Matemática Aplicada Administração Economia Ciências Contábeis · C O teste da derivada segunda...

Matemática Aplicada

AdministraçãoEconomiaCiências Contábeis

a b

Prof. Hiroshi Ouchi

0

y

x

a

b

f(x) dx

Agradecimentos

O meu agradecimento a Deus pela vida e pelo

privilegio de ser um profissional da Educacao;

a minha querida esposa Silvinha, pelo incen-

tivo, carinho e apoio em todos os meus projetos

de vida; a meus filhos e neto, razoes da minha

existencia.

A meus alunos pelo crescimento profissional e

pessoal e ao licenciado em matematica Sidclay

Silva, pelo excelente trabalho de digitacao e for-

matacao.

Sumario

Introducao 3

O Calculo 5

Historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 A Derivada 7

1.1 A reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Calculo do coeficiente angular da reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Definicao da reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Definicao de derivada de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Funcao derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 A derivada como taxa de variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Regras de derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.1 Funcao afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.2 Funcao potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.3 Regra da homogeneidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7.4 Regra da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7.5 Regra do produto de uma constante por uma funcao . . . . . . . . . 21

1.7.6 Regra do produto ou regra de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.7 Regra do quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7.8 Derivada de uma funcao composta (Regra da Cadeia) . . . . . . . . 27

1.7.9 Derivada de funcoes implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7.10 Derivada da funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7.11 Derivada da funcao logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7.12 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.8 Taxa de variacao percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.9 A analise marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.9.1 Custo marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.9.2 Receita marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.9.3 Lucro marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1

1.9.4 Custo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.10 Estudo da variacao das funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.10.1 Funcao crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.10.2 Funcao descrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.10.3 Funcao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.10.4 Casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.10.5 Criterio da derivada para funcoes crescentes e decrescentes . . . . . 53

1.10.6 Extremos relativos ou locais de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . 55

1.10.7 Teste da derivada primeira para determinacao de extremos relativos 58

1.10.8 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.10.9 Teste da concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.10.10Ponto de inflexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.10.11O teste da derivada segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.11 Estudo das assıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.11.1 Assıntota horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.11.2 Assıntota vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.11.3 Maximos e mınimos absolutos de uma funcao . . . . . . . . . . . . . 77

1.11.4 Teorema do valor extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.12 Otimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2 A Integral 93

2.1 Antiderivacao: A integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.2 As antiderivadas de uma funcao f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.3 Notacao de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.4 Regras basicas para integrar funcoes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.5 Propriedades algebricas da integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.5.1 Regra da multiplicacao por uma constante . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.5.2 Regra da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.5.3 Regra da diferenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.5.4 Curvas integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.5.5 Movimento em linha reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.5.6 Regra da exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.5.7 Integracao por substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.6 Equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.6.1 Equacoes diferenciais com variaveis separaveis . . . . . . . . . . . . . 111

2.6.2 Aplicacoes das equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.7 Integracao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.8 Teorema Fundamental do Calculo: A integral definida . . . . . . . . . . . . 126

[Prof. Hiroshi Ouchi] 1

2.8.1 A integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.8.2 Area da regiao compreendida entre duas curvas . . . . . . . . . . . . 140

A Teorema de Rolle 145

B Teorema do Valor Medio 149

C O teste da derivada segunda para extremos relativos 157

D O teste da concavidade 159

Referencias Bibliograficas 163

2 [Matematica Aplicada]

Introducao

A apostila foi desenvolvida para atender a alunos dos cursos de Administracao, Economia

e Ciencias Contabeis.

Cabe informar que este material didatico nao dispensa a utilizacao do livro-texto e de

outros livros citados na bibliografia.

Como a apostila foi desenvolvida com o objetivo de facilitar a aprendizagem, alguns

topicos de excelentes livros foram copiados na ıntegra, nao tendo o autor da apostila

pretensao de usufruir dos meritos profissionais dos autores citados, mas tao somente de

apresentar de maneira clara, eficiente e didatica os principais conceitos e varios exemplos

basicos.

Professor Hiroshi Ouchi - Licenciado em Matematica pela UFJF e com curso de pos-

graduacao em Matematica pela UFF.

3

O Calculo

Historico

O Calculo e regularmente dividido em duas partes principais, Calculo Diferencial e

Calculo Integral.

Quase todas as ideias e aplicacoes do Calculo tiveram origem em questoes envolvendo

o conceito de limite relacionado a dois problemas geometricos, que se referem ao grafico de

uma funcao y = f(x). Para simplificar, consideremos o grafico de y = f(x) inteiramente

acima do eixo x.

Problema 1

O problema basico do Calculo Diferencial e o problema das tangentes: como calcular

o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f num dado ponto P da sua curva.

Figura 1: reta tangente

Problema 2

O problema basico do Calculo Integral e o problema das areas: como calcular a area

entre o grafico de y = f(x), o eixo x e as retas verticais x = a e x = b.

5


Figura 2: area

Os dois problemas basicos foram objeto de estudo de muitos cientistas no seculo XVII,

dentre os quais se destacam Fermat, Newton e Leibniz.

A grande realizacao de Newton e Leibniz foi descobrir e explorar a estreita conexao

entre os dois problemas. Foram os primeiros a entender o significado do Teorema Fun-

damental do Calculo, de que a solucao do problema da tangente pode ser usado para

resolver o problema da area. O teorema foi reconhecido por cada um independentemente

do outro e seus sucessores usaram-no posteriormente numa arte de resolucao de problemas

da Matematica Aplicada, de longo alcance em inumeros ramos da atividade humana.

NOTA: Calculus, na Roma antiga, era uma pedra utilizada para contagem e jogo, e o

verbo latino calculare passou a significar “figurar”, “calcular”.

Capıtulo 1

A Derivada

1.1 A reta tangente

O problema da tangente consiste em determinar uma equacao que descreva a tangente em

um ponto M do grafico de uma funcao y = f(x).

A ideia da tangente a uma curva origina-se da palavra latina tangere, que significa

“tocar”. Portanto, uma reta tangente a uma curva e uma reta que “toca” a curva. Por

outro lado a palavra secante vem de secare, que significa “cortar”.

No caso de uma circunferencia, nao ha dificuldade em assimilar o conceito inicial de

tangente como a reta que intercepta a circunferencia em um ponto M da mesma, que e

chamado, ponto de tangencia. No caso e a reta perpendicular ao raio R, no ponto M .

Figura 1.1: ponto de tangencia

Esta situacao sugere a possibilidade de definir a tangente a uma curva em um ponto

M , como a reta que intercepta a curva apenas no ponto M .

O conceito atual de reta tangente originou-se com Fermat, em torno de 1630.

A definicao inicial mostra-se inadequada ao considerarmos curvas mais complicadas,tais

como a curva (c), apresentada a seguir:

7


Figura 1.2: pontos de interseccao

A reta (t) toca a curva em M e tambem a intercepta em N e P . Nas proximidades

de M , a reta (t) se confunde com a curva (c), tendo entretanto, outros pontos em comum

com a mesma, tais como N e P . A reta (l) intercepta a curva (c) somente uma vez em

M , mas na realidade nao constitui uma tangente a curva no ponto M , de acordo com o

conceito inicial.

Para definirmos tangente a uma curva em um de seus pontos, devemos abandonar a

ideia de unicidade do ponto comum da reta tangente com a curva e adotar uma propriedade

notavel que a mesma possui, de carater local, significando que ao tomarmos arcos cada

vez menores_

aa′,_

bb′, ...,_

nn′, contendo o ponto M , o arco da curva aparentara ser um

segmento de reta (t), dando a impressao de que arcos suficientemente pequenos confundem-

se, aproximadamente, com um segmento de reta tangente (t).

Figura 1.3: arcos em (c)

Seja (c) uma curva de equacao y = f(x), definida em um intervalo que contenha os

pontos M e P , e seja (s) a reta secante que passa por M e P .


Figura 1.4: reta limite

Quando o ponto P desloca-se sobre a curva aproximando-se de M , a reta secante MP ,

tambem muda de posicao ao girar em torno de M . Se a reta secante (s) tende para a

posicao-limite (t), consideramos que esta reta limite e a tangente a curva (c) no ponto M ,

sendo este ponto denominado ponto de tangencia ou ponto de contato.

Figura 1.5: inclinacao das restas (s) e (t)

NOTA: A inclinacao ms da reta secante tende para a inclinacao mt da reta tangente,

quando P tende a M sobre a curva (c).

OBSERVACOES: (revisao de Matematica I)

1. Coeficiente angular da reta (r) que passa por A(xA, yA) e B(xB, yB)

mr =yB − yA

xB − xAou mr =

yA − yB

xA − xB

2. Equacao da reta (r) que passa por M(xM , yM ) e de coeficiente angular mr

y − yM = mr · (x− xM )

3. Condicao de perpendicularismo das retas (r) e (s)

mr ·ms = −1


4. Condicao de paralelismo das retas (r) e (s)

mr = ms

1.2 Calculo do coeficiente angular da reta tangente

Seja y = f(x), M(a, f(a)) um ponto do grafico de y = f(x) e P (a+h, f(a+h)) um ponto

proximo de M .

Figura 1.6: coeficiente angular da reta (t)

Temos:

tg β = ms (inclinacao de (s))

tg α = mt (inclinacao de (t))

h = ∆x (suficientemente pequeno, pois P 6= M)

∆y = f(a + h)− f(a) ou ∆y = f(a + ∆x)− f(a)

Encontrar a reta tangente em um ponto M da curva (c) consiste na determinacao da

inclinacao mt da reta tangente (t) procurada. Para isto, utilizamos uma reta secante (s),

que passa pelo ponto de tangencia M e por um ponto P da curva (c).

ms = tg β =f(a + h)− f(a)

hou ms = tg β =

f(a + ∆x)− f(a)∆x

NOTA: A razao correspondente a ms recebe o nome de quociente de Newton, taxa

de acrescimo, razao incremental.

Obtemos aproximacoes cada vez mais exatas da inclinacao da reta tangente, escolhendo

uma sequencia de pontos P cada vez mais proximos do ponto M na curva (c). Neste caso,

x tende para a, quando h = ∆x, tende para zero.


Temos:

P tende para M =⇒

(h = ∆x) −→ 0

ms −→ mt

β −→ α

1.3 Definicao da reta tangente

Seja y = f(x) uma funcao contınua em um intervalo aberto contendo o ponto M(a, f(a))

e P (a + h, f(a + h)) (figura 1.6).

Definicao

Reta tangente ao grafico de y = f(x) no ponto M(a, f(a)), e a reta que passa por M

e tem inclinacao (coeficiente angular) dada por:

1. mt = lim∆x→0

∆y

∆x

2. mt = lim∆x→0

f(a + ∆x)− f(a)∆x

3. mt = limh→0

f(a + h)− f(a)h

A inclinacao existe se o limite existir.

OBSERVACOES:

1. A equacao da reta (t), tangente ao grafico de f em M e y − f(a) = mt(x− a)

2. A reta paralela ao eixo x, tem coeficiente angular nulo (mt = 0)

Sua equacao e y = f(a)

3. A equacao da reta (n), normal ao grafico de f em M , e a reta que passa por M e e

perpendicular a reta tangente (t) no ponto M

Como mt ·mn = −1, temos: mn = − 1mt

Sua equacao e y − yM = − 1mt

(x− xM ) ou y − f(a) = − 1mt

(x− a)

4. Se limh→0

f(a + h)− f(a)h

= ∞, entao a reta tangente e vertical e a equacao da reta

tangente e x = a.

Exemplo, f(x) = 1 + 3√

x− 2 no ponto de abscissa x = 2.


Definicao Alternativa

No grafico apresentado em 1.6, consideremos M(a, f(a)) e P (x, f(x)). Assim, x = a+h.

Figura 1.7: definicao alternativa

Temos:h = x− a

∆y = f(x)− f(a)

h → 0 =⇒ x → a

ms =f(x)− f(a)

x− a

Assim, mt = limx→a

f(x)− f(a)x− a

1.4 Definicao de derivada de uma funcao

A derivada de uma funcao y = f(x) em um ponto M de abscissa a e denotada por f ′(a)

e definida por:

1. f ′(a) = lim∆x→0

f(a + ∆x)− f(a)∆x

2. f ′(a) = limh→0

f(a + h)− f(a)h

3. f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a

NOTA: A definicao e valida se o limite existir.

Outras notacoes(dy

dx

)x=a

;dy

dx

∣∣∣∣x=a


Seja a funcao f definida por f(x) = x2.

(a) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f no ponto M de

abscissa 2.

(b) Determine a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto M de abscissa 2.

(c) Determine a equacao da reta normal ao grafico de f no ponto M de abscissa 2.

(d) Trace o grafico de f(x) = x2 e no mesmo sistema cartesiano os graficos da tangente

e da normal no ponto M de abscissa 2.

Solucao

f(2) = 22 = 4 . Logo, M(2, 4)

(a) mt = f ′(2)

f ′(2) = limh→0

f(2 + h)− f(2)h

= limh→0

(2 + h)2 − 4h

= limh→0

4 + 4h + h2 − 4h

= limh→0

h(4 + h)h

= limh→0

(4 + h) = 4

Assim, mt = f ′(2) = 4

Definicao alternativa

mt = limx→2

f(x)− f(2)x− 2

= limx→2

x2 − 4x− 2

= limx→2

(x + 2) · (x− 2)x− 2

= limx→2

(x + 2) = 4

(b) y − yM = mt · (x− xM )

y − 4 = 4 · (x− 2)

y = 4x− 4 equacao reduzida

4x− y − 4 = 0 equacao geral

(c) y − yM = − 1mt

(x− xM )

y − 4 = −14(x− 2)

y = −14x +

92

equacao reduzida

x + 4y − 18 = 0 equacao geral

(d)


Exercıcios Propostos

1. Seja a funcao f definida por f(x) = x2 − 2x.

(a) Determine a derivada da funcao no ponto P de abscissa 4.

(b) Determine as equacoes da tangente e da normal a curva no ponto P de abscissa

igual a 4.

2. Determine f ′(3), sabendo que f(x) = x2 + 2x − 1 e escreva a equacao da tangente

no ponto P de abscissa 3.

3. Seja f(x) = x2 + 5x + 2. Determine a taxa de variacao de f no ponto de abscissa

x = −1 e escreva a equacao da tangente ao grafico de f nesse ponto.

4. Escreva a equacao da reta tangente e da reta normal a curva de equacao

y = 3x2 − 4x + 3, no ponto P de abscissa 1.

Respostas

1. (a) mt = 6

(b) 6x− y − 16 = 0 e x + 6y − 52 = 0

2. f ′(3) = 8 e 8x− y − 10 = 0

3. f ′(−1) = 3 e 3x− y + 1 = 0

4. 2x− y = 0 e x + 2y − 5 = 0

1.5 Funcao derivada

Seja f uma funcao derivavel em um intervalo aberto I.

Definicao

A derivada de uma funcao f em relacao a x e a funcao f ′(x) definida por:

1. f ′(x) = lim∆x→0

f(x + ∆x)− f(x)∆x

2. f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)h

O domınio da funcao derivada f ′(x) e o conjunto de todos os numeros x do domınio

da funcao f para os quais o limite existe. Se o limite nao existir, dizemos que a funcao f

nao e derivavel, ou diferenciavel, no intervalo I.

Dizemos que uma funcao y = f(x) e derivavel no ponto de abscissa a, se existe f ′(a),

ou seja, se o limite existe no ponto x = a.


Notacoes de funcao derivada

Seja y = f(x)

1. Leibniz:dy

dxou

df

dx

2. Lagrange: y′ ou f ′(x)

3. Cauchy: Dyx ou Df

x

NOTA: D e chamado operador diferenciacao.

OBSERVACOES:

Newton usou a notacao S para indicar a taxa de variacao no tempo lim∆t→0

∆S

∆tde uma

quantidade variavel S = f(t). A notacao de Newton e usada com certa frequencia em

cursos de mecanica tecnica e teorica.

Seja f(x) = 3x2 − 12x + 4

(a) Determine f ′(x).

(b) Determine f ′(1).

(c) Determine a equacao da tangente ao grafico de f no ponto P de abscissa 1.

(d) Detemine o ponto do grafico em que a reta tangente e paralela ao eixo das abscissas

(reta horizontal).

Solucao

f(x + h) = 3(x + h)2 − 12(x + h) + 4

f(x + h) = 3(x2 + 2xh + h2)− 12x− 12h + 4

f(x + h) = 3x2 + 6xh + 3h2 − 12x− 12h + 4

f(x + h)− f(x) = 3x2 + 6xh + 3h2 − 12x− 12h + 4− (3x2 − 12x + 4)

f(x + h)− f(x) = 3x2 + 6xh + 3h2 − 12x− 12h + 4− 3x2 + 12x− 4

f(x + h)− f(x) = 6xh− 12h + 3h2

(a) f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)h

= limh→0

h(6x− 12 + 3h)h

= limh→0

(6x− 12 + 3h) = 6x− 12

f ′(x) = 6x− 12

(b) f ′(1) = 6(1)− 12 = 6− 12 = −6

f ′(1) = −6


(c) x = 1 ⇒ y = f(1) = 3(1)2 − 12(1) + 4 = 3− 12 + 4 = −5

Temos P (1,−5)

y − yP = f ′(1)(x− xP )

y + 5 = −6(x− 1)

y + 5 = −6x + 6

(t) 6x + y − 1 = 0

(d) f ′(x) = 0 ⇒ 6x− 12 = 0 ⇒ x = 2

x = 2

f(2) = 3(2)2 − 12(2) + 4

f(2) = 12− 24 + 4

f(2) = −8

M(2,−8)

1.6 A derivada como taxa de variacao

Se y = f(x), entao a taxa de variacao instantanea de uma grandeza f(x) em relacao a x

no ponto de abscissa a e f ′(a).

Um empresario calcula que quando x unidades de um certo produto sao fabricadas, a

receita bruta associada ao produto e dada por R(x) = (0, 5)x2 + 3x− 2 milhares de reais.

Qual e a taxa de variacao da receita com o nıvel de producao x quando 9 unidades sao

fabricadas? Para esse nıvel de producao, a receita aumenta ou diminui com o aumento de

producao?

Solucao

R(x + h) = 0, 5(x + h)2 + 3(x + h)− 2

R(x + h) = 0, 5(x2 + 2xh + h2) + 3x + 3h− 2

R(x + h) = (0, 5)x2 + xh + (0, 5)h2 + 3x + 3h− 2

R(x + h)−R(x) = (0, 5)x2 + xh + (0, 5)h2 + 3x + 3h− 2− (0, 5)x2 − 3x + 2

R(x + h)−R(x) = xh + 3h + (0, 5)h2

R(x + h)−R(x) = h[x + 3 + (0, 5)h]

R′(x) = limh→0

R(x + h)−R(x)h

= limh→0

h[x + 3 + (0, 5)h]h

= limh→0

[x + 3 + (0, 5)h] = x + 3

R′(x) = x + 3 (funcao afim crescente, coeficiente positivo)

R′(9) = 9 + 3 = 12

R′(9) = 12


A receita aumenta de R$12.000,00 por unidade com o aumento da producao, quando

9 unidades estao sendo fabricadas.

Como R′(9) = 12 > 0, entao a reta tangente a funcao receita no ponto a = 9 tem

inclinacao positiva.

Conclusao: a receita aumenta com o aumento da producao.

Suponha que o lucro de um fabricante de camisetas seja dado pela funcao P (x), tal

que, P (x) = 400(15 − x)(x − 2), onde x e o preco pelo qual as camisas sao vendidas.

Encontre o preco de venda que maximiza o lucro.

Solucao

Temos, P (x) = −400x2 + 6800x− 12000

P (x + h) = −400(x + h)2 + 6800(x + h)− 12000

P (x + h) = −400x2 − 800xh− 400h2 + 6800x + 6800h− 12000

P (x + h)− P (x) = h(−800x− 400h + 6800)

P ′(x) = limh→0

P (x + h)− P (x)h

P ′(x) = limh→0

(−800x− 400h + 6800)

P ′(x) = −800x + 6800

P ′(x) = 0

0 = −800x + 6800

800x = 6800

x = 8, 5Resposta: O preco de venda que proporciona lucro maximo e de R$8,50.


1. Em que ponto P da curva y = x2 +8 o coeficiente angular da tangente e 16? Escreva

a equacao da tangente.

2. Em que ponto da curva y = 3x2 + 5x + 6 a tangente e paralela ao eixo x?

Respostas

1. P (8, 72); (t) y = 16x− 56

2. P

(−5

6,4712

)


1.7 Regras de derivacao

As tecnicas de derivacao sao regras praticas cuja utilizacao direta nos leva a calcular a

derivada de uma funcao sem recorrer a definicao. Naturalmente essas tecnicas sao obtidas

mediante o emprego da definicao e de conceitos estudados anteriormente.

1.7.1 Funcao afim

f(x) = mx + p

f(x + h) = m(x + h) + p

f(x + h)− f(x) = mx + mh + p−mx− p

f(x + h)− f(x) = mh

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)h

= limh→0

hm

h= lim

h→0m = m

Portanto: f(x) = mx + p =⇒ f ′(x) = m

Exemplo

f(x) = 3x− 2

f ′(x) = 3

OBSERVACOES:

1. m = 0 e p 6= 0

f(x) = p (funcao constante)

f(x + h) = p

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)h

= limh→0

p− p

h= lim

h→0

0h

= limh→0

0 = 0

f(x) = p =⇒ f ′(x) = 0 A derivada de uma constante e zero

2. m = 1 e p = 0

f(x) = x (funcao identidade)

De acordo com a primeira conclusao, temos:

f(x) = 1x

f ′(x) = 1

Portanto: f(x) = x =⇒ f ′(x) = 1


1.7.2 Funcao potencia

f(x) = xn, sendo n inteiro positivo e x 6= 0

f(x + h) = (x + h)n

De acordo com a teoria do Binomio de Newton, temos:f(x + h) = xn +

(n1

)xn−1h +

(n2

)xn−2h2 + . . . + hn

f(x + h)− f(x) = xn +(

n1

)xn−1h +

(n2

)xn−2h2 + . . . + hn − xn

f(x + h)− f(x) =(

n1

)xn−1h +

(n2

)xn−2h2 + . . . + hn

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)h

f ′(x) = limh→0

(n1

)xn−1h +

(n2

)xn−2h2 + . . . + hn

h

f ′(x) = limh→0

h[(

n1

)xn−1 +

(n2

)xn−2h + . . . + hn−1

]h

f ′(x) = limh→0

[(n1

)xn−1 +

(n2

)xn−2h + . . . + hn−1

]Como cada termo dentro dos colchetes tem uma potencia de h como fator, exceto o

primeiro, por teoria de limites podemos concluir:

f ′(x) = limh→0

(n1 )xn−1

Como (n1 ) = n, de acordo com a Analise Combinatoria, temos:

f ′(x) = limh→0

(n · xn−1) = n · xn−1

Portanto: f(x) = xn =⇒ f ′(x) = n · xn−1

Para encontrar a derivada de xn, devemos subtrair 1 do expoente de x e multiplicar pelo expoente

original n

Exemplos:

1. f(x) = x5

f ′(x) = 5x5−1

f ′(x) = 5x4

2. f(x) = x3

f ′(x) = 3x3−1

f ′(x) = 3x2

3. f(x) = x

f ′(x) = 1x1−1

f ′(x) = 1x0

f ′(x) = 1


OBSERVACAO:

A regra e tambem valida quando o expoente e inteiro negativo ou uma fracao

1. f(x) = x−4

f ′(x) = −4x−4−1 = −4x−5

2. f(x) =√

x = x1/2

f ′(x) =12· x1/2−1 =

12· x−1/2 =

12· 1x1/2

=12· 1√

x=

12√

x

1.7.3 Regra da homogeneidade

f(x) = c · xn

De acordo com item anterior, temos:

f ′(x) = c · n · xn−1

A derivada de uma constante vezes uma funcao e a constante vezes a derivada da

funcao.

Exemplos:

1. f(x) = 2x5

f ′(x) = 2 · 5x5−1 = 10x4

2. f(x) =2x3

= 2x−3

f ′(x) = 2 · (−3)x−3−1 = −6x−4 = − 6x4

1.7.4 Regra da soma

Seja f(x) = u(x) + v(x)

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)h

f ′(x) = limh→0

u(x + h) + v(x + h)− u(x)− v(x)h

f ′(x) = limh→0

u(x + h)− u(x) + v(x + h)− v(x)h

f ′(x) = limh→0

u(x + h)− u(x)h

+ limh→0

v(x + h)− v(x)h

f ′(x) = u′(x) + v′(x)

Portanto: f(x) = u(x) + v(x) =⇒ f ′(x) = u′(x) + v′(x)

ou f = u + v =⇒ f ′ = u′ + v′

A derivada de uma soma de funcoes e a soma das derivadas das funcoes parcelas.


