Matemática Financeira com Utilização de HP12C

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

2a edio

Rio de Janeiro 2010

proibida a duplicao ou reproduo deste volume, ou de partes dele, sob quaisquer formas ou meios, sem permisso expressa da Escola.

Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca da FUNENSEG. E73m Escola Nacional de Seguros. Diretoria de Ensino e Produtos. Matemtica financeira e a utilizao de calculadora HP-12C/Superviso e Coordenao metodolgica da Diretoria de Ensino e Produtos; assessoria tcnica de Gustavo Henrique Wanderley de Azevedo. 2. ed. Rio de Janeiro: FUNENSEG, 2010. 64 p.; 28 cm A assessoria tcnica do presente material contou com a colaborao de Silvio Rosa em 2008. 1. Matemtica financeira. 2. HP 12C (Calculadora). I. Azevedo, Gustavo Henrique Wanderley de. II.Ttulo. 0010-0906 CDU 511:336.6(072)

REALIZAO

Escola Nacional de Seguros FUNENSEGSUPERVISO E COORDENAO METODOLGICA

Diretoria de Ensino e ProdutosASSESSORIA TCNICA

Gustavo Henrique Wanderley de Azevedo 2010 Silvio Rosa 2008CAPA

Coordenadoria de Comunicao SocialDIAGRAMAO

Info Action Editorao Eletrnica

B

aseada nos princpios que a regem desde sua criao, em 1971, a Escola Nacional de Seguros promove diversas iniciativas no mbito educacional, que contribuem para um mercado de seguros, previdncia complementar, capitalizao e resseguro cada vez mais qualificado. Essa a filosofia presente em nossas aes, que compreendem a elaborao de cursos, exames, pesquisas, publicaes e eventos, e que confirmam nossa condio de principal provedora de servios voltados educao continuada dos profissionais dessa indstria. Em um mercado globalizado, mudanas de paradigmas so constantes e, para seguir esse movimento, o investimento em treinamento e atualizao apontado por especialistas como essencial. A Escola Nacional de Seguros, que nasceu de uma proposta do prprio mercado, est sua disposio para compartilhar todo nosso conhecimento e experincia, bens intangveis e inestimveis, que o acompanharo em sua jornada. Todo o acervo de conhecimentos e maturidade na formao de profissionais e gestores de alto nvel se reflete na qualidade do material didtico elaborado pela equipe da Escola. Formada por especialistas em seguros com slida trajetria acadmica, o saber disponvel em nosso material didtico um grande aliado para o voo profissional de cada um de ns.

1

CONHECENDO A CALCULADORA HP-12C, 7

O Teclado, 7 Dicas de Limpezas de Dados, 9 Dicas de Formatao, 9 Teclas de Operaes Bsicas, 10 Teclas de Armazenamento de Dados, 10 Teclas de Funes Matemticas, 10 Funo Calendrio (MDY, DMY, DYS, DATE), 12

2 3

APRENDENDO CLCULOS ARITMTICOS, 15

Clculos Simples (, , , +), 15 Fixando Conceitos, 19

CLCULOS FINANCEIROS NA HP-12C, 21

Juros Simples, 21 Juros Compostos, 23 Determinando o Perodo do Investimento (n), 23 Calculando a Taxa de Juros (i), 24 Encontrando o Valor Presente (PV), 24 Calculando o Valor Futuro (FV), 25 Calculando o Valor das Prestaes (PMT), 25 Sries Uniformes de Pagamentos Uniformes, 26 Classificao das Anuidades, 26 Valor Atual de Anuidades, 27

SUMRIO

Sumrio5

Fluxo de Caixa, 31 Diagrama de Fluxo de Caixa, 31 Anlise de Fluxo de Caixa, 34 Amortizao, 38 Sistema de Amortizaes Constantes (SAC), 38 Sistema PRICE de Amortizaes (CDC), 39 Fixando Conceitos, 41TESTANDO CONHECIMENTOS, 43 GABARITO, 49 REFERNCIA BIBLIOGRFICA, 63

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

1A

CONHECENDO A CALCULADORA HP-12C

HP-12C uma calculadora financeira programvel que utiliza 4 pilhas rotativas para armazenagem das informaes, introduzidas e/ou calculadas, e possui disponveis 99 linhas de programao e 20 registros de armazenagem de dados, contando, ainda, com uma memria contnua.

A calculadora inclui funes de porcentagens, estatsticas, estimativas lineares, financeiras, depreciao, bnus, preo e lucros que sero discutidos em anlises de fluxo de caixa. Alm disso, a calculadora est habilitada para armazenar mltiplos programas. As aplicaes para essa calculadora incluem campos de situao atual, emprstimos, hipotecas, leasing e negcios bancrios.

O Teclado

O teclado apresenta 39 teclas em seu conjunto, porm essas teclas possuem um nmero muito maior de utilidades associadas. Isso se consegue atravs das teclas de funes (f) amarela e (g) azul.UNIDADE 1

Conhecendo a Calculadora HP-12C7

Como padro, a funo ativa da tecla aquela que est escrita em branco, porm poderemos modificar essa funo pressionando antes a tecla amarela ou azul, de acordo com a nossa necessidade, deixando ativa, na tecla, a funo que se encontra descrita acima ou abaixo da tecla pressionada.

ExemploProcure a tecla FV. Ela tem as seguintes funes associadas: FV ..... {Funo Branca} serve para calcular o valor futuro do investimento; IRR .... {Funo Amarela} serve para calcular a taxa interna de retorno; e Nj ...... {Funo Azul} serve para entrada de fluxo de caixa. Mais adiante, aprenderemos como utilizar essas funes. Tecla ON serve para ligar/desligar a calculadora HP-12C.

Teste Rpido de Funcionamento da CalculadoraPara verificar o funcionamento adequado da calculadora siga os seguintes passos: 1. com a calculadora desligada, pressione ao mesmo tempo as teclas ON e multiplicao (); 2. solte a tecla ON e, posteriormente, solte a tecla multiplicao (); 3. a mquina iniciar um processo de verificao das rotinas internas e ficar piscando a palavra RUNNING no visor; 4. aps aproximadamente 25 segundos, duas coisas podem acontecer: a. se a mquina desligar sozinha ou se aparecer a mensagem ERROR9 a mquina est com defeito; b. se aparecer no visor -8,8,8,8,8,8,8,8,8,8, alm dos seguintes indicadores: USER, f, g, BEGIN, GRAD, D.MY, C, PRGM a mquina est perfeita (OK); 5. vamos testar agora?

tecla ENTER serve para empurrar o nmero que est no visor para um nvel mais interno da mquina. Como isso funciona?

A HP-12C dotada de 4 registros internos chamados de pilha operacional, que podem ser entendidos como compartimentos utilizados para armazenar nmeros e solues aritmticas. Esses registros recebem o nome de camadas T, Z, Y e X, na ordem mais interna para mais externa (o visor).T Z Y visor da calculadora X

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tecla R serve para rolar as camadas internas da calculadora HP-12C pelo visor, mostrando o contedo de cada uma delas. tecla XY serve para trocar o contedo das camadas Y com X e vice-versa. tecla CLX serve para limpar (mover Zero) o contedo do registro X (visor). tecla CHS serve para trocar o sinal do contedo do registro X (visor). Se estiver positivo, ficar negativo e vice-versa. teclas 0-9 teclas utilizadas para introduzir nmeros na calculadora HP-12C.

Dicas de Limpezas de Dados f CLEAR CLX limpa tudo, exceto a memria de programao; f CLEAR limpa os registros estatsticos, os registros da pilha operacional e o visor (camada X); f CLEAR FIN limpa os registros financeiros; e f CLEAR PRGM limpa a memria de programao (quando no modo PRGM).

Neste curso, no abordaremos o tpico Programao Interna da HP.

Dicas de Formatao para fixar o nmero de casas decimais teclar f (Funo Amarela) e nmero de casas decimais desejado. Exemplo: f2 fixa duas casas decimais, f4 fixa quatro casas decimais.

Esse procedimento no altera os clculos contidos na mquina; apenas os arredonda e apresenta no visor.

trocar ponto por vrgula (sistema americano de formatao de nmeros) desligue a calculadora. Com a calculadora desligada, pressione simultaneamente as teclas ON e . (ponto). Solte a tecla ON e, logo aps, a tecla . (ponto). Pronto...

UNIDADE 1

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Teclas de Operaes Bsicas Teclas +, -, , / (operadores aritmticos) realizam as operaes correspondentes com os nmeros armazenados nos registros Y e X, armazenando o resultado da operao no registro X e limpando o contedo do registro Y.

Teclas de Armazenamento de DadosA HP-12C possui 20 registradores de armazenamento identificados da seguinte forma: R0, R1, R2,...R9 (de R0 a R9) e R.0, R.1, R.2 .... R.9 (de R ponto 0 a R ponto 9). Tecla STO serve para armazenar o contedo do visor no registrador identificado. Exemplo: digite 1234,25 (visor) em seguida STO 0 (guardou na memria o nmero 0). Tecla RCL serve para recuperar o nmero armazenado no registrador. Exemplo: digite RCL 0 para recuperar o contedo da memria 0.

