Matemática Financeira

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Matemtica Financeira Definio de Taxa de Juros Uma taxa de juros, ou taxa de crescimento do capital, a taxa de lucratividade recebida num investimento. De uma forma geral, apresentada em bases anuais, podendo tambm ser utilizada em bases semestrais, trimestrais, mensais ou dirias, e representa o percentual de ganho realizado na aplicao do capital em algum empreendimento. Por exemplo, uma taxa de juros de 20% ao ano indica que para cada unidade monetria aplicada, um adicional de R$ 0,20 deve ser retornado aps um ano, como remunerao pelo uso daquele capital. A taxa de juros, simbolicamente representada pela letra i, pode ser tambm apresentada sob a forma unitria, ou seja, 0,20, que significa que para cada unidade de capital so pagos doze centsimos de unidades de juros. Esta a forma utilizada em todas as expresses de clculo. A taxa de juros tambm pode ser definida como a razo entre os juros, cobrvel ou pagvel, no fim de um perodo de tempo e o dinheiro devido no incio do perodo. Usualmente, utiliza-se o conceito de taxa de juros quando se paga por um emprstimo, e taxa de retorno quando se recebe pelo capital emprestado. Portanto, pode-se definir o juro como o preo pago pela utilizao temporria do capital alheio, ou seja, o aluguel pago pela obteno de um dinheiro emprestado ou, mais amplamente, o retorno obtido pelo investimento produtivo do capital. Genericamente, todas as formas de remunerao do capital, sejam elas lucros, dividendos ou quaisquer outras, podem ser considerados como um juro. Quando uma Instituio Financeira decide emprestar dinheiro, existe, obviamente, uma expectativa de retorno do capital emprestado acrescido de uma parcela de juro. Alm disso, deve-se considerar embutido na taxa de juros os seguintes fatores: Risco - grau de incerteza de pagamento da dvida, de acordo, por exemplo, com os antecedentes do cliente e sua sade financeira; Custos Administrativos - custos correspondentes aos levantamentos cadastrais, pessoal, administrao e outros; Lucro - parte compensatria pela no aplicao do capital em outras oportunidades do mercado, podendo, ainda, ser definido como o ganho lquido efetivo; Expectativas Inflacionrias - em economias estveis, com inflao anual baixa, a parte que atua como proteo para as possveis perdas do poder aquisitivo da moeda. O Valor do Dinheiro no Tempo O conceito do valor do dinheiro no tempo surge da relao entre juro e tempo, porque o dinheiro pode ser remunerado por certa taxa de juros num investimento, por um perodo de tempo, sendo importante o reconhecimento de que uma unidade monetria recebida no futuro no tem o mesmo valor que uma unidade monetria disponvel no presente. Para que este conceito possa ser compreendido, torna-se necessrio a eliminao da idia de inflao. Para isso, supe-se que a inflao tecnicamente atinge todos os preos da mesma forma, sendo, portanto, anulada no perodo considerado.

Assim, um dlar hoje vale mais que um dlar amanh. Analogamente, um real hoje tem mais valor do que um real no futuro, independentemente da inflao apurada no perodo. Esta assertiva decorre de existir no presente a oportunidade de investimento deste dlar ou real pelo prazo de, por exemplo, 2 anos, que render ao final deste perodo um juro, tendo, conseqentemente, maior valor que este mesmo dlar ou real recebido daqui a 2 anos. Conclui-se, pelo fato do dinheiro ter um valor no tempo, que a mesma quantia em real ou dlares, em diferentes pocas, tem outro valor, to maior quanto taxa de juros exceda zero. Por outro lado, pode-se dizer que este dinheiro varia no tempo em razo do poder de compra de um real ou dlar ao longo dos anos, dependendo da inflao da economia, como ser visto adiante. Diagrama dos Fluxos de Caixa Para identificao e melhor visualizao dos efeitos financeiros das alternativas de investimento, ou seja, das entradas e sadas de caixa, pode-se utilizar uma representao grfica denominada Diagrama dos Fluxos de Caixa. Este diagrama traado a partir de um eixo horizontal que indica a escala dos perodos de tempo. O nmero de perodos considerado no diagrama definido como o horizonte de planejamento correspondente alternativa analisada. Cabe ressaltar que muito importante a identificao do ponto de vista que est sendo traado o diagrama de fluxos de caixa. Um diagrama sob a tica de uma Instituio Financeira que concede um emprstimo, por exemplo, diferente do diagrama sob a tica do indivduo beneficiado por tal transao. A figura abaixo mostra um exemplo de um diagrama genrico de um fluxo de caixa. Convencionou-se que os vetores orientados para cima representam os valores positivos de caixa, ou seja, os benefcios, recebimentos ou receitas. J os vetores orientados para baixo indicam os valores negativos, ou seja, os custos, desembolsos ou despesas. R$ 5.500 0 R$ 5.000 1 R$ 4.500 2 R$ 4.000 3 ... R$ 2.000 (n-1) R$ 4.000 n

Figura - Representao de um Diagrama de Fluxo de Caixa No presente trabalho ser adotada a notao definida abaixo, em todos os diagramas de fluxo de caixa estudados: i - taxa de juros para determinado perodo, expressa em percentagem e utilizada nos clculos na forma unitria. Ex.: rendimento de dez por cento ao ano i = 0,10 ou 10 % a.a. n - nmero de perodos de capitalizao. Ex.: aplicao de um capital por 5 meses n = 5 VP - valor equivalente ao momento presente, denominado de Principal, Valor Presente ou Valor Atual. Na HP-12C representada por PV. Ex.: aplicao de R$ 10.000 efetuada hoje; VP = 10.000,00. J - juros produzidos ou pagos numa operao financeira. Ex.: um capital de R$ 5.000 rendeu R$ 300 ao final de 1 ano; J = 300,00. VF - valor situado num momento futuro em relao P, ou seja, daqui a n perodos, a uma taxa de juros i, denominado Montante ou Valor Futuro. Na HP-12C representada por FV.

