Matematica Estatistica

FUNDAMENTOS DA MATEMTICA E

ESTATSTICA

OTE CURSOS TCNICOSOrganizao Tecnolgica de Ensino - Cursos Tcnicos

Roberto MerhyDiretor Geral

MATERIAL DIDTICOMATERIAL DIDTICO

Produo AcadmicaCamila Jacobina

Coordenadora Execu va

Fernanda LordeloCoordenadora Pedaggica

Romero Augusto MerhyAssessor Execu vo

Gilclcio DantasAutoria

Produo TcnicaJoo Jacomel

Coordenao

Daniel CorintoJosenildes Apolinrio

Juliana LimaAnlise Tcnica

Juliana FonsecaLuana Cardoso

Ta ane LboReviso Textual

Alberto Victor Moreira e Francisco Frana JuniorEditorao

Alberto Victor Moreira e Francisco Frana JuniorIlustraes

ImagensCorbis/Image100/Imagemsource

copyright OTE CT Todos os d ireitos reservados e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/98.

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SUMRIO

REVISO DE TPICOS FUNDAMENTAIS _______________________________________ 9

CONJUNTOS NUMRICOS ______________________________________________________ 9

POTENCIAO ______________________________________________________________ 21

RADICIAO _______________________________________________________________ 25

PRODUTOS NOTVEIS _________________________________________________________ 30

RAZES E PROPORES ___________________________________________________ 37

RAZES ___________________________________________________________________ 37

PROPORES _______________________________________________________________ 38

REGRA DE TRS _____________________________________________________________ 43

PORCENTAGEM _____________________________________________________________ 47

EQUAES E FUNES ____________________________________________________ 57

EQUAES _________________________________________________________________ 57

SISTEMA DE EQUAES _______________________________________________________ 66

FUNES DE 1 GRAU _________________________________________________________ 72

FUNES DO 2 GRAU ________________________________________________________ 80

TRIGONOMETRIA E ESTATSTICA ____________________________________________ 91

INTRODUO A TRIGONOMETRIA ________________________________________________ 91

SENO, COSSENO E TANGENTE ___________________________________________________ 96

CONCEITOS BSICOS DE ESTATSTICA ____________________________________________ 101

INTRODUO S MEDIDAS DE POSIO __________________________________________ 110

GLOSSRIO __________________________________________________________ 125

REFERNCIAS ________________________________________________________ 127

SITES ________________________________________________________________ 128

APRESENTAO

Prezado (a) Aluno (a),

Seja bem-vindo a disciplina Fundamentos da Matem ca e Esta s ca. Este mdulo foi escrito com o obje vo de apresentar da melhor maneira possvel os contedos fundamentais da Matem ca e Esta s ca, seus obje vos, u lidades e aplicabilidade. Certamente sua organizao e abordagem possibilitam que o assunto seja interessante e facilitador da aprendizagem.

Devido diversidade dos alunos, optei por apresentar os contedos de uma forma bastante clara e obje va e cuja linguagem permi r que as difi culdades na aprendizagem sejam minimizadas.

Ao fi nal de cada tema sero apresentados exerccios, e ao fi nal do material uma pr ca para ensino, sem deixar de mencionar as questes propostas para ajud-lo a entender melhor o contedo da disciplina, preparando o aluno para enfrentar o mercado de trabalho e tornar-se um cidado apto a se integrar no mundo compe vo.

Bons Estudos!

Prof. Gilclcio Dantas

Apresentao da Disciplina

TEMA 1REVISO DE TPICOS

FUNDAMENTAIS

9Fundamentos da Matem ca e Esta s ca

REVISO DE TPICOS FUNDAMENTAIS

CONJUNTOS NUMRICOS

INTRODUO

Noes de Conjuntos

A noo de conjunto em Matem ca pra camente a mesma u lizada na linguagem co diana: agrupamento, classe, coleo. A Matem ca se ocupa primordialmente de nmeros e do espao. Portanto, os conjuntos mais freqentes encontrados na Matem ca so os conjuntos numricos (conjuntos de nmeros) e as fi guras geomtricas (que so conjuntos de pontos). Nessa seo, procuraremos introduzir algumas das idias bsicas da teoria dos conjuntos, atravs de suas linguagens.

Quando falamos em conjunto, lembramos naturalmente de uma coleo qualquer de elementos. Na verdade, conjunto uma idia primi va que sabemos reconhec-lo e caracteriz-lo. Por exemplo:

Os estudantes da OTE;

As moedas em um pote;

As frutas de um cesto.

Geralmente so representados por letras maisculas: enquanto que, os elementos do conjunto so representados por letras minsculas:

Perceba que todo conjunto bem caracterizado quando podemos estabelecer com certeza se um elemento pertence ou no ao conjunto. Exemplo:

Voc pertence ao conjunto de alunos dos cursos da OTE.

Voc no pertence ao conjunto de alunos que no gosta de Matem ca.

Portanto, a A , signifi ca que a um elemento, ou membro, do conjunto A e b A signifi ca que o objeto b no um elemento do conjunto A . Temos uma relao de per nncia.

Encontramos ainda outra situao, em que um conjunto pode ser um elemento de outro conjunto, vejamos:

Dados os conjuntos A= {1, 2, 3} e B= {1, 2, 3, 4}, notamos que todo elemento de A pertence a B, dizemos portanto, de um modo geral que o conjunto A est con do no conjunto B, ou que A subconjunto de B, se e somente se; todo elemento de A tambm pertence a B. Indicamos por .A B

Os conjuntos de maior importncia, na matem ca, so aqueles formados por nmeros, e certos

10

conjuntos numricos so importantes devido s propriedades das operaes entre seus elementos. A propriedade comum aos conjuntos que podem associar cada elemento de um conjunto com um nico elemento de outro conjunto e vice -versa o que chamamos de nmero natural.

1.1 Nmeros Naturais

Os nmeros naturais cons tuem um conjunto denominado conjunto dos nmeros naturais e indicaremos pela letra N.

N={0,1,2,3,4...}

tambm chamado de conjunto dos nmeros inteiros no-nega vos.

Vejamos algumas operaes e propriedades com os nmeros naturais.

Soma ou Adio

A reunio de dois conjuntos A e B disjuntos (sem elementos comuns) cons tuda por elementos que pertencem a A e B.

Sejam:

n(A) = 6 nmero de elementos do conjunto A

n(B) = 5 nmero de elementos do conjunto B

Resultando:

n(A U B) = 11 - nmero de elementos do conjunto reunio.

Vemos que: n(A) + n(B) = n (A U B) ou 6 + 5 = 11

A operao que fi zemos chama-se adio, 6 e 5 so as parcelas e o resultado da operao, 11, a soma.

Propriedades da Adio

a) Fechamento: A soma de dois nmeros naturais um nmero natural.

5N, 6N (5 + 6) Nb) Comuta va: A ordem das parcelas no altera a soma.


4 8 12

4 8 88 4 12

c) Elemento neutro: No conjunto dos nmeros naturais, zero chamado elemento neutro da adio.

5 + 0 = 5; 0 + 7 = 7

d) Associa va: A adio de trs parcelas pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas l mas parcelas indiferentemente.

(5 + 13) + 4 = 5 + (13 + 4)

A vidade Proposta

Nos itens abaixo, diga qual a propriedade da adio est sendo empregada:

a) 9 N, 10 N (9 + 10) N Resposta: b) 8 + 9 = 9 + 8 Resposta:

c) 18 + 0 = 18 Resposta:

d) (22 + 15) + 17 = 22 (15 + 17) Resposta:

e) 0 + 9 = 9 Resposta:

Mul plicao

Tambm conhecido como produto de dois ou mais nmeros.

Consideremos a soma de 5 parcelas iguais a 3.

3 + 3 + 3 + 3 +3 = 15

Esta soma pode ser indicada por 3 x 5 = 15 ( ou 3 . 5 = 15 ) que se l : 3 vezes 5 igual a 15, e recebe o nome de produto. Pode-se dizer que produto a soma de parcelas iguais e a operao a mul plicao.

A parcela que se repete, chama-se mul plicando; o nmero de parcelas repe das o mul plicador e o resultado denomina-se produto.

Os mul plicadores so tambm chamados de fatores.

Regra bsica para mul plicador igual a 1 ou 0. Toda mul plicao de qualquer nmero por 1 d o

12

prprio nmero e a mul plicao de qualquer nmero por zero d zero. Assim:

3 x 1 = 3; 3 x 0 = 0

Pode-se dizer que a mul plicao faz corresponder a dois nmeros dados em certa ordem um terceiro nmero que o produto do primeiro pelo segundo.

Exemplo 1:

Sabemos que 1 minuto tem 60 segundos. Quantos segundos h em 15 minutos?

15 x 60 = 900 segundos

Propriedades da Mul plicao

a) Fechamento: O produto de dois nmeros naturais sempre um nmero natural.

2 N, 5 N 2 x 5 N

b) Comuta va: A ordem dos fatores no altera o produto.

Elemento neutro: O nmero 1 mul plicado por qualquer nmero e em qualquer ordem ter como produto aquele mesmo nmero.

5 x 1 = 1 x 5 = 5

c) Associa va: Numa mul plicao de trs fatores, podem-se associar os dois primeiros ou os dois l mos, indiferentemente.

(4 x 5) x 2 = 20 x 2 = 40

4 x (5 x 2) = 4 x 10 = 40

Observao! Se no produto de trs ou mais fatores, um deles zero; ento o produto igual a zero:

3 x 0 x 5 = 0 ; 8 x 12 x 0 x 7 = 0

d) Distribu va da mul plicao em relao adio (ou subtrao):

7.4 284.7 7.4

4.7 28


O produto de um nmero por uma soma (ou diferena) pode ser ob do, mul plicando-se o nmero por cada um dos termos da soma (ou diferena) e adicionando-se (ou subtraindose) os produtos parciais.Assim:

9 x ( 3 + 2 ) = 9 x 5 = 45

9 x 3 + 9 x 2 = 27 + 18 = 45

4 x (7 3 ) = 4 x 4 = 16

4 x 7 4 x 3 = 28 12 = 16

1.2 Nmeros Inteiros

Os nmeros inteiros cons tuem um conjunto denominado conjunto dos nmeros inteiros e indicaremos pela letra Z.

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

o conjunto dos nmeros naturais acrescentando agora os elementos nega vos.

Vejamos algumas operaes com os nmeros inteiros:

Soma ou adio

Quando os nmeros tm o mesmo sinal basta conserv-lo e adicionar os nmeros; quando os sinais so contrrios subtramos o menor do maior, e o sinal que prevalece o deste l mo. bom lembrar tambm que o sinal mais (+) antes de um parntese no vai alterar o sinal do nmero que est entre parnteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parntese for o de (). Se no houver nenhum sinal antes do parntese estar implcito que o sinal ser o de mais (+).

Exemplo 2:

a) ( +10 ) + (+2 ) = +10+2= +12

b) ( +10 ) + (-2 ) = +10-2= +8

c) ( -10 ) + (+2 ) = -10+2= -8

d) ( -10 ) + (-2 ) = -10-2= -12

Para somar mais de dois nmeros inteiros o resultado ob do somando o primeiro com o segundo, o resultado ob do com o terceiro, e assim por diante at a l ma parcela.

