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Aula de Matemática Financeira para BACEN

Profº Paulo Quilelli

1ª questão ) PORCENTAGEM ( Banco Central ) Um investimento rendeu 68% em um mês no qual a inflação foi de 40%. O ganho real nesse mês foi de: a ) 20% b) 22% c ) 24% d ) 26% e ) 28%

Solução: fator de ganho real = ( fator de ganho aparente ) ( fator de inflação )

taxa de ganho aparente = 68% fator de ganho aparente = 1,68 taxa de inflação = 40% fator de inflação = 1,40

fator de ganho real = 40,1

68,1

f = 1 + i i = f 1 i =1,20 1 i = 0,20 ( taxa unitária ) = 0,20 x 100 = 20% ( taxa percentual )

Resposta: letra: ( a )

2ª questão ) JUROS SIMPLES ( Banco do Brasil ) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1 000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? a ) 6% b ) 5% c ) 4% d ) 3% e ) 2%

Solução: Não se paga juros sobre dinheiro à vista. A entrada de 200 é abatida do valor à vista 1000. 1 000 200 = 800 ( valor devido sobre o qual incidirá o juro ) Deve 800 e dois meses após paga 880. O juro cobrado foi de 880 800 = 80 ( J ) sobre 800 ( C ) O tempo é de 2 meses ( t )

J = 100

.. tiC 80 =

100

2..800 i i = 5% ao mês

Resposta: letra ( b )

3ª questão ) TAXA MÉDIA ( AFRF ) Os capitais de R$ 3 000,00, R$ 5 000,00 e R$ 8 000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais. a ) 4,38% ao mês b ) 3,206% ao mês c ) 4,4167% ao mês d ) 4% ao mês e ) 4,859% ao mês

Solução:

Taxa Média : im = 321

332211 ...

CCC

iCiCiC ( tempo constante para todas as aplicações )

im = 800050003000

25,380004500063000 xxx =

16000

260002000018000 =

16000

64000 = 4% ao mês

Resposta: letra ( d ) 4ª questão ) DESCONTO SIMPLES ( Banco Central ) Um título de valor nominal de $ 600 000,00 foi descontado à taxa de 18% ao mês, 15 dias antes do vencimento ( desconto comercial simples ). O banco cobrou uma comissão de 3% sobre o valor nominal do título. Qual o valor líquido recebido? a ) $ 565 000,00 b ) $ 549 000,00 c ) $ 537 000,00 d ) $ 528 000,00 e ) $ 465 000,00

Solução:

600 000

0 15 dias

A

i = 18% a.m. = 30

18 % a.d. =

5

3 % a.d.

t =15 dias D = desconto comercial simples ( taxa sobre valor nominal )

D = 100

.. tiN =

100

155

3600000 xx

= 54 000

Comissão = 3% x 600 000 = 100

3 x 600 000 = 18 000

Valor líquido = 600 000 54 000 18 000 = 528 000 Resposta; letra ( d )

5ª questão ) JUROS COMPOSTOS ( Banco do Brasil ) Um investidor dispunha de R$ 300 000,00 para aplicar. Dividiu esta aplicação em duas partes. Uma parte foi aplicada no banco Alfa, à taxa de 8% ao mês, e a outra parte no banco Beta, à taxa de 6% ao mês, ambas em juros compostos. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Se, após este prazo, os valores resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em reais, em cada banco foram, respectivamente: a ) 148 598,13 e 151 401,87 b ) 149 598,13 e 150 401,87 c ) 150 598,13 e 149 401,87 d ) 151 598,13 e 148 401,87

e ) 152 598,13 e 147 401,87

Solução:

Montante = valor resgatado = C( 1 + i )n

Banco Alfa Banco Beta Capital = x Capital =300 000 - x Taxa = 8% a.m. = 0,08 a.m. Taxa = 6% a.m. = 0,06 a.m. Tempo = 1 mês Tempo = 1 mês n = 1 n = 1 M = x( 1 + 0,08 )1 = 1,08x M = ( 300 000 x )( 1 + 0,06 )1

M = 318 000 1,06x

Os montantes são iguais: 1,08x = 318 000 1,06x 2,14x = 318 000

x = 148 598,13 ( capital aplicado em Alfa )

300 000 148 598,13 = 151 401,87 ( capital aplicado em Beta )

Resposta: letra ( a )

6ª questão ) DESCONTO COMPOSTO ( AFRF ) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. a ) R$ 140,00 b ) R$ 104,89 c ) R$ 168,00 d ) R$ 93,67 e ) R$ 105,43

Solução:

A = 840 ( valor atual ) t = 4 meses ( prazo de antecipação ) i = 3% a.m. = 0,03 ( taxa unitária )

Capitalizando 840 quatro períodos encontramos o valor nominal do título ( N é o montante de A no desconto racional ).