Ex.: uma aplicao de R$ 15.000, feita hoje, corresponder a R$ 19.000 daqui a n perodos, a uma taxa de juros i; VF = 19.000. R - valor de cada parcela peridica de uma srie uniforme, podendo ser parcelas anuais, trimestrais, mensais etc. Na HP-12C representada por PMT. Ex.: R$ 5.000 aplicados mensalmente numa caderneta de poupana produziro um montante de R$ 34.000 ao fim de n meses; R = 5.000 A notao para os elementos da Matemtica Financeira varia para cada autor. Desta forma, no recomendvel a memorizao de uma s notao nem sua adoo como padro. Recomenda-se o aprendizado dos conceitos fundamentais da Matemtica Financeira, independentemente da notao utilizada, de modo que qualquer problema possa ser resolvido. Por conveno, todas as movimentaes financeiras, representadas em cada perodo dos diagramas de fluxo de caixa, esto ocorrendo no final do perodo. Por exemplo, um pagamento efetuado no segundo ano de um diagrama de fluxo de caixa significa que esta sada de dinheiro ocorreu no final do ano 2. Tipos de Formao de Juros Os juros so formados atravs do processo denominado regime de capitalizao, que pode ocorrer de modo simples ou composto. Veja menu ao lado.

Tipos de Formao de Juros Os juros so formados atravs do processo denominado regime de capitalizao, que pode ocorrer de modo simples ou composto, conforme apresentado a seguir: Juros Simples No regime de capitalizao a juros simples, somente o capital inicial, tambm conhecido como principal (VP), rende juros diretamente proporcional ao tempo de aplicao. Assim, o total dos juros (J) resultante da aplicao de um capital por um determinado perodo n, a uma taxa de juros dada, ser calculado pela frmula: J = VP.i.n (1)

A taxa de juros dever estar na mesma unidade de tempo do perodo de aplicao, ou seja, para um perodo de n anos, a taxa ser anual. Logo, pode-se calcular o total conseguido ao final do perodo, ou seja, o montante VF, atravs da soma do capital inicial aplicado com o juro gerado. O montante pode ser expresso, para este caso, por: VF = VP + J, originando a frmula: VF = VP (1 + i.n) (2)

Nos meios, econmico e financeiro, o emprego de juros simples pouco freqente. O reinvesti mento dos juros prtica usual e a sua considerao na consecuo de estudos econmicofinanceiros deve ser levada em conta, at mesmo por uma questo de realismo. (Oliveira, 1982) Assim, o presente texto ser desenvolvido consoante os princpios da capitalizao a juros compostos, que ser visto no prximo item. Situao Problema 1. Um capital de $ 10.000,00 foi aplicado por cinco meses, a juros simples. Calcule o valor a ser resgatado no final deste perodo taxa de 4 % a.m. Dados: VP = 10.000 n = 5 meses

i = 4% ao ms Valor resgatado so o capital mais os juros do perodo, ou seja, o montante. Primeiramente podemos calcular os juros: J = VP.i.n => J = 10.000 x 5 x 0,04 = $ 2.000,00

Como VF = J + VP, o valor resgatado ser: VF = 2.000 + 10.000 = $ 12.000,00 Situao Problema 2. Um capital de $ 25.000,00, aplicado durante sete meses, rende juros de $ 7.875,00. Determinar a taxa mensal correspondente. Dados: VP = 25.000,00 J = 7.875,00 n = 7 meses i=? Sabendo que J=PV.i.n, temos que a taxa i = J/(PV.n) Substituindo os valores acima na equao temos: i = 7875 / (25000 x 7) Resultando i = 0,045 para dar a resposta em porcentagem basta multiplicar por 100 Taxa de 4,5% ao ms (devido o prazo usado estar em ms) Variaes da Equao bsica J = VP.i.nJ VP = in n= J VP.i i= J VP.n

Equivalncia de Taxas Duas taxas de juros so equivalentes se: aplicadas ao mesmo capital; pelo mesmo intervalo de tempo. Ambas produzem o mesmo juro ou montante. No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais so igualmente equivalentes, ou seja, uma taxa de 12% ao ano equivalente a 1% ao ms. Situao Problema 3. Seja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativamente taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicao de 2 anos, verificar se as taxas so equivalentes. Resoluo: Aplicando o principal taxa de 2% a.m. e pelo prazo de dois anos, teremos o juro de: J1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00 Aplicando o mesmo principal taxa de 24% a.a. por dois anos, teremos um juro igual a:

J2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00 Constatamos que o juro gerado igual nas duas hipteses, nestas condies, conclumos que a taxa de 2% a.m. equivalente taxa de 24% a.a. Perodos no Inteiros Quando o prazo de aplicao no um nmero inteiro de perodos a que se refere taxa de juros, faz-se o seguinte: I) Calcula-se o juro correspondente parte inteira de perodos. II) Calcula-se a taxa proporcional frao de perodo que resta e o juro correspondente. O juro total a soma do juro referente parte inteira com o juro da parte fracionria. Situao Problema 4. Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que aplicado taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses ? Resoluo: Sabemos que em 5 anos e 9 meses so iguais a 5 x 12 meses + 9 meses = 69 meses Cada semestre tem seis meses totalizando = 11,5 semestres Ou seja, em 5 anos e 9 meses igual a 11 semestres e 3 meses, ou 11,5 semestres. a) Clculo do juro: J= 1000 x 0,12 x 11,5 = $ 1.380,00 CAPITALIZAO COMPOSTA CAPITALIZAO COMPOSTA: MONTANTE E VALOR ATUAL PARA PAGAMENTO NICO Capitalizao composta aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados at o perodo anterior. Neste regime de capitalizao a taxa varia exponencialmente em funo do tempo. O conceito de montante o mesmo definido para capitalizao simples, ou seja, a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicao ou da dvida. A simbologia usada ser VF para valor futuro ou montante, VP para valor presente ou capital inicial, n para o prazo ou perodo de capitalizao e i para a taxa. A deduo da equao para calcular o montante para um nico pagamento pouco mais complexa que a capitalizao simples. Para facilitar o entendimento, vamos admitir o seguinte problema: Calcular o montante de um capital de $ 1.000,00, aplicado taxa de 4% ao ms, durante 5 meses. Dados: VP = 1.000,00 n = 5 meses i = 4% ao ms = 0,04 VF = ? ms(t) capital no incio do juros correspondentes ao ms (jt) montante no final do ms (VPt) ms (VFt) 1 1.000,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00

