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MATEMÁTICA FINANCEIRA
ENALDO VERGASTA, GLORIA MÁRCIA, JODÁLIA ARLEGO
SUMÁRIO
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS ........................................................................... 03
2. CAPITALIZAÇÃO ................................................................................................... 05
2.1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ................ 05
2.2 UTILIZAÇÃO DA HP 12C NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA.................... 07
2.3 UTILIZAÇÃO DO EXCEL NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA.................... 07
2.4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS.................................................................... 11
3. SÉRIES DE CAPITAIS............................................................................................ 13
3.1 SÉRIES UNIFORMES FINITAS POSTECIPADAS....................................... 13
3.2 UTILIZAÇÃO DA HP 12C PARA SÉRIES UNIFORMES................................ 14
3.3 UTILIZAÇÃO DO EXCEL PARA SÉRIES UNIFORMES................................ 15
4. MÉTODOS DE ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS ................... 20
4.1 CÁLCULO DO VPL E DA TIR NA HP 12C...................................................... 20
4.2 CÁLCULO DO VPL E DA TIR NO EXCEL...................................................... 21
5. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ............................................................................ 26
5.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE................................................. 26
5.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE)....................................... 28
5.3 UTILIZAÇÃO DA HP 12C NO SAF.................................................................. 29
5.4 SAF com correção ......................................................................................... 31
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 32
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 2
1.1. CAPITALCapital é o valor monetário atribuído a um bem numa data específica. Envolve, portanto, uma
unidade monetária e uma data.
- O capital inicialmente empregado numa operação será denotado por PV (Valor Presente
ou Principal).
- O juro é a remuneração do capital emprestado, num certo período de tempo e será
denotado por J.
- O montante é a soma do capital com os juros, relativos a um determinado período de
tempo e será denotado por FV (Valor Futuro), ou seja,
1.2. TAXA DE JUROSTaxa de juros é a razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período
de tempo, e o capital inicialmente emprestado. É composta por um valor numérico, dado pelo
quociente dos capitais, e o período de tempo considerado, que chamaremos de referência
temporal da taxa (dia, mês, ano,etc). Expressa dessa maneira, diremos que a taxa está na
forma unitária. Podemos também expressá-la na forma percentual; para tanto, basta multiplicar
o quociente por 100 e acrescentar o símbolo %.
A taxa de juros será denotada por i.
A taxa de juros do tempo total da operação é dada por:
Na resolução de problemas com o uso das fórmulas, a taxa deve estar na forma unitária.
Quando utilizamos a máquina financeira HP 12C, a taxa deve ser inserida na forma percentual.
No Excel são aceitas as duas formas.
Taxa bruta: é obtida considerando os valores presente e futuro do capital, sem levar em conta o
desconto do imposto devido.
Taxa líquida: é obtida considerando os valores presente e futuro do capital, levando em conta o
desconto do imposto devido.
1.3.PRAZOO tempo de duração de uma operação financeira é chamado de prazo. Na resolução dos
problemas, a taxa de juros e o prazo deverão ser expressos na mesma unidade de tempo.
O número que representa o prazo de uma operação financeira em termos da referência
temporal da taxa será denotado por n e, por abuso de linguagem, será chamado também de
prazo.
Utilizaremos as seguintes convenções para a contagem do tempo:
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 3
Calendário comercial ou ordinário: considera o ano com 360 dias; desse modo qualquer mês
terá 30 dias.
Calendário exato, civil ou oficial: considera o número de dias corridos. Neste caso o ano terá
365 dias (ou 366 dias no caso de ano bissexto) e cada mês o seu número exato de dias. É
comum no Brasil a prática de operações com prazos considerados em dias úteis. No processo
de contagem de dias úteis existentes entre duas datas é utilizado o calendário exato, excluindo
sábados, domingos e feriados nacionais.
1.4.FLUXO DE CAIXA
Denomina-se Fluxo de Caixa a representação do conjunto de entrada e saídas de capital ao
longo do tempo. A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidade e
custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e
investimentos. Tal representação será feita por meio de uma escala horizontal representando o
tempo, com início no zero (inicio da operação), e setas localizadas na escala do tempo,
apontando para cima ou para baixo, conforme representem entradas ou saídas de capital,
respectivamente. O valor do capital será inserido na extremidade de cada seta. Veja exemplo a
seguir: 1.000,00 1.200,00
1 2 3 5 (mês) 0 4
260,00 560,00
Exercícios
1) Uma pessoa investiu num fundo $8.000,00 e resgatou 60 dias depois a quantia de $8.400,00.
