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Conjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados

Matematica Discreta

Agustın G. Bonifacio

UNSL


Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta

Conjuntos Parcialmente Ordenados y ReticuladosConjuntos Parcialmente OrdenadosElementos Maximales y MinimalesReticulados


Capıtulo 4 del libro de B. Kolman, R. Busby y S. Ross.

Definicion

Una relacion R sobre un conjunto X es un orden orden parcial sies reflexiva, antisimetrica y transitiva. El conjunto A con el ordenparcial R se llama conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.) y seescribe (A,R).

Ejemplo

Sea A una coleccion de subconjuntos de un cierto conjunto X. Larelacion “⊆” de inclusion de conjuntos es un orden parcial en A,

por lo cual (A,⊆) es un c.p.o.



Ejemplo

Sea Z+ el conjunto de los enteros positivos. La relacion “≤”(menor o igual) es un orden parcial sobre Z+, al igual que “≥”(mayor o igual).

Ejemplo

La relacion “<” (menor) no es orden parcial, ya que no es reflexiva.

Ejercicio

Ver que si R es un orden parcial sobre A y R−1 es la relacioninversa de R (esto es, aR−1b ⇐⇒ bRa), entonces R−1 es un ordenparcial en A.



Definicion

El c.p.o. (A,R−1) se llama dual del c.p.o. (A,R), y al ordenparcial R−1 se le llama dual del orden parcial R.

Notacion

En general, en vez de R escribiremos 6, y en vez de R−1

escribiremos > .

Definicion

Si (A,6) es un c.p.o, dos elementos a y b de A se dicencomparables si a 6 b o b 6 a. Si cada par de elementos en unc.p.o. es comparable, se dice que A esta linealmente ordenado (ototalmente ordenado) y que 6 es un orden lineal (orden total ocadena).



Ejemplo

(Z+,≤) esta linealmente ordenado, pero (A,⊆) (del primerejemplo), no.

El siguiente teorema muestra como construir un c.p.o. a partir deotros c.p.o.

Teorema 1

Sean (A,6A) y (B,6B) dos c.p.o. Definamos la relacion 6A×B enel conjunto A×B de la siguiente manera:

(a, b) 6A×B (a′, b′) si y solo si a 6A a′ y b 6B b′.

Entonces (A×B,6A×B) es un c.p.o.



(a, b) 6A×B (a′, b′) si y solo si a 6A a′ y b 6B b′.

Demostracion:

Sea (a, b) ∈ A×B. Por reflexividad de 6A, a 6A a. Por reflexividad de

6B , b 6B b. Entonces, por definicion de 6A×B, (a, b) 6A×B (a, b). Porlo tanto, 6A×B es reflexiva.

Sean (a, b) y (a′, b′) en A×B. Supongamos que (a, b) 6A×B (a′, b′) yque (a′, b′) 6A×B (a, b). Por definicion de 6A×B tenemos que a 6A a′ y

que a′6A a. Por antisimetrıa de 6A, a = a′. Analogamente, como

b 6B b′ y b′ 6B b, la antisimetrıa de 6B implica que b = b′. Concluımos

entonces que (a, b) = (a′, b′), por lo que 6A×B es antisimetrica.

Sean (a, b), (a′, b′) y (a′′, b′′) en A×B. Supongamos que

(a, b) 6A×B (a′, b′) y que (a′, b′) 6A×B (a′′, b′′). Por definicion de

6A×B , tenemos a 6A a′ y a′6A a′′, y por transitividad de 6A, llegamos

a que a 6A a′′. Analogamente, como b 6B b′ y b′ 6 b′′, por transitividad

de 6B llegamos a que b 6B b′′. Concluımos entonces, por definicion de

6A×B , que (a, b) 6A×B (a′′, b′′), por lo que 6A×B es transitiva. �



Observacion

Al orden parcial 6A×B definido en el Teorema anterior se le llamaorden parcial del producto.

Definicion

Si (A,6) es un c.p.o., se escribe a < b si a 6 b pero a 6= b.