2 3 4 5

1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86

1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86 x 0,04 = 46,79

1.081,60 1.124,86 1.169,86 1.216,65

Logo o montante ser de R$ 1.216,65 Algebricamente podemos deduzir que: VF0 = VP =>montante no momento zero (hoje). Temos que Montante Capital mais juros => VF = VP + VP.i, ento: VF1 = VP + VP x i = VP(1+i) => montante no final do primeiro perodo; VF2 = VP(1+i) + VP(1+i) x i = VP(1+i)(1+i) = VP(1 + i)2 VF3 = VP(1 + i)2+ VP(1 + i)2 x i = VP(1 + i)2 (1+i) = VP(1 + i)3 VF4 = VP(1 + i)3 + VP(1 + i)3 x i= VP(1 + i)3 (1+i) = VP(1 + i)4 . . VFn = VP(1 + i)n + VP(1 + i)nx i = VP(1 + i)n(1+i) = VP(1 + i)n Para simplificar vamos fazer VFn = VF. Assim, a frmula final do montante dada pela equao: VF = VP(1+i)n No exerccio anterior podemos fazer: VF = 1.000 (1+0,04 )5 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente. Situao Problema: 1. Calcular o montante de uma aplicao de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, taxa de 3% ao ms. Dados: VP = 15.000,00 n = 6 meses i = 3% ao ms =0,03 VF=? Soluo: VF = P(1+i)n VF =15000(1+0,03)6 = $ 17.910,78 Clculo do Juro Para calcular somente o juro, temos que J = VF VP => J = VP(1+i)n VP resultando:

Jn = VP.[(1 + i ) n 1]Situao Problema 2. Qual o juro pago no caso do emprstimo de $ 1.000,00 taxa de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses? Dados: VP = 1.000 i = 2% a .m. n = 10 meses Soluo:

J = VP[(1+i)n-1] J = 1000[(1+0,02)-1] = $ 218,99 Situao problema 3. No final de dois anos, devo efetuar um pagamento de $ 200.000,00 referente ao valor de um emprstimo contrado hoje, sabendo que a taxa acordada foi de 4% ao ms com capitalizao mensal, pergunta-se: Qual o valor emprestado? Dados: VF = 200.000,00 n = 2 anos = 24 meses = 4% ao ms = 0,04 VP = ? Soluo: VP = VF / (1+i)n Substituindo os termos temos: VP = 200000 / (1+0,04)24 = $ 78.024,29 Situao problema 4. Uma determinada loja financia a venda de uma mercadoria no valor de $ 1.299,99, sem entrada, para pagamento em uma nica prestao de $ 2.151,48 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Dados: VF = 2.151,48 VP = 1.299,99 n = 8 meses i =? Soluo: Isolando a taxa ( i ) na equao VP = VF / (1+i)n, temos i = (VF/VP)1/n 1 Substituindo os termos temos: i = (2151,48 /1299,99)1/8 1 = 0,065 => 6,5% ao ms Situao problema 5. Em que prazo um emprstimo de $ 20.000,00 pode ser quitado em um nico pagamento de $ 41.578,56, sabendo-se que a taxa contratada de 5% ao ms? Dados: VF = 41.578,56 VP = 20.000,00 = 5% ao ms = 0,05 n =? Soluo: Isolando-se o prazo ( n ) na equao VP = VF / (1+i)n, chegamos que n = log(VF/VP) / log(1 + i) Substituindo os termos temos: n = log(41578,56/20000)/log(1+0,05) = 15 meses, pois a taxa est em ms. 6. Um ttulo de renda fixa dever ser resgatado por $ 10.000,00 no seu vencimento, que ocorrer dentro de trs meses. Sabendo-se que o rendimento desse ttulo de 15% ao ano, determinar o seu valor presente. Dados:

VF = 10.000,00 n = 3 meses = 15% ao ano VP = ? Neste caso o perodo est em meses e a taxa em ano, na capitalizao composta taxa no pode ser dividida para se adequar ao perodo, para adequar a taxa ao perodo temos que fazer equivalncia de taxa, ou adequar o perodo a taxa. VEJA EQUIVALNCIA DE TAXA NO MENU AO LADO.

Equivalncia de Taxas Juro Composto Duas taxas de juros so equivalentes se: aplicadas ao mesmo capital; pelo mesmo intervalo de tempo. Ambas produzem o mesmo juro ou montante. No regime de juros composto, as taxas de juros no so proporcionais, ou seja, uma taxa de 12% ao ano no equivalente a 1% ao ms. Partido do principio acima, se tomarmos um capital inicial VP e aplicarmos a juro composto no perodo de um ano teremos VF = VP(1+ ia) aplicando o mesmo capital inicial no mesmo perodo mas capitalizado mensalmente temos VF = VP(1+ im)12 Para que as taxas sejam equivalentes os montantes tero que ser iguais, assim: VP(1 + ia) = VP(1 + im)12 Da igualdade acima, deduz-se que: (1+ia) = (1+ im)12 Para determinar a taxa anual, conhecida a taxa mensal. ia = (1+ im)12 -1 Para determinar a taxa mensal, quando se conhece a anual.

im = 12 (1 + ia ) 1 = (1 + ia ) 12 1Da mesma forma, dada uma taxa mensal ou anual, determina-se taxa diria e vice-versa. Exemplos: 1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao ms: ia = (1 + im)12 1 = (1,02)12 - 1 = 1,2682 - 1 = 0,2682 ou 26,82% 2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano: im = (1 + ia)1/12 1 = (1,60103)1/2 1 = 1,04 - 1 ou 4% ao ms

1

3)

Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia: ia = (1 + id)360 - 1 = (1,0019442)360 - 1 = 2,0122 1 = 1,0122 ou 101,22% ao ano

4)

Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos: it = (1 + i2a)1/8 - 1 = (1,47746 )1/8 - 1 = 1,05 - 1 = 0,05 = 5% ao trimestre

5)

Determinar a taxa anual equivalente a 1% quinzena: ia = (1 + iq)24 - 1 = (1,01)24 - 1 = 1,2697 - 1 = 0,2697 = 26,97% ao ano

Como no dia-a-dia os perodos a que se referem s taxas que se tem e taxas que se quer so os mais variados, vamos apresentar uma frmula genrica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja:

iq = (1 + it ) 1Para efeito de memorizao denominamos as variveis como segue: iq = taxa para o prazo que eu quero it = taxa para o prazo que eu tenho q = prazo que eu quero t = prazo que eu tenho Vejamos alguns exemplos: 6) Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano: i183 = (1 + 0,65)183/360 1 = 28,99% 7) Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao ms: i491 = (1 + 0,05)491/30 1 = 122,23% 8) Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre: i27 = (1 + 0,13)27/90 1 = 3,73%

q t

DESCONTO CONCEITO A chamada operao de desconto normalmente realizada quando se conhece o valor futuro de um ttulo (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual. O desconto deve ser entendido como a diferena entre o valor de resgate de um ttulo e o seu valor presente na data da operao, ou seja: D = VF - VP, em que D representa o valor monetrio do desconto, VF o seu valor futuro (valor assumido pelo ttulo na data do seu vencimento) e VP o valor creditado ou pago ao seu titular. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto tambm est associado a uma taxa e a determinado perodo de tempo. Embora seja freqente a confuso entre juros e descontos, trata-se de dois critrios distintos, claramente caracterizados. Assim, enquanto no clculo dos juros a taxa referente ao perodo da operao incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto taxa do perodo incide sobre o seu montante ou valor futuro.

