MATEMÁTICA FINANCEIRA

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33. Matemática Financeira 33.1 Porcentagem Porcentagem ou percentagem é qualquer razão cujo o consequente é 100%. Simbologia: % Exemplo: 20/100 ou 20% Obs.: Toda razão pode ser escrita sob a forma de porcentagem e toda porcentagem pode ser escrita sob a forma de razão. Exemplos: a) Exprimir sob a forma de porcentagem a razão 3/5. 3 X 300 ----- = ----- → 5x = 3.100 → 5x = 300 x = ------ Resposta: 60% 5 100 5 b) Exprimir sob a forma de razão a porcentagem 16%. 16 4 16% = ------ Resposta: ---- 100 25 Há diversos modos de calcular porcentagem, vejamos alguns exemplos. a) Calcular 30% de R$ 800,00. Resposta: ( 30 ) R$800,00 x --------- 800,00x0,3 = R$ 240,00 100 b) Calcular 30% de R$ 800,00 X 800,00 24.0000,00 ----- = ---------- →100X= 24.000,00 X= ---------------- X= R$ 240,00 30 100 100

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33. Matemtica Financeira33.1 PorcentagemPorcentagem ou percentagem qualquer razo cujo o consequente 100%.Simbologia: %Exemplo: 20/100 ou 20%Obs.: Toda razo pode ser escrita sob a forma de porcentagem e toda porcentagem pode ser escrita sob a forma de razo.Exemplos:a) Exprimir sob a forma de porcentagem a razo 3/5. 3 X 300----- = ----- 5x = 3.100 5x = 300 x = ------ Resposta: 60% 5 100 5b) Exprimir sob a forma de razo a porcentagem 16%. 16 4 16% = ------ Resposta: ---- 100 25H diversos modos de calcular porcentagem, vejamos alguns exemplos.a) Calcular 30% de R$ 800,00. Resposta: ( 30 ) R$800,00 x --------- 800,00x0,3 = R$ 240,00 100 b) Calcular 30% de R$ 800,00

X 800,00 24.0000,00----- = ---------- 100X= 24.000,00X= ---------------- X= R$ 240,00 30 100100

c) Calcular 30% de R$ 800,00.

R$800,00x30R$ 24.000,00------------------ ------------------ = R$ 240,00 100 100 Obs.: Quando queremos representar o total de alguma coisa em porcentagem, representamos por 100% = 100 (lembre-se de frao). ------- 100Levando em considerao o prescrito anteriormente, mais fcil resolver problemas de porcentagem atravs de regra de trs.

Exerccios de Porcentagem1) Exprimir sob a forma de porcentagem.a) 3 3 X 300 ---- ----- = ------ 4X=300 X = -------- Resposta: X= 75% 4 4 100 4

b) 7 7 X 700 ---- ----- = ------- 20X = 700 X = ------ Resposta: X= 35% 20 20 100 20

c) 1 1 X 100 ---- ----- = ------ 25X = 100 X = ------- Resposta: X = 4% 25 25 100 25

2) Exprimir sob a forma de razo.

15 3a) 15% ----- Resposta: ----- 100 20

12 3b) 12% ----- Resposta: ----- 100 25 25 1c) 25% ------ Resposta: ----- 100 4

3) Calcular 25% de 80

25x80 2000--------- -------- Resposta: 20 100 100.

4) Calcular 8% de R$175,00.8 x R$175,00 R$ 1400,00----------------- ---------------- Resposta: R$ 14,00 100 100.

5) Calcular 12% de R$600,0012 x R$600,00 R$7.200,00___________ ----------------- Resposta: R$ 72,00 100 100 Exerccios de Porcentagem6) Determinar 2% de 3% de R$ 60.000,003 x R$ 60.000,00 R$ 180.000,00----------------------- --------------------- = R$ 1.800,00 100 100

R$ 1.800,00 x 2 R$ 3600,00 ---------------------- -----------------Resposta: R$ 36,00 100 100

7) Calcular 5% de 40

40 x 5 200-------- ------ Resposta: 2 100 100

8) Descontou-se de uma duplicata R$ 12,00 correspondente a 3%. Qual o valor da duplicata?

(R$ 12,00) X= 100 x --------------- 100 x R$ 4,00 Resposta: R$ 400,00 3

9) Um negociante pagou uma duplicata de R$ 500,00 com desconto de 5%. Qual o valor do desconto?

