MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAZONAS

CAMPUS AVANÇADO MANACAPURU

Boas Vindas

Caros alunos e alunas

Estamos iniciando nossas aulas de Matemática Financeira. Teremos algumas semanas de estudos juntos e iniciaremos um período de convivência muito proveitoso e estimulante. Nosso curso tem formato semanal, com aulas nas segundas e quartas -feiras.

Além da minha presença como professor vocês podem contar com o material de apoio, e orientação e acompanhamento das dúvidas e necessidades pelo email nilton10@gmail.com, pois é normal que a ansiedade bata quando estamos em dúvida, não é mesmo? Não se preocupem! Todos daremos conta do curso, alunos e professores ;-)

Como uma dica especial peço que não deixem as tarefas acumularem. Procurem reservar um horário para realizar as leituras e tarefas e utilizem esse horário. Assim fica mais fácil pegar o ritmo e o gosto pela ação de apreender . Nosso curso tem uma carga horária de 80 horas. Interessante que você reserve, ao menos,4 horas semanais para o curso. Se for possível divida esta carga semanal em 3 dias (pelo menos 2 dias). Procure ler a apostila e reserve um tempo para as tarefas semanais.

Sabemos que todo início é mais difícil, por este motivo abriremos as duas semanas iniciais para que vocês possam se familiarizar com a Matemática sem pressa. Estarei sempre disponível para esclarecer dificuldades, dúvidas e demais problemas encontrados ao longo do curso. Abraços, Nilton Disciplina: Matemática Financeira

Série/Módulo: 1º/Subsequente

C.H. Semanal: 04 C.H. Total: 80h/aula

Ementa:

Introdução à Matemática Financeira: Regra de Três Simples e Inversa. Porcentagem. Variação percentual. Taxa de inflação. Juros Simples: Juros, Taxa de Juros, Capital e Montante. Fórmulas, taxas proporcionais, taxas equivalentes. Juros Compostos: Fórmulas, taxas equivalentes, taxas nominais, taxas efetivas. Valor Presente e Valor Futuro. Desconto Simples: Títulos de Crédito, Desconto Simples Comercial, Desconto Simples Racional. Desconto Composto: Desconto Composto Racional. Sequência uniforme de pagamentos. Montante de uma sequência uniforme de depósitos.

TALES, A MULA E O MÉTODO DEDUTIVO DE PENSAMENTO

Uma lenda clássica, sobre Tales, nos mostra que o raciocínio dedutivo não é uma

exclusividade do ser humano. Conta-se que Tales, por muitos anos, mascateava sal, transportando

sua carga no dorso das mulas. Como se sabe, as mulas são animais de muita inteligência. Tales,

porém, possuía uma que pode ser classificada como um gênio.

Certo dia passava ele, a vau, um riacho e essa mula escorregou numa pedra e caiu na água,

submergindo toda a sua carga de sal. Na vau seguinte, ela se deitou e se deixou rolar na água,

naturalmente por ter observado que sua primeira queda havia aliviado seu fardo. Tendo repetido esta

astúcia até o sal se haver dissolvido completamente, ela parou de cair. Para Puni-la, Tales substituiu

sua carga de sal por uma de tecidos secos e de esponjas porosas. E a mula não mais caiu.

Vimos nesta estória todos os elementos necessários à fé na indução-inferência e

generalização a partir da experiência repetida – como também, na dedução. Ela também nos revela

um Tales capaz de inventar um remédio para curar o mal de uma mula inconvenientemente

inteligente.

Comigo não está!!!

Três amigos foram a um bar beber cerveja e comer tira-gostos. Ao pedirem a conta

assustaram com o valor de R$ 30,00, reclamaram e deram cada um uma nota de R$ 10,00 cada um.

O garçom levou o dinheiro ao gerente e informou-o que os clientes acharam a conta cara. O gerente

habilidoso e para não perder os fregueses em próximas oportunidades tirou do caixa cinco notas de

R$ 1,00 e ordenou ao garçom entrega- las aos três rapazes. O espertalhão do garçom ficou com R$

2,00 para ele (duas notas de R$ 1,00 cada) e deu para cada rapaz uma nota de R$ 1,00. Portanto

cada rapaz deu R$ 10,00 e ao receber R$ 1,00 pagou então R$ 9,00 concorda ? Logo 3 X R$ 9,00 =

R$ 27,00 somados com os R$ 2,00 que o garçom roubo-lhes resultam R$ 29,00. Aonde foi parar o

outro R$ 1,00 dos R$ 30,00 que as três notas de R$ 10,00 cada uma totalizaram?

“O degrau da escada não foi inventado para repouso, mas apenas para sustentar o pé o tempo

necessário para que o homem coloque o outro pé um pouco mais alto.”

Atividades com calculadora

Que filme ta passando hoje? Observando apenas a ilustração abaixo descubra dia e mês da cena e qual filme em cartaz, dica: a barbearia está fechada.

Responda essa:

Raul e Cida formam um estranho casal. Raul mente às quartas, quintas e sextas-feiras, dizendo a

verdade no resto da semana. Cida mente aos domingos, segundas e terças-feiras, dizendo a verdade

nos outros dias. Certo dia ambos declararam: “Amanhã é dia de mentir”. O dia em que foi feita essa

declaração só pode ter sido:

Regra de Três Simples e Inversa.

A resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais pode ser realizada através

de uma regra prática denominada "regra de três". Se tivermos duas grandezas diretamente

proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples direta" e caso elas sejam inversamente

proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples inversa".

Nos problemas onde temos três ou mais grandezas, utilizamos a "regra de três composta".

Observe que neste caso, um mesmo problema pode envolver tanto grandezas diretamente

proporcionais, quanto grandezas inversamente proporcionais.

Exemplo: Uma pessoa recebe R$ 1.800,00 por 30 dias trabalhados. Quantos dias esta

pessoa precisará trabalhar para ter direito a receber R$ 1.200,00?

Este é o típico caso da utilização de uma "regra de três simples direta". Simples por envolver

apenas duas grandezas proporcionais, e direta, porque quando uma grandeza aumenta, a outra

também aumenta. Se uma diminui, o mesmo ocorre com a outra.

Chamemos de S a grandeza que representa o salário e de D a grandeza que representa o

número de dias de trabalho e vejamos a representação abaixo:

As setas apontam na mesma direção, pois as grandezas são diretamente proporcionais.

Percebemos isto, pois ao diminuirmos o número de dias trabalhados, também teremos o respectivo

salário diminuído. Como o salário vai ser reduzido, obviamente o número de dias de trabalho também

será. Concluímos assim, que as grandezas S e D são diretamente proporcionais.

De acordo com a orientação das setas, podemos então montar a proporção:

Concluímos que para ter o direito a receber os R$ 1.200,00, a pessoa terá que trabalhar por

20 dias.

Exercícios:

1) Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim

como o outro está para 9. Quais são os dois números?

2) Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim como

b está para 15. Qual o valor de a e de b?

3) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos

anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55

anos?

4) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos

anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55

anos?

5) Quatro números, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma

proporção. Qual o valor da quarta proporcional x?

6) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos?

7) Com 6 pedreiros podemos construir uma parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3

pedreiros para fazer a mesma parede?

8) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas

levará para despejar 600 litros?

9) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto

levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h?

10) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos

produzirá em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia?

11) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho.

Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se

trabalharem 20 horas por dia, durante 12 dias?

12) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia, durante 8 dias.

Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias?

13) Um automóvel consome, em média, 8 litros de álcool num trecho de 72 km. O

consumo desse automóvel em 126 km será de:

14) Um elevador pode levar ou 20 adultos ou 24 crianças , se 15 adultos ja estão no

elevador, quantas crianças podem entrar ?

15) Um livro de 153 páginas tem 40 linhas por página. Se houvesse 45 linhas por página,

qual seria o número de páginas desse livro?

16) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-la durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas?

Porcentagem. Variação percentual. Taxa de inflação

O termo porcentagem é muito utilizado no cotidiano, principalmente em situações ligadas à

Matemática Financeira, correção monetária, investimentos, cálculo de juros, descontos, determinação

de valores de impostos entre outras situações. Dado um número qualquer x, temos que x%

corresponde à razão centesimal x/100. O símbolo % significa por cento ou divisão por cem. Observe:

15% (quinze por cento) = 15/100 = 0,15 20% (vinte por cento) = 20/100 = 0,20 25% (vinte e cinco por cento) = 25/100 = 0,25 100% (cem por cento) = 100/100 = 1 (equivale ao todo) 120% (cento e vinte por cento) = 120/100 = 1,2

Obs: se algo aumenta em 20% passa a valer 120%, mas se um produto sofre um desconto de 20%

passa a valer 80%.

Exemplo 1.

Sabe-se que 55% dos estudantes de uma sala são do sexo feminino. Como na classe há 40 estudantes, quantas meninas há nessa sala? Solução:

Vamos fazer uma interpretação simples do problema. Foi dito que: 55% dos alunos são do sexo feminino. Ou seja: Número de meninas = 55% de 40 Nesse tipo de problema, a palavra “de” representa a operação de multiplicação. Assim, teremos: 55% de 40=55% ∙40 Dessa forma não é possível realizar o cálculo. Devemos, então, escrever a porcentagem na forma de fração.

Exemplo2.

Calcule:

a) 36% de 125

Solução:

b) 42% de 80

Solução:

Exemplo 3. Aumento de 17% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, temos: R$ 20,00 x 1,17 = R$ 23,40 Exemplo 4. Desconto de 7% sobre o valor de um produto de R$ 58,00, temos: R$ 58,00 * 0,93 = R$ 53,94

Exercícios

1) Quanto é 15% de 80?

2) Quanto é 70% de 30?

3) Quanto é 150% de 45?

4) Quanto é 100% de 40?

5) Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem.

6) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes

moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?

7) Se 4% de um número é igual a 15, quanto é 20% deste número?

8) Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto equivale a

quantos por cento do meu salário?

9) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha?

10) Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200

km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu

carro?

11) Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos

por cento eu perdi desta quantia?

12) Dei ao meu irmão 25 das 40 bolinhas de gude que eu possuía. Quantos por cento das minhas

bolinhas de gude eu dei a ele? Com quantos por cento eu fiquei?

13) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei

pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?

14) Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de

refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas

eu quebrei?

15) Dos 28 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 75%. Quantos bombons ainda me

restam?

16) Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e consegui

vender 60%. Quantas peças de roupa eu vendi?

17) Em uma cesta eu possuía uma certa quantidade de ovos. As galinhas no meu quintal botaram

10% da quantidade dos ovos que eu tinha na cesta e nela os coloquei, mas por um azar meu, um

objeto caiu sobre a dita cuja e 10% dos ovos foram quebrados. Eu tenho mais ovos agora ou

inicialmente?

18) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à

intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o

percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido?

19) Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido

toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por

ter levado gelo a preço de frango?

20) Em uma população de 250 ratos, temos que 16% são brancos. Qual é o número de ratos

brancos desta população?

21) Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um real. Quantas

moedas de um real eu possuo em meu bolso?

Para o Santo Lar

1 – Um produto tem preço de 250 reais à vista. A prazo, em 5 parcelas mensais iguais, seu

preço sofre acréscimo de 16%. Qual é o valor de cada parcela?

2 – Uma mercadoria é vendida na seguinte condição de pagamento: 20% de entrada e o

restante em 5 prestações iguais de R$ 34,00. À vista concede-se desconto de 4%. Qual é seu preço

à vista?

3 – (OBMEP – 06) Um trabalho de Matemática tem 30 questões de Aritmética e 50 de

Geometria. Júlia acertou 70% das questões de Aritmética e 80% do total de questões. Qual o

percentual das questões de Geometria que ela acertou?

4 – Numa mistura de 80 kg de areia e cimento, 20% é cimento. Se acrescentarmos mais 20

kg de cimento, qual será a sua porcentagem na nova mistura?

5 – Dos carros que vêm de A, 45% viram à B

esquerda, o mesmo ocorrendo com 35% dos que A E

vêm de B e 30% dos que vêm de C. Qual o percen- C

tual de carros que, passando por A, entram em E?

7 – Um comerciante comprou 350 litros de aguardente a R$ 1,35 o litro. Que quantidade de

água deve juntar à aguardente para vender o litro a R$ 1,75 e ganhar 30% sobre o preço de compra?

8 – Após dois aumentos sucessivos e iguais, o valor de certo imposto subiu de R$ 46,00 para

R$ 90,16. De qual percentual foi cada aumento?

9 – Após diminuição de 12%, o número de acidentes de trabalho em determinada indústria

passou a ser de 22 casos por ano. Quantos acidentes ocorreram antes desta diminuição?

10 – Certo recipiente contém 100 mL de água. Acrescentamos 25 mL de óleo. Qual é a

concentração (em porcentagem) do óleo nesta mistura? E se quisermos que esta concentração

aumente para 37,5%, quantos mL de óleo ainda deveremos acrescentar?

11 – Uma classe tem 40% de meninas. A metade das meninas é dispensada. Após isto

ocorrido, qual será a porcentagem de meninas na classe?

12 – (FGV) Se João emagrecesse 10 kg , ele passaria a ter 75% do seu peso atual . Então,

qual é seu peso atual?

13 – (FGV) Um indivíduo ao engordar passou a ter 38% a mais em seu peso. Se tivesse

engordado de tal maneira a aumentar seu peso em apenas 15%, estaria pesando 18,4 kg a menos.

Qual era seu peso original?

14 – Em 01/03/95, um artigo que custava R$ 250,00 teve seu preço diminuído em p% do seu

valor. Em 01/04/95, o novo preço foi novamente diminuído em p% do seu valor, passando a custar R$

211,60. Qual era o preço desse artigo em 31/03/95?

15 – O custo de produção de uma peça é composto por: 30% para mão de obra, 50% para

matéria prima e 20% para energia elétrica. Admitindo que haja um reajuste de 20% no preço de mão

de obra, 35% no preço de matéria prima e 5% no preço da energia elétrica, o custo de produção

sofrerá reajuste de qual percentual?

16 – O salário de Antônio é 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$ 500,00.

Qual o salário de Antônio?

17 – Uma fábrica de sapatos produz certo tipo de sapatos por R$ 18,00 o par, vendendo por

R$ 25,00 o par. Com este preço, tem havido uma demanda de 2000 pares mensais. O fabricante

pensa em elevar o preço em R$ 2,10. Com isto as vendas sofrerão uma queda de 200 pares. Com

esse aumento no preço de venda o que ocorrerá com o percentual de seu lucro mensal?

18 – Num colégio com 1000 alunos, 65% dos quais são do sexo masculino, todos os

estudantes foram convidados a opinar sobre o novo plano econômico do governo. Apurados os

resultados, verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se favoravelmente

ao plano. Qual é a porcentagem de estudantes não favoráveis ao plano?

19 – Se uma mercadoria sofre dois descontos sucessivos de 15% e depois um acréscimo de

8%, qual seu preço final, em relação ao preço inicial?

20 – O preço de certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o

preço atual seja R$ 100,00, qual o preço daqui a 3 anos?

Respostas: 1) 58reais 2)204reais 3)86% 4)36% 5)45,75% 7)1L 8)40% 9)25 10)25%e35mL 11)25%

12)40Kg 13)80Kg 14)230reais 16)4500reais 17)a.17% 18)56,5% 19)d.21,97% 20)800reais

Com certeza o mais simples e também o mais importante conceito de matemática financeira é

o conceito de FATOR DE CORREÇÃO. O domínio deste conceito será fundamental para que se

possa acompanhar todo o curso.

FATOR DE CORREÇÃO:

Vamos imaginar que uma mercadoria será aumentada em 23%. Você poderá descobrir o novo preço

de vários modos distintos:

1) Multiplicando o preço antigo por 23 e dividindo por 100, somando o resultado com o preço antigo;

2) Multiplicando o preço antigo por 0,23 e somando o resultado com o preço antigo;

3) Simplesmente multiplicando o preço antigo por 1,23.

O número 1,23 do exemplo é denominado fator de correção para um acréscimo

de 23 % e foi obtido a partir de 100 % (preço antigo) mais 23 % (aumento). Em

seguida dividimos por 100 para obter a forma de número decimal. A taxa 23% é a taxa percentual e a

taxa 0,23 (i), é denominada taxa unitária.

Se, no exemplo apresentado o preço fosse diminuído em 23 %, o fator seria 0,77, pois 100 % menos

23 % é igual a 77 %. Concluímos que os fatores que representam aumentos são maiores que 1 e os

que representam reduções são menores que 1.

Exemplos:

O senhor Enkren Kado, gerente de um supermercado, tem que aumentar os preços de todos

os produtos de um setor em 3,25 %. Qual o fator de aumento?

Quanto passará a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00?

SOLUÇÃO :

Fator de aumento : 1,0325 [(100 % + 3,25 %) : 100]

Novo preço : R$ 61,95 ( 60,00 x 1,0325 )

Vinícius, em Setembro, obteve uma correção salarial de 5,65 %, sobre o salário de Agosto,

passando a receber R$ 422,60. Quanto recebia em Agosto?

SOLUÇÃO:

A x 1,0565 = 422,60

A = 422,60 : 1,0565 = 400,00.

Logo, em agosto Vinícius recebia R$ 400,00

Um remédio estava custando R$ 3,40, e passou a custar R$ 4,70. Qual o fator de correção e

qual o percentual de aumento?

SOLUÇÃO :

3,40 x F = 4,70

F = 4,70 : 3,40 = 1,3824 (Fator de correção)1,3824 x 100 - 100 = 38,24% (Aumento)

Uma loja está vendendo um produto com um desconto à vista de 15 %, ou então com

pagamento normal , sem desconto, com um cheque pré-datado para 30 dias. Quanto

estará pagando de juros , em um mês, o cliente que optar pela segunda forma de

pagamento?

SOLUÇÃO :

Vamos supor que o produto custe 100 dólares. Para quem pagar à vista ele custará 85

dólares (15 % de desconto). Para quem escolher o cheque pré-datado,estará, na realidade

pagando 100 dólares por algo que custa 85 dólares. Logo o fator de correção inserido neste

aumento é: 100 : 85 = 1,1765, o que corresponde ao pagamento de 17,65 % de juros em um

mês.

Exercícios de Fixação:

1) Qual o fator de correção correspondente a um aumento de 34,5 %?

a) 3,45 b) 4,45 c) 1,345 d) 2,345

2) Qual o aumento gerado pelo fator de 2,4567?

a) 245,67% b) 345,67% c) 145% d) 145,67% e) 95,87%

3) Um preço aumentou de 120 para 150 reais. Qual o percentual de aumento

correspondente?

a) 47% b) 25% c) 35% d) 45% e) 34%

4) Um preço reduziu de 150 para 120 reais. Qual o fator de redução e qual o

percentual de redução correspondente?

a) 25% b) 15% c) 10% d) 40% e) 20%

5) Qual o aumento acumulado, de dois aumentos consecutivos de 30%?

a) 40% b) 60% c) 69% d) 65% e) 62%

6) Qual a redução acumulada, por dois descontos consecutivos de 30 %?

a) 51% b) 60% c) 54% d) 69% e) 62%

7) Num certo mês, a aumento das mensalidades escolares foi de 42,7%. Se em

uma escola essa mensalidade passou a ser de R$ 92,76, qual era o valor antes

do aumento?

a)R$ 53,15 b)R$ 65,00 c) R$ 58,20 d) R$49,90 e) R$ 62,40

8) O preço de uma mercadoria subiu 300 %. Calcule que porcentagem se deve

reduzir do seu preço atual, de modo a retornar ao seu valor de antes do aumento?

a) 25 % b) 75 % c) 300 % d) 400 % e) 20 %

9) Um funcionário teve um reajuste de 34% num certo mês; no mês seguinte um novo reajuste de

38%, passando a receber R$ 221,90. Quanto recebia antes desses dois reajustes

(aproximadamente)?

a)R$120,00 b)R$90,80 c)R$118,00 d)R$124,80 e)R$ 132,00

10) Uma mercadoria sofreu três reduções sucessivas de 12%; 14% e 24%. Qual a redução total

acumulada?

a) 50 % b) 48 % c) 52 % d) 42,48 % e) 43,89 %

11) Qual a inflação acumulada no trimestre cujas taxas mensais foram: 34%:

38 % e 40%?

a) 112% b) 132,56% c) 158,88% d) 145,78% e) 122%

12) (Telerj - 1994) Uma loja vende seus artigos com pagamento em duas prestações, "sem juros". A

primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após.

