Matemática A - Exame 2015 - 1ª Fase - Critérios de ... · Prova 635/1.ª F. | CC • Página 3/...

Prova 635/1.ª F. | CC • Página 1/ 18

EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

Prova Escrita de Matemática A

12.º Ano de Escolaridade

Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho

Prova 635/1.ª Fase

Critérios de Classificação 18 Páginas

2015


CRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO

A classificação a atribuir a cada resposta resulta da aplicação dos critérios gerais e dos critérios específicos apresentados para cada item e é expressa por um número inteiro.

A ausência de indicação inequívoca da versão da prova implica a classificação com zero pontos das respostas aos itens de escolha múltipla.

As respostas ilegíveis são classificadas com zero pontos.

Em caso de omissão ou de engano na identificação de uma resposta, esta pode ser classificada se for possível identificar inequivocamente o item a que diz respeito.

Se for apresentada mais do que uma resposta ao mesmo item, só é classificada a resposta que surgir em primeiro lugar.

Itens de seleção

Nos itens de escolha múltipla, a cotação do item só é atribuída às respostas que apresentem de forma inequívoca a opção correta. Todas as outras respostas são classificadas com zero pontos.

Nas respostas aos itens de escolha múltipla, a transcrição do texto da opção escolhida é considerada equivalente à indicação da letra correspondente.

Itens de construção

Nos itens de resposta restrita e de resposta extensa, os critérios de classificação apresentam-se organizados por níveis de desempenho ou por etapas. A cada nível de desempenho e a cada etapa corresponde uma dada pontuação.

A classificação das respostas aos itens cujos critérios se apresentam organizados por níveis de desempenho resulta da pontuação do nível de desempenho em que forem enquadradas e da aplicação dos critérios de desvalorização definidos para situações específicas.

A classificação das respostas aos itens cujos critérios se apresentam organizados por etapas resulta da soma das pontuações atribuídas às etapas apresentadas e da aplicação dos critérios de desvalorização definidos para situações específicas.

Nas respostas classificadas por níveis de desempenho, se permanecerem dúvidas quanto ao nível a atribuir, deve optar-se pelo nível mais elevado de entre os dois tidos em consideração.

É classificada com zero pontos qualquer resposta que não atinja o nível 1 de desempenho.

A classificação das respostas aos itens que envolvam a produção de um texto tem em conta a organização dos conteúdos e a utilização da linguagem científica adequada.

As respostas que não apresentem exatamente os mesmos termos ou expressões constantes dos critérios específicos de classificação são classificadas em igualdade de circunstâncias com aquelas que os apresentem, desde que o seu conteúdo seja cientificamente válido, adequado ao solicitado e enquadrado pelos documentos curriculares de referência.

A classificação das respostas aos itens que envolvam o uso obrigatório das potencialidades gráficas da calculadora tem em conta a apresentação, num referencial, do gráfico da função ou dos gráficos das funções visualizados, devidamente identificados.


No quadro seguinte, apresentam-se os critérios de classificação a aplicar, em situações específicas, às respostas aos itens de resposta restrita e de resposta extensa que envolvam a realização de cálculos.

Situação Classificação

11. Utilização de processos de resolução que não estão previstos no critério específico de classificação.

É aceite qualquer processo de resolução cientificamente correto, desde que enquadrado pelo programa da disciplina (ver nota 1). O critério específico é adaptado ao processo de resolução apresentado.

12. Utilização de processos de resolução que não respeitem as instruções dadas [exemplos: «sem recorrer à calculadora gráfica», «recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora»].

A etapa em que a instrução não é respeitada e todas as etapas subsequentes que dela dependam são pontuadas com zero pontos.

13. Apresentação apenas do resultado final quando é pedida a apresentação de cálculos ou justificações.

A resposta é classificada com zero pontos.

14. Ausência de apresentação de cálculos ou de justificações necessários à resolução de uma etapa.

A etapa é pontuada com zero pontos.

15. Ausência de apresentação explícita de uma etapa que não envolva cálculos ou justificações.

Se a resolução apresentada permitir perceber inequivo-camente que a etapa foi percorrida, esta é pontuada com a pontuação prevista.Caso contrário, a etapa é pontuada com zero pontos, bem como todas as etapas subsequentes que dela dependam.