R$ 500,00 x 5 R$ 2.500,00 X = --------------------- ----------------- Resposta: R$ 25,00 100,00 100,

10) Paguei uma duplicata de R$ 1.200,00 com desconto de 12%. Qual foi o valor lquido que paguei?

(100-12) ( 88) X = R$ 1.200,00 x -------------- R$ 1.200,00 x -------- R$ 1.200,00x0,88 100 100

Resposta: R$ 1.056,00

Exerccios de Porcentagem11) Num Colgio, 20 alunos foram aprovados. Quantos alunos havia no colgio e qual o nmero den reprovados, se 60% foram reprovados?

Dados: 100% o percentual de alunos 60% foram reprovados, logo: 40% foram aprovados 20 alunos foram aprovados N de alunos: ?N de alunos reprovados: ?

(20)Total de alunos: 100 x ------- 100x 0,5 = 50 alunos 40

N de alunos reprovados: 50 20 = 30 alunos

12) Uma pessoa vendeu por R$ 200,00 uma mercadoria que comprar por R$ 160,00. Quantos por cento, em relao ao custo e venda foi o lucro?

Dados: Venda: R$ 200,00 Compra: R$ 160,00Lucro: R$ 40,00 %Custo: ? % de Venda: ?

(40,00)% Custo: 100 x --------- 100 x 0,25Resposta: 25% 160,00

% Venda : (40,00) 100 x ------------ 100 x 0,2Resposta : 20% 200,00

13) Um objeto vendido por R$ 300,00. Com lucro de 20% sobre o custo. Quanto custou?

Custo: (100+20) (120)R$300,00 R$ 300,00 / ------------ R$ 300,00 / ------------------- 100 100 1,2

Resposta: R$ 250,00

14) Um objeto vendido por R$ 300,00, apresentou o lucro de 30% sobre a venda. Quanto custou?

Dados: Venda =- R$ 300,00 % de Lucro: 30% % de Custo 100 30 = 70%Custo= ?

Custo = R$ 300,00 x 70 R$ 21.000,00 -------------------- -------------------Resposta: R$ 210,00 100 100

Exerccios de Porcentagem15) Se voc tem um desconto de 3% ao pagar vista uma compra de R$ 6.000,00. Seu abatimento de.

Dados: Desconto = 3%Compra= R$ 6.000,00Abatimento = ?

R$ 6.000,00 x 3 R$ 1.8000,00------------------------ ------------------- Resposta: R$ 180,00 100 100

16) Um campo tem 309m planaltos, o que corresponde a 75% de sua rea. A rea do terreno . Dados: rea do campo = 309m rea do terreno = ? (309) A = 100 x ------- 100 x 4,12Resposta: 412m 75

17) Uma duplicata de R$ 720,00 foi paga, antes do vencimento, por R$ 691,20. A taxa de desconto foi de.

Dados:Valor bruto da duplicata = R$ 720,00 Valor lquido da duplicata = R$ 691,20 Desconto = R$ 28,80

(28,80)Taxa % = 100 x ---------- 100 x 0,04Resposta: 4% 720,00

18) Numa fbrica de calados h um refugo de 5% da produo . Tendo sido aceito 4560 pares, a produo total foi de.

Dados: Perda= 5% %Aproveitamento: 100 5 = 95% Pares: 4560 aproveitados pares produzidos: ?

Produo total = (4560) 100 x -------- 100 x 48Resposta: 4800 pares 95

19) Um operrio economiza semanalmente R$ 1.400,00 que so 40% do seu salrio. Quanto recebe por semana?

Dados: Economia salarial = R$ 1.400,00 % de economia = 40% Salrio semanal = ?

(1.400,00)Salrio semanal = 100 x -------------- 100 x 35,00 Resposta: R$ 3.500,00 40 Exerccios de Porcentagem20) Em uma fbrica, 28% dos funcionrios so mulheres e os homens so 216. Quantos so os operrios?

Dados: Mulheres = 28% Homens = 216 % de Homens 100 28 = 72%N de operrios = ?

N de operrios = (216) 100x ------- 100 x 3 Resposta: 300 operrios 72

21) Economizei R$ 840,00 ao ganhar um desconto de 12% na compra de uma pea. Qual o preo da pea sem desconto?

Dados: Desconto = R$ 840,00 % de desconto = 12% Preo sem desconto = ?