Entretanto, um desconto de 25 % é concedido se o cliente pagar à vista. Na

realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de taxa igual a:

a) 100 % b) 75 % c) 50 % d) 25 % e) 12,5 %

13) (TRT - 1993) Uma loja vende seus produtos com pagamentos em duas prestações mensais

iguais, "sem juros". A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após.

Entretanto um desconto de 10 % é concedido se o cliente pagar à vista. Na realidade, essa loja

cobra, nas vendas à prazo, juros mensais de :

a) 10 % b) 20 % c) 25 % d) 30 % e) 50 %

14) (Telerj - 1993)Uma mercadoria teve seu preço aumentado em 20 %. Em seguida, o novo preço foi

rebaixado em 20 %. O preço final da mercadoria, em relação ao preço inicial é:

a) igual b) 4 % maior c) 4 % menor d) 8 % maior e) 8 % menor

15) A inflação acumulada de um bimestre está em 13,5% e no mês seguinte

acusou uma taxa de 5,6%. Qual a inflação acumulada no trimestre em questão?

a) 19,856% b) 18,965% c) 21,4% d) 23,34% e) 19,65%

16) Uma bondosa loja oferece um desconto à vista de 30%, ou então o preço

normal, dividido em duas parcelas iguais, sendo a primeira no ato da compra e a segunda um mês

após. Quanto está pagando de juros nesse mês, a pessoa que escolheu a segunda opção de

pagamento?

a) 120% b) 150% c) 135% d) 145% e) 200%

Juros Simples: Juros, Taxa de Juros, Capital e Montante. Fórmulas, taxas

proporcionais, taxas equivalentes

Juros Simples são juros que são calculados usando como base o valor do capital original.

Juros são uma espécie de compensação por usar o dinheiro alheio. Os bancos pagam para ter o seu

dinheiro usado por eles (poupança), e você paga quando usa o dinheiro deles (financiamento e

empréstimos).

Não esqueça: Se essa remuneração incide somente sobre o capital inicial C, após o prazo t,

dizemos que esses juros são simples.

A expressão matemática utilizada para cálculos envolvendo juros simples é escrita a

seguinte:

J = C . t . i (Onde J é o juros, C é capital inicial, i é taxa e t = tempo)

Exemplos:

Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês durante 14 meses.

Determine os juros dessa aplicação.

Resposta

Capital (C) = R$ 1.200,00

Tempo (t) = 14 meses

Taxa (i) = 2% ao mês = 2/100 = 0,02

Fórmula dos juros simples

J = C . i . t

J = 1200. 0,02 . 14

J = 336

Obs: Aconteceu um ganho de R$336,00 e podemos concluir que o valor final será 1200,00 +

336,00 = 1536,00.

Esse valor final chamaremos de montante.

Podemos definir o montante M como:

M = C + J

Um investidor aplicou a quantia de R$ 500,00 em um fundo de investimento que opera no

regime de juros simples. Após 6 meses o investidor verificou que o montante era de R$

560,00. Qual a taxa de juros desse fundo de investimento?

Resposta

Capital (C) = R$ 500,00

Montante (M) = R$ 560,00

Tempo (t) = 6 meses

Calculando os juros da aplicação

J = M – C

J = 560 – 500

J = 60

Aplicando a fórmula J = C . i. t

60 = 500 . i .6

60 = 3000.i

i = 60/3000

i = 0,02 que corresponde a 2%.

A taxa de juros do fundo de investimentos é igual a 2%.

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de t, ou seja, taxa de

juros ao mês para t meses.

Taxas Proporcionais de Juros

essas taxas se dizem proporcionais se houver uma proporção entre as taxas e seus respectivos

períodos.

Ex: 12% a.a. (ao ano) = 6% a.s. (ao semestre) = 1% a.m. (ao mês)

Taxas Equivalentes

duas taxas se dizem equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo período de tempo,

ambas produzir o mesmo juro.

Por exemplo, em juros simples, um capital de R$500.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros. Isto é:

Exercícios

1) O capital de R$ 360,00 foi colocado a juros simples durante 3 anos e 2 meses,sob taxa de 0,5 % ao mês. Qual o montante final? a) R$ 68,40 b)R$ 428,40 c)R$ 542,60 d) R$ 654,00 e) R$ 420,00

2) Qual foi a taxa anual a que foi aplicado um capital de R$150,00, durante 60 dias, para produzir, a juros simples, um montante de R$153,00? a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 20% 3) Qual o montante produzido por R$2500,00, aplicados a taxa efetiva de 12% ao trimestre, em 15 meses? a)R$ 4405,85 b)R$ 6403,24 c)R$ 5405,45 d)R$ 4000,00 e) R$ 4800,00 4) Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a juros simples de 5% ao mês, triplique de valor? a) 3 anos 4 meses b) 2 anos c) 5 anos 4 meses d) 1ano 4 meses e) 3 anos 6 meses 4) O preço de uma mercadoria era R$ 2800,00, ou então, uma entrada de 20% e mais um pagamento de R$ 2688,00, após 40 dias. financiamento a juros simples. Qual a taxa anual de juros que está sendo cobrada pela loja? a) 120% b) 130% c) 140% d) 170% e) 180%

5) Apliquei um capital a juros simples de 4% ao mês, durante 2 meses e, em seguida, reapliquei o montante por 6 meses, a juros simples de 5% ao mês. Qual o capital inicial em reais, se o montante final foi de R$30 888,00? a)20 000,00 b) 25 000,00 c) 18 000,00 d) 20 800,00 e) 2 000,00 6) (TRT - 1990)Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$2700,00, dispondo de R$9000,00 de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no prazo de 5 meses? a) 10% b) 5% c) 3% d) 8% e) 5,5%

7) Calcular a taxa anual proporcional: a) 6% ao mês; b) 10% ao bimestre. Solução: a) i = 6% x 12 = 72% ao ano. b) i = 10% x 6 = 60% ao ano. 8) Calcular a taxa de juros semestral proporcional: a) 60% ao ano; b) 9% ao trimestre. Solução: a) i = 60% / 12 x 6 = 30% a.s. b) i = 9% / 3 x 6 = 18% a.s. 9) Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre: Solução: 12/3 = 36/12 4 ‡ 3 (portanto, falso). 10) Calcular o montante de um capital de R$ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses. Solução: M = ? c = R$ 600.000,00 n = 1 ano e 5 meses (17 meses) i = 2,3 ao mês (0,023) M = c (1 + i . n) M = 600.000 (1 + 0,023 x 17) M = 600.000 (1 + 0,391) M = 600.000 . 1,391 M = R$ 834.600,00

EXERCÍÍCIIOS RESOLVIIDOS 1. Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R$ 18.000,00 resgatando R$ 21.456,00, quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação. Solução: c = R$ 18.000,00 M = R$ 21.456,00 n = 4 meses i = ? M = c (1 + i . n) 21.456 = 18.000 (1 + i . 4) 21.456 = 18.000 + 72.000 i 21.456 – 18.000 = 72.000 i i = 3.456 / 72.000 i = 0,048 = 4,8% a.m.

2. Se uma pessoa necessitar de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela depositar num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% ao ano? Solução: M = R$ 100.000,00 n = 10 meses i = 12% ao ano = 1% ao mês = 0,01 c = ? M = c (1 + i . n) 100.000 = c (1 + 0,01. 10) 100.000 = c (1 + 0,1) 100.000 = 1,1 c c = 100.000 / 1,1 c = R$ 90.909,09 3. Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 2 anos. Solução: M = R$ 3,00 n = 12 bimestres i = ? c = R$ 1,00 M = c (1 + i . n) 3 = 1 (1 + i. 12) 3 = 1 + 12 i 3 - 1 + 12 i 2 = 12 i i = 2 / 12 i = 16,7% a. b. 4. Um título com valor nominal de R$ 7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor deste título. a) hoje; b) dois meses antes do seu vencimento; c) um mês após o vencimento. Solução: M = R$ 7.200,00 n = 4 meses i = 31,2% ao ano = 0,312/12 = 0,026 c = ? a) M = c (1 + i . n) 7.200 = c (1 + 0,026 x 4) 7.200 = c (1 + 0,104) 7.200 = 1,104 c c = 7.200 / 1,104 c = R$ 6.521,74. b) M = c (1 + i . n) 7.200 = c (1 + 0,026 x 2) 7.200 = c (1 + 0,052) 7.200 = 1,052 c c = 7.200 / 1,052 c = R$ 6.844,11. c) M = c (1 + i . n) M = 7.200 (1 + 0,026 x 1) M = 7.200 (1 + 0,026) M = 7.200 + 187,20 M = R$ 7.387,20.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de: a) 14,4% ao ano; b) 6,8% ao quadrimestre; c) 11,4% ao semestre; d) 110,4% ao ano; e) 54,72% ao biênio. 2. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de: a) 120% ao ano; b) 3,2% ao quadrimestre; c) 1,5% ao mês. 3. Determinar a taxa de juros simples anual proporcional ás seguintes taxas: a) 2,5% ao mês; b) 56% ao quadrimestre; c) 12,5% para 5 meses. 4. Calcular o montante, de R$ 85.000,00, aplicado por: a) 7 meses à taxa linear de 2,5% ao mês; b) 9 meses à taxa linear de 11.6% ao semestre; c) 1 ano e 5 meses à taxa linear de 21% ao ano. 5. Determinar os juros e o montante de uma aplicação de R$ 300.000,00, por 19 meses, à taxa linear de 42% ao ano. 6. Calcular o valor dos juros referente a uma aplicação financeira de R$ 7.500,00, que perde 15% de taxa nominal ao ano, pelo período de 2 anos e 3 meses. 7. Qual o capital que produz R$ 18.000,00 de juros simples, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de: a) 60 dias; b) 80 dias; c) 3 meses e 20 dias; d) 2 anos, 4 meses e 14 dias. 8. Uma pessoas aplicou R$ 12.000,00 numa Instituição Financeira resgatando, após 7meses, o montante de R$ 13.008,00. Qual a taxa de juros equivalente linear mensal que o aplicador recebeu? 9. Uma nota promissória de valos nominal de R$ 140.000,00 é resgatada dois meses antes de seu vencimento. Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 1,9% ao mês? 10. O montante de um capital de R$ 6.600,00 ao final de 7 meses é determinado adicionando-se R$ 1.090,32 de juros. Calcular a taxa linear mensal e anual utilizada. 11. Um empréstimo de R$ 3.480,00 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de R$ 3.949,80. Calcular a taxa de juros simples em base mensais e anuais desta operação. 12. Se o valor atual de um título é igual a 4/5 de seu valor nominal e o prazo de aplicação for de 15 meses, qual a taxa de juros simples considerada? 13. Uma mercadoria é oferecida num magazine por R$ 130,00 a vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento de R$ 106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada. 14. Em quanto tempo um capital de R$ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano pelo regime linear renderá R$ 1.940,00? 15. Em quanto tempo duplica um capital aplicado à taxa simples de 8% ao ano?

