Matematica discreta fasciculo_1_v7

Universidade Federal Rural de Pernambuco

Reitor: Prof. Valmar Corrêa de AndradeVice-Reitor: Prof. Reginaldo BarrosPró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos CarvalhoPró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti SiepierskiPró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José FreirePró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo FerreiraPró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de SenaCoordenação de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos

Produção Gráfica e EditorialCapa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Aline Luciana Fidelis e Alesanco AndradeRevisão Ortográfica: Ivanda MartinsIlustrações: Allyson Vila Nova e Diego AlmeidaCoordenação de Produção: Marizete Silva Santos

Sumário

Plano da Disciplina ......................................................................................6

Ementa .................................................................................................. 6

Objetivo Geral........................................................................................ 6

Objetivos Específicos ............................................................................6

Conteúdo Programático.........................................................................6

Referências ........................................................................................... 7

Apresentação ...............................................................................................8

Capítulo 1 - Conjuntos: uma breve revisão. .............................................. 9

1.1 Definições. ....................................................................................... 9

Capítulo 2 - Álgebra de Conjuntos: como operar com conjuntos? ...... 18

2.1 Operações entre conjuntos. ...............................................................18

2.2 Partição de um conjunto ....................................................................28

2.3. Cardinal da união e da interseção. .................................................29

2.4. Produto Cartesiano. ..........................................................................35

2.5 Produto Cartesiano de k conjuntos ....................................................37

2.6. Identidades de conjuntos. .................................................................38

Capítulo 3 - Introdução à Lógica Matemática .......................................... 43

3.1 Proposições compostas. ....................................................................44

3.2 Tautologias e Contradições ...............................................................51

3.3 Negação de conjunção e de disjunção .............................................53

3.4 Álgebra das proposições. ..................................................................54

3.5 Funções proposicionais. Quantificadores. .........................................59

3.5.1 Quantificadores. .........................................................................59

3.5.2 Negação de sentenças quantificadas ........................................ 60

Capítulo 4 - Portas Lógicas .......................................................................65

4.1 Porta Not (Não) ..................................................................................65

4.2 Porta Or (Ou) ....................................................................................66

4.3 Porta And (E) .....................................................................................67

4.4. Porta Nand e Porta Nor. ...................................................................68

4.5. Portas XOR e XNOR ........................................................................68

4.6 Portas Lógicas Equivalentes .............................................................69

4.7 Propriedades das Portas Lógicas. .....................................................69

Plano da Disciplina

Ementa

Conjuntos. Introdução à Lógica Matemática. Portas Lógicas. Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações. Funções. Recursão. Técnicas de provas. Indução Matemática.

Objetivo Geral

O objetivo geral é abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que realizam interface com o curso de Sistema de Informação, visando dar a base para a compreensão de conceitos de estruturas de dados, bem como, para dar suporte na construção de algoritmos em seus diferentes níveis de complexidade.

Objetivos Específicos

• Aprender a encontrar modelos matemáticos que representem certos problemas concretos (noções de modelagem matemática), em especial quando estes se referem a situações práticas

• Familiarizar-se com a escrita matemática formal e a linguagem computacional

• Representar fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica

• Conhecer técnicas de resolução de problemas

• Desenvolver a capacidade de raciocínio abstrato (lógico-matemático).

Conteúdo Programático

Módulo 1 – Fascículo 1

Carga horária do Módulo 1: 20 h

• Conjuntos.

• Introdução à Lógica Matemática.

• Portas Lógicas.


Carga horária do Módulo 2: 20 h

Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações


Carga horária do Módulo 3:

• Funções.

• Recursão. Técnicas de provas.

• Indução Matemática.

Referências

GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Lorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

Livros de referência:

ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997

ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995.

ROSS, Kenneth A; WRIGHT, Charles R. B. Discrete Mathematics. Prentice Hall, 1999.

TRUSS, J. K. Discrete mathematics for computer scientist. Addison Wesley. 1999.

LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004

Apresentação

Caro (a) cursista,

A importância da Matemática Discreta nos Cursos de Computação e Informática é destacada nas Diretrizes Curriculares do MEC ao se afirmar que “A Matemática, para a área de computação, deve ser vista como uma ferramenta a ser usada na definição formal de conceitos computacionais (linguagens, autômatos, métodos, etc)”. E ainda: “Considerando que a maioria dos conceitos computacionais pertence ao domínio discreto, a Matemática Discreta é fortemente empregada”.

A Matemática Discreta dá ênfase aos temas, matemáticos tomando por base os conjuntos contáveis, finitos ou infinitos. A Matemática do Continuum, ao contrário da Matemática Discreta, enfatiza os temas matemáticos baseados em conjuntos não- contáveis, como o conjunto dos números reais, em disciplinas como o Cálculo Diferencial e Integral.

Iremos abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que realizam interface com os cursos das áreas relacionadas à informática. Para tanto, o material será apresentado em fascículos que tratarão de maneira sistemática os seguintes assuntos: Conjuntos, Operações com conjuntos, Introdução à Lógica Matemática, Portas lógicas, Somas, Matrizes, Princípios de Contagem, Relações, Funções, Recursão, Técnicas de Provas e Princípio de Indução Finita.

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Matemática Discreta

Capítulo 1 - Conjuntos: uma breve revisão.

A idéia de conjuntos é largamente utilizada em Computação e Informática, tendo em vista que, praticamente todos os conceitos dessas áreas, bem como os resultados correspondentes, são baseados em conjuntos ou as construções sobre conjuntos. Por isso, que tal fazermos uma revisão dos principais elementos da teoria dos conjuntos?

1.1 Definições.

Conjuntos são geralmente designados por letras maiúsculas e reservam-se as letras minúsculas para representar os seus elementos.

A expressão x∈A significa que x é elemento do conjunto A. Se x não

é elemento do conjunto A, escrevemos x∉A.

Várias maneiras podem ser usadas para descrever um conjunto. Entre elas, destacamos as seguintes:

• Listando seus elementos, isto é, nomeando explicitamente todos os seus elementos, colocando-os entre chaves e separados por vírgula.

Exemplo: A = { a, e, i, o, u }, B = { a, b, c, d }.

• Definindo uma propriedade de seus elementos. Em geral escrevemos {x : P(x) }, isto é, o conjunto dos x tal que x tem a propriedade P.

Exemplo A = { x : x é uma letra vogal do alfabeto português}, B = { x : x é uma das quatro primeiras letras minúsculas do alfabeto português }.

• Por meio de um Diagrama de Venn1 (1834 -1923): O conjunto constituído por todos os elementos sob consideração numa

Acesse

1. http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Historia/venn.htm

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determinada situação é denominado conjunto universo U e será, em geral, representado por um retângulo. Dentro do retângulo, círculos (ou outras figuras geométricas) representam conjuntos. Dentro dos círculos são colocados os elementos desses conjuntos.

Por exemplo: Considere o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} e os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5, 9} e B = {2, 4, 6, 7, 8 }

A idéia de conjunto universo U estará sempre presente mesmo quando não seja explicitamente mencionado num determinado problema ou situação. Em Matemática, há conjuntos que constituem muito freqüentemente os universos do discurso, sendo conveniente indicar nomes para eles. Entre os mais importantes, destacaremos:

• N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } é o conjunto dos números naturais.

(Perceba que 0 ∈ N)

• N*= { 1, 2, 3, 4, 5, ... }é o conjunto dos números naturais positivos.

• Z = { x : x é um número inteiro } = { ..., -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, 3, ...}

• Q = { x : x é um número racional } é o conjunto de todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração.

• R = { x : x é um número real }

• I = { x : x é um número irracional) é o conjunto dos números reais não racionais, isto é, não podem ser escritos sob a forma de fração.

Conjunto vazio é o conjunto sem elementos, pode ser

representado pelos símbolos ∅ ou { }

Exemplo: A = { x ∈ N : 1 < x < 2 } é uma conjunto vazio, pois não existe número natural entre 1 e 2.

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Exemplo: B = { x ∈ Z : x2 = 3 } também é um conjunto vazio. Você sabe por quê? Existe número inteiro cujo quadrado seja igual a 3?

Conjuntos iguais. Dois conjuntos são iguais se e somente se

contém os mesmos elementos. Por exemplo: Os conjuntos A = {x∈ Z : x2 = 4 } e B = { -2, 2} são iguais.

Subconjunto. Um conjunto A é subconjunto do conjunto B se todo elemento do conjunto A é também elemento de B. Usamos a notação A ⊆ B para denotar que A é subconjunto de B e lemos “A está contido em B”.

Por exemplo, A = {1,2} é subconjunto de B = {1, 2,3} mas não é subconjunto de C = {1,3,4}.

Agora, vamos lembrar algumas conclusões relacionas a subconjunto.

Observação 1. De acordo com a definição de subconjunto, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A, isto é, ∅ ⊆ A. Isso parece estranho a você? Mas, existe algum elemento no conjunto ∅ que não esteja no conjunto A? A sua resposta foi não! Logo, o conjunto vazio é subconjunto do conjunto A.

Também dizemos que A ⊆ A, qualquer que seja o conjunto A. Isso é verdade, pois todo elemento de A, é elemento de A.

Observação 2. Se A ≠ B e A é subconjunto de B, escrevemos A ⊂ B para dizer que A é subconjunto próprio de B. Por exemplo, {1,2,3} é subconjunto próprio de {1,2,3,4,5}.

Temos também que N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R. Veja a figura a seguir.

Observação 3. Se A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ C.

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Exemplo: {1, b} ⊂ { 1, 2, b, c } ⊂ { 1, 2, 3, a, b, c }.

Exemplo: A figura da observação 2 mostra que N ⊂ Z e Z ⊂ R então N ⊂ R.

Observação 4. Para provarmos que A ⊆ B teremos que

provar que, dado x ∈ A então x ∈ B.

Cardinal. Se A um conjunto com exatamente n elementos, tal que n é um inteiro não negativo, dizemos que A é um conjunto finito e que o cardinal de A é n. Assim, o cardinal de um conjunto A, denotado por #A é o número de elementos do conjunto A. Desse

modo, se A = { x ∈ Z : 3 ≤ x ≤ 7 } então #A = 5. É claro que #∅ = 0.

Observe que um conjunto A é finito se podemos estabelecer uma correspondência entre seus elementos e os elementos de um conjunto da forma {1, 2, 3, ..., n} onde n é o cardinal de A. Por exemplo, A = { a, b, c, d, e } é finito pois, podemos estabelecer a seguinte correspondência entre seus elementos e os elementos do conjunto { 1, 2, 3, 4, 5 }:

a 1, b 2, c 3, d 4, e 5. Você então conclui que o cardinal do conjunto A é 5.

Conjunto infinito. Um conjunto A é infinito se não é finito. Por exemplo, os conjuntos N, Z, Q e R são conjuntos infinitos. Você

concorda com a afirmação de que o conjunto A = {x∈R : 0 < x < 1}é infinito?

Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto constituído por todos os subconjuntos de A e será denotado por P(A). Exemplo,

se A = {a, b} então P(A) = { ∅, {a}, {b}, {a,b} }. O cardinal de P(A) é o número de subconjuntos de A. Assim #P(A) = 4.

Agora, escreva o conjunto das partes do conjunto A = {x, y, z}. Quantos são os subconjuntos de A? O lembrete ao lado dá uma dica.

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Nesse caso #A = 3, #P(a)=2³=8.

Aprenda Praticando - Exercício Proposto 1.1

Demonstre que você entendeu bem os assuntos dessa seção, resolvendo os exercícios propostos. As respostas dos exercícios são apresentadas logo a seguir. Se tiver dúvidas, procure saná-las com professores e tutores da disciplina.

