Matematica financeira aula 05

Curso Técnico em Transações ImobiliáriasMódulo – Matemática Financeira

Aula 05

TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIASMATEMÁTICA FINANCEIRAProf. Ms. Paulo Eduardo Durão Rodrigues

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6. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Inicialmente temos o capital principal; após um período, esse capital sofre uma remuneração (juros), sendo então, capital e juros somados para, assim, formarem um novo capital (1º montante). Esse novo capital, após um segundo período, sofre uma outra remuneração (juros), sendo então, novo capital e juros somados para, assim, formarem um segundo montante. (E assim por diante). Então as remunerações acontecerão sempre, “em cima” do montante do período anterior, caracterizando o que chamamos de capitalização composta.


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6.1 - Juros Compostos: Fórmula: j = C x 11 ni Onde: j = Juros Compostos; C = Capital Inicial; ( 1+i ) n = Fator de Capitalização; i = Taxa de Juros; n = Período de Tempo. Exemplo 1: Ao se aplicar um capital de R$829,30, no regime de capitalização composta, por um período de 3 meses, à taxa de 2,4% ao mês, qual será o juro obtido? Solução: C = 829,30. j = C x 11 ni

i = 2,4% ao mês = 0,024. j = 829,30 x 1024,01 3

n = 3 meses. j = 829,30 x 1024,1 3

j = 829,30 x 1073742,1 j = 61,15 j = R$61,15.


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Exemplo 2: Calcule o valor dos juros compostos para um capital de R$777,56, aplicado à taxa de 6% ao ano, durante um período de 2 meses. Solução: C = 777,56.

i = 6% ao ano 12

%6 = 0,5% ao mês = 0,005. j = C x 11 ni

n = 2 meses. j = 777,56 x

1005,01 2 j = 777,56 x

1005,1 2 j = 777,56 x 1010025,1

j = 7,80 j = R$7,80.


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6.2 - Montante Composto: Fórmula: s = C x ( 1+i ) n Onde: s = Montante Composto; C = Capital Principal; ( 1+i ) n = Fator de Capitalização. i = Taxa de Juros; n = Período de Tempo. Exemplo 1: Calcule o montante composto para um capital de R$627,43, aplicado à taxa de 2% ao bimestre, durante um período de 6 meses. Solução: C = 627,43. i = 2% ao bimestre = 0,02. n = 6 meses s = C x ( 1+i ) n s = 627,43 x (1+0,02) 3 s = 627,43 x (1,02) 3 s = 627,43 x (1,061202) s = 665,83 s = R$665,83.

Como 6 meses correspondem a três bimestres, o n será igual a 3, pois o período de capitalização é bimestral.


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Exemplo 2: Calcule o montante produzido por um capital de R$15.600,70, aplicado à taxa de 7,2% ao mês, durante 4 meses. Solução: C = 15.600,70. s = C x ( 1+i ) n i = 7,2% ao mês = 0,072. s = 15.600,70 x (1+0,072) 4 n = 4 meses. s = 15.600,70 x (1,072) 4 s = 15.600,70 x (1,320623) s = 20.602,64. s = R$20.602,64.


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Exemplo 3: Calcule o capital que gera um montante composto de R$7.656,70, à taxa de 18% ao ano, durante um período de aplicação de 4 meses. Solução: s = 7656,70.

i = 18% ao ano %5,112

%18 ao mês = 0,015.

n = 4 meses. s = C x ( 1+i ) n

C = ni

s

)1(

C = 4)015,01(

70,656.7

C = 4)015,1(

70,656.7

C = 061363,1

70,656.7

C = 7.214,03. C = R$7.214,03.


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Exemplo 4: Calcule a taxa composta para que, um capital de R$300,00, consiga gerar um montante de R$4.800,00, em um período de 2 meses. Solução: C = 300. s = C x (1+i ) n

(1+i ) n = C

s

(1+i )300

800.42

(1+i ) 2 = 16. (1+i ) = 16 1+ i = 4 i = 4 – 1 i = 3 .

