Matemática Ensino Fundamental II · 1 Formação de Professores O Pensamento Geométrico O...

FORMAÇÃO DE PROFESSORES

O pensamento geométrico

MatemáticaEnsino Fundamental II

A área de Educação da Fundação Vale busca contribuir para a melhoria da educação básica, com foco na promoção de uma prática docente pautada nos princípios da pluralidade cultural e do respeito às diferenças.

COORDENAÇÃO DO PROGRAMAEquipe de Educação Fundação Vale

APOIO EDITORIALDepartamento de Comunicação Corporativa Vale

PARCEIROComunidade Educativa CEDAC

EDIÇÃO E REVISÃO DE TEXTO JVAB Edições Ltda

PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃOInventum Design

Este símbolo indica que o papel utilizado neste material foi produzido com madeiras de florestas certificadas.

selo FSC

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Formação de Professores O Pensamento Geométrico

O pensamento geométrico no Ensino Fundamental

Professor(a),

Neste bimestre, trabalharemos com a temática do pensamento geométrico. Teremos a oportunidade de trocar experiências sobre as diferentes abordagens, dificuldades e avanços com o trabalho nesse contexto.

Vamos nos aproximar de uma perspectiva que valoriza o estudo das propriedades como elemento cen-tral para o desenvolvimento do pensamento geométrico. A partir dessa perspectiva vamos selecionar e planejar uma sequência de atividades para ser realizada junto aos alunos.

Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competências docentes neste bimestre:n Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do grupo.n Apropriar-se do recurso à resolução de problemas, reconhecendo-o como um bom

ponto de partida para a aprendizagem do ensino de geometria.n Desenvolver estratégias para o ensino de geometria que privilegiem o desenvolvimento de

competências como a argumentação, a validação, a antecipação e a capacidade dedutiva.n Apropriar-se das propriedades geométricas como elementos essenciais para o ensino

de geometria no Ensino Fundamental.n Analisar sequências de atividades previamente elaboradas e refletir sobre as mesmas

com o objetivo de planejar um trabalho de sala de aula.n Coletar, organizar, analisar e interpretar produções dos alunos, com o objetivo de avaliar

os processos de ensino e aprendizagem e, a partir disso, planejar novas ações.n Elaborar e desenvolver projetos pessoais de estudo e trabalho, empenhando-se

em compartilhar a prática e produzir coletivamente.n Compreender a prática docente como uma possibilidade de criação e reflexão de novos

conhecimentos, sendo estes modificados continuamente.

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Neste encontro, você participará de situações nas quais abordaremos os seguintes conteúdos:n Geometria.n As propriedades geométricas.n Características definidoras de um verdadeiro problema geométrico.

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Encontro PresencialDuração: 4h

Para começo de conversaDuração: 30min

Iniciaremos este encontro retomando e compartilhando reflexões desenvolvidas a partir da atividade de Aplicação Prática proposta no encontro anterior. Vamos direcionar nossas discussões para o acompanha-mento das aprendizagens dos alunos e sua importância para a elaboração de planejamentos posteriores.

Segue abaixo a pauta de acompanhamento preenchida pelo professor Mário do 7º ano do Ensino Fun-damental após a realização de uma atividade que antecedeu o início do trabalho formal com a lingua-gem algébrica junto aos alunos. Ao selecionar o problema abaixo, o objetivo do professor Mário era identificar o conhecimento algébrico que seus alunos tinham para, a partir dessas informações, iniciar o planejamento de seus trabalhos posteriores.

Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos

Conteúdo: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS RELACIONADOS AO PENSAMENTO ALGÉBRICO

Situação-problema:

Dois alunos foram à frente da sala e receberam algumas quantidades de doces. São elas:

Bruno: 4 tubos, 2 caixas e 8 doces soltos

Camila: 2 tubos, 2 caixas e 20 doces soltos

Sabe-se que:

- Cada caixa contém a mesma quantidade de doces.

- Cada tubo contém a mesma quantidade de doces.

- Cada aluno tem a mesma quantidade total de doces.

Quantos doces há em cada tubo?

Nome dos alunos Acertou tudo

Utilizou estratégia adequada, mas

errou algum passo/cálculo

Não acertou

Tipos de registros utilizados: linguagens materna, aritmética,

algébrica (e uso das letras) etc.

Ana X Linguagem figural

Arthur X Linguagem aritmética

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Beatriz X Tabela

Bianca X Linguagem aritmética

Breno X Linguagem figural e aritmética

Bruna X Não houve registro

Bruno X Linguagem aritmética

Caio X Linguagem algébrica e aritmética

Caíque X Linguagem materna e figural

Diogo X Linguagem algébrica

Eva X Linguagem materna e aritmética

Fábio X Linguagem figural

Fabíola X Linguagem algébrica

Flávia X Linguagem materna e aritmética

Igor X Linguagem figural e algébrica

Luana X Linguagem materna e aritmética

Maria X Linguagem figural

Otávio X Linguagem materna e aritmética

Rafaela X Linguagem algébrica

Tiago X Tabela e linguagem aritmética

Vagner X Linguagem figural e aritmética

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Veja três estratégias utilizadas pelos alunos e que foram selecionadas pelo professor Mário para uma análise mais reflexiva:

Estratégia 1

Estratégia 2

Estratégia 3

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Analisando os dados gerais da pauta, bem como as estratégias utilizadas pelos alunos, o professor con-cluiu que: “Apesar de a maioria dos alunos ter registrado a solução do problema fazendo uso da linguagem aritmética, eles apresentaram um bom nível de pensamento algébrico, pois acertaram o problema ou elege-ram uma estratégia que pudesse levar ao resultado correto”.