1) Considere N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Liste os elementos de cada um dos seguintes conjuntos:

a) {n ∈ N : n é divisível por 3}

b) {x : x = 2n-1 , n ∈ N*}

c) {x : x = 2y +1 : y∈N e y < 8 }

d) {x = 2n : n ∈ N }

e) {x : x =1/n : n ∈ N* e n < 6}

f) {n ∈ N* : n + 1 é primo}

2. Liste os elementos dos seguintes conjuntos e informe que conjuntos são vazios.

a) { n ∈ N : n2 = 9 }

b) { n ∈ Z : n2 = 9 }

c) { x ∈ R : x2 = 9 }

d) { n ∈ N : 3 < n < 7 }

e) { n ∈ Z : | n | < 7 }

f) { x ∈ R : x2 ≤ 0 }

g) { n ∈ N : n2 = 3 }

h) { x ∈ Q : x2 = 3 }

Atenção

De um modo geral se #A= n então #P(A) = 2n.

Atenção

Um número natural

n ∈ N, n >1 é primo se os seus únicos divisores são 1 e n.

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i ) {x ∈ R: x2 = -4 }

j) { n ∈ N : n é primo e n ≤ 15 }

3. Determine o cardinal dos seguintes conjuntos:

a) A = { x : x = 2n + 1, 3 ≤ n ≤ 6, n ∈ N }

b) B = { y = -x +1, -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z }

c) C = { y = x2 +1, -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z }

4. Se A = { x∈Z : 4 divide x } e B = { x∈Z : 2 divide x } . A é subconjunto próprio de B ?

5. Relacione todos os subconjuntos X do conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } tais que #X = 2.

6. Represente os conjuntos abaixo indicados por uma propriedade características de seus elementos:

A = { -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6 } B = { 13, 11, 9, 7, 5 }

C = { 2, 6, 10, 14, ..., 42 }.

7. Sejam X = { 1, 2, 3 }, Y = { 2, 3, 4 } e Z = { 2 } . Encontre o maior conjunto W satisfazendo as seguintes condições W ⊂ X , W ⊂ Y e Z ⊂ W . Faça diagramas de Venn.

8. Dados os conjuntos A = { um , dois }, B = { dois, tres, quatro } e C = { um , quatro } identifique o menor conjunto D tal que A ⊂ D , B ⊂ D e C ⊂ D. Faça diagramas de Venn.

9. Suponha que A ⊂ B , B ⊂ C , 1∉A , 2∉B , 3∉C . Quais das afirmações abaixo sempre são verdadeiras?

a) 1 ∈ B. b) 2∉ A c) 3 ∉ A

10. Seja A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Nomear os elementos dos seguintes conjuntos:

a) B = { x ∈ A : x é par }

b) C = { x∈A : x é múltiplo de 3 }

c) D = { x ∈ A : x + 1 < 6 }

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d) E = { x ∈ A : x < 10 }

e) F = { x ∈ A : x + 3 ∉ A }.

11. Dizer quais dos seguintes conjuntos são infinitos:

a) O conjunto das retas do plano que são paralelas ao eixo dos x.

b) O conjunto das palavras com duas letras do alfabeto português.

c) O conjunto dos múltiplos de cinco.

d) O conjunto dos animais existentes na Terra.

e) O conjunto das frações qp onde p, q ∈ { 1, 2, 3, 4, ..., 10 }

12. Represente os seguintes conjuntos por meio de uma propriedade comum aos seus elementos:

a) A = { 4, 8, 12, 16, 20, ....}

b) B = { 4, 8, 12, .... 204}

c) C = { 7, 17, 27, 37, .....}

d) D = { 7, 17, 27, 37, .....207}

e) E = {300, 301, 302, ....., 399, 400}

f) F = { 1, 4, 9 , 16, 25, .....}

g) G = { 1, ½, ¼, 1/8, 1/16,..., 1/1024}

13. Partindo das premissas:

(1) Todo repórter é esperto.

(2) Todo repórter é formado em Jornalismo.

(3) Jamil é esperto.

(4) Adelaide é jornalista.

Pode-se concluir que

a) Adelaide é esperta?

b) Jamil é repórter?

c) Há jornalistas espertos?

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Respostas dos exercícios 1.1

Aqui você poderá conferir as suas respostas. Caso elas não correspondam às apresentadas abaixo, converse com seus colegas sobre os exercícios, releia os conteúdos da seção e descubra o motivo da divergência. Lembre-se que os tutores podem ajudá-lo. Consulte-os!

1. a) {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} b) {1, 3, 5, 7, 9, ...}

c) { 1, 3, 5, 7, 9, ..., 15} d) {0, 2, 4, 8, 16, 32,..}

e) {1, ½, 1/3, ¼, 1/5 } f) { 1, 2, 4, 6, 10, 12, ... }

2. a) { 3 } b) { -3, 3 } c) { -3, 3 } d) (4, 5, 6 }

e) { -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } f) { 0 }

g) ∅ h) ∅ i) ∅

3. a) #A = 4 b) #B = 5 c) #C = 3

4. sim

5. {1, 2} , { 1, 3 } , { 1, 4} , { 2, 3 }, {2, 4} , { 3, 4 }

6. A = {x : x = 2y, y ∈ Z, -3 ≤ y ≤ 3 }

B = { x: x = 2y + 1, y ∈ N, 2 ≤ y ≤ 6 }

C = { x : x = 2 + 4n , n ∈ N n ≤ 10 }

7. W = {2,3}

8. D = { um, dois, três, quatro }

9. b) e c)

10. B = {2, 4, 6, 8 } C = { 3, 6, 9} D = { 1, 2, 3, 4 }

E = A F = { 7, 8, 9 }

11. a) e c)

12. A = {x : x = 4n, n∈N* }, B = { x : x = 4n, n∈N*, n ≤ 51 },

C = { x : x = 7 +10n, n∈N } D = { x : x = 7 +10n, n∈N, n ≤ 20}

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E = {x : 300 ≤ x ≤ 400, x∈ Z} F = {x : x = n2, n∈ N}

G = {x ; x = 2

1n

, n∈ N, n ≤10.

13. c.

Saiba Mais

Caro (a) cursista. Aprofunde os conhecimentos sobre conjuntos, consultando os seguintes livros:

ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997.


GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004.


Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

Atenção

A Matemática é uma disciplina de natureza cumulativa. É importante dominar bem seus fundamentos antes de passar para tópicos mais avançados.

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Capítulo 2 - Álgebra de Conjuntos: como operar com conjuntos?

Nesta parte do fascículo, estudaremos a Álgebra de Conjuntos, conteúdo da Matemática que trata das operações definidas sobre todos os conjuntos. Voltaremos a fazer uso dos diagramas de Venn, na ilustração das operações entre conjuntos envolvendo a união, interseção, diferença entre outras. Vamos começar?

2.1 Operações entre conjuntos.

União de Conjuntos: Se A e B são dois conjuntos então A∪B é o conjunto constituído pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos.

A ∪ B = { x : x ∈ A ou x ∈ B }

Interseção de Conjuntos: Se A e B são 2 conjuntos, então o conjunto A ∩ B denota a interseção de A e B, constituído pelos elementos que pertencem a A e a B.

A∩B = { x : x∈A e x∈B }

Complementar. Seja U o conjunto universo e A um subconjunto de U. Chama-se complementar de A em relação ao conjunto U ao

conjunto A dos elementos de U que não pertencem a A.

A = { x∈U : x∉A }

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Diferença: Se A e B são conjuntos então A – B denota o conjunto dos elementos de A que não estão em B.

A – B = { x: x∈A e x∉B }

Diferença Simétrica: Se A e B são conjuntos então A⊕B ou A∆B denota o conjunto dos elementos que estão em A ou em B, mas não em ambos. O símbolo ⊕ representa o ou exclusivo.

A⊕B = { x: x∈(A-B) ou x∈(B-A) } A⊕B = (A∩ B ) ∪ ( A ∩B)

Exemplo 2.1.1 Aqui, apresentamos exemplos de todas as operações definidas acima. Confira os resultados.

A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}

A ∩ B = { 6, 8 }

Atenção

A se escreve também A’

Atenção

A – B pode ser escrito assim:

A ∩ B

Atenção

A ⊕ B pode ser escrito assim: A ∆ B

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A – B = { 1, 2, 3, 4 }

B – A = { 5, 7, 9 }

A = { 5, 7, 9 10, 11, 12}

B = { 1,2,3, 4, 10, 11, 12}

A ⊕ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

Tabela de pertinência das operações entre conjuntos: Para construirmos a tabela de pertinência de um conjunto, procedemos como segue. Se x∈X, indicamos o fato pondo 1 (verdadeiro) na coluna do conjunto X. Se x∉X, indicamos o fato pondo 0 (falso) na coluna do conjunto X.

Por exemplo, em relação à união de dois conjuntos A∪B, existem quatro situações distintas indicadas nas quatro linhas da tabela de pertinência da união abaixo:

Elementos que não pertencem a nenhum dos dois conjuntos (linha 1), não pertencem a A∪B

Elementos que não pertencem a A e pertencem a B ( linha 2), pertencem a A∪B.

Elementos que pertencem a A e não pertencem a B (linha 3), pertencem a A∪B.

Elementos que pertencem a A e a B ( linha 4), pertencem a A∪B.

Tabela de pertinência da união

Tabela de pertinência da interseção

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Em relação à interseção de dois conjuntos A ∩ B, existem quatro situações distintas indicadas na tabela de pertinência da interseção abaixo:

Elementos que não pertencem a nenhum dos dois conjuntos (linha 1), não pertencem a A∩B

Elementos que não pertencem a A e pertencem a B (linha 2), não pertencem a A∩B.

Elementos que pertencem a A e não pertencem a B (linha 3), não pertencem a A∩B.

Elementos que pertencem a A e a B (linha 4), pertencem a A∩B.

As tabelas de pertinência dos conjuntos A – B, B- A e A⊕B são apresentadas abaixo, de acordo com as respectivas definições.

Tabela de pertinência do complementar: A tabela de pertinência do complementar apresenta apenas duas linhas, visto que o complementar é uma operação que envolve apenas um conjunto.

Exemplo 2.1.2. Considere o conjunto universo U = {1, 2, ..., 9} e os seus subconjuntos:

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A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = { 4, 5, 6, 7, 8} C = { 5, 6, 7, 8, 9 }

D = { 1, 3, 5, 7, 9 } E = { 2, 4, 6, 8 } F = { 1, 5, 9 }.

A ∪ B = {1,2, 3, 4, 5, 6,7, 8} A ∩ B = {4, 5, 6, 7}

B ∪ D = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, B ∩ D = {5,7}

A ∪ C = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A ∩ C = {5, 6,7}

D ∪ E = {1,3,5,7,9,2,4,6,8}, D ∩ E = ∅

D ∪ F = { 1, 3, 5, 7, 9 } D ∩ F = { 1, 5, 9 }

E∪E = { 2, 4, 6, 8 } E ∩E = ∅

A = {8,9} B = { 1, 2, 3, 9 } C = {1, 2, 3, 4 } D ={ 2, 4, 6, 8}

A – B = {1,2, 3} B – A = { 8 } D – E = { 1, 3, 5, 7, 9 }

E – E = ∅

A⊕B = {1,2, 3, 8} A⊕C= {1, 2, 3, 4, 8, 9} A⊕D = { 2, 4, 6, 9 }

A⊕E= {1, 3, 5, 7

(A - B) - C = {1, 2, 3} - { 5, 6, 7, 8, 9 } = {1, 2, 3}

A - (B – C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – { 4 } = {1, 2, 3, 5, 6,7}

(A-B) – (B-A)= {1, 2, 3} - { 8 } = {1, 2, 3}

BA = }{ 8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 = { 9 }

A ∩ B = {8,9} ∩ { 1, 2, 3, 9 } = { 9 }

BA = }{ 7 6, 5, 4, = {1, 2, 3, 8, 9}

BA = {8,9} ∪ { 1, 2, 3, 9 } = {1, 2, 3, 8, 9}

Exemplo 2. 1. 3. Para construir a tabela de pertinência do conjunto

(A∩ B ) ∪ ( A ∩B), devemos construir colunas para os conjuntos A, B,

Atenção

Você observou no exercício 2.1. 2 que,

BA = A ∩ B e que

BA = BA ?

