada em janeiro, o

comitê decidiu elevar a taxa Selic de 10,75% para

11,25% ao ano. Com isso, Alexandre Tombini, o novo

presidente do Banco Central, que assumiu o cargo no

início deste ano, manteve a tradição de elevar os juros na

sua primeira reunião no comando da instituição. A última

vez que um presidente do Banco Central assumiu o

cargo e não elevou a taxa básica de juros foi em 1997,

na gestão de Gustavo Franco.

Veja, 9/3/2011.

.1. (AED-SP)

Como a taxa Selic influencia os juros dos bancos?

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.2. (AED-SP)

Como o aumento de juros controla a inflação?

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.3. (AED-SP)

Qual o perigo de juros muito altos?

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.4. (FUVEST-SP)

Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50.000,00.

Para isso, tomou emprestados R$ 10.000,00 de Edson e

R$ 10.000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o

dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros,

respectivamente.

A casa se valorizou 3% durante esse período de um ano.

Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o

combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de:

(A) R$ 400,00.

(B) R$ 500,00.

(C) R$ 600,00.

(D) R$ 700,00.

(E) R$ 800,00.

.5. (ENEM-MEC)

João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao

cheque especial de seu banco e cinco parcelas de

R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do

banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no

cheque especial, caso João quitasse essa dívida

imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação

imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão.

João também poderia renegociar suas dívidas em 18

parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses

termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o

dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18

meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.

A opção que dá a João o menor gasto seria

(A) renegociar suas dívidas com o banco.

(B) pegar emprestado de José o dinheiro referente à

quitação das duas dívidas.

(C) recusar o empréstimo de José e pagar todas as

parcelas pendentes nos devidos prazos.

(D) pegar emprestado de José o dinheiro referente à

quitação do cheque especial e pagar as parcelas do

cartão de crédito.

(E) pegar emprestado de José o dinheiro referente à

quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do

cheque especial.

.6. (INEP-MEC)

Um capital de R$ 30.000,00 foi dividido em duas

aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros

anuais; a outra, aplicação de risco, pagou uma taxa de

12% de juros anuais. Ao término de um ano, observou-se

que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram

iguais. Assim sendo, a diferença dos capitais aplicados

foi de:

(A) R$ 8.000,00.

(B) R$ 4.000,00.

(C) R$ 6.000,00.

(D) R$ 10.000,00.

(E) R$ 12.000,00.

.7. (PUC-PR)

Vidal fez um empréstimo de certo valor, para ser quitado

ao final de quatro meses, em parcela única. A taxa de

juros negociada com o gerente do banco foi de 5% ao

mês. Exatamente um mês depois, sua namorada

Madalena emprestou, do mesmo banco, um valor para

ser pago ao final de três meses, também em parcela

única, ou seja, ambos os empréstimos vencem no

mesmo dia. Sabe-se que o valor emprestado por Vidal é

superior a dois salários mínimos. (Considerar juros

simples.).

Considerando o que foi exposto, assinale a alternativa

correta.

(A) Se o casal emprestou valores iguais, ainda que

Madalena pague uma taxa de juros 30% maior do

que a taxa devida por Vidal, seu saldo devedor será

menor do que o do seu namorado.

(B) Se Madalena emprestou um valor 10% superior

àquele emprestado por Vidal, a uma taxa de 3% ao

mês, seu saldo devedor no vencimento será igual ao

de Vidal.

(C) Suponha que eles emprestaram valores iguais. Para

que o saldo devedor de ambos coincida, a taxa de

juros paga por Madalena deverá ser 40% superior à

taxa paga por Vidal.

(D) Se Madalena emprestou 10% a menos que Vidal, a

uma taxa de juros equivalente ao dobro daquela

devida por ele, eles terão saldos devedores iguais na

data de vencimento.

(E) Sem conhecer o valor absoluto de cada empréstimo,

ou o valor exato de um salário mínimo, é impossível

fazer qualquer avaliação.