16. Em quanto tempo triplica um capital que cresce à taxa de 21% ao semestre? 17. O valor de resgate de um título é 140% maior que o valor da aplicação. Sendo 30% ao ano a taxa de juros simples, pede-se calcular o prazo da aplicação. 18. Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro? 19. Um TV em cores é vendida nas seguintes condições: preço à vista = R$ 1.800,00; condições a prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo. 20. Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais. O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos em 30 e 60 dias. Sendo de 4,4% ao mês à taxa linear de juros, pede-se calcular até que valor interessa adquirir o bem a vista. 21. Uma divida é composta de três pagamentos no valor de R$ 2.800,00, R$ 4.200,00 e R$ 7.000,00, vencíveis em 60, 90 e 150 dias, respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa de juros simples de mercado é de 4,5% ao mês. Determinar os pagamentos: a) hoje; b) daqui a 7 meses. 22. Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco: R$ 18.000,00 vencíveis em 37 dias; R$ 42.000,00 vencíveis em 83 dias; R$ 100.0000,00 vencíveis em 114 dias. Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir o fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema: R$ 20.000,00 em 60 dias; R$ 50.000,00 em 100 dias; restante em 150 dias. Sendo de 3,2% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações, pedese calcular o valor do pagamento remanescente adotado como data focal o momento atual. 23. Uma maquina calculadora esta sendo vendida a prazo nas seguintes condições: R$ 128,00 de entrada; R$ 192,00 em 30 dias; R$ 192,00 em 60 dias. Sendo de 1,1% ao mês a taxa linear de juros, pede-se calcular até que preço é interessante comprar a máquina à vista. 24. Uma pessoa tem uma divida composta dos seguintes pagamentos: R$ 22.000,00 de hoje a 2 meses; R$ 57.000,00 de hoje a 5 meses; R$ 90.000,00 de hoje a 7 meses. Deseja trocar estas obrigações equivalentes por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao final do 6° mês e o segundo no 8° mês. Sendo de 3,7% ao mês de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitindo-se o pagamento hoje.

Juros Compostos: Fórmulas, taxas equivalentes, taxas nominais, taxas efetivas. Valor

Presente e Valor Futuro

Os juros compostos são aqueles em que o juro do mês é incorporado ao capital, constituindo

um novo capital a cada mês para o cálculo de novos juros. Esse tipo de rendimento é muito

vantajoso, sendo utilizado pelo atual sistema financeiro. As instituições financeiras utilizam esse

método de capitalização nas aplicações financeiras, como na elaboração de financiamentos.

Observe o exemplo de como os juros compostos agem no rendimento do capital aplicado.

Qual será o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00 aplicados no regime de juros

compostos, durante 8 meses, a uma taxa de 2%?

Pela tabela fica visível a variação do capital a cada início de mês, os juros produzidos

no mês são incorporados ao capital aplicado no mês seguinte. Essa prática é chamada de

juros sobre juros. Outra forma prática de calcular o montante produzido por uma aplicação é

utilizando a seguinte fórmula:

M = C.(1 + i)t , onde:

M: montante

C: capital

i: taxa de juros

t: tempo da aplicação

Resolvendo o exemplo e aplicando a fórmula prática:

Na utilização da regra prática, devemos dividir a taxa percentual de juros por 100.

C: 2.000

i: 2% = 2/100 = 0,02

t: 8 meses

M = 2000.(1 + 0,02)8

M = 2000.( 1,02)8

M = 2000 . 1,171659

M = 2.343,32

O valor do montante gerado pelo capital de R$ 2.000,00 aplicados a uma taxa de 2% ao mês

durante 8 meses é de R$ 2.343,32. Sabemos que M=J+C, logo os juros produzidos podem

ser calculados subtraindo o montante do capital, j = M – C → j = 2.343,32 – 2.000,00 → j =

343,32.

Exemplo:

Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de

volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?

Resposta

Primeiramente vamos identificar cada uma das variáveis fornecidas pelo enunciado do

problema:

Como a taxa de juros está em meses, também iremos trabalhar com o período de tempo em

meses e não em anos como está no enunciado do problema.

Pelo enunciado identificamos que foram solicitados o montante e o juro, utilizaremos, portanto

a fórmula abaixo que nos dá o montante:

Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos:

Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor do montante:

Logo o montante a receber será de R$ 18.362,96. Sabemos que a diferença entre o montante

e o capital aplicado nos dará os juros do período. Temos então:

Portanto: Após um ano de aplicação receberei de volta um total de R$ 18.362,96, dos quais R$

3.362,96 serão recebidos a título de juros.

Exemplo: . Determinar os juros pagos de um empréstimo de R$ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. Solução: J = ? c = R$ 88.000,00 M = R$ ? i = 4,5% a.m. = 0,045 n = 5 meses M = c (1 + i)

n

M = 88.000 (1 + 0,045i)5

M = 88.000 (1,045)5

M = 88.000 x 1,2462 M = R$ 109.665,60 J = M – C J = 109.665,60 – 88.000 J = R$ 21.665,60

TAXAS EQUIIVALENTES Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento. Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Na capitalização composta, não. No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento,em um trimestre, de: Atribuindo um capital R$ 100, temos: M = 100(1,1)3 equivale a M = 10 x 1,331 equivale a M = R$ 133,10. Portanto, o rendimento no trimestre foi de 33,1%. Logo, 10% ao mês são equivalentes a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas. Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim: Equivalência entre ANO e MÊS: (1 + ia) = (1 + im)

12

Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: (1 + ia) = (1 + it)4

Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: (1 + im)6 = (1 + is)

Exemplos 1. Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? Solução: Observamos que 25% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal. a) mensal ANO e MÊS: (1 + ia) = (1 + im)

12

(1 + 0,25) = (1 + im)12

12√1,25 = 1 + im 1,01877 – 1 = im im = 0,01877 = 1,877% a.m. b) trimestral ANO e MÊS: (1 + ia) = (1 + it)

4

(1 + 0,25) = (1 + it)4

4√1,25 = 1 + it 1,05737 – 1 = it it = 0,05737 = 5,737% a.t. 2. Explicar a melhor opção: aplicar um capital de R$ 60.000,00 à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano. a) 9,9% ao semestre M = c (1 + i)

n

M = 60.000 (1 + 0,099)2

M = 60.000 (1,099)2

M = 60.000 x 1,2078 M = R$ 72.468,00 b) 20,78% ao ano M = c (1 + i)

n

M = 60.000 (1 + 0,2078)1

M = 60.000 (1,2078) M = 60.000 x 1,2078 M = R$ 72.468,00 Portanto, as taxas são equivalentes, pois produzem resultados iguais para um mesmo período.

3. Demonstrar se a taxa de juros compostos de 11,8387% ao trimestre é equivalente à taxa de 20,4999% para cinco meses. Calcular também a equivalência mensal composta dessas taxas. TRIMESTRE e MÊS 5 MESES e MÊS (1 + it) = (1 + im)

3 (1 + im)

5 = (1 + 0,204999)

(1 + 0,118387) = (1 + im)3 (1 + im)

5 = 1,204999

3√1,118387 = 1 + im (1 + im) = 5√1,204999 1,0380 – 1 = im (1 + im) = 1,0380 0,0380 = im Im = 1,0380 – 1 im = 3,8% Im = 0,0380 im = 3,8% Portanto, as taxas são equivalentes. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.Um capital de R$ 200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos.

2. Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a.m., a juros compostos. Qual o montante após 1 ano? 3. Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, de um capital de R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês. 4. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos? 5. Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62? 6. Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? 7. Explicar a melhor opção: aplicar um capital de R$ 60.000,00 à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano. 8. Demonstrar se a taxa de juros compostos de 11,8387% ao trimestre é equivalente à taxa de 20,4999% para cinco meses. Calcular também a equivalência mensal composta dessas taxas. 9. Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão maiores que R$ 100,00. Certo ou Errado? Demonstre. 10. A taxa de juros compostos de 2% ao mês é proporcional à de 25% ao ano. Certo ou Errado? Demonstre. 11. Paguei de juros um total de R$ 9.852,00 por um empréstimo de 18 meses a uma taxa de juro composto de 2,25% a.m. O capital tomado no emprestado foi igual a R$ 20.000,00. Certo ou Errado? Demonstre. 12. A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente à taxa mensal de 11%. Certo ou Errado? Demonstre. 13. Resgata-se um título por R$ 4.862,00, com 4 meses de antecedência. O valor nominal do título, sendo a taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do desconto racional composto, é igual a R$ 4.000,00. Certo ou Errado? Demonstre. 14 - Um título de R$ 8.651,50 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 10% ao mês. O valor atual é igual a R$ 6.500,00. Certo ou Errado? Demonstre. 15. Um capital, após 5 anos de investimento, à taxa de 12% ao ano, capitalizada

semestralmente, eleva-se a R$ 5.820,10. O valor desse capital é superior a R$ 3.500,00. Certo ou Errado? Demonstre. 16. O pagamento de um empréstimo, que seria quitado em uma única prestação de R$ 26.000,00 ao final do segundo ano, com uma taxa de juros de 2% a.m., for antecipado para o final do primeiro ano, o valor a ser pago será superior a R$ 19.800,00. Certo ou Errado? Demonstre. 17. Considerando que o regime praticado é o de juros compostos, à taxa mensal de 2%, caso o saldo devedor de um empréstimo seja hoje de R$ 30.000,00, se nenhum pagamento for efetuado, esse valor será superior a R$ 39.000,00, ao final do período de um ano. Certo ou Errado? Demonstre. 18. Demonstre porque uma aplicação efetuada durante 01 (um) mês, à mesma taxa, tem o rendimento igual tanto para juros simples como para juros compostos. 19. A taxa de juros compostos de 2% ao mês é proporcional à de 24% ao ano. Certo ou Errado? Demonstre. 20. A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente à taxa mensal de 12%. Certo ou Errado? Demonstre. 21. Na taxa equivalente, utiliza-se o regime de juros simples e, na taxa proporcional, o regime de juros compostos. Certo ou Errado. 22. Aplicando-se R$ 15.000,00, a uma taxa de juros compostos de 1,7% a.m., quanto sereceberá de volta após um ano de aplicação? Quanto foram os juros obtidos? 23. Pagou-se de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juros compostos de 1,4% a.m. Quanto foi o capital emprestado? 24. Planeja-se emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual se pretende receber de volta R$ 26.866,57. Quanto deve ser a taxa de juros compostos para que se venha conseguir este montante? 25. Precisa-se aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juros compostos de 0,5% a.m., para que ao final da aplicação se obtenha o dobro deste capital? 26. R$ 10.000,00 aplicados por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% a.m., para produzir o mesmo montante na modalidade de juros compostos em um aplicação com a mesma duração, precisará ser aplicada a qual taxa mensal? 27. O valor final de um empréstimo de R$ 5.000,00 por um período de 7 meses é R$ 5.862,72. Qual a taxa de juros da aplicação? 28. Alguém toma R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de juros compostos de 1% a.m., qual é o valor total que deverá ser pago após 100 meses? – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE JUROS COMPOSTOS: 1. M = R$ 292.820,00 2. M = R$ 507,29 3. M = R$ 960,60 4. J = R$ 238,75 5. c = R$ 400,00 6. a) im = 1,877% a.m. b) it = 5,737% a.t. 7. M = R$ 72.468,00. Portanto, as taxas são equivalentes. 8. im = 3,8%. Portanto, as taxas são equivalentes. 9. J = R$ 101,00. Portanto, certo. 10. 1,88% ≠ 2,00% ou 26,82% ≠ 25,00%. Portanto, errado. 11. c = R$ 20.000,00. Portanto, certo. 12. im = 12%. Portanto, errado.

13. c = R$ 4.157,02. Portanto, errado. 14. c = R$ 6.500,00. Portanto, certo. 15. c = R$ 3.250,00. Portanto, errado. 16. c = R$ 20.501,50. Portanto, certo. 17. M = R$ 38.046,00. Portanto, errado. 18. M = R$ 110,00, para c = R$ 100,00 e i = 10% a.m. 19. ia = 26,82% a.a. Portanto, errado. 20. ia = 97,38% a.s. Portanto, certo. 21. Errado. 22. J = R$ 3.363,00 23. c = R$ 20.809,70 24. i = 2,25% a.m. 25. n = aproximadamente 137 meses. 26. i = 2,8% a.m. 27. i = 2,3% a.m. 28. J = R$ 170.480,00.

EXERCÍCIOS: JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS

1) O capital de R$ 360,00 foi colocado a juros simples durante 3 anos e 2 meses,sob taxa de 0,5 %

ao mês. Qual o montante final?

a) R$ 68,40 b)R$ 428,40 c)R$ 542,60 d) R$ 654,00 e) R$ 420,00

2) Qual foi a taxa anual a que foi aplicado um capital de R$150,00, durante 60

dias, para produzir, a juros simples, um montante de R$153,00?

a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 20%

3) Qual o montante produzido por R$2500,00, aplicados a taxa efetiva de 12%

ao trimestre, em 15 meses?

a)R$ 4405,85 b)R$ 6403,24 c)R$ 5405,45 d)R$ 4000,00 e) R$ 4800,00

4) Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a juros simples de 5% ao mês, triplique de

valor?

a) 3 anos 4 meses b) 2 anos c) 5 anos 4 meses d) 1ano 4 meses

e) 3 anos 6 meses

5) Dr. Fernandinho pagou R$1728,00 por um empréstimo no Banco Tofer-Rado S.A. O prazo da

operação foi de 3 meses e a taxa efetiva de juros compostos foi de 20% ao mês. Qual foi o valor do

empréstimo?

a) R$800,00 b) R$1 200,00 c)R$1 000,00 d) R$980,00 e) R$1 150 ,00

6) O preço de uma mercadoria era R$ 2800,00, ou então, uma entrada de 20% e mais um pagamento

de R$ 2688,00, após 40 dias. financiamento a juros simples. Qual a taxa anual de juros que está

sendo cobrada pela loja?

a) 120% b) 130% c) 140% d) 170% e) 180%

7) Apliquei um capital a juros simples de 4% ao mês, durante 2 meses e, em seguida, reapliquei o

montante por 6 meses, a juros simples de 5% ao mês. Qual o capital inicial em reais, se o montante

final foi de R$30 888,00?

a)20 000,00 b) 25 000,00 c) 18 000,00 d) 20 800,00 e) 2 000,00

8) (TRT - 1990)Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$2700,00, dispondo de R$9000,00

de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no prazo de 5

meses?

a) 10% b) 5% c) 3% d) 8% e) 5,5%

9) Um investidor aplicou R$600 000,00 a juros compostos mensais, durante 2

anos e recebeu um montante de R$3 804 708,60. Qual foi a taxa da operação?

a) 8% a.m b) 9% a.m c) 10% a.m d) 5% a.m e) 6% a.m

10) O juro e o montante em uma aplicação a juros simples estão entre si, como 4 está para 20. O

tempo de aplicação foi de 5 anos. Qual a taxa anual do

investimento?

a) 3 % b) 4 % c) 5 % d) 6 % e) 7 %

11) Qual a taxa anual, equivalente para juros compostos, a 20% ao bimestre?

a) 120% b) 150% c) 198,60 d) 180% e) 210,6%

12) Qual a taxa bimestral, equivalente para juros compostos, a 131,3060% ao

ano?

a) 12% b) 13% c) 14% d) 15% e) 20%

13) Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros

compostos equivalente mensal.

a) 3% b) 3,1% c) 3,01% d) 2,8% e) 3,5%

14) Ao final de quanto tempo, aproximadamente, os juros compostos produzidos por certo capital são

iguais à metade deste, se usarmos a taxa de 8% a.a, com capitalização anual?

a) 6 anos b) 9 anos c) 7anos d) 8 anos e) 5 anos

15) (Banco do Brasil) Certo capital, acrescido do juro simples resultante de sua aplicação durante 8

meses, eleva-se a $ 231 000,00. O mesmo capital, acrescido dos juros simples resultantes de 13

meses de aplicação, à mesma taxa, eleva-se a $ 234 750,00. Qual a taxa anual da aplicação?

a) 1 % a.a b) 2% a.a c) 2,5 % a.a d) 3 % a.a e) 4 % a.a

16) O capital de R$ 37 500,00 é colocado ao regime de capitalização composta sob taxa efetiva de

9% ao trimestre. No fim de um certo tempo o montante atingiu R$ 62 891,25. Calcular o número de

meses que foram necessários.

a) 12 b) 21 c) 15 d) 18 e) 19,5

17) Um investimento obteve um ganho nominal de 34%, num período de inflação correspondente a

28%. Qual a taxa real dos juros recebidos por esse

investimento?

a) 6% b) 5,23% c) 4,69% d) 3,98% e) 4,5%

Desconto Simples: Títulos de Crédito, Desconto Simples Comercial, Desconto Simples

Racional

Conceito: Desconto (D) é o abatimento que se faz sobre um título de crédito quando resgatado antes

da data do vencimento. Os títulos que sofrem operações de desconto, geralmente são:

Notas Promissórias (NP); Duplicatas (DP); Letras de Câmbio (LC).

Todo título tem um Valor Nominal (N) ou valor de face ou valor do título, que é o valor declarado

no mesmo e corresponde ao valor na data de seu vencimento.

O valor pelo qual o título é resgatado antes da data de seu vencimento é denominado de Valor Atual

(A) ou valor presente ou valor descontado ou valor líquido.

As operações de desconto no regime de capitalização simples são denominadas de Desconto

Simples;

As operações de desconto no regime de capitalização composta são denominadas de Desconto

Composto.