Podemos estender a regra para n funcoes de x

f(x) = u1(x) + u2(x) + . . . + un(x)

f ′(x) = u1′(x) + u2

′(x) + . . . + un′(x)

Exemplos:

1. f(x) = 6x4 + 2x3 + 4x2 + 5x + 1

f ′(x) = 24x3 + 6x2 + 8x + 5

2. f(x) = x4 +23x3 + 4x + 2

f ′(x) = 4x3 + 2x2 + 4

OBSERVACOES:

1. f(x) = u(x)− v(x)

De maneira analoga, concluimos:

f ′(x) = u′(x)− v′(x)

2. Podemos derivar qualquer funcao polinomial termo a termo, usando as regras da

soma, subtracao, homogeneidade, potencia, identidade e constante.

f(x) = x3 − 5x2 + 4x− 2

f ′(x) = 3x2 − 10x + 4

1.7.5 Regra do produto de uma constante por uma funcao

f(x) = c · v(x)

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)h

f ′(x) = limh→0

c · v(x + h)− c · v(x)h

f ′(x) = limh→0

c · limh→0

v(x + h)− v(x)h

f ′(x) = c · v′(x)

Portanto: f(x) = c · v(x) =⇒ f ′(x) = c · v′(x)

ou f = c · v =⇒ f ′ = c · v′

A derivada do produto de uma constante por uma funcao e igual ao produto da constante pela derivada

da funcao.


1.7.6 Regra do produto ou regra de Leibniz

Seja f(x) = u(x) · v(x).

Utilizamos o artifıcio subtrair e somar

f(x + h)− f(x) = u(x + h) · v(x + h)− u(x) · v(x)

Subtraindo e somando a expressao u(x + h) · v(x), temos:

f(x + h)− f(x) = u(x + h) · v(x + h)− (u(x + h) · v(x)) + (u(x + h) · v(x))− u(x) · v(x)

f(x + h)− f(x) = u(x + h) · [v(x + h)− v(x)] + v(x) · [u(x + h)− u(x)]

Temos:

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)h

f ′(x) = limh→0

u(x + h)[v(x + h)− v(x)] + v(x)[u(x + h)− u(x)]h

Aplicando propriedades de limites temos:

f ′(x) = limh→0

[u(x + h)] · limh→0

v(x + h)− v(x)h

+ limh→0

v(x) · limh→0

u(x + h)− u(x)h

f ′(x) = u(x) · v′(x) + v(x) · u′(x) ou

f ′(x) = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)

Portanto: f = uv =⇒ f ′ = u′v + uv′

A derivada do produto de duas funcoes e igual a derivada da primeira vezes a segunda, mais, a primeira

vezes a derivada da segunda.

OBSERVACOES:

A regra pode ser aplicada para mais de duas funcoes

f = uvw = (uv)w

f ′ = u′vw + uv′w + uvw′

Calcule a derivada da funcao f(x) = (x + 4)(3x− 2).

(a) Expandindo f(x) e usando a regra do produto de polinomios.

(b) Usando a regra do produto.

Solucao

(a) f(x) = 3x2 − 2x + 12x− 8

f(x) = 3x2 + 10x− 8

f ′(x) = 6x + 10


(b) f ′(x) = (x + 4)′(3x− 2) + (x + 4)(3x− 2)′

f ′(x) = 1(3x− 2) + (x + 4)3

f ′(x) = 3x− 2 + 3x + 12

f ′(x) = 6x + 10

OBSERVACOES:

A derivada de um produto e diferente do produto das derivadas.

1.7.7 Regra do quociente

Seja f(x) =u(x)v(x)

, definida nos pontos em que v(x) 6= 0.

Por comodidade, podemos determinar a regra do quociente utilizando a regra do pro-

duto.

f =u

vfv = u

Aplicando a regra do produto, temos:f ′v + fv′ = u′

f ′v = u′ − fv′

f ′v = u′ − u

v· v′

f ′v =vu′ − uv′

v

f ′ =vu′ − uv′

v2

Portanto: f =u

v=⇒ f ′ =

vu′ − uv′

v2

ou f =u

v=⇒ f ′ =

u′v − uv′

v2

Determine a derivada da funcao racional f(x) =4x2 + 2x + 3

x− 1Solucao

f ′(x) =(x− 1)(4x2 + 2x + 3)′ − (4x2 + 2x + 3)(x− 1)′

(x− 1)2

f ′(x) =(x− 1)(8x + 2)− (4x2 + 2x + 3)1

(x− 1)2

f ′(x) =8x2 + 2x− 8x− 2− 4x2 − 2x− 3

(x− 1)2

f ′(x) =4x2 − 8x− 5

(x− 1)2


OBSERVACOES:

A regra do produto e, muitas vezes, usada para evitar o uso desnecessario da regra do

quociente, que e mais complicada.

1. f(x) =2x3

= 2x−3

f ′(x) = −6x−3−1 = −6x−4 = − 6x4

2. f(x) =2

3x2− x

5+

43

+x + 1

x

f(x) =23x−2 − 1

5x +

43

+ 1 +1x

f(x) =23x−2 − 1

5x +

43

+ 1 + x−1

f ′(x) = −43x−2−1 − 1

5− 1x−1−1

f ′(x) = −43x−3 − 1

5− x−2

f ′(x) = − 43x3

− 15− 1

x2

Casos particulares em que o numerador e 1.

f(x) =1

g(x), e g(x) 6= 0

f ′(x) =g(x) · (1)′ − 1 · g′(x)

(g(x))2

f ′(x) =g(x) · 0− g′(x)

(g(x))2

Portanto: f(x) =1

g(x)=⇒ f ′(x) = − g′(x)

(g(x))2

Encontre a derivada de f(x) =1x

.

Solucao

f ′(x) = − g′(x)(g(x))2

= − x′

x2= − 1

x2


1. Usando a definicao de derivada, determine f ′(x) das seguintes funcoes:

(a) f(x) = 2x2 − x

(b) f(x) = −3x2 + 5x− 4

2. Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao grafico da funcao f(x) = x3 + 2x,

no ponto P de abscissa 1 e escreva as equacoes das retas tangente e normal a curva

neste ponto P .


3. Calcule a derivada das seguintes funcoes:

(a) y = x4 − 2x3− 8

x+ 2

(b) y = 3x2/3 − 4x1/4 − 2

(c) f(x) =3

4x4

(d) g(x) =3

4x−2

(e) h(x) = 5√

x

(f) l(x) =3

2 3√

x2


(a) y = (1− 2x)(2x− 4)

(b) y = (3x2 − 5)(2x3 − 4x)

(c) f(x) = (2x + 3x2)(5x− 1)

(d) y =(

1 +1x2

)(x− 2)


(a) y = (2x− 5)(x + 2)(x2 − 1)

(b) y = (1− 3x)2(2x + 5)

6. Calcule a derivada f ′(x) das seguintes funcoes:

(a) f(x) =2x− 1x2 + 2x

(b) f(x) =3x2 + 7x2 − 1

7. Escreva a equacao da tangente e da normal as curvas seguintes nos pontos pedidos

(a) f(x) =√

x no ponto P de abscissa 4.

(b) f(x) = 7− 7x2 + 2x3 no ponto P de abscissa 2.

8. Determine a inclinacao da curva g(x) = x2

x2+1no ponto P de abscissa x = 1 e escreva

a equacao da reta tangente neste ponto.

9. Estima-se que, em x meses, a partir de agora, a populacao de uma certa comunidade

sera de P (x) = x2 +20x+8000. A que taxa a populacao estara variando em relacao

ao tempo 15 meses, a partir de agora?

10. O lucro obtido com a venda de x unidades de um certo produto e P (x) = −x3+27x2+160x+7x+5 ,

em milhares de reais. Determine a taxa de variacao do lucro em relacao as vendas

para x = 2.


Respostas

1. (a) f ′(x) = 4x− 1

(b) f ′(x) = −6x + 5

2. f ′(1) = 5; y = 5x− 2; y = −15x + 16

5

3. (a) y′ = 4x3 + 6x4 + 8

x2

(b) dydx = 2

3√x− 1

4√x3

(c) f ′(x) = − 3x5

(d) g′(x) = 32x

(e) h′(x) = 52√

x

(f) l′(x) = − 13√

x5

4. (a) dydx = −8x + 10

(b) y′ = 30x4 − 66x2 + 20

(c) f ′(x) = 45x2 + 14x− 2

(d) y′ = − 1x2 + 4

x3 + 1 ou y′ = x3−x+4x3

5. (a) y′ = 8x3 − 3x2 − 24x + 1

(b) y′ = 54x2 + 66x− 28

6. (a) f ′(x) = −2x2+2x+2(x2+2x)2

(b) f ′(x) = −20x(x2−1)2

7. (a) x− 4y + 4 = 0

4x + y − 18 = 0

(b) y = −4x + 3

y = 14x− 11

2

8. m = 12 ; y = 1

2x

9. A taxa de variacao da populacao, 15 meses a partir de agora, sera de 50 pessoas por

mes.

10. O lucro estara aumentando a razao de R$27.857,00.


1.7.8 Derivada de uma funcao composta (Regra da Cadeia)

y = f(u) e u = g(x) =⇒ y = f [g(x)]

Exemplos:

y = u5 e u = x3 + 5

Assim, y = (x3 + 5)5 =⇒ y = f [g(x)]

Se y e uma funcao de u edy

duexiste, e se u e uma funcao de x e

du

dxexiste, entao y e

uma funcao de x edy

dxexiste, e e dada por

dy

dx=

dy

du· du

dx.

Uma demonstracao rigorosa da regra da cadeia e bastante complicada e sera omitida,

devido a proposta de nosso curso. Entretanto daremos um argumento valido para inumeras

funcoes.

Iniciaremos a demonstracao com a variacao usual ∆x 6= 0, na variavel independente x.

Esta produz uma variacao ∆u na variavel u, e esta, produz uma variacao ∆y na variavel

y. Sabemos ainda que a derivabilidade implica continuidade, e assim ∆u → 0 quando

∆x → 0.

Sabemos que:dy

dx= lim

∆x→0

∆y

∆x;

dy

du= lim

∆u→0

∆y

∆ue

du

dx= lim

∆x→0

∆u

∆x

Por algebra simples, temos:∆y

∆x=

∆y

∆u· ∆u

∆xse ∆u 6= 0

Logo,

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

∆y

∆u· lim∆x→0

∆u

∆xse ∆u 6= 0

Quando ∆x → 0, ∆u → 0

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆u→0

∆y

∆u· lim∆x→0

∆u

∆xse ∆u 6= 0

Logo,dy

dx=

dy

du· du

dx

OBSERVACOES:

Pode acontecer que ∆x nao induza uma variavel real em u, de modo que ∆u = 0, e

esta possibilidade invalida a nossa demonstracao. Esta dificuldade pode ser administrada

por um engenhoso artifıcio matematico que nao sera utilizado devido a sua complexidade.


RESUMO:

1. Notacao de Leibniz

Se y = f(u) e u = g(x), entaody

dx=

dy

du· du

dx

2. Notacao de Lagrange

Se y = f(g(x)), entaody

dx= f ′(g(x)) · g′(x)

A derivada da funcao e obtida multiplicando-se a derivada da funcao externa pela

derivada da funcao interna.

Exemplos: Ache a derivada das funcoes

1. y = (x3 + 2)5

Seja y = u5 e u = x3 + 2

Logo,dy

du= 5u4 e

du

dx= 3x2

dy

dx=

dy

du· du

dxdy

dx= 5u4 · 3x2

dy

dx= 15(x3 + 2)4x2

dy

dx= 15x2(x3 + 2)4

2. y =√

x2 + 1

Seja y =√

u e u = x2 + 1

y = u1/2

Logo,dy

du=

12· u−1/2 =

12· 1u1/2

=1

2√

ue

du

dx= 2x

dy

dx=

dy

du· du

dxdy

dx=

12√

u· 2x =

x√u

dy

dx=

x√x2 + 1


Determinedy

dx, sabendo que

(a) y = (3x2 + 1)2

(b) y =√

u e u = 2x3 − 4x + 5


Respostas

(a) dydx = 36x3 + 12x

(b) dydx = 6x2−4

2√

2x3−4x+5ou dy

dx = 3x2−2√2x3−4x+5

NOTA: A regra da cadeia pode ser extendida para os casos em que a composicao e de

mais de duas funcoes

y = h(v) , v = g(u) e u = t(x)dy

dx=

dy

dv· dv

du· du

dx

Caso particular da regra da cadeia

A funcao composta e do tipo y = f(u) = (u(x))n, sendo u = g(x) uma funcao difer-

enciavel de x e n um numero qualquer.

Aplicando a regra da cadeia, temos:dy

dx=

dy

du· du

dxdy

dx=

d

du(u(x))n · du

dxdy

dx= n(u(x))n−1 · du

dxLeibniz

ou

y′ = n(u)n−1 · u′ Lagrange

Exemplos:

1. Calcule a derivada de y =√

x2 + 1

y = (x2 + 1)1/2

y′ =12· (x2 + 1)1/2−1 · (x2 + 1)′

y′ =12· (x2 + 1)−1/2 · 2x

y′ =x√

x2 + 1

2. Calcule a derivada de f(x) =2

(4x2 + 6x− 7)3

Temos: f(x) = 2 · (4x2 + 6x− 7)−3

f ′(x) = 2 · (−3) · (4x2 + 6x− 7)−3−1 · (4x2 + 6x− 7)′

f ′(x) = −6 · (4x2 + 6x− 7)−4 · (8x + 6)

f ′(x) = − 6(4x2 + 6x− 7)4

· (8x + 6)

f ′(x) =−48x− 36

(4x2 + 6x− 7)4


NOTA: Esta regra e conhecida como regra da potencia generalizada.

Aplicacao Pratica

O custo para produzir x unidades de um certo produto e C(x) =x2

3+ 4x + 53 em

reais e o numero de unidades produzidas em t horas de trabalho e x(t) = (0, 2)t2 +(0, 03)t

unidades. Determine a taxa de variacao do custo com o tempo apos 4 horas de trabalho.

Solucao

Temos:

C = f(x) e x = g(t)

C =x2

3+ 4x + 53 e x = (0, 2)t2 + (0, 03)t

Temos:dC

dx=

23x + 4 e

dx

dt= (0, 4)t + (0, 03)

Regra da cadeiadC

dt=

dC

dx· dx

dtdC

dt=

(23x + 4

)· [(0, 4)t + (0, 03)]

t = 4 =⇒ x = (0, 2)(16) + (0, 03)(4) = 3, 32dC

dt=

[23(3, 32) + 4

]· [(0, 4)(4) + (0, 03)]

dC

dt= 10, 1277

Conclusao: Apos 4 horas de trabalho, o custo esta aumentando a razao de aproxi-

madamente R$ 10,13 por hora.

1.7.9 Derivada de funcoes implıcitas

A maioria das funcoes que estudamos ate o momento foi da forma y = f(x), em que y

e expressa diretamente, ou explicitamente, em termos de x. Entretanto, acontece com

frequencia que y e definida como uma funcao de x por meio de uma equacao da forma

F (x, y) = 0 que nao esta resolvida para y, mas em que x e y estao intimamente relacionadas

entre si. Quando e dado um conveniente valor a x, a equacao resultante determina nor-

malmente um ou mais valores correspondentes para y. Nesse caso, dizemos que a equacao

F (x, y) = 0 determina y como uma ou mais funcoes implıcitas de x. Para cada valor de

x, existe um valor correspondente de y que satisfaz a equacao.

Exemplos:

1. A equacao xy = 1 determina uma funcao implıcita de x, que pode ser escrita na


forma y =1x

(forma explicita).

2. A equacao x2 + y2 = 36 determina duas funcoes implıcitas de x, que podem ser

escritas explicitamente como y =√

36− x2 e y = −√

36− x2.

OBSERVACOES:

Muitas vezes nao e possıvel definir y explicitamente como funcao de x.

Para determinardy

dx, usamos um processo simples, baseado na regra da cadeia pensando

conscientemente em y como uma funcao de x, sempre que aparecer. Esse processo e

denominado derivacao implıcita.

Regra pratica

1. Devemos derivar termo a termo, ambos os membros da equacao, em relacao a x,

usando a regra da cadeia ao derivar os termos que contem y.

2. Resolvemos a equacao resultante considerandody

dxcomo incognita.

A derivacao implıcita da, normalmente uma expressao parady

dxem termos, tanto de x

como de y, em vez de somente em termos de x.

Exemplos:

Determinedy

dxsabendo que 2x2 − 2xy = 9− y2.

Solucao

Derivando em relacao a x, temos:

4x− 2y − 2xdy

dx= −2y

dy

dx

2x− y − xdy

dx= −y

dy

dx

xdy

dx− y

dy

dx= 2x− y

(x− y)dy

dx= 2x− y

dy

dx=

2x− y

x− y

NOTA: Pode-se tambem obter derivadas de ordem superior por diferenciacao implıcita.

1.7.10 Derivada da funcao exponencial

Se f(x) = ax; a ∈ R∗+, a 6= 1 e x ∈ R, entao f ′(x) = ax · ln a

Portanto, f(x) = ax =⇒ f ′(x) = ax · ln a


Seja y = au e u e uma funcao de x.


dx= au · ln a · dy

dxou y′ = au · ln a · u′

Caso Particular:

f(x) = ex =⇒ f ′(x) = ex · ln e = ex · 1 = ex

Portanto, f(x) = ex =⇒ f ′(x) = ex

Seja y = eu e u e funcao de x.


dx= eu · du

dxou y′ = eu · u′

1.7.11 Derivada da funcao logarıtmica

Vimos que loge a · loga e = 1

Assim,

loga e =1

loge a

loga e =1

ln a

Seja f(x) = loga x onde a > 0 e a 6= 1 e x ∈ R∗+

f(x) = loga x =⇒

f ′(x) =

1x· loga e

ou

f ′(x) =1

x · ln a

Seja y = loga u onde u e funcao de x

Aplicando a regra da cadeia, temos:

1.dy

dx=

1u· loga e · du

dxou y′ =

1u· loga e · u′

ou

2.dy

dx=

1u · ln a

· du

dxou y′ =

u′

u · ln a

Caso Particular:

y = ln x ou y = loge x

dy

dx=

1x · ln e

=1x

Seja y = ln u onde u e funcao de x

dy

dx=

1u· du

dxou y′ =

u′

u


Exemplos:

1. f(x) = 5x3+2x

2. f(x) = ex2+4

3. f(x) = ln (2x4 + 5)

4. f(x) = log2 (3x2 − 5)

1.7.12 Derivadas de ordem superior

Se uma funcao y = f(x) e diferenciavel em um certo intervalo, sua derivada f ′(x) e tambem

diferenciavel nesse intervalo. Se f ′(x) tambem for diferenciavel, entao a sua derivada e

chamada derivada segunda da funcao y = f(x) e e representada por f ′′(x).

A derivada terceira da funcao e a derivada de sua derivada segunda, isto e, f ′′′(x) = [f ′′(x)]′.

A derivada de ordem n, ou derivada n-esima de f(x) e indicada por f (n)(x). Assim

f ′′(x) tambem se escreve f (2)(x). Podemos escrever f(x) = f (0)(x).

Notacao de Leibnizd

dx

(dy

dx

)=

d2y

dx2: derivada segunda

d

dx

(d2y

dx2

)=

d3y

dx3: derivada terceira

· · ·

· · ·d

dx

(dn−1y

dxn−1

)=

dny

dxn: derivada n-esima

Em Geometria, o sinal de f ′′(x) nos informa se a curva de y = f(x) e concava para

cima ou para baixo.

Em Fısica, se s = f(t) da a posicao de um corpo movel no instante t, entao a primeira

derivada corresponde a velocidade do movel e a segunda derivada corresponde a aceleracao

do corpo movel no instante t, isto e, v =ds

dte a =

dv

dt=

d2s

dt2.


1. Determine a derivada das seguintes funcoes:

(a) f(x) = (2x3 − 5x2 + 4)5

(b) f(x) =1

4x3 + 5x2 − 7x + 8(c) f(x) =

√2x3 − 4x + 5

(d) f(x) = 3√

x2 + x + 1


2. Calcule a derivadady

dxdas funcoes seguintes, aplicando a regra da cadeia.

(a) y =√

u e u = x2 + 1

(b) y =√

u e u = x2 + 3x + 2

(c) y =1

u− 1e u = x2

(d) y =1√u

e u = x2 + 9

3. Uma projecao do aumento de populacao indica que daqui a t anos a populacao de

certa cidade sera P (t) = (−t3 + 9t2 + 48t + 200) mil habitantes.

(a) Qual sera a taxa de aumento da populacao daqui a 3 anos?

(b) Qual sera a taxa de variacao da taxa de aumento da populacao daqui a 3 anos?

4. Um estudo de eficiencia realizado no turno da manha de uma certa fabrica revela que

um operario que chega ao trabalho as 8 horas tera produzido Q(t) = −t3 +6t2 +24t

unidades t horas mais tarde.

(a) Calcule a taxa de producao dos operarios as 11 horas.

(b) Qual e a taxa de variacao da taxa de producao dos operarios as 11 horas?

5. Um estudo ambiental realizado em certo municıpio revela que a concentracao media

de monoxido de carbono no ar e c(p) =√

(0, 5)p2 + 17 partes por milhao, onde p

representa a populacao, em milhares de habitantes. Calcula-se que daqui a t anos

a populacao do municıpio sera p(t) = (3, 1) + (0, 1)t2 milhares de habitantes. Qual

sera a taxa de variacao da concentracao de monoxido de carbono daqui a 3 anos?

6. Determine a equacao da tangente ao grafico de f(x) =5

1 + x2no ponto P de abscissa

x = −2.

7. Determinedy

dxsabendo que xy − x2y3 + 3x = 4.

8. Determine a tangente e a normal a curva x3 + y3 − 9xy = 0 no ponto P (2, 4)

9. Escreva a equacao da tangente e da normal a curva x6 − y4 + 2x2y = 2 no ponto

P (1, 1)

10. Numa certa industria, se C e o custo total da producao de x unidades, entao

C =14x2 + 2x + 1000. Se x unidades sao produzidas durante t horas desde o inıcio

da producao, entao x = 3t2 + 50t. Determine a taxa de variacao do custo total em

relacao ao tempo, 2 horas apos o inıcio da producao.


Respostas

1. (a) f ′(x) = 5(2x3 − 5x2 + 4)4 · (6x2 − 10x)

(b) f ′(x) = −12x2−10x+7(4x3+5x2−7x+8)2

(c) f ′(x) = 3x2−2√2x3−4x+5

(d) f ′(x) = 2x+1

3 3√

(x2+x+1)2

2. (a) dydx = x

x2+1

(b) dydx = 2x+3

2√

x2+3x+2

(c) dydx = −2x

(x2−1)2

(d) dydx = − x√

(x2+9)3

3. (a) 75.000 habitantes por ano

(b) zero

4. (a) 33 unidades por hora

(b) a taxa de decrescimo de eficiencia as 11 horas e de 6 unidades por hora ao

quadrado

5. dcdt = 0, 24 por milhao por ano

6. 4x− 5y + 13 = 0 ou y = 45x + 13

5

7. dydx = −y+2xy3−3

x−3x2y2

8. y = 45x + 12

5 e y = −54x + 13

2

9. 5x− y − 4 = 0 e x + 5y − 6 = 0

10. O custo total esta aumentando a uma taxa de R$ 3.596,00 por hora.

Exercıcios Diversos

1. Estima-se que daqui a t anos, a circulacao de um jornal sera c(t) = 100t2+400t+5000.

(a) Encontre uma expressao para a taxa de variacao da circulacao com o tempo

daqui a t anos

(b) Determine a taxa de variacao da circulacao com o tempo daqui a 5 anos. Nessa

ocasiao a circulacao estara aumentando ou diminuindo?

(c) Qual sera a variacao da circulacao durante o sexto ano?


2. Um estudo realizado em certa fabrica mostra que os operarios do turno da manha,

que chegam para trabalhar a 8 horas, terao montado em media f(x) = −x3 + 6x2 + 15x

receptores de radio, x horas mais tarde.

(a) Determine uma expressao para o numero de receptores por hora que os operarios

estarao montando x horas depois de comecarem a trabalhar.

(b) Quantos receptores por hora estarao montando as 9 horas?

(c) Quantos receptores os operarios estarao montando entre 9 e 10 horas?

3. Um fabricante de relogios pode produzir determinado tipo de relogio a um custo de

R$ 15,00 por peca. Estima-se que se o preco do relogio for x cada, entao o numero de

relogios vendidos por semana sera 125−x. Seja P (x) o lucro semanal do fabricante.

Determine o preco de venda para que o lucro semanal seja maximo. Determine o

lucro maximo.

4. Numa certa industria, se C e o custo total de producao de x unidades, entao

C(x) =14x2 + 2x + 1000 reais. Se x unidades sao produzidas durante t horas desde

o inıcio da producao, entao x = 3t2 + 50t. Determine a taxa de variacao do custo

total em relacao ao tempo, duas horas apos o inıcio da producao.

5. Quando um determinado modelo de liquidificador e vendido a p reais a unidade, sao

vendidos D(p) =8000

pliquidificadores por mes. Calcula-se que daqui a t meses o

preco dos liquidificadores sera p(t) = (0, 04)t3/2+15 reais. Calcule a taxa de variacao

da demanda mensal de liquidificadores com o tempo daqui a 25 meses. A demanda

estara aumentando ou diminuindo nessa ocasiao?

6. Ache a equacao da reta tangente a curva y = 2x2 + 3 que e paralela a reta

(s) 8x− y + 3 = 0

7. Determine o ponto P da curva de equacao f(x) = 5x − x2, onde a inclinacao da

tangente e 45o.