Isso não é mera coincidência. Trata-se de igualdades válidas para quaisquer conjuntos A e B!

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A e B . Em seguida, as colunas relativas aos conjuntos A∩ B ,

A ∩B e por último, a coluna do conjunto (A∩ B ) ∪ ( A ∩B).

Você deve observar que, logo após o preenchimento com 0 (zero) e 1 (um) nas colunas relativas aos conjuntos A e B, preenchemos as colunas do complementar de A, denotado por A , e do complementar de B, denotado por B , simplesmente trocando 0 (zero) por 1 (um).

As colunas relativas aos conjuntos A ∩ B e A ∩ B são preenchidas por 0 (zero) e 1 (um) de acordo com a tabela de pertinência da interseção. Por fim, a última coluna é feita de acordo com a tabela de pertinência da união de conjuntos. A tabela de pertinência do conjunto

(A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B) é a igual à tabela de pertinência do conjunto A ⊕B. Observe isso. Mostraremos na seção 2.6 como provar a igualdade entre conjuntos, observando a igualdade das respectivas tabelas-verdade.

Exemplo 2.1.4. Na determinação dos tipos sangüíneos, cada pessoa é duplamente classificada: se o sangue tem o antígeno Rh, ele é Rh positivo, caso contrário é Rh negativo. Se o sangue contém o antígeno A, mas não contém o antígeno B, é tipo A. Se o sangue tem o antígeno B, mas não tem o antígeno A, é tipo B. Se tem ambos, é tipo AB. Se nenhum dos dois antígenos está presente, é tipo O. Considere os conjuntos:

P = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno Rh}

A = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno A}

B = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno B}

Um elemento x qualquer pode pertencer ou não a cada um dos três conjuntos P, A e B. Ao todo são 8 possibilidades.Elas são representadas na tabela ao lado e no diagrama de Venn.

24


Determine os respectivos tipos sangüíneos das pessoas pertencentes a cada conjunto:

1) BAP ∩∩ = { g }

2) BAP ∩∩ = { d }

3) BAP ∩∩ = { f }

4) ABP ∩∩ { e }

5) BAP ∩∩ = { a }

6) BAP ∩∩ = { h }

7) ABP ∩∩ = { d }

8) BAP ∩∩ = { c }

Resp. 1) Tipo AB Rh+ 2) Tipo AB Rh-

3) Tipo A Rh+ 4) Tipo B Rh+ 5) Tipo A Rh-

6) Tipo O Rh- 7) Tipo B Rh- 8) Tipo O Rh+

Aprenda Praticando - Exercícios Proposto 2.1

Apresentamos agora uma lista de exercícios para que você mostre que entendeu as operações entre conjuntos. Discuta com seus colegas as respostas que são apresentadas logo em seguida.

25


1. Considere o conjunto universo igual ao conjunto U de todos os alunos da UFRPE e os seguintes subconjuntos:

A = { x : U: x é aluno do Curso de Agronomia }

B = { x : U: x é aluno do Curso de Biologia }

C = { x : U: x é aluno do Curso de Ciência Domésticas }

Defina os seguintes conjuntos por meio de operações com conjuntos:

a) O conjunto dos alunos da UFRPE que cursam Biologia ou Ciências Domésticas (Eles podem fazer apenas um desses cursos ou ambos ).

b) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem Agronomia e Biologia ao mesmo tempo, mas não fazem Ciências Domésticas.

c) O conjunto dos alunos da UFRPE que cursam Agronomia e não cursam Biologia.

d) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem apenas um dos cursos A, B e C.

e) O conjunto dos alunos da UFRPE que não fazem qualquer um dos cursos A, B e C .

f) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem Biologia, mas não Ciências Domésticas ou fazem Ciências Domésticas mas não Biologia.

2. Considere o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10,12,13 }. Listar os elementos dos seguintes conjuntos:

A1 = { x ∈ A : x2 ≥ 9 }

A2 = { x ∈ A : (x+2) ∉ A }

A3 = { x ∈ A : x-1 é impar }

A4 = {x∈A : x é divisível por 2 ou por 3}

A5 = {x∈A : x2 – 4 = 0 ou x2 –9x +20 = 0 }

Calcule: a) ( A1∩A2) – (A1∩A3) b) (A3∪A4) ⊕ (A1-A4)

3. Considere U como o conjunto de todas as pessoas e os subconjuntos

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S = { x∈U : x reside no Brasil }

M= { x∈U : x é mulher }

J = { x∈U : x tem menos de 25 anos }

A = { x∈U : x tem mais de 1,70 m de altura }

Descreva os conjuntos abaixo através de uma propriedade característica dos seus elementos:

a) S∩A∩J b) S∩(J –A ) c) S∩(M∪J)

d) S∪(M∩J).

4. Encontre os conjuntos A e B, sabendo–se que

A – B = { 1, 5, 7, 8 }, B – A = { 2, 10 } e A∩B = {3, 6, 9 }.

Respostas dos exercícios 2.1

1. a) B∪C b) (A∩B) – C

c) A – B d) )()()( CBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩

e) CBA ∩∩ f) B⊕C

2. A1= { 3, 4, 5, 6, 7, 10,12, 13} A2 = {6,7,12,13}

A3= {2, 4, 6, 10, 12} A4 = {2, 3, 4, 6, 10, 12}

A5 = { 2, 4, 5}

a) ( A1∩A2) – (A1∩A3) = {6, 7, 12, 13} – { 4, 6, 10,12}= {7, 13}

b) (A3∪A4) ⊕ (A1-A4) = { 2, 3, 4, 6, 10, 12} ⊕ {3, 5, 7, 13} = {2, 4, 5, 6, 7, 10,12, 13}.

3. a) S∩A∩J = { x∈U : x reside no Brasil, tem menos de 25 anos e mais 1,70 m de altura}

b) S∩(J –A ) = { x∈U : x reside no Brasil, tem menos de 25 anos e 1,70 m de altura e no máximo 1,70 m de altura}.

c) S∩(M∪J) = { x∈U : x reside no Brasil e é mulher ou tem menos de 25 anos}.

d) S∪(M∩J) = { x∈U : x reside no Brasil ou é mulher com menos de 25 anos}.

27


4. A = { 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {2, 3, 6, 9, 10}

28


2.2 Partição de um conjunto

Dois conjuntos A e B são chamados disjuntos se A ∩ B = ∅, isto é, não têm elementos comuns. Os conjuntos A = {2, 5, 7, 9}, B = {4, 6, 8, 10} e C = {1, 3, 11,12} são dois a dois, disjuntos.

De fato, A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅ e B ∩ C = ∅

Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos não vazios de S, disjuntos dois a dois, cuja união resulte S. Ou seja, é uma coleção de subconjuntos A1, A2, ... , An de S tal que

S =A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪......∪ An e Ai ∩ Aj = ∅, para i ≠ j .

Exemplo 2.2. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A coleção de conjuntos A1= {1, 2, 3}, A2= {4, 5} e A3= {6 } forma uma partição de S . Observe que A1∩ A2 = φ, A1∩ A3 = φ, A2∩ A3 = φ e além disso, a união dos três conjuntos A1∪A2∪A3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Aprenda Praticando - Exercícios Proposto 2.2

Agora, você é solicitado a apresentar partições de conjuntos. Algumas partições são constituídas por conjuntos finitos outras não. Mãos à obra!

1. Dê partições dos seguintes dos conjuntos:

a) N b) Z c) S = {0, 1, 2 ,3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 }.

2. Se S = {0, 3, 6, 9, 12,15, 18, ...}, escrever uma partição de S que:

a) contenha dois subconjuntos infinitos

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b) contenha três subconjuntos infinitos.

3. Se S = {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, ...}, os conjuntos A1 = {1 +12n, n∈ N }, A2 = {5 +12n, n∈ N } e A3 = { 9 + 12n, n∈ N } constituem uma partição de S .

Respostas - Exercícios Proposto 2.2

As suas respostas possivelmente não batem com as apresentadas logo abaixo. Isso pode ocorrer, pois um conjunto pode ter várias partições.

1. a) A1= {0, 2, 4, ,6, 8, 10, ...} A2 = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

b) A1= {0, 2, 4, ,6, 8, 10, ...} A2 = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

A3= { -2, -4, ,-6, -8, -10, ...} A4 = { -1, -3, -5, -7,-9, -11, ...}

2. a) A1= {0, 6, 12, ,18, 24, 30, ...} A2 = {3, 9, 15, 21, 27, ...}

b) A1= {0, 9, 18, 27, 36, ...} A2 = {3, 12, 21, 30, ...},

A3= { 6, 15, 24, 33, 42, ...}

3. Sim. A1 = {1 +12n, n∈ N }= { 1, 13, 25, 37, 49, ..., }

A2 = {5 +12n, n∈ N } = {5, 17, 29, 41, 53, ... } e

A3 = { 9 + 12n, n∈ N }= {9, 21, 33, 45, 56, ...} constituem uma partição de S, pois os conjuntos são dois a dois disjuntos e sua união resulta S.

2.3. Cardinal da união e da interseção.

Se você dispõe de dois ou mais conjuntos e quer saber quantos elementos tem o conjunto união desses conjuntos, como proceder? Faremos uso do princípio da inclusão – exclusão.

Princípio da Inclusão – Exclusão.

#(A∪B) = # (A) + #(B) – #(A∩B)

• Vejamos como descobrir a quantidade de elementos da união

de dois conjuntos sendo conhecidos n(A), n(B) e )( BAn ∩

30


Note que a quantidade de elementos de BA ∪ é obtida pela quantidade de elementos que pertence:

só ao conjunto A: )BA(n)A(n)BA(n ∩−=∩ ,

só ao conjunto B: )()()( BAnBnBAn ∩−=∩ e

só a A e B: )( BAn ∩ .

Assim, podemos concluir que:

)()()()()()()()()( BAnBnAnBAnBAnBnBAnAnBAn ∩−+=∩+∩−+∩−=∪

Isso significa que, para calcular o número de elementos da união A ∪ B, incluímos os elementos de A, incluímos os elementos de B e excluímos os elementos de A ∩ B.

Exemplo 2.3.1: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = { 4, 5, 6, 8}

Observe que # ( A ) = 7, # ( B ) = 4, # ( A ∩ B ) = 3, então # ( A ∪ B) = # (A) + # (B) – # ( A ∩ B ) = 7 + 4 – 3 = 8

# ( A ∪ B ∪ C) = # (A) + # (B) + # (C) – # (A ∩ B) – # (A ∩ C) – # (B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C).

• Podemos escrever A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C, de modo que:

#(A ∪ B ∪ C) = #((A ∪ B) ∪ C) = #(A ∪ B) + #C - #((A ∪ B) ∩ C)

= #A + #B + #C - #(A ∩ B) - #[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)]

= #A + #B + #C - #(A ∩ B) - #(A ∩ C) - #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C).