Otro orden parcial util que puede definirse en el productocartesiano de dos c.p.o. es el orden lexicografico.

Definicion

Sean (A,6A) y (B,6B) dos c.p.o. El orden lexicografico enA×B, denotado por ≺A×B , se define de la siguiente manera:

(a, b) ≺A×B (a′, b′) ⇐⇒ a <A a′ o (a = a′ y b 6B b′).



Ejemplo

Sean A = R y ≤ su orden usual. Entonces el plano R2 puede

ordenarse lexicograficamente.

Aquı p1 ≺ p2, p1 ≺ p3 y p2 ≺ p3.



Ejemplo

Sea S = {a, b, c, . . . , z} es alfabeto con el orden usual. EntoncesSn es el conjunto de palabras de longitud n. El orden lexicograficoen Sn da el orden de diccionario de las palabras.

Teorema

El digrafo de un orden parcial no tiene ciclos de longitud mayorque 1.

Demostracion: Supongamos que el digrafo asociado al ordenparcial 6 sobre A tiene un ciclo de longitud n ≥ 2. Entoncesexisten a1, . . . , an distintos en A tales que

a1 6 a2, a2 6 a3, . . . , an−1 6 an, an 6 a1.

Por transitividad, a1 6 an. Como ademas an 6 a1, por antisimetrıaa1 = an. �



Diagrama de Hasse

Dado un c.p.o. 6, borramos del digrafo asociado:

1 Los lazos implicados por la reflexividad,

2 Las aristas implicadas por la transitividad.

Ejemplo

Digrafo y diagrama de Hasse para (A,6) con A = {a, b, c} ya 6 b 6 c.



Ejemplo

Sean X = {a, b, c} y A = P(X). El diagrama de Hasse de A

ordenado con ⊆ es el siguiente:



Observaciones

1 El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado linealmente esuna lınea vertical.

2 Si (A,6) es un c.p.o. y (A,>) es su dual, el diagrama deHasse de (A,>) es el de (A,6) girado cabeza abajo.

Dado un c.p.o. (A,6), a veces es necesario encontrar un ordenlineal � del conjunto A que extienda al orden parcial, en el sentidode que a 6 b =⇒ a � b. El proceso de construccion de un talorden � se denomina clasificacion topologica.



Ejemplo

Existen muchas maneras de hacer una clasificacion topologica.Para el siguiente c.p.o.

existen (por lo menos) las siguientes dos:

1 a � b � c � d � e � g � f,

2 a � c � g � b � d � e � f.



Definicion

Sea (A,6) un c.p.o.

1 Un elemento a ∈ A se llama elemento maximal de A si noexiste un c ∈ A tal que a < c.

2 Un elemento b ∈ A se llama elemento minimal de A si noexiste un c tal que c < b.

Observacion

Si (A,>) es el dual de (A,6), a es maximal (minimal) de (A,6)si y solo si a es minimal (maximal) de (A,>).

Ejemplo

1 (R+,≤), el 0 es minimal y no tiene maximales.

2 (Z,≤) no tiene ni minimales ni maximales.



Ejemplo

Un c.p.o. con tres elementos maximales y tres elementosminimales.



Teorema

Sea (A,6) un c.p.o. finito. Entonces A tiene al menos un maximaly al menos un minimal.

Demostracion: Sea a ∈ A. Si a no es maximal, existe un a1 ∈ A

tal que a < a1. Si a1 no es maximal, existe un a2 ∈ A tal quea1 < a2. Como A es finito este argumento no puede extenderseindefinidamente y, en el peor de los casos, obtendremos unacadena finita

a < a1 < . . . < ak−1 < ak

que no podra extenderse, por lo que ak es un elemento maximal de(A,6). Usando el mismo argumento podemos asegurar existenciade elemento maximal en el dual (A,>), por lo cual (A,6) tiene unelemento minimal. �



Definicion

Sea (A,6) un c.p.o.