Represente num fluxo de caixa esta operação do ponto de vista do investidor.
2) Represente num fluxo de caixa uma compra a prazo de um eletrodoméstico cujo valor a vista é
$1.000,00 e será adquirido com uma entrada de $500,00 mais uma prestação ao final de 30
dias no valor de $600,00.
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 4
2. CAPITALIZAÇÃO
2.1. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES e CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
O regime de capitalização determina o modo pelo qual obtemos os juros referentes à aplicação de
um capital, durante um determinado prazo, fixada uma taxa de juros. No regime de Capitalização
Simples o juro tem o mesmo valor em todos os períodos da taxa de juros, pois é calculado pela
aplicação da taxa sobre o capital inicial. No regime de Capitalização Composta o juro de cada
período deve ser somado ao capital para o cálculo do juro do período seguinte. Neste caso, o juro
de cada período é calculado sobre o montante do período anterior e não apenas sobre o capital
inicial, como ocorre na capitalização simples.
Veremos agora um exemplo que será resolvido utilizando os dois regimes para que possamos
compará-los.
Exemplo1) Um investidor aplica um capital de $1.000,00 por um prazo de 4 meses, a uma taxa mensal de
10%. Determinar o valor do montante ao fim de cada período, utilizando a capitalização
simples e a capitalização composta.
n Montante Capitalização Simples Montante Capitalização Composta
1 1000 + 1000 x 0,1 = 1100,00 1000 + 1000 x 0,1 = 1100,00
2 1100 + 1000 x 0,1 = 1200,00 1100 + 1100 x 0,1 = 1210,00
3 1200 + 1000 x 0,1 = 1300,00 1210 + 1210 x 0,1 = 1331,00
4 1300 + 1000 x 0,1 = 1400,00 1331 + 1331 x 0,1 = 1464,10
Consideremos agora o caso geral de um capital PV aplicado durante n períodos a uma taxa de
juros i, resultando num montante FV, conforme o fluxo de caixa abaixo:
PV
n
0
FV
Na capitalização simples o juro de um período da taxa é dado por PV x i. Logo, para n
períodos, o juro é igual a
Como , obtemos
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 5
(I) Na capitalização composta temos:
Assim chegamos à fórmula
(II)
O fator é chamado fator de acumulação de capital, para pagamento único, na capitalização
composta.
Observando as fórmulas (I) e (II) esboçamos os gráficos dos valores futuros nas capitalizações
simples e composta, num mesmo sistema de coordenadas. O período "1" é a unidade de
referência da taxa de juros dada. capitalização composta
FV
capitalização simples
PV(1+i)
PV
0 1 n
Dos gráficos concluímos que:
- nos períodos n = 0 e n = 1, o montante é o mesmo nos dois regimes.
- quando o período variar entre 0 e 1, o montante na capitalização simples é maior do que na
composta. É por esse motivo que geralmente a capitalização simples só é utilizada para
operações de curto prazo.
- quando o período for maior do que 1, o montante na capitalização simples é menor do que na
composta.
Com base nessa comparação, quando o prazo da operação, escrito na referência temporal da
taxa, é um número não inteiro maior que 1 (um), podemos considerar a capitalização mista
(convenção linear) para calcular o montante:
Convenção Linear (Capitalização Mista): observando que o valor de n deve estar na mesma
referência temporal da taxa de juros, a convenção linear adota juros compostos nos períodos
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 6
correspondentes à parte inteira do valor de n e juros simples no período correspondente à parte
fracionária de n, sobre o montante calculado a juros compostos.
Exemplo1) Um capital no valor de $5.000,00 foi emprestado por 3 meses e 15 dias à taxa de juros de 8%
ao mês. Calcular o valor pago considerando a capitalização composta e a capitalização mista.
Resp.: $6.545,66; $6.550,50
2.2. UTILIZAÇÃO DA HP 12C NO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
A HP 12C resolve problemas em qualquer uma das convenções acima. Para isso, quando o
período n é um número fracionário, é indispensável verificar se no visor está aparecendo ou não a
letra C. A letra C pode ser colocada ou retirada do visor pressionando-se as teclas STO EEX .
Se a letra C estiver aparecendo no visor, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a
convenção exponencial. Caso contrário, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a
convenção linear.
Convém lembrar que para o uso da HP 12C, no regime de juros compostos, a unidade de
referência do período deve ser a mesma da taxa de juros.
