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CAPTULO I - OPERAES

ORGANIZANDO OS NMEROS

O primeiro contato que temos com os nmeros pela contagem, quando surgem, de maneira natural, os nmeros 1, 2, 3, 4 etc. Mais tarde, quando estudamos nosso sistema de numerao, aparece o 0 (zero). Ele usado para indicar a ausncia de unidades numa determinada ordem de um nmero. Chamamos de conjunto dos nmeros naturais smbolo o conjunto formado pelos nmeros 0, 1, 2, 3, ...

= {0, 1, 2, 3, ...}

Neste conjunto so definidas as operaes elementares: adio, subtrao, multiplicao e diviso. Quais dessas operaes tm sempre como resultado um nmero natural? Isso o mesmo que perguntar:

A soma de dois nmeros naturais sempre um nmero natural?

A diferena de dois nmeros naturais sempre um nmero natural?

O produto de dois nmeros naturais sempre um nmero natural?

O quociente de dois nmeros naturais sempre um nmero natural?

Ento verificamos que:

A soma e o produto de dois nmeros naturais so sempre nmeros naturais.

Veja:

7 - 3 = 4 um nmero natural.

3 - 7 = -4 no um nmero natural

Quando queremos fazer uma subtrao em que o primeiro nmero menor que o segundo, precisamos usar os nmeros negativos, que no so nmeros naturais.

Para tornar possvel qualquer subtrao passamos a trabalhar com um conjunto de nmeros formado pelos nmeros naturais mais os nmeros negativos: os nmeros inteiros.

Chama-se conjunto dos nmeros inteiros smbolo o seguinte conjunto:

= { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}

Este conjunto pode ser representado numa reta numrica da seguinte maneira:

Observamos que:

*os nmeros negativos esto esquerda do zero, portanto todo nmero negativo menor que zero;

*os nmeros positivos esto direita do zero, portanto todo nmero positivo maior que zero;

*um nmero sempre menor que o nmero que est sua direita.

*os nmeros negativos esto esquerda dos nmeros positivos, logo todo nmero negativo menor que qualquer nmero positivo;

Exemplos: - 3 < 0 (- 3 menor que zero)

- 1 < 1 (- 1 menor que 1)

- 3 < - 1 (- 3 menor que - 1)

2 > - 1 (2 maior que - 1)

0 > - 7 (zero maior que - 7)

No conjunto distinguimos trs subconjuntos notveis:

+ = {0, 1, 2, 3, ...} =

(chamado conjunto dos inteiros no negativos)

- = {0, -1, -2, -3, ...}

(chamado conjunto dos inteiros no positivos)

* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

(chamado conjunto dos inteiros no nulos)

Os nmeros inteiros so geralmente utilizados nos seguintes casos:

. Temperaturas acima ou abaixo de 0oC;

. Altitudes acima e abaixo do nvel do mar

Agora temos que:

A soma de nmeros inteiros um inteiro;

O produto de nmeros inteiros um inteiro;

A subtrao de nmeros inteiros um inteiro;

Tambm j sabemos que:

Na diviso de dois nmeros naturais, o quociente s ser um nmero natural quando o primeiro nmero (o dividendo) for mltiplo do segundo (o divisor).

Assim: = 4 um nmero natural.

Quando isso no acontece, usamos outros nmeros para indicar o quociente.

Exemplos : = 2,5 ou = 0,333

Assim, chamamos de conjunto dos nmeros racionais smbolo o conjunto dos nmeros que tem representao finita ou infinita peridica (fraes, dzimas peridicas, decimais exatos e os nmeros inteiros).

Neste conjunto podemos destacar os seguintes subconjuntos:

+ = conjunto dos racionais no negativos

- = conjunto dos racionais no positivos

* = conjunto dos racionais no nulos

Agora temos:

. As operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso so sempre possveis no conjunto dos nmeros racionais.

. Qualquer nmero racional pode ser representado por um ponto na reta numrica.

Exemplo: Assinale na reta numrica um nmero racional entre 0 e 1:

Ser possvel marcar na reta outro nmero racional entre 0 e 1 diferente de 0,5? Entre 0 e 0,5, dividindo ao meio o segmento, podemos marcar o nmero 0,25. E agora, ser que ainda podemos marcar outro nmero racional entre 0 e 0,25? O mesmo processo pode ser repetido: dividindo o novo segmento ao meio, marcaremos o nmero 0,125. Continuando sempre o mesmo raciocnio, podemos imaginar que entre dois nmeros racionais existem infinitos outros nmeros racionais. Da a impossibilidade de escrever todos eles.