16. Transcrição incorreta de dados do enunciado, que não altere o que se pretende avaliar com o item.

Se a dificuldade da resolução do item não diminuir, é subtraído um ponto à soma das pontuações atribuídas.Se a dificuldade da resolução do item diminuir, o item é classificado do modo seguinte:– nas etapas em que a dificuldade da resolução diminuir, a

pontuação máxima a atribuir é a parte inteira de metade da pontuação prevista;

– nas etapas em que a dificuldade da resolução não diminuir, estas são pontuadas de acordo com os critérios específicos de classificação.

17. Transcrição incorreta de um número ou de um sinal na resolução de uma etapa.

Se a dificuldade da resolução da etapa não diminuir, é subtraído um ponto à pontuação da etapa.Se a dificuldade da resolução da etapa diminuir, a pontuação máxima a atribuir a essa etapa é a parte inteira de metade da pontuação prevista.As etapas subsequentes são pontuadas de acordo com os efeitos do erro cometido (ver nota 2).

8. Ocorrência de um erro ocasional num cálculo, na resolução de uma etapa.

É subtraído um ponto à pontuação da etapa em que o erro ocorre.As etapas subsequentes são pontuadas de acordo com os efeitos do erro cometido (ver nota 2).

19. Ocorrência de um erro que revela desconhecimento de conceitos, de regras ou de propriedades, na resolução de uma etapa.

A pontuação máxima a atribuir a essa etapa é a parte inteira de metade da pontuação prevista.As etapas subsequentes são pontuadas de acordo com os efeitos do erro cometido (ver nota 2).

10. Resolução incompleta de uma etapa. Se à resolução da etapa faltar apenas a passagem final, é subtraído um ponto à pontuação da etapa; caso contrário, a pontuação máxima a atribuir é a parte inteira de metade da pontuação prevista.


Situação Classificação

11. Apresentação de cálculos intermédios com um número de casas decimais diferente do solicitado ou apresentação de um arredondamento incorreto.

É subtraído um ponto à soma das pontuações atribuídas, salvo se houver indicação em contrário no critério específico de classificação.

12. Apresentação do resultado final que não respeita a forma solicitada [exemplo: é pedido o resultado na forma de fração, e a resposta apresenta-se na forma decimal].

É subtraído um ponto à pontuação da etapa correspondente à apresentação do resultado final.

13. Utilização de valores exatos nos cálculos intermédios e apresentação do resultado final com aproximação quando deveria ter sido apresentado o valor exato.


14. Utilização de valores aproximados numa etapa quando deveriam ter sido usados valores exatos.

A pontuação máxima a atribuir a essa etapa, bem como a cada uma das etapas subsequentes que dela dependam, é a parte inteira de metade da pontuação prevista.

15. Apresentação do resultado final com um número de casas decimais diferente do solicitado, ou apresentação do resultado final incorretamente arredondado.


16. Omissão da unidade de medida na apresentação do resultado final.

A etapa relativa à apresentação do resultado final é pontuada com a pontuação prevista.

17. Apresentação de elementos em excesso face ao solicitado.

Se os elementos em excesso não afetarem a caracterização do desempenho, a classificação a atribuir à resposta não é desvalorizada. Se os elementos em excesso afetarem a caracterização do desempenho, são subtraídos dois pontos à soma das pontuações atribuídas, salvo se houver indicação em contrário no critério específico de classificação.

18. Utilização de simbologias ou de expressões inequivo-camente incorretas do ponto de vista formal.

É subtraído um ponto à soma das pontuações atribuídas, exceto:– se as incorreções ocorrerem apenas em etapas já

pontuadas com zero pontos;– nos casos de uso do símbolo de igualdade onde, em

rigor, deveria ter sido usado o símbolo de igualdade aproximada.

Nota 1 – A título de exemplo, faz-se notar que não são aceites processos de resolução que envolvam a aplicação da regra de Cauchy, da regra de L’Hôpital ou de resultados da teoria de matrizes.

Nota 2 – Se a dificuldade da resolução das etapas subsequentes não diminuir, estas são pontuadas de acordo com os critérios específicos de classificação; se a dificuldade da resolução das etapas subsequentes diminuir, a pontuação máxima a atribuir a cada uma delas é a parte inteira de metade da pontuação prevista.