Teclas de Funes Matemticas Tecla Yx serve para calcular a potenciao de um nmero armazenado na camada Y. Exemplo: 43 digitar 4 Enter (enviou o nmero 4 para a camada Y) digitar 3 (est na camada X) e pressionar a tecla Yx A HP-12C mostrar no visor 64,00, que corresponde a 43 Tecla 1/x serve para calcular o inverso do nmero armazenado na camada X. Exemplo: calcular o inverso de 12 digitar 12 (est na camada X). Pressionar a tecla 1/X Aparece no visor 0,08

Dica: usaremos esta funo para calcular a raiz ensima de um nmero.

n a (a)1/n

Tecla %T serve para calcular a participao percentual de cada termo, em uma soma de vrios nmeros, em relao ao valor total da soma obtida. Exemplo: calcular a soma dos valores 1500, 2450 e 3620, e apresentar a participao percentual de cada termo da adio.

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Pressione 1500 Enter (enviou para a camada Y) 2450 + (somou Y com X e zerou a camada Y) 3620 + (como o termo anterior foi obtido de uma operao matemtica, ele foi automaticamente para camada Y no preciso digitar Enter. Ser agora somado Y com X) 1500 %T CLX 2450 %T CLX 3620 %T Explicao: %T = X * 100 Y , onde Y = soma total dos nmeros.

No visor aparece 1.500,00 3.950,00

7.570,00 19,82 32,36 47,82

Tecla % serve para calcular a diferena percentual entre dois nmeros. Exemplo: os valores de uma determinada mercadoria em maro/XX e setembro/XX so, respectivamente, R$ 900,00 e R$ 1.520,00. Calcular qual foi a aumento % no valor dessa mercadoria. Pressione 900,00 Enter 1.520,00 % Explicao: % = (X Y) Y Visor 900,00 (enviou para a camada Y) 68,89 100

Tecla % serve para calcular o percentual do nmero colocado na camada Y. Exemplo: calcular 30% de 1.500. Digitar 1500 Enter (enviou para a camada Y) Digitar 30 Pressionar a tecla % Aparece no visor 450,00

Esta operao no limpa a camada Y.

Tecla g + %T = LN serve para calcular o logaritmo neperiano (base e = 2,718281828) do nmero colocado na camada X. Exemplo: encontrar o logaritmo neperiano de 3.500. Pressione 3500 g %T Aparece no visor 8,16

Para calcular o logaritmo na base 10, informe o nmero 10 antes de pressionar a tecla g.

Pressione 3500 g %T

Aparece no visor 8,16

UNIDADE 1

11

Para calcular na base 10, faa isto: 10 g %T 2,30 / 3,54 Tecla g + 1/x = ex serve para calcular o antilogaritmo neperiano (base e = 2,718281828) do nmero colocado na camada X. O antilogaritmo tambm conhecido como logaritmando. Exemplo: encontrar o antilogaritmo neperiano de 8,16052. Pressione 8,16052 g 1/X Aparece no visor 3.500

Tecla g + % = FRAC serve para mostrar a parte fracionria de um nmero digitado na camada X. Exemplo: pressionar 425,12352647 g + % aparece no visor 0,12352647 Tecla g + % = INTG serve para mostrar a parte inteira de um nmero digitado na camada X. Exemplo: pressionar 425,12352647 g + % aparece no visor 425,00000000

Funo Calendrio (MDY, DMY, DYS, DATE)As funes M.DY e D.MY estabelecem o formato de datas e indicam a ordem de sua apresentao: ms, dia e ano (critrio americano) e dia, ms e ano (Brasil). O critrio americano o padro adotado pela HP-12C. funo D.MY serve para mostrar datas no formato dia, ms e ano (Brasil). funo M.DY serve para mostrar datas no formato ms, dia e ano (EUA). funo Date serve para adicionar/subtrair um nmero equivalente de dias de uma determinada data colocada na camada Y, indicando, ainda, qual ser o respectivo dia da semana (1 seg, 2 ter, ... 7 domingo). Exemplo: Pressione Visor g D.MY 0,000000 (mostra no visor D.MY) 29,091995 Enter 29,091995 121 CHS 121,000000 g DATE 31,051995 3 (indicando quarta-feira) funo DYS calcula o nmero de dias existente entre duas datas. Exemplo: Pressione Visor g D.MY 0,000000 (mostra no visor D.MY) 31,051995 Enter 31,051995 29,091995 g DYS 121,000000

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Tente descobrir...1) Quantos dias voc j viveu desde que nasceu at hoje?

2) Que dia da semana voc nasceu?

3) Que dia da semana foi 03/04/1998?

UNIDADE 1

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2Pressionar 5 Enter 4+CLX 5 4 +

APRENDENDO CLCULOS ARITMTICOS

Clculos Simples (, , , +) Exemplo: fazer a operao 5 + 4 = ? Visor 5,00 (empurra o nmero 5 para camada Y) 9,00 (realiza a operao, coloca o resultado na camada X e limpa a camada Y)

Vamos entender o mecanismo interno da calculadora HP-12C:

Tecla Pressionada

Camada Interna T Z Y X T Z Y X T Z Y X T Z Y X T Z Y X

Comentrio CLX. Limpar o visor.

0,00 Aparece o nmero 5 no visor.

5,00 O nmero 5 foi empurrado para a camada Y, deixando uma cpia provisria na camada X (visor). 5,00 5,00 NT: para o usurio, d a impresso de nada haver ocorrido. O nmero 4 substitui o contedo existente na camada X (visor). 5,00 4,00 A operao associada tecla pressionada (adio) realizada, e o resultado do clculo depositado na camada X (visor), zerando a camada interna Y. 9,00

ENTER

UNIDADE 2

Aprendendo Clculos Aritmticos15

Porm, nem todas as operaes aritmticas so realizadas nas camadas Y e X. Operaes mais complexas utilizam as camadas mais internas (Z e T). Chamamos a estes clculos de operaes em cadeia.

Para realizar clculos em cadeia, preciso saber explorar o conceito de camadas internas (T, Z, Y e X) e saber com certeza o respectivo contedo de cada uma delas sempre.

Para isso, podemos utilizar a Tecla R sempre que necessrio. Exemplo: calcular (6 + 2) + (10 3) (6 2)

Para no termos surpresas nos resultados, antes de iniciar qualquer clculo, devemos ter certeza de que nossos registros esto zerados.

f CLX limpa tudo, exceto a memria de programao. Pressionar as teclas nesta sequncia: 6 Enter 2 + 10 Enter 3 6 Enter 2 + resultado final 36 (visor) Vamos entender o que acontece internamente na HP-12C:

Tecla Pressionada F CLX

Camada Interna T Z Y X T Z Y X T Z Y X T Z Y X T Z Y X T Z Y X 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6,00 0,00 0,00 6,00 6,00 0,00 0,00 6,00 2 0,00 0,00 0,00 8,00 0,00 0,00 8,00 10,00

Comentrio f CLX. Limpa todos os registros internos. visor da calculadora Aparece o nmero 6 no visor.

6

Enter

O nmero 6 foi empurrado para camada Y, deixando uma cpia provisria na camada X (visor). NT: para o usurio, d a impresso de nada haver ocorrido. O nmero 2 substitui a cpia provisria existente na camada X (visor). Nota importante: aqui no digitamos . A operao associada tecla pressionada (adio) realizada e o resultado do clculo depositado na camada X (visor), zerando a camada interna Y.

2

+

10

O 10 assume o registro X e empurra o 8 para a camada Y (sem precisar do Enter). Isso s ocorre porque o 8 resultado de operao.

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Tecla Pressionada Enter

Camada Interna T Z Y X T Z Y X T Z Y X T Z Y X T Z Y X T Z Y X T Z Y X T Z Y X T Z Y X 0,00 8,00 10,00 10,00 0,00 8,00 10,00 3 0,00 0,00 8,00 7,00 0,00 8,00 7,00 6,00 8,00 7,00 6,00 6,00 8,00 7,00 6,00 2,00 0,00 8,00 7,00 4,00 0,00 0,00 8,00 28,00 0,00 0,00 0,00 36,00

Comentrio O nmero 10 foi empurrado para a camada Y, deixando uma cpia provisria na camada X (visor) e o 8 foi empurrado para a camada Z. NT: para o usurio, d a impresso de nada haver ocorrido. O nmero 3 substitui a cpia provisria existente na camada X (visor). Nota importante: aqui no digitamos . A operao de subtrao realizada com o contedo das camadas X e Y, e o 8 da camada Z passa a ocupar a camada Y, zerando a camada Z.

3

6

Como o 7 tambm foi obtido de um clculo, a entrada do 6 na camada X empurra o 7 para a Y, e o 8 para a Z, sem precisar digitar Enter.