Preo sem desconto = (840,00) 100x ----------- 100 x 70,00 12Resposta: R$ 7.000,00

22) Paguei apenas R$ 2.000,00 por um produto que custava R$ 2.500,00. Qual a taxa porcentagem que correspondente ao desconto?

Dados: Valor bruto = R$ 2.500,00 Valor lquido = R$ 2.000,00Desconto = R$ 500,00 Taxa % = ?

Taxa% = (500,00) 100 x ------------ 100 x 0,2 Resposta = 20% 2.500,00

Exerccios de Porcentagem23) Comprei um automvel por R$ 800.000,00 e anunciei-o venda com 20% de lucro. Pela insistncia de um fregus vendi-o com 10% de desconto no preo do anncio. Por quanto vendi o carro?

Dados: Compra = R$ 800.000,00 Venda: com 20% de lucroDesconto sobre o preo de venda = 10% Valor da venda: ?

R$ 800.000,00 x 120 R$ 96.000.000,00Preo de venda= ---------------------------- ------------------------- = R$960.000,00 100 100

R$ 960.000,00 x 9086.400.000,00Preo de venda com desconto = --------------------------- -------------------- 100 100Resposta: R$ 864.000,00

24) Numa cidade 30% da populao so homens; 40% so mulheres. Sabendo que h 4.500 crianas. Pergunta-se quantos homens e quantas mulheres h na cidade e qual a populao da cidade? Dados: 30% so homens, 40% so mulheres 30% = 4.500 crianasN de homens: ? N de mulheres: ? Populao da cidade: ?

Populao da cidade : (4500) 100 x --------- 100 x 150 30Resposta: 15.000 habitantes

N de homens: 15.000 x 30 450.000 --------------- . ------------Resposta: 4.500 homens 100 100

N de mulheres: 15.000 x 40 600.000 ----------------- ------------Resposta: 6.000 mulheres 100 100

33.2 Porcentagem Relativa

Porcentagem relativa o nmero decimal que representa a frao correspondente a uma porcentagem.

Ex.: 2020 20% = ----- ----- = 0,2 que a porcentagem relativa 100 100

Obs.: Voc deve ter notado que para achar a porcentagem relativa, basta deslocar a vrgula duas casas para a esquerda (diviso por 100) na porcentagem real.

Exemplos: a) 20% = 0,2 b) 100% = 1 c) 3% = 0,03 d) 135% = 1,35

Exerccios Porcentagem Relativa

1) Calcular 25% de 200 livros.

Resposta: 200 x 0,25 = 50 livros 2) Calcular 70% de 15.000 pregosResposta: 15.000 x 0,7 = 10.500 pregos3) Calcular 20% de 30% de R$ 10.000,00.30% R$ 10.000,00 x 0,3 = R$ 3.000,0020% de 30% = R$ 3.000,00 x 0,2 Resposta: R$ 600,004) Calcular 7,5% de R$ 2.000,00R$ 2.000,00 x 0,075Resposta: R$ 150,005) Calcular 0,5% de 3 horas Resposta: 0,005 x 3 x 3.600 segundos = 54 segundos

33.3 Juros SimplesJuros simples aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. Neste Caso, o capital inicial permanece constante durante a aplicaoObs.: No esquea a base de clculo do juros simples o capital.Deve-se ter o cuidado de utilizar a taxa na mesma unidade que o tempo, isto , se o tempo em anos, a taxa em anos, Se o tempo em meses, a taxa em meses, se o tempo em dias, a taxa em dias.Quando no se define o tipo de juros calcular subentende-se juros simples. C o capitalJ o jurosi a taxa de aplicaoT o tempo de aplicaoM o montanteOs Juros simples dado por:J = C. im. T. ou J = M C

O montante dos juros simples dado por:M = C + (C. im. T.) ou M = C+J

A taxa de capitalizao ou aplicao mensal dos juros simples dada por:

J im = 100 x (-------) C.T

O percentual de rendimento nos juros simples dado por:

M% de rendimento = {100 x [ (----) -1]} CO tempo de aplicao dos juros simples em meses dado por:

JT = ------- C. im

33.3 Juros SimplesO capital dos juros simples dado por: J C = ( ------- ) ou C= M J im. T Tabela modelo para caulo dos juros simples.CLCULO DOS JUROS SIMPLES

PerodoCapitalTaxa de aplicaoJurosMontante

Exemplo:a) Determinar os juros que R$ 1.000,00 rendem quando aplicados taxa de 10% ao ms, durante 6 meses.

