AULA 4

1. O preço de um livro de matemática importado da Rússia sofreu um aumento de 30% em Fevereiro, em relação aJaneiro. Já em Março o preço caiu 30%. O que podemos dizer sobre o preço de Janeiro em relação ao deMarço? a) aumentou 3% d) aumentou 9%b) diminuiu 3% e) diminuiu 9%c) ficaram iguais

2. O resultado de é:

a) 40% d) 78%b) 1,4 e) 0,36c) 16%

3. (OBM XXIV) Durante sua viagem ao país das Maravilhas, a altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas daseguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: “beba-me e fique 25% mais alta”. A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: “prove-me e fique 10%mais baixa”; logo após tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: “beba-mee fique 10% mais alta”. Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito: “prove-me e fique20% mais baixa”. Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela:a) ficou 1% mais baixa d) ficou 5% mais altab) ficou 1% mais alta e) ficou 10% mais altac) ficou 5% mais baixa

4. (OBM XX) Seu Horácio resolveu incrementar a venda de CDs em sua loja e anunciou uma liquidação para umcerto dia, com descontos de 30% sobre o preço das etiquetas. Acontece que, no dia anterior à liquidação, seuHorácio aumentou o preço marcado nas etiquetas, de forma que o desconto verdadeiro fosse de apenas 9%. Dequanto foi o aumento aplicado por seu Horácio?a) 30% d) 40%b) 39% e) 31%c) 21%

Os fatores ou índices multiplicativos podem facilitar o cálculo de variações percentuais. No aumento, o índiceserá o percentual acrescido de um. Já na redução, o índice será um menos o percentual. Como não existe reduçãosuperior a 100%, também não existirão índices negativos. Veja alguns índices:

— aumento de 20% ⇒ índice: 1 + 20% = 1 + 0,2 = 1,2— redução de 20% ⇒ índice: 1 – 20% = 1 – 0,2 = 0,8— aumento de 52% ⇒ índice: 1 + 52% = 1 + 0,52 = 1,52— redução de 35% ⇒ índice: 1 – 35% = 1 – 0,35 = 0,65— aumento de 180% ⇒ índice: 1 + 180% = 1 + 1,8 = 2,8— redução de 0,3% ⇒ índice: 1 – 0,3% = 1 – 0,003 = 0,997

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2 120 4−( )( )% %

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N • Í • V • E • L 2

Treinamento paraOlimpíadas de

Matemática

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

Se o preço da gasolina aumenta em 20%, sabemos que ele foi multiplicado por 1,2. Assim, se antes custava 2,6reais por litro, agora custará (2,6)(1,2) = 3,12 reais por litro.

Se um vestido que custa 150 reais estivesse na promoção com um desconto de 20%, seu preço seria (150)(0,8) = 120 reais.Se um salário de mil reais aumentasse em 52% e depois seu novo valor reduzisse em 35%, seu novo valor seria

(1000)(1,52)(0,65) = 988 reais. Se o lado x de um quadrado aumenta 180%, sua nova medida seria 2,8x.

Exemplo ResolvidoO preço de venda de um CD é de R$ 28,00 e um comerciante decide reajustá-lo em 15%. Diante da insistência deum comprador, o comerciante concede, então, um desconto de 15% sobre o novo preço do CD. No final dessas ‘tran-sações’, podemos afirmar que:a) o preço do CD voltou a ser R$ 28,00.b) o desconto deveria ser de 30% para que o preço voltasse ao valor de R$28,00.c) o desconto deveria ser de 7,5% para que o preço voltasse ao valor de R$28,00.d) o comerciante levou vantagem, pois o preço final foi maior que R$ 28,00.e) o comprador levou vantagem, pois o preço final foi menor que R$ 28,00.

Uma solução possível:Considere a tabela:

Assim, o comprador levou vantagem, pois o preço final foi R$27,37, que é menor que R$28,00. (Alternativa E)

1. (OBM XXVI) Eu planejava fazer um curral quadrado, com uma certa área, usando uma certa quantidade de cerca dearame farpado. Descobri, porém, que tenho 10% a menos de cerca do que esperava. Por esta razão, a área cercadaserá:a) 5% menor d) 20% menorb) 10% menor e) 25% menorc) 19% menor

2. (OBM XXIV) Um comerciante comprou dois carros por um total de R$27.000,00. Vendeu o primeiro com lucro de10% e o segundo com prejuízo de 5%. No total ganhou R$750,00. Os preços de compra foram, respectivamente,a) R$10.000,00 e R$17.000,00 d) R$15.000,00 e R$12.000,00b) R$13.000,00 e R$14.000,00 e) R$18.000,00 e R$9.000,00c) R$14.000,00 e R$13.000,00