1) Você concorda com a hipótese levantada pelo professor? Por quê?

2) Você considera que o professor tenha escolhido um problema adequado para seu objetivo de diag-nóstico? Por quê?

3) Tendo como referência a produção dos alunos desse professor e/ou o que você imagina que seus alunos responderiam para o problema proposto, retome a pauta de acompanhamento e responda: qual(is) critério(s) de análise você considera pertinente incluir nessa pauta? Por quê?

Para pensarA pauta de acompanhamento é um instrumento importante para o professor em qualquer campo disciplinar, pois possibilita ajustar a prática a partir das reais necessidades dos alunos. Ao utilizar esse instrumento, o professor tem um contato mais direto com as demandas da sua turma e se apropria de informações referentes aos processos individuais de cada aluno. Essas informações são indispensáveis para refletir sobre as melhores estratégias para potencializar os processos de ensino e aprendizagem.

Atividade de contextualização Duração: 40min

1. Individualmente, faça uma cópia da figura seguinte. A cópia deve ser feita em uma folha em branco de mo-do que, ao ser sobreposta à original, ambas coincidam. Para a realização dessa tarefa, utilize apenas compas-so e régua não graduada.

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2. Em pequenos grupos, compartilhem a figura que fizeram anteriormente, discutam e registrem:

a) Qual foi o procedimento utilizado para fazer a cópia da figura? Todos copiaram da mesma forma? Compartilhem a maneira como realizaram a tarefa e elaborem, em consenso, um texto descreven-do, passo a passo, como copiar a figura.

b) A cópia que fizeram sobrepõe à figura dada?

I. Como decidiram onde fixar a ponta seca do compasso?

II. Como decidiram a abertura do compasso?

III. Utilizaram linhas auxiliares? Quais?

IV. Utilizaram medidas? Quais?

V. Quais dificuldades vocês encontraram para copiá-la?

c) Quais propriedades e relações foram mobilizadas na cópia da figura?

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3. Coletivamente, socializem os registros e reflexões.

Para pensarUm campo fértil para o estudo das propriedades de figuras geométricas são as atividades de cópias de figuras. Elas devem variar em função dos conhecimentos dos alunos e dos conteúdos que se pretende trabalhar. Segundo ITZCOVICH (2008), trata-se de atividades “nas quais os alunos deverão considerar seus elementos, suas medidas, identificar certas características, preservar certas relações e propriedades, assim como selecionar os instrumentos mais apropriados. Quando um aluno tem que copiar um desenho, em primeiro lugar, deve questionar-se. Desse modo, identificar aquelas características que o determinam e selecionar as que permitem fazer a cópia, descartando outras que não são relevantes para a realização da tarefa. Por exemplo, muitos alunos tentam fazer a cópia em um lugar da folha que seja coincidente com o lugar da folha onde se encontra o desenho original. Assim, consideram uma propriedade da figura o lugar que ocupa em uma folha. E sabemos que esta questão não determina o objeto geométrico nem as suas propriedades”.

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A prática em questão Duração: 2h30min

Momento 1 - A exploração das propriedades geométricas no ensino da geometriaDuração: 30min

Leiam, de maneira compartilhada, o texto a seguir:

O pensamento geométrico

Como proposto em diversos âmbitos da matemática, o conhecimento geométrico é também elaborado pelos alunos a partir do enfrentamento de situações-problema. Contudo, essa não tem sido uma prática comum nesse campo específico da matemática. Como afirma PONCÉ (2006, p. 69), “enquanto para outros conhecimentos as práticas do ensino da matemática ten-dem a apoiar-se na resolução de problemas, no trabalho com geometria parecem estar au-sentes, privilegiando-se as atividades baseadas na apresentação de objetos geométricos”.

Dentre os diversos enfoques que podem ser dados ao ensino da geometria, optamos por de-senvolver um trabalho tendo como foco central a exploração das propriedades geométricas das figuras e dos corpos geométricos, pois acreditamos que este viés proporciona ao aluno uma maneira particular de pensar geometricamente e está vinculado às genuínas concep-ções da geometria. Como apontado nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), “a elaboração de um sistema de propriedades geométricas e de uma linguagem que permitam agir nesse modelo” é uma questão relativa à aprendizagem de geometria que favorece a compreensão de objetos de diferentes naturezas (espaço físico, figuras planas, figuras sólidas).

O trabalho com base nas propriedades favorece competências como, por exemplo, a argu-mentação, a validação, a antecipação e a capacidade dedutiva, sem a necessidade de realizar medições. Veja os exemplos a seguir:

Problema 1: É possível afirmar, sem medir, que o triângulo ABC é um triângulo equilátero? E isósceles? Por quê?

C B

A

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Problema 2: Considerando que o ponto C pertence à circunferência de centro A e também à circunferência de centro B, decida se é possível afirmar que ABC é um triângulo equilátero. Justifique sua resposta.

C

BA

Para a resolução desses problemas, por exemplo, não é necessário que o aluno tenha em mãos nenhum instrumento de medida. Basta que ele compreenda, conceitualmente, as clas-sificações dos triângulos referentes às medidas dos lados (escaleno, isósceles e equilátero), bem como o conceito de raio de uma circunferência. A própria definição de uma circunferên-cia seria um elemento norteador para a resolução dos problemas anteriores: circunferência é um conjunto de pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano (centro) é igual a uma distância dada (raio).