De maneira anloga aos juros, os descontos so tambm classificados em simples e composto, envolvendo clculos lineares no caso do desconto simples e exponencial no caso do desconto composto. O desconto dividido em: a) Desconto Racional (por dentro). b) Desconto Comercial (por fora). a) DESCONTO RACIONAL (por dentro). Desconto racional simples aquele aplicado no valor atual do ttulo n perodos antes do vencimento, ou seja, o mesmo que juro simples. No ser dada muita importncia a menos de comparao, pois raramente tem sido aplicado no Brasil. Dr = VF VP Onde Dr = Desconto Racional Como VP = VF /(1+i.n) Temos:

Dr =

VF .i.n (1 + in)

b) DESCONTO COMERCIAL OU BANCRIO (por fora) Desconto comercial simples aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o montante ou valor futuro. utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado, principalmente nas chamadas operaes de desconto de duplicatas realizadas pelos bancos, sendo, por essa razo, tambm conhecido por desconto bancrio ou comercial. obtido multiplicando-se o valor de resgate do ttulo pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer at o seu vencimento, ou seja: D = VF.d.n Onde d representa a taxa de desconto e n o prazo. E para se obter o valor presente, tambm chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do ttulo, como segue: VP = FV D Da vem que: VP = VF VF.d.n => VP = VF.(1. .d.n) SITUAO PROBLEMA: 1. Qual o valor do desconto comercial simples de um ttulo de R$ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, taxa de 2,5% ao ms? Dados: VF = 2.000,00 n = 90 dias = 3 meses (como a taxa est em ms, devemos transformar o perodo para essa unidade) d = 2,5% ao ms D=? Soluo: D = VF . d . n => D = 2.000,00 . 0,025 . 3 = 150,00

2. Qual a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operao a 120 dias, cujo valor de resgate de R$ 1.000,00 e cujo valor atual de R$ 880,00? Dados: VF = 1.000,00 VP = 880,00 n = 120 dias = 4 meses d=? Soluo: D = VF VP = 1.000,00 880,00 = 120,00 Isolando a taxa d na frmula do desconto temos: d = D / (VF . n) => d = 0,03 ou seja, d = 3% ao ms 3. Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 descontada por fora, por um banco, gerando um crdito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco de 3,2% ao ms, determinar o prazo de vencimento da duplicata. Dados: VF = 6.800,00 VP = 6.000,00 d = 3,2% ao ms n =? Soluo: D = VF VP D = 6.800,00 6.000,00 = 800,00 Isolando o prazo n na equao D = VF. d. n, temos n = D/(VF.d) substituindo os valores resulta que: n = 3,676 meses, ou seja 110 dias 4. Calcular o valor lquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto por fora de uma duplicata no valor R$ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o Banco est cobrando nessa operao uma taxa de desconto de 4,7% ao ms. Dados: VF = 34.000,00 d = 4,7% ao ms n = 41 dia Soluo: Como nesse problema a taxa e o prazo no esto na mesma unidade de tempo (a taxa mensal e o prazo est expresso em nmero de dias), basta, para compatibiliz-los, dividir um dos dois por 30, como segue: D = VF.d.n D= 34000 . 0,047 . 41/30 D = 2.183,93 Como VP = VF D, tem-se:

VP = 34.000,00 2.183,93 = 31.816,07 5. O desconto de uma duplicata gerou um crdito de R$ 70.190,00 na conta de uma empresa. Sabendo-se que esse ttulo tem um prazo a decorrer de 37 dias at o seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% ao ms nessa operao, calcular o valor da duplicata. Dados: VP = 7.608,00 d = 5,2% ao ms n = 138 dias = 138/30 meses VF=? Soluo: D = VF . d . n

Como nessa equao no ternos valores definidos para duas variveis, D e VF, impossvel obter-se a soluo desse problema somente atravs dela. Entretanto, como sabemos que D=VF-VP, a substituio desta naquela equao nos permite obter o valor da duplicata, como segue: VF VP = S.d.n => VP = VF VF.d.n => VP = VF (1 - d.n) => VF = VP/(1 - d.n) Assim, temos: VF = 10.000,00

6. No caso do exemplo anterior, calcular a taxa mensal de juros correspondente quela operao, de acordo com o critrio de juros compostos. Dados: P = 7.608,00 S = 10.000,00 n = 138 dias i= ? A soluo pode ser obtida a partir da frmula do JURO COMPOSTO VF= VP (1+i) n. Como a taxa informada mensal e o prazo dado em nmero de dias, basta dividir este por 30 para express-lo em nmero de meses e assim compatibilizar as duas variveis. Substituindo na equao do montante, ternos: VF= VP (1 + i)n 10.000 = 7.608 (1 + i)(138/30) (1 + i)(138/30) = 1,06853 1 + i = (1,06853 )(30/138) i = 1,06123 - 1 = 0,06123 ou 6,123% ao ms TAXA IMPLCITA Quando o desconto (taxa) aplicado sob o valor futuro, para com isto obter o valor atual, a uma determinada taxa X, porm com o valor atual a taxa X no se obtm o valor futuro inicial. Com isto observamos que existe uma taxa implcita na operao que maior que a taxa de desconto.

i = y% a perodo (taxa de juro) d = x% a perodo (taxa de desconto) Devemos aplicar uma taxa y ao valor do ttulo com desconto e chegar ao valor do ttulo, usando capitalizao simples. VF=VP.(1+i.n) (a) (b)

Temos ainda que o valor do ttulo com desconto dado por VP=VF (1 d.n) Isolando VF em (b) e substituindo em (a) temos: VP/(1 d.n) = VP(1 + i.n) Resultando: i = d/(1 d.n) Onde: i = taxa efetiva; d = taxa de desconto; n = nmero de perodos. Situao Problema:

7. Um ttulo que possui uma taxa de desconto de 4% ao ms durante 6 meses. Qual a taxa real de juro simples? Dados: d = 4% a.m.; n=6 meses Usando a frmula acima temos: i = 0,04 / (1 - 0,04 . 6) i = 5,263% ao ms. CLCULO DO VALOR DO DESCONTO SIMPLES PARA SRIES DE TTULOS DE MESMO VALOR Vamos admitir que sejam apresentados a um banco 5 ttulos, no valor de R$ 1.000,00 cada um, com vencimentos de 30 a 150 dias (de 1 a 5 meses) respectivamente, para serem descontados. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco de 3% ao ms, calcular o valor do desconto global e o valor lquido correspondente a ser creditado na conta do cliente. As novas variveis sero representadas pelos seguintes smbolos: Dt = valor do desconto total = D1 + D2 + ... + Dn N = nmero de ttulos (ou prestaes) S = Valor de cada ttulo Pt= valor lquido total dos ttulos = N x S - Dt a) Obteno do desconto global, a partir do clculo individual, para cada ttulo:

Sendo

D = S.d.n, tem - se que:

D1 = 1.000,00 x 0,03 x 1 = 30,00 D2 = 1.000,00 x 0,03 x 2 = 60,00 D3 = 1.000,00 x 0,03 x 3 = 90,00 D4 = 1.000,00 x 0,03 x 4 = 120,00 D5 = 1.000,00 x 0,03 x 5 = 150,00 Logo: Dt = 30,00 + 60,00 + 90,00 + 120,00 + 150,00 = 450,00 b) Deduo de uma frmula que possibilita obter o desconto total de forma simplificada. Com base no desenvolvimento feito no item anterior, podemos escrever: Dt = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 Dt =1.000 x 0,03 x 1 + 1.000 x 0,03 x 2 + 1.000 x 0,03 x 3 + 1.000 x 0,03 x 4 + 1.000 x 0,03 x 5 Dt= (1.000, x 0,03) x (1+ 2 + 3 + 4 + 5) Aplicando-se a frmula que d a soma dos termos de uma progresso aritmtica (PA): SPA = (t1 + tn)N / 2 em que t1 representa o prazo do ttulo que vence primeiro, tn o prazo do ttulo que vence por ltimo e N o nmero de ttulos, ternos: Dt = (1.000 . 0,03) . (1+5).5 / 2 Dt= 1.000,00 . 0,03 . 15 = 450,00. O valor lquido creditado na conta do cliente seria: Pt = S . N Dt Pt = 1.000,00 . 5 - 450,00 = 4.550,00 Substituindo na expresso (1) cada nmero pelo seu smbolo correspondente, ternos: Dt = S . d . (t1 + tn) N / 2 ou Dt = S . N . d . (1 + tn)/2 (1)

em que a expresso (t1 + tn)/2 representa o prazo mdio dos ttulos descontados. Essa frmula somente vlida para desconto de sries de ttulos ou de prestaes com valores iguais, de vencimentos sucessivos e de periodicidade constante a partir do primeiro vencimento. Quando os vencimentos ocorrem no final dos perodos unitrios, a partir do primeiro, a frmula para determinar o desconto total de uma srie de ttulos pode ser escrita como segue: Dt = S.N.d.(1 + tn)/2 em que tn, que representa o prazo expresso em nmero de perodos unitrios (ms, bimestre, ano etc.) referente ao ttulo que vence por ltimo, ser sempre igual ao nmero de ttulos N. importante lembrar que o perodo unitrio da taxa deve estar sempre coerente com o perodo unitrio do prazo, isto , se na frmula de clculo os prazos forem representados em meses,

trimestres ou anos, a taxa de desconto tambm deve ser representada em termos de taxa mensal, trimestral ou anual, respectivamente. Exemplos: 1. Calcular o valor lquido correspondente ao desconto bancrio de 12 ttulos, no valor de R$ 1.680,00 cada um, vencveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao ms. Dados: S = 1.680,00 N = tn = 12 d = 2,5% Pt = ? Soluo: Dt = S.N.d.(1 + tn) / 2 Dt = 3.276,00 Pt = S . N - Dt = 20.160,00 - 3.276,00 = 16.884,00 2. Quatro duplicatas, no valor de R$ 32.500,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180 dias, so apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco de 3,45% ao ms, calcular o valor do desconto. Dados: S = 32.500,00 N=4 d = 3,45% ao ms t1 = 90 dias = 3 meses tn = 180 dias = 6 meses DT = ? Soluo: DT = S.N.d.(t1 + t2) /2 DT = 20.182,50 RELAO ENTRE TAXA DE DESCONTO NO PERODO E JURO COMPOSTO. Se um produto vendido a R$ 100,00 para 63 dias, qual o desconto que o fornecedor pode conceder na venda a vista, se ele pratica uma taxa de juros composto de 5,0% a.m.? Podemos calcular a taxa de desconto igualando as equaes VP=VF/(1+i) n da capitalizao composta e VP=VF(1 - d.n) do desconto comercial, chegando a:

d=

(1 + i ) n 1 n(1 + i ) n

(1)

como n = 63/30 =2,1 meses Chegamos que: d = 0,04637 ~ 4,637% a.m. (taxa de desconto)

Como o comprador, ao receber a oferta de desconto de 4,637% ao ms na compra a vista poder calcular a taxa mensal de juro composto praticada pelo fornecedor, no caso acima? Da mesma maneira acima, poderemos chegar equao para calcular a taxa de juro:

i=n

1 1 (1 dn)

(2)

donde chegamos que i = 0,05 ou 5% DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO Se a um produto no valor de R$ 100,00 forem concedidos dois descontos de 20%, o lquido ser de R$ 64,00. De fato, com o primeiro desconto de 20% o valor liquido ser de R$ 80,00, e com o segundo desconto de 20%, agora sobre R$ 80,00, o valor lquido passa a ser de R$ 64,00. A equao do valor lquido no caso do desconto composto poder ser deduzida a partir do desconto simples. Chega-se a equao VP = VF(1 - d)n (3)

onde VP o valor atual, VF o valor nominal do ttulo, d a taxa de desconto e n prazo a decorrer at o vencimento. Na prtica, porm, dificilmente ser constatada a aplicao do desconto composto tal como aqui colocado. No entanto, se um fornecedor tivesse cobrado 25% a.m. de juros na venda a 30 dias, na venda a vista poderia conceder 20% de desconto. Essa relao entre taxa de juros e taxa de desconto j foi descrita anteriormente. Alm disso, se esse mesmo fornecedor vendesse a 60 dias, certamente cobraria um acrscimo de 56,25% a.p. de juros. Se fizermos a equivalncia de taxa obteremos a taxa de desconto de 36% a.p., que exatamente o desconto composto aplicado na apurao do valor lquido de R$ 64,00 que resulta o exemplo acima. Notemos tambm, que se aplicarmos a eq. (1) com as informaes acima, obteremos: d = 0,36 ou 36% a.p. Portanto o uso do desconto composto comum na prtica comercial brasileira, porm compese a taxa de desconto para o perodo antes de inform-la. Como no exemplo aqui demonstrado, concede-se 36% ao bimestre em vez de dois descontos SRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS Pode-se definir uma srie uniforme de pagamentos como uma sucesso de recebimentos, desembolsos ou prestaes, de mesmo valor, representados por R, divididos regularmente num perodo de tempo. O somatrio do valor acumulado de vrios pagamentos, montante, calculado pela expresso mostrada abaixo e representado no fluxo de caixa da figura 1. Este somatrio deduzido a partir da equao da capitalizao composta VF=VP(1+i)n para o clculo do montante de cada pagamento R. Trata-se, portanto, do clculo da soma dos termos de uma progresso geomtrica limitada, de razo q = 1 + i.

