Matemática e Raciocínio Lógico Análise Combinatória … · Arranjo É uma seleção (não se...

Matemtica e Raciocnio Lgico

Anlise Combinatria

Prof. Dudan

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Matemtica e Raciocnio Lgico

ANLISE COMBINATRIA

Fatorial

Ao produto dos nmeros naturais comeando em n e decrescendo at 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!.

n! = n.(n 1).(n 2).(n 3)..... 3. 2. 1

Exemplo:

7! = 7.6.5.4.3.2.1 12! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

Faa voc

Determine:

a) 5! = b) 6! = c) 4! + 2! =

d) 6! 5! = e) 3!2! = f) 5! 3!=

Princpio da Contagem

Os primeiros passos da humanidade na matemtica estavam ligados necessidade de contagem de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. Mas as situaes se tornavam mais complexas, ficando cada vez mais difcil fazer contagens a partir da enumerao dos elementos.

A anlise combinatria possibilita a resoluo de problemas de contagem, importante no estudo das probabilidades e estatsticas.

Problema: Para eleio de uma comisso de tica, h quatro candidatos a presidente (Adolfo, Mrcio, Bernardo e Roberta) e trs a vice-presidente (Luana, Diogo e Carlos).

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Quais so os possveis resultados para essa eleio?

12RESULTADOS

POSSVEISPARA ELEIO

RESULTADOS POSSVEIS PARA ELEIOVICE-PRESIDENTEPRESIDENTE

O esquema que foi montado recebe o nome de rvore das possibilidades, mas tambm podemos fazer uso de tabela de dupla entrada:

VICE-PRESIDENTE

PRESIDENTE L D C

A AL AD AC

M ML MD MC

B BL BD BC

R RL RD RC

Novamente podemos verificar que so 12 possibilidades de resultado para eleio.

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PRINCPIO MULTIPLICATIVO

Voc sabe como determinar o nmero de possibilidades de ocorrncia de um evento, sem necessidade de descrever todas as possibilidades?

Vamos considerar a seguinte situao:

Edgar tem 2 calas (preta e azul) e 4 camisetas (marrom, verde, rosa e branca).

Quantas so as maneiras diferentes que ele poder se vestir usando uma cala e uma camiseta?

Construindo a rvore de possibilidades:

Edgar tem duas possibilidades de escolher uma cala para cada uma delas, so quatro as possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o nmero de maneiras diferentes de Edgar se vestir 2.4 = 8.

Como o nmero de resultados foi obtido por meio de uma multiplicao, dizemos que foi aplicado o PRINCPIO MULTIPLICATIVO.

LOGO: Se um acontecimento ocorrer por vrias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que:

p1 o nmero de possibilidades da 1 etapa; p2 o nmero de possibilidades da 2 etapa;

.

.

. pk o nmero de possibilidades da k-sima etapa;

Ento o produto p1 . p2 ... pk o nmero total de possibilidades de o acontecimento ocorrer.

De maneira mais simples poderamos dizer que: Se um evento determinado por duas escolhas ordenadas e h n opes para primeira escolha e m opes para segunda, o nmero total de maneiras de o evento ocorrer igual a n.m.

De acordo com o princpio fundamental da contagem, se um evento composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o nmero de combinaes ser determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto.

EVENTO = etapa1 x etapa2 x etapa3 x ... etapan

Exemplo:

Vamos supor que uma fbrica produza motos de tamanhos grande, mdio e pequeno, com motores de 125 ou 250 cilindradas de potncia. O cliente ainda pode escolher as seguintes cores: preto, vermelha e prata. Quais so as possibilidades de venda que a empresa pode oferecer?

Tipos de venda: 3 . 2 . 3 = 18 possibilidades

CAMISETAS

MANEIRAS DE EDGAR SE VESTIR

CALAS


Tamanho Motor Cor

Grande125 Preta

VermelhaPrata250

Mdia125 Preta

VermelhaPrata250

Pequena125 Preta

VermelhaPrata150

Listando as possibilidades, tem-se:

Grande 125 cc pretaGrande 125 cc vermelhaGrande 125 cc prataGrande 250 cc pretaGrande 250 cc vermelhaGrande 250 cc prata

Mdia 125 cc pretaMdia 125 cc vermelhaMdia 125 cc prataMdia 250 cc pretaMdia 250 cc vermelhaMdia 250 cc prata

Pequena 125 cc pretaPequena 125 cc vermelhaPequena 125 cc prataPequena 250 cc pretaPequena 250 cc vermelhaPequena 250 cc prata

Problema:

Os nmeros dos telefones da cidade de Porto Alegre tm oito dgitos. Determine a quantidade mxima de nmeros telefnicos, sabendo que os nmeros no devem comear com zero.