O estudo das propriedades é mais do que reconhecê-las perceptivamente e saber suas res-pectivas nomenclaturas: “Implica tê-las disponíveis a fim de poder recorrer a elas em diferen-tes situações, assim como utilizá-las para identificar novas propriedades sobre figuras” (ITZCO-VICH, p. 169). É necessário que o trabalho com as propriedades vá além de enunciá-las e apli-cá-las através da memorização.

Uma das finalidades do ensino de geometria durante toda a escolaridade é fazer com que os alunos passem de constatações sensoriais (geometria de observações) para uma geometria de demonstração ou, ainda, que haja a transição do empírico para o dedutivo. Nesse sentido, as noções de figura e desenho tornam-se elementos centrais.

Não raro, esses termos – desenho e figura – são tratados erroneamente como sinônimos. Enquanto um desenho representa o traçado em uma folha de papel que se parece com uma determinada forma geométrica, a qual se tenta representar, a figura designa um objeto geo-métrico, um objeto ideal da matemática, puramente conceitual, que não existe fisicamente. Favorecer a compreensão do que “não se vê” – ou seja, a compreensão da natureza ideal dos objetos geométricos – é um dos principais desafios docentes para o ensino de geometria. Sobretudo na geometria plana, o desenho e/ou a figura é comumente identificada pelo alu-no como o próprio conceito.

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De modo a sintetizar as ideias apresentadas até o momento, estão elencados a seguir aspec-tos determinantes para que possamos considerar uma situação geométrica enunciada como um verdadeiro problema geométrico1:

n Implicar certo nível de dificuldade; haver um desafio, algo novo para os alunos.

n Exigir uso de conhecimentos prévios, mas que não sejam totalmente suficientes.

n Colocar em jogo as propriedades geométricas na busca pela solução do problema.

n Colocar o aluno em interação com objetos que não pertencem ao espaço físico, mas a um espaço conceitual representado pelas figuras.

n Para resolução do problema, o desenho não deve permitir encontrar as respostas por sim-ples constatação.

n A resposta dada ao problema não deve se estabelecer empiricamente, mas apoiar-se nas propriedades dos objetos geométricos (ainda que em outras instâncias exploratórias se possam aceitar outros métodos de confirmação).

n As argumentações a partir das propriedades conhecidas dos corpos e figuras devem pro-duzir novos conhecimentos.

São diversos os tipos de atividades que podem valorizar a exploração de propriedades e vir a constituir-se como verdadeiros problemas geométricos. Por exemplo: construções geométri-cas; problemas de natureza geométrica sem o uso de medidas; atividades que envolvam as-pectos numéricos e medidas, mas que exijam antecipações; demonstrações, dentre outros.

Ana Elisa Zambon e Samuel Gomes Duarte

Equipe Comunidade Educativa CEDAC, 2013.

A partir do que foi discutido no texto, retome a Atividade de contextualização e responda: você consi-dera que aquela situação representa um verdadeiro problema geométrico? Justifique.

Para orientar sua justificativa, considere os sete aspectos elencados anteriormente.

1 SESSA, C. Acerca de la enseñanza de la geometria. In: Matemática, temas de su didáctica. Buenos Aires: Conicet, 1998.

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Momento 2 - Planejamento passo a passoDuração: 1h50min

Considerando os estudos realizados até agora, vamos planejar os encaminhamentos para uma sequên-cia de atividades sobre geometria. Esse planejamento será feito em grupos, de preferência formados por professores que atuam na mesma série. Para isso, organizem-se para realizar toda essa parte da for-mação com esse mesmo grupo.

a) Escolha do conteúdo e da sequência de atividades

Primeiramente, selecionem, entre as sequências apresentadas a seguir, uma que julguem pertinente trabalhar com seus alunos. Para isso, analisem as propostas do “Banco de atividades para o trabalho com geometria” e escolham a mais apropriada para realizar em suas salas de aula. Se possível, para balizar a escolha, consultem o documento curricular da sua escola.

b) Etapas do planejamento

A sequência de atividades já está elaborada; então, o que precisarão considerar no planejamento para a sua realização? Lembrem-se de alguns passos importantes já discutidos nos cadernos anteriores, quando planejamos outras atividades, além de incluir outros, se julgarem necessário. Coletivamente, registrem:

c) Elaboração do planejamento

Elaborem o planejamento da sequência considerando as propriedades envolvidas e os encaminhamen-tos necessários para a realização de cada uma das atividades. Utilizem o quadro de planejamento:

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Planejamento da sequência de atividades de geometria

Sequência selecionada:

Ano:

Atividades da sequência

Propriedades envolvidas na atividade Encaminhamentos

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Banco de atividades para o trabalho com geometria

SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES - 1

Orientações geraisEsta sequência de atividades tem como objetivo a comparação entre áreas de figuras geométricas pla-nas por meio de deduções baseadas no trabalho argumentativo. A partir do conhecimento de que to-do retângulo é dividido em dois triângulos congruentes por sua diagonal e de noções de lógica, os alu-nos serão capazes de realizar todas as atividades propostas.

1. Considere o retângulo ABCD a seguir:

C

B

D

A

Sabendo que AC é uma diagonal do retângulo, compare (maior, menor ou igual) as áreas dos triângu-los ABC e ADC. Justifique sua resposta.

Orientações específicas para a primeira atividadeCom essa atividade, os alunos validarão a noção de que a diagonal de um retângulo o divide em dois triângulos congruentes e que, portanto, possuem mesma medida de área. Essa noção será fundamen-tal para o desenvolvimento das demais atividades.

