matematica financeira dwn 2

8/7/2019 matematica financeira dwn 2

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JOO CANDIDO PEREIRA DE CASTRO NETO

CURSO DE MATEMTICA FINANCEIRA

CURITIBA PR

2002


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Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 339 6270

82100 010 Curitiba PR E-mail: [email protected]

http://www.fesppr.br/~candido i

NDICE

NDICE........................................................................................................................................... I

LISTA DE TABELAS ................................................................................................................... III

1 INTRODUO.......................................................................................................................1

2 PERCENTAGENS..................................................................................................................2

2.1 ACRSCIMOS E ABATIMENTOS SOBRE PREOS INICIAIS E FINAIS .................................................2

2.2 ACRSCIMOS E ABATIMENTOS SUCESSIVOS ...........................................................................6

3 FUNDAMENTOS DA MATEMTICA FINANCEIRA... ..........................................................10

3.1 OPRINCPIO DA EQUIVALNCIA.........................................................................................10

3.2 AS TAXAS DE JUROS.......................................................................................................11

3.3 DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA .......................................................................................12

4 O REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES........................................................................13

4.1 JUROS SIMPLES .............................................................................................................13

4.2 MONTANTE SIMPLES .......................................................................................................14

4.3 TAXAS..........................................................................................................................15

4.4 DESCONTOS SIMPLES .....................................................................................................15

4.4.1 Clculo do Desconto Simples Comercial.................................................................16

4.4.2 Clculo do Valor Atual Comercial............................................................................17

5 O REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTA...................................................................19

5.1 MONTANTE E JUROS DE UM NICO PAGAMENTO ...................................................................19

5.2 DESCONTO ...................................................................................................................20

5.3 TAXAS DE JUROS COMPOSTOS ..........................................................................................20

5.4 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES ............................................................................20

5.5 TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS.............................................................................................21

5.6 REGIME DE CAPITALIZAO MISTA.....................................................................................22

5.7 EQUIVALNCIA DE FLUXOS DE CAIXA..................................................................................23

6 SRIES UNIFORMES..........................................................................................................26

6.1 CLASSIFICAO, ELEMENTOS E CLCULOS ..........................................................................26

6.2 SRIES ANTECIPADAS .....................................................................................................26

6.3 SRIES IMEDIATAS..........................................................................................................28

6.4 SRIES DIFERIDAS..........................................................................................................29

6.5 SRIES GRADIENTES ......................................................................................................30

6.6 DECOMPOSIO DE FLUXOS DE CAIXA 32


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7 SISTEMAS DE FINANCIAMENTO.......................................................................................33

7.1 SISTEMA DO MONTANTE ..................................................................................................34

7.2 SISTEMA DO JURO ANTECIPADO (DESCONTOS)...................................................................34

7.3 SISTEMA FRANCS OU SISTEMA PRICE...............................................................................357.4 SISTEMA DE AMORTIZAES CONSTANTES.........................................................................36

8 ANLISE DE ALTERNATIVAS DE FINANCIAMENTO E INVESTIMENTO..........................39

8.1 MTODOS DE ANLISE ....................................................................................................40

8.1.1 Mtodo do Custo Anual .........................................................................................40

8.1.2 Mtodo do Valor Presente Lquido .........................................................................45

8.1.3 Mtodo da Taxa Interna de Retorno.......................................................................50

8.2 CLASSIFICAO DE ALTERNATIVAS ....................................................................................53

8.2.1 Alternativas Singulares...........................................................................................53

8.2.2 Alternativas Mltiplas .............................................................................................53

8.2.3 Alternativas com Vidas Econmicas Diferentes ......................................................54

ANEXOS......................................................................................................................................55

BIBLIOGRAFIA ...........................................................................................................................62


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LISTA DE TABELAS

VALOR PRESENTE DE UM PAGAMENTO.................................................................................56

VALOR FUTURO DE UM PAGAMENTO .....................................................................................57

VALOR PRESENTE DE UMA SRIE UNIFORME IMEDIATA......................................................58

VALOR FUTURO DE UMA SRIE UNIFORME IMEDIATA..........................................................59

FATOR DE CONVERSO DE SRIE GRADIENTE PARA IMEDIATA.........................................60

TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS ENTRE DATAS ..............................................................61


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1. Introduo

Tornou-se lugar comum afirmar que, no Brasil, a grande maioria das

empresas fecha suas portas ao final dos cinco primeiros anos de operao e parece

ser consenso entre professores, consultores e administradores que as dificuldades

na obteno e administrao do capital de giro respondem pela quase totalidade

dessas baixas.

Sabe-se, tambm, que a maior parte do tempo destinado administrao

das empresas brasileiras dedicada administrao financeira. De fato, o ambiente

econmico e financeiro nacional no perdoa os amadores. Altos nveis de

concentrao de renda, taxas de juros estratosfricas e carga tributria extorsiva

constituem entraves serissimos atividade econmica que tornam o dia a dia da

gesto empresarial um desafio gigantesco.

Nesse contexto, o conhecimento da matemtica comercial e financeira,

mais que nunca, fundamental para a administrao nas mais diversas reas.

Do clculo das comisses de vendas, avaliao de projetos alternativos

de investimento, buscou-se, neste trabalho, apresentar as poderosas ferramentas

da matemtica comercial e financeira com uma preocupao permanente com a

linguagem acessvel e com a sua utilidade prtica. Sempre que possvel, buscou-se

utilizar uma nomenclatura idntica das calculadoras financeiras, de modo a

facilitar a compreenso e o uso daqueles instrumentos.

Nos anexos apresentam-se tabelas de ndices que tm o objetivo de

possibilitar clculos rpidos para algumas taxas e prazos e, ainda, uma tabela

prtica para clculo de prazos entre datas.

Espera-se oferecer um instrumento de aprendizado e consulta que possa

auxiliar nossos alunos e treinandos na ampliao e consolidao de seus

conhecimentos e na sua evoluo profissional.


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2. Percentagens

Uma percentagem um nmero relativo, que pode ser utilizado para

comparar grandezas de qualquer espcie: volume, rea, peso, etc.

A percentagem (r) representa parte (p) de uma grandeza que foi dividida

em cem unidades, que chamamos de principal (P).

Fazendo uma regra de trs, temos:

iPpr

PrP

pr

pP==

==

100100100

Onde i uma taxa e igual percentagem dividida por cem:

100

ri =

Exemplo: Calcular 8% de 560.

Comentrio: Podemos calcular utilizando a percentagem ou a taxa.

8,4408,0560

8,44100

8560

==

=

=

p

ou

p

2.1 Acrscimos e abatimentos

O valor resultante de um acrscimo chamado de valor bruto (B) e igual

ao principal mais a parte que foi acrescida.

pPB +=

Ns j vimos que a parte igual ao principal multiplicado pela taxa:

iPp =

Substituindo na equao anterior, temos:

)1( iPB

ou

iPPB

+=

+=

Da mesma forma, ao fazermos um abatimento, o valor resultante o valor

lquido (L), que igual ao principal menos a parte que foi abatida.


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pPL =

Como:

iPp =

Substituindo na equao anterior:

)1( iPL

ou

iPPL

=

=

2.2 Operaes com mercadorias

Nos acrscimos como nos abatimentos, podemos considerar como

principal tanto o preo inicial (Po), que o preo antes da operao ou preo decusto, como o preo final (Pn) que o preo depois da operao ou preo de venda.

Isso costuma gerar muita confuso, pois um mesmo acrscimo ou

abatimento pode ser representado por duas percentagens, uma calculada "sobre" o

preo inicial e outra calculada "sobre" o preo final.

Assim, se o principal o preo inicial, o que mais comum, em um

acrscimo o preo final um valor bruto igual ao preo inicial mais o acrscimo:

)1()1( 00 iPPiPB n +=+=

Em um abatimento, o preo final um valor lquido igual ao preo inicial

menos o abatimento:

)1()1( 00 iPPiPL n ==

Porm, em certas ocasies como no clculo do ICMS, por exemplo, o

principal o preo final, isto , o clculo feito sobre o preo que j inclui a

operao. Nesse caso, em um acrscimo, o preo inicial um valor lquido igual ao

preo final menos o acrscimo:

)1()1( 0 nn iPPiPL ==

ou

)1(

0

n

ni

PP

=

Em um abatimento, o preo inicial um valor bruto igual ao preo final

mais o abatimento:


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)1()1( 0 nn iPPiPB +=+=

ou

)1(

0

n

ni

PP +

=


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EXERCCIOS

1) Quanto 8% de 1.253.897,33?2) Quanto por cento 1.200 de 8.000?3) 1.000,00 so 3% de quanto?

4) A cotao da libra esterlina passou de R$ 1,86 para R$ 1,90. Qual foi a variao percentual?5) A saca de caf passou de US$ 40,00 para US$ 30,00. Qual foi a variao percentual?6) A saca de caf passou de R$ 75,00 para R$ 100,00. Qual foi a variao percentual?7) O preo de venda de certa mercadoria representa um acrscimo de 15% sobre o preo de custode R$ 5.800,00. Qual o preo de venda?8) O preo de venda de certa mercadoria R$ 1.500,00 e representa um acrscimo de 25% sobre opreo de custo. Calcule o preo de custo.9) O preo de venda de certa mercadoria de R$ 6.700,00, o que inclui uma margem que representa25% desse preo de venda. Calcule o preo de custo.10) O preo de custo de certa mercadoria de R$ 8.000,00, o que permite vend-la com umamargem que representa 20% do preo de venda. Calcule esse preo de venda.11) Uma mercadoria que custou R$ 12.000,00 foi vendida por R$ 16.000,00. Qual foi a margem

sobre o preo de custo? Qual sobre o de venda?12) O preo de venda de certa mercadoria R$ 1.500,00 e resulta de um abatimento de 25% sobre opreo de custo. Calcule o preo de custo.13) Uma mercadoria custou R$ 9.000,00, o que obriga a vend-la com um prejuzo de 30% sobre opreo de custo. Calcular o preo de venda.14) O preo de venda de certa mercadoria de R$ 6.700,00 e resulta de um desconto de 25% sobrea venda. Calcule o preo de custo.15) O preo de custo de certa mercadoria de R$ 8.000,00, o que obriga a vend-la com umprejuzo que representa 20% do preo de venda. Calcule esse preo de venda.