Para ter uma idia mais clara dos conjuntos numricos, interessante represent-los por diagramas, que so representaes grficas de conjuntos por meio de uma curva fechada. Podemos escrever os elementos do conjunto dentro do diagrama ou apenas o nome do conjunto junto curva.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1-) Escreva os nmeros inteiros menores que 1.

2-) Escreva um nmero racional maior que 2.

3-) Escreva ao lado de cada sentena V se ela for verdadeira ou F se ela for falsa:

a) ( ) - 6 um nmero inteiro, logo racional.

b) ( ) 2,516 um nmero decimal exato, logo racional.

c) ( ) 0,494949... um nmero racional.

d) ( ) - 5 um nmero natural.

4-) D exemplos de dois nmeros racionais maiores que - 1,4.

5-) Assinale na reta numrica os nmeros: ; -2; 1,5; -.

A RETA E OS NMEROS REAIS

Vimos que os nmeros racionais podem ser: fraes, inteiros, decimais exatos e dzimas peridicas. Observe estes dois nmeros: 0,25 e 0,252525...

O primeiro tem duas casas decimais, portanto um nmero finito de casas decimais. Por isso, chamado de decimal exato. O segundo tem um nmero infinito de casas decimais com um perodo que se repete (25). Esse nmero conhecido como dzima peridica. Vejamos o que acontece com o nmero decimal:

0,010110111...

Ele tem uma infinidade de casas decimais que no se repetem, portanto, no decimal peridico. Pense um pouco e descubra as casas que viro a seguir nesse nmero. Aps a vrgula, a 1 casa decimal o zero, seguido do nmero 1; depois outro zero, seguido duas vezes do nmero 1, e assim por diante. Logo, os prximos algarismos sero o zero e depois quatro vezes o nmero 1. Esse nmero no racional. Ele um exemplo de nmero irracional.

Todo nmero irracional tem representao decimal infinita e no peridica.

Outro exemplo de nmero irracional, bastante conhecido e muito importante em Matemtica, especialmente usado em geometria, o nmero ( = 3,141592... Ao estudar a operao de radiciao, e particularmente a raiz quadrada, vimos que nem todo nmero natural tem raiz quadrada natural. Os nmeros naturais 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100, so chamados quadrados perfeitos. As razes quadradas desses nmeros so tambm nmeros naturais:

Os outros nmeros naturais, diferentes dos nmeros quadrados perfeitos, tm como razes quadradas nmeros irracionais. Outras razes, com ndices diferentes de 2 e que no so nmeros naturais, tambm so nmeros irracionais. Por exemplo:

Ao fazer o clculo das razes abaixo, numa calculadora, encontramos os seguintes resultados:

Os pontos que aparecem no final do nmero no aparecem no visor da mquina de calcular. Eles indicam que as casas decimais continuariam a aparecer se a mquina fosse maior e comportasse mais algarismos.

Vimos tambm que podemos assinalar todos os nmeros racionais na reta numrica, associando a cada nmero um ponto da reta bem determinada. Podemos fazer o mesmo com os nmeros irracionais? Vejamos a representao de na reta numrica, com auxlio de uma construo geomtrica.

Vamos construir um tringulo retngulo issceles de catetos iguais a 1 sobre a reta numrica:

Calculamos a medida da hipotenusa aplicando o Teorema de Pitgoras:

x = 1 + 1

x = 1 + 1

x = 2

x =

Para marcar na reta a medida da hipotenusa, que , posicionamos em O a ponta sem grafite (ponta seca) de um compasso, com abertura igual ao tamanho da hipotenusa. Descrevendo um arco com o compasso, encontramos o ponto na reta que corresponde a :

Na prtica, localizamos uma raiz quadrada na reta quando conhecemos um valor aproximado da raiz. Por exemplo: localize o nmero 5 na reta numrica. Vejamos quais so os nmeros quadrados perfeitos mais prximos de 5:

5 est entre 4 e 9 = 40:

a)

b)

c)

14) Racionalize o denominador das seguintes fraes:

a)

b)

c)

d)

15) Calcular o valor numrico da expresso

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CAPTULO IX FATORAO

EXPRESSES ALGBRICAS

Expresso numrica aquela que apresenta uma seqncia de operaes e de nmeros. Tambm j sabemos que as letras so usadas em Matemtica para representar nmeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e frmulas da Geometria, por exemplo. As expresses que apresentam letras, alm de operaes e nmeros so chamadas expresses algbricas e as letras so as variveis.