1 Un elemento a ∈ A es un maximo de A si x 6 a para todo x ∈ A.

2 Un elemento a ∈ A es un mınimo de A si a 6 x para todo x ∈ A.

Ejemplo

1 Sea X = {a, b, c} y A = P(X) ordenado por la inclusion deconjuntos, ⊆ . Entonces el mınimo es ∅ y el maximo es X.

2 (Z,≤) no tiene ni mınimo ni maximo.

Teorema

Un c.p.o. tiene a lo sumo un maximo y a lo sumo un mınimo.

Demostracion: Supongamos que a y b son maximos. Entonces a 6 b yb 6 a. Por antisimetrıa, a = b. La prueba para unicidad del mınimo essimilar. �



Definicion

Sean (A,6) un c.p.o. y B ⊆ A.

1 Un a ∈ A es cota superior de B si b 6 a para todo b ∈ B.

2 Un a ∈ A es cota inferior de B si a 6 b para todo b ∈ B.

3 Un a ∈ A es cota superior mınima de B (o supremo de B) si:(i) a es cota superior de B, y (ii) si a′ ∈ A es otra cotasuperior de B, entonces a 6 a′.

4 Un a ∈ A es cota inferior maxima de B (o ınfimo de B) si: (i)a es cota inferior de B, y (ii) si a′ ∈ A es otra cota inferior deB, entonces a′ 6 a.



Ejemplo

B1 = {a, b}

No tiene cotas inferiores.

Cotas superiores:c, d, e, f, g, h.

sup(B1) = c.

No existe ınf(B1).

B2 = {c, d, e}

Cotas inferiores: a, b, c.

Cotas superiores: f, g, h.

No existe sup(B2), ya quef y g no se puedencomparar.

ınf(B2) = c.



Teorema

Sea (A,6) un c.p.o. Todo B ⊆ A tiene a lo sumo un supremo y alo sumo un ınfimo.

Demostracion: Ejercicio (similar al de unicidad de maximo). �



Reticulados

Definicion

Un reticulado (o lattice) es un c.p.o. (A,6) en el cual cadasubconjunto de dos elementos tiene ınfimo y supremo. Es decir, unreticulado es un (A,6,∧,∨) tal que para cualquier par a, b ∈ A

tenemos:

1 a ∧ b ≡ ınf{a, b},

2 a ∨ b ≡ sup{a, b}.



Ejemplo

Sea X un conjunto y A = P(X). Si definimos, para cada par desubconjuntos X1 y X2 del conjunto X el ınfimo y el supremo de lasiguiente forma:

1 X1 ∧X2 ≡ X1 ∩X2,

2 X1 ∨X2 ≡ X1 ∪X2,

entonces (A,⊆,∧,∨) es un reticulado.



Con X = {a, b, c} tenemos el siguiente diagrama de Hasse:



Definicion

Sean a, b ∈ N. Decimos que a divide a b, lo que denotamos a|b, si existeun k ∈ N tal que b = a · k.

Ejemplo

Sea D6 = {1, 2, 3, 6} el conjunto de losdivisores de 6. El conjunto D6 junto con larelacion de divisibilidad forman un c.p.o. Sidefinimos el ınfimo entre dos elementos de D6

como el maximo comun divisor (MCD) entreellos y el supremo como el mınimo comunmultiplo (MCM) entre ellos, obtenemos elreticulado (D6, |,MCD,MCM). Su diagramade Hasse es el siguiente:



¿Cuales de los siguientes diagramas corresponden a un reticulado?

SI es un reticulado.

NO es reticulado(falta f ∨ g).

NO es reticulado(faltan d ∧ e, b ∨ c).



Observacion

Sea (A,6) un c.p.o. y sea (A,>) su dual. Si (A,6,∧,∨) es unreticulado, entonces (A,>,∧′,∨′) con ∧′ = ∨ y ∨′ = ∧, tambienes un reticulado.

Teorema

Si (A,6A) y (B,6B) son reticulados, entonces (A×B,6A×B)tambien es un reticulado.



