Matemática - Aula 38 - Análise Combinatória II

8/14/2019 Matemtica - Aula 38 - Anlise Combinatria II

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MATEMTICA

Aula 38

Anlise Combinatria


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Em uma situao de contagem, temos casos em que a ordem importa ecasos em que a ordem no importa. fundamental identificar essacaracterstica.Imagine um sorteio de 2 prmios diferentes, um carro e uma bicicleta,entre 10 pessoas.Temos 10 possveis ganhadores para o primeiro prmio e 9 para osegundo o segundo prmio.

Prmios Distintos

10 . 9 = 90 possveis duplas deganhadores

Neste caso a ordem importa.

Agora, e se os prmios fossem iguais?Dois carros idnticos, por exemplo.

A ordem no importa. No teremos mais 90 possveis duplas e sim a metade. Desconta-se apermutao dos 2 elementos, 2 fatorial, resultando 90 sobre 2, 45possveis duplas de ganhadores.

Prmios Iguais

2

90

!2

9.10= = 45 possveis duplas de

ganhadores

Na Anlise Combinatria, situaes em que a ordem no importa sochamadas de Combinaes.


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Vejamos situaes que envolvem Combinaes:

O setor de emergncia de um hospital conta, para plantes noturnos,com 3 pediatras, 4 clnicos gerais e 5 enfermeiros. As equipes deplanto devero ser constitudas por 1 pediatra, 1 clnico geral e 2enfermeiros.

a) quantos pares distintos de enfermeirospodem ser formados;

b) quantas equipes de planto distintaspodem ser formadas.

Resoluo:

a) 5 enfermeiros.

C5,2 = 102

4.5

!2

4.5== duplas

b) 3 pediatras, 4 clnicos e 5 enfermeirosCada equipe: 1 pediatra, 1 clnico gerale 2 enfermeiros.

3 . 4 . C 5,2 = 3 . 4 . 10 = 120 equipes


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As combinaes correspondem aos arranjos descontando-se aspermutaes.

A combinao de n elementos tomados k a k a relao dos arranjos den elementos tomados k a k pela permutao desses k elementos.Resulta:

Combinaes A ordem NO importa

Cn,k =!)kn!.(k

!nP

A

k

k,n

-

=

Vamos analisar agora situaes de contagem em que h repetio deelementos.

Muda muito pouco do que vimos at aqui.

Veja um arranjo com repetio:

Um nmero capcua aquele que no se altera quando lido da direitapara a esquerda ou da esquerda para a direita. 101, 2002 so algunsexemplos. Quantos capcuas de quatro algarismos se pode conseguircom os algarismos significativos?

Algarismos significativos: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

9 . 9 . 1 . 1 = 81 capcuas


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Vrios poetas rcades criavam anagramas permutando as letras de umapalavra dada.

o caso de Iracema de Jos de Alencar, um anagrama da palavraAmrica.

Quantos anagramas se pode formar a partir desta palavra?

A M R I C A

anagramas25203.4.5.6.7!2!7

P A7 ===


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Combinaes: Razo entre arranjos e permutaes.

Combinaes

Cn,k =)!kn!.(k

!nP

A

k

k,n

-

=

Definiremos como nmero binomial de ordem n e classe k, ao nmeroobtido por:

Nmeros Binomiais

para n > k

.kn,0kn

)!kn!.(k!n

kn


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Vejamos alguns binomiais importantes:

1!n!.0

!n

0

n==

1!0!.n !nnn ==

Vamos construir uma tabela de nmeros binomiais conhecida comotringulo de Pascal.

Pascal

0

0

1

1

0

1

2

2

1

2

0

2

3

3

2

3

1

3

0

3

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4


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Pascal 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Binmio de Newton

(x+y) 0 = 1(x+y) 1 = 1x + 1y

(x+y) 2 = 1x2 + 2xy + 1y2(x+y) 3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3

Para obter um termo qualquer do desenvolvimento:

(x+y) n Tk+1 =

(Frmula do Termo Geral)

kkn y.xkn -


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Vamos resolver uma questo de vestibular:

Obter o termo independente de x no desenvolvimento de10

4

6

x

1x

+ .

Resoluo:

Tk+1 =

10

4

6

x

1x

+ Tk+1 =

Tk+1 =

Tk+1 =

Termo independente de x: 60 10K = 0

60 = 10k

k = 6

Tk+1 =

K = 6 T7 = 210!4!.6

!10

6

10==

k

4

k106

x

1)x(

k10

-

kkn y.xkn -

k4k660 x.xk

10--

k1060x

k

10 -

k1060x

k

10 -

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