31


Exemplo 2. 3. 2. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}, B = { 4, 5, 6, 7, 8, 11} C = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 }.

Sabendo que A ∩ B = {4, 5, 6, 7}, A ∩ C = {5, 6, 7, 10}, B ∩ C = { 5, 6, 7, 8} e que A ∩ B ∩ C = {5, 6, 7}, podemos escrever que:

#(A∪B∪C) = #(A) + #(B) + # (C) – #(A∩B) – #(A∩C) – #(B∩C) + #(A∩B∩C)

= 8 + 6 + 6 – 4 – 4 – 4 + 3 = 11

A∪B∪C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

• Se A e B são conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅), então #(A ∪ B) = #(A) + #(B).

Exemplo 2. 3. 3. Os conjuntos A = {2, 5, 7, 9 } e B = {4, 6, 8, 10 } são disjuntos, pois A ∩ B = ∅ , de modo que, o cardinal da união de A e B é #(A∪B) = #(A) + #(B) = 4 + 4 = 8

# I = 35, # F = 18, # (I∪F) = 42. # (I∪F) = # I + # F - # (I∩F)

42 = 35 +18 - # (I∩F), de modo que # (I∩F) = 11.

Outra solução poderá ser dada usando os diagramas de Venn. Para isso, você define dois conjuntos I e F. Coloque inicialmente os elementos que pertencem à interseção I∩F. Como não sabemos, colocaremos o número x.

imagem

32


O cardinal do conjunto dos que falam inglês e não falam francês é 35 – x. Analogamente, o número de turistas que falam francês e não falam inglês é 18 – x. A soma desses elementos deve ser 42. Logo, devemos ter 35 – x + x + 18 – x = 42. A equação se reduz a 53 – x = 42. Portanto, x = 11.

Exemplo 2. 3. 4. Todos os convidados de uma festa bebem café (A) ou chá (B); 13 bebem café, 10 bebem chá e 4 bebem café e chá. Quantas pessoas há neste grupo?

#(A∪B) = #(A) + #(A) - #(A∩B) #(A∪B) = 13 + 10 – 4 = 19

Exemplo 2. 3. 5. O controle de qualidade de uma fábrica introduziu na linha de montagem 42 peças com defeitos de pintura (A), embalagem (B) ou na parte eletrônica (C). Dessas peças, 28 tinham defeito na pintura, 17 tinham defeito na embalagem, 11 com defeito na parte eletrônica, 7 tinham defeito na embalagem e na parte eletrônica, 3 tinham defeitos na pintura e na parte eletrônica e 6 com defeito na pintura e na embalagem. Quantas peças tinham os três defeitos?

#A = 28, #B = 17, #C = 11, #(A∩B) = 6, #(A∩C) = 3,

#(B∩C) = 7, #(A∩B∩C) = x

#(A∪B∪C) = #(A) + #(B) + # (C) – #(A∩B) – #(A∩C) – #(B∩C) + #(A∩B∩C)

42 = 28 + 17 + 11 – 6 – 3 - 7 + x

42 = 40 + x

x = 2

Você poderá usar diagramas de Venn para resolver esse problema. Vamos lá? Use as figuras seguintes:

Exemplo 2.3.6. Entre os americanos que tiraram férias no ano passado, 90% tiraram férias no verão, 65% no inverno, 10% na

33


primavera, 7% no outono, 55% no inverno e no verão, 8% na primavera e no verão, 6% no outono e no verão, 4% no inverno e na primavera, 4% no inverno e no outono, 3% na primavera e no outono, 3% no verão, no inverno e outono, 3% no verão, no inverno e primavera, 2% no verão, no outono e primavera e 2% nono inverno, na primavera e outono. Que percentagem tirou férias nas quatro estações?

Para resolver este problema que envolve quatro conjuntos, podemos usar uma extensão do princípio da Inclusão – Exclusão para quatro conjuntos. O diagrama de Venn com quatro conjuntos deve apresentar 16 regiões. Na figura abaixo, apresentamos uma alternativa usando retângulos. Você acha que pode fazer um diagrama de Venn para quatro conjuntos usando quatro círculos e apresentando 16 regiões? Tente fazer!

#(A∪B∪C∪D) = #(A) + #(B) + # (C) + # (D)

– #(A∩B) – #(A∩C) – #(A∩D) – #(B ∩C) – #(B∩D) – #(C∩D)

+ #(A∩B∩C) + #(A∩B∩D) + #(A∩C∩D) + #(B∩C∩D)

– #(A∩B∩C∩D)

100 = 90 + 65 + 10 + 7 – 55 – 8 – 6 – 4 – 4 – 3 + 3 + 3 + 2 + 2 - x

100 = 102 – x

x = 2%

Aprenda Praticando - Exercícios 2.3

Mostre que você entendeu bem as técnicas de cálculos do número

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de elementos de um conjunto, usando o Princípio da Inclusão – Exclusão ou os diagramas de Venn. Caso tenha dificuldade, oriente-se com seus tutores.

1. Em um congresso de informática, há 43 participantes do Curso de Java, 57 de Pascal Avançado e 29 de C++. Há 10 participantes dos cursos de Java e Pascal Avançado, 5 em Pascal Avançado e C++, 5 em Java e C++, e dois matriculados nos três cursos. Quantos alunos estão inscritos ao menos em um curso do congresso?

2. Há quatro grandes grupos de pessoas, cada um com 1.000 membros. Dois quaisquer desses grupos têm 100 membros em comum. Três quaisquer desses grupos têm 10 pessoas em comum. E há 1 pessoa em todos os quatro grupos. Conjuntamente, quantas pessoas há nesses grupos?

3. Num universo de 200 estudantes, 50 estudam Matemática, 140 estudam Economia e 24 estudam ambos os cursos. Dos 200 estudantes 60 são mulheres, das quais 20 estudam Matemática, 45 estudam Economia e 16 delas estudam ambos os cursos. Determine, para o universo de estudantes, quantos são os homens que não estudam nem Matemática nem Economia.

4. Uma companhia, 240 dos seus empregados obtiveram aumento salarial, 115 obtiveram ascensão funcional e 60 obtiveram ambas as coisas. Quantos são os empregados sabendo que nenhum empregado deixou de ser promovido ou ter ascensão funcional ?

5. Em um grupo de 110 estudantes, 63 estudam Inglês, 30 estudam Francês e 50 estudam Alemão. Há 25 alunos que estudam apenas dois idiomas, 13 estudam Inglês e Francês, 30 estudam Inglês e Alemão e 12 estudam Francês e Alemão.

a) Quantos estudam Inglês e Francês, mas não estudam Alemão?

b) Quantos alunos não estudam nenhum dos idiomas?

6. De 100 pessoas que foram pesquisadas, 52 são mulheres, 40 almoçam, 40 jantam, 25 são mulheres que almoçam, 15 são mulheres que jantam, 20 são pessoas que almoçam e jantam, e 12 são mulheres que almoçam e jantam. Quantas pessoas são homens que não almoçam nem jantam? Quantas são mulheres

35


que não almoçam nem jantam?

7. No auditório de uma faculdade há um grupo de alunos, dos quais 12 cursam a disciplina A, 20 cursam a B, 20 cursam a C, 10 cursam a D, 5 cursam A e B, 7 cursam A e C, 4 cursam A e D, 16 cursam B e C, 4 cursam B e D e 5 cursam as disciplinas C e D. Três alunos cursam as disciplinas A, B e C, 2 cursam A, B e D, 4 cursam B, C e D, e 3 cursam A, C e D. Apenas 2 alunos cursam as quatro disciplinas e 71 alunos não cursam nenhumas das disciplinas citadas. Quantos são os alunos no auditório?

Respostas dos Exercícios 2.3

Verifique aqui quantos exercícios acertou. Caso tenha errado ou não tenha conseguido fazer, mude o método de resolução (Princípio de Inclusão – Exclusão ou Diagrama de Venn). Discuta com seus colegas

1. 111 2. 3.439 3. 23 4. 295

5. a) 3 b) 12 6. a) 16 b) 24 7. 102

2.4. Produto Cartesiano.

Se A e B são dois conjuntos, o produto cartesiano de A por B é o conjunto A x B = { (x,y) : x ∈ A e y ∈ B}.

EXEMPLO 2.4.1 Sejam A = {a, b, c } e B = { a, b, d }.

a) Liste todos os pares ordenados de A x B

A x B = { (a, a), (a, b), (a, d), (b, a), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (c, d) }

b) Liste todos os pares ordenados de B x A.

B x A = { (a, a), (b, a), (d, a), (a, b), (b, b), (d, b), (a, c), (b, c), (d, c) }

c) Liste todos os elementos do conjunto { (x,y) A x B : x = y } { (a, a), (b, b) }

36


Aprenda praticando - Exercícios 2.4

Você deverá listar os elementos dos seguintes conjuntos, pondo em prática os conceitos de produto cartesiano.

1. Sejam S ={ 0, 1, 2 ,3, 4 } e T = { 0 , 2, 4 } . Liste todos os elementos dos seguintes conjuntos:

A = { (m,n) ∈ S x T : m < n }

B = { (m, n) ∈ T x S ; m < n }

C = { (m, n) ∈ S x T : m + n ≥ 3 }

D = { (m,n) ∈ T x S ; m.n ≥ 4 }

E ={ (m, n) ∈ S x S : m + n = 10 }.

Obs.: S x S = S2

2. Liste pelo menos 6 elementos dos seguintes conjuntos:

a) { (m,n) ∈ N2 : m = n }

b) { (m,n) ∈ N2 : m + n é primo }

c) { (m,n) ∈ N2 : m = 6 }

d) { (m,n) ∈ N2 : min {m ,n } = 3}

e) { (m,n) ∈ N2 : máx {m , n} = 3 }

f) { (m,n) ∈ N2 : m2 = n }

Resposta

Logo em seguida, apresentamos respostas. Confira as suas.

A = { (0, 2), (0, 4), (1, 2), (1, 4), (3, 4)} B ={(0,1), (0, 2), (0, 3), (0,4), (2, 3), (2, 4)}

C = { (0, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4), (4,0), (4,2), (4,4) }

D = { (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4).

2. a) { 0,0) , (1,1), (2,2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) ...}

b) {(0,2), (0,3), (0, 5), (0, 7), (1,2), (2,3), ...}

37


c) { (6,0), (6,1), (6,2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), ...}

d) { (3,3), (3,4), (3,5), (6,3), (7, 3), (8, 3), ...}

e) (0,3), (1,3), (2,3), (3,0), (3,1), (3,2) (3,3)}

f) { (1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5, 25), (6, 36), ...}

2.5 Produto Cartesiano de k conjuntos

Dados os conjuntos A1, A2, ..., Ak, o produto cartesiano A1 x A2 x ...x Ak é o conjunto de todas as n-uplas (a1, a2, ... , ak) tais que ai ∈ Ai.

Se #(A1)= n1, #(A2) = n2, ..., #(Ak)= nk então #(A1 x A2 x ... x Ak) = n1. n2. ... . nk.

Exemplo 2. 5. 1. Considere os conjuntos X = {1, 2}, Y = {a, b} e Z = { m, n, p}. Liste os elementos dos seguintes produtos cartesianos.

a) X x Y x Z b) X x Y x Y c) X x X x X d) Y x X x Y x Z

X x Y x Z = {(1, a, m), (1, a, n), (1, a, p), (1, b, m), (1, b, n),

(1, b, p) , (2, a, m), (2, a, n), (2, a, p), (2, b, m), (2, b, n), (2, b, p)}

b) X x Y x Y = {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), {(2, a, a),

(2, a, b), (2, b, a), (2, b, b)}.

