Matematica
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Geometria Espacial IIGeometria Espacial II•Cones
•Pirâmides•Esferas
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ConesConesConjuntos de todos os segmentos de reta
com uma extremidade em V e a outra em ϒ
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A base de um cone é uma região de formato circular com o raio de medida R. A distância do vértice ao centro da base formando um ângulo de 90º recebe o nome de altura (h) do cone. O comprimento da face lateral é denominado geratriz (g) do cone.
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Secção MeridianaSecção MeridianaChamamos secção meridiana do cone a
interseção do cone com um plano que contém seu eixo:
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Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:
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Classificação dos ConesClassificação dos ConesOs cones podem ser divididos em:Reto- quando a sua
base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base
Oblíquo - quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo é oblíquo ao plano da base.
Eqüilátero- Cone eqüilátero é um cone circular reto, do qual a secção meridiana é um triângulo que denominamos cone eqüilátero. Observe:
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ÁreasÁreas Pode ser calculada pela
expressão: Ab = πr2 (п = 3,14).
Podemos calcular a área lateral do cone utilizando a seguinte fórmula: AL = π.r.g
Podemos utilizar a seguinte expressão: At = πr (g+r)
Áreas da Base
Área Lateral
Área Total
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VolumeVolumeO volume do cone é calculado
multiplicando a área da base pela altura.
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Uma fábrica de doces e balas irá produzir chocolates na forma de guarda-chuva, com as seguintes medidas: 8 cm de altura e 3 cm de raio de acordo com a ilustração. Qual o volume utilizado na produção do pirulito?
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Exemplo:
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PirâmidesPirâmides
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Elementos da pirâmideElementos da pirâmideBase: o polígono
convexo Rarestas da base: os
lados do polígonoarestas laterais: os
segmentos faces laterais: os
triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA
altura: distância h do ponto V ao plano
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Classificação Classificação Uma pirâmide é reta quando a projeção
ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.
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Relação entre os elementos de Relação entre os elementos de uma pirâmide regularuma pirâmide regular
Toda pirâmide triangular recebe o nome de tetraedro.Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular (todas as faces e arestas são congruentes)
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Em uma pirâmide regular como, por exemplo temos que:
As faces laterais são triângulos isósceles e congruentes.
As arestas laterais também são congruentes e sua medida será indicada por a
O segmento que une o vértice com o ponto médio de qualquer lado da base é chamado de apótema da pirâmide e sua medida será indicada por m
o raio da circunferência circunscrita à base da pirâmide regular será indicada por R
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ÁreasÁreasNuma pirâmide, temos as seguintes
áreas:Área lateral ( AL):(n.A), onde n:Lados A:
FaceÁrea da base ( AB): área do polígono
convexo ( base da pirâmide)Área total (AT):A área total de uma
pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:
AT = AL +AB
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VolumeVolume
O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:
Volume = (1/3).A(base).hO.B.S- A altura h da pirâmide pode ser
obtida pelo teorema de Pitágoras a2+b2=c2
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EsferaEsferaConsiderando a rotação completa de um
semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação.
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VolumeVolumeSeu volume depende do tamanho do raio,
que é à distância do centro da esfera a qualquer ponto da extremidade. A fórmula matemática utilizada para determinar o volume da esfera é a seguinte:
N=