Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 2ª Série Arranjos Simples.

Matemática e suas Tecnologias - MatemáticaEnsino Médio, 2ª Série

Arranjos Simples

Matemática, 2ª Série do Ensino MédioArranjos Simples

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Anne, Gil, Pedro e Bento observavam seus colegas correndo, tentando pegar os melhores lugares na

fila!



A ordenação das filas apresenta-se como um problema de Arranjos Simples

Os arranjos são agrupamentos em que se considera a ordem

dos elementos agrupados. Por

exemplo, a palavra LAGO é um arranjo de letras, pois, mudando-

se a ordem dessas letras, obtém-se outra

palavra.





LAGO GALOLAGO GALO

Palavras Palavras diferentesdiferentes




Assim, com 3 pessoas Assim, com 3 pessoas numa fila, poderemos numa fila, poderemos

ter os seguintes arranjos ter os seguintes arranjos de ordenação:de ordenação:

1ABC

2ACB

3BAC

4BCA

5CAB

6CBA




E se um grupo de 4 pessoas formarem a fila, teremos agora 24 E se um grupo de 4 pessoas formarem a fila, teremos agora 24 diferentes combinações!diferentes combinações!


ABCD

ABDC

ACBD

ACDB

ADBC

ADCB

BCDA

BDCA

CBDA

CDBA

DBCA

DCBA

CDAB

DCAB

BDAC

DBAC

BCAD

CBAD

DABC

CABD

DACB

BACD

CADB

BADC


Chama-se Chama-se Arranjo Arranjo SimplesSimples de de nn

elementos distintos elementos distintos tomados tomados pp a a pp ((p p n n), todo ), todo agrupamento agrupamento

ordenado formado por ordenado formado por pp elementos elementos escolhidos escolhidos

entre os entre os nn elementos elementos dados.dados.


Arranjos Simples


Arranjos Simples


O número p é O número p é denominado classe ou denominado classe ou

ordem do arranjo ordem do arranjo simples e pela simples e pela

definição de arranjo definição de arranjo facilmente facilmente

percebemos que p ≤ npercebemos que p ≤ n



Arranjos Simples

Indica-se o número Indica-se o número total de Arranjos total de Arranjos

Simples por:Simples por:

AAn,p ou n,p ou AApp nn

Para o cálculo de An,p temos:

Escolha Nº de Possibilidades

Do 1º elemento n

Do 2º, depois de escolhido o 1º n – 1

Do 3º, depois de escolhidos o 1º e o 2º n – 2

...

Do p-ésimo, depois de escolhidos os anteriores n – (p – 1)


Arranjos Simples

Portanto:

An,1 = nAn,2 = n(n – 1)An,3 = n(n – 1)(n – 2)...


Arranjos Simples

Portanto:

A4,1 = 4A4,2 = 4·(4 – 1)=4·3=12A4,3 = 4·(4 – 1)(4 – 2)=4·3·2=24A4,4 = 4·(4 – 1)(4 – 2)(4 – 1)=4·3·2·1=24


Arranjos Simples

Problemas de Arranjos Simples

O número total de Arranjos Simples é dado por:

Indicando a quantidade de pessoas na fila

?

nAssim...

An,p = nn n-1n-1 n-2n-2 ......

=

n-p+1n-p+1

An,p

Lembre-se! Nesse exemplo Lembre-se! Nesse exemplo nn = = pp, já que , já que nn é o total de pessoas no é o total de pessoas no grupo, e grupo, e pp o total de pessoas que estarão na fila! o total de pessoas que estarão na fila!


Problemas de Arranjos Simples

O número total de Arranjos Simples é dado por:

Indicando a quantidade de pessoas na fila

720

6Assim...

A6,6 = 66 55 44 ......

=

11

A6,6

Lembre-se! Nesse exemplo Lembre-se! Nesse exemplo nn = = pp, já que , já que nn é o total de pessoas no é o total de pessoas no grupo, e grupo, e pp o total de pessoas que estarão na fila! o total de pessoas que estarão na fila!



Fatorial

Em problemas de Em problemas de Análise Análise

Combinatória, Combinatória, surgem com surgem com frequência, frequência,

expressões como:expressões como:

3x2x1 4x3x2x13x2x1 4x3x2x1



Fatorial

Assim,Assim,

Dado um número Dado um número natural natural nn, com , com nn

>1, definimos seu >1, definimos seu fatorial, indicado fatorial, indicado

por por nn!, como o !, como o produto dos produto dos nn

números números consecutivos de 1 consecutivos de 1

até até nn..



Fatorial

Utilizando Utilizando símbolos, temos:símbolos, temos:

n! = n·(n – 1)·(n – n! = n·(n – 1)·(n – 2)·...·3·2·12)·...·3·2·1

Definimos ainda:Definimos ainda:

1! = 1 e 0! = 11! = 1 e 0! = 1



Fatorial

Com o auxílio dos Com o auxílio dos fatoriais, podemos fatoriais, podemos

apresentar apresentar fórmulas de uma fórmulas de uma

maneira mais maneira mais simples simples



Hoje aprendemos

• Para resolver Para resolver algumas situações algumas situações envolvendo envolvendo análise análise combinatória, combinatória, temos que temos que recorrer a cálculos recorrer a cálculos em que é em que é necessário realizar necessário realizar o produto entre o produto entre números números consecutivos;consecutivos;



Hoje aprendemos

• Dizemos que um Dizemos que um arranjo é simples arranjo é simples quando não há quando não há repetição dos repetição dos elementos em elementos em cada cada agrupamento;agrupamento;


Hoje aprendemos

• Num Arranjo Num Arranjo Simples, os Simples, os agrupamentos de agrupamentos de nn elementos elementos distintos diferem distintos diferem entre si somente entre si somente pela ordem dos pela ordem dos elementos;elementos;


Hoje aprendemos

• Permutação Permutação simples é o caso simples é o caso particular de particular de arranjo simples arranjo simples em que em que n = pn = p, ou , ou seja, trata-se de seja, trata-se de um arranjo de um arranjo de nn elementos.elementos.

Texto Complementar


http://www.brasilescola.com/matematica/arranjo-simples.htm

DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. Volume 2. São Paulo: Ática, 2010.

PAIVA, M. Matemática. Volume único. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2005.

RIBEIRO, J. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. Ensino Médio. Volume 2. São Paulo: Scipione, 2010.

SMOLE, K. C. S.; DINIZ, I. S. V. Matemática: Ensino Médio. Volume 2. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.

Referências


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