Exemplo 2. 5. 1. Se A é o conjunto das letras maiúsculas do alfabeto português (26 letras) e B é o conjunto dos naturais de 0 a 9,represente sob a forma de conjunto, todas as placas de automóveis possíveis no Brasil. Quantas são essas placas?

Uma placa consiste em três letras seguidas por quatro algarismos. O número total de placas possíveis é dado pelo cardinal do produto cartesiano A x A x A x B x B x B x B.

# (A x A x A x B x B x B x B) = 26 x 26x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 263 x 104 = 175.760.000 placas.


Nesses exercícios, você terá oportunidade de explorar o conceito

38


de produto cartesiano envolvendo mais do que dois conjuntos.

1. Considere os conjuntos X = {1, 2}, Y = {a, b} e Z = { m, n, p}. Liste os elementos dos seguintes produtos cartesianos.

a) X x X x X b) Y x X x Y x Z

2. Calcular o cardinal dos conjuntos produto cartesiano da primeira questão.

3. Dados os conjuntos A = {x ∈ Z : -1 ≤ x ≤ 2} e B = {y ∈ Z : -1 ≤ y ≤ 1}, pede-se:

a) Enumerar os elementos do conjunto A x B

b) Enumerar os elementos do conjunto B x A

c) Obter (A x B ) ∩ ( B x A )

d) Obter o cardinal de (A x B ) ∪ ( B x A )

2.6. Identidades de conjuntos.

As operações entre conjuntos, tais como: união, interseção, diferença, diferença simétrica e complemento satisfazem diversas propriedades. Essas propriedades são apresentadas na forma de igualdade entre conjuntos e são chamadas de identidades de conjuntos.

Identidades de Conjuntos

Exemplo 2. 6. 1: Prove que A ∩ (B - A) = ∅ usando as identidades de conjuntos.

Prova: A ∩ (B-A) = A ∩ (B ∩ A ) pela definição de diferença

= A ∩ ( A ∩ B) pela propriedade comutativa

= (A ∩ A ) ∩ B pela propriedade associativa

39


= ∅ ∩ B pela propriedade de complemento

= ∅ por definição de interseção

Exemplo 2. 6. 2: Prove que A ∪ (B - A) = A ∪ B usando as

identidades de conjuntos A ∪ (B-A) = A ∪ (B ∩ A ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ A ) = (A ∪ B) ∩ U = A ∪ B.

Exemplo 2.6.3: Provar a igualdade de De Morgan B A ∩=∪ BA

Teremos que provar que: BA ∪ ⊆ B A ∩ e que B A ∩ ⊆ BA ∪ , usando as definições das operações entre conjuntos.

1.Suponha que x ∈ BA ∪ . 2.De 1 temos que x ∉ A ∪ B. 3.De 2

temos que x ∉ A e x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∈ A e x∈ B . 5. De 4,

temos que x∈ A ∩ B . Provamos que BA ∪ ⊆ B A ∩

1.Suponha que x ∈ B A ∩ . 2.De 1 temos que x ∈ A e x∈ B 3.De 2 temos que x ∉ A e x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∉ A ∪ B. 5.De 4, temos

que x ∈ BA ∪ . Provamos que BA ∪ ⊆ B A ∩

Logo B A ∩=∪ BA .

Exemplo 2. 6. 4: Provar que B A ∪=∩ BA (Igualdade de De Morgan), usando as definições das operações entre conjuntos.

1.Seja x ∈ BA ∩ . 2.De 1 temos que x ∉ A ∩ B. 3.De 2 escrevemos

x ∉ A ou x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∈ A ou x ∈ B . 5.De 4, temos que

x ∈ BA ∪ e, assim B A ∪⊆∩ BA .

1.Seja x ∈ BA ∪ . 2.De 1 temos que x ∈ A ou x ∈ B . 3.De 2, temos que x ∉ A ou x ∉ B. 4.De 3 escrevemos x ∉ A ∩ B. 5.De 4, temos que

x ∈ BA ∩ e, assim, BA ∪ ⊆ BA ∩ .

Logo B A ∪=∩ BA .

Exemplo 2. 6. 5: Provar que A =A , usando as definições das operações entre conjuntos.

Seja x ∈ A . Então x ∉ A . Logo x ∈ A. Assim provamos que A ⊆ A.

Seja x ∈ A. Então x ∉ A . Logo x ∈ A . Provamos que A ⊆ A . Logo

A =A .

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Exemplo 2. 6. 6: Mostre por meio da tabela de pertinência que, dados os conjuntos A, B e C então (A – B) – C = A – (B ∪ C).

Devemos construir as tabelas de pertinência do conjunto do primeiro membro e do segundo membro. Os conjuntos iguais apresentam tabelas de pertinência iguais.

Exemplo 2.6.7: Mostre, por meio da tabela de pertinência que dados os conjuntos A, B e C tem-se que

C - B)(A )C(B )C (A ⊕=∩⊕∩

Exemplos 2. 6.7: Simplifique ( )( ) BAABA ∩∪∩∪

. ( )( ) BAABA ∩∪∩∪ = ( )( ) BAABBAABAA ))(( )( f=∩∪

= (B ∩ =)() BAA ((B∩ A ) ∪ A ) ∪ B = =BA BA .

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Aprenda praticando - Exercícios 2.6

Nos exercícios seguintes, pede-se que você apresente, por meio da tabela de pertinência de conjuntos, uma prova da igualdade de conjuntos. Compartilhe com seus colegas as tabelas de pertinência feitas por você.

1. Considere os conjuntos A, B e C. Prove, por meio da tabela de pertinência que:

a) A ∩ (B - A) = ∅

b) CBCBA ∪∪=∩∩ A

c) A∪(B-A) = A∪B

d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B ) = A

e) A – B = A ∩ B

f) (A – B) – C = (A - C) – B

g) (A – B) – C = (A - C) – (B – C).

2. Prove por meio da tabela de pertinência que, dados os conjuntos A, B e C, as igualdades abaixo são verdadeiras.

3. Use a tabela de pertinência para mostrar que (A ∪ B) - (A ∩B)

= (A ∪ B) ∩ ( BA ∪ ) para os conjuntos A e B.

4. Use a tabela de pertinência para verificar se ( )BA ∩ ∩ BA ∩

= (A∪B) ∩ ( A ∪ B ) para os conjuntos A e B.

42


Saiba Mais

As operações com conjuntos estudadas nesse capítulo apresentam propriedades importantes que tem relação com outras estruturas que serão vistas nos capítulos seguintes.

Sugerimos consultar os seguintes livros para aprofundar os seus conhecimentos em relação às operações entre conjuntos, suas propriedades, as diversas formas de provar a igualdade entre conjuntos:

- ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997.

- ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995.

- GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

- LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004

- Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

43


Capítulo 3 - Introdução à Lógica Matemática

A Lógica Matemática é base para qualquer estudo nas áreas de Computação e Informática. Muitas demonstrações em Matemática e muitos algoritmos em Ciência da Computação usam expressões lógicas, tais como,“se P então Q” ou “se P e Q então P ou Q”. De modo que, para desenvolver qualquer algoritmo, em conseqüência, qualquer software, é necessário ter o conhecimento dos fundamentos da Lógica. Existem linguagens de programação, tais como Prolog e Haskel, que são desenvolvidas de acordo com o paradigma lógico.

Nesse capítulo, seguiremos os fundamentos da Lógica Booleana (George Boole2, 1815 – 1864), conjunto de princípios e métodos usados para distinguir sentenças verdadeiras de falsas.

Uma proposição é uma construção (sentença, frase, pensamento) à qual se pode atribuir juízo. Em lógica matemática, o tipo de juízo é o verdadeiro (V) ou falso (F), não ambos.

Para uma dada proposição p, denota-se por V(p) o seu valor verdade, de modo que V(p) = V se p é verdadeira e V(p) = F, se p é falsa.

São proposições:

p: 6 é um número primo

q: (72)3 = 76

r: =1, 4142

s: Linux é um software livre.

Para cada uma delas, o valor-verdade é como segue: V(p) = F, V(q)= V, V(r) = F, V(s) = V.

Não são proposições:

p: Como vai você?

q: Não chegue atrasado!

r: x + 2 = 5

t: “O que estou dizendo agora é mentira”.

Acesse

2. http://www.santarita.g12.br/matematicos/gm1/george_boole.htm

44


3.1 Proposições compostas.

As proposições estudadas até aqui são ditas proposições simples, no sentido de que não podem ser decompostas em proposições mais simples. É possível, a partir de proposições simples, construir proposições mais complexas, chamadas de proposições compostas, usando os conectivos lógicos ∨ (OU), ∧ (E), ¬ (NÃ0).

Negação ¬p. A negação de uma proposição é construída introduzindo a palavra não de forma apropriada ou prefixando-se a expressão “não é fato que”, como nos exemplos a seguir:. Considerando uma proposição p, sua negação é denotada por ¬p. Alguns autores usam a notação ~p, outros usam p’.

p: Linux é um software livre ¬p : Linux não é um software livre.

q: Paris não fica na França. ¬q : Paris fica na França.

r : 1,5 2 ≥ ¬ r : 1,5 2 <

A tabela-verdade descreve todas as possibilidades dos valores lógicos de uma proposição. A tabela lista todas as possíveis combinações de valores-verdade V ou F para as componentes simples envolvidas na composição da proposição composta.

Quando a proposição é composta de duas proposições simples, sua tabela-verdade contém quatro linhas. Em geral, se uma proposição é composta de n proposições simples, sua tabela-verdade contém 2n linhas.

Vamos iniciar a construção das tabelas-verdade? Iniciaremos com a tabela da negação.

Negação. A tabela – verdade da negação apresenta apenas duas linhas, pois envolve uma só proposição.

Isto é, se p é verdadeira, então ¬p é falsa. Se p é falsa, então ¬p é verdadeira.

Conjunção. A conjunção de duas proposições p e q, denota-se por p ∧ q ( lê-se p e q ), tem valor lógico verdadeiro quando p e q são

Atenção

Você percebeu semelhança da tabela ao lado com alguma tabela envolvendo conjuntos? Recorde a tabela de pertinência do complementar de um conjunto!

45


ambas verdadeiras e, tem valor lógico falso, em qualquer outro caso. Abaixo segue a tabela da conjunção exemplos.

p: Windows é um sistema operacional

q: Java é uma linguagem de programação.

p∧q : Windows é um sistema operacional e q: Java é uma linguagem de programação

V(p∧q)=V

p: Windows é um sistema operacional.

q: Java é uma planilha eletrônica

p∧q : Windows é um sistema operacional e Java é uma planilha eletrônica

V(p∧q)=F

p: Windows é um editor de textos.

q: Java é uma linguagem de programação

p∧q : Windows é um editor de textos e Java é uma linguagem de programação

V(p∧q)=F


q: Java é uma planilha eletrônica.

p∧q : Windows é um editor de textos e Java é uma planilha eletrônica

V(p∧q)=F

Disjunção. A disjunção de duas proposições p e q, denota-se por p ∨ q ( lê-se p ou q ) reflete a noção de que pelo menos uma das proposições deve ser verdadeira para que a resultante seja verdadeira. De modo que, a proposição p ∨ q é verdadeira, se pelo menos uma das proposições é verdadeira; falsa, se as proposições

Atenção

E agora, você percebeu semelhança da tabela ao lado com a tabela de pertinência da interseção conjuntos?

46


são todas falsas. A tabela-verdade da disjunção é :

Exemplos:


q: C++ é uma linguagem de programação.

p∨q : Windows é um sistema operacional ou C++ é uma linguagem de programação

V(p∨q)=V


q: C++ é uma planilha eletrônica

p ∨ q : Windows é um sistema operacional ou C++ é uma planilha eletrônica

V(p ∨ q)=V


Atenção

Nesta tabela, você percebeu semelhança com a tabela de pertinência da união conjuntos?

