Matematica Basica Para Mecanica - SENAI 1983

MATEMÁTICA BÁSICA PARA MECÂNICA – SENAI 1983

ÍNDICE

Capítulo 1 – Números – Contagem e Numeração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 3

Capítulo 2 – Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 9

Capítulo 3 – Medidas de Comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 17

Capítulo 4 – Medidas de Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 25

Capítulo 5 – Adição e Subtração de Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 31

Capítulo 6 – Multiplicação de Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 39

Capítulo 7 – Multiplicação de Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 45

Capítulo 8 – Divisão de Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 51

Capítulo 9 – Divisão de Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 63

Capítulo 10 – Divisão de Medidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 69

Capítulo 11 – Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 75

Capítulo 12 – Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 79

Capítulo 13 – Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 95

Capítulo 14 – Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 113

Capítulo 15 – Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 119

Capítulo 16 – Operações com Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 139

Capítulo 17 – Frações e Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 145

Capítulo 18 – Números Inteiros Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 149

Capítulo 19 – Números Fracionários Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 163

Capítulo 20 – Equações do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 171

Capítulo 21 – Equações do 1º Grau em Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 185

Capítulo 22 – Razão e Proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 191

Capítulo 23 – Regra de Três e Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 205

Capítulo 24 – Ângulos; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 215

Capítulo 25 – Transformações de Medidas de Ângulos;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 241

Capítulo 26 – Operações de Medidas de Ângulos; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 247

Capítulo 27 – Medidas de Tempo; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 263

Capítulo 28 – Figuras Planas; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 285

1

Capítulo 29 – Áreas de Figuras Planas; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 311

Capítulo 30 – Sólidos Geométricos; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 325

Capítulo 31 – Áreas em Sólidos Geométricos; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 345

Capítulo 32 – Volume de Sólidos Geométricos; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 359

Capítulo 33 – Triângulos; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 369

Capítulo 34 – Ângulos Internos do Triângulo; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 381

Capítulo 35 – Raiz Quadrada; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 395

Capítulo 36 – Relação de Pitágoras; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 409

Capítulo 37 – Aplicações da Relação de Pitágoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 417

Capítulo 38 – Razões Trigonométricas – Seno; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 447

Capítulo 39 – Razões Trigonométricas – Cosseno; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 459

Capítulo 40 – Razões Trigonométricas – Tangente; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 473

Capítulo 41 – Aplicações das Razões Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 485

Respostas dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 503

Fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . página 628

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MATEMÁTICA BÁSICA PARA MECÂNICA – SENAI 1983

CAPÍTULO 1 – NÚMEROS – CONTAGEM E NUMERAÇÃO

No módulo 1, vamos aprender a trabalhar com números naturais, números decimais, transformar medidas de comprimento e medidas de peso.

No sistema decimal de numeração, basicamente:

• Usamos 10 algarismos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;• Cada coisa contada é uma unidade;• Cada grupo de 10 unidades chama-se dezena;• Cada grupo de 100 unidades chama-se centena;• Cada grupo de 1000 unidades chama-se unidade de milhar;• Cada grupo ocupa uma posição, como no quadro abaixo:

Exemplo:

1982

O algarismo 2 está na posição das unidades – ele vale 2,O algarismo 8 está na posição das dezenas – ele vale 80,O algarismo 9 está na posição das centenas – ele vale 900,O algarismo 1 está na posição das unidades de milhar – ele vale 1000.

• Sabendo os nomes dos grupos, podemos compor e decompor um número.• Compor é formar um número juntando seus grupos:

4 unidades de milhar6 centenas9 dezenas0 unidades

Número natural representado: 4690

• Decompor um número é encontrar cada grupo desse número:

2 587 é formado por:2 unidades de milhar5 centenas8 dezenas7 unidades

3

EXERCÍCIOS

1. Escreva nos espaços vazios os números que estão faltando.

1 2 4 6 7 9 12

2. Complete a frase com as palavras que faltam.

O de um número natural é o número que vem logo depois.

3. Complete o quadro abaixo com os sucessores dos números naturais.

Número Natural Sucessor

5

23

49

60

74

4. Marque a resposta certa.

Para encontrar o sucessor de um número natural, é preciso:

a) ( ) Diminuir 1 do número natural.

b) ( ) Somar 1 ao número natural.

5. Escreva os sucessores de 78 e 43, fazendo as contas.

a) 78 + 1 =

b) 43 + 1 =

6. Escreva os números naturais que estão faltando.

a) + 1 = 35

b) + 1 = 91

7. Qual é o sucessor do número 142?

8. O número 8 é o sucessor de que número?

9. Complete as frases abaixo.

a) Cada grupo de 10 unidades forma uma .

b) Isso quer dizer que uma dezena vale o mesmo que unidades.

10. Complete as frases a seguir.

a) Cada grupo de 10 dezenas forma uma .

4

b) Por isso uma centena vale o mesmo que dezenas.


a) Cada grupo de 10 dezenas forma uma .

b) Cada grupo de 10 centenas forma uma .

c) Uma centena vale unidades.

d) Uma vale 1000 unidades.

12. Marque o ábaco que representa 1 centena, 8 dezenas e 6 unidades.

a) ( ) b) ( )

13. Observe a quantidade representada no ábaco abaixo e complete as linhas ao lado.

a) Centenas:

b) Dezenas:

c) Unidades:

5

14. Complete de acordo com a quantidade e o grupo representados no desenho do ábaco abaixo.

a) Centenas:

b) Dezenas:

c) Unidades:

d) O número natural representado é:

15. Complete as frases de acordo com o número abaixo.

3245 a) Na posição das dezenas está o algarismo .

b) O algarismo 2 está na posição das .

c) O algarismo representa cinco unidades.

d) O algarismo 3 está na posição das .

16. Complete o quadro abaixo, escrevendo os nomes dos grupos que estão faltando.

17. Marque a resposta correta.

No sistema decimal de numeração, a contagem é feita formando grupos de:

a) ( ) 3 em 3.

b) ( ) 10 em 10.

No número 485, o algarismo que está na posição das dezenas é:

a) ( ) o algarismo 4.

b) ( ) o algarismo 8.

6

No sistema decimal de numeração, as posições indicam grupos que são cada vez maiores:

a) ( ) da posição das unidades para a esquerda.

b) ( ) da posição das unidades para a direita.

18. Escreva os algarismos usados no sistema decimal de numeração.

19. Componha um número que é formado por 2 unidades de milhar, 7 centenas, 3 dezenas e 8 unidades. O número natural formado é .

20. Decomponha o número 452. Ele é formado por:

a) 4

b) 5

c) 2

21. A posição mais importante é a posição das unidades. É a partir dela que as outras posições são localizadas.

Sublinhe o algarismo das unidades, nos números a seguir.

a) 23 b) 145 c) 80 d) 9021 e) 02 f ) 17244

22. Complete.

a) A dezena é um grupo de 10 .

b) A centena é um grupo de 10 e contém unidades.

c) A unidade de milhar é um grupo de 10 e contém unidades.

23. Observe o número representado no ábaco abaixo e complete.

a) Unidades:

b) Dezenas:

c) Centenas:

d) O número representado é:

24. Decompondo o número 2 075, temos:

a) unidades de milhar;

b) centenas;

7

c) dezenas;

d) unidades.

25. Complete.

a) O número que contém 1 centena, 5 dezenas, e 1 unidade é o número .

b) Com 3 unidades, 4 dezenas e 1 centena, se compõe o número .

26. Complete o quadro abaixo escrevendo o nome das posições.

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CAPÍTULO 2 – NÚMEROS DECIMAIS

Ao estudar números decimais, você verá que:

• O número decimal serve para representar partes menores que a unidade;

• O número decimal tem dois lados:

Exemplo:

O número 1 593,467

• As unidades inteiras são formadas pelas unidades, dezenas, centenas e outros grupos maiores;

• As partes decimais são formadas pelos décimos, centésimos, milésimos e outras partes menores da unidade;

• O décimo de unidade é cada uma das 10 partes em que podemos dividir a unidade;

• O centésimo da unidade é cada uma das 100 partes em que podemos dividir a unidade;

• O milésimo de unidade é cada uma das 1000 partes em que podemos dividir a unidade;

• Cada algarismo da parte decimal ocupa uma casa, do mesmo modo que nas unidades inteiras, como você pode ver no quadro abaixo:

9

1593Unidades inteiras

, 467Partes decimais

EXERCÍCIOS

1. Complete.

Orlando usou um metro para medir o comprimento de uma sala e verificou que o metro cabia cinco vezes no comprimento da sala.

a) A grandeza que Orlando mediu foi .

b) A unidade de medida que escolheu foi .

c) A medida que ele encontrou foi de .

2. Leia o exercício a seguir.

Grandeza é tudo o que pode ser medido. Para medir uma grandeza precisamos usar uma unidade de medida, que deve ser bem determinada.

Com base nessas afirmativas, marque as afirmativas corretas.

a) ( ) O minuto é uma unidade de medida de tempo.

b) ( ) O palmo é uma unidade de medida de peso.

c) ( ) Para medir velocidade podemos escolher o quilo como unidade.

d) ( ) Para medir comprimento podemos escolher o metro como unidade.

3. Complete.

a) Uma unidade contém 10 .

b) Dividindo a unidade em 100 partes iguais, cada parte é um .

4. Um centésimo é maior ou menor que um décimo?

5. Complete.

1 litro de água vale 10 copinhos.

1 copinho, ou seja, 1 unidade vale 10 A água de um copinho pode ser dividida em 10 colheres do tamanho das colheres de café. Nos 10

10

copinhos, isto é, no litro, cabem 100 colheres de água. Por isso uma colher vai conter um centésimo de litro.

1 copinho vale 10 colheres.

1 décimo vale 10

Por último, podemos descobrir que em cada colher cabem 10 gotas de água. O litro contém 100 colheres, cada colher contém 10 gotas. Então o litro vai corresponder a 1000 gotas. Por isso, cada gota vale um milésimo do litro.

1 colher vale 10 gotas.

1 centésimo vale 10

6. Complete.

a)

1 unidade = 10 décimos 1 unidade = 100 centésimos

2 unidades = 20 décimos 2 unidades = 200

5 unidades = décimos 4 unidades =

unidades = 30 décimos unidades = 800 centésimos

b)Precisamos de décimos para formar 1 unidade.Precisamos de centésimos para formar 1 unidade.

11

c)

1 unidade = 1000 milésimos

3 unidades = 3000

7 unidades = 7000

unidades = 9000 milésimos

d)

Com 10 milésimos podemos formar 1

Com 10 centésimos podemos formar 1

Com 10 décimos podemos formar 1

Com 1000 milésimos se forma 1

7. Um centésimo é maior ou menor que um milésimo?

8. Complete.

a) No número decimal, a vírgula separa as unidades das decimais, menores que uma unidade.

b) As unidades inteiras ficam da vírgula, e as partes decimais ficam da vírgula.

c) Na representação de medidas usamos a para separar as unidades inteiras das partes menores que uma unidade.

d) As unidades inteiras ficam da vírgula.

e) As unidades decimais (décimos, centésimos etc.) ficam da vírgula.

9. Observe os ábacos e escreva em cada traço a letra do ábaco que representa as medidas.

a) b) c)

a) 23 unidades e 8 décimos está representada no ábaco que tem a letra .

b) 2 unidades, 3 décimos e 8 centésimos está representada no ábaco que tem a letra .

c) 15 unidades, 5 décimos e 4 centésimos está representada no ábaco que tem a letra .

10. Complete.

a) Logo à direita das unidades, depois da vírgula, fica a posição dos .

b) Á direita dos décimos fica a posição dos .

c) Á direita dos centésimos fica a posição dos .

12

11. Qual é o número que contém 4 unidades, 6 décimos, 2 centésimos e 3 milésimos?

12. Decomponha o número 21,874.

13. Qual o número que é composto por 5 centenas, 9 dezenas, 3 unidades e 1 décimo?

14. Decomponha os números abaixo.

a) 135 é formado por: , , e .

b) 13,5 é formado por: , , e .

c) 1,35 é formado por: , , e .

d) 3,5 é formado por: , ou .

e) 12,40 é formado por: , ou .

15. Marque as afirmativas corretas.

a) ( ) 2,07 é o mesmo que 2,7.

b) ( ) 001,25 é o mesmo que 1,25.

c) ( ) 21,800 é o mesmo que 21,8.

16. Escreva o número decimal indicado.

a) 3 décimos;

b) 7 centésimos;

c) 4 milésimos;

d) 1 décimo;

e) 1 centésimo;

f ) 1 milésimo.

17. Qual a medida que está representada no ábaco abaixo?

Resposta: A medida representada é unidade, décimos e .

13

18. Sublinhe o menor dos números de cada par a seguir.

a) 18,4 ou 18,3

b) 15,098 ou 15,035

c) 16,325 ou 16,6

d) 0,5 ou 0,9

e) 2,17 ou 2,31

f ) 0,3 ou 0,08

19. Sublinhe o maior número de cada grupo a seguir.

a) 0,2; 12,00; 12,08; 3,125.

b) 0,2: 0,20: 0,120; 0,21.

c) 1,0; 0,10; 0,01; 0,001.

20. Complete.

a) Quando se divide a unidade em 10 partes iguais, cada parte formada é um .

b) Quando se divide a unidade em 1000 partes iguais, cada parte formada é um .

c) Uma unidade contém 100 .

21. Complete.

a) Dividindo um décimo em 10 partes, cada parte é um .

b) Um centésimo contém 10 .

22. Marque o número que tem o algarismo 5 na posição dos centésimos.

a) ( ) 4,589

b) ( ) 12,054

c) ( ) 0,125

d) ( ) 5,339

23. Marque o número que tem o algarismo 7 na posição dos milésimos.

a) ( ) 1,471

b) ( ) 0,783

c) ( ) 28,117

d) ( ) 7,395

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24. Escreva o número decimal indicado.

a) 0 unidades, 1 décimo e 3 centésimos.

b) 7 unidades, 9 décimos e 1milésimo.

25. Um galão contém 1 quilo de graxa. Dividimos essa graxa por 10 latas e depois, a graxa de uma das latas é distribuída em 10 espátulas.

O quadro abaixo representa essa situação. Complete o quadro escrevendo as palavras que faltam.

26. Decomponha os números abaixo.

a) 3,704: 3 , 7 , 0 , 4 .

b) 21,039: 21 , 0 , 3 , 9 .

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27. Sublinhe o maior número de cada par abaixo.

a) 5,3 ou 3,28

b) 74,10 ou 74,09

c) 8,159 ou 8,7

16

CAPÍTULO 3 – MEDIDAS DE COMPRIMENTO

UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO

• Usamos os números decimais para representar medidas;• Para fazer uma medida é preciso escolher uma unidade de medida;• A medida indica quantas vezes a unidade cabe naquilo que vai ser medido;

Por exemplo:o que vai ser medido – o comprimento de um campo de futebola unidade escolhida – o metroa medida – 110 m;

• Para fazer medidas, usamos as unidades do Sistema Internacional de Medidas, porque esse sistema tem unidades de medida bem definidas e conhecidas por todos;

• As unidades de comprimento do Sistema Internacional de Medidas que estudamos são:

Nome Símbolo Valor

Metro m 1m

Quilômetro km 1000m

Decímetro dm 0,1m

Centímetro cm 0,01m

Milímetro mm 0,001m

Mícron 0,001mm

EXERCÍCIOS

1. Escreva ao lado de cada unidade de medida, o símbolo correspondente.

a) Quilômetro

b) Metro

c) Centímetro

d) Milímetro

2. Marque a resposta certa. Um metro vale:

a) 1 dm b) 10 dm c) 100 dm d) 1000 dm

3. Marque a resposta certa. Um centímetro vale:

a) 10 m b) 100 m c) 0,01 m d) 0,1 m

4. Complete.

a) 1 km é o mesmo que m.

b) 1 mm é o mesmo que m.

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5. Nas medidas abaixo, escreva o nome da unidade que corresponde a cada posição que estiver em branco.

6. Escreva os nomes que faltam para completar o quadro abaixo.

7. Complete.

a) Dividindo o milímetro em 10 partes, formamos o .

b) Dividindo o centésimo de mm em 10 partes, formamos o .

c) Dividindo o décimo de mm em 10 partes, formamos o .

d) O milésimo de mm se chama .

e) O símbolo do mícron é .


O centésimo de milímetro vale:

a) ( ) 1

b) ( ) 0,1 mm

c) ( ) 0,01 mm

d) ( ) 0,1

18


A unidade que vale 0,1 mm é:

a) ( ) O centésimo de mm

b) ( ) O décimo de mm

c) ( ) O milésimo de mm

d) ( ) O mícron

10. Complete o quadro abaixo.

11. Transforme as medidas abaixo, conforme indicado:

a) 1 dm = m

b) 1 mm = m

c) 1 km = m

12. Faça as transformações abaixo.

a) 1000 m = 1 km; então, 5000 m = km

b) 0,01 m = 1 cm; então, 0,08 m = cm

c) 1 centésimo de mm = 0,01 mm; então, 3 centésimos de mm = mm

13. Marque a posição da unidade.

a) 1,3 m b) 27,83 m c) 50,700 km d) 580,3 cm e) 0,08 m

f ) 1,53 mm g) 45,80 km h) 5,41415 m i ) 1809,5 dm

14. Transforme 8,432 m em decímetros.

15. Transforme 0,286 m em centímetros.

16. Complete.

a) Para transformar m em cm, a vírgula caminha para a , porque o centímetro é menor que o metro.

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b) Para transformar mm em m, a vírgula caminha para a , porque o metro é maior que o milímetro.

17. Transforme as medidas abaixo.

a) 3,432 m para dm 3,432 m = dm

b) 25,32 mm para cm 25,32 = cm

c) 128,7 cm para m 128,7 cm = m

d) 0,75 m para dm 0,75 m = dm

e) 5461,2 para mm 5461,2 = mm


1,250 m tem o mesmo valor que:

a) ( ) 1,250 cm

b) ( ) 12,50 cm

c) ( ) 125,0 cm

d) ( ) 1250 cm

83,44 cm tem o mesmo valor que:

e) ( ) 8,344 dm

f ) ( ) 834,4 dm

g) ( ) 83,44 dm

h) ( ) 8344 dm

19. Escreva a medida 0,7558 m em dm, cm e mm.

a) 0,7558 m = dm

b) 0,7558 m = cm

c) 0,7558 m = mm

20. Escreva a medida 1850,7 mm em cm, dm e m.

a) 1850,7 mm = cm

b) 1850,7 mm = dm

c) 1850,7 mm = m

21. Faça as transformações a seguir.

a) 0,0285 mm =

20

b) 0,0582 km = m

c) 7580,3 = mm

d) 3580,7 = km

22. Nas medidas em metros abaixo, complete todas as posições até km, conforme o exemplo.


a) 17,5 m = km

b) 65,20 m = km

c) 5,1 m = km

d) 48 m = km

e) 0,7 m = km

f ) 93,4 m = km

21

24. Complete.

a)

b)

c)

d)

e)

25. Complete.

a)

b)

c)

26. Coloque vírgula e zeros nas medidas abaixo, como no exemplo.

a) 15 mm = 15,00 b) 5 km = km c) 1 dm = dm


a) 12 m km

b) 7 mm =

c) 843 mm = m

22

d) 23 km = m


a) 13,01 km = m

b) 160,2 m = cm

c) 37 dm = m

d) 0,08 m = mm

29. Marque a transformação correta.

a) ( ) 73,4 km = 73 400

b) ( ) 0,03 mm = 3


8,52 km tem o mesmo valor que:

a) ( ) 8,520 m

b) ( ) 85,20 m

c) ( ) 852,0 m

d) ( ) 8520 m

31. Passe para milímetros as medidas abaixo.

a) 5,3 cm = mm

b) 18 m = mm

c) 1 dm = mm

d) 30 = mm

32. A distância entre São Paulo e Santos é de, aproximadamente, 80 km. Quanto vale essa distância em metros?

33. Complete: 5 decímetro valem mm.

34. Passe para milímetro as medidas abaixo.

a) 12 décimos de milímetro = mm

b) 12 centésimos de milímetro = mm

c) 12 milésimos de milímetro (ou 12 ) = mm

d) 78,5 centésimos de milímetro = mm

e) 5,5 décimos de milímetro = mm

23

f ) 108 milésimos de milímetro (ou 108 ) = mm

35. A folga entre um eixo e um furo deve ser de 93. Quanto vale esta medida em milímetros?

36. O diâmetro de um furo deve ser de 58 centésimos de mm. Escreva esta medida em milímetros.

37. Uma serra, ao cortar chapas de aço, provoca uma perda de 3 décimos de milímetro em cada corte. Quanto vale essa perda em milímetros?

38. Complete.

a) 1,5 mm é o mesmo que centésimos de milímetro.


4,172 m é o mesmo que:

a) ( ) 41,72 dm

b) ( ) 4172,2 dm

c) ( ) 4172 dm

d) ( ) 41720 dm

40. Marque o número que possui o mesmo valor que 77,03 m.

a) 7,703 cm b) 770,3 cm c) 7703 cm d) 77030 cm

41. Escreva o nome da unidade correspondente a cada símbolo:

a) m =

b) km =

c) mm =

d) =

e) dm =

f ) cm =

24

CAPÍTULO 4 – MEDIDAS DE PESO

• As unidades de peso do Sistema Internacional de Medidas que estudamos são:

Nome Símbolo Valor

Grama g 1g

Quilograma kg 1000g

Miligrama mg 0,001g

• Uma medida pode ser escrita em qualquer unidade;• Para passar uma medida para uma nova unidade, precisamos mudar a vírgula para posição desta nova

unidade e colocar o novo símbolo na medida.

Exemplo: 1,25 cm é o mesmo que 12,5 mm e 300 g é o mesmo que 0,300 kg.

EXERCÍCIOS

1. Complete.

a) O quilograma vale gramas.

b) O símbolo do grama é . O símbolo do quilograma é .

2. Escreva o nome da unidade que ele representa.

3. Complete o quadro abaixo escrevendo os símbolos das unidades de medida de peso.

Unidades Símbolo

Quilograma (quilo)

grama

miligrama


Um miligrama vale:

a) 1000g b) 0,001g c) 10g d) 0,1g

25

5. Complete.

a) Mil gramas é o mesmo que 1 .

b) Um milésimo de grama é o mesmo que 1 .

6. Faça a transformação de 3,5142g passando para mg.

a) Primeiro, marque a posição da unidade em gramas.

b) Segundo, marque as posições das outras unidades.

c) Terceiro, mude a vírgula para a posição da nova unidade que é o mg.

7. Transforme 5432,1g em kg.

8. Para transformar medidas de kg para g, a vírgula deve caminhar para a esquerda ou para a direita?

9. Na transformação de medidas de mg para g, a vírgula caminha para a esquerda ou para a direita?


17,800 kg vale o mesmo que:

a) 17800,5g b) 178,005g c) 1,78005g d) 178005g


1,0542g tem o mesmo valor que:

a) 10,542mg b) 105,42mg c) 10542mg d) 1054,2mg

12. Transforme em gramas as medidas abaixo.

a) 0,1853 kg = g.

b) 20428,5 mg = g.

c) 1253,8 mg = g.

13. Faça as transformações indicadas.

a) 8005,1 mg = g.

b) 5008,1 g = kg.

26

14. Escreva as medidas que faltam, completando com zeros até kg.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

27

15. Complete as transformações.

a) 3,8g = 000 3,8 g = 0,0038 kg

b) 21,3g = 00 21,3 g = kg

c) 0,7g = 000 0,7 g = kg

d) 102,5g = g = kg

e) 9,1g = g = kg

f ) 4,35g = g = kg

g) 85,4g = g = kg

16. Complete o quadro abaixo.

Medida em g Medida em g com zeros até a posição de mg

Medida em mg

a) 1,5g 1,5 00 g 1500 mg

b) 3,8g 3,8 00 g mg

c) 21,3g 21,3 00 g mg

d) 2,55g 2,55 0 g mg

e) 0,7g g mg

f ) 102,5g g mg

g) 9,1g g mg

h) 4,35g g mg

i ) 85,4g g mg

17. Complete.

a) 4,17kg = 4,170 kg = g.

b) 12,9kg = kg = g.


a) 85,4 g = kg.

b) 68,20 g = kg.

c) 3,48mg = g.

d) 0,6 mg = g.


8,2g é o mesmo que:

a) 82,0 mg b) 820 mg c) 8200 mg d) 0,820 mg

20. Transforme as medidas abaixo para g.

a) 0,71 kg = g.

b) 24 kg = g.

28

c) 2,3 = g.

d) 0,07 kg = g.


25 g vale o mesmo que:

a) 25000 mg b) 2500 mg c) 0,25 mg d) 250 mg

22. Transforme as medidas a seguir.

a) 65 mg = g.

b) 134 g = kg.

c) 3 kg = g.

d) 27 g = mg.

e) 1450 mg = g.

f ) 0,1 kg = g.

23. Complete.

a) A unidade de medida de peso que vale mil gramas é o .

b) A unidade de medida de peso que vale um milésimo de grama é o .


4379,21 mg é o mesmo que:

a) 4,37921 g b) 43,7921 g c) 437,921 g d) 437921 g

25. Faça as transformações abaixo.

a) 0,28 g = mg.

b) 40 g = kg.

c) 5,6 = g.

d) 3 g = mg.

26. Escreva o nome da unidade de medida correspondente ao símbolo.

a) g =

b) kg =

c) mg =

29

CAPÍTULO 5 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

Para somar e subtrair números decimais:

• Montamos a conta, colocando os números com vírgula uma embaixo da outra, para as centenas ficarem embaixo das centenas, as dezenas embaixo das dezenas, as unidades embaixo das unidades, os décimos embaixo dos décimos, os centésimos embaixo dos centésimos e os milésimos embaixo dos milésimos.

3 2 1 , 4 9 4 3 2 1 , 4 9 4

+ 2 8 7 , 1 7 3 – 2 8 7 , 1 7 3

• Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles fossem números naturais;

1 1 2 11

3 2 1 , 4 9 4 3 2 11 , 4 9 4

+ 2 8 7 , 1 7 3 – 2 8 7 , 1 7 3

6 0 8 6 6 7 0 3 4 3 2 1

• No resultado, colocamos a vírgula embaixo das outras vírgulas:

1 1 2 11

3 2 1 , 4 9 4 3 2 11 , 4 9 4

+ 2 8 7 , 1 7 3 – 2 8 7 , 1 7 3

6 0 8 , 6 6 7 0 3 4 , 3 2 1

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MEDIDAS

Para somar e subtrair medidas:

• Somamos ou subtraímos as medidas como fazemos com os números decimais;• As medidas precisam estar na mesma unidade;• Quando as medidas estão em unidades diferentes, precisamos deixar todas na mesma unidade, antes de somar ou subtrair;• Escrevemos o resultado na mesma unidade de medida usada na conta.

3 2 0 , 0 cm 2 5 , 1 g

+ 2 5 , 1 cm – 1 3 , 0 g

3 4 5 , 1 cm 1 2 , 1 g

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Para resolver problemas, seguimos alguns passos:

• Lemos o problema com atenção;

31

• Estudamos a pergunta do problema;• Encontramos os dados que o problema traz;• Pensamos o que pode ser feito com os dados, para responder à pergunta do problema;• Fazemos a indicação das contas;• Montamos e resolvemos as contas do problema;• Respondemos a pergunta do problema.

Exemplo:

• Leia com atenção:

Uma pequena firma adquiriu ouro para o seu trabalho: 1,784 kg no primeiro mês; 2,037 kg no segundo mês e 872 g no terceiro mês.

Quantos kg de ouro adquiriu nesse período?

• O problema pergunta quantos kg de ouro a firma adquiriu no período de 3 meses.• Os dados do problema são:

no primeiro mês: 1,784 kgno segundo mês: 2,037 kgno terceiro mês: 872 g

• O que nós fazemos com os dados para responder à pergunta do problema?

Para saber quantos kg a firma adquiriu nesse período nós somamos os dados do problema.Lembre que são dois dados em kg e um em g.

• Vamos fazer a transformação de g para kg, antes de somar.

872 g = 0,872 kg

• Indicamos a conta que responde a pergunta do problema.

1,784 kg + 2,037 kg + 0,872 kg =

• Montamos e resolvemos a conta do problema:

+

1,784 kg2,037 kg0,872 kg4,693 kg

• Escrevemos a resposta do problema.

A resposta é: a firma adquiriu 4,693 kg de ouro nesse período.

32

EXERCÍCIOS

1. Faça as contas abaixo.

a) 325 + 71 + 9 =

b) 1044 + 891 + 38 =

c) 81 + 703 + 7 =

d) 3245 + 43 + 1080 =

e) 409 + 81 + 2 =

f ) 27 + 762 + 68 =

g) 1072 + 85 + 329 =

h) 45 + 4 + 732 =

2. Faça a conta a seguir, colocando a vírgula no resultado.

+

002,400034,280128,305

3. Faça as contas a seguir.

a) 15,3 + 0,107 + 4,12 =

b) 0,6 + 15,1 + 0,9 + 4 =

c) 6,75 + 8 + 14,1 =

d) 0,1 + 2 + 14,72 + 5,45 =

e) 2,1 + 13,8 + 7 =

f ) 0,16 + 26,2 + 4,35 =

g) 6,253 + 4 + 0,94 =

h) 15,112 + 8,376 + 25 + 3,08 =

i ) 0,142 + 7,2 + 3 =

j ) 82,31 + 0,31 + 0,405 =

l ) 2 + 1,029 + 3,4 =

m) 0,8 + 0,7 + 88 =

n) 0,25 + 8,7 + 0,3 + 32 =

4. Faça as contas a seguir, passando as medidas para as unidades indicadas.

a) 18,3cm + 28,7mm = mm

b) 850g + 7,1kg = kg

33

c) 21,1g + 128mg = mg

d) 35g + 187mg = g

e) 7km + 140m + 85m km

f ) 27,3dm + 35cm + 139mm = cm

g) 125m + 5m + 2,8km = km

h) 70g + 101g + 5,2kg = kg

i ) 2,1m + 0,7dm + 105mm = dm

j ) 8kg + 135g + 3,6kg = kg

5. Resolva o problema a seguir.

1º Passo – Leia com atenção.

Uma pista foi construída em três etapas. Na primeira etapa, construíram 23,5m, na segunda. 42,8m, na terceira 8,9m. Quantos metros de pista construíram ao todo?

2º Passo – Observe a pergunta do problema e complete. O problema está perguntando quantos de pista construíram .

3º Passo – Encontre os dados que o problema traz. Construíram na primeira etapa , na segunda etapa e na terceira etapa .

4º Passo – Agora procure descobrir o que você pode fazer com os dados para responder a pergunta do problema. Complete: para saber quantos metros de pista construíram ao todo, é só as medidas de cada etapa.

5º Passo – Faça as indicações da conta.

6º Passo – Monte e resolva a conta do problema.

7º Passo – A resposta é: “Construíram ao todo, de pista.”

6. Para construir uma ponte rolante, gastaram 2.000kg de chapas de aço, 150kg de eletrodos, 562,3kg de cabo de aço, 1.200kg de trilhos, 753,85kg de eixos e 1.235,5kg de rodas fundidas. Quantos quilos de material usaram nessa ponte?

7. Um farmacêutico preparou um vidro de remédio com estas substâncias: 80g de água destilada; 3,5g de chá de ervas e 1,72mg de produtos químicos. Quantos gramas de remédio ele preparou?

8. Uma peça, quando foi desbastada, perdeu 300g e ficou pesando 4,3kg. Quantos quilos pesava a peça antes de ser desbastada?

9. Na montagem de uma peça foram usadas três barras de latão: uma pesando 3,2kg, outra 5,4kg e outra 920g. Foram usadas ainda, 650g de parafusos para a fixação das barras. Quanto a peça pesou em quilos depois de montada?

10. No enrolamento de um motor são necessários: 3,478cm de espaguete tubular de cor preta, 24,563cm de cor azul e 158,4cm de cor amarela. Quantos metros desse material serão usados?

34

EXERCÍCIOS

1. Faça as contas abaixo.

a) 82 – 56 =

b) 61 – 49 =

c) 50 – 38 =

d) 48 – 35 =

e) 25 – 17 =

f ) 92 – 46 =

g) 70 – 62 =

h) 96 – 57 =

2. Faça a subtração a seguir e tire a prova.

600 – 212 =

5 9

6 0 10

– 2 1 2

3 8 8


a) 884 – 669 =

b) 677 – 285 =

c) 532 – 386 =

d) 807 – 558 =

e) 907 – 129 =

f ) 455 – 332 =

g) 875 – 721 =

h) 321 – 219 =

i ) 532 – 395 =

j ) 713 – 589 =

4. Resolva as contas a seguir.

a) 2,2 – 0,86 =

b) 88,45 – 6,99 =

c) 32,15 – 8,27 =

35

d) 102,8 – 15 =

e) 16,05 – 0,39 =

f ) 402,85 – 37,1 =

g) 17 – 13,4 =

h) 255,63 – 197 =

i ) 2 – 0,061 =

j ) 8,52 – 3 =

5. Calcule as contas abaixo escrevendo o resultado na unidade indicada.

a) 884,5m – 245m = m

b) 40,5mm – 2,8cm = cm

c) 0,125kg – 13g = g

d) 2,02g – 116,3mg = mg

e) 12,04dm – 7,2dm = dm

f ) 87,3kg – 50,02kg = kg

g) 2,5m – 0,136m = m

h) 17,500kg – 8,6kg = kg

i ) 583,2mg – 0,32g = mg

j ) 8km – 817,5m = km

6. João está construindo uma churrasqueira e precisa de 200g de rebites de aço para suporte da caixa. Mas ele só tem 80,7g. Quantos gramas ele precisa comprar para completar o que falta?

Resposta: João precisa comprar de rebites de aço.

7. Uma fábrica estava com 57,3kg de eletrodos para solda. Um soldador usou 850g. Quantos quilos de eletrodos sobraram?

Resposta: Sobraram de eletrodos.

8. Uma peça de tecido tinha 35,20m. Venderam 6,60m para um comprador e, depois, 4m para outro. Quantos metros de tecido sobraram na peça?

Resposta: Sobraram de tecido.

9. Para instalar um aparelho, José vai precisa de 18,3m de fio. Ele só tem 12,20m. Quantos metros de fio vai ter de comprar?

10. Em uma marcenaria havia 325m de tábua. Num primeiro serviço usaram 75,2m e num outro 27,3m. Quantos metros de tábua sobraram?

36

11. Um torno revólver consumiu 285,7kg de barras de aço na usinagem de pinos e 187,2kg na usinagem de parafusos. Havia 536kg dessas barras em estoque. Quantos quilos sobraram?

12. Num armazém, havia 28kg de um tipo de prego. Venderam 8,5kg para uma marcenaria e 720g para um rapaz. Quantos quilos sobraram?

13. Calcule a medida que falta no desenho abaixo, completando a resposta.

Resposta: A medida que falta mede cm.

14. Calcule a medida que falta no desenho abaixo, completando a resposta.

Resposta: A medida que falta é mm.

15. Para fazer uma peça, compraram 1,482kg de barra de aço carbono. Depois que a peça ficou pronta, sobraram 765g. Quantos gramas de barra de aço carbono foram usados nessa peça?

16. Um retalho de tecido tinha 6,47m. Foram usados 98cm. Quantos metros sobraram.

37

17. Na montagem de um painel de fibra, gastaram o seguinte material: 28kg no primeiro dia, 36,5kg no segundo dia e 21,8kg no terceiro. No estoque havia 100kg de material. Quantos quilos sobraram?

18. Num gerador de gás para solda, o recipiente continha 8kg de carbureto para serem consumidos em três dias. No primeiro dia, foram consumidos 3,4kg e, no segundo, 885g. Quantos quilos de carbureto sobraram para serem consumidos no terceiro dia?

19. Para instalar três motores foram usados 72,5 metros de fio. No primeiro motor, usaram 12,25m e, no segundo, 32,8m. Quantos metros de fio foram usados no terceiro motor?

20. Uma estrada que deve medir 124,5km depois de pronta, está sendo construída em três etapas. Na primeira etapa, construíram 42,300km e, na segunda, 52,7km. Quantos quilômetros faltam para construir na terceira etapa?

38

CAPÍTULO 6 – MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS E DECIMAIS

Para multiplicar números naturais por números naturais:

• Precisamos memorizar a tabuada;• A multiplicação é um caso especial de adição que tem todas as parcelas iguais:

7 7 7 7 7= 35 adição5 vezes

5 x 7= 35 multiplicação

• Montamos a conta de multiplicar assim:

7 fator

x 5 fator

35 produto

• Podemos escrever os fatores em qualquer ordem:

Assim: ou assim:

7 5

x 5 x 7

35 35

• Quando multiplicamos um número por zero, o resultado é zero;

• Quando o resultado da multiplicação de um número por outro é maior que 9, levamos o algarismo da esquerda desse resultado para a posição imediatamente superior, ou seja, para a coluna da esquerda;

1

23 6 x 3 = 18

x 6 Colocamos 8 no resultado

138 e levamos 1 para a coluna das dezenas

• Na multiplicação de um número por outro, multiplicamos todos os algarismos de um por todos os algarismos do outro:

323 2212

x 32 x 423

646 6636

+ 969 4424

10336 + 8848

935676

39

• Quando multiplicamos um número natural por 10, não precisamos fazer a conta, basta acrescentar um zero:

15 x 10 = 150

10 x 15 = 150

• Quando multiplicamos um número natural por 100, basta acrescentar dois zeros:

15 x 100 = 1500100 x 15 = 1500

• Quando multiplicamos um número natural por 1000, basta acrescentar três zeros:

15 x 1000 = 15000

1000 x 15 = 15000

Para multiplicar números decimais por números naturais:

• Fazemos a multiplicação, como se os números fossem naturais:

23 , 38

x 24

93 52

+ 467 6

561 12

• No resultado, deixamos as mesmas posições decimais do número decimal do fator:

23 , 38 duas posições decimais

x 24

93 52

+ 467 6

561 , 12 duas posições decimais

• Quando temos uma medida que é dada por um número decimal colocamos a mesma unidade de medida no resultado:

3 , 27 m

x 5

16 , 35 m

• Quando multiplicamos um número decimal por 10, não precisamos fazer a conta, só mudamos a vírgula uma posição para a direita:

40

3,75 x 10 = 37,5

0,53 x 10 = 5,3

0,7 x 10 = 7

• Quando multiplicamos um número decimal por 100, só mudamos a vírgula duas posições para a direita:

0,025 x 100 = 2,5

1,5 x 100 = 150

3,25 x 100 = 325

• Quando multiplicamos um número decimal por 1000, só mudamos a vírgula três posições para a direita:

1,2568 x 1000 = 1256,8

0,9 x 1000 = 900 que é o mesmo que 900,0

4,136 x 1000 = 4136 que é o mesmo que 4136,0

41

EXERCÍCIOS

1. Faça as multiplicações abaixo.

a) 34 x 2 =

b) 63 x 3 =

c) 312 x 3 =

d) 451 x 7 =

e) 2703 x 4 =

f ) 4360 x 8 =

g) 43 x 2 =

h) 12 x 134 =

i ) 45 x 3 =

j ) 645 x 6 =

l ) 907 x 5 =

m) 5370 x 5 =


a) 212 x 34 =

b) 413 x 24 =

c) 351 x 47 =

d) 31 x 1234 =

e) 244 x 12 =

f ) 568 x 45 =


a) 3406 x 471 =

b) 6493 x 716 =

c) 4539 x 811 =

d) 7055 x 689 =

e) 3786 x 346 =

4. Faça as multiplicações a seguir.

a) 27 x 10 =

b) 10 x 99 =

c) 805 x 10 =

42

d) 10 x 132 =

e) 2130 x 10 =

f ) 10 x 3 =

g) 304 x 100 =

h) 100 x 99 =

i ) 200 x 100 =

j ) 100 x 2130 =

l ) 304 x 1000 =

m) 1000 x 18 =

n) 1000 x 5 =

o) 2130 x 1000 =

p) 1000 x 887 =

q) 211 x 1000 =

r ) 3 x 100 =


a) 123 x 80 =

b) 7125 x 500 =

c) 2130 x 607 =

d) 4568 x 203 =

e) 1232 x 304 =

f ) 4321 x 3 =

g) 2867 x 53 =

h) 4501 x 403 =

6. Quantos parafusos de rosca soberba existem no estoque se, nesse estoque, estão 13 caixas com 144 parafusos cada uma?

7. Uma gráfica vai imprimir 5.820 exemplares de um livro técnico. Cada livro contém 147 ilustrações coloridas. Quantas ilustrações coloridas deverão ser impressas ao todo?

8. Foi construído um prédio escolar com 8 salas de aula. Quantas carteiras devem ser compradas para que em cada sala sejam colocadas 35 carteiras?

9. Numa indústria de confecções estão trabalhando 58 costureiras. Cada costureira deve fazer acabamento em 65 peças por dia. Quantas peças recebem acabamento por dia nessa indústria?

10. Certo inspetor de qualidade de uma indústria de motores faz o controle de qualidade de 320 peças por dia. Em 245 dias de trabalho, quantas peças ele terá inspecionado?

43

CAPÍTULO 7 – MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

Para multiplicar números decimais por números decimais:

• Fazemos a multiplicação, como se os dois números fossem naturais:

9 , 128

x 0 , 3

2 7 3 8 4

• Somamos o número de posições decimais dos fatores para colocar a vírgula no resultado:

9 , 128 3 posições decimais 3

x 0 , 3 1 posição decimal + 1

2 , 7 3 8 4 4 posições decimais 4

• Quando o número de posições decimais for insuficiente para colocar a vírgula, completamos com zeros à esquerda do produto para a colocação da vírgula.

1,2 1 posição decimal

x 0 , 05 2 posições decimais

60

1,2

x 0 , 05

0,060 3 posições decimais

Para multiplicar uma medida por um número natural:

• Multiplicamos normalmente como fazemos com os números decimais, e no seu resultado colocamos a mesma unidade de medida.

4,551 kg 132,7 m

x 12 x 4

9102 530,8 m+ 4551

54,612 kg

• Quando multiplicamos uma medida por 10, 100 ou 1000, mudamos a vírgula e colocamos a mesma unidade de medida no resultado:

6,77 cm x 10 = 67,7 cm

7,508 g x 100 = 750,8 g

1,1258 m x 1000 = 1125,8 m

45

EXERCÍCIOS

1. Coloque a vírgula nos resultados destas multiplicações.

a)

5 7 6 , 2

x 3

1 7 2 8 6

b)

5 7 6 , 2

x 42

1 1 5 2 4

+ 2 3 0 4 8

2 4 2 0 0 4

c)

5 7 6 , 2

x 578

4 6 0 9 6

+ 4 0 3 3 4

3 3 3 0 4 3 6

d)

1 8 , 6 4

x 6

1 1 1 8 4

e)

1 8 , 6 4

x 23

5 5 9 2

+ 3 7 2 8

4 2 8 7 2

f )

1 8 , 6 4

x 405

9 3 2 0

+ 7 4 5 6 0

7 5 4 9 2 0

46


a) 0,2 x 4 =

b) 2,5 x 7 =

c) 13,5 x 12 =

d) 224,8 x 56 =

e) 305,7 x 232 =

f ) 678,9 x 705 =

g) 3,75 x 8 =

h) 5,76 x 3 =

i ) 15,36 x 17 =

j ) 32,08 x 347 =


a) 5,762 x 3 =

b) 6,129 x 54 =

c) 1,237 x 243 =

d) 8,756 x 267 =

e) 25,71 x 7 =

f ) 308,2 x 8 =

g) 61,3 x 59 =

h) 7702 x 4,3 =

i ) 2076 x 1,34 =

j ) 83,09 x 476 =

l ) 3,8 x 1,9 =

m) 0,826 x 3,25 =

4. Complete as multiplicações abaixo colocando a vírgula nos resultados. Quando for necessário, acrescente zeros à esquerda do produto.

a)

6 , 7

x 0 , 5

3 3 5

47

b)

1 , 8

x 0 , 0 3

5 4

c)

7 , 1

x 0 , 0 0 4

2 8 4

d)

0 , 1 5

x 0 , 0 2

3 0

e)

0 , 2 5

x 2 , 5

1 2 5

+ 5 0

6 2 5

f )

1 , 8 3

x 2 , 6

1 0 9 8

+ 3 6 6

4 7 5 8


a) 2,17 x 0,08 =

b) 0,1 x 0,06 =

c) 4,5 x 1,37 =

d) 2 x 0,006 =

e) 1,008 x 2,3 =

f ) 1,5 x 0,15 =

g) 0,2 x 0,081 =

h) 1,03 x 0,91 =

48

6. Calcule as multiplicações abaixo escrevendo a unidade de medida.

a) 1,28m x 5 =

b) 0,34mm x 3 =

c) 27,60kg x 20 =

d) 5,5 x 0,1g =

e) 40,81m x 8 =

f ) 4,531cm x 1,5 =

g) 3,05 x 8,3 =

h) 85,8kg x 0,25 =

i ) 1,305mm x 1,1 =

j ) 86,608 x 1000mm =


a) 4,9 x 10 =

b) 31,6g x 10 =

c) 0,53 x 10 =

d) 0,082kg x 10 =

e) 0,03 x 10m =

f ) 0,0097 x 10 =

g) 3,75 x 10 =

h) 9,027 x 10 =

i ) 9,967 x 100 =

j ) 2,4454 x 100 =

l ) 9,17 x 100 =

m) 0,033 x 100 =

n) 0,165 x 100 =

o) 0,07 x 100 =

p) 48,5 x 100 =

q) 6,1 x 100 =

r ) 0,3 x 100 =

s) 0,9 x 100 =

t ) 19,8863 x 1000 =

u) 0,035 x 1000 =

49

v) 0,003 x 1000 =

x) 15,3 x 1000 =

z) 0,7 x 1000 =


a) 3,48915mm x 1000 =

b) 0,006kg x 100 =

c) 100 x 0,05km =

d) 59,9g x 100 =

e) 10 x 2,7kg =

f ) 90,7cm x 100 =

g) 0,900kg x 1000 =

h) 0,2dm x 100 =

i ) 1,2568m x 1000 =

j ) 4,136g x 1000 =

9. Um encanador precisa de 57 pedaços de cano medindo 2,55m cada um. De quantos metros de cano ele precisa?

Complete: O encanador precisa de pedaços; cada pedaço mede . No total ele vai precisar de x .

10. Para fazer um mancal usamos 13,9kg de bronze. Foram feitos 27 mancais. No depósito havia 380,5kg de bronze. Quantos quilos de bronze sobraram?

11. Uma laminação produz, num dia, 650,75kg de vergalhão. Quantos quilos ela vai produzir em 42 dias?

12. Na construção de uma máquina são consumidos 2,458m de tubo de alumínio. Foram construídas 45 máquinas. Havia no estoque 115,800m de tubo. Quantos metros de tubo sobraram?

50

CAPÍTULO 8 – DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS

DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS

• Na divisão, os elementos sempre ficam nesta posição:

• Na divisão, descobrimos quantas vezes um número cabe em outro número:

8÷ 2 = 4

Neste exemplo, ficamos sabendo que o número 2 cabe 4 vezes no número 8.

• Assim, a divisão é o inverso da multiplicação:

8÷ 2 = 4 4 x 2 = 8

Por isso, do resultado e dos fatores de uma multiplicação, podemos fazer duas divisões:

• Quando o dividendo e o divisor terminam com zero, podemos cortar a mesma quantidade de zeros de cada um antes de fazer a divisão.

• Quando baixamos um número do dividendo e ficamos com um resto menor que o divisor, precisamos colocar um zero no quociente e baixar o número seguinte do dividendo para continuar a divisão.

• Se ao baixarmos um número no dividendo e ficamos com um número menor que o divisor, colocamos zero no quociente e baixamos o próximo algarismo; se o resto ainda for menor que o divisor, colocamos zeros no quociente até ser possível a divisão.

51

• Quando dividimos um número natural por 10, não precisamos fazer a conta, basta cortar um zero.

310 ÷ 10= 3110÷ 10= 1

• Quando dividimos um número natural por 100, basta cortar dois zeros.

42800 ÷ 100 = 428600 ÷ 100= 6

• Quando dividimos um número natural por 1000, cortamos três zeros.

8000÷ 1000= 8415000÷ 1000= 415

52

EXERCÍCIOS

1. Escreva nas linhas correspondentes o nome de cada um dos elementos.

5 3 8 2

– 3 1 – 8 4

2 0

2. Faça as divisões a seguir.

a) 6÷ 3=

b) 10÷ 2=

c) 8÷ 4 =

d) 6÷ 2=

e) 10÷ 5=

f ) 12÷ 3=

g) 18÷ 6=

h) 28÷ 7=

3. Faça as contas abaixo e escreva a resposta nos traços.

a) 10÷ 3=

Resultado: e resta

b) 18÷ 4 =

Resultado: e restam

c) 29÷ 6=

Resultado: e restam

d) 19÷ 8=

Resultado: e restam

e) 15÷ 4=

Resultado: e restam

f ) 10÷ 8=

Resultado: e restam

g) 12÷ 5=

Resultado: e restam

53

h) 18÷ 6=

Resultado: e resta


a) 85 : 5 =

b) 80 : 6 =

c) 74 : 3 =

d) 52 : 4 =

e) 63 : 5 =

f ) 97 : 3 =

g) 74 : 5 =

h) 84 : 3 =

i ) 796 : 6 =

j ) 868 : 7 =

l ) 803 : 6 =

m) 731 : 3 =

n) 935 : 5 =

o) 505 : 8 =

p) 318 : 7 =

q) 438 : 6 =

5. Faça as divisões abaixo.

a) 7053 : 3 =

b) 8448 : 4 =

c) 3480 : 8 =

d) 8150 : 6 =

e) 5905 : 7 =

f ) 2503 : 4 =


a) 70 : 5 =

b) 59 : 5 =

c) 517 : 2 =

d) 505 : 8 =

54

e) 8001 : 7 =

f ) 1160 : 8 =

g) 6130 : 9 =

h) 6381 : 3 =

i ) 5688 : 8 =

j ) 175 : 5 =

l ) 6405 : 7 =

m) 5453 : 4 =

n) 462 : 3 =

o) 97 : 4 =

p) 85 : 5 =

q) 936 : 6 =

7. Pedro distribuiu 56 livros por 7 pessoas. Quantos livros cada pessoa recebeu?

8. Uma costureira só tem 48 botões e precisa fazer 6 aventais. Quantos botões pode usar em cada avental?

9. Uma classe de 33 alunos resolveu fazer equipes para um torneio de futebol de salão. Cada equipe é formada por 6 jogadores. Quantas equipes podem ser formadas? Quantos alunos vão restar?

10. Uma revendedora de peças recebeu um lote de 68 rodas de carro. As rodas devem ser guardadas em prateleiras, cabendo 8 em cada uma. Quantas prateleiras vão ser usadas totalmente? Quantas rodas vão sobrar?

11. Quantas caixas devem ser usadas para embalar 82 peças se, em cada uma, cabem 5 peças? Quantas vão restar?

12. Olavo quer distribuir 80 moedas entre os 3 filhos. Quantas moedas receberá cada um? Quantas moedas vão restar?

13. Numa fábrica trabalham 856 operários. Foram feitos 4 grupos para a escala de férias. Quantos operários saem de férias em cada grupo?

14. Em uma seção de embalagem há 786 peças para serem colocadas em 6 caixas. Quantas peças devem ser colocadas em cada caixa?

15. Numa campanha foram conseguidas 696 latas de óleo para serem distribuídas por 8 creches. Quantas latas de óleo cada creche deve receber?

16. 225 candidatos devem prestar uma prova numa escola que dispõe de 5 salas de aula. Quantos candidatos devem ficar em cada sala?

17. Uma impressora imprimiu 6.420 livros em 5 dias. Quantos livros ela imprimiu em um dia?

55

18. Uma transportadora precisa acondicionar 5.264 pacotes em 7 caminhões. Quantos pacotes deve transportar cada caminhão?

19. Um painel está sendo preparado para expor 540 tipos de peças. Essas peças devem ser distribuídas em 9 filas iguais. Quantas peças devem ficar em cada fila?

20. Na construção de um conjunto habitacional foram gastos 3.384 telhas em 8 casas iguais. Quantas telhas foram gastas em cada casa?

21. Uma gráfica deve empacotar 963 cadernos para distribuir igualmente entre 3 lojas. Quantos cadernos deve receber cada loja?

22. Em um depósito estão 680 litros armazenados em recipientes de 8 litros cada um. Quantos recipientes existem?

23. Um carpinteiro pegou uma empreitada na construção de uma casa pequena. Ele calcula levar 184 horas para terminar a obra, trabalhando 8 horas por dia. Quantos dias ele vai trabalhar?

24. Uma casa de ferragens recebeu 8 caixas de chaves de fenda num total de 864 peças. Quantas chaves-de-fenda existem em cada caixa?

25. Para a construção de apartamentos foram usadas 384 esquadrias de alumínio. Cada apartamento precisa de 8 esquadrias. Quantos apartamentos foram construídos?

56

EXERCÍCIOS


a) 39 : 13 =

b) 36 : 12 =

c) 45 : 21 =

d) 68 : 32 =

e) 49 : 22 =

f ) 34 : 11 =

g) 92 : 23 =

h) 76 : 38 =

i ) 78 : 13 =

j ) 87 : 29 =

l ) 97 : 35 =

m) 64 : 15 =

n) 84 : 27 =

o) 71 : 18 =

p) 93 : 39 =

q) 53 : 19 =

2. Calcule as contas abaixo.

a) 687 : 22 =

b) 806 : 30 =

c) 489 : 41 =

d) 703 : 27 =

e) 618 : 19 =

f ) 525 : 35 =

g) 223 : 17 =

h) 796 : 70 =

i ) 216 : 43 =

j ) 237 : 49 =


a) 64 : 13 =

57

b) 782 : 34 =

c) 7608 : 16 =

d) 5000 : 36 =

e) 6245 : 74 =

f ) 8356 : 71 =

g) 8653 : 52 =

h) 4035 : 28 =

4. Calcule as divisões a seguir.

a) 819 : 195 =

b) 600 : 213 =

c) 894 : 328 =

d) 690 : 115 =

e) 412 : 174 =

f ) 850 : 265 =

g) 622 : 203 =

h) 647 : 123 =

i ) 409 : 202 =

j ) 7185 : 560 =

l ) 8634 : 400 =

m) 3087 : 147 =


a) 130 : 10 =

b) 2500 : 10 =

c) 770 : 10 =

d) 8800 : 10 =

e) 3570 : 10 =

f ) 4800 : 100 =

g) 35000 : 100 =

h) 10300 : 100 =

i ) 5000 : 100 =

j ) 28000 : 100 =

58

l ) 1000 : 1000 =

m) 83000 : 1000 =

n) 5000 : 1000 =

o) 150000 : 1000 =

p) 308000 : 1000 =

q) 7070 : 10 =

r ) 1354000 : 1000 =

s) 16000 : 100 =


a) 1750 : 250 =

b) 10000 : 1250 =

c) 64000 : 8000 =

d) 57600 : 4800 =

e) 6000 : 400 =

f ) 120 : 30 =

g) 3300 : 1100 =

h) 123 : 4 =

i ) 52 : 5 =

j ) 935 : 23 =

l ) 912 : 15 =

m) 3560 : 7 =

n) 4810 : 6 =

o) 7090 : 23 =

p) 1111 : 11 =

q) 40 : 4 =

r) 841 : 4 =

s) 365 : 12 =

t ) 4610 : 20 =

u) 615 : 6 =

v) 4900 : 16 =

x) 7232 : 35 =

z) 823 : 4 =

59


a) 21300 : 71 =

b) 8100 : 27 =

c) 11511 : 23 =

d) 7021 : 35 =

e) 4800 : 12 =

f ) 4809 : 16 =

g) 9215 : 23 =

h) 700 : 7 =

i ) 3100 : 31 =

j ) 1403 : 7 =

l ) 10801 : 27 =

m) 3213 : 32 =

n) 6031 : 60 =

o) 17500 : 25 =

p) 22200 : 37 =

q) 882 : 21 =

r ) 92 : 23 =

s) 2134 : 11 =

t ) 4296 : 358 =

u) 2111 : 21 =

v) 10400 : 104 =

x) 29600 : 37 =

z) 3610 : 12 =

8. Um produtor vai enviar 84 porções de verduras em caixotes com 21 porções cada um. Quantos caixotes vai enviar?

9. Foram distribuídas 82 garrafas de refrigerante para 27 pessoas. Quantas garrafas cada pessoa recebeu? Sobrou alguma garrafa?

10. Uma casa de ferragens recebeu 810 formões acondicionados em 18 caixas. Quantos formões havia em cada caixa?

11. Uma fábrica tem, em estoque, 960 engrenagens utilizadas na fabricação de caixa de câmbio. Quantas caixas

60

de câmbio podem ser montadas se em cada uma são usadas 15 engrenagens?

12. A mesma casa de ferragens adquiriu 792 limas triangulares, embaladas em 22 caixas. Quantas limas havia em cada caixa?

13. Um almoxarifado recebeu 620 latas de carbureto. Em cada prateleira cabem exatamente 88 latas. Quantas prateleiras são necessárias para guardar todas as latas? Quantas latas vão sobrar?

14. Para a fabricação de 225 caixas são gastas 25 chapas de aço. Quantas caixas são fabricadas em cada chapa?

15. Um depósito de óleo lubrificante contém 860 litros, que vão ser retirados em latas de 20 litros. Quantas latas vão ser retiradas?

16. De 45 barras de aço foram torneadas 1.620 peças. Quantas peças foram torneadas de cada barra de aço?

17. Uma firma vai distribuir 960 vales igualmente para 468 funcionários. Quantos vales deve receber cada funcionário? Quantos vales vão sobrar?

18. Um almoxarifado vai guardar 800 paquímetros em gavetas iguais, cabendo 125 em cada uma. Quantas gavetas vão ser usadas? Quantos paquímetros vão sobrar?

19. Na construção de um prédio foi comprado um lote de 6.720 pregos, embalados em maços contendo 840 pregos cada um. Quantos maços foram recebidos?

20. Pedro comprou 2.200 caixas de cerâmica para revestir o piso dos andares iguais de um prédio. Em cada andar foram usados 122 caixas de cerâmica. Quantos andares foram revestidos? Quantas caixas sobraram?

21. Quantas dezenas de parafusos tem uma caixa contendo 6.400 parafusos?

22. Uma fábrica de papel vai empacotar 240.000 folhas de papel sulfite em pacotes de 1.000 unidades cada um. Quantas pacotes vão ser formados?

23. Essa mesma fábrica vai empacotar outra encomenda de 4.000 folhas de papelão em maços de 100. Quantos maços vão ser formados?

24. De uma fábrica 5.040 latas de óleo lubrificante foram transportadas em engradados de 24 latas cada um. Quantos engradados foram transportados?

61

CAPÍTULO 9 – DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

• Quando o número de posições decimais do dividendo é maior que do divisor, fazemos a conta como se fossem números decimais e colocamos a vírgula no quociente subtraindo o número de posições decimais do divisor com o do dividendo.

• Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo número de posições decimais, o quociente será um número, sem posições decimais.

• Se o dividendo possui menor número de posições decimais que o divisor, colocamos zeros no dividendo até ter o mesmo número de posições decimais que o divisor. Fazemos a conta como se fossem números naturais e o quociente será um número, sem posições decimais.

12,1÷ 2,42=

DIVISÃO COM APROXIMAÇÃO

• Para que uma divisão tenha a aproximação desejada preparamos o dividendo antes de efetuar a divisão.

• Quando a aproximação é de décimos, o dividendo terá uma posição decimal a mais que o divisor.

63

• Quando a aproximação é de centésimos, o dividendo deve ter duas posições decimais a mais que o divisor.

• Quando a aproximação é de milésimos, o dividendo deve ter três posições decimais a mais que o divisor.

DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS POR 10, POR 100 E POR 1000

• Quando dividimos um número por 10, não precisamos fazer a conta, só mudamos a vírgula uma posição para a esquerda.

