Matemática - Curso Anglo - n2 aulas10a12

AULA 10

1. (XXV OBM) Na figura, o número 8 foi obtido somando-se os dois números diretamente abaixo de sua casinha. Osoutros números nas três linhas superiores são obtidos da mesma forma. Qual é o valor de x?

a) 7 d) 4b) 3 e) 6c) 5

2. (XXVIII OBM) No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos doisé 3844. Em 2006 Neto fará:a) 55 anosb) 56 anosc) 60 anosd) 62 anose) 108 anos

3. (XXVIII OBM) Samuel possui três irmãos a mais do que irmãs. O número de irmãos de Samila, irmã de Samuel, é igualao dobro do número de suas irmãs. O número de filhos (homens e mulheres) que possui o pai de Samuel e Samila é: a) 10b) 13c) 16d) 17e) 20

Trabalhar com problemas que recaem em equações é uma das grandes habilidades dos atletas. Geralmente esses pro-blemas recaem em comparações ou diretamente em ‘traduções’ de linguagens:

— sucessor de x ⇒ x + 1

— dobro de x ⇒ 2x

— oposto de x ⇒ –x

— inverso de (x não nulo)

— soma dos quadrados ⇒ a2 + b2

— quadrado da soma ⇒ (a + b)2

— pares (ou ímpares) consecutivos ⇒ x, x + 2, x + 4, ...

xx

⇒ 1

RelacionadosConceitos

3 5 x 6

8

42

ClasseEm

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008

www.cursoanglo.com.br2008

N • Í • V • E • L 2

Treinamento paraOlimpíadas de

Matemática

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

Exercício Resolvido(XX OBM) Um pai tem 33 anos e seu filho, 7 anos. Depois de quantos anos a idade do pai será o triplo da idade dofilho?a) 3 d) 9b) 7 e) 13c) 6

Uma solução possível:Se usarmos a letra x para representar uma certa quantidade de anos, podemos ver que o problema pode ser tra-duzido pela seguinte equação do primeiro grau: 33 + x = 3(7 + x), isto é, a idade do pai depois de x anos (33 + x) éigual ao triplo da idade do filho depois de x anos (7 + x). Resolvendo a equação do primeiro grau:33 + x = 3(7 + x)33 + x = 21 + 3x33 – 21 = 3x – x12 = 2x6 = x. (Alternativa C)

1. (XXV OBM) Os números a, b e c são naturais consecutivos em ordem crescente. Então, o valor de c2 – ab é igual a:a) 0 d) 2a + cb) 1 e) 2b + cc) 2a + b

2. (XXIII OBM) Paulo e Cezar têm algum dinheiro. Paulo dá a Cezar R$5,00 e, em seguida, Cezar dá a Paulo do que

possui. Assim, ambos ficam com R$18,00. A diferença entre as quantias que cada um tinha inicialmente é: a) R$7,00 d) R$10,00b) R$8,00 e) R$11,00c) R$9,00

3. (XXIII OBM) Um fazendeiro tinha 24 vacas e ração para alimentá-las por 60 dias. Entretanto, 10 dias depois, elecomprou mais 6 vacas e 10 dias depois dessa compra ele vendeu 20 vacas. Por mais quantos dias após esta últimacompra ele pode alimentar o gado com a ração restante?a) 50 d) 80b) 60 e) 90c) 70

4. (XXII OBM) De Itacimirim a Salvador, pela estrada do Coco, são 60km. Às 11 horas, a 15km de Salvador, dá-se umacidente que provoca um engarrafamento, que cresce à velocidade de 4km/h, no sentido de Itacimirim. A que horas,aproximadamente, devemos sair de Itacimirim para chegar a Salvador ao meio-dia, sabendo que viajamos a 60 km/h,exceto na zona de engarrafamento, onde a velocidade é 6km/h?a) 10h 43min d) 10h 53minb) 10h 17min e) 11h 01minc) 10h 48min

5. (XXI OBM) Hoje, 12/6/1999, Pedro e Maria fazem aniversário. No mesmo dia em 1996, a idade de Pedro era 3/4 daidade de Maria. No mesmo dia em 2002, a idade de Pedro será igual à de Maria quando ele tinha 20 anos. Quantosanos Maria está fazendo hoje?a) 30 d) 33b) 31 e) 34c) 32

6. (XXVIII OBM) Se um número de dois dígitos é 5 vezes a soma de seus dígitos, então o número formado pela troca dosdígitos é a soma dos dígitos multiplicada por:a) 3 d) 4b) 5 e) 7c) 6

13

CasaEm

2008

7. (XXVIII OBM) A soma de três números naturais consecutivos é igual ao produto desses três números. A soma dosquadrados desses números é:a) 14 d) 24b) 15 e) 36c) 18