47


q: C++ é uma linguagem de programação

p ∨ q : Windows é um editor de textos ou C++ é uma linguagem de programação

V(p ∨ q)=V


q: C++ é uma planilha eletrônica.

p ∨ q : Windows é um editor de textos ou C++ é uma planilha

V(p ∨ q)=F

Condicional. (Implicação). A condicional envolvendo duas proposições p e q, denota-se por p → q que é lida: “Se p então q”. A proposição p é chamada premissa (antecedente) e a proposição q é dita conclusão (conseqüente).

A condicional reflete a noção de que, partindo-se de uma premissa verdadeira (p verdadeira) obrigatoriamente chega-se a uma conclusão verdadeira (q verdadeira), para que a condicional p → q seja verdadeira. Partindo-se de uma premissa falsa, qualquer conclusão pode ser considerada, e a condicional é verdadeira. A condicional é falsa apenas quando a premissa é verdadeira e a conclusão é falsa.

Resumo: a condicional p → q é:

Falsa, quando p é verdadeira e q falsa.

Verdadeira, nos outros casos.

A tabela-verdade da condicional é:

48


Exemplo:

Analisaremos a seguinte situação condicional: Pedro diz: “Se chover domingo então ficarei estudando”.

Vamos considerar as seguintes hipóteses e vejamos se Pedro cumpriu sua palavra (V):

a) Domingo choveu (V) e Pedro ficou estudando (V).

Pedro cumpriu com a sua palavra (V)

b) Domingo choveu (V) e Pedro não ficou estudando (F).

Pedro não cumpriu sua palavra (F)

c) Domingo não choveu (F) e Pedro ficou estudando (V).

Pedro cumpriu sua palavra (V), pois não disse o que faria se não chovesse. Nesse caso, poderia ou não ficar estudando.

d) Domingo não choveu (F) e Pedro não ficou estudando (F).

Pedro cumpriu sua palavra (V), pelos motivos explicados na letra (c).

Exemplos: Considere as proposições seguintes:

p: Recife fica no Brasil q: 2 + 3 = 4

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r: 2 + 2 = 4 t: Recife fica na Índia

p → r : Se Recife fica no Brasil então 2 + 2 = 4 V(p→ r) = V

p → q : Se Recife fica no Brasil então 2 + 3 = 4 V(p→ q) = F

t → q : Se Recife fica na Índia então 2 + 3 = 4 V(t→ q) = V

q → r : Se 2 + 3 = 4 então 2 + 2 = 4 V(q→ r) = V

Bicondicional. A bicondicional envolve duas proposições p e q, é denotada por p↔q e é lida: “p se somente se q”, traduz a noção de uma dupla condicional, uma no sentido “ida” p→q e outra no sentido “volta” q→p.A tabela-verdade da bicondicional é dada abaixo:

Isto é, a bicondicional é verdadeira quando as proposições são ambas verdadeiras ou ambas falsas. A bicondicional é falsa, quando as proposições p e q têm valores-verdade distintos. Observe que a bicondicional p↔q tem o mesmo significado que (p→q) ∧(q→p). Faça a tabela-verdade.

Duas proposições p e q são logicamente equivalentes se têm tabelas-verdade idênticas e escrevemos p ≡ q

Observe que a tabela-verdade da condicional p→q é a mesma da proposição composta ¬ p∨q

Dizemos que a condicional p → q é equivalente a ¬p∨q, isto é, p → q ≡ ¬p∨q

50



Você vai agora praticar a construção de tabela-verdade de proposições compostas e verificar as que são equivalentes, comparando a última coluna de cada uma delas.

1. Mostre que as proposições abaixo são equivalentes, em cada caso:

a) ¬(p∧q) ≡ (¬p)∨(¬q)

b) (¬p)∧(¬q) ≡ ¬(p∨q)

c) p→q ≡ ¬(p∧¬q)

d) p ∧(q∨r) ≡ (p∧q) ∨(p∧r)

e) ¬(p→q) ≡ p∧¬q

f) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧¬q)

g) p ↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨¬q)


Apresentamos as respostas de alguns exercícios. Em relação aos outros exercícios, comente com seus colegas. Dificuldade? Peça ajuda ao seu tutor.

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a) ¬(p∧q) ≡ (¬p)∨(¬q)

b) (¬p)∧(¬q) ≡ ¬(p∨q)

c) p→q ≡ ¬(p ∧¬ q)

3.2 Tautologias e Contradições

Tautologia (V) é uma proposição que toma o valor V para todas as possíveis atribuições de valor V e/ou F para as suas componentes simples nela presentes. Por exemplo, p ∨ ¬ p.

Contradição (F) é uma proposição que toma o valor F para todas as possíveis atribuições de valor V e/ou F para suas componentes simples nela presentes. Por exemplo, p ∧ ¬ p

Contingência é uma proposição cuja tabela-verdade consta V e F. Por exemplo, a conjunção p ∧ q e a disjunção são exemplos de contingências.

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Exemplo 3.2.1 A proposição p →(p∨q) é uma tautologia. Confira a sua tabela-verdade.

Exemplo 3.2.2 A proposição (p→q) ∧(p∧ ¬ q) é uma contradição. Confira a sua tabela-verdade.


Decida quais as proposições abaixo são tautologias, contradições ou contingências. Faça a tabela.

1. Quais proposições abaixo são tautologias, contradições ou contingências?

a) (p∨¬q) ∨(p∨q)

b) (p∧q) → (p∨q)

c) ¬p → (q→p)

d) (x ∧ (x → y)) → y

e) ((x→y) ∧ (y→z)) → (x→z)

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f) (p∨ ¬q) → (p→¬q)

g) (¬p ∨ q) → (p→q)

h) (p∧q) → (p↔q)

i) (¬p) ∧(p∧¬q)

j) ¬(p∨q) → (p↔q)

j) (p→q) ↔(¬q→¬p)

2. Qual o valor-verdade das seguintes proposições?

a) 8 é par ou 6 é ímpar

b) 8 é par e 6 é ímpar

c) 8 é impar ou 6 é ímpar

d) Se 8 é ímpar, então 6 é par.

e) Se 8 é ímpar, então 6 é ímpar

f) Se 8 é impar ou 6 é par, então 8 < 6.

g) Se 8 é par, e 6 é ímpar então 6 > 8.


1. a) Tautologia b) Tautologia. c) Contingência. d) Tautologia.

e) Tautologia. f) Tautologia g) Tautologia. h) Tautologia.

i) Contingência. j) Tautologia. k) Tautologia.

2. a) V. b) V. c) F. d) V. e) V. f) F g) V.

3.3 Negação de conjunção e de disjunção

DE MORGAN

Considere a conjunção p ∧ q e a disjunção p ∨ q.

A negação da conjunção é denotada por ¬(p ∧ q) e é equivalente a ¬p ∨ ¬q.

54


A negação da disjunção é expressa por ¬(p ∨ q) e é equivalente a ¬p ∧ ¬q.

Confira fazendo a tabela-verdade:

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q e de ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.

3.4 Álgebra das proposições.

Você observou, nesse capítulo, que as proposições, a exemplo dos conjuntos, satisfazem várias propriedades que estão listadas na tabela abaixo. Cabe ao leitor, identificar aquelas propriedades que correspondem às dos conjuntos:

Exemplo 3.3.1

a) A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é “Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá”.

b) A negação de 2 < 7 ou 3 é par é : 2 ≥ 7 e 3 é ímpar.

Exemplo 3.3.2. Considere as seguintes proposições:

p: Rosas são vermelhas. q:Violetas são azuis.

r: Cravos são brancos. s: Cravos são vermelhos.

A forma simbólica usando os conectivos ∧, ∨ , ¬ , → e ↔, das seguintes proposições compostas:

a) Rosas são vermelhas e violetas são azuis.

a) p∧q

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b)Rosas não são vermelhas ou violetas não são azuis.

b) ¬p ∨¬q

c) Cravos são brancos ou vermelhos.

c) r∨s

d) Cravos não vermelhos ou violetas não são azuis.

d) ¬s∨¬q

e) Não é verdade que violetas são azuis e rosas são vermelhas.

e) ¬(q∨p)

f) É falso que cravos são vermelhos ou brancos.

f) ¬(s∨r)

g) Se cravos são brancos, então cravos são vermelhos e violetas são azuis.

g) r → s ∧ q

h) Se rosas não são vermelhas, então violetas não são azuis ou cravos não são brancos.

h) ¬p →¬ q ∨ ¬r

i) Se violetas são azuis e cravos brancos, então é falso que cravos são brancos ou vermelhos.

i) (q∧r)→¬(r∨s)

j) Rosas são vermelhas se e somente se cravos são brancos.

j) p ↔r

Exemplo 3.3.3. Os conectivos lógicos E (AND) , OU (OR) e Não (NOT), correspondentes, respectivamente a, ∧, ∨ e ¬, são usados em algumas linguagens de programação conjuntamente com expressões verdadeiras ou falsas para produzir um valor lógico final.

Suponha as seguintes variáveis

“Fluxo_de_saída”, “Fluxo _de_entrada” e “Pressão” e o seguinte programa de computador:

If [ (Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada ) and not ((Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada) and Pressão <1000 )]

do Ponha água;

56


Else

do Desligue a máquina;

Pondo P = Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada e Q = Pressão <1000, a expressão usada no programa se escreve P ∧¬ (P ∧Q).

Essa expressão pode ser simplificada assim:

P ∧¬ (P ∧Q) = P ∧ ( ¬P ∨ ¬Q) = (P ∧¬P) ∨ (P ∧¬Q) = 0 ∨ (P ∧¬Q) = P ∧¬Q.

Assim o programa poderia ser reescrito na forma:

If ((Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada ) and not ( Pressão < 1000))

do Ponha água;

else

do Desligue a máquina;

Exemplo 3. 3. 4 Suponha que P, Q e R representam condições que serão verdadeiras ou falsas quando certo programa é executado. O programa manda realizar uma tarefa somente quando P ou Q for verdadeira ( mas não ambas) e R for falsa. Escreva uma proposição usando os conectivos and , or e not que seja verdadeira apenas dessas condições.

Resp. ( (P and not Q) or (not P and Q) and not R ) ) ou seja ( (P ∧¬Q) ∨ ( ¬P ∧Q) ) ∧ ¬R.

Exemplo 3. 3. 5 Reescreva o programa abaixo com uma expressão condicional mais simples. A função impar(número) tem valor verdadeiro se n é ímpar.

Se não ( (valor 1 < valor 2) ou ímpar (número) ) ou ( não (valor 1 < valor 2) e ímpar(número)) então

faça Alguma Coisa;

Caso contrário

faça Outra Coisa;

Resp. Sugestão: Ponha A = valor 1 < valor 2 e B = impar(número)

A expressão condicional é : ¬(A ∨ B) ∨ (¬A ∧B)

Assim, ¬(A ∨ B) ∨ (¬A ∧B) = ( ¬A ∧ ¬B) ∨( ¬A ∧B) = ¬A ∧( ¬B ∨ B) = ¬A∧(T) = ¬A

57



Novamente, solicitamos que revise o conteúdo dessa seção e resolva os exercícios seguintes.

1. Determinar as proposições compostas por conjunção ∧ com as proposições simples p e q, antecedidas ou não por negação ¬, que satisfazem a cada um das tabelas-verdade abaixo indicadas.