216 ÷ 10= 21,6 8,3÷ 10= 0,83

73,2÷ 10 = 7,32 0,32÷ 10 = 0,032

• Quando dividimos um número por 100, só mudamos a vírgula duas posições para a esquerda.

397 ÷ 100= 3,97

43 ÷ 100= 0,43

356,4 ÷ 100= 3,564

600 ÷ 100= 6

64

• Quando dividimos um número por 1000, só mudamos a vírgula três posições para a esquerda.

286 ÷ 1000= 0,286

176,5 ÷ 1000= 0,1765

8÷ 1000= 0,008

DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS COM DIVIDENDO MENOR QUE O DIVISOR

• Numa divisão em que o dividendo é menor que o divisor nós preparamos o dividendo conforme a aproximação desejada.

65

EXERCÍCIOS

1. Coloque a vírgula para que os quocientes fiquem corretos.

a) 14,84 : 5,3 = 28

b) 5,152 : 0,7 = 736

c) 6,552 : 1,56 = 42


a) 10,88 : 3,4 =

b) 4,004 : 2,8 =

c) 10,325 : 5 =

d) 21,6 : 12 =

e) 63,6 : 5,3 =

f ) 9.744 : 0,348 =

g) 48 : 0,25 =

h) 25 : 3,125 =

i ) 18,3 : 3,05 =

j ) 21,3 : 1,42 =


a) 5,84 : 0,73 =

b) 10,92 : 4 =

c) 20,02 : 7,7 =

d) 66,521 : 9,1 =

e) 90 : 3,75 =

f ) 5,2 : 0,08 =

g) 0,936 : 0,12 =

h) 113,75 : 3,5 =

4. Escreva a aproximação das divisões abaixo, conforme o exemplo.

a) 5,0 : 2 = 2,5 Aproximação de décimos

b) 14,835 : 1,5 = 9,89 Aproximação de

c) 32,096 : 32 = 1,003 Aproximação de

d) 2,340 : 0,6 = 3,90 Aproximação de

e) 4,31 : 8 = Aproximação de

f ) 12,301 : 3,25 = Aproximação de

g) 8,014 : 0,3 = Aproximação de

66

5. Complete o quadro a seguir.

DIVIDENDO DIVISOR APROXIMAÇÃO

2 posições decimais 1 posição decimal

2 posições decimais centésimos

0 posições decimais décimos

5 posições decimais 2 posições decimais

3 posições decimais décimos

6. Prepare a aproximação pedida das contas abaixo, seguindo o exemplo.

52,83 : 6,4 = Aproximação de centésimos Dividendo: 52,830

Aproximação de milésimos Dividendo:

4,5 : 1,8 = Aproximação de décimos Dividendo:

Aproximação de centésimos Dividendo:

7. Complete o dividendo preparando-o para que o quociente tenha a aproximação desejada.

8,345 : 5,3 = Aproximação de décimos Dividendo:

23,143 : 7 = Aproximação de décimos Dividendo:

Aproximação de centésimos Dividendo:

8. Prepare o dividendo das contas a seguir, indicando as divisões, conforme a aproximação desejada.

4,2 : 1,3 = Aproximação de centésimos Dividendo: 4,20 : 1,3 =

12 : 9 = Aproximação de décimos Dividendo:

32,1 : 8,5 = Aproximação de centésimos Dividendo:

9,3 : 4,2 = Aproximação de milésimos Dividendo:

54 : 12,8 = Aproximação de centésimos Dividendo:

9. Faça as divisões conforme a aproximação pedida. Não se esqueça de preparar o dividendo.

a) 5,2 : 4 = (aproximação de centésimos)

b) 8 : 2,5 = (aproximação de décimos)

c) 52,3 : 8 = (aproximação de milésimos)

d) 8,3 : 5 = (aproximação de centésimos)

e) 5,433 : 5,2 = (aproximação de décimos)

67

f ) 8,003 : 5 = (aproximação de centésimos)

g) 34,853 : 2,1 = (aproximação de décimos)

h) 5,30135 : 4 = (aproximação de milésimos)

i ) 4,83 : 3,01 = (aproximação de décimos)

j ) 30,7861 : 6 = (aproximação de centésimos)

l ) 7,431 : 2,6 = (aproximação de décimos)


a) 33,09 : 10 =

b) 150,1 : 100 =

c) 7580,7 : 1000 =

d) 25,21 : 100 =

e) 366,1 : 1000 =

f ) 21,2 : 10 =

g) 0,2 : 10 =

h) 43,8 : 1000 =

i ) 76,5 : 100 =

j ) 161,5 : 1000 =

11. Faça as divisões abaixo com aproximação de centésimos.

a) 3,64 : 7 =

b) 0,256 : 3,2 =

c) 0,2 : 0,8 =

d) 5 : 12 =

12. Faça as divisões abaixo com aproximação de milésimos.

a) 0,3 : 1,2 =

b) 5 : 8,2 =

c) 1,3 : 8 =

d) 0,12 : 2,4 =

68

CAPÍTULO 10 – DIVISÃO DE MEDIDAS

DIVISÃO DE MEDIDAS

Para Dividir Medidas:

• Quando dividimos medidas por número sem unidade de medidas, o quociente é sempre uma medida na mesma unidade.

2,35 cm ÷ 10= 0,235 cm

696 mm ÷ 16= 43,5 mm

30,55 kg ÷ 25 = 1,222 kg

• Quando dividimos medidas da mesma espécie, o quociente é sempre um número sem unidade de medida.

10 kg÷ 2 kg= 5

20 m ÷ 5 m = 4

2,4 cm÷ 0,4 cm= 6

264,99 g÷ 8,03 g= 33

• Se as medidas estão em unidades diferentes, precisamos transformar uma delas, para que as duas fiquem na mesma unidade.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Vamos resolver um problema já conhecido.

Um tear produz 150 m de tecido.Quantos teares são precisos para produzir 3000 m de tecidos?

1º Lemos o problema com atenção.

2º Vemos o que o problema está pedindo.

3º Encontramos os dados do problema.

Um tear produz 150 m de tecido;

É preciso produzir 3000 m de tecido.

69

4º O que fazer com os dados?

Se sabemos o quanto é preciso produzir: 3000 m e, que um tear produz 150 m, dividimos 3000 m por 150 m e encontramos o número de teares necessários.

5º Fazemos a indicação da conta:

3000 m÷ 150 m =

6º Montamos e resolvemos a conta. As duas medidas estão na mesma grandeza, não é preciso fazer a transformação delas.

7º Respondemos a pergunta do problema:

São precisos 20 teares.

70

EXERCÍCIOS

1. Coloque as unidades de medida nos quocientes das divisões.

a) 2250kg : 125 = 18

b) 16,0m : 5 = 3,2

c) 413,1g : 17 = 24,3

d) 544 mg : 68 = 8

e) 60dm : 3 = 20

f ) 18,3m : 10 = 1,83

g) 27,2cm : 100 = 0,272

h) 256kg : 1000 = 0,256

2. Faça as divisões abaixo por 10, por 100 e por 1.000.

a) 2,35cm : 10 =

b) 0,27kg : 100 =

c) 7987 : 1000 =

d) 403,6g : 100 =

e) 12dm :10 =

f ) 76,5m : 1000 =

g) 85,43cm : 10 =

h) 1,41kg : 10 =

i ) 138,3mm : 100 =

j ) 3856,8g : 1000 =


a) 696,0m : 16 =

b) 22m : 4,4 =

c) 1207mg : 17 =

d) 125,40g : 4 =

e) 233,6kg : 7,3 kg =

f ) 203mm : 8,12 mm =

g) 275g : 25g =

h) 39,0 dm : 6dm =

i ) 456cm : 38cm =

71

j ) 9840m : 240m =

l ) 28dm : 0,4dm =

m) 3,24 mm : 1,2 mm =

n) 121,6cm : 15,2cm =

o) 57,96 m : 42 =

p) 45,00kg : 36 =

q) 3172,4g : 103 =

r) 34,29mm : 27 =

s) 127,5kg : 8,5kg =

4. Faça as contas abaixo. Você pode deixar as medidas em qualquer uma das duas unidades.

a) 32,967 kg : 891g = (aproximação de décimos)

b) 23,46m : 85dm = (aproximação de centésimos)

c) 27cm : 4,2mm = (aproximação de centésimos)

d) 14,3g : 69 mg = (aproximação milésimos)

5. Um eletricista gastou 97,20m de fio para fazer 8 instalações elétricas iguais. Quanto ele gastou em cada instalação?

6. Para preparar 10 peças foram usadas 3,65kg de latão. Quantos quilos de latão foram usados em cada peça?

7. Um total de 67 parafusos iguais pesam 234,5g. Quanto pesa cada parafuso?

8. Foram distribuídos 186,3kg de alimentos para 23 famílias, em partes iguais. Quantos quilos recebeu cada uma?

9. Uma lâmina de aço medindo 125mm foi cortada em 10 pedaços iguais. Quanto ficou medindo cada pedaço?

10. Uma caixa com 625 arruelas pesam 343,75g. Quanto pesa cada uma?

11. Num edifício foram gastos 612,5m de barra de alumínio para 245 esquadrias. Quantos metros de alumínio foram usados em cada uma?

12. Em uma fábrica 742,5g de graxa foram separadas em latas. Em cada lata colocaram 82,5g de graxa. Quantas latas usaram?

13. Um rolo de arame tinha 146,6m e foi cortado em pedaços iguais de 4,3m. Em quantos pedaços esse arame foi cortado?

14. Para lubrificar um rolamento, um operário gasta, em média, 16g de graxa. Ele tem uma lata com 726g de graxa. Quantos rolamentos ele pode lubrificar com essa lata? Sobra alguma graxa?

72

15. Para fazer o gradil de um jardim, uma barra de ferro redondo de 5,8m, deve ser cortada em pedaços iguais de 1,75m. Quantos pedaços podem ser cortados?

16. Um trator abre 475m de picada num dia. Quantos dias de serviço vão ser gastos para abrir uma picada com 13,3km?

17. Para a instalação de um motor, são necessários 2,50m de fio. Quantos motores podem ser instalados com 115m de fio?

18. Um lote de arruelas pesa 3.500kg. Cada arruela pesa 35g. Quantas arruelas tem esse lote?

19. Uma oficina gasta 128,4g de estanho por dia. Em quantos dias essa oficina vai gastar 3,5952kg de estanho?

20. Quantos canos de 4m são necessários para uma instalação de gás de 88m de comprimento?

21. Uma pavimentadora asfaltou uma rua de 8,1km, asfaltando 150m por dia. Quantos dias levou para asfaltar a rua?

22. De uma barra de aço pesando 8,25kg foram fabricados pregos com 30g cada um. Quantos pregos foram feitos?

23. Na lubrificação de motores foram gastos 1,44kg de graxa. Cada motor gastou 60g de graxa. Quantos motores foram lubrificados?

24. Uma oficina possui em estoque 35,7kg de lubrificante. Por dia são gastos 850g desse lubrificante. Quantos dias deve durar esse estoque?

25. Uma caixa tem latas com massa de tomate que pesam 32,688kg. Cada lata pesa 277g. Quantas latas tem essa caixa?

26. Uma oficina gasta, por dia, 25cm de varetas de solda. Em quantos dias ela vai gastar 1,5m de solda?

27. Uma barra de cobre de 4,68m de comprimento foi cortada em 12 pedaços iguais. Quantos centímetros mede cada pedaço?

28. Numa mina 10 carrinhos transportam 512kg de carvão. Quantos quilos transporta cada um?

29. Quantas extensões de 6,5m podem ser feitas com 1.144m de fio?

30. Numa loja 74,4kg de pregos foram embalados em 12 caixas iguais. Quanto ficou pesando cada caixa?

31. Para o enrolamento de motores foram gastos 57,6m de fios. Cada motor gastou 120cm de fio. Quantos motores foram enrolados?

32. Uma barra de alumínio de 8,58m de comprimento foi cortada em pedaços de 5,2cm cada um. Quantos pedaços foram cortados?

73

CAPÍTULO 11 – PERÍMETRO

PERÍMETRO

Para calcular o perímetro:

• Perímetro é a medida do contorno de uma figura;

• Cada parte do contorno tem uma medida;

• Calculamos o perímetro somando as medidas de todas as partes do contorno.

EXERCÍCIOS

1. Calcule o perímetro.

2. Calcule o perímetro da figura a seguir.

75

3. Calcule o perímetro da figura a seguir. Repare que as medidas não estão na mesma unidade. Faça a transformação antes de somar.

a)

b)

c)

76

d)

4. Meça as figuras abaixo, calcule o perímetro, e dê a resposta na unidade de medida.

a)

b)

c)

77

d)

78

CAPÍTULO 12 – ÁREA

ÁREA

Para calcular a área de superfícies de figuras quadradas e retangulares:

• Toda figura plana de contorno reto tem lados e ângulos.

• Quando duas linhas retas se cruzam podem formar 4 ângulos com medidas iguais:

ou 4 ângulos com duas medidas diferentes:

• Os ângulos com medidas iguais chamam-se ângulos retos.

79

• O esquadro pode ser usado para verificar se um ângulo é reto.

• O retângulo é uma figura formada por 4 lados e 4 ângulos retos.

• O quadrado é uma figura formada por 4 lados iguais e 4 ângulos retos.

• Para distinguir um retângulo de um quadrado precisamos medir os lados, se todos os lados tiverem a mesma medida, a figura de 4 ângulos retos é um quadrado.

80

• Medir uma superfície é calcular a área dessa superfície;

• Para calcular a área de um quadrado, multiplicamos a medida de seu lado por ela mesma;

2 x 2 = 4

Área = 4 m2

• Para calcular a área de um retângulo, multiplicamos a medida do comprimento pela medida da largura;

5 x 2,5 = 12,5

Área = 12,5 m2

81

• Quando as medidas do comprimento e da largura estão em unidades diferentes, precisamos deixar as duas na mesma unidade, fazendo a transformação antes de calcular a área.

Transformação: 25 mm = 2,5 cm

2,5 x 5 = 12,5

Área = 12,5 cm2

• Estudamos estas unidades de superfície do Sistema Internacional de Medidas;

NOME SÍMBOLO VALOR

Metro quadrado m2 1 m2

Quilômetro quadrado km2 1 000 000 m2

Decímetro quadrado dm2 0,01 m2

Centímetro quadrado cm2 0,0001 m2

Milímetro quadrado mm2 0,000 001 m2

• Para medir superfícies extensas, usamos estas unidades de medida;

NOME SÍMBOLO VALOR

Are a 100 m2

Hectare ha 10 000 m2

Alqueire paulista – 24 200 m2

Alqueire nordestino – 27 225 m2

Alqueire goiano ou mineiro – 48 400 m2

• Para transformar as unidades de medida de superfície, mudamos a vírgula para a esquerda ou para a direita de duas em duas casas decimais, até a unidade desejada:

82

EXERCÍCIOS

1. Observe os três ângulos abaixo e escreva a resposta certa.

O ângulo maior é a letra .

2. Use seu esquadro para verificar quais das figuras abaixo são retângulos e depois escreva a resposta. Os retângulos são as figuras de números .

1 2

3 4

5 6

83

3. Escreva, embaixo de cada figura, a letra “Q” para os quadrados, a letra “R” para os retângulos, e a letra N para as figuras que não forem nenhuma das duas coisas.

a) b) c)

d) e) f )

4. Complete os exercícios a seguir.

a)

A superfície da figura A mede unidades.

84

b)

A superfície da figura B mede unidades.

c)

A superfície da figura C mede unidades.

5. Complete: Um centímetro quadrado é a área de um quadrado com de lado. Um centímetro quadrado vale milímetros quadrados. A área de um quadrado com 1m de lado é .

85

6. As figuras abaixo foram desenhadas num quadriculado. Cada quadrado desse quadriculado tem 1cm². Escreva nos traços a área de cada superfície.

a) Área de L: ;

b) Área de O: ;

c) Área de M: ;

d) Área de P: .

7. As figuras R e S representam dois terrenos em escala de redução. Escreva a área de cada terreno, sabendo que cada quadrado no quadriculado vale 1m².

a) Área de R: ;

b) Área de S: ;


a) Transforme a medida 10,35dm² em cm².

b) Escreva a medida 1034,8mm² em cm².

86

c) Transforme a medida 7,5dm² em cm².

d) Transforme a medida 7,5dm² em m².

e) Transforme 16.500cm² em m².

f ) Transforme 0,00004558km² em m²

9. Faça cada transformação e escreva o resultado.

a) 4,530m² = dm²;

b) 12,25cm² = mm²;

c) 1,008dm² = cm²;

d) 0,3758m² = cm²;

e) 0,397dm² = cm².

10. Faça as transformações indicadas abaixo.

a) 935,2dm² = m²;

b) 1.500,3mm² = cm²;

c) 845,10cm ² = dm²;

d) 16.520,7cm² = m²

e) 200cm² = m².

f ) 9m² = mm²;

g) 5 km² = m²;

h) 50m² = dm².

11. Complete o cálculo da área do retângulo abaixo.

Na largura do retângulo cabem 4cm².

No comprimento do retângulo cabem cm².

Como 5 x 4 = , a área total do retângulo é cm².

87

12. Complete.

Para calcular a área em metros quadrados, é preciso ter as medidas do comprimento e da largura em metros. Como a largura está em cm, é preciso transformar a medida: largura: 80cm = m; comprimento: m. Para encontrar a área, fazemos a multiplicação: x = . Resposta: o tampo tem de madeira.

13. Complete o cálculo da área do quadrado abaixo.

Como a figura é um quadrado, o comprimento é igual à

largura: comprimento = mm;

largura = ; x =

. Resultado: a área do quadrado

é mm2.

14. O quadrado abaixo representa uma chapa com 20,4cm de lado. Calcule a sua área.

A área da chapa é de .

88

15. A figura abaixo representa um estacionamento de carros. Verifique se o estacionamento é retangular, isto é, se seus ângulos são retos. Se o estacionamento é retangular, calcule sua área e escreva o resultado. A área do estacionamento é de .

16. A figura abaixo representa uma chácara. Observe as medidas e os ângulos. Calcule a área e complete. A área da chácara é de km² ou m².

17. Calcule a área da figura abaixo e escreva o resultado. Área da figura .

89

18. Complete o problema abaixo: Área: 8.921,36cm². Observe as medidas da mesa.

a) Quanto ela mede de largura?

b) Para calcular a largura, dividimos a pelo comprimento.

c) Faça esta conta de dividir: 8.921,36 : 125,3 = .

d) Resultado: como a área está em cm² e o comprimento em cm, a largura é .

19. Complete.

O dono de um bilhar resolveu trocar os feltros de suas mesas. Ele quer saber quantos metros de feltro vai ter que comprar. São 6 mesas, cada uma medindo 2,10m de comprimento por 1,38 de largura. O feltro é vendido em peças com 120cm de largura.

Para calcular quantos metros de feltro vão ser usados, precisamos começar descobrindo qual a medida de superfície total das 6 mesas.

a) Área de 1 mesa x = 2,8980 m².

b) Área de 6 mesas: 6 x 2,8980 m² = m².

c) Resultado: Vão ser recobertos m² de superfície.

Agora que sabemos a área total do feltro que será usado, podemos calcular quantos metros de peça devem ser comprados. Área : largura = comprimento.

Mas, atenção! A área está em m² e a largura em cm. Assim, não podemos dividir uma pela outra. Por isso vamos transformar a medida da largura, de cm para m.

120 cm = 1,20 m.

Calcule: 17,3880 : 1,20 = .

Resultado: o dono do bar precisa comprar de feltro.

90

20. Escreva os nomes das figuras a seguir.

a) b)

c) d)

21. Verifique com seu esquadro os ângulos das figuras abaixo. Assinale os ângulos retos com o sinal correto.

91

22. Enumere a unidade de medida da primeira coluna com seu símbolo da segunda.

a) Quilômetro quadrado ( ) dm2

b) Metro quadrado ( ) km2

c) Decímetro quadrado ( ) cm2

d) Centímetro quadrado ( ) mm2

e) Milímetro quadrado ( ) m2

23. Observe a medida do quadrado abaixo e complete. A superfície desse quadrado mede .

24. Marque a alternativa correta. 1 dm² é o mesmo que:

a) ( ) 0,001 m2

b) ( ) 0,01 m2

c) ( ) 0,0001 m2

25. Calcule a área do quadrado abaixo. A área do quadrado é .

92

26. A figura abaixo representa a superfície de um terreno retangular. Calcule a área desse terreno. A área desse terreno é de .

27. A figura a seguir representa a superfície de uma esteira de forma retangular. Calcule a área dessa esteira e escreva a resposta em m². A área dessa esteira é de .

28. Encontre a área de um retângulo que tem 2,5 de largura e 6,8 de comprimento. A área desse retângulo é de cm².

29. Calcule a área de um retângulo com 35mm de largura e 44mm de comprimento.

30. Uma casa tem dois cômodos que vão ser taqueados. Um cômodo mede 3,5m por 4,0m. O outro cômodo mede 4,8m por 3,5m. Quantos metros quadrados de tacos vão ser necessários para cobrir a área desses dois cômodo. Resposta: vão ser necessários m² de tacos.

31. Pedro quer forrar com fórmica a porta do armário da cozinha. A porta tem 2m de altura e 60cm de largura. De quantos metros quadrados de fórmica Pedro vai precisar?

32. Quantos metros quadrados de ladrilho é preciso comprar para revestir uma parede retangular de 4,5 de comprimento, se a altura dela é 3m? Resposta: é preciso comprar de ladrilho.

93

CAPÍTULO 13 – VOLUME

VOLUME

Para calcular volume de prismas retos de base quadrada e de base retangular, é preciso saber que:

• Prisma é uma figura formada pelo deslocamento de uma figura plana:

• Quando a superfície plana que deu origem ao prisma é um retângulo, temos um prisma de base retangular.

• Quando a superfície que deu origem ao prisma é um quadrado, temos um prisma de base quadrada.

• Quando as arestas do prisma formam ângulos retos entre si, temos um prisma reto.

95

• No prisma reto de base quadrada ou retangular quando duas arestas se encontram, formam um ângulo reto:

• As medidas das arestas de um prisma reto representam o comprimento, a largura e a altura.

• O prisma reto de base retangular pode ter as três dimensões diferentes ou duas dimensões iguais:

96

• O prisma reto de base quadrada sempre tem pelo menos duas dimensões iguais: o comprimento e a largura.

• Quando o prisma reto de base quadrada tem as três dimensões iguais ele chama-se cubo:

• Calcular o volume de um objeto é medir o espaço ocupado por esse objeto.

• Calculamos o volume de um prisma reto de base quadrada ou retangular multiplicando a área da base pela altura ou multiplicando as três dimensões:

97

40 x 3 = 120Volume = 120 cm3

5 x 8 x 3 = 120Volume = 120 cm3

• Quando as medidas estão em unidades diferentes, precisamos deixar todas na mesma unidade, fazendo a transformação e só depois calcular o volume:

Transformação: 1,20 m = 120 cm120 x 80 x 50 = 480 000Volume = 480 000 cm3

• Estudamos estas unidades de medida de volume do Sistema Internacional de Medidas:

NOME SÍMBOLO VALOR

Metro cúbico m3 1 m3

Decímetro cúbico dm3 0,001 m3

Centímetro cúbico cm3 0,000 001 m3

Milímetro cúbico mm3 0,000 000 001 m3

• Para transformar as unidades de medida de volume, mudamos a vírgula para a esquerda ou para a direita de três em três posições decimais, até a unidade desejada:

98

• O volume interno de um recipiente pode ser chamado também de capacidade:

A capacidade do tubo de ensaio é de 25 mililitros.

• Estudamos estas unidades de medida de capacidade:

NOME SÍMBOLO VALOR

Litro l 1 lMililitro ml 0,001 ml

• Para transformar medidas de volume em medidas de capacidade, usamos as seguintes comparações:

• Aprendemos a calcular a capacidade de um recipiente, por exemplo, uma caneca, passando o líquido desse recipiente para um tubo de ensaio:

No exemplo a seguir, o recipiente tem capacidade de 20 ml.

99

• O volume de um objeto também pode ser calculado usando o tubo de ensaio com água:

2 0 ml Volume da barra e da água

– 1 5 m l Volume da água

0 5 ml Volume da barra

05 ml = 5 cm3

Assim, o volume da barra é de 5 cm3.

100

EXERCÍCIOS

1. Observe os desenhos abaixo e corresponda cada desenho ao nome do prisma que ele representa.

a) ( ) Cubo

b) ( ) Prisma reto de base quadrada

c) ( ) Prisma reto de base retangular

2. Marque a figura que representa um cubo.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

3. Coloque os símbolos das unidades de medida.

a) Metro cúbico: ;

b) Decímetro cúbico: ;

101

c) Centímetro cúbico: ;

d) Milímetro cúbico: .

4. Complete: 1 m³ contém dm³; 1dm³ contém cm³; 1cm³ contém mm³.

5. Leia o exercício a seguir.

Veja este cubo abaixo. Juntamos 4 cubos como este. E depois colocamos mais 4 cubos em cima, formando um cubo maior.

O volume do cubo maior que formamos é de cm³.

6. A figura abaixo representa uma caixa d'água onde cabem 200 cubos de 1dm de aresta. Escreva o volume dessa caixa d'água: .

7. A peça a seguir ocupa o mesmo espaço que 5.600 cubos de 1mm de aresta. O volume dessa peça é de .

102

8. Escreva o volume dos prismas abaixo.

FORMA DO PRISMA VOLUME

a)

3 por 2 por 2: Volume:

b)

4 por 3 por 3: Volume:

9. Abaixo estão desenhos que representam o processo usado para medir o volume de uma pequena pedra: Complete: o volume da pedra é de .

2 2 ml

– 1 0 m l

1 2 ml

10. Complete as igualdades abaixo.

a) 7L = 7 dm³;

b) 15L = dm³;

103

c) l = 8,3dm³;

d) 1.500L = 1.500 ;

e) 1ml = 1cm³;

f ) ml = 5cm³;

g) 2,6ml = cm³;

h) 40,19ml = cm³.

11. Enchendo um copo com água e despejando a água num tubo de ensaio verificamos que dava para encher 5 vezes o tubo até 25 ml e mais uma vez até 15 ml. Marque o volume correto do copo:

a) ( ) 115 mlb) ( ) 125mlc) ( ) 140mld) ( ) 150ml

12. Colocamos água na proveta até a altura de 10 ml. Depois jogamos uma bola de gude dentro da proveta e a água subiu até 13 ml. Marque o volume da bola de gude:

a) ( ) 3cm3

b) ( ) 7 cm3

c) ( ) 10 cm3

d) ( ) 23cm3

13. Faça as transformações e complete os exercícios a seguir.

a) 80 cm3 = dm3

b) 1462 dm3 = m3

c) 0,91 m3 = dm3

d) 139,4 dm3 = m3

e) 23 dm3 = l

f ) 550 dm3 = l

g) 77 l = dm3

h) 5 m³ = dm³ = l

i ) 45 l = 45 dm3 = m3

j ) 1570 l = 1570 dm3 = m3

l ) 336 l = dm3 = m3

m) 7 l = dm3 = cm3

n) 35,9dm³ = m³.

14. Marque a medida que vale o mesmo que 0,042 l.

a) ( ) 42 m3

b) ( ) 0,042 m3

104

c) ( ) 42 dm3

d) ( ) 0,042 dm3

15. Marque a medida que tem o mesmo valor que 850 l.

a) ( ) 0,85 m3

b) ( ) 8,50 m3

c) ( ) 8500 m3

d) ( ) 8500 m3

16. Transforme as medidas abaixo conforme a indicação:

a) 3,500 m3 = l

b) 18 m3 = l

c) 600 m3 = l

d) 1400 l = m3

e) 27 l = m3

17. Calcule o volume dos prismas representados abaixo:

a)

Medidas:

comprimento = ;

largura = ;

altura = ;

Resposta: volume = m³

b)

Medidas: comprimento = ;

largura = ;

altura = ;

Resposta: volume = mm³.

105

18. Complete o exercício abaixo calculando o volume de um prisma com as seguintes medidas:

4 cm de largura,

6 cm de comprimento,

3 cm de altura

Se o prisma tem 4 cm de largura,

quer dizer que cabem cm³ ao longo de sua largura

Se o comprimento do prisma é de 6 cm, vão caber

filas de 4 cm³ sobre sua base. Sobre

a base toda cabem cubos de 1 cm³.

A altura do prisma é de 3 cm, então vão caber no

prisma 3 camadas de 24 cm³.

Como 24 x 3 = ,

o volume total é de cm³.

106

19. A figura abaixo representa uma caixa d'água em forma de cubo medindo 3,5m de lado. Calcule o volume dessa caixa d'água.

20. Calcule o volume do prisma abaixo e escreva o resultado. Volume: cm³.

21. Calcule o volume do prisma e dê a resposta em litros. Volume: l.

22. Em um depósito onde cabem 240 cubos de 1m de aresta. Complete: o volume do depósito é de .

107

23. A figura abaixo é o desenho de uma peça em forma de prisma reto. Complete o cálculo do volume:

As medidas desse prisma são:

comprimento = mm;

largura = ;

altura = .

Para calcular o volume,

multiplicamos x x .

O resultado é, mm³.

24. Calcule o volume das peças desenhadas a seguir, sabendo que elas têm a forma de prismas retos, pois os ângulos entre as arestas são sempre ângulos retos.

a)

Cálculo:

x x x =

Volume: (Colocar a unidade de medida correta)

b)

Cálculo:

x x =

Volume:

108

25. A peça desenhada abaixo tem todos os ângulos retos. Calcule o seu volume.

Volume total da peça: .

26. Marque a figura que representa um cubo.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

27. Marque o prisma de base quadrada.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

109

28. Colocando 4 cubos de 1 cm³ em cima de outros 4 cubos iguais formamos um outro cubo, como indica a figura. Complete: o volume desse cubo é de cm³.

29. Complete.

a) 37 dm3 = l

b) 18,07 ml = cm3

c) 1800 ml = cm3

d) 0,09 l = dm3

e) 1 dm³ = cm³

30. Faça as transformações e escreva as respostas.

a) 1,5 dm3 = m3

b) 7 dm3 = l

c) 8,42 m3 = l

d) 0,009 m3 = dm3

31. Calcule o volume das figuras abaixo e escreva as respostas. Todos os ângulos entre as arestas são ângulos retos.

a) Volume: b) Volume: c) Volume:

110

32. Complete: O litro é a unidade de capacidade equivalente ao . A abreviatura de litro é .

33. Uma garrafa contém 700ml de vinho. Complete: essa garrafa contém cm3 de vinho.

34. O volume de uma caixa d'água é de 1.200dm3. Quantos litros de água cabem nessa caixa?

35. O rio Amazonas é o rio mais caudaloso do mundo, em média, ele despeja no mar 210 milhões de decímetros cúbicos (210.000.000dm³) de água por segundo! Quantos litros de água despeja no mar a cada segundo?

36. Um copo estava com 22 ml de água. Júlia encheu uma xícara com parte dessa água e ainda sobraram 17ml de água no copo. Qual é a capacidade da xícara?

37. Escreva a medida 18.525,8 dm³ em m³. Não esqueça de marcar as unidades de 3 em 3 posições. Resultado: 18.525,dm³ = m³.

38. Qual deve ser a altura de uma caixa d'água com capacidade de 18m³, se ela tem a forma de um prisma reto com 4,5m² de base?

39. Em uma caixa cabem 60 cubos de 1 cm de aresta. Qual é o volume dessa caixa? Resposta: o volume dessa caixa é de .

40. Em um baú cabem 20 cubos de 1 dm de aresta. Qual é o volume desse baú? Resposta: o volume desse baú é de .

41. Numa fenda, cabem 25 cubos de 1 mm de aresta. Qual é o volume dessa fenda? Resposta: o volume da fenda é de .

42. Numa praça, construíram um tanque para peixes, em forma de prisma reto, com 3,5 m de largura, 8 m de comprimento e 0,20 m de profundidade. Quantos litros de água cabem nesse tanque?

111

CAPÍTULO 14 – PROBLEMAS

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS GERAIS

Os passos para resolver problemas, são:

1º Passo: Lemos o problema com atenção.

2º Passo: Vemos o que o problema está pedindo.

3º Passo: Encontramos os dados do problema.

4º Passo: O que fazemos com os dados?

5º Passo: Indicamos a conta.

6º Passo: Montamos e fazemos as contas.

7º Passo: Respondemos à pergunta do problema.

EXERCÍCIOS

1. Num almoxarifado de uma fábrica tinha 3 rolos de arame: um com 150m, outro com 217,3m e um outro com 186,5m.

Problema 1 – Desse arame, foram gastos 135m em vários serviços. Quantos metros de arame sobraram no almoxarifado?

Problema 2 – O arame que sobrou depois dos serviços foi dividido em partes iguais pelas 6 seções de embalagem da fábrica. Quantos metros recebeu cada seção?

Problema 3 – Numa dessas seções de embalagem, depois de um turno de serviço, só restaram 10,9m de arame. Quantas embalagens foram feitas nessa seção, se cada embalagem leva 95cm de arame?

2. Carlos comprou um terreno a prestação e vai construir uma casa. O terreno é retangular e mede 9,5m de frente por 22m de fundo.

Problema 1 – Qual é a área do terreno?

113

Problema 2 – Antes de construir a casa, Carlos teve que cercar o terreno. Para uma cerca com 4 voltas de arame, quanto de arame gastou?

Problema 3 – Carlos quer construir uma oficina para conserto de bicicletas no fundo do terreno. A oficina precisa ser retangular, tendo 50m² de área e 8m de comprimento. Qual deve ser a largura? Calcule com aproximação de centésimos.

3. A planta abaixo é a planta da casa de Carlos. Veja as medidas de cada cômodo.

114

Problema 1 – Calcule a área dos quartos, do banheiro e da cozinha.

Resposta: área de cada quarto: ; área do banheiro: ; área da cozinha: ;

Problema 2 – Qual é a área da casa toda? E a área da sala? Resposta: área da casa: ; área da sala: ;

4. A caixa d'água da casa do Carlos vai ter medidas indicadas como na figura abaixo.

Problema 1 – Qual vai ser o volume da caixa d'água, em metros cúbicos?

Problema 2 – A caixa d'água pesa 94,750 kg, quando está vazia. Sabendo que cada litro d'água pesa 1 kg, calcule quanto vai pesar a caixa cheia de água.

5. Um torneiro mecânico recebeu um tarugo de aço carbono, em forma de prisma reto, medindo 45mm de comprimento, 20mm de largura, e 10mm de altura. Com esse tarugo ele deve tornear uma peça conforme o desenho abaixo.

Problema 1 – Calcule o volume do tarugo e o volume da peça. Resposta: o volume do tarugo é e o da peça é .

Problema 2 – Se 1 cm³ de aço carbono pesa 7,8g, quanto pesa a peça torneada?

115

6. Antônio resolveu colocar cerâmica no piso de sua sala. A sala tem 26,25m² de área. Os azulejos são quadrados, medindo 25cm de lado.

Problema 1 – Quantos azulejos serão necessários para cobrir o piso da sala?

Problema 2 – A cerâmica é vendida em caixas com 1 m² de azulejos. Cada caixa pesa 8,48 kg. Quanto pesa, em média, cada azulejo?

7. Um conjunto habitacional foi construído. A área total usada para o conjunto foi de 23.800m². Dessa área, 736m² foram usados para ruas e calçadas. O resto foi dividido em 186 lotes com 15,5m de fundo.

Problema 1 – Qual é a área de cada lote? Quanto mede de frente um lote com 15,5 m de fundo?

Problema 2 – Cada casa foi construída com 46,5 m² de área. Quantos metros quadrados de construção foram feitos no conjunto todo?

8. Um elevador anda 26,3m para subir do térreo até o último andar. Durante o dia, ele subiu 192 vezes e parou no andar térreo. Quantos quilômetros andou o elevador, subindo e descendo, nesse dia?

9. Observe, no desenho abaixo, o peso das pessoas e dos objetos. O elevador no qual vão entrar, transporta, no máximo, 250 kg.

Problema 1 – Calcule quantos quilos o elevador vai transportar.

Problema 2 – Se chegar mais uma pessoa, quanto ela pode pesar, no máximo, para não ultrapassar a carga permitida?

116

10. No depósito de uma fábrica há caixas de parafusos com as medidas indicadas no desenho abaixo. Resolveram construir caixotes grandes para guardar as caixas. Os caixotes devem ser feitos para guardar 45 caixas cada um, como mostra na figura a seguir.

Problema 1 – Qual o volume de cada caixa de parafusos?

Problema 2 – Calcule quais devem ser as seguintes medidas internas do caixote.

Comprimento: m;

Largura: m;

altura: m;

área de base: m²;

volume: m³

Problema 2 – O desenho abaixo representa o papelão da Caixa de Material recortado no formato da caixa, porém ainda não montado. As medidas indicadas no desenho estão em cm. Calcule quantos cm² de papelão são empregados nessa caixa.

117

11. Carol colocou água num tubo de ensaio até 22,0ml e jogou lá dentro os 5 pinos de um ábaco: o nível subiu para 23,3 ml. Depois, jogou também 4 contas do ábaco e viu que o nível da água voltou a subir: chegou aos 25,0 ml.

Problema 1 – Qual é o volume dos 5 pinos? Qual é o volume de cada pino? (calcule com a aproximação de centésimos).

Problema 2 – Qual é o volume ocupado pelas 4 contas? Qual o volume de uma conta? (calcule com aproximação de centésimos).

12. Uma destilaria de álcool tem vários tanques para guardar seu produto. Um desses tanques tem a forma de um prisma retangular com capacidade para 208.000 litros. A altura desse tanque é de 6,5m.

Problema 1 – Qual é a área da base desse tanque?

Problema 2 – Esse tanque estava cheio, quando retiraram dele uma certa quantidade de álcool que foi transportado por 6 caminhões com 18.500 litros cada um. Quantos litros de álcool sobraram no tanque?

Problema 3 – No dia seguinte, após outras remessas, ainda restavam no tanque 86.400 l de álcool. Qual altura o álcool atingia dentro do tanque?

118

CAPÍTULO 15 - FRAÇÕES

REPRESENTAÇÃO DE FRAÇÕES

FRAÇÃO

• Fração é uma ou mais partes da unidade dividida em partes iguais.

• Representamos uma fração com dois números naturais separados por um traço: 25 .

• O número que fica abaixo do traço indica em quantas partes a unidade foi dividida e chama-se denominador.

• O número que fica acima do traço indica as partes da unidade que estão sendo tomadas e chama-se numerador.

• A polegada é uma unidade de medida inglesa, muito usada na mecânica.

• A polegada é representada pelo sinal ( '' ) e vale 25,4 mm. Então, 1'' = 25,4 mm.

• Dividindo a polegada ao meio e continuando a dividir ao meio a parte obtida, vamos encontrar as frações de polegada.

• As frações de polegada só podem ter estes denominadores: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

119

LEITURA DE FRAÇÕES

• Para ler uma fração, lemos primeiro o numerador e depois o denominador, como é explicado a seguir.

Denominador dois : 12um meio , 3

2três meios ;

Denominador três : 13um terço , 2

3dois terços ;

Denominador quatro : 14um quarto , 3

4três quarto ;

Denominador cinco : 15um quinto , 2

5dois quintos ;

Denominador seis : 16um sexto , 5

6cinco sextos ;

Denominador sete : 17um sétimo , 4

7quatro sétimos ;

Denominador oito : 18um oitavo , 3

8três oitavos ;

Denominador nove : 19um nono , 7

9sete nonos ;

Denominador dez : 110

um décimo , 310

três décimos ;

Denominador cem : 1100

um centésimo , 7100

sete centésimos ;

Denominador mil : 11000

um milésimo , 91000

nove milésimos ;

Denominador maior que 10 e diferente de 100, 1000... 311

três onze avos , 740

sete quarenta avos ,

9101

nove cento e um avos .

• Para ler um número misto, lemos a parte das unidades inteiras seguidas da fração:

1 38 (um inteiro e três oitavos),

120

3 215 (três inteiros e dois quinze avos).

• Para ler uma fração de polegada ou número misto de polegada, fazemos como na leitura das frações e dos números mistos, acrescentando a palavra polegada:

3 ' '

4 (Três quartos de polegada),

5' '

32 (Cinco e trinta e dois avos de polegada)

2 7' '

8 (Duas polegadas e sete oitavos)

FRAÇÕES PRÓPRIAS, FRAÇÕES IMPRÓPRIAS E NÚMEROS MISTOS

• Fração Própria é aquela que tem o numerador menor que o denominador.

34

, 25

, 79

, 1215 são frações próprias. Elas são menores que a unidade inteira.

• Fração imprópria é aquela que tem o numerador igual ou maior que o denominador.

33

, 55

, 77

, 54

, 107

, 158 são frações impróprias.

Elas são iguais à unidade inteira 33

, 55

, 77

ou maiores que a unidade inteira 54

, 107

, 158 .

• Podemos escrever os números naturais na forma de fração, colocando 1 como denominador: 4= 41

, 2= 21

.

• Número misto é aquele que tem uma ou mais unidades inteiras e uma fração de unidade.

1=14

, 2=37

, 5=78

são números mistos.

• Podemos extrair as unidades inteiras de uma fração imprópria, dividindo o numerador pelo denominador.

• Quando extraímos unidades inteiras da fração imprópria e ainda sobra uma fração, encontramos um número misto.

121

• Para transformar um número misto em fração imprópria, multiplicamos o denominador pelo número que indica as unidades e somamos o resultado ao numerador – este será o novo numerador; o denominador não muda.

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

• Simplificar uma fração é reduzir essa fração a uma forma mais simples, sem mudar o seu valor.

Exemplo: 24

, simplificada , fica 12

.

As figuras mostram que 24

e 12 representam a mesma parte da unidade.

• Para simplificar uma fração, dividimos o numerador e o denominador por um mesmo número diferente de zero.

• Quando uma fração não pode mais ser simplificada, ela está na forma irredutível.

12 e 5 ' '

8estão na forma irredutível.

122

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

• Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre dois ou mais números é o menor número, diferente de zero, que pode ser dividido exatamente por esses números.

• Para encontrar o m.m.c. entre dois ou mais números, usamos os números primos.

• Número primo é aquele que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo, com resto zero.

2 é primo porque só pode ser dividido exatamente por 1 e por 2:

7 é primo porque só pode ser dividido exatamente por 1 e por 7:

• Estes são os números primos que usamos com mais frequência: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47.

• Para achar o m.m.c. de dois ou mais números, vamos dividindo os números dados por números primos, até obter 1 como resultado da divisão de cada número; depois, multiplicamos os números primos encontrados.

O m.m.c. entre os números 7, 15 e 19, por exemplo:

REDUÇÃO AO MESMO DENOMINADOR

• Reduzir frações ao mesmo denominador é deixar com denominadores iguais as frações que têm denominadores diferentes, sem mudar o valor delas.

• Existe um modo prático para reduzir frações ao mesmo denominador; usando o mínimo múltiplo comum (m.m.c.).

• Para reduzir frações ao mesmo denominador, fazemos assim:

1º – Encontramos o m.m.c. dos denominadores das frações;2º – Colocamos o m.m.c. como denominador das novas frações;

123

3º – Dividimos esse denominador (m.m.c) pelo denominador de cada fração e multiplicamos pelo numerador correspondente.

Por exemplo:

1º – 25 , 3

6

2º – 230 , 3

30

3º – 1230 , 15

30

FRAÇÕES EQUIVALENTES

• Frações equivalentes são frações que têm o mesmo valor. 4 ' '

8, 2' '

4e

1' '

2têm o mesmo valor, por

isso são frações equivalentes.

• Quando simplificamos uma fração, encontramos uma fração equivalente.

1015

: 5: 5

= 23

23

e 1015

são frações equivalentes.

• Quando multiplicamos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número diferente de zero, também encontramos uma fração equivalente.

23

xx

55= 10

151015

e 23

são frações equivalentes.

COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES

• Comparar duas frações é dizer se elas são equivalentes ou qual delas é maior ou menor.

• Para verificar se duas frações são equivalentes, usamos a simplificação ou a multiplicação do numerador e do denominador por um mesmo número diferente de zero.

45 e 12

15 são equivalentes?

a) Simplificamos a fração que tem os números maiores 1215

: 3: 3

= 45 .

124

Se encontramos a fração que tem os números menores, elas são equivalentes.

b) Ou multiplicamos por um mesmo número o numerador e o denominador da fração que tem os números

menores 45

xx

33= 12

15 ;

Se encontramos a fração que tem os números maiores, elas são equivalentes.Neste exemplo, as duas frações são equivalentes.

• Quando comparamos duas ou mais frações que têm o mesmo numerador, a maior é aquela que tem menor denominador.

Comparando 47 e 4

9 , verificamos que 47 é maior.

• O sinal > indica “maior que” e o sinal < indica “menor que”. Assim: 47 4

9 ou49 4

7.

• Quando comparamos duas ou mais frações que têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem maior numerador.

Entre 67 e 4

7, a maior é 6

7. Então, 6

7 > 47 ou 4

7 < 67

.

• Quando comparamos duas ou mais frações que têm numeradores e denominadores diferentes, precisamos reduzir essas frações ao mesmo denominador antes de comparar.

Comparando 1' '

4e 3 ' '

16:

4' '

16e 3 ' '

16(reduzimos ao mesmo denominador),

4 ' '

16> 3 ' '

16(comparamos as frações de mesmo denominador),

1' '

4> 3 ' '

16(colocamos o sinal nas frações que estamos comparando).

• Quando comparamos números mistos, será maior o que tiver maior parte inteira.

Entre 1 1' '

4e 2 1' '

6, 2 1' '

6> 1 1' '

4.

• Quando comparamos números mistos com partes inteiras iguais, transformamos os números mistos em frações impróprias, reduzimos ao mesmo denominador e só depois comparamos.

125

EXERCÍCIOS

1. A figura abaixo representa uma barra de chocolate. Ela está dividida em partes iguais, e as partes escurecidas indicam as partes que você vai comer.

Escreva os números que estão faltando:

a) Você vai comer partes da barra de chocolate, que foi dividida em partes iguais.

2. Esses dois nomes, numerador e denominador são muito usados, por isso devemos gravar bem onde fica cada um deles. Complete:

a) O número que fica acima do traço é o .

b) O número que fica abaixo do traço é o .

c) Represente a fração do exercício 1 , escrevendo os números no lugar certo.

numerador denominador

d) E se dividisse a barra de chocolate em 4 partes iguais e comece duas dessas partes? Escreva essa fração.

3. Escreva as frações representadas nas figuras abaixo.

a) b) c)

d) e) f)

126

4. Hachure nas figuras abaixo, as frações escritas ao lado das figuras.

a) b)

c) d)28

36

5. Divida as figuras abaixo e hachure de acordo com as frações escritas ao seu lado.

a) b)

c) d)

6. Escreva a fração que cada uma das figuras abaixo representa.

a) b)

127

7. Circule a fração que representa cada figura.

a) b)

8. Enumere corretamente as frações abaixo.

a) 23

( )

b) 32

( )

c) 14

( )

d) 58

( )

e) 410

128

9. Divida as figuras abaixo e hachure de acordo com as frações escritas ao seu lado.

a) b) c)

10. Escreva a forma correta de ler cada fração abaixo.

a) 18 b) 3

7

c) 89 d) 1

3

e) 26 f ) 7

8

g) 15 h) 4

7

i ) 24 j ) 5

9

l ) 12 m) 3

6

n) 312 o) 9

100

p) 61000 q) 8

17

r) 35102

11. Enumere corretamente as frações abaixo.

a) 45

( ) Cinco meios

b) 27

( ) Três vinte avos

c) 320

( ) Quatro quintos

d) 56

( ) Dois sétimos

( ) Cinco sextos

129

12. Marque as frações que podem ser frações de polegada.

a) 57 b) 3

4 c) 12 d) 4

10 e) 964 f ) 8

17 g) 320

h) 78 i ) 5

32

13. Escreva a forma correta de ler cada fração abaixo.

a) 1' '

6 b) 3' '

6

c) 5' '

16 d) 1' '

128

e) 3' '

64 f ) 7' '

32

14. Complete escrevendo a palavra própria ou imprópria.

a) A fração tem o numerador igual ou maior que o denominador.

b) A fração tem o numerador menor que o denominador.

15. Marque as frações impróprias abaixo.

a) 320 b) 5

5 c) 134 d) 9

16 e) 78 f ) 3

2 g) 73

h) 66 i ) 2

5

16. Faça a extração das unidades inteiras das frações abaixo.

a) 105 Então, 10

5 =

b) 93 Então, 9

3 =

c) 55 Então, 5

5 =

17. Escreva os números abaixo em forma de fração.

a) 2 =

b) 5 =

c) 3 =

130

18. Transforme a frações abaixo em número misto.

a) 175 =

b) 125 =

c) 154 =

19. Escreva a forma correta de ler os números mistos abaixo.

a) 2 25 b) 3 3

4

c) 4 19 d) 1 2

3

20. Complete o que falta nessas transformações, conforme o exemplo.

Exemplo:

2 45 5 x 2 = 10 10 + 4 = 14 Então, 2 4

5 = 145

Continue:

a) 3 13 3 x 3 = 9 9 + 1 = 10 Então, 3 1

3 =

b) 5 12 2 x 5 = 10 10 + 1 = 11 Então, 5 1

2 =

c) 1 45 5 x 1 = 5 Então, 1 4

5 =

d) 2 12 Então, 2 1

2 =

e) 3 34 Então, 3 3

4 =

21. Marque as frações próprias.

a) 13 b) 8

7 c) 55 d) 3

8 e) 216 f ) 16

8 g) 137

22. Marque as frações impróprias.

a) 45 b) 5

3 c) 33 d) 8

4 e) 25 f ) 9

16 g) 178

131

23. Transforme os números mistos em frações impróprias.

a) 2 12 =

b) 3 710 =

c) 5 23 =

d) 3 25 =

e) 4 58 =

f ) 2 23 =

24. Transforme as frações impróprias em números mistos.

a) 85 =

b) 92 =

c) 53 =

d) 274 =

e) 156 =

f ) 132 =

25. Simplifique as frações a seguir.

a) 2' '

8= b) 6

8 = c) 915 = d) 2' '

16=

26. Simplifique as frações a seguir até não ser mais possível simplificá-las.

a) 12' '

32=

132

b) 1628 =

27. Simplifique as frações a seguir tornando-as irredutíveis.

a) 1218 =

b) 28' '

32=

c) 40' '

128=

d) 1548 =

e) 8 ' '

32=

f ) 924 =

28. Escreva as frações equivalentes a seguir, indicando a equivalência com sinal de igual.

a) 1620

b) 12' '

16

29. Encontre uma fração equivalente a 3' '

8, usando a multiplicação.

30. Encontre a fração equivalente a 13 que tem o denominador 12 e complete a fração: 1

3=

12 .

31. Encontre a fração equivalente a 17 que tem o denominador 21: 1

7 = .

32. Reduza ao mesmo denominador as frações 13 e 2

5 .

1º passo: Encontre o m.m.c. entre os denominadores;

2º passo: Depois reduza ao mesmo denominador.

133

33. Continue a divisão abaixo pelos números primos. Depois multiplique os números primos encontrados para achar o m.m.c.

a) b)

c) 4,5,7 d) 3, 5, 15

e) 5,20

34. Faça a redução das frações 23

, 12

, 34 .

35. Reduza as frações 18

, 316

e 14 ao mesmo denominador.

36. Siga os passos e reduza ao mesmo denominador as frações 3 12

, 38

, 2 14

.

1º passo: Transforme os números mistos em frações impróprias.

2º passo: Encontre o m.m.c. dos denominadores.

3º passo: Reduza as frações ao mesmo denominador.

37. Reduza ao mesmo denominador as frações 4 13

, 2 12

e 13

.


Reduzindo as frações 23 e 3

4 ao mesmo denominador, encontramos:

a) ( ) 212

e 312

134

b) ( ) 812

e 912

c) ( ) 1024

e 924

d) ( ) 96

e 86

39. Reduzindo as frações 15

, 12

e 14 ao mesmo denominador, encontramos:

a) ( ) 210

, 510

e 310

b) ( ) 940

, 2140

e 1140

c) ( ) 420

, 1020

e 520

d) ( ) 18

, 48

e 28

40. Usando a simplificação ou a multiplicação, descubra se as frações 14

e 416 são equivalentes.

41. Use a simplificação para ver se as frações 57


42. Marque a fração maior.

a) 47 b) 4

5 c) 49

43. Marque a fração menor.

a) 24 b) 2

3 c) 25

44. Complete.

a) Em vez de escrever 45 é maior que 4

7 , podemos escrever: 45 > 4

7 .

b) Em vez de escrever 47 é maior que 4

9 , podemos escrever:

c) Em vez de escrever 23 é maior que 2


d) Em vez de escrever 24 é maior que 2


135

e) Em vez de escrever 47 é menor que 4


f ) Em vez de escrever 49 é menor que 4


g) Em vez de escrever 24 é menor que 2


h) Em vez de escrever 25 é menor que 2


45. Qual é a maior fração entre 5' '

16e 3' '

8.

46. Qual é a menor fração entre 1' '

16e 3' '

32.

47. Coloque corretamente os sinais > ou < entre as frações.

a) 9' '

16 1' '

2

b) 25 2

3

c) 5' '

16 1' '

4

d) 2 12 1 7

8

e) 45 6

7

f ) 35 2

5

g) 2 13 2 2

3

h) 2 1' '

4 2 1' '

2

i ) 3 ' '

4 1' '

2 1' '

8

j ) 14 2

3 45

136

48. Marque a fração que está representada pela figura abaixo.

a) 85 b) 5

8 c) 35

49. Corresponda corretamente a primeira com segunda coluna.

a) 34

( )

b) 512

( )

c) 47

( )

( )

50. Observe as frações a seguir e reescreva separando as frações próprias das impróprias.

14

, 49

, 158

, 87

, 811

, 134

e 44


a) Transformando 4 14 em fração imprópria, encontramos:

1. ( ) 94

2. ( ) 161

3. ( ) 174

137

52. Transformando a fração 137 em número misto, encontramos:

a) 1 57

b) 1 67

c) 2 17

53. Reduzindo as frações 25

, 34

e 18 ao mesmo denominador, encontramos:

a) 820

, 1520

e 320

b) 1640

, 3040

e 540

c) 240

, 340

e 140

54. Escreva a fração 16' '

64na forma irredutível.

55. Marque as frações equivalentes a 6 ' '

8.

a) 3 ' '

4b) 24' '

32c) 6 ' '

16d) 12' '

16e) 12' '

32

56. Escreva corretamente os sinais > ou < entre as frações.

a) 1 1' '

4 1 3' '

16

b) 49 1

3

c) 4 1 ' '

6 3 7' '

8

d) 23 5

6

e) 5 ' '

8 11' '

16

f ) 17' '

32 1' '

2

g) 15 2

3 34

h) 3 ' '

16 1' '

2 5' '

8

138

CAPÍTULO 16 – OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

• Só podemos somar e subtrair frações com denominadores iguais.

• Somamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o mesmo denominador.

25

15

= 2 15

= 35

57

− 37

= 5 − 37

= 27

• Antes de somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, precisamos fazer a redução ao mesmo denominador.

13

25

= 515

615

= 5 615

= 1115

12

− 37

= 714

− 614

= 7 − 614

= 114

• Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores, encontrando o numerador do resultado, depois, multiplicamos os denominadores, encontrando o denominador do resultado.

23

x 47

= 2 x 43 x 7

= 821

• Para dividir frações, mudamos o sinal de divisão pelo sinal de multiplicação, invertemos a segunda fração (a segunda e as que vêm depois) e multiplicamos as frações.

14

: 13

= 14

x 31

= 1 x 34 x 1

= 34

17

: 13

: 12

= 17

x 31

x 21

= 1 x 3 x 27 x 1 x 1

= 67

• Simplificamos o resultado de uma operação com frações, sempre que possível.

12

x 23

= 1 x 22 x 3

= 2: 2

6: 2= 1

31315

− 315

= 13 − 315

= 10: 5

15: 5= 2

3

• Quando o resultado é uma fração imprópria, extraímos as unidades inteiras.

37

: 15= 3

7x 5

1= 3 x 5

7 x 1= 15

7= 2 1

7

• Antes de fazer operações onde aparecem números mistos, transformamos os números mistos em frações impróprias.

2 15

: 12= 11

5x 2

1= 22

5= 4 2

5

• Podemos simplificar o resultado de uma operação antes de extrair os inteiros.

3 14− 1 3

4= 13

4− 7

4= 13− 7

4= 6 : 2

4 : 2= 3

2= 1 1

2

• Antes de fazer operações onde aparecem números naturais, colocamos o denominador 1 nesses números.

4 − 34

= 41

− 34

= 164

− 34

= 16 − 34

= 134

= 3 14

139

EXERCÍCIOS

1. Faça a adição das seguintes frações.

a) 1' '

16+ 1' '

16+ 3 ' '

16+ 1' '

16+ 1' '

16= 1 1 3 1 1

16 =

b) 37 1

7 =

c) 215

815 =

2. Faça a adição a seguir e dê o resultado na forma de fração irredutível.

1' '

32+

3 ' '

32+ 7 ' '

32+ 5 ' '

32=

3. Faça a adição a seguir em que o resultado será uma fração imprópria.

27

57

37 =

4. Faça as adições a seguir.

a) 3 ' '

8+ 7 ' '

8+ 1' '

8=

b) 57

67

37 =

c) 15 1 2

5 2 3

5 =

5. Faça a seguinte adição.

14

15 =

1º) Encontre o m.m.c dos denominadores:

2º) Reduza o m.m.c. ao mesmo denominador:

3º) Some as frações:

6. Faça a seguinte adição.

1' '

8+ 1' '

16+ 3 ' '

4=

140

7. Faça a adição a seguir, simplificando antes de reduzir ao mesmo denominador.

68

24

1012 =


a) 2 23 1

4 3 1

2 =

b) 25 1 1

7 =

c) 4 29 1

3 =

d) 13 2 3

4 =

9. Corresponda corretamente a primeira com a segunda coluna.

a) 45 2

5 1

5 = ( ) 3 12

b) 34 2 6

8 = ( ) 4 1320

c) 25 3 1 1

4 = ( ) 4 38

( ) 1 25

10. Marque a resposta correta da adição abaixo.

1 712

1 13 2 =

a) ( ) 4 23

b) ( ) 2 1015

c) ( ) 4 1112

11. Na subtração 1 1 ' '

4 – 1' '

8, aparecem um número misto e uma fração. Neste caso, devemos

transformar o número misto em fração imprópria, antes de reduzir ao mesmo denominador.

12. Faça as subtrações a seguir.

a)715

−4

15 =

141

b)921

− 421 =

c) 1 1 ' '

4 – 3' '

4=

d) 2 1' '

16 – 1 5 ' '

16=

e) 3 17 – 1 3

7 =

f ) 3 3' '

8 – 2 1' '

8=

13. Reduza ao mesmo denominador.

a) 5' '

4 – 1' '

8=

b) 3 14

− 15 =

c) 3 − 18 =

d) 314

− 17 =

14. Faça as subtrações, escrevendo o resultado na forma de fração irredutível.

a) 9' '

16 – 1' '

16=

b) 4 13−2 1

4 =

c) 15−5 13 =

15. Faça as multiplicações a seguir. Observe que há números mistos. Quando aparece número misto na multiplicação, devemos transformar o número misto em fração imprópria antes de multiplicar.

a) 23

x 12 =

b) 34

x 23 =

c) 14

x 45

x 12 =

d) 2 14

x 12

x 3 12 =

e) 2 34

x 35 =

142

f ) 6 23

x 34 =

g) 25

x 78

x 6 =

h) 38

x 5 =

i ) 12

x 35

x 14 =

j ) 2 14

x 13 =

l ) 58

x 35

x 81 =

16. Faça as multiplicações abaixo, escrevendo os resultados na forma de fração irredutível.

a) 35

x 56 =

b) 2 23

x 14

x 2 =

17. Faça a divisão de 23

: 13

. Siga os passos.

