Matemática - Curso Anglo - n2 aulas7a9

AULA 7

1. (XXVI OBM) Na figura, quanto vale x? a) 6°b) 12°c) 18°d) 20°e) 24°

2. (XXII OBM) No triângulo ABC representado abaixo, a medida do ângulo C é 60° e a bissetriz do ângulo B forma70° com a altura relativa ao vértice A.

A medida do ângulo Â é:a) 50° d) 80°b) 30° e) 70°c) 40°

3. (XXIII OBM) O hexágono ABCDEF é circunscritível. Se AB = 1,BC = 2, CD = 3, DE = 4 e EF = 5, quanto mede FA?a) 1b) 3c) 15/8d) 6e) 9

4. (XXV OBM) No triângulo ABC, AB = 20, AC = 21 e BC = 29. Os pontos D e E sobre o lado BC são tais que BD = 8 e EC = 9. A medida do ângulo DÂE, em graus, é igual a:a) 30 d) 60b) 40 e) 75c) 45

B A

C

3x

4x

5x

2x6x

ClasseEm

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008

www.cursoanglo.com.br2008

N • Í • V • E • L 2

Treinamento paraOlimpíadas de

Matemática

A

F

E

D

C

B1

?

54

3

2

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

Triângulos são polígonos de 3 lados. Se dois desses três lados tiverem a mesma medida, o triângulo é isósceles e osângulos opostos a esses lados também terão a mesma medida.

A soma dos ângulos num triângulo é 180°. Todo polígono convexo pode ser dividido em triângulos, e esse procedi-mento facilita consideralvemente alguns exercícios.

• Um quadrilátero pode ser dividido em, pelo menos, 2 triângulos; a soma dos ângulos internos de um quadrilá-tero é 2 ⋅ 180° = 360°.

• Um pentágono pode ser dividido em, pelo menos, 3 triângulos; a soma dos ângulos internos de um pentágono é3 ⋅ 180° = 540°.

• Um polígono de n lados pode ser dividido em, pelo menos, n – 2 triângulos; a soma dos ângulos internos de umpolígono é S = (n – 2) ⋅⋅ 180°.

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é 360°.Dado um ponto externo a uma circunferência, dizemos que os segmentos PA e PB são tangentes a circunferência e

os triângulos PAO e PBO são congruentes.

Exemplo Resolvido(XXIII OBM) Dado um triângulo ABC onde A= 80° e C = 40°, a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizesdos ângulos A e B é:a) 40° d) 80°b) 60° e) 110°c) 70°

Uma solução possívelSendo B a medida do ângulo do vértice B do triângulo ABC, temos B = 180° – 80° – 40° = 60° e I o ponto de en-contro das bissetrizes dos ângulos A e B, temos, no triângulo ABI, que os ângulos ABI e BAI medem, 30° e 40°, res-pectivamente. Assim, o ângulo AIB mede 180° – 30° – 40° = 110° e o ângulo externo, 180° – 110° = 70°. Logo, oângulo agudo formado pelas bissetrizes mede 70°. (Alternativa C)

1. (XXIII OBM) ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior. O ângulo FCD mede:a) 38° d) 44°b) 40° e) 46°c) 42°

2. (XXIII OBM) O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do triângulo ABCde 90° no sentido anti-horário ao redor de C, conforme mostrado no desenhoao lado. Podemos afirmar que α é igual a:a) 75°b) 65°c) 70°d) 45°e) 55°

CasaEm

A

O

B

P PA = PB

RelacionadosConceitos

2008

40°

60°

A C

B

D

α

E

3. (XXII OBM) DEFG é um quadrado no exterior do pentágono regular ABCDE. Quanto mede o ângulo EÂF?a) 9° d) 18°b) 12° e) 21°c) 15°

4. Na figura, quanto vale x? a) α + β + γb) 2αc) 2α + βd) α + 2β + γe) β + 2γ

5. Na figura abaixo, a soma de A + B + C + D + E, em graus, é igual a:a) 90 b) 180c) 360d) 270e) 135

AULA 8

1. Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.Se AD = y, AB = x, BC = p e EC = m, temos necessariamente:

a)

b)

c) xy = pmd) x2 + y2 = p2 + m2

e)