14

Exemplo 3:

(+5 ) + (-3 ) + (-7 ) + (+3 ) + (+4) =

(+2) + (-7 ) + (+3 ) + (+4) =

(-5 ) + (+3 ) + (+4) =

(-2 ) + (+4) = 2

Podemos tambm adicionar separadamente todas as parcelas posi vas e todas as nega vas e, em seguida, somar os dois nmeros de sinais contrrios ob dos.

Efetuando a soma do exemplo anterior, temos:

Soma das parcelas posi vas:

(-5) + (+3 ) + (+4) = +12

Soma das parcelas nega vas:

(-3 ) + (-7 ) = -10

Soma de ambos os resultados:

(+12 ) + (-10 ) = +2

Subtrao ou diferena

Observe que h um sinal de menos () antes de um parntese. Troca-se o sinal do nmero que est entre parnteses, e no mais, procede-se como na operao anterior.

a) ( +10 ) - (+2 ) = +10-2= +8

b) ( +10 ) - (-2 ) = +10+2= +12

c) ( -10 ) - (+2 ) = -10-2= -12

d) ( -10 ) - (-2 ) = -10+2= -8

Para as operaes de mul plicao e diviso que viro logo a seguir vale a seguinte regra: Nmeros de mesmo sinal do sempre resultado posi vo, enquanto que os de sinais contrrios conduzem sempre a resultados nega vos.

Mul plicao

a) ( +10 ) x (+2 ) = +20

b) ( +10 ) x (-2 ) = -20

c) ( -10 ) x (+2 ) = -20

d) ( -10 ) x (-2 ) = +20

Diviso

a) ( +10 ) / (+2 ) = +5


b) ( +10 ) / (-2 ) = -5

c) ( -10 ) / (+2 ) = -5

d) ( -10 ) / (-2 ) = +5

Exemplo 4:

1) 2 + (3) = 2 3 = 5

2) + 5 (8) = 5 + 8 = 11

3) (2) x (3) = 6

4) (3) x 5 = 15

Exerccios

a) 9 + 12 (14) =

b) 13 + (9) 3 =

c) 7 (8) =

d) 14 (12) 24 =

e) (3) x (8) + 25 =

f) 9 x (2) x (3) =

A ideia de nmero fracionrio

Para exprimirmos o nmero de elementos de um conjunto fi nito, empregamos um s nmero natural.

Para expressarmos, matema camente, uma parte ou algumas partes iguais de um todo, vamos usar um par ordenado de nmeros naturais.

L-se: meio ou um meio. L-se: trs quintos

Indica-se: 1/2 Indica-se: 4/6

16

Chamamos de numerador o nmero de cima e denominador o nmero de baixo.

Exemplo 5: 1/2

1 = numerador e 2 = denominador

Os nmeros 1/2, 4/6 so chamados fraes ou nmeros fracionrios.

Ento:

Chama-se frao todo nmero com numerador qualquer e denominador diferente de zero:

a) O primeiro nmero indica quantas partes tomamos do inteiro.

b) O segundo nmero indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.

Exerccio proposto:

Observando os exemplos dados, expresse qual frao da fi gura toda a parte colorida:

Agora apresentaremos o conjunto dos nmeros formados por estas fraes:

1.3 Nmeros Racionais

Os nmeros fracionrios cons tuem um conjunto denominado conjunto dos nmeros racionais e indicaremos pela letra Q.

Em resumo, o conjunto de todos os nmeros que podem ser escritos na forma de frao.

So exemplos de nmeros racionais:

Para operaes com fraes faremos uma rpida reviso em MMC.

Mnimo Ml plo Comum (MMC)

Consideremos os conjuntos dos ml plos, respec vamente, dos nmeros 6, 8 e 12:

M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,54,60...}

M(8) = {0,8,16,24,32,40,48,56,64...}

M(12) = {0,12,24,36,48,60...}

| , , 0pQ x x sendo p Z q Z e qq

3 9 8, , , .5 2 3

etc


Observando que M (6) M(8) M(12) = {0, 24, 48...}, podemos afi rmar que:a) Os ml plos comuns de 6,8 e 12 so 0, 24, 48...

b) O menor ml plo comum, diferente de zero, de 6, 8, e 12 24.

Ento, o nmero 24 chamado mnimo ml plo comum de 6,18 e 12, que representaremos por mmc (6,8,12) = 24.

Dados dois ou mais nmeros, diferentes de zero, chama-se mnimo ml plo comum desses nmeros o menor de seus ml plos comuns, diferente de zero.

Tcnicas para o clculo do mmc

Podemos determinar o mmc de dois ou mais nmeros diferentes de 0 pelo processo da decomposio em fatores primos, usando a seguinte regra:

a) Decompe-se cada nmero em fatores primos.

b) O mmc ser o produto de todos os fatores comuns e no comuns cada um deles elevados ao maior expoente.

MMC = 2 x 3 = 24

Operaes com fraes

Soma ou Subtrao:

O mtodo mais direto de resolver fraes o do Mnimo Ml plo Comum (MMC):

a c da bcb d bd

Exemplo 6:

2 5 14 15 293 7 21 21

Exemplo 7:

4 2 28 10 185 7 35 35

Exemplo 8:

18

5 2 3 20 5 28 2 35 3 517 5 4 20 7 140

Exerccio

Resolva as seguintes operaes com fraes:

2 1)7 9

3 1)7 5

8 4)11 5

1 2 3)4 9 7

4 3 4)9 8 11

5 2 4)3 9 5

a

b

c

d

e

f

Diviso de fraes

a cb d

s inverter a 2 frao e mul plicar:

a db c

Assim, a c a d adb d b c bc .


Exemplo 9:

2 4 2 7 14 72 7 3 4 12 6

Exemplo 10:

55 3 158

4 8 4 323

Exemplo 11:

8 2 5 52 5 415 8 41 14 2875 8 40

4 1 8 7 1 40 1 207 2 142 7

Exerccio

Resolva as seguintes operaes com fraes:

11 2)23 5

4 8)3 9

3 1)7 8

2 4 15 1)3 7 4 2

7 1 4 7)3 5 3 8

a

b

c

d

e

1.4 Nmeros Irracionais

20

Os nmeros irracionais cons tuem um conjunto denominado conjunto dos nmeros irracionais e indicaremos pela letra .

| sendo Z, Z e 0.pI x x p q q

q

Em resumo, o conjunto de todos os nmeros que no podem ser escritos na forma de frao.

So exemplos de nmeros irracionais: 14159,3 (pi), 71828,2e (base dos logaritmos neperianos), 41421,12 , 73205,13 , etc.

Obs.: O conjunto dos Nmeros Racionais e dos Nmeros Irracionais so conjuntos disjuntos.

Os nmeros reais cons tuem um conjunto denominado conjunto dos nmeros reais e indicaremos pela letra .

1.5 Nmeros Reais

o conjunto dos nmeros reais, formados por todos os nmeros racionais e irracionais, e costumamos associar tais nmeros aos pontos de uma reta que, por defi nio, infi nita em ambos os sen dos.

Notemos a propriedade:

Isto , todo nmero natural inteiro, todo nmero inteiro racional e todo nmero racional tambm real.


POTENCIAO

Potenciao

Quando, em uma mul plicao, os fatores so todos iguais, em mdulo e em sinal, esta operao recebe o nome de potenciao. Assim sendo, a potncia de um nmero o produto de fatores iguais a este nmero, sendo representada por:

Exemplo 1:

4

4

3

3

) 2 2 2 ( 2) 2 16

)( 2) 2 2 2 2 16

) 2 2 2 2 8

)( 2) 2 2 2 8

a

b

c

d

Exerccio

Calcular as seguintes potncias:

5

3

3

3

4

) 2

) 3

) 2

) 7

)( 10)

a

b

c

d

e

Observaes:

1) Veremos a seguir que toda potncia de expoente par posi va, qualquer que seja o sinal da base e toda potncia de expoente mpar tem o sinal da base.

22

2) 4 416 2 2 16 3) Existem dois pos de potenciao:

a) Potenciao Sequencial:

2 3 3(2) 4 64 , que tambm pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base e mul plicando-se os expoentes:

2 3 62 2 64

b) Potenciao Escalonada:

que pode ser entendida como

2

2

3

, ou seja: 25622 823

2.1 Produto e Diviso de Potncias de Mesma Base1. Para mul plicar potncias de mesma base, repe mos a base e somamos os expoentes.

2. Para dividir potncias de mesma base, repe mos a base e subtramos o expoente do denominador do expoente do numerador.

Exemplo 2:

1 1 33 2 43 2 4 2 2 2

88 5 3

5

22 5 3

5

33 ( 4) 7

4

)

)

)

)

a a a a a a a

bb b bb

xc x xx

Id I II

2.2 Expoente NuloToda potncia de expoente nulo igual unidade.

10 a


2.3 Expoente Negativo

Toda potncia de expoente nega vo equivale a uma frao cujo numerador a unidade e o denominador a potncia com o expoente posi vo, ou seja:

n

n

aa 1

Exemplo 3:

44

22

1 1)2162

1 1)393

a

b

Observaes:

Em consequncia do exposto anteriormente temos:

nn

aa 1

Da, podemos resolver a questo abaixo da seguinte maneira:

3

3 3 4 74 4

1I I I I II I

2.4 Expoente Fracionrio

Toda potncia de expoente fracionrio equivale a uma raiz cujo ndice o denominador da frao e cujo radicando a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja:

q pq

p

aa

24

Exemplo 4:

23 2 33

12

12

12

)8 8 64 4

)16 16 4

1 1 1)4244

a

b

c

2.5 Emprego de Potncias de Dez

No intuito de facilitar as operaes podemos trabalhar com nmeros u lizando a base 10. Veja a seguir:

3

6

4

3

)2 000 2 10

)4 000 000 4 10

)0,0003 3 10

)0,025 25 10

a

b

c

d

Exerccios Propostos

1. Determine o valor de 2

1 14 5(0,1)

.

2.O valor da expresso 2,5 0,29 1024 :

a) 83

b) 81

c) 241

d) 243

e) 247


RADICIAO

Radiciao

a) Raiz n-sima de um nmero:

Dizemos que um nmero b a raiz n-sima exata de um nmero a quandonba . representada por:

ban

Denomina-se radiciao a operao pela qual se obtm a raiz n-sima de um nmero. Nas operaes exatas, a radiciao a operao inversa da potenciao.

Temos ento:

Assim sendo:

39 porque 932 .3 8 2 porque 823 .

No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e no usual escrever este ndice no radical.

No caso de n = 3 a raiz se diz cbica, mas este ndice aparece no radical.

b) Valor algbrico dos radicais:

Temos dois casos a considerar.

1. caso

2

2

4

44

8 6464 8 pois

8 64

5 625625 5 pois

5 625

26

2. caso

55

55

32 2 pois 2 32

32 2 pois 2 32

Exerccio

Calcular os valores algbricos das seguintes razes:

4

3

4

5

) 625

) 8

) 81

) 32

a

b

c

d

3.1 Radicais

Podemos escrever um radical em forma de potncia da seguinte maneira:

n ma a radicando; n = ndice da raiz e m = expoente do radicando.

mn m na a (frmula geral).