Enter

A tecla Enter empurra o 6 para camada Y e cria uma cpia provisria na camada X. Automaticamente, o contedo das camadas internas sobem para as camadas mais internas.

2

A entrada do nmero 2 substitui a cpia provisria da camada X sem contudo alterar o contedo da pilha operacional (camadas mais internas). Nota importante: aqui no digitamos . A operao de subtrao realizada com o contedo das camadas X e Y, com o 8 da camada T e o 7 da camada Z passando a ocupar as camadas mais externas, respectivamente.

*

A operao de multiplicao realizada com o contedo das camadas X e Y e o resultado fica depositado na camada X. O contedo da camada Z passa a ocupar a camada Y, zerando a camada Z. A operao da adio realizada com o contedo das camadas X e Y e o resultado fica depositado na camada X, zerando a camada Y.

+

UNIDADE 2

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[1] 8 2 + 3 2 + 6 : 2 =

[2] 28 { 4 + 3 [ 2 + 5 4 (8 5 + 3 4) + 5] + 1 2 } =

[3] 27 ( (6 4) : 3) : [6 8 : (2 (6 1)) ] =

[4] 37 2 {5 + 8 : 2 [ 4 6 20 (9 8)]} =

[5] 48 (8 2 4 ) + 130 2 {6 + 8 : 2 + [ 5 7 10 (7 2 3)]} =

FIXANDO CONCEITOS 2

Fixando Conceitos19

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3O

CLCULOS FINANCEIROS NA HP-12C

Juros Simplesregime de capitalizao denominado juros simples aquele em que a taxa incide sempre sobre o capital inicial, gerando juros com crescimento constante ao longo do tempo.R$ $

5 5 4 4 3 3

2

1 1 C C 0 0

}1 1 2 2 3 4 3 4 5 5 n n ttJ=C*i*n

Juros

Note que o juro tem taxas iguais de crescimento ao longo do tempo. Para calcular o juro simples, podemos utilizar a frmula:

Onde: J = juros; C = capital investido; i = taxa; e n = perodo. A HP-12C possibilita resolver problemas de juros e montantes em regime de capitalizao simples (tecla INT), quando informamos o valor do principal (capital investido), da taxa de juro (ano comercial de 360 dias) e o prazo em nmeros de dias. possvel, tambm, obter os juros exatos (base 365 dias) utilizando-se um pequeno artifcio (R e X >Y), alm de podermos calcular o valor do montante, que o valor do juro acumulado no perodo somado ao capital investido.UNIDADE 3

Clculos Financeiros na HP-12C21

Sequncia de tarefas: introduza ou calcule o nmero de dias comerciais e ento pressione n; introduza a taxa de juros anual e ento pressione i; introduza o valor do capital investido (Principal) e ento pressione CHS PV; pressione f INT para apresentar os juros acumulados na base 360 dias; se voc desejar apresentar o valor dos juros acumulados na base 365 dias (Comercial), ento pressione R X >Y; e para calcular o montante associado ao investimento, basta pressionar a tecla +.

AtenoExistem duas condies para o uso do fINT na HP12C: taxa sempre anual; e tempo sempre em dias. O fINT no calcula o perodo(n), nem a taxa (i). Para isso, deve ser utilizado o modelo matemtico.

ExemploUma pessoa tomou emprestada a importncia de R$ 2.000,00 pelo prazo de 2 anos, a uma taxa de 40% ao ano. Qual o valor do juro a ser pago e o valor do resgate (ou montante)? Soluo: 1o perodo: 2 360 = 720 dias 2o taxa: 40% ao ano 3o capital: 2000,00 CHS 4o juro: pressione f INT 5o montante: pressione a tecla +

Pressione a tecla n Pressione a tecla i Pressione a tecla PV Visor: 1.600,00 Visor: 3.600,00

Para clculo de juros exatos, no quinto passo, pressionar as teclas R X >Y.

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Juros CompostosA HP-12C possui um setor financeiro composto de cinco teclas, a saber: n, i, PV, PMT e FV, cuja funo principal o clculo do Valor do Dinheiro no Tempo (VDT). Essa funo possui uma caracterstica singular, ou seja, apenas utilizada para resoluo de fluxo de caixa com sries uniformes.

Determinando o Perodo do Investimento (n) pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros; digite a taxa de juros peridica e pressione i; introduza PV Valor Presente; introduza FV Valor Futuro com o sinal trocado (CHS); e pressione n para calcular o nmero de perodos desejado.

ExemploUma pessoa toma emprestado R$300,00, a juros compostos de 3% ao ms, e devolve, no final do perodo, o montante de R$ 403,17. Determinar o perodo de investimento. Pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros Digite 3 e pressione i Taxa de Juros Digite 300 e pressione PV Valor Atual Digite 403,17 e pressione CHS para trocar o sinal; em seguida pressione FV. Pressione n para calcular o nmero de meses do investimento. Resposta: 10 meses

Quando o perodo do investimento (n) no for um nmero inteiro, devemos, antes, ligar a funo c no visor da mquina. Conseguiremos isso acionando simultaneamente as teclas STO e EEX. Para desativar essa funo, acionamos, novamente, as teclas mencionadas.

UNIDADE 3

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Calculando a Taxa de Juros (i) pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros; digite o nmero de perodos do investimento e pressione n; introduza PV Valor Presente; introduza FV Valor Futuro com o sinal trocado (CHS); e pressione i para calcular a taxa efetiva do investimento.

ExemploUma pessoa toma emprestado R$ 300,00, a juros compostos capitalizados mensalmente, durante 10 meses, e devolve, no final do perodo, o montante de R$ 403,17. Determinar a taxa de investimento. Pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros Digite 10 e pressione n Perodo Digite 300 e pressione PV Valor Atual Digite 403,17 e pressione CHS para trocar o sinal; em seguida pressione FV Pressione i para calcular a taxa de juros do investimento Resposta: 3% a.m.

Encontrando o Valor Presente (PV) pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros; digite o nmero de perodos do investimento e pressione n; digite a taxa de juros peridica e pressione i; introduza FV Valor Futuro com o sinal trocado (CHS); e pressione PV para calcular o valor inicial do investimento.

ExemploUma pessoa toma emprestado um capital, a juros compostos de 3% a.m. capitalizados mensalmente, durante 10 meses, e devolve, no final do perodo, o montante de R$ 403,17. Determinar o valor do capital inicial desse investimento. Pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros Digite 10 e pressione n Perodo Digite 3 e pressione i Taxa de Juros Digite 403,17 e pressione CHS para trocar o sinal; em seguida, pressione FV Pressione PV para calcular o investimento inicial. Resposta: R$ 300,00

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

Calculando o Valor Futuro (FV) pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros; digite o nmero de perodos do investimento e pressione n; digite a taxa de juros peridica e pressione i; introduza PV Valor Presente com o sinal trocado (CHS); e pressione FV para calcular o montante do investimento.

ExemploUma pessoa toma emprestado R$ 300,00, a juros compostos de 3% a.m. capitalizados mensalmente, durante 10 meses. Qual o montante a ser devolvido? Pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros Digite 10 e pressione n Perodo Digite 3 e pressione i Taxa de Juros Digite 300,00 e pressione CHS para trocar o sinal; em seguida pressione PV Pressione FV para calcular o montante do investimento. Resposta: R$ 403,17

Calculando o Valor das Prestaes (PMT) pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros; digite o nmero de perodos do investimento e pressione n; digite a taxa de juros peridica e pressione i; introduza PV Valor Presente; introduza FV Valor Futuro com o sinal trocado (CHS); e pressione PMT para calcular o valor da parcela do CDC (Crdito Direto ao Consumidor Sistema Francs de Financiamento).

ExemploUm emprstimo de R$ 20.000,00 vai ser pago, sem carncia, pelo CDC em 6 parcelas, taxa de 4% a.m. Calcular o valor da prestao. Pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros Digite 6 e pressione n Perodo Digite 4 e pressione i Taxa de Juros Digite 20.000,00 e pressione CHS para trocar o sinal; em seguida pressione PV Pressione PMT para calcular o valor da prestao Resposta: R$ 3.815,24

UNIDADE 3

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Sries Uniformes de Pagamentos Uniformes Rendas Certas ou Anuidades chamamos de renda certa, ou anuidades, a uma sucesso finita ou infinita de pagamentos: p1, p2, p3, ... pn (termos das anuidades) e que deve ocorrer em datas preestabelecidas t1, t2, t3, ... tn.

p1 t1

p2 t2

p3 p4 p5 t3 t4 t5

p6 p7 t6 t7

pn tn

Data Focal

O Valor Atual de uma anuidade a soma dos valores atuais dos seus termos, acumulados na data focal, considerando a mesma taxa de juros. Lembramos que, para encontrar o Valor Atual de capital, muito importante considerar o regime de capitalizao, isto , juro simples ou juro composto. Voltaremos a este assunto no tpico Fluxo de Caixa.

Classificao das AnuidadesQuanto Forma de Pagamento imediata termos so exigidos desde o primeiro perodo; e diferida existe perodo de carncia antes do primeiro termo da srie.