.8. (INEP-MEC)

O Sr. Silva planejou passar, com sua família, as festas

natalinas no Pantanal de Mato Grosso em uma pousada

que cobra uma diária de R$ 450,00, incluindo as

refeições e os passeios turísticos. Fez uma reserva por 7

dias, devendo efetuar o pagamento antecipado no dia 4

de dezembro de 2003. Visando não sobrecarregar o

orçamento do mês de dezembro, decidiu poupar de duas

maneiras:

1.º - Depositar R$ 2.000,00, no dia 3 de janeiro de 2003,

em uma aplicação especial com taxa de juro composto

de 1,5% ao mês, a serem resgatados somente em 3 de

dezembro de 2003.

2.º - Acumular bônus pelas compras efetuadas no cartão

de crédito, podendo resgatá-los em 3 de dezembro de

2003, na forma de duas diárias.

A partir dessas informações, é possível afirmar que o

montante reservado pelo Sr. Silva com essas maneiras

de poupar será:

MAT Matemática _________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________


(A) suficiente para pagar a reserva, mas não lhe sobrará

para gastos extras.

(B) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão

R$ 225,00 para gastos extras.

(C) insuficiente e ainda lhe faltarão R$ 110,00.

(D) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão

R$ 110,00 para gastos extras.

(E) insuficiente e lhe faltarão R$ 225,00.

Admita (1,015)11 = 1,18.

.9. (UNESP)

Alfredo costuma aplicar seu dinheiro em um fundo de

investimento que lhe rende juro composto. Se ele planeja

resgatar um montante de R$ 13.100,00 daqui a 3 anos,

qual o valor do depósito inicial, se a taxa de juros for

igual a 10% ao ano?

(A) R$ 8.100,00. (D) R$ 10.000,00.

(B) R$ 9.000,00. (E) R$ 10.100,00.

(C) R$ 9.100,00.

********** ATIVIDADES 2 **********

C4 Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

H15

Identificar a relação de dependência entre grandezas.

.10. (ENEM-MEC)

Um grupo de artesãos resolveu criar uma cooperativa

para, entre outras coisas, realizar bazares itinerantes e

vender seu produto diretamente ao consumidor. Cada

associado doa 14% do valor de suas vendas para o

fundo da cooperativa. Se a cooperativa possui gastos

mensais de, no mínimo, R$ 749,00, deve ser feito um

esforço conjunto dos associados para venderem por mês

um total de, pelo menos,

(A) R$ 10.486,00. (D) R$ 1.048,60.

(B) R$ 8.709,30. (E) R$ 8.538,60.

(C) R$ 5.350,00.

H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

.11. (ENEM-MEC)

A escolha do presidente de uma associação de bairro foi

feita através de uma eleição, na qual votaram 200

moradores.

Após apuração de 180 dos 200 votos, o resultado da

eleição era o seguinte:

Candidato I 47 votos

Candidato II 72 votos

Candidato III 61 votos

A partir dos dados, pode-se concluir que

(A) o vencedor da eleição certamente será o candidato

II.

(B) dependendo dos votos que ainda não foram

apurados, o candidato I poderá ser o vencedor da

eleição.

(C) o vencedor da eleição poderá ser o candidato II ou o

candidato III.

(D) como existem votos ainda não apurados, qualquer

um dos três candidatos poderá ganhar a eleição.

(E) o vencedor da eleição certamente será o candidato

III.

H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.

.12. (ENEM-MEC)

Ao cobrir um jogo de basquete entre os times Azulão e

Verdão, um repórter anotou os pontos feitos pelos dois

jogadores que marcaram mais pontos nos dois times.

AZULÃO VERDÃO

João 30 Sivuca 18

Pedroca 20 Antony 36

Esse repórter considerou que o rendimento de um

jogador durante um jogo é medido pela razão entre o

número de pontos que faz e o total de pontos feitos pelo

seu time. O Azulão ganhou do Verdão por 80 a 72.

O repórter publicou corretamente que, naquela partida,

em relação ao rendimento,

(A) João foi o melhor de todos.

(B) Antony foi o pior de todos.

(C) Sivuca e Pedroca foram iguais.

(D) João e Antony foram iguais.

(E) Sivuca e Pedroca foram os melhores entre os quatro.

H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.