AULA 11

1. (XXVIII OBM) Efetuando as operações indicadas na expressão

obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número?a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

2. (XXVIII OBM) Simplificando a expressão:

obtemos:

a) d)

b) e)c) 1

3. (XXVIII OBM) Sejam x, y, z números reais não nulos tais que x + y + z = 0. O valor de é:

a) 0 d) 3b) 1 e) 4c) 2

Manipular expressões é uma das ferramentas mais importantes para as provas de Olimpíadas. Para isso, desenvol-vem-se técnicas, algumas baseadas na transformação em produto (fatoração). Alguns casos mais recorrentes são:

• ab + ac = a(b + c)• a2 – b2 = (a + b)(a – b)• a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 e a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

• a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) e a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)• a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 e a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Além disso, é importante perceber como a criatividade pode ajudar a recair em algo conhecido:

Fatorar a4 + a2 + 1 [desconhecido].

a4 + 2a2 + 1 = (a2 + 1)2 [conhecido]a4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1 – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)


x y zx y x z y z

2 2 23 3 3 3 3 3

1 1 1

+ +

2 3+3

2 2+2

2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3+ + + + + + − + +⋅ ⋅ ⋅

2 2

2 22006

2007 2005

2006 2004

+

+

×

ClasseEm



Exercício Resolvido(XXIX OPM – Nível Beta – 1ª- fase)

a) Resolva a equação 2x2 – x = 1999000.b) Fatore a expressão 12x2 – x – 1, isto é, escreva este polinômio como um produto de polinômios do primeiro grau.c) Utilizando os itens anteriores, verifique que o número 1999000 + 9999999 é composto.

Uma solução possível:

a) 2x2 – x = x (2x – 1). Para x = 1000, temos 1000 ⋅ (2000 – 1) = 1999000, logo x = 1000 é uma solução. A outrasolução é x = –999,5.

b) 12x2 – x – 1 = (4x + 1)(3x – 1)c) 1999000 + 9999999 = 107 + 1999 ⋅ 103 – 1 = 103(104 + 1999) – 1 = 11999 ⋅ 103 – 1 =

= 12 ⋅ 10002 – 1000 – 1 = (4000 + 1)(3000 – 1)

1. (XXVI OBM) O perímetro de um retângulo é 100 e a diagonal mede x. Qual é a área do retângulo?

a) 625 – x2

b)

c)

d)

e)

2. (XXVI OBM) Se x + y = 8 e xy = 15, qual é o valor de x2 + 6xy + y2?a) 64 d) 124b) 109 e) 154c) 120

3. (XXVI OBM) Uma folha quadrada foi cortada em 42 quadrados menores, dos quais um tem área maior do que1cm2 e os demais têm área de 1cm2. Qual é a medida do lado da folha?a) 6cm d) 19cmb) 12cm e) 20cmc) 21cm

4. (XXIV OBM) Se xy = 2 e x2 + y2 = 5, então vale:

a) d)

b) e) 1

c)

5. (XXIV OBM) O resto da divisão por 9 de é:

a) 0 d) 6b) 1 e) 8c) 3

1111111111 22222−

54

254

12

52

x

y

y

x

2

2

2

22+ +

25002

2− x

2502

2− x

12502

2− x

6252

2− x

CasaEm

2008

6. (XXII OBM) Se x e y são números reais positivos, qual dos números a seguir é o maior?

a) xy d) x2 + y(x + y)

b) x2 + y2 e)

c) (x + y)2

7. (XXII OBM) Sejam a e b números reais positivos tais que . Então

a) é igual a d) é maior que mas menor que 1.

b) é igual a . e) pode ser maior que 1.

c) é menor que .

AULA 12

1. (XXVIII OBM) João escreveu todos os números com menos de 4 dígitos usando apenas os algarismos 1 e 2 numafolha de papel e depois somou todos eles. O valor obtido foi:a) 2314 d) 2316b) 3000 e) 1716c) 1401

2. (XXVIII OBM) Um número com dois dígitos distintos e não nulos é chamado de bonito se o dígito das dezenas émaior do que o dígito das unidades. A quantidade de números bonitos é: a) 72 d) 64b) 36 e) 56c) 35

3. (XXVIII OBM) Ludmilson percebeu que para numerar as páginas de um livro, consecutivamente, a partir da página2, foram usados 2006 algarismos. O número de páginas do livro de Ludmilson é:a) 701 d) 704b) 702 e) 705c) 703

Exercício Resolvido(OBMEP 2006 — 2ª- fase) O quadrado da figura I é chamado especial porque 1. ele está dividido em 16 quadrados iguais;2. em cada linha e em cada coluna aparecem os algarismos 1, 2, 3 e 4:3. em cada um dos quadrados A, B, C e D (como na figura II) aparecem os alga-

rismos 1, 2, 3 e 4.

a) Complete o quadrado abaixo de modo que ele se torne especial.