CRITÉRIOS ESPECÍFICOS DE CLASSIFICAÇÃO

GRUPO I

1. a 8. ............................................................... (8 × 5 pontos) ....................................................... 40 pontos

Itens 1 2 3 4 5 6 7 8

Versão 1 C C B A B C D B

Versão 2 B B A D C B C C

GRUPO II

1. .................................................................................................................................................... 15 pontos

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos.

1.º Processo

Identificar i19 com -i ........................................................................................... 2 pontos

Escrever a expressão i2 2 19− + na forma algébrica i2 2- -^ h ........................... 1 pontos

Apresentar um argumento de i2 2- - .................................................................. 2 pontos

Escrever um argumento de z, em função de i ..................................................... 2 pontos

Escrever uma condição em i para que z seja um imaginário puro (ver nota) .... 3 pontos

Resolver a condição em ordem a i ...................................................................... 3 pontos

Obter os valores de i pertencentes ao intervalo ,0 2 43

47er r rc m6@ ............ 2 pontos

Nota – Se for apresentada apenas a condição 45

2r ri− = ou apenas a condição

45

2 45

230r r r ri i− = − = , a pontuação a atribuir nesta etapa é 1 ponto.

Nesta situação, a pontuação máxima a atribuir na etapa seguinte é de 1 ponto.

2.º Processo

Identificar i19 com -i ........................................................................................... 2 pontos

Escrever a expressão i2 2 19− + na forma algébrica i2 2- -^ h ........................... 1 pontos

Escrever cos sen

zii

2 22 2i i

=+

− − .................................................................... 1 pontos

Escrever cos sen cos sen

cos senzi ii i

2 2 2 22 2 2 2i i i i

i i=+ −

− − −^ ^

^ ^h h

h h ....................... 1 pontos

Escrever cos sen sen cosz i2

2 2 2 2 2 2 2 2i i i i= − − + −^ ^h h ........ 2 pontos


Escrever uma condição em i para que z seja um imaginário puro ..................... 3 pontos

Resolver a condição em ordem a i ...................................................................... 3 pontos

Obter os valores de i pertencentes ao intervalo ,0 2 43

47er r rc m6@ ............ 2 pontos

2.1. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, quatro processos.

1.º Processo (através de uma tabela de dupla entrada)

Construir uma tabela de dupla entrada cujas entradas sejam o género (homem, mulher) e o local de residência (Coimbra, fora de Coimbra) ............................... 1 pontos

Preencher a célula da tabela relativa à informação «60% dos funcionários residemfora de Coimbra» .................................................................................................... 2 pontos

Preencher as células da tabela relativas à informação «o número de homens éigual ao número de mulheres» ............................................................................. 2 pontos

Utilizar a informação «30% dos homens residem fora de Coimbra» paradeterminar a probabilidade de o funcionário ser homem e residir fora de Coimbra,e colocar o valor obtido na célula respetiva (ver nota) ........................................ 4 pontos

Preencher as restantes células que permitem resolver o problema .................... 3 pontos

Identificar o pedido com P M C^ h, sendo M o acontecimento «o funcionário escolhido é mulher» e C o acontecimento «o funcionário escolhido reside em Coimbra» .............................................................................................................. 1 pontos

Escrever P M C P CP M C+=^ ^^h h

h ...................................................................... 1 pontos

Obter P M C 81^ ch m ......................................................................................... 1 pontos

Nota – Se o valor apresentado nesta célula for 0,3, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos.

2.º Processo (através de um diagrama em árvore)

Nota prévia – Se a resposta apresentar um diagrama em árvore de cuja raiz saem dois ramos relativos ao local de residência (Coimbra, fora de Coimbra), saindo de cada um destes dois novos ramos relativos ao género (homem, mulher), a classificação da resposta deve ser enquadrada no quarto processo.