CLCULO DOS JUROS SIMPLES

PerodoCapitalTaxa de aplicaoJurosMontante

11.000,0010%100,001.100,00

21.000,0010%100,001.200,00

31.000,0010%100,001.300,00

41.000,0010%100,001.400,00

51.000,0010%100,001.500,00

61.000,0010%100,001.600,00

Total1.000,0060%600,001.600,00

No final do 6 ms o total de juros ser R$ 600,00.Voc deve ter notado que mensalmente o juro foi calculado no capital inicial aplicado, o que caracteriza os juros simples.

Exerccios de Juros Simples1) 1 comerciante contraiu de um amigo um emprstimo de R$ 600,00, comprometendo a pagar a dvida em 3 meses, taxa de juros simples de 5% ao ms Qual o valor do montante pagar?Dados: Capital : R$ 600,00 Tempo: 3 meses Taxa: 5% a.m.J = C.i.T. J = R$ 600,00 x 0,05 x 3 = R$ 90,00M = C + J M = R$ 600,00 + R$ 90,00 M = R$ 690,00Resposta : R$ 690,00

Exerccios de Juros Simples 2) Um capital de R$ 450.000,00 emprestado taxa de 7% ao ms. Durante 11 meses. Determine os juros simples.J = C.i.T. R$ 450.000,00 x 7 x 11 34.650.000,00 ------------------------------ -------------------- = R$ 346.500,00 1000 100R$ 450.000,00 x 0.07 x 11 = R$ 346.500,00 Resposta: R$ 346.500,00 3) Um capital de R$ 300.000,00 emprestado taxa de 8% ao ms, durante 2 anos. Determine os juros simples.Dados ; Capital: R$ 300.000,00 Taxa: 8% a.m. Tempo: 2 anos = 24 meses J: ? C.i.T R$ 300.000,00 x 8 x 24 R$ 57.600.000,00J = ------ ------------------------------- ------------------------- 100 100 100Resposta: R$ 576.000,004) Um capital de R$ 400.000,00, empregado durante 9 meses, rendeu juros de R$ 306.000,00. Qual foi a taxa % aplicada.Dados: Capital: R$ 400.000,00 Tempo: 9 meses Juros: R$ 306.000,00 i: ? ( J ) (306.000,00) (306.000,00)im = 100 x --------- 100 x ------------------- 100 x ----------------- C.T 400.000,00 x 9 3.600,000,00100 x 0,085Resposta: 8,5%5) Um certo capital, emprestado durante 3 anos , taxa de 75% ao ano, rendeu juros simples de R$ 720.000,00. Qual o valor do capital?Dados: Tempo: 3 anos Taxa anual: 75% Juros: R$ 720.000,00 Capital:? 6) Determine os juros que R$ 15.000,00 rende quando aplicados taxa de 10% ao ms, durante 6 meses de aplicao.Dados: Capital: R$ 15.000,00 Taxa: 10% a.m. Tempo: 6 meses J: ? C.i.T 15.000,00 x 10 x 6 900.000,00J = ------- ------------------------ --------------- Resposta: R$ 9.000,00 100 100 100

Exerccios de Juros Simples7) A importncia de R$ 300.000,00, emprestada a 6% ao ano, no fim de 8 meses rende juros de.Dados: Capital: R$ 300.000,00 Taxa: 6% a.a. Tempo: 8 meses 6%Taxa mensal: ----- = 0,5% 12

C.i.T 300.000,00 x 0,5 x 8 1.200.000,00J = ------ ---------------------------- ----------------- 100 100 100

Resposta: R$ 12.000,008) O valor do capital, para que os juros simples, a uma taxa de 18% a.a., durante 8 meses sejam de R$ 576,00 igual a.Dados: C;? Taxa: 18% a.a. Tempo: 8 meses Juros: R$ 576,00 18%Taxa mensal: ----- = 1,5% 12 J 576,00 576,00C = -------- ------------- ------------ Resposta: R$ 4.800,00 i.T 0,015x8 0,129) Quando se aplicam R$ 20.000,00 em,10 meses e se obtm R$ 5.000,00 de juros, a taxa de juros de. ( J ) 5.000,00Im = 100 x -------- 100 x -------------------- 100 x 0,025 = 2,5% C.T 20.000,00 x 10 Resposta: 2,5% a.m.10) Um objeto custa vista R$ 1.500,00, quanto pagarei por ele se compr-lo para pagar em 36, meses, sabendo-se que a loja cobra uma taxa de 2,5% ao ms?Dados: Capital: R$ 1.500,00 Tempo: 36 meses Taxa: 2,5% a.m. (C.i.T) (1.500,00 x 2,5 x 36)M = C + ---------- 1.500,00 + -------------------------- 100 100 (135.000,00)1.500,00 + ----------------- 1.500,00+1.350,00 Resposta: R$ 2.850,00 100

