AULAS 13 a 15

Seqüências e Indução

• Uma sequência real infinita (an)n ∈ IN* é uma função f: IN* → IR. Obs.: an denota f(n).

• Com n ∈ IN*, uma sequência real finita (an)1, n é uma função f : {1, 2, ..., n} → IR.

• Com n ∈ IN, n � 2, Sn denota a soma dos primeiros n termos da sequência e, em particular, S1 = a1.

• Com n ∈ IN, n � 2, Pn denota o produto dos primeiros n termos da sequência e, em particular, P1 = a1.

• Uma sequência é uma progressão aritmética (PA) se, e somente se, existe uma constante r, tal que cada termo an, apartir do segundo, é a soma do seu antecessor an – 1 com r; isto é, an = an – 1 + r. A constante r é chamada de razãoda PA.

• Sendo (an) uma PA, temos:an = a1 + (n – 1)ran = ap + (n – p)r, com p ∈ IN* e, se a PA é finita, com p � n.

a1 + an = ap + an – p + 1, com 1 � p � n. (termos equidistantes)

• Uma sequência é uma progressão geométrica (PG) se, e somente se, existe uma constante q, tal que cada termoan, a partir do segundo, é o produto do seu antecessor an – 1 por q; isto é, an = an – 1 ⋅ q. A constante q é chamadade razão da PG.

• Sendo (an) uma PG de razão q, q ≠ 0, temos:

an = a1 ⋅ qn – 1

an = ap ⋅ qn – p, com p ∈ IN* e, se a PG é finita, com p � n.

a1 ⋅ an = ap ⋅ an – p + 1, com 1 � p � n. (termos equidistantes)

(Pn)2 = (a1an)n

Pn = (a1)n ⋅ qs, em que

Com q ≠ 1, e, com q = 1, Sn = n ⋅ a1

Com –1 � q � 1, a série (Sn) converge para S aq

=−

⋅11

1

S aqqn

n= −

−111

sn n= −( )1

2

S

a a nn

n=+( )1

2

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ClasseEm

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008

www.cursoanglo.com.br2008

N • Í • V • E • L 3

Treinamento paraOlimpíadas de

Matemática

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

Exercícios1. Quantos termos da progressão aritmética (13, 16, ...) são menores que 2009?

a) 663 d) 666b) 664 e) 667c) 665

2. Considere a sequência finita (a1, a2, a3, ..., a2008), em que a1 = 17 e, para n � 2008,

an + 1 = . Quantos termos dessa sequência são iguais a 1?

a) 1 d) 666b) 3 e) 667c) 665

3. Se, na sequência (a1, a2, a3, ...), a1 = 1, a2 = 1 e, para todo n, n � 3, an = an – 1 – an – 2, então a2008 é igual a:

a) –1 d) 2007b) 0 e) 2009c) 1

4. A sequência de Fibonacci (Fn)n n ∈ IN* é tal que F1 = 1, F2 = 1 e, para todo n, n � 3, Fn = Fn – 1 + Fn – 2. Dado que

x2 = x + 1, podemos concluir que x2008 = ax + b, em que as constantes a e b são, nessa ordem, iguais a:a) F2007 e F2008 d) F2009 e F2007b) F2007 e F2009 e) F2008 e F2007c) F2009 e F2008

5. Se então é:

a) 16 d) 3b) 8 e) 2c) 4

1. Na figura, temos 60 roseiras numa linha reta com um poço d'água. A distância entre cada duas roseiras maispróximas é de 1m.

O aposentado Rui do Rego Rosas, de bem com a vida, enche um balde no poço, rega cuidadosamente as ro-seiras R1, R2 e R3 e volta ao poço. Aí, ele enche o balde e rega as próximas três roseiras R4, R5 e R6, para voltar aopoço. E, assim, ele prossegue, regando, cada vez, as próximas três roseiras. Após regar as roseiras R58, R59 e R60,ele volta ao poço para guardar o balde. Quantos metros ele anda nessa tarefa?a) 730 d) 1460b) 820 e) 1480c) 1400

poço

6 m1 m

1 m1 m

R1 R2 R3R60

1 m

CasaEm

AB

11

22

34 2

11

12

14

1

21 1+ + + … + + … = + + + … + + … =

− −n

A e Bn n

,

3an + 1, se an é ímparan , se an é par2

2008

2. Se x, –1 � x � 1, é tal que 1 – x + x2 – x3 + ... + (–1)nxn – 1 + ... = 2008, então 2008x é:

a) –2007 d) 2006b) –2006 e) 2007c) 1

3. Se x, –1 � x � 1, é tal que 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... + nxn – 1 + ... = 9, então x é:

a) d)

b) e)

c)

4. Se x, –1 � x � 1, então 1 – 2x + 3x2 – 4x3 + ... + (–1)nnxn – 1 + ... é igual a:

a) d)

b) e)

c)

5. 12 – 22 + 32 – 42 + ... + (2n – 1)2 – (2n)2 + ... + 20072 – 20082 é igual a:a) –2.017.036 d) –2.170.036b) –2.071.036 e) –2.170.360c) –2.071.063

6. Se a soma dos primeiros n termos da sequência (a1, a2, ..., an, ...) é dada por 2n + n2, para todo n, n � 2, entãoa8 + a9 + a10 é igual a:

a) 945 d) 951b) 947 e) 953c) 949

7. Se, na sequência (a1, a2, ..., an, ...), a1 = 1 e, para todo n, n � 2, an = an – 1 + 2n – 1, então a2008 é igual a:

a) 2008 d) 20092

b) 20082 e) (2008)(2009)c) 2009

8. é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

10042009

20082009

20072009

20092008

20092007

11 3

13 5

15 7

12 1 2 1

12007 2009⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ + + … +− +

+ … +( )( )n n

1

1 2( )− x

1

1 2x x( )+

−

+

1

1 2( )x

−

−

1

1 2( )x

1

1 2( )+ x

23

19

−13

−23

13

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 3 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 4 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

9. Se, na sequência (a1, a2, a3, ...), para todo n, n � 3, an = an – 1 – an – 2, então a2007 + a2010 é:

a) –a2b) –a1c) 0d) a1e) a2

10. Seja A um conjunto com as seguintes propriedades:P1: Se x ∈ A, então (2x) ∈ A;P2: Se x ∈ A, então (x – 2) ∈ A;P3: 7 ∈ APodemos afirmar que:a) 2007 ∈ Ab) 2008 ∈ Ac) 2009 ∉ Ad) 2006 ∉ Ae) 1 ∉ A

2008