RESPOSTAS:

1) 100.311,79 2) 15% 3) 33.333,33 4) 2,15% 5) - 25% 6) 33,33% 7) R$ 6.670,00 8) R$ 1.200,00 9) R$5.025,00 10) R$ 10.000,00 11) 33,33% e 25% 12) R$2.000,00 13) R$ 6.300,00 14) R$ 8.375,00 15)R$ 6.666,67


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2.3 Acrscimos e abatimentos sucessivos

Os acrscimos e abatimentos podem ser feitos de forma sucessiva. Isso

quer dizer que, em uma srie de Operaes, cada operao realizada de formaacumulada, "sobre" o resultado da operao anterior. Dessa forma, o bruto de cada

acrscimo ou o lquido de cada abatimento passa a ser o principal da operao

seguinte.

Vamos imaginar uma srie de acrscimos feitos de forma sucessiva, a

partir de um principal. O bruto do primeiro acrscimo seria calculado por:

)1( 11 iPB +=

O do segundo, por:

)1()1()1( 21212 iiPiBB ++=+=

O terceiro, por:

)1()1()1()1( 321323 iiiPiBB +++=+=

E assim por diante. Sendo n uma quantidade qualquer de acrscimos,

poderamos escrever que:

)1(...)1()1(21 nn

iiiPB +++=

E se fossem vrios acrscimos iguais, teramos:

n

nniPBiiiPB )1()1(...)1()1( +=+++=

Como esses acrscimos so realizados sobre principais diferentes, o

acrscimo total sempre diferente do (maior que o) obtido pela simples soma das

taxas. Isto nos leva busca de uma taxa nica que corresponda aplicao de

diversas taxas de forma sucessiva. Assim, o valor bruto produzido por essa taxa

nica de acrscimos (iua) ser igual ao valor bruto produzido pelas diversas taxas deacrscimos sucessivos:

nu BB =

sendo:

)1(...)1()1()1( 21 nnuau iiiPBeiPB +++=+=

assim,


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)1(...)1()1()1( 21 nua iiiPiP +++=+

)1(...)1()1(1 21 nua iiii +++=+

e, finalmente:1)1(...)1()1( 21 +++= nua iiii

Se fossem vrios acrscimos iguais, teramos:

1)1(1)1(...)1()1( +=+++= nuaua

iiiiii

Vamos imaginar, agora, uma srie de abatimentos feitos de forma

sucessiva, a partir de um principal. O lquido do primeiro abatimento seria:

)1( 11 iPL =

O do segundo, por:

)1()1()1( 21212 iiPiLL ==

O terceiro, por:

)1()1()1()1( 321323 iiiPiLL ==

E assim por diante. Sendo n uma quantidade qualquer de abatimentos,

poderamos escrever que:

)1(...)1()1(21 nn iiiPL =

E se fossem vrios abatimentos iguais, teramos:

n

nniPLiiiPL )1()1(...)1()1( ==

Como os abatimentos sucessivos resultam em um abatimento total

diferente da (menor que a) soma das taxas de abatimento, podemos calcular a taxa

nica que corresponde aplicao de diversas taxas de abatimento sucessivas. O

valor lquido produzido por essa taxa nica de abatimentos, ou taxa nica de

descontos (iud) ser igual ao valor lquido produzido pelas diversas taxas de

abatimentos sucessivos:

nuLL =

sendo:

)1(udu

iPL =

e

)1(...)1()1( 21 nn iiiPL =


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Assim,

)1(...)1()1()1( 21 nud iiiPiP =

)1(...)1()1(1 21 nud iiii =

1)1(...)1()1( 21 = nud iiii

E, finalmente:

)1(...)1()1(1 21 nud iiii =

E, se fossem vrios abatimentos iguais, teramos:

n

ududiiiiii )1(1)1(...)1()1(1 ==


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EXERCCIOS

1) Calcular o valor bruto de uma mercadoria cujo preo de fbrica de R$ 1.200,00 por unidade eque sofre os acrscimos sucessivos de 3%, 5% e 7%.2) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que sofreu, de forma sucessiva, os acrscimos de 5%,

10%, 15% e 20% e foi vendida por R$ 150.000,00.3) Calcular o valor lquido de uma mercadoria que sofreu, sucessivamente, os abatimentos de 5%,10%, 15% e 20% sobre o valor inicial de R$ 100.000,00.4) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que foi vendida por R$ 50.000,00 aps sofrer osabatimentos sucessivos de 10%, 20%, 30% e 40%.5) Qual a taxa nica que corresponde aos acrscimos de 5%, 10%, 15% e 20% aplicados de formasucessiva?6) Qual a taxa nica que corresponde aos abatimentos de 5%, 10%, 15% e 20% aplicados de formasucessiva?7) Uma mercadoria cujo preo de fbrica de R$ 15.000,00 sofre, de forma sucessiva, osacrscimos de 3%, 5%, 8% e um quarto que eleva o seu preo final a R$ 21.024,36. Qual apercentagem do o ltimo acrscimo?

8) Ao comprar certa mercadoria por R$ 20.000,00, obtive os descontos de 15%, 20% e um terceiro.Os descontos foram realizados de forma sucessiva, sobre o preo da etiqueta de R$ 42.016,81. Quala percentagem do ltimo desconto?9) O acrscimo total de 27,63% foi resultante da aplicao de cinco taxas iguais de forma sucessiva.Qual a percentagem dessas taxas?10) O abatimento total de 22,62% foi resultante da aplicao de cinco taxas iguais de formasucessiva. Qual a percentagem dessas taxas?

RESPOSTAS:

1) R$ 1.388,65 2) R$ 94.108,79 3) R$ 58.140,00 4) R$ 165.343,92 5) 59,39% 6) 41,86% 7) 20,00% 8)30,00% 9) 5,00% 10) 5,00%


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3. Fundamentos da Matemtica Financeira

3.1 O Princpio da Equivalncia

O princpio fundamental da Matemtica Financeira o princpio da

equivalncia. O princpio da equivalncia baseia-se no fato de que o dinheiro muda

de valor no decorrer do tempo. Assim, uma determinada quantia teria significados

econmicos diferentes em pocas diferentes, ainda que em ambiente no

inflacionrio. A partir desse raciocnio, podemos imaginar uma outra quantia,

situada em poca futura, que tenha o mesmo significado econmico, o mesmo valor,

que certa quantia conhecida no presente. Em outras palavras, um Valor Futuro (FV)

equivalente ao Valor Presente (PV) conhecido. Da mesma forma, podemos imaginar

que exista, no presente, uma quantia com o mesmo valor que outra quantia

conhecida no futuro, ou prevista. Em outras palavras, um Valor Presente

equivalente ao Valor Futuro conhecido ou previsto.

A diferena entre o Valor Presente e o Valor Futuro a parcela

correspondente aos juros (j). Os juros podem ser definidos livremente como o

aluguel do capital. Existem vrias justificativas para os juros. Entre elas podemos

citar a teoria da produtividade marginal do capital: o capital, associado aos outros

fatores de produo, , tambm produtivo. Como o capital , ento, um dos fatores

de produo, os juros correspondem remunerao do fator capital, da mesma

forma, por exemplo, que os salrios remuneram o fator trabalho. Outra teoria a do

preo do tempo ou abstinncia de Bhm-Bawerk (escola psicolgica austraca) que

diz que um capital emprestado um bem presente que se d em troca de um bem

futuro. Como a expectativa de um bem futuro vale menos que a realidade do bem

presente, os juros compensariam essa diferena. Assim, o Valor Futuro o

resultado da soma do Valor Presente com a sua remunerao sob a forma de juros:

jPVFV +=


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3.2 As Taxas de Juros

O nvel de preos dos bens e servios funo de sua escassez. Da

mesma maneira que as foras de oferta e demanda determinam o preo dos bens e

servios, as foras de oferta de fundos e a procura de crdito determinam o preo

do crdito que representado pela taxa de juros. Na verdade, essas foras de

mercado determinam o nvel (i0) da taxa de juros pura (ip), correspondente a uma

situao de virtual equilbrio de mercado decorrente da quantidade (Q0) de recursos

demandados (Q).

O mercado adiciona, a essa taxa pura, um conjunto de outras taxas

(spread) que visam cobrir impostos (IOF), comisses (flat) e custos de

intermediao financeira e uma taxa correspondente remunerao do fator risco

(i), que varivel e visa remunerar o risco especfico daquele tipo de operao. O

resultado a taxa real (ir) de juros, que corresponde ao custo real das operaes

financeiras. Assim, a taxa real :

ir= ip+ IOF + flat + custos + i

D Sip

ioQ0 Q


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taxa real pode, ento, ser acumulada a expectativa de inflao (i) para

constituir a taxa efetiva (ie) de juros, como a seguir:

ie= (1 + ir) . (1 + i) - 1

Observe que a taxa de inflao acumula-se taxa real de juros, como nos

acrscimos sucessivos (2.3), para formar a taxa efetiva. No basta, portanto,

somar a taxa de inflao taxa de juros, pois os juros incidem sobre o capital j

corrigido monetariamente, i. e., j compensado pelo desgaste da inflao.