Exemplo 1:

1) 2 2 2/2 14 2 2 2 2

2) 3 33 27 3 3

3) 5 10 10/5 25 1024 2 2 2 4

4) 2 2( )x x x x x


Propriedades da Radiciao

1) m pn m m pa a Dividindo o ndice do radical e o expoente do radicando por um mesmo nmero diferente de 0, o

valor do radical no se altera.

Exemplo 2: 8 4 129 9 9 3

2) sps r rpa a Mul plicando o ndice do radical e o expoente do radicando por um mesmo nmero diferente de

0, o valor do radical no se altera.

Exemplo 3: 3 9 34 4 .

4) n n na b ab Exemplo 4: 9 16 9 16 3 4 12

5) n

nn

a ab b 4 4 2

9 39

6) ( ) nm mn a a 5 544 4 4 4( 6) 6 6 6 6 6

7) .m n m na a 3 4 44 126 46 6 6a a a

28

Exerccio

Simplifi car os radicais:

3

3

105

4

2

) 729

) 64

) 7

) 81

) ( 2)

) 81

a

b

c

d

e x

f

3.2 Racionalizao de Denominadores

Consiste em eliminar uma raiz do denominador.

Caso 1 (denominador do po n a )

1 1 1

1

1 1n n nn n nn nn nn n

A A AAA AA A

Exemplo 5:

1) 22

21

22

21

2) 33 2

3 3

3 2

33 2

3 2

393

339

339

39

33

39


Exerccio

Racionalizar os denominadores:

3

4

3)3

3)5

2)3

a

b

c

Caso 2 (denominador do po a b )

Mul plica o numerador e o denominador pelo denominador, com o sinal do meio trocado, para resultar numa diferena de quadrados.

Exemplo 6:

1) 1)1(

)()()()( 2

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

xxx

xxx

2) 23 (2 3 ) 3 (2 3 )3 3 2 3 3(2 3)

2 3 12 3 (2 3) (2 3 )

30

Exerccio

Racionalizar os denominadores.

1)1 2

1)1

2)1

7)3 7

1)

a

bx

cx

d

ea b

PRODUTOS NOTVEIS

Produtos Notveis

Existem certas igualdades matem cas, de uso frequente no clculo algbrico, que so denominadas produtos notveis.

Os principais produtos notveis so:

Quadrado da soma de dois termos 2 2 2a b a 2ab b De fato, pois:

2 2 2a b a b a b a 2ab b


ou,

2

2

2 2

2 2 2

2

( ) 2

a ba ba ab

ab ba ab b

a b a ab b

Conclu-se, a seguinte regra:

O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo 1: 2 2 2 22x 5 2x 2. 2x . 5 5 4x 20x 25 Quadrado da diferena de dois termos 2 2 2 a b a 2ab b Desse modo:

2 2 2a b a b . a b a 2ab b

ou,

2

2 2

2 2

2 2 2

2

( ) 2

a ba ba ab

a ab ba ab b

a b a ab b

32

Resultando na seguinte regra:

O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo 2: 2 2 2 23x 1 3x 2. 3x 1 1 9x 6x 1 Cubo da soma de dois termos: 3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b

Em que:

2 2 2 3 2 2 33 a b . a b a 2ab b a b a 3a b 3ab b ou,

2 2

3 2 2

2 2 3

3 2 2 3

2

2

23 3

a ab ba ba a b ab

a b ab ba a b ab b

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

Exemplo 3:

1) 3 2 2 33 3 2 2 3( ) a 3 a x 3 a x x a 3a x 3ax xa x 2) 3 2 23 3 2( 2) y 3 y 2 3 y 2 y 6y 12y 8y Cubo da diferena de dois termos: 3 3 2 2 3 a b a 3a b 3ab b

De fato, pois:

3 2 2 2 3 2 2 3a b a b . a b a 2ab b . a b a 3a b 3ab b


ou,

2 2

3 2 2

2 2 3

3 2 2 3

3 3 2 2 3

2

2

23 3

3 3

a ab ba ba a b ab

a b ab ba a b ab b

a b a a b ab b

Exemplo 4: 3 3 2 2 3 3 2x 3 x 3 x 3 3 x 3 3 x 9x 27x 27

Produto da soma pela sua diferena: 2 2a b a b a b De fato, pois:

2 2 (a b) a b a a b b a b a b ou,

2

2

2 2

2 2( ) ( )

a ba ba ab

ab ba b

a b a b a b

Resultando na seguinte regra:

O produto da soma de dois termos pela sua diferena igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Exemplo 5: 2 2 2x 3 x 3 x 3 x 9 Exerccios Resolvidos:

34

a) 2 22 2 25 2 5 5 10 25a x a a x x a ax x b) 2 2 2 22 2 4 2 25 3 5 2 5 3 3 25 30 9x y x x y y x x y y c) 2 2 x y x y x y x y d) 3 3 2 2 3 3 2 2 32 3 2 3 2 3 3 2 3 3 8 36 54 27x y x x y x y y x x y xy y e) 3 2 33 2 3 2 2 32 3 2 3 2 2 6 12 8x y x x y x y y x x y xy y Exerccios

1) Efetuar os seguintes produtos notveis:

a) 2(x 8) b) 22 3a c) (x 7).(x 7) d) 3m 1 e) 1 5m . 1 5m f) 2x y

2) Simplifi que .

3) Racionalizar os denominadores:

a) 3

3 =

b) 23

1

=

c) 3 91 =

4) Simplifi que a expresso .

5) Simplifi que .

TEMA 2RAZES E

PROPORES


RAZES E PROPORES

RAZES

A palavra razo (matema camente falando) vem do la m ra o, e signifi ca diviso.

A razo tambm pode ser expressa na forma de diviso entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos X litros de suco concentrado com Y litros de gua. A relao entre a quan dade de litros de suco concentrado e de gua um nmero real expresso como uma frao ou razo (que no tem unidade), e escrevemos:

X XYY

Exemplo 1:

Tomemos a situao apresentada na tabela abaixo.

Na Situao 1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de gua, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto. Temos, portanto que a relao entre a quan dade de litros de suco concentrado e de gua igual a:

38

Na Situao 2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de gua, perfazendo o total de 22 litros de suco pronto. Temos, portanto que a relao entre a quan dade de litros de suco concentrado e de gua igual a:

6

16

Os termos de uma razo so denominados antecedente e consequente. Assim, em 38

temos:

antecedente : 3

consequente : 8

38

1.1 Razes Equivalentes

Pode-se sempre obter razes equivalentes a uma razo dada, por exemplo, 3/4. Basta mul plicar o antecedente e o consequente por um mesmo nmero no nulo e indicar:

PROPORES

Denomina-se proporo a uma igualdade entre duas razes.

Representamos matema camente por:

dcba

dc

ba ::

A frao 3/4 est em proporo com 6/8, pois:

3 64 8

A palavra proporo uma relao entre as partes de uma grandeza qualquer, ou seja, uma igualdade entre duas razes. Seu smbolo so quatro pontos, dois em cima e dois logo a baixo (::) como empregado pelo matem co rabe Al-Kassadi. A forma na qual representamos uma proporo tem como responsvel um italiano conhecido como Tartaglia. Tal forma :

6:3::8:4 seis est para trs, assim como oito est para quatro.

2.1 Propriedade Fundamental das Propores

Numa proporo:

a cb d

Os nmeros a e d so denominados extremos enquanto os nmeros b e c so os meios e vale a propriedade: o produto dos meios igual ao produto dos extremos, isto :

. .a d b c


2.2. Algumas Propriedades Importantes das Propores

1 propriedade:

Numa proporo, a soma (ou diferena) dos dois primeiros termos est para o 2 (ou 1) termo, assim como a soma dos dois l mos est para o 4 (ou 3).

x

yxa

bayx

ba

x

yxa

bayx

ba

Exemplo 2: 34

36

xy

x y

Resoluo:

3 3 44 3

1 36 3 363

108

x x yy y

yy

y

36108 36

72

x yxx

2 propriedade:

Numa proporo, a soma (ou diferena) dos antecedentes est para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente est para o seu consequente.

yx

ybxa

ba

ybxa

yx

ba

ou

yx

ybxa

ba

ybxa

yx

ba

ou

Exemplo 3:

3 4

42

x y

x y

40

Resoluo:

3 4 3 4 342 7 3 427 3

18

x y x y x

x x

x

4218 42

24

x yy

y

2.3 Termo Desconhecido de uma Proporo

Vamos considerar a proporo 15 36 .5 x Note que nessa proporo um de seus termos

desconhecido. Podemos calcular o valor x aplicando a propriedade fundamental das propores:

Vamos, agora, obter o valor desconhecido y na proporo:

Verifi cao:


Em que 20. 12 = 30. 8 o que confi rma a proporo.

2.4 O Emprego da Proporo na Resoluo de Problemas

Vamos aprender agora a resolver problemas u lizando a proporo. Considere o seguinte problema:

Uma estaca de 30 cen metros colocada ver calmente no solo produz numa determinada hora do dia, uma sombra de 40 cen metros. Se a estaca vesse 60 cen metros, qual seria o comprimento de sua sombra, nas mesmas condies?

Resposta: 80 cm.

Agora observe a resoluo destes problemas:

1) Voc colocou ver calmente no solo uma estaca de 8 cen metros, a qual produziu uma sombra de 6 cen metros. Quanto medir o comprimento da sombra produzida por uma vara de 40 cen metros?

x 40 cm

6 cm 8 cm

8 6 408 240 240 :8 30

xx x x cm

2) Uma estaca de 12 cen metros fi ncada ver calmente no solo produz uma sombra de 15 cen metros. Quanto deve medir uma estaca para que ela produza uma sombra de 45 cen metros?

45 cm x

15 cm 12 cm

15 12 4515 540 540 :15 36

xx x x cm

42

3) Em determinada hora do dia, um poste de 2 metros, colocado ver calmente no solo, produz uma sombra de 3 metros. Qual a altura do prdio, de mesma localizao do poste, cuja sombra mede 60 metros na mesma hora do dia?

60 m x

3 m 2 m

3 2 603 120 120 : 3 40

xx x x cm

4) Voc tem uma fotografi a com as seguintes dimenses: 3 cen metros de largura e 4 cen metros de comprimento. Se voc ampliar esta fotografi a, de modo que a medida de seu comprimento passe a ser 28 cen metros, quanto medir sua largura?

28 cm x

4 cm 3 cm

4 3 284 84 84 : 4 21

xx x x cm

5) Na planta de uma casa, as dimenses da sala so: 6 cen metros de largura e 10 cen metros de comprimento. Ao construir a casa, a sala fi cou com uma largura de 4,5 m. Qual a medida do comprimento desta sala?

x 4,5 cm

10 cm 6 cm

6 10 4,56 45 45 : 6 7,5

xx x x cm

Exerccio Proposto

1) Calcule o valor de x em cada proporo:

3 2 ) 4

ax

x+7 ) 52

b

x 3) 7 21

c


12 3) 8

dx

4 3) 5

xex

8x 1) 5 2

xf

2) Voc possui uma fotografi a com as seguintes dimenses: largura, 18 cen metros, e comprimen-to, 24 cen metros. Esta fotografi a foi ob da, por ampliao, de outra cuja largura 3 cen metros . Deter-mine o comprimento da fotografi a original.