Teorema

Si (A,6A) y (B,6B) son reticulados, entonces (A×B,6A×B) tambienes un reticulado.

Demostracion: Como (A,6A) es reticulado, tenemos definidos tanto elınfimo ∧A como el supremo ∨A entre dos elementos cualesquiera de A.

Analogamente, tenemos definidos tanto ∧B como ∨B en B. Tenemosentonces que definir, en base a estas operaciones, las operaciones deınfimo y supremo en A×B. Dados dos elementos cualesquiera(a, b), (a′, b′) en A×B, sean:

1 (a, b) ∧A×B (a′, b′) ≡ (a ∧A a′, b ∧B b′),

2 (a, b) ∨A×B (a′, b′) ≡ (a ∨A a′, b ∨B b′).

Se deja como ejercicio verificar que estas definiciones, de hecho, secorresponden con los ınfimos y supremos de pares de elementos de A×B

con el orden producto. �



Definicion

Sea (A,6,∧,∨) un reticulado. Un subconjunto no vacıo S de A esun subreticulado (o sublattice) si, para todo par a, b ∈ S se cumpleque a ∧ b ∈ S y a ∨ b ∈ S.

Ejemplo:

Reticulado original.NO es subreticulado(falta a ∨ b = c).

SI es subreticulado.



Definicion

Sean (A,6,∧,∨) y (A′,6′,∧′,∨′) dos reticulados. Una funcionbiyectiva f : A → A′ es un isomorfismo de (A,6,∧,∨) en(A′,6′,∧′,∨′) si, para cualquier par a, b ∈ A, se tiene

1 f(a ∧ b) = f(a) ∧′ f(b), y

2 f(a ∨ b) = f(a) ∨′ f(b).

Si f : A → A′ es un isomorfismo, decimos que A y A′ sonisomorfos.

Observaciones

Si A y A′ son isomorfos bajo el isomorfismo f : A → A′, entoncespara todo par a, b ∈ A,

a 6 b ⇐⇒ f(a) 6′ f(b).

Los diagramas de Hasse de dos reticulados isomorfos son identicos.



Ejemplo

Consideremos el reticulado (D6, |,MCD,MCM) y el reticulado

(P(X),⊆,∩,∪) donde X = {a, b}. La funcion f : D6 → P(X) definida por:

f(1) = ∅,

f(2) = {a},

f(3) = {b},

f(6) = {a, b},

es un isomorfismo. Los diagramas de Hasse de D6 y P(X) son equivalentes:



Teorema

Sea (A,6,∧,∨) un reticulado. Entonces, para todo par a, b ∈ A :

1 a ∨ b = b ⇐⇒ a 6 b,

2 a ∧ b = a ⇐⇒ a 6 b,

3 a ∨ b = b ⇐⇒ a ∧ b = a.

Demostracion: Veamos (1). (=⇒) Supongamos a ∨ b = b. Pordefinicion de supremo, a 6 a ∨ b. Como a ∨ b = b, se sigue quea 6 b.

(⇐=) Supongamos a 6 b. Como ademas (por reflexividad) b 6 b,

tenemos que b es cota superior de a y b. Por ser a∨ b cota superiormınima (supremo) y b cota superior, a∨ b 6 b. Por otro lado, a ∨ b

es cota superior de b, por lo que b 6 a ∨ b. Entonces, porantisimetrıa, al tener a∨ b 6 b y b 6 a∨ b, se deduce que a∨ b = b.

La parte (2) es similar a la parte (1). La parte (3) es consecuenciainmediata de (1) y (2). �



Teorema

Sea (A,6,∧,∨) un reticulado y sean a, b y c elementos de A. Entoncesvalen las siguientes propiedades:

1 Idempotencia: a ∧ a = a y a ∨ a = a

2 Conmutatividad: a ∧ b = b ∧ a y a ∨ b = b ∨ a

3 Asociatividad: a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c y a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c

4 Absorcion: a ∧ (a ∨ b) = a y a ∨ (a ∧ b) = a

Demostracion: Ejercicio. �

Observacion

Se sigue de la propiedad de asociatividad que a ∨ (b ∨ c) y (a ∨ b) ∨ c sepueden escribir simplemente como a ∨ b ∨ c. (Lo mismo ocurre para ∧).Mas aun, se puede escribir sup{a1, a2, . . . , an} = a1 ∨ a2 ∨ . . . ∨ an. (Lomismo ocurre para el ınf).