2. (XXI OBM) No trapézio abaixo, têm-se: AB paralelo a CD, AD = 10 cm e CD = 15 cm. O ângulo C mede 75º e o ân-gulo D, 30º. Quanto mede o lado AB, em centímetros?a) 5b) 7,5c) 10d) 12,5

e)

3. (XXVI OBM) No triângulo PQR, a altura PF divide o lado QR em dois segmentos de medidas QF = 9 e RF = 5. Se PR = 13, qual é a medida de PQ?a) 5 d) 20b) 10 e) 25c) 15

5 3

1 1 1 1x y m p

+ = +

xy

mp

=

xy

pm

=

ClasseEm

E

DA

CB

x

γ

α β


A CB

D E

m

px

y

A B

D C


Dois triângulos são ditos semelhantes se:

∆ABC ~ ∆DEF

k : razão de semelhança

Se k = 1, então AB = DE, BC = EF, AC = DF e os triângulos são chamados congruentes.Se k é uma razão de semelhança entre os segmentos dos triângulos, então k2 será uma razão de semelhança entre

as áreas desses triângulos. Se um triângulo possui lados 50% menores que um outro (k = 0,5), então a área do primeirotriângulo será 25% da área do triângulo maior (k2 = 0,25).

No triângulo retângulo, temos:

• a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras)

•

•

•

Para os ângulos de 30°, 45° e 60°, temos os valores notáveis:

As relações trigonométricas num triângulo retângulo relacionam os lados do triângulo com os ângulos internos de umtriângulo. Elas são importantes, por exemplo, para se ter idéia de inclinação de uma rampa : se um automóvel comum (com-primento 4 metros) inclinar 30º, significa que a frente do carro estaria a 2 metros de altura, praticamente impossível!

tgbc

α =

cosca

α =

senba

α =

a b

cα

ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆA D B E e C FABDE

BCEF

ACDF

k

= = =

= = =

A

B C E F

D


2008

Ângulo Seno Co-seno Tangente

30º

45º 1

60º 3

12

32

22

22

33

32

12

14

24

3

1. (XXVI OBM) Dois espelhos formam um ângulo de 30° no ponto V. Um raio de luz, vindo de uma fonte S, é emi-tido paralelamente a um dos espelhos e é refletido pelo outro espelho no ponto A, como mostra a figura. Depoisde uma certa quantidade de reflexões, o raio retorna a S. Se AS e AV têm 1 metro de comprimento, a distânciapercorrida pelo raio de luz, em metros, é

a) 2

b)

c)

d)

e)

2. (XXIII OBM) Uma mesa retangular, cujos pés têm rodas, deve ser empurrada por um corredor de largura cons-tante, que forma um ângulo reto.Se as dimensões da mesa são a e b (com 2a � b), qual deve ser a largura mínima do corredor para que a mesapossa ser empurrada através dele?

a) a + b

b)

c)

d)

e)

3. Na figura ao lado, o valor de x é: a) 20b) 30c) 25d) 15e) 10

AULA 9

1. (XXVI OBM) O perímetro de um retângulo é 100 e a diagonal mede x. Qual é a área do retângulo?

a) 625 – x2 d)

b) e)

c) 12502

2–

x

25002

2–

x625

2

2–

x

2502

2–

x

ClasseEm

60°30°

40 x

( )a b+ 22

4

( )22

4a b+

( )a b+ 24

( )a b+ 22

a

b

5 3

2 1 3( )+

1 2 3+ +

2 3+AS

30°V

CasaEm



2. (XXII OBM) Se a área do retângulo dado é 12, qual é a área da figura sombreada?

a) 3 d) 6b) 4 e) 8c) 5

3. (XXVI OBM) No desenho ao lado, o quadrilátero ABCD é um quadrado delado 3cm e os triângulos ABF e AED são ambos equiláteros. Qual é a áreada região destacada?

a) 2cm2

b) 1,5cm2

c) 3cm2

d) 4,5cm2

e) 2,5cm2

4. (XXV OBM) A figura a seguir mostra um quadrado ABCD e um triângulo eqüilátero BEF, ambos com lado de me-dida 1cm . Os pontos A, B e E são colineares, assim como os pontos A, G e F.