1º) Mudar o sinal:

2º) Inverter a segunda fração:

3º) Multiplicar.

18. Faça esta divisão: 23

: 1 24

.

1º) Transforme o número misto em fração imprópria:

2º) Mude o sinal e inverta a segunda fração:

3º) Multiplique:


a) 27

: 1 13 =

b) 1 23

: 13 =

c) 1425

: 25 =

143

d) 41

: 23 =

e) 5 : 13 =

f ) 1 715

: 4 =

g) 78

: 2 14 =

h) 13

: 118 =

i ) 37

: 3 =

j ) 419

: 25 =

l ) 5 : 13 =

m) 8 : 2 25 =

20. Faça as operações a seguir, escrevendo a resposta na forma de fração irredutível.

a) 118

: 332 =

b) 8 − 3 14 =

c) 12

x 34

x 13 =

d) 7 : 34 =

e) 2' ' + 1' '

2+ 3 1 ' '

4=

f ) 2 15− 5

7 =

g) 2 23

x 14

x 2 =

h) 2 12

: 14 =

144

CAPÍTULO 17 – FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS

TRANSFORMAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS EM FRAÇÕES

• Podemos escrever um número decimal na forma de fração.

• Para escrever um número decimal na forma de fração, fazemos como a seguir:

1º – Colocamos o número 1 no denominador.

Exemplo: 0,50 1

2º – Completamos o denominador com zeros com a mesma quantidade das casas decimais do número decimal.

Exemplo:

3º – Colocamos o número decimal, sem a vírgula, no numerador.

Exemplo: 0,50 50100

• Quando escrevemos um número decimal na forma de fração, encontramos uma fração decimal.

50100 É uma fração decimal

• Simplificamos, sempre que possível, a fração decimal encontrada.

Exemplo:50

100: 50: 50

= 12

• Quando a fração encontrada é uma fração imprópria, extraímos as unidades inteiras.

Exemplo: 3,1 3110 = 3 1

10

TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÕES EM NÚMEROS DECIMAIS

• Para escrever uma fração decimal na forma de número decimal, fazemos da seguinte forma:

1º – Escrevemos o numerador da fração.

Exemplo: 75100 75

2º – Contamos os zeros do denominador.

Exemplo:

145

3º – Contamos, da direita para a esquerda do numerador, quantas casas decimais são os zeros do denominador e colocamos a vírgula.

Exemplo:

• Antes de escrever um número misto na forma de número decimal, transformamos esse número misto em fração imprópria.

Exemplo: 5 35100 535

100 5,35

• Para escrever uma fração que não é decimal na forma de número decimal, dividimos o numerador da fração pelo denominador.

Exemplo: 120 1 : 20 = 0,05 1

20 = 0,05

146

EXERCÍCIOS

1. Transforme em fração o número decimal 0,7.

2. Transforme 0,19 em fração.



5. Marque as frações decimas abaixo.

a) 320 b) 20

100 c) 3100 d) 7

40 e) 151000 f ) 7

30 g) 210

h) 5010000

6. Simplifique 0,05.

7. Transforme o número 0,48 em fração, colocando o resultado na forma de fração irredutível.

8. Transforme 0,25'' em fração.

9. Transforme 0,0625'' em fração.

10. Transforme.

a) 5,75'' =

b) 0,15 =

c) 3,25 =

d) 0,17 =

e) 0,125'' =

f ) 4,8 =

g) 0,7 =

11. Transforme as frações a seguir em número decimal. Lembrando que o número misto deve ser transformado antes em fração imprópria e em seguida, transformado em número decimal.

a) 9100 =

b) 211000 =

c) 5 1100 =

147

d) 120 =

e) 1200 =

f ) 1' '

8=

g) 3 15 =

h) 15 45 =

i ) 1 15 =

j ) 4 151000 =

l ) 35 =

m) 3100 =

n) 45 =

o) 3 ' '

8=

p) 2 3 ' '

4=

q) 2 35 =

r ) 2 5100 =

s) 58 =

t ) 3 1' '

8=

u) 4 15 =

v) 1720 =

x) 1 1' '

4=

z) 225 =

148

CAPÍTULO 18 – NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

• Colocando o sinal positivo e o sinal negativo nos números naturais, encontramos os números inteiros relativos.

• O sinal positivo dos números inteiros relativos é este: + .

Exemplo: + 15 (“15 positivo” ou “mais 15”).

• O sinal negativo dos números inteiros relativos é este: – .

Exemplo: – 15 (“15 negativo” ou “menos 15”).

• O zero não tem sinal.

• Os números inteiros relativos com sinal positivo chamam-se inteiros positivos. Mas um número inteiro positivo pode ser representado sem sinal. + 15 é o mesmo que 15.

• Os números inteiros com sinal negativo chamam-se inteiros negativos.

• Todo número inteiro negativo tem um número oposto:

– 15 é o oposto de + 15;

+ 15 é o oposto de – 15.

• Para encontrar o oposto de um número, basta trocar o sinal desse número:

mais ( + ) fica menos ( – );

e menos ( – ) fica mais ( + ).

• Não devemos confundir os sinais que indicam as operações de adição e subtração com sinais dos números relativos.

ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

• Para somar números inteiros relativos que têm sinais iguais, é feito assim:

1º – Somamos os números como se eles não tivessem sinais.

Exemplo: (– 9) + (– 2) = 9 + 2 = 112º – Em seguida, é dado ao resultado o sinal dos números.

Exemplo: (– 9) + (– 2) = – 11

Neste caso, o resultado ficará com sinal de menos, porque os números em si, tem sinal de menos.

149

• Para somar números inteiros que têm sinais diferentes, fazemos como a seguir:

1º – Consideramos os números sem os sinais.

Exemplo: ( + 5) + ( – 1) = Os números 5 e 1.

2º – Subtraímos o número menor do número maior.

Exemplo: 5 – 1 = 4

3º – Colocamos no resultado o sinal do número maior.

Exemplo: Entre 5 e 1, o maior é 5; o sinal de 5 é mais.

Então: ( + 5 ) + ( –1 ) = + 4

• Para somar mais de duas parcelas de números inteiros relativos, vamos somando as parcelas de duas em duas.

SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

• Para subtrair um número inteiro relativo de outro número relativo, mudamos o sinal de subtração pelo sinal de adição e mudamos o segundo número pelo seu oposto.

Exemplo:

( – 8) – ( + 7) =

= ( – 8) + ( – 7) =

Depois, é só fazer como na adição.

= ( – 8) + ( – 7) = – 15

Como os sinais são iguais, somamos os números e colocamos o mesmo sinal ao resultado.

• Quando aparecerem mais de dois números na subtração, mudamos todos os sinais de subtração pelo sinal de adição e trocamos os sinais dos números que devem ser subtraídos.

Exemplo:

( + 2) – ( – 1) – ( + 4) – ( – 5) =

= ( + 2) + ( + 1) + ( – 4) + ( + 5) =

Depois operamos de dois em dois, como na adição.

150

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

• Para multiplicar dois números inteiros que têm o mesmo sinal, fazemos como a seguir:

1º – Multiplicamos os números como se eles não tivessem sinal.

Exemplo: ( – 3) x ( – 4) = 3 x 4 = 12

2º – Colocamos no resultado o sinal positivo (sinal mais).

( – 3) x ( – 4) = + 12

• Para multiplicar dois números inteiros relativos que têm sinais diferentes, é feito assim:

Exemplo:

1º – Multiplicamos os números como se eles não tivessem sinal.

Exemplo: ( + 3) x ( – 6) = 3 x 6 = 18

2º – Colocamos no resultado o sinal negativo (sinal menos).

( + 3) x ( – 6) = – 18

• Para multiplicar mais de dois números inteiros relativos, também vamos multiplicando de dois a dois.

• Quando não há sinal entre dois parênteses ou entre um número e um parêntese, significa que existe uma multiplicação entre eles.

Exemplos:

( – 3) ( – 2) é o mesmo que ( – 3) x ( – 2)

( – 2) 3 é o mesmo que ( – 2) x 3

3 ( – 2) é o mesmo que 3 x ( – 2)

DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

• Para dividir números inteiros relativos que têm sinais iguais, fazemos como a seguir:

1º – Dividimos os números como se eles não tivessem sinal.

Exemplo: −12÷ −3 = 12÷ 3= 4

2º – Colocamos no resultado o sinal positivo (sinal mais).

−12÷ −3 =4

• Para dividir números inteiros relativos com sinais diferentes, é feito assim:

1º – Dividimos os números como se eles não tivessem sinal.

Exemplo: 12÷ −3 = 12÷ 3= 4

151

2º – Colocamos no resultado o sinal negativo (sinal menos).

12÷ −3 =−4

• Para dividir mais de dois números inteiros relativos, dividimos os números de dois em dois.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

• Quando aparecem indicadas duas ou mais operações, precisamos seguir uma ordem:

1º – Multiplicação e divisão, na ordem em que elas aparecem;

2º – Adição e subtração, na ordem em que elas aparecem.

O exemplo abaixo mostra a ordem a ser seguida nas operações:

ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES

• Para eliminar os parênteses, nós consideramos o sinal da operação e o sinal do número, transformando os dois em apenas um sinal.

• Para transformar dois sinais em apenas um, precisamos seguir algumas regras:

1º – Se os sinais considerados são iguais, eles se transformam num sinal positivo (sinal mais);

2º – Se os sinais considerados são diferentes, eles se transformam num sinal negativo (sinal menos).

• Quando não aparece sinal antes do parêntese, é como se houvesse sinal mais.

Exemplo: ( + 5) – ( – 1) é o mesmo que + ( + 5) – ( – 1).

• Às vezes, aparece um número multiplicando vários números que estão dentro de parêntese. Neste caso, para tirar o parêntese, multiplicamos cada um dos números pelo número que aparece antes do parêntese.

152

Exemplo:

Assim temos, 2 ( – 3 – 5 + 1) = – 6 – 10 + 2.

COMO OPERAR SEM PARÊNTESES

• Para operar sem parêntese, precisamos observar se os sinais são iguais ou diferentes.

• Se os sinais dos números são iguais, somamos todos os números e damos o mesmo sinal ao resultado.

Exemplo:

– 8 – 3 – 1 = – 12

+ 2 + 5 + 3 = + 10

• Se os sinais são diferentes, fazemos assim:

1º – Consideramos os números sem sinal;2º – Encontramos a diferença entre os dois números;3º – Damos o sinal do maior ao resultado.

Exemplo: – 5 + 3 = – 2

Encontrar a diferença significa subtrair o número menor do maior.

• Quando há mais de dois números com sinais diferentes, fazemos da seguinte forma:

1º – Somamos todos os números positivos;

2º – Somamos todos os números negativos;

3º – Encontramos a diferença entre os dois resultados, dando o sinal do maior a essa diferença.

153

Exemplo:

1º

2º

3º + 14 – 13 = +1

• Numa multiplicação ou divisão, quando aparece mais de um número dentro dos parênteses, primeiro operamos nos parênteses e depois multiplicamos ou dividimos.

Exemplos:

( – 3 + 4 – 5) ( – 2 + 8 – 3) =

= ( – 4) ( + 3) = – 12

( – 15 + 13) : ( – 4 + 6) =

= ( – 2) : ( + 2) = – 1

154

EXERCÍCIOS

1. Escreva como é pedido a seguir.

a) Escrevemos o número 2 negativo

b) Escrevemos o número 10 positivo

2. Escreva os números inteiros negativos e inteiros positivos a seguir, no lado correto do quadro abaixo.

– 30, – 5, +12, 19, – 8, 15, + 27, 71, – 47

Inteiros negativos Inteiros Positivos

3. Escreva o oposto dos números abaixo.

a) – 7 b) – 13 c) +5 d) – 20

e) +8 f ) +9 g) – 15 h) +11


a) ( – 3) + ( – 4) =

b) ( – 5) + ( – 3) =

c) ( + 5) + ( + 3) =

d) ( +18) + ( + 4) =

e) ( + 3) + ( – 2) =

f ) ( + 5) + ( – 8) =

g) ( – 5) + ( + 8) =

h) ( + 5) + ( – 3) =

i ) ( – 5) + ( + 3) =

j ) ( +18) + ( – 4) =

l ) ( –18) + ( + 4) =


a) ( + 5) + ( – 3) + ( – 2) =

b) ( – 3) + ( + 7) + ( – 4) =

c) ( – 8) + ( – 2) + ( + 3) =

d) ( + 3) + ( – 4) + ( – 6) + ( + 5 ) =

e) ( + 1) + ( – 3) + ( – 2) + ( + 3) =

155

6. Marque a alternativa correta da adição a seguir.

( – 4) + ( – 8) =

a) – 4 b) – 12 c) + 4 d) + 12

7. Marque as alternativas abaixo em que o resultado das adições é – 3.

a) ( – 4) + ( – 7) =

b) ( – 4) + ( + 7) =

c) ( + 5) + ( – 8) =

d) ( + 4) + ( – 7) =

e) ( – 8) + ( – 5) =

f ) ( + 8) + ( – 5) =

8. Marque a alternativa correta dos resultados das adições a seguir.

( – 5) + ( – 4) + ( – 2) = ( – 8) + ( + 1) + ( – 4) =

a) + 11 e – 11 b) – 7 e + 7 c) – 11 e – 11 d) +7 e +7


a) ( – 8) + ( – 2) + ( + 3) + ( + 3) =

b) ( – 3) + ( – 1) + ( – 4) + ( – 8) + ( – 3) =

c) ( + 3) + ( + 2) + ( + 5) =

d) ( + 18) + ( – 25) + ( + 11) =

10. Complete.

a) ( + 3) – ( – 5) é o mesmo que

b) ( – 3) – ( – 5) é o mesmo que


a) ( + 3) – ( – 5) = ( + 3) + ( + 5) =

b) ( – 3) – ( – 5) = ( – 3) + ( + 5) =

c) ( – 4) – ( – 8) =

d) ( + 4) – ( – 8) =

e) ( – 4) – ( + 8) =

f ) ( + 4) – ( + 8) =

g) ( + 7) – ( – 2) – ( – 3) =

156

h) ( – 4) – ( – 5) – ( + 2) =

i ) ( + 3) – ( – 1) =

j ) ( + 3) – ( + 1) =

12. Marque a resposta correta da subtração a seguir.

( – 5) – ( – 1) – ( + 4) – ( – 5) =

a) – 3 b) +5 c) – 13


a) ( + 8) – ( + 3) = ( ) + 5

b) ( –15) – ( – 2) = ( ) + 11

c) ( +12) – ( – 1) = ( ) – 13

( ) + 13

14. Marque a resposta correta da subtração a seguir.

( + 10) – ( + 5) – ( – 2) =

a) + 5 b) + 7 c) + 13

15. Faça a multiplicação abaixo seguindo os passos a seguir.

( – 3) x ( – 4) =

1º – Multiplique os números sem considerar os sinais e coloque o resultado ao lado do sinal de igual;

2º – Observe que os sinais dos números são iguais, então, coloque o sinal mais no resultado.


a) ( – 5) x ( – 2) =

b) ( + 5) x ( + 2) =

c) ( – 3) x ( – 6) =

d) ( + 3) x ( + 6) =

17. Faça a multiplicação abaixo seguindo os passos a seguir.

( + 3) x ( – 4) =

1º – Multiplique os números sem considerar os sinais e coloque o resultado ao lado do sinal de igual;

2º – Observe que os sinais dos números são diferentes, então, coloque o sinal menos no resultado.

157


a) ( – 5) x ( + 3) =

b) ( + 6) x ( – 2) =

c) ( – 3) x ( + 3) =

d) ( – 2) x ( – 2) =

e) ( + 2) x ( – 2) =

f ) ( – 3) x ( – 7) =

g) ( – 3) x ( + 7) =

h) ( + 7) x ( – 4) =

i ) ( + 7) x ( + 4) =

j ) ( + 2) x ( – 3) x ( – 5) =

l ) ( – 3) x ( + 3) x ( – 1) =

m) ( – 5) x ( + 2) x ( – 2) x ( – 1) =

19. Escreva a outra indicação.

a) ( + 2) ( – 3) é o mesmo que

b) 5 ( – 4) é o mesmo que

c) ( – 3) 7 é o mesmo que

20. Sabendo que um parêntese junto de outro parêntese e um número junto de parêntese indicam multiplicação, seguindo essa conclusão, faça as operações a seguir.

a) ( – 3) ( – 2) =

b) ( + 2) ( – 3) =

c) 4 ( – 2) =

d) ( – 3) 7 =

e) ( + 3) x ( – 5) =

f ) ( – 3) x ( – 5) =

g) ( – 4) x ( – 5) =

h) – 8 (– 4) =

i ) 6 ( – 7) =

j ) ( – 3) ( + 4) =


a) ( + 8) : ( + 2) =

158

b) ( – 12) : ( – 3) =

c) ( – 15) : ( + 3) =

d) ( – 12) : ( + 2) : ( + 3) =


a) ( +36) : ( – 3) : ( + 2) = ( ) + 6

b) ( – 18) : ( – 3) = ( ) + 4

c) ( – 16) : ( – 4) = ( ) – 4

( ) – 6

23. Complete as divisões abaixo.

a) ( – 12) : ( ) = – 4

b) ( + 18) : ( ) = – 9

c) ( + 15) : ( ) = + 3

d) ( – 10) : ( ) = + 5


( + 16) : ( – 4) : ( – 2) =

a) + 8 b) – 2 c) +2 d) – 8

25. Marque a divisão em que a resposta é – 3.

a) ( – 9) : ( – 3) =

b) ( – 16) : ( + 6) =

c) ( + 18) : ( – 6) =

d) ( + 15) : ( + 5) =

26. Complete as divisões abaixo.

a) ( + 8) : ( ) = + 2

b) ( – 8) : ( ) = – 2

c) ( – 8) : ( ) = + 4

d) ( + 8) : ( ) = – 4

159

27. Marque a alternativa correta dos resultados das divisões a seguir.

( – 45) : ( – 9) = ( + 54) : ( – 9) =

a) – 5 e – 6 b) + 5 e + 6 c) + 5 e – 6

28. Faça as operações abaixo seguindo os passos a seguir.

( – 7) – ( + 8) + ( – 15) : ( + 5) =

1º – Pela ordem, a multiplicação e a divisão devem ser feitas antes. Nessa operação, não há multiplicação. Então faça a divisão e copie as outras operações;

2º – Agora devemos fazer a adição e a subtração, na ordem em que aparecem. A subtração aparece primeiro. Faça as modificações e opere. Depois copie a outra operação.

3º – Por último, restou fazer a adição.

29. Faça as operações abaixo seguindo os passos a seguir.

( + 2) + ( – 5) – ( – 6) x ( + 2) =

1º – Multiplicação e divisão devem ser feitas na ordem em que aparecem. Depois copie as outras operações;

2º – Adição e subtração, na ordem em que aparecem.

30. Faça as operações a seguir.

a) ( – 5) – ( + 6) : ( – 2) =

b) ( + 4) – ( – 3) + ( + 12) : ( + 3) =

c) ( – 2) + ( – 3) x ( – 2) =

d) ( – 15) : ( – 3) x ( – 2) – ( – 1) =

e) ( – 3 + 4 – 5) ( – 2 + 8 – 3) =

f ) ( – 15 + 13) : ( – 4 + 6) =

g) ( – 6) + ( – 4) : ( – 2) =

h) – 2 ( – 3 + 1) – ( – 4 + 1) + ( – 3 + 2) =

i ) + 3 ( – 2 + 1) – 2 ( – 1 + 4) – ( 7 + 4) =

j ) ( – 4) + ( – 8) + ( + 3) =

160

31. Faça as operações abaixo.

a) ( 4 + 3 – 2) ( – 5 + 3) =

b) ( 12 + 6) : ( 8 – 5) =

c) ( 9 – 6) ( – 4) =

d) ( – 5) – ( + 3) ( – 2) =

e) ( + 4) – ( – 3) =

f ) ( + 4) + ( + 3) =

g) ( – 5) – ( + 2) =

h) ( + 8) + ( – 3) =

i ) ( – 8) – ( + 3) =

j ) + 6 – 3 + 4 – 5 =

l ) – 7 + 5 + 2 – 3 =

m) + 2 – 9 =


a) – 3 – 2 = ( ) – 9

b) + 4 + 3 = ( ) – 1

c) –1 – 6 – 2 = ( ) + 9

d) + 3 + 1 + 5 ( ) – 5

e) + 4 – 2– 5 +3 = ( ) + 7

f ) – 5 – 4 + 8 = ( ) + 1

g) – 3 + 5 – 2 + 1 = ( ) + 14

( ) 0

( ) – 1

33. Marque a alternativa correta das operações a seguir.

+ 3 – ( + 2 – 4) + 2 ( – 3 + 1) = – ( 3 + 2 – 8) – ( 5 – 4 + 1) =

a) – 3 e +3 b) – 3 e – 3 c) + 1 e +1


a) 3 ( – 2 – 1 + 4) =

b) 4 ( + 2 + 3 – 4) =

161

c) – 2 ( + 3 + 4 – 4) =

d) – 4 ( – 2 + 1) =

e) ( + 6 – 2 + 1) =

f ) ( + 5 – 3 + 2) – 1 =

g) – ( + 5 – 2 + 4) =

h) – ( – 7 + 4 + 1) – 3 =

i ) ( + 5) – ( + 1 ) – ( – 4) – ( + 5) =

j ) ( – 6) ( + 4) ( – 1) ( + 1) =

l ) ( – 18) : ( – 3) : ( – 2) =

m) ( + 8) – ( – 4) : ( – 2) x ( + 3) =

n) – 2 + 4 ( – 1 + 2 + 4) =

162

CAPÍTULO 19 – NÚMEROS FRACIONÁRIOS RELATIVOS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS RELATIVOS

• Quando representamos a divisão de números inteiros relativos em forma de fração, encontramos um número fracionário relativo.

−34 , −2

−3 , 78 e 5

−6 são números fracionários relativos

• É mais comum representar o número fracionário relativo com um sinal. Por isso, usamos as regras de sinais da divisão para transformar os dois sinais em apenas um.

−34 ficará −3

4 , porque sinais diferentes o resultado é negativo;

−2−3 ficará 2

3 , porque sinais iguais o resultado é positivo.

• Para somar e subtrair números fracionários relativos, fazemos da seguinte forma:

1º – Eliminamos os parênteses, observando os sinais, como nos números inteiros relativos.

Exemplos:

35 + −3

5 = 35

− 15

37 – −2

5 = 37

− 25

2º – Se os denominadores são iguais, conservamos o mesmo denominador no resultado.

Exemplo: 35

− 15

=5

Se os denominadores são diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador e conservamos esse novo denominador no resultado.

Exemplo: 37

25

= 1535

1435

=35

3º – Se os sinais são iguais, somamos os numeradores e damos o mesmo sinal ao resultado.

1535

1435

= 2935

Se os sinais são diferentes, tiramos o numerador menor do maior e damos ao resultado o sinal do maior.

35

− 15

= 25

• Quando aparecem mais de dois números fracionários, vamos operando os numeradores de dois em dois.

• Devemos simplificar o resultado da adição e da subtração, sempre que possível.

• Quando o resultado da adição ou da subtração é uma fração imprópria, transformamos essa fração em número misto.

163

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS RELATIVOS

• Para multiplicar números fracionários relativos, fazemos da seguinte forma:

1º – Se os sinas são iguais, o resultado fica com sinal positivo; se os sinais são diferentes, o resultado fica com sinal negativo.

Exemplos:

−15 x −1

5 = O resultado ficará com o sinal positivo.

34 x −2

5 = O resultado ficará com o sinal negativo.

2º – Multiplicamos os numeradores entre os numeradores e os denominadores entre si.

Exemplos:

−15 x −1

5 = 225

2 x 1 = 25 x 5 = 25

34 x −2

5 = − 620

3 x 2 = 64 x 5 = 20

• Quando aparecem mais de dois números fracionários relativos na multiplicação, vamos observando os sinais de dois em dois.

Exemplo:

• Antes de multiplicar, transformamos os números mistos em frações impróprias.

• Simplificamos o resultado de uma multiplicação, sempre que possível.

• Quando o resultado é uma fração imprópria, transformamos essa fração em número misto.

DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS RELATIVOS

• Para dividir números fracionários relativos, fazemos assim:

1º – Mudamos o sinal de divisão pelo sinal de multiplicação e invertemos a segunda fração (ou somente a segunda ou a segunda e as seguintes).

Exemplos:

13 ÷ 1

2 = 13 x 2

1 3

5 ÷ 12 ÷ −1

4 = 13 x 2

1 x −41

164

2º – Operamos e observamos os sinais, como na multiplicação.

Exemplos:

OPERAÇÕES COM NÚMEROS FRACIONÁRIOS RELATIVOS

• Quando temos mais de uma operação com números fracionários relativos, seguimos a mesma ordem usada para os inteiros relativos:



Exemplo:

• Numa multiplicação ou numa divisão, quando aparece mais de um número fracionário relativo dentro dos parênteses, primeiro operamos nos parênteses e só depois multiplicamos ou dividimos.

Exemplo:

25

− 35 ÷ −1

4 3

4 =

= −15 ÷ 2

4 =

= −15 x 2

4 = − 410

÷ 2÷ 2

= −25

165

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS OU FRACIONÁRIOS RELATIVOS

• Nas operações que reúnem números inteiros relativos e números fracionários relativos, colocamos o denominador 1 nos inteiros e efetuamos as operações como se fossem todos fracionários.

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

• Quando aparecem letras ou letras e números numa expressão, ela se chama expressão algébrica.

Exemplo: abc e x−y3 são expressões algébricas.

• Quando substituímos as letras de uma expressão algébrica por valores dados e efetuamos as operações indicadas, encontramos o valor numérico, isto é, o resultado da expressão algébrica.

Exemplo:

ax b−5 Dado : a =−2b= 3

−2 x 3 − 5

− 6 − 5=−11

• Para operar nas expressões algébricas, empregamos as mesmas regras de sinais usadas para os números relativos.

• Para encontrar o valor numérico de uma expressão algébrica, também precisamos seguir uma ordem nas operações:



Mas, quando aparecem operações dentro de parênteses, elas devem ser feitas antes das outras operações, mesmo que elas sejam adições ou subtrações.

• A multiplicação pode aparecer indicadas de outras formas na expressão algébrica.

a) Com um ponto entre números: 3 . 3;

b) Com um ponto entre letras: a . b;

c) Com um ponto entre número e letra: 2 . a;

d) Com número junto de parêntese: 4 ( –2 );

e) Com parêntese: ( a ) ( b );

f ) Com número junto de letra: 3a;

g) Com letra junto de letra: a b c.

• A divisão também pode ser indicada de outras formas.

a) Com dois pontos: a : b;

b) Com um traço de fração: ab

.

166

EXERCÍCIOS


a) −2 ÷−3 =

b) 7 ÷8 =

c) 5 ÷−6 =

2. Corresponda corretamente cada número fracionário relativo da primeira coluna com seu correspondente de dois sinais da segunda coluna.

a) −47 ( ) −6

−9

b) 47 ( ) 4

−7

c) −69 ( ) −4

−7

( ) −69

3. Resolva as adições a seguir.

a) − 47 3

7 =

b) 15 2

5 =

c) −29 −5

9 =

d) −23 1

4 =

e) 25 −1

3 12 =

4. Resolva as subtrações a seguir.

a) 14 − −3

4 =

b) 14 − 3

4 =

c) −35 − −1

5 − 25 =

d) − 47 − 5

7 =

e) 1316 − − 7

16 =

167

f ) 15 − −1

4 =

g) −13 − −1

4 =

h) 25 − −1

2 − 23 =

i ) −12 − 2

3 =

5. Resolva as multiplicações a seguir.

a) −23 x −2

5 =

b) −23 x 2

5 =

c) 23 x −3

4 =

d) −58 x −2

3 =

e) −12 x −2

5 x −38 =

6. Resolva as divisões a seguir.

a) 13 ÷ 1

2 =

b) −34 ÷ −1

3 =

c) −25 ÷ 2

3 =

d) −3 14 ÷ −1 1

2 =

7. Resolva as operações a seguir.

a) 34 − −1

3 −12 ÷ 2

3 x − 14 =

b) −18 1

4 − 36 x −1 3

4 ÷ 23 =

c) 57 −1

5 ÷ 13 =

168

d) −18 − 1

4 x −12 =

e) −34 x 2

3 − −12 =

f ) 13

− 12 x 5

9− 2

3 =

g) 27

− 321 1 1

3− 1 1

6 =

h ) 58 ÷ −3

4 =

i ) −34 −1

2 ÷ −12

14 =

j ) 38

− 34 1

5− 2 =

8. Resolva as operações a seguir.

a) 25 −1

5 35 =

b) 35 − 1

5 =

c) −35

−25 =

d) 23

14

−16

−38 =

e) 14 − −1

3 − 16 =

f ) 25

13 −1

3− 1

2 =

g) 14 −3

5 =

h) − 45 ÷ 2

3 ÷ 12 =

i ) −12 2

5 1

4 =

169

j ) −16 − 2

3 −1 12 ÷ 1

4 x 13 =

l ) 25 ÷ 1

2 12

− 34 =

m) 2 −34 =

n) −13 −2

5 2 =

o) − 316 ÷ −3

4 x 3 14 =

p) 25

3 ÷ −4 =

q) 27

− 1 − 14 =

r ) −3 − −14 1

3 =

s) −23 −1

5 ÷ 3 =

t ) 14

− 2 ÷ −13

4 =

u) 14

2 −23

2 −34

− 1 =

v) −15 ÷ 2

4 =

x) −1 14 − −2 1

3 =

z) −12 x −1

4 =

170

CAPÍTULO 20 – EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

EQUAÇÕES

• Duas expressões que têm o mesmo valor, ligadas pelo sinal de igual, formam uma igualdade.

5 + 3 = 8 e 5 + 2C – 7 = – 6 formam igualdades.

• Quando uma igualdade tem algum valor desconhecido, ela recebe o nome de equação.

5 + 2C – 7 = – 6 é uma equação

• O valor desconhecido e uma equação recebe o nome de incógnita.

Na equação 5 + 2C – 7 = – 6, a incógnita é C.

• Toda equação tem dois membros: a expressão escrita antes do sinal = é o 1º membro; a expressão escrita depois do sinal = é o 2º membro.

Exemplo:

• A incógnita pode aparecer nos dois membros da equação.

Exemplo: 2x + 1 = x + 4

• Os membros da equação são formados por termos. Termo é cada elemento de um membro que está separado de outro elemento pelos sinais + ou – . Mas os sinais mais e menos fazem parte do termo que vem logo a seguir:

SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU

• Quando descobrimos o valor da incógnita, encontramos a solução da equação.

• A solução da equação é um número que, ficando no lugar da incógnita, faz a igualdade continuar verdadeira.

• Para encontrar a solução de equação, devemos isolar a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha.

• Para isolar a incógnita, deixamos no 1º membro todos os termos que contêm a incógnita e no 2º membro os termos que não contêm incógnita.

Exemplo:

171

• Quando mudamos de membro um termo ou parte dele, precisamos inverter o sinal da operação:

a) O sinal fica −

b) O sinal − fica

c) O sinal x fica ÷

d) O sinal ÷ fica x

Exemplo:

• Depois de mudar os termos de membro, fazemos as operações em cada membro:

2x − x=4− 1

x =3 ou x = 3

• Quando a incógnita fica acompanhada de um número, precisamos mudar de membro esse número, invertendo a operação, para encontrar o valor da incógnita.

Exemplo:

4x − 2= x 1

4x − x = 1 2

3x = 3

x = 33

x = 1

• Quando a operação para achar o valor da incógnita é uma divisão que não dá número inteiro, costumamos deixar a solução na forma de fração.

Exemplo:

2x = 1

x = 12

172

• Quando a solução da equação é uma fração imprópria, extraímos as unidades inteiras.

Exemplo:

2x = 7− 4

2x = 3

x = 32

x = 1 12

• Quando a incógnita fica com sinal negativo, mudamos o sinal nos dois membros.

Exemplo:

2− 2x = 6

−2x = 6− 2

−2x = 4

2x =−4

x =− 42

x =−2

• Quando aparecem termos entre parênteses, tiramos os parênteses, observando os sinais, como nos números relativos.

Exemplo:

Depois continuamos as operações.

• Quando aparecem termos na forma de fração, reduzimos todos os termos ao mesmo denominador.

Exemplo:

173

x4− 6

4= 2

4

x4− 3

2= 1

2

Depois tiramos os denominadores, para resolver a equação.

x − 6= 2

x = 2 6

x = 8

• Quando a incógnita também aparece como denominador, para reduzir ao mesmo denominador, encontramos o m.m.c. entre os números e acrescentamos a incógnita ao resultado.

Exemplo:

O m.m.c. entre 3 e 2 é 6. Então, m.m.c. é 6x.

Reduzindo ao mesmo denominador, este exemplo fica assim:

4x6x

66x

= 3x6x

126x

• Quando só um termo tem denominador indicado e a incógnita só aparece uma vez, vamos transportando os termos de um membro para outro, até isolar a incógnita.

Exemplo:

174

23 1

x= 1

2 2

x

• Quando aparece uma expressão com dois termos no denominador de uma equação, colocamos essa expressão entre parênteses, para mudar de membro.

Exemplo:

175

FÓRMULAS

• Fórmula é um modo abreviado de indicar determinados cálculos matemáticos.

• Para fazer os cálculos indicados pelas fórmulas, substituímos as letras pelos valores correspondentes, encontrando uma equação, que pode ser resolvida.

Exemplo:

d=D− 1,2 p Dados : D= 10

d= 10− 1,2 x 1,7 p = 1,7

d= 10− 2,04

d= 7,96

176

EXERCÍCIOS

1. Marque as expressões algébricas abaixo.

a) 4 – 2 : 2

b) a + b – 4

c) x – y + 3

d) 3 + 4 – 2 . 3

e) a . b – 5

f ) y – 5 + x

2. Encontre o valor numérico das expressões abaixo.

a) x – y + 3 Sendo x = 4; y = 2

b) a . b – 5 Sendo a = 3; b = 2

c) y – 5 + x Sendo y = 8; x = 4

d) ( – 8 + a) : 3 Sendo a = 2

e) 3 – z + y Sendo z = 5; y = 8

3. Encontre o valor numérico das expressões a seguir.

a) 3 . 3 + a Sendo a = 4

b) a . b – 2 Sendo a = 5; b = 3

c) 4 ( 2 ) + a Sendo a = 1

d) 4 ( a ) + b Sendo a = 3; b = 2

e) 4 ( – 2) + a Sendo a = 4

f ) ( a ) ( b ) – 5 Sendo a = – 2; b = 3

g) 3 a + 4 Sendo a = 5

h) abc + 3 Sendo a = 3; b = 2; c = 4

177

i ) 4 a : ( – 2 ) Sendo a = 5

j ) ab− 3 Sendo a = 8; b = 2

l ) x : 2 + y Sendo x = 4; y = 3

m) 6x− 1 Sendo x = 2

n) 3a2

a2 Sendo a = 6


a) – 6 + 2 ( y ) Sendo y = 6

b) 4 + 10 : M + 5 ( D ) Sendo M = 2; D = 3

c) 5 + 2C – 7 Sendo C = – 2

d) 2 + z ( 1 + y ) – 2y Sendo z = – 1; y = 3

e) 2a + 8 + 5a + 1 Sendo a = 2

f ) 8 – M + 5M – 3 Sendo M = 2

g) 5B – 2B + 8A – 7A + 3 Sendo B = 4; A = 5

h)D− d . l

2c Sendo D = 20; d = 10; l = 15; c = – 5

i ) 2d – ( 4M – 5) Sendo d = 5; M = 3

j ) 3x – 2y ( a : b ) Sendo x = 1; y = 2; a = – 6; b = 3

l ) ( 3a + 2b – c ) : ( 5 – 2a ) Sendo a = 2; b = – 3; c = 4

m)D d

2 . ( – A + a ) Sendo D = 4; d = 2; A = 7; a = 5

n)B b . h

2 Sendo B = 8; b = 4; h = 3

178

5. Marque as equações.

a) 5 + 3 = 6 + 2

b) x + 1 = 5

c) y + 2 = 5 + 3

d) 3a = 12

e) 3 . 4 = 12

f ) 2z + 1 = 5

6. Complete.

a) Na equação x + 1 = 5, a incógnita é .

b) Na equação y + 2 = 5 + 3, a incógnita é .

c) Na equação 3a = 12, a incógnita é .

d) Na equação 2z + 1 = 5, a incógnita é .

7. Marque as equações do 1º grau.

a) a4 + 5 = 10

b) 3x + 2 = 11

c) x2 + x = 6

d) 3z3 + 2 = 11

e) 4y = 6

8. Complete o quadro a seguir, escrevendo no lugar indicado os membros das equações abaixo.

1º Membro = 2º Membro

a) 3z – 4 = 0 a) =

b) x = 5x + 3 b) =

c) 5z = 3 c) =

d) 3x + 2 = 4x – 1 d) =

e) 2a +1 = 11 e) =

179

9. Copie separando cada termo das equações a seguir.

a) 3z – 4 = 0

b) x = 5x + 3

c) 5z = 3

d) 3x + 2 = 4x – 1

e) 2a + 1 = 11

10. Resolva as equações a seguir.

a) 2x – 3 = x + 2

b) 3x – 8 = 2x – 2

c) 5x – 2 = 4x

d) x + 2 = 8 – 2x

e) 4x = 16

f ) 5x = 13 – 3

g) 2x = 8 + 4

h) 2z = 4z + 6

i ) z – 3 = 4z + 6

j ) 5x – 1 = 3

l ) 7y + 5 = 2 + 3y

m) 2x + 4 = 7

n) 3x + 4 = 15

o) 2 + x + 1 = 2x

p) 2 – ( x + 4) = – 2x

180

q) 3 – (2z – 2) = 3z

r ) 2 (x + 1) = 5x

s) 4 ( – 3x + 5) = 12


a) x3 x

2= 5

b) x2− 2

4= x

3

c) x 24

= 35

d) 3x x2= 21

e) 13 1

z= 4

f ) 23 1

x= 1

2 2

x


a) z3= 4

b) 3x4

= 6

c) x2− 3 = 5

d) 3a2

− 3 = 3

e) 8z= 2

f ) 3= 9a

g) 42x

= 1

181

h) 5 = 102z

i ) 3 6z= 5

j ) 5a− 3= 2

l ) 3= 33 a

m) 0,4= 4z− 3

n) 0,75= 3x − 1

o) z− 48

= 0,25

p) a 52

= 0,3


a) – 2 ( 5z – 3 ) + 3 ( z – 1 ) = – 5 ( z + 1)

b) a4 3

2= 5

c) 3y 1

3= 4

5

d) z 43

= 5

e) 82a

= 7 − 3

f ) 5a3

− 2 = 3

g) 4= 244 a

182

h) 2a a3= 21

i ) 2z + 2 = 4z – 1

j ) 4 ( 3 + 2a) – 2 ( a + 3 ) + 6 ( a – 1 ) = 3 ( a + 6 )

l ) 3z4

2z2

= 7

m) 3y− 1

5= 11

20

n) d − 84

= 3

o) 122d

= 6 − 4

p) d2− 4=−3

q) 3= 249− d

14. Calcule o volume de um prisma reto, encontrando o valor de V na fórmula V = c . l . h, sendo c = 9 cm, l = 4 cm, h = 5 cm.

15. Na fórmula a = un , determine o valor de a, sendo u = 1 e n = 50. Dê a resposta em número decimal.

16. Determine o valor de a, na fórmula a = Pn , sendo P = 4 e n = 200. Dê a resposta em número decimal.

17. Encontre o valor das equações a seguir.

a) h= D22 Sendo D = 154

b) d = D – 1,2p Sendo D = 11; p = 2

c) d = D – 1,2p Sendo D = 13; p = 2,5

d) c = D1,155 Sendo D = 30,03

e) D= l . 2 Sendo l = 20; 2= 1,41

183

f ) D= l . 2 Sendo l = 25; 2= 1,41

18. Encontre o valor de x na formula x = D− d l2c , sendo D = 30, d = 26, l = 180 e c = 100. Dê a resposta em

número decimal.

19. Encontre o valor de x na formula x = D− d l2c , sendo D = 70, d = 30, l = 100 e c = 80.

20. Determine o valor de e na fórmula e=D− d . C1

2c, sendo D = 60, d = 56, C1 = 120 e c = 100. Dê a resposta

em número decimal.

21. Determine o valor de e na fórmula e=D− d . C1

2c, sendo D = 84, d = 70, C1 = 200 e c = 140.

22. Encontre o valor de n na fórmula V = 2 c n1000 , sendo V = 30 e c = 250.


a) c = D1,155 Sendo D = 36,96

b) d = D – 1,2p Sendo D = 10; p = 1,7

c) x = D− d l2c Sendo D = 55; d = 30; l = 80; c = 50

d) V = 2 c n1000 Sendo V = 28; c = 280

e) 2M M F − D2 Sendo M = 1; F = 2; D = 4

f )a− b . c

d− 1 Sendo a = 8; b = 2; c = 3; d = 7

g) h = D22 Sendo D = 110

h) V = 2 c n1000 Sendo V = 18; c = 150

184

CAPÍTULO 21 – EQUAÇÕES DO 1º GRAU EM PROBLEMAS

• Para resolver um problema usando equação, basta montar uma equação a partir do problema e resolver essa equação, para encontrar a resposta.

• Para montar uma equação a partir de um problema, indicamos com uma incógnita aquilo que o problema pede para ser encontrado e representamos as operações pelos sinais de operações e as igualdades pelo sinal de igual.

Exemplo 1:

Um número somado com 10 é igual a 18 menos 3. Qual é esse número?

Solução:

x vai representar o número

+ 10 somado com 10

= 18 – 3 é igual a 18 menos 3

Então: x + 10 = 18 – 3

Exemplo 2:

Somando 8 a um número e multiplicando o resultado por 7, encontramos 91. Qual é esse número?

Solução:

um número x

somando 8 ao número x + 8

multiplicando o resultado por 7 7 ( x + 8)

encontramos 91 = 91

Então: 7 ( x + 8 ) = 91

Exemplo 3:

Somando 4 a um número e dividindo o resultado por 3, encontramos 5. Qual é esse número?

Solução:

um número x

somando 4 ao número x + 4

dividindo o resultado por 3 x 43

encontramos 5 = 5

Então: x 43

= 5

185

• Abaixo vêm representadas algumas idéias que aparecem em problemas.

a) O dobro de um número que não conhecemos: 2x;

b) O triplo de um número: 3x;

c) 5 vezes um número: 5x;

d) A metade de um número: x2 ;

e) A terça parte de um número: x3 ou 1

3 ;

f ) A quinta parte de um número: x5 ou 1

5 ;

g) O dobro da quinta parte de um número: 2x5 ;

i ) 34 de um número: 3x

4 ;

j ) Um número menos a sua metade: x − x2 .

186

EXERCÍCIOS

1. Somando 10 a um número e tirando 8, encontramos 5. Qual é esse número?

2. Somando 8 a um número e tirando 2, encontramos 20. Qual é esse número?

3. Somando 10 a um certo número e multiplicando o resultado por 5, encontramos 90. Qual é esse número?

4. Somando 5 a um certo número e multiplicando o resultado por 6, encontramos 51 menos o número. Qual é o número?

5. Somando 4 a um número e dividindo o resultado por 3, encontramos 5. Qual é o número?

6. Subtraindo 3 de um certo número e dividindo o resultado por 2, encontramos 6. Qual é o número?

7. Somando 17 a um número e dividindo o resultado por 3, encontramos 5 mais o mesmo número. Qual é esse número?

8. Subtraindo 15 de um número, encontramos 25. Qual é a metade desse número?

9. A soma de dois números é 35. Um deles tem 5 unidades mais que o outro. Quais são esses dois números?

10. A soma de dois números é 15. Um deles tem 3 unidades menos que o outro. Quais são esses números?

11. Numa sala estão reunidos rapazes e moças, num total de 22 pessoas. Existem 4 moças mais que rapazes. Quantos rapazes e quantas moças estão nessa sala?

12. Complete as frases abaixo.

a) A terça parte de um número ou 13 , fica

b) A quarta parte de um número ou 14 , fica

c) A quinta parte de um número ou 15 , fica

d) 25 do número fica

13. Representando um número por z, escreva em linguagem matemática.

a) Quatro vezes o número mais 3:

b) A metade de um número menos 2:

c) O dobro de um número mais 4:

d) 34 de um número:

187

e) Um número menos a sua metade:

f ) O dobro da quinta parte de um número:

14. somando 2 à quarta parte de um número, encontramos 27. Qual é esse número?

15. Do triplo de um número tiramos a metade desse número e encontramos 20. Qual é esse número?

16. O dobro de um número menos a terça parte desse número é igual a 25. Qual é o número?

17. O dobro da terça parte de um número é igual a 14 menos a metade desse número. Qual é esse número?

18. A largura de um terreno é a metade do seu comprimento e a soma das duas medidas é 54 m. Qual é o comprimento desse terreno? E a largura?

19. A idade do filho de Orlando é 13 da idade de Orlando. A soma das duas idades é 48 anos. Qual é a idade de

cada um?

20. Uma caixa contêm parafusos e porcas, num total de 250 unidades. O número de porcas é quatro vezes o número de parafusos. Quantos parafusos e quantas porcas tem essa caixa?

21.

Escreva nas caixas abaixo o número de parafusos que cada uma deverá ter.

188

22. Dividir 380 parafusos em três caixas, de modo que a segunda tenha 30 parafusos mais que a primeira e que a terceira tenha 20 parafusos mais que a segunda. Quantos parafusos vai ter cada caixa?

23. A figura abaixo representa um salão com 32 m de perímetro. Calcule a largura e o comprimento desse salão.

24. Somando 220 ao dobro de laranjas que se encontram numa caixa e dividir o resultado por 3, iremos encontrar o número de laranjas dessa caixa. Quantas laranjas tem a caixa?

25. Somando 4 com a metade de um número, encontramos 10. Qual é esse número?

26. Um número mais 4 é igual a 10 menos o número. Qual é esse número?

27. Tirando 2 da quinta parte de um número, encontramos 4. Qual é esse número?

28. O dobro da idade de uma pessoa menos 15 é igual a 55. Quantos anos tem essa pessoa?

29. Tirando 3 dos 34 das latas de uma prateleira, encontramos 12 latas. Quantas latas tem essa prateleira?

30. O triplo do comprimento de uma barra de ferro mais a metade desse comprimento é igual a 21 metros. Quantos metros tem essa barra de ferro?

31. O triplo da metade de um número é igual a 44 menos a terça parte desse número. Qual é esse número?

32. Somando 35 ao dobro da terça parte dos livros de uma estante, encontramos o número de livros da estante mais 7. Quantos livros tem essa estante?

33. Somando 5 anos à idade de uma pessoa e multiplicando esse resultado por 3, encontramos 90. Quantos anos tem essa pessoa?

34. Subtraindo 7 unidades de um número e dividindo o resultado por 2, encontramos o número menos 11 unidades. Qual é esse número?

189

35. A figura abaixo representa um terreno com 48 m de perímetro. Calcule o comprimento e a largura desse terreno.

36. Divida uma caixa com 216 laranjas entre três famílias. A primeira família deve receber o dobro das laranjas que

a segunda família receber; a segunda família deve receber 13 das laranjas que a terceira família receber.

Quantas laranjas vai receber cada família?

37. Divida 1000 parafusos em três caixas. A segunda caixa deve ficar com 50 parafusos a mais que a primeira; a terceira caixa deve ficar com 30 parafusos a mais que a segunda. Escreva nas caixas o número de parafusos que cada uma delas vai ter.

190

CAPÍTULO 22 – RAZÃO E PROPORÇÃO

RAZÃO

• Razão é a comparação por divisão que vem apenas indicada.

Exemplo: A razão entre a idade de uma pessoa com 60 anos e a idade de outra pessoa com 40 anos é de 6040

ou 60 : 40 ( se lê: sessenta para quarenta).

• É mais comum indicar uma razão na forma irredutível, por isso simplificamos a razão, sempre que possível.

Exemplo:6040

÷ 20÷ 20

= 32

Então, a razão entre a idade de uma pessoa com 60 anos e a idade de outra pessoa com 40 anos é de 32 ( lê-se: três para dois).

• O primeiro termo da razão chama-se antecedente e o segundo termo chama-se consequente.

Exemplo:

• Quando comparamos grandezas da mesma espécie, devemos escrever a razão sem indicar as unidades de medida.

Mas, nesses casos, as duas medidas da razão devem estar na mesma unidade: na razão 41,5 as duas

medidas estão em cm;

Na razão 4015 , as duas medidas estão em mm.

• Sempre que precisamos escrever razões entre grandezas da mesma espécie, faça a indicação na forma irredutível e sem a unidade de medida.

• Quando comparamos grandezas de espécie diferentes, escrevemos a razão com as unidades indicadas.

191

Exemplos:

80 km1h

ou 80 kmh

ou 80km /h (80 km por hora);

1m3

1minou 1 m3

minou 1m3 /min (1 m3 por minuto);

43hab.1km2

ou 43 hab.km2

(43 habitantes por km2);

12m1s

ou 12 ms

ou 12m/s (12 metros por segundos);

2000 l1h

ou 2000 lh

ou 2000 l/h (2000 litros por hora).

• A razão com consequente 100 é um tipo especial de razão chamada porcentagem.

• A razão com conseqüente 100 pode ser representada com o símbolo da porcentagem (%).

Exemplos:

7100 7% se lê: sete por cento.

25100 25% se lê: vinte e cinco por cento.

RAZÕES EQUIVALENTES

• Quando dividimos o antecedente de uma razão pelo conseqüente, encontramos o valor dessa razão.

O valor da razão 32 é um 1,5 porque 3÷2 = 1,5.

• O valor de uma razão não muda, quando multiplicamos ou dividimos o antecedente e o consequente por um mesmo número, diferente de zero.

Exemplos:

612

x 4x 4

= 2448

612

÷ 3÷ 3

= 24

612

, 2448

e 24 têm o mesmo valor:

6÷ 12= 0,524÷ 48= 0,5

2÷ 4 = 0,5

• Quando duas ou mais razões têm o mesmo valor, dizemos que elas são equivalentes.

Exemplo: 612

, 2448

e 24 São razões equivalentes.

• Multiplicando ou dividindo o antecedente e o consequente de uma razão por um mesmo número diferente de zero, encontramos uma razão equivalente.

192

PROPORÇÃO

• Duas razões equivalentes, ligadas pelo sinal da igualdade formam uma proporção.

34 e 4,5

6 São equivalentes, por isso podem ser escritas na forma de proporção:

34 = 4,5

6 ou 3 : 4 = 4,5 : 6 ou 3 : 4 :: 4,5 : 6

• As três formas de representar a razão têm a mesma leitura: três está para quatro assim como quatro e meio está para seis.

• Os quatro termos da proporção recebem nomes:

ou

• Em qualquer proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Exemplo:

3 x 6 = 184 x 4,5 = 18,0 ou 18

3 x 6 = 184 x 4,5 = 18,0 ou 18

• Para saber se as duas razões formam proporção, basta multiplicar os meios entre si e os extremos entre si e verificar se os resultados são iguais.

Exemplos:

193

1 x 30 = 305 x 6 = 30

Estas razões formam proporção.

2 x 30 = 603 x 15 = 45

Estas razões não formam proporção.

O TERMO DESCONHECIDO DA PROPORÇÃO

• Quando só conhecemos três termos de uma proporção, é sempre possível descobrir o termo que falta para formar a proporção.

Exemplo: 34= x

12

• Para encontrar o termo desconhecido de uma proporção, fazemos da seguinte forma:

1º – Indicamos a igualdade do produto dos meios com o produto dos extremos.

Exemplo: 4 . x = 3 . 12

2º – Resolvemos a equação encontrada.

Exemplo:

4x = 36

x = 364

x = 9

Então: 34

= 912

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

• Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta, na mesma proporção; ou então, diminuindo uma delas, a outra diminui na mesma proporção.

Exemplo:

Em 5 minutos, uma polia dá 300 rotações;Em 60 minutos, ela dá 3.600 rotações;Em 1 minuto, ela dá 60 rotações.

Aumentando o tempo, aumentam as rotações; diminuindo o tempo, diminuem as rotações.

• Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui, na mesma proporção; ou então, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.

194

Exemplo:

2 operários fazem um serviço em 30 dias,4 operários fazem o mesmo serviço em 15 diase 1 operário faz o mesmo serviço em 60 dias.

Aumentando o número de operários, diminui o tempo gasto; diminuindo o número de operários, aumenta o tempo gasto.

• Para indicar as grandezas diretamente proporcionais, usamos duas flechas de mesmo sentido:

• Para indicar as grandezas inversamente proporcionais, usamos duas flechas de sentidos opostos:

• Podemos montar uma proporção com as grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

• Quando as grandezas são diretamente proporcionais, a proporção é montada na forma como está indicada.

• Quando as grandezas são inversamente proporcionais, precisamos inverter uma delas para montar a proporção.

ou

195

560

= 3003600

21

= 6030

12

= 3060

EXERCÍCIOS

1. Responda.

Uma pessoa tem 54 anos e outra tem 18.

a) Qual a razão entre a idade da primeira pessoa e a idade da segunda pessoa?

b) Qual a razão entre a idade da segunda pessoa e a idade da primeira pessoa?

2. Escreva a forma correta de se ler as razões abaixo.

a) 5010

b) 1050

c) 5418

d) 1854

3. Complete as afirmações a seguir com os nomes dos termos das razões.

a) Na razão 1050 , 10 é o e 50 é o

b) Na razão 54 : 18, 18 é o e 54 é o

4. Encontre o valor da razão 612 .

5. Faça o exercício a seguir.

a) Encontre a razão, na forma irredutível, entre o número de dentes da engrenagem A e o número de dentes da engrenagem B.

196

b) Agora encontre a razão, na forma irredutível, entre o número de dentes da engrenagem B e o número de dentes da engrenagem A.

6. Complete a afirmação a seguir.

Durante um jogo de futebol, um time chutou 7 bolas a gol e marcou 2 gols. A razão entre os gols marcados e os chutes a gol foi de

7. Um quadro tem 80 cm de largura e 1,20 m de comprimento.

a) Indique a razão entre o comprimento e a largura desse quadro.

b) Indique a razão entre a largura e o comprimento do mesmo quadro.

8. Qual a razão entre o peso do pacote cinza e o peso do pacote branco?

9. Indique a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto por uma pessoa que andou 50 metros em 1 minuto. O símbolo de minuto é min.

10. Indique da mesma forma do exercício anterior as razões abaixo.

a) 12 metros por segundo ( símbolo de segundo é s);

b) 1 m3 por minuto;

c) 2000 litros por hora;

d) 38 habitantes por quilômetro quadrado.

11. Escreva as razões abaixo com consequente 100, usando o símbolo que indica porcentagem.

a) 12100 =

b) 7100 =

c) 30100 =

d) 120100 =

197

e) 19100 =

f ) 50100 =

g) 70100 =

h) 5100 =

i ) 1100 =

12. Escreva a forma correta de ler os números representados abaixo.

a) 7%

b) 30%

c) 15%

d) 80%

e) 9%

13. Complete as afirmações abaixo na forma irredutível.

a) Uma criança tem 9 anos e seu pai 36. A razão entre a idade do pai e a idade da criança é de

b) Um terreno mede 10 metros de largura e 20 metros de comprimento. A razão entre a largura e o comprimento do terreno é de

c) Em 1 hora, uma escavadeira retirou 9 m3 de terra. A razão entre o volume de terra retirada e o tempo é de

d) Observando as caixas abaixo, a razão entre o peso da primeira caixa e o peso da segunda caixa, em quilos, é de

198

14. Complete o quadro abaixo, escrevendo cada razão na forma de porcentagem.

Razão Porcentagem Razão Porcentagem

a) 5100

b) 10100

c) 13100 d) 2

100

e) 1100 f ) 75

100

15. Marque as razões equivalentes à razão 68 .

a) 24 b) 3

4 c) 1224 d) 24

32

16. Corresponda corretamente cada razão à sua razão equivalente.

a) 14 ( ) 1

5

b) 102 ( ) 4

12

c) 23 ( ) 4

16

d) 315 ( ) 3

2

e) 64 ( ) 5

1

( ) 46

17. Encontre a razão com consequente 1. Um objeto percorreu 60 metros em 5 segundos. Quanto ele percorreu, em média, por segundo?

18. Encontre a razão com consequente 1 equivalente à razão 328 .

19. Em 4 horas, uma torneira encheu um reservatório de 2000 litros. Indique a razão entre a quantidade de litros despejados e o tempo gasto.

20. Corresponda corretamente cada razão à sua razão equivalente.

a) 630 ( ) 12

16

b) 34 ( ) 12

10

c) 14 ( ) 2

10

d) 3630 ( ) 9

10

199

e) 35 ( ) 5

20

( ) 915

21. Complete as afirmações abaixo.

a) Um automóvel percorreu 255 km em 3 horas. A razão entre os quilômetros percorridos e o tempo gasto é de

b) Um município possui uma área de 702 km2 e uma população de 133.380 habitantes. A razão entre o número de habitantes e a área é de


Em 10 minutos, uma torneira despeja 20 litros de água. Qual a razão entre a quantidade de água despejada e o tempo gasto para despejar a água?

a) 10min20 l b) 2 l

min c) 2010

23. Encontre a razão equivante à razão abaixo com consequente 1.

6 Km2 h =

24. As razões 34 e 20

10 são equivalentes, pois as duas têm o mesmo valor: 0,75. Escreva essas duas razões

na forma de proporção.

25. Escreva as duas formas de representar cada uma das proporções abaixo.

a) 45= 8

10ou ou

b) 32= 9

6ou ou

26. Escreva a forma correta de ler cada proporção.

a) 44= 8

10

b) 3 : 2 : : 9 : 6

27. Represente a proporção das seguintes leituras.

a) Um está para quatro assim como três está para doze:

b) Dois está para três assim como quatro está para seis:

c) Quatro está para dois assim como seis está para três:

d) Sete está para três assim como quatorze está para seis:

200

28. Escreva C, se a indicação dos meios e dos extremos estiver certa, e E, se estiver errada.

( )

29. Escreva as palavras meios ou extremos dos termos indicados nas proporções abaixo.

a) Na proporção 4 : 5 : : 8 : 10, 5 e 8 são os

b) Na proporção 32= 9

6 , 2 e 9 são os

c) Na proporção 34= 4,5

6 , 3 e 6 são os

d) Na proporção 13= 2

6 , 3 e 2 são os

e) Na proporção 1 : 4 : : 3 : 12, 1 e 12 são os

30. Multiplique os extremos e os meios na proporção 1 : 3 : : 2 : 6.

31. Multiplique os extremos e os meios na proporção 73= 14

6 .