3.3 Diagrama de Fluxos de Caixa

O Diagrama de Fluxos de Caixa (DFC) a representao grfica dasoperaes financeiras. Como o valor de um fluxo de caixa (pagamento ou

recebimento) funo do tempo, necessita ser representado em uma escala

cronolgica que o situe exatamente na poca de sua ocorrncia. Assim, o DFC

constitudo de um segmento de reta graduado de forma a representar os intervalos

de tempo entre os fluxos. Estes so representados por vetores verticais orientados

para cima (recebimentos - fluxos positivos) ou para baixo (pagamentos - fluxos

ip + flat+ IOF + custos

ir

ir0

0

i


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negativos) com origem na escala cronolgica, na graduao correspondente

poca de ocorrncia. Um Diagrama de Fluxos de Caixa pode ter o seguinte aspecto:

4. O Regime de Capitalizao Simples

4.1 Juros Simples

Juro o prmio que se paga pela utilizao de um capital por certo tempo.

A capitalizao simples um regime de clculo de juros (j) em que estes

so definidos, em cada perodo, como uma parte de um mesmo principal. Este

principal o capital (C) da operao financeira. Os juros so, ento, obtidos pela

aplicao de uma percentagem ou taxa, a taxa de juros (i) sobre este principal.

Como sabemos,

p = P . i

Logo,

j = C . i

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

200 200

100 100 100

50100 100

150200


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Para obter o total de juros produzidos em certo nmero de perodos (n),

fazemos:

j = C . i . n

Exemplo: Calcular os juros simples do capital de R$ 1000,00, a 15% a.a.,

em cinco meses.

Comentrio: Para todo o clculo financeiro, fundamental que o prazo e a

taxa de juros estejam se referindo ao mesmo perodo de capitalizao. No exemplo

acima, temos uma taxa ao ano (a.a.) e um prazo expresso em meses. No entanto,

esse prazo pode ser expresso como uma frao do perodo de capitalizao anual:

100 . .

50,15 . . 1000.0,15.

12

55 $62,50

12

C j C i n

i a a j

n me a j R

= =

= =

= = =

4.2 Montante Simples

Montante Simples (M) o resultado da soma do capital com os juros.

Portanto,

M = C + j

Como vimos anteriormente,

j = C . i . n

Logo,

M = C + C. i. n

ou

M = C . ( 1 + i . n)

Exemplo: Calcular o montante de um capital de R$ 700,00, a 10% a.me.,

em 6 meses.


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Comentrio: Nesse caso, a taxa e o prazo j se referem ao mesmo perodo

de capitalizao (um ms). Podemos, portanto, aplicar a frmula diretamente:

700 .(1 . )

0,10 . . 700.(1 0,10.6)

6 $1.120,00

C M C i n

i a me M

n me M R

= = +

= = +

= =

4.3 Taxas

As taxas de juros podem ser classificadas em proporcionais e

equivalentes.

Taxas proporcionais so aquelas que se relacionam com os prazos a que

se referem formando uma proporo. Assim, a taxa de 24% ao ano proporcional a12 % ao semestre, a 2% ao ms, etc.

Taxas equivalentes so aquelas que produzem o mesmo resultado quando

aplicadas pelo mesmo prazo. No Regime de Capitalizao Simples, as taxas

proporcionais so equivalentes.

Assim, se aplicarmos um capital a 5% ao ms durante dois anos, iremos

obter a mesma quantidade de juros que obteramos aplicando por dois anos esse

capital a 10 % ao bimestre, a 30% ao semestre ou a 60% ao ano.A matemtica financeira utiliza duas convenes para contagem do prazo

das operaes financeiras (perodo financeiro): o ano comercial, com 360 dias e,

portanto, 12 meses com 30 dias cada, e o ano civil, com 365 ou 366 dias quando

bissexto e com os 12 meses com a respectiva quantidade de dias. Em geral, quando

o contrato no especifica se juro comercial ou juro civil, utiliza-se a conveno

comercial por maior facilidade. No entanto, quando o contrato especifica o contrrio,

ou quando o prazo estabelecido entre duas datas, utiliza-se o ano civil. Para acontagem de dias entre duas datas, ver a Tabela n 4.2 - p.59 .

4.4 Descontos Simples

A operao de desconto inversa da capitalizao e consiste em se

determinar um Valor Presente equivalente a um determinado Valor Futuro. Em

termos prticos, as operaes de desconto so realizadas com os ttulos de crdito

que so os instrumentos de crdito que possuem garantia legal (duplicatas, notas


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promissrias, etc.). Possuindo garantia legal, esses ttulos podem ser negociados

livremente, antes de sua data de vencimento. Assim, um ttulo de crdito pode ser

convertido em dinheiro ou substitudo por outro(s) ttulo(s) anteriormente data

prevista para sua liquidao. A converso feita pelo Valor Atual (An) ou Valor

Presente do ttulo, que corresponde ao Valor de Face, Valor Nominal (N) ou Valor

Futuro do ttulo, menos o desconto (d) que a compensao em valor pela

antecipao do resgate do ttulo.

O Regime de Capitalizao Simples utiliza duas formas de clculo para o

desconto: o Desconto Simples Comercial e o Desconto Simples Racional. Como

apenas a modalidade comercial praticada, ainda que sua utilizao seja restrita a

operaes de curto prazo, nos ateremos ao seu estudo.

4.4.1 Clculo do Desconto Simples Comercial

O Desconto Simples Comercial (dc), tambm chamado Desconto Simples

"Por Fora", equivale aos juros simples calculados sobre o Valor Nominal (F) do

ttulo. Da frmula dos juros simples:

j = C . i . n

Tiramos, substituindo j por dc e C por N,

dc= N . i . n

Exemplo: Calcular o desconto comercial de um ttulo de R$ 500,00,

descontado 27 dias antes do vencimento, taxa de desconto de 5% ao ms.

Comentrio: Como o prazo no est em uma unidade de tempo compatvel

com o perodo de capitalizao da taxa, necessrio express-lo em funo dessa

nova unidade de tempo.

500 . .

270,05 . . 500.0,05.

30

2727 $22,50

30

c

c

c

N d N i n

i a me d

n d me d R

= =

= =

= = =


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4.4.2 Clculo do Valor Atual Comercial

O Valor Atual o valor pelo qual o ttulo resgatado ou negociado antes

do seu vencimento e corresponde diferena entre o Valor Nominal e o Desconto:

Anc= N - dc

Porm, como

dc= N . i . n,

podemos escrever:

Anc= N - N . i . n => Anc= N (1 - i . n)

Exemplo: Calcular o Valor de Resgate de um ttulo de R$ 1100,00, 25 dias

antes do seu vencimento, taxa de desconto de 8% a.me.

Comentrio: O exemplo no especifica a modalidade de desconto simples

utilizada. Sendo assim, como norma, utilizamos o desconto comercial.

1100 (1 . )

250,08 . . 1100.(1 0,08. )

30

2525 $1.026,67

30

c

c

c

N An N i n

i a me An

n d me An R

= =

= =

= = =


22/67

18




EXERCCIOS1) Calcular os juros simples do capital de R$ 1.000,00 durante 19 dias 16% ao ms.2) Calcular o montante a juros simples do capital de R$ 2.500,00, durante 23 dias, a 14% ao ms. 3) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 5.000,00 a 20% a.a. produzir juros simples de R$1.500,00?

4) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 2.500,00 a 10% ao ano produzir o montante a jurossimples de R$3.250,00?5) Um investidor aplicou R$ 250.000,00 em Letras de Cmbio no dia 15 de janeiro de 1995 e, aoresgat-las no dia 16 de maro do mesmo ano, recebeu R$ 320.500,00. Quanto recebeu de juros?Que taxa mensal remunerou seu capital nesse perodo?6) Um empresrio pediu um emprstimo de R$ 25.000,00 a uma instituio financeira, por certoperodo. Na liberao do emprstimo, pagou antecipadamente, como previa o contrato, 22% dejuros. Qual o valor pago de juros? Qual a quantia efetivamente liberada? Considerando a quantialiberada como emprstimo, qual foi a taxa efetiva de juros?7) Um ttulo foi descontado, 47 dias antes de seu vencimento, taxa de 7% a.me., por R$ 4.451,67.Calcular o Valor Nominal do ttulo.8) Uma nota promissria de R$ 7.500,00 foi resgatada, dois meses antes de seu vencimento, por R$

5.250,00. Calcular a taxa de desconto.9) Uma empresa descontou em um banco, no dia 26 de maio, trs ttulos de R$ 20.000,00; R$15.000,00 e R$35.000,00, vencveis, respectivamente, em 27 de junho, 28 de julho e 24 de agostodo mesmo ano. Calcule o valor atual uti lizando a taxa de desconto de 15% a.me.10) Uma empresa devedora de trs ttulos de R$ 2.000,00; R$ 1.500,00 e R$ 3.000,00, vencveis em32, 63 e 90 dias, respectivamente, prope ao banco credor substitu-los por dois outros, de mesmovalor nominal, para 40 e 75 dias. Calcule o valor nominal desses ttulos a uma taxa de desconto de15% ao ms.

RESPOSTAS:

1) R$ 101,33 2) R$ 268,33 3) 1a6me 4) 3a 5) R$ 70 500,00; 14,10% a.me. 6) R$ 5.500,00; R$19.500,00; 28,21% 7) R$ 5.000,00 8) 15% a.me. 9) R$ 46.325,00 10) R$ 3.057,89


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19




5. O Regime de Capitalizao Composta

5.1 Montante e juros de um nico pagamento

No Regime de Capitalizao Composta, os juros so sempre calculados

sobre o valor bruto do perodo anterior. Ao contrrio do que ocorre no Regime de

Capitalizao Simples, no qual temos sempre o mesmo principal, neste regime o

principal muda a cada perodo de capitalizao. O principal sempre o Montante ou

Valor Futuro (FV) do perodo anterior.

claro que para o primeiro perodo no temos montante do perodo

anterior. Assim, os juros compostos do primeiro perodo so iguais aos juros

simples, se usarmos a mesma taxa e o mesmo capital e, claro, o montante tambm

o mesmo.