2. Repetir o exercício com disjunção ∨.

3. Repetir o exercício com condicional →.

4. Mostre por meio da tabela-verdade que as proposições p→q e ¬q → ¬ p são equivalentes.

Use a equivalência para resolver as questões seguintes.

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5. (ESAF / AFTN) Considere as seguintes afirmações:

- Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade.

- Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro.

- Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria.

Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro.

b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade.

c) Carlos e João são mais moços do que Pedro.

d) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que Pedro.

e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade.

6. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo:

a) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado.

b) Rodrigo é culpado.

c) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.

d) Rodrigo mentiu.

e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu

59


Respostas dos Exercícios 3.3 e 3.4

1.

5. e

6. c.

3.5 Funções proposicionais. Quantificadores.

Considere as seguintes sentenças p: 3 + 6 = 9 q: x + 4 < 9.

A sentença p, como sabemos, é verdadeira, ao passo que, nada podemos afirmar sobre o valor lógico da sentença q enquanto x não for identificado. Dependendo do valor de x, esta sentença pode assumir o valor verdadeiro ou falso. Nesse caso, a sentença q é dita uma sentença aberta ou função proposicional.

De um modo geral, p(x) significa que x tem a propriedade p. Nas sentenças abertas p(x), p(y), os símbolos x, y são chamados de variáveis. O conjunto de valores que a variável pode assumir constitui o seu conjunto universo U. O subconjunto de U para os quais o valor lógico da sentença aberta é verdadeiro é o conjunto V, dito conjunto-verdade da sentença aberta. Exemplos.

a) Considere a proposição p(x) “x + 2 > 9 “ com x ∈ N. O conjunto-verdade V = {8, 9, 10 ,l 1, ....}

b) A proposição p(x) “x + 7 < 4“ com x ∈ N tem conjunto verdade V = φ.

c) A proposição p(x) “ x + 7 > 4 “ com x ∈ N tem V = N.

Os exemplos acima mostram que, se uma proposição p(x) é definida para x do universo U, então p(x) pode ser verdade para todo x ∈ U, para algum x ∈ U, ou para nenhum x ∈ U.

3.5.1 Quantificadores.

Usaremos o símbolo ∀, chamado quantificador universal, para exprimir o fato de que “ para todo x em um conjunto, a proposição

Atenção

Atenção

A sentença ∀ x, p(x) é verdadeira se o conjunto-verdade de p(x) e o seu conjunto universo são iguais, isto é, U=V e, falsa , se U ≠ V.

A sentença ∃x, p(x) é verdadeira se o conjunto-verdade de p(x) é não vazio, V ≠ φ e, falso se V = φ

60


p(x) é verdadeira”. Uma proposição do tipo “ Para todo x, p(x) “ é simbolicamente denotada por “∀x, p(x)”.

Exemplos:

∀x∈N, x = x é verdadeira pois V(p(x)) = N ∀x∈Z, x = x é falsa, pois V(p(x)) = N ≠ Z

∀x∈N*, x2 + 1 ≥ 2 é verdadeira, pois V(p(x)) = N* ∀x∈Z, x2 ≥ 0 é verdadeira, pois V(p(x)) = Z

Analogamente, no caso de proposições que envolvem expressões do tipo “existe”, “há pelo menos um”, “algum”, usaremos o símbolo ∃, chamado quantificador existencial, para exprimir o fato de que para um ou mais elementos de um dado conjunto U a proposição p(x) é verdadeira. Uma proposição do tipo “existe um x tal que p(x) ” pode ser escrita simbolicamente: “∃x, p(x)”.

Exemplo: A proposição “ ∃x, x∈N” tem os seguintes significados: “ existe um x tal que x∈N”, “algum número é natural”, “existe pelo menos um número natural”.

Exemplos: ∃n, n ∈ N : n + 2 = 5 é verdadeira, pois V(p(n)) = { 3 } ≠ ∅

∃x, x ∈ N: x + 2 = 0 é falsa, pois V(p(x)) = ∅

∃x∈{1, 2, -3, -4}, x2 + x - 6 = 0 é verdadeira, pois V(p(x)) = {2, -3}

∃n, n ∈ N, n! < 10 é verdadeira, pois V(p(n)) = {0, 1, 2, 3}

3.5.2 Negação de sentenças quantificadas

Exemplos: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5 }

a) A negação da sentença ∃x ∈ A, x + 3 = 10 é ∀x∈A, x + 3 ≠ 10

b) A negação da sentença ∃x ∈ A, x + 3 < 5 é ∀x∈A, x + 3 ≥ 5

c) A negação de ∀x∈A, x + 3 < 10 é ∃x ∈ A, x + 3 ≥ 10

d) A negação de ∀x∈A, x + 3 ≤ 7 é ∃x ∈ A, x + 3 > 7

Atenção

Atenção

A negação da sentença ∀x, p(x) é ∃x, ¬ p(x).Logo, ¬ (∀x, p(x)) é equivalente a ∃x, ¬ p(x).

A negação da sentença ∃x, p(x) é ∀x, ¬ p(x).Logo, ¬ ∃ (x, p(x)) é equivalente a∀x, ¬ p(x).

61



1.Escreva as proposições seguintes utilizando a notação de quantificador (isto é, use os símbolos ∀ e/ou ∃ ).

a) Todo inteiro é primo.

b) Há um inteiro que não é primo.

c) Existe um inteiro cujo quadrado é 4.

d) Todos os inteiros são divisíveis por 5.

e) Algum inteiro é divisível por 7.

f) O quadrado de qualquer inteiro é não negativo.

g) Para todo número inteiro x, existe um inteiro y tal que x.y =1.

h) Existem dois inteiros x e y tais que x/y =10.

2. Escreva a negação de cada uma das proposições do problema anterior. Dê sua resposta por extenso e simbolicamente.

3. Assinale como verdadeiras ou falsas as proposições abaixo relativas aos números inteiros:

a) ∀x, ∀y, x + y = 0 b) ∀x, ∃y, x + y = 0

c) ∃x, ∀y, x + y = 0 d) ∃x, ∃y, x + y = 0

e) ∀x, ∀y, x.y = 0 f) ∀x, ∃y, x.y = 0

g) ∃x, ∀y, x.y = 0 h) ∃x, ∃y, x.y = 0.

4. Para cada uma das proposições seguintes, escreva a negação.

a) ∀x ∈ Z, x < 0.

b) ∃ x ∈ Z, x = x + 1

c) ∃ x ∈ N, x > 10

d) ∀ x ∈ N, x + x = 2x

e) ∃ x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x > y.

f) ∀ x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x = y.

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g) ∀ x ∈ Z, ∃y ∈ Z, x + y = 0.

5. Mostre por meio da tabela-verdade se as proposições abaixo são equivalentes:

a) p ∧ p ⇔ p b) p ∨ p ⇔ p

c) p ∨ q ⇔ q ∨ p d) p ∧ q ⇔ q ∧ p

e) p∧(q ∨ r) ⇔ (p∧ q) ∨ (p∧ r)

f) p∨(q ∧ r) ⇔ (p∨ q) ∧ (p∨ r)

g) p∧(q ∨ r) ⇔ (p∧ q) ∨ (p∧ r)

h) ( p → q) ⇔ ( q’ → p’)

6. Considere as seguintes sentenças abertas cujo domínio consiste nos números inteiros Z:

O(x) : x é impar L(x) : x < 10 G(x) : x > 9

Qual o valor-verdade de cada uma das seguintes sentenças abertas?:

a) ∃x : O(x)

b) ∀x [ L(x) → O(x) ]

c) ∃x [ L(x) ∧ G(x) ]

d) ∀x [L(x) ∨ G(x)]

7. Sabendo que as proposições “x = 0” e “x = y” são verdadeiras e que as proposições “y = z” e “y = t” são falsas, determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:

a) (x = 0 ) ∧(x = y) → (y ≠ z)

b) (x ≠ 0 ) ∨ (y = t) → (y = z)

c) (x = 0 ) → (x ≠ y) ∨( y ≠ t)

d) (x ≠ 0 ) ∨(x ≠ y) → (y ≠ z)

8. Determine o valor lógico de cada uma das sentenças a seguir, considerando o conjunto universo de todos os números inteiros Z.

a) ∀n, n2 ≥ 0 b) ∃n, n2 = 2 c) ∀n, n2 ≥ n

d) ∀n ∃m, n2 < m. e) ∃n ∀m, n < m2 f) ∃n ∀m, n + m = 0,

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g) ∃n ∀m, n.m = m h) ∃n ∃m, n2 + m2 = 5,

i) ∃n ∃m, n2 + m2 = 6.

j) ∃n ∃m, (n + m = 4) ∧ (n – m = 1)

k) ∃n ∃m, (n + m = 4) ∧ (n – m = 2)

l) ∀n ∀m ∃p, p = 2

nm + .

m) ∃n, ∀m , n + m = m n) ∀m, ∃n, n2 + 1 = m

9. Determine o valor lógico de cada uma das sentenças a seguir, considerando o conjunto universo de todos os números reais R.

a) ∃x, x2 = 2 b) ∃x, x2 = - 4 c) ∀x ∃y, x2 = y

d) ∀x ∃y, x = y2 e) ∃x ∀y, x.y = 0 f) ∀x ∃y, x + y ≠ y + x

g) ∀x, x ≠0, ∃y, x.y = 1 h) ∃x ∀y, y ≠0, x.y =1

i) ∀x ∃y, x + y = 1 j) ∃x ∃y, ( x + 2y = 2) ∧(2x + 4y = 5)

k) ∀x ∀y ∃z, z = 2

yx +

10. Considere as seguintes proposições: p(x): “ x é par” , q(x) : “x é divisível por 3” e r(x): “x é divisível por 4”. Determinar o seu valor lógico cada uma das proposições abaixo:

a) *Nx ∈∀ , p(x+2) ∧ q(x) b) *Nx ∈∀ , p(x) → r(x)

c) x∃ ∈N*, q(x) → q(x+5) d) x∃ ∈N*, r(x) ∧ r(x -2)

Respostas dos Exercicios 3.4

8. a) V b) F c) V d) V e) V f) F g) V h) V i) F

j) F k) V l) F m) V n) F

9. a) V b) F c) V d) F e) V f) F g) V h) F i) V

j) F k)V.

Atenção

Procure ensinar aos seus colegas tudo aquilo que você aprender, pois lecionar é uma ótima maneira de aprender.

64


Saiba Mais

Neste capítulo, você teve oportunidade de conhecer os fundamentos da lógica matemática, fortemente empregada, nas áreas de informática e computação. Percebeu que existe uma estreita relação entre as propriedades das operações entre com juntos e as proposições lógicas. Você poderá aprender mais sobre proposições, consultando os seguintes livros sobre Lógica Matemática:



65


Capítulo 4 - Portas Lógicas

Os circuitos lógicos (redes lógicas) são estruturas concebidas com base em certos circuitos elementares designados portas lógicas. São vistos como uma máquina L que contém um ou mais dispositivos de entrada e apenas uma saída S. Os dispositivos de entrada em L enviam um sinal, ou seja, um bit, 0 ou 1, ao circuito L que o processa e manda um sinal, um bit de saída S.

A descrição de circuitos construídos pela combinação de portas lógicas, exige um novo tipo de álgebra, denominada Álgebra de Boole em que as variáveis e funções tem apenas valores 0 e 1. Na Álgebra de Boole são usados três operadores E, OU e NÃO (AND, OR e NOT) para efetuar comparações e as quatro operações aritméticas básicas.

Os computadores atuais utilizam a Álgebra de Boole em microchips que contém centenas de pequenos interruptores combinados em portas lógicas que produzem os resultados das operações em linguagem binária.