- i = 3 representa a taxa na forma unitária; - Ao multiplicarmos por 100 obteremos a taxa i na forma percentual: i = 300%; - Para se descobrir a unidade de tempo da taxa, é só lembrar que, o período de

tempo n está sendo usado em meses. - Resposta: i = 300% ao mês.

s = 4.800

n = 2 meses memeses


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6.3 - Desconto Composto: No desconto composto, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale ao capital. Essa determinada quantia é chamada de valor atual. Nos cálculos deste tipo de desconto, o montante, equivale ao valor nominal. Fórmula: VN = VA x ni1 D = VN - VA Onde: VN = Valor Nominal; VA = Valor Atual; D = Desconto Composto.


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Exemplo 1: Determine o desconto composto de um capital de R$1.250,52, à taxa de 1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento. Solução : VN = 1.250,52. i = 1,7% ao mês = 0,017. n = 2 meses. VN = VA x ni1

VA = niVN

1

VA = 2017,01

52,250.1

VA = 2017,1

52,250.1

VA = 034289,1

52,250.1

VA = 1.209,06. D = VN – VA D = 1.250,52 – 1.209,06 D = 41,46 D = R$41,46.


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Exemplo 2: Calcular o valor atual de um título de R$753,53, à taxa de 18% ao ano, 3 meses antes do vencimento. Solução: VN = 753,53.

i = 18% ao ano %5,112

%18 ao mês = 0,015.

n = 3 meses. VN = VA x ni1

VA = niVN

1

VA = 3015,01

53,753

VA = 045678,1

53,753

VA = 720,61 VA = R$720,61.


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• Considerações finais dentro da capitalização composta:

- Cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos:

Fórmula: M = Dep x

i

i n 11

Onde: M = Montante; Dep = Depósitos.


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Exemplo: Calcule o montante de uma série de 4 depósitos de R$230,00 cada um, efetuados no fim de cada mês, à taxa de 2% ao mês, após o quarto depósito. Solução: Dep = 230. i = 2% ao mês = 0,02.

M = Dep x

i

i n 11

M = 230 x

02,0

102,01 4

M = 230 x

02,0

102,1 4

M = 230 x

02,0

1082432,1

M = 230 x 02,0

082432,0

M = 230 x 4,1216 M = 947,96 M = R$947,96.


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- Equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta: Fórmula: 1211 ma ii Onde: i a = Taxa anual composta;

i m= Taxa mensal composta.

Exemplo: Determine a taxa anual composta equivalente à taxa mensal de 3%. Solução:

1211 ma ii

1203,011 ai

1203,11 ai

425760,11 ai

i a = 1,425760 - 1

i a = 0,425760

Ao se multiplicar a taxa anual composta por 100, obtém-se o valor da referida taxa na forma percentual, ficando o valor igual a 42,5760%..


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BIBLIOGRAFIA

ARRUDA, J. J. A (1988) História Moderna e Contemporânea. 3ª Ed. São Paulo: Editora Ática, 263p. COSTA, B. C. A (1996) Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira. 2ª Ed. Rio de Janeiro: Oficina do Autor, 206 p. CRESPO, A A. (1991) Matemática Comercial e Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Editora Saraiva. D’AMBRÓSIO, N. & D’AMBRÓSIO, U. (1977) Matemática Comercial e Financeira com complementos de matemática e introdução ao cálculo. 25ª Ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 287 p. FARIA, R. G. (1979) Matemática Comercial e Financeira. Belo Horizonte: Editora Mc Graw-Hill do Brasil, 219 p. MARZAGÃO, L. J. (1996) Matemática Financeira: noções básicas. Belo Horizonte: Edição do Autor, 173 p. SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N. & GRECO, S. E. (2003) Matemática. Série Novo Ensino Médio – Volume Único. São Paulo: Editora Ática, 424 p. SINGER, P. (1983) Guia da Inflação para o povo. 9ª Ed. Petrópolis: Vozes, 80 p.


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Chegamos ao final desta aula.

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ATÉ A PRÓXIMA AULA.

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