32. Multiplique os meios e extremos dos pares das razões e depois marque os pares que formam proporção.

a) 28 e 8

36

b) 41 e 12

4

c) 47 e 8

14

d) 23 e 4

9

e) 0,52,5 e 1

5

33. Encontre o valor do termo desconhecido das proporções a seguir.

a) 72= 21

x

b) 3,5x

= 7,74,4

201

c) x4

= 255

d) 0,42

= x0,15

e) 2,40,6

= 9,6x

f ) 1x

= 4,518

g) 315

= 7x

h) 6,513

= x4

i ) x5,2

= 8,510

j ) 9x

= 515

34. Marque os pares de razões que formam proporção.

a) 26 e 5

15

b) 1,20,3 e 1

0,25

c) 2,18,4 e 4

20

d) 54 e 6,4

5,1

e) 123 e 0,7

0,175

f ) 3,57 e 2,5

6

g) 60,5 e 36

3

202

35. Marque a alternativa que completa corretamente os termos abaixo formando uma proporção.

8,42 e x

4,2

a) 17,64

b) 16,8

c) 10,6

36. Indique a razão pedida na forma irredutível.

a) Em um pátio estão 140 meninas e 180 meninos. A razão entre as meninas e os meninos é de

b) No retângulo a seguir, o comprimento mede 45 mm e a largura mede 25 mm. A razão entre a largura e o comprimento é de

c) A mesa da casa de Orlando tem 1,70 m de comprimento e 85 cm de largura. A razão entre o comprimento e a largura é de

d) Em 1 hora um ciclista andou 20 km. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto é

e) Um carro percorreu 60 km em 30 minutos. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto é de

f ) Um município tem 982 km2 e uma população de 17.676 habitantes. A razão entre o número de habitantes e a área é de

37. Marque a porcentagem que corresponde a razão 8100 .

a) 80% b) 8% c) 0,08%

38. Marque a razão equivalente a 52 .

a) 159 b) 10

6 c) 208

203

39. Marque a alternativa com razões equivalentes a 618 .

a) 39 e 18

36 b) 13 e 3

9 c) 26 e 12

36

40. Marque com S os pares de razão que formam proporção e com N os pares que não formam proporção.

a) ( ) 0,40,8 e 0,2

0,6

b) ( ) 46 e 6

9

c) ( ) 23 e 5

7,5

d) ( ) 57 e 7

10

e) ( ) 0,50,7 e 0,2

0,28

204

CAPÍTULO 23 – REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM

REGRA DE TRÊS

• Quando precisamos encontrar o quarto valor numa situação envolvendo grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, usamos a regra de três.

• Na regra de três, fazemos assim:

1º – Relacionamos as grandezas, representando por x a grandeza desconhecida.

2º – Verificamos se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais e colocamos as flechas.

3º – Montamos a proporção, lembrando de inverter uma das grandezas, quando elas forem inversamente proporcionais.

4º – Indicamos a igualdade do produto dos extremos com o produto dos meios e resolvemos a equação encontrada.

TRANSFORMAÇÃO DE POLEGADAS EM MILÍMETROS

• Para transformar em milímetros uma medida em polegadas, usamos a regra de três, lembrando que as grandezas “milímetros” e “polegadas” são diretamente proporcionais e que 1” equivale a 25,4 mm.

Por exemplo, para transformar 3 ' '

8em milímetros, fazemos assim:

1º – Relacionamos as grandezas.

2º – Montamos a proporção.138

= 25,4x

3º – Montamos e resolvemos a equação.

1 . x = 25,4 . 38

1 . x = 25,41

. 38

x = 76,28

x = 9,525

• Quando transformamos em milímetros uma fração de polegada, devemos continuar a divisão até encontrar resto zero.

205

TRANSFORMAÇÃO DE MILÍMETROS EM POLEGADAS

• Para transformar em polegadas uma medida que é dada em milímetros, também usamos a regra de três.

Por exemplo, vamos transformar em polegadas 177,8 mm.

1º

2º1x= 25,4

177,8

3ºx . 25,4= 1 . 177,8

25,4 x= 177,8

x = 177,825,4

x=7

Então: 177,8 mm = 7''

• Quando encontramos um número decimal na transformação, transformamos esse número em fração de

polegada, multiplicando por 128128 e simplificando a fração encontrada.

Exemplo: x = 0,375

0,375 . 128128

= 0,3751

. 128128

= 48128

÷ 4÷ 4

= 3 ' '

8

• Se encontramos uma fração com número decimal no numerador, precisamos aproximar o numerador para o número inteiro mais próximo, antes de fazer a simplificação.

Exemplo: 0,45 . 128128

= 0,451

. 128128

= 57,60128 58

128÷ 2÷ 2

= 29' '

64

• Quando encontramos um número decimal não exato na transformação de milímetros em polegadas, aproximamos a divisão só até milésimos.

E indicamos o valor aproximado de x com sinal ≃ (aproximadamente).

Exemplo: x ≃ 0,377

Também nestes casos multiplicamos por 128128 :

0,377 . 128128

= 48,256128

= 48128

÷ 8÷ 8 =

616

÷ 2÷ 2 = 3 ' '

8

206

PORCENTAGEM

• Nos cálculos envolvendo porcentagem, podemos utilizar a regra de três, lembrando que as grandezas são diretamente proporcionais, que o valor total sempre corresponde a 100% e que o valor desconhecido é sempre representado por uma letra.

• Para usar a regra de três em cálculos de porcentagem, o importante é saber dispor os valores conhecidos e a letra.

• Para encontrar a porcentagem de uma quantidade total, a porcentagem corresponde a x e a quantidade total corresponde a 100%.

Para encontrar, por exemplo, 7% de 12.000 Reais, dispomos os valores assim:

7% x

100% 12.000

• Para encontrar a porcentagem correspondente a uma parte do total, a parte correspondente a x e o total corresponde a 100%.

Para encontrar, por exemplo, a porcentagem correspondente a 300 peças num total de 1.200 peças, dispomos os valores assim:

300 peças x

1.200 peças 100%

• Para encontrar o valor total, x corresponde a 100%.

Por exemplo, para encontrar o valor total, sendo 7000 reais 5% desse total, dispomos os valores assim:

5% 7.000

100% x

• Quando sabemos o valor de uma porcentagem e queremos saber o valor de outra porcentagem, essa outra porcentagem será x. Neste caso, não trabalhamos com 100%.

Para encontra, por exemplo, o valor de 80% de uma quantia, sabendo que o valor de 25% é 15.000 Reais, dispomos os valores assim:

25% 15.000

80% x

• Depois de dispor corretamente os valores, montamos a proporção, armamos e resolvemos a equação.

207

EXERCÍCIOS

1. Escreva D, se as grandezas forem diretamente proporcionais e I, se elas forem inversamente proporcionais.

a) ( )

40 km por hora 10 horas


b) ( )

5 minutos 300 rotações (ou voltas) de uma polia

60 minutos 3600 rotações (ou voltas) de uma polia

c) ( )

10 litros de gasolina no automóvel 100 km percorridos

30 litros de gasolina no automóvel 300 km percorridos

d) ( )

6 tornos automáticos 1200 peças produzidas

2 tornos automáticos 400 peças produzidas

e) ( )

20 minutos de funcionamento de um chuveiro 800 watts consumidos

10 minutos de funcionamento de um chuveiro 400 watts consumidos

f ) ( )

24 dentes na engrenagem 300 rotações (ou voltas) por minuto

36 dentes na engrenagem 200 rotações de uma polia

208


a) Nas grandezas velocidade de um veículo e tempo gasto num percurso, quanto maior a velocidade, o tempo gasto será .

Então, essas grandezas são proporcionais.

b) Nas grandezas número de operários e tempo gasto para fazer um serviço, quanto menor o número de operários, o tempo gasto será .


c) Nas grandezas quantidades de material e número de peças produzidas, quanto menor a quantidade de material, o número de peças será .


d) Nas grandezas quantidade de combustível num automóvel e espaço percorrido por esse automóvel, quanto maior a quantidade de combustível, o espaço percorrido será .

Então essas grandezas são proporcionais.

e) Nas grandezas número de dentes de uma engrenagem e número de rotações por minuto, quanto menor o número de dentes, o número de rotações por minuto será .

Então essas grandezas são proporcionais.

3. Escreva as letras: a – grandezas diretamente proporcionais; ou b – grandezas inversamente proporcionais – para as grandezas abaixo.

a) ( ) Tempo de funcionamento de um chuveiro e energia consumida;

b) ( ) Velocidade de um veículo e tempo gasto num percurso;

c) ( ) Número de tornos automáticos e número de peças produzidas;

d) ( ) Quantidade de material e número de peças produzidas;

e) ( ) Tamanho de uma polia (ou roda) e número de rotações por minuto;

f ) ( ) Número de dentes de uma engrenagem e número de rotações por minuto;

g) ( ) Quantidade de combustível e espaço percorrido por um veículo.

4. Indique com flechas, se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

a)

20 kg de arroz 200 refeições

1 kg de arroz 10 refeições

209

b)

6 operários 10 dias

3 operários 20 dias

c)



d)

20 litros de combustível 200 km

30 litros de combustível 300 km

5. Monte a proporção formada pelas as grandezas abaixo.

a)

20 kg de arroz

1 kg de arroz

200 refeições

10 refeições

b)

40 km por hora

80 km por hora

10 horas

5 horas

c)

5 minutos

60 minutos

300 rotações

3600 rotações

d)

24 dentes na engrenagem

36 dentes na engrenagem

300 rotações por minuto

200 rotações por minuto

6. Com 20 litros de combustível, um automóvel percorreu 160 km. Com 35 litros de combustível, quantos quilômetros ele poderia percorrer?

210

7. Um móvel com velocidade constante, percorre 20 metros em 4 minutos. Quantos metros ele pode percorre em 6 minutos?

8. Em um dia, 5 operários produziram 800 peças. Se 8 operários trabalhassem no mesmo ritmo, quantas peças iriam produzir?

9. Na figura abaixo, considere que a polia A dá 800 rpm e que a polia B dá 600 rpm. Qual é a medida de x na polia A?

10. Para construir uma casa, 4 pedreiros levaram 60 dias. No mesmo ritmo, quantos dias levarão 5 pedreiros para construir uma mesma casa?

11. Uma piscina foi construída por 10 trabalhadores em 147 dias. Se essa piscina fosse construída por apenas 6 trabalhadores, qual seria, em média, o tempo gasto?

12. Na figura abaixo, a engrenagem A dá 300 rpm. Qual é a rotação da engrenagem B?

13. Certo material com 0,200 m3 de volume pesa 350 kg. Qual será o volume de 210 kg desse mesmo material?

211

14. Para ladrilhar um cômodo de 12 m2 foram gastas 8 horas de trabalho. Qual será o tempo gasto para ladrilhar 42 m2 nas mesmas condições de trabalho?

15. Certa máquina produz 900 peças em 1 hora. Quanto tempo leva para produzir 3.600 peças?

16. Quantos milímetros equivalem 3 ' '

4?

17. Em um desenho, está indicada uma medida de 3''. Qual é o valor dessa medida em milímetros?

18. Orlando precisava comprar um tubo plástico para passar por uma abertura de 130 mm. A loja só vendia tubos de 4'', 5'' e 6''. Qual desses tubos Orlando deveria escolher para sobrar o menor espaço possível entre o tubo e a abertura?

19. Medindo a largura de uma peça com instrumento em polegadas foi encontrado 1' '

4. Qual é o valor dessa

medida em milímetro?

20. Transforme 203,2 mm em polegadas.

21. Quantas polegadas equivalem 6,35 mm?

22. Transforme 0,25'' em fração de polegada.

23. Qual a medida em polegadas correspondem 9,525 mm?

24. Quantas polegadas correspondem 3,175 mm?

25. Que medida em polegada equivale a 13 mm?

26. Na figura abaixo, o furo da peça mede 11 mm. Qual deve ser a medida de x, em polegadas, para que o pino se ajuste perfeitamente ao furo?

212

27. Na figura a seguir, as medidas estão em milímetros. Qual é a medida, em polegadas, da largura e do comprimento?

28. Um operário precisa fazer um furo de 1' '

4, mas só possui brocas com medidas em milímetros. Quantos

milímetros deverá ter o furo?

29. Precisa-se passar um tubo por um furo de 110 mm. No depósito, há tubos de 3'', 4'' e 5''. Qual é o tubo que se ajusta melhor ao furo?

30. Um tubo deve ser encaixado sem sobras, em um vão de 152,4 mm. Qual deverá ser, em polegadas, a medida desse tubo?

31. Qual o valor do desconto de 15% em R$ 20.000,00?

32. Qual o valor de 30% de 240?

33. Em uma firma trabalham 20 mulheres, que correspondem a 40% dos empregados. Qual o número total de empregados dessa firma?

34. Se 300 Reais correspondem a 15% de uma quantia, qual é o valor dessa quantia?

35. Em uma remessa de peças foram devolvidas 75 peças, que correspondem a 3% do total dessa remessa. Quantas peças tinha essa remessa?

36. Em um livro de 400 páginas, de quanto é a porcentagem correspondente a 100 páginas?

37. Uma fábrica possui 250 empregados. Qual a porcentagem correspondente a 20 empregados?

38. Os 25% de uma quantia correspondem a 5.250 Reais. Quantos Reais equivalem a 70%?

39. Em uma empresa, 4 empregados correspondem a 8%. Quantos empregados correspondem a 92%?

40. Uma pessoa que recebe R$ 60.000,00 de salário, terá um aumento de 38%. De quanto será seu novo salário?

41. Uma mercadoria que era vendida a R$ 5.000,00 teve um desconto de 15%. Quanto ficou custando essa mercadoria?

213

42. Os 40% dos empregados de uma empresa correspondem a 20 empregados. Quantos são os empregados que equivalem a 80%?

43. Na quantia de 25.000 Reais, qual a porcentagem correspondente a 750 Reais?

44. Em uma remessa de peças, foram devolvidas 120 peças, que correspondem a 5% do total da remessa. Quantas peças tinha essa remessa?

45. Quanto vale o desconto de 40% em 15.000 Reais?

46. Uma mercadoria custava 6.000 Reais e teve um acréscimo de 30%. Qual o novo preço da mercadoria?

47. Um veículo faz 90 km com 10 litros de combustível. Para uma viagem de 405 km, quantos litros, no mínimo vão ser necessários?

48. No desenho abaixo, a engrenagem B tem 40 dentes. Quantos dentes possui a engrenagem A?

49. O comprimento de um parafuso é 1 1' '

4. Quanto mede esse parafuso em milímetros?

50. Qual medida em polegadas equivalem 3,95 mm?

51. Qual a medida em polegadas equivalem 45,8 mm ?

52. Os 12% de uma quantia equivalem a R$ 7.200,00. Qual o valor total dessa quantia?

53. Uma firma possui 50 empregados. Desses empregados, 20 são mulheres. Qual a porcentagem de mulheres dessa firma?

54. O preço de uma mercadoria é de R$ 12.000,00. Quanto vai custar essa mercadoria, se for dado um desconto de 15%?

214

CAPÍTULO 24 – ÂNGULOS

PONTO – PLANO – LINHA

• Geometria é a parte da matemática que estuda as formas, os elementos e as medidas das figuras.

• As figuras estudadas pela geometria chamam-se figuras geométricas.

Exemplos:

• Ponto é a figura geométrica mais simples. O ponto não tem dimensões, isto é, não tem comprimento, nem largura, nem altura.

• Os pontos são representados por letras maiúsculas (A, B, C etc.).

A. ou

Ax

D. ou

Dx

• O plano é uma figura geométrica ilimitada. Seu comprimento e sua largura não têm começo nem fim. O plano não tem altura.

• Representações do plano.

• Os planos são nomeados por letras gregas minúsculas ,, etc. .

215

• Posições do lado.

• Planos concorrentes são dois planos que se cortam.

• Planos, perpendiculares são planos concorrentes que formam quatro regiões iguais.

216

• Planos paralelos são dois planos que não apresentam pontos comuns, isto é, nunca se cortam. Eles são indicados com o sinal //.

• Linha é uma figura geométrica formada a partir do deslocamento do ponto.

• As linhas podem ser curvas ou retas.

• A linha reta, também chamada apenas de reta, é ilimitada, isto é, não tem começo nem fim. Por isso é que se colocam setas nas suas extremidades.

• A reta também não tem largura nem altura.

• Posições da reta.

217

• As retas são nomeadas por letras minúsculas (a, b, c etc.).

• As retas paralelas são duas retas, num mesmo plano, que não têm ponto comum. Elas são indicadas com o sinal //.

• Retas concorrentes são duas retas que têm ponto comum.

• Retas perpendiculares são retas concorrentes que dividem o plano em quatro regiões congruentes. Elas são indicadas com o sinal l .

Exemplos:

218

ÂNGULOS

• Um ponto qualquer em uma reta divide essa reta em duas partes.

• Cada uma das partes da reta dividida por um ponto recebe o nome de semi-reta.

• O ponto que divide a reta em duas semi-retas chama-se origem das semi-retas.

• Ângulo é uma figura geométrica formada por duas semi-retas que têm origem em um mesmo ponto.

219

• O ângulo divide o plano em duas regiões: uma região interna e uma região externa.

• Lados do ângulo são as duas semi-retas que formam esse ângulo.

• Vértice do ângulo é o ponto onde se encontram as duas semi-retas que formam esse ângulo.

220

• Indicamos o ângulo com o sinal:

Exemplo:

• Nomeamos um ângulo colocando uma letra minúscula no interior desse ângulo.

Para indicar o ângulo, escrevemos a letra desse ângulo com acento: â significa ângulo a.

• Outra forma de nomear um ângulo é colocar letras maiúsculas no vértice e em um ponto qualquer dos seus lados.

221

Para indicar o ângulo, escrevemos as letras maiúsculas e colocamos o acento circunflexo na letra do vértice que fica entre as letras dos lados.

Exemplo: AÔB significa ângulo AOB.

• Ângulo raso é o ângulo formado por duas semi-retas opostas.

• Grau é uma unidade de medida de ângulo. Ele equivale a 1180 do ângulo raso.

• O grau é indicado com o símbolo ( º ).

Exemplo:

1º se lê 1 grau

2º se lê 2 graus

• O ângulo raso mede 180º.

• Ângulo reto é o ângulo que mede 90º.

222

O ângulo reto é indicado com o sinal:

Exemplo:

• Ângulo agudo é o ângulo que mede menos de 90º.

• Ângulo obtuso é o ângulo que mede mais de 90º.

223

MEDIR ÂNGULOS

• Medir um ângulo é verificar quantos graus ele possui.

• Transferidor é um instrumento usado para medir ângulos.

• Para medir um ângulo com um transferidor, fazemos assim:

1º – Colocamos o transferidor sobre o ângulo e a linha base deve ficar sobre um lado do ângulo e a linha vertical deve encontrar o vértice do ângulo.

Exemplo:

2º – Verificamos na escala graduada do transferidor, o grau que coincide com o outro lado do transferidor. No exemplo, o ângulo AOB mede 55º.

• Quando os lados dos ângulos são muitos pequenos, prolongamos o seu tamanho, para medir com o transferidor.

224

• Dois ângulos que têm a mesma medida chamam-se ângulos congruentes.

• Traçando uma semi-reta no meio de um ângulo, a partir do vértice, formamos dois ângulos congruentes.

A semi-reta traçada chama-se bissetriz.

MINUTO E SEGUNDO

• Minuto é uma unidade de ângulo que equivale a 160 do grau.

Ele é indicado com o símbolo ( ' ).

Exemplos:

1' se lê 1 minuto

2' se lê 2 minutos

• Segundo é uma unidade de medida de ângulo que equivale a 160 do minuto.

Ele é indicado com o símbolo ( '' ).

Exemplos:

1'' se lê 1 segundo

25'' se lê 25 segundos

225

EXERCÍCIOS

1. O quê são planos concorrentes?

2. Marque os planos concorrentes que também são planos perpendiculares.

a) ( ) b) ( )

c) ( ) d) ( )

3. Indique os planos paralelos.

//

226

4. Marque os planos concorrentes.

a) ( ) b) ( )

5. Nomeie as retas abaixo.

a) b) c) d)

6. Marque as retas paralelas.

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )

227

7. Marque a opção onde o sinal estiver empregado corretamente.

a) ( ) p // q b) ( ) j // l

c) ( ) s // t d) ( ) a // b

8. Marque a opção em que a figura representa retas perpendiculares.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

9. Marque a opção correta.

a) ( ) s I t b) ( ) m I n c) ( ) a I d

228

10. Nas afirmativas abaixo, escreva C se estiver certa e E se estiver errada.

a) ( ) Os planos e são concorrentes.b) ( ) Os planos e são paralelos.c) ( ) Os planos e são concorrentes.

11. Complete a segunda coluna de acordo com a primeira.

a) Ponto ( ) b) Linha ( ) //

c) Plano ( ) A

( ) r

12. Escreva a posição do plano em relação ao plano , usando o sinal adequado.

13. Marque a opção que apresenta planos perpendiculares.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

229

14. Marque a opção que possui as linhas paralelas.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

15. Marque as opções corretas.

a) a // t b) m l n c) p l q

16. Marque as opções que possuem as figuras que representam semi-reta.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

d) ( ) e) ( )

230

17. Hachure a região interna dos ângulos.

a) b)

18. Na figura abaixo, coloque o sinal que indica ângulo e nomeie esse ângulo.

19. Escreva os ângulos.

a) b) c)

20. Marque a opção que contém a figura semi-reta.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

231

21. Escureça a região interna do ângulo abaixo.

22. Escreva os ângulos abaixo.

a) b) c)

23. Numere adequadamente cada parte indicada no ângulo.

1. Região interna

2. Lado

3. Vértice

4. Região externa

24. Complete as afirmativas abaixo.

a) O ângulo raso mede .

b) O ângulo reto mede .

232

25. Marque a opção que contém o ângulo raso.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

26. Marque a opção que possui o ângulo reto.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

27. Marque as opções dos ângulos agudos.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

d) ( ) e) ( ) f ) ( )

233

28. Marque as opções dos ângulos obtusos.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

d) ( ) e) ( ) f ) ( )

29. Marque a opção que possui o ângulo agudo.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

30. Escreva o nome dos ângulos abaixo.

a) b) c)

234

31. Marque a afirmativa correta.

a) ( ) Ângulo obtuso é aquele que mede 90º.b) ( ) Ângulo agudo é aquele que mede menos de 90º.c) ( ) Ângulo reto é aquele que mede mais de 90º.

32. Marque a opção que possui o ângulo reto.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

33. Marque a opção que indica a medida do ângulo obtuso.

a) ( ) 35ºb) ( ) 92ºc) ( ) 14ºd) ( ) 60º

34. Usando um transferidor, meça o ângulo JLM, seguindo os passos indicados.

1º – Coloque a linha-base do transferidor sobre o lado LM de modo que a linha vertical encontre o vértice L.

2º – Verifique o grau que coincide com o lado LJ.

Qual o valor do ângulo encontrado?

235

35. Usando um transferidor, meça os ângulos a seguir.

a)

b)

c)

36. Prolongue os lados do ângulo AÔB e meça com um transferidor.

37. O quê são ângulos congruentes?

236

38. Marque as alternativas que indicam ângulos congruentes.

a) b)

c) d)

a) MON e BCDb) MON e RSTc) PAQ e BCDd) BCD e RST

39. Complete a afirmação.

Traçando a bissetriz no ângulo abaixo, encontramos dois ângulos, cada um medindo .


Traçando a bissetriz no ângulo seguinte, cada ângulo encontrado irá medir .

237


Traçando a bissetriz no ângulo abaixo, cada ângulo encontrado vai medir .

42. Meça cada ângulo e escreva se é ângulo reto, agudo ou obtuso.

a) b)

c) d)

43. Numere a 2ª coluna de acordo com a 1ª.

1. Ângulo reto ( ) 95º

2. Ângulo agudo ( ) 90º

3. Ângulo obtuso ( ) Mais de 90º

( ) Menos de 90º

238

44. Escreva se é reto, agudo ou obtuso.

a) b) c)

d) e) f )


Traçando a bissetriz no ângulo GHI, cada ângulo encontrado vai medir .

239

CAPÍTULO 25 – TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDAS DE ÂNGULOS

UNIDADES MAIORES EM MENORES

• Graus em minutos.

Multiplicamos a medida por 60.

Exemplo:

3º 3 x 60' = 180'

Portanto: 3º = 180'

• Minutos em segundos.


Exemplo:

20' 20 x 60'' = 1200''

Portanto: 20º = 1200''

• Graus em segundos.

1º – Transformamos a medida em minutos.

2º – Transformamos o resultado em segundos.

Exemplo:

2º 2 x 60' = 120'

120 x 60'' = 7200''

Portanto: 2º = 7200''

• Graus e minutos em minutos.

1º – Transformamos os graus em minutos.

2º – Somamos o resultado aos minutos da medida.

Exemplo:

20º 30' 20 x 60' = 1200'

30' + 1200' = 1230'

Portanto: 20º 30' = 1230'

• Graus, minutos e segundos em segundos

1º – Transformamos os graus em minutos.


3º – Transformamos os minutos em segundos.

4º – Somamos o resultado aos segundos da medida.

241

Exemplo:

3º 20' 10'' 3 x 60' = 180'

180' + 20' = 200'

200 x 60'' = 12000''

12000'' + 10'' = 12010''

Portanto, 3º 20' 10'' = 12010''.

TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDAS DE ÂNGULOS

UNIDADES MENORES EM MAIORES

• Minutos em graus.

Dividimos a medida por 60.

Exemplo:

420' 420' : 60 = 7º

Portanto: 420' = 7º

Quando sobra resto diferente de zero, ele equivale a minutos.

Exemplo:

75' 75' : 60 = 1º e resto 15

Portanto: 75' = 1º 15'

• Segundos em minutos


Exemplo:

240'' 240'' : 60 = 4'

Portanto: 240'' = 4'

Quando sobra resto diferente de zero, ele equivale a segundos.

Exemplo:

2054'' 2054'' : 60 = 34' e resta 14

Portanto: 2054'' = 34' 14''

Quando os minutos são iguais a 60 ou mais que 60, é preciso dividir novamente por 60.

Exemplo:

3800'' : 60 = 63' 20''

63' : 60 = 1º 3'

Portanto: 3800'' = 1º 3' 20''

242

1. Escreva como se lê as medidas a seguir.

a) 35' :

b) 900' :

c) 82' :

2. Represente as medidas abaixo, conforme o exemplo.

Exemplo: Sessenta minutos: 60'

a) Cento e vinte e oito minutos:

b) Quarenta e sete minutos:

3. Escreva como se lê as medidas abaixo.

a) 43'' :

b) 120'' :

c) 28'' :

4. Represente as medidas abaixo.

a) Trinta e dois segundos:

b) Noventa e cinco segundos:

c) Cento e cinquenta segundos:

5. Escreva como se lê as medidas abaixo.

a) 2º 20' 20'' :

b) 47º 1'' :

c) 8º 80' :

6. Represente as medidas abaixo.

a) Vinte graus, quatro minutos e dois segundos:

b) Dezoito graus e cinco minutos:

c) Três graus e nove segundos:

d) Sete minutos e quarenta segundos:

e) Oito graus, um minuto e vinte segundos:

f ) Dezoito graus e vinte minutos:

7. Escreva C para a afirmativa certa ou E para a afirmativa errada.

a) ( ) O minuto equivale a 60 segundos.

243

b) ( ) O grau equivale a 60 minutos.

c) ( ) O segundo equivale a 60 minutos.

d) ( ) O grau equivale a 60 segundos.

8. Corresponda a segunda coluna de acordo com a primeira.

a) 2º 10' ( ) Dois graus e dez segundos.

b) 3º 7' 1'' ( ) Nove minutos e seis segundos.

c) 20º 50' 2'' ( ) Dois graus e dez minutos.

d) 2º 10'' ( ) Três graus, um minuto e sete segundos.

e) 9' 6'' ( ) Vinte graus, cinquenta minutos e dois segundos.

( ) Três graus, sete minutos e um segundo.

9. Complete.

Para transformar graus em minuto, multiplicamos por .


a) Transforme 3º em minutos.

b) Transforme 15º em minutos.

c) Transforme 38' em segundos.

d) Transforme 7' em segundos.

e) Transforme 2º em segundos.

f ) Transforme 5º em segundos.

g) Transforme 1º 30' em minutos.

h) Transforme 40º 28' em minutos.

i ) Transforme 2º 2' em minutos.

j ) Transforme 1º 2' 30'' em segundos.

l ) Transforme 2º 20'' em segundos.

m) Transforme 55º em minutos.

11. Transforme em segundos as medidas abaixo.

a) 7º =

b) 29º =

c) 18º =

d) 10º 30' 55'' =

e) 14º 10'' =

244

f ) 20' 50'' =

g) 77' =

h) 89' =

i ) 130' =

j ) 65' =


a) 2º 15' = '

b) 3' = ''

c) 5º 50' = '

d) 32º = '

e) 11º = ''

f ) 1830' = º '

g) 2700'' = '

h) 1365'' = ' ''

i ) 7264'' = º ' ''

j ) 900'' = '

l ) 3540'' = '

m) 2160'' = '

n) 49º = ''

o) 350º = ''


a) 5' ( ) 120'

b) 36º ( ) 360'

c) 2º ( ) 300''

d) 6º 10' ( ) 129600''

( ) 370'


a) Transforme 180' em graus.

b) Transforme em graus 300'.

c) Transforme em graus 540'.

d) Transforme 89' em graus.

245

15. Transforme as medidas a seguir.

a) Transforme 660'' em minutos.

b) Transforme 420'' em minutos.

c) Transforme 720'' em minutos.

d) Transforme 360'' em minutos.

e) Transforme 803'' em minutos.

f ) Transforme 2665'' em minutos.

g) Transforme 3295'' em minutos.

h) Transforme em minutos 7890''.

i ) Transforme em minutos 16225''.

j ) Transforme 126 150'' em minutos.

l ) Transforme 3540' em graus.

m) Transforme 1680'' em minutos.


a) 10º ( ) 260'

b) 58º ( ) 600'

c) 4º ( ) 3480'

( ) 240''


a) 3000'' ( ) 45' 50''

b) 2750' ( ) 28' 16''

c) 3172'' ( ) 50'

d) 1696'' ( ) 52' 52''

( ) 53' 52''

246

CAPÍTULO 26 – OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULO

ADIÇÃO DE MEDIDAS DE ÂNGULOS

• Na adição de medidas de ângulos, os graus devem ficar embaixo dos graus, os minutos embaixo dos minutos e os segundos embaixo dos segundos.

Exemplos:

2º 1' 30'' 1º 30''

+ 3º 7 ' 4 '' + 19º 8 '

As unidades são somadas separadamente: graus com graus, minutos com minutos, segundos com segundos.

Exemplos:

2º 1' 30'' 1º 30''

+ 3º 7 ' 4 '' + 19º 8 '

5º 8' 34'' 20º 8' 30''

• Se encontrarmos 60 segundos ou mais de 60 segundos no resultado de uma adição, devemos fazer como vem a seguir:

1º – Transformamos os segundos em minutos.

12º 9' 53'' 83'' 60

+ 8º 33 ' 30 '' – 60 1'

20º 42' 83'' 23''

2º – Colocamos o resto da divisão no lugar dos segundos.

12º 9' 53''

+ 8º 33 ' 30 ''

20º 42' 83''

23''

3º – Somamos os minutos encontrados na transformação com os minutos do resultado.

12º 9' 53''

+ 8º 33 ' 30 ''

20º 42' 83''

+ 1 ' 23 ''

20º 43' 23''

• Se encontrarmos 60 minutos ou mais de 60 minutos no resultado de uma adição, devemos fazer como vem a seguir:

247

1º – Transformamos os minutos em graus.

2º 27' 50'' 84' 60

+ 12º 57 ' 1 '' – 60 1º 14º 84' 51'' 24'

2º – Colocamos o resto da divisão no lugar dos minutos do resultado.

2º 27' 50''

+ 12º 57 ' 1 ''

14º 84' 51''

24'

3º – Somamos os graus encontrados com os graus do resultado.

2º 27' 50''

+ 12º 57 ' 1 ''

14º 84' 51''

+ 1 º 24 '

15º 24' 51''

SUBTRAÇÃO DE MEDIDAS DE ÂNGULOS

• Na subtração de medidas de ângulos, os graus devem ficar embaixo dos graus, os minutos embaixo dos minutos, os segundos embaixo dos segundos.

Exemplo:

49º 9' 2''

– 17º 5 ' 1 ''

As unidades são subtraídas separadamente: graus dos graus, minutos dos minutos, segundos dos segundos.

Exemplo:

49º 9' 2''

– 17º 5 ' 1 ''

32º 4' 1''

• Quando não é possível subtrair uma das unidades medida, emprestamos um da unidade imediatamente superior, isto é, um grau para os minutos ou um minuto para os segundos.

• Para emprestar 1º para os minutos, fazemos como vem a seguir:

1º – Tiramos 1º (um grau) da medida.

248

47º

48º 15' 48º – 1º = 47º 48º 15'

– 26º 43 ' – 26º 43 '

2º – Transformamos esse grau em 60' e somamos aos minutos da medida.

1 x 60' = 60'

15' + 60' = 75'

3º – Substituímos os minutos da medida pelo resultado encontrado.

47º 75'

48º 15'

– 26º 43 '

4º – Fazemos a subtração.

47º 75'

48º 15'

– 26º 43 '

21º 32'

• Para emprestar um minuto para os segundos, fazemos o que vem a seguir.

1º – Tiramos 1' da medida.

24'

44º 25' 30'' 25' – 1' = 24' 44º 25' 30''

– 20º 15 ' 44 '' – 20º 15 ' 44 ''

2º – Transformamos esse minuto em 60'' e somamos com os segundos da medida.

1 x 60'' = 60''30'' + 60'' = 90''

3º – Substituímos os segundos da medida pelo resultado encontrado.

24' 90''

44º 25' 30''

– 20º 15 ' 44 ''

249


24' 90''

44º 25' 30''

– 20º 15 ' 44 ''

24º 09' 46''

• Às vezes, precisamos emprestar um, tanto para os minutos como para os segundos.

Exemplo:

69º 45' 30''

– 39º 50 ' 45 ''

Neste caso, emprestamos 1' para os segundos.

44' 90''

69º 45' 30'' 60'' + 30'' = 90''

– 39º 50 ' 45 ''

Depois, emprestamos 1º para os minutos e fazemos a subtração.

104'

68º 44' 90'' 69'' – 1'' = 68''

69º 45' 30''

– 39º 50 ' 45 '' 44'' + 60'' = 104''

29º 54' 45''

• Quando não há unidades nos minutos ou nos segundos na medida da qual vamos subtrair de uma outra, significa que o valor dessas unidades é zero.

Exemplo:

180º 180º 00' 00''

– 79º 20 ' 50 '' – 79º 20 ' 50 ''

Nesses casos, também emprestamos um da unidade imediatamente superior.

59'

179º 60' 179º 60' 60''

180º 00' 00'' 180º 00' 00''

– 79º 20 ' 50 '' – 79º 20 ' 50 ''

250

MULTIPLICAÇÃO DE MEDIDAS DE ÂNGULOS

• Na multiplicação de medidas de ângulos por um número natural, devemos multiplicar separadamente os graus, os minutos e os segundos.

28º 7' 2''

x 3

84º 21' 6''

Exemplo:

• Há casos em que encontramos 60 ou mais 60 minutos nos segundos do resultado.

Exemplos:

15º 9' 5'' 5º 7' 22''

x 7 x 4

105º 63' 35'' 20º 28' 88''

Precisamos, então, transformá-los:

63' 60 88'' 60

– 60 1º – 60 1'

03' 28''

15º 9' 5'' 5º 7' 22''

x 7 x 4

105º 63' 35'' 20º 28' 88''

106º 28' 29' 28''

• Quando encontramos 60 ou mais de 60 no resultado tanto dos minutos quanto dos segundos, primeiro, transformamos os segundos em minutos, depois, transformamos os minutos em graus.

Exemplo:

50º 45' 31''

x 8

400º 360' 248''

Vamos fazer as transformações: segundos em minutos e minutos em graus.

251

DIVISÃO DE MEDIDAS DE ÂNGULOS

• Na divisão de medidas de ângulos por um número natural, devemos dividir separadamente os graus, os minutos e os segundos.

Exemplo:

64º 32' 8'' 8

– 64 – 32 – 8 8º 4' 1''

00 00 0

• Se sobrar resto diferente de zero quando dividimos os graus de uma medida, fazemos como vem a seguir:

1º – Transformamos o resto em minutos.

75º 42' 36'' 6

– 6 12º

15

– 12

03º

x 60

180'

252

2º – Somamos os minutos encontrados com os minutos da medida que estamos dividindo.

75º 42' 36'' 6

– 6 + 180 ' 12º

15 222'

– 12

03º

x 60

180'

3º – Dividimos os minutos.

75º 42' 36'' 6

– 6 + 180 ' 12º 37'

15 222'

– 12 – 18

03º 042

x 60 – 42

180' 00

4º – Dividimos os segundos.

75º 42' 36'' 6

– 6 + 180 ' – 36 ' 12º 37' 6''

15 222 00 – 12 – 18

03º 042

x 60 – 42

180' 00

• Quando sobra resto, ao dividir os minutos de uma medida, fazemos o que vem a seguir.

1º – Transformamos o resto em segundos.

36º 19' 54'' 3

– 3 + 18 12º 6'

06 01'

– 6 x 60

0 60''

253

2º – Somamos os segundos encontrados com os segundos da medida que estamos dividindo.

36º 19' 54'' 3

– 3 + 18 + 60 12º 6'

06 01' 114''

– 6 x 60

0 60''


36º 19' 54'' 3

– 3 + 18 + 60 12º 6' 38''

06 01' 114''

– 6 x 60 – 9

0 60'' 024

– 24

00

• Quando uma medida não possui segundos e sobra resto nos minutos, fazemos o que vem a seguir.

1º – Dividimos os graus.

48º 27' 2

– 4 24º

08

– 8

0


48º 27' 2

– 4 – 2 24º 13'

08 07

– 8 – 6

0 1'

254


48º 27' 2

– 4 – 2 24º 13'

08 07

– 8 – 6

0 1'

x 60

60''

4º – Dividimos os segundos encontrados na transformação.

48º 27' 2

– 4 – 2 24º 13' 30''

08 07

– 8 – 6

0 1'

x 60

60''

– 6 00

255

EXERCÍCIOS

1. Faça a montagem das contas a seguir.

a) 20º 3' 17'' + 5º 17' 15''

b) 3º 8' 51'' + 1º 8' 30'' + 4º 17' 3''

c) 18º 6' + 7º 45''

d) 38º 30' + 13º 25''

e) 33º 4' + 1º 50''

f ) 45º 45' + 15' 30''

g) 4º 13' 30'' + 2º 1' 20''

h) 45º 20' 13'' + 4º 50''

2. Faça as operações.

a) 34º 7' + 1º 30' =

b) 8º 7' 28'' + 1º 6' 5'' =

c) 31º 5' + 2º 25' =

d) 1º 20' 3'' + 5º 1' + 8' 5'' =

e) 20º 10' 3'' + 10º 5' 7'' =

f ) 4º 20'' + 2º 11' 10'' =

g) 40º 10' + 23º 20' =

h) 30º 10' 20'' + 25º 25' 30'' + 18º =

i ) 24º 15' 13'' + 4º 10' 57'' =

j ) 45º 55'' + 10º 10'' + 30º 8' =

l ) 4º 5' 14'' + 1º 55' + 23º 6'' =

3. Faça as adições.

a) 8º 12' 20'' + 32º 50' =

b) 25º 47' 23'' + 14º 33' 12'' =

c) 48º 50' 15'' + 45º 49' 27'' =

d) 19º 54' 30'' + 35' 35'' =

e) 7º 14' + 14º 23' =

f ) 20º 15' 20'' + 10º 25' 30'' =

g) 5º 27' 31'' + 26º 24' 49'' =

h) 7º 50' 6'' + 45' 43'' =

256

4. Marque a resposta correta. 3º 7' + 6º 28' =

a) ( ) 11º 36'

b) ( ) 9º 35'

c) ( ) 12º 35'

d) ( ) 10º 36'

5. Marque a resposta correta. 7º 5'' + 2º 3' 50'' =

a) ( ) 9º 3' 55''

b) ( ) 9º 4' 55''

c) ( ) 8º 23' 50''

d) ( ) 10º 23' 50''


a) 45º 47'' + 15º 20' 43'' + 25º 49' 50'' =

b) 50' 55'' + 24º 43' 25'' + 13º 25' 40'' =

c) 20º 15' + 10º 15' =

d) 45º 30' + 5º 15' =

e) 2º 45' 50'' + 50º 7' 2'' =

f ) 45º 12' 23'' + 5º 47' 24'' + 12º 16' 23'' =

g) 5º 35' + 13º 4' =

h) 3º 15'' + 23º 4' =

i ) 40º 10' + 23º 20' =

j ) 30º 10' 20'' + 25º 25' 30'' + 18º 15' 6'' =

7. Faça a montagem das contas a seguir.

a) 25º 40' 30'' – 15º 25' 25''

b) 77º 8' – 15º 2'

c) 25º 40' 30'' – 15º 25''

d) 49º 13' – 17º 10''

e) 58º 14'' – 11' 13''

8. Calcule seguindo os passos indicados.

75º 15'

– 20º 50 '

257

• Não se pode tirar 50' de 15'. Então, empresta-se 1º de 75º. Assim, 75º – 1º =

• Substitua os 75º por esse resultado;

• Transforme em minutos o grau emprestado;

• Some esse resultado aos 15';

• Substitua os 15' por esse resultado;

• Escreva a resposta.


a) 32º 18' – 10º 20' =

b) 70º 9' 30'' – 38º 15' 20'' =

c) 27º 27' 30'' – 18º 30' 25'' =

d) 90º 30' 15'' – 45º 10' 30'' =

e) 180º 50' 10'' – 59º 25' 40'' =

f ) 2º 7' 15'' – 1º 9' 16'' =

g) 15º 13' 40'' – 5º 20' 50'' =

h) 90º 45' 15'' – 22º 50' 50'' =

i ) 4º 25' 35'' – 2º 28' 42'' =

j ) 180º – 154º 45' =

l ) 45º – 14º 25' =

m) 47º – 17º 5' =

n) 150º 20' – 50º 20' 35'' =

o) 180º 30' – 41º 4' 47'' =

p) 113º – 90º 44' 26'' =

q) 91º – 73º 50' 15'' =

r ) 3º 4' 5'' – 1º 2' 3'' =

s) 89º 3' 55'' – 50º 8' 50'' =

t ) 180º – 45º 30' =

u) 90º – 18º 45' =

v) 154º 59' 59'' – 115º 10' 12'' =

x) 125º 14' 29'' – 30º 11'' =

z) 58º 14'' – 11' 13'' =

258

10. Marque a resposta correta. 7º – 2º 57' 43'' =

a) ( ) 2º 3' 17''

b) ( ) 4º 2' 17''

c) ( ) 3º 2' 17''

d) ( ) 5º 3' 17''

e) ( ) 6º 3' 17''


a) 47º 9' 5'' – 13º 5' 1'' =

b) 150º 45' 30'' – 50º 25' =

c) 120º 55' 43'' – 15º 20'' =

d) 45º 57' – 15º 12' =

e) 49º 30'' – 28º 50'' =


a) (5º 8') x 3 =

b) (4º 5' 7'') x 2 =

c) (14º 8' 9'') x 4 =

d) (25º 9' 11'') x 5 =

e) (45º 4' 9'') x 8 =

f ) (35º 5' 10'') x 9 =

g) (13º 4' 36'') x 5 =

h) (10º 8' 2'') x 9 =

i ) (25º 13' 4'') x 8 =

j ) (49º 50' 11'') x 5 =

l ) (5º 30' 30'') x 4 =

m) (150º 50' 55'') x 6 =

n) (45º 50' 45'') x 5 =

o) (45º 8' 4'') x 6 =

p) (15º 25' 45'') x 2 =

q) (25º 30' 45'') x 5 =

r ) (16º 50' 30'') x 4 =

259


(10º 10' 10'') x 7 =

a) ( ) 69º 70' 10''

b) ( ) 71º 11' 10''

c) ( ) 70º 71' 10''

d) ( ) 68º 11' 10''


(4º 2' 8'') x 5 =

a) ( ) 20º 15' 40''

b) ( ) 21º 10' 40''

c) ( ) 23º 10' 44''

d) ( ) 20º 10' 40''

e) ( ) 20º 10' 50''


(2º 35' 40'') x 8 =

a) ( ) 16º 28' 20''

b) ( ) 20º 35' 20''

c) ( ) 20º 45' 20''


a) (8º 16' 40'') : 2 =

b) (180º 42' 54'') : 6 =

c) (27º 33' 60'') : 3 =

d) (50º 10' 49'') : 7 =

e) (136º 30' 44'') : 2 =

f ) (35º 50' 3'') : 7 =

g) (90º 82' 12'') : 9 =

h) (270º 40' 3'') : 3 =

i ) (142º 2') : 4 =

j ) (13º 11' 18'') : 2 =

l ) (29º 4' 30'') : 3 =

260

m) (49º 14' 16'') : 4 =

n) (13º 23') : 2 =

o) (45º 50' 30'') : 5 =

p) (126º 56' 15'') : 5 =

q) (15º 1' 10'') : 2 =


(49º 23' 30'') : 5 =

a) ( ) 9º 52' 42''

b) ( ) 10º 52' 42''

c) ( ) 9º 52' 40''


(184º 15' 36'') : 6 =

a) ( ) 29º 42' 6''

b) ( ) 30º 42' 36''

c) ( ) 28º 42' 36''

d) ( ) 30º 42' 6''


45º 13' 25'' + 4º 25' 35'' =

a) ( ) 49º 38' 59''

b) ( ) 49º 39'

c) ( ) 49º 38' 50''

d) ( ) 49º 38' 61''


151º 45' 30'' – 50º 25' 10'' =

a) ( ) 100º 20' 20''

b) ( ) 101º 20' 20''

c) ( ) 99º 20' 20''

261


(8º 5' 5'') x 2 =

a) ( ) 18º 10' 10''

b) ( ) 15º 10' 10''

c) ( ) 17º 10' 10''

d) ( ) 16º 10' 10''

22. Calcule.

a) (8º 28' 15'') x 3 =

b) (15º 5' 25'') x 5 =

c) (45º 42' 57'') : 7 =

d) (55º 16'') : 4 =

e) (114º 13' 50'') : 5 =

f ) (56º 48' 40'') : 8 =


a) (54º 48') : 6 = ( ) 5º 10' 12''

b) (12º 8') : 2 = ( ) 12º 24' 13''

c) (15º 30' 36'') : 3 = ( ) 9º 8'

d) (24º 48' 26'') : 2 = ( ) 10º 24' 20''

( ) 6º 4'

262

CAPÍTULO 27 – MEDIDAS DE TEMPO

UNIDADES DE MEDIDAS DE TEMPO

• Hora é uma unidade de medida de tempo que equivale a 124 do dia.

A hora é indicada com o símbolo ( h ).

Exemplos:

1h se lê 1 hora2h se lê 2 horas

• Minuto é uma unidade de medida de tempo que equivale a 160 da hora.

O minuto é indicado com o símbolo (min).

Exemplos:

1min se lê 1 minuto60min se lê 60 minutos

• Segundo é uma unidade de medida de tempo que equivale a 160 do minuto.

O segundo é indicado com o símbolo ( s ).

Exemplos:

1s se lê 1 segundo60s se lê 60 segundos

TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDA DE TEMPO

UNIDADES MAIORES EM MENORES

• Horas em minutos

Multiplicando a medida por 60.

Exemplo:

7h 7 x 60min = 420min

Portanto: 7h = 420min

• Minutos em segundos


Exemplo:

5min 5 x 60s = 300s

Portanto: 5min = 300s.

263

• Horas em segundos

1º – Transformamos a medida em minutos.

2º – Transformamos o resultado em segundos.

Exemplo:

7h 7 x 60min = 420min

420 x 60s = 25200s

Portanto: 7h = 25.200s.

• Horas e minutos em minutos

1º – Transformamos as horas em minutos.


Exemplo:

3h 48min 3 x 60min = 180min

180min + 48min = 228min

Portanto: 3h 48min = 228min.

• Horas, minutos e segundos em segundos.

1º – Transformamos as horas em minutos.

2º – Somamos os minutos.

3º – Transformamos os minutos em segundos.

4º – Somamos os segundos.

Exemplo:

2h 4min 57s 2 x 60min = 120min

120min + 4min = 124min

124 x 60s = 7440s

7440s + 57s = 7497s

Portanto: 2h 4min 57s = 7497s.

264

TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDAS DE TEMPO

UNIDADES MENORES EM MAIORES

• Minutos em horas


Exemplo:

480min 480 : 60 = 8h

Portanto: 480min = 8h

Quando sobra resto diferente de zero, ele equivale a minutos.

Exemplo:

80min 80min : 60 = 1h e resto 20min

Portanto: 80min = 1h 20min

• Segundos em minutos


Exemplo:

420s 420s : 60 = 7min

Portanto: 420s = 7min

Quando sobra resto diferente de zero, ele equivale a segundos.

Exemplo:

1078s 1078s = 17min 58s

Quando os minutos são iguais a 60 ou mais que 60, é preciso dividir novamente por 60.

Exemplo:

4900s : 60 = 81min 40s

81min : 60 = 1h 21 min

Portanto: 4900s = 1h 21min 40s

ADIÇÃO DE MEDIDAS DE TEMPO

• Na adição de medidas de tempo, as horas devem ficar embaixo das horas, os minutos embaixo dos minutos, os segundos embaixo dos segundos.

Exemplo:

2h 40min 5s 10h 25s

+ 3h 15min 8s + 6h 10min

265

E as unidades são somadas separadamente: horas com horas, minutos com minutos, segundos com segundos.

Exemplo:

2h 40min 5s 10h 25s

+ 3h 15min 8s + 6h 10min

5h 55min 13s 16h 10min 25s

• Se, no resultado de uma adição, encontramos 60 segundos ou mais de 60 segundos, fazemos o que vem a seguir.

1º – Transformamos os segundos em minutos.

9h 30min 12s 69s 60

+ 1h 5min 57s – 60 1min 10h 35min 69s 09s

2º – Colocamos o resto da divisão no lugar dos segundos.

9h 30min 12s

+ 1h 5min 57s

10h 35min 69s

9s

3º – Somamos os minutos encontrados na transformação aos minutos do resultado.

9h 30min 12s

+ 1h 5min 57s

10h 35min 69s

+ 1min 9s

10h 36min 9s

• Se, no resultado de uma adição, encontramos 60 minutos ou mais de 60 minutos, fazemos o que vem a seguir.

1º – Transformamos os minutos em horas.

4h 20min 3s 90min 60

+ 8h 70min 1s – 60 1h 12h 90min 4s 30min

266

2º – Colocamos o resto da divisão no lugar dos minutos do resultado.

4h 20min 3s

+ 8h 70min 1s

12h 90min 4s

30min

3º – Somamos as horas encontradas com as horas do resultado.

4h 20min 3s

+ 8h 70min 1s

12h 90min 4s

+ 1h 30min

13h 30min 4s

SUBTRAÇÃO DE MEDIDAS DE TEMPO

• Na subtração de medidas de tempo, as horas devem ficar embaixo das horas, os minutos embaixo dos minutos, os segundos embaixo dos segundos.

8h 35min 40s

– 3h 20min 25s

E as unidades são subtraídas separadamente: horas das horas, minutos dos minutos, segundos dos segundos.

Exemplos:

8h 35min 40s

– 3h 20min 25s

5h 15min 15s

• Quando não é possível subtrair uma das unidades de medida, emprestamos um da unidade imediatamente superior, isto é, uma hora para os minutos ou minuto para os segundos.

• Para emprestar 1 hora para os minutos, fazemos o que vem a seguir.

1º – Tiramos 1h da medida.

4h 5h 15min 5h – 1h = 4h 5h 15min

– 2h 45min – 2h 45min

2º – Transformamos essa hora em 60min e somamos aos minutos da medida.

1 x 60min = 60min

15min + 60min = 75min

267

3º – Substituímos os minutos da medida pelo resultado encontrado.

4h 75min 5h 15min

– 2h 45min


4h 75min

5h 15min

– 2h 45min

2h 30min

• Para emprestar um minuto para os segundos, fazemos o que vem a seguir.

1º – Tiramos 1min da medida.

Exemplo:

24min

44h 25min 30s 25min – 1min = 24min 44h 25min 30s

– 20h 15min 44s – 20h 15min 44s

2º – Transformamos esse minuto em 60s e somamos com os segundos da medida.

Exemplo:

1 x 60s = 60s

30s + 60s = 90s

3º – Substituímos os segundos da medida pelo resultado encontrado.

Exemplo:

24Min 90s 44h 25min 30s

– 20h 15min 44s

268


Exemplo:

24Min 90s

44h 25min 30s

– 20h 15min 44s

24h 09min 46s

• Às vezes, precisamos emprestar um, tanto para os minutos como para os segundos.

Exemplo:

68h 40min 25s

– 38h 45min 35s

Neste caso, emprestamos 1min para os segundos.

39min 85s 68h 40min 25s 60s + 25s = 85s

– 38h 45min 35s

Depois, emprestamos 1h para os minutos e fazemos a subtração.

99min 67h 39min 85s 68s – 1h = 67h

68h 40min 25s

– 38h 45min 35s

29h 54min 50s

• Quando não há unidades nos minutos ou nos segundos da medida da qual vamos subtrair uma outra, significa que o valor dessas unidades é zero.

Exemplo:

90h 90h 00min 00s

– 20h 10min 20s – 20h 10min 20s

269

Nesses casos, também emprestamos um, da unidade imediatamente superior.

59min 89h 60min 89h 60min 60s 90h 00min 00s e 90h 00min 00s

– 20h 10min 20s – 20h 10min 20s

MULTIPLICAÇÃO DE MEDIDAS DE TEMPO

• Na multiplicação de medidas de tempo por um número natural, devemos multiplicar separadamente as horas, os minutos e os segundos.

Exemplo:

7h 5min 4s

x 4

28h 20min 16s

• Há casos em que encontramos 60 ou mais de 60 nos minutos ou nos segundos do resultado.

Exemplos:

5h 4min 8s 9h 9min 5s

x 8 x 9

40h 32min 64s 81h 81min 45s

Precisamos, então, transformá-los:

64s 60 81min 60

– 60 1min – 60 1h 04s 21min

5h 4min 8s 9h 9min 5s

x 8 x 9

40h 32min 64s 81h 81min 45s

33min 4s 82h 21min

• Quando encontramos 60 ou mais de 60 no resultado tanto dos minutos quando dos segundos, primeiro, transformamos os segundos em minutos, depois, transformamos os minutos em horas.

Exemplo:

5h 18min 13s

x 5

25h 90min 65s

270

Vamos fazer as transformações:

DIVISÃO DE MEDIDAS DE TEMPO

• Na divisão de medidas de tempo por um número natural, devemos dividir separadamente as horas, os minutos e os segundos.

18h 42min 6

– 18 – 42 3h 7min

00 00

• Se sobra resto diferente de zero quando dividimos as horas de uma medida, fazemos o que vem a seguir.

1º – Transformamos o resto em minutos.

58h 15min 180s 5

– 5 11h

08

– 5

3h

x 60

180min

271

2º – Somamos os minutos encontrados com os minutos da medida que estamos dividindo.

58h 15min 180s 5

– 5 + 180min 11h

08 195min – 5

3h

x 60

180min


58h 15min 180s 5

– 5 + 180min 11h 39min 08 195min – 5 – 15

3h 045

x 60 – 45

180min 00


58h 15min 180s 5

– 5 + 180min – 15 11h 39min 36s 08 195min 030 – 5 – 15 – 30

3h 045 00 x 60 – 45

180min 00

• Quando sobra resto ao dividir os minutos de uma medida, fazemos o que vem a seguir.


16h 42min 36s 4

– 16 – 4 4h 10min

00 02min x 60

120s

272

2º – Somamos os segundos encontrados com os segundos da medida que estamos dividindo.

16h 42min 36s 4

– 16 – 4 + 120s 4h 10min

00 02min 156s x 60

120s


16h 42min 36s 4

– 16 – 4 + 120s 4h 10min 39s 00 02min 156s

x 60 – 12

120s 036s

– 36

00

• Quando uma medida não possui segundos e sobra resto nos minutos, fazemos o que vem a seguir.


3h 14min 3

– 3 – 12 1h 4min

0 02 x 60 120s

2º – Dividimos os segundos encontrados na transformação.

3h 14min 3

– 3 – 12 1h 4min 40s 0 02

x 60

120s – 120 000

273

EXERCÍCIOS

1. Escreva como se lê as medidas a seguir.

a) 72h

b) 1h

c) 5h

d) 32min.

e) 5min.

f ) 28min.

g) 52s

h) 81s

i ) 90s

2. Escreva usando o símbolo de hora.

a) 24 horas:

b) 36 horas:

c) 1 hora:

d) 18 horas:

e) 10 horas:

3. Escreva usando o símbolo do minuto.

a) 8 minutos:

b) 1 minuto:

c) 70 minutos:

d) 37 minutos:

4. Escreva usando o símbolo do segundo.

a) 1 segundo:

b) 40 segundos:

c) 120 segundos:


a) 3h em minutos

b) 2h em minutos

c) 24h em minutos

274

d) 12h em minutos

e) 2min em segundos

f ) 15min em segundos

g) 17min em segundos

h) 32min em segundos

i ) 40min em segundos

j ) 4h em segundos

l ) 15h em segundos

m) 5h em segundos

n) 4h 15min em minutos

o) 6h 7min em minutos


a) 15h 40min = min.

b) 2h 20min = min.

c) 5h 30min 15s = s.

d) 3h 20min 10s = s.

e) 6h 40min 30s = s.

f ) 360min = h.

g) 180min = h.

h) 240min = h.

i ) 120min = h.

j ) 130min = h.

l ) 260min = h.

m) 410min = h.

n) 300s = min.

o) 480s = min.

p) 120s = min.

q) 128s = min.

r) 345s = min.

s) 75s = min.

t ) 4310s = h; = min; = s.

u) 6382s = h; = min; = s.

275

v) 4140 s min.

7. Faça a transformação indicada.

a) 5h = min

b) 6h = min

c) 10h = min

d) 13h = min

c) 25h = min


180min é o mesmo que:

a) ( ) 1080s

b) ( ) 10800s

c) ( ) 108000s

d) ( ) 108s


a) 2h ( ) 10800s

b) 6h ( ) 86400s

c) 3h ( ) 7200s

d) 24h ( ) 18100s

( ) 21600s

10. Marque a alternativa que completa corretamente a afirmação abaixo.

1h 40min é o mesmo que:

a) ( ) 110min

b) ( ) 100min

c) ( ) 90min

d) ( ) 120min

11. Escreva C se a transformação estiver certa e E se a transformação estiver errada.

a) ( ) 1h 10min 20s = 90s

b) ( ) 3h 15min 5s = 11705s

c) ( ) 4h 12min 35s = 15120s

d) ( ) 2h 10min 3s = 7803s

276


a) 300min = h min.

b) 320min = h min.

c) 420s = min.

d) 130s = min. s

e) 1200s = min. s

f ) 7.430min = h min.