8. Determine o ponto P em que a reta tangente ao grafico de f(x) = x3 +10 e paralela

ao eixo x.

9. Determime a equacao da reta tangente a curva dada no ponto P especificado pelos

valores de x.

(a) f(x) = (3x2 + 1)2 ; x = −1

(b) f(x) =1

(2x− 1)6; x = 1


10. Determine todos os valores de x para os quais a reta tangente a funcao dada e

horizontal.

(a) f(x) = (x2 + x)2

(b) f(x) =√

x2 − 4x + 5

11. Determine a funcao derivada das seguintes funcoes:

(a) f(x) =x

(x2 − 1)4

(b) f(x) =1

(8x− 7)5

(c) f(x) = 3√

8x3 + 27

(d) y = 5√

x2 + 3

(e) y =x + 1√x2 − 3

(f) y = x8 + (2x + 4)3 +√

x

12. Seja y =√

u e u = 1− x2, determinedy

dx.

13. Considere y =1

u− 1e u = x2. Determine

dy

dx.

14. Considere c =√

s e s = 2t3 − 4t + 5. Determinedc

dt.

15. Use a regra da cadeia para calculardy

dxsabendo que y = 3u4−4u+5; u = x3−2x−5.

Determinedy

dxpara x = 2.

16. Seja y =√

u onde u = 2 + v3 e v = x2 − 3x + 2. Determinedy

dx.

17. Seja y =√

u onde u = x2 − 2x + 6. Determinedy

dxpara x = 3.

18. Considere y =1u

onde u = 3− 1x2

. Determinedy

dxpara x =

12.

19. Determinedy

dxatraves da derivacao implıcita.

(a) x2 + y2 = 25

(b) x3 + y3 = xy

(c) y2 + 2xy2 − 3x + 1 = 0

(d) xy + 2y = x2

(e) xy − x = y + 2

(f) x6 − 2x = 3y6 + y5 − y2

(g) 3x4y2 − 7xy3 = 4− 8y


(h) x3 + y3 = 9

20. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de y4 +3y−4x3 = 5x+1

no ponto P (1,−2).

Respostas

1. (a) c′(t) = 200t + 400

(b) c′(5) = 1400; aumentando

(c) 1.500 exemplares

2. (a) f ′(x) = −3x2 + 12x + 15

(b) f ′(1) = 24; 24 receptores de radio por hora

(c) 26 receptores de radio

3. O preco de venda e de R$ 70,00.

O lucro semanal maximo sera de R$ 3.025,00.

4. Duas horas apos o inıcio da producao o custo estara aumentando a uma taxa de

R$3.596,00 por hora.

5.(

ddtD

)t=25

= −6

6. y = 8x− 5

7. P (2, 6)

8. P (0, 10)

9. (a) y = −48x− 32

(b) y = −12x + 13

10. (a) x = 0, x = −1 e x = −12

(b) x = 2

11. (a) f ′(x) = −7x2−1(x2−1)5

(b) f ′(x) = −40(8x−7)6

(c) f ′(x) = 8x2

3√

(8x3+27)2

(d) dydx = 5x√

x2+3

(e) y′ = −x−3(x2−3)

√x2−3

(f) dydx = 8x7 + 6(2x + 4)2 + 1

2√

x

12. dydx = − x√

1−x2


13. dydx = −2x

(x2−1)2

14. dcdt = 3t2−2√

2t3−4t+5

15.(

dydx

)x= 1

2

= −16

16. dydx = 3(x2−3x+2)2·(2x−3)

2√

2+(x2−3x+2)3

17.(

dydx

)x=3

= 23

18.(

dydx

)x= 1

2

= −16

19. (a) dydx = −x

y

(b) dydx = y−3x2

3y2−x

(c) dydx = − 3−2y2

2y(1+2x)

(d) dydx = −2x−y

x+2 = x(4+x)(x+2)2

(e) dydx = − y−1

1−x = −3(x−1)2

(f) dydx = 6x5−2

18y5+5y4−2y

(g) dydx = 7y3−12x3y2

6x4y−21xy2+8

(h) dydx = −x2

y2

20. dydx

∣∣∣(1,−2)

= −1729

1.8 Taxa de variacao percentual

[HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 85]

Definicao

Seja Q(x) a grandeza da qual se quer calcular a taxa de variacao percentual.

tp = 100 · taxa de variacao de Q(x)valor de Q(x)

tp = 100 · Q′(x)Q(x)

Exemplos:

1. O produto interno bruto (PIB) de um certo paıs e dado por P (t) = t2 + 5t + 106

bilhoes de dolares, onde t e o numero de anos apos 1990.

(a) Qual foi a taxa de variacao do PIB em 1998?

(b) Qual foi a taxa de variacao percentual do PIB em 1998?

(c) Qual foi a taxa relativa de crescimento do PIB em 1998?


Solucao

(a) A taxa de variacao do PIB e a derivada P ′(t) = 2t + 5. A taxa de variacao em

1998 foi

P ′(8) = 2(8) + 5 = 16 + 5 = 21.

t(8) = 21 bilhoes de dolares por ano

(b) A taxa de variacao percentual do PIB em 1998 foi de

tp(8) = 100 · P ′(8)P (8)

= 100 · 21210

= 10%

tp = 10% ao ano

(c) A taxa relativa de crescimento do PIB em 1998 foi

tr =P ′(8)P (8)

=21210

=110

= 0, 1

tr = 0, 1

2. Calcula-se que daqui a x meses a populacao de certa cidade sera P (x) = 2x + 4x3/2 + 5000.

(a) Qual sera a taxa de variacao da populacao com o tempo daqui a 9 meses?

(b) Qual sera a taxa de variacao percentual da populacao com o tempo daqui a 9

meses?

Solucao

(a) P ′(x) = 2 + 4 · 32x3/2 −1 = 2 + 6x1/2 = 2 + 6

√x

P ′(x) = 2 + 6√

x

t = P ′(9) = 2 + 6√

9 = 2 + 6(3) = 2 + 18 = 20

A taxa de variacao dapopulacao daqui a 9 meses sera de 20 habitantes por mes.

(b) P (9) = 2(9) + 4(32)3/2 + 5000 = 18 + 4(27) + 5000 = 5126

tp = 100 · P ′(9)P (9)

= 100 · 205126

= 0, 39

Logo, tp = 0, 39%

A taxa de variacao percentual da populacao daqui a 9 meses sera de 0, 39%.


1. Os registros mostram que depois de 1994, o imposto predial medio que incidia sobre

um apartamento de tres quartos em um certo municıpio era T (x) = 20x2 + 40x + 600

reais.

(a) Qual era a taxa de aumento do imposto predial no inıcio do ano 2000?

(b) Qual era a taxa de aumento percentual do imposto predial no inıcio do ano

2000?


2. O lucro bruto anual de uma dada empresa t anos apos 1o de janeiro de 1981 e p

milhoes de reais e p(t) =25t2 + 2t + 10.

(a) Determine a taxa segundo a qual o lucro estava crescendo em 1o de janeiro de

1983.

(b) Determine a taxa relativa de crescimento do lucro bruto em 1o de janeiro de

1983.

(c) Determine a taxa de variacao percentual do crescimento do lucro bruto em 1o

de janeiro de 1983.

3. Espera-se que a populacao de uma certa cidade, t anos apos 1o de janeiro de 1982

seja f(t) = 30t2 + 100t + 5000.

(a) Ache a taxa segundo a qual se espera que a populacao esteja crescendo em 1o

de janeiro de 1990.

(b) Ache a taxa relativa de crescimento da populacao em 1o de janeiro de 1990.

(c) Ache a taxa percentual de crescimento da populacao em 1o de janeiro de 1990.

Respostas

1. (a) T ′(6) = R$280,00 por ano

(b) 17, 95% ao ano

2. (a) Em 1o de janeiro de 1983 o lucro bruto devera estar crescendo a uma taxa de

3,6 milhoes de reais.

(b) A taxa relativa de crescimento do lucro bruto foi de 0,231.

(c) A taxa percentual de crescimento do lucro bruto foi de 23,1%.

3. (a) Espera-se que a populacao esteja crescendo a uma taxa de 580 habitantes por

ano.

(b) A taxa relativa de crescimento da populacao em 1o de janeiro de 1990 seria de

0,075.

(c) A taxa percentual de crescimento da populacao em 1o de janeiro de 1990 seria

de 7,5%.

1.9 A analise marginal

[HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 100-101]

[LEITHOLD, 1998: 106-108]


E uma parte da Economia qua analisa o que ocorre com grandezas como o custo, a

receita e o lucro, quando o nıvel de producao varia de um valor unitario.

Seja C(x) o custo total para produzir x unidades de um determinado produto.

O custo real para produzir a unidade (x1 + 1) apos produzidas x1 unidades e

Cr = C(x1 + 1)− C(x1) e o custo marginal, e C ′(x1) a ser estudado a seguir.

1.9.1 Custo marginal

1. Seja a funcao custo C e n um inteiro positivo.

C ′(n) = limh→0

C(n + h)− C(n)h

Se h e pequeno, entao C ′(n) ' C(n + h)− C(n)h

Quando o numero n de unidades fabricadas e grande, os economistas costumam fazer

h = 1 na ultima formula para aproximar o custo marginal, obtendo

C ′(x1) ' C(x1 + 1)− C(x1)

Para o nıvel de producao x = x1, o custo exato ou real para produzir uma unidade

a mais a partir de x1 unidades e aproximadamente igual ao custo marginal C ′(x1)

associado a producao de x1 unidades, desde que o numero de unidades x1 seja grande.

Figura 1.8: custo marginal

2. O custo real para produzir a unidade (x1 + 1) e Cr = C(x1 + 1)− C(x1)

Cr = C(x1 + 1)− C(x1)

Conclusao: C ′(x1) ≈ Cr

1.9.2 Receita marginal

Seja R(x) a funcao receita proveniente da venda de x unidades de um produto.


Figura 1.9: custo real

Denomina-se receita marginal da funcao receita R(x) a funcao RM(x) = R′(x).

A receita marginal quando x = x1 e dada por R′(x1) e corresponde a receita aproxi-

mada da venda de uma unidade adicional a partir de x1 unidades, desde que o numero de

unidades seja grande.

Assim, R′(x1) ≈ R(x1 + 1)−R(x1)

1.9.3 Lucro marginal

Seja P (x) a funcao lucro.

Denomina-se lucro marginal quando x = x1 (unidades) o lucro aproximado da producao

e venda de uma unidade adicional, a partir de x1 unidades.

PM(x1) = P ′(x1) ' P (x1 + 1)− P (x1)

RESUMO:

Custo, Receita e Lucro Marginal

Se C(x) e o custo total para produzir x unidades de um produto e R(x) e P (x) =

R(x)− C(x) sao a receita e o lucro correspondentes, entao:

• a funcao de custo marginal e CM(x) = C ′(x);

• a funcao de receita marginal e RM(x) = R′(x);

• a funcao de lucro marginal e PM(x) = P ′(x).

1.9.4 Custo medio

Seja C(x) o custo total da producao de x unidades de um certo produto.

O custo medio da producao de cada unidade do produto e obtido dividindo-se o custo

total pelo numero de unidades produzidas. Seja C(x) ou Q(x) o custo medio.

C(x) =C(x)

xou Q(x) =

C(x)x


1. A receita total de um produto e R(x) = 240x+(0, 05)x2 em reais, quando x unidades

sao produzidas e vendidas durante o mes. Atualmente o produtor produz 80 unidades

por mes, e esta planejando aumentar a producao em uma unidade.

(a) Use a Analise Marginal para determinar a receita adicional aproximada que

sera gerada pela producao e venda da 81a unidade.

(b) Use a funcao receita para calcular a receita adicional real que sera gerada pela

producao e venda da 81a unidade

Solucao

R′(x) = 240 + (0, 1)x

R′(80) = 240 + (0, 1)(80)

R′(80) = 240 + 8

R′(80) = 248

RM(80) = R$248,00

R(81) = 240(81) + (0, 05)(81)2

R(81) = 19440 + (0, 05)6561

R(81) = 19440 + (328, 05)

R(81) = 19768, 05

R(80) = 240(80) + (0, 05)(80)2

R(80) = 19200 + (0, 05)6400

R(80) = 19200 + 320

R(80) = 19520

Rr = Re = R(81)−R(80)

Rr = (19768, 05)− 19520

Rr =R$248,05

Conclusao, RM(80) ' Rr

2. Seja C(x) o custo total de fabricacao de x unidades de um produto e

C(x) = 110 + 4x + (0, 02)x2. Determine:

(a) a funcao custo marginal;

(b) o custo marginal quando 50 unidades sao produzidas, isto e, o custo aproximado

da quinquagesima primeira unidade;

(c) o custo real da quinquagesima primeira unidade;


(d) o custo medio.

Solucao

(a) CM(x) = C ′(x) = 4 + (0, 04)x

(b) CM(50) = C ′(50) = 4 + (0, 04)50 = 4 + 2 = 6

C ′(50) =R$6,00 e o custo aproximado da producao da quinquagesima primeira

unidade apos a producao da quinquagesima unidade. O custo marginal e a taxa

de variacao instantanea de C(x) em relacao a uma unidade de variacao em x.

(c) C(51) = 110 + 4(51) + (0, 02)(51)2 = 366, 02

C(50) = 110 + 4(50) + (0, 02)(50)2 = 360

Cr = C(51)− C(50)

Cr = (366, 02)− 360 = 6, 02

O custo real de producao da quinquagesima primeira unidade e de R$6,02.

OBSERVACAO:

Os economistas frequentemente aproximam o custo de producao de uma unidade

adicional usando a funcao custo marginal pois o calculo de C ′(50) e muito mais

simples do que o calculo de C(51)− C(50).

(d) Q(x) =C(x)

x=

110x

+ 4 + (0, 02)x

Q(50) =11050

+ 4 + (0, 02)(50) = 7, 20

OBSERVACAO:

Quando as 50 primeiras unidades tiverem sido produzidas, o custo medio de

producao de uma unidade e de R$7,20.

3. Um fabricante estima que quando x unidades de um certo produto sao fabricadas,

o custo total e C(x) =x2

8+ 3x + 98 reais e que todas as x unidades sao vendidas

quando o preco e p(x) = 25− x

3reais por uinidade.

(a) Use a funcao de custo marginal para estimar o custo para produzir a nona

unidade. Determine o custo exato para produzir a nona unidade.

(b) Determine a funcao de receita do produto. Em seguida, use a funcao de receita

marginal para estimar a receita obtida com a venda da nona unidade. Calcule

a receita exata obtida com a venda da nona unidade.

(c) Determine a funcao de lucro associada a producao de x unidades e calcule o

nıvel de producao para o qual o lucro e maximo. Determine o lucro marginal

associado ao nıvel otimo de producao.


Solucao

(a) CM(x) = C ′(x) =x

4+ 3

CM(8) = C ′(8) =84

+ 3 = 5

CM(8) = R$5,00 (custo aproximado da nona unidade)

Cr = C(9)− C(8) = 5, 13

Cr = R$5,13 (custo real de producao da nona unidade)

CM(8) ' Cr

(b) R(x) = x · p(x)

R(x) = x(25− x

3

)R(x) = 25x− x2

3

RM(x) = R′(x) = 25− 2x

3

RM(8) = R′(8) = 25− 163

= 19, 67 (receita aproximada com a vanda da nona

unidade)

RM(8) = R(9)−R(8) = 19, 33

RM(8) =R$19,33 (receita exata obtida com a venda da nona unidade)

(c) P (x) = R(x)− C(x)

P (x) = 25x− 13

x2 −(

18

x2 + 3x + 98)

P (x) = −1124

x2 + 22x− 98

O grafico da funcao lucro e uma parabola com a concavidade voltada para baixo

e o maximo (vertice) e o ponto de abscissa,

xv = − b

2a=

−222(−11

24)= 22 · 24

22= 24

P ′(x) = −2224

x + 22

Seja P ′(x) = 0

0 = −2224

x + 22 =⇒ 2224

x = 22 =⇒ x =24 · 22

22= 24

O lucro e maximo quando sao produzidas e vendidas 24 unidades e o preco

neste caso e p(24) = 25− 243

= 25−8 = 17. Logo, o preco e R$17,00 a unidade.

Para o nıvel otimo de producao x = 24, o lucro marginal e

P ′(24) = −1112

x · 24 + 22 = 0.


OBSERVACAO:

O lucro e maximo para o nıvel de producao no qual o lucro marginal e nulo.

OBSERVACOES IMPORTANTES SOBRE ANALISE MARGINAL:

1. Quando o numero de unidades x e um pouco grande, o custo marginal C ′(x) pode

ser observado como uma boa aproximacao do custo C(x+1)−C(x) da producao de

uma unidade a mais.

Exemplo:

A empresa E acha que o custo da producao total de x unidades do produto p e dado

por C(x) = R$ (500 + 30√

x). Se 5000 unidades sao produzidas, ache o custo exato

da producao de mais uma unidade e compare isto com custo marginal.

Solucao

(a) O custo exato de fabricacao de mais uma unidade e:

Ce = C(5001)− C(5000)

Ce = 500 + 30√

5001− (500 + 30√

5000) = 30(√

5001−√

5000)

Ce = R$0,21212

(b) Custo marginal:

C ′(x) =30

2√

x=

15√x

C ′(5000) =15√5000

C ′(5000) ≈ R$0,21213

OBSERVACAO:

O erro cometido no uso do custo marginal para estimar o verdadeiro custo de fab-

ricacao de mais uma unidade e menos que R$0,00002.

2. Se R(x) denota o rendimento obtido quando x unidades de uma mercadoria sao de-

mandadas, entao o rendimento marginal R′(x) denota a taxa de variacao do rendi-

mento por variacao da demanda. Para grandes valores de x o rendimento marginal

R′(x) e uma boa aproximacao do rendimento adicional R(x + 1)−R(x) gerado por

uma unidade adicional da demanda.

Suponha-se que o rendimento total atinge um valor maximo quando x unidades sao

demandadas. Entao o rendimento marginal R′(x) precisa ser zero. Isto significa que

quando o rendimento maximo e gerado por x unidades de demanda, praticamente

nao sera gerado rendimento adicional por mais uma unidade de demanda.


Exemplo:

Uma fabricacao em serie varia R$24,00 por serie. O custo total de producao de x

series por semana e dado pela equacao C(x) = 150 + (3, 9)x + (0, 003)x2 reais.

(a) Determine o custo aproximado para se fabricar a serie de ordem 1001.

(b) Determine o custo exato de fabricacao da serie de ordem 1001.

(c) Determine o lucro total do fabricante, por semana, em funcao de x.

(d) Quantas series deverao ser fabricadas e vendidas por semana para o fabricante

obter lucro maximo?

(e) Determine o lucro maximo.

Solucao

(a) C ′(x) = (3, 9) + (0, 006)x

C ′(1000) = R$9,90

(b) Ce = C(1001)− C(1000)

Ce = (7059, 903)− (7050, 00)

Ce = R$9,903

(c) R(x) = p x

R(x) = 24x

P (x) = R(x)− C(x) onde P (x) denota o lucro

P (x) = (20, 1)x− 150− (0, 003)x2

(d)dP

dx= (20, 1)− (0, 006)x

dP

dx= 0 =⇒ x =

20, 10, 006

x = 3350 series

Deverao ser fabricadas e vendidas 3.350 series para ser obtido lucro maximo.

(e) Para x = 3350, P (x) = 33517, 50

O lucro maximo por semana sera de R$33.517,50.

A equacao da demanda para um determinado produto e 5x + 3p = 15. Ache as

funcoes receita total e marginal. Faca esbocos das curvas de demanda, receita total

e receita marginal no mesmo conjunto de eixos.

Solucao

Seja x o numero de unidades vendidas e p o preco.

Assim, p = −53x + 5


R(x) = p x

R(x) =(−5

3x + 5

)x

R(x) = −53x2 + 5x

R′(x) = −103

x + 5

R′(x) = 0 =⇒ x =32

Figura 1.10: curva de demanda

OBSERVACOES:

(a) A equacao de demanda e aquela que da a relacao entre p e x, onde x unidades

de um produto sao demandadas quando p e o preco por unidade.

(b) A curva de receita marginal, R′(x), corta o eixo x no ponto cuja abscissa e o

valor de x para o qual a receita total e maxima. A curva de demanda corta o

eixo x no ponto cuja abscissa e igual ao dobro da abscissa de ponto maximo.


1. Suponha que R(x) seja a receita total recebida da venda de x mesas, e

R(x) = 300x− x2

2.

(a) Determine a receita marginal quando x = 40.

(b) Determine a receita efetiva da quadragesima primeira mesa.

2. Seja C(x) = 40 + 3x + 9√

2x. Determine:

(a) O custo medio quando x = 50.

(b) O custo marginal quando x = 50.


3. A funcao receita total para um dado produto e dada por R(x) = 6x− 32

x2. Deter-

mine:

(a) A equacao da demanda.

(b) A funcao receita marginal.

4. Se a equacao da demanda para um dado produto e 5x + 4p = 20, ache:

(a) A funcao receita total.

(b) A funcao receita marginal.

Respostas

1. (a) R$260,00 por mesa.

(b) R$259,50 por mesa.

2. (a) R$5,60

(b) R$3,90

3. (a) 3x + 2p = 12

(b) R′(x) = 6− 3x

4. (a) R(x) = −54x2 + 5x

(b) R′(x) = −52x + 5

1.10 Estudo da variacao das funcoes

Funcoes: crescente, decrescente e constante

1.10.1 Funcao crescente

Uma funcao f e denominada crescente em um intervalo A, se f(x2) > f(x1) sempre que

x2 > x1, onde x1 e x2 pertencem ao intervalo A.


Figura 1.11: funcao crescente

Se f e crescente em um intervalo A, entao o grafico de f e ascendente quando o ponto

que o descreve se move da esquerda para a direita.

OBSERVACAO:

A derivada em cada ponto do grafico de y = f(x) e o coeficiente angular da reta

tangente ao grafico de f(x).

Se f ′(x) = tgα > 0 (0 < α < π2 ), no intervalo A, entao a funcao f e crescente no

intervalo A.

1.10.2 Funcao descrescente

Uma funcao f e denominada decrescente em um intervalo A, se f(x1) > f(x2), sempre

que x1 < x2, onde x1 e x2 pertencem ao intervalo A.

Figura 1.12: funcao decrescente

Se a funcao f e decrescente em um intervalo A, entao o grafico de f e descendente

quando o ponto que o descreve se move da esquerda para a direita.

Se f ′(x) = tg α < 0 (π2 < α < π) em todo o intervalo A, entao f e decrescente em A.


1.10.3 Funcao constante

Uma funcao f e constante em um intervalo A, se x1 6= x2 tivermos f(x1) = f(x2),

∀x1, x2 ∈ A.

Figura 1.13: funcao constante

Se uma funcao e constante em um intervalo A, entao f(x) admite derivada nula em

todos os pontos do intervalo A. ∀x ∈ A, f ′(x) = 0 =⇒ f(x) e constante em A.

1.10.4 Casos especiais

1. Se a funcao f(x) e crescente no intervalo A, a tangente a curva de f(x), em cada

ponto da mesma, forma com eixo x um angulo agudo e, em alguns pontos, pode ser

paralela ao eixo. Assim, f ′(x) ≥ 0.

Figura 1.14: tangente em agulo agudo

2. Se a funcao f(x) e decrescente no intervalo A, a tangente a curva de f(x), em cada

ponto da mesma, forma com eixo x um angulo obtuso e, em alguns pontos, pode ser

paralela ao eixo. Assim, f ′(x) ≤ 0.


Figura 1.15: tangente em agulo obtuso

Portanto:

1. ∀x ∈ A, f ′(x) ≥ 0 =⇒ f(x) e crescente em A.

2. ∀x ∈ A, f ′(x) ≤ 0 =⇒ f(x) e decrescente em A.

1.10.5 Criterio da derivada para funcoes crescentes e decrescentes

1. f(x) e crescente nos intervalos em que f ′(x) > 0

2. f(x) e decrescente nos intervalos em que f ′(x) < 0

Exemplo:

Considere a funcao f(x) = −x3 + 6x2 − 9x + 5.

(a) determine o(s) intervalo(s) onde a funcao e crescente e onde e decrescente.

(b) trace o esboco do grafico de f .

Solucao

Temos:

f ′(x) = −3x2 + 12x− 9

Seja f ′(x) = 0 =⇒ −3x2 + 12x− 9 = 0 =⇒ −x2 + 4x− 3 = 0

Raızes de f ′(x): 1 e 3

Temos: f ′(1) = f ′(3) = 0

f(x) pode mudar de sinal apenas em x = 1 e x = 3.

O sinal da derivada deve permanecer constante nos intervalos x < 1, 1 < x < 3 e

x > 3.

Em cada um desses intervalos, devemos escolher um numero de teste c e devemos

determinar o sinal de f ′(x) em todo o intervalo achando o sinal de f ′(c).