2

3 4

1

2

4 2 1 3

1 3 2 4

3 1 4 2

2 4 3 1

A B

C D

III


ClasseEm

ab

ab

ab

ab

+ 1.

ab

++

11

ab

� 1

x yx y

3 3++



b) É possível completar o quadrado abaixo de modo a obter um quadrado especial? Por quê?

c) Exiba todas as maneiras de completar o quadrado abaixo de modo a obter um quadrado especial.

d) Quantos quadrados especiais existem?

Solução Oficiala) A solução é feita em seis passos:

b) Não. No quadradinho assinalado com X não podemos colocar nem o 3 nem o 4 porque a 2ª- linha já contém esses nú-meros. Por outro lado também não podemos colocar nem 1 nem 2 porque a última coluna já contém esses números.

c) De acordo com o item (b), temos quatro opções para preencher o quadrado D, que são

Como no item (b), vemos que opção sombreada não é possível, uma vez que não teremos como preencher oquadradinho assinalado com X.

Logo, para preencher o quadrado D só restam as 3 opções

3

4 1

2 4

2 1

3 3

2 1

4

2

3 4

1

13x

4

2 1

3 3

2 1

4 3

4 1

2 4

3 1

2

2

3 4

1

1

2

x

2

3 4

1

2

13

1º- passo

2

3 4

1

2

2

13

1

2º- passo

2

3 4

1

2 1

4

2

13

1

3º- passo

2

3 4

1 3

2 1

4

2

132

4º- passo

2

3 4

1 3

2 1

4

4

2

13

4 1

2

5º- passo

2

3 4

1 3

2 1

4

4

3 2

13

4 1

2

6º- passo

2

3 4

1

1

2

3 4

2

1

1

2008

Uma vez preenchido o quadrado D, os quadrados B e C podem ser preenchidos de modo único. Logo, temos 3maneiras para completar o quadrado original, que são

d) Para preencher o quadrado A, na ordem crescente 1, 2, 3 e 4 temos a seguinte situação:• podemos colocar o 1 em qualquer das 4 posições;• colocado o 1, temos 3 posições para o 2;• colocados o 1 e o 2, temos 2 posições para o 3;• colocados o 1, o 2 e o 3 temos apenas uma posição para o 4.

Logo, o quadrado A pode ser preenchido de 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneiras.Preenchido o quadrado A, vamos agora preencher o quadrado D:• podemos colocar o 1 em qualquer das 4 casas;• uma vez colocando o 1, usando o mesmo argumento que no item (c), vemos que existem 3 maneiras de com-

pletar o quadrado D.

Logo, temos 24 × 4 × 3 = 288 modos de preencher os quadrado A e D. Sabemos que, estando esses dois qua-drados preenchidos, só temos uma maneira de preencher os quadrados B e C. Logo, o número total de quadradosespeciais é 288.

1. (XXIII OBM) Escrevem-se, em ordem crescente, os números inteiros e positivos que sejam múltiplos de 7 ou de 8(ou de ambos), obtendo-se 7, 8, 14, 16, …. O 100º- número escrito é:a) 406 d) 384b) 376 e) 400c) 392

2. (XXIII OBM) Quantos são os retângulos que têm os pontos A e B como vértices, e cujos vértices estão entre ospontos de intersecção das 9 retas horizontais com as 9 retas verticais da figura abaixo?

a) 3b) 4c) 7d) 2e) 5

3. (XXIII OBM) Colocamos em ordem crescente os números escritos nas casas brancas do tabuleiro a seguir (esta-mos mostrando apenas as suas quatro primeiras linhas). Assim, por exemplo, o nono número da nossa lista é 14.Qual é o 2000º- número da nossa lista?a) 3931 b) 3933c) 3935d) 3937e) 3939

1

3

7

13

4

8

14

9

15 16

2

6

12

5

1110… … … ………… ……

B

A

CasaEm

2

3 4

1

1

3

2

4

2

3

1

2

4

3

1

4 2

3 4

1

1

4

2

2

3

3

1

4

2

4

1

3 2

3 4

1

1

3

2

2

4

3

1

4

2

3

1

4



4. (XXIV OBM) A linha poligonal AB é desenhada mantendo-se sempre o mesmo padrão mostrado na figura. Seucomprimento total é igual a:

a) 31 d) 97b) 88 e) 105c) 90

5. (XXVIII OBM) Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. Por exemplo, ao mostrar00:00 sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta um minuto para meia-noite. Quantas vezes pordia os quatro algarismos mostrados são todos pares?a) 60 d) 180b) 90 e) 240c) 105

1 2 3 4 5 6 7 8 9A

1

2

30 31

B

2008

Matemática - Curso Anglo - n2 aulas10a12

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