13. Monte as contas a seguir.

a) 5h 15min 30s + 2h 14min 10s

b) 3h 10min 15s + 1h 30min 10s + 2h 10min 20s

c) 10h 25s + 6h 10min

d) 12h + 1h 5s


a) 7h 20min 10s + 1h 15min 20s =

b) 2h 30min 15s + 1h 10min 20s =

c) 11h 35min 40s + 5h 15min 5s =

d) 4h 10min 10s + 2h 5min 14s + 3h 35min 12s =

e) 12h 5min 15s + 1h 15min 5s =

f ) 12h 40min 40s + 1h 5min 20s =

g) 6h 15min 40s + 5h 10min 50s =

h) 4h 30min 20s + 3h 10min 50s =

i ) 1h 45s + 2h 10min 15s =

j ) 5h 40min 45s + 4h 5min 20s =

l ) 2h 40min 10s + 3h 30min 20s =

m) 5h 25min 15s + 6h 35min =

n) 3h 20min 30s + 1h 40min 30s =


12h 3min + 7h 56min =

a) ( ) 19h 57min

b) ( ) 19h 58min

c) ( ) 18h 59min

277

d) ( ) 19h 59min


a) 5h 15min 40s + 2h 46min =

b) 10h 2min 50s + 6h 35s =

c) 42min 25s + 7h 50min 55s =

d) 6h 44min 53s + 2h 35min 14s + 12min 13s =

e) 10h 12min 57s + 6h 10min 40s + 1h 13min 12s =

17. Monte as contas a seguir.

a) 5h 20min 15s – 2h 10min 8s

b) 15h 18s – 3h 15min 10s

c) 3h 10min – 2h 10min 12s


a) 10h 28min 15s – 5h 12min 7s =

b) 8h 15min 35s – 2h 10s =

c) 20h 10min 30s – 8h 7min 15s =

d) 3h 40min 30s – 2h 20min =

e) 5h 20min 15s – 2h 10min 8s =

f ) 5h 40min – 2h 50min =

g) 3h 10 min – 1h 30min =

h) 15h 20 min – 10h 40min =

i ) 4h 5min – 1h 25min =

j ) 3h 20min – 2h 40min =

l ) 8h 25min 2s – 5h 20min 4s =

m) 10h 40min 15s – 7h 30min 40s =

n) 15h 20min 30s – 10h 40min 50s =

o) 6h 8min 14s – 1h 30min 25s =

p) 25h 10min 30s – 5h 30min 38s =

q) 5h 55min – 2h 40min =

r) 13h 45min 35s – 10h 30min 15s =

s) 23h 4min 55s – 3h 1min 52s =

278

t ) 4h 55s – 2h 30s =


5h 15min – 2h 30min =

a) ( ) 3h 40min

b) ( ) 2h 40min

c) ( ) 3h 45min

d) ( ) 2h 45min


5h 15min 30s – 2h 10min 40s =

a) ( ) 3h 5min 50s

b) ( ) 3h 4min 45s

c) ( ) 3h 5min 45s

d) ( ) 3h 4min 50s

21. Escreva C se a subtração estiver certa e E se a subtração estiver errada.

a) ( ) 20h 45min 30s – 5h 50min 10s = 14h 55min 20s

b) ( ) 21h 15min 13s – 17 10min 20s = 4h 4min 50s


13h 20min 50s – 10h 30min 55s =

a) ( ) 2h 55min 50s

b) ( ) 3h 49min 55s

c) ( ) 3h 55min 55s

d) ( ) 2h 50min 50s

e) ( ) 2h 49min 55s

23. Faça as multiplicações.

a) (5h 10min) x 4 =

b) (2h 6min 5s) x 8 =

c) (4h 10min 8s) x 3 =

d) (4h 10s) x 5 =

e) (3h 8min 25s) x 3 =

f ) (3h 10min 40s) x 4 =

279

g) (2h 5min 12s) x 7 =

h) (1h 6min 20s) x 5 =

i ) (8h 15min 5s) x 5 =

j ) (3h 20min 8s) x 8 =

l ) (4h 25min 36s) x 4 =

m) (15h 38min 45s) x 5 =


(9h 20 min 8s) x 4 =

a) ( ) 36h 20min 32s

b) ( ) 37h 20min 32s

c) ( ) 37h 25min 32s

d) ( ) 36h 25min 32s


(5h 25min) x 5 =

a) ( ) 25h 25min

b) ( ) 25h 130min

c) ( ) 27h 5min

d) ( ) 25h 5min


(5h 15min 18s) x 3 =

a) ( ) 15h 40min 54s

b) ( ) 16h 40min 54s

c) ( ) 15h 45min 54s

27. Faça as multiplicações.

a) (2h 40min 15s) x 3 =

b) (5h 20min 40s) x 4 =

c) (7h 14min 23s) x 4 =

d) (4h 8min 26s) x 7 =

280

28. Corresponda a primeira com a segunda coluna.

a) (3h 35min 50s) x 2 = ( ) 6h 21min 52s

b) (2h 40min 30s) x 3 = ( ) 5h 120min 52s

c) (1h 35min 28s) x 4 = ( ) 7h 11min 40s

( ) 8h 1min 30s


a) (28h 40min) : 4 =

b) (30h 24min) : 6 =

c) (15h 36min 21s) : 3 =

d) (21h 20min 40s) : 5 =

e) (26h 36min 42s) : 6 =

f ) (16h 20min 28s) : 7 =

g) (9h 40min 18s) : 2 =

h) (20h 32min 10s) : 5 =

i ) (8h 30min 40s) : 4 =

j ) (48h 27min 6s) : 6 =

l ) (16h 22min 5s) : 5 =

m) (49h 1min) : 3 =

n) (9h 18min 40s) : 4 =

o) (40h 24min) : 8 =

p) (6h 14min 18s) : 2 =

q) (14h 21min 35s) : 7 =

30. Escreva C se a divisão estiver certa e E se estiver errada.

a) ( ) (15h 30min 40s) : 2 = 7h 40min 20s

b) ( ) (29h 45min 30s) : 3 = 9h 55min 10s


(45min 38s) : 2

a) ( ) 22min 50s

b) ( ) 23min 50s

c) ( ) 22min 49s

d) ( ) 23min 50s

281


(14h 14min 15s) : 5 =

a) ( ) 2h 45min 50s

b) ( ) 2h 50min 45s

c) ( ) 2h 50min 50s

d) ( ) 2h 45min 45s

e) ( ) 2h 50min 51s

33. Faça a transformação abaixo, conforme as indicações.

a) 1h = s

b) 3min = s

c) 425s = min s

d) 5.320min = h min s

e) 530s = min s


4h 10min 25s + 1h 10s + 40min 13s

a) ( ) 4h 49min 48s

b) ( ) 5h 50min 48s

c) ( ) 5h 49min 48


10h 12min 57s + 6h 10min 40s + 1h 13min 12s

a) ( ) 17h 36min 109s

b) ( ) 17h 35min 49s

c) ( ) 17h 35min 109s

d) ( ) 17h 36min 49s


24h 47min 16s – 15h 39min 8s

a) ( ) 8h 8min 8s

b) ( ) 9h 8min 8s

c) ( ) 8h 7min 7s

d) ( ) 9h 7min 8s

282


(1h 28min 10s) x 3 =

a) ( ) 3h 24min 30s

b) ( ) 4h 24min 30s

c) ( ) 3h 84min 30s

d) ( ) 4h 34min 30s

38. Faça um C na operação que estiver certa e um E na que estiver errada.

a) ( ) (5h 35min 12s) x 4 = 22h 20min 48s

b) ( ) (7h 37min 42s) x 3 = 22h 53min 6s

39. Corresponda a primeira com a segunda coluna.

a) (14h 16min 40s) : 4 ( ) 9h 11min 48s

b) (39h 14min 30s) : 3 ( ) 1h 54min

c) (45h 59min) : 5 ( ) 10h 54min

d) (17h 6min) : 9 ( ) 13h 4min 50s

( ) 3h 34min 10s


a) 15h 30min 8s – 15h 20min 10s =

b) 24h 10min 30s – 5h 30min 38s =

c) 14h 23min 40s – 11h 33min 52s =

d) 13h 27min 31s – 4h 39min 58s =

e) (4h 10min 30s) x 5 =

f ) (6h 5min 10s) x 7 =

g) (30h 15min 12s) : 2 =

h) 2h 44min 15s + 1h 56min 24s =

i ) 14h 53min 47s + 2h 27min 48s =

283

CAPÍTULO 28 – FIGURAS PLANAS

POLÍGONOS

• As figuras planas fechadas são figuras geométricas.

• As figuras planas fechadas podem ser formadas a partir de linhas retas, de linhas curvas, ou de linhas retas e curvas.

• As figuras planas fechadas originadas a partir de linhas retas são formadas por segmentos de reta.

• Segmentos de reta é a parte de uma reta constituída por dois de seus pontos e todos os outros pontos que estão entre eles.

Destacamos os pontos que limitam um segmento de reta, assim:

285

• Nomeamos um segmento de reta com as letras maiúsculas que marcam os pontos na reta.

Ao invés de escrevermos segmento AB, podemos escrever apenas AB. O traço sobre as letras significa

segmento.

• As figuras planas fechadas formadas por segmentos de reta chamam-se polígonos.

• Os segmentos de reta que formam os polígonos recebem o nome de lados.

Exemplo:

• Os lados de um polígono que possuem a mesma medida chamam-se lados congruentes.

• Indicamos os lados congruentes de um polígono com os sinais / ou //.

Exemplos:

• Dois lados de um polígono que têm um ponto em comum chamam-se lados consecutivos.

286

• O ponto onde se encontram dois lados consecutivos de um polígono chama-se vértice.

Os vértices são nomeados com letras maiúsculas.

Os vértices deste polígono são os pontos O, P, Q, R.

• Os lados consecutivos de um polígono formam ângulos.

Os ângulos deste polígono são A, B, C, D.

• O número de lados de um polígono coincide com o número de ângulos desse polígono. Então, o polígono de 4 lados tem 4 ângulos, o de 5 lados tem 5 ângulos e assim por diante.

• Os polígonos são nomeados com as letras dos seus vértices.

287

EXERCÍCIOS

1. Observe a figura e escreva C se a afirmação estiver certa e E se estiver errada.

a) ( ) PQRS é uma forma de nomear o polígono.

b) ( ) PS e SR são lados consecutivos.

c) ( ) PS e RS são lados congruentes.

2. Observe o polígono e complete.

a) Vértices do polígono: .

b) Lados do polígono: .

c) Lados consecutivos a AB: .

d) Número de ângulos: .

3. Marque a opção que mostra os lados congruentes do polígono.

a) ( ) AB e BC

b) ( ) AF e DC

c) ( ) ED e AB

d) ( ) DE e DC

e) ( ) BC e EF

288

POLÍGONOS E CÍRCULO

• Retângulo é um polígono com 4 ângulos retos e 4 lados congruentes dois a dois.

Exemplo:

• Quadrado é um tipo especial de retângulo. Tem 4 ângulos retos e 4 lados congruentes.

Exemplo:

• Triângulo é um polígono de 3 lados e 3 ângulos.

289

• Trapézio é um polígono que tem 4 lados, sendo dois deles paralelos.

Exemplos:

• Hexágono é um polígono de 6 lados.

Exemplo:

• Círculo é uma figura plana limitada por uma linha curva fechada.

Essa linha tem todos os seus pontos a uma mesma distância de um ponto chamado centro.

290

ALGUNS ELEMENTOS DAS FIGURAS PLANAS FECHADAS

• Todo triângulo possui altura. Essa altura corresponde ao segmento que, partindo de um vértice, fica perpendicular ao lado oposto a esse vértice.

Exemplo:

AD, partindo do vértice A, fica perpendicular a BC, isto é, forma ângulos retos. AD é altura do triângulo.

Podemos traçar outras duas alturas, levando em conta os outros vértices e os lados opostos a eles.

291

• Base do Triângulo é o lado oposto ao vértice de onde parte a altura.

• Quando o triângulo possui um ângulo obtuso, às vezes é preciso prolongar a base, para determinar a altura.

• A altura do triângulo pode coincidir com um dos seus lados.

292

• As bases de um trapézio são os seus dois lados paralelos.

A base do trapézio que tem maior medida chama-se base maior.

A base do trapézio que tem medida menor chama-se base menor.

Exemplos:

• A altura ( h ) do trapézio é a distância entre as duas bases, ou seja, entre a base menor e a base maior.

293

• Circunferência é a linha curva que limita um círculo. A circunferência é um elemento do círculo.

• Diâmetro é o segmento de reta que une dois pontos da circunferência passando pelo seu centro.

Exemplo:

O diâmetro pode unir qualquer ponto da circunferência, desde que passe pelo centro.

• Raio é um segmento de reta que une um ponto qualquer da circunferência ao seu centro. Exemplo: OX é raio.

294

APÓTEMA

• Polígono regular é um polígono que tem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos com a mesma medida.

Exemplo:

• Quando uma circunferência passa por todos os vértices de um polígono, recebe o nome de circunferência circunscrita ao polígono.

Exemplo:

• O centro de um polígono regular é o centro da circunferência a esse polígono.

Exemplo: C é o centro da circunferência circunscrita a esse polígono.

295

• Em um polígono regular, o segmento que une o seu centro ao meio de um de seus lados recebe o nome de apótema.

OM é um dos apótemas do quadrado.

O apótema pode ser traçado em direção a qualquer um dos lados do polígono.

Exemplos:

COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

• Existe uma fórmula para encontrar o comprimento da circunferência.

• Para calcular o comprimento da circunferência, usamos uma fórmula e fazemos as substituições e os cálculos.

• Fórmula C = D . ou C = 2 . . r

C significa comprimento da circunferência,

D significa diâmetro,

r significa raio,

é a constante 3,14.

• A medida do diâmetro é dobro do raio, isto é, vale duas vezes a medida do raio.

• Conhecendo apenas a medida do raio de uma circunferência, é possível calcular a medida do diâmetro, multiplicando por 2 a medida do raio.

296

POTENCIAÇÃO

• A operação que envolve multiplicação de fatores iguais chama-se potenciação.

Exemplo: 4 x 4 x 4

• Essa multiplicação pode ser indicada de forma abreviada, como vem a seguir.

1º – Escrevemos uma só vez o fator que se repete.

Exemplo:

4 x 4 x 4 4

2º – No lado direito superior desse fator, escrevemos, em tamanho menor, o número de vezes que o fator é repetido.

Exemplo:

4 x 4 x 43 vezes

43

• O fator que se repete chama-se base.

Exemplo:

43 4 é a base

• O número que indica quantas vezes o fator se repete chama-se expoente.

43 3 é a expoente

• Quando o expoente é 2, lemos a base seguida da expressão “ao quadrado”.

Exemplo:

42 quatro ao quadrado

• Quando o expoente é 3, lemos a base seguida da expressão “ao cubo”.

Exemplo:

23 dois ao cubo

• Quando o expoente é maior que 3, lemos a base seguida da expressão “elevado ao expoente quatro”, ou “elevado ao expoente cinco” etc.

Exemplos:

104 dez elevado ao expoente quatro

75 sete elevado ao expoente cinco

297

• O resultado da potenciação recebe o nome de potência.

Exemplos:

Em 42 = 4 x 4 = 16, a potência é 16.

Em 23 = 2 x 2 x 2 = 8, a potência é 8.

• Quando a base é 1, a potência é sempre 1, qualquer que seja o expoente.

13 = 1, pois 1 x 1 x 1 = 1

• Quando a base é uma fração, elevamos ao expoente indicado o numerador e o denominador.

Exemplo:

13

2

= 19

, porque 13

2

= 12

32 = 13

xx

13

= 19

• Quando a base é um número decimal, multiplicamos esse número por ele mesmo, conforme a indicação do expoente, colocando a vírgula no resultado.

Exemplo:

0,43 = 0,064 (3 casas), porque 0,4 x 0,4 = 0,16 (2 casas) 0,16 x 0,4 = 0,064 (3 casas)

298

EXERCÍCIOS

1. Complete conforme o modelo. RJ é o mesmo que segmento RJ. a) MN é o mesmo que . b) XZ é o mesmo que .

2. Indique os lados congruentes das figuras a seguir.

a) Lados congruentes: . b) Lados congruentes: .

c) Lados congruentes: .

3. Marque as representações dos lados consecutivos da figura.

a) ( ) MN e NO b) ( ) RQ e PQ c) ( ) RQ e NO d) ( ) OP e ON

299

4. No polígono abaixo, os vértices são .

5. Nomeie o polígono abaixo.

6. Observe a figura e escreva C se a afirmação estiver certa e E se estiver Errada.

a) ( ) EFGHIJ é um polígono.

b) ( ) E é um vértice do polígono.

c) ( ) FG e HI são lados consecutivos.

300

7. Observe o polígono abaixo e complete.

a) Vértices do polígono:

b) Número de ângulos:

c) Lados do polígono:

d) Número de lados:

8. Marque os lados congruentes do polígono.

a) ( ) QR e RS

b) ( ) RS e UQ

c) ( ) UT e TS

d) ( ) UQ e QR

9. Assinale o retângulo que completa a afirmação abaixo.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

Este é um retângulo porque possui .

301

10. Marque a figura que representa um quadrado.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

11. Marque a figura que representa um triângulo.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

12. Marque a figura que representa um trapézio.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

302

13. Marque a figura que representa um hexágono.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

14. Corresponda cada figura ao seu nome.

a) ( ) Quadrado

b) ( ) Círculo

c) ( ) Retângulo

d) ( ) Triângulo

e) ( ) Trapézio

( ) Hexágono

303

15. Observe as figuras a seguir e escreva o nome de cada uma delas.

a) b)

c) d)

e) f )

16. Escureça as figuras indicadas.

a) Círculo e triângulos b) Trapézio e hexágono

304

c) Quadrado d) Retângulo e triângulos

17. Escreva as bases dos triângulos em relação à altura traçada.

a) b)

18. Nos dois triângulos ABC, assinale a altura em relação à base AB.

a)

( ) CA

( ) CD

( ) CE

( ) CB

305

b)

( ) CE

( ) CA

( ) CD

( ) CB

19. Para os dois triângulos, escreva o segmento da base em relação à altura MO.

a) Base: b) Base:

20. Assinale os segmentos que indicam a altura dos trapézios.

a)( ) MS

( ) NP

( ) NO

( ) RQ

b)( ) VZ

( ) VX

( ) UA

( ) BZ

306

21. Reforce os elementos pedidos nas figuras.

a) Diâmetro b) Circunferência c) Raio

22. Marque os polígonos regulares.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

d) ( ) e) ( ) f ) ( )

23. Marque a figura que tem o apótema traçado.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

307

24. Qual é o comprimento da circunferência abaixo?

25. Assinale a figura que representa um polígono regular.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

26. Marque a figura em que está traçado o apótema.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

308

27. Qual é o comprimento da circunferência abaixo.

28. O diâmetro de uma circunferência mede 48 mm. Qual é o comprimento dessa circunferência?

29. Qual é o comprimento de uma circunferência, se o raio mede 40 cm?

30. Observe as figuras abaixo e escreva o nome dos elementos indicados.

a) b)

MO: OJ:

HA: RS:

31. Escreva a indicação dos segmentos que correspondem aos elementos das figuras abaixo.

a) Base menor: b) Altura: c) Lado:

309

d) Apótema: e) Raio: f ) Diâmetro:

32. Calcule o comprimento da circunferência abaixo.

33. Calcule o comprimento da circunferência.

34. Uma circunferência tem 62 mm de diâmetro. Qual é o comprimento dessa circunferência?

35. O raio de uma circunferência mede 53,5 cm. Qual é o comprimento dessa circunferência?

36. Calcule o comprimento de uma circunferência cujo diâmetro mede 9,7 mm.

37. O diâmetro de uma circunferência mede 35 cm. Qual é o comprimento dessa circunferência?

38. Uma circunferência tem 43 cm de raio. Calcule o seu comprimento.

310

CAPÍTULO 29

ÁREA DE FIGURAS PLANAS – POLÍGONOS E CÍRCULO

• Existe uma fórmula para calcular a área de cada polígono.

• Para calcular a área de um polígono, procuramos fazer as substituições na fórmula e em seguida os cálculos.

• Na fórmula do triângulo, A = b x h2 ou Área= base x altura

2

A significa área,b significa base,h significa altura.

• Na fórmula do trapézio, A = B b . h2 ou Área= Base maior base menor x altura

2

A significa área,B significa base maior,b significa base menor,h significa altura.

• Na fórmula do hexágono, A = P x ap2 ou Área= Perímetro x apótema

2

A significa área,P significa perímetro,ap significa apótema.

• Na fórmula do círculo, A = . r2

A significa área,r2 significa medida do raio ao quadrado, é a constante 3,14.

DIFERENÇA ENTRE ÁREAS

• Para calcular a área de uma figura plana contendo um orifício na forma de um círculo, precisamos achar a diferença entre áreas.

Exemplo:

O cálculo para se achar a área da região hachurada na figura ao lado será:

área do trapézio – área do círculo

311

EXERCÍCIOS

1. Escreva a forma abreviada da multiplicação abaixo.

6 x 6 x 6 x 6 =

2. Escreva a forma abreviada das multiplicações.

a) 3 x 3 x 3 =

b) 5 x 5 x 5 x 5 =

3. Faça a potenciação.

25 =

4. Resolva as potenciações.

a) 33 = =

b) 26 = =

c) 72 = =

5. Escreva o nome dos elementos indicados.

6. Observe as igualdades e complete as afirmações abaixo.

a) 52 = 25 b) 34 = 81

A base é o . O expoente é o .

O expoente é o . A base é o .

7. Escreva a forma correta de se fazer a leitura de cada potenciação abaixo.

a) 22

b) 52

c) 53

d) 83

e) 93

f ) 44

312

g) 110

h) 76

8. Represente as potenciações.

a) Três elevado ao expoente nove: .

b) Setenta e nove ao quadrado: .

c) Vinte elevado ao expoente seis: .

9. Calcule as potências.

a) 62 = b) 25 = c) 27 = d) 43 = e) 34 = f ) 92 = g) 13 =

h) 14 = i ) 18 =

10. Calcule as potências.

a) 12

2

=

b) 23

3

=

c) 34

4

=

d) 710

3

=

11. Dê as potências.

a) 0,62 b) 0,0012 c) 0,33 d) 0,122

12. Escreva C se a igualdade estiver certa e E se estiver errada.

a) ( ) 104 = 10000

b) ( ) 55 = 25

c) ( ) 0,052 = 0,0025

d) ( ) 0,23 = 0,8

e) ( ) 14

3

= 364

f ) ( ) 95

2

= 8125

313

13. Encontre as potências.

a) 24 =

b) 102 =

c) 23

4

=

d) 0,0022 =

e) 42 =

f ) 17

2

=

g) 0,032 =

h) 0,62 =

i ) 45

3

=

j ) 0,362 =

14. Assinale a fórmula que corresponde a esta afirmação: a área do quadrado é encontrada pela multiplicação lado vezes lado.

a) ( ) A = . c b) ( ) A = l x l c) ( ) S = c x l

15. Calcule a área de um quadrado cujo lado mede 14 mm. Use a fórmula A = l x l.

16. Calcule a área do triângulo abaixo.

17. Qual é a área de um triângulo que tem 13,5 cm de base e 4 cm de altura?

18. Um triângulo tem 94 mm de base e a medida da sua altura é a metade da medida da base. Qual é a área desse triângulo?

314

19. Determine a área do triângulo abaixo, sabendo que b = 45 mm e que h = 40 mm.

20. Quantos mm2 tem a área deste triângulo, sabendo que b = 50 mm e que h = 30 mm?

21. Calcule a área do trapézio abaixo, usando a fórmula A = B b . h2

22. Calcule a área do seguinte trapézio.

315

23. Qual é a área de um trapézio que tem 3,5 m na base maior, 2,7 m na base menor e 1,3 m de altura?

24. Calcule a área do trapézio abaixo, sabendo que a sua base maior mede 50 mm, a base menor 30 mm e a sua altura é de 30 mm.

25. Observe a figura abaixo e determine o seu perímetro e a medida de seu apótema. Qual é a área do hexágono?

26. Qual é a área círculo abaixo?

316

27. Qual é a área do círculo abaixo?

28. Calcule a área de cada uma das figuras.

a) b = 4 e h = 2 b) B = 55, b = 15 e h = 30

c) apótema = 10 e lado = 2,5 d) B = 3, b = 2,5 e h = 4

29. Qual é a área de um círculo com diâmetro medindo 19,6 dm?

30. Qual a área de um hexágono que tem 60 dm de perímetro e 8,7 dm no apótema?

317

31. Calcule a área das figuras.

a) b)

c) d)

32. Resolva os problemas a seguir.

a) Calcule a área de um triângulo de base 7,5 cm e altura 4 cm.

b) Determine a área de um trapézio de base maior 10 cm, base menor 4 cm e altura 5 cm.

c) O perímetro de um hexágono é 69 cm e o apótema mede 10 cm. Determine a área desse hexágono.

d) O raio de um círculo mede 2 cm. Calcule a área desse círculo.

33. Calcule as áreas pedidas nos problemas abaixo.

a) Uma chapa na forma de um triângulo, com todos os lados iguais, possui perímetro de 126 mm e altura de 38mm. Qual é a área?

318

b) A base menor de um trapézio mede 32 mm, a base maior é o triplo da base menor e a altura é o dobro da base menor. Qual é a área desse trapézio?

c) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono é 14,5 mm. O lado do hexágono mede 8,37 mm. Determine a sua área.

d) Um orifício circular tem 66 mm de diâmetro. Qual a área desse orifício?

34. Escreva indicando o cálculo da área da região hachurada.

a) b)

c)

a) Área da região hachurada = –

b) = – área do círculo.

c) = área do círculo maior –

319

35. Calcule a área da região hachurada na figura abaixo.

36. Calcule a área da região hachurada nesta figura: Área da região hachurada = área do retângulo – área do círculo.

37. Calcule, em mm2, a área da região hachurada da figura abaixo.

Dados:

B = 60, b = 40 e h = 40

Raio = 10 =3,14

320

38. Calcule a área da região hachurada da figura abaixo.

39. Encontre a área do hexágono abaixo.

40. Efetue as potenciações.

a) 92 =

b) 302 =

c) 122 =

d) 23

3

=

e) 78

2

=

f ) 1316

2

=

g) 0,252 =

h) 2,32 =

i ) 3,53 =

321

41. Calcule a área da região hachurada das figuras abaixo.

a) b)

c) d)

322

42. Determine a área das figuras abaixo.

a) b)

c) d)

43. Resolva os problemas a seguir.

a) A medida da base de um triângulo é o triplo da medida de sua altura. Se a medida da base é de 11,1 mm, calcule a área desse triângulo.

b) Uma peça tem a forma de um trapézio com uma altura medindo 14,3 mm. A base menor é a metade da altura e a base maior é o dobro da altura. Calcule a área dessa peça.

c) O lado de um hexágono mede 7,8 mm e o seu apótema 6,75 mm. Determine a área desse hexágono.

d) O diâmetro de um furo circular de uma peça mede 17 mm. Determine a área desse furo.

323

44. Determine a área da região hachurada.

a) b)

c)

324

CAPÍTULO 30 – SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

As figuras geométricas que possuem três dimensões, isto é, comprimento, largura e altura, chamam-se sólidos geométricos.

Exemplo:

• Os sólidos geométricos nunca pertencem a um só plano, ocupam sempre uma parte do espaço. Por isso, são também chamados figuras espaciais.

• Alguns sólidos geométricos são formados pelo deslocamento de um polígono.

• Quando o sólido geométrico é formado pelo deslocamento de um polígono numa direção determinada, recebe o nome de prisma.

Exemplos:

325

• Um prisma tem faces, arestas e vértices.

• As faces do prisma são as suas partes planas:

• Um prisma tem faces laterais, uma face superior e uma face inferior.

• As faces superior e inferior do prisma são também chamadas de bases. As bases de um prisma são paralelas.

Exemplo:

326

• As bases de um prisma são congruentes, isto é, a base superior tem as mesmas medidas da base inferior.

Exemplo:

• Os segmentos formados pelo encontro de duas faces de um prisma chamam-se arestas.

Os pontos determinados pelo encontro de três arestas chamam-se vértices.

• O prisma que tem as arestas das faces laterais perpendiculares às bases é um prisma reto.

327

• Os prismas recebem nomes de acordo com o polígono que deu origem a eles.

• O prisma reto de base quadrada que tem todas as arestas com a mesma medida recebe o nome de cubo.

328

PIRÂMIDES

• Quando o sólido geométrico é formado a partir de um polígono em que todos os pontos se ligam a um único ponto fora do plano do polígono recebe o nome de pirâmide.

• O polígono a partir do qual é formada a pirâmide chamam-se base da pirâmide.

No desenho acima, é a parte escurecida. O centro da base é o ponto C.

• As faces da pirâmide são os triângulos que formam os seus lados.

Exemplo:

Na figura acima a face é VAB.

• O encontro de duas faces da pirâmide ou de uma face com a base chama-se aresta da pirâmide.

Exemplo:

329

• Vértice superior da pirâmide é o encontro de todas arestas das faces da pirâmide.

Vértices da base são os pontos de encontro de duas arestas da base com a aresta de uma das faces.

Exemplo:

• Altura ( h ) da pirâmide é a distância entre o vértice superior da pirâmide e o plano da base.

Exemplo:

330

• A altura da pirâmide pode encontrar ou não o centro da base. Neste curso, só serão estudadas as pirâmides em que a altura encontra o centro da base.

Exemplo:

• As pirâmides recebem nomes de acordo com o polígono da base. A base da pirâmide pode ser qualquer polígono.

Exemplos:

331

CILINDRO, CONE E ESFERA

• Uma figura plana girando em volta de um eixo de rotação forma um sólido geométrico.

• Os sólidos geométricos formados a partir de uma figura plana que gira em torno de um eixo de rotação chamam-se sólidos de revolução.

• Quando um sólido de revolução é formado a partir de um retângulo recebe o nome de cilindro reto.

Exemplo:

• O cilindro reto possui duas bases.

As bases do cilindro reto são dois círculos paralelos e congruentes.

Exemplo:

332

• Quando o sólido de revolução é formado a partir de um triângulo com os ângulos da base congruentes e o eixo de rotação passando pelo vértice e pelo meio da base, recebe o nome de cone reto.

Exemplo:

• O vértice oposto à base do triângulo que deu origem ao cone é o vértice do cone.

A base do cone reto é um círculo.

Exemplo:

• Quando o sólido de revolução é formado a partir de um círculo com eixo passando por um de seus diâmetros recebe o nome de esfera.

333

Exemplo:

• A parte externa da esfera é chamada superfície esférica ou superfície da esfera.

• Diâmetro de uma esfera é um segmento de reta que passa pelo seu centro e une dois pontos da superfície da esfera.

Exemplo:

• Todo segmento de reta que vai do centro da esfera a um ponto da sua superfície chama-se raio da esfera.

Exemplo:

334

EXERCÍCIOS

1. Marque a figura que representa um sólido geométrico.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

2. Marque a figura que representa um prisma.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

335

3. Na figura abaixo, escreva o nome de cada elemento indicado pela seta.

4. Nas figuras abaixo, marque aquelas que representam prismas retos.

a) ( ) b) ( )

c) ( ) d) ( )

336

5. Como se chamaria o prisma reto formado pelo deslocamento de um retângulo?

a) Prisma reto de base quadrada.

b) Prisma reto de base retangular.

c) Prisma reto de base triangular.

6. Associe cada nome à figura correspondente.

a) Prisma reto de base hexagonal

b) Prisma reto de base quadrada

c) Prisma reto de base retangular

d) Prisma reto de base triangular

e) Cubo

( ) ( )

( ) ( )

337

7. Complete corretamente com o nome dos prismas retos.

a) Prisma reto de base

b) Prisma reto de base

c) Prisma reto de base

d) Prisma reto de base

e) Prisma reto de base

f ) Prisma reto de base

8. Marque a figura que representa um cilindro reto.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

338

9. De acordo com a figura da pirâmide abaixo, corresponda a segunda coluna de acordo com a primeira.

a) VE

b) ABCDEF

c) VCB

d) CD

( ) Base

( ) Aresta da base

( ) Aresta da face

( ) Altura

( ) Face

10. De acordo com a figura a seguir, corresponda a segunda coluna de acordo com a primeira.

a) C

b) O

c) V

d) P

( ) Centro da base

( ) Vértice superior

( ) Vértice da base

11. Complete.

a) A pirâmide de base quadrada é aquela cuja base é um .

b) Quando a base da pirâmide é um triângulo, ela recebe o nome de pirâmide de base .

339

12. Marque a alternativa que o segmento indica a altura da pirâmide.

a) VF

b) VD

c) CB

d) VG

13. Marque a pirâmide de base triangular.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

14. Dê o nome do prisma que se forma a partir de cada polígono indicado.

a) Quadrado: prisma reto de base .

b) Retângulo: prisma reto de .

c) Triângulo: prisma .

d) Hexágono: .

340

15. Quais são as figuras que formam as bases do cilindro reto?

a) Circunferência

b) Círculos

c) Polígonos

16. Corresponda o nome de cada pirâmide à figura correspondente.

a) Pirâmide de base hexagonal

b) Pirâmide de base retangular

c) Pirâmide de base quadrada

d) Pirâmide de base triangular

( ) ( )

( ) ( )

341

17. O prisma reto formado pelo deslocamento de um triângulo recebe o nome de prisma reto de base .

18. Marque a figura que representa um cone reto.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

19. Marque a esfera onde está indicado o diâmetro.

a) ( ) b) ( ) c) ( )

342

20. Associe o nome da figura ao sólido correspondente.

a) Prisma de base hexagonal

b) Prisma reto de base retangular

c) Pirâmide de base hexagonal

d) Pirâmide de base quadrada

e) Cone reto

f ) Prisma de base triangular

g) Pirâmide de base retangular

h) Pirâmide de base triangular

i ) Esfera

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

343

21. Escreva os nomes dos sólidos geométricos a seguir.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

344

CAPÍTULO 31 – ÁREA EM SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

ÁREA LATERAL DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

• A região formada pela reunião das faces laterais de um prisma é chamada de superfície lateral do prisma.

Exemplo:

• A medida da superfície lateral de um prisma reto chama-se área lateral do prisma.

• Na fórmula AL = P . h

AL significa área lateral do prisma,

P significa perímetro da base,

h significa altura do prisma.

• A região formada pela reunião das faces laterais de uma pirâmide é chamada de superfície lateral da pirâmide.

345

• A medida da superfície lateral de uma pirâmide é chamada de área lateral.

• Na fórmula AL =P2

. d

AL significa área lateral da pirâmide,

P significa perímetro da base,

d significa distância entre o vértice e o nome da aresta da base.

• Geratrizes de um cilindro reto são segmentos paralelos ao seu eixo de rotação que têm suas extremidades em pontos das circunferências das bases.

As geratrizes de um cilindro são perpendiculares às suas bases.

• A reunião de todas as geratrizes de um cilindro reto chama-se superfície lateral.

A medida da superfície lateral de um cilindro é chamada de área lateral.

• Na fórmula AL =D . . h

AL significa área lateral do cilindro,

D significa diâmetro da base,

346

é a constante 3,14,

h significa altura do cilindro.

• Geratrizes do cone reto são segmentos que têm uma extremidade no vértice do cone e a outra nos pontos da circunferência da base.

• A reunião de todas as geratrizes de um cone reto chama-se superfície lateral.

A medida da superfície lateral de um cone reto é a área lateral desse cone.

• Na fórmula AL = . r . g

AL significa área lateral do cone,

é a constante 3,14,

r significa raio da base,

g significa geratriz do cone.

347

ÁREA DA BASE DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

• Para calcular a área de um prisma reto ou de uma pirâmide, precisamos identificar o polígono da base desses sólidos.

Depois, aplicamos a fórmula para cálculo de área do polígono identificado.

• Para calcular a área da base de um cilindro ou de um cone, aplicamos a fórmula para cálculo de um círculo.

EXERCÍCIOS

1. Qual a área lateral do prisma abaixo, sabendo que o perímetro de sua base é 60 mm?

2. Qual é a área lateral do prisma abaixo, se sua base é 54 cm?

348

3. Qual a área lateral do prisma abaixo, cuja base tem 58 mm de perímetro?

4. Calcule o perímetro da base do prisma a seguir.

5. Calcule a área lateral do prisma do exercício anterior.

349

6. Calcule a área lateral do prisma a seguir.

7. Calcule a área lateral das pirâmides a seguir.

a) b)

8. Qual a área lateral do cilindro abaixo?

350

9. Calcule a área lateral do cilindro a seguir.

10. Calcule a área lateral dos cones a seguir.

a) b)

11. Complete.

a) Na fórmula do prisma: AL = P . h,

AL significa , P e h .

b) Na fórmula para a pirâmide: AL =P2

. d ,

P significa e d

.

351

c) Na fórmula do cilindro: AL =D . . h ,

D significa , e h .

d) Na fórmula para o cone: AL = . r . g ,

é a constante e vale , r e g .

12. Calcule a área lateral dos sólidos geométricos a seguir.

a) b)

P = 10,8 cm

c) d)

352

e) f )

g) h)

353

13. De acordo com a figura do prisma abaixo:

a) Escreva o nome do polígono da base desse prisma.

b) Calcule sua área.

14. Calcule a área da base dos prismas a seguir.

a) b) c)

354

15. De acordo com as figuras a seguir:

a) Escreva o nome do polígono que constitui sua base;

b) Escreva a fórmula usada no cálculo da área dessa base;

c) Calcule a área de cada base.

a) Polígono: a) Polígono:

b) A = b) A =

c) A = c) A =

A = A =

16. Calcule a área da base das pirâmides a seguir.

a) b)

355

17. Determine a área da base dos sólidos geométricos a seguir.

a) b) c)

d) e) f )

356

18. Calcule a área lateral dos sólidos geométricos a seguir.

a) Perímetro da base: 54 mm b)

c) d)

19. Calcule a área da base dos sólidos geométricos.

a) b)

357

c) d)

20. Calcule a área lateral e a área da base dos sólidos geométricos a seguir.

a) Altura = 3 cm b) c)

358

CAPÍTULO 32 – VOLUME DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

VOLUMES DE PRISMAS E PIRÂMIDES

• Volume é a medida do espaço ocupado por um sólido.

• Existe uma fórmula de cálculo de volume para cada sólido geométrico.

• Para calcular o volume de um sólido geométrico, usamos a fórmula correspondente ao sólido fazendo as substituições e os cálculos.

• Na fórmula V = Ab . h

V significa volume do prisma,

Ab significa área da base,

h significa altura do prisma.

• Na fórmula V = Ab . h3

V significa volume da pirâmide,


h significa altura da pirâmide.

• Quando a área da base não vem indicada, precisamos calcular essa área antes de aplicar a fórmula do volume.

VOLUME DO CILINDRO, DO CONE E DA ESFERA

• Na fórmula de volume do cilindro, V = Ab . h,

V significa volume,


h significa altura.

• Na fórmula de volume do cone, V =Ab . h

3

V significa volume,


h significa altura.

• Na fórmula de volume da esfera, V = D3 . 6

V significa volume,

D3 significa a medida do diâmetro elevado ao cubo,

é a constante 3,14.

359

• Quando o cálculo do volume de uma esfera não é exato, aproximamos até milésimos e colocamos o sinal≃ (aproximadamente) no resultado.

• Quando sabemos a medida do raio de uma esfera, antes de fazer as substituições na fórmula, precisamos encontrar a medida do diâmetro, multiplicando por 2 a medida do raio.

EXERCÍCIOS

1. Calcule o volume dos prismas a seguir.

a) Área da base = 345 mm2 b) Área da base = 4,30 cm2 c) Área da bse = 600 mm2

d) e)

360

2. Qual o volume da pirâmide abaixo?

Área da base = 425 mm2

3. Calcule o volume das pirâmides a seguir.

a) Área da base = 3,74 cm2 b) c)

361

4. Calcule o volume dos sólidos geométricos a seguir.

a) Área da base = 20 mm2 b) Área da base = 31,35 mm2 c) Área da base = 400 mm2

d) Área da base = 160 mm2 e) Área da base = 440 mm2 f ) Área da base = 261 mm2

5. Complete o significado das letras nos prismas e nas pirâmides.

V significa

Ab significa

h significa

362

6. Determine o volume dos sólidos geométricos.

a) b) c)

d) e) f )

7. Complete.

a) Nas fórmulas V = Ab . h e V =Ab . h

3,

V significa , Ab

e h

b) Na fórmula V = D3 . 6

,

D3 significa

e é a constante

363

8. Calcule o volume dos cilindros a seguir.

a) Área da base = 615 mm2 b) c)

9. Calcule o volume dos cones a seguir.

a) Área da base = 706,50 mm2 b)

364

10. Calcule o volume dos sólidos geométricos.

a) Área da base = 1,7 cm2 b) Área da base = 90 mm2 c) Área da base = 27 mm2

d) Área da base = 530 mm2 e) Área da base = 1734,065 mm2 f )

365

11. Determine o volume dos sólidos geométricos.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i )

366

j ) l ) m)

12. Calcule o volume dos sólidos geométricos abaixo.

a) Área da base = 1962,50 mm2 b) Área da base = 961,625 mm2 c)

367

CAPÍTULO 33 – TRIÂNGULOS

TRIÂNGULOS ESCALENOS, EQUILÁTEROS E ISÓSCELES

• Os triângulos recebem nomes de acordo com as medidas dos seus lados.

• O triângulo que apresenta medidas diferentes nos três lados recebe o nome de escaleno.

Exemplo:

• O triângulo que apresenta a mesma medida nos três lados recebe o nome de equilátero.

Exemplo:

• O triângulo que apresenta a mesma medida em apenas dois lados recebe o nome de isósceles.

Exemplo:

369

TRIÂNGULO RETÂNGULO

• O ângulo que mede 90º chama-se ângulo reto.

Exemplo:

• O triângulo que possui um ângulo reto recebe o nome de triângulo retângulo.

Exemplo:

• Quando o triângulo não traz indicações de suas medidas, medimos o ângulo que parece ter 90º para verificar se esse triângulo é ou não retângulo.

TRIÂNGULOS RETÂNGULOS EM FIGURAS PLANAS

• Podemos determinar triângulos retângulos em figuras planas.

• Para determinar triângulos retângulos em quadrados e em retângulos, precisamos saber o que é diagonal e o que são vértices consecutivos.

• Dois vértices de um polígono que ficam um em seguida ao outro chamam-se vértices consecutivos.

370

• Diagonal é um segmento que une dois vértices não consecutivos de um polígono.

• Determinamos triângulos retângulos num quadrado ou num retângulo, traçando uma diagonal:

• Determinamos triângulos retângulos num triângulo isósceles, traçando a altura em relação ao lado diferente:

371

• Determinamos triângulos retângulos num triângulo equilátero, traçando uma das alturas.

• Determinamos triângulos retângulos em desenhos de detalhes de peças na forma de triângulo, traçando os segmentos das bases e as alturas:

• Determinamos triângulos retângulos em trapézios, traçando a altura a partir do vértice da base menor.

372

• Em desenhos de peças com detalhe na forma de trapézio, determinamos triângulos retângulos, traçando a altura a partir dos vértices da base menor.

• Trançando apótemas, determinamos triângulos retângulos num hexágono que que tenha as diagonais passando pelo centro.

373

EXERCÍCIOS

1. Entre os triângulos abaixo, marque o triângulo escaleno.

a) b) c)

2. Entre os triângulos abaixo, marque o triângulo equilátero.

a) b) c)

3. Entre os triângulos abaixo, marque o triângulo isósceles.

a) b) c)

374


a) O triângulo com medidas diferentes nos três lados chama-se .

b) O triângulo com a mesma medida nos três lados chama-se .

c) O triângulo com a mesma medida em apenas dois lados chama-se .

5. Escreva corretamente os nomes dos triângulos (escaleno, equilátero ou isósceles).

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i )

375

6. O triângulo abaixo possui um ângulo reto. Observe o sinal de ângulo reto no ângulo B.

Complete: então ABC é um triângulo .

7. Marque os triângulos retângulos nos triângulos a seguir.

a) b) c)

d) e)

8. Na figura abaixo, os vértices não consecutivos são A e , B e .

376

9. Determine triângulos nas figuras abaixo, traçando a diagonal.

a) b)

c) d)

10. Determine triângulos retângulos nos triângulos isósceles abaixo, traçando a altura em relação ao lado diferente.

a) b) c)

377

11. Determine triângulos retângulos nos triângulos isósceles e equiláteros abaixo.

a) b) c)

12. No hexágono a seguir não traçamos todas as diagonais. Neste caso, não há seis triângulos equiláteros. Determine os triângulos retângulos nos triângulos equiláteros formados.

13. Determine triângulos retângulos no trapézio abaixo traçando a altura.

378

14. Determine o triângulo retângulo no trapézio abaixo, traçando a altura a partir do vértice da base menor.

15. Traçando a altura nos trapézios abaixo, determine os triângulos retângulos possíveis.

a) b)

c) d)

379

CAPÍTULO 34 – ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO

ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO

• No triângulo retângulo, um dos ângulos internos sempre mede 90º.

Exemplo:

• No triângulo equilátero, os ângulos internos são congruentes.

• No triângulo equilátero, cada ângulo interno mede 60º.

• No triângulo escaleno, todos os ângulos internos possuem medidas diferentes.

Exemplo:

381

• No triângulo isósceles, os dois ângulos que ficam opostos aos lados de mesma medida são congruentes.

Exemplo:

• Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos seus ângulos internos é igual a 180º.

Exemplo:

• Sabendo a medida de dois ângulos de um triângulo, podemos calcular a medida do outro ângulo, usando uma equação.

Exemplos:

382

• Quando sabemos a medida do ângulo diferente em um triângulo isósceles, podemos encontrar a medida dos ângulos congruentes, também usando uma equação.

Exemplo:

ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO – APLICAÇÕES

• Em todo triângulo, um ângulo interno e um ângulo externo que têm um lado comum medem juntos 180º.

Exemplo:

Portanto, quando sabemos a medida do ângulo interno, descobrimos o valor do ângulo externo, com uma subtração:

383

180º – ângulo interno = ângulo externo

180º – 48º 50' = 131º 10'

Da mesma forma, encontramos valor do ângulo interno, quando já sabemos a medida do externo:

180º – ângulo externo = ângulo interno

180º – 131º 10' = 48º 50'

• As diagonais que passam pelo centro de um hexágono formam triângulos equiláteros.

Exemplo:

Portanto, cada um dos ângulos internos desse triângulos mede 60º.

E, traçando o apótema no hexágono, encontramos os seguintes ângulos em cada um dos triângulos retângulos determinados.

Exemplo:

384

• As medidas dos ângulos internos do triângulo retângulo determinado numa figura plana também somam 180º.

Exemplos:

• Por isso, em cada uma dessas figuras, se uma das três medidas for desconhecida, podemos usar uma equação, para descobrir o seu valor.

Exemplo:

385

EXERCÍCIOS

1. Some as medidas dos ângulos internos de cada triângulo abaixo.

a) B + C + D = b) D + E + F = c) F + G + H =

2. Escreva as medidas dos ângulos indicados.

a) A b) X

c) Q d) M

386

3. No triângulo abaixo, encontre as medidas dos ângulos D e F.

4. Encontre a medida do ângulo B do triângulo abaixo.

5. Encontre a medida desconhecida do ângulo no triângulo abaixo.

6. Encontre a medida do ângulo E.

387

7. Marque o triângulo onde os três ângulos medem 60º.

a) b) c)

8. Marque a alternativa que completa a afirmação abaixo.

O único triângulo em que os três ângulos medem 60º é :

a) O triângulo escaleno.

b) O triângulo equilátero.

c) O triângulo isósceles.

9. Qual o valor que corresponde à medida de G.

388

10. Encontre o valor de Z no triângulo abaixo. Use as letras que quiser nos vértices do triângulo.

11. Calcule e complete a afirmação abaixo.

O ângulo de a do triângulo CDE mede .

12. Faça os cálculos e complete a afirmação abaixo.

No triângulo ABC, o ângulo A mede .

389

13. Qual é a medida do ângulo E na figura abaixo?

14. Observe bem todos os sinais e medidas do trapézio a seguir e calcule a medida do ângulo O.

15. Encontre a medida do ângulo R do trapézio abaixo.

390

16. No trapézio ABCD, o ângulo A mede 131º 45'. Qual é a medida do ângulo D?

17. No trapézio a seguir, â mede 38º 35'. Qual é a medida de d?

18. Na figura abaixo, g mede 26º 17'. Qual é a medida do ângulo h?

Para resolver esse problema, lembre que:

1º – Esta figura é um retângulo;

2º – Todo retângulo tem 4 ângulos retos, por isso ê e h juntos formam ângulo reto.

391

19. Nas figuras a seguir, faça os cálculos necessários e escreva as medidas indicadas.

a) x b) z


a) Na figura abaixo, â mede 40º 10' ;

Quanto mede:

b) b mede

c) c mede

d) d mede

b) No trapézio abaixo, Ê mede 118º 05' e H mede .

392

21. Nesta figura, h mede 22º 30'. Qual é a medida do ângulo g?

22. Encontre as medidas dos ângulos indicados.

a) r =

b) s =

393

CAPÍTULO 35 – RAIZ QUADRADA

QUADRADOS PERFEITOS

• Raiz Quadrada de um número é outro número que, elevado ao quadrado, dá o primeiro número.

A raiz quadrada de 9 é 3, porque 32 = 9 ou 3 x 3 = 9.



• O símbolo 2 indica raiz quadrada.

2 9 Raiz quadrada de nove.

2 16 Raiz quadrada de dezesseis.

2100 Raiz quadrada de cem.

• O sinal chama-se radical e o número 2 chama-se índice.

• O número que fica embaixo do símbolo 2 chama-se radicando.

Em 2 9 , 9 é o radicando,em 2 16 , 16 é o radicando.

• É costume indicar a raiz quadrada sem o índice: 16 , 9 , 100 etc.

• Os números que têm raiz quadrada exata chama-se quadrados perfeitos.

• Tabela dos quadrados perfeitos naturais de zeros até 100 e as suas raízes quadradas.

Quadrado 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Raiz 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RAIZ QUADRADA “POR FALTA” E “POR EXCESSO”

• Quando a raiz quadrada de um número não é exata, consideramos a raiz quadrada aproximada. A raiz quadrada de 15 é aproximada.

• Indicamos a raiz quadrada aproximada com o sinal ≃ (aproximadamente).

Exemplo: 15 ≃ 3 ou 15 ≃ 4

• Raiz quadrada aproximada por falta é o maior número que elevado ao quadrado, não ultrapassa o número do qual estamos procurando a raiz.

Em 15 ≃ 3 , 3 é a raiz quadrada aproximada por falta, pois 32 = 9 e 9 não ultrapassa 15.

• Raiz quadrada aproximada por excesso é o menor número que, elevado ao quadrado, ultrapassa o número do qual estamos procurando a raiz.

Em 15 ≃ 4 , 4 é a raiz quadrada por excesso, pois 42 = 16 e 16 ultrapassa 15.

395

TÉCNICA PARA EXTRAIR RAIZ QUADRADA

• Quando não é possível encontrar diretamente a raiz quadrada de um número, usamos a técnica de extração de raiz.

• Na técnica para extrair a raiz quadrada de um número, usamos esta disposição:

Por exemplo, 14 641 fazemos como a seguir:

• Para extrair a raiz quadrada, seguimos os passos que vêm a seguir.

1º – Dividimos o número em grupos de dois algarismos, a partir da direita.

E colocamos no lugar da raiz uma quantidade de traços de acordo com os grupos do número.

396

2º – Calculamos a raiz quadrada exata ou aproximada por falta do primeiro grupo à esquerda.

3º – Elevamos ao quadrado a raiz encontrada e subtraímos esse quadrado do primeiro grupo.

1 x 1 = 1

4º – Abaixamos o próximo grupo ao lado do resto e separamos o último algarismo da direita com um ponto.

1 x 1 = 1

5º – Calculamos o dobro da raiz e escrevemos esse dobro embaixo do traço da raiz.

1 x 1 = 12 x 1 = 2

6º – Dividimos o grupo à esquerda do ponto pelo dobro da raiz.

1 x 1 = 12 x 1 = 24 : 2 = 2

397

7º – Colocamos o quociente ao lado do dobro da raiz e multiplicamos esse novo número pelo mesmo quociente:

1 x 1 = 12 x 1 = 24 : 2 = 2

E subtraímos o resultado encontrado do número que está no local do radicando.

1 x 1 = 12 x 1 = 24 : 2 = 2

8º – Colocamos o quociente no local da raiz.

1 x 1 = 12 x 1 = 24 : 2 = 2

9º – Havendo mais algarismos para abaixar, continuamos a extrair a raiz, a partir do 4º passo.

1 x 1 = 12 x 1 = 24 : 2 = 2

398

1 x 1 = 12 x 1 = 24 : 2 = 2

12 x 2 = 2424 : 24 = 1

1 x 1 = 12 x 1 = 24 : 2 = 2

12 x 2 = 2424 : 24 = 1

EXTRAÇÃO DE RAIZ QUADRADA – CASOS PARTICULARES

• Quando o número à esquerda do ponto é menor que o dobro da raiz, colocamos zero no local reservado à raiz e abaixamos o grupo seguinte, para continuar os cálculos.

Exemplo:

1 x 1 = 12 x 1 = 2

399

• Quando, depois da multiplicação pelo quociente, não é possível subtrair, vamos diminuindo uma unidade no quociente, até ser possível subtrair.

Exemplo:

18 : 2 = 9

• Quando o quociente obtido é maior do que 9, considerando o 9 para colocar ao lado do dobro da raiz e multiplicar.

Exemplo:

1 x 1 = 12 x 1 = 226 : 2 = 13 9

RAIZ QUADRADA DE NÚMEROS DECIMAIS

• Na extração da raiz quadrada de números decimais, dividimos os grupos de dois algarismos a partir da vírgula:

– da vírgula para a esquerda;

– da vírgula para a direita.

Exemplo:

• Antes de começar a extrair a raiz quadrada, preparamos o local da raiz com os espaços para os algarismos, antes e depois da vírgula, lembrando que cada grupo corresponde a um espaço:

400

• Depois extraímos a raiz quadrada como nos números naturais.

RAIZ QUADRADA POR APROXIMAÇÃO

• Quando a raiz quadrada não é exata, usamos o sinal que indica aproximadamente:

• Quando o último grupo da parte decimal de um radicando tem um só algarismo, acrescentamos um zero.

• Quando é preciso calcular a raiz não exata de um número, com aproximação de décimos ou centésimos, fazemos assim:

– acrescentamos no radicando dois zeros para cada aproximação:

– colocamos no lugar da raiz um traço para cada aproximação:

401

7,40 (com aproximação de décimos) fica assim mesmo, pois o resultado irá até décimos:

7,40 (com aproximação de centésimos) deverá ter mais dois zeros e mais um traço para o resultado.

• Nos números naturais é preciso também acrescentar a vírgula.

15 (com aproximação de centésimos) ficará assim:

• Na extração de raiz quadrada com aproximação, quando o resultado atinge a aproximação desejada, terminamos a operação.

402

EXERCÍCIOS

1. Qual é a raiz quadrada de 25?

A raiz quadrada de 25 é .


Na indicação 225 = 5 :

a) O radicando é .

b) A raiz quadrada é .

c) O radical é .

d) O índice é .

3. Complete, conforme o exemplo.

a) 225 = 5 , porque 52 = 5 x 5 = 25

b) 24 = , porque .

c) 216 = , porque .

4. Complete as afirmações a seguir, conforme o exemplo.

a) 29 é o mesmo que 9 ;

b) 24 é o mesmo que ;

c) 216 é o mesmo que ;

d) 249 é o mesmo que ;

e) 2100 é o mesmo que .

5. Corresponda cada indicação da coluna da esquerda com sua a raiz na coluna da direta.

a) 36 ( ) 7

b) 1 ( ) 9

c) 64 ( ) 6

d) 49 ( ) 1

e) 100 ( ) 10

( ) 8


a) Na indicação 81= 9 :

O radicando é .

O radical é .

403


b) Na indicação 100 :

O radicando é .

O radical é .


7. Escreva as raízes quadradas correspondentes.

a) 25 = b) 100 =

c) 4 = d) 64 =

e) 9 = f ) 1 =

g) 16 = h) 36 =

i ) 49 = j ) 0 =

8. Diga a raiz quadrada de 20.

a) 20 = b) 20 =

9. Marque a afirmação correta.

a) ( ) Em 10≃ 3 , temos raiz quadrada por excesso.

b) ( ) Em 10≃ 4 , temos raiz quadrada por excesso.

10. Escreva as raízes quadradas aproximadas.

a) 15 = (por falta) e (por excesso).

b) 70 = (por falta) e (por excesso).

11. Escreva as raízes quadradas aproximadas (por excesso).

a) 13 = b) 83 =

c) 80 = d) 8 =

e) 24 = f ) 90 =

12. Escreva as raízes quadradas aproximadas (por falta).

a) 35 = b) 40 =

c) 50 = d) 66 =

e) 95 = f ) 48 =

g) 12 = h) 84 =

i ) 28 = j ) 18 =

m) 73 = n) 6 =

404

13. Divida os grupos no radicando e prepare os espaços para a raiz.

a) b)

c) d)

e) f )

14. Continue a extração da raiz quadrada abaixo. Observe que o número à esquerda do ponto é menor que o dobro da raiz: zero é menor que 4.

Então, 10404 =

1 x 1 = 1 (raiz elevada ao quadrado)

2 x 1 = 2 (dobro da raiz)

Observe que o número à esquerda do ponto é menor que o dobro da raiz: zero é menor que 4.

405

15. Continue a extração da raiz quadrada abaixo.

16. Faça a extração da raízes quadradas a seguir.

a) 4,41 = b) 1,69 = c) 403 225 =

d) 14641 = e) 44521 = f ) 18,49 =

g) 6,671889 = h) 218,1529 =

17. Faça a extração da raízes quadradas a seguir.

a) 41209 = b) 10816 = c) 225 =

d) 256 = e) 18225 = f ) 60516 =

g) 1444 = h) 21316 = i ) 25281 =

j ) 36864 = l ) 1521 = m) 2401 =

n) 36481 = o) 152881 = p) 324 =

q) 32761 = r ) 536,3856 = s) 108,5764 =


a) Extraindo a raiz quadrada de 4096, encontramos .

b) Extraindo a raiz quadrada de 12769, encontramos .

c) Extraindo a raiz quadrada de 93025, encontramos .

d) Extraindo a raiz quadrada de 145924, encontramos .

406

19. Divida os radicandos em grupos de dois algarismos e prepare o local da raiz.

a) b)

20. Calcule as raízes quadradas a seguir.

a) 157,5025 = b) 8537,76 = c) 210,25 =

d) 12,25 =

21. Marque o resultado correto para esta operação: 68,0625 =

a) 82,5 b) 8,25 c) 20,49 d) 2,049

22. Divida os radicandos em grupos de dois algarismos e preencha com zeros, quando necessário.

a) 157,27668 b) 58,0645 c) 126,941 d) 7,4

23. Confira as divisões e depois prepare os espaços para as raízes.

a) b)

c) d)

Obs.: Neste radicando, não foi preciso acrescentar zero.

407

24. Calcule.

a) 157,27668 = b) 4,406 = c) 16,805 =

d) 6,32 = e) 7,4 = f ) 784 =

g) 2,2201 = h) 8,41 = i ) 30276 =

j ) 72,25 = l ) 357,5881 = m) 27 =

n) 7,8 =

25. Calcule a raiz quadrada de 7,4 com aproximação até centésimos.

26. Calcule 15 com aproximação até décimos.

27. Calcule 17 com aproximação até centésimos.

28. Calcule 8,3 com aproximação até centésimos.

29. Marque a alternativa que completa corretamente a afirmação abaixo.

A raiz quadrada de 5,4 com aproximação até décimos é:

a) 2,99 b) 2,32 c) 2,9 d) 2,3

30. Marque a raiz quadrada de 3 com aproximação até décimos.

a) 1,8 b) 1,7 c) 1,73 d) 1,88

31. Qual o resultado correto para as operações abaixo?

a) 18,9 = (com aproximação até centésimos).

b) 34 = (com aproximação até centésimos).

32. Complete a afirmação abaixo:

A raiz quadrada de 101 761 é .

408

CAPÍTULO 36 – RELAÇÃO DE PITÁGORAS

LADOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

• O lado que fica oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa:

• Os lados que formam o ângulo reto recebem o nome de catetos:

RELAÇÃO DE PITÁGORAS

• A relação de Pitágoras é a seguinte: o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Exemplo:

Hipotenusa = 50 mm

Catetos = 30 mm e 40 mm

502 = 302 + 402

2500 = 900 + 16002500 = 2500

• Nomeando a hipotenusa e os catetos com letras, podemos escrever uma fórmula para a relação de Pitágoras.

409

Exemplos:

Fórmula: c2 = b2 + a2

Fórmula: i2 = j2 + h2

CÁLCULO DE UM LADO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

• Conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, podemos encontrar a medida do outro lado, seguindo os seguintes passos:

1º – Escrevemos a fórmula para a relação de Pitágoras;2º – Substituímos as letras da fórmula pelos valores conhecidos correspondentes;3º – Resolvemos a equação, lembrando que a extração da raiz quadrada faz parte da relação.

Exemplo:

1º a2 = c2 + b2

2º a2 = 92 + 122

3º a2 = 81 + 144 a2 = 225 a = 225 a = 15

Portanto, em ABC a medida de BC é 15 cm.

• Quando a raiz quadrada não é exata, consideramos para o resultado a raiz com aproximação até centésimos.

Neste caso escrevemos “aproximadamente” ou ≃ no resultado.