Resoluo:

9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 90.000.000

Problema:

Utilizando os nmeros 1,2,3,4 e 5, qual o total de nmeros de cinco algarismos distintos que consigo formar?

Resoluo: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

1. Uma pessoa est dentro de uma sala onde h sete portas (nenhuma trancada). Calcule de quantas maneiras distintas essa pessoa pode sair da sala e retornar sem utilizar a mesma porta.

a) 77b) 49c) 42d) 14e) 8



2. Uma melodia uma sequncia de notas musicais. Para compor um trecho de trs notas musicais sem repeti-las, um msico pode utilizar as sete notas que existem na escala musical. O nmero de melodias diferentes possveis de serem escritas :

a) 3b) 21c) 35d) 210e) 5.040

3. A figura abaixo pode ser colorida de diferentes maneiras, usando-se pelo menos duas de quatro cores disponveis.

Sabendo-se que duas faixas consecutivas no podem ter cores iguais, o nmero de modos de colorir a figura :

a) 12b) 24c) 48d) 72e) 108

4. O nmero de fraes diferentes entre si e diferentes de 1 que podem ser formados com os nmeros 3, 5, 7, 11, 13, 19 e 23 :

a) 35b) 42c) 49d) 60e) 120


5. Lucia est se preparando para uma festa e separou 5 blusas de cores diferentes (amarelo, preto, rosa , vermelho e azul), 2 saias (preta, branca) e dois pares de sapatos (preto e rosa). Se nem o sapato nem a blusa podem repetir a cor da saia, de quantas maneiras Lucia poder se arrumar para ir a festa?

a) 26b) 320c) 14d) 30e) 15

Identificao

SIM NO

USA TUDO E EMBARALHA?

PERMUTAO

ARRANJO COMBINAO

A ORDEM IMPORTA?



Permutao

Permutao Simples

caracterizada por envolver todos os elementos, nunca deixando nenhum de fora. Muito comum em questes que envolvem anagramas de palavras.

Frmula: Pn = n!

Exemplo:

Quantos anagramas possui a palavra AMOR.

Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutao dessas letras, de modo a formar ou no palavras.

Temos 4 possibilidades para a primeira posio, 3 possibilidades para a segunda posio, 2 possibilidades para a 3 posio e 1 possibilidade para a quarta posio.

Pelo princpio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas.

Pela prpria frmula faremos P4 = 4! = 4.3.2.1= 24 anagramas.

Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

Faa voc

6. Quantos anagramas possui a palavra CHAPU?

a) 24b) 40c) 120d) 720e) 5.060


7. Quantos anagramas possui a palavra GACHOS de modo que as vogais fiquem juntas?

a) 24b) 40c) 120d) 720e) 5.060

8. Cinco amigos Ana, Bernardo, Carlos, Dbora e Elisa esto sentados num banco de uma praa. Calcule de quantas maneiras podemos disp-los sendo que Ana, Bernardo e Carlos sempre estejam juntos.

a) 6b) 12c) 24d) 36e) 48

E se houver elementos repetidos??

Assim, temos a Permutao com Repetio na qual deveremos descontar" os elementos repetidos pois a troca de posio entre dois elementos repetidos no evidencia uma nova estrutura.

Permutao com repetio



Faa voc

9. Calcule a quantidade de anagramas da palavra BANANA.

a) 24b) 60c) 120d) 720e) 5.060

10. Calcule de quantas maneiras podemos enfileirar quatro bolinhas vermelhas, uma preta e 2 azuis, sendo todas as bolinhas indistinguveis a no ser pela cor.

a) 5.040b) 720c) 210d) 120e) 105

11. Uma pessoa dispe de 4 livros de matemtica, 2 livros de fsica e 3 livros de qumica, todos distintos entre si. O nmero de maneiras diferentes de arrumar esses livros numa fileira de modo que os livros de cada matria fiquem sempre juntos :

a) 1.728b) 1.287c) 1.872d) 2.781e) 2.000

Arranjo

uma seleo (no se usam todos ao mesmo tempo!), em que a ordem faz diferena.

Muito comum em questes de criao de senhas, nmeros, telefones, placas de carro, competies, disputas, situaes em que houver hierarquia.

Dica:Deve ser resolvido usando o P. F da Contagem

Frmula: Anp = n!

(np)!


Exemplo:

Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0, 1, 2, ..., 9. O segredo do cofre marcado por uma sequncia de 3 dgitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas dever fazer (no mximo) para conseguir abri-lo?