Essas sries podem possuir as seguintes modalidades de pagamento: antecipada quando o pagamento ou recebimento ocorre no incio do perodo (incio do ano), isto , a primeira parcela ocorre no ato da compra; e postecipada quando o pagamento ou recebimento ocorre no final do perodo (fim do ano), isto , a primeira parcela ocorre um perodo aps a compra.

Para calcular valores em sries cuja modalidade antecipada, ativaremos BEGIN (incio), pressionando a tecla g e a tecla 7. Em sries postecipadas, ativaremos a funo END, pressionando a tecla g e a tecla 8.

26

MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

Quanto ao Prazo temporrias durao limitada, ou seja, conhecemos o perodo n; e perptuas durao ilimitada.

Para sries temporrias, conhecemos o perodo n, porm para sries perptuas colocaremos n = 999999999.

Quanto ao Valor dos Termos uniforme todos os termos da srie so iguais; e varivel os termos da sries no so iguais (abordaremos este assunto no tpico Fluxo de Caixa).

A HP-12C possui suas rotinas internas focadas em sries uniformes; portanto, ateno: em caso de sries variveis, os resultados obtidos no sero vlidos.

Valor Atual de AnuidadesTemporria Imediata Postecipada

ExemploUma pessoa compra um objeto que ir pagar em quatro prestaes mensais de R$ 200,00 sem entrada. As prestaes sero pagas a partir do final do ms da compra, e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2,0% a.m. Qual o preo do objeto vista? Pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros Digite 4 e pressione n Perodo Digite 2 e pressione i Taxa de Juros Digite 200,00 e pressione CHS para trocar o sinal; em seguida pressione PMT Pressione PV para calcular o Valor Atual do investimento. Resposta: R$ 761,56

UNIDADE 3

27

Temporria Imediata Antecipada

ExemploUma pessoa compra um objeto que ir pagar em quatro prestaes mensais de R$ 200,00 sem entrada. As prestaes sero pagas a partir do incio do ms da compra, e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2,0% a.m. Qual o preo do objeto vista? Pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros Pressione g tecla 7 para ativar a funo BEGIN Digite 4 e pressione n Perodo Digite 2 e pressione i Taxa de Juros Digite 200,00 e pressione CHS para trocar o sinal; em seguida pressione PMT Pressione PV para calcular o Valor Atual do investimento. Resposta: R$ 776,78

Perptua Imediata Antecipada

ExemploSe um apartamento est rendendo um aluguel de R$ 600,00 ao ms e se a taxa de melhor aplicao no mercado financeiro de 2% a.m., qual seria a primeira estimativa do valor do imvel, considerando o recebimento do aluguel no incio de cada ms? Pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros Pressione g tecla 7 para ativar a funo BEGIN Digite 999999999 e pressione n (Perptua) Perodo Digite 2 e pressione i Taxa de Juros Digite 600,00 e pressione CHS para trocar o sinal; em seguida, pressione PMT Pressione PV para calcular o Valor Atual do investimento. Resposta: R$ 30.600,00

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

Perptua Imediata Postecipada

ExemploSe um apartamento est rendendo um aluguel de R$ 600,00 ao ms e se a taxa de melhor aplicao no mercado financeiro de 2% a.m., qual seria a primeira estimativa do valor do imvel, considerando o recebimento do aluguel no final de cada ms? Pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros Pressione g tecla 8 para desativar a funo BEGIN Digite 999999999 e pressione n (Perptua) Perodo Digite 2 e pressione i Taxa de Juros Digite 600,00 e pressione CHS para trocar o sinal; em seguida pressione PMT Pressione PV para calcular o Valor Atual do investimento. Resposta: R$ 30.000,00

Srie DiferidaA calculadora HP-12C no tem tecla para introduzir o perodo de diferimento (m); portanto no possvel calcular diretamente o Valor Atual neste caso. Vamos, ento, dividir o problema em duas etapas:

P

mPrazo de diferimento

m+n

1a etapa resolver o problema proposto, na srie, usando as teclas j conhecidas (pilha financeira); e 2a etapa resolver o problema proposto, na rea de diferimento, usando as teclas j conhecidas (pilha financeira).

UNIDADE 3

29

ExemploUma pessoa compra um automvel e ir pag-lo em quatro prestaes mensais de R$ 2.626,24. As prestaes sero pagas no final do perodo, a partir do terceiro ms da compra (srie postecipada com 3 meses de carncia). O vendedor afirmou cobrar uma taxa de juros compostos de 2,0% a.m. Qual o preo do automvel vista? Soluo: 1a Etapa: Pressione fCLEAR CLX para apagar os registros da pilha Pressione g tecla 8 para habilitar funo END Digite 4 e pressione n Perodo Digite 2 e pressione i Taxa de Juros Digite 2.626,24 e pressione CHS para trocar o sinal; em seguida pressione PMT Pressione PV para calcular o Valor Atual do investimento no 2o ms. 2a Etapa: O valor calculado na etapa anterior o Valor Futuro para o perodo de carncia. Pressione fCLEAR FIN para apagar os registros financeiros Pressione CHS e, em seguida, pressione FV Digite 2 e pressione n (Carncia) Digite 2 e pressione i Valor Futuro Perodo Taxa de Juros

Pressione PV para calcular o Valor Atual do automvel. Resposta: R$ 9.611,70 Para facilitar o entendimento, pressione as seguintes teclas: FCLX g8 2626,24 CHS PMT 4n 2i PV (aparecer 10.000,00) F FIN CHS FV 2n 2i PV (aparecer 9.611,70)

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

Fluxo de CaixaEntendemos fluxo de caixa como o conjunto de entradas e sadas de dinheiro, ao longo de um espao de tempo, no caixa.

Diagrama de Fluxo de CaixaSo alternativas de investimentos que envolvem variaes de caixa em diferentes instantes. Para simplificar o entendimento deste conceito, utilizamos grficos contendo setas dirigidas para cima e para baixo representando, respectivamente, entradas e sadas de dinheiro ao longo do tempo. Como conveno grfica, adotamos que setas para cima simbolizam a entrada de dinheiro, ao passo que as setas para baixo representam a sada de dinheiro com o passar do tempo.

Conveno Grfica

Entrada Tempo Sada

UNIDADE 3

31

Conceito de Capitalizao

FV

i, nPV t

Entendemos capitalizao como sendo os juros carregados em um capital inicial (PV) quando existe a incidncia de uma taxa (i), ao longo de um perodo (n), gerando um capital final (FV). No grfico acima temos FV = PV(1 + i)n. Portanto, sobre o capital (PV) existe a incidncia de um fator (1 + i)n, que adotaremos como fator de capitalizao. Ressalta-se que n o nmero de perodos de capitalizao e a taxa (i) deve ser homognea com esse perodo ao longo do eixo t.

Conceito de Descapitalizao

FV i, n PV t

Analogamente ao item anterior, entendemos a descapitalizao como sendo a operao inversa da capitalizao, ou seja, representa os juros descontados do capital final (FV) quando existe a incidncia de uma taxa de desconto (i), ao longo de um perodo de adiantamento (n), gerando, novamente, o capital inicial (PV).

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

No grfico anterior, temos PV = FV / (1 + i)n. Portanto, sobre o capital (FV) existe a incidncia de um fator 1 / (1 + i)n, que adotaremos como fator de descapitalizao.

ExemploHoje dia 12/11/2003. Considerando uma taxa diria composta de 0,5% a.d., encontrar quanto valer R$ 150.000,00 em 15/02/2004 e em 17/03/2003. ?R$ 150.000,00

?

17/03/2003

12/11/2003

15/02/2004

Descapitalizao Encontrando o nmero de dias entre as datas: Digitar g e tecla 4 e acionar funo D.MY Digitar data de hoje: 12.112003 Pressione a tecla Enter Digitar data desejada: 17.032003 Pressione a sequncia de teclas g e DYS Resultado: -240 dias (o sinal negativo significa retrocesso no tempo) Calculando o Valor do Capital na data: PV = FV / (1 + i)n 150.000,00 / (1 + 0,005)240 PV = R$ 45.314,42 Capitalizao Encontrando o nmero de dias entre as datas: Digitar g e tecla 4 e acionar funo D.MY Digitar data de hoje: 12.112003 Pressione a tecla Enter Digitar data desejada: 15.022004 Pressione a sequncia de teclas g e DYS Resultado: 95 dias (o sinal positivo significa tempo futuro) Calculando o Valor do Capital na data: FV = PV * (1 + i)n 150.000,00 * (1 + 0,005)95 PV = R$ 240.916,82

UNIDADE 3

33

Anlise de Fluxo de CaixaHorizonte de PlanejamentoChamamos de horizonte de planejamento a vida econmica ou vida til de um investimento, ou seja, o intervalo de tempo decorrido entre a data de investimento inicial e a data final de retorno do capital investido. Para efeito de anlise de fluxo de caixa, consideraremos o horizonte de planejamento como sendo o tempo em que o projeto se mantm operacional.