3. (OBM XXI) Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 90% são amarelos e 10% são vermelhos. Uma miste-riosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, veri-ficou-se que, no aquário, 75% dos peixes vivos eram amarelos. Aproximadamente, que porcentagem dos peixesamarelos morreram?a) 15% d) 67%b) 37% e) 84%c) 50%

4. (OBM XIX) João e Pedro são vendedores e ganham R$1.000,00 de salário e comissão de 8% sobre as vendas.Em setembro, João ganhou R$2.000,00 e Pedro ganhou R$2.500,00. Nesse mês, as vendas de Pedro superaramas de João em:a) 20% d) 40%b) 25% e) 50%c) 30%

CasaEm

2008

Preço inicial (em R$) Reajuste (%) Preço final (em R$)

28,00 +15 1,15 × 28 = 32,20

32,20 –15 0,85 × 32,2 = 27,37

5. (OBM XXIII) Uma pêra tem cerca de 90% de água e 10% de matéria sólida. Um produtor coloca 100 quilogramasde pêra para desidratar até o ponto em que a água represente 60% da massa total. Quantos litros de água serãoevaporados? (lembre-se: 1 litro de água tem massa de 1 quilograma).a) 15 litros d) 80 litrosb) 45 litros e) 30 litrosc) 75 litros

6. Ao aumentarmos as arestas de um cubo em 20%, temos que o aumento de sua face, o aumento de sua área ex-terna, e o aumento de seu volume serão respectivamente:a) 30%, 40% e 50% d) 22%, 44% e 88,8%b) 20%, 40% e 60% e) 44%, 44% e 72,8%c) 40%, 40% e 80%

AULA 5

1. (OBM XXVI) O algarismo das unidades do número 1 × 3 × 5 × … × 97 × 99 é:a) 1 d) 7b) 3 e) 9c) 5

2. (OBM XXIV) A diferença entre os quadrados de dois números inteiros consecutivos é sempre:a) um número primo. d) um número par.b) um múltiplo de 3. e) um quadrado perfeito.c) igual à soma desses números.

3. (OBM XXIV) Quantos números inteiros positivos menores que 900 são múltiplos de 7 e terminam em 7?a) 10 d) 13b) 11 e) 14c) 12

4. (OBM XXVI) Qual é o maior valor da soma dos algarismos da soma dos algarismos de um número de três algarismos?a) 7 d) 10b) 8 e) 11c) 9

Algumas regras de divisibilidade podem auxiliar no cálculo e mostrar mais rapidamente as propriedades de um deter-minado número.

Para que um número seja divisível:por 2: o número deve ser parpor 3: a soma dos algarismos do número deve ser divisível por 3por 4: os dois últimos algarismos devem formar um número divisível por 4por 5: deve terminar com o algarismo 5 ou 0por 6: deve ser divisível por 2 e por 3por 7: seguimos o procedimento do exemplo: 23415 é divisível por 7,

— pois 2341 – (5 ⋅ 2) = 2331 e 233 – (1 ⋅ 2) = 231 e 23 – (1 ⋅ 2) = 21 e 21 é divisível por 7.por 8: os 3 últimos algarismos devem formar um número divisível por 8por 9: a soma dos algarismos deve ser divisível por 9por 10: deve terminar com o algarismo 0por 11: seguimos o procedimento do exemplo: 97167131702 não é divisível por 11,

— pois (2 + 7 + 3 + 7 + 1 + 9) – (0 + 1 + 1 + 6 + 7) = 14 que não é divisível por 11.

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SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 4 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

Exemplo ResolvidoA soma de todos os números ímpares de dois algarismos menos a soma de todos os números pares de dois alga-rismos é:a) 50 d) 49b) 46 e) 48c) 45

Uma solução possível:Temos 45 ímpares de dois algarismos: 11, 13, ..., 99 e temos 45 pares de dois algarismos: 10, 12, ... , 98. Como todosos ímpares são uma unidade maiores que os pares, teremos que a subtração dará 45. (Alternativa C)

1. (OBM XXVI) Ao somar cinco números consecutivos em sua calculadora, Esmeralda encontrou um número de 4algarismos: 200*. O último algarismo não está nítido, pois o visor da calculadora está arranhado, mas ela sabeque ele não é zero. Este algarismo só pode ser: a) 5 d) 2b) 4 e) 9c) 3

2. (OBM XXIV) O produto de um milhão de números naturais é igual a um milhão. Qual é o maior valor possívelpara a soma desses números? a) 1000000 d) 1999999b) 1250002 e) 13999432c) 1501999

3. (OBM XXIII) No conjunto {101, 1001, 10001, ..., 1000000000001} cada elemento é um número formado peloalgarismo 1 nas extremidades e por algarismos 0 entre eles. Alguns desses elementos são números primos eoutros são compostos. Sobre a quantidade de números compostos podemos afirmar que:a) é igual 11 d) é maior do que 4 e menor do que 11b) é igual a 4 e) é 3c) é menor do que 3