.13. (ENEM-MEC)

Uma empresa decidiu doar livros e cadernos aos alunos

carentes de uma escola da sua vizinhança. Receberão

os materiais escolares apenas os alunos que tenham

menos de 10 faltas no ano e cujas famílias tenham renda

de até 3 salários mínimos. Sabe-se que:

a escola possui 1.000 alunos;

350 alunos têm menos de 10 faltas no ano;

700 alunos pertencem a famílias com renda de até 3

salários mínimos;

200 alunos não pertencem a nenhum dos grupos

acima, ou seja, têm 10 ou mais faltas no ano e

pertencem a famílias com renda superior a 3 salários

mínimos.

A empresa deve enviar o material escolar para

(A) 250 alunos. (D) 550 alunos.

(B) 300 alunos. (E) 600 alunos.

(C) 400 alunos.

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*MÓDULO 3*

Funções

A importância do estudo de funções não é específica

da Matemática, fazendo parte também do universo de

outras ciências, como a Física e a Química. Quando

lemos um jornal ou uma revista, muitas vezes nos

deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma

relação entre duas grandezas representada

geometricamente.

Sistema de coordenadas

O sistema cartesiano ortogonal de coordenadas é

formado por dois eixos, (eixo das abscissas) e

(eixo das ordenadas), perpendiculares entre si no ponto

(origem).

Para localizar um ponto no plano, traçamos por as

perpendiculares a e , obtendo nos eixos as

coordenadas de , que são dois números chamados de

abscissa e ordenada do ponto , respectivamente.

Se é a abscissa de e é a ordenada de , o par

ordenado ( ) representa . Indicamos:

O conceito de função

Dados dois conjuntos não vazios, e , chama-se

relação de em qualquer conjunto de pares

ordenados ( , ) com e .

Sejam e conjuntos não vazios. Uma relação de

em é função se, e somente se, qualquer

elemento de estiver associado, através de , a um

único elemento de . Para indicar que é uma

função de em , adotamos a notação:

Domínio, contradomínio e conjunto imagem

Dada uma função :

O domínio da função é o conjunto .

O contradomínio da função é o conjunto .

O conjunto imagem da função é o conjunto formado

pelos elementos de que têm correspondente em ,

ou seja: .

Imagem de pela função

Se ( ) pertence a uma função , dizemos que é a

imagem de pela função . Indicamos esse fato por:

Gráfico de uma função

O gráfico de uma função é a reunião de todos os

pontos ( ) do plano cartesiano que pertencem à

função.

Raiz de uma função

Chama-se raiz (ou zero) de uma função real de

variável real, , todo número do domínio de

tal que .

Graficamente, a raiz de uma função é a abscissa do

ponto em que o gráfico cruza o eixo .

Estudo do sinal de uma função

Uma função é positiva para um elemento de seu

domínio se, e somente se, .

Uma função é negativa para um elemento de seu

domínio se, e somente se, .

Uma função se anula para um elemento de seu

domínio se, e somente se, . Nesse caso, é

raiz da função.

MAT Matemática _________________________________________________________________________________________________________________________

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Variação de uma função

Uma função é crescente em um subconjunto do

domínio de se, e somente se, para quaisquer

números e de , tivermos:

Uma função é decrescente em um subconjunto

do domínio de se, e somente se, para quaisquer

números e de , tivermos:

Uma função é constante em um subconjunto do

domínio de se, e somente se, para qualquer

número de , tivermos:

, sendo uma constante real

Função par e função ímpar

Uma função de domínio é par se, e somente se:

, para qualquer

Assim, as partes do gráfico de para e para

são simétricas em relação ao eixo .

Uma função de domínio é ímpar se, e somente

se:

, para qualquer

Assim, as partes do gráfico de para e para

são simétricas em relação à origem do

sistema de eixos.

Função injetora, sobrejetora e bijetora

Uma função é injetora se, e somente se,

para quaisquer e do domínio de , for

obedecida a condição:

Ou seja, é injetora se não existirem elementos

distintos do domínio de com a mesma imagem.

Uma função é sobrejetora se, e somente se,

para todo elemento do conjunto existir no

conjunto tal que . Ou seja, é sobrejetora

se o seu contradomínio coincidir com o seu conjunto

imagem.

Uma função é bijetora se, e somente se, é

injetora e sobrejetora.

Função composta

Sejam , e conjuntos não vazios e sejam as

funções e . A função composta de

com é a função tal que:

Função inversa

A inversa de uma função bijetora é a função

tal que:

para quaisquer e , com e .

Se uma função admite inversa, dizemos que ela é

invertível.