Definicion

Un reticulado (A,6,∧,∨) se dice acotado si tiene un elementomaximo I y un elemento mınimo 0.

Ejemplo

(Z+, |,MCD,MCM) no es un reticulado acotado ya que, si bientiene un elemento mınimo, el numero 1, no tiene un elementomaximo.

Ejemplo

(Z,≤) no es acotado ya que no posee ni mınimo ni maximo.

Ejemplo

Dado un conjunto X, si A = P(X) entonces (A,⊆,∩,∪) esacotado. Su elemento maximo es X y su elemento mınimo es ∅.



Observacion

Si (A,6,∧,∨) es un reticulado acotado, entonces para todoa ∈ A :

1 0 6 a 6 I,

2 a ∧ 0 = 0,

3 a ∨ 0 = a,

4 a ∧ I = a,

5 a ∨ I = I.

Teorema

Sea (A,6,∧,∨) un reticulado finito, con A = {a1, . . . , an}.Entonces (A,6,∧,∨) es acotado.

Demostracion: El elemento maximo es a1 ∨ a2 ∨ . . . ∨ an y elelemento mınimo es a1 ∧ a2 ∧ . . . ∧ an. �



Definicion

Un reticulado (A,6,∧,∨) se dice distributivo si, para cualquierterna a, b, c de elementos de A se cumple que:

1 a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c),

2 a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Si (A,6,∧,∨) no es distributivo, se dice que es no distributivo.

Ejemplo

Dado un conjunto X no vacıo, (P(X),⊆,∩,∪) es un reticuladodistributivo, ya que la union y la interseccion de conjuntossatisfacen las leyes distributivas.



Ejemplo

Los siguientes reticulados son no distributivos:

Pentagono N5

d ∧ (b ∨ c) = d ∧ e = d

(d ∧ b) ∨ (d ∧ c) = b ∨ a = b

Diamante M3

b ∧ (c ∨ d) = b ∧ e = b

(b ∧ c) ∨ (b ∧ d) = a ∨ a = a



Teorema

Un reticulado es no distributivo si y solo si contiene unsubreticulado isomorfo con uno de los reticulados del ejemploanterior (N5 o M3).

Demostracion: Fuera del alcance de este curso. �



Definicion

Sea (A,6,∧,∨) un reticulado acotado con maximo I y mınimo 0,y sea a ∈ A. Un elemento a′ ∈ A se dice complemento de a si

1 a ∨ a′ = I, y

2 a ∧ a′ = 0.

Observacion

Notese que 0′ = I y I ′ = 0.

Ejemplo

Dado un conjunto X no vacıo, (P(X),⊆,∩,∪) es tal que cadaelemento tiene su complemento, el que viene dado por su conjuntocomplementario. Por ejemplo, sea X = {a, b, c}. Entonces, elcomplemento de {a} es {b, c}.



Ejemplo

El elemento c de los reticulados N5 y M3 tiene doscomplementos, b y d.

Teorema

Sea (A,6,∧,∨) un reticulado acotado y distributivo. Si uncomplemento existe, entonces es unico.

Definicion

Un reticulado (A,6,∧,∨) acotado se dice complementado si cadaelemento de A tiene un complemento.



Ejemplo

Dado un conjunto X no vacıo, el reticulado (P(X),⊆,∩,∪) estacomplementado. Ademas, al ser el reticulado distributivo, loscomplementos son siempre unicos.

Ejemplo

Los reticulados no distributivos N5 y M3 estan complementados.Sin embargo, algunos de sus elementos tienen mas de uncomplemento.


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