3) Em certa hora do dia um de seus colegas, cuja altura de 1,50 m, projeta, em p, uma sombra de 50 cm. Qual , na mesma hora e localizao, o comprimento de um poste que fi ncado ver calmente no solo, produz uma sombra de 20 cm?

REGRA DE TRS

A resoluo de problemas que envolvem grandezas proporcionais feita com o auxlio de uma ferramenta, que parte do uso de propores, denominado regra de trs. A par r de quatro valores, dos quais trs so conhecidos e determina-se o quarto valor.

a c a x b cb x

Vamos considerar a seguinte situao:

1) Jamily comprou 3 camisetas e pagou R$ 1.200,00. Quanto pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo po e preo? (Observe que esto relacionados dois valores da grandeza camisetas com dois valo-res da grandeza preo). Vamos organizar esses dados numa tabela:

Note que nessa tabela conhecemos trs de seus elementos e procuramos o valor do quarto. Veja tambm que as grandezas camisetas e preo so diretamente proporcionais; assim, podemos escrever a proporo:

44

Aplicando a propriedade fundamental, temos:

Logo, Jamily pagaria R$ 2.000,00 pelas cinco camisetas. Podemos estabelecer um processo pr co que facilite a resoluo de problemas desse po. Acompanhe essas etapas nos problemas resolvidos a seguir.

2) Um conjunto de operrios constri 20 m de um muro em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele construir 30 m?

Construmos uma tabela:

Vejam que as grandezas so diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos a metragem do muro, o tempo gasto pelos operrios tambm aumenta. Logo, devemos conservar a proporo:

20 230 x

Aplicando a propriedade:

20 30 2 20 x 60 3.x x

Logo, a equipe construir 30m em 3h.

Obs1: Duas grandezas so diretamente proporcionais quando a razo entre os valores da primeira grandeza for igual razo entre os valores da segunda.

3) Se quatro operrios realizam certa obra em 8 dias de trabalho. Em quanto tempo, dois operrios com mesma capacidade realizariam este servio?


Vejam que as grandezas so inversamente proporcionais. Se 4 operrios constroem uma determi-nada obra em 8 dias, 2 operrios demoraro mais tempo para construir, ou seja, quanto menor o nmero de operrios, maior ser o tempo para a construo. Logo, devemos inverter a proporo.

824 x

Aplicando a propriedade:

2 4 8 2 x 32 16x x

Portanto, dois trabalhadores realizaro este servio em 16 dias.

Obs2: Duas grandezas so inversamente proporcionais quando a razo entre os valores da primeira grandeza for igual ao inverso da razo entre os valores da segunda.

4) Com velocidade mdia de 500 km por hora, um avio percorre uma distncia entre duas cidades em 3 horas. Que tempo levaria uma aeronave que desenvolve 800 km por hora de velocidade mdia para percorrer o mesmo espao?

a) Organizamos os dados:

b) As grandezas velocidade e tempo so inversamente proporcionais. Assim, as fl echas tero sen -dos contrrios:

c) Escrevemos a proporo, invertendo-se os termos de umas das razes e calculamos o valor da incgnita.

46

Logo, a aeronave levaria 2 h e 30 min. para percorrer o mesmo espao.

Como voc percebe, a resoluo bastante simples. Primeiro, observamos se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais. Se a grandeza for diretamente proporcional, mantemos a proporo; se a grandeza for inversamente proporcional, invertemos a proporo. Feito isso, basta resol-ver a equao.

5) Suponha que voc mais outro estudante da sua turma, resolvesse cons tuir uma empresa. Voc entrou com um capital de R$7.800,00 e seu colega com R$15.200,00, respec vamente. Aps alguns anos de a vidades, lucraram R$ 46.000,00. Quanto coube do lucro, a voc?

Construindo a tabela:

7800 7815200 152

46000 46000

x xy y

x y x y

U lizaremos a seguinte propriedade de proporo:

x

yxa

bayx

ba

Considerando os dados do problema, como , subs tuiremos na proporo ao lado:

78 152 230 46000 230 78 4600078 78

78 46000 x 15600 reais230

x y xx x

Obs.: No estudo de equaes que veremos mais adiante, faremos este mesmo exerccio de outra maneira.


Exerccio

1. Em cada problema, monte o esquema, a proporo resultante e calcule o valor desconhecido:

a) Se 15 operrios levam 10 dias para completar certo trabalho, quantos operrios faro esse mesmo trabalho em 6 dias?

b) Com 10 Kg de trigo podemos fabricar 65 Kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo so necessrios para fabricar 162,5 Kg de farinha?

c) Silvia comprou 2m de tecido para fazer um ves do. Quantos metros de tecido seriam neces-srios para que Silvia pudesse fazer 7 ves dos iguais?

d) Num acampamento, h 48 pessoas e alimento sufi ciente para um ms. Re rando - se 16 pes-soas, para quantos dias dar a quan dade de alimento?

e) Cinco pedreiros constroem uma casa em 300 dias. Quantos dias sero necessrios para que 10 pedreiros construam essa mesma casa?

f) Flvio trabalhou 30 dias e recebeu R$ 15.000,00. Quantos dias ter que trabalhar para receber R$ 20.000,00?

PORCENTAGEM

Comearemos este contedo com alguns exemplos:

1- Considere o seguinte anncio de jornal: Vendem-se cadernos: desconto de 50%.

Frases como esta, aparecem frequentemente no nosso dia. Veja o que esta frase signifi ca:

Neste anncio aparece a expresso 50%, que se l cinquenta por cento, e pode ser indicada por 50 em 100 ou 50/100. A expresso 50% de desconto pode ser entendida como um desconto de R$ 50,00 em cada R$ 100,00 do preo de uma mercadoria.

2- Numa eleio a candidato a prefeitura de Salvador 18% dos eleitores no votaram. Ou seja, a cada 100 eleitores, 18 no votaram.

3- Foi marcada uma reunio com os funcionrios de uma empresa e verifi cou-se a falta de 40% deles. Em outras palavras, a cada 100 funcionrios de uma empresa houve uma falta de 40 funcionrios.

Expresso Leitura Signifi cado50% de desconto 50 por cento de desconto. A cada 100 h um desconto de

50.18% no votaram 18 por cento no votaram. A cada 100 eleitores 18 no

votaram.40% faltou 40 por cento faltou. A cada 100 pessoas 40 no

vieram.

As expresses 50%, 18% e 40% podem ser indicadas na forma de frao, por 50/100, 18/100 e

48

40/100, respec vamente. Como essas fraes possuem denominadores iguais a 100, so denominadas fraes centesimais.

Os numerais 50%, 40% e 18% so taxas centesimais ou taxas de porcentagens, pois expressam a razo que existe uma grandeza em 100 elementos do universo dessa grandeza.

Acompanhe a seguinte situao problema:

Sr. Miguel comerciante do ramo de bolsa de couro, comprou certo po de bolsa no atacado por R$200,00. Tomando como base, uma margem de lucro de 50%, acresceu este padro de ganho sobre a mercadoria adquirida para venda. Certo dia, um comprador assduo da loja, pediu um desconto e ele deu um desconto de 40% sobre o novo preo, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. Sr Miguel teve lucro ou prejuzo? Qual foi esse valor?

O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor. 50 % do valor

da mercadoria: 50 200 100100

Logo, com o acrscimo de R$100,00, a mercadoria passou a custar R$300,00.

Como deu um desconto de 40% sobre o preo de venda: 40 300 120100

, ele descontou 120 reais do valor de venda da mercadoria, ento esta foi vendida por 180 (300-120) reais.

Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, ob-teve um prejuzo de R$20,00.

4.1 Defi nio de Taxa Porcentual:Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um nmero sobre um nmero , 0b , razo tal

que 100

x ab

. Indica-se 100

x por %x .

Exemplo 5:

10 0,1 10%100

(l-se 10 por cento).

0,5 0,005 0,5%100

(l-se 0,5 por cento).

Vejamos como encontrar a taxa percentual a par r de uma relao entre partes. Por exemplo:

Qual a taxa porcentual de 3 sobre 8?

3 8 300 37,5100 8

x x x

A taxa de 37,5%.


Outras aplicaes importantes para voc:

1. Uma loja de sapatos lana uma promoo de 10% no preo dos seus produtos. Se uma sandlia VIP custa R$120,00, quanto se pagar considerando o desconto da promoo?

O desconto ser de 10% do valor de R$120,00. Logo: 10 1200120 12100 100 .

Re ramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108.

Passaremos a pagar, com a promoo, R$108,00.

2. A compra de uma televiso foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?

20% de desconto ser: 20 300001500 300100 100 reais.

Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200.

Pensando um pouco, voc pode simplifi car os clculos. Para tanto, voc deve considerar o valor total da compra 100%. Se o desconto aplicado de 20%, isso quer dizer, que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%).

Logo,

80 120000201500 1200 30000100 1001500 300100 100

reais.

3. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorizao (acrscimo) de 10% sobre o seu preo. Quanto ele passou a custar?

O acrscimo ser de: 1012000 1200100

Portanto, passar a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200 reais

Outro caminho para resoluo desta questo:

O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorizao de 10%, isso quer dizer, que ele passar a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:

11012000 13200100 reais.

4. Um profi ssional da rea de vendas constatou que na venda de um determinado produto que custava R$2.000,00, o lucro ob do era R$100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preo de venda?

100 2000 10000 5%100 2000

x x x

50

Outra maneira de resolver esta questo bastaria: 100 100 0,005 100 5%2000

Portanto, o lucro sobre o preo de venda 5%.

Exerccios

1. Escreva as fraes seguintes na forma de taxa porcentual:

15)100

a =

37)100

b =

70)100

c =

81)100

d =

3)100

e =

4)25

f =

5)500

g =

1)4

h =

2. Escreva cada taxa de porcentagem na forma de frao centesimal:

a) 18%=

b) 52%=

c) 4%=

d) 35%=

e) 10%=

f) 100%=

Agora, veremos como calcular a taxa de porcentagem usando regra de trs.

O clculo da taxa de porcentagem pode ser realizado u lizando-se uma regra de trs simples. Veja-mos algumas situaes onde esse clculo u lizado.


1 situao

Depositando-se R$ 60,00 numa caderneta de poupana, ao fi nal de um ms obtm-se R$ 75,00. Vamos calcular a taxa de porcentagem desse rendimento:

R$ 60,00 a quan a principal do problema. R$ 15,00 o rendimento ob do no perodo.Organizamos uma regra de trs simples, em que:

R$ 60,00 correspondem a 100% inves do; R$ 15,00 correspondem a x % do que foi inves do.

Essa regra de trs simples direta:

Portanto, a taxa de rendimento foi de 25%.