VF=R 0 1 Figura 1 R 2

R[(1i) 1] + n iR 3 R (n-1)

(1)FV R n

Perceba que a ltima parcela coincide com o valor futuro (montante) e que a primeira parcela paga no momento 1. O momento zero corresponde a hoje. Esse tipo de srie chamado de srie de termos vencidos, onde a primeira parcela no efetuada hoje. Situao Problema Uma pessoa deposita mensalmente R$ 500,00 numa conta especial particular. Qual ser o saldo daqui a 2 anos, para uma remunerao de 0,8 % a.m. concedida pelo banco? Soluo: R = 500 (valor da parcela mensal) i = 0,8% (taxa de juro mensal) para fins de clculo 0,008 n = 2 anos o que corresponde a 24 parcelas mensais Utilizando a expresso (1): VF = 500.[(1+ 0,008)24-1] / 0,008 = 13.171,58 Procedendo-se o clculo do inverso da expresso (1), pode-se obter o valor da parcela ou prestao R, a partir do montante conhecido, atravs da seguinte expresso:

R=Situao Problema

VF.i [(1 i) 1] + n

(2)

Determine o valor que deve ser depositado trimestralmente numa conta a prazo fixo, que oferece juros de 3,5% a.t., para acumularmos R$ 25.000,00 em 5 anos. Soluo: n = 20, pois em 5 anos existem 20 trimestres VF = 25.000 (valor futuro) i = 3,5% ao ms o que corresponde a 0,035 para fins de clculo Utilizando a expresso (2), temos: R = 25.000.{0,035 / [(1+0,035)20 -1]} = 884,03 Ainda dentro do contexto de uma srie uniforme de pagamento, deseja-se determinar o valor capaz de liquidar antecipadamente, e de uma s vez, um emprstimo ou financiamento, assumido de forma a ser pago em prestaes uniformes e peridicas. Assim sendo, deve-se calcular a expresso do valor presente desta srie uniforme. Sabemos que o valor presente de uma capitalizao composta pode ser calculado pela equao VF VP = n (1 + i) , substituindo o VF da expresso (1) na equao anterior determinamos o valor presente de uma srie de termos uniformes como sendo:

VP=VP R

R[(1i) 1] + n i.(1 i) + nR R R

(3)R

0 1 2 3 (n-1) n Figura 2 - Diagrama do valor presente de uma srie uniforme Situao problema

Determine o valor vista de um eletrodomstico vendido em 6 prestaes mensais de R$ 200,00, sabendo-se que os juros cobrados pelo lojistas so de 5 % a.m. Soluo: n = 6 (nmero de parcelas mensais) R = 200 (valor de cada parcela mensal) i = 5% (taxa mensal) igual 0,05 para fins de clculo. VP = 200 . { [(1+ 0,05)6 -1] / [0,06.(1+ 0,05)6] } = 1.015,14 Para a determinao do valor de cada uma das prestaes R quando o valor do principal (financiamento) conhecido, calcula-se o inverso da expresso (3), pois existe reciprocidade. Assim, o valor de R obtido pela seguinte expresso:

R=

VP.i.(1 n + i) n [(1 i) 1] +

(4)

Situao Problema: Uma pessoa adquire um freezer por R$ 800,00, dando de entrada R$ 300,00. Determine a prestao mensal para um financiamento do restante em 4 vezes, taxa de 5% a.m. Soluo: Valor a ser financiado: VP = 800 - 300 = 500; Taxa i = 5% ao ms, o que corresponde a 0,05 n = 4 parcelas mensais Usando expresso (4) temos: R = 500.{[0,05.(1+ 0,05)4]/[(1+ 0,05)4-1]}=141 SRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS Nas sries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no incio de cada perodo unitrio. Assim a primeira prestao sempre paga ou recebida no momento zero, ou seja, na data do contrato do emprstimo ou financiamento, ou qualquer outra operao que implique em uma srie de pagamentos, ou recebimentos. Acumulao de Capital Situao problema: Qual o montante daqui a 8 meses resultante da aplicao de 8 parcelas mensais de R$100,00, a taxa de 1,5% ao ms, sabendo-se que a primeira aplicao feita hoje. Esquematicamente temos: 100 0 100 1 100 2 100 3 100 4 5 100 6 100 7 100 8 VF (montante)

Dados: VF = ? n = 12 i = 1,5% ms R = 100 por ms Soluo:

i Se usarmos a equao o valor de montante ser encontrado no momento da ltima aplicao, nesse caso, no momento 7. Como desejamos o montante no momento n R[(1 + i) 1] VF = (1 + i) i 8 teremos que capitalizar um perodo a mais, ou seja, assim teremos o montante no final do oitavo ms.

VF =

n R[(1 + i) 1

100[(1 + 0,015) 1] (1 + 0,015) 855,93 = 0,015 Concluso: VF =Para calcular o Montante de uma srie de pagamentos ou recebimentos com termos n R[(1 + i) 1] VF = (1 + i) i antecipados, devemos utilizar a expresso: Valor atual Situao problema: Um eletrodomstico foi financiada em 6 parcelas mensais iguais e consecutivas de R$100,00, sabendo-se que a taxa de juro cobrada pela Loja de 5% ao ms e que a primeira prestao foi paga no ato da compra, qual foi o valor financiado? Esquematicamente temos: VP (valor financiado) 0 1 2 3 100 100 100 100 4 100 5 Meses 100 (note que a primeira parcela est sendo paga a vista)

Dados: VP = ? n=6 i = 5% ms R = 100 por ms Soluo:

6 parcelas mensais

n R[(1 + i) 1] (1 + i) i Aproveitando o que j sabemos, temos que , como desejamos saber VF VP = n (1 + i) temos que; o valor de VP pela frmula da capitalizao composta VF=P(1+i)n => n R[(1 + i) 1] (1 + i) n R[(1 + i) 1] i VP = VP = n n (1 + i) (1 + i) i(1 + i) => VF =