N = A( 1 + i )n N = 840( 1 + 0,03 )4 N = 840 x 1,125508 N = 945,43

d = N A d = 945,43 840 d = 105,43

Resposta; letra ( e )

7ª questão ) TAXAS EQUIVALENTES ( TCU ) Um financiamento externo é contratado a uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização semestral. Obtenha a taxa efetiva anual desse financiamento. a ) 12,36% b ) 11,66% c ) 10,80% d ) 12,44% e ) 12,55%

Solução:

Taxa nominal = 12% a.a. Taxa nominal de 12% ao ano, com capitalização semestral, é igual a 12

2 = 6 % ao

semestre ( taxa proporcional ). I = ( 1 + i )n 1 ( taxa efetiva anual ) I = taxa referente ao maior período i = taxa referente ao menor período n = 2 ( número de vezes que i capitaliza em I ) I = ( 1 +0,06 )2 1 I = 1,1236 1 I = 0,1236 ( taxa unitária ) I = 0,1236 x 100 = 12,36% ( taxa percentual ) Resposta: letra ( a )

8ª questão ) RENDAS CERTAS Uma mercadoria de valor à vista de R$ 7 019,69 pode ser comprada em 8 prestações iguais ( a 1ª em 30 dias ) a uma taxa de 3% ao mês. Qual o valor da prestação, sabendo que o fator de valor atual é 7,019692? a ) R$ 100,00 b ) R$ 1 000,00 c ) R$ 3 000,00 d ) R$ 333,33 e ) R$ 300,00

Solução:

7 019,69

0 1 8

P P

i = 3%

A renda, onde a 1ª prestação é um período após a efetivação do negócio, é postecipada. A fórmula do valor atual para renda postecipada é: A = P.a( n , i ) A = valor atual P = valor da prestação a( n , i ) = fator de valor atual, onde n é o número de prestações e i, a taxa a( n , i ) = a( 8 , 3 ) = 7,019692

7 019,69 = P x 7,019692 P = 7 019,69 7,019692 P = 1 000

Resposta: letra ( b )

9ª questão ) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO ( Banco do Brasil ) Um automóvel, cujo preço à vista é de R$ 20 000,00, é financiado em 24 meses com juros de 1% ao mês pela Tabela Price. Pelo fato de estar usando a Tabela Price, posso afirmar que as prestações serão todas:

a ) iguais e, no início, a parcela de juros será menor do que a parcela de amortização

do principal. b ) iguais e, no início, a parcela de juros será maior do que a parcela de amortização

do principal. c ) iguais e, no início, a parcela de juros será igual à parcela de amortização do

principal. d ) diferentes e, no início, a parcela de juros será maior do que a parcela de

amortização do principal. e ) diferentes e, no início, a parcela de juros será menor do que a parcela de

amortização do principal.

Solução:

A Tabela Price se caracteriza por prestações constantes e cada prestação é composta por uma amortização e um juro que é calculado sobre o saldo devedor anterior. O cálculo do juro na 1ª prestação é sobre o valor total do débito. A cada prestação o saldo devedor diminui e, com isso, os juros. Já a amortização, a menor é na 1ª prestação, onde os juros são maiores e vai aumentando porque o juro vai diminuindo, já que as prestações são constantes. Resposta: letra ( b )

10ª questão ) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO Um empréstimo de R$ 2 000,00 será saldado em 20 amortizações mensais iguais (SAC), tendo sido contratada à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês. Qual o saldo devedor após o pagamento da nona parcela, sabendo-se que não houve prazo de carência? a ) R$ 900,00 b ) R$ 1 100,00 c ) R$ 1 250,00 d ) R$ 1 120,00 e ) R$ 2 100,00

Solução:

No SAC a amortização é constante e é obtida dividindo-se o débito pelo número de

prestações: amortização = 20

2000 = 100

O saldo devedor, num determinado momento, é obtido subtraindo-se do empréstimo todas as amortizações pagas até aquela prestação. O saldo devedor na nona parcela será: 2 000 9 x 100 = 2 000 900 = 2 100 Resposta: letra ( e )

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