Exerccios de Juros Simples11) Apliquei R$ 40.000,00 taxa de 42% ao ano, e no fim de x meses recebi R$ 8.400,00 de juros. Calcule o valor de x.. Dados: C: R$ 40.000,00 Taxa: 42% a.a. J: R$ 8.400,00 X (Tempo-T): ? ( J ) ( 8.400,00 ) (8.400,00)T = 12 x -------- 12 x ---------------------- 12 x -------------- C.i 40.000,00 x 0,42 16.800,00 12 x 0,5 Resposta: 6 meses12) Pelo pagamento de uma letra de cmbio, cujo o valor era de R$ 800,00 em 2 anos paguei R$ 12,00 de juros. Qual a taxa cobrada? ( J ) (12,00) Im= 100 x ----- 100 x ------------- 100 x 0,0075 Resposta: 0,75% a.a. C.T 1.600,00

33.4 Juros CompostosNo regime composto de capitalizao, dizemos que o rendimento se d de forma exponencial. Os juros do perodo, so calculados com base num capital, formando um montante, que ser a base de clculo para o perodo seguinte. Os juros compostos so os referentes aplicaes em que os juros, a cada intervalo de tempo, so includos no capital obtendo assim, juros sobre juros.Perodo de capitalizao o instante de tempo o qual a aplicao rende juros.A tabela do perodo de capitalizao ou aplicao a seguinte:Tempo de capitalizao, capitalizao e perodo de capitalizaoExemplo:Tempo de CapitalizaoCapitalizaoPerodo de Capitalizao2 anosMensal242 anosBimestral122 anosTrimestral 8 2 anosSemestral 4Obs.:1 bimestre tem 2 meses e 6 perodos anual;1 trimestre tem 3 meses e 4 perodos anual;1 semestre tem 6 meses e 2 perodos anual.C o capitalJ os jurosi a taxa de capitalizaoT o tempo de capitalizaoM o montante1 constanteOs juros compostos dado por: TJ = { [C x ( 1 + im ) ] C} ou J = M C O montante dos juros compostos dado por: TM = C x ( 1 + im ) ou M = C + J

33.4 Juros CompostosO capital dos juros compostos dado por: MC = ------------ ou C = M J T (1 + im) A taxa de capitalizao mensal dos juros compostos dada por: T im = {100 x [ ( ---------) - 1] } CO percentual de rendimento dos juros compostos dado por: M % de rendimento = {100 x [ ( --------) 1] } CO tempo de capitalizao dos juros compostos dado por: M [ (-------) 1] CT = 12 x ----------------------------------------------- 12 M ( 1 + im ) [(-------) 1] + { [ ------------ ] 1 } C (M / C)

33.4 Juros CompostosA tabela de clculo dos juros compostos a seguinte:Perodo, base de clculo, taxa de capitalizao (fator de correo) juros e montante (capital+juros).Exemplo:a) Na aplicao de R$ 1.000,00 durante 5 meses, taxa de 2% a.m., temos contada uma capitalizao mensal, 5 perodos de capitalizao, ou seja, a aplicao inicial vai rende 5vezes.PerodoBase de ClculoR$Taxade capitalizao%JurosR$ MontanteCapital + Juros

11.000,00220,001.020,00

21.020,00220,401.040,40

31.040,40220,801.061,20

41.061,20221,221.082,42

51,082,42221,651.104,07

Total104,071.104,07

M = C + J 1.000,00 + 104,07 = R$ 1.104,07J = M C 1.104,07 1.000,00 R$ 104,07

33.4 Juros Compostosb) Determinar os juros compostos que R$ 1.000,00 rendem quando aplicados a taxa de 10% a.m., durante 6 meses.PerodoBase de ClculoR$Taxa de Capitalizao%JurosR$MontanteCapital + juros