Definio do Valor Presente Lquido (NPV) a soma das entradas e sadas, descapitalizadas, uma a uma at uma data 0 (chamada de Data Focal). Para facilitar o entendimento, vejamos o exemplo:

ExemploJoo emprestou R$ 100.000,00 a um amigo que lhe prometeu pagar R$ 60.000,00 daqui a 1 ms e R$ 75.000,00 daqui a 2 meses. Sabendo-se que a taxa de descapitalizao/desconto de 20% a.m., calcule o Valor Presente (Atual) Lquido.R$ 75.000,00 R$ 60.000,00

0

1

2

(meses)

R$ 100.000,00

Sabemos que PV = FV / (1 + i)n Na Posio 0, temos: PV1 = 60.000,00 / (1 + 0,20)1 = 50.000,00 PV2 = 75.000,00 / (1 + 0,20)2 = 52.083,33 O somatrio dos valores na data 0 nos apresenta o Valor Presente Lquido:PV2 = 52.083,33 PV1 = 50.000,00 (meses) PV = R$ 100.000,00 NPV = 100.000,00 + 50.000,00 + 52.083,33

O Fluxo de Caixa apresenta-se:PV1 = 2.083,33 (meses)

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

A HP-12C fornece duas funes de apoio anlise de fluxos de caixa, a saber: NPV e a IRR. Passamos, ento, a conhec-las: Valor Presente Lquido (NPV) mtodo de anlise de fluxo de caixa que consiste em calcular o Valor Presente de uma srie de pagamentos, a uma data conhecida, e deduzir o valor inicial do investimento, visando checar a viabilidade do negcio.

Se o NPV for positivo, o negcio ser vivel. Caso contrrio, o negcio ser invivel.

Exemplos1. Um emprstimo de R$ 44.000,00 ser liquidado em 3 parcelas mensais e consecutivas de R$ 24.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 16.000,00. Considerando uma taxa mensal de 7% de juros ao ms, calcular o Valor Presente Lquido. Pressione fCLEAR FIN 44000 CHS g Cfo 24000 g Cfj 10000 g Cfj 16000 g Cfj 7i f NPV (Resposta) Significado Apagar os registros financeiros Valor total financiado Valor da 1a parcela Prxima parcela Prxima parcela Taxa juro mensal Aparecer 225,06 (Fluxo de Caixa)

Para encontrar o Valor Presente, devemos somar o valor inicial do emprstimo, que de R$ 44.000,00. Portanto, neste caso, o VP ser R$ 44.225,06. Para obter diretamente o VP, utilizando-se da funo NPV, basta introduzir o valor 0 (zero) na funo Cfo. 2. Uma casa foi colocada venda, por uma imobiliria, pelo valor de R$ 30.000,00 vista ou em 2 anos de prazo, sendo R$ 8.000,00 de entrada, mais 12 parcelas mensais de R$ 1.800,00 e mais 12 parcelas mensais de R$ 2.818,00. Admitindo-se que um cliente tenha o dinheiro para comprar a casa vista, ele recebe uma proposta de um gerente de um banco para financiar o imvel a uma taxa de 6% a.m. Qual a melhor deciso de compra desse imvel para esse cliente? Pressione fCLEAR FIN 8000 g Cf0 1800 g Cfj 12 g Nj 2818 g Cfj 12 g Nj 6i f NPV (Resposta) Significado Apagar os registros financeiros Valor entrada Valor da parcela Nmero de repeties Prxima parcela Nmero de repeties Taxa juro mensal Aparecer 34.832,15

A melhor deciso ser adquirir o imvel vista.

UNIDADE 3

35

Definio de Taxa Interna de Retorno (IRR ou TIR) a taxa que torna o Valor Presente Lquido (NPV) igual a zero; tambm chamada de taxa interna efetiva de rentabilidade. Para melhor entender, observe o seguinte exemplo:3.000,00 1.000,00 2.000,00 i = 10% a.m.

1 4.500,00

2

3

(meses)

ExemploCalcular NPV para as taxas de juros iguais a 10% a.m. e 15% a.m. Para 10% a.m. Digitar 4.500 (CHS) g (Cfo) Digitar 1.000 g (Cfj) Digitar 2.000 g (Cfj) Digitar 3.000 g (Cfj) Digitar 10 (i) Digitar f (NPV) Resposta: 315,93 (positivo) Para 15% a.m. Digitar 15 (i) Digitar f (NPV) Resposta: -145,60 (negativo) Como escolhemos aleatoriamente duas taxas e encontramos NPV positivo para uma e negativo para outra, conclumos que deve existir uma taxa intermediria a essas duas taxas escolhidas que tornar o NPV igual a zero. Esta a taxa interna de retorno (TIR ou IRR Internal Rate of Return). Contudo, valendo-nos do uso da calculadora, podemos facilmente encontrar a taxa exata. Para isso, basta pressionar as teclas f IRR aps digitarmos o ltimo valor monetrio que, no nosso caso, R$ 3.000,00 e encontraramos uma TIR de 13,34%.

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

Taxa Interna de Retorno (IRR) taxa que equaliza o Valor Atual de pagamento(s) com o Valor Atual de recebimento(s).

Exemplos1. Uma mquina no valor de R$ 7.000,00 totalmente financiada para pagamento em 7 parcelas mensais, sendo as trs primeiras de R$ 1.000,00, as duas seguintes de R$ 1.500,00, a sexta parcela de R$ 2.000,00 e a stima de R$ 3.000,00. Determinar a taxa interna de retorno desta operao. Pressione fCLEAR FIN 7000 CHS g Cfo 1000 g Cfj 3 g Nj 1500 g Cfj 2 g Nj 2000 g Cfj 3000 g Cfj f IRR Significado Apagar os registros financeiros Valor total financiado Valor da 1a parcela Nmero de repeties Prxima parcela Nmero de repeties Prxima parcela Prxima parcela Aparecer 10,40 (Resposta)

2. Um cliente compra um refrigerador pelo sistema de credirio e paga 6 parcelas iguais a R$ 173,00. Sabendo-se que o Valor Atual da mercadoria de R$ 658,00 e que o cliente pagar a primeira parcela daqui a 3 meses (3 meses de carncia), determinar a taxa de juros cobrada pela loja. Pressione fCLEAR FIN 658 CHS g Cfo 0 g Cfj 2 g Nj 173 g Cfj 6 g Nj f IRR Significado Apagar os registros financeiros Valor total financiado Valor da 1a parcela Nmero de repeties (carncia) Prxima parcela Nmero de repeties Aparecer 8,85 (Resposta)

UNIDADE 3

37

AmortizaoAmortizao o processo de liquidao de uma dvida atravs de pagamentos peridicos. A amortizao de uma dvida pode ser processada de vrias formas, dependendo das condies pactuadas. Vejamos alguns exemplos: pagamento da dvida em prestaes peridicas, representadas por parcelas de juro mais capital; prestaes constitudas exclusivamente de juros, ficando o capital pagvel de uma nica vez no vencimento da dvida; e juros capitalizados para pagamento, junto com o capital, ao final da dvida.

Em razo de existirem muitas formas de amortizao, so conhecidos diversos sistemas de amortizao, dos quais podemos destacar, pelo fato de serem mais utilizados, o SAC e o PRICE.

Sistema de Amortizaes Constantes (SAC)Nesse sistema, o pagamento feito atravs de prestaes que amortizam capitais e juros simultaneamente. O valor da amortizao constante em todas as prestaes. J os juros vo diminuindo a cada parcela, uma vez que aplicado sobre o saldo devedor do capital (que decresce a cada perodo). Portanto, o valor das prestaes decresce a cada perodo, j que o capital amortizado sempre o mesmo e os juros que esto sendo pagos vo diminuindo a cada perodo.

Grfico Explicativo

Prestao

Juros

Presta PrestaoAmortizao do capital Perodos (n)

Pelo grfico, podemos ver que as amortizaes so peridicas e constantes e iguais ao valor do emprstimo dividido pelo nmero de perodos de pagamento.

38

MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

ExemploAntnio emprestou a quantia de R$ 100.000,00, a uma taxa de 5% a.m., com um prazo de reembolso de 4 meses. Calcular o valor das prestaes em cada ms.

Ms

Saldo Devedor (R$) 100.000,00

Amortizao (R$)

Juros (R$)

Prestao(R$)

1 2 3 4

75.000,00 50.000,00 25.000,00 0,00

25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00

5.000,00 3.750,00 2.500,00 1.250,00

30.000,00 28.750,00 27.500,00 26.250,00

Juros so calculados sobre o saldo devedor e a prestao amortizao + juros.

Sistema PRICE de Amortizaes (CDC)Esse sistema, tambm conhecido por Sistema Francs de Amortizao ou Crdito Direto ao Consumidor, consiste no pagamento de um emprstimo em prestaes consecutivas com valores fixos e iguais. Com o auxlio da HP-12C, poderemos calcular: parcelas de capital e de juros correspondente a cada prestao; saldo devedor aps cada pagamento; e juros correspondentes a parcelas consecutivas.