Sejam 0, 2 e 4 os numeros de teste escolhidos.

f ′(0) = −3(0)2 + 12(0)− 9 = −9 < 0

f ′(2) = −3(2)2 + 12(2)− 9 = 3 > 0

f ′(4) = −3(4)2 + 12(4)− 9 = −9 < 0

Figura 1.16: exemplo do criterio da derivada

Intervalo Numero de teste (c) Sinal de f ′(c) Conclusao

x < 1 0 f ′(0) < 0 f(x) e decrescente

1 < x < 3 2 f ′(2) > 0 f(x) e crescente

x > 3 4 f ′(4) < 0 f(x) e decrescente

A funcao f e decrescente em x < 1 ou x > 3.

A funcao f e crescente em 1 < x < 3.

Figura 1.17: grafico do criterio da derivada


1. Seja a funcao f(x) = x3 +x2− 5x− 5. Determine os intervalos em que f e crescente

e os intervalos em que f e decrescente.

2. Determine os intervalos em que a funcao f(x) = x2 − 4x + 5 esta aumentando ou

diminuindo.

3. Determine o intervalo em que a funcao f(x) = −x2+x+6 e crescente ou e decrescente.


4. Especifique os intervalos nos quais a derivada da funcao dada e positiva e os intervalos

nos quais e negativa.

(a) (b)

5. Determine os intervalos em que a funcao f(x) =x3

3− 7

2x2 + 12x + 3 e crescente ou

e decrescente.

Respostas

1. f e crescente em x < −53 ou x > 1.

f e decrescente em −53 < x < 1.

2. f esta aumentando em x > 2.

f esta diminuindo em x < 2.

3. f e crescente em x < 12 .

f e decrescente em x > 12 .

4. (a) f ′(x) > 0 para −2 < x < 2.

f ′(x) < 0 para x < −2 ou x > 2

(b) f ′(x) > 0 para x < −4 ou 0 < x < 2.

f ′(x) < 0 para −4 < x < −2, para −2 < x < 0 ou para x > 2.

5. f e crescente em x < 3 ou x > 4.

f e decrescente em 3 < x < 4.

1.10.6 Extremos relativos ou locais de uma funcao

Seja a funcao y = f(x) cujo grafico esta representado abaixo.


Figura 1.18: extremos relativos ou locais

Dizemos que uma funcao f(x) possui um maximo relativo em x = c, se f(c) ≥ f(x)

para todos os valores de x em um intervalo a < x < b, que contenha o ponto c. No exemplo

dado os maximos relativos sao f(x2) e f(x4).

Dizemos que uma funcao f(x) possui um mınimo relativo em x = c, se f(c) ≤ f(x)

para todos os valores de x em um intervalo a < x < b, que contenha o ponto c. No exemplo

dado os mınimos relativos sao f(x1), f(x3) e f(x6).

OBSERVACOES:

1. Uma funcao pode admitir mais de um maximo local ou mais de um mınimo local.

2. E possıvel um mınimo local ser maior do que um maximo local, dependendo da

vizinhanca a ser considerada no domınio da funcao.

3. Usa-se o termo local ou relativo porque focalizamos nossa atencao em uma vizinhanca

de x = c. Fora dessa vizinhanca a funcao f pode tomar outros valores maximos ou

mınimos locais.

4. Existem funcoes que nao admitem nem maximo nem mınimo relativos.

Exemplo: f(x) = x3

5. Os maximos e mınimos relativos de f sao conhecidos por extremos relativos e os

valores x = c sao chamados extremantes de f .

6. Como uma funcao f(x) e crescente quando f ′(x) > 0 e decrescente quando f ′(x) < 0,

entao os pontos nos quais f(x) possui um extremo relativo sao aqueles em que

f ′(x) = 0 ou f ′(x) nao existe.


Figura 1.19: f(x) = x3

Definicao

[HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 146-147-149]

Numeros crıticos e Pontos crıticos

Um numero x = c pertencente ao domınio da funcao f e chamado de numero crıtico

se f ′(c) = 0 ou se f ′(c) nao existe. O ponto correspondente P (c, f(c)) no grafico de f(x)

e chamado de ponto crıtico.

Exemplos de pontos crıticos nos quais a derivada e nula, isto e, f ′(c) = 0

Figura 1.20: pontos crıticos (f´(x)=0)

OBSERVACAO:

Nos tres casos, a reta tangente ao grafico da funcao no ponto crıtico P (c, f(c)) e

horizontal (f ′(c) = 0).

Exemplos de pontos crıticos nos quais a derivada nao existe ( 6 ∃ f ′(c)).


Figura 1.21: pontos crıticos (6 ∃ f ′(c))

Nos casos (b) e (c), a reta tangente e vertical no ponto (c, f(c)) pois f ′(c) nao existe.

No caso (a) nao e possıvel tracar uma unica tangente passando pelo “vertice” situado

em P (c, f(c)).

1.10.7 Teste da derivada primeira para determinacao de extremos rela-

tivos

[HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 146-147-149]

Seja x = c um numero crıtico de f(x), isto e, f ′(c) = 0 ou f ′(c) nao existe. Neste caso,

o ponto crıtico P (c, f(c)) e:

1. um ponto de maximo relativo se f ′(x) > 0 a esquerda de c e f ′(x) < 0 a direita de

c.

Figura 1.22: Maximo relativo

2. um ponto de mınimo relativo se f ′(x) < 0 a esquerda de c e f ′(x) > 0 a direita de c.

Figura 1.23: Mınimo relativo


3. um ponto ordinario se f ′(x) > 0 ou f ′(x) < 0 em ambos os lados de c.

Figura 1.24: Ponto ordinario (f ′(x) > 0)

Figura 1.25: Ponto ordinario (f ′(x) < 0)

Roteiro pratico para tracar um grafico da funcao y = f(x), usando a derivada primeira

de f :

1. Assinalam-se os numeros crıticos de f sobre uma reta (eixo x), dividindo o domınio

de f em intervalos. Calcula-se f ′(x) para os numeros de teste p, como o objetivo de

determinar os intervalos em que f e crescente (f ′(p) > 0) e em que f e decrescente

(f ′(p) < 0).

2. Para cada numero crıtico c, calcula-se o valor f(c) e determina-se o ponto crıtico

P (c, f(c)) em um sistema de coordenadas cartesianas.

3. Traca-se o grafico de f com uma curva suave ligando os pontos destacados, de modo

que a curva seja crescente nos intervalos em que f ′(x) > 0 e decrescente nos intervalos

em que f ′(x) < 0.

Estude a funcao e trace o esboco do respectivo grafico.

f(x) = x3 − 3x + 1

Temos

f ′(x) = 3x2 − 3

f ′(x) = 0 =⇒ 3x2 − 3 = 0

Numeros crıticos: ±1


Sejam -2, 0 e 2 os numeros de teste.

f ′(−2) = 3(−2)2 − 3 = 9 > 0

f ′(0) = 3(0)2 − 3 = 3 < 0

f ′(2) = 3(2)2 − 3 = 9 > 0

Figura 1.26: Estudo da funcao

f e crescente em x < −1 ou x > 1

f e decrescente em −1 < x < 1

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 1 = −1 + 3 + 1 = 3 (maximo local)

A(−1, 3): ponto de maximo local

f(1) = (1)3 − 3(1) + 1 = 2− 3 = −1 (mınimo local)

B(1,−1): ponto de mınimo local

f(0) = (0)3 − 3(0) + 1 = 1 = 1

C(0, 1): ponto de intersecao com o eixo y

Figura 1.27: Esboco do grafico

Conclusao sobre o teste da derivada primeira

O sinal da derivada primeira f ′(x) pode ser usado para verificar se a funcao f e

crescente ou decrescente em um intervalo e se o ponto P (c, f(c)) e um ponto de maximo

relativo, mınimo relativo ou ponto ordinario.



1. Determine os pontos crıticos da funcao dada e classifique cada ponto crıtico como

maximo relativo, mınimo relativo ou ponto ordinario.

(a) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2

(b) g(x) = x3 + x2 − 5x− 5

2. Determine o ponto A de maximo relativo e o ponto B de mınimo relativo da funcao

f(x) = x3 − 3x2 + 5. A seguir trace um esboco do grafico da funcao f .

3. Seja a funcao f(x) = x3−6x2+9x. Utilizando o teste da derivada primeira, determine

o ponto A de maximo local, o ponto B de mınimo local e trace o esboco do grafico

de f(x).

4. Determine o valor de m e p de modo que a funcao f(x) = x3 + mx2 + px + 3 tenha

extremos relativos em x = 1 e x = 3.

Respostas

1. (a) A(0, 2) ponto de mınimo relativo ou local

B(1, 3) ponto ordinario

(b) A(−53 , 40

27) ponto de maximo relativo

B(1,−8) ponto de mınimo relativo

2. A(0, 5) ponto de maximo relativo

B(2, 1) ponto de mınimo relativo

3. A(1, 4) ponto de maximo local

B(3, 0) ponto de mınimo local

4. m = −6 e p = 9


1.10.8 Concavidade

O conceito de concavidade tem muita utilidade na descricao do grafico de uma funcao f .

Seja f um funcao diferenciavel em x = c.

1. O grafico de uma funcao f tem concavidade voltada para cima em um ponto P (c, f(c)),

se ∃ f ′(c) e se existe um intervalo aberto I, contendo c, tal que, ∀x, x 6= c em I, o

ponto M(x, f(x)) sobre o grafico esta acima da reta tangente.

Figura 1.28: Concavidade voltada para cima

2. O grafico de uma funcao f tem concavidade voltada para baixo em um ponto

P (c, f(c)), se ∃ f ′(c) e se existe um intervalo aberto I, contendo c, tal que ∀x, x 6= c

em I, o ponto M(x, f(x)) sobre o grafico esta abaixo da reta tangente.

Figura 1.29: Concavidade voltada para baixo

Definicao

Se a funcao f(x) e derivavel no intervalo aberto I, entao o grafico de f e:

1. concavo para cima em I, se f ′(x) e crescente em I;

2. concavo para baixo em I, se f ′(x) e decrescente em I.


1.10.9 Teste da concavidade

Se a derivada segunda f ′′(x) existe em um intervalo aberto I, entao o grafico de f e:

1. concavo para cima em I, se f ′′(x) > 0 em I;

2. concavo para baixo em I, se f ′′(x) < 0 em I.

1.10.10 Ponto de inflexao

Um ponto P (c, f(c)) e um ponto de inflexao se a derivada segunda muda de sinal em x = c

e neste caso, existe um intervalo aberto ]a, b[, contendo c, tal que o grafico de f e concavo

para baixo em ]a, c[ e concavo para cima em ]c, b[,ou vice-versa.

Figura 1.30: Ponto de inflexao

OBSERVACAO:

Se f ′′(c) = 0 ou 6 ∃f ′′(c) e f ′′(x) muda de sinal em x = c, entao f tem um ponto de

inflexao em P (c, f(c)).

1.10.11 O teste da derivada segunda

O teste da derivada segunda pode ser utilizado para classificar os pontos crıticos de uma

funcao, como maximos ou mınimos relativos.

Seja f uma funcao diferenciavel em um intervalo aberto I e seja c um ponto em I, tal

que f ′(c) = 0.

1. Se f ′′(c) < 0, entao f tem um maximo relativo em x = c.

2. Se f ′′(c) > 0, entao f tem um mınimo relativo em x = c.

Se f ′(c) = 0, entao a tangente ao grafico em P (c, f(c)) e horizontal. Se f ′′(c) < 0,

entao o grafico e concavo para baixo em c e neste caso existe um intervalo tal que o grafico

esta abaixo das tangentes. Assim, f(c) e um maximo local para f .


Figura 1.31: Teste da derivada segunda

Se f ′′(c) > 0, entao o grafico de f e concavo para cima em c, e neste caso, existe um

intervalo tal que o grafico esta acima das tangentes. Assim f(c) e um mınimo relativo.

Figura 1.32: Teste da derivada segunda

OBSERVACOES sobre o teste da derivada segunda:

O teste da derivada segunda apresenta algumas limitacoes:

1. Nao se deve aplicar o teste quando o calculo da derivada segunda e muito trabalhoso.

2. O teste nao pode ser aplicado nos pontos crıticos em que a derivada primeira nao

existe

3. O teste nao pode ser aplicado quando f ′(c) = f ′′(c) = 0, como nos exemplos a seguir:

(a) f(x) = x4

f ′(x) = 4x3

f ′′(x) = 12x2

f ′(0) = f ′′(0) = 0


Figura 1.33: (0, 0) ponto de mınimo relativo

(b) f(x) = −x4

f ′(x) = −4x3

f ′′(x) = −12x2

f ′(0) = f ′′(0) = 0

Figura 1.34: (0, 0) ponto de maximo local

(c) f(x) = x3

f ′(x) = 3x2

f ′′(x) = 6x

f ′(0) = f ′′(0) = 0


Figura 1.35: (0,0) ponto ordinario

Exercıcio

Seja a funcao f(x) = x3 − 3x + 1.

(a) Determine o ponto A de maximo local e o ponto B de mınimo local utilizando, o teste

da derivada segunda.

(b) Estude a concavidade da funcao.

(c) Determine o ponto de inflexao.

(d) Trace um esboco dos graficos de f(x), f ′(x) e f ′′(x).

Solucao

f ′(x) = 3x2 − 3

f ′′(x) = 6x

f ′(x) = 0 =⇒ 3x2 − 3 = 0

Numeros crıticos: −1 e 1

TDS:

f ′′(−1) = 6(−1) = −6 < 0

x = −1 e ponto de maximo local.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 1 = −1 + 3 + 1 = 3 (maximo local)

A(−1, 3) ponto de maximo local

f ′′(1) = 6(1) = 6 > 0

x = 1 e ponto de mınimo local.

f(1) = (1)3 − 3(1) + 1 = −1 (mınimo local)

B(1,−1) ponto de mınimo local


f ′′(x) = 6x

f ′′(x) = 0 =⇒ 6x = 0 =⇒ x = 0

Figura 1.36: Estudo da concavidade

Esquema

x 0

f ′′(x) − 0 +

concavidade ∩ ∪

A funcao f tem a concavidade voltado para baixo para x < 0 e a concavidade voltada

para cima para x > 0.

x = 0 e abscissa do ponto de inflexao.

f(0) = 03 − 3(0) + 1 = 1

C(0, 1) ponto de inflexao.

Figura 1.37: Esboco dos graficos

OBSERVACOES:

1.

f ′ e crescente para x > 0

o grafico de f e concavo para cima

f ′′(x) > 0 para x > 0


2.

f ′ e decrescente para x < 0

o grafico de f e concavo para baixo

f ′′(x) < 0 para x < 0

Estude a funcao f(x) = 3√

x.

Solucao

Temos:

f ′(x) =1

3 3√

x2; 6 ∃ f ′(0) e f ′(x) > 0, ∀x 6= 0

A funcao f e estritamente crescente (monotona).

O ponto crıtico (0, 0) e um ponto ordinario.

f ′′(x) = − 2

9 3√

x5; 6 ∃ f ′′(0)

Figura 1.38: Estudo da concavidade

Para x < 0, o grafico de f tem a concavidade para cima.

Para x > 0, o grafico de f tem a concavidade para baixo.

x = 0 e abscissa de ponto de inflexao apesar de nao existir f ′′(0).

(0, 0) e ponto de inflexao.

Figura 1.39: Esboco do grafico


IMPORTANTE:

O grafico de uma funcao f pode ter um ponto de inflexao em x = c e f ′′(c) nao existir.


1. Determine atraves do TDS (teste da derivada segunda) o ponto de maximo relativo

e o ponto de mınimo relativo das seguintes funcoes:

(a) f(x) = −x3 + 2x2 − x− 1

(b) f(x) = x3 − 9x2 + 15x + 7

2. Faca um estudo completo da funcao f(x) =x3

3− 2x2 + 3x + 5.

3. Faca um estudo completo da funcao f(x) = x +1x

.

Respostas

1. (a) A(13 ,−31

27) ponto de mınimo relativo

B(1,−1) ponto de maximo relativo

(b) A(1, 14) ponto de maximo relativo

B(5,−18) ponto de mınimo relativo

2. f e crescente para x < 1 ou x > 3

f e decrescente para 1 < x < 3

A(1, 193 ) ponto de maximo local


C(2, 173 ) ponto de inflexao

O grafico e concavo para baixo em x < 2

O grafico e concavo para cima em x > 2


3. f e crescente em x < −1 ou x > 1

f e decrescente para −1 < x < 0 ou 0 < x < 1

A(−1,−2) ponto de maximo local


Caso interessante: o maximo local f(−1) = −2 e menor que o mınimo local

f(1) = 2.

O grafico de f e concavo para baixo em x < 0 e concavo para cima em x > 0

1.11 Estudo das assıntotas

[HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 167]

Seja o grafico de f(x),

Figura 1.40: estudo das assıntotas

O sımbolo ∞ (infinito) nao representa um numero e e usado para representar uma

grandeza que aumenta (ou diminui) indefinidamente.

Em inumeros casos o uso do sımbolo ∞ em um limite tem uma importancia muito

relevante.

Seja a funcao y = f(x) e os numeros reais L e M .


1. limx→+∞

f(x) = L

2. limx→−∞

f(x) = M

Interpretacao geometrica

1. A curva de f(x) se aproxima da reta horizontal y = L quando x aumenta indefinida-

mente.

2. A curva de f(x) se aproxima da reta horizontal y = M quando x diminui indefinida-

mente.

Seja a funcao y = f(x) e o numero real c.

1. limx→c−

f(x) = −∞

2. limx→c+

f(x) = +∞

Interpretacao geometrica

1. f(x) diminui indefinidamente quando x tende a c pela esquerda.

2. f(x) aumenta indefinidamente quando x tende a c pela direita.

1.11.1 Assıntota horizontal

A reta y = b e uma assıntota horizontal da funcao f(x), se:

limx→−∞

f(x) = b ou limx→+∞

= b

A reta y = b e uma reta horizontal, isto e, uma reta paralela ao eixo x.

1.11.2 Assıntota vertical

A reta x = c e uma assıntota vertical da funcao f(x), se:

limx→c−

f(x) = +∞ (ou −∞) ou limx→c+

= +∞ (ou −∞)

A funcao f e descontınua em x = c.

A reta x = c e vertical, isto e, perpendicular ao eixo x.

NOTA: A funcao f(x) =p(x)q(x)

possui uma assıntota vertical x = c sempre que p(x) 6= 0

e q(x) = 0


Exemplos:

1. Seja o grafico de f(x)

limx→±∞

f(x) = 1

y = 1 e assıntota horizontal

limx→2−

f(x) = −∞

limx→2+

f(x) = +∞

x = 2 e assıntota vertical


limx→±∞

f(x) = 1


limx→0−

f(x) = +∞

limx→0+

f(x) = −∞

x = 0 (eixo y) e assıntota vertical



limx→+∞

f(x) = 1

limx→−∞

f(x) = −1

y = 1 e y = −1 sao assıntotas horizontais


limx→0−

f(x) = +∞

limx→0+

f(x) = −∞

A reta x = 0 (eixo y) e uma assıntota vertical



limx→−∞

f(x) = 1

limx→+∞

f(x) = 1


limx→−2−

f(x) = +∞

limx→−2+

f(x) = −∞

x = −2 e assıntota vertical

limx→2−

f(x) = −∞

limx→2+

f(x) = +∞


NOTA: O grafico de f e descontınuo em x = −2 e em x = 2.

Faca um estudo da funcao f(x) =1x

.

Solucao

Temos:

f ′(x) = − 1x2

; nao existe f ′(0)

Como f ′(x) < 0, ∀x 6= 0, concluimos que f e sempre decrescente.

Temos:

f ′′(x) =2x3

; nao existe f ′′(0)

x 0

f ′′(x) − 6 ∃ +

concavidade ∩ ∪

O grafico de f e concavo para baixo em x < 0 e concavo para cima em x > 0.

NOTA: x = 0 nao e abscissa de ponto de inflexao, pois x = 0 nao pertence ao domınio

da funcao, a funcao e descontınua em x = 0.

limx→±∞

f(x) = 0

y = 0 (eixo x) e assıntota horizontal

limx→0+

f(x) = +∞ e limx→0−

f(x) = −∞



Determine as assıntotas de f(x) =3x

x− 1e a seguir trace um esboco do grafico de f(x)

Solucao

limx→±∞

3x

x− 1= lim

x→±∞

31− 1

x

= 3 ou limx→±∞

3x

x− 1= lim

x→±∞

3x

x= lim

x→±∞3 = 3


Temos que f e descontınua em x = 1

limx→1−

f(x) = limx→1−

3x

x− 1= −∞

limx→1+

f(x) = limx→1+

3x

x− 1= +∞


f ′(x) = − 3(x− 1)2

; 6 ∃f ′(1) ; f ′(x) < 0 e nao existe x tal que f ′(x) = 0

x = 1 e numero crıtico e a funcao f e sempre decrescente

f ′′(x) =6

(x− 1)3; 6 ∃f ′′(1)

f ′′(x) < 0 para x < 1 (concavidade para baixo): ∩

f ′′(x) > 0 para x > 1 (concavidade para cima): ∪

x 1

f ′(x) − 6 ∃ −

f(x) %% 99

f ′′(x) − 6 ∃ +

concavidade ∩ ∪

NOTA: Nao ha extremo (f ′(x) < 0) e nao existe ponto de inflexao pois 1 nao pertence

ao domınio de f .



1. Determine as assıntotas e trace um esboco do grafico de f(x) = 2 +1x

.

2. Seja a funcao f(x) =

1 +

1x

se x > 0

−1 +1x

se x < 0

Determine as assıntotas e a seguir, trace um esboco do grafico de f .

3. Seja a funcao f(x) = (x−2)−3. Determine as assıntotas e trace um esboco do grafico

de f .

Respostas

1. y = 2 e assıntota horizontal


2. y = 1 e y = −1 sao assıntotas horizontais

x = 0 (eixo y) e assintota vertical


3. y = 0 (eixo x) e assıntota horizontal


1.11.3 Maximos e mınimos absolutos de uma funcao

Seja f uma funcao contınua em um intervalo I, que contem o numero real c.

1. f(c) e o maximo absoluto de f em I, se f(c) ≥ f(x), para todo x ∈ I;

2. f(c) e o mınimo absoluto de f em I, se f(c) ≤ f(x), para todo x ∈ I;

OBSERVACOES:

1. Os maximos e mınimos absolutos recebem a denominacao de extremos absolutos,

que nem sempre coincidem com os extremos relativos.

2. Cada um dos extremos absolutos de uma funcao f(x) contınua no intervalo fechado

[a, b] pode ocorrer em um dos extremos a ou b ou em um ponto c tal que a < c < b.

1.11.4 Teorema do valor extremo

Se uma funcao f(x) e contınua em um intervalo fechado [a, b], isto e, a ≤ x ≤ b, entao f

toma seu valor maximo absoluto e seu valor mınimo absoluto, pelo menos uma vez nesse

intervalo [a, b].


Diretrizes para determinar os extremos absolutos de uma funcao contınua f(x) no

intervalo [a, b]

(a) Determinar todos os numeros criticos de f

(b) Calcular f(c) para cada numero crıtico c obtido em (a)

(c) Calcular os valores extremos f(a) e f(b)

(d) Os valores maximo e mınimo absoluto de f(x) em [a, b] sao o maior e o menor dos

valores da funcao obtidos em (b) e (c)

Exemplo:

Determine o maximo absoluto e o mınimo absoluto de f(x) = x3 − 12x no intervalo

[−3, 5].

Solucao

f ′(x) = 3x2 − 12

f ′(x) = 0 =⇒ 3x2 − 12 = 0

Raızes: x = −2 e x = 2

(a) Os numeros crıticos sao −2 e 2

(b)

f(−2) = 16

f(2) = −16mınimo absoluto

(c)

f(−3) = 9

f(5) = 65maximo absoluto

O valor maximo absoluto de f(x) em [−3, 5] e 65 e ocorre em x = 5 (extremo do

intervalo).

O valor mınimo absoluto de f(x) em [−3, 5] e −16 e ocorre em x = 2 (interior do

intervalo).

Esquema

Valor de x Classificacao de x Valor de f(x)

−2 numero crıtico de f f(−2) = 16

2 numero crıtico de f f(2) = −16

−3 extremo de [−3, 5] f(−3) = 9

5 extremo de [−3, 5] f(5) = 65

Esboco do grafico de f(x) = x2 − 12x, com escalas diferentes para os eixos x e y, afim

de mostrar melhor visualizacao.


Figura 1.41: esboco do grafico


1. Determine os extremos absolutos de f(x) = x3 + x2 − x + 1 no intervalo [−2, 12 ].

2. Determine o maximo absoluto e o mınimo absoluto da funcao f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7

no intervalo [−3, 0].

3. Determine o maximo absoluto e o mınimo absoluto da funcao f(x) =13

x3 − 9x + 2

para 0 ≤ x ≤ 2.

Respostas

1. O maximo absoluto e 2 e ocorre em x = −1

O mınimo absoluto e −1 e ocorre em x = −2

2. O maximo absoluto e f(−2) = 13 e o mınimo absoluto e f(0) = −7.

Cuidado: 1 6 ∈[−3, 0]

3. O maximo absoluto e f(0) = 2 e o mınimo absoluto e f(2) = −403

1.12 Otimizacao

[HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 182-192]

[LEITHOLD, 1998: 167-168]

[MORETTIN; et al, 2001: 197-198]

[SWOKOWSKI, 1983: 178-179]

Na maioria dos problemas de otimizacao, o objetivo e encontrar o maximo absoluto

ou o mınimo absoluto de uma funcao dentro de um certo intervalo de interesse.