Construir um diagrama em árvore de cuja raiz saem dois ramos relativos aogénero (homem, mulher), saindo de cada um destes dois novos ramos relativosao local de residência (Coimbra, fora de Coimbra) .............................................. 2 pontos

Colocar as probabilidades relativas à informação «o número de homens é igual ao número de mulheres» nos respetivos ramos .................................................. 2 pontos

Colocar a probabilidade relativa à informação «30% dos homens residem fora de Coimbra» no respetivo ramo ........................................................................... 2 pontos

Colocar a probabilidade de o funcionário ser homem e residir fora de Coimbra(ver nota) .............................................................................................................. 2 pontos


Colocar a probabilidade de o funcionário ser mulher e residir fora deCoimbra .............................................................................................. 3 pontos

Colocar a probabilidade de o funcionário ser mulher e residir em

4 pontos

Coimbra ............................................................................................. 1 pontos

OU

Colocar a probabilidade de o funcionário ser homem e residir em Coimbra ............................................................................................. 1 pontos

Colocar a probabilidade de o funcionário ser mulher e residir em Coimbra ............................................................................................. 3 pontos

Identificar o pedido com P M C^ h, sendo M o acontecimento «o funcionário escolhido é mulher» e C o acontecimento «o funcionário escolhido reside em Coimbra» .............................................................................................................. 1 pontos


h ...................................................................... 1 pontos


Nota – A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se à etapa anterior não tiverem sido atribuídos 0 pontos.

3.º Processo (aplicando as propriedades das probabilidades)

Seja M o acontecimento «o funcionário escolhido é mulher» e seja C o acontecimento «o funcionário escolhido reside em Coimbra».

Identificar o pedido com P M C^ h ..................................................................... 1 pontos

Reconhecer que ,P C 0 6=^ h ............................................................................. 1 pontos

Obter P C^ h ........................................................................................................ 1 pontos

Reconhecer que ,P M 0 5=^ h ............................................................................ 1 pontos

Reconhecer ,P M 0 5=^ h ................................................................................... 1 pontos

Reconhecer que ,P C M 0 3=^ h ....................................................................... 2 pontos

Determinar P C M+] g ....................................................................................... 2 pontos

Determinar P C M,] g ....................................................................................... 2 pontos

Escrever P C M P C P M P C M, += + −] ^ ^ ^g h h h ........................................ 1 pontos

Determinar P C M+] g ....................................................................................... 1 pontos


h ...................................................................... 1 pontos



4.º Processo (aplicando as propriedades das probabilidades)

Seja M o acontecimento «o funcionário escolhido é mulher», seja H o acontecimento «o funcionário escolhido é homem» e seja C o acontecimento «o funcionário escolhido reside em Coimbra».

Identificar o pedido com P M C^ h ..................................................................... 1 pontos

Reconhecer que , ,P C P C0 6 0 4ou= =^ ^h h ................................................. 2 pontos

Reconhecer que , ,P M P H0 5 0 5ou= =^ ^h h ................................................ 2 pontos

Reconhecer que ,P C H 0 3=^ h ........................................................................ 2 pontos

Determinar P C H+^ h ........................................................................................ 2 pontos

Escrever P H P C H P C H+ += +^ ^ ^h h h .................................... 1 pontos

Determinar P C H+^ h .................................................................... 1 pontos

Escrever P C P C H P C M+ += +^ ^ ^h h h .................................... 1 pontos

Determinar P C M+^ h ................................................................... 1 pontos

OU ......................................................................................................................... 4 pontos

Escrever P C P C M P C H+ += +^ ^ ^h h h .................................... 1 pontos


Escrever P M P C M P C M+ += +^ ^ ^h h h .................................. 1 pontos



h ...................................................................... 1 pontos



2.2. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Tópicos de resposta:

A) Enunciado da regra de Laplace: quando os casos possíveis são equiprováveis, a probabilidade de um acontecimento é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis (ver nota 1).

B) Explicação do número de casos possíveis: 80C3 é o número de maneiras de escolher três funcionários, de entre os 80 funcionários da empresa (ver nota 2).

C) Explicação do número de casos favoráveis: «haver, no máximo, dois funcionários a residir em Coimbra» é o contrário de «haver três funcionários a residir em Coimbra». Assim, o número de casos favoráveis é igual à diferença entre o número de maneiras de escolher 3 dos 80 funcionários da empresa C80 3^ h e o número de maneiras de escolher 3 dos 32 (40% de 80) funcionários da empresa que residem em Coimbra (ver nota 3).

Níveis Descritores do nível de desempenho Pontuação

5 Na resposta, são contemplados os três tópicos, com organização coerente dos conteúdos e linguagem científica adequada.

15

4

Na resposta, são contemplados os três tópicos, com falhas na organização dos conteúdos ou na utilização da linguagem científica.OUNa resposta, são contemplados apenas os tópicos A e C OU apenas os tópicos B e C, com organização coerente dos conteúdos e linguagem científica adequada.