Grfico Explicativo

Juros Prestao Prestao

Amortizao Perodos (n)

Nesse caso, tambm amortizado capital mais juros. A diferena que as prestaes so iguais em todos os perodos e a parte referente amortizao do capital aumenta a cada pagamento, ao passo que a parte referente aos juros diminui na mesma proporo.

UNIDADE 3

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ExemploUm emprstimo de R$ 150.000,00 deve ser liquidado em 4 parcelas mensais, iguais e consecutivas, sendo que a primeira parcela vence um ms aps a data do contrato. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pela operao foi de 9% a.m., calcular o valor das parcelas de amortizao e de juros de cada prestao, bem como o saldo devedor aps cada pagamento.

Parcela 00 01 02 03 04 Total

Saldo Devedor (RCL PV) 150.000,00 117.199,70 81.447,37 42.477,34 0

Amortizao (X< > Y)

Juros f AMORT

Prestao (PMT PV, i, n)

32.800,30 35.752,33 38.970,04 42.477,34

13.500,00 10.547,97 7.330,26 3.822,96

46.300,30 46.300,30 46.300,30 46.300,30

Soluo: Pressione fCLEAR CLX fCLEAR FIN 150000 CHS PV 4n 9i PMT aparecer 46.300,30 1 fAMORT aparecer 13.500,00 XY aparecer 32.800,30 RCL PV aparecer 117.199,70 1 fAMORT aparecer 10.547,97 XY aparecer 35.752,33 RCL PV aparecer 81.447,37 1 fAMORT aparecer 7.330,26 XY aparecer 38.970,04 RCL PV aparecer 42.477,34 1 fAMORT aparecer 3.822,96 XY aparecer 42.477,34 RCL PV aparecer 0,01

Significado Apagar os registros da pilha Apagar os registros financeiros Valor financiado Perodo de liquidao Taxa de juros cobrados Valor da prestao Juros pagos na 1a parcela Amortizao na 1a parcela Saldo devedor aps 1a amortizao Juros pagos na 2a parcela Amortizao na 2a parcela Saldo devedor aps 2a amortizao Juros pagos na 3a parcela Amortizao na 3a parcela Saldo devedor aps 3a amortizao Juros pagos na 4a parcela Amortizao na 4a parcela Saldo devedor aps 4a amortizao

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

[1] Que montante receber um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00, no regime de juros simples, durante 15 meses, taxa de 3% ao ms?

[2] Um capital de R$ 10.000,00, investido taxa de 8,5% ao ms, a juros simples durante 5 meses, rende juros de:

[3] Calcular os juros simples de uma aplicao de R$ 200.000,00, a 4,8% ao ms, pelo prazo de 2 anos, 3 meses e 12 dias.

[4] Qual o montante simples de uma aplicao de R$ 10.000,00, taxa de 2,5% ao ms, durante 3 anos?

[5] Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a uma taxa simples de 0,5% ao dia e o investimento foi feito por um prazo de 116 dias. Qual o total de juros?

FIXANDO CONCEITOS 3

Fixando Conceitos41

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

[1] Juliana vai precisar de R$ 1.200,00, daqui a 7 meses, para viajar praia. Quanto ela dever depositar hoje, numa conta poupana, para resgatar o valor desejado no prazo, admitindo uma taxa de juros composta efetiva de 3,5% ao ms? (a) (b) (c) (d) (e) R$ 642,01 R$ 792,26 R$ 843,19 R$ 943,19 R$ 1.125,00

[2] Qual a taxa mensal de juros compostos que faz com que um capital triplique de valor aps 3 anos e meio? (a) (b) (c) (d) (e) 2,65% 2,82% 2,94% 3,05% 3,15% a.m. a.m. a.m. a.m. a.m.

[3] Em uma operao financeira, foram aplicados R$ 12.000,00 e resgatados R$ 16.354,77. Se a taxa de juros efetiva composta foi igual a 3,5% a.m., pede-se calcular a durao dessa operao.

TESTANDO CONHECIMENTOS

Testando Conhecimentos43

[4] Qual o montante de uma aplicao de R$ 4.000,00, a uma taxa de juros compostos igual a 2,5% a.m., pelo prazo de 14 meses, considerando o perodo de capitalizao mensal? (a) (b) (c) (d) (e) R$ 3.241,61 R$ 4.349,62 R$ 4.974,80 R$ 5.279,63 R$ 5.651,90

[5] Calcular o valor do desconto composto racional de uma promissria, com valor de resgate igual a R$ 35.000,00, a vencer no prazo de 6 meses. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada de 5% a.m., qual o valor descontado da promissria? (a) (b) (c) (d) (e) R$ 18.956,35 R$ 23.143,48 R$ 26.117,54 R$ 27.458,23 R$ 28.732,51

[6] Quanto acumularamos, no final de um ano, se depositssemos, todo final de ms, R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupana que paga 6% a.m.? (a) (b) (c) (d) (e) R$ 16.869,94 R$ 16.945,15 R$ 16.998,43 R$ 17.329,16 R$ 17.539,79

[7] Se uma casa est rendendo um aluguel de R$ 800,00 ao ms, e se a taxa de melhor aplicao no mercado financeiro de 5% a.m., qual seria a primeira estimativa do valor desse imvel, considerando o recebimento do aluguel no incio de cada ms? (a) (b) (c) (d) (e) R$ 16 156,98 R$ 16.358,46 R$ 16.410,45 R$ 16.550,13 R$ 16.800,00

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

[8] Uma nova empresa de revenda de carros, recm-instalada na cidade, est oferecendo um veculo para ser pago em 36 prestaes mensais de R$ 599,90, sem entrada. As prestaes devero ser pagas a partir do final do ms da compra, e o vendedor afirmou praticar uma taxa de juros de 3,50% a.m. Calcular o preo do automvel vista. (a) (b) (c) (d) (e) R$ 10.198,12 R$ 10.579,37 R$ 12.172,27 R$ 12.598,30 R$ 13.749,26

[9] O gerente de projeto da empresa Sistemas Ltda quer saber quanto ele deve reservar de dinheiro para adquirir 6 computadores que sero pagos em 6 prestaes mensais de R$ 500,00 cada um, pagas no final do ms, sabendo-se que seu melhor fornecedor pratica uma taxa de juros de 3,75% a.m.

(a) (b) (c) (d) (e)

R$ 12.981,31 R$ 13.791,37 R$ 14.725,72 R$ 15.855,21 R$ 17.723,35

[10] Tia Cris precisa comprar um refrigerador novo para a creche infantil que ela administra. Quanto dever custar o produto a ser escolhido se ela dispe de R$ 230,00 para oferecer de entrada e pode pagar, sempre no final do perodo, prestao mxima de R$ 95,00, pelo perodo de 12 meses, sabendo que a loja fornecedora pratica uma taxa de juros de 2,85% a.m.? (a) (b) (c) (d) (e) R$ 954,15 R$ 1.025,75 R$ 1.095,25 R$ 1.184,15 R$ 1.213,45

[11] Um emprstimo ser pago em 10 prestaes mensais de R$ 6.000,00, sendo a primeira daqui a um ms. Se a taxa de juros composta for de 10% a.m., qual o valor desse emprstimo? (a) (b) (c) (d) (e) R$ 35.247,81 R$ 36.867,40 R$ 36.958,22 R$ 37.256,29 R$ 38.849,58

TESTANDO CONHECIMENTOS

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[12] Um aparelho de DVD foi adquirido oferecendo-se R$ 300,00 de entrada e o restante financiado por meio do Sistema Price (CDC), em 6 prestaes mensais de R$ 188,00. Sabendo-se que a taxa de juros praticada foi de 5,75% a.m, podemos afirmar que o valor do aparelho vista de: (a) (b) (c) (d) (e) R$ 931,76 R$ 1.231,76 R$ 1.236,76 R$ 1.256,76 R$ 1.349,76

[13] Um carro do ano pode ser adquirido pagando-se vista o valor de R$ 28.500,00. Se eu oferecer 20% desse valor como entrada e desejar pagar, por meio de um CDC, em 12 prestaes fixas, qual seria o valor dessas prestaes se o vendedor garante que a taxa de juros cobrada de 2,75% a.m.? (a) (b) (c) (d) (e) R$ 1.625,53 R$ 1.828,46 R$ 1.947,38 R$ 2.057,72 R$ 2.256,49

[14] O seguro de um veculo foi pago em 10 prestaes mensais de R$ 150,50, a primeira daqui a um ms. Sabendo-se que a taxa de juros praticada foi de 5,49% a.m., calcule o valor do seguro para ser pago vista. (a) (b) (c) (d) (e) R$ 1.134,96 R$ 1.195,18 R$ 1.204,28 R$ 1.259,46 R$ 1.282,13

[15] Ao comprar um apartamento no valor de R$ 150.000,00 vista, Lucas deu de entrada R$ 38.000,00 do seu fundo de garantia e pagou o restante financiado pelo CDC, em 24 prestaes fixas mensais, a uma taxa de 30% ao ano. O valor das prestaes foram de: (a) (b) (c) (d) (e) R$ 4.926,19 R$ 5.286,66 R$ 5.426,47 R$ 5.943,45 R$ 6.063,67

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

[16] Uma empresa toma emprestado de um banco o valor de R$ 20.000,00 para ser pago em 5 prestaes. Se no contrato assinado ficou assumido que o sistema de amortizao adotado ser o SAC, e a taxa de juros 3,75% a.m, com os pagamentos devendo ser realizados no final do perodo e sem carncia, pede-se para que seja montada a planilha demonstrativa de amortizao desse investimento.

