Matemática e Xadrez

Matemática e Xadrez

Rodrigo Romais, Adriana Vietmeier Nicoli

1. Lenda de Sissa

• Sissa, filósofo indiano, teria inventado o jogo de xadrez para curar o tédio do aborrecido rei Kaíde

• O Rei prometeu uma Recompensa.

• Sissa pediu 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta e assim sucessivamente, até chegar a 64ª casa.

• O rei ficou espantado perante um pedido que lhe pareceu tão humilde e acedeu imediatamente à aparente insignificância deste pedido

1. Lenda de Sissa • Mas, Feitos os cálculos, verificou-se que todos os tesouros da

Índia não eram suficientes para pagar a recompensa pedida.

• Mas qual a quantidade 𝑄 de grãos pedida?

• Fazendo 𝑄 a soma dos grãos:

𝑄 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ Ou:

𝑄 = 20 + 21 + 22 + 23 + ⋯+ 263 então:

𝑄 = � 2𝑘63

𝑘=0

1. Lenda de Sissa

• Ou ainda:

𝑄 = 264 − 1

𝑄 = 18.446.744.073.709.551.615 • Para ter uma ideia de seu tamanho:

o A produção de trigo no Brasil em 2003 foi de 6.029.396 toneladas de grãos. Supondo que, em média, mil grãos de trigo tenham massa de 35 g então seria necessário juntar a produção brasileira de mais de 107 mil anos para pagar a recompensa.

2. Complexidade do Jogo de Xadrez • Claude Shannon fez uma estimativa numérica de

possibilidades de jogos que podem ser realizados.

• Uma partida tem em média 40 movimentos para brancas e pretas, e que em cada movimento média 30 possibilidades.

(30 × 30)40

90040 = 10𝑥

𝑥 = 40 ∙ log 900

𝑥 ≈ 118,1697

• A complexidade do Xadrez atualmente é avaliada em 10123, e como comparação com o número de átomos no universo é estimado entre 4 × 1078 e 6 × 1079.

3. Possibilidade de Aberturas

• Qual o número de possibilidades de aberturas no jogo de xadrez?

• O peão ou cavalo podem iniciar uma partida de xadrez.


• O peão pode efetuar o movimento de uma a duas casas, então cada peão tem duas possibilidades no primeiro movimento.

• Já o cavalo realiza o movimento em “L” saltando sobre as peças, também tem duas possibilidades cada um.

• Seja 𝑃 o número de possibilidade no movimento inicial.

𝑃 = 2. 𝑝 + 2. 𝑐 Com: 𝑝 – número de peões 𝑐 – número de cavalos


Então: 𝑃 = 2.8 + 2.2

𝑃 = 20

• Levando em conta o primeiro movimento, temos 20 possibilidades para brancas e 20 possibilidades para as pretas, logo:

𝑃 × 𝑃 = 20 × 20 𝑃𝑃 = 400

• Portanto, há 400 possibilidades para o primeiro movimento do

jogo.

3.1 Mobilidade Após Aberturas

• Qual a maior mobilidade de peças após o lance inicial?

• Para isso deve-se analisar cada uma das 20 possibilidades do primeiro movimento, e respectivamente, calcular o número de possibilidades do segundo movimento.

A mobilidade das brancas após o primeiro movimento

• De acordo com a Tabela 2, as melhores mobilidades após o

primeiro movimento, concentram-se nas casas do centro, da coluna 𝑑 e 𝑒

𝒂𝒂 𝒃𝒂 𝒄𝒂 𝒅𝒂 𝒆𝒂 𝒇𝒂 𝒈𝒂 𝒉𝒂 𝑪𝒃𝑪 𝑪𝒈𝑪

𝑎𝑎 = 19 𝑏𝑎 = 21 𝑐𝑎 = 21 𝑑𝑎 = 27 𝑒𝑎 = 30 𝑓𝑎 = 19 𝑔𝑎 = 21 ℎ𝑎 = 19 𝐶𝑎𝑎 = 20 𝐶𝑓𝑎 = 22

𝑎𝑎 = 21 𝑏𝑎 = 21 𝑐𝑎 = 22 𝑑𝑎 = 28 𝑒𝑎 = 30 𝑓𝑎 = 20 𝑔𝑎 = 21 ℎ𝑎 = 21 𝐶𝑐𝑎 = 22 𝐶ℎ𝑎 = 20

• O xeque-mate do louco fica representado da seguinte maneira utilizando a notação algébrica:

• Este é xeque-mate tem apenas dois movimentos, uma saída totalmente equivocada das brancas.

• Calculando a probabilidade de cada movimento, sabendo que o movimento inicial há 20 possibilidades para brancas e pretas.

𝑃1 =1

20∙

120

• Onde 𝑃1 é a probabilidade do primeiro movimento.

3.2 Probabilidade do Mate do Louco

Brancas Pretas 1 𝑓𝑎 𝑒𝑒 2 𝑔𝑎 𝐷ℎ𝑎 + +

• A saída 𝑓3 para as brancas gera 19 possibilidades para o segundo movimento.

• A saída das pretas na 𝑒6 gera 30 possibilidades, logo:

𝑃2 =1

19∙

130

• Onde 𝑃2 é a probabilidade do segundo movimento. • Calculando uma sequencia de mobilidades, conforme

expressão abaixo: 𝑃𝑡 = 𝑃1 × 𝑃2 × ⋯× 𝑃𝑛

Onde: 𝑃𝑡- Probabilidade de uma sequencia de jogadas; 𝑃1- Probabilidade da primeira jogada; 𝑃2- Probabilidade da segunda jogada; 𝑃𝑛-Probabilidade da jogada 𝑛.