Exemplo 1:

Deve-se contruir uma caixa com base retangular utilizando-se um retangulo de cartolina

com 16 cm de largura e 21 cm de comprimento, cortando-se um quadrado em cada quina.

Determine as dimensoes desse quadrado para que a caixa tenha volume maximo possıvel.

A seguir determine o volume maximo dessa caixa.

Figura 1.42: otimizacao - exemplo 1

Solucao

A quantidade a ser maximizada e o volume V da caixa.

V (x) = x(16− 2x)(21− 2x)

V (x) = 4x3 − 74x2 + 336x

Como 0 ≤ 2x ≤ 16, o domınio de x e 0 ≤ x ≤ 8

V e contınua no intervalo [0, 8]

V ′(x) = 12x2 − 148x + 336

V ′(x) = 0 =⇒ 12x2 − 148x + 336 = 0

Temos, 3x2 − 37x + 84 = 0 ; raızes: 3 e283

Como x =283

nao pertence ao domınio de V (x), o unico numero crıtico no domınio e

3. Aplicando o teorema do valor extremo, temos:

V (3) = 450 valor maximo absoluto

V (0) = V (8) = 0

Deve-se cortar um quadrado de 3 cm de lado e o volume maximo da caixa e 450 cm3.

Exemplo 2:

Uma caixa fechada com uma base quadrada deve apresentar um volume de 2000 cm3.

O material para a tampa e o fundo da caixa custa $3 por cm2, e o material para os lados

custa $1,50 por cm2.

(a) Se x cm for o comprimento de um lado do quadrado da base, expresse o custo do


material como funcao de x.

(b) Determine o domınio da funcao resultante.

(c) Ache as dimensoes da caixa para as quais o custo do material seja mınimo.


Solucao

V = x2y

Assim,

x2y = 2000

y =2000x2

C = 3(x2) + 3(x2) + (1, 5)(4xy)

C = 6x2 +32· 4xy

C(x) = 6x2 + 6x · 2000x2

C(x) = 6x2 +12000

x

Observe que x nao pode ser nulo, pois aparece no denominador de 12000x . Entretanto

x pode ser qualquer numero positivo. Entao, o domınio de C(x) e o intervalo ]0,∞[.

C ′(x) = 12x− 12000x2

; nao existe C ′(x) quando x = 0 e 0 6 ∈ D(C(x))

C ′(x) = 0 =⇒ 12x3 − 12000x2

= 0

x3 = 1000

x = 10

C ′′(x) = 12 +24000

x3

Aplicando o teste da derivada segunda, vem:

C ′′(10) = 12 +240001000


C ′′(10) = 36 > 0 (mınimo)

Como C ′′(10) > 0, podemos concluir que x = 10 minimiza C(x). Temos, y =2000100

= 20

Assim, o custo total do material sera mınimo quando o lado do quadrado da base e 10

cm e a profundidade e 20 cm.

Exemplo 3:

Durante varias semanas, o departamento de transito de certa cidade vem registrando

a velocidade dos veıculos qua passam em certo quarteirao.

Os resultados mostram que entre 13 h e 18 h de um dia da semana, a velocidade nesse

quarteirao e dada aproximadamente por v(t) = t3 − (10, 5)t2 + 30t + 20 quilometros por

hora, onde t e o numero de horas apos o meio-dia (12 h).

(a) Determine o instante entre 13 h e 18 h em que o transito e mais rapido.

(b) Determine o instante entre 13 h e 18 h em que o transito e mais lento.

Solucao

O objetivo e calcular o maximo absoluto e o mınimo absoluto da funcao v(t) no inter-

valo 1 ≤ t ≤ 6, isto e, [1, 6]

v′(t) = 3t2 − 21t + 30

v′(t) = 0 =⇒ 3t2 − 21t + 30 = 0

t2 − 7t + 10 = 0 ; raızes: t = 2 e t = 5

Numeros crıticos: 2 e 5

Aplicando o teorema do valor extremo, temos:

v(2) = 46 maximo absoluto

v(5) = 32, 5 mınimo absoluto

v(1) = 40, 5

v(6) = 38

(a) O transito e mais rapido as 14 h (t = 2h) e os carros passam no quarteirao com

velocidade media de 46 Km/h.

(b) O transito e mais lento as 17 h (t = 5h) e os carros passam no quarteirao com

velocidade media de 32,5 Km/h.

Outro processo

v′(t) = 3t2 − 21t + 30

v′′(t) = 6t− 21


numeros crıticos: 2 e 5

v′′(2) = −9 < 0 maximo

v′′(5) = 9 > 0 mınimo


Exemplo 4:

Uma lata de zinco de 16π cm3 de volume deve ter a forma de um cilındro circular reto.

Determine o raio e a altura de modo que o material usado na sua fabricacao seja mınimo.


Solucao

Seja,

r cm o raio da base

h cm a altura


S cm2 a area total da superfıcie do cilindro

A area lateral e 2πrh cm2, a area da tampa e da base sao πr2 cm2

V = πr2h

16π = πr2h

h =16r2

S = 2πrh + 2πr2

S(r) = 2πr16r2

+ 2πr2

S(r) =32π

r+ 2πr2

O domınio de S e ]0,+∞[ e S e contınua em seu domınio.

S′(r) = −32π

r2+ 4πr

S′(r) nao existe para r = 0, mas zero nao esta no domınio de S.

S′(r) = 0−32π + 4πr3

r2= 0

4πr3 = 32π

r3 = 8

r = 2

S′′(r) =64π

r3+ 4π

Aplicando o teste da derivada segunda, vem:

S′′(2) = 12π > 0 (mınimo)

Quando r = 2, h =1622

= 4

r = 2 minimiza S(r).

O mınimo de material usado ira ocorrer quando r = 2 cm e h = 4 cm.

Exemplo 5:

Uma empresa de turismo aluga onibus com capacidade para 50 passageiros, para trans-

portar grupos de 35 ou mais pessoas. Se o grupo contiver exatamente 35 pessoas, cada

uma paga R$60,00. Para grupos com mais turistas, a passagem de todos e reduzida R$1,00

para cada pessoa alem de 35. Determine o numero de pessoas para o qual a receita da

empresa sera maxima.

Solucao

Seja R a receita da empresa.

R = (numero de pessoas no grupo) · (preco por pessoa)

x: numero de pessoas que excede 35


35 + x: numero de pessoas no grupo

60− x: preco por pessoa

R(x) = (35 + x) · (60− x)

R(x) = −x2 + 25x + 2100

Como x representa o numero de pessoas que excede 35 e como o total de passageiros

e 50, entao x deve estar no intervalo [0, 15], isto e, 0 ≤ x ≤ 15.

Aplica-se o teorema do valor extremo no intervalo [0, 15]

R′(x) = −2x + 25

R′(x) = 0 =⇒ 0 = −2x + 25

O numero crıtico e252

= 12, 5

R(12, 5) = 2256, 25 (maximo absoluto)

R(0) = 2100

R(15) = 2250

O maximo absoluto ocorre em x = 12, 5


Como x representa numero de pessoas, entao x deve ser um numero inteiro e 12, 5 nao

pode ser a solucao pratica do problema.

Observe que R(x) e crescente para 0 < x < 12, 5 e decrescente para x > 12, 5. Os

valores inteiros que solucionam o problema na pratica sao x = 12 ou x = 13, pois R(12) =

R(13) = 2256.

Conclusao:

A receita da empresa sera maxima quando o grupo for formado por 12 ou 13 pessoas

alem de 35, isto e, o grupo deve ser constituıdo por 47 ou 48 pessoas e a receita maxima

correspondente sera de R$2.256,00.


Exemplo 6:

O custo medio de fabricacao de x unidades de um produto e Cm =200x

+ 20 + x e a

funcao receita e R(x) = 200x− 2x2.

(a) Obtenha a funcao lucro.

(b) Obtenha o numero x de unidades que devem ser produzidas e vendidas para maximizar

o lucro.

(c) Obtenha o lucro maximo.

Solucao

Cm =C

xC = x · Cm

C(x) = x

(200x

+ 20 + x

)C(x) = 200 + 20x + x2

(a) Seja P (x) o lucro

P (x) = R(x)− C(x)

P (x) = 200x− 2x2 − (200 + 20x + x2)

P (x) = −3x2 + 180x− 200

(b) P ′(x) = −6x + 180

0 = −6x + 180

6x = 180

x = 30

P ′′(x) = −6 < 0 (maximo)

x = 30 maximiza P(x)

Devem ser produzidas 30 unidades para se obter lucro maximo.

(c) P (30) = −3(30)2 + 180(30)− 200 = 2500

O lucro maximo e R$2.500,00.

Exemplo 7:

O departamento de estradas de rodagem esta planejando construir uma area de lazer

para motoristas, a margem de uma rodovia bem movimentada. O terreno deve ser re-

tangular com uma area de 5000 m2 e deve ser cercado nos tres lados que nao dao para a

rodovia. Determine o menor comprimento da cerca necessaria para a obra.


Solucao


xy = 5000

y =5000

x

f = x + 2y

f(x) = x +10000

x

f ′(x) = 1− 10000x2

f ′(x) = 0 =⇒ x2 − 10000x2

= 0

x2 = 10000

x = 100

f ′′(x) =20000

x3

f ′′(100) =20000(100)3

> 0 (mınimo)

x = 100 minimiza f(x)

y =5000100

= 50

f = x + 2y

f = 100 + 2(50) = 200

O menor comprimento e 200 m.


1. Obtenha dois numeros positivos cuja soma e 16 e cujo produto e o maximo possıvel.

2. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto e dado por

C(x) = x2 − 80x + 3000 em reais. Nessas condicoes, calcule:


(a) O numero de unidades produzidas para que o custo seja mınimo.

(b) O valor mınimo do custo

3. Deseja-se construir uma area de lazer de forma retangular de 1.600 m2 de area.

Determine as dimensoes para que o perımetro seja mınimo.

4. O custo total de fabricacao de x unidades de um produto e dado por C(x) = 3x2 + 5x + 192

em reais. Quantas unidades deverao ser fabricadas para que o custo medio seja o

menor possıvel ?

5. Uma caixa, sem tampa, de base quadrada deve ter um volume de 32 cm3. Determine

as dimensoes da caixa que exijam o mınimo de material para a sua confeccao.

6. Determine o numero cuja diferenca entre ele e o seu quadrado e o maximo possıvel.

7. Deseja-se construir uma piscina de forma circular, com volume igual a 125π m3. De-

termine a raio e a profundidade (altura), de modo que a piscina possa ser construıda

com menos quantidade de material possıvel.

8. Numa empresa que produziu x unidades mensais, verificou-se que a receita total de

producao e dada por R(x) = 6000x− x2 e o custo total de producao e

C(x) = x2− 2000x. Nessas condicoes, verifique qual deve ser a producao x para que

o lucro seja maximo.

9. Num voo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aerea cobra R$200,00

por pessoa quando todos o lugares sao ocupados. Se existirem lugares nao-ocupados,

ao preco de cada passagem sera acrescida a importancia de R$4,00 por cada lugar

nao-ocupado. Quantos devem ser os lugares nao-ocupados para que a companhia

obtenha faturamento maximo ?

10. Uma pessoa deseja construir uma piscina de forma circular com volume de 64π m3.

Sabendo que o preco por metro quadrado de azulejo e de R$100,00, calcule o custo

mınimo de azulejo para a construcao da piscina.

11. Quais devem ser as dimensoes de uma lata cilındrica de volume fixo V , de forma que

a quantidade de material a ser utilizado para a sua fabricacao seja a menor possıvel?

12. Uma fabrica de componentes eletronicos tem um custo para produzir x componentes

dado por C(x) =x3

3000− x2

2+ 260x + 200, com C dado em reais. Qual e o custo

marginal que essa fabrica tem para produzir mais um componente quando x = 400?

13. A demanda de um produto e D(p) = −200p + 12000 unidades por mes, quando o

preco e p reais a unidade. Nessas condicoes, determine:


(a) A funcao gasto total dos consumidores com o produto em funcao de p.

(b) O preco para o qual o gasto total dos consumidores e maximo.

14. Em um painel retangular de comprimento (60 + x) cm e de largura 80 cm, deseja-se

reservar no canto superior esquerdo um quadrado de lado x cm. Qual o valor de x de

modo que a diferenca entre a area do painel e a do quadrado seja a maior possıvel?

15. Determine o numero positivo cuja soma com seu inverso seja o menor possıvel.

Respostas

1. Os numeros 8 e 8.

2. (a) 40 unidades

(b) R$1.400,00

3. As dimensoes sao 40 m e 40 m.

4. Deverao ser fabricadas 8 unidades.

5. Arestas da base iguais a 4 cm e arestas laterais iguais a 2 cm.

6. O numero e 12 .

7. r = 5 m e h = 5 m

8. 2.000 unidades mensais

9. 25 lugares

10. R$15.072,00

11. A lata de volume fixo e area maxima tem altura igual ao dobro do raio, isto e, h = 2r.

12. R$20,00

13. (a) g(p) = −200p2 + 12000p

(b) O gasto e maximo quando o preco e R$30,00.

14. x = 40 cm

15. O numero e 1.

Exercıcios Diversos

1. Dada a funcao receita R(x) = −2x2 + 10x, obtenha o valor de x que a maximiza.


2. Dada a funcao demanda p = 40 − 2x, obtenha o preco que deve ser cobrado para

maximizar a receita.

3. Considere a funcao demanda p = 40− 2x. Determine o preco que deve ser cobrado

para maximizar o lucro, se a funcao custo for C(x) = 40 + 2x.

4. A funcao custo de fabricacao de um produto e C =13

x3 − 2x2 + 10x + 1 e a funcao

demanda do mesmo produto e p = 10 − x. Que preco deve ser cobrado para maxi-

mizar o lucro?

5. O custo total mensal de fabricacao de x unidades de um produto e

C(x) = (0, 1)x2 + 3x + 4000.

(a) Obtenha a funcao custo medio.

(b) Para que valor de x o custo medio e mınimo?

6. Dada a funcao custo C(x) = x3 − 20x2 + 400x:

(a) Obtenha o custo medio e o custo marginal.

(b) Mostre que, no ponto de mınimo do custo medio, a custo medio e igual ao custo

marginal.

7. Um agricultor pretende construir um viveiro de forma retangular utilizando uma tela

de 16m de comprimento. Sabendo que ele vai usar um muro da casa como um dos

lados do viveiro, determine as dimensoes do mesmo para que sua area seja maxima.

8. A demanda de um produto e dada por D(p) = −200p + 12000 unidades por mes,

quando o preco e p reais a unidade. Nessas condicoes, determine:

(a) O gasto total dos consumidores com o produto em funcao de p.

(b) O preco total para o qual o gasto total e maximo.

9. Faca um estudo completo da funcao f(x) =3x

x− 1.

Respostas

1. x = 52

2. p = 20

3. p = 21 reais

4. p = 8 reais

5. (a) Cm(x) = (0, 1)x + 3 + 4000x


(b) x = 200

6. (a) Cm = x2 − 20x + 400

C ′(x) = 3x2 − 40x + 400

(b) Cm(10) = C ′(10)

7. 4m e 8m

8. (a) G(p) = −200p2 + 12000p

(b) O gasto e maximo quando o preco e R$30,00.

9. y = 3 e assıntota horizontal e x = 1 e assıntota vertical.

A funcao e decrescente para x 6= 1 e neste nao admite extremos.

O grafico e concavo para baixo em x < 1 e concavo para cima em x > 1.

A funcao nao tem ponto de inflexao.

Capıtulo 2

A Integral

2.1 Antiderivacao: A integral indefinida

Denomina-se antiderivacao ou integracao indefinida a operacao que consiste na obtencao

de uma funcao F (x), a partir de sua derivada f(x).

Definicao

Primitiva de uma funcao f : Uma funcao F (x) e uma primitiva, antiderivada ou integral

indefinida de f(x) se F ′(x) = f(x), para qualquer x no domınio de f .

Seja f(x) = 12x2 e F (x) = 4x3

De acordo com a definicao dada, temos:

F ′(x) = 12x2 = f(x)

Logo, F (x) = 4x3 e uma antiderivada, ou integral indefinida, de f(x) = 12x2.

2.2 As antiderivadas de uma funcao f

Se F (x) e G(x) sao antiderivadas de f(x), entao existe uma constante C, tal que

G(x) = F (x) + C.

Seja F (x) = 4x3

G(x) = 4x3 + 2

G(x) = 4x3 − 8

G(x) = 4x3 +√

3

G(x) = 4x3 +35

. . . . . . . . .

Assim,

G(x) = 4x3 + C∫12x2 dx = 4x3 + C

Todas as antiderivadas de f(x) podem ser obtidas adicionando-se constantes a anti-

derivada particular de f(x), isto e, F (x).

93


Conclusao: Um funcao f tem n antiderivadas.

2.3 Notacao de integral∫f(x) dx = F (x) + C

O sımbolo∫

e chamado de sinal de integracao e se assemelha a um s alongado que e

a inicial de soma.

A funcao f(x) e o integrando de uma integral.

O sımbolo dx indica que a primitiva deve ser calculada em relacao a variavel x.

A constante C e arbitraria e e conhecida por constante de integracao.

A equacao∫

f(x) dx = F (x) + C deve ser lida como “a integral indefinida de f em

relacao a x e F (x)+C”. Quando encontramos F (x)+C, dizemos que conseguimos calcular

a integral.

Para verificar se a integral foi calculada de maneira correta, devemos determinar a

derivada de F (x) + C. Se a derivada for igual a f(x) o calculo esta correto.

A integracao e a operacao inversa da derivacao. Portanto, muitas regras de integracao

podem ser obtidas atraves das regras de derivacao correspondentes.

OBSERVACAO:∫

f(x) dx = F (x) + C

DEFINICAO:d

dx[F (x) + C] = f(x)

Conclusao: f(x) =∫

f ′(x) dx ou F (x) =∫

F ′(x) dx

2.4 Regras basicas para integrar funcoes simples

1. Regra da constante∫K dx = K

∫dx = Kx + C ; K = cte

2.∫

xn dx =1

n + 1· xn+1 + C ; ∀n 6= −1

Verificacao:d

dx

[1

n + 1· xn+1

]=

1n + 1

· (n + 1) xn+1−1 = xn

3. Regra do logarıtmo∫1x

dx = ln |x|+ C ; para n = −1 e x 6= 0

Demonstracao:

(I) x > 0 =⇒ |x| = xd

dx(ln |x|) =

d

dx· lnx =

1x


(II) x < 0 =⇒ |x| = −x e −x > 0d

dx(ln |x|) =

d

dx[ln (−x)] =

−1−x

=1x

Assim,∫

1x

dx = ln |x|+ C

As regras 2 e 3 podem ser resumidas da seguinte forma:∫xn dx =

xn+1

n + 1+ C , se n 6= −1

ln |x|+ C , se n = −1

4.∫

eKx dx =1K· eKx + C ; para K = cte e K 6= 0

Verificacao:d

dx

(1K· eKx

)=

1K·KeKx = eKx

2.5 Propriedades algebricas da integral indefinida

2.5.1 Regra da multiplicacao por uma constante

Um fator constante K pode ser retirado da integral.∫Kf(x) dx = K

∫f(x) dx ; K = cte

2.5.2 Regra da soma

Uma antiderivada de uma soma e a soma das antiderivadas.∫[f1(x) + f2(x) + . . . + fn(x)] dx =

∫f1(x) dx +

∫f2(x) dx + . . . +

∫fn(x) dx

2.5.3 Regra da diferenca

Uma antiderivada de uma diferenca e a diferenca das antiderivadas.∫[f(x)− g(x)] dx =

∫f(x) dx−

∫g(x) dx

OBSERVACAO:

Quando da aplicacao das propriedades, devemos colocar uma constante na ultima etapa

dos calculos, a fim de obter respostas mais simples.

Exemplos:∫(2x4 + 6x2 + 5x) dx

Temos,∫2x4 dx +

∫6x2 dx +

∫5x dx

2∫

x4 dx + 6∫

x2 dx + 5∫

x dx

25

x5 + 2x3 +52

x2+ C


Exercıcios Resolvidos

Calcule as seguintes integrais indefinidas:

1.∫

x4 dx =x4+1

4 + 1+ C =

15

x5 + C

2.∫

x dx =x1+1

1 + 1+ C =

12

x2 + C

3.∫

dx =∫

x0 dx =x0+1

0 + 1+ C = x + C

4.∫

x−5 dx =x−5+1

−5 + 1+ C =

x−4

−4+ C = − 1

4x4+ C

5.∫

x3/5 dx =x3/5 +1

35 + 1

+ C =x8/5

85

+ C =58

x8/5 + C

6.∫

1√x

dx =∫

1x1/2

dx =∫

x−1/2 dx =x−1/2 +1

−12 + 1

+ C =x1/2

12

+ C = 2√

x + C

7.∫

(3x4 + 6x2 + 4) dx = 3∫

x4 dx + 6∫

x2 dx + 4∫

dx =35

x5 + 2x3 + 4x + C

8.∫

x3 + 5x− 2x

dx =∫ (

x2 + 5− 2x

)dx =

∫x2 dx + 5

∫dx− 2

∫dx

x=

=x3

3+ 5x− 2 ln |x|+ C


Calcule as seguintes integrais:

1.∫

5x4 dx

2.∫ (

x2 −√

x)dx

3.∫

(5− 2x5 + 3x11) dx

4.∫ √

x dx

5.∫

27x2

dx

6.∫ (

4x3

+5x2

+ 20)

dx

7.∫ (

3√

x +1

2√

x

)dx

8.∫ (√

x3 + 3√

x2)

dx

9.∫ (

3√

x− 2x3

+1x

)dx


10.∫ (√

x− 3 3√

x2 + 6)

dx

Respostas

1. x5 + C

2. 13 x3 + 2

3

√x3 + C

3. 5x− 13 x6 + 1

4 x12 + C

4. 23 x3/2 + C

5. − 27x + C

6. − 2x2 − 5

x + 20x + C

7. 2x3/2 + x1/2 + C = 2√

x3 +√

x + C = 2x√

x +√

x + C

8. 25 x5/2 + 3

5 x5/3 + C = 25

√x5 + 3

53√

x5 + C

9. 2√

x3 + 1x2 + ln |x|+ C

10. 23

√x3 − 9

53√

x5 + 6x + C

2.5.4 Curvas integrais

Os graficos das antiderivadas de uma funcao f sao denominados curvas integrais de f .

Se y = F (x) for uma curva integral de f , as infinitas curvas sao obtidas por translacao

do grafico de F (x), uma vez que tem equacoes da forma G(x) = F (x)+C ou y = F (x)+C.

Em inumeros problemas, devemos encontrar uma funcao cuja derivada satisfaca a

condicoes especıficas, denominadas condicoes de contorno.

Suponha que um ponto material movimenta-se ao longo de uma curva y = f(x) no

plano xy, de tal forma que, em cada ponto (x, y) da curva, a reta tangente tem inclinacao

2x. Determine a equacao da curva sabendo que ela passa pelo ponto P (2, 5).

Solucao

Interpretacao grafica:

Existe uma constante C, tal que G(x) = F (x) + C.

Se F e uma antiderivada de f , entao F ′(x) = f(x). Logo, f(x) e a inclinacao da

tangente ao grafico de F (x). Se G e antiderivada de f , entao G′(x) = f(x). Logo, a

inclinacao de sua tangente e tambem f(x).


Seja F (x) = x2, G(x) = x2 + C e f(x) = 2x

y =∫

2x dx = 2∫

x dx

y = 2x2

2+ C

y = x2 + C solucao geral ou solucao completa

Como para x = 2, y = 5, temos:

5 = 22 + C

5 = 4 + C ⇐⇒ C = 1

x2 + 1 solucao particular

Figura 2.1: curvas integrais

Vimos que a diferencial de uma funcao y = f(x) edy

dx= f ′(x) =⇒ dy = f ′(x) dx.

Propriedades

1. Os sımbolos d e∫

, nesta ordem, se anulam, isto e:

d

∫f(x) dx = f(x) dx

2. Os sımbolos∫

e d, nesta ordem, podem ser omitidos, desde que seja acrescentada

uma constante ao resultado, isto e:∫d(F (x)) = F (x) + C

Generalizacao

∫

dx = x + C∫du = u + C

Lembrete:

1) f(x) =∫

f ′(x) dx

2) y =∫

dy

dxdx

3)∫

du = u + C


Aplicacoes Praticas

1. Determine a funcao cuja tangente tem inclinacao x2, para qualquer valor de x e cuja

curva passa pelo ponto P (2, 1).

OBSERVACAO:

A inclinacao da tangente a uma curva no ponto (x, f(x)) ou (x, y) e a derivada f ′(x)

oudy

dx.

Solucao

Temos, f ′(x) = x2 oudy

dx= x2

1o processo: 2o processo:

f(x) =∫

f ′(x) dx y =∫

dy

dxdx

f(x) =∫

x2 dx y =∫

x2 dx

f(x) =x3

3+ C y =

x3

3+ C

1 =23

3+ C 1 =

23

3+ C

1 =83

+ C C = 1− 83

= −53

C = 1− 83

= −53

y =x3

3− 5

3

f(x) =x3

3− 5

3

2. O custo fixo de producao de uma empresa e de R$8.000,00. O custo marginal e dado

por C ′(x) = (0, 03)x2 + (0, 12)x + 5. Determine a funcao custo total.

