Matemática Aula01 Teoria Conjuntos

8/14/2019 Matemtica Aula01 Teoria Conjuntos

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Disciplina: Matemtica / Prof: Felipe UlianoAula n 01 / Data 03/03/2007

Tema: Teoria dos Conjuntos

1

.mi.f

1. INTRODUO

Definio:Conjunto uma coleo de objeto ou de qualquer coisa.

Exemplo1: Conjunto de Animais mamferos, placas de trnsito, legumes, frutas, etc.

Def.:ELEMENTO o que est dentro do conjunto

Ex2.: o gato e o cachorro so elementos do conjunto dos Animais domstico.

2. REPRESENTAO DE UM CONJUNTO

Representao por diagramaColocam-se os elementos do conjunto dentro de uma curva fechada simples

Ex3.:a-) conjunto das notas musicais b-) conj. dos Estados da regio Sudeste

Representao pela nomeao dos elementos

feita colocando o nome de cada um dos elementos do conjunto entre chaves eseparando-os por vrgula.

Ex4.: a-)Conjunto E das estaes do ano

E = { vero, outono, inverno, primavera}

b-) Conjunto D das letras da palavra rebeldeD = { r, e, b, l, d, s}

OBS1.: Na representao de um conjunto no deve-se colocar elementos repetidos.

OBS2.: A letra que escolhemos para indicar o conjunto deve SEMPRE ser

maiscula.

OBS3.: O elemento deve SEM PRE ser escrito em letras minsculas.

.d

.r.sol

.l

.s

A

.Rio de Janeiro .So Paulo.Minas Gerais

. Esprito Santo

B


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Teoria dos Conjuntos 2

Smbolos para Conjunto Vazio

Representao pela propriedade que caracteriza os elementos do

Conjunto

Um conjunto pode ser representado colocando-se entre chaves uma propriedade que

caracterize seus elementos.

Ex5.: Seja,C = { Paran, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}

Os elementos do conjunto C os so Estados da Regio Sul do Brasil, portanto,

C = {Estados da Regio Sul do Brasil}

3. CONJUNTOS FINITOS E CONJUNTOS INFINITOS

Def.: Quando podemos contar o nmero de elementos de um conjunto, ele ser chamado de:

conjunto finito.

Para verificar esse fato olhe novamente todos os exemplos dados acima. Todos so conj.

finitos.

Def.: Quando no podemos determinar quantos so os elementos de um conjunto, ele chamado de:

conjunto infinito.

Ex6.:P o conjunto dos nmeros naturais pares

P = { 0, 2, 4, 6, 8, ...}

4. CONJUNTO UNITRIO E CONJUNTO VAZIO

Em matemtica podemos ter conjuntos de um elemento apenas e tambm conjuntos com nenhum

elemento.

Ex7.:a-) conjunto A do animal mamfero que tem bico

A = { ornitorrinco }

b-) conjunto S de aves com pelos

No existem aves com pelos, por isso,

S= { } ou S=

OBS4.: NUNCA PODEMOS REPRESENTAR UM CONJUNTO VAZIO DA

SEGUI NTE FORMA: S = { }


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5. CONJUTOS IGUAIS

Def.: Conjuntos iguais possuem os mesmo elementos.Ex8.: Conjunto A de letras da palavra delegado e conjunto B das letras da palavra gelado

A = { d, e, l, g, a, o }

B = { g, e, l, a, d, o }

Escrevemos A=B (l-se: A igual a B)

Exemplos complementares: { a, m, o, r } = { r, o, m, a }

{ 4, 5, 6 } = { 6, 4, 5 }

Agora quando temos conjuntos com elementos diferentes os chamamos de diferentes.

Ex9.: { a, b, c } {1, 2, 3 }

{ a, b, c, d, e } { w, a, b, c, d }

6. RELAO DE PERTINNCIA

Ex10.: Conjunto V de instrumentos de corda

V={ violino, guitarra, violo, viola }

violino pertence os conj. V

teclado no pertence ou conj. V

Essa relao entre elementos e conjuntos chama-se relao de pertinncia e para indicar essa relao

usamos o smbolo (l-se: pertence a).

Violo V

E tambm, para os casos onde os elementos no pertencem ao conjunto usamos o smbolo

(l-se: no pertence a).

Teclado V

7. RELAO DE INCLUSO

A = { l, o, u, c, a }

B = { m, a, l, u, c, o }

Colocando no diagrama:

.m .l.o

.u .c

.a

AB


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Observe que todos os elementos do conjunto A tambm esto no conjunto B e neste caso dizemos

que, A est contido em B, A subconjunto de B, A parte de B e indicamos isso da seguinte forma

A

B, tambm podemos dizer que B contm A e escrevemos B

A NOTE a diferena entre , esto em sentidos distintos. CUIDADO!!!