12

3

Na resposta, são contemplados apenas os tópicos A e C OU apenas os tópicos B e C, com falhas na organização dos conteúdos ou na utilização da linguagem científica.OUNa resposta, são contemplados apenas os tópicos A e B OU apenas o tópico C, com organização coerente dos conteúdos e linguagem científica adequada.

9

2

Na resposta, são contemplados apenas os tópicos A e B OU apenas o tópico C, com falhas na organização dos conteúdos ou na utilização da linguagem científica.OUNa resposta, é contemplado apenas o tópico A OU apenas o tópico B, com organização coerente dos conteúdos e linguagem científica adequada.

6

1 Na resposta, é contemplado apenas o tópico A OU apenas o tópico B, com falhas na organização dos conteúdos ou na utilização da linguagem científica.

3

Notas:

1. Se não for referida a condição de equiprobabilidade dos casos possíveis, este tópico, a ser contemplado, é considerado «com falhas na organização dos conteúdos ou na utilização da linguagem científica».

2. Se a explicação do número de casos possíveis for, por exemplo, «80C3 é escolher 3 dos 80 funcionários», e não «80C3 é o número de maneiras de escolher 3 dos 80 funcionários», considera-se que este tópico não foi contemplado.

3. Se não for referido que 32 é 40% de 80, este tópico, a ser contemplado, é considerado «com falhas na organização dos conteúdos ou na utilização da linguagem científica».


3.1. ................................................................................................................................................. 10 pontos

Determinar d 0] g ................................................................................................. 4 pontos

Determinar o raio da esfera, identificando-o com d16 0- ^ h (ver nota 1) .......... 3 pontos

Obter o volume da esfera com o arredondamento pedido , cm4 19 3` j (ver nota 2) 3 pontos

Notas:

1. Se o raio for identificado com d2

16 0- ^ h , a pontuação a atribuir nesta etapa é 1 ponto.

2. A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se, à etapa relativa à determinação do raio da esfera, não tiverem sido atribuídos 0 pontos.

3.2. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Determinar d tl] g (ver nota 1) .......................................................................... 3 pontos

Aplicar a regra de derivação do produto de duas funções ............ 1 pontos

Escrever ,d t e t e0 05 5, ,t t0 05 0 05= − − −− −l] ^g h ........................ 2 pontos

Escrever a equação d t 0=l] g ........................................................................... 1 pontos

Resolver a equação d t 0=l] g ........................................................................... 5 pontos

Escrever ,d t e t0 1 0 05 5 0, t0 05+= − − − =−l] ^`g hj ............ 2 pontos

Escrever , ,e t t1 0 05 5 0 1 0 05 5 0, t0 05 +− − − = − − − =− ^` ]hj g 2 pontos

Concluir que d t t0 25+= =l] g .............................................. 1 pontos

Justificar que a distância do centro da esfera ao ponto P é mínima para t = 25 .......................................................................................................... 5 pontos

Apresentar um quadro de sinal de dl e de monotonia de d (ver nota 2) ................................................................................... 4 pontos

Indicar o valor de t para o qual a função é mínima ..................... 1 ponto

OU

Referir que, como a função d tem derivada finita em R+ e como 25 é o único zero da função dl , o mínimo da função d só pode ser atingido para t t0 25ou para= = ......................... 2 pontos

Referir que d d25 01^ ^h h .......................................................... 3 pontos

Apresentar a resposta (25 segundos) ................................................................. 1 pontos

Notas:

1. Se for evidente a intenção de determinar a expressão da derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é de 1 ponto.

2. Se, na primeira linha do quadro, a resposta apresentar 3- , em vez de 0, a pontuação máxima a atribuir nesta etapa é de 3 pontos.


4.1. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Justificar que apenas a reta de equação x 21= pode ser assíntota vertical do

gráfico de f ......................................................................................................... 2 pontos

Determinar lim f xx 2

1"-^

bh

l .................................................................................... 10 pontos

Este limite pode ser determinado por, pelo menos, quatro processos.