Solucao

Vimos que o custo marginal e a derivada da funcao custo C(x). Para achar C(x),

devemos integrar a funcao custo marginal.

C(x) =∫

C ′(x) dx

C(x) =∫ [

(0, 03)x2 + (0, 12)x + 5]

dx

C(x) = (0, 03)∫

x2 dx + (0, 12)∫

x dx + 5∫

dx

C(x) = (0, 03)x3

3+ (0, 12)

x2

2+ 5x + C

C(x) = (0, 01)x3 + (0, 06)x2 + 5x + C


Se a producao for nula (x = 0) o custo fixo e de R$8.000,00. Logo,

C(0) = (0, 01)(0)3 + (0, 06)(0)2 + 5(0) + C

8000 = C

Logo, C = 8000

Conclusao: C(x) = (0, 01)x3 + (0, 06)x2 + 5x + 8000

3. Estima-se que daqui a t meses a populacao de certa cidade estara aumentando a

razao de 2 + 6√

t habitantes por mes. Sabe-se que a populacao atual e de 5.000

habitantes. Diante do exposto, determine a populacao daqui a 1 ano e 4 meses.

Solucao

Seja P (t) a populacao daqui a t meses.

dP

dt= 2 + 6

√t (taxa de variacao da populacao)

P (t) =∫

dP

dtdt

P (t) =∫ (

2 + 6√

t)

dt

P (t) = 2∫

dt + 6∫

t1/2 dt

P (t) = 2t + 4t3/2 + C

Para t = 0 (populacao inicial), P (0) = 5000

P (0) = 2(0) + 4(0)3/2 + C

5000 = C

Logo, P (t) = 2t + 4t3/2 + 5000

Para t = 16 meses, temos:

P (16) = 2(16) + 4(24)3/2 + 5000

P (16) = 32 + 4(26) + 5000

P (16) = 32 + 4(64) + 5000

P (16) = 32 + 256 + 5000

P (16) = 5288

A populacao daqui a 1 ano e 4 meses sera de 5.288 habitantes.


2.5.5 Movimento em linha reta

Quando um corpo esta se movimentando em linha reta e sua posicao e dada por s(t), a

velocidade e dada por v =ds

dte a aceleracao por a =

dv

dt. Se a aceleracao do corpo e dada,

a velocidade e a posicao podem ser determinadas por integracao.

Depois que os freios sao aplicados, um carro perde velocidade a taxa constante de 6

metros por segundo. Se o carro esta com velocidade de 18 metros por segundo, quando o

motorista pisa no freio, que distancia percorre o carro ate parar?

Solucao

Seja s(t) a posicao do carro t segundos depois que o motorista pisa no freio. Se o carro

perde velocidade a razao de 6 m/segundo, isto significa que a a(t) = −6 (sinal negativo

indica que a velocidade esta diminuindo).

a(t) = −6dv

dt= −6

v(t) =∫

dv

dtdt

v(t) = −6∫

dt = −6t + C1

v(t) = −6t + C1

Quando t = 0, v = 18

18 = −6(0) + C1 =⇒ C1 = 18

Logo, v(t) = −6t + 18

ds

dt= −6t + 18

s(t) =∫

ds

dtdt

s(t) =∫

(−6t + 18) dt

s(t) = −3t2 + 18t + C2

Quando t = 0 =⇒ s(t) = 0

0 = −3(0)2 + 18(0) + C2 =⇒ C2 = 0

s(t) = −3t2 + 18t

A velocidade e zero quando o carro para.

v(t) = −6t + 18

0 = −6t + 18

6t = 18 =⇒ t = 3 segundos


O carro leva 3 segundos para parar e a distancia percorrida e:

s(3) = −3(9) + 18(3)

s(3) = −27 + 54

s(3) = 27

O carro percorre 27 metros ate parar.


1. Determine a equacao da curva cujo coeficiente angular em um ponto qualquer (x, y)

e 5x4, sabendo que a curva passa por P (1, 3).

2. A funcao custo marginal C ′ e dada por C ′(x) = 4x − 8, onde C(x) e o custo total

da producao de x unidades. Se o custo de producao de 5 unidades e R$80,00, ache

a funcao custo total. Determine o custo de producao de 20 unidades.

3. Um fabricante estima que o custo marginal seja (6q +1) reais por unidade quando q

unidades sao fabricadas. O custo total (incluindo custo fixo) para produzir as duas

primeiras unidades e R$214,00. Determine o custo para produzir as primeiras 30

unidades.

4. Apos um perıodo de testes, um fabricante determina que se x unidades de um certo

artigo sao produzidas por semana, o custo marginal e dado por C ′(x) = (0, 3)x−11,

onde C(x) e o custo total de producao de x unidades. Se o preco de venda do artigo

esta fixado em R$19,00 por unidade e o custo fixo e R$200,00 por semana, ache o

lucro total maximo que pode ser obtido por semana.

5. Se a receita marginal e dada por R′(x) = 27− 12x + x2, ache a funcao receita total

e a equacao de demanda.

6. Se o custo marginal medio, C′(x) =

(14− 17

x2

)em reais, calcule:

(a) A funcao custo medio C′(x), sabendo que C(4) = 57.

(b) A funcao custo C(x), sabendo que C(x) =C(x)

x.

7. O custo marginal para a producao e dado por C ′(x) = 18√

x + 4. Se o custo fixo e

de R$800,00, escreva uma funcao para o custo total.

8. A inclinacao da reta tangente a uma curva em qualquer de seus pontos e1

2√

x. Se

P (1, 1) e um ponto da curva, ache sua equacao.

9. Para um certo artigo, a funcao receita marginal e dada por R′(x) = 15− 4x. Ache:

(a) a funcao receita total.


(b) a equacao da demanda.

10. Estima-se que daqui a x semanas, o numero de passageiros de uma nova linha de

metro estara aumentando a razao de (18x2 + 500) passageiros por semana. No

momento, 8000 passageiros estao usando a linha. Quantos a estarao usando daqui a

5 semanas?

Respostas

1. y = x5 + 2

2. C(x) = 2x2 − 8x + 70

C(20) =R$710,00

3. R$2.930,00

4. R$1.300,00 e o lucro maximo, quando estao sendo produzidas 100 unidades por

semana.

5. R(x) = 27x− 6x2 + 13 x3

3p = 81− 18x + x2

6. (a) Cm(x) = 14 x + 17

x + 2074

(b) C(x) = 14 x2 + 207

4 x + 17

7. C(x) = 12x3/2 + 4x + 800

8. y =√

x

9. (a) R(x) = 15x− 2x2

(b) p = 15− 2x

10. 11.250 passageiros

2.5.6 Regra da exponencial∫eKx dx =

1K· eKx + C ; para K constante e K 6= 0

Calcular∫

e−3x dx no caso, K = −3∫e−3x dx =

1−3

· e−3x + C = −13· e−3x + C


Calcule∫ (

3e−5t +√

t)

dt

= 3∫

e−5t dt +∫

t1/2 dt = 3 · 1−5

· e−5t +t1/2 +1

12 + 1

+ C =

= −35· e−5t +

t3/2

32

+ C = −35· e−5t +

23· t3/2 + C

2.5.7 Integracao por substituicao

(Mudanca de variavel em integral indefinida)

1. Este metodo consiste em substituir a variavel de integracao x por uma variavel

auxiliar u de modo a obter uma integral imediata (simples), na qual a variavel de

integracao e u.

2. Para escrever dx em termos de u, deve-se calcular o valor dedu

dxe explicitar dx como

sedu

dxfosse um quociente.

3. Deve-se calcular a integral resultante e substituir u em termos de x para dar a solucao

da integral. Assim∫ (

f(u)du

dx

)dx =

∫f(u) du

Exercıcios Resolvidos

1. Calcule∫

(2x + 5)9 dx

Seja u = 2x + 5du

dx= 2 =⇒ du = 2 dx

Assim, dx =du

2∫(2x + 5)9 dx =

∫u9 · 1

2du =

12

∫u9 du =

12· u10

10+ C =

120· u10 + C =

=120· (2x + 5)10 + C

2.∫

5x

x2 − 1dx

u = x2 − 1

du = 2x dx =⇒ x dx =du

2

= 5∫

x dx

x2 − 1= 5

∫ du2

u=

52

∫du

u=

52· ln |u|+ C =

52· ln |x2 + 1|+ C

3.∫

dx

5x + 4u = 5x + 4

du = 5 dx =⇒ dx =du

5∫dx

5x + 4=

∫ du5

u=

15

∫du

u=

15· ln |u|+ C =

15· ln |5x + 4|+ C


4.∫ √

3x− 4 dx

u = 3x− 4

du = 3 dx =⇒ dx =du

3∫ √3x− 4 dx =

∫ √u

du

3=

13

∫u1/2 du =

13· u1/2 +1

12 + 1

+ C

=13· u3/2

32

+ C =13· 23

√u3 + C =

29

√(3x− 4)3 + C

5.∫

x2 + 1x + 1

dx

x2 + 1x + 1

= x− 1 +2

x + 1∫x2 + 1x + 1

dx =∫ (

x− 1 +2

x + 1

)dx =

∫x dx−

∫dx + 2

∫dx

x + 1u = x + 1

du = dx∫x dx−

∫dx + 2

∫du

u=

x2

2− x + 2 ln |x + 1|+ C

6.∫

3x + 6√2x2 + 8x + 9

dx

u = 2x2 + 8x + 9

du = (4x + 8) dx

du = 4(x + 2) dx

(x + 2) dx =du

4∫3x + 6√

2x2 + 8x + 9dx = 3

∫x + 2√

2x2 + 8x + 9dx = 3

∫ du4√u

=34

∫u−1/2 du =

=34· u1/2

12

+ C =34· 21√

u + C =32

√2x2 + 8x + 9 + C

7.∫

ln 5x

xdx =

∫ln 5x · dx

x

u = ln (5x)du

dx=

55x

=1x

du =dx

x∫ln 5x · dx

x=

∫u du =

u2

2+ C =

12

(ln 5x)2 + C


8.∫

x ex2dx =

∫ex2

x dx

u = x2

du = 2x dx

x dx =12

du∫ex2

x dx =∫

eu 12

du =12

∫eu du =

12

eu + C =12

ex2+ C


1. Calcule as seguintes integrais:

(a)∫

x(3x2 + 4)7 dx

(b)∫

6(x2 + 4x + 3)8 (2x + 4) dx

(c)∫

x2 5√

3− 4x3 dx

(d)∫

5x dx

3x2 + 4

(e)∫

5x + 9x

dx

(f)∫

x

x + 1dx

(g)∫

x2 4√

(x3 + 1)3 dx

(h)∫

3u− 3(u2 − 2u + 6)2

du

(i)∫

1x(lnx)2

dx

(j)∫

e1−x dx

Respostas

1. (a) 148 (3x2 + 4)8 + C

(b) 23 (x2 + 4x + 3)9 + C

(c) − 572

5√

(3− 4x3)6 + C

(d) 56 ln |3x2 + 4|+ C

(e) 5x + 9 ln |x|+ C

(f) x− ln |x + 1|+ C

(g) 421

4√

(x3 + 1)7 + C

(h) −32(u2−2u+6)

+ C

(i) − 1ln x + C

(j) −e1−x + C


Integrais Especiais

1. Calcule a integral∫

x2√

x + 3 dx

Solucao

Artifıcio

Seja u =√

x + 3

u2 = x + 3

x = u2 − 3

dx = 2u du

Temos:∫x2√

x + 3 dx =

=∫

(u2 − 3)2 · u · 2u du =

= 2∫

(u4 − 6u2 + 9)u2 du =

= 2∫

(u6 − 6u4 + 9u2) du =

= 2∫

u6 du− 12∫

u4 du + 18∫

u2 du =

=27

u7 − 125

u5 +183

u3 + C =27

(√

x + 3)7 − 125

(√

x + 3)5 + 6(√

x + 3)3 + C

Portanto:∫x2√

x + 3 dx =27

(x + 3)7/2 − 125

(x + 3)5/2 + 6(x + 3)3/2 + C

2. Calcule a integral∫

x5√

x2 + 4 dx

Solucao

Temos:∫

x5√

x2 + 4 dx =∫

x4√

x2 + 4 x dx

Artifıcio

u =√

x2 + 4

u2 = x2 + 4

x2 = u2 − 4

2x dx = 2u du

x dx = u du

108 [Matematica Aplicada]∫x5

√x2 + 4 dx =

=∫

x4√

x2 + 4 x dx =

=∫

(u2 − 4)2 · u · u du =

=∫

(u4 − 8u2 + 16)u2 du =

=∫

(u6 − 8u4 + 16u2) du =

=∫

u6 du− 8∫

u4 du + 16∫

u2 du =

=17

u7 − 85

u5 +163

u3 + C =17

(√

x2 + 4)7 − 85

(√

x2 + 4)5 +163

(√

x2 + 4)3 + C

Temos:∫

x5√

x2 + 4 dx =17

(x2 + 4)7/2 − 85

(x2 + 4)5/2 +163

(x2 + 4)3/2 + C


Calcule as integrais

1.∫

x3√

1 + x2 dx

2.∫

x2√

1 + x dx

Respostas

1. 15 (1 + x2)5/2 − 1

3 (1 + x2)3/2 + C

2. 27 (1 + x)7/2 − 4

5 (1 + x)5/2 + 23 (1 + x)3/2 + C

2.6 Equacoes diferenciais

Denomina-se equacao diferencial qualquer equacao que contem derivadas. As equacoes

diferenciais tem aplicacoes importantes em varios setores da atividade humana. Estudare-

mos apenas as equacoes diferenciais simples.

Exemplos:

(a)dy

dx= 4x + 1

(b)dy

dx= 3x2 + x− 2

(c)d2y

dx2= 4x− 3


(d)dy

dx=

2x

y2

(e) dy = e5x dx

(f)dy

dx=

y

x− 1

Seja a equacao diferencialdy

dx= f(x) ou dy = f(x) dx.

A solucao dessa equacao e a funcao y = F (x) + C, que e denominada solucao geral ou

solucao completa. Muitas vezes desejamos encontrar uma solucao que satisfaca a condicoes

especıficas, tais como, y = y1, quando x = x1, denominadas condicoes de contorno ou

condicoes iniciais.

Conhecida a solucao geral y = F (x) + C, se substituirmos x e y, respectivamente por

x1 e y1, obteremos o valor particular de C, isto e, C = C1, que substituıdo na solucao

geral nos fornece a solucao particular y = F (x) + C1.

Seja a equacao diferencialdy

dx= 2x− 3.

Determine a solucao geral e a seguir a solucao particular que satisfaz a condicao de

contorno y = 1 quando x = 2.

1o processo

y =∫

dy

dxdx

y =∫

(2x− 3) dx

y = 2∫

x dx− 3∫

dx

y = 2x2

2− 3x + C

y = x2 − 3x + C solucao geral

Considerando y = 1 quando x = 2, determinamos C1

1 = 22 − 3(2) + C

1 = 4− 6 + C

Logo, C = 3

Temos: y = x2 − 3x + 3 solucao particular

2o processo

dy = (2x− 3) dx

Integrando os dois membros, temos:∫dy =

∫(2x− 3) dx∫

dy = 2∫

x dx− 3∫

dx

y = x2 − 3x + C


Calculando C, temos:

y = x2 − 3x + 3

Determine a solucao particular da equacao diferencialdy

dx= e3x sabendo que y = 1

quando x = 0.

Solucao

y =∫

dy

dxdx

y =∫

e3x dx

y =13

e3x + C solucao geral

1 =13

e3(0) + C

1 =13

+ C

C = 1− 13

=23

y =13

e3x +23

solucao particular

Encontre a solucao completa ou geral da equacao diferencial de 2a ordemd2y

dx2= 4x−1.

Determine em seguida, a solucao particular que atenda as condicoes de contornody

dx= 2

quando x = 2 e y = 3 quando x = 1.

Solucao

1o processody

dx=

∫d2y

dx2dx

dy

dx=

∫(4x− 1) dx = 4

∫x dx−

∫dx = 4

x2

2− x + C1

dy

dx= 2x2 − x + C1 (I)

y =∫

dy

dxdx

y =∫

(2x2 − x + C1) dx = 2∫

x2 dx−∫

x dx + C1

∫dx

y =23

x3 − 12

x2 + C1x + C2 (II) Solucao completa

Substituindo em (I),dy

dxpor 2 e x por 2, temos:

2 = 2(2)2 − 2 + C1

Logo, C1 = −4


Considerando C1 = −4 na solucao completa, temos:

y =23

x3 − 12

x2 − 4x + C2 (III)

Como y = 3 quando x = 1, por hipotese, temos:

3 =23(1)3 − 1

2(1)2 − 4(1) + C2

Logo, C2 =416

Substituindo este valor em (III), temos:

y =23

x3 − 12

x2 − 4x +416

Solucao particular

2o processod2y

dx2= 4x− 1

d

dx

(dy

dx

)= 4x− 1

d

(dy

dx

)= (4x− 1) dx

Integrando os 2 membros, temos:∫d

(dy

dx

)=

∫(4x− 1) dx

dy

dx= 4

x2

2− x + C1

dy

dx= 2x2 − x + C1

dy = (2x2 − x + C1) dx∫dy =

∫(2x2 − x + C1) dx∫

dy = 2∫

x2 dx−∫

x dx + C1

∫dx

y =23x3 − x2

2+ C1x + C2

De acordo com o exposto no 1o processo, concluimos:

y =23x3 − 1

2x2 − 4x +

416

NOTA: A ordem de uma equacao diferencial corresponde a da derivada de maior ordem

que aparece na equacao.

2.6.1 Equacoes diferenciais com variaveis separaveis

Consideremos:dy

dx=

g(x)h(y)

Logo, h(y) dy = g(x) dx


O 1o membro envolve somente a variavel y e o 2o membro envolve somente a varavel

x. As variaveis sao separadas. Uma solucao geral pode ser obtida integrando os dois

membros da equacao, isto e:∫h(y) dy =

∫g(x) dx

Encontre a solucao geral da equacao diferencial x dx + y dy = 0

Solucao

x dx = −y dy

Integrando, temos:∫x dx = −

∫y dy

x2

2+ C1 = −y2

2+ C2

x2

2= −y2

2+ C2 − C1

x2

2+

y2

2= C3

x2 + y2 = C

Processo pratico∫x dx = −

∫y dy

x2

2= −y2

2+ C1

x2

2+

y2

2= C

x2 + y2 = C

Determine a solucao geral da equacao diferencialdy

dx=

x2

ySolucao

Temos:

y dy = x2 dx

Integrando, temos:∫y dy =

∫x2 dx

y2

2=

x3

3+ C

Determine a solucao particular da equacao diferencialdy

dx= x

√y que satisfaz a

condicao de contorno y = 1 quando x = 0.

Solucaody√

y= x dx


Integrando temos:∫dy

y1/2=

∫x dx∫

y−1/2 dy =∫

x dx

y1/2

12

=x2

2+ C

2y1/2 =12

x2 + C

2√

y =12

x2 + C

2√

1 =12

(0)2 + C

Logo, C = 2

Conclusao,

2√

y =12

x2 + 2

2.6.2 Aplicacoes das equacoes diferenciais

1. A inclinacao da reta tangente a uma curva em um ponto qualquer (x, y) na curva e

igual a 3x2y2. Determine a equacao da curva, sabendo que o ponto P (2, 1) esta na

curva.

Solucaody

dx= 3x2y2

dy

y2= 3x2 dx∫

y−2 dy = 3∫

x2 dx

y−1

−1= 3

x3

3+ C

−1y

= x3 + C

−11

= 23 + C

Logo, C = −9

Conclusao

−1y

= x3 − 9

2. O custo de uma certa maquina e 700 dolares e seu valor e depreciado de acordo com

a formuladV

dt= −500(t+1)−2, onde V e o seu valor t anos apos a sua compra. Qual

sera o seu valor 3 anos apos sua compra?


Solucao

t = 0 =⇒ V = 700 (valor inicial)

V =∫

dV

dtdt

V = −500∫

(t + 1)−2 dt

calculo auxiliar:

u = t + 1

du = dt

V = −500∫

u−2 du = −500u−1

−1+ C

V (t) =500t + 1

+ C

V (0) =500

0 + 1+ C

700 = 500 + C =⇒ C = 200

Logo, V (t) =500t + 1

+ 200

V (3) =500

3 + 1+ 200

V (3) =5004

+ 200

V (3) = 325

Conclusao: O seu valor sera 325 dolares.

3. A populacao de uma certa cidade vem crescendo a uma taxa de400√t + 1

pessoas por

ano, t anos apos 1996. Sabe-se que a populacao em 1999 era de 6.000 pessoas.

(a) Qual era a populacao em 1996?

(b) Qual sera a populacao em 2004 se for mantida a mesma taxa de crescimento?

Solucao

Temos:dp

dt= 400(t + 1)−1/2 e p(3) = 6000

p(t) =∫

dp

dtdt

p(t) = 400∫

(t + 1)−1/2 dt


p(t) = 400(t + 1)1/2

12

+ C

p(t) = 800√

t + 1 + C

t = 3 =⇒ p(3) = 800√

3 + 1 + C

6000 = 800(2) + C =⇒ C = 4400

Logo, p(t) = 800√

t + 1 + 4400

(a) t = 0

p(0) = 800√

0 + 1 + 4400

p(0) = 800 + 4400 = 5200

Em 1996 a populacao era de 5.200 habitantes.

(b) t = 8

p(8) = 800√

8 + 1 + 4400

p(8) = 800(3) + 4400

p(8) = 2400 + 4400

p(8) = 6800

Em 2004 a populacao sera de 6.800 habitantes.

4. A quantidade de bacterias presentes em uma cultura cresce de 100 para 300 unidades

num intervalo de 2 horas. Suponha que a taxa de crescimento seja proporcional

a quantidade de bacterias presentes. Determine uma expressao que estabeleca a

quantidade de bacterias em qualquer instante t.

Solucao

Seja Q a quantidade de bacterias presentes em um instante t e seja K a constante

de proporcionalidade.dQ

dt= KQ =⇒ dQ

Q= K dt∫

dQ

Q= K

∫dt

lnQ = Kt + C1 =⇒ Q = eKt+C1 =⇒ Q = eKt · eC1

Q = CeKt

t = 0 =⇒ Q = 100

100 = CeK(0) =⇒ 100 = Ce0

C = 100

Logo, Q = 100eKt


t = 2 =⇒ Q = 300

Logo,

300 = 100e2K =⇒ e2K = 3 =⇒ 2K = ln 3

K =ln 32

Conclusao: Q = 100 eln 32

t


1. Determine a solucao geral das equacoes diferenciais seguintes:

(a)dy

dx= −3x2 + 6

(b)dy

dx= x4 + 2x2 − 1

x2

(c)dy

dx= (3x + 1)3

(d)dy

dx= x

√x2 + 5

2. Ache a solucao completa das equacoes diferenciais seguintes e a seguir determine a

solucao particular que satisfaz as condicoes de contorno dadas.

(a)

dy

dx= 6x2 − 1

x2+ 3

y = 10 quando x = 1

(b)

dy = x√

x2 + 5 dx

y = 8 quando x = 2

(c)

dy

dx= x2 + 3x

y = 2 quando x = 1

(d)

dy

dx= (x + 1)(x + 2)

y = −32

quando x = −3

3. Determine a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:

(a)dy

dx=

2x

y2

(b)dy

dx=

2x2

3y3

(c) x dy = −y dx

(d)dy

dx= y2

√4− x


4. Determine a solucao particular da equacao diferencial dada, que satisfaz a condicao

de contorno indicada.

(a)dy

dx=

x

y2; y = 3 para x = 2

(b) dy = e5x dx ; y = 1 para x = 0

(c)dy

dx= 4x2y2 ; y = −1 para x = 1

(d)dy

dx= y2

√4− x ; y = 2 para x = 4

5. Nos exercıcios seguintes, ache a solucao particular de cada equacao diferencial de 2a

ordem que satisfaz as condicoes de contorno dadas:

(a)d2y

dx2= 6x + 1 ; y = 2 quando x = 0 e

dy

dx= 3 quando x = 0

(b)d2y

dx2= x2 + 3x ;

dy

dx= 1 e y = 2 quando x = 1

6. O custo marginaldC

dxpara produzir x unidades de um determinado produto e dado

pordC

dx= 0, 05 +

5000x2

reais por item. Determine a funcao custo total sabendo que

C = 5500 reais quando x = 1000.

7. O custo de producao de um produto e C(x) = 3, 5x + 100 reais por mes, onde x e o

numero de consumidores do produto. A renda marginal e dada pordR

dx= 13 − x

40reais por mes e R = 0 quando x = 0.

(a) Determine R como uma funcao de x.

(b) Determine o lucro total P como uma funcao de x.

8. Se a funcao receita marginal e dada por R′(x) = 3x2 − 12x + 10, ache:

(a) a funcao receita total;

(b) a equacao da demanda.