VP =Donde: Concluso:

6 100[(1 + 0,05) 1] (1 + 0,05)= 532,95 6 0,05(1 + 0,05)

Para calcular o Valor Presente de uma srie de pagamentos ou recebimentos com termos n R[(1 + i) 1] VP = n (1 + i) i(1 + i) antecipados, devemos utilizar a expresso: Perpetuidade A perpetuidade um conjunto de valores peridicos, consecutivos e iguais, que ocorre indefinidamente. Trata-se, portanto, de uma srie uniforme permanente, tal como uma penso mensal vitalcia, um dividendo anual etc. O valor presente de uma perpetuidade VP, deduzido a partir do clculo do limite da expresso (3), com n tendendo ao infinito, pode ser encontrado pela frmula.VP = R i

(5)

Situao problema Determine o valor terico de um apartamento que rende mensalmente R$ 1.000, considerandose a taxa de juros de mercado de 1,0 % a.m. Como o aluguel mensal de um apartamento pode ser considerado uma perpetuidade, pela frmula (5) chega-se ao seu valor terico: VP= 1.000 / 0,01 = 100.000

TAXA INTERNA DE RETORNO A taxa interna de retorno a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos (sadas de caixa) com o valor presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa). Como normalmente temos um fluxo de caixa inicial (no momento zero) que representa o valor do investimento, ou do emprstimo ou do financiamento, e diversos fluxos futuros de caixa representando os valores das receitas, ou das prestaes, a equao que nos d a taxa interna de retorno (TIR) pode ser escrita como segue:FC 2 FC 1 n FC j FC n FC 0 = = + + ... + n 1 j=1 + i)j (1 + i) (1 + i)2 (1 + i) (1n FC j

e de onde se deduz que: FC =0 0 j=1 j (1 + i)

O exemplo a seguir deixa claro esse conceito. Determinar a taxa interna de retorno correspondente a um emprstimo de $ 1.000,00 a ser liquidado em trs pagamentos mensais de $ 300,00, $ 500,00 e $ 400,00. 0 fluxo de caixa correspondente a essa operao, tomando-se como referncia o doador de recursos, representado como segue:

1.000=

300,00 500,00 400,00 + + ( 1 + i) 1 ( 1 + i) 2 ( 1 + i) 3

A soluo desse problema implica resolver a seguinte equao matemtica: em que i denominado taxa interna de retorno. A soluo dessa equao somente pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja, por tentativa e erro. Assim, vamos admitir inicialmente uma taxa qualquer que julgarmos prxima da taxa procurada. Digamos 6%. Com base nessa taxa, vamos calcular o valor presente dos trs pagamentos.P= 300,00 500,00 400,00 + + = 1.063,86 ( 1,06)1 ( 1,06) 2 ( 1,06) 3

Como o valor presente desses pagamentos superior a $ 1.000,00, deduz-se logo que a TIR maior que 6%. Vejamos para 11%:P= 300,00 500,00 400,00 + + = 968,56 ( 1,111 ( 1,112 ( 1,113 ) ) )

Portanto, a TIR uma taxa situada entre 6% e 11%. A partir daqui, como ternos duas taxas de referncia, o mais indicado utilizarmos o processo de interpolao linear, como segue: (1.063,86 968,56): (6% 11%) (1.000,00 968,56): (x 11%)x 11% = 31,44x(5%) 95,30 = 1,65

em que x a taxa interna de retorno procurada. A partir dai, podemos escrever: x= 11% 1,65% = 9,35%P= 300,00 500,00 400,00 + + = 968,56 1 2 ( 1,0935 ( 1,0935 ( 1,09353 ) ) )

Vamos verificar o valor presente para essa taxa: A taxa procurada um pouco menor que essa. A soluo proceder nova interpolao, tomando como base taxa anterior. Vejamos: (998,42 968,56) : (9,35% 11%) (1.000,00 998,42) : (x 9,35%)

x 9,35%=

1,58x 1,65%) ( = 0,09 29,86

x = 9,35% 0,09% = 9,26%P= 300,00

( 1,09261 ( 1,09262 ( 1,09263 ) ) )

+

500,00

+

400,00

= 1.000,09

E para essa taxa ternos o seguinte valor presente: Rigorosamente, a taxa ainda no essa. E pouco superior. Uma nova interpolao entre 9,26% e 9,35% nos dar 9,265%. E, calculando-se o valor presente dos trs pagamentos, a essa taxa, obteremos o valor de $ 999,99, ou seja, com uma diferena de apenas $ 0,01. Portanto, podemos aceitar essa taxa como a taxa interna de retorno do nosso problema. Resolver esse tipo de problema sem um recurso adequado muito trabalhoso e demanda de tempo, usando uma calculadora financeira a resoluo um pouco mais simples, mas na planilha esse tipo de problema muito simples de resolver, como poder ver em MATEMATICA FINANCEIRA NA PLANILHA.

Sistemas de Amortizao Quando se contrai um emprstimo ou se recorre a um financiamento, evidentemente, o valor recebido nesta operao, ou seja, o principal ter que ser restitudo financeira, acrescido dos juros. As formas de devoluo do principal, mais juros so denominadas de Sistemas de Amortizao. Os Sistemas de Amortizao mais utilizados so:r Sistema Francs de Amortizao PRICE Este sistema tambm conhecido como Sistema Price e muito utilizado em todos os setores financeiros, principalmente nas compras a prazo de bens de consumo, atravs do crdito direto ao consumidor. No Sistema Price, as prestaes so iguais e sucessivas, onde cada prestao composta por duas parcelas: juros e amortizao do capital; cujo clculo baseia-se numa srie uniforme de pagamentos. Situao problema Calcular os valores das parcelas de juros e amortizaes referentes a um emprstimo de R$ 1.000, pelo sistema PRICE, a uma taxa de 4 % a.m. e prazo de 10 meses. n VP.i.(1 + i) R= n [(1 + i) 1] , assim: Para calcular a prestao usamos a expresso R = 1.000 .[0,04.(1+ 0,04)10 ] / [(1+ 0,04)10 -1] = 123,29 Os juros so calculados sempre sobre o saldo devedor: J1 = 1.000 x 0,04 = 40 (e assim por diante Amortizao igual prestao subtrado-se os juros: A = R J. n 0 Prestao Juro Amortizao Saldo Devedor 1.000,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

