Matemática - Curso Anglo - n2 aulas1a3

AULA 11. (XXV OBM) A seqüência “22” descreve a si mesma, pois ela é formada por exatamente dois 2. Analogamente, a

seqüência “31 12 33 15” descreve a si mesma, pois é formada por exatamente três 1, um 2, três 3 e um 5. Qual dasseguintes seqüências não descreve a si mesma? a) 21 32 23 16b) 31 12 33 18c) 31 22 33 17 19d) 21 32 33 24 15e) 41 32 23 24 15 16 18

2. (XXVIII OBM) Seis amigos planejam viajar e decidem fazê-lo em duplas, cada uma utilizando um meio de transportediferente, dentre os seguintes: avião, trem e carro. Alexandre acompanha Bento. André viaja de avião. Carlos nãoacompanha Dário nem faz uso do avião. Tomás não anda de trem. Qual das afirmações a seguir é correta?a) Bento vai de carro e Carlos vai de avião.b) Dário vai de trem e André vai de carro.c) Tomás vai de trem e Bento vai de avião.d) Alexandre vai de trem e Tomás vai de carro.e) André vai de trem e Alexandre vai de carro.

3. (XXV OBM) Carlinhos pensa num número ímpar positivo menor do que 100. Pedrinho se dispõe a descobrir que nú-mero é esse fazendo a seguinte pergunta, quantas vezes forem necessárias: “O número que você pensou é maior,menor ou igual a x?”. Note que x é um número que Pedrinho escolhe. Quantas perguntas desse tipo Pedrinho poderá ter que fazer até descobrir o número pensado por Carlinhos?a) 5 d) 25b) 7 e) 45c) 15

4. (XXIV OBM) Qual é a quantidade total de letras de todas as respostas incorretas desta questão? a) Quarenta e oito. d) Cinqüenta e um.b) Quarenta e nove. e) Cinqüenta e quatro.c) Cinqüenta.

5. (XXIII OBM) Cinco animais A, B, C, D, e E, são cães ou são lobos. Cães sempre contam a verdade e lobos semprementem. A diz que B é um cão. B diz que C é um lobo. C diz que D é um lobo. D diz que B e E são animais de espéciesdiferentes. E diz que A é um cão. Quantos lobos há entre os cinco animais?a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

6. (XX OBM) Observe as igualdades a seguir:

32 + 42 = 52

52 + 122 = 132

72 + 242 = 252

92 + 402 = 412

…

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008

www.cursoanglo.com.br2008

N • Í • V • E • L 2

Treinamento paraOlimpíadas de

Matemática

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

Considere a igualdade 172 + x2 = y2 com base nos exemplos anteriores, procure determinar os números naturais x ey. Podemos concluir que x + y é igual a:a) 289 d) 144b) 121 e) 196c) 81

7. (XXI OBM) Uma caixa contém 100 bolas de cores distintas. Destas, 30 são vermelhas, 30 são verdes, 30 são azuise entre as 10 restantes, algumas são brancas e outras são pretas. O menor número de bolas que devemos tirar dacaixa, sem lhes ver a cor, para termos a certeza de haver pelo menos 10 bolas da mesma cor é:a) 31 d) 37b) 33 e) 38c) 35

8. (XXII OBM) Quatro amigos vão visitar um museu e um deles resolve entrar sem pagar. Aparece um fiscal que quersaber qual deles entrou sem pagar.— Eu não fui, diz o Benjamim.— Foi o Carlos, diz o Mário.— Foi o Pedro, diz o Carlos.— O Mário não tem razão, diz o Pedro.

Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada do museu?a) Máriob) Pedroc) Benjamimd) Carlose) não é possível saber, pois faltam dados

9. (XX OBM) No quadrado mágico abaixo, a soma dos números em cada linha, coluna e diagonal é sempre a mesma.Por isso, no lugar do X devemos colocar o número:

a) 30 d) 45b) 20 e) 40c) 35

10. (XIX OBM) Em uma urna há 28 bolas azuis, 20 bolas verdes, 12 bolas amarelas, 10 bolas pretas e 8 bolas brancas.Qual é o número mínimo de bolas que devemos sacar dessa urna para termos certeza que sacaremos pelo menos15 bolas da mesma cor?a) 58 d) 71b) 59 e) 72c) 60

11. (XX OBM) Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João. Interrogados,eles fazem as seguintes declarações:• André: Eduardo é o culpado.• Eduardo: João é o culpado.• Rafael: Eu não sou culpado.• João: Eduardo mente quando diz que eu sou culpado.

Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, quem é o culpado?a) André.b) Eduardo.c) Rafael.d) João.e) Não se pode saber.

15 35

50

25 x

2008

12. (XXIII OBM) Em um tabuleiro retangular com 6 linhas e 9 colunas, 32 casas estão ocupadas.Podemos afirmar que:a) Todas as colunas têm pelo menos 3 casas ocupadas.b) Nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas.c) Alguma coluna não tem casas ocupadas.d) Alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas.e) Todas as linhas têm pelo menos 4 casas ocupadas.

13. (XXII OBM) Em um jogo de duas pessoas, os jogadores tiram, alternadamente, 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos de uma pilhaque inicialmente tem 1000 palitos. Ganha o jogador que tirar o último palito da pilha. Quantos palitos o jogador quecomeça deve tirar na sua jogada inicial de modo a assegurar sua vitória?a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

14. (XXV OBM) Você está em um país estrangeiro, a LUCIÂNIA, e não conhece o idioma, o LUCIANÊS, mas sabe queas palavras “BAK” e “KAB” significam sim e não, porém não sabe qual é qual. Você encontra uma pessoa queentende português e pergunta: "KAB significa sim?" A pessoa responde “KAB”. Pode-se deduzir que:a) KAB significa sim.b) KAB significa não.c) A pessoa que respondeu mentiu.d) A pessoa que respondeu disse a verdade.e) Não é possível determinar sem um dicionário LUCIANÊS-PORTUGUÊS.

Conceitos RelacionadosAo trabalharmos dentro da lógica matemática com afirmações verdadeiras ou falsas, devemos dar uma atenção

especial à colocação de e e ou. Se unirmos uma verdade e uma mentira com e, teremos uma afirmação falsa. Já se a ver-dade e a mentira forem unidas com ou, teremos uma afirmação verdadeira.

Por exemplo:“Dois mais dois é quatro e cinco mais cinco é onze” ⇒ afirmação falsa“Dois mais dois é quatro ou cinco mais cinco é onze” ⇒ afirmação verdadeiraPara aqueles alunos que gostam do assunto e gostariam de estudá-lo de uma forma divertida, sem perder o rigor

matemático, uma boa recomendação é procurar pelos livros do renomado matemático e lógico Raymond Smullyan.

AULA 21. (XXIV OBM) Dizer que uma tela de televisão tem 20 polegadas significa que a diagonal da tela mede 20 polegadas.

Quantas telas de televisão de 20 polegadas cabem numa de 60 polegadas?a) 9 d) 20b) 10 e) 30c) 18

2. (XXVI OBM) Sobre uma mesa estão três caixas e três objetos, cada um em uma caixa diferente: uma moeda, umgrampo e uma borracha. Sabe-se que• A caixa verde está à esquerda da caixa azul;• A moeda está à esquerda da borracha;• A caixa vermelha está à direita do grampo;• A borracha está à direita da caixa vermelha.

Em que caixa está a moeda?a) Na caixa vermelha.b) Na caixa verde.c) Na caixa azul.d) As informações fornecidas são insuficientes para se dar uma resposta.e) As informações fornecidas são contraditórias.



3. (XXV OBM) As 4 colorações a seguir são consideradas iguais por coincidirem por rotação.

De quantos modos diferentes é possível colorir as casas de um tabuleiro 2 × 2 de branco ou preto de modo quenão existam dois tabuleiros que coincidam por rotação?a) 4 d) 7b) 5 e) 8c) 6

4. (XIX OBM) A figura abaixo mostra três dados iguais. O número da face que é a base inferior da coluna de dados:a) é 1.b) é 2.c) é 4.d) é 6.e) pode ser 1 ou 4.

5. (XXVI OBM) Um cubo pode ser construído, a partir dos dois pedaços de papelão apresentados em uma das alterna-tivas a seguir, bastando apenas dobrar nas linhas tracejadas e unir nas linhas contínuas. Esses dois pedaços são:a) d)

b) e)

c)

6. (XXVI OBM) Um arquiteto apresenta ao seu cliente cinco plantas diferentes para o projeto de ajardinamento de umterreno retangular, onde as linhas cheias representam a cerca que deve ser construída para proteger as flores. Asregiões claras são todas retangulares e o tipo de cerca é o mesmo em todos os casos. Em qual dos projetos o custoda construção da cerca será maior?a) d)

b) e)

c)

2008

7. (XXII OBM) Juliano colou uma bandeirinha cinza em cada engrenagem, como mostra a figura abaixo:

As engrenagens são iguais e quando a engrenagem da esquerda girou um pouco, a sua bandeirinha ficou na posiçãoindicada com a bandeirinha branca pontilhada. Nesta condição, podemos afirmar que a posição da bandeirinha naengrenagem da direita é:

a) d)

b) e)

c)

8. (XIX OBM) Quatro carros, de cores amarelo, verde, azul e preto, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imedia-tamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde é omenor de todos; que o carro verde está depois do carro azul e que o carro amarelo está depois do preto. O primeirocarro da fila:a) é amarelo.b) é azul.c) é preto.d) é verde.e) não pode ser determinado apenas com esses dados.

Obs.: O primeiro da fila é o que vem antes de todos os outros.

9. (XXI OBM) Aos vértices de um cubo são atribuídos os números de 1 a 8 de modo que os conjuntos dos números cor-respondentes aos vértices das seis faces são {1, 2, 6, 7}, {1, 4, 6, 8}, {1, 2, 5, 8}, {2, 3, 5, 7}, {3, 4, 6, 7} e {3, 4, 5, 8}.O vértice atribuído ao número 6 está mais longe do vértice de número a) 1 d) 5b) 3 e) 7c) 4

10. (XXVI OBM) Se girarmos o pentágono regular, abaixo, de um ângulo de 252°, em torno do seu centro, no sentido ho-rário, qual figura será obtida?

a) d)

b) e)

c)



11. (XXIII OBM) Somente uma das figuras a seguir representa a planificação de um cubo na qual está destacada a suainterseção com um plano. Qual?

a) d)

b) e)

c)

12. (XXI OBM) Vários caixotes cúbicos de plástico azul

Ficaram armazenados ao ar livre, na posição indicada na figura ao lado, na qual apenas um dos caixotes não é visível.Com o tempo, o plástico exposto ao ar perdeu sua cor, tornando-se cinza. Ao desfazer a pilha, verificaremos que onúmero de caixotes com três faces azuis e três cinzentas será:a) 4 d) 2b) 5 e) 1c) 3

13. (XXI OBM) No desenho abaixo estão representados quatro triângulos retângulos e um retângulo, bem como suasmedidas.

Juntando todas essas figuras, podemos construir um quadrado. O lado desse quadrado irá medira) 88cmb) 100cmc) 60cmd) 96cme) 80cm

60

100

80

20

12 16

88

16

80

100

60

20

12 16

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Conceitos RelacionadosEsses diferentes exercícios têm em comum o objetivo de induzir o entendimento de aspectos espaciais do mundo

físico ou abstrato. Esse treinamento é muito importante para desenvolver sua intuição e seu raciocínio espaciais.

Exemplos Resolvidos1. (OBMEP) Passa-se um barbante através dos seis furos de uma cartolina. A frente da cartolina, com o barbante, é

mostrada na figura.

Qual das figuras abaixo não pode ser o verso da cartolina?

a) b) c) d) e)

Solução oficial:Observando a frente da cartolina, verificamos que o barbante entra e sai pelos furos da primeira linha. Na opção e,o verso mostra estes dois furos como consecutivos ao percorrer o barbante, o que não é possível. (Alternativa E)

2. (OBMEP) Cortamos um canto de um cubo, como mostrado na seguinte figura.

Qual das representações abaixo corresponde ao que restou do cubo?

a) d)

b) e)

c)



Solução oficial:Cortando um canto do cubo, eliminamos um de seus vértices. Como cada vértice se liga a três arestas do cubo,uma representação do cubo cortado deve mostrar três cortes ao redor de um mesmo vértice.

AULA 31. (XXV OBM) Você possui muitos palitos com 6cm e 7cm de comprimento. Para fazer uma fila de palitos com com-

primento total de 2 metros, o número mínimo de palitos que você precisa utilizar é:a) 29 d) 32b) 30 e) 33c) 31

2. (XX OBM) Hoje é sábado. Que dia da semana será daqui a 99 dias?a) segunda-feira d) sexta-feirab) sábado e) quinta feirac) domingo

3. (XXI OBM) Em um hotel há 100 pessoas. 30 comem porco, 60 comem galinha e 80 comem alface. Qual é o maiornúmero possível de pessoas que não comem nenhum desses dois tipos de carne?a) 10 d) 40b) 20 e) 50c) 30

4. (XXIII OBM) Um serralheiro tem 10 pedaços de 3 elos de ferro cada um, mostrados abaixo.

Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para abrir e depois soldar um elo o serralheiro leva 5 minutos. Quan-tos minutos no mínimo ele levará para fazer a corrente?a) 30 d) 45b) 35 e) 50c) 40

5. (XX OBM) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação ?

a) 13 d) 39b) 26 e) 40c) 38

6. (XXII OBM) Uma caixa contém 900 cartões, numerados de 100 a 999. Retiram-se ao acaso (sem reposição) cartõesda caixa e anotamos a soma dos seus algarismos. Qual é a menor quantidade de cartões que devem ser retiradosda caixa, para garantirmos que pelo menos três destas somas sejam iguais?a) 51 d) 54b) 52 e) 55c) 53

3 7� �x

A B

B A

EF

FE

A

E

A B

B A

EF

FE

A

E

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7. (XXII OBM) Quantos são os números inteiros de 2 algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus alga-rismos?a) 0 d) 3b) 1 e) 4c) 2

8. (XXIV OBM) Escreva os números inteiros de 1 a 9 nos nove quadradinhos, de forma que as somas dos quatro nú-meros em cada uma das pás da “hélice” sejam iguais e de maior valor possível. Esse valor é:

a) 23 d) 20b) 22 e) 19c) 21

9. (XXIV OBM) O lava-rápido “Lave Bem” faz uma promoção:

Lavagem simples R$5,00

Lavagem completa R$7,00

No dia da promoção, o faturamento do lava-rápido foi de R$176,00. Nesse dia, qual o menor número possível declientes que foram atendidos? a) 23 d) 28b) 24 e) 30c) 26

10. (XIX OBM) Em certo país a unidade monetária é o pau. Há notas de 1 pau e moedas de meio pau, um terço de pau,um quarto de pau e um quinto de pau. Qual a maior quantia, em paus, que um cidadão pode ter em moedas sem quepossa juntar algumas delas para formar exatamente um pau?

a) d)

b) e)

c)

11. (XXI OBM) Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no cami-nhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?a) 132b) 144c) 146d) 148e) 152

12. (XXII OBM) Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas foram todas distintas, foram distribuídos em duas tur-mas, de acordo com a nota obtida no concurso: os 31 primeiros foram colocados na Turma A e os 30 seguintes naTurma B. As médias das duas turmas no concurso foram calculadas. Depois, no entanto, decidiu-se passar o últimocolocado da Turma A para a Turma B. Com isso:a) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou.b) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou.c) As médias de ambas as turmas melhoraram.d) As médias de ambas as turmas pioraram.e) As médias das turmas podem melhorar ou piorar, dependendo das notas dos candidatos.

27

15

24360

15

12

21360

1112



13. (XXIV OBM) Se você tiver uma mesa de bilhar retangular cuja razão entre a largura e o comprimento seja 5/7 e bateruma bola que está em um canto, de modo que ela saia na direção da bissetriz do ângulo desse canto, quantas vezesela baterá nos lados antes de bater em um dos cantos? a) 10 vezes d) 14 vezesb) 12 vezes e) 15 vezesc) 13 vezes

Conceitos RelacionadosA divisão euclidiana é também conhecida como divisão com resto. Um exemplo: 14 dividido por 3 apresenta quociente

4 e resto 2. Isso significa que 14 = 4 ⋅ 3 + 2. Uma das muitas aplicações dessa divisão está na questão 2.Em 2006 tivemos o feriado de primeiro de Maio numa segunda-feira, enquanto em 2005 o feriado foi no domingo. Isto

acontece pois 365 = 7 × 52 + 1, isto é, um ano “normal” possui 52 semanas e um dia. Assim em 2007 foi terça-feira. Noentanto em 2008 será quinta-feira pois temos um ano bissexto e verificamos que 366 = 7 × 52 + 2, isto é, um ano bissextopossui 52 semanas e dois dias.

Exemplo Resolvido(OBMEP) Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais queela precisa conseguir para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar nenhuma?a) 11 d) 31b) 20 e) 41c) 21

Solução oficial:

O algoritmo de divisão de Euclides nos dá 237 = 7 × 31 + 20; logo 237 não é divisível por 31. Isso quer dizer que aprofessora realmente vai ter que comprar mais balas para que todos os alunos recebam o mesmo número de balas.De acordo com o enunciado, devemos então adicionar à expressão 7 × 31 + 20 o menor inteiro positivo x tal que7 × 31 + 20 + x seja múltiplo de 31. Como 31 = 20 + 11, basta que a professora compre 11 balas. (Alternativa E)

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