9. Para um determinado produto, a taxa de variacao da funcao custo total por unidade

de variacao em x e 3x e a curva do custo total contem o ponto (5, 45). Ache a funcao

custo total.

10. A matrıcula em certa faculdade vem crescendo a uma taxa de 1000(t + 1)−1/2 estu-

dantes por ano desde 2001. Se a matrıcula em 2004 foi de 10.000 alunos, verifique:

(a) qual foi a matrıcula em 2001?

(b) quantos alunos sao esperados em 2009 se o crescimento continuar na mesma

taxa?


Respostas

1. (a) y = −x3 + 6x + C

(b) y = 15 x5 + 2

3 x3 + 1x + C

(c) y = 112 (3x + 1)4 + C

(d) y = 13

√(x2 + 5)3 + C

2. (a) y = 2x3 + 1x + 3x + 4

(b) y = 13

√(x2 + 5)3 − 1

(c) y = 13 x3 + 3

2x2 + 16

(d) 6y = 2x3 + 9x2 + 12x

3. (a) y3 = 3x2 + C

(b) 9y4 = 8x3 + C

(c) xy = C

(d) 1y = 2

3

√(4− x)3 + C

4. (a) y3 = 32 x2 + 21

(b) y = 15 e5x + 4

5

(c) y = 31−4x3

(d) y = 64(4−x)3/2+3

5. (a) y = x3 + 12 x2 + 3x + 2

(b) y = 112 x4 + 1

2 x3 − 56 x + 27

12

6. C(x) = 0, 05x− 5000x + 5455 reais

7. (a) R(x) = 13x− x2

80

(b) P (x) = 9, 5x− x2

80 − 100

8. (a) R(x) = x3 − 6x2 + 10x

(b) P (x) = x2 − 6x + 10

9. C(x) = 32 x2 + 15

2

10. (a) 8.000 alunos.

(b) 12.000 alunos.


2.7 Integracao por partes

Se u = f(x) e v = g(x) sao funcoes contınuas e derivaveis em um mesmo intervalo I, entao∫u dv = uv −

∫v du.

Pela regra do produto, temos:

[f(x) · g(x)]′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

f(x) · g′(x) = [f(x) · g(x)]′ − f ′(x) · g(x)

Supondo que f ′(x) · g(x) admita primitiva em I e como f(x) · g(x) e uma primitiva de

[f(x) · g(x)]′, entao f(x) · g′(x) tambem admitira primitiva em I.

Entao,∫f(x) · g′(x) dx = f(x) · g(x)−

∫f ′(x) · g(x) dx∫

f(x) · g′(x) dx = f(x) · g(x)−∫

g(x) · f ′(x) dx

Como u = f(x) e v = g(x), entao du = f ′(x) dx e dv = g′(x) dx

Portanto:∫

u dv = uv −∫

v du Formula de integracao por partes

Ao aplicar esta formula no calculo de uma integral, devemos fazer uma parte do inte-

grando corresponder a dv. A expressao que escolhermos para dv deve incluir a diferencial

dx. Indicamos a parte restante do integrando por u e calculamos du.

Como este processo implica em separar o integrando em duas partes, atribuimos a este

processo a “denominacao integracao por partes”.

OBSERVACOES:

1. No processo de integracao por partes devemos omitir a 1a constante de integracao

C1, que desaparece no decorrer do processo. Portanto, devemos indicar a constante

de integracao somente no final do processo.

2. E importante a escolha adequada de dv. Em geral, fazemos dv representar a parte

mais complicada do integrando de modo a facilitar o calculo da integral.

3. Existem muitos casos em que e necessario aplicar a integracao por partes mais de

uma vez para obter a primitiva procurada.

Exemplo 1:

Calcule∫

lnx dx.


Solucao

Seja u = ln x e dv = dx

Assim,

du =1x

dx e∫

dv =∫

dx =⇒ v = x + C1∫lnx dx = ln x(x + C1)−

∫(x + C1)

dx

x=

x lnx + C1 lnx−∫

dx− C1

∫dx

x= x lnx + C1 lnx− x + C1 ln |x|+ C

Conclusao∫lnx︸︷︷︸

u

dx︸︷︷︸dv

= x lnx− x + C

De acordo com a observacao (1) a constante C1 desaparece no decorrer do processo.

Logo, esta constante deve ser omitida.

Processo adequado: nao consideraremos a constante C1 nos exemplos seguintes.

u = ln x =⇒ du =dx

xe dv = dx

Assim,∫dv =

∫dx e v = x∫

lnx dx = ln x(x)−∫

xdx

x= x lnx−

∫dx = x lnx− x + C

Portanto, lnx dx = x lnx− x + C

Exemplo 2:

Calcule∫

xe2x dx

Solucao

Calculo auxiliar

u = e2x

du = 2e2x dx;

dv = x dx∫dv =

∫x dx =⇒ v =

12

x2

∫xeex dx = e2x · 1

2x2 −

∫12

x2 · 2e2x dx∫xeex dx =

12

x2 e2x −∫

x2 · e2x dx

Observamos que o expoente associado a x aumentou de 1 para 2 e nesse caso, a integral

a direita e mais complexa que a integral inicial. A escolha de dv foi incorreta.

Consideremos:

u = x

du = dx;

dv = e2x dx∫dv =

∫e2x dx =⇒ v =

12

e2x

[Prof. Hiroshi Ouchi] 121∫xe2x dx = x

12

e2x − 12

∫e2x dx∫

xe2x dx =12

x e2x − 12· 12

e2x + C

∫xe2x dx =

12

(x− 1

2

)e2x + C

Exemplo 3:

Calcule∫

x ln 3x dx

Solucao

Artifıcio(a) u = ln 3x

du =33x

dx

du =dx

x

;

(b) dv = x dx∫dv =

∫x dx

v =x2

2∫x ln 3x dx =

∫(ln 3x)︸︷︷︸

u

x dx︸︷︷︸dv∫

x ln 3x dx = (ln 3x)x2

2− 1

2

∫x2 dx

x∫x ln 3x dx =

12

x2 ln 3x− 12

∫x dx∫

x ln 3x dx =12

x2 ln 3x− 12· x2

2+ C

Portanto:∫x ln 3x dx =

12

x2

(ln 3x− 1

2

)+ C

Exemplo 4:

Calcule∫

x2e2x dx

Solucao

Calculos auxuliares

(a) u = x2

du = 2x dx ;

(b) dv = e2x dx∫dv =

∫e2x dx

v =12

e2x

∫x2e2x dx = x2 1

2e2x −

∫12

e2x2x dx∫x2e2x dx =

12

x2e2x −∫

xe2x dx (I)


Devemos repetir o processo

(c) u = x

du = dx;

(d) dv = e2x dx

v =12

e2x

∫xe2x dx = x

12

e2x −∫

12

e2x dx =12

xe2x − 12· 12

e2x + C1

De (I), temos:∫x2e2x dx =

12

x2e2x −(

12

xe2x − 14

e2x + C1

)∫

x2e2x dx =12

x2e2x − 12

xe2x +14

e2x + C

Portanto:∫x2e2x dx =

12

e2x

(x2 − x +

12

)+ C


1. Use o metodo de integracao por partes para calcular as integrais seguintes:

(a)∫

ln (x + 1) dx

(b)∫

xn lnx dx

(c)∫

x2ex dx

(d)∫

xe−x dx

(e)∫

(1− x)ex dx

(f)∫

t ln (2t) dt

(g)∫

x2e−x dx

(h)∫

lnx

x2dx

(i)∫

x√

x + 5 dx

(j)∫ t

1x lnx dx

2. Determine a solucao particular da equacao diferencialdy

dx= xex−y que satisfaz a

equacao de contorno y = ln 2 para x = 0.

3. Determine a funcao cuja tangente tem inclinacao (x + 1) · e−x para qualquer valor

de x cujo grafico passa pelo ponto P (1, 5).


Respostas

1. (a) (x + 1) · ln (x + 1) + C

(b) xn+1

n+1

(lnx− 1

n + 1

)+ C

(c) x2ex − 2xex + 2ex + C

(d) −(x + 1) · e−x + C

(e) (2− x) · ex + C

(f) 12 t2

(ln 2t− 1

2

)+ C

(g) −e−x(x2 + 2x + 2) + C

(h) − 1x(lnx + 1) + C

(i) 23 x(x + 5)3/2 − 4

15 (x + 5)5/2 + C

(j) 12 t2 · ln t− 1

4 t2 + 14 + C

2. y = ln [ex(x + 1) + 3] + C

3. y = −e−x(x + 2) + 5 + 3e + C

Exemplos Especiais

Exemplo 5:

Calcule∫

arc tgx dx

Solucao

Calculos auxiliares(a) u = arc tg x

du =dx

1 + x2

(b) dv = dx∫dv =

∫dx

v = x

(c) t = 1 + x2

dt = 2x dx

x dx =dt

2∫arc tgx dx = ( arc tgx) x−

∫x · dx

1 + x2∫arc tgx dx = x · arc tgx−

∫ dt2

t∫arc tgx dx = x · arc tgx− 1

2

∫dt

t∫arc tgx dx = x · arc tgx− 1

2ln t + C

Conclusao:∫arc tgx dx = x · arc tgx− 1

2ln |1 + x2|+ C


Exemplo 6:

Calcule∫

x3 · cos x2 dx

Solucao

Temos,∫

x2 · cos x2 · x dx

Calculos auxiliares

(a) t = x2

dt = 2x dx =⇒ x dx =12

dt

Assim,∫

x3 · cos x2 dx =∫

t cos t12

dt =12

∫t cos t dt

(b) u = t

du = dt

(c) dv = cos t dt∫dv =

∫cos t dt

v = sen t

12

∫t cos t dt =

12

[t sen t−

∫sen t dt

]=

12

(t sen t + cos t) + C

Conclusao:∫x3 · cos x2 dx =

12

(x2 · senx2 + cos x2) + C

Exemplo 7:

Calcule∫

ex senx dx

Solucao

Calculos auxiliares

(a) u = ex

du = ex dx

(b) dv = senx dx∫dv =

∫senx dx

v = − cos x

∫ex senx dx = ex(− cos x)−

∫− cos x ex dx∫

ex senx dx = −ex cos x +∫

ex cos x dx (I)

Calculos auxiliares

(c) u = ex

du = ex dx

(d) dv = cos x dx∫dv =

∫cos x dx

v = senx

[Prof. Hiroshi Ouchi] 125∫ex cos x dx = ex senx−

∫senx ex dx

De (I), temos:∫ex senx dx = −ex cos x + ex senx−

∫ex senx dx∫

ex senx dx +∫

ex senx dx = ex senx− ex cos x

2∫

ex senx dx = ex( sen x− cos x)

Conclusao:∫ex senx dx =

12

ex( sen x− cos x) + C

Exemplo 8:

Calcule∫

sec3 x dx

Solucao

Temos,∫

sec3 x dx =∫

sec x · sec2 x dx

Calculos auxiliares

(a) u = sec x

du = sec x · tg x dx

(d) dv = sec2 x dx∫dv =

∫sec2 x dx

v = tg x

∫sec3 x dx = sec x · tg x−

∫tg x · sec x · tg x dx∫

sec3 x dx = sec x · tg x−∫

tg 2x · sec x dx∫sec3 x dx = sec x · tg x−

∫(sec2 x− 1) · sec x dx∫

sec3 x dx = sec x · tg x−∫

sec3 x dx +∫

sec x dx∫sec3 x dx +

∫sec3 x dx = sec x · tg x +

∫sec x dx

2∫

sec3 x dx = sec x · tg x +∫

sec x dx

Conclusao:∫sec3 x dx =

12

sec x · tg x +12

ln | sec x + tgx|+ C


4. Calcule∫

x · sec2 x dx

5. Calcule∫

x · senx dx

6. Calcule∫

(x− 1) · e−x dx


7. Calcule∫

xe−x/5 dx

8. Calcule∫

e3x cos 4x dx

9. Calcule∫

x2 · lnx dx

10. Calcule∫

arc senx dx

Respostas

4. x tg x + ln | cos x|+ C

5. −x cos x + senx + C

6. −xe−x + C

7. −5(x + 5)e−x/5 + C

8. e3x

25 (4 sen 4x + 3 cos 4x) + C

9. 13 x3

(lnx− 1

3

)+ C

10. x arc senx +√

1− x + C

2.8 Teorema Fundamental do Calculo: A integral definida

Seja a funcao f(x), contınua no intervalo fechado [a, b], isto e, a ≤ x ≤ b e seja F (x) a

antiderivada de f(x) nesse intervalo.

Assim,∫

f(x) dx = F (x) + C

A notacao∫ b

af(x) dx indica que a integral esta definida de a ate b, onde os numeros

a e b sao denominados limites de integracao. No caso, a e o limite inferior e b e o limite

superior.

Definicao ∫ b

af(x) dx = F (x)

∣∣∣∣ba

= F (b)− F (a)

onde F (x) e antiderivada da funcao f(x).

Este teorema relaciona a integral definida a antiderivacao.

NOTA: No calculo da integral definida devemos, por conveniencia, omitir a constante

C, para evitar calculos desnecessarios, uma vez que a constante C e eliminada no decorrer

do processo.


Justificativa:∫ b

af(x) dx = F (x)+C

∣∣∣∣ba

= [F (b)+C]−[F (a)+C] = F (b)+C−F (a)−C = F (b)−F (a)

Conclusao ∫ b

af(x) dx = F (x)

∣∣∣∣ba

= F (b)− F (a)

Exemplo 1

Calcule∫ 3

1(3x2 + x− 2) dx

Solucao

Calculo da integral indefinida∫(3x2 + x− 2) dx = x3 +

12

x2 − 2x + C

Portanto∫ 3

1(3x2 + x− 2) dx = x3 +

12

x2 − 2x

∣∣∣∣31

=

= (3)3 +12

(3)2 − 2(3)−[(1)3 +

12

(1)2 − 2(1)]

=

= 27 +92− 6−

(1 +

12− 2

)=

= 21 +92− 1

2+ 1 = 22 +

82

= 22 + 4 = 26

Portanto,∫ 3

1(3x2 + x− 2) dx = 26

Outro processo:∫ 3

1(3x2 + x− 2) dx = x3 +

12

x2 − 2x

∣∣∣∣31

Temos, F (x) = x3 +12

x2 − 2x

F (3) = 33 +12

(3)2 − 2(3) = 27 +92− 6 = 21 +

92

F (1) = 13 +12

(1)2 − 2(1) = 1 +12− 2 =

12− 1

F (3)− F (1) = 21 +92−

(12− 1

)F (3)− F (1) = 21 + 1 +

92− 1

2= 22 +

82

= 22 + 4 = 26

Conclusao,∫ 3

1(3x2 + x− 2) dx = 26

Exemplo 2

Calcule∫ 3

−2(6x2 − 5) dx


Solucao

Calculo da integral indefinida∫(6x2 − 5) dx = 2x3 − 5x + C

∫ 3

−2(6x2 − 5) dx = 2x3 − 5x

∣∣∣∣3−2

=

= [2(3)3 − 5(3)]− [2(−2)3 − 5(−2)] =

= 54− 15− (−16 + 10) = 39− (−6) = 39 + 6 = 45

Portanto,∫ 3

−2(6x2 − 5) dx = 45

Outro Processo

F (x) = 2x3 − 5x

F (3) = 2(3)3 − 5(3) = 54− 15 = 39

F (−2) = 2(−2)3 − 5(−2) = −16 + 10 = −6

F (3)− F (−2) = 39− (−6) = 39 + 6 = 45

Portanto,∫ 3

−2(6x2 − 5) dx = 45

Exemplo 3

Calcule∫ 3

0(x2 − 3x) dx

Solucao∫(x2 − 3x) dx =

x3

3− 3

2x2 + C

F (3) =33

3− 3

2(3)2 = 9− 27

2

F (0) =03

3− 3

2(0)2 = 0

F (3)− F (0) = 9− 272− 0 =

18− 272

= −92

Logo,∫ 3

0(x2 − 3x) dx = −9

2

∫ 3

0(x2 − 3x) dx =

x3

3− 3

2x2

∣∣∣∣30

=33

3− 3

2(3)2 −

[03

3− 3

2(0)2

]= 9− 27

2− 0 = −9

2

Exemplo 4

Calcule∫ 3

1

2x3 − 4x2 + 5x2

dx


Solucao∫2x3 − 4x2 + 5

x2dx = 2

∫x3

x2dx− 4

∫x2

x2dx + 5

∫dx

x2=

= 2∫

x dx− 4∫

dx + 5∫

x−2 dx = x2 − 4x− 5x

+ C

Portanto:∫ 3

1

2x3 − 4x2 + 5x2

dx = x2 − 4x− 5x

∣∣∣∣31

= 32 − 4(3)− 53−

(12 − 4(1)− 5

1

)=

= 9− 12− 53− (1− 4− 5) = −3− 5

3+ 8 = 5− 5

3=

103

Conclusao:∫ 3

1

2x3 − 4x2 + 5x2

dx =103

Exemplo 5

Calcule∫ 10

2

3 dx√5x− 1

Solucao

Devemos resolver a integral indefinida utilizando o metodo da substituicao.

Seja,

u = 5x− 1

du = 5 dx =⇒ dx =15

dx

∫3 dx√5x− 1

= 3∫ 1

5 du√

u=

35

∫du

u1/2=

35

∫u−1/2 du =

35· u1/2

12

+ C =

=35· 21√

u + C =65√

u + C =65√

5x− 1 + C

1o Processo∫ 10

2

3 dx√5x− 1

=65√

5x− 1∣∣∣∣10

2

=65

[√5x− 1

]10

2

=65

(√

50− 1−√

10− 1) =

=65

(√

49−√

9) =65

(7− 3) =65

(4) =245

Assim,∫ 10

2

3 dx√5x− 1

=245

2o Processo∫3 dx√5x− 1

=65√

u + C

Logo,

x = 2 =⇒ u = 5(2)− 1 = 9

x = 10 =⇒ u = 5(10)− 1 = 49


∫ 10

2

3 dx√5x− 1

=65√

u

∣∣∣∣49

9

=65

(√

49−√

9) =65

(7− 3) =65

(4) =245

∫ 10

2

3 dx√5x− 1

=245


1. Calcule as seguintes integrais definidas.

(a)∫ 2

0(x2 − 4) dx

(b)∫ 3

−13x2 dx

(c)∫ 4

12

dx

x

(d)∫ 9

1

√x dx

(e)∫ e

1lnx · dx

x

(f)∫ 3

0(3y − y2) dy

(g)∫ 2

1(3x2 − 4x + 1) dx

(h)∫ 2

0(4x− 2x2) dx

(i)∫ 2

1

(x2

8+

2x2

)dx

2. Calcule as integrais definidas seguintes, usando o teorema fundamental do calculo.

(a)∫ 1

0(x4 + 2x2 + 1)(x3 + x) dx

(b)∫ 2

02x2

√x3 + 1 dx

(c)∫ 4

0

4x dx√x2 + 9

(d)∫ 1

08x(x2 + 1)3 dx

(e)∫ 3

0x√

1 + x dx

(f)∫ 1

−1( 3√

x4 + 4 3√

x) dx

Respostas

1. (a) 163

(b) 28


(c) 2 ln 4

(d) 523

(e) 12

(f) 92

(g) 2

(h) 83

(i) 3124

2. (a) 76

(b) 1049

(c) 8

(d) 15

(e) 11615

(f) 67

2.8.1 A integral definida

Interpretacao geometrica (Teorema fundamental do calculo integral)

Seja f(x) uma funcao contınua definida no intervalo [a, b] e tal que f(x) ≥ 0.

A integral definida∫ b

af(x) dx representa a area da regiao compreendida entre o grafico

de f(x), o eixo x e as retas verticais x = a e x = b.

Figura 2.2: interpretacao geometrica

Indicando por A a area destacada, temos:

A =∫ b

af(x) dx


OBSERVACOES: A letra que representa a variavel independente pode ser escolhida

arbitrariamente.

A =∫ b

af(x) dx =

∫ b

af(t) dt =

∫ b

af(u) du , . . . , etc.

Seja A(x) a funcao que a cada x associa a area sob o grafico de f no intervalo [a, b].

Figura 2.3: A(x)

Segue-se entao que A(a) = 0 e A(b) =∫ b

af(x) dx

Devemos evitar escrever A(x) =∫ x

af(x) dx para poder destacar que a variavel x e

um dos extremos do intervalo de integracao.

Neste caso, devemos escrever A(x) =∫ x

af(t) dt.

Seja f(x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a, b]

Figura 2.4: Area

Temos A1 = A2 e:

1.∫ b

af(x) dx: representa a area sob o grafico de f , de a ate b.

2. f(z) · (b− a): representa a area do retangulo ABCD.

Entao, existe um numero z entre a e b tal que a area do retangulo de altura f(z) e


base (b − a) e igual a area A da regiao sob o grafico de f de a ate b. (teorema do valor

medio)

Portanto∫ b

af(x) dx = f(z)(b− a)

Demonstracao do teorema fundamental do calculo integral para o caso em que f(x) ≥ 0.

Figura 2.5: demonstracao do teorema

Para qualquer valor de x entre a e b, consideramos A(x) a area sob a curva y = f(x)

no intervalo [a, b].

Sejam x e x + h numeros no intervalo [a, b].

Por definicao, a expressao A(x + h) − A(x) representa a area sob a curva y = f(x)

entre x e x + h. Para pequenos valores de h, essa area e aproximadamente igual a area de

um retangulo de altura f(x) e largura h.

A(x + h)−A(x) ' f(x) · h

A(x + h)−A(x) = f(z) · h (TVMI)A(x + h)−A(x)

h= f(z)

limh→0+

A(x + h)−A(x)h

= limh→0+

f(z)

A′(x) = f(x)

Portanto A(x) e uma antiderivada de f(x).

Suponhamos que F (x) seja outra antiderivada de f(x). Nesse caso, de acordo com a

propriedade fundamental das antiderivadas, temos:

A(x) = F (x) + C

onde C e uma constante arbitraria e a ≤ x ≤ b. Como A(x) representa a area sob a curva

y = f(x) entre a e x, A(a) e a area entre a e a, isto e, A(a) = 0.

Assim,

A(a) = F (a) + C

0 = F (a) + C


Logo, C = −F (a)

A(b) representa a area sob a curva y = f(x) entre a e b.

A(b) = F (b) + C

A(b) = F (b)− F (a)

Como a area sob a curva y = f(x) e dada por∫ b

af(x) dx, concluimos:

A(b) =∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a)

RESUMO: Teorema fundamental do calculo integral

Se f(x) e uma funcao contınua no intervalo [a, b] e F (x) e uma funcao tal que

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b], entao∫ b

af(x) dx = F (x)

]b

a

= F (b)− F (a)

OBSERVACOES:

1. f(x) > 0

Figura 2.6: f(x) > 0

A =∫ b

af(x) dx > 0

2. f(x) < 0

Temos∫ b

af(x) dx < 0

A = −∫ b

af(x) dx


Figura 2.7: f(x) < 0

3. .

Figura 2.8: A = A1 + A2

A = −∫ c

af(x) dx +

∫ b

cf(x) dx onde A representa a area de y = f(x) de a ate b

ou A =∣∣∣∣∫ c

af(x) dx

∣∣∣∣ +∫ b

cf(x) dx

Exemplo 1

Calcule a area da regiao R limitada pelo grafico de f(x) = 8−2x e os eixos coordenados.

Figura 2.9: Exemplo 1


Solucao

1. Geometrica

A =4 · 82

= 16

Logo, A = 16 u.a.

2. Calculo∫(8− 2x) dx = 8x− x2 + C

A =∫ 4

0(8− 2x) dx = 8x− x2

]4

0

= 32− 16− 0 = 16

A = 16 u.a.

Exemplo 2

Determine a area limitada pela parabola y = −x2 + 4x e o eixo x.


Solucao∫(−x2 + 4x) dx = −x3

3+ 2x2 + C

A =∫ 4

0(−x2 + 4) dx = −x3

3+ 2x2

]4

0

= −643

+ 32−[−03

3+ 2(0)2

]A =

−64 + 963

− 0 =323

A =323

u.a.

Exemplo 3

Calcule a area da regiao destacada abaixo, relativa a funcao f(x) = x2 − 3x



Solucao

Seja A1 a area destacada quando f(x) e negativa e A2 a area destacada para f(x)

positiva.

A1 = −∫ 3

0(x2 − 3x) dx = −

[x3

3− 3

2x2

]3

0

= −[−9

2− 0

]=

92

A2 =∫ 4

3(x2 − 3x) dx =

[x3

3− 3

2x2

]4

3

=116

A = A1 + A2 =92

+116

Portanto, A =193

u.a.

Exemplo 4

Determine a area da regiao plana compreendida pelo grafico de y = x2 − 4 e o eixo x.

(funcao par)



Solucao∫ 2

−2(x2 − 4) dx = 2

∫ 2

0(x2 − 4) dx = 2

[x3

3− 4x

]2

0

=

2[(

83− 8

)− 0

]= 2

(83− 8

)= 2

(−16

3

)= −32

3< 0

A = −∫ 2

−2(x2 − 4) dx = −2

∫ 2

0(x2 − 4) dx = −2

(−16

3

)=

323

A =323

u.a.

Exemplo 5

Calcule a area entre o grafico de f(x) = x2 − 5x + 9 e o eixo x no intervalo [1, 4], isto

e, 1 ≤ x ≤ 4.