1.000,0010100,001.100,00

21.100,0010110,001.210,00

31.210,0010121,001.331,00

41.331,0010133,101.464,10

51.464,1010146,411.610,51

61.610,5110161,051.771,56

Total771,561.771,56

J = M C 1.771,56 1.000,00 = R$ 771,56M = C = J 1.000,00 + 771,56 = R$ 1.771,56 Exerccios de Juros compostos 1) Calcular o montante ao final de um ano de aplicao, do capital de R$ 600,00, a taxa composta de 4% ao ms.Dados: C: R$ 600,00 Tempo: 1 ano = 12 meses Taxa: 4% a.m. T 12M = C x ( 1 + i) 600,00 x (1+0,04) 600,00 x 1,6010 Resposta: R$ 960,602) O capital de R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses a taxa de 5% ao ms. Qual o valor dos juros compostos produzidos. Dados: C : R$ 500,00 T: 8 meses i = 5% a.m. J: ?

T 8J = C x ( 1+ i ) C 500,00 x ( 1 + 0,05) 500,00 500,00 x 1,4775 500,00 738,75 500,00 Resposta: R$ 238,753) Qual a aplicao inicial que, empregada por um ano e seis meses, taxa de juros de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?,Dados: Tempo: 1 ano e seis meses = 6 trimestre i = 3% ao trimestre C: ?

Exerccios de Juros compostos M 477,62 477,62 477,62 C = ---------- --------------- ----------- ------------ T 6 6 1,19405 ( i + 1 ) ( 1+ 0,03 ) (1,03)

Resposta: R$ 400,00

33.5 Desconto SimplesO desconto simples o mesmo que obter o capital C, de um montante M, a juros simples.A a representao do valor atual ou capital no desconto simples. N a representao do valor nominal ou montante no desconto simples.i a representao da taxa de capitalizao no desconto simples.T a representao do tempo de capitalizao no desconto simples.D.,S. a representao do desconto simples.O desconto simples dado por: N x % de descontoD.S. = ( -------------------------- ) ou D.S. = N A 100A taxa percentual acumulada de desconto simples dada por: D.S.i = [100 x ( -------------)] A + D.S.O valor nominal ou montante no desconto simples dado por:

1 % de desconto N = [ A / (-----------------------------)] ou N = A + D.S. 100O valor atual ou capital no desconto simples dado por:

100 % de desconto A = [ N x ( ----------------------------) ] ou A = N D.S. 100O tempo de desconto simples dado por: D.S.T = ----------- (N x im)A taxa mensal de desconto simples dada por: D.Sim = [100 x (---------)] N x T

Exerccios de desconto Simples1) Uma bolsa tem o preo original de R$ 32,00, na oferta, foi anunciada com desconto de 20%, qual o preo da bolsa com desconto?Dados: N: R$ 32,00 i = 20% A = ? 100 % de desconto 100 20 80 A = N x ( ---------------------------) 32,00 x (-----------) 32,00 x (-----) 100 100 100R$ 32,00 x 0,80 Resposta: R$ 25,602)Uma bolsa tem o preo original de R$ 32,00, na oferta, foi anunciada com desconto de 20% , qual o valor do desconto?Dados: N: R$ 32,00 I = 20% D.S.: ? N x % de desconto 32,00 x 20 640,00D.S. = --------------------------- -------------- ---------- Resposta: R$ 6,40 100 100 1003) Uma bolsa tem o preo atual de R$ 25,60, na oferta est concedido o desconto de R$ 6,40, qual o percentual de desconto?Dados: A: R$ 25,60 D.S.: R$ 6,40 i = ? D.S. 6.,40%de desconto = 100 x (-------------------) 100 x (----------------) A + D..S. 25,60 + 6,40 6,40100 x (--------) 100 x 0,2Resposta: 20% 32,00

4) Uma bolsa tem o preo atual de R$ 25,60, foi concedido no valor nominal 20% de desconto, Qual o valor nominal desta bolsa.

Dados: A : R$ 25,60 i = 20% N: ?