Obtenção da função inversa

Se uma função real de variável real é

invertível, sua inversa é obtida do seguinte modo:

I. Trocamos por e por , obtendo .

II. Isolamos a variável , após a mudança de

variáveis efetuada em , obtendo .

MAT Matemática _________________________________________________________________________________________________________________________

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*********** ATIVIDADES ***********

.1. (INEP-MEC)

Considere as sentenças abaixo, relativas à função

, definida no intervalo e representada,

graficamente, na figura.

I. Se , então .

II. .

III. A imagem de é o intervalo .

É correto afirmar que:

(A) Apenas III é verdadeira.

(B) Apenas I e II são verdadeiras.

(C) Apenas I e III são verdadeiras.

(D) Apenas II e III são verdadeiras.

(E) Todas as sentenças são verdadeiras.

.2. (VUNESP)

Numa fazenda havia 20% de área de floresta. Para

aumentar essa área, o dono da fazenda decidiu iniciar

um processo de reflorestamento. No planejamento do

reflorestamento, foi elaborado um gráfico fornecendo a

previsão da porcentagem de área de floresta na fazenda

a cada ano, num período de dez anos.

Esse gráfico foi modelado pela função ,

que fornece a porcentagem de área de floresta na

fazenda a cada ano , onde , e são constantes

reais. Com base no gráfico, determine as constantes ,

e e reescreva a função com as constantes

determinadas.

.3. (INEP-MEC)

O triângulo retângulo , região cinza na figura abaixo,

tem área igual a .

Então, o valor de é:

(A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 8

.4. (UFSCar-SP)

A figura representa, em sistemas coordenados com a

mesma escala, os gráficos das funções reais e , com

e .

Sabendo que a região poligonal demarca um trapézio

de área igual a , o número real é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.5. (UNIFOR-CE)

O conjunto imagem da função real de variável real dada

por é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

MAT Matemática _________________________________________________________________________________________________________________________

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.6. (INEP-MEC)

Uma forma experimental de insulina está sendo injetada

a cada 6 horas em um paciente com diabetes. O

organismo usa ou elimina a cada 6 horas 50% da droga

presente no corpo. O gráfico que melhor representa a

quantidade da droga no organismo como função do

tempo , em um período de 24 horas, é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.7. (INEP-MEC)

Sendo e números reais positivos, sabe-se que a

função , definida para , assume seu

valor mínimo quando .

Um grupo de amigos alugou por R$ 6.000,00 um salão

para fazer uma festa. Este valor será dividido por todos

que estiverem presentes na festa. Como o dia do

aniversário de José Carlos, um dos integrantes deste

grupo, coincide com o dia da festa, ele decidiu que a

comida será por conta dele. A empresa que prestará este

serviço irá lhe cobrar R$ 15,00 por pessoa presente na

festa. Então, o número de integrantes do grupo de

amigos que minimiza o gasto de José Carlos somando o

custo total da comida com a parte dele no aluguel do

salão é de:

(A) 5 pessoas

(B) 10 pessoas

(C) 15 pessoas

(D) 20 pessoas

(E) 25 pessoas

.8. (FGV-SP)

Sejam e duas funções de em tais que

e . Então, o gráfico cartesiano da função

:

(A) Passa pela origem.

(B) Corta o eixo no ponto .

(C) Corta o eixo no ponto .

(D) Tem declividade positiva.

(E) Passa pelo ponto .

.9. (INSPER-SP)

Suponha que os três gráficos abaixo estejam na mesma

escala, em que a distância entre duas marcas

consecutivas sobre os eixos seja igual a . Se , e

são as funções nestes três gráficos, respectivamente,

então é igual a:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.10. (MACKENZIE-SP)

Dada a função , se

e assim por diante, então o

valor de é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.11. (UFMA)

Sendo uma função par e uma função ímpar, e

sabendo-se que e , pode-se

concluir que é igual a:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

________________________________________________ *Anotações*

MAT Matemática _________________________________________________________________________________________________________________________

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.12. (FGV-SP)

A figura indica o gráfico da função , de domínio ,

no plano cartesiano ortogonal.