Partindo de um certo Capital Inicial (PV), os juros do primeiro perodo

seriam, como em juros simples:

j = PV . i

e o montante seria:

FV1 = PV . (1 + i . 1) = PV . (1 + i)

O montante do segundo perodo seria:

FV2= FV1 . (1 + i) = PV . (1 + i) . (1 + i) = PV . (1 + i)2

O montante do terceiro perodo seria:

FV3= FV2 . (1 + i) = PV . (1 + i)2

. (1 + i) = PV . (1 + i)3

E assim por diante, o que nos permite generalizar assim:

FV = PV. (1 + i)n

(Ver Tabela 2 - p.64)


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20




Ao trabalhar com juros compostos, mais simples obter o montante e

depois subtrair o capital inicial para obter o valor dos juros. Assim:

j = FV - PV

j = PV . (1 + i)n

- PV

e, finalmente,

j = PV . [(1 + i)n

- 1]

5.2 Desconto

O desconto a operao inversa da capitalizao. Enquanto a operao

de capitalizao agrega, a cada perodo, os juros ao capital inicial ou ValorPresente para produzir o montante ou Valor Futuro, a operao de desconto retira,

a cada perodo, os juros de um determinado Valor Futuro para produzir o Valor

Presente daquele perodo.

Usando a frmula do montante, basta isolarmos no primeiro membro o

Valor Presente:

FV = PV . (1 + I)n

=> PV = FV . (1 + i)-n

(Ver Tabela 1 - p. 63)

5.3 Taxas de juros compostos

5.4 Taxas proporcionais e equivalentes

A exemplo do que vimos em juros simples, as taxas podem ser

classificadas em proporcionais e equivalentes. Porm, ao contrrio do que ocorre

nos juros simples, no Regime de Capitalizao Composta as taxas proporcionaisno so equivalentes. Isso ocorre porque, nesse regime, os juros no so

calculados sempre sobre o mesmo principal, mas sim sobre o montante do perodo

anterior. Como as taxas incidem, a cada perodo, sobre um principal diferente, a

taxa equivalente ao fim de um certo nmero de perodos no pode ser

simplesmente oresultado do produto da taxa ao perodo pelo nmero de perodos,

como uma taxa proporcional.


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21




Usando a frmula do valor futuro e um valor presente igual a um, vamos

imaginar uma taxa (iq) que produza, no mesmo prazo, o mesmo montante em um

nmero de perodos (1/q) que outra taxa (it) produziria em outro nmero de perodos

(1/t). As frmulas ficariam assim:

FV = PV. (1 + iq)1/q

FV = PV . (1 + it)1/t

Como ambas do como resultado o mesmo FV, podemos igual-las:

PV . (1 + iq)1/q

= PV . (1 + it)1/t

e, simplificando PV, temos:

(1 + iq)1/q

= (1 + it)1/t

1 + iq = (1 + it)q/t

iq = (1 + it)q/t

- 1

Para facilidade de aplicao, podemos ler esta frmula desta forma pouco

ortodoxa: "A taxa que queremos (iq) igual a 1 mais a taxa que temos (it), elevado

ao nmero de capitalizaes que queremos (q), em um certo prazo, dividido pelo

nmero de capitalizaes que temos (t), no mesmo prazo, menos 1." P. Ex. calcular

a taxa anual equivalente a 2% a.m..

it = 2% a.m. (a taxa quetemos)

t = 1 (nmero de capitalizaes quetemos 1 ms)

q = 12 (nmero de capitalizaes quequeremos 12 meses)

iq = (1 + it)q/t

1

iq = (1 + 0,02)12/1

1

iq = 1,0212

1

iq = 1,2682 1

iq = 0,2682 = 26,82% a.a.

5.5 Taxas nominais e efetivas

comum que os contratos financeiros apresentem a taxa de juros relativa

a um perodo de tempo (geralmente ao ano), chamado de perodo financeiro, mas


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que os clculos considerem a incidncia dos juros em um perodo diferente

(geralmente ao ms), chamado de perodo de capitalizao. O clculo, nesses

casos, feito com a utilizao da taxa no perodo de capitalizao proporcional

taxa contratada no perodo financeiro. P. Ex. 10% a.a. capitalizados mensalmente:

taxa contratada: 10% a.a. perodo financeiro: um ano

capitalizao: mensal perodo de capitalizao: um ms

taxa proporcional no perodo de capitalizao: 10% 12 = 0,83% a.m.

Sabemos, no entanto, que, por se tratar do regime de capitalizao

composta, o resultado obtido ser diferente do resultado indicado pela taxa

contratada. Assim, a taxa contratada de 10% a.a. apenas uma taxa anual

proporcional taxa no perodo de capitalizao, uma taxa meramente nominal,

pois no corresponde ao resultado da operao.

A taxa que realmente reflete o custo financeiro anual da operao a taxa

anual equivalente a 0,83% a.m.. J vimos como calcul-la:

iq = (1 + it)q/t

1

iq = (1 + 0,0083)12/1

1

iq = 1,008312

1

iq = 1,1043 1

iq = 0,1043 = 10,43% a.a.

Esta taxa de 10,43% a.a. a taxa efetiva da operao e corresponde ao

custo anual da operao, diferentemente da taxa nominal de 10% a.a..

5.6 Regime de Capitalizao Mista

J pudemos verificar que o montante gerado pelo Regime de

Capitalizao Composta maior que o gerado pelo Regime de Capitalizao

Simples. Porm, isso s ocorre para um nmero inteiro de perodos. Quando o

prazo uma quantidade no inteira de perodos de capitalizao, o montante

gerado na parte fracionria do prazo, e apenas nessa parte fracionria, ser maior

se for calculado a juros simples. Assim, o mercado adota a Conveno Linear, que


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calcula o montante a juros compostos pela parte inteira de perodos de capitalizao

de um prazo, e o montante desse resultado a juros simples pela sua parte

fracionria. Considerando um prazo fracionrio, representado pela frao mista np/q,

teramos como valor futuro a juros compostos da parte inteira do prazo, FVn,:

.(1 )nFVn PV i= +

E para a parte fracionria do prazo, tomando FVn como valor presente no

segundo clculo, o valor futuro a juros simples, FVnp/q,:

. 1 .p qp

FVn FVn iq

= +

Porm, como:

.(1 )nFVn PV i= + ,

.(1 ) . 1 .n

p q

pFVn FV i i

q

= + +

5.7 Equivalncia de Fluxos de Caixa

Como vimos no item sobre Desconto (2.3.2), as operaes de Desconto e

Capitalizao so operaes inversas. Isso significa que, capitalizando um

determinado valor presente (PV) por um certo nmero de perodos (n) a uma

determinada taxa (i), obtendo, assim, um valor futuro (FV), se descontarmos esse

valor futuro (FV) mesma taxa (i), pelo mesmo nmero de perodos (n), iremos

obter o mesmo valor presente (PV). Esse raciocnio ilustra bem o princpio

fundamental da matemtica financeira: o Princpio da Equivalncia.

Este princpio nos diz que capitais iguais, situados em pocas diferentes,

tm valores diferentes, mesmo no pressuposto de uma economia com moeda

constante, ou seja, mesmo com inflao nula. Assim, podemos imaginar um capital

situado em uma data futura que, embora diferente, tenha o mesmo valor que outro

capital situado no presente; da mesma forma podemos imaginar um capital no

presente que, embora diferente, possua o mesmo valor que outro colocado no

futuro. Esses capitais diferentes, colocados em datas diferentes, teriam, na mesma

data, o mesmo valor, seriam equivalentes. O mecanismo que estabelece o grau de


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equivalncia e, portanto, que capital situado em uma determinada data

equivalente a outro em outra data a taxa de juros.

Isso de extrema valia quando se trata de comparar valores (fluxos de

caixa) situados em pocas diferentes, pois podemos, indiferentemente, capitalizar

um ou mais fluxos para uma data futura, ou descontar um ou mais fluxos para uma

data presente. Como s podemos comparar, operar algebricamente ou trocar fluxos

de caixa situados na mesma data, utilizamos os recursos da capitalizao e do

desconto para "moviment-los" ao longo do tempo, "atualizando-os" para a mesma

data e, ento, realizando a operao que desejamos.

A equivalncia permite, na prtica, a troca de um ttulo de crdito

(duplicata, nota promissria, etc.) ou de um grupo de ttulos situados em uma, ou

diversas datas, por outro ttulo ou por outro grupo situados em outra ou em outras

datas diferentes. Para isso, necessrio que, em uma data qualquer, os seus

valores equivalentes (presentes ou futuros) sejam iguais. Tomando o seguinte

conjunto de fluxos de caixa equivalentes:

Temos que:

PV4 +FV3+ FV2= 1000 + FV4+ PV5

EXERCCIOS

1) Calcular a taxa efetiva anual correspondente a 180% ao ano, capitalizados mensalmente.2) Qual o tempo necessrio para que R$ 2.500,00 produzam o montante de R$ 5.190,40, taxa de24% a.a. com capitalizaes trimestrais?3) No fim de quanto tempo os capitais de R$ 5.000,00, a 20% a.a. capitalizados trimestralmente e deR$ 15.000,00 u.m., a 10% a.a. capitalizados semestralmente produziro juros iguais?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PV4FV3

FV2

1000

FV4

PV5


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4) No fim de quanto tempo o capital de R$ 500,00 a 10% a.a. e R$ 400,00 a 12% a.a. produziromontantes iguais?5) Qual deve ser a taxa mdia mensal de inflao para que os preos dupliquem em 3 anos?6) Qual a taxa anual de juros capitalizada mensalmente que faz com que R$ 2.500,00 produzam omontante de R$ 5.190,40 em 7 meses e meio?