Exerccios propostos

1. Resolva os seguintes problemas:

a) A quan a de R$ 945,00 igual a quantos por cento de R$ 4.500,00?

b) Em uma classe de 50 alunos compareceu 35. Qual a taxa percentual de ausncia?

c) Num exame de 110 questes, um aluno errou 10%. Quantas questes ele acertou?

d) Ob ve 14% de desconto numa compra de R$ 24. 000,00. Quanto paguei?

e) O preo marcado de um produto era R$ 2.500,00. Paguei apenas R$ 2.000,00, pois ob ve um aba mento. Qual foi a taxa de porcentagem do desconto?

f) Economizei R$ 840,00 ao obter um desconto de 12% na compra de uma roupa. Qual era o preo marcado inicialmente nessa roupa?

g) Gastei 20% de meu salrio em uma mercadoria que me custou R$ 5000,00. Qual o valor do meu salrio?

52

4.2 Aplicao Considere a seguinte situao:

A importncia de R$ 100.000,00 foi emprestado por um banco ao cliente Jos Rodrigues. O Banco cobrar do cliente 10% e juros mensais. Quanto ser cobrado?

Vamos denominar e convencionar uma representao para cada dado do problema:

O dinheiro emprestado, R$ 100.000,00, chama-se Capital. Representa-se por C. A retribuio peridica pela cesso do dinheiro, eu corresponde quan a que ser cobrada

pelo Banco, o aluguel que se paga em cada perodo. Recebe o nome de juro e representa-se por j.

A taxa de juro, 10% a taxa que funciona como o aluguel que o cliente paga por 100 unidades de dinheiro que o banco lhe empresta; representa-se por i.

A referncia de tempo. Um ms em que o dinheiro fi cou aplicado, representa-se por t.

Problemas desse po podem ser resolvidos u lizando-se uma regra de trs. Vamos estabelecer um problema genrico e obter uma frmula que permite obter a soluo de problemas semelhantes.

Quem aplica R$ 100,00 taxa de 1% ao perodo (ano, ou ms, ou dia etc.) recebe no fi m do perodo $ 1,00 de juros. Se aplicasse um capital C taxa i ao perodo, ento receberia os juros j.

Monta-se uma regra de trs composta:

Como so grandezas diretamente proporcionais em relao grandeza juro, podemos escrever:

100 1 1 1C i t j

que resulta em 100

C i tj

Vamos calcular o juros pago por uma pessoa que tomou emprestada quan a de R$ 50.000,00 durante 8 meses, a uma taxa de 1,2% ao ms:

Dados:

C = R$ 50 000,00 100

C i tj

i = 1,2% ao ms 50.000 1,2 8

100j

t = 8 meses 4800j j = ?


Foram pagos R$ 4.800,00 de juros.

Vamos agora, determinar a quan a que deve ser aplicada por uma pessoa a uma taxa de 6% ao ano, para que aps 2 anos receba R$ 18000,00 de juro.

Dados:

C = ? 100

C i tj

i = 6% ao ano 6 218000

100C

t = 2 anos 12 1800000C j = R$ 18000,00 150000C

A quan a que deve ser aplicada de R$ 150.000,00.

Exerccios

1) Calcule:

a) 20% de 1 000 pessoas.

b) 70% de 80 cavalos.

c) 9% de 10 000 doentes com dengue.

d) 40% de 90 pregos.

e) 7,5% de 200 ovos.

f) 0,45% de 2 000 laranjas.

2) A razo das idades de duas pessoas 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma 35 anos.

a)14 e 20 anos

b)14 e 21 anos

c)15 e 20 anos

d)18 e 17 anos

e)13 e 22 anos

3) A diferena dos volumes de dois slidos 9cm e a sua razo 2/3. Achar os volumes.

a)17cm e 28cm=

b)18cm e 27cm=

c)19cm e 28cm=

d)20cm e 27cm=

54

4) Um carro com velocidade constante de 100Km/h, vai da cidade A at a cidade B em 3 horas. Quanto tempo levaria esse mesmo carro par ir de A at B, se sua velocidade constante fosse 160Km/h ?

5)Trs torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas torneiras seriam necessrias para encher a mesma piscina em 2 horas?

TEMA 3Equaes e Funes

EQUAES E FUNES

EQUAES

Equao uma setena aberta expressa por uma igualdade envolvendo expresses matem cas. As equaes normalmente propem um problema sobre sua validade. Em outras palavras, uma equao composta por incgnitas e coefi cientes. Os coefi cientes so en dades matem cas conhecidas. Resolver a equao, ou seja, o problema por ela proposto, consiste em determinar quais so os elementos de um determinado conjunto (o das possveis solues) que tornam a equao verdadeira.

1.1 Equao do 1 Grau com uma Incgnita

Toda equao do 1 grau com uma incgnita pode ser reduzida a forma:

0ax b

Em que 0a

Sua soluo :

0ax b ax bbxa

Exerccios resolvidos

Resolver as seguintes equaes do 1 grau:

a) 3z + 1 = 7z - 3

b)5 15

2 12x

c) 3 62 4y

d) pz+q = 0 (sendo p e q constantes, e p 0)

Soluo:

58

a) 3 1 7 3

3 7 1 34 4

4 14

z z

z zz

z z

b) 5 15

2 12

(2 )15 5.12

30 60

60 230

x

x

x

x x

c) 3 6

2 46( 2) 3.46 12 126 2

24 46

yy

yy

y y

d) 0pz q

pz qqzp

Exerccio

1)Resolver as seguintes equaes do 1 grau:

a) 52x

b) 5(z-3)-4(z+2) = 3(1-2x) + 2

c) 2 56

5y y


1.2 Equao do 2 Grau com uma Incgnita

H cerca de 4.000 anos os babilnios j resolviam problemas envolvendo clculos que hoje conhe-cemos como equao do 2 grau.

Estes problemas eram escritos em forma de textos e a sua resoluo era atravs de tenta vas.

Ao longo dos sculos foram aparecendo vrios mtodos para sua resoluo.

Hoje, a contribuio deixada pelos matem cos nos facilitou tanto na escrita como nas tcnicas de resoluo de problemas do 2 grau.

Observe as seguintes situaes:

Situao - 1

As dimenses de um terreno esto representadas na fi gura seguinte. A rea desse terreno 30 m. Quanto ele mede de comprimento e largura?

Vamos encaminhar o nosso raciocnio da seguinte maneira:

Sendo o terreno de forma retangular, podemos expressar sua rea como: o produto do comprimen-to pela largura.

Assim A = (x 2) (x 3).

Voltando equao x 5x + 6 = 30:

- O coefi ciente a representado por 1.- O coefi ciente b representado por 5. - O coefi ciente c representado por -24.

Para se encontrar a medida do comprimento e da largura do terreno da situao 1 necessrio resolver essa equao do 2 grau.

x - 2

x - 3

60

Resolver uma equao do 2 grau signifi ca determinar as suas razes.

Resoluo de uma equao do 2 grau

A forma geral da equao do 2 grau com uma incgnita :

Em que 0a Vamos, ento, transformar a equao em outra equivalente, de modo que o primeiro membro seja

um quadrado perfeito.

a) Transpondo a constante para o segundo membro, vem:

ax bx c

b) Mul plicando por 4a , teremos:

4 4 4a x abx ac c) Somando b aos dois membros, resulta: 4 4 4a x abx b b ac d) Verifi cando que o 1 membro um quadrado perfeito, teremos:

(2 ) 4ax b b ac e) Extraindo as razes quadradas de ambos os membros, obtemos:

2

2

2

2 4

2 4

42 2

ax b b ac

ax b b ac

b b ac bxa a

Que a conhecida frmula de Bhaskara, em que:

... o discriminante da equao, e trs casos podem ocorrer:

1) 0 teremos duas razes reais e desiguais.2) 0 teremos duas razes reais e iguais. 3) 0 no teremos razes no conjunto dos nmeros reais.

2 0ax bx c


Vamos resolver a equao do problema da situao 1:

As dimenses do terreno da situao 1 so:

- Comprimento: x 2

- Largura: x 3

Subs tuindo x por 8 temos:

- Comprimento: 8 2 = 6

- Largura: 8 3 = 5

Subs tuindo x por -6 temos:

- Comprimento: - 6 2 = - 8

- Largura: - 6 - 3 = - 9

Como no h comprimento e largura menores que zero, conclumos que as dimenses do terreno so 5m por 6 m.

Situao 2

Quanto mede o cateto menor do tringulo retngulo abaixo?

No tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa igual soma do quadrado dos catetos.

10cm

8cm

x-6 cm

B

A C

62

Assim:

10 8 ( 6)x

Efetuando os clculos algbricos temos:

100 64 12 36 12 100 64 36 12 0

x xx xx x

Comparando essa equao forma da equao do 2 grau 0ax bx c , o que voc pode observar?

Se voc respondeu que falta o termo c est correto.

Neste caso, existe uma maneira mais simples de resolver esta equao sem u lizar a frmula de Bhaskara, para isto vamos colocar o fator comum x em evidncia:

12 0( 12) 0

x xx x , o que signifi ca que x = 0 ou x = 12.

Observe que isto no impede de u lizarmos a frmula de Bhaskara.

Tente fazer como exerccio.

Finalizando o nosso problema, temos duas possibilidades:

- Cateto x 6


- Cateto 0 6 = 6


- Cateto 12 6 = 6

Como no h comprimento menor que zero, conclumos que o cateto do tringulo retngulo 6.


Exerccios Resolvidos

Resolver as seguintes equaes do 2 grau:

a) 2 5 3 0z z b) 4 4 1 0z z c) 4 13 0z z

Soluo:

a)

1

2

22 5 3 0 5

3 4 5 4 2 ( 3) 49

5 49 5 72 2 2 4

5 7 2 14 4 2

5 7 12 34 4

az z b

cb ac

bza

z

z

b)

1

1

44 4 1 0 4

1 4 ( 4) 4 4 1 0

( 4) 0 4 02 2 4 8

4 0 18 2

4 0 18 2

az z b

cb ac

bza

zRaizDupla

z

c)

1 4 13 0 4

13 4 (4) 4 1 13 16 52 36 0

az z b

cb ac

E esta equao no admite razes no campo real.

Quando a equao do grau 2 incompleta (b=0 ou c=0) podemos encontrar suas razes de forma mais simples como veremos abaixo.

64

1.3 Equao do 2 Grau Incompleta (1 po)

4 4x x = (extrai a raiz de ambos os membros)

2x (Equao do 2 grau sempre tem 2 respostas)

Prova:

( ) ( 2) 4

( ) ( 2) 4

x x

x x

As duas razes sa sfazem

1.4 Equao do 2 grau Incompleta (2 po)

Exemplo 1:

2 0x x (colocamos x em evidncia)

Resulta:

( 2) 0x x 2 0 2x x

0 0x x

Resolver:

a) 4 8 0x x b) 3 0x x c) 3 7 0x x d) 5 0x x 1.5 Equao do 2 grau completa

Forma: 0ax bx c Soluo: 4 , 0b ac (soluo real, 2 razes diferentes)


= 0 (sol. real, 2 razes iguais)

Frmula: 2

bxa

ou

Ex. 1) 2x + 5x + 2 = 0

25 4 2 2 25 16 9 3

Solues: x = (-5 + 3) / 4 = -2/4 = -1/2

x = (-5 3) / 4 = -8/4 = -2

Resolver:

a) x 5x + 6 = 0

b) x 6x + 8 = 0

c) 3x + 11x + 8 = 0

Exerccio

Resolver as seguintes equaes do 2. grau:

a) z-8z+15=0

b) ( 1) 67

z z

c) z-4z+4=0

d)1 03

z z

66

SISTEMA DE EQUAES

Sistema de Equaes

Os sistemas de equaes consistem em ferramentas importantes na Matem ca, eles so u lizados para determinar os valores de x e y nas equaes com duas variveis. A resoluo dos sistemas consiste em estabelecer uma relao entre as equaes e aplicar tcnicas de resoluo.