410

EXERCÍCIOS

1. Indique a hipotenusa nos triângulos abaixo.

a) b)

2. Indique os catetos dos triângulos CDE e FGH.

a) b)

3. Nomeie os lados dos triângulos abaixo como indicado.

a) b)

IJ = MN =

JL = MO =

IL = NO =

411

4. Em PQR, a medida de q é 7 cm e a de r 8 cm. Quanto mede p?

5. Em um triângulo retângulo, os catetos medem 5 m e 12 m. Quanto mede a hipotenusa?

6. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos 6 cm. Quanto mede o outro cateto?

7. Em STU, t mede 8 cm e u 10 cm. Quanto mede s?

8. No triângulo abaixo o mede 1,5 dm e n 2 dm. Qual é a medida de m?

412

9. Em um triângulo retângulo, os catetos medem 20 cm e 21 cm. Quanto mede a hipotenusa?

10. Um triângulo retângulo tem como medidas 12 dm na hipotenusa e 5 dm em um dos catetos. Quanto mede o outro cateto?

11. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 30 mm e um cateto 18 mm. Qual é a medida do outro cateto?

12. Indique a hipotenusa e os catetos dos triângulos a seguir.

a) b)

b = d =

c = e =

d = f =

c) d)

f = g =

g = h =

h = i =

413

13. Escreva a relação de Pitágoras para os triângulos abaixo.

a) b)

c) d)

14. Quanto mede g no triângulo abaixo?

414

15. Qual é a medida de a?

16. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 0,30 cm e um dos catetos tem 0,24 cm. Qual é a medida do outro cateto?

17. Os catetos de um triângulo retângulo medem 4,5 cm e 3,5 cm. Quanto mede a hipotenusa?

18. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 40 mm. A medida de um dos catetos é 25 mm. Qual é a medida do outro cateto?

415

CAPÍTULO 37 – APLICAÇÕES DA RELAÇÃO DE PITÁGORAS

QUADRADOS E A RELAÇÃO DE PITÁGORAS

• Podemos utilizar a relação de Pitágoras para calcular a medida desconhecida de um quadrado, seja ela a medida do lado ou da diagonal.

• Ao traçar a diagonal num quadrado, determinamos nesse quadrado dois triângulos retângulos, cuja hipotenusa fica correspondendo à diagonal e cujos catetos ficam correspondendo aos lados do quadrado.

Exemplo:

• Ao aplicar a relação de Pitágoras no resultado, consideramos apenas um triângulo retângulo e nomeamos com letras minúsculas a hipotenusa e os catetos, para escrever a fórmula.

Exemplo:

Fórmula: a2 = b2 + c2

• Para encontrar a medida da diagonal do quadrado, calculamos a medida da hipotenusa do triângulo retângulo considerado.

Exemplo: Quanto mede a diagonal de um quadrado que tem 3 cm de lado?

Para cálculos, consideramos:

diagonal hipotenusa ( a ),

lados catetos ( b e c ) 3 cm.

Então:

417

a2 = b2 + c2

a2 = 32 + 32

a2 = 9 + 9a2 = 18 a = 18

a≃ 4,24

Portanto, a diagonal mede ≃ 4,24 cm .

• Para encontrar a medida dos lados de um quadrado, calculamos a medida dos catetos do triângulo retângulo considerado.

Neste caso, para facilitar os cálculos, usamos a mesma letra nos dois catetos.

Exemplo: Qual é a medida dos lados de um quadrado que tem 3,5 dm de diagonal?


diagonal hipotenusa ( a ) 3,5 dm,

lados catetos ( c e c ).

Então:

a2 = c2 + c2

3,52 = c2 + c2

12,25 = 2c2

2c2 = 12,25

c2 = 12,252

c2 = 6,125 c = 6,125

c ≃ 2,47

Portanto, cada lado do quadrado mede ≃ 2,47 dm .

RETÂNGULOS E A RELAÇÃO DE PITÁGORAS

• Podemos utilizar a relação de Pitágoras para calcular a medida desconhecida de um retângulo, seja ela a medida da largura, do comprimento ou da diagonal.

• Ao traçar a diagonal num retângulo, determinamos dois triângulos retângulos, cuja hipotenusa fica correspondendo à diagonal e cujos catetos ficam correspondendo à diagonal e cujos catetos ficam correspondendo à largura e ao comprimento do retângulo.

Exemplo:

418

• Ao aplicar a relação de Pitágoras no retângulo, consideramos apenas um triângulo retângulo e nomeamos com letras minúsculas a hipotenusa e os catetos, para escrever a fórmula.

Convém colocar a para a hipotenusa, b e c para os catetos, a fim de facilitar os cálculos.

Exemplo:


• Para encontrar a medida da diagonal do retângulo, calculamos a medida da hipotenusa do triângulo considerado.

Exemplo: Qual é a medida da diagonal de um retângulo que tem 6 cm de largura e 8 cm de comprimento?


diagonal hipotenusa ( a ),

largura cateto ( b ) 6 cm,

comprimento cateto ( c ) 8 cm.

Então:

a2 = b2 + c2

a2 = 62 + 82

a2 = 36 + 64a2 = 100a = 100a = 10

Portanto, a diagonal mede 10 cm.

• Para encontrar a medida da largura, calculamos a medida do cateto que coincide com a largura.

Exemplo: Qual é a medida da largura do retângulo que tem 3,6 cm de diagonal e 3,0 cm de comprimento?


diagonal hipotenusa ( a ) 3,6 cm,

comprimento cateto ( b ) 3,0 cm,

largura cateto ( c ).

Então:

419

a2 = b2 + c2

3,62 = 3,02 + c2

12,96 = 9,00 + c2

12,96 – 9,00 = c2

3,96 = c2

c2 = 3,96 c = 3,96

c ≃ 1,98

Portanto, a medida da largura é ≃ 1,98 cm .

• Para encontrar a medida do comprimento, calculamos a medida do cateto que coincide com o comprimento.

Exemplo: Qual é a medida do comprimento de um retângulo que tem 5 m de diagonal e 2,5 m de largura?


diagonal hipotenusa ( a ) 5 m,

largura cateto ( b ) 2,5 m,

comprimento cateto ( c ).

Então:

a2 = b2 + c2

52 = 2,52 + c2

25 = 6,25 + c2

25 – 6,25 = c2

18,75 = c2

c2 = 18,75 c = 18,75

c ≃ 4,33

Portanto, a medida da largura é ≃ 4,33 m .

TRIÂNGULOS ISÓSCELES E EQUILÁTEROS E A RELAÇÃO DE PITÁGORAS

• Ao traçar a altura num triângulo equilátero ou isósceles, determinamos dois triângulos retângulos, cuja hipotenusa fica correspondendo ao lado e cujos catetos ficam correspondendo à altura e à metade da base.

Exemplo:

• Podemos utilizar a relação de Pitágoras para calcular a medida desconhecida de um triângulo isósceles ou equilátero, seja ela a medida do lado, da base ou da altura.

420

• Ao aplicar a relação de Pitágoras em triângulos isósceles ou equiláteros, consideramos apenas um triângulo e nomeamos com letras minúsculas a hipotenusa e os catetos, para escrever a fórmula.

Exemplo:


• Para encontrar a medida do lado de um triângulo isósceles, calculamos a medida da hipotenusa do triângulo retângulo considerado.

Exemplo: Quanto mede o lado de um triângulo isósceles que tem 6 cm da base e 4 cm de altura?


lado hipotenusa ( a ),

altura cateto ( b ) 4 cm,

metade da base cateto ( c ) 6 cm : 2 = 3 cm.

Então:

a2 = b2 + c2

a2 = 42 + 32

a2 = 16 + 9a2 = 25a = 25a = 5

Portanto, a medida do lado desse triângulo é 5 cm.

• Para encontrar a medida da altura de um triângulo isósceles, calculamos a medida do cateto que corresponde à altura.

Exemplo: Quanto mede a altura de um triângulo isósceles que tem 4,8 dm do lado e 3 dm de base?


lado hipotenusa ( a ) 4,8 dm,

metade da base cateto ( b ) 3 dm : 2 = 1,5 dm,

altura cateto ( c ).

Então:

421

a2 = b2 + c2

4,82 = 1,52 + c2

23,04 = 2,25 + c2

23,04 – 2,25 = c2

20,79 = c2

c2 = 20,79 c = 20,79

c ≃ 4,55

Portanto, a altura desse triângulo mede ≃ 4,55 dm .

• Para encontrar a medida da base de um triângulo isósceles, calculamos a medida do cateto que coincide com metade da base e depois multiplicamos por 2 esse resultado.

Exemplo: Qual é a medida da base de um triângulo isósceles que tem 3,6 cm de lado e 2,0 cm de altura?


lado hipotenusa ( a ) 3,6 cm,

altura cateto ( b ) 2,0 cm,

metade da base cateto ( c ).

Então:

a2 = b2 + c2

3,62 = 2,02 + c2

12,96 = 4,00 + c2

12,96 – 4,00 = c2

8,96 = c2

c2 = 8,96 c = 8,96

c ≃ 2,99 2,99 x 2 = 5,98

Portanto, a medida da base é 5,98 cm.

• Para encontrar a medida da altura de um triângulo equilátero, calculamos a medida do cateto que coincide com a altura, lembrando que a medida conhecida se refere aos dois lados e à base do triângulo equilátero.

Exemplo: Qual é a medida da altura de um triângulo equilátero que tem 8 cm de lado?


lado hipotenusa ( a ) 8 cm,

metade da base cateto ( b ) 8 cm : 2 = 4 cm,

altura cateto ( c ).

Então:

a2 = b2 + c2

82 = 42 + c2

64 = 16 + c2

64 – 16 = c2

48 = c2

c2 = 48 c = 48

c ≃ 6,92

422

Portanto, a medida da altura é ≃ 6,92 cm .

• Para calcular a medida dos lados de um triângulo equilátero, conhecendo a medida da altura , consideramos que:

a) A medida conhecida se refere ao cateto que coincide com a altura;

b) A medida da hipotenusa corresponde a X;

c) A medida do outro cateto corresponde a x2 .

Exemplo: Quanto mede cada lado de um triângulo equilátero que tem 3,9 dm de altura?

Então:

x 2 = x2

2

3,92

x2 = x2

4 15,21

4x2

4= x2

4 60,84

4

4x2 = x2 + 60,842

4x2 – x2 = 60,843x2 = 60,84

x2 = 60,843

x2 = 20,28 x = 20,28

x ≃ 4,50

Portanto, cada lado mede ≃ 4,50 dm .

HEXÁGONOS E A RELAÇÃO DE PITÁGORAS

• Ao traçar diagonais que passam pelo centro de um hexágono, determinamos triângulos equiláteros nesses hexágonos:

423

BOC e FOE são triângulos equiláteros: portanto, nesses dois triângulos, os três lados têm a mesma medida.

• Ao determinar triângulos retângulos nos triângulos equiláteros de um hexágono, traçando um apótema, encontramos as seguintes correspondências:

a) Metade da diagonal fica correspondendo à hipotenusa ( a );

b) Metade do lado do hexágono fica correspondendo a um cateto ( b );

c) O apótema fica correspondendo ao outro cateto ( c ).

Exemplo:

• Depois de colocar letras na hipotenusa e nos catetos, escrevemos a relação de Pitágoras, para aplicá-la no hexágono: a2 = b2 + c2

• Sabendo a medida dos lados do hexágono, podemos encontrar a medida do apótema, calculando a medida do cateto que corresponde ao apótema.

Exemplo:

a = 25 mmb = 12,5 mm (pois 25 : 2 = 12,5)c = ?

a2 = b2 + c2

252 = 12,52 + c2

625 = 156,25 + c2

625 – 156,25 = c2

468,75 = c2

c2 = 468,75 c = 468,75

c ≃ 21,65

Neste exemplo, o apótema mede aproximadamente 21,65 mm.

424

• Há casos em que é preciso multiplicar por dois a medida do apótema, para encontrar o valor.

OM = medida do apótema

TRAPÉZIOS E A RELAÇÃO DE PITÁGORAS

• Num trapézio que possui ângulos retos, ao determinar um triângulo traçando a altura a partir do vértice da base menor, encontramos as seguintes correspondências:

a) o lado inclinado do trapézio fica correspondendo à hipotenusa ( a );

b) a altura e uma parte da base maior ficam correspondendo aos catetos (b e c).

Exemplo:

• A medida do cateto que corresponde a uma parte da base maior é sempre o resultado da seguinte operação: medida da base maior menos medida da base menor.

Exemplo:

GE = 50 mm – 30 mm

GE = 20 mm

425

• Para encontrar a medida do lado inclinado de um trapézio com ângulo reto, conhecendo as medidas da altura, da base menor e da base maior, aplicamos a relação de Pitágoras, calculando o valor da hipotenusa.

Exemplo:

a = ?c = 40 mmb = 80 mm – 50 mm = 30 mm

a2 = b2 + c2

a2 = 302 + 402

a2 = 900 + 1600a2 = 2500a = 2500a = 50 mm

• Para encontrar a medida da altura de um trapézio com ângulo reto, conhecendo as medidas das bases e do lado inclinado, aplicamos a relação de Pitágoras, calculando o valor do cateto que corresponde à altura.

Exemplo:

a = 35,4 mmb = 25 mm (pois 55 – 30 = 25)c = ?

a2 = b2 + c2

35,42 = 252 + c2

1253,16 = 625 + c2

1253,16 – 625 = c2

c2 = 628,16 c = 628,16

c ≃ 25,06 mm

• Para encontrar a medida da base maior de um trapézio com ângulo reto, conhecendo as medidas da altura, do lado inclinado e da base menor, aplicamos a relação de Pitágoras, calculando o valor do cateto que coincide com a parte da base maior.

A medida da base maior será o resultado desta operação: resultado encontrado mais medida da base menor.

Exemplo:

a = 33 mmc = 25 mmb = ?

a2 = b2 + c2

332 = b2 + 252

1089 = b2 + 6251089 – 625 = b2

464 = b2

b2 = 464 b = 464

b≃ 21,54 mm

21,54 mm + 40 mm = 61,54 mm

426

• Num trapézio que possui dois lados congruentes, ao determinar triângulos retângulos, traçando a altura a partir dos vértices da base menor, encontramos as seguintes correspondências em cada um dos triângulos:

a) O lado inclinado fica correspondendo à hipotenusa ( a );

b) A altura e uma parte da base maior ficam correspondendo aos catetos ( a e c).

Exemplo:

a hipotenusa

b cateto

c cateto

• A medida do cateto que corresponde a uma parte da base maior é o resultado das seguintes operações:

a) Medida da base maior menos medida da base menor;

b) Medida encontrada nessa subtração dividida por 2.

Exemplo:

c = 90− 602

c = 302

c = 15 mm

• Para encontrar a medida dos lados inclinados de um trapézio com os lados inclinados congruentes, conhecendo as medidas da base maior, da base menor e da altura, aplicamos a relação de Pitágoras, calculando o valor da hipotenusa em um dos triângulos.

Exemplo:

a = ?b = 34 mm

c = 26 mm pois c= 80− 282

a2 = b2 + c2

a2 = 342 + 262

a2 = 1156 + 676a2 = 1832 a = 1832

a ≃ 42,80 mm

427

• Para encontrar a medida da altura de um trapézio com os lados inclinados congruentes, conhecendo as medidas dos lados e das bases, aplicamos a relação de Pitágoras, calculando o valor do cateto que corresponde à altura.

Exemplo:

a = 3 cmb = ?

c = 1 cm pois c= 6− 42

a2 = b2 + c2

32 = b2 + 12

9 = b2 + 19 – 1 = b2

b2 = 8 b = 8

b ≃ 2,82 cm

• Para encontrar a medida da base maior de um trapézio com os lados inclinados congruentes, conhecendo as medidas da base menor, do lado inclinado e da altura, aplicamos a relação de Pitágoras, calculando o valor do cateto que coincide com uma parte da base maior.

A medida da base maior será o resultado destas operações:

a) Medida encontrada vezes 2;

b) Resultado da multiplicação mais medida da base menor.

Exemplo:

a = 35 mmb = 30 mmc = ?

a2 = b2 + c2

352 = 302 + c2

1225 = 900 + c2

1225 – 900 = c2

325 = c2

c2 = 325 c = 325

c ≃ 18,02 mm

18,02 x 2 = 36,04 mm36,04 mm + 20 mm = 56,04 mm

428

EXERCÍCIOS

1. Quanto mede o segmento EG do quadrado EFGH?

2. Quanto mede o segmento UX da figura abaixo.

3. Calcule a medida da diagonal do retângulo BCDE. Considere, para cálculos, a para a hipotenusa, b e c para os catetos.

429

4. Complete: cada lado de MNOP mede .

5. A diagonal de um quadrado mede 19,8 cm. Quanto mede cada um dos lados desse quadrado?

6. Qual é a medida dos lados de um quadrado que tem 9,9 m na diagonal?

7. Faça os cálculos e complete a afirmação abaixo.

Num retângulo com 6 cm de largura e 8 cm de comprimento, a diagonal mede .

8. No retângulo MNOP, conhecemos as medidas da diagonal e da largura. Calcule a medida do comprimento. Escreva a fórmula com as letras que preferir.

9. Qual é o comprimento de um retângulo que tem 15 mm de diagonal e 9 mm de largura?

430

10. Escreva a medida do segmento NL.

11. Complete.

Em FGH, FH mede e FG mede .

Antes de fazer as substituições na fórmula, lembre-se de dividir por 2 a medida da base, para saber qual é a medida do cateto que coincide com metade da base.

12. Complete.

Em JLM, JM mede e JL mede .

Lembre-se de determinar a altura, para perceber bem os triângulos retângulos. E nomeie com letras minúsculas os catetos e a hipotenusa de um dos triângulos, que ficará mais fácil.

431

13. Quanto tem de altura o triângulo QST?

14. Calcule a altura do triângulo ABC. Antes, trace a altura na figura e indique a hipotenusa com a letra a e os catetos com b e c.

432

15. Quanto mede a altura o triângulo EFG?

16. Um triângulo equilátero tem 5 cm de lado. Qual é a medida da altura?

17. Quanto mede cada lado do triângulo QRS?

18. Quanto mede cada lado de um triângulo equilátero que tem 86,5 mm de altura?

19. Qual é a medida de QO no triângulo abaixo?

433

20. Quanto mede a base do triângulo RST? Use as letras que preferir, para indicar a hipotenusa e os catetos.

21. Calcule a medida da base de um triângulo isósceles que tem 5 cm de lado e 3 cm de altura.

22. Qual é a medida da altura de um triângulo isósceles que tem 50 mm de base e 65 mm de lado?

23. Complete as afirmações a seguir.

a) Em STV, cada lado mede .

b) Na figura a seguir, a base de cada triângulo mede .

c) Em um triângulo equilátero com 30 mm de altura, cada lado mede .

434

24. Complete.

OM: (apótema) é um Cateto.

MD: (metade do lado) é outro cateto.

OD: (metade da diagonal) é a hipotenusa.

OE:

EM:

MO:

25. Calcule a medida do apótema do hexágono abaixo.

Pode parecer complicado, porque nem as diagonais nem o apótema estão traçados. Mas, se quiser, pode traçá-los.

E os cálculos serão feitos da mesma forma, a partir destas correspondências:

• metade da diagonal = hipotenusa;• metade do lado = cateto;• apótema = outro cateto.

26. Quanto mede o apótema de um hexágono com 6 cm de lado?

27. Calcule a medida do segmento AB no hexágono abaixo?

Observe que o segmento AB corresponde ao dobro do apótema.

435

28. Qual é a medida de OM na figura abaixo?

29. Quanto mede o apótema do hexágono abaixo?

30. O lado de um hexágono mede 4 cm. Qual é a medida do apótema desse hexágono?

436

31. Escreva as medidas dos segmentos indicados.

a) OM b) X

32. Indique na figura a seguir a hipotenusa e os catetos.

JL:

LM:

MJ:

33. Encontre a medida do cateto que coincide com uma parte da base maior, ou seja, a medida de EF.

437

34. Observe a medida do cateto EF e FD; agora encontre a medida da hipotenusa, ou seja, a medida do lado inclinado do trapézio.

Complete: o lado inclinado do trapézio mede .

35. Qual é a altura do trapézio abaixo?

Lembre-se que pode usar quaisquer letras para escrever a fórmula.

Lembre-se também de determinar o triângulo retângulo.

36. Calcule a medida de EF no trapézio abaixo.

438

37. Encontre a medida do segmento XZ.

38. Complete: a base maior do trapézio EFGH mede .

Lembre que:

• a base maior é o lado EH;

• primeiro, deve ser calculado o segmento EI;

• a medida de EH é a soma de EI com IH.

39. Quanto mede a base maior do trapézio JLMN?

Antes de começar os cálculos, lembre-se de determinar o triângulo retângulo.

439

40. Escreva C para os catetos e H para a hipotenusa.

JN ( ) LP ( )

JQ ( ) LM ( )

NQ ( ) PM ( )

41. Complete.

No trapézio PQRS, sendo a altura de PU igual a 34, cada lado inclinado mede .

42. Complete.

Em CDEF, cada lado mede .

440

43. Qual é a medida da altura do trapézio abaixo?

44. Calcule o segmento NP do trapézio a seguir.

Observe:

• Os catetos NP e OM coincidem com partes da base maior.

• Aplique a relação de Pitágoras para calcular um dos triângulos retângulos.

45. Calcule e complete a afirmação.

Observe que 20 cm corresponde com algumas partes da base maior do trapézio.

A base maior corresponde a duas vezes essa medida mais a medida da base menor.

Portanto, a medida da base maior é o resultado das seguintes operações:

1 – Medida do cateto encontrada nos cálculos da relação de Pitágoras vezes 2;

2 – Medida encontrada nessa multiplicação mais medida da base menor.

Em JLMN, a base maior mede .

441

46. Quanto mede a base maior do trapézio STUV?

47. Calcule a medida da base maior do trapézio a seguir, onde os triângulos ainda não estão determinados. Depois complete a afirmação.

No trapézio CDEF, FE mede .

48. Complete as afirmações.

a) Em DEFG, o lado inclinado mede .

442

b) A medida da altura de HIJL é .

c) Em LMNO, a medida de MN é .

49. Calcule a medida de x na figura abaixo.

443


No quadrado ABCD, a medida do lado é .

51. Quanto mede a diagonal de um retângulo que tem 2 dm de largura e 3 dm de comprimento?

52. Qual é o comprimento de um retângulo que tem 3,0 m de largura e 5,8 m de diagonal?

53. Um triângulo isósceles tem 8 cm de base e 4 cm de altura. Qual é a medida do lado desse triângulo?

54. Qual é a medida da base de cada triângulo isósceles abaixo?

55. Qual é a medida do lado de um triângulo equilátero que possui 24 mm de altura?

444

56. Quanto mede x na figura abaixo?

57. Calcule a medida dos segmentos indicados.

a) FG b) X

c) X

445

CAPÍTULO 38 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS – SENO

SENO DE UM ÂNGULO

• A razão entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo chama-se razão trigonométrica.

• A razão trigonométrica medida do cateto oposto a um ângulomedida da hipotenusa recebe o nome de seno desse ângulo.

Exemplo:

Neste triângulo, a razão

medida do cateto oposto a um ângulo Amedida da hipotenusa

= seno

fica: 2025

= 0,8.

Portanto, 0,8 é o seno de Â.

• Para calcular o seno de um ângulo, usamos a fórmula sen ∢= c. op.hip. .

No triângulo ABC, utilizando a fórmula, o cálculo do seno fica assim:

sen ∢= c. op.hip.

sen Â = 2025

sen Â = 0,8

• Quando o resultado da divisão da medida do cateto oposto pela medida da hipotenusa não é exato, aproximamos até milésimos.

Neste caso, o resultado do seno deve vir acompanhado do sinal ≃ .

Exemplo:

447

CÁLCULO DE ÂNGULO ATRAVÉS DO SENO

• Sabendo o valor do seno de um Ângulo, podemos encontrar a medida desse ângulo, consultando a tabela de senos.

• A tabela traz os senos com cinco casas decimais do seno, podemos localizá-lo na tabela, procurando os algarismos que coincidem.

Exemplos:

Seno conhecido Na tabela

0,078 0,07846

0,034 0,03490

• Para encontrar na tabela a medida do ângulo que corresponde a um seno conhecido, fazemos assim:

1º – Localizamos o seno conhecido;

2º – Seguimos esta linha até a coluna dos graus;

3º – Seguimos, para cima, na direção dos minutos.

Exemplo: o seno conhecido é 0,078.

Portanto, o ângulo correspondente mede 4º 30'.

• Para calcular a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, conhecendo as medidas do cateto oposto e da hipotenusa, fazemos:

1º – Aplicamos a fórmula do seno;

2º – Procuramos, na tabela, a medida do ângulo que corresponde ao seno encontrado.

Exemplo:

448

• Quando acontece de não ser possível localizar na tabela o seno calculado com três casas decimais, continuamos a divisão até cinco casas decimais.

Depois, localizamos o seno mais próximo.

Exemplo:

Tendo calculado o seno 0,490, verificamos que ele não aparece na tabela.

Continuando a divisão, encontramos 0,49090.

Na tabela, o seno mais próximo de 0,449090 é 0,48989, que será considerado para a localização da medida do ângulo.

CÁLCULO DE UM LADO ATRAVÉS DO SENO

• Consultando a tabela dos senos, podemos encontrar o valor do seno que corresponde à medida de um ângulo agudo.

A tabela mostra, por exemplo, que o ângulo de 30º 20' corresponde ao seno 0,50503.

Veja:

• Sabendo as medidas da hipotenusa e de um ângulo agudo, podemos calcular a medida do cateto oposto a esse ângulo, aplicando a fórmula do seno.

Exemplo:

1º – Escrevemos a fórmula: sen C= c. op.hip. .

2º – Procuramos na tabela o valor do seno correspondente ao ângulo, considerando apenas três casas decimais: seno de 30º 20' – 0,505.

449

3º – Fazemos as substituições na fórmula;

sen C= c. op.hip.

0,505 = x30

4º – Resolvemos a equação:

0,505 = x30

0,505 . 30= x5,150 = xx = 15,150

Neste exemplo, portanto, cateto oposto (AB) mede 15,150 cm.

• Sabendo as medidas de um ângulo agudo e do cateto oposto a ele, podemos calcular a medida da hipotenusa, aplicando a fórmula do seno.

Exemplo:

1º – Escrevemos a fórmula: sen J= c. op.hip.

2º – Procuramos na tabela o valor do seno correspondente ao ângulo, considerando apenas três casas decimais.

Seno de 53º 10' 0,800 (que é o mesmo que 0,8)

3º – Fazemos as substituições na fórmula;

sen J= c. op.hip.

0,8= 40x


0,8= 40x

0,8 . x= 40

x = 400,8

x = 50

Neste exemplo, portanto, a hipotenusa (IJ) mede 50 mm.

450

EXERCÍCIOS

1. Encontre o seno do ângulo B do triângulo abaixo.

Encontre esse valor, fazendo corretamente as substituições e a operação:

a) Seno do ângulo B = medida do cateto oposto do ângulo Bmedida da hipotenusa

b) Seno do ângulo B = .

c) Seno do ângulo = .

2. Encontre a medida do ângulo C, seguindo os passos indicados.

1º – Escreva a fórmula do seno;

2º – Substitua as medidas conhecidas;

3º – Efetue a divisão;

4º – Procure na tabela a medida do ângulo.

451

3. Calcule o seno do ângulo E do triângulo DEF.

4. Encontre o seno do ângulo N no triângulo LMN.

a) sen ∢= c. op.hip.

b) sen N=

c) sen N=

5. Encontre o valor do seno do ângulo H no triângulo GHI. Use a fórmula antes de iniciar os cálculos.

452

6. Calcule o seno do ângulo I do triângulo GHI.

7. Calcule o valor do seno do ângulo F do triângulo DEF.

8. Complete as afirmações abaixo corretamente.

a) O valor do seno do ângulo B é .

b) O valor do seno do ângulo C é .

9. Use a tabela de senos e complete a afirmações abaixo.

a) O seno 0,127 corresponde a um ângulo de .

b) O seno 0,870 corresponde a um ângulo de .

c) O seno 0,642 corresponde a um ângulo de .

d) O seno 0,5 corresponde a um ângulo de .

e) O seno 0,866 corresponde a um ângulo de .

f ) O seno 0,3 corresponde a um ângulo de .

453

10. No triângulo abaixo, o segmento OM mede 100 mm e o segmento ON mede 101,5 mm. Escreva a medida do ângulo N.

11. No triângulo FGH, FG mede 11,87 cm e GH mede 12 cm. Qual é a medida do ângulo H?

12. Encontre a medida do ângulo H no triângulo GHI.

13. Complete a afirmação abaixo.

No triângulo PQR, o ângulo Q mede .

454

14. Qual é a medida do ângulo C no triângulo abaixo?

15. No triângulo DEF, o segmento DE mede 8 cm e o segmento EF mede 8,2 cm. Qual é a medida do ângulo F?

16. Use a tabela de senos e complete a afirmações a seguir.

a) O valor do seno do ângulo de 17º 40' é .

b) O valor do seno de 45º é .

c) O valor do seno do ângulo de 38º é .

d) O valor do seno do ângulo de 72º 40' é .

e) O valor do seno do ângulo de 66º 10' é .

f ) O valor do seno do ângulo de 20º é .

455

17. Encontre a medida do lado GH do triângulo GHI. Considere, para seus cálculos, o valor do seno com apenas três casas decimais.

18. Qual é a medida do lado AB do triângulo ABC?

19. Qual é a medida da hipotenusa do triângulo DEF?

20. Quanto mede BC no triângulo ABC?

456

21. Qual é a medida de ON no triângulo MNO?

22. Complete corretamente as afirmações abaixo.

a) O valor do seno do ângulo H é .

b) O valor do seno do ângulo I é .

23. Qual é a medida do ângulo F no triângulo DEF?

24. Em FGH, o segmento GH mede 15 cm e o segmento FG mede 14,8 cm. Qual é a medida do ângulo H?

457

25. Quanto mede MN no triângulo LMN?

26. No triângulo abaixo, qual é a medida do lado BC?

27. Qual é a medida do lado SU do triângulo STU?

458

CAPÍTULO 39 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS – COSSENO

COSSENO DE UM ÂNGULO

• Cateto adjacente a um ângulo agudo é o cateto que forma esse ângulo junto com a hipotenusa.

Exemplo:

ED é o cateto adjacente ao ângulo E.

DF é o cateto adjacente ao ângulo F.

• A razão trigonométrica medida do cateto adjacente a um ângulo agudomedida da hipotenusa chama-se cosseno desse ângulo.

Exemplo:


medida do cateto adjacente a Êmedida da hipotenusa

= cosseno

ficará: 3050

= 0,6

Portanto, 0,6 é o cosseno de E.

• Para calcular o cosseno de um ângulo, usamos a fórmula cos ∢= c. adj.hip.

No triângulo DEF, utilizando a fórmula, o cálculo do cosseno ficará:

cos ∢= c. adj.hip.

cos Ê= 3050

cos ∢= 0,6

Observação: quando o resultado da divisão não é exato, aproximamos até milésimos.

459

CÁLCULO DE ÂNGULO ATRAVÉS DO COSSENO

• Sabendo o valor do cosseno de um ângulo, podemos encontrar a medida desse ângulo, consultando a tabela de cossenos.

• A tabela traz os cossenos com cinco casas decimais.

Mas, sabendo apenas três casas decimais do cosseno, podemos localizá-lo na tabela, procurando os algarismos que coincidem.

Exemplos:

Cosseno conhecido Na tabela

0,880 0,88020

0,75 (0,750) 0,75088

• Para encontrar na tabela a medida do ângulo que corresponde a um cosseno conhecido, fazemos do seguinte modo:

1º – Localizamos o cosseno conhecido;

2º – Seguimos esta linha até a coluna dos graus;


Exemplo: o cosseno conhecido é 0,990.

• Para calcular a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, conhecendo as medidas do cateto adjacente e da hipotenusa, fazemos do seguinte modo:

1º – Aplicamos a fórmula do cosseno;

2º – procuramos, na tabela, a medida do ângulo que corresponde ao cosseno encontrado.

Exemplo:

460

1º:

cos ∢= c. adj.hip.

cos H= 4560

cos H= 0,75 2º: 0,75 0,750 41º 20'

Então, H mede 41º 20' .

• Quando acontece de não ser possível localizar na tabela o cosseno calculado com três casas decimais, continuamos a divisão até cinco casa decimais.

Depois, localizamos o cosseno mais próximo.

Exemplo:

Tendo calculado o cosseno 0,567, verificamos que ele não aparece na tabela.

Continuando a divisão, encontramos 0,56756.

Na tabela, o cosseno mais próximo de 0,56756 é 0,56641, que será considerado para a localização da medida do ângulo.

CÁLCULO DE UM LADO ATRAVÉS DO COSSENO

• Consultando a tabela de cossenos, podemos encontrar o valor do cosseno que corresponde à medida de um ângulo agudo.

A tabela mostra, por exemplo, que o ângulo 4º 30' corresponde ao cosseno 0,99692.

Veja:

• Sabendo as medidas da hipotenusa e de um ângulo agudo, podemos calcular a medida do cateto adjacente a esse ângulo, aplicando a fórmula do cosseno.

461

Exemplo:

1º – Escrevemos a fórmula: cos C= c. adj.hip.

2º – Procuramos na tabela o valor do cosseno correspondente ao ângulo, considerando apenas três casas decimais:

Cosseno de 60º 0,500 (que é o mesmo que 0,5)

3º – Fazemos as substituições na fórmula:

cos C= c. adj.hip.

0,5= x4

4º – Resolveremos a equação:

0,5= x4

0,5 . 4= x2,0= xx = 2

Neste exemplo, portanto, o cateto adjacente (AC) mede 2 cm.

• Sabendo as medidas de um ângulo agudo e do cateto adjacente a ele, podemos calcular a medida da hipotenusa, aplicando a fórmula do cosseno.

Exemplo:

462

1º – Escrevemos a fórmula: cos Q = c. adj.hip.

2º – Procuramos na tabela o valor do cosseno correspondente ao ângulo, considerando apenas três casas decimais:

Cosseno 0,725


cos Q = c. adj.hip.

0,725 = 38x

4º – Resolveremos a equação:

0,725 = 38x

0,725 . x= 38

x = 380,725

x ≃ 52,413

Neste exemplo, portanto, a hipotenusa (QR) mede aproximadamente 52,413 mm.

463

EXERCÍCIOS

1. Considerando o ângulo B no triângulo abaixo, o cateto adjacente ao ângulo B é o lado .

2. Complete.

a) b)

a) O cateto adjacente ao ângulo F é .

b) Considerando o ângulo I, o cateto adjacente a ele é .

3. Quanto mede o cateto adjacente ao ângulo I?

4. Escreva, para o triângulo GHI, o triângulo anterior, a razão trigonométrica.

medida do cateto adjacente ao ângulo Imedida da hipotenusa

=

464

5. Escreva a razão e o seu valor do triângulo ABC.

medida do cateto adjacente ao ângulo Bmedida da hipotenusa

= =

6. Observe o triângulo DEF e escreva a razão e o seu valor.

medida do cateto adjacente ao ângulo Emedida da hipotenusa

= =

7. Encontre o cosseno do ângulo H abaixo.

Cosseno do ângulo H = medida do cateto adjacente ao ângulo Hmedida da hipotenusa

Cosseno do ângulo H =

Cosseno do ângulo H =

465

8. Calcule o cosseno do ângulo O do triângulo MNO.

9. Encontre o cosseno do ângulo T do triângulo STU.

10. Encontre o cosseno do ângulo B.


a) No triângulo ABC, o valor do cosseno do ângulo C é .

b) No mesmo triângulo, o valor do cosseno do ângulo B é .

466

12. Procure na sua tabela de Razões Trigonométricas os valores dos cossenos abaixo.

a) Escreva a medida do ângulo que corresponde ao valor do cosseno 0,705 .

b) O cosseno 0,766 corresponde ao ângulo de .

c) O cosseno 0,130 corresponde ao ângulo de .

d) O cosseno 0,497 corresponde ao ângulo de .

13. Calcule a medida do ângulo H, seguindo os passos indicados.

1º – Escreva a fórmula do cosseno;

2º – Faça as substituições com as medidas conhecidas;

3º – Efetue a divisão;


14. Quanto mede o ângulo E do triângulo DEF?

15. Qual é a medida do ângulo E?

467

16. No triângulo ABC, AC mede 45 mm e BC mede 46 mm. Escreva a medida do ângulo C.

17. No triângulo DEF, o segmento DE mede 40 mm e o segmento EF mede 40,2 mm. Qual é a medida de E?

18. Qual a medida do ângulo Q no triângulo PQR?

468

19. Quanto mede o ângulo H no triângulo abaixo?

20. Quanto mede o ângulo E?

21. No triângulo ABC, o segmento AC mede 50 mm e o segmento BC mede 50,8 mm. Qual é a medida do ângulo C?

22. Use a tabela de cossenos e complete as afirmações abaixo.

a) O valor do cosseno do ângulo de 28º 10' é .

b) O valor do cosseno de 30º é .

c) O valor do cosseno do ângulo de 45º 40' .

d) O valor do cosseno do ângulo de 75º é .

e) O valor do cosseno do ângulo de 30º 20' é .

f ) O valor do cosseno do ângulo de 19º é .

469

23. Qual é a medida da hipotenusa do triângulo PQR?

24. Quando mede TU no triângulo STU?

25. Quanto mede o lado EF do triângulo DEF?


a) O valor do cosseno do ângulo H é

470

b) O valor do cosseno do ângulo I é

27. Qual é a medida do ângulo C do triângulo ABC?

28. Qual é a medida do ângulo F do triângulo DEF?

29. No triângulo MNO, o segmento MN mede 98,53 mm e o segmento ON mede 100 mm. Qual é a medida do ângulo N?

471

30. Quanto mede o lado AB do triângulo ABC?

31. No triângulo LMN, qual é a medida de MN?

32. Qual é a medida do lado FG?

472

CAPÍTULO 40 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS – TANGENTE

TANGENTE DE UM ÂNGULO

• A razão trigonométrica medida do cateto oposto a um ângulomedida do cateto adjacente chama-se tangente desse ângulo.

Exemplo:


medida do cateto oposto a Bmedida do cateto adjacente

= tangente

ficará: 8,24

= 2,05

Portanto, 2,05 é a tangente de B.

• Para calcular a tangente de um ângulo, usamos a fórmula: tg = c. op.c. adj.

No triângulo ABC, utilizando a fórmula, o cálculo da tangente ficará:

tg ∢= c. op.c. adj.

tg B = 8,24

tg B = 2,05

Observação: quando o resultado da divisão não é exato, aproximamos até milésimos.

CÁLCULO DO ÂNGULO ATRAVÉS DA TANGENTE

• Sabendo o valor da tangente de um ângulo, podemos encontrar a medida desse ângulo, consultando a tabela de tangentes.

• A tabela traz as tangentes com cinco casas decimais.

Mas, sabendo apenas três casas decimais da tangente, podemos localizá-la na tabela, procurando os algarismos que coincidem.

Exemplos:

Tangente conhecida Na tabela

0,131 0,13165

0,2 (0,200) 0,20042

• Para encontrar na tabela a medida do ângulo que corresponde a uma tangente conhecida, fazemos assim:

1º – Localizamos a tangente conhecida;

2º – Seguindo esta linha até a coluna dos graus;


473

Exemplo: a tangente conhecida é 0,2 (0,200).

• Para calcular a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, conhecendo as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente, fazemos assim:

1º – Aplicamos a fórmula da tangente;

2º – Procuramos, na tabela, a medida do ângulo que corresponde à tangente encontrada.

Exemplo:

• Quando acontece de não ser possível localizar na tabela a tangente calculada com três casas decimais, continuamos a divisão até cinco casas decimais.

Depois, localizamos a tangente mais próxima.

Exemplo:

Tendo calculado a tangente 0,571, verificamos que ela não aparece na tabela.

Continuando a divisão, encontramos 0,57142

Na tabela, a tangente mais próxima de 0,57142 é 0,56962, que será considerada para a localização da medida do ângulo.

474

CÁLCULO DE UM LADO ATRAVÉS DA TANGENTE

• Consultando a tabela de tangentes, podemos encontrar o valor da tangente que corresponde à medida de um ângulo.

A tabela mostra, por exemplo, que o ângulo de 3º 20' corresponde à tangente 0,05824.

Veja:

• Sabendo as medidas de um ângulo agudo e do cateto adjacente, podemos calcular a medida do cateto oposto, aplicando a fórmula da tangente.

Exemplo:

1º – Escrevemos a fórmula: tg C = c. op.c. adj.

2º – Procuramos na tabela o valor da tangente que corresponde ao ângulo, considerando apenas três casas decimais:

tangente de 35º 0,700 (0,7)


tg C = c. op.c. adj.

0,7= x45

475


0,7= x45

0,7 . 45= x31,5= xx = 31,5

Neste exemplo, portanto, o cateto oposto (AB) mede 31,5 mm.

• Sabendo as medidas de um ângulo agudo e do cateto oposto, podemos calcular a medida do cateto adjacente, aplicando a fórmula da tangente.

Exemplo:

1º – Escrevemos a fórmula: tg G = c. op.c. adj.

2º – procuramos na tabela o valor da tangente que corresponde ao ângulo, considerando apenas três casas decimais:


tg G = c. op.c. adj.

0,620 = 9,3x


0,620 = 9,3x

0,620 . x= 9,3

x = 9,30,620

x = 15

Neste exemplo, portanto, o cateto adjacente (FG) mede 15 mm.

476

EXERCÍCIOS

1. Observe o triângulo abaixo e complete.

A razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo E e a medida do cateto adjacente ao ângulo E é .

2. Calcule a medida do ângulo I, seguindo os passos indicados.

1º – Escreva a fórmula da tangente;

2º – Faça as substituições com as medidas conhecidas;

3º – Resolva a equação;


3. Observe o triângulo GHI e encontre a tangente do ângulo I, fazendo as substituições corretamente.

477

4. Calcule a tangente do ângulo B do triângulo ABC.

5. Calcule a tangente de H.

6. Qual é a tangente do ângulo B?

7. Qual é o valor da tangente do ângulo E?

478

8. Qual é o valor da tangente de H?

9. Qual é a medida do ângulo que corresponde ao valor da tangente 2,281?

10. Complete.

a) A tangente 0,377 corresponde ao ângulo de .

b) A tangente 4,704 corresponde ao ângulo de .

c) A tangente 0,390 corresponde ao ângulo de .

11. Quanto mede o ângulo B do triângulo ABC?

12. Qual é a medida do ângulo H?

479


a) No triângulo ABC, o ângulo C mede . b) No triângulo DEF, o ângulo E mede .

14. Quanto mede o ângulo G do Triângulo EFG?

15. Quanto mede o ângulo H do triângulo GHI?


a) O valor da tangente do ângulo de 15º 20' é

b) O valor da tangente do ângulo de 82º 10' é

c) O valor da tangente do ângulo de 64º 40' é

d) O valor da tangente do ângulo de 74º é

e) O valor da tangente do ângulo de 56º é

480

17. Qual é a medida do lado AC?

18. Qual é a medida do lado DF no triângulo DEF?

19. Qual é a medida do lado LM no triângulo abaixo?

20. Qual é a medida do lado AB?

481

21. Qual é a medida do lado DE?

22. Observe o triângulo ABC e complete corretamente as afirmações a seguir.

a) O valor da tangente do ângulo B é

b) O valor da tangente do ângulo C é

23. Qual é a medida do ângulo E do triângulo DEF?

482

24. Quanto mede o ângulo R do triângulo PQR?

25. Qual é a medida do ângulo H?

26. Qual é a medida do lado AB do triângulo ABC?

483

27. Qual é a medida de DF no triângulo abaixo?

28. Qual é a medida do lado HJ?

29. Qual é a medida do lado MN do triângulo abaixo?

484

CAPÍTULO 41 – APLICAÇÕES DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

QUANDO USAR SENO, COSSENO OU TANGENTE

• Para saber qual razão trigonométrica deve ser usada, verificamos qual é o ângulo agudo e quais são os nomes dos lados envolvidos na situação.

Depois, escrevemos a fórmula da razão trigonométrica que contém os nomes identificados.

Exemplo:

Nesta situação, estão envolvidos:

a) O ângulo agudo C;

b) O cateto oposto a esse ângulo (AB);

c) A Hipotenusa (BC).

A razão que apresenta cateto oposto e hipotenusa é a razão seno: sen ∢= c. op.hip. .

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS EM FIGURAS PLANAS

• Para aplicar as razões trigonométricas em figuras planas, é preciso determinar um triângulo na figura e trabalhar com um ângulo agudo e dois lados do triângulo determinado.

Exemplo:

Neste triângulo, é possível calcular a medida de C, trabalhando com AC (40 mm) e CM (10 mm).

485

• Depois, identificamos a razão trigonométrica a ser usada e aplicamos a fórmula correspondente.

Neste exemplo, estão envolvidos o ângulo C, o cateto adjacente (CM) e a hipotenusa (AC). Por isso, aplicamos a razão cosseno:

• Quando o resultado encontrado através da razão trigonométrica não representa a medida que queremos descobrir, efetuamos os cálculos necessários para encontrá-la.

No exemplo abaixo, aplicando a razão cosseno, encontramos a medida do cateto que coincide com uma da base maior (2,58 cm):

Mas a medida a ser calculada refere-se à base maior.

Portanto, precisamos somar a medida encontrada (2,58 cm) com a medida da base menor (3,5 cm), para encontrar a medida desejada: 2,58 cm + 3,5 cm = 6,08 cm.

486

EXERCÍCIOS

1. Que razão trigonométrica contém cateto oposto e hipotenusa?

a) Razão seno b) Razão cosseno c) Razão tangente

2. Nesta situação, qual é a razão a ser usada?

a) Razão seno

b) Razão cosseno

c) Razão tangente

3. Escreva a razão trigonométrica que deve ser usada em cada uma das situações a seguir.

a) b)

4. Qual a medida do ângulo de G?

1º – Localize o ângulo agudo indicado.

2º – Verifique o nome dos lados cujas medidas são conhecidas (hipotenusa. Cateto oposto. Cateto adjacente.)

3º – Verifique qual a razão trigonométrica que contém os nomes identificados.

4º – Escreva a fórmula dessa razão.

5º – Faça as substituições e resolva a equação.

487

5. Quanto mede o lado FH no triângulo abaixo?

Siga os passos indicados:

1º – Anote o ângulo e os lados envolvidos na situação;

2º – Em relação ao ângulo considerado, verifique os nomes dos lados;

3º – Verifique qual a razão que contém esse nomes;

4º – Escreva a fórmula e faça os cálculos.

6. Quanto mede o lado OM?

7. Encontre a medida dos lados indicados.

a) AC b) EF

488

c) QR

8. Encontre a medida dos ângulos indicados.

a) G b) T

c) N

9. Quanto mede o lado oposto OP no triângulo OPQ?

489

10. Qual é a medida de CD no triângulo abaixo?

11. Quanto mede o lado FG?

12. No triângulo STU, qual é a medida do ângulo U?

490

13. Neste caso, estão envolvidos o ângulos agudo (30º), o cateto oposto a ele (10 cm) e a hipotenusa ( x ).

Qual razão trigonométrica poderá ser usada nesse caso? .

14. Calcule a medida do ângulo x no retângulo abaixo.

15. Observe o retângulo ABCD.

a) A medida a ser calculada e as medidas conhecidas referem-se ao triângulo .

b) Neste triângulo, estão envolvidos um ângulo agudo, o cateto oposto e .

c) A razão trigonométrica a ser usada é .

d) Qual é a medida de CD?

491

16. Precisamos desenhar um quadrado em um círculo com 6 cm de diâmetro, de modo que os vértices do quadrado coincidam com a circunferência.

a) Qual deverá ser a medida dos lados desse quadrado?

b) Observe que a diagonal do quadrado terá a mesma medida do diâmetro do círculo.

c) Veja também que, com a diagonal, o ângulo reto ficará dividido em 2 ângulos de 45º cada um.

d) Considerando um dos triângulos retângulos determinados, verificamos que são conhecidas as medidas da hipotenusa (6 cm) e de um ângulo agudo (45º).

492

e) Verificamos também que o cateto adjacente e o cateto oposto correspondem aos lados do quadrado.

f ) Como esses lados possuem a mesma medida, para calcular essa medida, poderemos usar uma destas duas

razões trigonométricas: sen 45º = c. op.hip. ou cos 45º = c. adj.

hip. .

g) Escolha uma dessas razões e calcule a medida do lado do quadrado.

h) O lado do quadrado deverá medir .

17. No círculo abaixo, deve ser desenhado um quadrado cujos vértices coincidam com a circunferência. Quanto deverá medir cada lado desse quadrado?

Para facilitar, desenhe no círculo o que achar necessário.

18. No círculo abaixo, deve ser desenho um quadrado cujos vértices coincidem com a circunferência. Quanto deverá medir cada lado desse quadrado?

493

19. No triângulo isósceles a seguir, calcule a medida do ângulo C.

Lembre que, traçando a altura a partir do vértice A, você determinará triângulos.

20. Qual a razão trigonométrica que pode ser usada no próximo caso? Faça os cálculos e complete.

A medida do cateto oposto é .

21. Em FGH, o lado GH mede .

494

22. Qual a medida de x na figura abaixo?

23. Calcule e complete.

Em ABC, o ângulo A mede .

24. Qual será a medida do lado inclinado?

Ao aplicar as razões trigonométricas em trapézios, seguimos os mesmos passos:

1º – Determinamos o triângulo retângulo;

2º – Identificamos o ângulo agudo e os nomes dos lados que estão envolvidos na situação.

3º – Identificamos a razão que apresenta esses nomes;

495

4º – Escrevemos a fórmula correspondente à razão trigonométrica identificada.

5º – Fazemos as substituições na fórmula.

6º – Fazemos os cálculos.

Seguindo esses passos, calcule a medida do lado inclinado do trapézio LMNO.

Lembre que o cateto oposto terá a mesma medida do lado LO do trapézio.

O lado inclinado mede .

25. Qual é a medida de HI?

Lembre que, no triângulo retângulo que você determinar, a medida do cateto que coincide com uma parte da base maior do trapézio será o resultado desta operação: medida da base maior – medida da base menor.

26. Determine o triângulo retângulo e calcule a medida do cateto que coincide com uma parte da base maior.

Em EFGH, a base maior mede .

27. No trapézio a seguir, quanto mede EF?

496

28. Calcule a medida do segmento AB do trapézio abaixo.

Lembre que BC é a base menor e AD é a base maior.

29. Calcule a medida do ângulo C do trapézio ABCD.

Observe que determinando um triângulo retângulo, encontraremos as seguintes medidas.

O cateto que coincide com uma parte da base maior mede 50 mm, pois 90 mm – 40 mm = 50 mm.

Observe que o ângulo C ficou dividido em dois: um ângulo de 90º e um ângulo agudo ( x ).

Aplicando a razão seno, poderemos encontrar a medida de x. Depois, somando a medida de X com 90º, poderemos encontrar a medida de C.

O ângulo C mede .

497

30. Calcule a medida do ângulo D do trapézio ABCD a seguir.

31. Qual é a medida do ângulo x na figura abaixo?

32. Qual a medida do lado inclinado da figura abaixo?

33. Quanto mede a base maior do trapézio abaixo?

498

34. Calcule a base menor do trapézio abaixo.

A base menor desse trapézio mede .

35. Nas figuras a seguir, calcule as medidas indicadas.

a) DE b) JL c) EF

d) x

499

e) C f ) OP g) PQ

36. Calcule as medidas dos elementos indicados.

a) B b) GH

37. Quanto mede o segmento OM no retângulo abaixo?

38. No círculo abaixo, deve ser desenhado um quadrado cujos vértices coincidam com a circunferência. Quanto deverá medir cada lado desse quadrado?

500


a) No triângulo abaixo, BC mede .

b) No triângulo STU, o ângulo S mede .

40. Quanto mede a base menor do trapézio abaixo?

501

41. Qual é a medida de B na figura abaixo?

42. Quanto mede x na figura abaixo?

502

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

CAPÍTULO 1 – NÚMEROS – CONTAGEM E NUMERAÇÃO

1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2. O sucessor de um número natural é o número natural que vem logo depois.

3.

Número Natural Sucessor

5 6

23 24

49 50

60 61

74 75

4. b) Somar 1 ao número natural.

5.a) 78 + 1 = 79 b) 43 + 1 = 44

6.a) 34 + 1 = 35 b) 90 + 1 = 91

7. O sucessor do número 142 é o número 143.

8. O número 8 é o sucessor do número 7.

9.a) Cada grupo de 10 unidades forma uma dezena .

b) Isso quer dizer que uma dezena vale o mesmo que 10 unidades.

10.a) Cada grupo de 10 dezenas forma uma centena .

b) Por isso uma centena vale o mesmo que 10 dezenas.

11.a) Cada grupo de 10 dezenas forma uma centena .

b) Cada grupo de 10 centenas forma uma milhar ou uma unidade de milhar .

c) Uma centena vale 100 unidades.

d) Uma milhar vale 1000 unidades.

12. a)

503

13. a) Centenas: 5; b) Dezenas: 7; c) Unidades: 4.

14. a) Centenas: 2; b) Dezenas: 6; c) Unidades: 4; d) O número natural representado é: 264.

15.a) Na posição das dezenas está o algarismo 4 .

b) O algarismo 2 está na posição das centenas .

c) O algarismo 5 representa cinco unidades.

d) O algarismo 3 está na posição das unidades de milhar .

16.2 746 – 2 unidades de milhar; 7 centenas; 4 dezenas; 6 unidades.

17.b) 10 em 10.

b) o algarismo 8.

a) da posição das unidades para a esquerda.

18. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

19. O número natural formado é 2738 .

20.

a) 4 centenas

b) 5 dezenas

c) 2 unidades

21.a) 23 b) 145 c) 80 d) 9021 e) 02 f ) 17244

22.a) A dezena é um grupo de 10 unidades .

b) A centena é um grupo de 10 dezenas e contém 100 unidades.

c) A unidade de milhar é um grupo de 10 centenas e contém 1000 unidades.

23.a) Unidades: 8

b) Dezenas: 6

c) Centenas: 2

d) O número representado é: 268

504

24.a) 2 unidades de milhar;

b) 0 centenas;

c) 7 dezenas;

d) 5 unidades.

25.a) O número que contém 1 centena, 5 dezenas, e 1 unidade é o número 151 .

b) Com 3 unidades, 4 dezenas e 1 centena, se compõe o número 143 .

26.7 132 – 7 unidades de milhar; 1 centena; 3 dezenas; 2 unidades

901 – 9 centenas; 0 dezenas; 1 unidade

CAPÍTULO 2 – NÚMEROS DECIMAIS

1.a) A grandeza que Orlando mediu foi o comprimento da sala .

b) A unidade de medida que escolheu foi o metro .

c) A medida que ele encontrou foi de 5 metros .

2.a) O minuto é uma unidade de medida de tempo.

d) Para medir comprimento podemos escolher o metro como unidade.

3.a) Uma unidade contém 10 décimos .

b) Dividindo a unidade em 100 partes iguais, cada parte é um centésimo .

4. Um centésimo é menor que um décimo.

5.1 copinho, ou seja, 1 unidade vale 10 décimos

1 décimo vale 10 centésimos

1 centésimo vale 10 milésimos

1 unidade = 10 décimos; 1 décimo = 10 centésimos; 1 centésimo = 10 milésimos

6. Complete.

a)

1 unidade = 10 décimos 1 unidade = 100 centésimos

2 unidades = 20 décimos 2 unidades = 200 centésimos



505

b)Precisamos de 10 décimos para formar 1 unidade.Precisamos de 100 centésimos para formar 1 unidade.

c)

1 unidade = 1000 milésimos

3 unidades = 3000 milésimos



d)

Com 10 milésimos podemos formar 1 centésimo

Com 10 centésimos podemos formar 1 décimo

Com 10 décimos podemos formar 1 unidade

Com 1000 milésimos se forma 1 unidade

7. Um centésimo é maior que um milésimo.

8.a) No número decimal, a vírgula separa as unidades inteiras das partes decimais, menores que uma unidade.

b) As unidades inteiras ficam antes da vírgula, e as partes decimais ficam depois da vírgula.

c) Na representação de medidas usamos a vírgula para separar as unidades inteiras das partes menores que uma unidade.

d) As unidades inteiras ficam antes da vírgula.

e) As unidades decimais (décimos, centésimos etc.) ficam depois da vírgula.

9.a) 23 unidades e 8 décimos está representada no ábaco que tem a letra B .

b) 2 unidades, 3 décimos e 8 centésimos está representada no ábaco que tem a letra C .

c) 15 unidades, 5 décimos e 4 centésimos está representada no ábaco que tem a letra A .

10.a) Logo à direita das unidades, depois da vírgula, fica a posição dos décimos .

b) Á direita dos décimos fica a posição dos centésimos .

c) Á direita dos centésimos fica a posição dos milésimos .

11. O número decimal formado é 4,623.

12. 2 dezenas; 1 unidade; 8 décimos; 7 centésimos e 4 milésimos.

13. O número composto é 593,1.

506

14.a) 135 é formado por: 1 centena , 3 dezenas , e 5 unidades .

b) 13,5 é formado por: 1 dezena , 3 unidades , e 5 décimos .

c) 1,35 é formado por: 1 unidade , 3 décimos , e 5 centésimos .

d) 3,5 é formado por: 3 unidades , 5 décimos ou 3 vírgula 5 (3,5) .

e) 12,40 é formado por: 1 dezena , 2 unidades e 40 centésimos ou 12 vírgula 40 (12,40) .

15.b) 001,25 é o mesmo que 1,25.

c) 21,800 é o mesmo que 21,8.

16.a) 0,3 b) 0,07 c) 0,004 d) 0,1 e) 0,01 f ) 0,001

17. A medida representada é 1 unidade, 2 décimos e 5 centésimos .

18.a) 18,4 ou 18,3

b) 15,098 ou 15,035

c) 16,325 ou 16,6

d) 0,5 ou 0,9

e) 2,17 ou 2,31

f ) 0,3 ou 0,08

19.a) 0,2; 12,00; 12,08; 3,125.

b) 0,2: 0,20: 0,120; 0,21.

c) 1,0; 0,10; 0,01; 0,001.

20.a) Quando se divide a unidade em 10 partes iguais, cada parte formada é um décimo .

b) Quando se divide a unidade em 1000 partes iguais, cada parte formada é um milésimo .

c) Uma unidade contém 100 centésimos .

21.a) Dividindo um décimo em 10 partes, cada parte é um centésimo .

b) Um centésimo contém 10 milésimos .

22. b) 12,054

507

23. c) 28,117

24.a) 0 unidades, 1 décimo e 3 centésimos. 0,13

b) 7 unidades, 9 décimos e 1milésimo. 7,901

25.Cada lata contém 1 décimo de quilo de graxa

Cada espátula contém 1 centésimo de quilo de graxa

Um galão é igual a 1 quilo, que 1 lata é igual a 1 décimo do quilo, que 1 espátula é igual a 1 centésimo de quilo.

26.a) 3,704: 3 unidades , 7 décimos , 0 centésimos , 4 milésimos .

b) 21,039: 21 unidades , 0 décimos , 3 centésimos , 9 milésimos .

27.a) 5,3 ou 3,28

b) 74,10 ou 74,09

c) 8,159 ou 8,7

CAPÍTULO 3 – MEDIDAS DE COMPRIMENTO

1.a) Quilômetro km

b) Metro m

c) Centímetro cm

d) Milímetro mm

2. b) 10 dm

3. c) 0,01 m

4.a) 1 km é o mesmo que 1000 m.

b) 1 mm é o mesmo que 0,001 m.

5.1 quilômetro; 2 hectômetros; 5 decâmetros; 0 metro.

8 metros; 4 decímetros; 6 centímetros; 2 milímetros.

6.2 milímetros; 4 décimos de milímetro; 6 centésimos de milímetro; 7 milésimos de milímetro.