[17] Um banco concede um financiamento de R$ 600.000,00, a ser liquidado em 8 pagamentos mensais pelo sistema SAC. A operao realizada com carncia de 3 meses, sendo somente os juros pagos nesse perodo. Para uma taxa efetiva de juros igual a 2,50% a.m., elaborar a planilha que descreve esse financiamento.

[18] Um emprstimo no valor de R$ 1.000,00 ser devolvido em 3 prestaes mensais iguais e seguidas de valor R$ 416,35. O financiamento foi realizado com uma taxa de juros de 12% ao ms. Ao analisar os valores de cada parcela da operao de financiamento, calculando os valores de juros, amortizao e saldo devedor, em reais, vemos que, para a segunda parcela, esses valores so, respectivamente: (a) (b) (c) (d) (e) R$ 67,54 / 348,81 / 388,59 R$ 72,88 / 343,47 / 383,25 R$ 77,44 / 339,11 / 378,89 R$ 80,18 / 336,17 / 375,95 R$ 84,44 / 331,91 / 371,74

[19] Um emprstimo de R$ 200.000,00 ser pago em 3 prestaes mensais iguais e consecutivas pela Tabela Price. Se a taxa de juros nominal for de 60% ao ano, com capitalizao mensal, a parcela correspondente aos juros na ltima prestao ter, em reais, um valor: (a) (b) (c) (d) (e) Inferior a R$ 3.500,00. Entre R$ 3.500,00 e 3.600,00. Entre R$ 3.600,00 e 3.700,00. Entre R$ 3.700,00 e 3.800,00. Superior a R$ 3.800,00.

TESTANDO CONHECIMENTOS

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[20] Uma pessoa toma um emprstimo de R$ 5.000,00 em um banco, pelo Sistema Price, a uma taxa de 64,8% ao ano, para pagamento em 12 meses. Porm, na metade do perodo, consegue junto a outra instituio bancria uma taxa de juros mais atraente de 3% ao ano e tambm um financiamento para quitar a dvida inicial. Se o novo financiamento for feito pela Tabela Price, calcule o valor do novo emprstimo e a prestao se o tempo for de 10 meses.

[21] Baseado no problema anterior, calcule os juros no ms 3, a amortizao no ms 4 e o saldo devedor no ms 5.

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

Fixando Conceitos Unidade 21) 2) 3) 4) 5) 15 28 54 27 60

Unidade 31) 2) 3) 4) 5) R$ 40.600,00 R$ 4.250,00 R$ 263.040,00 R$ 19.000,00 R$ 5.800,00

GABARITO

Gabarito49

Testando Conhecimentos1 D* 2 A* 3* 4 C* 5 C* 6 A* 7 E* 8 C* 9 D* 10 D* 11 B* 12 B* 13 E* 14 A* 15 E* 16 * 17 * 18 E* 19 A* 20 * 21 *

Memria de ClculoQuesto 1)Pressione ON f CLX 1200 CHS FV 7 n 3,5 i PV Contedo Visor ltima digitao 0,00 1200 1.200, 1.200,00 7, 7,00 3,5 3,50 943,19 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar valor Trocar o sinal do valor digitado Introduz Valor Futuro Digitar valor Introduz quantidade de meses Digitar valor Introduz taxa de juros Valor calculado a ser depositado

Questo 2) Sabemos que FV = PV (1 + i)n Queremos encontrar a taxa para que FV = 3 PV n = 3 anos e meio = 42 meses 3 PV = PV (1 + i)42 3 = (1 + i)42 i = (3) 1/42 1 i = 2,65% a.m. Eliminando PV, teremos

* Questes com Memria de Clculo.50MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

Utilizando a mquina..... Podemos supor um Valor Presente = R$ 100,00Pressione ON f CLX 100 CHS PV 300 FV 42 n i Contedo Visor ltima digitao 0,00 100 100, 100,00 300, 300,00 42, 42,00 2,65 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar valor qualquer para incio Trocar o sinal do valor digitado Introduz Valor Presente Digitar valor 3 valor de incio Introduz valor futuro Digitar valor Introduz quantidade de meses Clculo da taxa de juros (% a.m.)

Questo 3)Pressione ON f CLX 12000 CHS PV 16354,77 FV 3,5 i n Contedo Visor ltima digitao 0,00 12000, 12.000,00 12.000,00 16354,77 16.354,77 3,5 3,50 9,00 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar Valor Presente da aplicao Trocar o sinal do valor digitado Introduz Valor Presente Digitar Valor Futuro da aplicao Introduz Valor Futuro Digitar valor da taxa de juros Introduz taxa de juros (% a.m.) Clculo do perodo da aplicao (meses)

Resposta: sero necessrios 9 meses para esta aplicao.

GABARITO

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Questo 4)Pressione ON f CLX 4000 CHS PV 14 n 2,5 i FV Contedo Visor ltima digitao 0,00 4000, 4.000,00 4.000,00 14, 14,00 2,5 2,50 5.651,90 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar Valor Presente do investimento Troca o sinal do valor digitado Introduz Valor Presente Digitar quantidade de meses Introduz quantidade de meses Digitar a taxa de juros praticada Introduz a taxa de juros Calcula Valor Futuro do investimento

Questo 5)Pressione ON f CLX 35000 CHS FV 6 n 5 i PV Contedo Visor ltima digitao 0,00 35000, 35.000,00 35.000,00 6, 6,00 5, 5,00 26.117,54 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar Valor Nominal da promissria Troca o sinal do valor digitado Introduz Valor Futuro Digitar valor de meses adiantados Introduz quantidade de meses Digita a taxa de desconto praticada Introduz a taxa de juros Calcula valor descontado da promissria

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

Questo 6)Pressione ON f CLX 1000 CHS PMT 12 n 6 i FV Contedo Visor ltima digitao 0,00 1000, 1.000,00 1.000,00 12, 12,00 6, 6,00 16.869,94 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar valor investido Troca o sinal do valor digitado Introduz valor das parcelas Digitar valor de meses aplicados (ano) Introduz quantidade de meses Digita a taxa de juros praticada (% a.m.) Introduz a taxa de juros Calcula Valor Futuro do investimento

Questo 7) Srie infinita de pagamentos antecipados.Pressione ON f CLX g7 800 CHS PMT 5 i 9999999 n PV Contedo Visor ltima digitao 0,00 0,00 800, 800, 800,00 5, 5,00 9999999, 9.999.999,00 16.800,00 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Acende begin no visor (incio do ms) Digitar valor do aluguel Troca o sinal do valor digitado Introduz o valor do aluguel Digitar taxa do investimento Introduz a taxa do investimento Digitar nmero de meses (grande) Introduz nmero de meses ( ) Calcula o Valor Presente do imvel

GABARITO

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Questo 8) Srie de pagamentos postecipados.Pressione ON f CLX 599,9 CHS PMT 3,5 i 36 n PV Contedo Visor ltima digitao 0,00 599,9 599,9 599,90 3,5 3,50 36, 36,00 12.172,27 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar valor da prestao Trocar o sinal do valor digitado Introduz o valor da prestao Digitar taxa do investimento Introduz a taxa do investimento Digitar nmero de meses Introduz nmero de meses Calcula o Valor Presente do veculo

Questo 9) Vamos calcular o preo, vista, de um computador e reservar o valor para 6 unidades.Pressione ON f CLX 500 CHS PMT 3,75 i 6 n PV 6 x Contedo Visor ltima digitao 0,00 500, 500, 500,00 3,75 3,75 6, 6,00 2.642,54 6, 15.855,21 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar valor da prestao Trocar o sinal do valor digitado Introduz o valor da prestao Digitar taxa do investimento Introduz a taxa do investimento Digitar nmero de meses Introduz nmero de meses Calcula o Valor Presente do computador Digitar o valor de unidades desejadas Calcular o valor total a ser reservado

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

Questo 10) Srie de pagamentos postecipados.Pressione ON f CLX 95 CHS PMT 2,85 i 12 n PV 230 + Contedo Visor ltima digitao 0,00 95, 95, 95,00 2,85 2,85 12, 12,00 954,15 230, 1.184,15 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar valor da prestao mxima Trocar o sinal do valor digitado Introduz o valor da prestao Digitar taxa do investimento Introduz a taxa do investimento Digitar nmero de meses Introduz nmero de meses Calcula o Valor Presente do refrigerador Digitar o valor de entrada disponvel Calcular o valor mximo para compra