2. Seja ABCD um retângulo e P um ponto sobre a diagonal AC. Traçam-se por P dois segmentos de re-ta, EF e GH, paralelos a BC e AB, respectivamente, como mostram as figuras a seguir.

a) Compare (maior, menor ou igual) as áreas dos retângulos GPFD e EBHP e justifique sua resposta.

F C

HG

B

D

A

P

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b) Compare as áreas dos retângulos EBCF e GHCD

F FC

HG

B

D

A

P

C

HG

B

D

A

P

Orientações específicas para a segunda atividadeProvavelmente alguns alunos afirmarão de imediato, no item a, que a área do retângulo EBHP é maior que a área do retângulo GPFD; no item b, afirmarão a que área do retângulo EBCF é maior que a área do retângulo GHCD. Essa constatação deve ser questionada, uma vez que é baseada apenas na per-cepção visual, o que não é suficiente para validar matematicamente a questão.

Ocorre que, pensando de maneira dedutiva sobre a comparação das duas áreas (nos dois casos), veri-fica-se, por meio da composição e decomposição, que elas possuem a mesma medida de área.

3. Em cada uma das duas figuras a seguir, as áreas sombreadas são equivalentes. Justifique esse resul-tado para cada uma delas.

Orientações específicas para a terceira atividadenesta atividade, os alunos deverão utilizar as noções que foram construídas nas atividades anteriores. Com traços auxiliares, a ideia é que, de maneira dedutiva, possam resolver esse problema, lançando mão dos resultados já obtidos anteriormente, ou seja, deverão justificar as duas equivalências em questão considerando os resultados obtidos nas atividades 1 e 2.

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Para saber maisEssa sequência de atividades foi baseada na figura da primeira questão, conhecida como Retângulo de Euclides.

Euclides, geômetra grego, por volta de 300 a.C. produziu uma das mais grandiosas obras da história da humanidade, intitulada Os elementos. Conhecida pelo alto grau de rigor e precisão, e composta por 13 livros, a obra sistematizou, de maneira axiomática, toda a geometria conhecida na época. É apoiada nas propriedades geométricas e no raciocínio lógico-dedutivo.

Pautado pela concepção axiomática da geometria, Euclides pontua em cada um dos livros, além de definições e postulados, o que ele próprio chamaria de “noções comuns”. Por exemplo, no livro 1, constam:n “As coisas iguais a uma mesma coisa são também iguais entre si.”

Hoje em dia, tecnicamente, essa noção pode ser entendida por:

Se A = C e B = C, então A = B

n “E, caso sejam adicionadas coisas iguais a coisas iguais, os todos são iguais.” Hoje em dia, tecnicamente, essa noção pode ser entendida por:

Se A = B, então A + C = B + C

n “E, caso de iguais sejam subtraídos iguais, os restantes são iguais.” Hoje em dia, tecnicamente, essa noção pode ser entendida por:

Se A = B, então A – C = B – C

n “E, caso iguais sejam adicionados a desiguais, os todos são desiguais.” Hoje em dia, tecnicamente, essa noção pode ser entendida por:

Se A ≠ B, então A + C ≠ B + C


Orientações geraisEsta sequência de atividades tem como objetivo fazer com que os alunos percebam que em determi-nadas situações não é necessário o uso de instrumentos de medidas e cálculos numéricos para classi-ficar triângulos. A partir da definição de circunferência, os alunos perceberão uma maneira de cons-truir triângulos isósceles e equiláteros (e, nesse caso, ângulos de 60°). Assim, poderão perceber o uso das propriedades como elemento suficiente para a resolução das atividades propostas e também a lógica de uma ciência dedutiva, como é o caso da geometria.

1. Considere os pontos B e C sobre a circunferência de centro em A.

a) Podemos afirmar, sem medir, que o triângulo ABC é isósceles? Justifique.

b) E equilátero? Justifique

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C B

A

Orientações específicas para a primeira atividadeno item a os alunos provavelmente afirmarão (de maneira correta) que o triângulo é isósceles, uma vez que o que está em jogo é apenas a definição de circunferência, ou seja, AC e AB são, ambos, raios da circunferência dada. Por outro lado, talvez afirmem (erroneamente) que o triângulo também é equilátero, uma vez que a visualização pode conduzi-los a tal interpretação.

2. Considere as circunferências a seguir, uma com centro em A e outra com centro em B, e o ponto C, de intersecção entre as duas circunferências.

C

BA

a) O que podemos afirmar sobre os lados do triângulo ABC? Justifique.

b) E sobre seus ângulos internos?

Orientações específicas para a segunda atividadeA ideia é que, a partir dessa questão, os alunos percebam que se trata, sim, de um triângulo equiláte-ro, uma vez que, ao mesmo tempo, AB = AC (por serem raios da circunferência de centro em A) e AB = BC (por serem raios da circunferência de centro em B), ou seja, que AB = AC = BC. nesse momento, é importante uma conversa sobre as propriedades do triângulo equilátero – particularmente sobre as

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medidas de seus ângulos internos, todas iguais a 60°. Para isso, será necessário recorrer à propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo. Sendo assim, é necessário que seja identificado, pre-viamente, se essa propriedade faz parte do repertório dos alunos. Em caso negativo, a proposta do grupo de estudos localizada no fim deste caderno pode auxiliar na abordagem dessa propriedade.