4. (OBM XXIII) Qual é o último algarismo da soma de 70 números inteiros positivos consecutivos?a) 4 d) 5b) 0 e) Faltam dadosc) 7

5. (OBM XXIII) O número N de três algarismos multiplicado por 7 deu como resultado um número que termina em 171.A soma dos algarismos de N é:a) 10 d) 13b) 11 e) 14c) 12

6. (OBM XXIII) Quantos dígitos tem o menor quadrado perfeito cujos quatro últimos dígitos são 2001?a) 9 d) 7b) 5 e) 8c) 6

7. (OBM XXI) Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que seja um número inteiro?

a) 5 d) 30b) 10 e) 40c) 20

8. (OBM XX) Qual é o dígito das unidades do número 31998?a) 1 d) 7b) 3 e) 9c) 5

xx

++

9919

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2008

9. (OBM XXIII) Contando-se os alunos de uma classe de 4 em 4 sobram 2, e contando-se de 5 em 5 sobra 1.Sabendo-se que 15 alunos são meninas e que nesta classe o número de meninas é maior que o número de meninos,o número de meninos nesta classe é:a) 7 d) 10b) 8 e) 11c) 9

AULA 6

1. (XXV OBM) Considere a seqüência oscilante:1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, ...

O 2003º- termo desta seqüência é:a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

2. (XXVIII OBM) O número de quadrados que podem ser construídos com vértices nos pontos da figura abaixo é:

a) 18 d) 20b) 14 e) 10c) 9

3. (XXIII OBM) Quantos números de dois algarismos não são primos nem múltiplos de 2, 3 ou 5?a) 1 d) 4b) 3 e) mais de 4c) 2

4. (XXIII OBM) Quantos números inteiros e positivos menores do que 1.000.000 existem cujos cubos terminam em 1?a) 1.000 d) 100.000b) 10.000 e) 500.000c) 50.000

O Princípio Aditivo e o Princípio Multiplicativo são muito úteis para a contagem. Se você quer comprar uma peça deroupa (calça ou camiseta) entre 10 tipos de calça e 15 tipos de camiseta, você têm 25 diferentes maneiras de fazer a com-pra. Já se você vai comprar uma calça e uma camiseta (duas peças de roupa), você tem 150 diferentes maneiras de fazera compra.

Exemplo Resolvido(OBMEP) Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que dispõe de três sabores: açaí, baunilhae cajá. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra?a) 6 d) 15b) 9 e) 18c) 12

Solução oficial:Vamos denotar cada sabor de sorvete pela sua letra inicial:a – açaí, b – baunilha, c – cajá

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ClasseEm

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 5 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 6 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

Para enumerar todas as possibilidades de compra do sorvete com quatro bolas, sevemos considerar os seguintescasos:• 4 bolas do mesmo sabor;• 3 bolas do mesmo sabor e 1 de sabor diferente;• 2 bolas de um mesmo sabor e 2 de outro sabor;• 2 bolas de um mesmo sabor e as outras 2 dos outros dois sabores.

Obtemos assim 15 modos de fazer a compra do sorvete:Aaaa bbbb cccc aaab aaac bbba bbbc ccca cccb aabb aacc bbcc aabc bbac ccab(Alternativa D)

1. (XXVI OBM) O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi montado com varetas, todas com comprimento igualao lado do hexágono. Quantas varetas, no mínimo, são necessárias para montar o arranjo?

a) 113 d) 132b) 123 e) 152c) 122

2. (XXVI OBM) Esmeralda, a digitadora, tentou digitar um número de seis algarismos, mas os dois algarismos 1 nãoapareceram (a tecla devia estar com defeito). O que apareceu foi 2004. Quantos são os números de seis algarismosque ela pode ter tentado digitar? a) 4 d) 15b) 8 e) 20c) 10

3. (XXV OBM) O dominó mais conhecido tem como maior peça o duplo 6. Neste dominó são empregadas 28 peçasdiferentes. Quantas peças tem o dominó cuja maior peça é o duplo 8?a) 34 d) 55b) 36 e) 45c) 42

4. (XXIV OBM) Escrevendo todos os números inteiros de 100 a 999, quantas vezes escrevemos o algarismo 5?a) 250 d) 280b) 270 e) 292c) 271

5. (XXIII OBM) Os números inteiros positivos de 1 a 1000 são escritos lado a lado, em ordem crescente, formando aseqüência 123456789101112131415... 9991000. Nesta seqüência, quantas vezes aparece o grupo “89” ?a) 98 d) 89b) 32 e) 21c) 22

6. (XXIII OBM) São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (taiscomo, 11, 121, 411, etc). A soma de todos estes números é:a) 6882 d) 7224b) 5994 e) 3448c) 4668

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