7) O desconto de um ttulo, pagvel em 3 meses e 18 dias, de R$ 2.164,74. Calcular o ValorNominal do ttulo, sabendo que a taxa empregada foi de 30% a.a. com capitalizaes mensais.8) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 5.000,00, a 40% a.a. capitalizados mensalmenteproduzir R$4.500,00 de juros?9) Duas notas promissrias, de R$ 5.000,00 para 1 ano e 6 meses e de R$ 8.000,00 para 2 anos e 3meses, sero substitudas por uma nica para 3 anos. Estipulando a taxa de 18% a.a. capitalizadosmensalmente para essa operao, calcular o Valor Nominal do ttulo.10) Uma empresa toma um emprstimo de R$ 200,00 por trs anos a 20% a.a. capitalizadosmensalmente. Algum tempo aps, prope saldar a dvida com trs pagamentos anuais realizveis nofim do 2, 3 e 4 anos. O primeiro pagamento ser de R$ 50,00 e o segundo, de R$ 100,00. Calcularo valor do ltimo pagamento, sabendo que a taxa do desconto real de 12% a.a. com capitalizaesmensais.

RESPOSTAS:

1) 435,03% a.a.; 2) 3a1me19d; 3) 7a1me8d; 4) 12a4me19d; 5) 1,94% a.me.; 6) 122,76% a.a. cap.mens.; 7) R$ 25.450,49; 8) 1a7m18d; 9) R$ 15.683,82; 10) R$ 251,54


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6. Sries Uniformes

6.1 Classificao, elementos e clculos

As sries uniformes so constitudas, tanto nas operaes de recuperao

de capital (amortizao), como nas de formao de capital (capitalizao). Nas

operaes de amortizao (emprstimos, financiamentos, etc.) o valor a ser

amortizado anterior srie, a sua causa, e recebe o nome de Valor Atual ou

Valor Presente (PV) de uma srie. Nas operaes de capitalizao, o capital

formado posterior srie, a sua conseqncia, e recebe o nome de Montante ou

Valor Futuro (FV) da srie. Os fluxos de caixa que constituem a srie so

denominados Termos ou Pagamentos (PMT), o nmero de termos (n) e a taxa no

perodo (i) so os demais elementos de uma operao com sries uniformes.

As sries uniformes classificam-se em Antecipadas, Imediatas

(Postecipadas) e Diferidas em funo da poca em que ocorrem os seus fluxos.

6.2 Sries Antecipadas

Em uma Srie Antecipada, os fluxos ocorrem no incio dos respectivos

perodos. As sries antecipadas so mais freqentes nas operaes de

capitalizao, embora sejam utilizadas, tambm, em operaes de amortizao.

O DFC de uma Srie Antecipada tem o seguinte aspecto:

O Valor Presente da uma srie Antecipada corresponde soma dos

valores presentes de todos os termos (PMT) iguais que a compem. Calculando os

valores presentes de todos os termos e somando-os temos:

1 3 2 1( ) .(1 ) ... .(1 ) .(1 ) .(1 )nPV a PMT i PMT i PMT i PMT i PMT + = + + + + + + + + +

1 3 2 1( ) .[(1 ) ... (1 ) (1 ) (1 ) 1]nPV a PMT i i i i + = + + + + + + + + +

0 1 2 3 4 5 ... n-2 n-1 n


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Fazendo:

(1 )i u+ = ,

temos:

1 3 2 1( ) .( ... 1)nPV a PMT u u u u + = + + + + +

Com a expresso entre parnteses representando a soma dos termos de

uma Progresso Geomtrica de razo q = u. A frmula que permite calcular a soma

dos termos de uma P.G. :

1

.

1nn

a q aS

q

=

;

Substituindo os elementos, temos:

1 11.;

1

n n

n

u u u uS

u i

+ +

= =

Multiplicando ambos os termos da frao por un-1:

1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

. . 1.. .

1 (1 ) 1( ) . ( ) .

. .(1 )

n n n n n n

n n n n

n n

n n

u u u u u u u uSi u i u i u

u iPV a PMT ou PV a PMT

i u i i

+ +

= = =

+ = =

+

O mesmo raciocnio pode ser utilizado para o desenvolvimento das

frmulas para clculo do Valor Futuro:

3 2 1( ) .(1 ) ... .(1 ) .(1 ) .(1 )nFV a PMT i PMT i PMT i PMT i= + + + + + + + +

3 2 1( ) .[(1 ) ... (1 ) (1 ) (1 ) ]nFV a PMT i i i i= + + + + + + + +

Fazendo:

(1 )i u+ = ,

temos:


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3 2 1( ) .( ... )nFV a PMT u u u u= + + + +

Com a expresso entre parnteses representando a soma dos termos de

uma Progresso Geomtrica Decrescente de razo q = u-1. Substituindo os

elementos na frmula do clculo da soma dos termos da P.G. decrescente:

1 .

1

nn

a a qS

q

=

1

1 1

. 1;

1 1

n n

n

u u u uS

u u

= =

Multiplicando ambos os termos da frao por u:

1 1

1 . 1. .( 1) 1. .

1 1. . 1

1 (1 ) 1( ) . . ( ) .(1 ).

n n n n

n

n n

u u u u u u u uS u

u u u u u u i

u iFV a PMT u ou FV a PMT i

i i

= = = =

+ = = +

6.3 Sries Imediatas

Em uma srie Imediata, os fluxos ocorrem no final dos respectivosperodos.

As sries Imediatas so mais caractersticas das operaes de

amortizao, embora possam ser utilizadas, tambm, em operaes especiais de

capitalizao na constituio de fundos de reembolso para o resgate de dvidas ou

fundos de proviso para a substituio de equipamentos.

O DFC de uma srie Imediata tem o seguinte aspecto:

O Valor Presente da uma srie Imediata pode ser obtido pela seguinte

frmula:

1 (1 ) 1( ) . ( ) .

. .(1 )

n n

n n

u iPV i PMT ou PV i PMT

i u i i

+ = =

+

0 1 2 3 4 5 6 ... n-1 n


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(Ver Tabela 3 - P.65)

O Valor Futuro calculado por:

1 (1 ) 1( ) . ( ) .

n nu iFV i PMT ou FV i PMT

i i

+ = =


6.4 Sries Diferidas

Em uma srie Diferida, os fluxos ocorrem no final dos respectivos

perodos, posteriores a um prazo de carncia ou diferimento.As sries Diferidas so praticamente exclusivas das operaes de

amortizao, embora sejam utilizadas, ainda que raramente, em operaes de

capitalizao nos mesmos casos previstos nas sries imediatas. As sries diferidas

incluem no clculo um elemento adicional: a carncia ou prazo de diferimento (m).

O DFC de uma srie Diferida tem o seguinte aspecto:

O Valor Presente da uma srie Diferida pode ser obtido pela seguinte

frmula:

1 (1 ) 1( ) . ( ) .

. .(1 )

n n

m n m n

u iPV d PMT ou PV d PMT

i u i i+ +

+ = =

+

O Valor Futuro calculado de forma idntica ao das sries imediatas, j

que o prazo de carncia ou diferimento no interfere nesse clculo:

1 (1 ) 1( ) . ( ) .

n nu iFV d PMT ou FV d PMT

i i

+ = =

Todos esses valores podem ser calculados pelas frmulas acima, pelo

emprego de tbuas financeiras e com as calculadoras financeiras, e, ainda, por

decomposio dos fluxos de caixa.

0 1 2 3 4 ... n-1 n

0 1 2 ... m m+1 m+2 m+3 m+4 ... m+n-1 m+ n


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6.5 Sries Gradientes

Sries Gradientes ou Sries em Gradiente so sries de pagamentos

cujos termos crescem em progresso aritmtica de razo G, sendo que o primeiro

termo tambm igual a G e ocorre no segundo perodo.

O DFC de uma Srie Gradiente tem o seguinte aspecto:

Para efeito de clculo, a Srie Gradiente convertida em uma srie

imediata equivalente, segundo o fator de converso:

1.

1n

n i

i i u


Assim, o valor do termo (PMT) de uma Srie Imediata equivalente a uma

Srie Gradiente em G :

0 1 2 3 4 5 6 ... n-1 n

G 2G 3G 4G 5G n-2G n-1G

1( ) . .

1n

n iP M T i G

i i u

=


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EXERCCIOS

Calcule o valor equivalente das seguintes sries, usando a taxa de 10%:1)

2)

3)

RESPOSTAS:

1) PV=R$ 1.071,16; 2) FV=R$ 14.024,93; 3) PV=R$ 2.677,23


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6.6 Decomposio de Fluxos de Caixa

Nem todas as operaes financeiras se comportam de forma uniforme. As

operaes mais complexas parecem conjuntos desordenados de fluxos de caixaquando traduzidas para um diagrama. No entanto, podemos decomp-las em dois

ou mais conjuntos de pagamentos isolados e sries uniformes, simplificando o seu

clculo. A decomposio de fluxos de caixa feita por "cortes" verticais ou

horizontais nos diagramas, que, assim, so decompostos em outros diagramas mais

simples e uniformes, como no exemplo a seguir:

Que pode ser decomposto horizontalmente em:


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7. Sistemas de financiamento

So vrios os sistemas utilizados para o pagamento de um emprstimo ou

de um financiamento. Trataremos dos mais freqentes no nosso mercado. Para

exemplificarmos, utilizaremos como exemplo, o emprstimo do capital de R$

30.000,00, a 10% ao ms, por cinco meses.