A área do triângulo BFG é, em cm2:

a)

b)

c)

d)

e)

5. (XXVII OBM) Na figura, todas as circunferências menores têm o mesmo raio r e os centros das circunferênciasque tocam a circunferência maior são vértices de um quadrado. Sejam a e b as áreas cinzas indicadas na figura.

Então a razão é igual a:

a)

b)

c) 1

d)

e) 2

As áreas são números positivos que medem superfícies. Duas figuras de mesma área são chamadas equiva-lentes. Às vezes, melhor que determinar a área, também é válido descobrir figuras equivalentes nos exercícios.


32

23

12

a

b

ab

310

312

34

13

14

A B E

F

G

CD

2008

A

B

C

DF

E

Exemplos Resolvidos1. Com dois triângulos eqüiláteros, ambos de área 180cm2, podemos formar um hexagrama regular, como mostrado

na figura.

A área, em cm2, desse hexagrama é:a) 200 d) 280b) 180 e) 360c) 240

Uma solução possívelProlongando os lados na parte interna do hexagrama, temos que o hexagrama é formado por 12 triângulos de mesmaárea S. Ainda, do enunciado, um triângulo eqüilátero é formado por 9 triângulos de área S. Assim:

9 S 180cm2

12 S X cm2 logo X = 240cm2. (Alternativa C)

2. (OBMEP) A figura é composta de triângulos retângulos isósceles todos iguais. Qual é a área em cm2, da parte som-breada?

a) 20 d) 45b) 35 e) 50c) 40

Uma solução possívelO comprimento da hipotenusa de cada um dos 5 triângulos é 30 ÷ 5 = 6cm. O quadrado formado por 4 dessestriângulos tem lado igual a 6cm, logo sua área é 36cm2. Logo, cada um dos triângulos tem 36 ÷ 4 = 9cm2 de área.Portanto, a área da parte sombreada é 9 × 5 = 45cm2.

Outra solução

Pelo teorema de Pitágoras, temos 62 = x2 + x2 ∴ x2 = 18. A área da parte sombreada é

(Alternativa D)

1. (XXVII OBM) O desenho ao lado mostra um pedaço de papelão que serádobrado e colado nas bordas para formar uma caixa retangular. Os ângulos noscantos do papelão são todos retos. Qual será o volume da caixa, em cm3?a) 1500b) 3000c) 4500d) 6000e) 12000

CasaEm

xx

6

52

52

18 452 2x cm= ⋅ = .

30cm


20 cm

15 cm

40 cm


2. (XXI OBM) O quadrilátero ABCD é um quadrado de área 4m2. Os pontosM e N estão no meio dos lados a que pertencem. Podemos afirmar que aárea do triângulo em destaque é, em m2:a) 2 d) 3b) 1,5 e) 3,5c) 2,5

3. (XXII OBM) Na figura, as distâncias entre dois pontos horizontais consecu-tivos e as distâncias entre dois pontos verticais consecutivos são iguais a 1.A região comum ao triângulo e ao quadrado tem área:

a) d)

b) e)

c)

4. (XXVII OBM) Seis retângulos idênticos são reunidos para formar um retângulo maior conforme indicado na figura. Qualé a área deste retângulo maior?

a) 210cm2 d) 504cm2

b) 280cm2 e) 588cm2

c) 430cm2

5. (XXVI OBM) Uma folha quadrada foi cortada em 42 quadrados menores, dos quais um tem área maior do que 1cm2 eos demais têm área de 1cm2. Qual é a medida do lado da folha?a) 6cm d) 19cmb) 12cm e) 20cmc) 21cm

21 cm

89

1415

1516

1112

910

2008

A B

N

M CD

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