1.º Processo

Escrever lim limf x xe e2 1x x

x

21

21

= −−

" "− −^

c ch

m m ............................... 1 pontos

Escrever lim limxe e

xe e

2 1 2 1x

x

x

x

21

21

21

−− = −

−

" "− −

c cm m ......................... 1 pontos


xe e

2 1 2 21x

x

x

x

21

21

21

21

−− =

−−

" "− − `c c jm m

........................ 1 pontos


x

e e

2 21 2 2

11

x

x

x

x

21

21

21

21

21

−− =

−

−

" "

−

− −` b`

c cj lj

m m ............. 2 pontos

Escrever x−

lim limx

e e exe

2 211

2211

x

x

x21

21

21

21

21

21

−

−=

−−

" "

−

− −b`

c clj

m m ...... 1 pontos

Escrever x−

lim limexe e

ye

2211

21

x y x y

y21

21

21

21

21

0−− = −

""= −− −

c m

(ver nota 1) ................................................................................... 2 pontos

Reconhecer o limite notável lim xe 1 1

x

x

0− =

" .............................. 1 pontos

Obter o valor de lim f x e21

x 21

21

"-^ e

ch o

m ................................... 1 pontos


2.º Processo


x

21

21

= −−

" "− −^

c ch

m m ............................... 1 ponto

Escrever y+

lim limxe e

ye e

2 1 2x

x

y x y21

21 0

21

−− = −

""= −− −

c m ........... 3 pontos

Escrever y y+ +

lim limye e

ye e

2 2y y0

21

0

21

21

− = −" "− −

...................... 1 pontos

Escrever y+

lim limye e

ye e

2 21

y y

y

0

21

21

0

21

− = −" "− −

^ h ...................... 2 pontos

Escrever lim limye e e

ye

21

21

y

y

y

y

0

21

21

0

− = −" "− −

^ h .......................... 1 pontos


x

x

0− =

" .............................. 1 pontos


x 21

21

"-^ e

ch o

m ................................... 1 pontos

3.º Processo


x

21

21

= −−

" "− −^

c ch

m m ............................... 1 pontos


xe e

2 1 2 1x

x

x

x

21

21

21

−− = −

−

" "− −

c cm m .......................... 1 pontos


xe e

2 1 2 21x

x

x

x

21

21

21

21

−− =

−−

" "− − `c c jm m

........................ 1 pontos


xe e

2 21 2

1

21x

x

x

x

21

21

21

21

−− =

−−

" "− −`c cjm m

................... 1 pontos

Referir que limxe e h

21 2

1x

x

21

21

−− =

"

lc m , sendo h a função

definida por h x e x=^ h ................................................................. 3 pontos

Referir que h e21 2

1=lc m .............................................................. 2 pontos

Concluir que limxe e e2

1

21 2

1x

x

21

21

21

−− =

"−

c m ................................. 1 pontos


4.º Processo


x

21

21

= −−

" "− −^

c ch

m m ............................... 1 pontos


xe e

2 1 2 1x

x

x

x

21

21

21

−− = −

−

" "− −

c cm m ......................... 1 pontos


xe e

2 1 2 21x

x

x

x

21

21

21

21

−− =

−−

" "− − `c c jm m

........................ 1 pontos

Escrever x−

lim limxe e

x

e e

2 21 2 2

11

x

x

x

x

21

21

21

21

−− =

−

−

" "− −` b

`c cj l

jm m

.............. 1 pontos

Escreverx x− −

lim lim limx

e e exe

2 21

12

21

1x

x

x

x

x21

21

21

21

21

#−

−=

−−

" " "− − −b`

c c clj

m m m ........ 2 pontos

Escrever

x−lim lim lime

xe e

ye

221

12

1

x

x

x y x y

y

21

21

21

21

21

0−− = −

−

" ""= −− − +#

c cm m

(ver nota 2) .................................................................................... 1 pontos

Escrever lim limeye e

ye

21

21

y

y

y

y21

021

0−− = −

" "+ + ....................... 1 pontos


x

x

0− =

" .............................. 1 pontos


x 21

21

"-^ e

ch o

m ................................... 1 pontos

Escrever lim lnf x 23

21

x 21

="

+^ c

bh m

lOU .............................................. 2 pontos

Referir que a função f é contínua à direita em 21

Concluir que o gráfico da função f não tem qualquer assíntota vertical ............ 1 pontos

Notas:

1. Se for referido que x 21"

-c m é equivalente a x 2

1 0"- - , esta etapa deve ser considerada como cumprida.