Todo nmero natural multiplicado por 1 igual a ele mesmo.

Em linguagem matemtica, essa propriedade pode ser escrita da seguinte maneira: x . 1 = x

Onde x representa um nmero natural qualquer.

Veja o exemplo:

Uma pessoa ganha R$ 20,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa pessoa ganhar, aps alguns dias de trabalho, podemos escrever a expresso algbrica: 20. x, onde x representa o nmero de dias trabalhados.

Se a pessoa trabalhar dois dias, receberR$ 20,00 x 2 = R$ 40,00.

Se a pessoa trabalhar dez dias, receber R$ 20,00 x 10 = R$ 200,00.

Portanto, a expresso algbrica nos permite calcular o ganho dessa pessoa, por meio da multiplicao da varivel x que nmero de dias trabalhados, :

Ganho= 20.x

A expresso algbrica da rea de um quadrado de x cm de lado determinada elevando-se a medida do seu lado ao quadrado. Veja:

rea = x

x

Assim, podemos determinar a rea de qualquer quadrado por meio da substituio da varivel x pela medida do lado do quadrado.

Observaes:

1) Nas expresses algbricas no usual se escrever o sinal de multiplicao, veja:

2 . x se escreve 2x

a . b se escreve ab2) Podemos ter expresses algbricas com mais de uma varivel ou ainda sem varivel:

2xy : expresso com duas variveis: x e y

5a b c: expresso com trs variveis: a, b e c

25 : expresso sem varivel.

Valor numrico

Quando substitumos as variveis de uma expresso por nmeros e efetuamos as operaes indicadas, o resultado encontrado o valor numrico da expresso.

O valor numrico da expresso 5x + 4 para x = 2, por exemplo, :

5 x 2 + 4 = 10 + 4 = 14

Sabendo que a expresso ab representa a rea de um retngulo, responda:

Qual a rea de um retngulo com dimenses a = 2,5 cm e b = 4 cm.

O valor numrico de ab : 2,5 x 4 = 10

Logo, a rea do retngulo 10 cm.

As expresses algbricas que no apresentam adies e subtraes entre os nmeros e as variveis, so chamadas de monmios. Por exemplo: 6x, 3xy ab, 10 etc. A parte numrica de um monmio o coeficiente e a outra parte formada por letras a parte literal. De acordo com os exemplos anteriores, vamos destacar o coeficiente e a parte literal de cada monmio:

6x coeficiente: 63x y coeficiente: 3

Parte literal: x Parte literal: x y

10 coeficiente 10

parte literal: no tem

ab coeficiente: 1 (ab o mesmo que 1 ab)

Parte literal: ab

Dois ou mais monmios que possuem a mesma parte literal e coeficientes diferentes so chamados de monmios semelhantes. Para somar ou subtrair monmios eles devem ser semelhantes. Caso contrrio a adio e a subtrao sero apenas indicadas e no efetuadas. A expresso seguinte um exemplo de operaes com monmios:

4xy + 7xy - 5xy = (4 + 7 - 5)xy = 6xy

Veja outro exemplo:

No retngulo abaixo, assinalamos as medidas dos seus lados em cm. De acordo com a figura, vamos determinar a expresso algbrica mais simples (com menos termos) que representa o permetro desse retngulo.

x-3

2x + 1

O permetro de um retngulo calculado somando-se as medidas de seus lados:

2 (2x + 1) + 2 (x - 3) = Propriedade distributiva da multiplicao.

= 4x + 2 + 2x - 6 = Propriedade comutativa da adio.

= 4x + 2x + 2 - 6 = Efetuando-se as operaes dos monmios semelhantes.

Portanto, a expresso mais simples que representa o permetro do retngulo acima 6x - 4.

Polinmios

Uma expresso formada por adies e subtraes de monmios chamada de polinmio (poli = muitos).

