Curso Licenciatura em Ciências - UNIVESP

Disciplina Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção

Bimestre 2

Atividade de Portfólio da Semana 2

Aulas 5 e 6Exercício 1

Faça uma pesquisa sobre o Teorema de Pitágoras. Escreva seu enunciado,apresente e discuta uma demonstração e, ao final, crie um exercício acompanhado desua resolução. A pesquisa pode ser feita, por exemplo, no Caderno dos Professores de Matemáticada Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (7a Série, 8o Ano, Volume 2).

O Teorema de Pitágoras pode ser considerado um dos mais importantes do seudescobridor, o próprio Pitágoras, matemático grego, pois com ele é possível compreenderas relações existentes em um triângulo retângulo.

Ao observar um triângulo de linha reta, 90°, se percebe uma regra a ser seguida. Aformação de um triângulo retângulo segue a ordem de dois catetos e uma hipotenusa,onde a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.Catetos: são os lados menores, a e bHipotenusa: lado maior, cExemplo:

Exercício resolvido

Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 3² + 4²x² = 9 + 16x² = 25√x² = √25x = 5

Exercício 3

Rotacionando um quadrado de lado 2 cm em torno de um eixo que passa por umde seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura. Determine a áreatotal do cilindro e seu volume.

i) Área da base: p(1)2 = pcm2

ii) Volume: (p)(2) = 2pcm3 = 2.(3,14)cm3 = 6,28cm3.

Aulas 7 e 8

Exercício 1, Texto 2

Procure um livro em que a dedução da fórmula de Bhaskara seja realizada eacompanhe passo a passo para entender como ela surge. Pode ser, por exemplo, o Caderno dos Professores de Matemática da Secretaria deEstado da Educação de São Paulo (8a Série, 9o Ano, Volume 1, p. 58 a 86).

Esta fórmula foi uma homenagem ao matemático Bhaskara Akaria, considerado omais importante matemático indiano do século XII.

A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações quadráticas de fórmula geral ax2+bx+c=0, com coeficientes reais, com a≠0 e é dada por:

chamamos de discriminante: Δ = b2-4acDependendo do sinal de Δ, temos:

Δ=0, então a equação tem duas raízes iguais. Δ>0, então a equação tem duas raízes diferentes. Δ<0, então a equação não tem raízes reais.

A ideia da demonstração da fórmula de Bhaskara é o completamento de quadrados. Seja:ax2+bx+c=0a2x2+abx+ac=04a2x2+4abx+4ac=04a2x2+4abx+b2+4ac=b2

(2ax)2+2(2ax)b+b2=b2-4ac(2ax+b)2=b2-4ac

Através da Fórmula de Bhaskara podemos deduzir uma expressão para a soma (S)e o produto (P) das raízes da equação do 2º grau.Sendo x1 e x2 raízes da equação ax2+bx+c=0, então:

S = x1+x2 = -b/a

P = x1.x2 = c/a

A importância da Fórmula de Bhaskara é que ela nos permite resolver qualquer problema que envolva equações quadráticas, os quais aparecem em diversas situações importantes, como na Física por exemplo.

Exercício Texto 5

Busque em um livro de Álgebra as definições das estruturas algébricas maissimples: semi-grupo, grupo, anel e corpo.

Semi-grupo pode ser definido de 2 maneiras completamente equivalentes

1. é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes

propriedades:

1. fechamento: dado a,b∈G o elemento resultante da composição de a e b

pertence a G (a∗b∈G)

2. associatividade: para todos a,b,c∈G vale (a∗b)∗c=a (∗ b∗c)=a∗b∗c

2. é um grupóide dotado da propriedade associativa (associatividade)

1. associatividade: para todos a,b,c∈G vale (a∗b)∗c=a (∗ b∗c)=a∗b∗c

Grupo é um conjunto de elementos associados a uma operação que combina dois

elementos quaisquer para formar um terceiro. Para se qualificar como grupo o conjunto e

a operação devem satisfazer algumas condições chamadas axiomas de grupo:

associatividade, elemento neutro e elementos inversos. Apesar destes serem comuns a

muitas estruturas matemáticas familiares - e.g. os números inteiros munidos da adição

formam um grupo - a formulação dos axiomas é independente da natureza concreta do

grupo e sua operação. Isso permite lidar-se com entidade de origens matemáticas

completamente diferentes de uma maneira flexível, mas retendo os aspectos estruturais

essenciais de muitos objetos da álgebra abstrata e além. A ubiquidade dos grupos em

inúmeras áreas - dentro e fora da matemática - os tornam um princípio organizador

central da matemática contemporânea.

Anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto A com um elemento 0 e

duas operações binárias + e que satisfazem as seguintes condições:

1. Associatividade de + :

2. Existência de elemento neutro (0) de +:

3. Existência de simétrico de + :

4. Comutatividade de + :

5. Associatividade de x :

6. Distributividade de em relação a + (à esquerda e à direita):

Corpo

Mais formalmente, um anel comutativo F com unidade é chamado de corpo se:

Resulta da comutatividade de F que o y a definição anterior também satisfaz a condição y.x= 1. Por outro lado, só pode haver um único y naquelas condições.

De fato, se y e y' forem tais que x.y=x.y'=1, então:

y = y.1=y.(x.y')=(y.x).y'=1.y'=y'

Este elemento y designa-se por inverso de x e representa-se por

Um corpo F não tem divisores de zero. Efectivamente, se x e y forem dois elementos

de F diferentes de 0 então X.Y ≠ 0 pois x^{-1}.(x.y)=(x^{-1}.x).y=1.y=y ≠ 0.

Mas se se tivesse x.y= 0, então ter-se-ia x^{-1}.(x.y)0