508

7.a) Dividindo o milímetro em 10 partes, formamos o décimos de milímetro .

b) Dividindo o centésimo de mm em 10 partes, formamos o milésimos de milímetro .

c) Dividindo o décimo de mm em 10 partes, formamos o centésimos de milímetro .

d) O milésimo de mm se chama mícron .

e) O símbolo do mícron é .

8. c) 0,01 mm

9. b) O décimo de mm

10.Quilômetro; hectômetro; decâmetro; metro; decímetro; centímetro; milímetro; décimo de milímetro; centésimo de milímetro; mícron (ou milésimo de milímetro)

11.a) 1 dm = 0,1 m

b) 1 mm = 0,001 m

c) 1 km = 1000 m

12.a) 1000 m = 1 km; então, 5000 m = 5 km

b) 0,01 m = 1 cm; então, 0,08 m = 8 cm

c) 1 centésimo de mm = 0,01 mm; então, 3 centésimos de mm = 0,03 mm

13.a) 1,3 m b) 27,83 m c) 50,700 km d) 580,3 cm e) 0,08 m

f ) 1,53 mm g) 45,80 km h) 5,41415 m i ) 1809,5 dm

14. 84,32dm

15. 28,6cm

16.a) Para transformar m em cm, a vírgula caminha para a direita , porque o centímetro é menor que o metro.

b) Para transformar mm em m, a vírgula caminha para a esquerda , porque o metro é maior que o milímetro.

17.a) 3,432 m = 34,32 dm

b) 25,32 mm = 2,532 cm

c) 128,7 cm = 1,28 m

509

d) 0,75 m = 75 dm

e) 5461,2 = 5,4612 mm

18.c) 125,0 cm

e) 8,344 dm

19.a) 0,7558 m = 7,558 dm

b) 0,7558 m = 75,58 cm

c) 0,7558 m = 755,8 mm

20.a) 1850,7 mm = 185,07 cm

b) 1850,7 mm = 18,507 dm

c) 1850,7 mm = 1,8507 m

21.a) 0,0285 mm = 28,5

b) 0,0582 km = 58,2 m

c) 7580,3 = 7,5803 mm

d) 3580,7 = 3,5807 km

23.a) 17,5 m = 0,0175 km

b) 65,20 m = 0,06520 km

c) 5,1 m = 0,0051 km

d) 48 m = 0,048 km

e) 0,7 m = 0,0007 km

f ) 93,4 m = 0,0934 km

26.a) 15 mm = 15,00 b) 5 km = 5,000 km c) 1 dm = 1,000 dm

27.a) 12 m 0,0120 km

b) 7 mm = 7000,0

c) 843 mm = 0,8430 m

d) 23 km = 23.000,0 m

510

28.a) 13,01 km = 13010 m

b) 160,2 m = 16020 cm

c) 37 dm = 3,7 m

d) 0,08 m = 80 mm

29. a) 73,4 km = 73 400

30. d) 8520 m

31.a) 5,3 cm = 53 mm

b) 18 m = 18000 mm

c) 1 dm = 100 mm

d) 30 = 0,030 mm

32. Essa distância em metros vale 80.000 metros.

33. 5 decímetro valem 0,5 mm.

34.a) 12 décimos de milímetro = 1,2 mm

b) 12 centésimos de milímetro = 0,12 mm

c) 12 milésimos de milímetro (ou 12 ) = 0,012 mm

d) 78,5 centésimos de milímetro = 0,785 mm

e) 5,5 décimos de milímetro = 0,55 mm

f ) 108 milésimos de milímetro (ou 108 ) = 0,180 mm

35. Esta medida em milímetros vale 0,093 mm.

36. Esta medida em milímetros é 0,58 mm.

37. Essa perda em milímetros vale 0,3 mm.

38.a) 1,5 mm é o mesmo que 150 centésimos de milímetro.

39. a) 41,72 dm

40. c) 7703 cm

41.a) m = metro

b) km = quilômetro

511

c) mm = milímetro

d) = mícron

e) dm = decímetro

f ) cm = centímetro

CAPÍTULO 4 – MEDIDAS DE PESO

1.a) O quilograma vale 1000 gramas.

b) O símbolo do grama é g . O símbolo do quilograma é kg .

2.1000g = quilograma100g = hectograma10g = decagrama1g = grama

3.

Unidades Símbolo

Quilograma (quilo) kg

grama g

miligrama mg

4. Um miligrama vale: b) 0,001g

5.a) Mil gramas é o mesmo que 1 quilo .

b) Um milésimo de grama é o mesmo que 1 miligrama .

6.a) Primeiro, marque a posição da unidade em gramas.

3,5412g

b) Segundo, marque as posições das outras unidades.

3,5412g; 3 = gramas; 5 = decigrama; 4 = centigrama; 1 = miligrama; 2

c) Terceiro, mude a vírgula para a posição da nova unidade que é o mg.3541,2

7. Resposta: 5,4321 kg.

8. A vírgula deve caminhar para a direita.

9. A vírgula caminha para a esquerda.

512

10. 17,800 kg vale o mesmo que: a) 17800,5g

11. 1,0542g tem o mesmo valor que: d) 1054,2mg

12.a) 0,1853 kg = 1853 g.

b) 20428,5 mg = 20,4285 g.

c) 1253,8 mg = 1,2538 g.

13.a) 8005,1 mg = 8,0051 g.

b) 5008,1 g = 5,0081 kg.

14.a) 0003,8g

b) 0021,3g

c) 0002,55g

d) 0000,7g

e) 0102,5g

f ) 0009,1g

g) 004,35g

h) 0085,4g

15.

a) 3,8g = 000 3,8 g = 0,0038 kg

b) 21,3g = 00 21,3 g = 0,0213 kg

c) 0,7g = 000 0,7 g = 0,0007 kg

d) 102,5g = 0102,5 g = 0,1025 kg

e) 9,1g = 0009,1 g = 0,0091 kg

f ) 4,35g = 004,35 g = 0,00435 kg

g) 85,4g = 0085,4 g = 0,0854 kg

16.

Medida em g Medida em g com zeros até a posição de mg

Medida em mg

a) 1,5g 1,500 g 1500 mg

b) 3,8g 3,800 g 3800 mg

c) 21,3g 21,300 g 21300 mg

d) 2,55g 2,550 g 2550 mg

e) 0,7g 0,700 g 700 mg

f ) 102,5g 102,500 g 102500 mg

513

g) 9,1g 9,100 g 9100 mg

h) 4,35g 4,350 g 4350 mg

i ) 85,4g 85,400 g 85400 mg

17.a) 4,17kg = 4,170 kg = 4170 g.

b) 12,9kg = 12,900 kg = 12900 g.

18.a) 85,4 g = 0,0854 kg.

b) 68,20 g = 0,06820 kg.

c) 3,48mg = 0,00348 g.

d) 0,6 mg = 0,0006 g.

19. Resposta: 8,2g é o mesmo que: c) 8200 mg

20.a) 0,71 kg = 710 g.

b) 24 kg = 24000 g.

c) 2,3 = 2300 g.

d) 0,07 kg = 70 g.

21. Resposta: 25 g vale o mesmo que: a) 25000 mg

22.a) 65 mg = 0,065 g.

b) 134 g = 0,134 kg.

c) 3 kg = 3000 g.

d) 27 g = 0,027 mg.

e) 1450 mg = 1,450 ou 1,45 g.

f ) 0,1 kg = 100 g.

23.a) A unidade de medida de peso que vale mil gramas é o quilograma .

b) A unidade de medida de peso que vale um milésimo de grama é o miligrama .

24. Resposta: 4379,21 mg é o mesmo que: a) 4,37921 g

25.a) 0,28 g = 280 mg.

514

b) 40 g = 0,040 kg.

c) 5,6 = 5600 g.

d) 3 g = 3000 mg.

26.a) g = grama

b) kg = quilograma

c) mg = miligrama

CAPÍTULO 5 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

1.a) 405 b) 1973 c) 791 d) 4368 e) 492 f ) 857 g) 1486

h) 781

2.

+

002,400034,280128,305164,985

3.a) 19,527 b) 20,6 c) 28,85 d) 22,27 e) 22,9 f ) 30,71 g) 11,193

h) 51,568 i ) 10,342 j ) 83,025 l ) 6,429 m) 89,5 n) 41,25

4.a) 211,7 mm b) 7,950 kg c) 21,228 mg d) 35,187 g e) 7,225 km f ) 341,9 cm g) 2,930 km

h) 5,371 kg i ) 22,75 dm j ) 11,735 kg

5. Resolva o problema a seguir.

1º Passo – Leia com atenção.

2º Passo – Observe a pergunta do problema e complete. O problema está perguntando quantos metros de pista construíram ao todo .

3º Passo – Encontre os dados que o problema traz. Construíram na primeira etapa 23,5m , na segunda etapa 42,8m e na terceira etapa, 8,9m .

4º Passo – Agora procure descobrir o que você pode fazer com os dados para responder a pergunta do problema. Complete: para saber quantos metros de pista construíram ao todo, é só somar as medidas de cada etapa.

5º Passo – Faça as indicações da conta.

23,5 + 42,8 + 8,9

6º Passo – Monte e resolva a conta do problema.

515

7º Passo – A resposta é: “Construíram ao todo, 75,2m de pista.”

6. Usaram 5.901,65 quilos de material.

7. Ele preparou 83,672 gramas de remédio.

8. A peça pesava antes 4.600 quilos.

9. A peça pesou 10,170 quilos.

10. Vão ser usados 29,625 metros.

CAPÍTULO 6 – SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

1.a) 26 b) 12 c) 12 d) 13 e) 8 f ) 46 g) 8

h) 39

2.600 – 212 = 388 Prova = 600

3.a) 215 b) 392 c) 146 d) 249 e) 778 f ) 123 g) 154

h) 102 i ) 137 j ) 124

4.a) 1,34 b) 81,46 c) 23,88 d) 87,8 e) 15,66 f ) 365,75 g) 3,6

h) 58,63 i ) 1,939 j ) 5,52

5.a) 639,5 m b) 1,25 cm c) 112 g d) 1903,7 mg e) 4,84 dm f ) 37,28 kg g) 2,364 m

h) 8,900 kg i ) 263,2 mg j ) 7.182,5 km

6. Resposta: João precisa comprar 119,3 gramas de rebites de aço.

7. Resposta: Sobraram 56,450 quilos de eletrodos.

8. Resposta: Sobraram 24,60 metros de tecido.

9. José vai ter que comprar 6,10 metros de fios.

10. Sobraram 222,5 m de tábua.

11. Sobraram 63,1 quilos de barras.

12. Sobraram 18,750 quilos de pregos.

516

13. A medida que falta mede 1,3 cm.

14. A medida que falta é 20,0 mm.

15. Foram usados nessa peça 0,717 gramas de aço.

16. Sobraram 5,49 metros.

17. Sobraram 13,7 quilos de material.

18. Sobraram para serem consumidos no terceiro dia 3,715 kg.

19. Foram usados no terceiro motor 27,45 metros de fio.

20. Faltam para construir na terceira etapa 29,5 km. Nas duas primeiras etapas foram construídos 95 km.

CAPÍTULO 6 – MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS

1.a) 68 b) 189 c) 936 d) 2905 e) 10812 f ) 34880 g) 86

h) 1608 i ) 135 j ) 3870 l ) 4535 m) 26.850

2.a) 7208 b) 9912 c) 16.497 d) 38.254 e) 2928 f ) 25.560

3.a) 1.604.226 b) 4.648.988 c) 3.681.129 d) 4.860.895 e) 1.309.956

4.a) 270 b) 990 c) 8050 d) 1320 e) 21300 f ) 30 g) 30400

h) 9900 i ) 20000 j ) 213.000 l ) 304.000 m) 18.000 n) 5.000 o) 2.130.000

p) 887.000 q) 211.000 r ) 300

5.a) 9840 b) 3.562.500 c) 1.292.910 d) 927.304 e) 374.528 f ) 12.963 g) 151.951

h) 1.813.903

6. Existem no estoque 1872 parafusos.

7. Deverão ser impressas ao todo 855.540 ilustrações coloridas.

8. Devem ser compradas 280 carteiras.

517

9. Recebem acabamento por dia 3770 peças.

10. Terá inspecionado 78.400 peças.

CAPÍTULO 7 – MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

1.a) 1728,6 b) 24200,4 c) 333043,6 d) 111,84 e) 428,72 f ) 7549,20

2.a) 0,8 b) 17,5 c) 162 d) 12588,8 e) 70922,4 f ) 478624,5 g) 30 ou 30,00

h) 17,28 i ) 261,12 j ) 11131,76

3.a) 17,286 b) 330,966 c) 300,591 d) 2337,852 e) 179,97 f ) 2465,6 g) 3616,7

h) 33118,6 i ) 2781,84 j ) 39550,84 l ) 7,22 m) 2,6845

4.a) 3,35 b) 0,054 c) 0,0284 d) 0,0030 e) 0,625 f ) 4,758

5.a) 0,1736 b) 0,006 c) 6,165 d) 0,012 e) 2,3184 f ) 0,225 g) 0,0162

h) 0,9373

6.a) 6,40m b) 1,02mm c) 552 kg d) 0,55 g e) 326,48 m f ) 6,7965 cm g) 25,315

h) 21,45 kg i ) 1,4355 mm j ) 86608 mm

7.a) 49,0 b) 316,0g c) 5,3 d) 0,820kg e) 0,3m f ) 0,0970 g) 37,5 ou 37,50

h) 90,27 ou 90,270 i ) 996,7 j ) 244,54 l ) 917 ou 917,00 m) 3,3 ou 3,300

n) 16,5 o) 7 p) 4850 q) 610 r) 30 s) 90 t ) 19886,3

u) 35 v) 3 x) 15300 z) 700

8.a) 3489,15mm b) 0,6 kg c) 5 km d) 5990 g e) 27 kg f ) 9070 cm g) 900 kg

h) 20 dm i ) 1256,8 m j ) 4136 g

9.Complete: O encanador precisa de 57 pedaços; cada pedaço mede 2,55m . No total ele vai precisar de 2,55 x 57 = 145,35 .

10. Sobraram 5,2 kg de bronze.

518

11. Vai produzir em 42 dias 27331,50 kg.

12. Sobraram 5.190 metros de tubo.

CAPÍTULO 8 – DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS

1.

Dividendo 5 3 Divisor Dividendo 8 2 Divisor

– 3 1 Quociente – 8 4 Quociente

Resto 2 Resto 0

2.a) 6÷ 3= 2

b) 10÷ 2= 5

c) 8÷ 4 = 2

d) 6÷ 2= 3

e) 10÷ 5= 2

f ) 12÷ 3= 4

g) 18÷ 6= 3

h) 28÷ 7= 4

3.a) 10÷ 3=

Resultado: 3 e resta 1

b) 18÷ 4 =

Resultado: 4 e restam 2

c) 29÷ 6=


d) 19÷ 8=


e) 15÷ 4=


f ) 10÷ 8=


519

g) 12÷ 5=


h) 18÷ 6=

Resultado: 3 e resta 0

4.a) 17

b) 13 restam 2

c) 24 restam 2

d) 13

e) 12 restam 3

f ) 32 resta 1

g) 14 restam 4

h) 28

i ) 132 restam 4

j ) 124

l ) 133 restam 5

m) 243 restam 2

n) 187

o) 63 resta 1

p) 45 restam 3

q) 73

5.a) 2351

b) 2112

c) 435

d) 1358 restam 2

e) 843 restam 4

f ) 625 restam 3

6.a) 14

b) 11 restam 4

520

c) 258 resta 1

d) 63 resta 1

e) 1143

f ) 145

g) 681 resta 1

h) 2127

i ) 711

j ) 35

l ) 915

m) 1363 resta 1

n) 154

o) 24 resta 1

p) 17

q) 156

7. Cada pessoa recebeu 8 livros.

8. Pode usar em cada avental 8 botões.

9. Podem ser formadas 5 equipes e vão restar 3 alunos.

10. Vão ser usadas 8 e vão sobrar 4 rodas.

11. Devem ser usadas 16 embalagens e vão restar 2.

12. Receberá cada um 26 moedas e vão restar 2.

13. Saem de férias 215 operários em cada grupo.

14. Devem ser colocadas em cada caixa 131 peças.

15. Deve receber 87 latas de óleo.

16. Devem ficar em cada sala 45 candidatos.

17. A impressora imprimiu em um dia 1284 livros.

18. Deve transportar em cada caminhão 752 pacotes.

521

19. Devem ficar em cada fila 60 peças.

20. Foram gastas em cada casa 423 telhas.

21. Devem receber em cada loja 321 cadernos.

22. Existem 85 recipientes no depósito.

23. Vai trabalhar 23 dias.

24. Existem em cada caixa 108 chaves-de-fenda.

25. Foram construídos 48 apartamentos.

EXERCÍCIOS

1.a) 3

b) 3

c) 2 restam 3

d) 2 restam 4

e) 2 restam 5

f ) 3 resta 1

g) 4

h) 2

i ) 6

j ) 3

l ) 2 restam 27

m) 4 restam 4

n) 3 restam 3

o) 3 restam 16

p) 2 restam 2

q) 2 restam 15

2. Calcule as contas abaixo.

a) 31 restam 5

b) 26 restam 26

522

c) 11 restam 38

d) 26 resta 1

e) 32 restam 10

f ) 15

g) 13 restam 2

h) 11 restam 26

i ) 5 resta 1

j ) 4 restam 41

3.a) 4 restam 12

b) 23

c) 475 restam 8

d) 138 restam 32

e) 84 restam 29

f ) 117 restam 49

g) 166 restam 21

h) 144 restam 3

4.a) 4 restam 39

b) 2 restam 174

c) 2 restam 238

d) 6

e) 2 restam 64

f ) 3 restam 55

g) 3 restam 13

h) 5 restam 32

i ) 2 restam 5

j ) 12 restam 465

l ) 21 restam 234

m) 21

5.a) 13 b) 250 c) 77 d) 880 e) 357 f ) 48 g) 35

523

h) 103 i ) 50 j ) 280 l ) 1 m) 83 n) 5 o) 150

p) 308 q) 707 r ) 1354 s) 160

6.a) 7 b) 8 c) 8 d) 12 e) 15 f ) 4 g) 3

h) 3 restam 3 i ) 10 restam 2 j ) 40 restam 15 l ) 60 restam 12 m) 508 restam 4

n) 801 restam 4 o) 308 restam 6 p) 101 q) 10 r ) 210 resta 1

s) 30 restam 5 t ) 230 restam 10 u) 102 restam 3 v) 306 restam 4

x) 206 restam 22 z) 205 restam 3

7.a) 300 b) 300 c) 500 restam 11 d) 200 restam 21 e) 400

f ) 300 restam 9 g) 400 restam 15 h) 100 i ) 100 j ) 200 restam 3

l ) 400 resta 1 m) 100 restam 13 n) 100 restam 31 o) 700

p) 600 q) 42 r) 4 s) 194 t ) 12 u) 100 restam 11

v) 100 x) 800 z) 300 restam 10

8. O produtor vai enviar 4 caixotes.

9. Cada pessoa recebeu 3 garrafas e sobrou 1 garrafa.

10. Havia em cada caixa 45 formões.

11. Podem ser montadas 64 caixas de câmbio.

12. Havia 36 limas em cada caixa.

13. São necessárias 7 prateleiras e irão sobrar 4 latas.

14. São fabricadas com cada chapa 9 caixas.

15. Vão ser retiradas 43 latas.

16. De cada barra de aço foram torneadas 36 peças.

17. Cada funcionário vai receber 2 vales e irão sobrar 24 vales.

18. Vão ser usadas 6 gavetas e irão sobrar 50 paquímetros.

19. Foram recebidos 8 maços.

524

20. Foram revestidos 18 andares e sobraram 4 caixas.

21. Tem 640 dezenas de parafusos.

22. Serão formados 240 pacotes.

23. Vão ser formados 40 maços.

24. Foram transportados 210 engradados.

CAPÍTULO 9 – DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

1.a) 2,8 2 – 1 = 1 (Dividendo com duas casas decimais menos o divisor com uma casa decimal = quociente com uma casa)

b) 7,36 3 – 1 = 2

c) 4,2 3 – 2 = 1

2.a) 3,2 b) 1,43 c) 2,065 d) 1,8 e) 12 f ) 28 g) 192

h) 8 i ) 6 j ) 15

3.a) 8 b) 2,73 c) 2,6 d) 7,31 e) 24 f ) 65 g) 7,8

h) 32,5

4.

a) 5,0 : 2 = 2,5 Aproximação de décimos

b) 14,835 : 1,5 = 9,89 Aproximação de centésimos .

c) 32,096 : 32 = 1,003 Aproximação de milésimos .

d) 2,340 : 0,6 = 3,90 Aproximação de centésimos .

e) 4,31 : 8 Aproximação de centésimos .

f ) 12,301 : 3,25 Aproximação de décimos .

g) 8,014 : 0,3 Aproximação de centésimos .

5.

DIVIDENDO DIVISOR APROXIMAÇÃO

2 posições decimais 1 posição decimal décimos

2 posições decimais 0 posição decimal centésimos

1 posição decimal 0 posições decimais décimos

5 posições decimais 2 posições decimais milésimos

4 posições decimais 3 posições decimais décimos

525

6.

52,83 : 6,4 = Aproximação de centésimos Dividendo: 52,830

Aproximação de milésimos Dividendo: 52,8300

4,5 : 1,8 = Aproximação de décimos Dividendo: 4,50

Aproximação de centésimos Dividendo: 4,500

7.

8,345 : 5,3 = Aproximação de décimos Dividendo: 8,3

23,143 : 7 = Aproximação de décimos Dividendo: 23,1

Aproximação de centésimos Dividendo: 23,14

8.


12 : 9 = Aproximação de décimos Dividendo: 12,0 : 9 =


9,3 : 4,2 = Aproximação de milésimos Dividendo: 9,3000 : 4,2 =

54 : 12,8 = Aproximação de centésimos Dividendo: 54,00 : 12,8 =

9.a) 5,2 : 4 = 1,30 (aproximação de centésimos)

b) 8 : 2,5 = 3,2 (aproximação de décimos)

c) 52,3 : 8 = 6,537 (aproximação de milésimos)

d) 8,3 : 5 = 1,66 (aproximação de centésimos)

e) 5,433 : 5,2 = 1,0 (aproximação de décimos)

f ) 8,003 : 5 = 1,60 (aproximação de centésimos)

g) 34,853 : 2,1 = 16,5 (aproximação de décimos)

h) 5,30135 : 4 = 1,325 (aproximação de milésimos)

i ) 4,83 : 3,01 = 1,6 (aproximação de décimos)

j ) 30,7861 : 6 = 5,13 (aproximação de centésimos)

l ) 7,431 : 2,6 = 2,8 (aproximação de décimos)

526

10.a) 3,309 b) 1,501 c) 7,5807 d) 0,2521 e) 0,3661 f ) 2,12 g) 0,02

h) 0,0438 i ) 0,765 j ) 0,1615

11.a) 0,52 b) 0,08 c) 0,25 d) 0,41

12.a) 0,250 b) 0,6097 c) 0,1625 d) 0,05

CAPÍTULO 10 – DIVISÃO DE MEDIDAS

1.a) 2250kg : 125 = 18 kg

b) 16,0m : 5 = 3,2 m

c) 413,1g : 17 = 24,3 g

d) 544 mg : 68 = 8 mg

e) 60dm : 3 = 20 dm

f ) 18,3m : 10 = 1,83 m

g) 27,2cm : 100 = 0,272 cm

h) 256kg : 1000 = 0,256 kg

2.a) 0,235 cm b) 0,0027 kg c) 7,987 m d) 0,4036 g e) 1,2 dm

f ) 0,0765 m g) 8,543 cm h) 0,141 kg i ) 1,383 mm j ) 3,8568 g

3.a) 43,5 m b) 5 m c) 71mg d) 31,35 g e) 32

f ) 25 g) 11 h) 6,5 i ) 12 j ) 41

l ) 70 m) 2,7 n) 8 o) 1,38 m p) 1,25 kg

q) 30,8 g r) 1,27 mm s) 15

4.a) 32,967 kg : 891g = 37 g (aproximação de décimos)

b) 23,46m : 85dm = 2,76 dm (aproximação de centésimos)

c) 27cm : 4,2mm = 64,28 mm (aproximação de centésimos)

d) 14,3g : 69 mg = 207,246 mg (aproximação milésimos)

5. Ele gastou 12,15 m de fio.

527

6. Foram usados em cada peça 0,360 kg.

7. Cada parafuso pesa 3,5 g.

8. Cada uma das famílias recebeu 8,1 kg.

9. Cada pedaço ficou medindo 12,5 mm.

10. Cada uma pesa 0,55 g.

11. Foram usados 2,5 m de alumínio.

12. Usaram 9 latas de graxa.

13. O rolo de arame foi cortado em 34 pedaços iguais.

14. Ele pode lubrificar 45 rolamentos e sobram 6 g de graxa.

15. Podem ser cortados 3 pedaços e sobram 0,55 m.

16. Vão ser gastos 28 dias.

17. Podem ser instalados 46 motores.

18. Esse lote tem 100 arruelas.

19. Essa oficina vai gastar o estanho em 28 dias.

20. São necessários 22 m de canos.

21. Essa pavimentadora levou 54 dias.

22. Foram feitos 275 pregos.

23. Foram lubrificados 24 motores.

24. Esse estoque de lubrificante deve durar 42 dias.

25. Essa caixa tem 118 latas.

26. Essa oficina vai gastar as varetas de solda em 6 dias.

528

27. Cada pedaço dessa barra de cobre mede 39 cm.

28. Cada carrinho transporta 51,2 quilos.

29. Podem ser feitas 176 extensões.

30. Ficou pesando cada caixa 6,2 quilos.

31. Foram enrolados 48 motores.

32. Foram cortados 165 pedaços da barra de alumínio.

CAPÍTULO 11 – PERÍMETRO

1. O perímetro é 12,6 cm.

2. O perímetro é 1,2 dm.

3.a) O perímetro é 15 cm.

b) O perímetro é 1600 mm.

c) O perímetro é 250 mm.

d) O perímetro é 22 m.

4.a) O perímetro é de 18 cm.

b) O perímetro é de 10 cm.

c) O perímetro é de 14,5 cm.

d) O perímetro é de 31,5 cm.

CAPÍTULO 12 – ÁREA

1. O ângulo maior é a letra B .

2. Os retângulos são as figuras de números 1, 3 e 6 .

3.

a) Quadrado

b) Retângulo

c) Nenhum

d) Retângulo

529

e) Quadrado

f ) Nenhum

4.a) A superfície da figura A mede 18 unidades.

b) A superfície da figura B mede 28 unidades.

c) A superfície da figura C mede 4 unidades.

5. Complete: Um centímetro quadrado é a área de um quadrado com 1 cm de lado. Um centímetro quadrado vale 100 milímetros quadrados. A área de um quadrado com 1m de lado é 1 m 2 .

6.a) Área de L: 24 cm 2 ;

b) Área de O: 25 cm 2 ;

c) Área de M: 27 cm 2 ;

d) Área de P: 17 cm 2 .

7.a) Área de R: 150 m 2 ;

b) Área de S: 90 m 2 .

8.a) 1035,0 cm2

b) 10,348 cm2

c) 750 cm2

d) 0,075 m2

e) 1,6500 m2

f ) 45,58 m2

9.a) 4,530m² = 453,0 dm²;

b) 12,25cm² = 1225 mm²;

c) 1,008dm² = 100,8 cm²;

d) 0,3758m² = 3758 cm²;

e) 0,397dm² = 39,7 cm².

10.a) 935,2dm² = 9,352 m²;

b) 1.500,3mm² = 15,003 cm²;

530

c) 845,10cm ² = 8,4510 dm²;

d) 16.520,7cm² = 1,65207 m²

e) 200cm² = 0,0200 m².

f ) 9m² = 9000000 mm²;

g) 5 km² = 5000000 m²;

h) 50m² = 5000 dm².

11.Na largura do retângulo cabem 4cm².

No comprimento do retângulo cabem 5 cm².

Como 5 x 4 = 20 , a área total do retângulo é 20 cm².

12. Para calcular a área em metros quadrados, é preciso ter as medidas do comprimento e da largura em metros. Como a largura está em cm, é preciso transformar a medida: largura: 80cm = 0,80 m; comprimento: 4,5 m. Para encontrar a área, fazemos a multiplicação: 4,5 x 0,8 = 3,60 . Resposta: o tampo tem 3,60 m de madeira.

13.Como a figura é um quadrado, o comprimento é igual à

largura: comprimento = 45 mm;

largura = 45 ; 45 x 45 = 2025 .

Resultado: a área do quadrado é 2025 mm2.

14. A área da chapa é de 416,16 cm 2 .

15. A área do estacionamento é de 700 m 2 .

16. A área da chácara é de 2,00 km² ou 2000000 m².

17. Área da figura é 1100 mm 2 .

18.a) Quanto ela mede de largura?

b) Para calcular a largura, dividimos a área pelo comprimento.

c) Faça esta conta de dividir: 8.921,36 : 125,3 = 71,2 .

d) Resultado: como a área está em cm² e o comprimento em cm, a largura é 71,2 cm .

19.a) Área de 1 mesa 2,10 m x 1,38 m = 2,8980 m².

b) Área de 6 mesas: 6 x 2,8980 m² = 17,3880 m².

531

c) Resultado: Vão ser recobertos 17,3880 m² de superfície.

120 cm = 1,20 m.

Calcule: 17,3880 : 1,20 = 14,49 .

Resultado: o dono do bar precisa comprar 14,49 m de feltro.

20.a) Quadrado

b) Retângulo

c) Retângulo

d) Quadrado

22.

a) Quilômetro quadrado ( c ) dm2

b) Metro quadrado ( a ) km2

c) Decímetro quadrado ( d ) cm2

d) Centímetro quadrado ( e ) mm2

e) Milímetro quadrado ( b ) m2

23. A superfície deste quadrado mede 1m 2 .

24. b) 0,01 m2

25. A área do quadrado é 36 m 2 .

26. A área desse terreno é de 864 m 2 .

27. A área dessa esteira é de 1,615 m 2 .

28. A área desse retângulo é de 17,00 cm².

29. A área desse retângulo é de 1540 mm².

30. Vão ser necessários 30,80 m² de tacos.

31. Pedro vai precisar de 1,20 m² de fórmica.

32. Resposta: é preciso comprar 13,5 m² de ladrilho.

532

CAPÍTULO 13 – VOLUME

1.

a) ( b ) Cubo

b) ( c ) Prisma reto de base quadrada

c) ( a ) Prisma reto de base retangular

2. c)

3.a) Metro cúbico: m 3 ;

b) Decímetro cúbico: dm 3 ;

c) Centímetro cúbico: cm 3 ;

d) Milímetro cúbico: mm 3 .

4. Complete: 1 m³ contém 1000 dm³; 1dm³ contém 1000 cm³; 1cm³ contém 1000 mm³.

5. O volume do cubo maior que formamos é de 8 cm³.

6. A figura abaixo representa uma caixa d'água onde cabem 200 cubos de 1dm de aresta. Escreva o volume dessa caixa d'água: 200 dm³ .

7. O volume dessa peça é de 5600 mm³ .

533

8.a) 12 cm³

b) 24 cm³

9. O volume da pedra é de 12 cm³ .

10. Complete as igualdades abaixo.

a) 7L = 7 dm³;

b) 15L = 15 dm³;

c) 8,3 l = 8,3dm³;

d) 1.500L = 1.500 dm³ ;

e) 1ml = 1cm³;

f ) 5 ml = 5cm³;

g) 2,6ml = 2,6 cm³;

h) 40,19ml = 40,19 cm³.

11. c) 140ml

12. a) 3cm3

13.a) 80 cm3 = 0,080 dm3

b) 1462 dm3 = 1,462 m3

c) 0,91 m3 = 910 dm3

d) 139,4 dm3 = 0,1394 m3

e) 23 dm3 = 23 l

f ) 550 dm3 = 550 l

g) 77 l = 77 dm3

h) 5 m³ = 5000 dm³ = 5000.000 l

i ) 45 l = 45 dm3 = 0,045 m3

j ) 1570 l = 1570 dm3 = 1,570 m3

l ) 336 l = 336 dm3 = 0,336 m3

m) 7 l = 7 dm3 = 7000 cm3

n) 35,9dm³ = 0,0359 m³.

14. d) 0,042 dm3

534

15. a) 0,85 m3

16.a) 3,500 m3 = 3500 l

b) 18 m3 = 18000 l

c) 600 m3 = 600.000 l

d) 1400 l = 1,400 m3

e) 27 l = 0,027 m3

17.a)Medidas:

comprimento = 1,2 m ;

largura = 0,9 m ;

altura = 1,5 m ;

Resposta: volume = 1,620 m³

b)Medidas:

comprimento = 18 mm ;

largura = 18 mm ;

altura = 18 mm ;

Resposta: volume = 5832 mm³.

18. Se o prisma tem 4 cm de largura, quer dizer que cabem 4 cm³ ao longo de sua largura. Se o comprimento do prisma é de 6 cm, vão caber 6 filas de 4 cm³ sobre sua base. Sobre a base toda cabem 24 cubos de 1 cm³. A altura do prisma é de 3 cm, então vão caber no prisma 3 camadas de 24 cm³. Como 24 x 3 = 72 , o volume total é de 72 cm³.

19. O volume dessa caixa d'água é de 42,875 m³. Ou: A capacidade dessa caixa d'água é de 42875 l.

20. Volume: 36 cm³.

21. Volume: 8640 l.

22. O volume do depósito é de 240 mm³ .

23.As medidas desse prisma são:

comprimento = 52 mm;

535

largura = 35 mm ;

altura = 20 mm .

Para calcular o volume, multiplicamos 52 x 35 x 20 . O resultado é, 36.400 mm³.

24.a)Cálculo: 25 x 15 x 18 = 6750 mm³

Volume: 6750 mm³

b)Cálculo: 15 x 15 x 15 = 3375

Volume: 3375 mm³

25. Volume total da peça: 18000 mm³ .

26. b)

27. a)

28. O volume desse cubo é de 8 cm³.

29.a) 37 dm3 = 37 l

b) 18,07 ml = 18,07 cm3

c) 1800 ml = 1800 cm3

d) 0,09 l = 0,09 dm3

e) 1 dm³ = 1000 cm³

30.a) 1,5 dm3 = 0,0015 m3

b) 7 dm3 = 7 l

c) 8,42 m3 = 8420 l

d) 0,009 m3 = 9 dm3

31.a) 200 cm3

b) 8000 cm3

c) 4000 mm3

32. Complete: O litro é a unidade de capacidade equivalente ao 1 dm 3 . A abreviatura de litro é l .

33. Essa garrafa contém 700 cm3 de vinho.

536

34. Nessa caixa cabem 1200 litros de água.

35. O rio Amazonas despeja no mar 210.000.000 litros de água a cada segundo.

36. A capacidade da xícara é de 5 ml.

37. 18.525,8 dm³ = 18,5258 m³.

38. A altura dessa caixa d'água é de 4 m.

39. O volume dessa caixa é de 60 cm³ .

40. O volume desse baú é de 20 dm³ .

41. O volume da fenda é de 25 mm³ .

42. Cabem nesse tanque 5600 litros de água.

CAPÍTULO 14 – PROBLEMAS

1.Problema 1 – No almoxarifado sobraram 418,8 m.

Problema 2 – Cada seção recebeu 69,6 metros.

Problema 3 – Nessa seção foram feitas 11 embalagens.

2.Problema 1 – A área é de 209 metros.

Problema 2 – Gastou 252 m de arame.

Problema 3 – A largura da oficina é de 6,25 m.

3.Problema 1 – Calcule a área dos quartos, do banheiro e da cozinha.

Resposta: área de cada quarto: 9,00 m 2 ; área do banheiro: 3,00m 2 ; área da cozinha: 840 m 2 ;

Problema 2 – Qual é a área da casa toda? E a área da sala? Resposta: área da casa: 43,80 m 2 ; área da sala: 14,40m 2 ;

4.Problema 1 – O volume vai ser de 0,936 m3.

Problema 2 – A caixa cheia vai pesar 1030,750 kg.

5.Problema 1 – O volume do tarugo é 9000 mm 3 e o da peça é 7500 mm 3 .

Problema 2 – A peça vai pesar 58,5 g.

537

6.Problema 1 – Serão necessários 420 azulejos.

Problema 2 – Em média cada azulejo pesa 0,53 kg.

7.Problema 1 – Cada lote tem 124 m2 de área com 5 m de frente.

Problema 2 – No conjunto todo foram construída 8649,0 m2.

8. O elevador andou 10,0992 km nesse dia.

9.Problema 1 – O elevador vai transportar 209,575 kg.

Problema 2 – A pessoa pesará 40,425 kg no máximo.

10.Problema 1 – O volume de cada caixa é de 1600 cm3.

Problema 2

Comprimento: 1,00 m;

Largura: 0,30 m;

altura: 0,24 m;

área de base: 0,30 m²;

volume: 0,0720 m³.

Problema 2 – Nesta caixa são empregados 1006,50 cm² de papelão.

11.Problema 1 – O volume dos 5 pinos é de 1,30 ml e o volume de cada pino é 0,26 ml.

Problema 2 – O volume de 4 contas é 1,70 ml e o volume de 1 conta é 0,42 ml.

12.Problema 1 – A área da base é de 32,00 m².

Problema 2 – No tanque sobraram 97000 litros.

Problema 3 – Dentro do tanque o álcool atingia uma altura de 2,7 m.

CAPÍTULO 15 - FRAÇÕES

1.a) Você vai comer 2 partes da barra de chocolate, que foi dividida em 5 partes iguais.

2.a) O número que fica acima do traço é o numerador .

b) O número que fica abaixo do traço é o denominador .

538

c)

numerador denominador

25

d) 24

3.

a) 14 ; b) 2

3 ; c) 36 ; d) 5

12 ; e) 48 ; f) 3

4

6. a) 37 ; b) 7

12

7. a) 25 ; b) 2

6

8. c; e; a; d.

10.

a) 18 Um oitavo b) 3

7 Três sétimos

c) 89 Oito nonos d) 1

3 Um terço

e) 26 Dois sextos f ) 7

8 Sete oitavos

g) 15 Um quinto h) 4

7 Quatro sétimos

i ) 24 Dois quartos j ) 5

9 Cinco nonos

l ) 12 Um meio m) 3

6 Três sextos

n) 312 Três doze avos o) 9

100 Nove centésimos

p) 61000 Seis milésimos q) 8

17 Oito dezessete avos

r) 35102 Trinta e cinco cento e dois avos

11. ( – ), c, a, b, d

12.

b) 34 ; c) 1

2 ; e) 964 ; h) 7

8 ; i ) 532

539

13.

a) 1' '

6Um sexto de polegada b) 3' '

6Três sextos de polegada

c) 5' '

16Cinco dezesseis avos de polegada d) 1' '

128Um cento e vinte oito avos de polegada

e) 3' '

64Três sessenta e quatro avos de polegada f ) 7' '

32Sete trinta e dois avos de polegada

14.

a) A fração imprópria tem o numerador igual ou maior que o denominador.

b) A fração própria tem o numerador menor que o denominador.

15.

b) 55 ; c) 13

4 ; f ) 32 ; g) 7

3 ; h) 66

16.

a) 105 2 inteiros

b) 93 3 inteiros

c) 55 1 inteiro

17.

a) 2 = 21

b) 5 = 51

c) 3 = 31

18.

a) 3 25 ; b) 2 2

5 ; c) 3 34

19.

a) 2 25 Dois inteiros e dois quintos b) 3 3

4 Três inteiros e três quartos

c) 4 19 Quatro inteiros e um nono d) 1 2

3 Um inteiro e dois terços

540

20.

a) 3 13 3 x 3 = 9 9 + 1 = 10 Então, 3 1

3 = 103

b) 5 12 2 x 5 = 10 10 + 1 = 11 Então, 5 1

2 = 112

c) 1 45 5 x 1 = 5 5 + 4 = 9 Então, 1 4

5 = 95

d) 2 12 2 x 2 = 4 4 + 1 = 5 Então, 2 1

2 = 52

e) 3 34 4 x 3 = 12 12 + 3 = 15 Então, 3 3

4 = 154

21.

a) 13 ; d) 3

8 ; e) 216

22.

b) 53 ; c) 3

3 ; d) 84 ; g) 17

8

23.

a) 2 12 = 2 x 2 = 4 + 1 = 5 5

2

b) 3 710 = 10 x 3 = 30 + 7 = 37 37

10

c) 5 23 = 3 x 5 = 15 + 2 = 17 17

3

d) 3 25 = 5 x 3 = 15 + 2 = 17 17

5

e) 4 58 = 8 x 4 = 32 + 5 = 37 37

8

f ) 2 23 = 3 x 2 = 6 + 2 = 8 8

3

541

24.

a) 1 35 ; b) 4 1

2 ; c) 1 23 ; d) 6 3

4 ; e) 2 36 ; f ) 6 1

2

25.

a) 14 ; b) 3

4 ; c) 35 ; d) 1

8

26.

a) 3 ' '

8; b)

47

27.

a) 23 ; b) 7' '

8; c) 5 ' '

16; d) 5

16 ; e) 1' '

4; f ) 3

8

28.

a) 45 ; b) 3' '

4

29. 6 ' '

16ou 9 ' '

24

30. 13= 4

12

31. 17= 3

21

32.

1º passo: Encontre o m.m.c. entre os denominadores;

O m.m.c. é 15.

2º passo: Depois reduza ao mesmo denominador.

515

, 615

33.a) O m.m.c. é igual a 252.

b) O m.m.c. é igual a 455.

c) O m.m.c. é igual a 140.

d) O m.m.c. é igual a 15.

e) O m.m.c. é igual a 20.

34.

A redução entre as frações 23

, 12

, 34 é 8

12, 6

12, 9

12 .

542

35.

A redução entre as frações 18

, 316

, 14 é 2

16, 3

16, 4

16 .

36.1º passo: Transforme os números mistos em frações impróprias.

72 e 9

4

2º passo: Encontre o m.m.c. dos denominadores.

O m.m.c. é igual a 8.

3º passo: Reduza as frações ao mesmo denominador.

288

, 38

, 188

A redução entre as frações 3 12

, 38

, 2 14 é 28

8, 3

8, 18

8 .

37.

A redução entre as frações 4 13

, 2 12

, 13 é 26

6, 15

6, 2

6 .

38. b) 812

e 912

39. c) 420

, 1020

e 520

40.

As frações 14


41.

As frações 57

e 1520 não são equivalentes.

42. b) 45

43. c) 25

44.

a) Em vez de escrever 45 é maior que 4


7 .

b) Em vez de escrever 47 é maior que 4


9 .

543

c) Em vez de escrever 23 é maior que 2


4 .

d) Em vez de escrever 24 é maior que 2


5 .

e) Em vez de escrever 47 é menor que 4

5 , podemos escrever: 47 < 4

5 .

f ) Em vez de escrever 49 é menor que 4


7 .

g) Em vez de escrever 24 é menor que 2


3 .

h) Em vez de escrever 25 é menor que 2


4 .

45.5' '

16< 3' '

8

46.1' '

16< 3' '

32

47.

a) 9' '

16> 1' '

2

b) 25 < 2

3

c) 5' '

16> 1' '

4

d) 2 12 > 1 7

8

e) 45 < 6

7

f ) 35 > 2

5

g) 2 13 < 2 2

3

h) 2 1' '

4< 2 1' '

2

544

i ) 3 ' '

4> 1' '

2> 1' '

8

j ) 14 < 2

3 < 45

48.

b) 58

49. c); ( – ); b); a)

50.

Frações próprias : 14

, 49

, 811

Frações impróprias : 158

, 87

, 134

, 44

51.

3) 174

52.

b) 1 67

53.

b) 1640

, 3040

e 540

54.16' '

64= 1' '

4

55.

a) 3 ' '

4

56.

a) 1 1' '

4> 1 3' '

16

b) 49 > 1

3

c) 4 1 ' '

6> 3 7' '

8

545

d) 23 < 5

6

e) 5 ' '

8< 11' '

16

f ) 17' '

32> 1' '

2

g) 15 < 2

3 < 34

h) 3 ' '

16< 1' '

2< 5' '

8

CAPÍTULO 16 – OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

1.

a) 716 ; b) 4

7 ; c) 23

2. 1' '

2

3. 107

4.

a) 1 3' '

8; b) 14

7 ; c) 4 15

5.1º) Encontre o m.m.c dos denominadores:

O m.m.c. é 20.

2º) Reduza o m.m.c. ao mesmo denominador:

520

420

3º) Some as frações:

520

420

= 920

6. 15 ' '

16

546

7. 2 112

8.

a) 6 512 ; b) 1 19

35 ; c) 4 59 ; d) 3 1

12

9. b); c); ( – ); a)

10. c) 4 1112

11. 1 1' '

8

12.

a)15 ; b)

521 ; c) 1' '

2; d) 3 ' '

4; e) 1 5

7 ; f ) 1 1' '

4

13.

a) 1 1' '

8; b) 3 1

20 ; c) 2 78 ; d) 1

14

14.

a) 1' '

2; b) 2 1

12 ; c) 9 23

15.

a) 13 ; b) 1

2 ; c) 110 ;d) 3 15

16 ; e) 1 1320 ; f ) 5 1

12 ; g) 2 110 ; h) 1 7

8 ; i ) 340 ; j ) 3

4 ; l ) 3

16.

a) 12 ; b) 1 4

12

17.1º) Mudar o sinal:

23

x 13

2º) Inverter a segunda fração:

23

x 31

3º) Multiplicar.

23

x 31

= 63

= 2

547

18.1º) Transforme o número misto em fração imprópria:

23

: 64

2º) Mude o sinal e inverta a segunda fração:

23

x 46

3º) Multiplique:

23

x 46= 8

18= 4

9

19.

a) 314 ; b) 5 1

15 ; c) 1 2050 ; d) 6 1

2 ; e) 15 ; f ) 1130 ; g) 7

18 ; h) 6 ; i ) 17 ; j) 10

19 ; l ) 3 412

20.

a) 1627 ; b) 4 3

4 ; c) 18 ; d) 9 1

3 ; e) 5 3' '

4; f ) 1 17

35 ; g) 1 412 ; h) 10

CAPÍTULO 17 – FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS

1. 710 2. 19

100 3. 81000 4. 893

100

5.

b) 20100 c) 3

100 e) 151000 g) 2

10 h) 5010000

6. 120 7. 12

25 8. 1' '

49. 1' '

16

10.

a) 5 3' '

4b) 3

20 c) 3 14 d) 17

100 e) 1' '

8f ) 4 4

5 g) 710

11.a) 0,09; b) 0,021 c) 5,01 d) 0,05 e) 0,005 f ) 0,125'' g) 3,2

h) 15,8 i ) 1,2 j) 4,015 l ) 0,6 m) 0,03 n) 0,8 o) 0,375''

p) 2,75'' q) 2,6 r) 2,05 s) 0,625 t ) 3,125 u) 4,2 v) 0,85

x) 1,25'' z ) 0,08

548

CAPÍTULO 18 – NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

1.a) Escrevemos o número 2 negativo – 2.

b) Escrevemos o número 10 positivo +10.

2.

Inteiros negativos Inteiros Positivos

– 30, – 5, – 8, – 47 +12, 19, 15, + 27, 71

3.a) +7 b) +13 c) – 5 d) +20 e) – 8 f ) – 9; g) +15

h) – 11

4.a) – 7 b) – 8 c) + 8 d) + 22 e) + 1 f ) – 3 g) + 3

h) + 2 i ) – 2 j ) + 14 l ) – 14

5.a) 0 (zero) b) 0 (zero) c) – 7 d) – 2 e) – 1

6. b) – 12

7.c) ( + 5) + ( – 8) = – 3

d) ( + 4) + ( – 7) = – 3

8. c) – 11 e – 11

9.a) – 4 b) – 19 c) + 10 d) + 4

10.a) ( + 3) – ( – 5) é o mesmo que ( + 3) + ( + 5).

b) ( – 3) – ( – 5) é o mesmo que ( – 3) + (+ 5).

11.a) + 8 b) + 2 c) + 4 d) + 12 e) – 12 f ) – 4 g) + 12

h) – 1 i ) + 4 j ) + 2

12. a) – 3

549

13.a) + 5 ( – ) +11 b) – 13 c) + 13

14. b) + 7

15.1º – Multiplique os números sem considerar os sinais e coloque o resultado ao lado do sinal de igual;

3 x 4 = 12

2º – Observe que os sinais dos números são iguais, então, coloque o sinal mais no resultado.

+ 12

16.a) + 10 b) + 10 c) + 18 d) + 18

17.1º – Multiplique os números sem considerar os sinais e coloque o resultado ao lado do sinal de igual;

3 x 4 = – 12

2º – Observe que os sinais dos números são diferentes, então, coloque o sinal menos no resultado.

– 12

18.a) – 15 b) – 12 c) – 9 d) + 4 e) – 4 f ) + 21 g) – 21

h) – 28 i ) + 28 j ) + 30 l ) + 9 m) – 20

19.a) ( + 2) ( – 3) é o mesmo que ( + 2) x ( – 3).

b) 5 ( – 4) é o mesmo que 5 x ( – 4).

c) ( – 3) 7 é o mesmo que( – 3) x ( + 7).

20.a) + 6 b) – 6 c) – 8 d) – 21 e) – 15 f ) + 15 g) + 20

h) + 32 i ) – 42 j ) – 12

21.a) + 4 b) + 4 c) – 5 d) – 2

22.b) + 6 c) + 4 ( ) – 4 a) – 6

23.a) ( – 12) : ( + 3 ) = – 4

b) ( + 18) : ( – 2 ) = – 9

c) ( + 15) : ( + 5 ) = + 3

550

d) ( – 10) : ( – 2 ) = + 5

24. c) +2

25. c) (+ 18) : ( – 6) = – 3

26.a) ( + 8) : ( + 4 ) = + 2

b) ( – 8) : ( + 4 ) = – 2

c) ( – 8) : ( – 2 ) = + 4

d) ( + 8) : ( – 2 ) = – 4

27. c) + 5 e – 6

28.1º – Pela ordem, a multiplicação e a divisão devem ser feitas antes. Nessa operação, não há multiplicação. Então faça a divisão e copie as outras operações;

( – 7) – ( + 8) + ( – 3) =

2º – Agora devemos fazer a adição e a subtração, na ordem em que aparecem. A subtração aparece primeiro. Faça as modificações e opere. Depois copie a outra operação.

( – 7) + ( – 8) + ( – 3) =

3º – Por último, restou fazer a adição.

( – 15) + ( – 3) = – 18

29.1º – Multiplicação e divisão devem ser feitas na ordem em que aparecem. Depois copie as outras operações;

( + 2) + ( – 5) – ( – 12) =

2º – Adição e subtração, na ordem em que aparecem.

( – 3) – ( – 12) = ( – 3) + ( + 12) = + 9

30.a) – 2 b) + 11 c) + 4 d) – 9 e) – 12 f ) – 1 g) – 4

h) + 6 i ) – 20 j ) – 9

31.a) – 10 b) + 6 c) – 12 d) + 1 e) + 7 f ) + 7 g) – 7

h) + 5 i ) – 11 j ) + 2 l ) – 3 m) – 7

32.c) – 9 ( ) – 1 d) + 9 a) – 5 b) + 7 g) + 1 ( ) + 14

e) 0 f ) – 1

551

33. c) + 1 e +1

34.a) + 3 b) + 4 c) – 6 d) + 4 e) + 5 f ) + 3 g) – 7

h) – 1 i ) + 3 j ) + 24 l ) – 3 m) + 2 n) + 18

CAPÍTULO 19 – NÚMEROS FRACIONÁRIOS RELATIVOS

1.

a) −2−3 b) 7

8 c) 5−6

2.

−6−9 a) 4

−7 b) −4−7 c) −6

9

3.

a) −17 b) 3

5 c) −79 d) −11

12 e) 1730

4.

a) 1 b) −12 c) −4

5 d) −1 27 e) −1 1

4 f ) 920 g) − 1

12

h) 730 i ) −1 1

6

5.

a) 415 b) − 4

15 c) −12 d) 5

12 e) − 340

6.

a) 23 b) 2 1

4 c) −35 d) 2 1

6

7.

a) 1 1348 b) 1 21

48 c) − 435 d) −0

8 e) 012 f ) 1

54 g) 1342

h ) 56 i ) 5

4 j ) 2 740

8.

a) 45 b) 2

5 c) – 1 d) 38 e) 5

12 f ) − 110 g) − 3

20

h) −2 25 i ) −13

40 j ) −2 56 l ) 11

20 m) 1 14 n) 2 2

15 o) + 1

p) −1720 q) −27

28 r) −2 1112 s) −11

15 t ) −2144 u) −5 1

4 v) −25

x) 1 112 z) 1

8

552

CAPÍTULO 20 – EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

1.b) a + b – 4; c) x – y + 3; e) a . b – 5; f ) y – 5 + x

2.a) 5 b) 1 c) 7 d) – 2 e) + 6

3.a) 13 b) 13 c) 9 d) 14 e) – 4 f ) – 11 g) 19

h) 27 i ) – 10 j ) 1 l ) 5 m) + 2 n) 12

4.a) + 6 b) 24 c) – 6 d) – 8 e) 23 f ) 13 g) 20

h) – 15 i ) 3 j ) 11 l ) – 4 m) – 6 n) 18

5.b) x + 1 = 5

c) y + 2 = 5 + 3

d) 3a = 12

f ) 2z + 1 = 5

6.

a) Na equação x + 1 = 5, a incógnita é x.

b) Na equação y + 2 = 5 + 3, a incógnita é y.

c) Na equação 3a = 12, a incógnita é a.

d) Na equação 2z + 1 = 5, a incógnita é z.

7.b) 3x + 2 = 11 e) 4y = 6

8.

1º Membro 2º Membro

a) 3z – 4 = 0 a) 3z – 4 = 0

b) x = 5x + 3 b) x = 5x + 3

c) 5z = 3 c) 5z = 3

d) 3x + 2 = 4x – 1 d) 3x + 2 = 4x – 1

e) 2a +1 = 11 e) 2a +1 = 11

9.a) 3z / – 4 / = 0

b) x / = / 5x / + 3

553

c) 5z / = / 3

d) 3x / + 2 / = / 4x / – 1

e) 2a / + 1/ = / 11

10.a) x = 5 b) x = + 6 c) x = + 2 d) x = + 2 e) x = 4 f ) x = 2 g) x = 6

h) x = 3 i ) x = 3 j ) x = 45 l ) x = −3

4 m) x = −1 12 n) x = 3 2

3 o) x = 3

p) x = + 2 q) z = 1 r ) x = 23 s) x = 2

3

11.

a) 6 b) 3 c) 25 d) 6 e) 3 2

3 f ) 6

12.a) z = 12 b) x = 8 c) x = 16 d) a = 4 e) z = 4 f ) a = 3 g) x = 2

h) z = 1 i ) z = 3 j ) a = 1 l ) a = – 2 m) z = 13 n) x = 5 o) z = 6

p) a = – 4,4

13.

a) 4 b) 14 c) 6 37 d) z = 11 e) a = 1 f ) a = 3 g) a = 2

h) a = 9 i ) z = 1 12 j ) a = 2 l ) z = 4 m) y = 4 n) d = 20 o) d = 3

g) d = 2 h) d = 1

14. V = 9 . 4 . 5 = 180 cm3

15. a = 0,02

16. a = 0,02

17.a) h = 7 b) d = 8,6 c) d = 10 d) c = 2,6 e) D = 28,20 f ) D = 35,25

18. x = 3,6

19. x = 25

20. e = 2,4

554

21. e = 4 27

22. n = 60

23.a) c = 32 b) d = 7,96 c) x = 20 d) V = 50 e) 4 f ) 3 g) h = 5

h) n = 60

CAPÍTULO 21 – EQUAÇÕES DO 1º GRAU EM PROBLEMAS

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

1. Esse número é 3.



4. O número é 3.

5. O número é 11.

6. O número é 15.


8. A metade desse número é 20.

9. Esses dois números são 15 e 20.

10. Esses números são 6 e 9.

11. Nessa sala estão 9 rapazes e 13 moças.

12.

a) A terça parte de um número ou 13 , fica x

3

b) A quarta parte de um número ou 14 , fica x

4

c) A quinta parte de um número ou 15 , fica x

5

d) 25 do número fica 2x

5

13.a) Quatro vezes o número mais 3: 4z + 3

b) A metade de um número menos 2: z2 – 3

c) O dobro de um número mais 4: 2z + 4

555

d) 34 de um número: 3z

4

e) Um número menos a sua metade: z−z2

f ) O dobro da quinta parte de um número: 2 z5



16. O número é 15.


18. O comprimento é 36 e a largura é 18.

19. Orlando tem 36 anos e o seu filho tem 12.

20. Essa caixa tem 50 parafusos e 200 porcas.

21. A primeira caixa tem 102 parafusos, a segunda caixa 34 e a terceira 34.

22. A primeira caixa tem 100 parafusos, a segunda tem 130 e a terceira 150.

23. Comprimento 10 e a largura 6.

24. Essa caixa tem 220 laranjas.




28. Essa pessoa tem 35 anos.

29. Essa prateleira tem 20 latas.

30. A barra de ferro tem 6 metros.


32. A estante tem 84 livros.

33. Essa pessoa tem 25 anos.


35. O comprimento é de 15 m e a largura 9 m.

36. A primeira família vai receber 72 laranjas, a segunda 36 e a terceira 108 laranjas.

37. A primeira caixa vai ter 290 parafusos, a segunda 340 e a terceira 370 parafusos.

556

CAPÍTULO 22 – RAZÃO E PROPORÇÃO

1.

a) 5418

b) 1854

2.

a) 5010 Cinquenta para dez.

b) 1050 Dez para cinquenta.

c) 5418 Cinquenta e quatro para dezoito.

d) 1854 Dezoito para cinquenta e quatro.

3.

a) Na razão 1050 , 10 é o antecedente e 50 é o consequente.

b) Na razão 54 : 18, 18 é o consequente e 54 é o antecedente.

4. 0,5

5.

a) A : B 5080 5

8 Razão 58 5 : 8

b) B : A 8050 8

5 Razão 85 8 : 5

6. 27 2 : 7

7.

a) 32 3 : 2

b) 23 2 : 3

8. 5000g3000g 5

3

9. 50m1min

557

10.a) 12 m/s

b) 1 m3/min

c) 2000 lh

d) 38 habkm2

11.

a) 12100 12%

b) 7100 7%

c) 30100 30%

d) 120100 = 120%

e) 19100 = 19%

f ) 50100 = 50%

g) 70100 = 70%

h) 5100 = 5%

i ) 1100 = 1%

12.a) 7% Sete por cento.

b) 30% Trinta por cento.

c) 15% Quinze por cento.

d) 80% Oitenta por cento.

e) 9% Nove por cento.

13.

a) 41 b) 1

2 c) 9 m3

1hd) 1000g

3kg Tudo em quilos 13

558

14.

Razão Porcentagem Razão Porcentagem

a) 5100

5% b) 10100

10%

c) 13100

13% d) 2100

2%

e) 1100

1% f ) 75100

75%

15. b) 34 d) 24

32

16.

d) 15 ( ) 4

12 a) 416 e) 3

2 b) 51 c) 4

6

17. 12 m1 s

18. 41

19. 500 l1 h

20.

b) 1216 d) 12

10 a) 210 ( ) 9

10 c) 520 e) 9

15

21.

a) 85 km1 h

b)190 hab

1 km2

22. b) 2 lmin

23. 6 Km2 h = 3 km

1 h

24. 34 e 4,5

6

25.

a) 45= 8

10ou 4 : 5 = 8 : 10 ou 4 : 5 : : 8 : 10

b) 32= 9

6ou 3 : 2 = 9 : 6 ou 3 : 2 : : 9 : 6

559

26.

a) 44= 8

10 Quatro está para quatro assim como oito está para dez.

b) 3 : 2 : : 9 : 6 Três está para dois assim como nove está seis.