O número de soluções da equação é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.13. (INEP-MEC)

As funções e , ambas de domínio , estão

representadas graficamente abaixo. O número de

elementos do conjunto solução da equação

é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.14. (UNIFESP)

Seja uma função crescente e sobrejetora, onde

é o conjunto dos números inteiros. Sabendo-se que

, uma das possibilidades para é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

.15. (INEP-MEC)

Considere a função ímpar real de variável real definida

no intervalo , cujo gráfico está desenhado na figura

abaixo.

Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico da

função , em que é a inversa da função .

(A)

(B)

(C)

(D)

.16. (UFT-TO)

Seja definida por

. Então a função inversa é:

(A) (C)

(B) (D)

MAT Matemática _________________________________________________________________________________________________________________________

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.17. (UFT-TO)

Cada um dos gráficos abaixo representa uma função

tal que ; . Qual deles

representa uma função bijetora no seu domínio?

(A)

(B)

(C)

(D)

.18. (ITA-SP)

Sejam , tais que é par e é ímpar. Das

seguintes afirmações:

I. é ímpar.

II. é par.

III. é ímpar.

é(são) verdadeira(s):

(A) Apenas I. (D) Apenas I e II.

(B) Apenas II. (E) Todas.

(C) Apenas III.

________________________________________________ *Anotações*

MAT Matemática _________________________________________________________________________________________________________________________

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*MÓDULO 4*

Função afim

Algumas funções relacionam duas grandezas em que

a variação de uma é proporcional à variação da outra.

Quando isso ocorre, dizemos que a função é afim.

A função afim

Função afim ou função polinomial do 1.º grau é toda

função do tipo:

O gráfico de toda função afim é uma reta. Para

construí-Io, basta representar dois pontos distintos

da função no plano cartesiano e traçar a reta que

passa por eles.

Pontos de intersecção do gráfico da função afim com os eixos coordenados

O gráfico da função afim intercepta o eixo no

ponto .

O gráfico da função afim intercepta o eixo no

ponto .

Função linear

Toda função da forma , com , é

chamada função linear.

O gráfico de uma função linear é uma reta

que passa pela origem do sistema de coordenadas.

Em toda função linear , os valores

correspondentes das variáveis e são diretamente

proporcionais.

Análise da função afim

Taxa de variação

A taxa de variação da função afim é a

constante , não nula, obtida da seguinte maneira:

Se duas funções afins têm a mesma taxa de

variação, então as retas que as representam são

paralelas.

Crescimento e decrescimento

Dada a função , temos:

Estudo do sinal da função afim

Inequação-produto e Inequação-quociente

Para resolver inequações-produto ou inequações-

-quociente, estudamos o sinal de cada função e

construímos um quadro de sinais, no qual os sinais da

última linha são obtidos pela regra de sinais da

multiplicação ou da divisão.

________________________________________________ *Anotações*

MAT Matemática _________________________________________________________________________________________________________________________

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*********** ATIVIDADES ***********

.1. (MACKENZIE-SP)

Os gráficos das funções e definem,

com os eixos, no primeiro quadrante, um quadrilátero de

área:

(A) 12

(B) 16

(C) 10

(D) 8

(E) 14

.2. (UDESC)

Sabemos que a receita total de certo produto

produzido por uma família de agricultores é dada pela

função , em que é a quantidade de

unidades do produto. Determine a função do primeiro

grau, custo total deste produto; sabendo que,

quando a quantidade do produto é de 3 unidades, o custo

total é de R$ 4,00; e que, quando a quantidade do

produto é de 4 unidades, a receita total é igual ao custo

total. Faça o esboço do gráfico das funções e

.

.3. (ENEM-MEC)

Muitos brasileiros sonham com empregos formais. Na

falta destes, cada vez mais as pessoas precisam buscar

formas alternativas de conseguir uma renda. Para isso,

uma família decidiu montar uma malharia. O gráfico

abaixo mostra o custo mensal de produção dessa

empresa.

Sabendo que as peças são vendidas por R$ 19,50 e que

a família almeja um lucro mensal de R$ 4.200,00, o

número de peças produzidas e vendidas, para atingir

esse fim, deverá ser

(A) 215.

(B) 400.

(C) 467.

(D) 525.

(E) 494.

(Nota: Admita que o custo para peças

produzidas é uma função afim.)