• Calculando a probabilidade dos movimentos: 𝑃𝑡 = 𝑃1 × 𝑃2

𝑃𝑡 =1

20∙

120

×1

19∙

130

• Então a probabilidade para que o xeque-mate do louco

ocorra é: 𝑃𝑡 ≅ 4,4 × 10−6


4. Oito Rainhas • Sabendo que a dama movimenta-se em todas as direções

no tabuleiro, nas verticais, horizontais e diagonais:

• Como dispor de 8 damas em um tabuleiro de 64 casas, de modo que com elas não se ataquem?

• Por volta de 1950 o matemático Johann Karl Friedrich Gauss e o astrônomo Heinrich Schumacher descobriram 12 soluções fundamentais, nas quais por rotação e reflexão geram até 92 soluções distintas.

• As 12 soluções fundamentais são:

(1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4); (1, 6, 8, 3, 7, 4, 2, 5); (2, 4, 6, 8, 3, 1, 7, 5); (2, 5, 7, 1, 3, 8, 6, 4); (2, 5, 7, 4, 1, 8, 6, 3); (2, 6, 1, 7, 4, 8, 3, 5); (2, 6, 8, 3, 1, 4, 7, 5); (2, 7, 3, 6, 8, 5, 1, 4); (2, 7, 5, 8, 1, 4, 6, 3); (3, 5, 2, 8, 1, 7, 4, 6); (3, 5, 8, 4, 1, 7, 2, 6); (3, 6, 2, 5, 8, 1, 7, 4).

4. Oito Rainhas

• A representação numérica indica a posição de cada linha nas determinadas colunas conforme a figura:

Primeira Solução Fundamental: (1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4)

4. Oito Rainhas

• Reflexão Eixo 𝑦:

Reflexão eixo y(vertical), Solução Fundamental 1

4. Oito Rainhas

• Reflexão Eixo 𝑥:

Reflexão eixo x(horizontal), Solução Fundamental 1

4. Oito Rainhas

• Reflexão Diagonal:

Reflexão diagonal principal, Solução Fundamental 1

4. Oito Rainhas

• Simetria:

Rotação sentido horário, Solução Fundamental 1

4. Oito Rainhas

• Quantas possibilidades o rei pode atravessar o tabuleiro em 7 movimentos?

• De quantas maneiras o rei pode ir da 𝑒1 até a 𝑒8?

• O Rei inicia o jogo na casa 𝑒1 , e apresenta movimentos limitados

• deseja-se calcular o número de possibilidades que o Rei pode realizar para atravessar o tabuleiro.

5. Travessia do Rei

• Em sete movimentos:

Possibilidades para o rei atravessar o Tabuleiro

• Somando todos os resultados da 8ª linha, encontra-se 1994 possibilidades para o rei atravessar o tabuleiro em 7 movimentos.

5. Travessia do Rei

• Entendendo que o tabuleiro de xadrez, é considerado um espaço onde pode calcular áreas e distancias utilizando uma unidade de medida qualquer

• Pode-se representar uma sequência de movimentos terminados em mate, como a soma de suas longitudes geométricas.

• Mas quando a longitude é mínima?

• Tomando uma casa como unidade de área, e um dos lados como unidade de medida, como representar um movimento de forma numérica?

6. Problemas de Longitude

• Se o Movimento é na horizontal ou vertical, apenas conta-se o descolamento das peças

• Torre, deslocou-se da 2ª para a 8ª coluna, então sua longitude geométrica, equivale a 6.


• Se o Movimento é na diagonal, apenas conta-se o descolamento das peças, multiplicado por 2.

• Bispo deslocou-se da 3ª para a 7ª casa, então sua longitude geométrica equivale a 4 2.


• Se o Movimento é de cavalo, apenas conta-se o descolamento 5.

• Pense que o movimento do Cavalo é a hipotenusa de um triângulo retângulo de lados 1 e 2.


• O enxadrista E. Bonsdorff propôs uma série de problemas para o XXXV Torneio de Temas Enxadrísticos (1960-1961).

• Diagrama 1 é uma série de movimentos que termina em xeque-mate, proposto por Bonsdorff, conforme a Tabela.

Então a longitude 𝐿: 𝐿 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2

𝐿 = 7 + 2 𝑢.𝑚. 𝐿 ≈ 8,41 𝑢.𝑚.


Brancas Pretas 1 𝑑𝑎 𝑒𝑒 2 𝐷𝑑𝐷 𝑅𝑒𝑅 3 𝐷𝑒𝑎 𝑒𝑒 4 𝐷x𝑒𝑒 + +

• Diagrama 2 também proposto por Bonsdorff, conforme a Tabela:

Realizando a soma das respectivas longitudes:

𝐿 = 1 + 1 + 2 + 4 2 𝐿 = 4 + 4 2 𝐿 ≈ 9,66

• Entende-se que, quanto menos for a soma das longitudes geométricas, mais preciso é o xeque-mate, pois utilizou-se de um número menor de jogadas.


Brancas Pretas 1 𝑓𝑎 𝑒𝑒 2 𝑔𝑎 𝐷ℎ𝑎+ +

Referências • RIIHIMAA, O. ; Bonsdorff, E. ; Fabel, K. – Ajedrez y

Matemáticas.

• ROMAIS, Rodrigo; NICOLI, Adriana V. – 2º Ciclo de Minicursos e Oficinas de Matemática, 2011.

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