27.

a) Um está para quatro assim como três está para doze: 14= 3

12

b) Dois está para três assim como quatro está para seis: 23= 4

6

c) Quatro está para dois assim como seis está para três: 42= 6

3

d) Sete está para três assim como quatorze está para seis: 73= 14

6

28.

( C )

29. Escreva as palavras meios ou extremos dos termos indicados nas proporções abaixo.

a) Na proporção 4 : 5 : : 8 : 10, 5 e 8 são os meios.

b) Na proporção 32= 9

6 , 2 e 9 são os meios.

c) Na proporção 34= 4,5

6 , 3 e 6 são os extremos.

d) Na proporção 13= 2

6 , 3 e 2 são os meios.

e) Na proporção 1 : 4 : : 3 : 12, 1 e 12 são os extremos.

30. 66

31. 4242

32.

a) 7264 b) 16

12 c) 5656 d) 18

12 e) 2,52,5

33.a) x = 6 b) x = 2 c) x = 20 d) x = 0,030 e) x = 2,4 f ) x = 4 g) x = 35

h) x = 2 i ) x = 4,42 j ) x = 27

560

34.

a) 26 e 5

15 b) 1,20,3 e 1

0,25 e) 123 e 0,7

0,175 g) 60,5 e 36

3

35. a) 17,64

36.

a) 79 b) 5

9 c) 21 d) 20 km/h e) 2 km/h f ) 18 hab

km2

37. b) 8%

38. c)208

39. b) 13 e 3

9

40.

a) ( N ) 0,40,8 e 0,2

0,6

b) ( S ) 46 e 6

9

c) ( S ) 23 e 5

7,5

d) ( N ) 57 e 7

10

e) ( S ) 0,50,7 e 0,2

0,28

CAPÍTULO 23 – REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM

1.a) I b) D c) D d) D e) D f ) I


a) Nas grandezas velocidade de um veículo e tempo gasto num percurso, quanto maior a velocidade, o tempo gasto será menor.

Então, essas grandezas são inversamente proporcionais.

b) Nas grandezas número de operários e tempo gasto para fazer um serviço, quanto menor o número de operários, o tempo gasto será maior.

Então, essas grandezas são inversamente proporcionais.

c) Nas grandezas quantidades de material e número de peças produzidas, quanto menor a quantidade de

561

material, o número de peças será menor.

Então, essas grandezas são diretamente proporcionais.

d) Nas grandezas quantidade de combustível num automóvel e espaço percorrido por esse automóvel, quanto maior a quantidade de combustível, o espaço percorrido será maior.

Então essas grandezas são diretamente proporcionais.

e) Nas grandezas número de dentes de uma engrenagem e número de rotações por minuto, quanto menor o número de dentes, o número de rotações por minuto será maior.

Então essas grandezas são inversamente proporcionais.

3.a) A b) B c) A d) A e) B f ) B g) A

4.

a)

20 kg de arroz

1 kg de arroz

200 refeições

10 refeições

b)

6 operários

3 operários

10 dias

20 dias

c)

70 km por hora

80 km por hora

8 horas

7 horas

d)

20 litros de combustível

30 litros de combustível

200 km

300 km

5.

a) 201

= 20010

20 x 101 x 200

= 200200

562

b) 4080

= 510

40 x 1080 x 5

= 400400

c) 560

= 3003600

5 x 360060 x 300

= 1800018000

d) 2436

= 200300

24 x 30036 x 200

= 72007200

6. Ele pode percorrer 280 quilômetros.

7. Ele pode percorrer 30 metros.

8. Iriam produzir 1280 peças.

9. A medida de x é 30 mm.

10. Levarão em média 48 dias.

11. Levaria em média 245 dias.

12. A rotação da engrenagem B é de 200.

13. O volume de 210 kg do material é 0,12 m3.

14. Será gasto 28 horas.

15. Para produzir 3600 peças a máquina leva 4 horas.

16. É equivalente a 19,05 mm.

17. O valor dessa medida é 76,2 mm.

18. Ele deveria escolher o tubo de 5''.

19. O valor dessa medida é 6,35 mm.

20. 203,2 mm é igual a 8''.

21. É equivalente a 1' '

4.

22. 0,25'' = 1' '

4.

563

23. Corresponde a 3 ' '

8.

24. Corresponde a 1' '

8.

25. Equivale a 33' '

64.

26. Para que o pino se ajuste ao furo a medida deverá ser de 7 ' '

16.

27. O comprimento é de 1,8'' e a largura 0,708''.

28. O furo deverá ter 6,35 mm.

29. O melhor tubo é o 4''.

30. A medida desse tubo deverá ser 6''.

31. O valor do desconto é de R$ 3.000,00.

32. É de 72.

33. O total de empregados dessa firma são 50 empregados.

34. O valor dessa quantia é de 2000 Reais.

35. Essa remessa tinha 2500 peças.

36. As 100 páginas correspondem a 25%.

37. Os 20 empregados correspondem a 8%.

38. Os 70% equivale a R$ 14.700,00.

39. 92% corresponde a 46 empregados.

40. Seu novo salário será de R$ 82.800,00.

41. Essa mercadoria ficou custando R$ 4.250,00.

42. São 40 empregados.

564

43. Corresponde a 3%.

44. Essa remessa tinha 2400 peças.

45. Vale R$ 6.000,00.

46. O novo preço é R$ 7.800,00.

47. Serão necessários 45 litros.

48. A engrenagem A possui 24 dentes.

49. Esse parafuso mede 31,75 mm.

50. A medida é 5 ' '

32.

51. A medida é 1 51' '

64.

52. O valor total dessa quantia é R$ 60.000,00.

53. A porcentagem de mulheres dessa firma é de 40%.

54. Essa mercadoria passará a custar R$ 10.200,00.

CAPÍTULO 24 – ÂNGULOS

1. O quê são planos concorrentes?

Planos concorrentes são dois planos que se cortam.

2. c)

3. //

4. b)

5.

a) Vertical b) Inclinada c) Inclinada d) Horizontal

565

6. b)

7. b); c)

8. b)

9. c)

10.a) ( E ) Os planos e são concorrentes.b) ( E ) Os planos e são paralelos.c) ( C ) Os planos e são concorrentes.

11.

a) Ponto ( c ) b) Linha ( ) //

c) Plano ( a ) A

( b ) r

12. //

13. a)

14. b)

15.a) a // t

c) p l q

16.c); d); e)

18. O nome do ângulo é ângulo alfa .

19.a) COD; b) EMF; c) GRN

20.b); c)

22.a) AOB; b) JCL; c) RST

566

24.a) O ângulo raso mede 180º.

b) O ângulo reto mede 90º.

25. a)

26. c)

27.b); c); d); f )

28.a); d); e)

29. c)

30.

a) Reto b) Obtuso c) Agudo

31. b)

32. c)

33. b) 92º

34. O ângulo encontrado é de 34º.

35.a) XYZ = 23º

b) RST = 180º

c) XYZ = 96º

36. AÔB = 35º

37. O quê são ângulos congruentes?

Ângulos congruentes são ângulos que possuem a mesma medida.

567

38.b) MON e RSTc) PAQ e BCD

39. Traçando a bissetriz no ângulo abaixo, encontramos dois ângulos, cada um medindo 50º.

40. Traçando a bissetriz no ângulo seguinte, cada ângulo encontrado irá medir 28º.

41. Traçando a bissetriz no ângulo abaixo, cada ângulo encontrado vai medir 30º.

42.a) 65º Agudo; b) 23º Agudo; c) 81º Agudo; d) 90º Reto

43.

1. Ângulo reto ( 3 ) 95º

2. Ângulo agudo ( 1 ) 90º

3. Ângulo obtuso ( 3 ) Mais de 90º

( 2 ) Menos de 90º

44.

a) Obtuso b) Reto c) Agudo

d) Agudo e) Obtuso f ) Obtuso

45. Traçando a bissetriz no ângulo GHI, cada ângulo encontrado vai medir 60º. Todo = 120º; cada = 60º.

568

CAPÍTULO 25 – TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDAS DE ÂNGULOS

1.a) 35' : Trinta e cinco minutos

b) 900' : Novecentos minutos

c) 82' : Oitenta e dois minutos

2.a) Cento e vinte e oito minutos: 128 '

b) Quarenta e sete minutos: 47 '

3.a) 43'' : Quarenta e três segundos

b) 120'' : Cento e vinte segundos

c) 28'' : vinte e oito segundos

4.a) Trinta e dois segundos: 32''

b) Noventa e cinco segundos: 95''

c) Cento e cinquenta segundos: 150''

5.a) 2º 20' 20'' : Dois graus, vinte minutos e vinte segundos

b) 47º 1'' : Quarenta e sete graus e um segundo

c) 8º 80' : Oito graus e oitenta minutos

6.a) Vinte graus, quatro minutos e dois segundos: 20º 4 ' 2 ''

b) Dezoito graus e cinco minutos: 18º 5 '

c) Três graus e nove segundos: 3º 9 ''

d) Sete minutos e quarenta segundos: 7 ' 40 '' .

e) Oito graus, um minuto e vinte segundos: 8º 1 ' 20 '' .

f ) Dezoito graus e vinte minutos: 18º 20 '' .

7.a) C; b) C; c) E; d) E

569

8.

a) 2º 10' ( d ) Dois graus e dez segundos.

b) 3º 7' 1'' ( e ) Nove minutos e seis segundos.

c) 20º 50' 2'' ( a ) Dois graus e dez minutos.

d) 2º 10'' ( ) Três graus, um minuto e sete segundos.

e) 9' 6'' ( c ) Vinte graus, cinquenta minutos e dois segundos.

( b ) Três graus, sete minutos e um segundo.

9. Para transformar graus em minuto, multiplicamos por 60 minutos .

10.a) 180'

b) 900'

c) 2280''

d) 420''

e) 7200''

f ) 18000''

g) 90'

h) 2428'

i ) 122'

j ) 3750''

l ) 7220''

m) 3300'

11.a) 25200'' b) 104400'' c) 64800'' d) 37855'' e) 50410'' f) 1250'' g) 4620''

h) 5340'' i ) 7800'' j ) 3900''

12.a) 2º 15' = 135'

b) 3' = 180''

c) 5º 50' = 350'

d) 32º = 1920'

e) 11º = 39600''

f ) 1830' = 3º 30'

g) 2700'' = 45'

h) 1365'' = 22' 45''

570

i ) 7264'' = 2º 1' 4''

j ) 900'' = 15'

l )3540'' = 59'

m) 2160'' = 36'

n) 49º = 176400''

o) 350º = 1260000''

13.

a) 5' ( c ) 120'

b) 36º ( ) 360'

c) 2º ( a ) 300''

d) 6º 10' ( b ) 129600''

( d ) 370'

14.a) 3º

b) 5º

c) 9º

d) 1º 29'

15.a) 11' b) 7' c) 12' d) 6' e) 13' 23'' f ) 44' 25''

g) 54' 55'' h) 131' 30'' i ) 270' 25'' j ) 2102' 30'' l ) 59º m) 28'

16.

a) 10º ( ) 260'

b) 58º ( a ) 600'

c) 4º ( b ) 3480'

( c ) 240''

17.

a) 3000'' ( b ) 45' 50''

b) 2750' ( d ) 28' 16''

c) 3172'' ( a ) 50'

d) 1696'' ( c ) 52' 52''

( ) 53' 52''

571

CAPÍTULO 26 – OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULO

1.a) 20º 3' 17'' + 5º 17' 15''

20º 3' 17''

+ 5º 17 ' 15 ''

b) 3º 8' 51'' + 1º 8' 30'' + 4º 17' 3''

3º 8' 51''

1º 8' 30''

+ 4º 17 ' 3 ''

c) 18º 6' + 7º 45''

18º 6'

+ 7º 4 5 ''

d) 38º 30' + 13º 25''

38º 30'

+ 13º 25 ''

e) 33º 4' + 1º 50''

33º 4'

+ 1º 50 ''

f ) 45º 45' + 15' 30''

45º 45'

+ 15 ' 30 ''

g) 4º 13' 30'' + 2º 1' 20''

4º 13' 30''

+ 2º 1 ' 20 ''

h) 45º 20' 13'' + 4º 50''

45º 20' 13''

+ 4º 50 ''

572

2.a) 35º 37'

b) 9º 13' 33''

c) 33º 30'

d) 6º 29' 8''

e) 30º 15' 10''

f ) 6º 11' 30''

g) 63º 30'

h) 73º 35' 50''

i ) 28º 26' 10''

j ) 85º 9' 5''

l ) 29º 20''

3.a) 41º 2' 20''

b) 40º 20' 35''

c) 94º 39' 42''

d) 20º 30' 5''

e) 21º 37'

f ) 30º 40' 50''

g) 31º 52' 20''

h) 8º 35' 49''

4. b) 9º 35'

5. a) 9º 3' 55''

6.a) 86º 11'' 20''

b) 39º 0' 0''

c) 30º 30'

d) 50º 45'

e) 52º 52'' 52''

f ) 63º 16'' 10''

g) 18º 39'

h) 26º 4' 15''

573

i ) 63º 30'

j ) 73º 50' 56''

7.a) 25º 40' 30'' – 15º 25' 25''

25º 40' 30''

– 15º 25 ' 2 5 ''

b) 77º 8' – 15º 2'

77º 8'

– 15º 2 '

c) 25º 40' 30'' – 15º 25''

25º 40' 30''

– 15º 25 ''

d) 49º 13' – 17º 10''

49º 13'

– 17º 10 ''

e) 58º 14'' – 11' 13''

58º 14''

– 11 ' 13 ''

8.

75º 15'

– 20º 50 '

• Não se pode tirar 50' de 15'. Então, empresta-se 1º de 75º. Assim, 75º – 1º = 74º

• Substitua os 75º por esse resultado;

574

• Transforme em minutos o grau emprestado; 1 x 60' = 60'

• Some esse resultado aos 15' ; 15 + 60 = 75'

• Substitua os 15' por esse resultado;

• Escreva a resposta. 54º 25'

9.a) 21º 58'

b) 31º 54' 10''

c) 8º 57' 5''

d) 45º 19' 45''

e) 121º 24' 30''

f ) 57' 59''

g) 9º 52' 50''

h) 67º 54' 25''

i ) 1º 56' 53''

j ) 25º 15'

l ) 30º 35'

m) 29º 55'

n) 99º 59' 25''

o) 139º 25' 13''

p) 22º 15' 34''

q) 17º 9' 45''

r ) 2º 2' 2''

s) 38º 55' 5''

t ) 134º 30'

u) 71º 15'

v) 39º 49' 47''

x) 95º 14' 18''

z) 57º 49' 1''

10. b) 4º 2' 17''

11.a) 47º 9' 5'' – 13º 5' 1'' = 34º 4' 4''

575

b) 150º 45' 30'' – 50º 25' = 100º 20' 30''

c) 120º 55' 43'' – 15º 20'' = 105º 55' 23''

d) 45º 57' – 15º 12' = 30º 45'

e) 49º 30'' – 28º 50'' = 20º 59' 40''

12.a) 15º 24'

b) 8º 10' 14''

c) 56º 32' 36''

d) 125º 45' 55''

e) 360º 33' 12''

f ) 315º 46' 30''

g) 65º 23' 0''

h) 91º 12' 18''

i ) 201º 44' 32''

j ) 249º 10' 55''

l ) 22º 2' 0''

m) 905º 5' 30''

n) 229º 13' 45''

o) 270º 48' 24''

p) 30º 51' 30''

q) 127º 33' 45''

r ) 67º 22'

13. b) 71º 11' 10''

14. d) 20º 10' 40''

15. c) 20º 45' 20''

16.a) 4º 8' 20''

b) 90º 7' 9''

c) 9º 11' 20''

d) 7º 10' 7''

e) 68º 15' 22''

576

f ) 5º 7' 9''

g) 10º 9' 8''

h) 90º 13' 21''

i ) 35º 30' 30''

j ) 6º 35' 39''

l ) 9º 41' 30''

m) 12º 18' 34''

n) 6º 41' 30''

o) 9º 10' 6''

p) 25º 23' 15''

q) 7º 30' 35''

17. a) 9º 52' 42''

18. b) 30º 42' 36''

19. b) 49º 39'

20. b) 101º 20' 20''

21. d) 16º 10' 10''

22.a) 25º 24' 45''

b) 75º 27' 5''

c) 6º 31' 51''

d) 13º 45' 4''

e) 22º 50' 46''

f ) 7º 6' 5''

23.

a) (54º 48') : 6 = ( c ) 5º 10' 12''

b) (12º 8') : 2 = ( d ) 12º 24' 13''

c) (15º 30' 36'') : 3 = ( a ) 9º 8'

d) (24º 48' 26'') : 2 = ( ) 10º 24' 20''

( b ) 6º 4'

577

CAPÍTULO 27 – MEDIDAS DE TEMPO

1.a) 72h: Setenta e duas horas.

b) 1h: Uma hora.

c) 5h: Cinco horas.

d) 32min.: Trinta e dois minutos.

e) 5min. Cinco minutos.

f ) 28min.: Vinte e oito minutos.

g) 52s: Cinquenta e dois segundos.

h) 81s: Oitenta e um segundos.

i ) 90s: Noventa segundos.

2.a) 24 horas: 24h

b) 36 horas: 36h

c) 1 hora: 1h

d) 18 horas: 18h

e) 10 horas: 10h

3.a) 8 minutos: 8min

b) 1 minuto: 1min

c) 70 minutos: 70min

d) 37 minutos: 37min

4.a) 1 segundo: 1s

b) 40 segundos: 40s

c) 120 segundos: 120s

5.a) 180min

b) 120min

c) 1440min

d) 720min

e) 120s

f ) 900s

578

g) 1020s

h) 1920s

i ) 2400s

j ) 14400s

l ) 54000s

m) 18000s

n) 255min

o) 367min

6.a) 940min

b) 140min

c) 19815s

d) 12010s

e) 24030s

f ) 6h

g) 3h

h) 4h

i ) 2h

j ) 2h 10min

l ) 4h 20min

m) 6h 50min

n) 5min

o) 8min

p) 2min

q) 2m 8s

r ) 5min 45s

s) 1min 15s

t ) 1h 11min 50s

u) 1h 46min 22s

v) 69 min ou 1h 9min

7.a) 300min

579

b) 360min

c) 600min

d) 780min

c) 1500min

8. b) 10800s

9.

a) 2h ( c ) 10800s

b) 6h ( d ) 86400s

c) 3h ( a ) 7200s

d) 24h ( ) 18100s

( b ) 21600s

10. b) 100min

11.a) ( E ) 1h 10min 20s = 90s

b) ( C ) 3h 15min 5s = 11705s

c) ( E ) 4h 12min 35s = 15120s

d) ( E ) 2h 10min 3s = 7803s

12.a) 5h 0min

b) 5h 20min

c) 7min

d) 2min 10s

e) 20min

f ) 123h 50min

13.

a) 5h 15min 30s + 2h 14min 10s

5h 15min

+ 2h 14min 10s

580

b) 3h 10min 15s + 1h 30min 10s + 2h 10min 20s

3h 10min 15s

1h 30min 10s

+ 2h 10min 20s

c) 10h 25s + 6h 10min

10h 25s

+ 6h 10min

d) 12h + 1h 5s

12h

+ 1h 5s

14.

a) 8h 35min 30s

b) 3h 40min 35s

c) 16h 50min 45s

d) 9h 50min 36s

e) 13h 20min 20s

f ) 13h 46min

g) 11h 26min 30s

h) 7h 41min 10s

i ) 3h 11min

j ) 9h 46min 5s

l ) 6h 10min 30s

m) 12h 15s

n) 5h 1min

15. d) 19h 59min

16.a) 8h 1min 40s

b) 16h 3min 25s

c) 8min 33min 20s

581

d) 9h 32min 20s

e) 17h 36min 49s

17.

a) 5h 20min 15s – 2h 10min 8s

5h 20min 15s

– 2h 10min 8s

b) 15h 18s – 3h 15min 10s

15h 18s

– 3h 15min 10s

c) 3h 10min – 2h 10min 12s

3h 10min

– 2h 10min 12s

18.

a) 5h 16min 8s

b) 6h 15min 25s

c) 12h 3min 15s

d) 1h 20min 30s

e) 3h 10min 7s

f ) 2h 50min

g) 1h 40min

h) 4h 40min

i ) 2h 40min

j ) 40min

l ) 3h 4min 58s

m) 3h 9min 35s

n) 4h 39min 40s

o) 4h 37min 49s

p) 19h 39min 52s

q) 3h 15min

r) 3h 15min 20s

582

s) 20h 3min 3s

t ) 2h 25s

19. d) 2h 45min

20. d) 3h 4min 50s

21.a) ( C ) 20h 45min 30s – 5h 50min 10s = 14h 55min 20s

b) ( E ) 21h 15min 13s – 17 10min 20s = 4h 4min 50s (4h 4min 53s)

22. e) 2h 49min 55s

23.

a) 20h 40min

b) 16h 48min 40s

c) 12h 30min 24s

d) 20h 50s

e) 9h 25min 15s

f ) 12h 42min 40s

g) 14h 36min 25s

h) 5h 31min 40s

i ) 41h 15 min 25s

j ) 26h 41min 4s

l ) 17h 42min 34s

m) 78h 13min 45s

24. b) 37h 20min 32s

25. c) 27h 5min

26. c) 15h 45min 54s

27.

a) 8h 45s

b) 21h 22min 40s

c) 28h 57min 32s

583

d) 28h 59min 2s

28.

a) (3h 35min 50s) x 2 = ( c ) 6h 21min 52s

b) (2h 40min 30s) x 3 = ( ) 5h 120min 52s

c) (1h 35min 28s) x 4 = ( a ) 7h 11min 40s

( b ) 8h 1min 30s

29.

a) 7h 10min

b) 5h 4min

c) 5h 12min 7s

d) 4h 16min 8s

e) 4h 26min 7s

f ) 2h 20min 4s

g) 4h 50min 9s

h) 4h 6min 26s

i ) 2h 7min 40s

j ) 8h 4min 31s

l ) 3h 16min 25s

m) 16h 20min 20s

n) 2h 19min 40s

o) 5h 3min

p) 3h 7min 9s

q) 2h 3min 5s

30.

a) ( E ) (15h 30min 40s) : 2 = 7h 40min 20s (7h 45min 20s)

b) ( C ) (29h 45min 30s) : 3 = 9h 55min 10s

31. c) 22h 49min

32. e) 2h 50min 51s

584

33.

a) 1h = 3600s

b) 3min = 180s

c) 425s = 7min 5s

d) 5.320min = 8h 8min 4s

e) 530s = 8min 50s

34. b) 5h 50min 48s

35. d) 17h 36min 49s

36. b) 9h 8min 8s

37. b) 4h 24min 30s

38.a) ( C ) (5h 35min 12s) x 4 = 22h 20min 48s

b) ( C ) (7h 37min 42s) x 3 = 22h 53min 6s

39.

a) (14h 16min 40s) : 4 ( c ) 9h 11min 48s

b) (39h 14min 30s) : 3 ( d ) 1h 54min

c) (45h 59min) : 5 ( ) 10h 54min

d) (17h 6min) : 9 ( b ) 13h 4min 50s

( a ) 3h 34min 10s

40.

a) 9min 58s

b) 18h 39min 52s

c) 2h 49min 48s

d) 8h 47min 33s

e) 20h 52min 30s

f ) 42h 36min 10s

g) 15h 7min 36s

h) 4h 40min 39s

i ) 17h 21min 35s

585

CAPÍTULO 28 – FIGURAS PLANAS

EXERCÍCIOS

1. Observe a figura e escreva C se a afirmação estiver certa e E se estiver errada.

a) ( C ) PQRS é uma forma de nomear o polígono.

b) ( C ) PS e SR são lados consecutivos.

c) ( E ) PS e RS são lados congruentes.

2. Observe o polígono e complete.

a) Vértices do polígono: A, B, C e D .

b) Lados do polígono: ABCD .

c) Lados consecutivos a AB: BC e CD .

d) Número de ângulos: 4 .

3. Marque a opção que mostra os lados congruentes do polígono.

a) ( ) AB e BC

b) ( ) AF e DC

c) ( X ) ED e AB

d) ( ) DE e DC

e) ( ) BC e EF

586

EXERCÍCIOS

1. RJ é o mesmo que segmento RJ. a) MN é o mesmo que MN. b) XZ é o mesmo que XZ.

2.

a) IJ e HL b) MN e OM c) AB e AE ou DE e BC

3. a) MN e NO

4. No polígono os vértices são R, S, T, U e V.

5. LMNO

6.

a) ( C ) EFGHIJ é um polígono.

b) ( C ) E é um vértice do polígono.

c) ( E ) FG e HI são lados consecutivos.

FG e GH são lados consecutivos.

7.

a) M, N, O e P

b) 4

c) MN, NO, OP e PM

d) 4

8.

a) QR e RS

b) RS e UQ

d) UQ e QR

587

9. b) Este é um retângulo porque possui quatro ângulos retos, quatro lados congruentes dois a dois.

10. a)

11. c)

12. c)

13. a)

14. ( ); d); b) a); c) e).

15.a) Trapézio; b) Quadrado c) Triângulo d) Retângulo e) Hexágono

f ) Círculo

17.a) LN b) RS

18.a) CD b) CE

19.a) Base: NO b) Base: NP

20.a) MS e RQ b) UA e BZ

22. a); e); f)

23. b)

24. O comprimento é de 62,8.

25. c)

26. a)

27. O comprimento é de 21,98 cm.

28. O comprimento é de 150,72 mm.


588

30.a) MO: Raio HA: Diâmetro

b) OJ: Apótema RS: Lado

31.a) RS b) VO c) AB d) OL e) OM f ) RP

32. O comprimento da circunferência é de 94,20 mm.

33. O comprimento da circunferência é de 78,5 mm.






CAPÍTULO 29

ÁREA DE FIGURAS PLANAS – POLÍGONOS E CÍRCULO

1. 64

2.a) 33

b) 54

3.2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 = 32

4.a) 33 = 3 x 3 x 3 = 27

b) 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

c) 72 = 7 x 7 = 49

5.3 expoente; 5 base

589

6.

a) 52 = 25 b) 34 = 81

A base é o 5. O expoente é o 4.

O expoente é o 2. A base é o 3.

7.

a) 22 Dois ao quadrado

b) 52 Cinco ao quadrado

c) 53 Cinco ao cubo

d) 83 Oito ao cubo

e) 93 Nove ao cubo

f ) 44 Quatro elevado ao expoente quatro

g) 110 Um elevado ao expoente dez

h) 76 Sete elevado ao expoente seis

8.

a) Três elevado ao expoente nove: 39.

b) Setenta e nove ao quadrado: 792.

c) Vinte elevado ao expoente seis: 206.

9.a) 36 b) 32 c) 128 d) 64 e) 81 f ) 81 g) 1

h) 1 i ) 1

10.

a) 14

b) 827

c) 81256

d) 3431000

11.

a) 0,36 b) 0,000001 c) 0,027 d) 0,0144

12.

a) ( C ) 104 = 10000

590

b) ( E ) 55 = 25 3125

c) ( C ) 0,052 = 0,0025

d) ( E ) 0,23 = 0,8 0,008

e) ( E ) 14

3

= 164

f ) ( C ) 95

2

= 8125

13.a) 16

b) 100

c) 1681

d) 0,000004

e) 16

f ) 149

g) 0,0009

h) 0,36

i ) 64125

j ) 0,1296

14. b) A = l x l

15. A área do quadrado é 196 mm2.

16. A área do triângulo é de 6 cm2.

17. A área do triângulo é de 27 cm2.

18. A área do triângulo é de 2209 mm2.

19. A área do triângulo é 900 mm2.

20. A área deste triângulo é de 750 mm2.

21. A área deste trapézio é de 12 cm2.

591

22. A área do trapézio é de 825 mm2.

23. A área desse trapézio é de 4,03 m2.

24. A área do trapézio é 1200 mm2.

25. A área deste hexágono é de 2175 m2.

26. A área do círculo é de 1384,74 m2.

27. A área do círculo é de 803,84 mm2.

28.

a) A = 4 mm2 b) A = 1050 mm2 c) A = 75 mm2 d) A = 11 mm2

29. A área do círculo é de 301,5656 dm2.

30. A área é de 261 dm2.

31.a) A = 3,75 cm2 b) A = 10 m2 c) A = 3150 mm2 d) A = 1962,50 cm2

32.a) 15 cm2 b) 35 cm2 c) 345 cm2 d) 12,56 cm2

33.a) A = 798 mm2

b) A = 4096 mm2

c) A = 182,0475 mm2

d) A = 3419,46 mm2

34.a) A área da região hachurada = área do triângulo – área do círculo.

b) A área da região hachurada = área do hexágono – área do círculo.

c) A área da região hachurada = área do círculo maior – área do círculo menor.

35. A = 3,44 cm2.

36. A área da região hachurada é de 1944 mm2.

37. A área da região hachurada é de 1686 mm2.

592

38. A área é de 1142,96 mm2.

39. A área da região hachurada é de 10,84 cm2.

40.a) 81

b) 900

c) 144

d) 827

e) 4964

f ) 169256

g) 0,0625

h) 5,29

i ) 42,875

41.a) A = 17,215 cm2

b) A = 793,5 mm2

c) A = 828,96 mm2

d) A = 1,6744 m2

42.a) A = 9,6 cm2

b) A = 1225 mm2

c) A = 1512 mm2

d) A = 706,5 m2

43.a) A = 20,5350 mm2

b) A = 255,6125 mm2

c) A = 157,95 mm2

d) A = 226,8650 mm2

44.a) A = 0,10935 dm2

b) A = 312,84 mm2

c) A = 4317,5 mm2

593

CAPÍTULO 30 – SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

1. b)

2. a)

3.

4.

b) c)

5. Como se chamaria o prisma reto formado pelo deslocamento de um retângulo?

b) Prisma reto de base retangular.

594

6.

d) Prisma reto de base triangular a) Prisma reto de base hexagonal

b) Prisma reto de base quadrada c) Prisma reto de base retangular

7. Complete corretamente com o nome dos prismas retos.

a) Prisma reto de base hexagonal b) Prisma reto de base triangular c) Prisma reto de base retangular

595

d) Prisma reto de base quadrada e) Prisma reto de base triangular f ) Prisma reto de base hexagonal

8. c)

9.

a) VE

b) ABCDEF

c) VCB

d) CD

( b ) Base

( d ) Aresta da base

( a ) Aresta da face

( ) Altura

( c ) Face

596

10.

a) C

b) O

c) V

d) P

( b ) Centro da base

( c ) Vértice superior

( a ) Vértice da base

11.

a) A pirâmide de base quadrada é aquela cuja base é um quadrado .

b) Quando a base da pirâmide é um triângulo, ela recebe o nome de pirâmide de base triangular .

12. Marque a alternativa que o segmento indica a altura da pirâmide.

d) VG

597

13.

c)

14.

a) Quadrado: prisma reto de base quadrada .

b) Retângulo: prisma reto de base retangular .

c) Triângulo: prisma reto de base triangular .

d) Hexágono: prisma reto de base hexagonal .

15. Quais são as figuras que formam as bases do cilindro reto?

b) Círculos

16.

d) Pirâmide de base triangular c) Pirâmide de base quadrada

598

b) Pirâmide de base retangular a) Pirâmide de base hexagonal

17. O prisma reto formado pelo deslocamento de um triângulo recebe o nome de prisma reto de base triangular .

18. b)

19. Marque a esfera onde está indicado o diâmetro.

a)

599

20.

b) Prisma reto de base retangular d) Pirâmide de base quadrada e) Cone reto

c) Pirâmide de base hexagonal f ) Prisma de base triangular a) Prisma de base hexagonal

g) Pirâmide de base retangular h) Pirâmide de base triangular i ) Esfera

600

21.

a) Prisma reto de base quadrada b) Prisma reto de base triangular c) Pirâmide de base quadrada

d) Pirâmide de base hexagonal e) Cone reto f ) Cilindro reto

CAPÍTULO 31 – ÁREA EM SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

1. A área lateral é 2400 mm2.

2. A área lateral é 2160 cm2.


4. O perímetro é 80 mm.

5. A área lateral do prisma anterior é 2800 mm2.

601


7.a) A área lateral é 1584 mm2.

b) A área lateral é 38,25 cm2.

8. A área lateral é 4521,60 mm2.



b) A área lateral é 3391,20 mm2.

11.

a) Na fórmula do prisma: AL = P . h,

AL significa área lateral do prisma , P perímetro da base e h altura do prisma .

b) Na fórmula para a pirâmide: AL =P2

. d ,

P significa perímetro da base e d distância entre o vértice e o meio da aresta da base .

c) Na fórmula do cilindro: AL =D . . h ,

D significa diâmetro , é a constante de 3,14 e h altura do cilindro .

d) Na fórmula para o cone: AL = . r . g ,

é a constante e vale 3,14 , r raio da base e g geratriz do cone .

12.a) A área lateral é 57,24 cm2.

b) A área lateral é 3750 mm2.

c) A área lateral é 47,1 cm2.

d) A área lateral é 36,11 cm2.

e) A área lateral é 10,1736 cm2.

f ) A área lateral é 19,50 cm2.

g) A área lateral é 28,26 cm2.

h) A área lateral é 19,80 cm2.

602

13.a) Escreva o nome do polígono da base desse prisma.

Quadrado.

b) A área lateral é 169 mm2.

14.a) A área da base é 1,65 cm2.

b) A área da base é 3,22 cm2.

c) A área da base é 749,7 mm2.

15. De acordo com as figuras a seguir:

a) Escreva o nome do polígono que constitui sua base;

b) Escreva a fórmula usada no cálculo da área dessa base;

c) Calcule a área de cada base.

a) Polígono: Quadrado a) Polígono: Retângulo

b) A = l . l b) A = C . lc) A = 2,5 x 2,5 c) A = 13 x 26

A = 6,25 cm2 A = 338 mm2


b) A área da base é 842,4 mm2.


b) A área da base é 190 mm2.

c) A área da base é 4,25 cm2.

603

d) A área da base é 4,29 cm2.

e) A área da base é 19,6250 cm2.

f ) A área da base é 907,46 mm2.


b) A área lateral é 7,92 cm2.

c) A área lateral é 2527,7 mm2.

d) A área lateral é 1334,5 mm2.

19.a) A área da base é 4 cm2.

b) A área da base é 88 mm2.

c) A área da base é 132,665 mm2.

d) A área da base é 1661,06 mm2.

20.a) Área lateral = 14,4 cm2; área da base = 1,44 cm2

b) Área lateral = 10 cm2; área da base = 1,44 cm2

c) Área lateral = 2512 mm2; área da base = 314 mm2

CAPÍTULO 32 – VOLUME DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

1.a) O volume é 12075 mm3.

b) O volume é 17,63 cm3.

c) O volume é 15000 mm3.

d) O volume é 9,02 cm3.

e) O volume é 11,286 cm3.

2. O volume é 7650 mm3.

3.a) O volume é 2,742 cm3. b) O volume é 4998 mm3. c) O volume é 650 mm3.


b) O volume é 1410,75 mm3.


d) O volume é 2560 mm3.

604

e) O volume é 6600 mm3.

f ) O volume é 4785 mm3.

5.V significa Volume

Ab significa Área da base

h significa Altura


b) O volume é 7830 mm3.

c) O volume é 6727,5 mm3.

d) O volume é 14882,4 mm3.

e) O volume é 4823 mm3.


7.

a) Nas fórmulas V = Ab . h e V =Ab . h

3 ,

V significa volume , Ab área da base e h altura

b) Na fórmula V = D3 . 6

,

D3 significa diâmetro elevado ao cubo e é a constante 3,14

8.a) O volume é 30750 mm3. b) O volume é 78500 mm3. c) O volume é 28,26 cm3.



10.a) O volume é 6,80 cm3.



d) O volume é 21200 mm3.

e) O volume é 34681,300 mm3.

f ) O volume é 463,011 cm3.

605


b) O volume é 8213,400 mm3.

c) O volume é 10416,666 mm3.

d) O volume é 5118,75 mm3.

e) O volume é 32239,950 mm3.


g) O volume é 18807,03 mm3.

h) O volume é 33493,333 mm3.

i ) O volume é 4284 mm3.

j ) O volume é 3887 mm3.

l ) O volume é 17309,250 mm3.

m ) O volume é 3864 mm3.

12.a) O volume é 68687,5 mm3. b) O volume é 19232,5 mm3. c) O volume é 113040 mm3.

CAPÍTULO 33 – TRIÂNGULOS

1. b)

2. c)

3. a)

4.a) O triângulo com medidas diferentes nos três lados chama-se escaleno.

b) O triângulo com a mesma medida nos três lados chama-se equilátero.

c) O triângulo com a mesma medida em apenas dois lados chama-se isósceles.

606

5.

a) Isósceles b) Escaleno c) Equilatero

d) Escaleno e) Equilátero f ) Isósceles

g) Isósceles h) Isósceles i ) Escaleno

6. Então ABC é um triângulo retângulo.

7. b); c); d).

8. Os vértices não consecutivos são A e C, B e D.

607

CAPÍTULO 34 – ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO

1.

a) B + C + D = 180o b) D + E + F = 180o c) F + G + H = 180o

2.a) 69º 20'

b) 31º 50'

c) 109º 45'

d) 61º 45'

3. D = 80o ; F = 80o

4. A medida do ângulo B é 12o.

5. A medida do ângulo L é 26o.

6. A medida do ângulo E é 29o.

7. c)

8. b) O triângulo equilátero.

O único triângulo em que os três ângulos medem 60º é triângulo equilátero.

9. G = 30º 15'

10. O valor do ângulo z é 17º .

11. O ângulo de a do triângulo CDE mede 148º 50' .

12. No triângulo ABC, o ângulo A mede 105º.

13. A medida do ângulo E é 52º.

14. O ângulo O mede 54º 30'.

15. O ângulo R mede 50º 20'.

16. No trapézio ABCD, a medida do ângulo D é 48º 15'.

17. A medida do ângulo d é 38º35'.

608

18. A medida do ângulo h é de 26º 17'.

19.a) x = 41º 48' b) z = 30º 45'

20.a) a mede 40º 10' ;

b) b mede 90º

c) c mede 49º 50'

d) d mede 40º 10'

b) No trapézio Ê mede 118º 05' e H mede 61º 55'.

21. A medida do ângulo g é 22º 30'

22.a) r = 58º 40'

b) s = 31º 20'

CAPÍTULO 35 – RAIZ QUADRADA

1. A raiz quadrada de 25 é 5.

2.a) O radicando é 25.

b) A raiz quadrada de 25 é 5.

c) O radical é .

d) O índice é 2.

3.a) 225 = 5 , porque 52 = 5 x 5 = 25

b) 24 = 2, porque 22 = 2 x 2 = 4.

c) 216 = 4, porque 42 = 4 x 4 = 16.

4.a) 29 é o mesmo que 9 ;

b) 24 é o mesmo que 4 ;

c) 216 é o mesmo que 16 ;

d) 249 é o mesmo que 49 ;

e) 2100 é o mesmo que 100 .

609

5.a) 36 ( d ) 7

b) 1 ( ) 9

c) 64 ( a ) 6

d) 49 ( b ) 1

e) 100 ( e ) 10

( c ) 8

6.a) Na indicação 81= 9 :

O radical é .

A raiz quadrada de 81 é 9.

b) Na indicação 100 :

O radicando é 100.

O radical é .

A raiz quadrada de 100 é 10.

7.a) 25 = 5 b) 100 = 10

c) 4 = 2 d) 64 = 8

e) 9 = 3 f ) 1 = 1

g) 16 = 4 h) 36 = 6

I ) 49 = 7 j ) 0 = 0

8.

a) 20 = 4 b) 20 = 5

9. b)

10.a) 15 = 3 (por falta) e 4 (por excesso).

b) 70 = 8 (por falta) e 9 (por excesso).

11.a) 13 = 4 b) 83 = 10

c) 80 = 9 d) 8 = 3

e) 24 = 5 f ) 90 = 10

610

12.a) 35 = 5 b) 40 = 6

c) 50 = 7 d) 66 = 8

e) 95 = 9 f ) 48 = 6

g) 12 = 3 h) 84 = 9

i ) 28 = 5 j ) 18 = 4

m) 73 = 8 n) 6 = 2

14. Então, 10404 = 102

15. Então, 264196 = 514

16.

a) 4,41 = 2,1 b) 1,69 = 1,3 c) 403 225 = 635

d) 14641 = 121 e) 44521 = 211 f ) 18,49 = 4,3

g) 6,671889 = 2,583 h) 218,1529 = 14,77

17.

a) 41209 = 203 b) 10816 = 104 c) 225 = 15

d) 256 = 16 e) 18225 = 135 f ) 60516 = 246

g) 1444 = 38 h) 21316 = 146 i ) 25281 = 159

j ) 36864 = 192 l ) 1521 = 39 m) 2401 = 49

n) 36481 = 191 o) 152881 = 391 p) 324 = 18

q) 32761 = 181 r) 536,3856 = 23,16 s) 108,5764 = 10,42

18.a) Extraindo a raiz quadrada de 4096, encontramos 64.

b) Extraindo a raiz quadrada de 12769, encontramos 113.

c) Extraindo a raiz quadrada de 93025, encontramos 305.

d) Extraindo a raiz quadrada de 145924, encontramos 382.

611

20.a) 157,5025 = 12,55 b) 8537,76 = 92,4 c) 210,25 = 14,5

d) 12,25 = 3,5

21. b) 8,25

22.a) 1.57,27.66.80 b) 58,06.45 c) 1.26,94.10 d) 7,40

24.a) 157,27668 = 12,540 b) 4,406 = 2,09 c) 16,805 = 4,09

d) 6,32 = 2,5 e) 7,4 = 2,7 f ) 784 = 28

g) 2,2201 = 1,49 h) 8,41 = 2,9 i ) 30276 = 174

j ) 72,25 = 8,5 l ) 357,5881 = 18,91 m) 27 = 5,1

n) 7,8 = 2,79

25. 2,72

26. 3,8

27. 4,12

28. 2,88

29. d) 2,3

30. b) 1,7

31.a) 18,9 = 4,34 (com aproximação até centésimos).

b) 34 = 5,84 (com aproximação até centésimos).

32. A raiz quadrada de 101 761 é 319.

612

CAPÍTULO 36 – RELAÇÃO DE PITÁGORAS

1.

a) DE = Hipotenusa b) FG = Hipotenusa

2.

a) CD = Cateto EC = Cateto b) GH = Cateto FH = Cateto

3.a) b)

IJ = Cateto MN = Cateto

JL = Cateto MO = Hipotenusa

IL = hipotenusa NO = Cateto

4. A medida de p é 10,63.

5. A hipotenusa mede 13 m.

6. A medida do outro cateto é 8 cm.

7. A medida de s é 12,80 cm.

8. A medida de m é 1,32 dm.

9. A hipotenusa mede 29 cm.

10. A medida do outro cateto é 10,90 dm.

11. A medida do outro cateto é 24 mm.

613

12.a) b)

b = Cateto d = Cateto

c = Hipotenusa e = Cateto

d = Cateto f = Hipotenusa

c) d)

f = Hipotenusa g = Cateto

g = Cateto h = Hipotenusa

h = Cateto i = Cateto

13.a) i2 = l2 + j2 b) n2 = l2 + m2 c) o2 = n2 + p2 d) q2 = p2 + r2

14. A medida de g é 16 mm.

15. A medida de a é de 7,81 cm.

16. A medida do outro cateto é de 0,18 cm.

614

17. A hipotenusa mede 5,70 cm.

18. A medida do outro cateto é de 31,22 mm.

CAPÍTULO 37 – APLICAÇÕES DA RELAÇÃO DE PITÁGORAS

1. A medida de EG é 4,24 cm.

2. A medida de UX é 35,35 mm.

3. A medida da diagonal é de 50 mm.

4. Cada lado de MNOP mede 5,00 m.

5. Cada um dos lados desse quadrado mede 14,00 cm.

6. A medida dos lados desse quadrado é 7 m.

7. A diagonal mede 10 cm.

8. A medida do comprimento é de 4,33 m.

9. A medida do comprimento é de 12 mm.

10. O segmento NL mede 3,10 cm.

11. Em FGH, FH mede 57 e FG mede 57.

12. Em JLM, JM mede 3,20 cm e JL mede 3,20 cm.

13. A medida da altura do triângulo QST é 6,6285 mm.

14. A medida da altura do triângulo ABC é de 69,28 mm.

15. No triângulo EFG a altura mede 34,64 mm.

16. A medida da altura desse triângulo é de 4,33 cm.

17. No triângulo QRS cada lado mede 6 cm.

18. Cada lado desse triângulo mede 99,88 mm.

615

19. A medida QO é de 5,98 cm.

20. A base do triângulo RST mede 69,82 mm.

21. A medida da base desse triângulo mede 8 cm.

22. A medida da altura é de 60 mm.

23.a) Em STV, cada lado mede 5,83 cm.

b) A base de cada triângulo mede 2,374 mm.

c) Em um triângulo equilátero com 30 mm de altura, cada lado mede 34,64 mm.

24.

OM: (apótema) é um Cateto.

MD: (metade do lado) é outro cateto.

OD: (metade da diagonal) é a hipotenusa.

OE: Hipotenusa

EM: Cateto

MO: Cateto

25. A medida do apótema é de 15,58 mm.

26. A medida do apótema é de 5,196.

27. A medida do segmento AB é de 30,12 mm.

28. A medida do segmento OM é de 3,03 cm.

29. A medida do apótema é de 24,24 mm.

30. A medida do apótema é de 3,46 cm.

31.

a) A medida do segmento OM é de 43,30 mm.

b) A medida de x é de 30,30 mm.

616

32.

JL: Hipotenusa

LM: Cateto

MJ: Cateto

33. A medida do segmento EF é de 2,8 cm.

34. O lado inclinado do trapézio mede 3,5 cm.

35. A altura desse trapézio é de 25,06 mm.

36. A medida de EF é 2,179 mm.

37. A medida do segmento XZ é de 21,54 mm.

38. A base maior do trapézio EFGH mede 106,05 mm.

39. A medida da base maior é de 6,13 cm.

40.

JN ( H ) LP ( C )

JQ ( C ) LM ( H )

NQ ( C ) PM ( C )

41. No trapézio PQRS, cada lado inclinado mede 42,80 mm.

617

42. Em CDEF, cada lado mede 58,46 mm.

43. A medida da altura desse trapézio é de 25,90 mm.

44. Um dos lados do triângulo mede 1,574 cm.

45. A medida da base maior é de 5,148 cm.

46. No trapézio STUV a base maior mede 78 mm.

47. No trapézio CDEF, FE mede 56,04.

48.a) Em DEFG, o lado inclinado mede 27,58 mm.

b) A medida da altura de HIJL é 3,77 cm.

c) Em LMNO, a medida de MN é 7,316 cm.

49. A medida de x é de 47,16 mm.

50. No quadrado ABCD, a medida do lado é de 12,72 cm.

51. A diagonal desse retângulo mede 3,6 dm.

52. O comprimento desse retângulo é de 4,963 m.

53. A medida do lado desse triângulo é de 5,656 cm.

54. A medida do lado desse triângulo é de 27,71 mm.

56. A medida de x é de 5,196 cm.

57.a) FG = 32,01 b) x = 3,976 cm c) x = 44,4 mm

CAPÍTULO 38 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS – SENO

1.

a) Seno do ângulo B = medida do cateto oposto do ângulo Bmedida da hipotenusa

b) Seno do ângulo B = 1530

c) Seno do ângulo = 0,5

618

2.

1º – Escreva a fórmula do seno: sen ∢= c. op.hip.

2º – Substitua as medidas conhecidas: sen C= 2136

3º – Efetue a divisão: sen C= 0,583

4º – Procure na tabela a medida do ângulo: 35º 40' .

3. E= 2540

= 0,625

4.

a) sen ∢= c. op.hip.

b) sen N= 3040

c) sen N= 0,75

5. sen H = 0,45

6. sen I = 0,514

7. sen F = 0,8

8. sen B = 0,8

9.a) O seno 0,127 corresponde a um ângulo de 7º 20'

b) O seno 0,870 corresponde a um ângulo de 60º 30'

c) O seno 0,642 corresponde a um ângulo de 40º

d) O seno 0,5 corresponde a um ângulo de 30º

e) O seno 0,866 corresponde a um ângulo de 60º

f ) O seno 0,3 corresponde a um ângulo de 17º 30'

10. A medida do ângulo N é de 80º 10' .

11. A medida do ângulo H é de 81º 30' .


13. No triângulo PQR, o ângulo Q mede 47º 10' .

619

14. A medida do ângulo C é de 39º 50' .

15. A medida do ângulo F é de 77º 20' .

16.a) O valor do seno do ângulo de 17º 40' é 0,30345.

b) O valor do seno de 45º é 0,7071.

c) O valor do seno do ângulo de 38º é 0,61566.

d) O valor do seno do ângulo de 72º 40' é 0,95459.

e) O valor do seno do ângulo de 66º 10' é 0,91472.

f ) O valor do seno do ângulo de 20º é 0,34202.

17. No triângulo GHI a medida do lado GH é = 25,38 mm.

18. No triângulo ABC o lado AB mede 36,002 cm.

19. A medida da hipotenusa no triângulo DEF é de 35 mm.

20. A medida de BC no triângulo ABC é de 50 mm.

21. No triângulo MNO a medida do lado ON é de 80 mm.

22.a) O valor do seno do ângulo H é 53º10' = 0,8 .

b) O valor do seno do ângulo I é 37º = 0,6 .

23. No triângulo DEF a medida do ângulo F é de 56º 30' .


25. No triângulo LMN o lado MN mede 50 mm.

26. A medida do lado BC é de 25 mm.

27. No triângulo STU a medida do lado SU é de 3,6 cm.

CAPÍTULO 39 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS – COSSENO

1. Considerando o ângulo B no triângulo abaixo, o cateto adjacente ao ângulo B é o lado AB.

620

2.a) O cateto adjacente ao ângulo F é DF.

b) Considerando o ângulo I, o cateto adjacente a ele é GI.

3. O ângulo I mede 16 mm.

4. medida do cateto adjacente ao ângulo Imedida da hipotenusa

= 1620

5. medida do cateto adjacente ao ângulo Bmedida da hipotenusa

= 35= 0,6

6. medida do cateto adjacente ao ângulo Emedida da hipotenusa

= 3645

= 0,8

7.

Cosseno do ângulo H = medida do cateto adjacente ao ângulo Hmedida da hipotenusa

Cosseno do ângulo H = 1225

Cosseno do ângulo H = 0,48

8. Cos O = 0,85

9. Cos T = 0,534

10. Cos B = 0,4

11.a) No triângulo ABC, o valor do cosseno do ângulo C é 0,6.

b) No mesmo triângulo, o valor do cosseno do ângulo B é 0,8.

12.a) Escreva a medida do ângulo que corresponde ao valor do cosseno 0,705 = 45º 10'

b) O cosseno 0,766 corresponde ao ângulo de 40º.

c) O cosseno 0,130 corresponde ao ângulo de 82º 30' .

d) O cosseno 0,497 corresponde ao ângulo de 60º 10' .

13.

1º – Escreva a fórmula do cosseno: cos H= C. ADJ.HIP. ;

2º – Faça as substituições com as medidas conhecidas: cos H= 4560 ;

3º – Efetue a divisão: 0,75;

621

4º – Procure na tabela a medida do ângulo 41º 20' .

14. No triângulo DEF o ângulo E mede 45º 30' .

15. A medida do ângulo E é de 55º 30' .

16. O ângulo C mede 12º.

17. A medida do ângulo E é de 5º 40' .

18. No triângulo PQR o ângulo Q mede 41º 20' .

19. No triângulo GHI o ângulo H mede 61º 20' .

20. O ângulo E mede 42º 40' .

21. A medida do ângulo C é de 10º 10' .

22.a) O valor do cosseno do ângulo de 28º 10' é 0,88158.

b) O valor do cosseno de 30º é 0,86603.

c) O valor do cosseno do ângulo de 45º 40' é 0,69883.

d) O valor do cosseno do ângulo de 75º é 0,25882.

e) O valor do cosseno do ângulo de 30º 20' é 0,86310.

f ) O valor do cosseno do ângulo de 19º é 0,94552.

23. No triângulo PQR a medida da hipotenusa é de 52,413 mm.

24. No triângulo STU a medida de TU é de 49,04 mm.

25. No triângulo DEF a medida de EF é de 30 mm.

26.

a) O valor do cosseno do ângulo H é de 0,6.

b) O valor do cosseno do ângulo I é 0,8.

27. No triângulo ABC a medida do ângulo C é de 30º 40' .

28. No triângulo DEF a medida do ângulo F é de 52º.

622

29. A medida do ângulo N é de 9º 50' .

30. No triângulo ABC o lado AB mede 3,159 mm.

31. No triângulo LMN a medida de MN é de 60 mm.

32. A medida do lado FG é de 5,85 cm.

CAPÍTULO 40 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS – TANGENTE

1. A razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo E e a medida do cateto adjacente ao ângulo E é 2736 .

2.

1º – Tg I= C.OP.C. ADJ.

2º – Tg I= 1220

3º – Tg I= 0,64º – Î = 31o

3.

Tangente de I= medida do cateto opostomedida do cateto adjacente

Tangente de I= 1825

Tangente de I= 0,72

4. No triângulo ABC o ângulo B mede 2,05.

5.

Tg H= C.OP.C. ADJ.

Tg H= 17,122,8

Tg H= 0,75

6. A tangente do ângulo B é de 0,708 mm.

7. O valor da tangente do ângulo E é de 0,454 cm.

8. O valor da tangente de H é de 1,384.

9. 66º 20'

10.a) A tangente 0,377 corresponde ao ângulo de 20º 40' .

b) A tangente 4,704 corresponde ao ângulo de 78º.

623

c) A tangente 0,390 corresponde ao ângulo de 21º 20' .

11. No triângulo ABC o ângulo B mede 55º.


13.a) No triângulo ABC, o ângulo C mede 42º.

b) No triângulo DEF, o ângulo E mede 62º 30' .

14. No triângulo EFG o ângulo G mede 63º 40' .

15. No triângulo GHI o ângulo H mede 53º 10' .

16.a) O valor da tangente do ângulo de 15º 20' é 0,27419.

b) O valor da tangente do ângulo de 82º 10' é 7,26873.

c) O valor da tangente do ângulo de 64º 40' é 2,11233.

d) O valor da tangente do ângulo de 74º é 3,48741.

e) O valor da tangente do ângulo de 56º é 1,48256.

17. O lado AC mede 8,2 mm.

18. No triângulo DEF a medida do lado DF é de 27,588 mm.

19. A medida do lado LM é de 25 mm.

20. A medida do lado AB é de 40 mm.

21. A medida do lado DE é de 15 mm.

22.a) O valor da tangente do ângulo B é 2,375.

b) O valor da tangente do ângulo C é 0,42105.

23. No triângulo DEF o ângulo E mede 42º.

24. No triângulo PQR o ângulo R mede 33º 40' .


624

26. No triângulo ABC a medida do lado AB é de 15,3 mm.

27. A medida do segmento DF é de 16 mm.

28. A medida do segmento HJ é de 12,5 mm.

29. A medida do lado MN é de 24 mm.

CAPÍTULO 41 – APLICAÇÕES DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

1. a) Razão seno

2. c) Razão tangente

3. a) Cosseno b) Seno

4. O ângulo G mede 37º 10' .

5. No triângulo FGH o lado FH mede 16,180 mm.

6. O lado OM mede 8,200 mm.

7. a) AC mede 13 cm. b) EF mede 60,62 mm. c) QR mede 4,6 cm.

8.a) G 32º 40'

b) T 36º 50'

c) N 57º

9. No triângulo OPQ o lado OP mede 30 mm.

10. A medida de CD é 25 mm.

11. O lado FG mede 49,962 mm.

12. A medida do ângulo U é de 64º.

13. Seno.

14. A medida do ângulo x é de 68º 40' .

625

15.a) A medida a ser calculada e as medidas conhecidas referem-se ao triângulo BCD.

b) Neste triângulo, estão envolvidos um ângulo agudo, o cateto oposto e o cateto adjacente.

c) A razão trigonométrica a ser usada é a tangente.

d) A medida do lado CD é de 4 cm.

16. h) O lado do quadrado deverá medir 4,242 cm.

17. Cada lado desse quadrado deverá medir 10,605 mm.

18. Cada lado desse quadrado deverá medir 1,7675 cm.

19. A medida do ângulo C é de 72º 50'.

20. A medida do cateto oposto é Seno. A medida do cateto oposto é de 4,0019 cm.

21. Em FGH, o lado GH mede mede 8 cm.

22. A medida de x é 2,305 mm.

23. Em ABC, o ângulo A mede 29º.

24. O lado inclinado mede 5,084 mm.

25. A medida de HI é de 3,125 cm.

26. Em EFGH, a base maior mede 6,08 cm.

27. A medida de EF é de 3,376 mm.

28. O segmento AB mede 1,930 cm.

29. O ângulo C mede 146º 30' .

30. A medida do ângulo D é 48º 10' .

31. A medida do ângulo x é 56º 10' .

32. A medida do lado inclinado é de 28,7047 mm.

33. A base maior mede 4,0648 cm.

626

34. A base menor desse trapézio mede 30,96 mm.

35.a) DE = 54,6 mm b) JL = 21,21 mm c) EF = 4,04 cm d) x = 1,656 mm

e) C = 125º f ) OP = 72,838 mm g) PQ = 45 mm

36.a) B = 35º b) GH = 25 mm

37. O segmento OM mede 44 mm.

38. Cada lado deverá medir 9,898 mm.

39.a) No triângulo abaixo, BC mede 32,62 mm.

b) No triângulo STU, o ângulo S mede 42º.

40. A base menor mede 28,32 mm.

41. A medida de B é de 121º.

42. A medida de x é de 7,2 cm.

627

FÓRMULAS

Comprimento da circunferência: C=D .

Retângulo: A = c . l

Quadrado: A = l . l

Triângulo: A= b . h2

Área de Polígonos:

Trapézio: A= B b . h2

Hexágono: A= P . ap2

Área do Círculo: A=r 2 .

Prisma reto: AL=P . h

Pirâmide: AL=P2

. d

Área lateral de Sólidos:

Cilindro reto: AL=D . . h

Cone reto: AL= . r . g

Prisma reto: V =Ab . h

Pirâmide:V =

Ab . h3

Cilindro reto: V =Ab . h

Volume de Sólidos:

Cone reto:V =

Ab . h3

Esfera:V = D3 .

6

628

BIBLIOGRAFIA

Extraído do livro: Matemática Básica I para Mecânica – Módulos I, II, III e IV – Caderno de Exercícios ano 1981Autor: Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial – SENAI

CREDITOS

SENAI

Coordenação

Arlette Portella Bruno

Planejamento, Produção e Avaliação

Adilson Tabain KoleAntonio Edson LeiteCleonice CyrinoMaria Cristina TeixeiraMário Cândido da Silva FilhoWandecir Murrer

Produção Gráfica

Maria Regina CascardoSandra Boldrini GirardiVictor Atamanov

Fotografia

Maria Regina Galli

Consultoria

Dr. Luis Roberto Dante – Professora Ada Torres Martins Costa

629

BIBLIOGRAFIA

Extraído do livro: Matemática Básica II para Mecânica – Módulos I, II e III – Caderno de Exercícios ano 1982Autor: Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial – SENAI

CREDITOS

SENAI

Coordenação




Produção Gráfica


Fotografia

Maria Regina Galli

630

BIBLIOGRAFIA

Extraído do livro: Matemática Básica III para Mecânica – Módulos I, II e III – Caderno de Exercícios ano 1983Autor: Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial – SENAI

CREDITOS

SENAI

Coordenação




Produção Gráfica


Fotografia

Maria Regina Galli

631

BIBLIOGRAFIA

Extraído do livro: Matemática Básica IV para Mecânica – Módulos I, II e III – Caderno de Exercícios ano 1983Autor: Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial – SENAI

CREDITOS

SENAI

Coordenação




Produção Gráfica


Fotografia

Maria Regina Galli

632

Matematica Basica Para Mecanica - SENAI 1983

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