Soluo: As sequncias sero do tipo xyz. Para a primeira posio teremos 10 alternativas; para a segunda, 9; e para a terceira, 8. Podemos aplicar a frmula de arranjos, mas pelo princpio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:

10. 9. 8 = 720.Observe que 720 = A10,3

Faa voc

12. Em uma escola est sendo realizado um torneio de futebol de salo, no qual dez times esto participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno?

a) 90b) 60c) 45d) 15e) 10

13. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 pases, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os pases que se classificariam nos trs primeiros lugares (por exemplo: primeiro lugar, Brasil; segundo lugar, Nigria; terceiro lugar, Holanda).

Se, em cada tampinha, os trs pases so distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

a) 69b) 2.024c) 9.562d) 12.144e) 13.824

14. Num curso de ps-graduao, Marcos, Nlson, Osmar e Pedro so candidatos a representantes da turma da qual fazem parte. Sero escolhidas duas dessas quatro pessoas: uma para representante e a outra para ser o auxiliar desse representante. Quantas duplas diferentes de representante e auxiliar podem ser formadas?

a) 24b) 18c) 16d) 12e) 6



Combinao

uma seleo (no se usam todos ao mesmo tempo!) onde a ordem NO faz diferena.

Muito comum em questes de criao de grupos, comisses e agrupamentos em que no h distino pela ordem dos elementos escolhidos.

Frmula: Dica:S pode ser resolvido usando a frmula, mas iremos aprender o mtodo prtico!

Calcule:

Exemplo Resolvido:Uma prova consta de 5 questes das quais o aluno deve resolver 2. De quantas formas ele poder escolher as 2 questes?

Soluo: Observe que a ordem das questes no muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinao.

Aplicando a frmula, chegaremos a:

C5,2 = 5! / [(5-2)! . 2!] = 5! / (3! . 2!) = 5.4.3.2.1. / 3.2.1.2! = 20/2 = 10

Mtodo Prtico e Combinao Complementar

Para no perder tempo, poderamos aplicar o mtodo prtico:

10

Para isso, basta usar a regra: rebobinar o n at o total de p itens e dividir pelo p fatorial.


Calcule pelo Mtodo Prtico:

a) C5,2 =

b) C10,4 =

c) C8,1 =

d) C7,5 =

So combinaes que tm o mesmo resultado final.

Ambos tem o mesmo resultado.

Dica:Combinaes Complementares agilizam os clculos:

C 5,2 = C 5,3 pois 2 e 3 se complementam para somar 5.

Exemplo:

a) C20, 18 = C20 , 2b) C9, 6 = C9, 3c) C10, 4 = C 10 ,6

Faa voc

15. Os 32 times que jogaro a Copa do Mundo 2014 no Brasil esto agrupados em oito grupos de quatro selees cada. As quatro selees de cada grupo se enfrentaro uma nica vez entre si, formando a primeira etapa da copa. Calcule a quantidade de jogos que cada grupo ter.

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6



16. As 14 crianas de uma famlia sero separadas em grupos de 9, para participar da gincana da quermesse da cidade onde vivem. De quantas maneiras as crianas podero ser agrupadas?

a) 2.002b) 1.540c) 728d) 120e) 23

17. Uma lanchonete dispe de seis frutas tropicais diferentes para a venda de sucos. No cardpio possvel escolher sucos com trs ou quatro frutas misturadas. O nmero mximo de sucos distintos que essa lanchonete poder vender de:

a) 720b) 70c) 150d) 300e) 35

18. Uma pizzaria permite que seus clientes escolham pizzas com 1, 2 ou 3 sabores diferentes dentre os 7 sabores que constam no cardpio. O nmero de pizzas diferentes oferecidas por essa pizzaria, considerando somente os tipos e nmero de sabores possveis, igual a:

a) 210b) 269 c) 63 d) 70 e) 98

19. Em uma sala existem 10 pessoas, sendo 8 mulheres e 2 homens. O nmero de possibilidades de formar, com essas 10 pessoas, um grupo que contenha exatamente 3 mulheres e 2 homens :

a) C83

b) C105

c) 2C83

d) A105

e) A83


20. Numa Cmara de Vereadores, trabalham 6 vereadores do partido A, 5 vereadores do partido B e 4 vereadores do partido C. O nmero de comisses de 7 vereadores que podem ser formadas, devendo cada comisso ser constituda de 3 vereadores do partido A, 2 do partido B e 2 vereadores do partido C, igual a

a) 7b) 36c) 152d) 1.200e) 28.800

Gabarito:1. C2. D3. E4. B5. C6. D7. D8. D9. B10. E11. A12. A13. D14. D15. E16. A17. E 18. C19. A20. D

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