Em qualquer dos regimes, existem dois tipos de descontos:

1. Desconto Comercial (ou Bancário ou Por Fora) – é aquele cuja base de cálculo é o Valor Nominal (N) do título;

2. Desconto Racional (ou Por Dentro) – é aquele cuja base de cálculo é o Valor Atual (A) do título.

DESCONTO SIMPLES

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES (OU BANCÁRIO OU “POR FORA”)

Conceito: Desconto Comercial Simples ( cD ) é o produto do Valor Nominal (N) do título pela taxa de

desconto (i) contratada na operação e pelo prazo de antecipação (n) do resgate, isto é:

n . i . N Dc .

Assim, considerando que desconto de uma forma geral é a diferença entre o valor do título ou Valor

Nominal (N) e o valor que vai ser efetivamente pago ou Valor Atual (A), temos o seguinte modelo

matemático do desconto:

D = N – A

Quando comparamos a duas fórmulas, podemos encontrar o Valor Nominal (N) e o Valor Atual (A),

ou seja: Se D = N – A

Como D = N.i.n, podemos substituir o valor de D:

N.i.n = N – A

Separando as variáveis N e A, ficará assim:

A = N – N.i.n

Colocando N em evidência:

A = N(1 – i.n)

Ajustando a forma de escrever para adequá-lo ao desconto comercial:

Ac = N( 1 - i.n)

Dessa forma, o Desconto Comercial Simples (Dc) tem três fórmulas básicas:

Dc = N.i.n Ac = N ( 1 - i.n ) N = in1

A

Exemplo: Uma duplicata de valor nominal R$ 600.000,00, foi resgatada 2 meses antes do

vencimento através de desconto bancário à taxa de 2% a.m.. Qual o desconto comercial simples

concedido e o valor atual

comercial?

Desconto Comercial Simples

Exemplo: Uma Letra de Câmbio, foi resgatada 4 meses antes do vencimento por R$ 15.680,00.

Sabendo que a taxa de juros foi de 3% a.m, qual o valor de face do título?

Desconto Comercial Simples

N = R$ 600.000,00

n = 2 meses

i = 2% a.m

Dc = ?

Ac = ?

Ac = R$ 15.680,00

n = 4 meses

i = 3% a.m

N = ?

24.000,00 D

.0,02.2600.000,00 D

N.i.n D

Desconto do Cálculo

c

c

c

576.000,00A

(0,96) 600.000,00A

0,02.2)-(1 600.000,00 A

in)-(1 N A

Comercial Valor do Cálculo

c

c

c

c

17.818,18 N

0,88

15.680N

0,03.4-1

15.680,00 N

i.n-1

A N

Nominal Valor do Cálculo

Exercícios para Casa

273 – Calcule o desconto de um título de R$ 2.560,00, à taxa de 3% a.m, resgatado 27 dias antes do

vencimento.

274 – Uma duplicata de R$ 6.000,00 foi paga com 36 dias de antecipação, recebendo um desconto

bancário de R$ 288,00. Qual foi a taxa mensal de desconto?

275 – Um título no valor de r$ 2.000,00 foi descontado à taxa de 3,6% a.m, 35 dias antes do

vencimento. Qual foi o valor do desconto comercial concedido?

276 – Um título foi descontado, obtendo-se um líquido de R$ 1.455,00, 30 dias antes do seu

vencimento, à taxa de 36% a.a. Qual o valor de face (valor nominal) do título?

277 – Uma NP de R$ 1.500,00 foi paga antes de seu vencimento por R$ 1.469,50. Sabendo que a

taxa de desconto foi de 1% a.m. Calcule o tempo de antecipação.

278 – Um título foi descontado 45 dias antes do seu vencimento num banco que pratica taxa de 4,5%

a.m. Calcule o valor nominal do título, sabendo que foi cobrada também a comissão de 1% e que o

valor atual foi de R$ 4.151,25.

DESCONTO RACIONAL SIMPLES (OU DESCONTO “POR DENTRO”)

Conceito: O Desconto Racional Simples ( rD ) é o produto do Valor Atual (A) do título pela taxa de

desconto (i) contratada na operação e pelo prazo de antecipação (n) do resgate, isto é:

n . i . A dr

Assim, considerando que desconto de uma forma geral é a diferença entre o valor do título ou Valor

Nominal (N) e o valor que vai ser efetivamente pago ou Valor Atual (A), temos, para o caso do

Desconto Racional, o seguinte modelo matemático do desconto:

dr = N – Ar

Quando comparamos a duas fórmulas, podemos encontrar o Valor Nominal (N) e o Valor Atual

Racional(Ar), ou seja:

Se dr = N – Ar

Como dr = Ar.i.n, podemos substituir o valor de dr :

Ar.i.n = N – Ar

Separando as variáveis N e A, ficará assim:

N = Ar + Ar.i.n

Colocando Ar em evidência:

N = Ar(1+ i.n)

Dessa forma, o Desconto Racional Simples (dr) tem quatro fórmulas básicas:

dr = Ar.i.n N = Ar(1+ i.n) A r = in1

N

dr =

in1

N.i.n

Exemplo: Um título de valor nominal R$ 600.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento

à taxa de juros simples de 2% a.m.. Qual o desconto racional concedido?

Desconto Racional Simples

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

1. Na prática, a maioria das operações é feita utilizando-se o desconto comercial simples,

notadamente em operações de crédito bancário e comercial de curto prazo.

2. Nas operações de desconto comercial simples a taxa de juros é maior do que a taxa de desconto utilizada, isto é, a taxa de desconto não representa o custo efetivo da operação. 3. Nas operações de desconto racional simples a taxa de desconto utilizada é igual a taxa de juros da operação, isto é, a taxa de desconto indica o custo efetivo da operação.

Exercícios de Casa

288 – Qual o desconto racional sofrido por um título de R$ 6.715,60, descontado à taxa de 24% a.a.,

com o prazo de antecipação de 1 mês e 15 dias?

289 – Um título, ao ser descontado racionalmente dois meses antes do seu vencimento, à taxa

simples de 5% ao mês, teve o valor atual igual a R$ 8.000,00. Qual o valor de face desse título?

290 – O valor nominal de uma NP com vencimento em 15.11.2005 é de R$ 2.700,00. Se o dinheiro

valor 36% a.a. e a NP for saldada em 19.08.2005, de quanto será o desconto por dentro obtido? Qual

o valor atual?

291 – Se o desconto racional concedido foi de R$ 57,63, qual será a taxa considerada, uma vez que,

o valor nominal é de R$ 600,00 e o período de antecipação é de 5 meses?

292 – Um título de valor nominal de R$ 1.300,00 foi resgatado antes do seu vencimento, sendo por

isso bonificado com um desconto racional de R$ 238,78. Considerando a taxas de 27% a.a., qual foi

a antecedência?

RELAÇÃO ENTRE O DESCONTO COMERCIAL OU POR FORA (Dc) e o DESCONTO RACIONAL

OU POR DENTRO (dc) SIMPLES

Quando efetuamos os cálculos, verificamos que o desconto racional (dc) é menor que o desconto

comercial (Dc), quando efetuado sob as mesmas condições.

Vejamos as seguintes fórmulas:

(1) N.i.nDc - Desconto Comercial ou Por Fora

N = R$ 600.000,00

dr = ?

n = 2 meses

i = 2% a.m

23.076,92 d

1,04

24.000,00d

0,02.21

02.2600.000.0, d

i.n1

N.i.n d

Racional Desconto do Cálculo

r

r

r

r

(2) in1

N.i.nd

c

- Desconto Racional ou Por Dentro

Como o Valor Nominal (N) é o mesmo para os dois descontos, podemos substituir (1) em (2), ou seja:

in1

Dd c

r

ou in1dD

rc

Podemos concluir algebricamente que o desconto comercial pode ser entendido como sendo o

montante do desconto racional, calculado para o mesmo período e á mesma taxa.

Exemplo: O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes de seu vencimento é de R$

1.600,00. Qual é o desconto racional?

Relação entre os descontos

Exercícios de Casa

303 – Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 meses, o desconto comercial é R$

140,00 maior que o desconto racional. Qual será o valor do desconto racional?

304 – Qual é o prazo de antecipação do resgate tal que o desconto racional seja igual a três quartos

do desconto comercial, considerando-se uma taxa de juros de 40% a.a em ambos os descontos?

305 – A diferença entre o desconto comercial e o desconto racional é de R$ 36,13. Sabendo-se que o

prazo de antecipação é de 3 meses e que a taxa de juros considerada é de 25,44% a.a, qual é o valor

nominal do compromisso?

306 – O quociente entre os descontos comercial e racional é de 1,06. Qual será o prazo de

antecipação se a taxa de juros for de 24% a.a?

307 – O desconto comercial supera o desconto racional em R$ 36,00 e o prazo de antecipação é de

90 dias. Qual é o desconto comercial, uma vez que, o valor nominal do compromisso é de R$

10.600,00?

Dc = 1.600,00

n = 3 meses

i = 24% a.a ou 2%

a.m

dr = ?

1.509,43 d

1,06

1.600d

0,02.31

1.600 d

i.n1

D d

Racional Desconto do Cálculo

r

r

r

c

r

RELAÇÃO ENTRE A TAXA DE JUROS SIMPLES E A TAXA DE DESCONTO COMERCIAL

SIMPLES

Como, nas operações de desconto comercial, bancário ou por fora, a taxa de descontos não é

igual à taxa de juros da operação. Os encargos financeiros são maiores do que aqueles declarados

na operação.

Para se obter a taxa de juros simples (ij) implícita numa operação de desconto comercial,

conhecendo-se a taxa de desconto comercial, que chamaremos de (idc) e o prazo de antecipação do

resgate (n) , utiliza-se a seguinte fórmula:

n . i 1

i i

dc

dc

j

ou

n . i 1

i i

j

j

dc

Onde:

ij = Taxa de Juros Simples da Operação;

idc = Taxa de juros do Desconto Comercial Simples;

n = período ou prazo do desconto.

Exemplo: Um título de valor nominal R$ 4.000,00 vencível em um ano, está sendo resgatado 3

meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de desconto adotada, calcule a

taxa de juros simples utilizada nesta operação.