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7.1 Sistema do Montante

o sistema no qual o devedor restitui ao credor, ao final de um prazo

estipulado, o capital e os juros correspondentes. O clculo feito pela frmula do

Valor Futuro de um pagamento nico:

FV = PV . (1 + i)n

FV = 30000 . (1 + 0,10)5 = R$ 48.315,30

7.2 Sistema do Juro Antecipado (Descontos)

o sistema utilizado no clculo dos penhores e nas operaes de

emprstimo com desconto de duplicatas. , tambm, a forma utilizada para clculo

de taxas e comisses cobradas antecipadamente (flat), como os seguros de crdito,

o IOF, etc. Em geral, o desconto calculado no regime de capitalizao simples.

Porm, como os juros so pagos antecipadamente, a taxa de juros efetiva da

operao bastante diferente da taxa de desconto anunciada, o que

freqentemente conduz a erros de avaliao. Vejamos como ficaria a operao com

a taxa de 10% ao ms para o desconto simples:

PV

FV = ----------

1 - i.n

30000

FV = --------------- = R$ 60.000,00

1 - 0,10 . 5

Assim, para um emprstimo de R$ 30.000,00, temos um Valor Futuro de

R$ 60.000,00 em 5 meses. Substituindo esses valores na frmula do Valor Futuro

de um pagamento nico a juros compostos, temos:

FV = PV . (1 + i)n


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60000 = 30000 . (1 + i)5

60000

--------- = (1 + i)5

30000

2 = (1 + i)5

1 + i = 21/5

1 + i = 1,1487

i = 0,1487 => 14,87% a.m.

Sendo 14,87% ao ms, portanto, a taxa efetiva de juros. Essa diferena se

acentua medida que cresce o prazo e a taxa de desconto.

7.3 Sistema Francs ou Sistema Price

o sistema em que o pagamento do emprstimo ou financiamento feito

atravs de prestaes iguais, a intervalos de tempo constantes, geralmente ao ms.

Essas prestaes so compostas de duas partes: os juros mensais calculados sobre

o saldo devedor e o restante que compe uma quota destinada a amortizar o

principal da dvida.

O clculo das prestaes feito pelas frmulas das sries uniformes.

Utilizando o exemplo para uma srie uniforme imediata, temos:

(1+i)n - 1

PV(i) = PMT . -------------

i . (1+i)n


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(1+0,10)5 - 1

30000 = PMT . --------------------

0,10 . (1+0,10)5

0,6105

30000 = PMT . ----------

0,1611

30000 = PMT . 3,7908

30000

PMT = --------- = R$ 7.913,92

3,7908

Atravs do seguinte Plano de Amortizao, podemos observar a evoluo

dos principais componentes da operao, perodo a perodo.

Plano de Amortizao - Sistema FrancsCapital : 30.000,00N de Pagamentos : 5Taxa de Juros : 10,00%

Per. Pagamento Juros Quota de Fundo de Saldo De-(n) (PMT) Amortizao Amortizao vedor (PV)

0 - - - - 30000,001 7913,92 3000,00 4913,92 4913,92 25086,072 7913,92 2508,60 5405,31 10319,24 19680,753 7913,92 1968,07 5945,84 16265,08 13734,914 7913,92 1373,49 6540,43 22805,52 7194,475 7913,92 719,44 7194,47 30000,00 0,00

7.4 Sistema de Amortizaes Constantes

o sistema pelo qual o emprstimo ou financiamento pago atravs de

prestaes decrescentes. A quota destinada amortizao do principal fixa e

corresponde diviso do principal pelo nmero de prestaes. A essa quota so


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acrescentados os juros calculados sobre o saldo devedor do perodo anterior, para

formar a prestao do perodo.

O Plano de Amortizao a seguir ilustra bem a soluo do nosso exemplo

por esse sistema:

Plano de Amortizao - Sistema de Amortizaes ConstantesCapital : 30000,00N de Pagamentos : 5Taxa de Juros : 10,00%

Per. Pagamento Juros Quota de Fundo de Saldo De-(n) (PMT) Amortizao Amortizao vedor (PV)

0 - - - - 30000,001 9000,00 3000,00 6000,00 6000,00 24000,00

2 8400,00 2400,00 6000,00 12000,00 18000,003 7800,00 1800,00 6000,00 18000,00 12000,004 7200,00 1200,00 6000,00 24000,00 6000,005 6600,00 600,00 6000,00 30000,00 0,00


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EXERCCIOS1) Uma famlia decidiu comprar um refrigerador a crdito. O esquema de pagamento oferecido pelaloja o seguinte:15.03.02 R$ 500,0015.06.02 R$ 300,00

15.07.02 R$ 300,0015.08.02 R$ 300,0015.09.02 R$ 300,00Sabendo que a taxa de juros de 5% ao ms, determine o valor do refrigerador em 15.05.02.2) Qual o valor presente de uma srie de oito prestaes mensais imediatas de R$ 5.000,00,sabendo-se que a taxa mensal de juros de 3,0%?3) Qual o valor da prestao mensal de um fundo de investimentos que capitaliza os depsitos taxa composta de 10% ao ano capitalizados mensalmente, para se obter, no fim de 20 anos, omontante de R$ 500.000,00?4) Em quanto tempo duplicar um capital aplicado a uma taxa de juros de 1,25% ao ms?5) Logo que tenha economizado R$ 10.000,00 em valores de hoje, o Sr. Saddam Sahva pretendeinstalar uma quitanda. Se economizar R$ 500,00 por ms, investindo-os a 1,0% ao ms, quantos

meses sero necessrios para que o Sr. Saddam obtenha a importncia desejada, sabendo-se que ainflao mensal de 0,485%?6) O Sr. Komero Toda Furuta comprou uma Kombi em 10 prestaes mensais iguais. Sabendo que aKombi tem seu preo vista fixado em R$ 30.000,00 e que a taxa de financiamento de 1,75% aoms, determine:a) O valor da prestao.b) O saldo devedor aps o pagamento da 5 parcela.

RESPOSTAS:

1) R$ 1.615,04 2) R$ 35.098,46 3) R$ 658,44 4) 4 anos, 7 meses e 24 dias 5) 20 meses 6) R$

3.296,26 e R$15.650,17


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8. Anlise de alternativas de financiamento e investimento

A Anlise de Alternativas de Financiamento e Investimento conta com um

conjunto de tcnicas da Engenharia Econmica que permitem a comparao, de

forma cientfica, entre alternativas diferentes. Ao permitir que essas diferenas

sejam explicitadas de forma quantitativa, elas constituem ferramenta da maior

utilidade no processo de tomada de decises em qualquer empresa, de qualquer

porte ou ramo de atividade.

So exemplos tpicos da utilizao dessas tcnicas as alternativas de

investimento financeiro, de distribuio em marketing, de automatizao na

contabilidade, de planos de carreira em administrao de pessoal, de aquisio e

substituio de equipamentos na administrao da produo, na engenharia de

produto, etc.

Para ser eficiente, a Anlise de Investimentos pressupe alguns princpios

fundamentais:

No existe deciso com alternativa nica, todas as alternativas devem serconsideradas;

Somente so comparveis alternativas homogneas, no se pode optarentre pouco retorno com pouco investimento e muito retorno com muitoinvestimento, por exemplo;

Apenas as diferenas entre as alternativas so relevantes, no perca tempocom o que comum a elas;

Os critrios para deciso entre alternativas econmicas devem levar emconsiderao o valor do dinheiro no tempo, o princpio da equivalncia bsico;

No devem ser subestimados os problemas relativos ao racionamento decapital, a menos que isso no seja problema para voc;

Decises separveis so tomadas separadamente; As previses so necessariamente falhas e o seu grau e tipos de incerteza

devem ser explicitados; O evento qualitativo no quantificava monetariamente devem ser claramente

especificados; A retroalimentao (feedback) de informaes fundamental e a nica

maneira de minimizar o impacto dos erros das previses; Os dados relevantes so os econmicos e gerenciais, os dados contbeis s

so importantes na avaliao aps o Imposto de Renda. No importa de umequipamento depreciado contabilmente em 10 anos, se est obsoleto em 5anos.

E tem, tambm, algumas limitaes:


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A escolha do mtodo, que deve considerar o aspecto mais abrangente doproblema, uma vez que impossvel levar em considerao e quantificartodas as variveis em situaes reais. Premissas, restries e limitaesdevem ser claramente caracterizadas;

Os modelos estudados pressupem taxas de juros e retorno iguais, emborano mercado as taxas de juros (emprstimos) sejam sempre maiores que astaxas de retorno (aplicao). A taxa de retorno ser denominada doravantede Taxa Mnima de Atratividade, ou simplesmente TMA, refletindo a menortaxa de retorno aceitvel para um investimento;

Os modelos pressupem taxas constantes, o que recomenda a utilizao deuma mdia das taxas projetadas, ou a explicitao de que a soluo estvinculada s circunstncias presentes;

Os modelos pressupem viabilidade econmica e financeira para o fluxo decaixa real final;

Os modelos levam em considerao que os fluxos de caixa ocorrem no finaldos respectivos perodos (anos), embora a maioria possa ocorrer durante o

perodo. Nesses casos, esses fluxos de caixa so os valores equivalentes,no final do perodo, dos demais fluxos ocorridos durante aquele perodo.

A complexidade do modelo deve ser compatvel com a confiabilidade dosdados assumidos.

8.1 Mtodos de Anlise

As principais tcnicas utilizadas pela Anlise de Investimentos so os

mtodos de anlise, tambm chamados Mtodos Equivalentes Para Avaliao de

Alternativas de Financiamento e Investimento. Em seguida, veremos uma

apresentao desses mtodos e suas principais caractersticas.