Uma expresso como 4a - 7ab + b - 2a - ab - b um polinmio formado por seis monmios ou termos. Como existem termos semelhantes nesse polinmio, podemos reduzi-los efetuando as operaes indicadas na seqncia:

4a - 7ab + b - 2a - ab - b

= 4a - 2a - 7ab - ab + b - b =

= 2a - 8ab + 0 = 2a - 8ab

A expresso encontrada chamada de forma reduzida do polinmio, pois as operaes com os termos restantes no podem mais ser efetuadas. Assim, para somar ou subtrair polinmios, basta reduzir seus termos semelhantes.

Somando o polinmio 3x - 4xy + y com - x - 2xy + 4y , temos:

(3x - 4xy + y) + (- x - 2xy + 4y) = Retirar os parnteses.=3x - 4xy + y - x - 2xy + 4y = Aplicar a propriedade comutativa.

=3x - x - 4xy - 2xy + y + 4y = Reduzir os termos semelhantes.

=2x - 6xy + 5y = Soma dos dois polinmios.

No caso da subtrao de dois polinmios, temos o exemplo:

(- 14ab + 7a) - (- 12ab + 6a) = Retirando os parnteses e trocando os sinais do 2 polinmio.

= - 14ab + 7a + 12ab - 6a =

= - 14ab + 12ab + 7a - 6a =

= - 2ab + a Diferena dos dois polinmios.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1)A expresso 2x representa um nmero mltiplo de 2. Escreva a expresso que representa os mltiplos de 5.

2)Escreva a propriedade comutativa da adio, usando uma expresso algbrica.

3)Responda:

a) qual o monmio que ao somar com - 2x y resulta zero?

b) qual o resultado de - 2a - 5a?

4) Escreva a expresso mais simples (reduzida) que possa representar a rea da figura:

5) Determine o valor numrico da expresso:

xy - x + y para x = 2 e y = -1.

PRODUTOS NOTVEIS

O clculo algbrico uma valiosa ferramenta para a lgebra e para a geometria. Em captulos anteriores, j vimos algumas operaes com expresses algbricas.

Neste captulo, estudaremos alguns produtos especialmente importantes porque aparecem com muita freqncia no clculo algbrico. Esses produtos so conhecidos pelo nome de produtos notveis. Produto por ser resultado de uma multiplicao, e notvel por ser importantes, digno de nota, que se destaca.

Vamos verificar que podemos calcular a rea de algumas figuras de maneiras diferentes.

Primeiro produto notvel

Vejamos a rea da figura abaixo, cujo lado mede a.

a

rea: a2

a

Aumentando de b a medida de cada lado desse quadrado, determinamos um quadrado de lado a + b, assim:

rea = (a+b)2Outra maneira de calcular a rea desse quadrado somando as reas de cada uma das figuras que o formam. Observe que temos dois quadrados, de lados a e b respectivamente, e dois retngulos iguais, cujas dimenses so a e b:

Podemos ainda calcular a rea desse quadrado usando clculo algbrico:

Elevar ao quadrado o mesmo que multiplicar dois fatores iguais.

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicao.

Somandoo os termos semelhantes.

Logo:

(a + b)2 = a2 + 2ab +b2

O trinmio obtido chamado de trinmio quadrado perfeito por ser o resultado do quadrado de (a + b). Observe novamente esse produto:

Portanto, o primeiro produto notvel pode ser lido assim:

O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do 1 termo, mais duas vezes o produto do 1 pelo 2, mais o quadrado do 2 termo.

EXEMPLO 1:

Podemos calcular (2 + 3)2 de duas maneiras:

(2 + 3)2 = 52 = 25

(2 + 3)2 = 22 +2.2.3 +32 =4 + 12 + 9 = 25

Encontramos o mesmo resultado nos dois caminhos usados.

claro que, nesse exemplo, no faz sentido usar a concluso do produto notvel, pois, como os termos da soma so nmeros, podemos achar diretamente o resultado, somando os nmeros e elevando o resultado ao quadrado.

No caso de uma soma algbrica, impossvel efetuar a adio, e ento temos de usar a regra do produto notvel.

EXEMPLO 2:

(x + 1)2 = x2 + 2.x.1 + 12 = x2+ 2x +1

(3x +4) = (3x)2 + 2. (3x).4 + 42 = 9x2 + 24x +16

(a2 + 3b)2 = (a2)2 + 2.a2.3b + (3b)2 = a4 + 6a2b + 9b2

Segundo produto notvel

O segundo produto notvel o quadrado da diferena entre dois termos e praticamente igual ao primeiro produto, sendo a nica diferena o sinal.