3. Dado um segmento de reta qualquer, como poderíamos construir um ângulo de 60° tendo como vértice uma de suas extremidades?

BA

Orientações específicas para a terceira atividadeA partir das atividades realizadas anteriormente, os alunos perceberão que é possível construir um ân-gulo de 60° somente utilizando compasso (sem o uso do transferidor). Além disso, perceberão que re-alizar a tarefa proposta é o mesmo que construir um triângulo equilátero sobre o segmento dado, uma vez que seus ângulos internos medem 60°. Para isso, baseando-se nas figuras dadas anteriormente, conceberão o processo de construção do triângulo em questão.


Orientações geraisEsta sequência de atividades tem como objetivo fazer uma análise de uma situação em que a posição de um triângulo isósceles varie, variando, assim, as demais características da figura em questão. Consi-derando os conceitos de quadrado, paralelogramo e triângulo (retângulo ou não), espera-se que os alunos possam desenvolver o senso de justificativa de maneira dedutiva, apoiados em propriedades das figuras e também em sua autonomia de criação de traços auxiliares.

1. Para que um triângulo retângulo como, por exemplo, o triângulo SQT a seguir seja isósceles, quais lados devem ser congruentes, necessariamente? Justifique.

S

T

Q

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E se o triângulo não for retângulo, quais pares de lados poderiam ser congruentes para que o triângulo fosse isósceles?

Orientações específicas para a primeira atividadenessa atividade, os alunos devem perceber que em um triângulo retângulo a hipotenusa será sempre o maior lado e, consequentemente, os dois lados que podem ser congruentes são, necessariamente, os catetos (ST e SQ). Esse fato pode ser extrapolado para qualquer que seja o triângulo, ou seja, em um triângulo qualquer, o maior lado será aquele oposto ao maior ângulo. Assim, em um triângulo qual-quer (não necessariamente retângulo) podemos ter quaisquer pares de lados congruentes para que o triângulo seja isósceles. É o que sugere a questão posterior à figura.

2. Sabendo que PQSR é um quadrado e QST um triângulo isósceles, retângulo em S, determine se o quadrilátero PQTS é um paralelogramo ou não. Justifique

SR

P Q

T

Orientações específicas para a segunda atividadeTendo em vista a discussão realizada na primeira atividade e sendo o triângulo QST isósceles e retân-gulo em S, os alunos deverão constatar a condição de ser PQTS um paralelogramo.

3. E se o triângulo QST não fosse retângulo em S, ou seja, sabendo apenas que PQSR é um quadrado e que o triângulo QST é isósceles, poderíamos afirmar que o quadrilátero PQTS seria um paralelogramo? Justifique.

Sugestão: faça figuras como auxílio para justificativas.

Orientações específicas para a terceira atividadeEssa atividade que encerra a sequência favorece o desenvolvimento da capacidade de produzir figu-ras representativas no papel e o processo de análise de uma determinada figura, dando condições pa-ra que certas características sejam garantidas ou não.

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Orientações geraisEsta sequência de atividades tem como objetivo fazer com que os alunos determinem, a partir do es-tudo das propriedades de quadriláteros (retângulo e quadrado) e triângulos, as medidas de ângulos sem o uso de instrumentos específicos para medições desse tipo, como o transferidor, por exemplo. As duas atividades propostas farão uso, necessariamente, da propriedade da soma dos ângulos inter-nos de um triângulo. Sendo assim, é de extrema importância que seja identificado, previamente, se es-sa propriedade faz parte do repertório dos alunos. Em caso negativo, a proposta do grupo de estudos localizada no fim deste caderno pode auxiliar na abordagem dessa propriedade.

1. Sabendo que ABCD é um quadrado e BEC é um triângulo equilátero, determine o valor de todos os ângulos da região interna da figura, sem utilizar o transferidor.

DA

E

B C

Orientações específicas para a primeira atividadeUma questão que os alunos poderão fazer logo no início da atividade é a seguinte: como vou desco-brir todos os ângulos se eu não tenho a medida de nenhum? Um questionamento como esse pode ser a porta de entrada para a retomada das propriedades definidoras do quadrado e dos triângulos esca-leno e equilátero. Também é possível que os alunos busquem suas primeiras estratégias apenas anali-sando perceptivamente (observação visual) a figura – o que pouco lhes dirá, já que BD, por exemplo, não é um segmento de reta.

2. No retângulo ABCD marcamos o ponto médio de BC chamando-o de E. Determine, sem utilizar ins-trumentos de medida, o valor de todos os ângulos da região interna da figura abaixo:

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D

A B

E

50o

C

Orientações específicas para a segunda atividadenesta segunda atividade, será necessário avançar as discussões realizadas a partir da análise de con-gruência de triângulos (DCE e ABE), do conceito de ponto médio e das propriedades definidoras do retângulo. Uma vez realizada a primeira atividade, os alunos podem considerar esta segunda aparen-temente mais simples, já que um dos ângulos solicitados já está indicado. Esse aspecto pode dar-lhes segurança na busca por estratégias.


Orientações geraisEsta sequência de atividades tem como objetivo fazer com que os alunos percebam que em determi-nadas situações não é necessário o uso de instrumentos de medidas e cálculos numéricos para com-parar áreas. A partir das regras para o cálculo das áreas do trapézio e do triângulo e do conceito de isósceles, os alunos poderão perceber o uso das propriedades como elemento suficiente para a reso-lução das atividades propostas.