% desconto 20 N = A / ( 1 - ---------------------) 25,60 / ( 1 - ---------) 25,60 100 100 --------- 1 0,2 25,60-------- Resposta: R$ 32,00 0,8

33.6 Descontos CompostoCalcular o desconto racional composto sobre um valor nominal N, obtendo o respectivo valor atual A, o mesmo que obter o capital C, de um montante M, a juros composto. Ento por analogia.Capital = Valor AtualMontante = Valor NominalD.C. desconto composto;A o valor atual ou capital no desconto composto;N o valor nominal ou montante no desconto composto;i a taxa percentual do perodo de capitalizao no desconto composto; T o tempo de capitalizao (desconto) no desconto composto.O valor atual ou capital no desconto composto dado por:

N - T A = ------------ ou A = N x ( 1 + im ) T ( 1+im )O valor nominal ou montante no desconto composto dado por:

. TN = A x ( 1 + im ) ou N = A + D.C.O valor do desconto composto dado por:

T ND.C. = {A x [( 1 + im ) A]} N ----------- ou N A T ( 1 + im ) A taxa percentual mensal no desconto composto dada por:

T im = {100 x [ (-------) 1]} AO tempo de desconto composto dado por:

N im T = [ ( ------ ) 1 ] / ( ------- ) A 100

Exerccios de desconto Composto1) Um ttulo de R$ 1.000,00 descontado 3 meses antes do vencimento, taxa racional composta de 10% ao ms. Qual o valor atual?

Dados : Valor nominal (N) : R$ 1.000,00 Tempo (T) : 3 meses Taxa ( i) : 10% a.m.

, N 1.000,00 1.000,00A = -------- A = ------------- A = .------------ T 3 3 ( 1 + i ) ( 1 + 0,1 ) ( 1 ,1 ) 1.000,00A = --------------Resposta: R$ 751,31 1,33102) Resgata-se um ttulo por R$ 1.645,41, com 4 meses de antecedncia, qual o valor nominal do ttulo, sendo a taxa de 60% com capitalizao mensal, e o critrio de desconto racional composto. Dados: Valor atual: R$ 1.645,41Tempo : 12 8 = 4 meses

60Valor nominal: ? Taxa % = ------- 5% a.m. 12 T 4 4N = A x ( 1 + i ) 1.645,81 x ( 1 + 0,05) 1.645,81 x ( 1,05 )

1.645,81 x 1,215506.25Resposta: R$ 2.000,00

33.7 Taxa Nominal e Taxa Efetiva comum em algumas situaes, a representao da taxa em uma unidade de tempo diferente da unidade do perodo de capitalizao. Por exemplo, uma taxa anual sendo a capitalizao de juros feita mensalmente. Essa taxa anual chamada nominal.A taxa nominal a taxa que a unidade de tempo difere da unidade do perodo de capitalizao A taxa efetiva a taxa que a unidade de tempo coincide com a unidade do perodo de capitalizao. A taxa nominal no utilizada nos clculos e sim a taxa efetiva. Por conveno, a passagem da taxa nominal para taxa efetiva ser feita de forma proporcional i.e. a taxa efetiva i.n. a taxa nominal T o perodo em mesesA taxa efetiva dada por:

inie = ------ TA taxa nominal dada por: in = ie x T O tempo dado por:

inT = ------- Ie

Exerccios Taxa Nominal e Taxa Efetiva 1) Dada uma taxa de 36% ao ano, com capitalizao mensal . Qual a taxa nominal e a taxa efetiva? Macete: 1 calculamos a taxa efetiva e depois a taxa nominal.

In 36ie = ---- ie = ---- ie = 3% a.m. T 12In = ie x T in = 3 x 12 in = 36%Resposta { Taxa Efetiva: 3% a.m. e Taxa Nominal: 36% a.a. }2) Para taxa de 15% ao semestre, com capitalizao mensal. Qual a taxa nominal e a taxa efetiva?

In 15ie = ---- ie = ------ ie = 2,5% a.m. T 6in = ie x T in = 2,5 x 6 in = 15% a.s.Resposta: { Taxa Efetiva: 2,5 a.m. e Taxa nominal: 15% a.s.}

33.8 Taxas EquivalentesDuas taxas so equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo perodo de tempo produzem o mesmo rendimento. Na capitalizao simples, duas taxas proporcionais so tambm equivalentes, na capitalizao composta, no.No regime de juros compostos, uma aplicao que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre de. Atribuindo um capital de R$ 100,00, temos:

TM = C x ( 1 + i ) 3 3M = R$ 100,00 x ( 1 + 0,10) M = R$ 100,00 x ( 1,10 )M = R$ 100,00 x 1,331Resposta ; M = R$ 133,10Portanto o rendimento no trimestre foi de 33,1%.Logo, 10% ao ms equivalente a 33.1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas, so efetivas. im a taxa mensalia a taxa anualib a taxa bimestralit a taxa trimestralis a taxa semestralO rendimento a relao percentual entre o montante e o capital.O percentual de rendimento dado por: M % de Rendimento = { 100 x [ (------) 1 ] } CExemplo:C: R$ 100,00M: R$ 133,10 133,10% de Rendimento = {100 x [ ( ----------- ) 1] } {100 x [1,331 1 ] } 100,00{ 100 x 0,331} = 33,1%