Vamos calcul-lo:

(a-b)2 = (a-b).(a-b) = a2 ab ba +(-b)2 = a2 ab ab +b2 = a2 2ab +b2Logo:

(a- b)2 = a2 2ab +b2

que pode ser lido assim:

O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do 1 termo, menos duas vezes o produto do 1 termo pelo 2 termo, mais o quadrado do 2 termo.

EXEMPLO 3:

(a 2)2 = a2 2.a. 2 + 22 = a2 4a + 4

(x2 2y)2 = (x2)2 - 2.x2.2y + (2y)2 = x4 - 4x2y + 4y2

Terceiro produto notvel

O terceiro produto notvel pode ser mostrado por meio do clculo da rea de uma figura. Essa rea ser calculada tambm de duas maneiras diferentes.

A rea que devemos calcular a da figura pintada em forma de L que tem trs dimenses diferentes a, b e c. Completando as linhas tracejadas, obtemos um quadrado maior de lado a e um quadrado menor de lado b.

A rea da figura pintada pode ser calculada fazendo-se a diferena entre a rea do quadrado maior e a rea do quadrado menor:

rea do L = rea do quadrado maior - rea do quadrado menor:

rea do L = a2 b2Outra maneira para calcular a rea do L decompor a figura em dois retngulos, assim:

c

Observe na figura anterior, que c = a b

Como os dois retngulos tm uma das dimenses iguais (c), vamos coloc-los juntos de maneira a formar um s retngulo de medidas a + b e a - b.

comprimento: a + b

largura: a b

Calculando a rea do retngulo, que igual rea do L, temos:

rea do retngulo: (a + b) (a - b)

Ento:

(a+b).(a-b) = a2 b2

que pode ser lido:

O produto da soma pela diferena de dois termos igual ao quadrado do 1 termo menos o quadrado do 2 termo.

EXEMPLO 4:

(x + 2)(x 2) = x2 22 = x2 4

(2x 5y)(2x+5y) = (2x)2 (5y)2 = 4x2 25y2

(a2 + b)(a2 b) = (a2)2 b2 = a4 b2

Observaes:

1. Quando se diz o quadrado da soma de dois nmeros, essa sentena representada algebricamente por (x+y)2.

2. Quando se diz a soma dos quadrados de dois nmeros, a expresso correspondente x2 + y2.

3. Da mesma forma, o quadrado da diferena representa-se por (x-y)2 e a diferena entre dois quadrados por x2 y2. .

Quarto produto notvel

O quarto produto notvel pode ser mostrado utilizando o primeiro produto notvel:

(a + b)3 = (a + b) . (a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 +2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3Logo:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3

que pode ser lido assim:

O cubo da soma de dois termos igual ao cubo do primeiro termo, mais trs vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais trs vezes o quadrado do segundo termo vezes o primeiro, mais o cubo do segundo termo.

Quinto Produto NotvelO quinto produto notvel pode ser mostrado utilizando o segundo produto notvel:

(a - b)3 = (a - b) . (a - b)2 = (a - b)(a2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3Logo:

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

que pode ser lido assim:

O cubo da diferena de dois termos igual ao cubo do primeiro termo, menos trs vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais trs vezes o quadrado do segundo termo vezes o primeiro, menos o cubo do segundo termo

Sexto Produto Notvel

O sexto produto notvel a soma de dois cubos e pode ser demonstrado da seguinte maneira:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Logo :

a3 + b3 = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2a3 + b3 = (a + b) 3 3ab(a + b)

a3 + b3 = (a + b) [(a + b) 2 3ab]

a3 + b3 = (a + b) (a2 + 2ab + b2 3ab)

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Stimo Produto Notvel

O stimo produto notvel a diferena de dois cubos e pode ser demonstrado da seguinte maneira:

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3Logo :

a3 - b3 = (a - b)3 + 3a2b - 3ab2a3 - b3 = (a - b) 3 + 3ab(a - b)

a3 - b3 = (a - b) [(a - b) 2 + 3ab]

a3 - b3 = (a - b) (a2 - 2ab + b2 + 3ab)

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Resumindo:

Os sete produtos notveis estudados so:

1. Quadrado da soma de dois termos:

(a + b)2 = a2 + 2ab +b2

2. Quadrado da diferena de dois termos:

(a - b)2 = a2 - 2ab +b23. Produto da soma pela diferena de dois termos:

(a+b).(a-b) = a2 b24. Cubo da soma de dois termos:

(a + b)3 = a3 +3a2b+ 3ab2 +b3

5. Cubo da diferena de dois termos:

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b36. Soma do cubo de dois termos:

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

7. Diferena do cubo de dois termos:

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

EXERCCIOS RESOLVIDOS

1) Desenvolva (5x+7)2 (5x + 7)2 =(5x)2 +2.(5x).(7) + 72 = 52.x2 + 2.5.7.x + 49

(5x + 7)2 = 25x2 + 70x + 49

2) Desenvolva (3a + 4b)2=(3a)2+2.(3a).(4b)+(4b)2=32.a2+2.3.a.4.b+42.b2(3a +4b)2 = 9a2+24ab+16b23) Desenvolva (a -3)2(a -3)2 = (a)2 2. a. 3 + 32 = a2 6a + 9

4) Desenvolva (-x + y)2(-x + y)2 = (y - x)2 = y2 2yx + x25) Desenvolva (2a + b)3

(2a + b)3 = (2a)3 + 3 (2a)2.b+3.(2a).b2+b3(2a + b)3 = 23.a3 + 3.22.a2.b+3.2.a. b2 + b3(2a + b)3 = 8 a3 + 12 a2b + 6ab2 + b36) Desenvolva (a - 3b)3(a - 3b)3 = a3 - 3.a2.(3b) + 3.a(3b)2-(3b)3 =

= a3 - 3.a2.3.b + 3.a. 32.b2 - 33.b3 = a3 - 9 a2b + 27ab2 -27b3

EXERCCIOS PROPOSTOS

1) Desenvolva:

a) (x + y)2

b) (-x y)2

c) (x y)2

d) (3a-ab)2 e) f)

g) (x + y) (x y) h) (2x + 3b) (2x 3b)

i) (x +y)3

j) (2a + 3b)3

k) (x - y)3

l) (- x - y)3

m) (-2a - 5b)3

n) (2x + 3y)2

o) (x2 2xy)(x2+2xy) p)

2) Desenvolva:

a) (2 a+b)2+(3 a-b)2-(-5 a-b)2

b) (a+2)2-3(a+1)2

c) (a+1)3-(a-2)3

d) (x+y)2-(x-y)2

3) Sabendo que x2 + y2 = 29 e (x + y)2 = 49 so nmeros inteiros positivos, determine:

a) x + y b) xy c) x e y

Sugesto:

Desenvolver (x + y)2 e substituir (x + y)2 e x2 + y2 pelos seus valores dados pelo enunciado.4) Qual o polinmio que somado a: (a + 2)(a - 2) d

(a + 2)2 como resultado?

5)Observe os seguintes trinmios quadrados perfeitos e determine os quadrados correspondentes:

a) x2 + 2ax + a

b) 4x2 + 4x + 1

6) Desenvolver: (a+b+c)27) Desenvolver:

FATORAO

A palavra fatorao nos leva a pensar em fatores, e, como j sabemos, fatores so os elementos de uma multiplicao. Fatorar um nmero, portanto, escrev-lo na forma de uma multiplicao de fatores. Por exemplo, o nmero 16 pode ser escrito como uma multiplicao de fatores, de vrias maneiras:

16 = 2 x 8

16 = 4 x 4

16 = 2 x 2 x 2 x 2

16 = 2 4

No caso de uma expresso numrica cujas parcelas tm um fator comum, podemos fator-la, assim:

7 x 2 + 5 x 2 = (7 + 5) x 2

Vamos aprender, neste captulo, a fatorao de expresses algbricas, que muito utilizada para a simplificao dos clculos algbricos. Vamos considerar um terreno formado por dois lotes de comprimentos diferentes e de mesma largura:

Podemos calcular a rea total do terreno de duas maneiras diferentes:

Calculando a rea de cada lote e depois as somando.

Somando os comprimentos dos dois lotes e calculando diretamente a rea total do terreno.