Exemplos de sistemas de equaes:

104

x yx y

2 3 193

x yx y

Apresentaremos aqui alguns mtodos de resoluo de sistema de equaes:

2.1 Mtodo da Subs tuio

O mtodo da subs tuio consiste em trabalhar qualquer equao do sistema de forma a isolar uma das incgnitas, subs tuindo o valor isolado na outra equao. Observe passo a passo a resoluo do sistema a seguir:

Nesse caso, vamos escolher a 2 equao e isolar a incgnita x.

x y = 3

x = 3 + y

Agora, subs tumos o valor de x por 3 + y na 1 equao.

2x + 3y = 19

2(3 + y) + 3y = 19

6 + 2y + 3y = 19

2y + 3y = 19 + 6

5y = 25

y = 5

2 3 193

x yx y


Para fi nalizar, calculamos o valor de x u lizando a seguinte equao:

x = 3 + y

x = 3 + 5

x = 2

Portanto, a soluo do sistema x = 2 e y = 5.

Exemplo: Resolver o problema abaixo u lizando o mtodo da subs tuio:

78 1152 2

46000x y

Faremos x=46000-y e, subs tuiremos em 78

152xy

. Da,

78 46000152

yy

78 152(46000 )78 6992000 15278 152 6992000230 6992000

6992000 30.400,00230

y yy yy y

y

y reais

Ao encontrar o valor de y acima, subs tuiremos tal valor na expresso x = 46000 - y . Donde obte-

remos o valor de x:

x = 46000-30400 = 15600 reais

2.2 Mtodo da Adio

O mtodo da adio deve ser u lizado nos sistemas em que existe a oportunidade de zerar uma das incgnitas. Observe a resoluo do sistema a seguir:

104

x yx y

1 passo: somamos as equaes, eliminando uma das incgnitas e determinando o valor da outra incgnita.

68

104

2 0 142 14

142

7

x yx yx yx

x

x

Calculado o valor de x, basta escolher uma das equaes e subs tuir o valor de x por 7.

101010 73

x yy xyy

Portanto, a soluo do sistema x = 7 e y = 3.

2.3 Mtodo da Igualdade

Este mtodo consiste em isolar uma incgnita numa equao e a mesma incgnita na outra, depois basta igualar as duas, recaindo numa equao do 1 grau com uma incgnita.

Exemplo 2:

2 52 3 2

x yx y

1 passo: vamos isolar o y na primeira e na segunda equao para podermos igualar as equaes.

2 5 5 22 22 3 2 3 2 2

3

x y y xxx y y x y

2 passo: igualar as duas equaes para encontrar o valor de x.


2 25 23

3(5 2 ) 2 215 6 2 215 2 6 24 13

134

xx

x xx x

x xx

x

3 passo: Subs tuir x para encontrar o valor de y.

132 54

1352

32

y

y

y

Portanto, a soluo do sistema 134

x e 32

y .

Coordenadas Cartesianas no plano

Esta denominao uma homenagem ao matem co francs Ren Descartes (Renatus Cartesius em La m).

Aqui em nosso curso vamos u lizar apenas as coordenadas cartesianas planas (duas dimenses) e ortogonais, e isto nos leva a um sistema de eixos x e y, perpendiculares, que tm a mesma origem comum, conforme ilustrado a seguir:

x

y

y

y

x

x

quadrante 2 quadrante 1

quadrante 3 quadrante 4

yxP ,

)(

)()(0

)(

Plano

70

A localizao de um ponto P qualquer de uma plano ( ) genrico fi ca, ento perfeitamente, deter-minada atravs de suas coordenadas x (abscissa) e y (ordenada), e a representao genrica P(x,y)No caso presente o ponto genrico foi representado no 1 quadrante, onde x > 0 e y > 0, mas de um modo geral temos:

quadrante 40 e 0quadrante 30 e 0quadrante 20 e 0quadrante 10 e 0

yxyxyxyx

Temos tambm, se:

1. 0x ponto situado no eixo y;2. 0y ponto situado no eixo x;3. 0x y ponto situado origem.

Exemplo 3:

Marcar em um diagrama cartesiano as localizaes dos pontos a seguir:

1 2 3 4 5 6(4,3); ( 2,5); ( 3, 4); (2, 6); (5,0); (0,4).P P P P P P

Soluo:

x

y

0

1

2

3

4

5 5 ,22 P

4 ,33 P

4 ,06P

6 ,24 P

3 ,41P

0 ,55P123

56

4

123

1 2 3 4 5


Exerccio

1) Dada a equao 7x + y = 29, verifi que se cada um dos pares a seguir soluo dessa equao:

a) (4, 1) =

b) (1, 4) =

c) (2, 43) =

d) (23, 76) =

2) Determine a soluo da equao 8x + 5y = 34, na qual y = 2.

3) D a soluo da equao 7x 4y = 13, quando x = 2.

4) Verifi que se o par ordenado (3, 2) soluo, ao mesmo tempo da equao 2x + 3y = 0 e da equao 7x 5y = 31.

5) Dada a equao 6x 7y = 14, apresente uma soluo na qual:

a) x = 0

b) y = 4

6) Usando as incgnitas x e y, monte um sistema de duas equaes que esteja associado a cada uma das seguintes situaes:

a) A soma de dois nmeros 750 e a diferena entre eles 110.

b) O permetro de um retngulo 140 cm e a medida do comprimento igual ao triplo da medida da largura.

c) Um sorvete custa o dobro de um refrigerante e os dois juntos custam 75 centavos.

d) Uma corda tem 250 cm de comprimento e deve ser cortada em dois pedaos de tal forma que o comprimento do maior pedao corresponda a 5

3 do comprimento do menor.

e) Num terreiro, h galinhas e coelhos num total de 12 cabeas e 34 ps.

f) A diferena entre as idades de duas pessoas 21 anos e a idade da mais nova corresponde a 23

da idade da outra.

7) Verifi que se o par ordenado (7, 3) a soluo do sistema:

72

4 9 13 2 27

x yx y

8) Verifi que se (5, 5) soluo do sistema 3 2 5x yx y

9) Confi ra se o par (4, 8) a soluo do sistema

74

42 4

x y

x y

.

FUNES DE 1 GRAU

O Conceito Intui vo de Funo

O conceito de funo um dos mais importantes da Matem ca, tendo destaque no apenas na maioria das teorias nela desenvolvida, mas tambm no nosso co diano. Por isso, vamos apresentar esse conceito primeiro informalmente, para depois formaliz-lo.

Suponha que a tabela de preos a seguir corresponda s passagens de transporte pblico rodovirio.

Passagens Preo a Pagar

1 5,00

2 10,00

3 15,00

4 20,00

5 25,00

6 30,00

7 35,00

8 40,00

Observe que essa tabela fi xa uma dependncia entre o nmero de passagens e o preo a pagar.

Se chamarmos de x o nmero de passagens e de y o preo a pagar, essas duas grandezas estaro relacionadas de tal forma que para cada valor de x existe, uma correspondncia, um nico valor de y, dado pela expresso y = 50x. Dizemos, ento, que y funo de x.


Desta forma podemos defi nir funo:

Dados dois conjuntos A e B, chama-se funo de A em B qualquer relao que faa corresponder cada elemento de A, apenas um elemento de B.

Indica-se a funo de A em B com a notao.

f: A B

Isto que dizer que, existe uma lei f que leva os elementos de A aos elementos de B, de tal modo que:

- Todo elemento de A tem correspondente em B;

- Todo elemento de A tem um nico correspondente em B.

A chama-se domnio da funo e indica-se por D (f) = A.

B chama-se contradomnio da funo e indica-se por CD (f) = B

Se x um elemento de A e y o seu correspondente em B, dizemos que y a imagem de x ob da pela funo f, indica-se y = f (x).

y= f (x) l-se y igual a f de x

O conjunto de todos os valores y assim ob dos chama-se conjunto imagem da funo e se repre-senta por Im (f).

Veja o esquema:

A B

DCAEB

ABCDE

F

74

A o domnio da funo: D(f) = A.

B o contradomnio da funo: CD(f) = B.

Im(f) o conjunto imagem da funo.

Exemplo 4:

Seja A o conjunto dos naturais, B o conjunto dos naturais, e f a lei que a cada natural de A faz cor-responder o seu dobro em B.

Logo:

D(f): = { 0,1,2,3,4 . . .} v-se que:

CD(f) = { 0,1,2,3,4 . . .} f(0) = 0 f(3) = 6

Im(f) = { 0,2,4,6,8 . . .} f(1) = 2 f(4) = 8

f(2) = 4

Funo do 1 grau

Suponha que voc necessite u lizar um txi para deslocar-se at a sua casa. O preo a pagar pela corrida de txi depende da distncia percorrida. A tarifa y, a ser paga, composta de duas partes: uma parte fi xa denominada de bandeirada e uma varivel que depende do nmero x de quilmetros rodados. Supondo que a bandeirada esteja custando R$ 2,00 e o quilmetro rodado R$ 0,50. Podemos expressar o clculo dessa tarifa de txi assim:

y = 0,5x + 2

Esta expresso matem ca cons tui-se um exemplo de funo.

Defi nio: Consideremos a seguinte funo:

:f , tal que ( )f x ax b , em que ,a b e 0a .

A essa funo chamamos de funo do 1 grau.

Exemplo 5:


Sejam os conjuntos {0,1,2}A e {0,1,2,3,4,5}B . Vamos considerar a funo :f A B defi nida por 1y x ou ( ) 1f x x .

x y=x+1 y ou f(x)

0 y=0 + 1=1 1

1 y=1 + 1=2 2

2 y=2 + 1=3 3

Domnio

O conjunto A o domnio da funo, indicado por D.

No exemplo 2, note que D = {0,1,2} .

Imagem

Subconjunto de B , o conjunto {1,2,3} a imagem da funo que indicamos por: Im = {1,2,3} .

Contradomnio

Logo o conjunto B , tal que Im B , o contradomnio da funo.

Formalizando temos que:

1 a imagem de 0 pela funo; indica-se f(0) = 1;

2 a imagem de 1 pela funo; indica-se f(1) = 2;

3 a imagem de 2 pela funo; indica-se f(2) = 3.

3.1 Raiz ou Zero da Funo do 1 grau

Dada a funo y = ax + b, dizemos que x uma raiz ou zero de y = ax + b quando o valor correspon-dente de y zero.