Relação Juros Simples com

Desconto Comercial Simples

Exemplo: Qual a taxa de desconto comercial equivalente à taxa de juros simples de 7% a.m, dado o

prazo de um semestre?

Relação Juros Simples com Desconto Comercial Simples

N = R$ 4.000,00

idc = 42% a.a ou

3,5% a.m

n = 3 meses

ij = ?

a.m. 3,91% i

3 . 0,035 1

0,035 i

n . i 1

i i

j

j

dc

dc

j

a.m. 4,93% ou 0,0493 i

0,07.6 1

0,07 i

n . i 1

i i

dc

dc

j

j

dc

Exercícios de Casa

317 - Um banco oferece empréstimos pessoais cobrando 5% a.m de taxa de desconto comercial

simples. Se uma pessoa necessita de R$ 7.000,00 hoje, para pagar daqui a seis meses, qual o valor

do compromisso assumido?

318 - Para prazo de 45 dias, um banco deseja ganhar 4% a.m de juros simples, em operações de

desconto de duplicatas. Qual a taxa de desconto comercial mensal que deverá cobrar?

319 - Um banco deseja operar a uma taxa de juros simples de 24% a.m para operações de 2 meses.

Qual taxa de desconto mensal deverá cobrar?

320 - Um desconto de 40% sobre o preço de venda de uma mercadoria, em 4 meses, que taxa de

juros simples representa ao mês?

321 - Um título de R$ 1.000,00 vai ser resgatado dois meses antes do vencimento. Sabendo-se que a

taxa de juros simples é de 4% a.m pede-se:

a) o valor descontado racional; b) o desconto racional;

Desconto Composto: Desconto Composto Racional.

UNIDADE II - DESCONTO COMPOSTO

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO (OU DESCONTO “POR FORA”)

Conceito: O desconto comercial composto ( ccD ) consiste na aplicação sucessiva do desconto

comercial simples, isto é, incide sobre o Valor Nominal (N) período a período.

Recorrendo ao conceito de Valor Atual D N A e de desconto comercial simples

n . i . N Dc , temos:

i) (1 N 1 . i . N N D N Ac1n

2

1-n1-n 1-n2ni) (1 N i)(1 i)(1 N i) (1 A 1 . i . A A A

32

2-n2-n 2-n3ni) (1 N i)(1 i)(1 N i) (1 A 1 . i . A A A

Continuando esse procedimento, chega-se ao seguinte resultado:

n

cci) (1 N A

Onde:

idc = ?

n = 6 meses

ij = 7% a.m

Acc = valor atual comercial composto

N = valor nominal do título;

i = a taxa de desconto contratada na operação;

n = o prazo de antecipação do resgate.

Dessa forma, o Desconto Comercial Composto (Dcc) tem três fórmulas básicas:

Dcc = N - Acc Acc = N ( 1 - i )n

n

cc

i1

AN

Exemplo Um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00 é resgatado 2 meses antes do vencimento, segundo o critério do desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% a.m, qual o valor descontado e o valor do desconto? Relação Juros Simples com

Desconto Comercial Simples

Exercícios de Casa

329 – Qual o desconto comercial composto de um título no valor de R% 5.000,00, pagável em 2 anos,

à 20% a.a, capitalizados semestralmente?

330 – Um título de R$ 2.000,00 será resgatado três anos antes do seu vencimento pelo critério do

desconto comercial composto ou bancário composto, à taxa de 20% a.a com capitalização semestral.

Qual será o valor líquido?

331 – Um título no valor de R$ 5.000,00 será descontado 2 meses antes do vencimento pelo critério

de desconto comercial composto à taxa de 60% a.a com capitalização mensal. O valor do desconto

será de:

332 – Uma duplicata de R$ 3.000,00 deverá ser descontada 3 anos antes do seu vencimento a uma

taxa de 25% a.a pelo critério do desconto racional composto. Qual seria a taxa anual a ser adotada

para obter-se um desconto igual pelo critério do desconto comercial composto?

333 – Um título, no valor de R$ 2.000,00, é resgatado dois meses antes do vencimento, segundo o

critério do desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, o

valor descontado e o valor do desconto são, respectivamente:

N = R$ 5.000,00

i = 3% a.m

n = 2 meses

Acc = ?

Dcc = ?

4.704,50A

(0,09409) 5.000A

(0,97) 5.000A

0,03)-(1 5.000 A

i)-(1 N A

Descontado Valor do Calculo

cc

cc

2

cc

2

cc

n

cc

295,50D

4.704,50 - 5.000 D

A- N D

Desconto do

Valor do Calculo

cc

cc

cccc

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO OU “POR DENTRO”

Conceito: Desconto Racional Composto (Drc) é a diferença entre o Valor Nominal (N) do título e seu

Valor Atual (A) na data de resgate, de forma que, N seja o montante de A. Assim:

n

i1AN

Como a fórmula geral do desconto é: Drc = N - A

Dessa forma, o Desconto Racional Composto (Drc) tem quatro fórmulas básicas:

Drc = 1i1An

N = A(1+i)n

n

i1

NA

ou

ni)N(1A

Exemplo: Um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00 é resgatado 2 meses antes de seu

vencimento, segundo o critério do desconto racional composto. Sabendo que a taxa de juros é 3%

a.m., qual o valor descontado e o desconto obtido nessa operação?

Relação Juros Simples com

Desconto Comercial Simples

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES

1 - Na prática, a maioria das operações é feita utilizando-se o desconto racional composto,

notadamente em operações de longo prazo. Assim, quando não vier expressamente definido qual é o

tipo de desconto composto, usamos o desconto racional composto.

2 – Nos problemas de concurso, quando vier a expressão desconto composto, entende-se quem

devemos considerar as fórmulas do desconto racional composto. Ou seja, desconto composto é

uma expressão semelhante a desconto racional composto.

2 - Nas operações de desconto comercial composto a taxa efetiva de juros é maior do que a taxa de desconto considerada, isto é, a taxa de desconto não representa o custo efetivo da operação. 3 - Nas operações de desconto racional composto a taxa efetiva de juros é igual a taxa de desconto utilizada na operação, isto é, a taxa de desconto indica o custo efetivo da operação.

N = R$ 5.000,00

i = 3% a.m

n = 2 meses

Arc = ?

Drc = ?

4.712,98A

(0,9426) 5.000A

(1,03) 5.000A

0,03)(1 5.000 A

i)(1 N A

Descontado Valor do Cálculo

rc

rc

2-

rc

2-

rc

n-

rc

287,02D

4.712,98 - 5.000 D

A- N D

Desconto do

Valor do Cálculo

rc

rc

rcrc

Exercícios de Casa

334 - Calcule o valor do desconto racional de um título de R$ 12.000,00, descontado 4 meses antes

do vencimento à taxa de 2,5% a.m..

335 - Um banco libera a um cliente R$ 6.800,00 proveniente do desconto de um título de R$ 9.000,00

descontado à taxa de 4% a.m.. Calcule o prazo de antecipação de resgate do título.

336 - Um título de R$ 5.000,00 foi resgatado 3 meses antes do vencimento à taxa composta de 2,5%

a.m.. Calcule o valor líquido do título.

337 - O desconto racional composto de um título de R$ 50.000,00 foi de R$ 12.698,22. Sendo a taxa

de juros mensal cobrada de 5%, calcule o prazo de antecipação.

338 - Sabe-se que um título de R$ 42.000,00 para ser pago daqui a 12 meses, foi resgatado 5

meses antes do vencimento. Calcule o valor líquido nesta operação, sabendo que a taxa de

desconto racional foi de 3,5% a.m..

Sequência uniforme de pagamentos. Montante de uma sequência uniforme de depósitos.

Séries de Pagamentos Uniformes ou Seqüência Uniforme

Dizemos que uma série de pagamentos é uniforme se, isto é, se todos pagamentos ou prestações

forem iguais.

ANUIDADES

Anuidades, rendas certas, prestações, ou série de pagamentos são sucessões de pagamentos, ou

recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, destinadas a extinguir uma dívida ou

construir um capital.

SIMBOLOGIA PMT ou R – cada pagamento, termo ou prestação de série;

(PMT nas calculadoras)

PV ou P – valor atual da anuidade (principal, valor presente ou capital inicial);

(PV nas calculadoras)

FV ou S – valor futuro da anuidade (montante, capital a construir);

(FV nas calculadoras)

n – número de prestações;

i – taxa unitária de juros

Cálculo do Principal (P)

É uma soma de termos de uma progressão geométrica:

onde: a1 = 1º termo = 1/(1+i)

q = razão = 1/(1+i)

Sn = soma dos termos PG = P = a1.(qn-1)/(q-1)

5.1 – Anuidades Antecipadas – Obs.: na HP 12C não esquecer de acionar BEGIN

Conhecidas no comércio como sistema de prestações com entrada, ou seja, a primeira prestação

é paga no ato da compra.

Valor Atual de um Fluxo de Caixa Antecipada

É a soma dos valores atuais (principais) de cada um de seus termos (inclusive anuidades)

OBS.: - antecipadas = Ro

(1+i)0

Cálculo do Principal (P)

Exemplo

1 - Uma loja calculou o financiamento de um conjunto de sofás em 10 prestações mensais iguais a

R$ 1.000,00 uma delas como entrada. Sabendo que o crediário da loja utiliza taxa de juros de

4,5% ao mês.

Calcule qual era o valor à vista do sofá.

Cálculo da Prestação (R)

2 - Qual o valor da prestação que o gerente de uma loja oferece a um cliente na compra de um

eletrodoméstico no valor à vista de R4 6.300,00, financiando em 6 prestações mensais e iguais,

incluindo entre elas a entrada, sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 3,5% ao mês?

Exercícios:

1) Qual o Valor Atual de uma série de 5 prestações iguais a R$ 1.000,00 antecipadas, a uma taxa

de 5%

ao mês?