As duas maneiras do o mesmo resultado; portanto, podemos escrever:

rea do lote I: ax rea do lote II: bx

Comprimento total do terreno: (a + b)

rea do terreno: (a + b) x

Logo: ax + bx = (a + b) x

Portanto, sempre que numa soma de duas ou mais parcelas houver um fator comum a todas as parcelas (como o x em ax + bx), podemos fatorar essa expresso, e esse fator comum ser um dos fatores da expresso aps ser fatorada.

Como fazer para descobrir o outro fator da expresso fatorada? Basta dividir a expresso que vai ser fatorada pelo fator comum.

EXEMPLO 1:

Fatore a expresso: 3xy + 6x. Temos que 3 e x so fatores comuns s duas parcelas. Podemos, ento, escrever a expresso assim:

3xy + 6x = 3x. ( + )

Simplificamos as fraes: 3xy + 6x = 3x( y + 2)

Dizemos que o fator 3x foi colocado em evidncia, isto , em destaque. Na prtica, as divises feitas dentro dos parnteses so feitas de cabea.

EXEMPLO 2:

Fatore 2ab - 4ab.

Os fatores comuns so 2, a e b.

Colocando 2.a.b em evidncia, temos:

2ab - 4ab = 2ab. (a - 2b) (diviso feita de cabea)

Para ter certeza de que a diviso foi feita corretamente, voc pode fazer a verificao assim:

2ab (a - 2b) = 2ab - 4ab

Ou seja, foi usada a propriedade distributiva da multiplicao para verificar se a fatorao est correta.

Podemos tambm fatorar as expresses algbricas que so resultados de produtos conhecidos, como os produtos notveis estudados no captulo anterior. A expresso a - b resultado do produto (a + b) (a - b); ento podemos fatorar toda expresso da seguinte maneira:

4x - 9 = (2x + 3) (2x + 3) (forma fatorada)

36a - 1 = (6a + 1) (6a - 1)

16 - = ( 4 + ) . ( 4 )

Os outros dois produtos notveis resultam em trinmios quadrados perfeitos.

Ento, sempre que tivermos um trinmio quadrado perfeito podemos fator-lo escrevendo-o na forma de um quadrado da soma ou da diferena de dois termos. Por exemplo:

x + 8x + 16 = (x + 4)

x4 - 2x + 1 = (x - 1)

EXEMPLO 3

Fatorar x3+1

Utilizando o produto notvel j conhecido (soma de cubos) temos:

x3+1 = x3+13 = (x+1)(x2 x.1 + 12)

EXEMPLO 4

Fatorar x3+ 2x2 + 2x + 1

Temos que:

x3+ 2x2 + 2x + 1 = (x3+ 1) + 2x(x + 1)

Desenvolvendo o produto notvel da soma dos cubos temos:

x3+ 2x2 + 2x + 1 = (x+1)(x2 x.1 + 12) + 2x(x + 1)

x3+ 2x2 + 2x + 1 = (x+1)( x2 x.1 + 12 + 2x)

x3+ 2x2 + 2x + 1 = (x+1)( x2 x + 1 + 2x)

x3+ 2x2 + 2x + 1 = (x+1)( x2 + x + 1)EXERCCIOS PROPOSTOS

Nvel 1

1) Calcule o valor de 5.36 + 5.24 + 5.15 fatorando antes a expresso.

2) Fatore as expresses algbricas, colocando o fator comum em evidncia:

a) x + 11x

b) ab + 4ab + ab

3) Verifique se o trinmio x - 12x + 64 um trinmio quadrado perfeito, justificando a resposta.

4) Fatore o trinmio ax + 2ax + 1.

5) Fatore a expresso x 4 - 16 e, se ainda for possvel, fatore o resultado obtido. Isso quer dizer fatorar completamente a expresso.

6) Simplifique a frao (a -10a + 25) / (a 5), fatorando antes o numerador da frao.

7) Complete o trinmio quadrado perfeito com o termo que est faltando:

x -.... + 9y

Nvel 2

1) Observe as igualdades a seguir:

3 + 4 = 5 7 + 24 = 25

5 + 12 = 13 9 + 40 = 41

Considere a igualdade 17 + x = y e com base nos exemplos anteriores, podemos concluir que x + y igual a:

a) 289 b) 121 c) 81 d) 144 e) 196

2) O valor numrico da expresso a4 2ab +b4 para a = e b = um nmero N tal que:

a) 1