123,29 123,29 123,29 123,29 123,29 123,29 123,29 123,29 123,29 123,29

40,00 36,67 33,20 29,60 25,85 21,95 17,90 13,69 9,30 4,74

83,29 86,62 90,09 93,69 97,44 101,34 105,39 109,61 113,99 118,55

916,71 830,09 740,00 646,31 548,87 447,53 342,14 232,54 118,55 0,00

Sistema de Amortizao Constante SAC Este sistema muito utilizado em financiamentos internacionais de bancos de desenvolvimento e no sistema financeiro de habitao brasileiro, bem como em financiamentos de longos prazos. As prestaes do Sistema SAC so sucessivas e decrescentes em progresso aritmtica, cujo valor de cada prestao composto por uma parcela de juros e outra de amortizao constante do capital. Situao problema Calcular os valores das parcelas de juros e amortizaes referentes a um emprstimo de R$ 1.000, pelo sistema SAC, a uma taxa de 4 % a.m. e prazo de 10 meses. Para calcular a amortizao divide-se o valor financiado pelo numero de parcelas, assim no exemplo temos: A = 1.000 / 10 = 100 Os juros so calculados sobre o saldo devedor: J1 = 10.000 x 0,04 = 400 (e assim por diante) Prestao igual soma da amortizao e juros: R = A + J. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Prestao 140,00 136,00 132,00 128,00 124,00 120,00 116,00 112,00 108,00 104,00 Juro 40,00 36,00 32,00 28,00 24,00 20,00 16,00 12,00 8,00 4,00 Amortizao 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 Saldo Devedor 1.000,00 900,00 800,00 700,00 600,00 500,00 400,00 300,00 200,00 100,00 0,00

Sistema de Amortizao Misto (SAM) Por este sistema, o devedor paga o emprstimo em prestaes, tais que cada uma delas a mdia aritmtica entre os valores encontrados para as prestaes do sistema PRICE e do SAC. E claro que isso implica que os juros, amortizaes e saldos devedores no SAM, em cada perodo, tambm constituam cada um, a mdia aritmtica entre juros, amortizaes e saldos devedores dos sistemas PRICE e SAC. Mas na prtica nem sempre conveniente calcular esses valores dessa forma e apenas as prestaes so calculadas como mdias aritmticas.

Chamando de R a prestao do sistema PRICE e de P1, P2, ..., Pn as prestaes do SAC, para calcular as prestaes P1, P2 Pn do SAM, basta fazer: R + P1 P'1 = 2 P'2 = R + P2 2 . . P'n = R + Pn 2

Calculadas as prestaes, o demonstrativo deve ser elaborado, como no sistema PRICE, linha por linha. Sistema Americano de Amortizao Por este sistema, o devedor paga os juros periodicamente; o valor emprestado pago no final do prazo estipulado para o emprstimo. Chamando de PV o valor emprestado com a taxa de juros i, os juros pagos em cada perodo so iguais e calculados como: J = PV . i Terminado o prazo, o devedor, no ltimo pagamento, alm dos juros, salda o capital emprestado PV. Observe-se que, por esse sistema, indiferente que o regime de juros seja simples ou composto, pois, como os juros so pagos periodicamente, o saldo devedor sempre o mesmo, o que no muda o valor bsico para o clculo dos juros. Sistema de Pagamento nico Este o sistema mais simples e muito utilizado para financiamentos industriais de capital de giro. O tomador simplesmente paga os juros e amortiza o principal no final do emprstimo. Os juros cobrados podero ser simples ou compostos, de acordo com o contrato estipulado. Sistema de Juros Antecipados Por este sistema, o devedor paga o total dos juros na data da liberao do emprstimo. Como no sistema anterior, os juros podero ser simples ou compostos. claro que, se os juros so pagos antecipadamente, o valor liberado como emprstimo (emprstimo efetivo) no coincide com o solicitado pelo devedor, o que faz com que a taxa efetiva a que ele se obriga seja diferente da taxa nominal contratada. Com os juros pagos antecipadamente, apenas ser paga no final a quantia solicitada como emprstimo. Chamando de PV o valor efetivamente liberado (emprstimo efetivo) e de FV o pagamento final (emprstimo contratado) e supondo que o emprstimo seja feito taxa i de juros simples e pelo prazo de n perodos, o valor liberado ser: PV = FV FV . i . n ou:

PV = FV.(1 i.n) O que corresponde ao valor solicitado deduzido com desconto comercial simples. Para calcular a taxa efetiva ie paga pelo devedor, basta usar a equao do montante de juros simples considerando o emprstimo efetivo como VP e o emprstimo contratado como VF. Tem-se, ento: VF VF = VP(1 + ien) = >ie = VP n 1

Se o emprstimo foi contratado com juros compostos, o valor liberado ser: PV = FV - (FV (1 + i)n - FV) Juro em uma capitalizao composta ou: PV = FV - FV(1 + i)n + FV ou, ainda: PV = FV(2 - (1 + i)n)ie = n VF VP 1

e a taxa efetiva ser:

A taxa efetiva obtida isolando-se a taxa na equao do juro composto VF = VP(1+i)n Situao problema Considere-se um emprstimo de R$ 1.000,00, taxa de 4% a.m. pelo prazo de dez meses. Se os juros so cobrados antecipadamente, calcular o valor liberado, o valor a ser pago no final do prazo e a taxa efetiva: a) para o regime de juros simples; b) para o regime de juros compostos. Soluo: a) PV = FV (1 - in) = 1.000 (1 - 0,04 x 10) = 600VF 1 1.000 1 600 = = 0,066667 6,67%a.m = 10

ie = VP n

Outra soluo: J = VP.i.n = 1.000 . 0,04 . 10 = 400 (juros antecipados) 1.000 - 400 = 600 (valor liberado) VF = VP (1 + ie n) => 1.000 = 600(1+ie.10) => ie = 0,0666667= 6,66% a.m. No caso de juro composto b) PV = FV(2 - (1+i)n ) = 1.000(2 - (1+0,04)10) = 519,76 Taxa efetiva:

ie = n

VF VP

1 = 10

1 = 0,0676= 6,76%a.m. 519,76

1.000

Outra soluo: VF = VP (1 + i)n = 1.000 (1 + 0,04)10 = 1.480,24 Juros = VF VP = 1.480,24 - 1000 = 480,24 (juros antecipados) Valor liberado => VP J =1.000 480,24 = 519,76 Resposta: a) No regime de juros simples, o valor liberado R$ 600,00, o valor a ser pago no final R$ 1.000,00 e a taxa efetiva que o devedor paga 6,67% a.m.; b) No regime de juros compostos, o valor liberado R$ 519,76, o valor a ser pago no final R$ 1.000,00 e a taxa efetiva que o devedor paga 6,76% a.m.