Entre os circuitos elementares destacamos as portas lógicas seguintes: porta OR, porta AND e porta NOT.

4.1 Porta Not (Não)

A porta NOT inverte o sinal de entrada (executa a negação do sinal de entrada), ou seja, se o sinal de entrada for 0 ela produz uma saída 1, se a entrada for 1 ela produz uma saída 0. Também é chamada de porta inversora.

Se A é uma variável binária então a porta NOT transforma A em

NOT(A), ou simplesmente A , de modo que se A = 0 então NOT(A) =

A = 1, se A = 1 então NOT(A) = A = 0. Usaremos também a notação A’ para a negação. O símbolo e a tabela-verdade da porta NOT são as seguintes:

66


4.2 Porta Or (Ou)

A porta OR combina dois ou mais sinais de entrada de forma equivalente a um circuito em paralelo, para produzir um único sinal de saída, ou seja, ela produz uma saída 1, se qualquer um dos sinais de entrada for igual a 1; a porta OR produz um sinal da saída igual a 0 apenas se todos os sinais de entrada forem 0. Usaremos o sinal + para indicar a operação OR (OU). A tabela-verdade e o símbolo da porta OR com duas entradas são:

Exemplo: Considere um detector de incêndio com dois sensores (entradas A e B) e uma campainha para alarme (saída S). Se qualquer um dos sensores for acionado (1) detectando sinal de incêndio, a campainha toca (1). O circuito lógico, a função booleana e a tabela – verdade correspondem às de uma porta OR.

Porta OR com três entradas A tabela verdade apresenta 23 = 8 linha

67


4.3 Porta And (E)

A porta AND combina dois ou mais sinais de entrada de forma equivalente a um circuito em série, para produzir um único sinal de saída, ou seja, ela produz u ma saída 1, se todos os sinais de entrada forem 1; caso qualquer um dos sinais de entrada for 0, a porta AND produz um sinal de saída igual a 0. Usaremos o símbolo . para a operação AND (E).

A tabela-verdade e o símbolo da porta AND com duas entradas são:

Exemplo: Uma campainha que toca (saída S) se o motorista der partida no motor do carro (entrada A) sem estar com o cinto de segurança afivelado (entrada B). Esboce o circuito lógico, a função booleana e a tabela-verdade correspondente. Convenção: ignição for acionada (1) e o cinto estiver desafivelado (1), a campainha toca (1). Caso contrário, a campainha não toca. O circuito lógico, a função booleana e a tabela–verdade correspondem às de uma porta AND.

Atenção

Observe que a tabela-verdade da porta NOT é idêntica à tabela de pertinência do complementar. A tabela da porta OR tem semelhança dom a tabela de pertinência da união e a da porta AND com a tabela de pertinência da interseção. Há semelhança também com as tabelas-verdade para as proposições ¬p ( Negação), p∨q ( disjunção) e p∧q ( conjunção). A diferença é que, nas tabelas das portas e nos conjuntos usamos 0 e 1, e nas proposições usamos F e V.

68


Porta AND com três entradas A tabela verdade apresenta 23 = 8 linha

4.4. Porta Nand e Porta Nor.

Em muitos casos é necessário fazer combinações de portas básicas, formando portas mais complexas, de modo a reduzir espaços nos diagramas dos circuitos.

Por exemplo, a porta NAND nada mais é do que a negação da

porta AND, com saída S = BA. . A tabela-verdade e sua representação são dadas abaixo:

A porta NOR é obtida pela negação da porta OR e sua saída é

representada por S = BA + . A sua tabela-verdade e representação simbólica são:

4.5. Portas XOR e XNOR

Destacamos ainda as portas XOR e XNOR representadas respectivamente pelos símbolos e tabelas a seguir:

69


PORTA XOR A ⊕ B = (A + B) . (A.B)’ = A.B’ + A’.B

PORTA XNOR BA ⊕ = ((A + B). (A.B)’ )’ = (A’+B).(A+B’)

4.6 Portas Lógicas Equivalentes

Dizemos que 2 portas lógicas são equivalentes se têm a mesma tabela-verdade.

Exemplo: S1 = (A+B) . (A + C) S 2 = A+ B.C

4.7 Propriedades das Portas Lógicas.

Apresentamos abaixo, uma tabela contendo identidades em Álgebra de Boole.

70


Observe que podemos provar que os circuitos S1 = (A+B) . (A + C) e S 2 = A + B.C são equivalentes aplicando as identidades acima:

S1 = (A+B) . (A + C) = A. (A+C) + B(A+C) = A.A + A.C + B.A + B.C = A + A.C + B.A + B.C= A( 1+ C) + B.A + B.C = A.1 + A.B + BC = A(1 + B) + B. C = A.1 + B.C = A + B.C

Aprenda Praticando

Exercícios 4.1: Pratique seus conhecimentos na elaboração da tabela-verdade de circuitos lógicos.

1. Desenhe o circuito lógico com entradas A, B e C e saída S correspondente a cada expressão booleana e a respectiva tabela-verdade

a) S = ABC + C C BA +

b) A B C + ABC + A C B

c) S = (A+B) .(A + C)

d) S = A + B.C

2. Desenhe o circuito lógico de cada uma das expressões booleanas de saídas S1 e S2 e verifique por meio da tabela-verdade se são equivalentes:

ta) S1 = X ⊕ Y S 2 = X.Y + X .Y

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b) S1 = (A + B).( A + C).(B + C) S 2 = (A.C) + ( A .B)

c) S1 = A + A.B S 2 = A

d) S1 = A + A .B S 2 = A + B

e) S1 = ABC + AC + A B S 2 = A

f) S1 = BA + S2 = B A

g) S1 = BA. S2 = B +A

3. Faça a tabela-verdade de cada uma das portas lógicas abaixo indicadas e diga quais as que são equivalentes.

4. Escreva a expressão booleana de cada porta lógica OR usando apenas portas AND e inversor:a) S = A + B

b) S = BA +

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c) S =

BA +

d) S = BA +

e) S = A + AB

f) S = AB + A B

5. A porta NAND sozinha é suficiente para conceber qualquer função-verdade porque as redes que usam apenas as portas NAND podem realizar as tarefas de portas inversoras, portas OR e portas AND. Os circuitos a seguir mostram isso:

6. Analogamente à questão anterior, podemos construir as portas inversoras, portas OR e portas AND usando apenas portas NOR. Mostre isso, fazendo os respectivos circuitos.

7. Demonstre por meio da tabela-verdade que:

a) A( A + B ) = A

b) A( A + B ) = AB

c) AB + A B = A

d) ( A + B ) ( A + B) = B

8. Uma firma de audiovisuais por entrega em domicílio dispõe de um mecanismo de controle automático para supervisionar o empacotamento das remessas. A firma vende CD, DVD, VIDEO e GAME. Como bonificação, é adicionado tíquete de desconto, em todas as encomendas que incluam CD e DVD ou que incluam CD e VÍDEO, ou ainda que incluam DVD e GAME. Projetar uma rede lógica

73


que controle quando o tíquete deve ser incluído. Faça a expressão Booleana e a tabela-verdade.

9. Uma luz no corredor de uma casa é controlada por dois interruptores, um em cada extremo. Encontre a expressão booleana e um circuito lógico que permita que a luz seja ligada e desligada em ambos os interruptores.

10. Imagine um sistema de segurança de uma loja. Há um sensor de contato que, ligado (1) indica que a porta está fechada. Existe outro sensor infravermelho que, ligado (1) indica que não há pessoas ou coisas a moverem-se no interior da loja. Há um alarme (saída) que é acionado quando um dos sensores é desligado. Faça o circuito lógico, a expressão booleana e a tabela-verdade correspondente.

11. Um comitê de três pessoas toma decisões pela maioria de votos. Cada membro do comitê pode registrar “sim” pressionando um botão. Projete um circuito lógico que faça acender uma lâmpada quando e somente quando a maioria dos votos for “sim”. Faça o circuito lógico, a expressão booleana e a tabela-verdade correspondente.

12. ENADE(2005). João, ao tentar consertar o módulo eletrônico de um carrinho eletrônico, levantou as características de um pequeno circuito digital incluso no módulo. Verificou que o circuito tinha dois bits de entrada, x0 e x1, e um bit de saída. Os bits x0 e x1 eram utilizados para representar valores inteiros de 0 a 3 (x0, o bit menos significativo e x1, o bit mais significativo). Após testes, João verificou que a saída do circuito é 0 para todos os valores de entrada, exceto para o valor 2. Qual das expressões a seguir representa adequadamente o circuito analisado por João?

a) x0 AND (NOTx1)

b) (NOTx0 )OR (NOTx1)

c) (NOTx0 )AND x1

d) x0 ANDx1

e) x0 OR (NOTx1)

13. Escreva a expressão booleana de cada um dos circuitos de entradas A e B, abaixo indicados. Verifique por meio da tabela-verdade se são circuitos equivalentes.(AV-1 2006.1).

74


14. Os números inteiros não negativos N, menores do que 10, podem ser representados na notação binária da maneira que se segue:

Se representamos os números binários sob a forma N = A3 A2 A1 A0, construir um circuito lógico, a tabela verdade e uma função booleana que retorne 1, apenas quando o número representado em binário seja 3, 6, 7 ou 8.

15. Nas condições da questão 14, construa a tabela verdade e a expressão booleana correspondente a condição de que o número inteiro N seja primo.

16. Um comitê consiste de Presidente(P), Diretor(D), Secretário(S) e Tesoureiro (T). Um projeto é aprovado pelo comitê se e somente se, recebe a maioria dos votos ou o voto do presidente mais o voto de outro membro. Cada membro do comitê aperta um botão aperta um botão para aprovar o projeto. Projete um circuito lógico cuja saída seja 1 se o projeto for aprovado pelo comitê. Faça a tabela verdade e a expressão booleana do circuito.

17. Faça a tabela verdade das seguintes portas XOR

a) S = (A⊕B)⊕C

b) S = A⊕(B⊕C)

c) S = (A⊕B)⊕(C⊕D)

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Respostas dos Exercícios

Confira suas respostas. Caso elas não coincidam com as apresentadas aqui, discuta com seus colegas. Consulte seu tutor.

08. S = CD + .DVD + CD. VÍDEO + DVD. GAME

09. BABAS .. +=

10. S = A. BABAB .. ++ ou S = BA.

11. S = AB ABCBCACBAC +++ ou S = A.B + B.C + A.C

12. Resp. c

14. S = 0123012301230123 AAAAAAAAAAAAAAAA +++

15. S= A3.[ ] A A A 012 012012012 AAAAAAAAA +++

17.

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Saiba Mais

Finalizamos este fascículo com uma introdução ao estudo das portas lógicas. Estudamos os diversos tipos de portas lógicas, como obtemos portas lógicas equivalentes. Uma das mais importantes descobertas é a relação entre as portas lógicas, as operações entre conjuntos e as proposições lógicas, no que se refere a tabela-verdade de cada uma delas.

Se você tem interesse em conhecer mais sobre o assunto de portas lógicas, poderá estudar pelos seguintes livros:

DAGHLIAN, Jacob. Lógica e Álgebra de Boole. São Paulo: Atlas, 1995.

MENDELSON, Elliott. Álgebra Booelana e circuitos de chaveamento: resumo e teoria. São Paulo: McGraw Hill, 1977.

Atenção

Sempre é proposto aos estudantes de Matemática um grande número de exercícios de rotina, cuja resolução é muitas vezes longa, envolvendo muito cálculos e, acima de tudo, exigindo que se memorize um algoritmo, isto é, um método de resolução.

Matematica discreta fasciculo_1_v7

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