2) Qual o Valor Atual de uma série de 3 pagamentos bimestrais iguais a R$ 550,00, antecipadas,

a uma

taxa de 8% ao bimestre?

3) – Um terreno é vendido em 4 prestações mensais e iguais de R$150.000,00 cada uma, sendo

a primeira dada como entrada. Se a Taxa de financiamento for de 4% a . m . , qual o preço à

vista?

5.2 – Anuidades Postecipadas

(Constantes, Imediatas Postecipadas ou Ordinárias)

As anuidades postecipadas são intensamente utilizadas como sistemas de prestações, em que a

primeira é paga no final do primeiro período, isto é, crediário sem entrada.

Obs: postecipadas = R1

(1+i)1

Substituindo temos a fórmula

Cálculo da Prestação (R)

Exercícios:

1 - Qual o valor atual de uma série de 20 prestações iguais a R$ 12.500,00, postecipadas, a uma

taxa de 1,9% ao mês?

2 - Qual o Valor Atual de uma série de 4 pagamentos iguais a R$ 1.200,00, postecipadas, a uma

taxa de

2% ao mês?

3 - Qual o Valor Presente de uma série de 3 pagamentos iguais a R$ 200,00, postecipadas, a uma

taxa de juros de 10% ao mês?

2 - O gerente de uma loja deseja financiar para um cliente um televisor em cores no valor de R$ 12.300,00 em 4 prestações mensais iguais sem entrada. Sabendo-se que a loja utiliza uma taxa de juros de 4,2% ao mês, calcule o valor da prestação.

5 - Uma calculadora é vendida a prazo em quatro prestações mensais iguais de R$60,00 cada

uma, vencendo a primeira um mês após a compra, a taxa de juros 5%. Qual a preço à vista?

6– Um banco concede a uma empresa um empréstimo de R$80.000,00 para ser pago em seis

prestações mensais iguais postecipadas.

a) Se a taxa de juros for de 2% a . m . , qual o valor de cada prestação? b) Se o banco cobrar no ato da liberação do crédito uma taxa de serviço igual a 1% do valor

financiado, qual o valor líquido recebido pela empresa? c) Nas condições dos itens anteriores, qual a taxa efetiva de juros cobrada?

7 – Obtenha o preço à vista de um automóvel financiado à taxa de 3%a . m., sendo o número de

prestações igual a 10 e R$1.500,00 o valor de cada prestação mensal se:

a) a primeira vence um mês após a compra?

b) a primeira prestação é dada como entrada?

8 – O banco BAN, para um financiamento em 12 prestações mensais iguais e postecipadas,

propõe o seguinte esquema;

- prestação mensal + valor do financiamento dividido por 12; - - juros do banco + 26% do valor financiado. O valor liberado para o cliente é igual ao valor do financiamento menos o total de juros. Qual a

taxa de juros mensal efetivamente cobrada pelo banco? E a taxa equivalente cobrada?

9 – Na venda de uma mercadoria de R$1.200,00, uma determinada loja informa que:

- se o pagamento for feito à vista, será concedido um desconto de 5%; - se o pagamento for feito no cartão de crédito (para pagamento em 30 dias), será concedido

um desconto de 3%; - se o pagamento for feito em três parcelas mensais iguias (sendo a primeira n o ato), não será

concedido desconto. Nessas condições, qual é a melhor forma de pagamento, sabendo-se que a taxa de juros para

aplicações vale 1,4% a . m. ?

5.3 – Anuidades Diferidas

São as anuidades ou séries de pagamentos que tem carência no seu prazo de pagamento inicial.

Elas possuem mais de um período sem pagamento até que se efetue o primeiro.

Cálculo do Principal (P)

NOTA: Onde “K” é igual ao período de carência – 1.

Exercício:

1- Calcular o valor da prestação de um cobertor de R$ 700,00, financiado em 6 prestações

mensais iguais, a primeira vencendo 4 meses após a compra, a uma taxa de juros de 3,9% ao

mês.

OBS.: K = 4-1, então K = 3

Cálculo da Prestação (R)

NOTA: Onde “K” é igual ao período de carência – 1.

Diferida

1 – Um terreno é vendido à vista por R$50.000,00 ou prazo em seis prestações mensais iguais,

vencendo a primeira três após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for de 2% a . m. ,

qual o valor de cada prestação?

Seqüência Uniforme com Parcelas Adicionais Podem ser antecipadas ou postecipadas as parcelas adicionais

Fórmula da antecipada ou dapostecipada mais o reforço. O reforço é quando ocorrerá os reforços.

Fórmula da postecipadas mais reforço Corrigir a fórmula

P = R . (1+i) – 1 + Reforço 1 + Reforço 2 + Reforço n

(1 + i)n (1 + i)n (1 + i)n (1 + i)n

Exemplo:

1 - Um apartamento é vendido a prazo sem entrada em 120 prestações mensais de R$ 500,00

cada uma, mais duas prestações de reforço venciveis na 50º e 100º prestações cada uma de

R$2.000,00. Qual o valor do apartamento a vista sea taxa de juros for de 1,9% ªm. ?

2-Um terreno é vendido a prazo em 12 prestações mensais de R$5.000,00 cada uma,

postecipadas, mais duas prestações de reforço vencíveis em seis e 12 meses após a compra,

cada uma de R$20.000,00. Qual o preço à vista se a taxa de juros do financiamento for de 3,2% a

.m.?

Montante de uma Seqüência Uniforme

Chamamos montante de uma seqüência uniforme, na data n, a soma dos montantes de cada

prestação (capital), aplicado desde a data considerada até a data n.

FÓRMULA FV = PMT (1+i)n- 1

i

Exercício:

1 – Um investidor aplica mensalmente R$150,00 em fundo de investimentos que remunera as

aplicações à taxa de juros compostos de 1% a. m. Se o investidor fizer 48 aplicações, qual o valor

futuro ou montante no instante do último depósito?

2 – Um investidor aplica mensalmente R$2.000,00 em um fundo de investimentos que remunera

as aplicações à taxa de juros compostos de 2% a . m. . Se o investimento fizer sete aplicações,

qual o montante no instante do último depósito?

Seqüência Uniforme Infinita (Rendas Perpétuas)

Chamamos de seqüência uniforme infinita ou renda perpétuas todo o conjunto de capitais de

mesmo valor, nos instantes 1, 2, 3, ... (infinitos termos). Chamando de PMT cada termo da

seqüência.

Fórmula V = PMT

i

1 – Quanto um investidor deverá aplicar hoje em uma caderneta de poupança que rende uma taxa

de real de 0,5 % a . m. para ter uma renda perpétua mensal (infinita) de R$8.000,00 atualizados

monetariamente pelo índice de correção da poupança? Considere a primeira retirada um mês

após a aplicação.

V = 8.000 = 1.600.000

0,005

2- Quanto devo aplicar hoje a taxa de 0,5 % para ter uma renda perpétua de R$8.000,00?

Exercícios de Fixação:

Antecipada

1 – Um terreno é vendido em 4 prestações mensais e iguais de R$110.000,00 cada uma, sendo a

primeira dada como entrada. Se a Taxa de financiamento for de 1,5% a . m . , qual o preço à

vista?

Postecipada

2 - Uma calculadora é vendida a prazo em 3 prestações mensais iguais de R$89,00 cada uma,

vencendo a primeira um mês após a compra, a taxa de juros 3,5%. Qual a preço à vista?

3 – Um banco concede a uma empresa um empréstimo de R$95.000,00 para ser pago em seis

prestações mensais iguais postecipadas.

d) Se a taxa de juros for de 2% a . m . , qual o valor de cada prestação? e) Se o banco cobrar no ato da liberação do crédito uma taxa de serviço igual a 1% do valor

financiado, qual o valor líquido recebido pela empresa? f) Nas condições dos itens anteriores, qual a taxa efetiva de juros cobrada? 4 – Obtenha o preço à vista de um automóvel financiado à taxa de 1,9% a . m., sendo o número

de prestações igual a 36 e R$990,00 o valor de cada prestação mensal se:

a) a primeira vence um mês após a compra?

b) a primeira prestação é dada como entrada?

5 – O banco BAN, para um financiamento em 24 prestações mensais iguais e postecipadas,

propõe o seguinte esquema;

- prestação mensal + valor do financiamento dividido por 24; - - juros do banco + 30% do valor financiado. O valor liberado para o cliente é igual ao valor do financiamento menos o total de juros. Qual a

taxa de juros mensal efetivamente cobrada pelo banco? E a taxa equivalente cobrada?

6 – Na venda de uma mercadoria de R$1.800,00, uma determinada loja informa que:

- se o pagamento for feito à vista, será concedido um desconto de 6%; - se o pagamento for feito no cartão de crédito (para pagamento em 30 dias), será concedido

um desconto de 4%; - se o pagamento for feito em três parcelas mensais iguias (sendo a primeira n o ato), não será

concedido desconto. Nessas condições, qual é a melhor forma de pagamento, sabendo-se que a taxa de juros para

aplicações vale 1,6% a . m. ?

Com reforço

7 - Um terreno é vendido a prazo em 24 prestações mensais de R$3.800,00 cada uma,

postecipadas, mais duas prestações de reforço vencíveis em seis e 12 meses após a compra,

cada uma de R$19.800,00. Qual o preço à vista se a taxa de juros do financiamento for de 2,2% a.

m. ?

Diferida

8 – Um terreno é vendido à vista por R$49.900,00 ou prazo em seis prestações mensais iguais,

vencendo a primeira três após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for de 1,8% a . m. ,

qual o valor de cada prestação?

Montante

9 – Um investidor aplica mensalmente R$1.540,00 em um fundo de investimentos que remunera

as aplicações à taxa de juros compostos de 1,6% a . m. . Se o investimento fizer sete aplicações,

qual o montante no instante do último depósito?

Infinita: 10 – Quanto devo aplicar hoje a taxa de 0,5 % para ter uma renda perpétua de

R$5.600,00?