.4. (MACKENZIE-SP)

A figura mostra os esboços dos gráficos das funções

e , que fornecem os preços que as copiadoras,

e , cobram para fazer cópias de uma folha. Para

fazer cópias, a copiadora cobra:

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

(E) .

.5. (UNIR-RO)

Duas empresas ( e ), locadoras de veículos de

passeio, apresentaram o valor da locação de um mesmo

carro pelos gráficos abaixo.

Considere o valor pago, em real, pela locação desse

veículo e a quantidade de quilômetros rodados. A partir

dessas informações, é correto afirmar:

(A) A empresa cobra 0,50 centavos por quilômetro

rodado acrescidos de uma taxa fixa de 50 reais.

(B) A empresa cobra somente a quilometragem

rodada.

(C) Para rodar 400 km, o valor cobrado pela empresa

é igual ao cobrado pela .

(D) Para rodar uma distância de 300 km é mais

vantajoso alugar o carro da empresa .

(E) Para rodar uma distância de 500 km é mais

vantajoso alugar o carro da empresa .

________________________________________________ *Anotações*

MAT Matemática _________________________________________________________________________________________________________________________

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.6. (UFSCar-SP)

O gráfico esboçado representa a massa média, em

quilograma, de um animal de determinada espécie em

função do tempo de vida, em mês.

Para o gráfico é um segmento de reta.

a) Determine a expressão da função cujo gráfico é esse

segmento de reta e calcule a massa média do animal

com meses de vida.

b) Para meses, a expressão da função que

representa a massa média do animal, em

quilogramas, é . Determine o

intervalo de tempo para o qual .

.7. (PUC-SP)

Quantos números inteiros e estritamente positivos

satisfazem a sentença ?

(A) dezesseis

(B) quinze

(C) quatorze

(D) treze

(E) menos de treze

.8. (UNESP)

Um laboratório farmacêutico tem dois depósitos, e .

Para atender a uma encomenda, deve enviar caixas

iguais contendo um determinado medicamento à drogaria

e caixas do mesmo tipo e do mesmo medicamento

à drogaria . Os gastos com transporte, por cada caixa

de medicamento, de cada depósito para cada uma das

drogarias, estão indicados na tabela.

A

B

D1 R$ 10,00 R$ 14,00

D2 R$ 12,00 R$ 15,00

Seja a quantidade de caixas do medicamento, do

depósito , que deverá ser enviada à drogaria e a

quantidade de caixas do mesmo depósito que deverá ser

enviada à drogaria .

a) Expressar:

em função de , o gasto com transporte para

enviar os medicamentos à drogaria ;

em função de , o gasto com transporte para

enviar os medicamentos à drogaria ;

em função de e , o gasto total para atender

as duas drogarias.

b) Sabe-se que no depósito existem exatamente 40

caixas do medicamento solicitado e que o gasto total

para se atender a encomenda deverá ser de

R$ 890,00, que é o gasto mínimo nas condições

dadas. Com base nisso, determine, separadamente,

as quantidades de caixas de medicamentos que

sairão de cada depósito, e , para cada drogaria,

e , e os gastos e .

.9. (UNICAMP-SP)

Na década de 1960, com a redução do número de

baleias de grande porte, como a baleia-azul, as baleias

minke antárticas passaram a ser o alvo preferencial dos

navios baleeiros que navegam no hemisfério sul. O

gráfico abaixo mostra o número acumulado aproximado

de baleias minke antárticas capturadas por barcos

japoneses, soviéticos/russos e brasileiros, entre o final de

1965 e o final de 2005.

Obs.: 41.840 Japão; 34.200 URSS/Rússia; 13.500 Brasil.

MAT Matemática _________________________________________________________________________________________________________________________

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a) A seguir, trace a curva que fornece o número

aproximado de baleias caçadas anualmente por

barcos soviéticos/russos entre o final de 1965 e o

final de 2005. Indique também os valores numéricos

associados às letras e para que seja possível

identificar a escala adotada para o eixo vertical.

b) Calcule o número aproximado de baleias caçadas

pelo grupo de países indicado no gráfico entre o final

de 1965 e o final de 1990.

.10. (PUC-SP)

Uma pesquisa foi realizada com estudantes do ensino

médio para saber em qual área eles pretendem estudar

na Universidade. Os resultados foram os seguintes:

40% pretendem estudar na área de humanas;

30% querem estudar na área de tecnologia;

20% optaram por exatas; e

10% não pretendem prosseguir estudando.