Agora tomemos os conjuntos

C = { c, o, s, e, r } e D = { c, o, z, e, r }

Observe que nem todos os elementos de C pertencem a D. Neste caso simbolizamos C D.

OBS5.: o smbolo relaciona elemento com conjunto.

o smbolo relaciona conjunto com conjunto.

OBS6.: Todo conjunto subconjunto de s mesmo AA.

OBS7.: O conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto A.

8. OPERAES COM CONJUNTOS

Interseco de conjuntos

Interseco determinada pelos elementos que pertencem a dois ou mais elementos.

Ex11.: A={1,2,3,5,7,8,9} e B={2,3,8,9,10,15}

AB=C, ou seja, C={2,3,8,9}O smbolo determina interseco. O conjunto C= AB tambm um conjunto portanto respeita

todas as regras vistas acima.

No diagrama:

1

57

2

38

9

15

10

A

B

Conjunto Interseco


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Ex12.: C={2,3,4} e D={2,3,4,5}

CD = {2,3,4}

OBS8.: Quando temos dois conjuntos C e D, por exemplo, e sabemos que C D

a interseco CD ser o prprio conjunto C.

OBS9.: Conjuntos que NO possuam elementos em comum tem conjunto

interseco vazio e so chamados de conjuntos dijuntos.

Ex13.: E={2,3} e F={a,b} entoE F= { }(E e F no tem elementos em comum)

Nota: Podemos fazer interseco de 3 ou mais conjunto. ( Este assunto ser visto como exerccio,

mas a maneira de resolver este exerccio igual quando se resolve a interseco de 2 conjuntos

apenas)

9. UNIO OU REUNIO DE CONJUNTOS

Def.: Chamamos de unio de dois conjuntos A e B o conjunto AB formado por todos os elementos

de A, todos os elementos de B e s por eles.

A B (l-se:A unio B)

Ex14.:A={1,2,3,4} e B={3,4,5,6,7}

AB = {1,2,3,4,5,6,7}

DC

52

3

4

12

43

57

6

A BAB

AB


6/6


Observe que:

Todos os elementos de A so tambm elementos de (AB).

Logo, A (AB).

O mesmo ocorre com o conjunto B.

10. COMPLEMENTAR

Def.: Dados dois conjuntos A e B, tais que BA, chamamos complementar de B em A o conjunto B

formado pelos elementos de A que no pertencem a B.

Ver exemplo 12. (Neste caso o elemento 5 faz parte do conjunto B )

Podemostambm dizer queB = A B, ou seja todos os elementos do conjunto A menos os elementosdo conjunto B.

11. RESOLUO DE PROBLEMAS APLICANDO OPERAES DE CONJUNTOS

Veja o exemplo:

O cursinho Galera de futuro tem 20 alunos, destes 20 alunos, 8 tem bicicleta, 9 tem skate e 4 tem

bicicleta e skate.

Questes:

a-) Quantos alunos tem somente bicicleta? Resp.: 4

b-) Quantos alunos tem somente Skate? Resp: 5c-) Quantos no tem bicicleta nem skate? Resp: 7

Tomemos A={numero de alunos que tem bike}

B={Numero de alunos que tem skate}

AB = {numero de alunos que tem bike e skate}

(Sabemos que A tem apenas 4 elementos. Porque dos 8 alunos quetem bike, 4 tem tambm skate, portanto, o nmero de alunos que tembike e no tem skate igual a 4). 8 4 = 4

(Sabemos que B tem apenas 5 elementos. Porque dos 9 alunos que

tem skate, 4 tem tambm bike, portanto, o nmero de alunos que temskate e no tem bike igual a 5). 9 4 = 5

Agora para responder a pergunta c-) , preciso somente somar todos os numero do diagrama 4+4+5=13 tirar de 20 ou seja 20 - 13=7. Por que fazemos isso? Porque o diagrama nos diz que 4 so as alunosque tem s bike e 5 so os alunos que tem s skate e que 4 so os alunos que tem bike e skate e isso dum total de 13 alunos com algum tipo de brinquedo (bike ou/e skate). O resto, ou seja (20 13=7) alunosno tem nem bike nem skate.

Bibliografias : 1.Matemtica Bianchini E.. Editora moderna 2. Matemtica e Realidade Iezzi G. / Dolce O. /Machado A.

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A

B

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