Solucao∫(x2 − 5x + 9) dx =

x3

3− 5

2x2 + 9x + C

A =∫ 4

1(x2 − 5x + 9) dx =

x3

3− 5

2x2 + 9x

]4

1

=523− 41

6=

212

A =212

u.a.


1. Calcule a area da regiao limitada pela curva y = x3 + 3x2 e o eixo x no intervalo

[0, 2].

2. Ache a area da regiao limitada pela curva y = x2 − 4x, o eixo x a as retas x = 1 e

x = 3.

3. Ache a area da regiao limitada pela curva y = −x2 + 4x− 3 e o eixo x.

4. Ache a area limitada pela curva y = x3 − 4x e o eixo x.


5. Calcule a area da regiao R limitada pela curva y =√

x, pelas retas x = 4 e x = 9 e

pelo eixo x.

6. Obtenha as areas destacadas:

(a) (b)

(c) (d)

Respostas

1. A = 12 u.a.

2. 223 u.a.

3. 43 u.a.

4. 8 u.a.

5. 383 u.a.

6. (a) 9 u.a.

(b) 83 u.a.

(c) 83 u.a.

(d) 4 u.a.


2.8.2 Area da regiao compreendida entre duas curvas

Sejam f(x) e g(x) funcoes contınuas nao-negativas e tais que f(x) ≥ g(x).

Figura 2.14: area da regiao entre f(x) e g(x)

A1 = area entre a curva y = f(x), o eixo x e as verticais x = a e x = b

A2 = area entre a curva y = g(x), o eixo x e as verticais x = a e x = b

A = area entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e as verticais x = a e x = b

Logo, A = A1 −A2

A =∫ b

af(x) dx−

∫ b

ag(x) dx

A =∫ b

a[f(x)− g(x)] dx

OBSERVACOES: Para determinar a area da regiao R entre as curvas f(x) e g(x), de

x = a ate x = b, deve-se subtrair a area da curva inferior y = g(x) da area da curva

superior y = f(x).

Exemplo 1

Calcule a area da regiao limitada pela parabola y = −x2 + 2 e pela reta y = −x.

Solucao

Calculo da interseccao das curvas

−x = −x2 + 2

x2 − x − 2 = 0

x = −1

x = 2A(−1, 1) e B(2,−2) Interseccoes da parabola com a

reta

Pontos da parabola: A(−1, 1), B(2,−2), C(0, 2) e D(1, 1)



∆A = [−x2 + 2− (−x)] dx = (−x2 + x + 2) dx

Limites de integracao:

limite inferior = −1

limite superior = 2

A =∫ 2

−1(−x2 + x + 2) dx = −x3

3+

x2

2+ 2x

]2

−1

=92

A =92

u.a.

Exemplo 2

Determine a area da regiao R compreendida entre as curvas y = x2 e y = −x2 + 4x.

Solucao

Calculo dos pontos de interseccao

x2 = −x2 + 4x

2x2 − 4x = 0

x2 − 2x = 0

x = 0

x = 2Interseccoes: (0, 0) e (2, 4)

Figura 2.16: Exemplo 2 limite inferior = 0

limite superior = 2


A =∫ 2

0(−2x2 + 4x) dx = −2

3x3 + 2x2

]2

0

=(−16

8+ 8

)− 0 =

83

A =83

u.a.

Exemplo 3

Determine a area da regiao R compreendida entre as curvas y = x2 + 1 e y = 2x − 2

desde x = −1 ate x = 2.

Solucao

Temos: x2 + 1 = 2x− 2

x2 − 2x + 3 = 0 ; ∆ = 4− 12 = −8 < 0

A parabola nao intercepta a reta.


Temos:

∆A = [x2 + 1− (2x− 2)] dx = (x2 − 2x + 3) dx

A =∫ 2

−1(x2 − 2x + 3) dx =

x3

3− x2 + 3x

]2

−1

= 9

A = 9 u.a.


1. Determine a area da regiao R compreendida pelas curvas y = x2 e y = x.

2. Determine a area da regiao limitada pelas curvas y = x3 e y = 2x2.

3. Determine a area da regiao compreendida entre as curvas y = x2 + 12 e y = 4x2.

4. Determine a area da regiao compreendida entre a curva y = x3 e a reta y = 9x.

5. Determine a area da regiao limitada pela curva y = x3 + 3x2 e a reta y = 4x.

6. Calcule a area da regiao limitada pelas retas y = x + 1, y = −2x + 7 e y =−x + 2

2.

7. Determine a area da regiao limitada pelas curvas de equacoes x = y2−2y e x = 2y−3.


8. Calcule a area entre as curvas x =√

y e y2 = 8x.

Respostas

1. A = 16 u.a.

2. A = 43 u.a.

3. A = 32 u.a.

4. A = 814 u.a.

5. A = 1314 u.a.

6. A = 6 u.a.

7. A = 43 u.a.

8. A = 83 u.a.

Apendice A

Teorema de Rolle

O teorema tem esse nome em homenagem ao matematico frances Michel Rolle (1652-1719).

Seja f uma funcao contınua no intervalo fechado [a, b] e tal que f seja diferenciavel

no intervalo aberto ]a, b[ e f(a) = f(b). Existe pelo menos um numero real c no intervalo

aberto ]a, b[ tal que f ′(c) = 0.

Temos dois casos a considerar:

1o caso: f(x) = f(a) = f(b) para todo x ∈ [a, b]

Nesse caso, f e uma funcao constante e entao f ′(x) = 0 para todo x ∈ [a, b]. Logo,

todo numero c em ]a, b[ e um numero crıtico.

2o caso: f(x) 6= f(a) = f(b)

1. f(x) > f(a) = f(b) para x ∈ [a, b]

Nesse caso o valor maximo de f em [a, b] e maior do que f(a) = f(b) e assim, deve

ocorrer em algum numero c tal que c ∈ [a, b]. Como a derivada existe em todo ]a, b[,

concluimos que f ′(c) = 0.

2. f(x) < f(a) = f(b) para x ∈ [a, b]

O valor mınimo de f em [a, b] e menor do que f(a) = f(b) e deve ocorrer em algum

c ∈]a, b[. Como a derivada existe em todo x ∈]a, b[, concluimos que f ′(c) = 0.

OBSERVACOES:

1. O teorema mostra que existe pelo menos um ponto P da curva onde a reta tangente

e paralela ao eixo x.

2. Pode haver mais de um ponto no intervalo ]a, b[ cuja derivada seja nula.

145


Figura A.1: Observacao 2

f ′(c1) = f ′(c2) = f ′(c3) = 0

3. Nao e necessario que a funcao seja diferenciavel nos extremos a e b do intervalo para

garantir a existencia da reta tangente horizontal. E fundamental que f seja contınua

em [a, b] e derivavel em ]a, b[.


f(a) = f(b) = 0

6 ∃f ′(a) e 6 ∃f ′(b) e f ′(c) = 0

Conclusao

f deve ser contınua em [a, b] e deve ser derivavel em ]a, b[ sendo f(a) = f(b).

4. A hipotese do teorema de Rolle de que a funcao f e derivavel em ]a, b[ e fundamental

pois sem esta hipotese nao podemos aplicar o teorema.

Nao existe c tal que f ′(c) = 0 pois a funcao nao e derivavel em ]a, b[.



Aplicacao

Verifique se a funcao f(x) = 4x3 − 9x verifica as hipoteses do teorema de Rolle em

cada um dos intervalos:[−3

2, 0

],[0,

32

]e

[−3

2,32

].

Solucao

Considerando a = −32

e b = 0, vem:

f ′(x) = 12x2 − 9

12x2 − 9 = 0

4x2 − 3 = 0

4x2 = 3

x2 =34

{x = ±

√3

2

No intervalo[−3

2, 0

]consideramos c = −1

2√

3.

No intervalo[0,

32

]consideramos c =

12√

3.

No intervalo[−3

2,32

]temos c1 = −

√3

2e c2 =

√3

2.

OBSERVACAO:

O teorema de Rolle e usado para demonstrar um dos teoremas mais importantes do

calculo, que e o teorema do valor medio, muito usado para demonstrar outros teoremas

do calculo diferencial e integral.

Apendice B

Teorema do Valor Medio

(teorema de Lagrange ou teorema dos acrescimos finitos)

Seja f uma funcao contınua no intervalo fechado [a, b] e diferenciavel no intervalo aberto

]a, b[. Existe pelo menos um numero c no intervalo aberto ]a, b[ tal que f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Consideremos os pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)) no grafico da funcao.

Figura B.1: Teorema do Valor Medio

O objetivo do teorema (interpretacao geometrica) e mostrar que existe pelo menos um

ponto (T ) na curva y = f(x) em que a reta tangente a curva nesse ponto T e paralela a

reta secante que passa por A e B.

Seja (s) a reta secante que passa por A e B e cujo coeficiente angular e ms =f(b)− f(a)

b− a( tg α) e cuja equacao e y − f(a) = ms (x− a)

y − f(a) =f(b)− f(a)

b− a(x− a)

y = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a)

Seja g(x) uma funcao auxiliar que determina a distancia vertical entre um ponto

(x, f(x)) no grafico de f e o ponto correspondente (x, y) na reta secante (s) que passa

149


por A e B.

g(x) = f(x)− y

g(x) = f(x)− f(a)− f(b)− f(a)b− a

(x− a) (I)

Esta funcao g(x) satisfaz as tres hipoteses do teorema de Rolle.

1. A funcao g(x) e contınua no intervalo fechado [a, b], pois e a soma de f com um

polinomio linear, que sao contınuos.

2. A funcao e derivavel em ]a, b[.

3. Da equacao (I), vemos que g(a) = g(b) = 0.

Logo, g(x) satisfaz as hipoteses do teorema de Rolle.

g′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a)b− a

Existe c tal que g′(c) = 0, de acordo como teorema de Rolle.

g′(c) = f ′(c)− f(b)− f(a)b− a

0 = f ′(c)− f(b)− f(a)b− a

Conclusao, f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

OBSERVACOES:

1. A demonstracao do teorema do valor medio e uma aplicacao do teorema de Rolle,

enquanto o teorema de Rolle e uma caso especial do teorema do valor medio em que

f(a) = f(b) = 0.

2. f ′(c) e o coeficente angular da reta tangente ao grafico de y = f(x) no ponto T de

abscissa x = c.

3. Como f ′(c) =f(b)− f(a)

b− ae ms =

f(b)− f(a)b− a

, vemos que mt = ms. Logo, a reta

tangente (t) e paralela a reta secante (s).

4. Pode existir mais de uma reta tangente ao grafico de y = f(x) e que seja paralela a

reta secante (s).


Figura B.2: Observacao 4

Determine um ponto c no intervalo [1, 2] tal que a tangente ao grafico de f(x) = x2,

nesse ponto, seja paralela a reta definida pelos pontos de abscissas 1 e 2 da curva. A

seguir, determine o ponto P (c, f(c)) no grafico de f(x).

Solucao

f(2) = 22 = 4 e f(1) = 12 = 1

f ′(x) = 2x

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

2c =f(2)− f(1)

2− 12c =

4− 11

c =32

32∈ ]1, 2[

f

(32

)=

(32

)2

=94

P

(32,94

)


Dada a funcao f(x) = 3√

x2, trace um esboco do grafico de f . Mostre que nao existe

numero c no intervalo aberto ]− 2, 2[ tal que f ′(c) =f(2)− f(−2)

2− (−2).

Que condicao da hipotese do teorema do valor medio nao e verificada para f quando

a = −2 e b = 2?

Solucao

f ′(x) =23

x−1/3

f ′(x) =2

3 3√

xe f ′(c) =

23 3√

c

Nao existe c tal que2

3 3√

c= 0. A funcao e contınua no intervalo fechado [−2, 2].

Entretanto f nao e derivavel no intervalo aberto ]−2, 2[, pois nao existe f ′(0). A condicao

do teorema de que f deve ser derivavel no intervalo aberto ]− 2, 2[ nao e verificada.


1. Seja f(x) = x2 + 5x. Verifique se existe um numero c no intervalo aberto 1 < x < 3

que atenda as hipoteses do teorema do valor medio.

2. Dada a funcao f(x) = x3 − 5x2 − 3x, verifique se a hipotese do teorema do valor

medio e satisfeita para a = 1 e b = 3. Encontre todos os numeros c no intervalo

aberto ]1, 3[ tais que f ′(c) =f(3)− f(1)

3− 1.

3. Mostre que as hipoteses do teorema de Rolle sao satisfeitas para a funcao f(x) = 6x2 − x3

no intervalo [0, 6].

Ache o valor de c no intervalo aberto ]0, 6[ para o qual f ′(c) = 0 e faca o grafico da

funcao.

Respostas

1. c = 2

2. c = 73


3. Como a funcao f e polinomial, ela e contınua e diferenciavel em todo ponto e

f(0) = f(6) = 0.

c = 4

Exercıcios Especiais

1. Mostre que a equacao ex + x = 0 admite uma unica raız real utilizando o teorema

de Rolle.

Solucao

Seja f(x) = ex + x

limx→∞

f(x) = ∞ e limx→−∞

f(x) = −∞

Observamos entao que o grafico de f(x) corta o eixo x pelo menos uma vez, pois f

e contınua em R.

Devemos verificar que o grafico de f corta o eixo x uma unica vez.

Suponhamos que x1 e x2 sejam duas raızes distintas de f(x) e tais que x1 < x2.

Consideremos o teorema de Rolle em [x1, x2].

(a) f(x) e contınua em [x1, x2].

(b) f(x) e derivavel em ]x1, x2[.

(c) f(x1) = f(x2) = 0 pois por hipotese x1 e x2 sao raızes de f(x).

De acordo com o teorema de Rolle existe um numero c ∈ ]x1, x2[ tal que f ′(c) = 0.

Mas isto e um absurdo, pois f ′(x) = ex + 1 6= 0,∀x ∈ R.

Conclusao: f(x) so pode ter uma unica raız.


2. Mostre que senx ≤ x para x ≥ 0.

Solucao

Seja f(x) = x− senx onde D(f) = R+

Como cos x ≤ 1 temos que f ′(x) ≥ 0

Sendo f ′(x) ≥ 0, concluimos que f e crescente para x ≥ 0.

Temos,

f(0) = 0− sen 0

f(0) = 0

Como f(0) = 0 e f(x) e crescente para x ≥ 0, entao

f(x) ≥ f(0)

f(x) ≥ 0

x− senx ≥ 0

− senx ≥ −x (−1)

Conclusao: senx ≤ x para x ≥ 0

3. Seja f uma funcao contınua no intervalo fechado [a, b] e derivavel no intervalo aberto

]a, b[. Mostre que se f ′(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, entao f e crescente em [a, b].

Solucao

Sejam x1 e x2 dois numeros quaisquer em [a, b] tais que x1 < x2. Entao f e

contınua em [x1, x2] e derivavel em ]x1, x2[. Pelo teorema do valor medio, segue-

se que ∃ c ∈ ]x1, x2[ tal que f ′(c) =f(x2)− f(x1)

x2 − x1(I).

Por hipotese f ′(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[.


Entao f ′(c) > 0. Como x1 < x2, entao x2 − x1 > 0. Assim x2 > x1.

Considerando a igualdade (I), concluimos que f(x2)−f(x1) > 0, ou seja, f(x2) > f(x1),

entao podemos concluir que f e crescente em [a, b].

4. Demonstre que, se uma funcao f e contınua em [a, b] e f ′(x) = 0 , ∀x ∈ ]a, b[, entao

f e constante em [a, b].

Solucao

Sejam x1 e x2 dois numeros quaisquer em [a, b] com x1 < x2. Entao f e contınua

em [x1, x2] e derivavel em ]x1, x2[.

De acordo com o TVM, entao existe x ∈ ]x1, x2[ e tal que f ′(x) =f(x2)− f(x1)

x2 − x1.

Como por hipotese f ′(x) = 0,

0 =f(x2)− f(x1)

x2 − x1

f(x2)− f(x1) = 0

f(x2) = f(x1) , ∀x ∈ [a, b]

Conclusao: O valor de f e constante para dois pontos quaisquer de [a, b] , o que

significa que f e constante no intervalo [a, b].

Exercıcio Proposto

Mostre que se uma funcao f e contınua em [a, b] e derivavel em ]a, b[, para qualquer

x ∈ ]a, b[, e se f ′(x) < 0 para todo x ∈ ]a, b[, entao f e decrescente em [a, b].

OBSERVACAO: Se uma funcao e crescente ou decrescente num intervalo, dizemos

que a funcao e monotona no intervalo.

5. Seja f(x) =

2x2 − 4 se x < 1

−x− 1 se x ≥ 1

Determine os intervalos em que a funcao f e crescente ou decrescente.

Solucao

Para x < 1, temos f ′(x) = 4x e f ′(1) > 0

numero crıtico: x = 0

f ′(x) > 0 para x ∈ ]0, 1[

f ′(x) < 0 para x ∈ ]−∞, 0[


Para x > 1, temos f ′(x) = −1

Entao f ′(x) < 0 para qualquer x ∈ ]1,∞[

x 0 1

f ′(x) − 0 + 6 ∃ −

f(x) decrescente crescente decrescente

Conclusao: f e crescente em [0, 1] e f e decrescente em x ≤ 0 ou x ≥ 1.

Apendice C

O teste da derivada segunda para

extremos relativos

Seja f(x) uma funcao contınua e derivavel no intervalo I e seja x = c tal que f ′(c) = 0 e

f ′′(c) exista nesse intervalo.

(a) Se f ′′(c) > 0, entao f(c) e o mınimo relativo em x = c

(b) Se f ′′(c) < 0, entao f(c) e o maximo relativo em x = c

Vimos que f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)x− c

Seja a funcao f ′(x).

De maneira analoga, concluimos que f ′′(c) = limx→c

f ′(x)− f ′(c)x− c

Demonstracao de (a)

Por hipotese, f ′′(c) existe e f ′′(c) > 0

Assim f ′′(c) = limx→c

f ′(x)− f ′(c)x− c

> 0

Por teorema de limite, temos que existe um intervalo aberto I, contendo c, tal quef ′(x)− f ′(c)

x− c> 0 para todo x 6= c no intervalo.

Seja I1 o intervalo aberto que contem todos os valores de x em I para os quais x < c.

Assim, c e o extremo direito do intervalo aberto I1.

Seja I2 o intervalo aberto que contem todos os valores de x em I para os quais x > c.

Assim, c e o extremo esquerdo do intervalo aberto I1.

Se x ∈ I1, temos:

x− c < 0 =⇒ f ′(x)− f ′(c) < 0

x < c =⇒ f ′(x) < f ′(c)

Como f ′(c) = 0, temos:

157


x < c =⇒ f ′(x) < 0 (I)

Se x ∈ I2, temos:

x− c > 0 =⇒ f ′(x)− f ′(c) > 0

x > c =⇒ f ′(x) > f ′(c)

Como por hipotese f ′(c) = 0, temos:

x > c =⇒ f ′(x) > 0 (II)

Temos por hipotese que f ′(c) = 0

Concluimos que

se x ∈ I1 , f ′(x) < 0

se x ∈ I2 , f ′(x) > 0Logo, f ′(x) troca seu sinal algebrico de negativo para positivo a medida que x passa

por c e pelo teste da derivada primeira podemos concluir que f tem um valor mınimo

relativo em c, isto e, f(c).

A demonstracao e analoga para o item (b), f ′′(c) < 0 (maximo relativo em x = c).

Quadro ilustrativo para f ′′(x) > 0 (mınimo relaivo).

x c

f ′(x) − 0 +

f ′′(x) > 0

Apendice D

O teste da concavidade

Se uma funcao f e diferenciavel em um intervalo aberto I contendo c e se existe f ′′(x) em

I, entao o grafico de f e:

(a) Concavo para cima em I, se f ′′(x) > 0 em I;

(b) Concavo para baixo em I, se f ′′(x) < 0 em I.

Temos: f ′′(c) = limx→c

f ′(x)− f ′(c)x− c

Se f ′′(c) > 0, entao existe um intervalo aberto I contendo c tal quef ′(x)− f ′(c)

x− c> 0

e x 6= c.

Neste caso, f ′(x)−f ′(c) e x− c tem o mesmo sinal para x ∈ I e x 6= c. Vamos mostrar

que este fato implica em concavidade voltada para cima.

Figura D.1: Teste da concavidade

Para x arbitrario em I seja T (x, y) na reta tangente, que passa por P (c, f(c)) e o ponto

M(x, f(x)), no grafico de f . Fazendo g(x) = f(x) − y, estabeleceremos a concavidade

voltada para cima mostrando que g(x) e positiva para todo x 6= c ou seja o ponto M esta

acima do ponto P da reta tangente.

159


Seja y − f(c) = f ′(c)(x− c) a equacao da reta tangente a curva em P (c, f(c))

y = f(c) + f ′(c)(x− c)

Temos:

g(x) = f(x)− y

g(x) = f(x)− [f(c) + f ′(c)(x− c)]

g(x) = f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c)] (I)

1o processo:

Aplicando o teorema do valor medio a funcao f no intervalo [c, x], vemos que existe

um numero w no intervalo aberto ]c, x[ tal que f(x)− f(c) = f ′(w)(x− c)

Substituindo este valor em (I), temos:

g(x) = f ′(w)(x− c)− f ′(c)(x− c)

g(x) = [f ′(w)− f ′(c)](x− c) (II)

Como w esta no intervalo I, sabemos que f ′(w)− f ′(c) e w − c tem o mesmo sinal.

Como w esta entre c e x e w − c e x − c tem o mesmo sinal, consequentemente

f ′(w)− f ′(c) e x− c tem o mesmo sinal para todo x em I e x 6= c. Da forma fatorada (II)

concluimos que g(x) > 0 se x 6= c.

2o processo:

g(x) = f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c)

g′(x) = f ′(x)− f ′(c)

g′′(x) = f ′′(x)

Para x = c, temos:

g(c) = 0

g′(c) = 0

g′′(c) = f ′′(c)

Como por hipotese f ′′(c) > 0, entao g′′(c) > 0.

Em x = c, g(x) tem um mınimo relativo, que e g(c) = 0. Logo, em I, g(x) > 0, ∀x 6= 0

ou seja g(x)− y > 0.

A concavidade esta voltada para cima.

De maneira analoga, demonstra-se que se f ′′(x) < 0 em I, o grafico de f e concavo

para baixo em I.

Conclusao: O sinal de f ′′(x) em um intervalo I indica a concavidade da curva em I.


3o processo:

Seja f uma funcao contınua em um intervalo [a, b] e derivavel ate 2a ordem em ]a, b[.

(a) Se f ′′(x) > 0 em x ∈ ]a, b[, entao f e concavo para cima em ]a, b[;

(b) Se f ′′(x) < 0 em x ∈ ]a, b[, entao f e concavo para baixo em ]a, b[.

Demonstracao

Como f ′′(x) = [f ′(x)]′, se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ [a, b], temos que f ′(x) e crescente

no intervalo ]a, b[. Logo, f e concava para cima em ]a, b[.

Exemplo

Determine o ponto de inflexao P e reconheca os intervalos onde a funcao f(x) = (x−1)3

tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

Solucao

Temos:

f ′(x) = 3(x− 1)2

f ′′(x) = 6(x− 1)

f ′′(x) = 0 =⇒ x = 1

No intervalo ]−∞, 1[, f ′′(x) < 0 e f e concava para baixo.

No intervalo ]1,∞[, f ′′(x) > 0 e f e concava para cima.

Em x = 1, a concavidade muda de sentido e nesse caso, o grafico de f tem um ponto

de inflexao.

x = 1 =⇒ f(1) = (1− 1)3 = 0 P (1, 0) ponto de inflexao

Referencias Bibliograficas

[1] AVILA, Geraldo. Calculo 1: funcoes de uma variavel, vol. 1, 7. ed. Rio de Janeiro:

LTC, 2003.

[2] FLEMMING, Diva M.; GONCALVES, Mirian Buss. Calculo A: funcoes, limites,

derivacao, integracao, 5. ed. Sao Paulo: Makron Books Ltda., 1992.

[3] HOFFMAN, Laurence D. Calculo: um curso moderno e suas aplicacoes, 7. ed. Rio

de Janeiro: LTC, 2002.

[4] LEITHOLD, Louis. Matematica aplicada a economia e administracao, ed. 2001. Sao

Paulo: Editora Harbra Ltda..

[5] MORETTIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton O.; HAZZAN, Samuel. Calculo: funcoes

de uma variavel, 3. ed. Sao Paulo: Atual Editora, 1999.

[6] SILVA, Sebastiao M. da; Elio Medeiros da; Ermes Medeiros da. Matematica para

cursos de economia, administracao e ciencias contabeis, vol. 1, 5. ed. Sao Paulo:

Atlas, 1999.

[7] SWOKOWSKI, E. Calculo, vol. 1, 2. ed., Sao Paulo: Makron Books, 1994.

[8] THOMAS, George B. Calculo, vol. 1, 10. ed., Sao Paulo: Pearson Educativa do Brasil,

2003, 1. reimpressao, 2003.

[9] WEBER, Jean E. Matematica para economia e administracao, ed. 2001. Sao Paulo:

Editora Harbra Ltda., 2001.

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