Exemplo 6:

76

a) y = 3x 6

para x = 2 y = 0 logo,x = 2 raiz de y = 3x 6

b) y = 5 x

para x = 5 y = 0 logo, x = 5 raiz de y = 5 x

De um modo geral, para a funo y = ax + b, tem-se:

y = 0 ax + b = 0

Exerccios propostos

Determine as razes das funes dadas pelas expresses seguintes:

a) y = 5x 15

b) y = 12 2x

c) 3 12xy

d) 23

xy


3.2 Estudo dos Sinais da Funo y = ax + b

A funo de R em R defi nida pela frmula y = ax + b assume infi nitos valores, quando x varia em R. Desta forma importante conhecer a variao desses valores.

Sinais de y = ax + b

Tomemos como exemplo a funo y = 3x 6. Desejamos saber para quais valores de x teremos y maior que zero e para que valores de x teremos y menor que zero.

y= 3x 6

y > 0 3x > 6 3x > 6 x > 2

x > 2 y > 0Quando x assumir valores superiores a 2, y posi vo.

y = 3x 6

y < 0 3x 6 < 0 3x < 6 x < 2

x < 2 y < 0Quando x assumir valores inferiores a 2, y nega vo.

Exerccios propostos

1. Dadas as funes seguintes, determine:

I. A sua raiz;

II. Os valores de x que tornam y >0 ;

III. Os valores de x que tornam y > 0;

IV. O grfi co da funo.

a) y = x 3

b) y = 2x 8

78

c) y = 2x

d) y = 1 x/4

3.3 Grfi co da Funo do 1 Grau

Na funo do 1 grau ( y = ax + b), o coefi ciente chamado de angular, pois ele est relacionado com a inclinao da reta. O coefi ciente b chamado de linear, e nos indica o ponto onde o grfi co da funo linear corta o eixo-y, pois:

O par ordenado (0,b) do eixo-y ser um ponto do grfi co desta funo.

Construiremos o grfi co da funo f(x) = 2x + 6 , a par r de dado bem conhecido:

Dois pontos dis ntos determinam uma nica reta.

Logo, ento para traarmos o grfi co de uma funo linear, basta determinar dois pontos dis ntos pertencentes ao grfi co da funo e ligarmos estes pontos.

Para comear a construo do grfi co da funo f(x) = 2x + 6 atribuiremos dois valores arbitrrios a x , por exemplo, x=1 e x==2 .

Calcule , para esses valores:

a) (1) 2 1 6 2 6 8 (1) 8f f

b) (2) 2 2 6 4 6 10 (2) 10f f

Podemos escrever f x ax b , ou y ax b , pois f x y . Assim, escreveremos 2 6y x ao invs de 2 6f x x . Desta forma, os seguintes pontos 1,8 e 2,10 pertencem

ao grfi co da funo.

Estes pontos so pares ordenados da forma ,x y ou ,x f x , onde x a abscissa e y a ordenada do ponto. Neste exemplo temos que para 1x , obtemos 1 8y f , logo se 1x , temos

8y , isto o ponto 1,8 . Analogamente para o ponto 2,10 .


Para construir o grfi co da funo, marcamos esses dois pontos no plano cartesiano e, em seguida traamos a reta passando por estes dois pontos, conforme as fi guras a seguir:

Construiremos agora o grfi co da funo 3 9f x x a par r da raiz desta funo.Observe que 3x o zero da funo, pois:

Logo, o grfi co da funo intercepta o eixo-x no ponto (3,0) .

Fazendo 0x , temos 0 9f , logo o grfi co da funo corta o eixo-y no ponto (0,9) . Marcan-do estes dois pontos no plano cartesiano traamos rapidamente o grfi co da funo.

Note, respec vamente, que para as funes 2 6f x x e 3 9f x x :

80

1. 2 0a (posi vo) e o grfi co da funo CRESCENTE.

2. 3 0a (nega vo) e o grfi co da funo DECRESCENTE.

Em resumo:

Dada uma funo :

1) Se 0a , ento o grfi co da funo ser crescente, ou seja, uma reta com inclinao posi va.

2) Se 0a , ento o grfi co da funo ser decrescente, ou seja, uma reta de inclinao nega va.

FUNES DO 2 GRAU

Funo do 2 Grau ou Quadr ca

Defi nio: Uma funo :f , dada por 2f x ax bx c , em que , ea b c so nme-ros reais e 0a dita uma funo quadr ca ou do 2 grau.

2( ) 5 6f x x x 2( ) 4f x x x 2( ) 9f x x

4.1 Zeros da Funo do 2 grau

Ao igualarmos uma funo qualquer a 0, encontramos os valores nos quais a imagem assume valor 0. Estes valores so chamados de zeros da funo. Neste sen do, como a funo do 2 grau, os zeros correspondem s razes da equao do 2 grau, como j vimos anteriormente, no estudo das equaes.

Relembrando:

20 0f x ax bx c (EQUAO DO 2 GRAU)

1 2 e 2 2b bx x

a a


Em que 2 4b a c , e 21 e xx so os zeros da funo quadr ca.

4.2 Grfi co de uma Funo Quadr ca

O grfi co uma parbola, para constru-la siga os seguintes passos:

1 passo: Verifi cao da concavidade:

0 a concavidade voltada para cima. 0 a concavidade voltada para baixo.

2 passo: Determinar o ponto (0;c).

Este ponto no qual grfi co da funo quadr ca intercepta o eixo ver cal. Encontramos c fa-zendo 20 0 0f x b c c . Logo f(0) c .

3 passo: Calcular o discriminante (delta).

Se 0 , ento a funo quadr ca tem dois zeros reais e dis ntos, interceptando o eixo-x, em dois pontos dis ntos.

Se 0 , ento a funo quadr ca tem dois zeros reais e iguais, interceptando o eixo-x, em um ponto.

Se 0 , ento a funo quadr ca no possui zeros reais, portanto no intercepta o eixo-x.

4 passo: Encontrar as coordenadas do vr ce de uma parbola. Elas so:

;2 4

bVa a

Exemplo 7: Construir o grfi co da funo 2( ) 5 6f x x x

1 passo: Verifi cao da concavidade

1 a concavidade voltada para cima

2 passo: Determinar o ponto (0;c).2f(0) 1 (0) 5 0 6 c . Logo 6c e f(0) 6 . Logo (0,6) f .

82

3 passo: Calcular e os zeros da funo. Para isso, basta resolver a equao quadr ca, ob da quando 0)( xf , ou seja, 065-2 xx .

Temos que 1a , -5b e 6c . Assim,

2 2 b -4 a c (-5) -4 1 6 25-24 1 0 , e a funo quadr ca tem dois zeros reais e dis ntos. Que so:

x = 32

151.2

1)5(2

a

b e x = 22

151.2

1)5(2

a

b

4 passo: Encontrar as coordenadas do vr ce de uma parbola so: ;2 4

bVa a .

v( 5) 5 1 1 e y

2 2.1 2 4 4.1 4

5 1 V ,2 4

vbxa a

Grfi co da funo

Exemplo 8: Construir o grfi co da funo


Obs.: Neste exemplo s fi zemos mul plicar a f(x) do exemplo anterior por (1), para obtermos a mesma parbola com a concavidade voltada para baixo.

1 passo: Verifi cao da concavidade: 1a , concavidade voltada para baixo.

2 passo: Determinar o ponto (0; )c .

20 1 0 5 0 6 6f . Logo 0 6c f , desta forma (0, 6) graf f .3 passo: Calcular .

Seja 1a , 5b e 6c :

distintos e reais zeros dois temquadrtica funo a

2

24

215

)1.(21)5(

21

a

bx

3

26

215

)1.(21)5(

22

a

bx

4 passo: As coordenadas do vr ce de uma parbola so ;2 4

bVa a .

v( 5) 5 5 1 1 1 e y

2 2.( 1) 2 2 4 4.( 1) 4 4

5 1 V ,2 4

vbxa a

2 24 (5) 4 ( 1) ( 6) 25 24 1 0b a c

84

Grfi co da funo

Se =0, ento a funo quadr ca tem dois zeros reais e iguais, isto , a funo corta o eixo-x em apenas um ponto.

Exemplo 9: Construir o grfi co da funo 2( ) 2 1f x x x

1 passo: Verifi cao da concavidade. 1 a , concavidade voltada para cima.

2 passo: Determinar o ponto (0; )c .

2f(0) 1 (0) 2 0 1 1 . Logo f(0) 1c e (0,1) graf(f) .

3 passo: Calcular e os zeros da funo. Para isso, basta resolver a equao quadr ca, ob da quando:

Seja 1a , -2b e 1c

2 2 4 ( 2) 4 1 1 4 4 0 a funo quadrtica tem dois zeros reais e iguais

b a c

122

1.20)2(

21

abx e 1

22

1.20)2(

22

abx



bVa a

.

v( 2) 2 0 1 e y 0

2 2 1 2 4 4 1 V(1,0)

vbxa a

Grfi co da funo

Exemplo 10: Construir o grfi co da funo 2( ) 2 1f x x x .

Temos que 2 24 (2) 4 ( 1) ( 1) 4 4 0b a c , ou seja, a funo quadr ca tem dois zeros reais e iguais. Analogamente a funo anterior, obtemos que os zeros da funo so 1 2 1x x e o vr ce de coordenadas V(1,0) .

Grfi co da funo.

Exemplo11: Construir o grfi co da funo 2( ) 2 3f x x x .

86

1 passo: Verifi cao da concavidade. 2 a , concavidade voltada para cima

2 passo: Determinar o ponto (0;c) .

2(0) 1 (0) 1 0 3 3f . Logo 0 3c f , e da (0,3) graf f .3 passo: Calcular .

Seja 2a , 1b e 3c

2 2 4 (2) 4 (2) (3) 4 24 20 0 a funo quadrtica no tem zeros reais

b a c


bVa a .

v1 1 1 ( 23) 23 e y

2 2 2 4 4 4 4 2 8

1 23 ,4 8

vbxa a

V

Grfi co da funo


Observe que a funo no corta o eixo-x.

Exemplo 12: Construir o grfi co da funo 22 3f x x x .Analogamente ao exemplo acima obtemos que 23 0 , ento a funo quadr ca no tem

zeros reais. Temos que (0) 3, logo (0, 3)f faz parte do grfi co da funo. Como 02 -a , temos

que a parbola tem concavidade voltada para baixo. As coordenadas do vr ce so 1 23,

4 8V .

Grfi co da funo

Exerccio

1) Resolver as seguintes equaes do 2. grau:

a) 3x 12x = 0

b) x 7 = 0

c) -x + 5x 6 = 0

2) Escolha um mtodo para resolver os sistemas:

2 14)

8

13 2)

2 1

2 3 8)

3 4 5

12) 3 2

1

x ya

x yx y

bx yx y

cx yx y

dx y

88

3) Uma pizzaria cobra R$ 25,00 por uma pizza gigante, mas se o cliente for receber a pizza em casa deve pagar mais R$ 0,14 por quilmetro rodados pelo moto boy. O gerente da pizzaria montou uma fr-

mula para fazer esse clculo mais rpido, e chegou a essa equao do 1 grau: 0,14 25y x onde y o valor fi nal que o cliente vai pagar, e x o total de quilmetros rodados pelo Motoboy.