2. Se for referido que x 21"

-c m é equivalente a x2

1 0"− + , esta etapa deve ser considerada como cumprida.


4.2. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Determinar ,f x 21em 3+l^ h ;E ....................................................................... 3 pontos

Aplicar a regra de derivação do produto ....................................... 1 pontos

Obter f xl^ h ................................................................................. 2 pontos

Determinar ,f x 21em 3+ll^ h ;E (ver nota 1) ................................................. 3 pontos

Determinar o zero de ,f 21em 3+ll ;E ............................................................ 2 pontos

Escrever f x 0=ll^ h .................................................................... 1 pontos

Obter o zero de ,f 21em 3+ll ;E .............................................. 1 pontos

Estudar a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto

à existência de pontos de inflexão, no intervalo ,21 3+ ;E ................................. 7 pontos

Apresentar um quadro de sinal de f ll e de sentido da conca-vidade do gráfico de f (ou equivalente) (ver nota 2) .................. 3 pontos

Referir que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo

em ,21 1;E (ver nota 3) ............................................................... 1 pontos

Referir que o gráfico de f tem concavidade voltada para cimaem ,1 3+ 6@ (ver nota 4) .......................................................... 1 pontos

Indicar as coordenadas do ponto de inflexão do gráfico da

função f em , ,21 1 03+ ^^ hh;E ................................................ 2 pontos

Notas:

1. Se for evidente a intenção de determinar a segunda derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é de 1 ponto.

2. Se, na primeira linha do quadro, a resposta apresentar 3- , em vez de 21 , a pontuação máxima

a atribuir nesta etapa é de 2 pontos.

3. Se for referido que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em ,21 1E E,

em vez de ,21 1;E , esta etapa deve ser considerada como cumprida.

4. Se for referido que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em ,1 3+6 6, em vez de ,1 3+ 6@ , esta etapa deve ser considerada como cumprida.

5. Se for utilizada a expressão xe e2 1x

-- , a pontuação máxima a atribuir à resposta é de 2 pontos

(1 ponto pela intenção de calcular f xll^ h e 1 ponto pela intenção de resolver a equação f x 0=ll^ h ).

4.3. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Justificar que a equação f x 3=^ h tem, pelo menos, uma solução em , e1 6@ 6 pontos

Referir que a função f é contínua em , e16 @ (ver nota 1) .......... 1 ponto

Calcular f 1^ h ............................................................................... 1 ponto

Calcular f e^ h ............................................................................... 1 ponto

Referir que f f e1 31 1^ ^h h ..................................................... 2 pontos

Concluir que a equação f x 3=^ h tem, pelo menos, uma solução em , e1 6@ ..................................................................................... 1 pontos


Reproduzir o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora, que permite(m) resolver o problema (ver notas 2, 3 e 4) ........................................... 4 pontos

Apresentar a solução pedida (2, 41) .................................................................. 5 pontos

Notas:

1. Se for referido que a função é contínua em , e1 6@ , a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos. A mesma pontuação deve ser atribuída se apenas for referido que a função é contínua.

2. Se não for apresentado o referencial, a pontuação a atribuir nesta etapa deve ser desvalorizada em 1 ponto.

3. Se a resposta apresentar, para x 212 , o gráfico da função definida por y x

e e2 1x

=−− , indepen-

dentemente de estarem, ou não, desenhados outros gráficos, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos.

4. Se for apresentado apenas o gráfico da função, para x 212 , e não for apresentada a solução

pedida, a pontuação a atribuir nesta etapa é 2 pontos.

5.1. ................................................................................................................................................. 5 pontos

Escrever a equação x y z d2 0− + + = (ou equivalente) ................................. 2 pontos

Determinar o valor de d ....................................................................................... 2 pontos

Escrever uma equação do plano pedido x y z2 2 0 ou equivalente− + − =^ h(ver notas 1 e 2) ................................................................................................... 1 pontos

Notas:

1. Se for apresentada apenas a equação x y z2 2 0− + − = (ou equivalente), a pontuação a atribuir à resposta é 5 pontos.

2. Se for apresentada apenas uma equação do tipo x y z d2 0− + + = (ou equivalente), com o valor de d incorreto, a pontuação a atribuir à resposta é 2 pontos.