A equivalncia entre ano e ms dada por:

121 + ia = (1+ im)

33.8 Taxas EquivalentesA equivalncia entre ano e trimestre dada por:

41 + ia = (1 + it)

A equivalncia entre ano e bimestre dada por:

61 + ia = (1+ib)

A equivalncia entre ano e semestre dada por:

21+ ia = (1+is)

A equivalncia entre semestre e ms dada por:

6(1+im) = 1 + is

A equivalncia entre bimestre e ms dada por:

2(1+im) = 1 + ib

A equivalncia entre trimestre e ms dada por:3(1+im) = 1+ it

Observamos: que ao lado da igualdade que contm a menor das unidades de tempo envolvida, fica elevado ao expoente igual a quantas vezes a menor unidade cabe na maior. Exemplo:1) A equivalncia entre ano e ms: 121 + ia = (1+im)2) A equivalncia entre semestre ms:

6(1 + im) = 1 + is

Exerccios de Taxas Equivalentes1) Calcular o montante gerado partir de R$ 1.500,00, quando aplicado a taxa de 60% ao ano. Com capitalizao mensal durante 1 ano.Dados: C = R$ 1.500,00 M = ? Taxa Nominal( in) = 60% a..a. Tempo = 12 meses Taxa Efetiva (ie) = ?

In 60 ie = ------ ----- ie = 5% a.m. t 12

T 12 12M = C x ( 1 + ie ) M = 1.500,00 x (1+0,05) 1.500,00 x (1,05)

M = 1.500,00 x 1,79586M = R$ 2.693,79

2) Aplicando R$ 800,00 taxa de 12% ao ano com capitalizao bimestral, durante 1 ano e meio. Qual o valor do montante. Dados : C = R$ 800,00 in 12% a.a. x 1,5= 18% a.a.

12 x 1,5 18T = -------------- ------ T = 9 2 2

in 18ie = ----- ------ ie = 2% T 9

T 9 9M = C x ( 1+ie) 800,00 x (1+0,02) 800,00 x (1,02)

800,00 x 1,19509 M = R$ 956,07

Exerccios de Taxas Equivalentes3) Um capital, aps 5 anos de investimento, a taxa de 12% a.a., capitalizado semestralmente, eleva-se a R$ 1.969,93. Qual o valor desse capital?Dados: Tempo: 5 anosTaxa Anual: 12%Capitalizao: SemestralMontante: R$ 1.969,93Capital; ?Taxa em 5 anos: 12x5 = 60%Meses de investimento 5 x 12 = 60 meses

60 Tempo em Semestre = ----- 10 semestres 6

In 60Taxa efetiva (ie) = ----- ----- ie = 6% T 10

M 1.969,93 1.969,93 1.969,93C = -------- ------------- ------------ ------------ T 10 10 1,790848 (1+ie) (1 + 0,06) ( 1,06)

C = R$ 1.100,00

4) Qual a taxa anual equivalente a 3% ao ms?

12 12 121+ ia = ( 1 + im ) 1+ ia = ( 1 + 0,03 ) 1+ ia = ( 1,03 )

1 + ia = 1,4257 ia = 1,4257 1 ia = 42,57%

5) Qual a taxa anual equivalente a 30% ao semestre com capitalizao bimestral?Tempo de capitalizaoCapitalizaoPerodos Semestral ( 6 meses)Bimestral ( 2 meses)3

in 30Ie = ------ ----- ie = 10% T 3

T 6 61 + ia = ( 1 + ib ) 1 + ia = ( 1 + 0,1 )1 + ia = ( 1,1 )1 + ia = 1,7716 ia = 1,7716 1 ia = 0,7716 ia = 77,16%

Exerccios de Taxas Equivalentes6) A taxa efetiva semestral de 97,38% equivalente a que taxa mensal?

6 6 6( 1 + im ) = 1 + is ( 1 + im ) = 1 + 0,9738 ( 1 + im ) = 1,9738

6( 1 + im ) = 1 + im = 1,12 im = 1,12 1 im = 0,12

Im = 12%