Se voc pediu uma pizza famlia e mora a 18 km de distncia da pizzaria, quanto voc pagou pela pizza?

a) R$ 31,50

b) R$ 33,50

c) R$ 27,50

d) R$ 27,52

4) Uma lanchonete vende dois pos de promoes de lanche, hambrguer mais suco R$ 5,00 e hot--dog mais suco R$ 4,00. Considere x e y as quan dades vendidas da primeira e da segunda promoo. Se a lanchonete vendeu 18 promoes de hambrguer mais suco e o total de vendas das duas promoes foi de R$ 190,00, quantas promoes de hot-dog foram vendidas.

5) O conjunto soluo da equao 22 10 12 0x x :

a) S= {8, 12}

b) S= {2, 3}

c) S= {4, 6}

d) S= {2, 4}


TEMA 4TRIGONOMETRIA E

ESTATSTICA


TRIGONOMETRIA E ESTATSTICA

Caros alunos, a par r de agora teremos um aprendizado mais dinmico e simplifi cado no estudo de Trigonometria e Esta s ca atravs de exemplos, exerccios e aplicaes. A Trigonometria por sua impor-tncia nas diversas reas de estudo e a Esta s ca que nos dias de hoje uma ferramenta indispensvel nos cursos tcnicos em geral, pois aplicvel em qualquer rea de conhecimento.

INTRODUO A TRIGONOMETRIA

1.1 ngulos

Um ngulo no plano uma regio delimitada por duas semirretas de origem no mesmo ponto. Na fi gura, a menor regio delimitada pelas semirretas. Outro ngulo defi nido pelas semirretas o ngulo , que uma regio de abertura visivelmente maior que a o ngulo . Os ngulos e na fi gura abaixo dizem respeito a ngulos no plano.

No plano, o sen do posi vo atribudo aos ngulos contrrio ao dos ponteiros do relgio. Na fi gura abaixo est indicado o sen do de crescimento de um ngulo. O ngulo aumenta se a abertura aumentar no sen do indicado pela seta. O sen do nega vo defi nido pela semirreta OA movendo-se no sen do horrio.

1.2 O Nmero

Trabalhar com trigonometria envolve certamente o trabalho com ngulos, e para clculos e medida decorrente destes ngulos, certamente ser u lizada a letra grega (l-se pi). Por isso, esta primeira parte tentar dar algumas noes a respeito do signifi cado deste nmero fabuloso. Um dos desafi os com que o Homem se deparou foi, sem dvida, o clculo do , que estava longe de ser um nmero normal. Este um nmero de tal forma nico que se viria a transformar no nmero mais famoso da histria universal. A sua histria fascinante teve incio h cerca de quatro mil anos atrs e prolongou-se at a atualidade em que ainda so efetuados clculos, usando computadores, ansiando bater o recorde de casas decimais determi-

92

nadas. Note-se que, atualmente, j se calculou o com mais de 206 bilhes de casas decimais. Muito foi dito sobre o , mas afi nal, em termos simples, o que o ? O a razo entre o permetro e o dimetro de qualquer crculo, ou seja:

A circunferncia de um crculo vezes maior que o seu dimetro.

Dividindo-se a Circunferncia de um crculo pelo seu dimetro obtemos .

Observao

O um nmero irracional, signifi ca que ele no pode ser expresso atravs de uma frao, ou seja, ainda no foi descoberta uma sequncia repe va nas casas decimais.

Curiosidades

1. O clculo do , com milhes de casas decimais, usado para testes em computadores e progra-mas (hardware e so ware). Uma diferena em um dos algarismos indica falha nas arquiteturas.

2. O nmero foi, tambm, fonte de inspirao para msicas. Atravs do uso dos seus dgitos ou outros clculos envolvendo o foram criadas algumas melodias. J exis ram inmeras tenta vas de codi-fi caes dos dgitos de , visando a sua aplicao musical.

3. Se um bilho de casas decimais de fossem impressas sequencialmente, elas iriam desde a cida-de de So Paulo at Recife.

4. Atualmente o j foi calculado com 2.576.980.370.000 casas decimais. Este , atualmente, o recorde mundial, calculado por Daisuke Takahashi da Universidade de Tsukuba. Imagine a preciso que este valor fornece!

6. A pior aproximao do , surgiu em 1897 quando a House of Representa ves, no estado de Indiana, apresentou uma proposta de lei que decretou que o valor de era 4.

1.3 Medida de ngulos

O grau a unidade de medida de ngulo ob da ao dividirmos uma circunferncia em 360 partes iguais.

Denotaremos a medida desta parte como sendo um grau (1).

Usualmente, u liza-se o grau como unidade de medida de ngulos, porm, a unidade de ngulo adotada pelo Sistema Internacional (SI) o radiano. Ele defi nido de tal forma que um ngulo de radia-nos igual a 180:

radianos = 180,

em que o nmero irracional 3, 141592654 . . ., defi nido pelo quociente entre o permetro de uma circunferncia e o seu dimetro. Assim teremos, por exemplo, que = /4 = 45.


Existem, alm destas, outras medidas u lizadas. Por exemplo, o grado, que ob do de forma an-loga ao grau; porm, a diviso feita por 400. Podemos estabelecer, portanto, que 90 = 100 grad. Esta l ma unidade muito pouco u lizada.

Observao

Para ngulos em unidades de grau de arco, necessrio indicar o smbolo para dis nguir da unidade radiano.

Mudana de Unidades

Considere x a medida em radianos de um ngulo que corresponde a graus. A relao entre estas medidas ob da pela seguinte proporo:

rad 180

x rad

Isso permite que faamos a converso da medida de uma unidade para a outra atravs de uma regra de trs simples. Podemos estabelecer a seguinte tabela de medidas de ngulos:

Da tabela acima podemos notar que medidas em graus e em radianos de um arco de circunferncia so diretamente proporcionais, isto ,

360 180 90 2702 3

2 2

Exemplo 1

Converta 126 em radianos.

94

Soluo: Temos rad 180

x rad 126

Ento, x =126 /180 = 7 /10rad

Exerccio Resolvido:

Exprimir 300 em radianos.

Soluo: Estabelecemos a seguinte regra de trs simples:

180 ------- rad300 ------- x

180 3 5300 5 2

x radx x

Agora com voc?Faa a converso:

(a) 270 em radianos;

(b) 2/3 em graus;

(c) /16 em graus.

1.4 A Circunferncia Trigonomtrica

Considere uma circunferncia de raio unitrio com centro na origem do sistema cartesiano ortogonal.

Essa circunferncia ser denominada ciclo ou circunferncia trigonomtrica. O ponto A = (1, 0), in-terseo da circunferncia com o semieixo posi vo OX, ser chamado origem da circunferncia.

Os pontos A, B, C e D, intersees da circunferncia com os eixos coordenados, dividem a circunfe-rncia em quatro partes congruentes denominadas quadrantes. Os quadrantes so numerados, a par r de A, no sen do an -horrio (de A para B), conforme indicamos na fi gura abaixo. Convencionamos que o ponto divisor de dois quadrantes est em ambos; assim, por exemplo, B est no 1 quadrante e tambm no 2 (ele o ponto fi nal do 1 e o ponto inicial do 2 quadrante).

Os quadrantes so usados para localizar pontos e a caracterizao de ngulos trigonomtricos.


J sabemos associar os nmeros reais aos pontos de uma reta. Vamos agora associar cada nmero real x a um ponto da circunferncia trigonomtrica. Sabemos tambm que ao nmero x = 0, corresponde o ponto A, que a origem da circunferncia. Se x 0, associamos a x o ponto fi nal do seguinte percurso realizado sobre a circunferncia:

par mos de A;

se x > 0, percorremos a circunferncia no sen do an -horrio;

se x < 0, percorremos a circunferncia no sen do horrio;

O ponto associado ao nmero x denominado imagem de x na circunferncia.

Nota

Esses percursos podem ter mais do que uma volta na circunferncia. So chamados de Arcos.

Exemplo 2

Marcar na circunferncia trigonomtrica os seguintes arcos:

a) = /2 b) = 2/3 c) = -5/6

96

Exerccio Proposto:

1) Determine em qual quadrante est a extremidade de cada um dos arcos dados abaixo:

(a) 752 (b) 2.535 (c) 137 (d) 92/6 rad

SENO, COSSENO E TANGENTE

A par r da sua criao pelos matem cos gregos, quando a trigonometria dizia respeito exclusi-vamente medio de tringulos, e tal como as funes apresentadas a seguir, era aplicada ao estudo de tringulos retngulos. Porm, as funes trigonomtricas resultantes, e apresentadas mais adiante, encontram aplicaes mais vastas e de maior riqueza noutras reas como a Fsica (por exemplo, no estudo de fenmenos peridicos) ou a Engenharia.

Em trigonometria, os lados dos tringulos retngulos assumem nomes par culares, apresentados na fi gura a seguir. O lado oposto ao ngulo reto (90 graus), chama-se hipotenusa; os lados que formam o ngulo reto chamam-se catetos.

2.1 O Teorema de Pitgoras

O gemetra grego Pitgoras (570501 a.C.) formulou o seguinte teorema, que tem hoje o seu nome, e que relaciona a medida dos diferentes lados de um tringulo retngulo.

Teorema de Pitgoras: A soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa, ou seja, se x e y so os comprimentos dos dois catetos e h o com-primento da hipotenusa, temos

Exemplo 3

Qual a medida da hipotenusa de um tringulo retngulo de catetos medindo 3 cm e 4 cm ?


Soluo:

Pelo teorema de Pitgoras temos que h = 3 + 4, ou seja, = 25 = 5 cm.

EXERCCIO PROPOSTO:

Num tringulo retngulo os lados tm medidas x 3, x 2 e x 1. Determine o valor de x.

2.2 Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo

A maioria das aplicaes trigonomtricas est relacionada com os comprimentos dos lados e com os ngulos de um tringulo. Devemos, no entanto, apresentar algumas defi nies das relaes trigonom-tricas no tringulo retngulo.

Defi nio:

Considere um tringulo ABC retngulo em B, cujos lados medem BC = a, AC = b e AB = c e seja o ngulo oposto ao cateto BC. Ento:

cos( ) catetoadjacente c

hipotenusa b ( ) CatetoOposto asen

hipotenusa b ( ) CatetoOposto atg

CatetoAdjacente c

A B

C

Exemplo 4

Encontre, para o ngulo , as relaes trigonomtricas no tringulo da fi gura.

Soluo: Para encontrarmos o cosseno e o seno do ngulo da fi gura, devemos, primeiramente, determinar a medida da hipotenusa.

Considerando-se as medidas BC = a, AC = b e AB = c, pelo Teorema de Pitgoras, temos: b a cSegue que b = 5. E, portanto:

98

3 4cos( ) , ( )5 5sen e 4( ) .

3tg

EXERCCIO PROPOSTO:

O cosseno de um dos ngulos agudos de um tringulo retngulo vale 0, 7. Sabendo que o cateto adjacente a esse ngulo mede 8 cm, d as medidas aproximadas da hipotenusa e do outro cateto.

2.3 As Funes e as Relaes Trigonomtricas Fundamentais

Recorrendo-se circunferncia trigonomtrica, podemos estender o valor das razes trigonom-tricas no tringulo retngulo

Matematica Estatistica

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