5.2. ................................................................................................................................................. 10 pontos


1.º Processo

Determinar AB ................................................................................................... 2 pontos

Obter o raio da superfície esférica ....................................................................... 1 pontos

Determinar as coordenadas do ponto médio do segmento de reta AB5 ? .......... 2 pontos

Escrever a condição x y z2 1 52 2 2− + + − =^ ^h h (ou equivalente) (ver notas 1 e 2) ................................................................................................. 5 pontos

Notas:

1. A escrita de 5 , em vez de 5, implica uma desvalorização de 2 pontos nesta etapa.

2. A escrita de # , em vez de = , implica uma desvalorização de 2 pontos nesta etapa.A escrita de 1 ou de 2 ou de $ implica uma desvalorização de 3 pontos nesta etapa.


2.º Processo

Seja , ,P x y z^ h um ponto genérico da superfície esférica.

Determinar as coordenadas do vetor AP .......................................................... 2 pontos

Determinar as coordenadas do vetor BP ........................................................... 2 pontos

Escrever .AP BP 0= .......................................................................................... 3 pontos

Escrever a condição x y z x z4 2 02 2 2+ + − − = (ou equivalente) ................. 3 pontos

5.3. ................................................................................................................................................. 15 pontos


1.º Processo

Seja y a ordenada do ponto P

Escrever , ,P y4 0^ h ........................................................................................... 2 pontos

Determinar as coordenadas do vetor AB .......................................................... 1 pontos

Determinar as coordenadas do vetor AP .......................................................... 1 pontos

Calcular .AB AP ................................................................................................ 2 pontos

Determinar a norma do vetor AB ....................................................................... 1 pontos

Determinar a norma do vetor AP , em função de y .......................................... 2 pontos

Escrever a equação y20 20 20 212# #= + (ou equivalente) .................. 3 pontos

Obter o valor de y 60^ h ................................................................................. 3 pontos

2.º Processo

Justificar que o triângulo ABP6 @ é retângulo em B .......................................... 5 pontos

Determinar AB 20^ h ...................................................................................... 2 pontos

Escrever tg BP3 20r = ....................................................................................... 5 pontos

Escrever BP320

= ......................................................................................... 1 pontos

Obter a ordenada de P 60^ h .......................................................................... 2 pontos


6. .................................................................................................................................................... 15 pontos

Determinar f xl^ h .................................................................................................. 2 pontos

Obter f al^ h ........................................................................................................... 1 pontos

Determinar g xl^ h ................................................................................................... 2 pontos

Determinar g a 6r+lc m .......................................................................................... 4 pontos

Escrever cosg a a6 3 3 6r r+ = +lc cem mo .................................... 1 pontos

Escrever cos cosa a3 3 6 3 3 2r r+ = +ce `mo j ............................. 1 pontos

Concluir que cos sena a3 3 2 3 3r+ = −` ^j h ................................. 2 pontos

Escrever f ag a 6

1r

= −+

ll

^c

hm

(ou equivalente) ............................................... 2 pontos

Concluir que sen a3 912 =^ h ................................................................................. 1 pontos

Concluir que sen a3 31= −^ h (ver nota) ............................................................... 3 pontos

Nota – Se, na resposta, não for referido que , 3a3 2! r r ;E , a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos.


COTAÇÕES

GRUPO I

1. a 8.................................................. (8 × 5 pontos) ............................. 40 pontos

40 pontos

GRUPO II

1. ........................................................................................................... 15 pontos

2. 2.1. ................................................................................................... 15 pontos2.2. ................................................................................................... 15 pontos

3. 3.1. ................................................................................................... 10 pontos3.2. ................................................................................................... 15 pontos

4.4.1. ................................................................................................... 15 pontos4.2. ................................................................................................... 15 pontos4.3. ................................................................................................... 15 pontos

5. 5.1. ................................................................................................... 5 pontos5.2. ................................................................................................... 10 pontos5.3. ................................................................................................... 15 pontos

6. ........................................................................................................... 15 pontos

160 pontos

TOTAL .............................................. 200 pontos

Matemática A - Exame 2015 - 1ª Fase - Critérios de ... · Prova 635/1.ª F. | CC • Página 3/...

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