1. A figura abaixo representa um trapézio isósceles:

DA

B C

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a) O triângulo ABC tem maior, menor ou igual área que o triângulo BDC? Justifique.

b) Se o trapézio ABCD não fosse isósceles, continuaria valendo a mesma resposta adotada para o item a? Por quê?

Orientações específicas para a primeira atividadeno item a, os alunos provavelmente usarão a observação do desenho como forma de validar suas res-postas, já que é visível a ideia de que os triângulos são iguais. Já no item b, caso os alunos construam um desenho para auxiliá-los (o que é indicado), o visual evidenciará que os triângulos são diferentes, o que poderá levar os alunos a concluir que, portanto, os triângulos têm áreas diferentes. Em ambos os casos, é importante auxiliá-los na busca pela percepção de que a base dos triângulos é o mesmo seg-mento e que as alturas também são iguais, fazendo com que os alunos concluam que não é possível se basear apenas no visual para validar uma relação.

2. Sabendo que a reta CE é paralela ao segmento AB, responda: qual dos triângulos (ABC, ABD ou ABE) tem maior área?

D E

A B

C

Orientações específicas para a segunda atividadeCompletando as ideias previamente discutidas nas questões anteriores, esta segunda atividade fa-vorece o rompimento de uma ideia a que os alunos comumente se apegam: para que duas figuras tenham a mesma área, elas devem ser iguais. nesta atividade, ainda é esperado que os alunos se apoiem inicialmente no perceptivo (visual) ou cogitem a busca por instrumentos de medidas para validar suas constatações.

3. Analise a figura abaixo e responda: o triângulo AOB tem maior, menor ou igual área que o triângulo DOC? Justifique.

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DA

B

0

C

Orientações específicas para a terceira atividadeEsta última atividade permite avançar nas análises até então realizadas e considera a comparação entre dois triângulos (AOB e DOC) que não têm a mesma base e nem a mesma altura, mas possuem mesma área. A validação dessa constatação vem do ato de “descontar” a área de uma superfície compartilhada pelos triângulos ABC e DBC – que possuem mesma área – sem realizar essa operação empiricamente. Como o triângulo BOC faz parte de ABC e DBC, ao “retirá-lo”, suprime-se o mesmo em ambos os triângulos.

SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES – 6

Orientações geraisEsta sequência de atividades visa a fazer com que os alunos possam estabelecer relações entre os lados de um paralelogramo e sua altura relativa a determinada base, bem como refletir sobre a possibilidade de construção de paralelogramos com medidas previamente determinadas para esses elementos.

1. É possível construir um paralelogramo cujas medidas dos lados sejam 8 cm e 4 cm, e a altura relativa ao la-do maior seja 3 cm? Em caso afirmativo, essa construção é única? Justifique suas respostas.

Orientações específicas para a primeira atividadeÉ provável que os alunos busquem realizar a construção solicitada por tentativas e erros, utilizando apenas a régua, já que o paralelogramo é um polígono. Caberá ao professor fazer questionamentos que façam com que os alunos percebam a necessidade de maior rigor na construção. Um bom ca-minho para isso é sugerir o uso da circunferência como instrumento auxiliar no processo da constru-ção, levando-os a perceber que existe mais de uma possibilidade para a construção indicada na ati-vidade, como indicam as figuras a seguir:

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A B8 cm

3 cm

Figura 1

A

C D

B

3 cm4 cm

Figura 2

A

C D E F

B

3 cm

Figura 3

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2. Mantendo as medidas dos lados, 8 cm e 4 cm, é possível construir um paralelogramo com altura igual a 4 cm? Em caso afirmativo, essa construção é única? Justifique suas respostas.

Orientações específicas para a segunda atividadenesta atividade, a partir dos mesmos procedimentos utilizados anteriormente, o objetivo é fazer com que os alunos percebam que se a medida da altura em questão for igual à medida do lado que não foi tomado como base, a construção resultará num retângulo, como mostra a figura a seguir. Cabem, então, questionamentos que levem os alunos a validar, ou não, a figura como um paralelo-gramo. Essa é uma oportunidade de discutir com os alunos, mais uma vez, as propriedades defini-doras do paralelogramo e do retângulo, bem como suas relações.

L M

PO

3. Nas mesmas condições, é possível construir um paralelogramo com altura 5 cm? Em caso afirmativo, essa construção é única? Justifique suas respostas.

Orientações específicas para a terceira atividadeFinalmente, com esta atividade, os alunos observarão que se a medida da altura em questão for maior que a medida do lado que não foi tomado como base, não será possível construir o paralelo-gramo, o que, mais uma vez, pode ser observado a partir da definição de circunferência, na figura a seguir. nesse momento, é importante realizar o fechamento das atividades, retomando, de forma sistematizada, os resultados validados ao longo da sequência de atividades, ou seja, os três casos: altura com medida menor, igual ou maior que o menor lado do paralelogramo.

L M

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Avaliação do encontro Duração: 10min

Este é um momento para você avaliar como foi este Encontro Presencial. Você terá acesso a uma avalia-ção avulsa. Preencha com bastante atenção e empenho, pois o objetivo é melhorar cada vez mais o seu processo de formação junto ao Programa de Educação da Fundação Vale.

Para o próximo Encontro Presencial você vai precisar trazer:

n O livro didático de matemática adotado por sua escola.

n Alguns registros (diferentes entre si) de resoluções de problemas feitos por seus alunos, referentes à sequência de atividades propostas na atividade de Aplicação Prática deste bimestre.

n O seu registro da atividade de Aplicação Prática deste bimestre.

n Este caderno.