Relativamente aos resultados da pesquisa, os que têm

intenção de estudar na área de exatas representam,

aproximadamente, quanto por cento do universo dos que

pretendem prosseguir estudando?

(A) 22,2%

(B) 20%

(C) 20,5%

(D) 25%

(E) 10%

.11. (PUC-SP)

O Sr. Afonso realizou uma reforma em sua casa e o

entulho produzido foi retirado por uma empresa, que

utilizou caixas coletoras com igual capacidade e deu um

desconto de R$ 10,00 pela retirada de cada caixa de lixo,

a partir da terceira.

Sabendo-se que nessa limpeza foram utilizadas 10

caixas coletoras e que o preço pago pelo serviço foi R$

670,00, o valor que essa empresa cobra pela utilização

de uma caixa coletora é igual a:

(A) R$ 70,00.

(B) R$ 65,00.

(C) R$ 75,00.

(D) R$ 55,00.

(E) R$ 85,00.

.12. (UNESP)

Uma empresa de terraplanagem, comprometida com a

causa ambiental, usa 10% de borracha de pneus velhos

na produção de cada metro cúbico de asfalto. O material

de um pneu aro 15, triturado, equivale, em média, a

0,012 m3. Se, em média, um pneu aro 13 fornece o

equivalente a 79% do material de um pneu aro 15, a

média de pneus aro 13 que essa empresa usa para

asfaltar 7 km de uma estrada, cobrindo-os com uma

camada de 12 m de largura e 7 cm de espessura, é mais

próxima de:

(A) 19.600.

(B) 62.025.

(C) 70.000.

(D) 37.500.

(E) 27.600.

.13. (UNIR-RO)

Simplificando a expressão , obtemos o

valor:

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

(E) .

.14. (UNIR-RO)

Dois números e que satisfazem a equação

são:

(A) e um inteiro menor que .

(B) um inteiro quadrado perfeito e .

(C) e .

(D) e um número racional.

(E) e um número inteiro negativo.

________________________________________________ *Anotações*

MAT Matemática _________________________________________________________________________________________________________________________

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.15. (ENEM-MEC)

No monte de Cerro Armazones, no deserto de

Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície

terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande

(E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de

diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.

Disponível em: http://www.estadao.com.br,

27 abr. 2010 (adaptado).

Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora

fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano

mede aproximadamente 2,1 cm.

Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho

humano, suposto pela professora, e o diâmetro do

espelho primário do telescópio citado?

(A) 1 : 20

(B) 1 : 100

(C) 1 : 200

(D) 1 : 1.000

(E) 1 : 2.000

.16. (ENEM-MEC)

Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de

desmatamento, conforme o gráfico, da chamada

Amazônia Legal, integrada por nove estados.

Disponível em: www.folhaonline.com.br, 30 abr. 2010 (adaptado).

Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu

10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento

médio por estado em 2009 está entre

(A) 100 km2 e 900 km2.

(B) 1.000 km2 e 2.700 km2.

(C) 2.800 km2 e 3.200 km2.

(D) 3.300 km2 e 4.000 km2.

(E) 4.100 km2 e 5.800 km2.

.17. (ENEM-MEC)

A classificação de um país no quadro de medalhas nos

Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de

ouro que obteve na competição, tendo como critérios de

desempate o número de medalhas de prata seguido do

número de medalhas de bronze conquistados. Nas

Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado

no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de

ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de

medalhas é reproduzida a seguir.

Disponível em: http://www.quadroademedalhas.com.br,


Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de

prata e 10 de bronze, sem alteração no número de

medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual

teria sido a classificação brasileira no quadro de

medalhas das Olimpíadas de 2004?

(A) 13.º

(B) 12.º

(C) 11.º

(D) 10.º

(E) 9.º

.18. (ENEM-MEC)

Os dados do gráfico foram coletados por meio da

Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios.

Fonte: IBGE. Disponível em: http://www.ibge.gov.br,


Supondo-se que, no Sudeste, 14.900 estudantes foram

entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam

telefone móvel celular?

(A) 5.513

(B) 6.556

(C) 7.450

(D) 8.344

(E) 9.536

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