AULA 13

1. Sendo a ≠ 0, b e c números reais, tais que 4a + 2b + c = 0 e a + 2b + 4c = 0, então a equação ax2 + bx + c = 0:a) possui raízes reais r e s, com r ⋅ s � 0;b) possui raízes simétricas;c) possui raízes recíprocas;d) possui raízes inteiras;e) não possui raízes reais.

2. (XXIX OBM) As equações do 2º- grau 2007x2 + 2008x + 1 = 0 e x2 + 2008x + 2007 = 0 têm uma raiz comum. Qual éo valor do produto das duas raízes que não são comuns?a) 0b) 1c) 2007d) 2008e) 2007

3. Se a ⋅ c ≠ 0, ∆ = b2 – 4ac, ∆ � 0, então, na equação ax2 + bx + c = 0, temos x igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

• São dados os números reais a, b e c e a equação ax2 + bx + c = 0. Sendo ∆ = b2 – 4ac, temos que, se ∆ � 0, então

• Sendo r e s as raízes reais da equação ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), temos que o trinômio ax2 + bx + c é fatorável em IR e

ax2 + bx + c = a(x – r)(x – s)

x

ba

= − ± ∆2

RelacionadosConceitos

2c

b− ± ∆

4a

b− ± ∆

2a

b− ± ∆

− ±bac

∆

− ±bc

∆2

ClasseEm

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008

www.cursoanglo.com.br2008

N • Í • V • E • L 2

Treinamento paraOlimpíadas de

Matemática

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

1. (XXV OBM) A maior raiz da equação (x – 37)2 – 169 = 0 é:a) 39 d) 50b) 43 e) 53c) 47

2. (XXIII OBM) A soma dos valores reais de x tais que é:

a) 13 d) –2b) 6 e) –6c) –1

3. (XXIV OBM) Uma usina comprou 2000 litros de leite puro e então retirou certo volume V de leite para produção deiogurte e substituiu este volume por água. Em seguida, retirou novamente o mesmo volume V da mistura e substi-tuiu novamente este volume por água. Na mistura final existem 1125 litros de leite puro. O volume V é: a) 500 litros d) 800 litrosb) 600 litros e) 875 litrosc) 700 litros

4. (XXI OBM) A diferença entre a maior raiz e a menor raiz da equação (2x – 45)2 – (x – 21)2 = 0 é:a) 2 d) 5b) 3 e) 6c) 4

5. (XXI OBM) Sendo a ≠ b e b ≠ 0, sabe-se que as raízes da equação x2 + ax + b = 0 são exatamente a e b. Então, a – bé igual a:a) 0 d) 3b) 1 e) 4c) 2

AULA 14

1. (XXVIII OBM) Quantos ternos de números reais x, y, z satisfazem o sistema abaixo?

a) Nenhum d) 3b) 1 e) 2006c) 2

2. (XXIX OBM) Sejam a, b, c e k números reais diferentes de zero satisfazendo as relações .

Qual é o número de possíveis valores que k pode assumir?

a) 0 d) 3b) 1 e) 4c) 2

3. Sendo r e s as raízes da equação x2 – bx + c = 0, então r3 + s3 vale:

a) b2 – 2bc d) b3 + 3bcb) b3 – 3bc e) b2 – 4acc) b2 + 2bc

ka

b cb

c ac

a b=

+=

+=

+

x(x + y + z) = 2005y(x + y +z) = 2006z(x + y + z) = 2007

ClasseEm

x xx x

22

1156+ + =

+

CasaEm

2008

• Sendo r e s as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, temos que:

⇒

⇒

1. (XXVIII OBM) O número de soluções inteiras e positivas do sistema abaixo é:

a) 45 d) 25b) 23 e) 72c) 24

2. Se , então é sempre verdade que

a) d)

b) e)

c)

3. (XXIX OBM) A fração , onde a e b são inteiros positivos, representa um número entre 0 e 1, na posição indicada

no desenho ao lado.

Qual é um possível valor para a soma a + b?a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

4. (XXIX OBM) Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é 2 : 3 e entre o número de mu-lheres e crianças é 8 : 1. A razão entre o número de adultos e crianças é:a) 5 : 1 d) 40 : 3b) 16 : 1 e) 13 : 1c) 12 : 1

AULA 15

1. (XXVII OBM) As letras O, B e M representam números inteiros. Se O × B × M = 240, O × B + M = 46 e O + B × M = 64,quanto vale O + B + M?a) 19 d) 24b) 20 e) 36c) 21

ClasseEm

ab

ab

a cb d

= ++

ab

a db c

= ++

ab

a cd

= +

ab

c bd a

= −−

ab

cd

= ++

11

ab

cd

=

a + b = c2

a + b + c = 30

CasaEm

r s

ca

⋅ =

r sb

a+ = −

RelacionadosConceitos

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 3 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008

0 1

ab

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 4 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

2. (XXVII OBM) Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação

Qual das alternativas apresenta um possível valor de y?a) 5 d) 8b) 6 e) 9c) 7

3. Em um paralelepípedo reto retângulo, as áreas de três faces distintas valem 6m2, 12m2 e 8m2. Então, o volume desseparalelepípedo, em m3, vale:a) 12 d) 24b) 15 e) 30c) 21

Sistemas de equações são muito úteis na resolução de problemas. Os métodos mais comuns para resolução desistemas são o método da substituição e o método da adição.

Exemplo Resolvido(Unicamp-SP) Resolva o sistema linear abaixo:

Uma solução possível:Somando as equações dadas, temos 5x + 5y + 5z + 5w = 10, que é equivalente a x + y + z + w = 2. Subtraindoessa equação de cada uma das equações dadas, obtemos x = –1, y = 0, z = 1 e z = 2.

1. (XXIX OBM) Qual é o máximo valor que o número a(b + c) – b(a + c) pode assumir se a, b e c, são inteiros satisfa-zendo 1 � a � 10, 1 � b � 10 e 1 � c � 10?a) 80 d) 90b) 81 e) 100c) 84

2. (XXIV OBM) Se xy = 2 e x2 + y2 = 5, então vale:

a) d)

b)e) 1

c)

3. Considere um retângulo ABCD e os pontos E no lado AB, F no lado BC, G no lado CD e H no lado AD, de modoque os segmentos EG e FH se cruzem em J e dividam o retângulo ABCD em quatro retângulos. Sabendo que asárea do retângulo EBFJ vale 8, a área de JFCG vale 10 e a área do retângulo JGDH valem 5, determine a área doretângulo AEJH.

54

254

12

52

x

y

y

x

2

2

2

22+ +

CasaEm

2x + y + z + w = 1x + 2y + z + w = 2x + y + 2z + w = 3x + y + z + 2w = 4

RelacionadosConceitos

x y x y+ − − =12

12

1.

2008