Referências

n ITZCOVICH, Horacio. Iniciación al estudio didáctico de la geometría – De las construcciones a las demostraciones. Buenos Aires: Libros del Zorzal, 2006.

n ITZCOVICH, Horacio (organizador). La matemática escolar – Las prácticas de enseñanza en el aula. Buenos Aires: Aique Educación, 2008.

n PONCE, Héctor. Enseñar y aprender matemática: propuestas para el segundo ciclo. Buenos Aires: Centro de Publicaciones Educativas y Material Didáctico, 2006.

n SESSA, C. Acerca de la enseñanza de la geometría. In: Matemática, temas de su didáctica. Buenos Aires: Conicet, 1998.

Aplicação PráticaDuração: 4h

A proposta aqui é que você, professor, desenvolva com seus alunos a sequência de atividades com foco no trabalho com propriedades geométricas, planejada no Encontro Presencial. Para isso, siga os passos a seguir:

n Releiam o planejamento e procurem esclarecer eventuais dúvidas individualmente e/ou com seus colegas.

n Retomem os conteúdos que serão trabalhados na atividade e também os encaminhamentos que planejaram.

n Se planejaram usar algum material como suporte para apresentação da atividade, como cartaz ou folha xerografada, é preciso já ter em mãos esse material no momento da aplicação da atividade.

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Registrando a prática

Para produzir o Registro da Aplicação Prática, utilizem o modelo a seguir:

Registro da atividade

Escola:

Professor que realizou a aula planejada:

Ano:

Quantidade de alunos presentes no dia da atividade:

Tempo utilizado para a realização da atividade:

Município:

Qual foi a sequência de atividades proposta?

Você considera que as atividades propostas na sequência constituíram verdadeiros problemas geométricos para os alunos? Justifique.

Quais foram as propriedades elencadas no planejamento? Elas apareceram durante a realização da atividade? Em caso afirmativo, quais foram? Em caso negativo, qual(is) seria(m) o(s) motivo(s), em sua opinião?

Você considera que os alunos avançaram no que diz respeito ao trabalho baseado em propriedades geométricas? Justifique sua resposta e cite algum exemplo ocorrido em sala de aula.

A ordem das atividades na sequência escolhida favoreceu ou não a aprendizagem dos alunos? Justifique.

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Grupo de EstudosDuração: 4h

Nesta atividade será realizada a leitura compartilhada de um texto que trata a demonstração como um fator que favorece o trabalho argumentativo no ensino de geometria. O objetivo é aprofundar as dis-cussões sobre a necessidade da transição do trabalho empírico para o dedutivo e abstrato.

O trabalho argumentativo no ensino de geometria

Como já estudamos a partir do texto proposto no Momento 1 da seção “A prática em questão” deste caderno, o estudo da geometria favorece competências como, por exemplo, a argu-mentação, a validação, a antecipação e a capacidade dedutiva. Uma das abordagens que fa-vorecem especificamente a argumentação é o trabalho com as demonstrações.

Segundo o autor Horacio Itzcovich, nos momentos de apresentar uma demonstração aos alunos, ou de eles mesmos produzirem uma demonstração, surgem questões referentes aos conheci-mentos prévios necessários para aquela produção e aos níveis de rigor que deverão ser usados.

n Como conhecer o repertório de conhecimentos que os alunos têm e que são necessários para abordar a demonstração?

n Se os alunos não possuem esses conhecimentos, o que fazer? Demonstrá-los, enunciá-los, “negociar” sua aceitação?

n Quais são os critérios que regem as “negociações” do que não será demonstrado?

n Como decidir que certa demonstração é mais “conveniente” para trabalhar com os alunos do que outra?

Tais questões se tornam ainda mais relevantes nos primeiros contatos dos alunos com a pro-dução e interpretação de demonstrações. Para avançarmos nessas discussões, vamos tomar como exemplo uma argumentação e duas demonstrações relacionadas à propriedade da so-ma dos ângulos internos de um triângulo.

Argumentação

Desenhe um triângulo qualquer numa folha de papel. Recorte-o. Marque os três ângulos in-ternos desse triângulo. Corte o triângulo em três pedaços mantendo inteiros cada um dos ân-gulos marcados. Junte os pedaços recortados de modo que coincidam os vértices de cada um dos ângulos.

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Teorema: em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.

Seja ABC um triângulo qualquer, α, β, γ seus ângulos internos e δ um ângulo externo, adjacente a γ.

A C

B

αδ

β

γ

Devemos provar que a medida do ângulo δ é igual à soma das medidas dos ângulos α e β.

Demonstração 1

Consideremos novamente o triângulo ABC e tracemos a semirreta d, interna a δ e paralela ao lado AB do triângulo. Essa semirreta determina com os lados de δ dois ângulos, que chamare-mos α’ e β’, respectivamente.

A C

d

B

α α`β`

β

γ

O ângulo α’ é congruente ao ângulo α, uma vez que são ângulos correspondentes entre para-lelas. Também os ângulos β e β’ são congruentes por serem alternos internos entre paralelas. Logo, δ = α’ + β’ = α + β.

A partir deste resultado podemos afirmar que α + β + γ = 180°, pois δ + γ = 180°.

Demonstração 2

Considerando um retângulo qualquer, é simples determinar que a soma das medidas de to-dos os ângulos internos é 360º, pois os quatro ângulos são retos, ou seja, medem 90º.

Traçando-se uma diagonal de um retângulo, obtêm-se dois triângulos retângulos congruentes.