8.1.1 Mtodo do Custo Anual

Consiste em transformar os fluxos de caixa das alternativas em sries

uniformes equivalentes, utilizando uma taxa de juros igual Taxa Mnima de

Atratividade. possvel, ento, chegar a um Custo Anual Equivalente, que servir

de parmetro para comparao entre as alternativas.

Cabe ressaltar que, embora chamado de Mtodo do Custo Anual, omtodo se presta a anlises em perodos diferentes do ano. importante, no

entanto que, por ora, as alternativas tenham a mesma durao de tempo, i.e., a

mesma Vida Econmica.

Vejamos o Exemplo 1, a seguir:


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Alterna- Investimento Despesas Valortiva Inicial Anuais Residual

A - 10000,00 -B 15000,00 5000,00 -C 20000,00 4000,00 2000,00

TMA: 10% ao anoVida Econmica: 10 anos

Soluo:

. Alternativa A

Custo Anual Dado = 10000

. Alternativa BCusto Anual Equivalente do investimento inicial (PV):

0,10 . 1,1010

PMT(PV) = 15.000 . ----------------- = 2441

1,1010 - 1


-----

Custo Anual Total = 7441


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. Alternativa C

Custo Anual Equivalente do investimento inicial (PV):

0,10 . 1,1010

PMT(PV) = 20000 . --------------- = 3255

1,1010 - 1


Retorno Anual Equivalente do Valor Residual (FV):

0,10

PMT(FV) = -2000 . ------------ = - 125

1,1010 - 1

-----


A alternativa C a mais vantajosa por apresentar os menores custos

anuais equivalentes.

Exemplo 2

Uma companhia deseja mecanizar uma operao de movimentao de

materiais em seu almoxarifado. Atualmente, esta operao realizada manualmente

por uma equipe de operrios. Os custos anuais com salrios e encargos sociais so

de R$ 8000,00.

A mecanizao ser obtida com a aquisio de um equipamento cujo valor

de R$ 20000,00. Espera-se uma reduo nos custos com mo-de-obra a R$

2000,00 ao ano. As despesas anuais de operao so estimadas em R$ 500,00 de

energia, R$ 1.500,00 de manuteno e R$ 500,00 de seguro e demais despesas.


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O equipamento tem vida econmica de 10 anos e um valor de revenda de

R$ 2000,00. A uma TMA de 18% a.a., qual a alternativa mais vantajosa

economicamente?

Soluo:

. Alternativa A


. Alternativa B

Custo Anual Equivalente do investimento inicial (PV):

0,18 . 1,1810

PMT(PV) = 20000 . --------------- = 4450

1,1810 - 1

Despesas Anuais = 4500

- Mo-de-Obra = 2000

- Energia = 500

- Manuteno = 1500

- Seguro, etc. = 500

Retorno Anual Equivalente do Valor de Revenda (FV):

0,18

PMT(FV) = -2000 . ------------ = - 85

1,1810 - 1

------


O maior custo anual da segunda alternativa a desaconselha como deciso

econmica.


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EXERCCIOS

1) Calcular e comparar os custos anuais dos motores A e B, cuja compra considerada para 12 anosde servio a uma TMA de 10%a.a.

Item Motor A Motor BCusto Inicial 2.500 4.000Valor Residual Estimado - 1.000Custo Anual de Energia 500 300Custo Anual de Reparos 300 220

CAA = R$ 1.166,91 CAB = 1.060,29 (MELHOR COMPRA)

2) Um servio de encanamento precisa ser executado em uma empresa. As alternativas que seapresentam so as seguintes:Item Tubo 30 cm Tubo 50 cmCusto Inicial 21.000 32.000

Custo Anual de Operao 6.700 3.850

O perodo de servio esperado de sete anos, aps os quais o encanamento ser removido comValor Residual previsto de 5% de seu custo. O retorno mnimo exigido de 8% ao ano. Comparar oscustos anuais.

CAA = 10.615,84 CAB = 9.817,00 (MELHOR COMPRA)


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8.1.2 Mtodo do Valor Presente Lquido

Consiste em se calcular a soma algbrica dos valores equivalentes de

todos os fluxos de caixa no perodo zero utilizando a Taxa Mnima de Atratividade. Asoma desses Valores Presentes resulta no Valor Presente Lquido da alternativa. A

alternativa mais indicada aquela que apresenta o maior retorno em relao a um

investimento, ou o menor custo. fundamental que se observe o sinal dos

respectivos fluxos de caixa.

Assim, um VPL positivo significa que o Valor Presente dos retornos

maior que o Valor Presente dos investimentos e das despesas. Quanto maior o VPL

positivo, maior essa diferena e, portanto, maior a razo entre retorno einvestimento. Se VPL=0 (nulo) o projeto oferece a mesma rentabilidade que a

alternativa de investimento financeiro remunerada pela TMA. Se VPL


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VPLc = - 20000 - PV(PMT) + PV(FV) = - 20000 - 4000 .

(1+0,10)10 - 1

. --------------------- + 2000 . (1+0,10)-10

0,10 . (1+0,10)10

VPLc = - 2000O - 24578 + 771 = - 43807

A melhor alternativa C, pois apresenta o menor VPL negativo, o que

significa menor custo real.

Exemplo 2

Escolher entre os seguintes planos, com vida econmica de 10 anos,

usando uma TMA de 10% ao ano:

Item Plano A Plano B Plano CDespesas Anuais 8000 5100 4300Custo Inicial - 15000 25000Valor Residual - - 5000

Soluo:

. Plano A(1+0,10)10 - 1

VPLA = - PV(PMT) = - 8000 . --------------------- = - 49157

0,10 . (1+0,10)10

. Plano B

(1+0,10)10 - 1

VPLB = - 15.000 - PV(PMT) = - 15.000 - 5.100 . ----------------

0,10.(1+0,10)10

VPLB = - 15.000 - 31.337 = = - 46337

. Plano C

VPLc = - 25.000 - PV(PMT) + PV(FV) = - 25.000 - 4.300 .


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(1+0,10)10 - 1

--------------------- + 5.000 . (1+0,10)-10

0,10 . (1+0,10)10

VPLc = - 25.00O - 26.422 + 1.928 = - 49494

Neste caso, a alternativa que apresenta o menor Valor Presente negativo

a B.

Exemplo 3

Duas alternativas de investimento esto sendo analisadas por uma

empresa. Os seguintes dados foram obtidos:

Item Alternativa A Alternativa Bcusto oper.anual 700 900custo inicial 2000 2500valor residual 300 450receita anual 2000 2500vida econmica 10 a. 10 a.TMA 10% a.a. 10% a.a.imposto de renda 30% 30%

Inicialmente, vamos calcular os Fluxos de Caixa lquidos:Item Alternativa A Alternativa Breceita anual 2000 2500custo oper.anual (700) (900)receita oper.lquida 1300 1600imposto de renda (30%) (390) (480)receita lquida anual 910 1120

Resumindo:

Item Alternativa A Alternativa Bcusto inicial 2000 2500valor residual 300 450receita lq.anual 910 1120vida econmica 10 a. 10 a.TMA 10% a.a. 10% a.a.

Alternativa A

(1+0,10)10 - 1


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VPLA= -2000 + PV(PMT) + PV(FV)= -2000 + 910 . ------------------- +

0,10.(1+0,10)10

+ 300 . (1+0,10)-10 = - 2000 + 5592 + 116 = 3708

. Alternativa B

(1+0,10)10 - 1

VPLB= -2500 + PV(PMT) + PV(FV)= -2000 + 1120 .------------------ +

0,10.(1+0,10)10

+ 450 . (1+0,10)-10 = - 2500 + 6882 + 173 = 4555

A alternativa B a melhor uma vez que apresenta o maior Valor Presente

Lquido positivo.


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EXERCCIOS

1) Duas mquinas esto sendo analisadas para um investimento. Os dados obtidos so os seguintes:Item Alternativa A Alternativa BCusto Inicial 4.000 5.000Custo Op. Anual 900 1.000Valor Residual 300 500Vida Econmica 10 a. 10 a.Receita Anual 2.200 2.400Imposto de Renda 30% 30%TMA 12% a.a. 12% a.a.

Qual a melhor alternativa?

VPLA = R$ 1.916,32 VPLB = R$ 1.376,23 (MELHOR COMPRA)

2) Dois equipamentos esto sendo analisados para um investimento para 10 anos.

Equipamento A: exige um investimento inicial de 1.000 e investimentos adicionais de 500 aps trsanos e 800 aps sete anos. Os custos operacionais anuais so estimados em 1.600 e o valor residualdo equipamento ser de 800.

Equipamento B: exige um investimento inicial de 1.500 e um investimento adicional de 1.000 apscinco anos. Os custos operacionais anuais so estimados em 1.900 e o valor residual ser de 900.

Admitindo que os equipamentos A e B proporcionaro um acrscimo anual de receita de 3.000 e3.200 respectivamente, que a taxa mnima de atrativ idade do investidor de 10% a.a. e o impostode renda de 30%, qual a melhor alternativa?


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8.1.3 Mtodo da Taxa Interna de Retorno

Consiste em se determinar a taxa para a qual o Valor Presente Lquido

igual a zero, ou seja, a taxa para a qual o Valor Presente dos retornos do projeto igual ao Valor Presente dos investimentos necessrios.

Uma comparao entre a Taxa Interna de Retorno (TIR) e a Taxa Mnima

de Atratividade (TMA) nos permite avaliar a alternativa. Se TIR > TMA, o

investimento propicia um retorno superior ao de uma aplicao financeira com a

rentabilidade da TMA. Se TIR = TMA, a rentabilidade igual da aplicao

financeira e, finalmente, se TIR < TMA, o investimento no economicamente

recomendvel, uma vez que propicia um retorno inferior ao de uma aplicaofinanceira com rentabilidade da TMA. Uma anlise entre diversas alternativas

economicamente viveis conduz escolha da alternativa com a maior Taxa Interna

de Retorno.