Questo 11)Pressione ON f CLX 6000 CHS PMT 10 i 10 n PV Contedo Visor ltima digitao 0,00 6000, 6.000, 6000,00 10, 10,00 10, 10,00 36.867,40 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar valor do emprstimo Troca o sinal do valor digitado Introduz o valor do pagamento Digitar taxa do investimento Introduz a taxa do investimento (% a.m) Digitar nmero de meses do investimento Introduz nmero de meses Calcula o Valor Presente do emprstimo

GABARITO

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Questo 12)Pressione ON f CLX 188 CHS PMT 5,75 i 6 n PV 300 + Contedo Visor ltima digitao 0,00 188, 188, 188,00 5,75 5,75 6, 6,00 931,76 300, 1.231,76 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar valor da prestao Trocar o sinal do valor digitado Introduz o valor da prestao Digitar taxa do investimento Introduz a taxa do investimento Digitar nmero de meses Introduz nmero de meses Calcula Valor Presente do investimento Digitar o valor de entrada oferecida Calcular o valor do DVD

Questo 13)Pressione ON f CLX 28500 0,20 80% CHS PV 2,75 i 12 n PMT 22.800,00 22.800,00 22.800,00 2,75 2,75 12, 12,00 2.256,49 Contedo Visor ltima digitao 0,00 28500, 28.500,00 28.500,00 0,20 5.700,00 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar valor do veculo Envia valor para a camada Y Envia valor para a camada T Digita valor % da entrada (20%) Calcula 20% do valor total Percentual financiado Calcula o valor a ser financiado Troca o sinal do valor digitado Introduz Valor Presente do investimento Digita taxa do investimento Introduz a taxa do investimento Digitar nmero de meses Introduz nmero de meses Calcula valor da prestao

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

Questo 14)Pressione ON f CLX 150,5 CHS PMT 5,49 i 10 n PV Contedo Visor ltima digitao 0,00 150,5 150,5 150,50 5,49 5,49 10, 10,00 1.134,96 Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar valor da prestao Trocar o sinal do valor digitado Introduz o valor da prestao Digitar taxa do investimento Introduz a taxa do investimento Digitar nmero de meses Introduz nmero de meses Calcula valor presente do investimento

Questo 15) Lembre-se de que para converter taxas utiliza-se a frmula: 1 + I = (1 + i)n; onde: I = taxa maior perodo; i = taxa menor perodo; e n = relao entre os perodos.Pressione ON f CLX 150000 38000 CHS PV 30 100 1 + 12 1/x y 1 100 x i 24 n PMTx

Contedo Visor ltima digitao 0,00 150000, 150.000,00 38000, 112.000,00 112.000,00 112.000,00 30, 30,00 100, 0,30 1, 1,30 12, 0.08 1,02 1, 0,02 100, 2,21 2,21 24, 24,00 6.063,67

Significado Ligar a mquina Limpar registros internos Digitar valor do apartamento Envia valor para a camada Y Digitar valor da entrada Calcula valor financiado Trocar o sinal do valor calculado Introduz Valor Presente do financiamento Digitar taxa anual para ser convertida Envia valor para a camada Y Digita valor Calcula taxa em percentual Digita valor Soma valores conforme frmula Digita valor (nmero de meses em um ano) Calcula o inverso de 12 Calcula a raiz 12 de 1,30 Digitar valor Calcula taxa mensal (decimal) Digita valor Calcula a taxa mensal (percentual) Introduz a taxa do investimento Digitar nmero de meses Introduz nmero de meses Calcula valor da prestao

GABARITO

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Questo 16) VF = Valor Financiado: R$ 20.000,00 SD = Saldo Devedor A = Amortizao Parc = Nmero de Pagamentos Prest = Valor da Prestao J = Juros Tx = Taxa Juros: 3,75% a.m.Seq 0 1 2 3 4 5 Saldo Devedor 20.000,00 16.000,00 12.000,00 8,000,00 4.000,00 0,00 Total Amortizao A = SD/parc 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 20.000,00 Juros J = SDant * Tx 750,00 600,00 450,00 300,00 150,00 2.250,00 Prestao Prest = A + J 4.750,00 4.600,00 4.450,00 4.300,00 4.150,00 22.250,00

Questo 17) VF = Valor Financiado: R$ 600.000,00 SD = Saldo Devedor A = Amortizao Parc = Nmero de Pagamentos Prest = Valor da Prestao J = Juros Tx = Taxa Juros: 2,5% a.m.Amortizao A = SD/parc Juros J = SDant * Tx 15.000,00 15.000,00 15.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 600.000,00 15.000,00 12.000,00 9.000,00 6.000,00 3.000,00 90.000,00 Prestao Prest = A + J 15.000,00 15.000,00 15.000,00 135.000,00 132.000,00 129.000,00 126.000,00 123.000,00 690.000,00 Perodo de carncia

Seq 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Saldo Devedor 600.000,00 600.000,00 600.000,00 600.000,00 480.000,00 360.000,00 240.000,00 120.000,00 0,00 Total

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

Questo 18) Taxa juros: 12% a.m. (Sistema de Amortizao CDC)Seq 0 1 2 3 Saldo Devedor (RCL) 1.000,00 703,65 371,74 0,00 Total Amortizao (xy) 296,35 331,91 371,74 Juros f AMORT 120,00 84,44 44,61 Prestao (PMT PV, i, n) 416,35 416,35 416,35 1.249,05

f CLX g8 1000 CHS PV 3n 12 i PMT 1 f AMORT 1 f AMORT (para obter os juros do segundo ms) X > < Y (para obter a amortizao do segundo ms) RCL PV (saldo devedor aps o pagamento da segunda prestao)

Questo 19) Sistema de Amortizao CDC Convertendo a taxa de juros nominal de ano para ms: i = 60 / 12 i = 5% a.m.Seq 0 1 2 3 Saldo Devedor (RCL) 200.000,00 136.558,29 69.944,49 0,00 Total Amortizao (xy) 63.441,71 66.613,80 69.944,49 200.000,00 Juros f AMORT 10.000,00 6.827,91 3.497,22 20.325,13 Prestao (PMT PV, i, n) 73.441,71 73.441,71 73.441,71 220.325,13

f CLX g8 200000 CHS PV 3n 5i PMT 2 f AMORT 1 f AMORT (para obter os juros do terceiro ms)

GABARITO

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Questo 20) Sistema de Amortizao CDC Convertendo taxa de juros efetiva de ano para ms: 1 + 1 = (1 + i)n 1o emprstimo: 1 + 64,8/100 = (1 + i)12 (1,648)1/12 1 = i i = 4,25% a.m. n = 12 mesesSeq 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total Saldo Devedor (RCL) 5.000,00 4.671,98 4.330.02 3.973,53 3.601,89 3.214,45 2.810,54 212,50 341,96 356,49 371,64 387,44 403,91 212,50 198,56 184,03 168,88 153,08 136,61 540,52 540,52 540,52 540,52 540,52 540,52 540,52 540,52 540,52 540,52 540,52 540,52 Amortizao (xy) Juros f AMORT Prestao (PMT PV, i, n)

2o emprstimo: 1 + 3/100 = (1 + i)12 (1,03)1/12 1 = i i = 0,25% a.m. n = 10 mesesSeq 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Saldo Devedor (RCL) 2.810,54 Amortizao (xy) Juros f AMORT Prestao (PMT PV, i, n) 284,93 284,93 284,93 284,93 284,93 284,93 284,93 284,93 284,93 284,93

Resposta: valor do novo emprstimo: R$ 2.810,54 Nova prestao: R$ 284,9360MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

Questo 21) Clculo dos juros do terceiro ms (J3) f CLX g8 5000 CHS PV 12 n 4,2509 i PMT 2 f AMORT 1 f AMORT (para obter os juros do terceiro ms) Clculo da amortizao do quarto ms (A4) f CLX g8 5000 CHS PV 12 n 4,2509 i PMT 3 f AMORT 1 f AMORT X > < Y (para obter a amortizao do quarto ms) Clculo do saldo devedor no quinto ms (SD5) f CLX g8 5000 CHS PV 12 n 4,2509 i PMT 4 f AMORT 1 f AMORT RCL PV (saldo devedor aps o pagamento da quinta prestao)

GABARITO

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MATEMTICA FINANCEIRA E A UTILIZAO DA CALCULADORA HP-12C

FUNENSEG. Matemtica financeira. 5. ed. Rio de Janeiro: FUNENSEG, 2005. FUNENSEG. Matemtica financeira e a Utilizao da Calculadora HP-12C. Assessoria tcnica de Silvio Rosa. Rio de Janeiro: FUNENSEG, 2008. 62 p. Manual da Calculadora HP-12 C (traduo do original em ingls).

REFERNCIA BIBLIOGRFICA

Referncia Bibliogrfica63