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Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos de cada um desses triângulos retângulos é 180º.

α

β

γ

α + β + γ = 180°.

para todo triângulo retângulo

Continuará sendo 180º a soma dos ângulos internos de um triângulo que não é retângulo?

Se em um triângulo qualquer, como o da figura seguinte, por exemplo, traça-se a altura cor-respondente a um de seus lados, obtêm-se dois triângulos retângulos:

α

βΦ

γ

δ

δ + ø = 180°, pois δ e Φ são ângulos retos.

Os ângulos internos do triângulo são α, β, γ.

A soma dos ângulos internos em cada um dos dois triângulos formados é 180º, pois ambos são retângulos.

Sendo assim, é possível afirmar que a soma de todos esses ângulos é 360º:

α + β + γ + δ + ø = 360°.

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Como δ e ø não são ângulos internos do triângulo original e suas medidas somam 180°, então α + β + γ = 180°. Portanto, para qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é 180º.

Nas palavras de Itzcovich, a argumentação apresentada é, “na realidade, uma constatação em-pírica. Apoia-se na ‘manipulação’ do triângulo de modo a obter o resultado esperado. Essa manei-ra de proceder traz consigo a possibilidade de que o resultado obtido seja uma casualidade. Em ar-gumentações dessa natureza não há nada que garanta matematicamente que o resultado não pudesse ser outro. Não se recorre a nenhuma propriedade geométrica que dê conta da validade do resultado obtido, nem há certeza geométrica que possibilite ligações com propriedades que permi-tam inferir o resultado. Ao mesmo tempo, não há indicações que mostrem que o ocorrido com o tri-ângulo com o qual se trabalha se repete com todos os triângulos, perdendo a perspectiva do alcan-ce geral da propriedade”.

As duas demonstrações possuem caráter mais rigoroso, no sentido de aproximarem-se do que seria uma prova formal, uma demonstração matemática. Estão pautadas na lógica axiomática, dedutiva, que garante a validade de um resultado matemático. Nessa lógica, estabelecem-se algumas definições e ideias iniciais que são aceitas, a partir das quais se demonstram outros re-sultados que passam a ser aceitos como verdades. A validade de uma demonstração seria fun-damentada numa espécie de cadeia de validações, a partir de um início tomado como aceito.

Frente a isso, devemos questionar que decisões devem ser tomadas caso o conhecimento dos alunos não seja suficiente para compreender as demonstrações (1 e 2) e ainda refletir se é ne-cessário recorrer a um discurso formal que obriga o recurso a teoremas intermediários, cuja fi-nalidade é difícil os alunos compreenderem e põe em risco o jogo ao qual os convocamos.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), “as atividades de geometria são muito propícias para que o professor construa junto com seus alunos um caminho que a partir de experi-ências concretas leve-os a compreender a importância e a necessidade da prova para legitimar as hipóteses levantadas“.

Esses experimentos com materiais concretos podem ter certa força de convencimento para os alunos. Contudo, eles não se constituem como provas matemáticas. É esperado que nos primeiros anos do Ensino Fundamental II essas experiências sejam aceitas como provas. Mas, nos anos finais, é necessário que as observações empíricas se transformem em meios desen-cadeadores de conjecturas e processos que levem às justificativas formais.

Equipe Comunidade Educativa CEDAC, 2013.

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Com base no estudo realizado, reflitam sobre as questões a seguir e registrem.

1. Vocês abordariam com seus alunos a argumentação ou alguma das demonstrações apresentadas no tex-to? Qual(is)? Como seria essa abordagem? Justifiquem.

2. Por que a argumentação apresentada na página 28 (soma das medidas dos ângulos internos de um triân-gulo) não é considerada uma demonstração?

Para fundamentar a resposta, releiam o trecho a seguir:

“(...) na realidade, uma constatação empírica. Apoia-se na ‘manipulação’ do triângulo de modo a obter o re-sultado esperado. Essa maneira de proceder traz consigo a possibilidade de que o resultado obtido seja uma casualidade. Em argumentações dessa natureza não há nada que garanta matematicamente que o resul-tado não pudesse ser outro. Não se recorre a nenhuma propriedade geométrica que dê conta da validade do resultado obtido, nem há certeza geométrica que possibilite ligações com propriedades que permitam inferir o resultado. Ao mesmo tempo, não há indicações que mostrem que o ocorrido com o triângulo com o qual se trabalha se repete com todos os triângulos, perdendo a perspectiva do alcance geral da propriedade”.

3. Analisem a coleção de livro didático adotada pela sua escola:

a) Identifiquem em qual(is) ano(s) escolar(es) é apresentada a propriedade da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo.

b) A maneira como essa propriedade é abordada se aproxima da argumentação ou de alguma das demonstrações apresentadas no texto?

c) Vocês consideram que a abordagem apresentada é apropriada para o(s) ano(s) escolar(es) em questão? Modificariam algo nela? O quê? Justifiquem a resposta.

Sugestões de leituras complementares

n BRASIL. Ministério da Educação (MEC). Secretaria de Educação Fundamental. Orientações didáticas para terceiro e quarto ciclos. In: Parâmetros Curriculares Nacionais (5ª a 8ª séries). Brasília: MEC/SEF, 1998. pp. 96-106.

n Portal do Professor – Ministério da Educação (MEC), Brasil. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br.

n LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. Aprendendo e ensinando geometria. Tradução de Hygino H. D. São Paulo: Editora Atual, 1994.

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Anotações

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Formação de Professores Formação de Professores

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