Assim, o mtodo nos permite uma anlise de sensibilidade do

investimento, ou seja, nos permite saber qual a Taxa Mnima de Atratividade que

viabiliza determinado investimento. Reduzida a TMA a um patamar inferior a TIR de

um determinado investimento, antes economicamente invivel, este passa a se

viabilizar por reduo da TMA.

Para utilizao desse mtodo, necessrio que as alternativas tenham o

mesmo investimento e que possam ser representadas por um Diagrama de Fluxos

de Caixa Ordinrio, isto , que sejam constitudas de um nico investimento feito no

perodo zero, seguido de uma srie de retornos lquidos.

No caso dos investimentos serem diferentes, pode-se decomp-los de

forma a trabalhar com um conjunto de investimentos iguais. J no caso de se ter

investimentos mltiplos, o mtodo no deve ser aplicado, uma vez que sero

obtidas taxas de retorno mltiplas, uma para cada inverso de fluxo de caixa entre

investimentos e retornos.

Tomemos o exemplo representado pelo fluxo de caixa abaixo, durante sete

anos:


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Ano Receita Desembolso Fluxo Lquido0 0 (10900) (10900)1 1800 (800) 10002 1800 (550) 12503 1800 (570) 12304 1800 (450) 13505 1800 (360) 14406 1800 (430) 13707 23700 (1510) 22190

Soluo:

Calculando o VPL para uma taxa arbitrria de 15% a.a., teremos:

VPL = 2146

Como o Valor Presente Lquido resultou positivo, precisamos arbitrar outra

taxa que minimize o Valor Presente dos fluxos positivos, portanto uma taxa maior,

por exemplo, 20% a.a.:

VPL = (605)

O Valor Presente Lquido negativo representa uma inverso de sinal em

relao taxa anterior, o que significa que a Taxa Interna de Retorno (que faz VPL

= 0) est entre 15% a.a. e 20% a.a.. Atravs de uma simplificao do processo,

estimamos a TIR por Interpolao Linear das taxas utilizadas:

2146 --> 15% 0 - 2146 i - 15%

0 --> i --------------- = ------------- => i ~ 18,9% a.a.

- 605 --> 20% - 605 - 2146 20% - 15%

Obviamente, esta forma de clculo, trabalhosa e imperfeita devido

utilizao da interpolao linear, pode ser substituda, com vantagens, pela

utilizao das funes financeiras avanadas encontradas nas calculadoras

financeiras mais completas. importante observar que o conceito de Taxa Interna de Retorno est

intimamente vinculado Vida Econmica do investimento. Assim, o investimento

acima possibilita uma TIR de aproximadamente 18,9% ao ano para uma Vida

Econmica de sete anos. Isso quer dizer que o capital investido ser remunerado a,

aproximadamente 18,9% ao ano e que o investimento ser totalmente recuperado

em sete anos.


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EXERCCIOS

1) A respeito de um projeto so conhecidos os seguintes dados:

Item ValorCusto Inicial 12.000

Custo Op. Anual 1.506Valor Residual 2.000

Vida Econmica 25 a.Receita Anual 2.590

Calcular a Taxa Interna de Retorno do investimento.

2) Uma loja vende amplificadores a R$ 2.500 cada um, mas R$ 500 devero ser pagos de entrada eR$ 500 no fim de cada ms nos prximos quatro meses, "sem cobrana de juros". Discutindo apossvel compra, voc descobre que pode comprar o amplificador por R$ 2.250 vista. Voctambm fica sabendo que, comprando a prazo, haver a cobrana, no ato da compra, de R$ 50referentes a servios e despesas contratuais. Que taxa de juros ser realmente paga se a compra for

feita em prestaes?

3) Duas alternativas esto sendo consideradas para um investimento de R$ 4.000 por dez anos. Osdemais dados seguem:

Item Alternativa A Alternativa BCusto Op.Anual 1.100 1.600Valor Residual 400 600Receita Anual 2.000 2.500Determinar a melhor alternativa.

4) Uma bomba de gua essencial para um processo industrial pode ser comprada de dois

fornecedores. O fornecedor A vende a bomba por R$ 100.000 e a despesa mensal de operao emanuteno estimada em R$ 12.000. A bomba do fornecedor B custa R$ 170.000 e a despesamensal de operao e manuteno estimada em R$ 8.000. Se ambas as bombas sero usadas porcinco anos e a taxa mnima de retorno exigida de 10% ao ms, qual das bombas deve serescolhida? Qual seria a resposta do problema se a TMA fosse de 4% a.m.?


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8.2 Classificao de Alternativas

8.2.1 Alternativas Singulares

Na anlise de alternativas singulares pode-se utilizar os mtodos do Valor

Presente Lquido e da Taxa Interna de Retorno, como fizemos para cada alternativa

nos exemplos desses dois mtodos. A anlise, nesse caso, simples. O

investimento que possua Valor Presente Lquido positivo (VPL > 0)

economicamente vivel, pois possibilita um retorno sobre o investimento superior ao

propiciado por uma aplicao financeira taxa Mnima de Atratividade. No caso do

mtodo da Taxa Interna de Retorno, a concluso a mesma para um investimentoque possua a Taxa Interna de Retorno maior que a Taxa Mnima de Atratividade.

8.2.2 Alternativas Mltiplas

Na anlise de alternativas mltiplas os mtodos do Custo Anual e do Valor

Presente Lquido aplicam-se como fizemos nos respectivos exemplos. J o mtodo

da Taxa Interna de Retorno, por pressupor investimentos iguais, exige, no caso de

investimentos diferentes, a decomposio em fluxos complementares, de modo a

ser definido o fluxo de caixa incremental de um projeto em relao a outro. Este

seria o fluxo de caixa composto apenas pelas diferenas incrementais de um projeto

em relao a outro. Para um conjunto de alternativas com investimentos diferentes,

procederamos da seguinte maneira:

Ordenar as alternativas em ordem crescente de investimentos.

Determinar a TIR da primeira alternativa e compar-la com a TMA. Se a

TIR < TMA, abandonar esta alternativa e repetir a anlise para a alternativa

seguinte e, assim, sucessivamente at a obteno de uma alternativa

economicamente vivel.

A partir da primeira alternativa vivel, calcula-se a Taxa de Retorno

incremental da prxima alternativa. A Taxa de retorno incremental a TIR do fluxo

de caixa incremental de um projeto me relao a outro com investimento menor.

Este fluxo de caixa incremental o fluxo de caixa composto pelas diferenas

algbricas entre os fluxos de caixa da alternativa com investimento maior e a


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primeira alternativa vivel. A Taxa de Retorno incremental , tambm, comparada

com a Taxa Mnima de Atratividade. A primeira alternativa remunerada pela sua

TIR e a segunda alternativa remunerada, em parte pela TIR, e na parte

incremental, pela Taxa de Retorno incremental. Se a Taxa de Retorno incremental

for maior que a TMA, a alternativa , tambm, vivel.

8.2.3 Alternativas com Vidas Econmicas Diferentes

No caso de se analisar alternativas com diversas vidas econmicas,

somente os mtodos do Custo Anual e do Valor Presente so aplicveis. O mtodo

do Custo Anual no sofre distores graves com a diferena de Vidas Econmicas,

o que ocorre com o mtodo do Valor Presente Lquido. Em ambos os casos, adiferena pode ser contornada levando-se em considerao a possibilidade de

reinvestimento. Define-se assim um prazo que seja o Mnimo Mltiplo Comum entre

os prazos das alternativas propostas e repete-se o fluxo de caixa de cada

alternativa o nmero de vezes necessrio para preencher o prazo comum. Recai-se

ento na anlise com vidas iguais.


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ANEXOS


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VALOR PRESENTE DE UM PAGAMENTOn 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% 8,0% 9,0% 10,0%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 0,980296 0,961169 0,942596 0,924556 0,907029 0,889996 0,873439 0,857339 0,841680 0,826446

3 0,970590 0,942322 0,915142 0,888996 0,863838 0,839619 0,816298 0,793832 0,772183 0,7513154 0,960980 0,923845 0,888487 0,854804 0,822702 0,792094 0,762895 0,735030 0,708425 0,683013

5 0,951466 0,905731 0,862609 0,821927 0,783526 0,747258 0,712986 0,680583 0,649931 0,620921

6 0,942045 0,887971 0,837484 0,790315 0,746215 0,704961 0,666342 0,630170 0,596267 0,564474

7 0,932718 0,870560 0,813092 0,759918 0,710681 0,665057 0,622750 0,583490 0,547034 0,513158

8 0,923483 0,853490 0,789409 0,730690 0,676839 0,627412 0,582009 0,540269 0,501866 0,466507

9 0,914340 0,836755 0,766417 0,702587 0,644609 0,591898 0,543934 0,500249 0,460428 0,424098

10 0,905287 0,820348 0,744094 0,675564 0,613913 0,558395 0,508349 0,463193 0,422411 0,385543

11 0,896324 0,804263 0,722421 0,649581 0,584679 0,526788 0,475093 0,428883 0,387533 0,350494

12 0,887449 0,788493 0,701380 0,624597 0,556837 0,496969 0,444012 0,397114 0,355535 0,318631

13 0,878663 0,773033 0,680951 0,600574 0,530321 0,468839 0,414964 0,367698 0,326179 0,289664

14 0,869963 0,757875 0,661118 0,577475 0,505068 0,442301 0,387817 0,340461 0,299246 0,263331

15 0,861349 0,743015 0,641862 0,555265 0,481017 0,417265 0,362446 0,315242 0,274538 0,239392

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18 0,836017 0,700159

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