No caso do cálculo de FV, deverão ser seguidos os seguintes passos:
1. pressione as teclas f FIN para zerar os registradores financeiros.
2. insira os valores de n, i e PV (em qualquer ordem).
3. pressione a tecla FV.
Obs.: para o cálculo de qualquer um dos outros parâmetros financeiros, devemos proceder de
modo análogo ao descrito acima; se em uma operação for necessário inserir os valores de PV e
FV, então estes devem estar com sinais contrários, conforme o fluxo de caixa.
2.3. UTILIZAÇÃO DO EXCEL NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Apresentamos abaixo as funções financeiras do Excel para operações apenas com a capitalização
composta.
Função Descrição
NPER Para o cálculo do número de períodos.
TAXA Para o cálculo da taxa de juros por período.
VF Para o cálculo do valor futuro.
VP Para o cálculo do valor atual.
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 7
Para utilizar uma função financeira do Excel devemos clicar na célula onde se deseja inserir a
função e, na barra de ferramentas, clicar no ícone (Colar Função) para escolher função a ser
inserida na célula ou na barra de fórmulas.
Caso o ícone não esteja na barra de ferramentas devemos, pelo menu Inserir Função, selecionar a
categoria da função financeira e a opção desejada.
Exercícios
1. Qual o montante de um empréstimo no valor de $10.000,00, à taxa de juros compostos de 3%
ao mês, pelo prazo de 10 meses?
Na HP 12C:
3 i
10 n
10000 PV
FV
No Excel: utilizando a função financeira VF.VF
Taxa3% = 0,03
Nper 10 = 10Pgto = númeroVp 10000 = 10000Tipo = número
= -13439,16379
2. Um loja financia a venda de uma mercadoria no valor de $2.600,00 da seguinte forma: uma
entrada de $1.000,00, mais uma prestação de $1.654,40, ao final de 30 dias. Qual a taxa
mensal exponencial cobrada pela loja?
Na HP 12C:
8 n
1600 CHS PV
2275,36 FV
i
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 8
No Excel: utilizando a função financeira TAXA.TAXA
Nper 1 = 1Pgto = númeroVp -1600 = -1600Vf 1654,40 = 1654,40Tipo = número
= 0,034
3. Em que prazo um empréstimo de $30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de
$51.310,18, sabendo-se que a taxa de juros compostos contratada é de 5% ao mês?
Na HP 12C:
30000 CHS PV
51310,18 FV
5 i
n
No Excel: utilizando a função financeira NPER.NPER
Taxa 5% = 0,05Pgto = númeroVp -30000 = -30000Vf 51310,18 = 51310,18Tipo = número
= 10,9999997
Obs.: a HP 12C sempre aproxima o valor de n para o número inteiro seguinte ao valor fracionário
encontrado.
4. Determinar o número de meses necessários para fazer um capital triplicar de valor a uma taxa
de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos. Resp.: 14,27anos 172 meses
Na HP 12C:
1 CHS PV
3 FV
8 i
n
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 9
No Excel: utilizando a função financeira Nper.NPER
Taxa 8% = 0,08Pgto = númeroVp -1 = -1Vf 3 = 3Tipo = número
= 14,274914
B2 =NPER(8%;;-1;3)*12
A B
1
2 171,30
3
5. Uma pessoa tomou um empréstimo em 18 de fevereiro de 2002, a uma taxa diária de juros
compostos de 0.5%. Sabendo que liquidou sua dívida em 10 de maio de mesmo ano, pagando
uma quantia de $2.860,03, qual o valor do juro pago?
Na HP 12C:f 6
g D.MY
18 022002 ENTER
10 052002
g DYS n
0,5 i
2860,03 FV
PV
RCL FV +
No Excel: utilizando a função financeira VP. VP
Taxa 0,5% = 0,005Nper A2-A1 = 81Pgto = númeroVf 2860,03 = 2860,03Tipo = número
= -1909,499664
B2 =VP(0,5%;A2-A1;;2860,03)+2860,03
A B
1 18/02/2002
2 10/05/2002 R$950,53
3
6. Uma pessoa aplicou $10.000,00 a juros compostos de 15% ao ano, pelo prazo de 3 anos e 8
meses. Determinar o montante da aplicação ao final do prazo, admitindo-se:
a) a convenção linear; Resp.: $16.729,62
b) a convenção exponencial. Resp.: $16.693,94
Na HP 12C:15 i
8 ENTER 12 3 + n
10000 PV FV
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 10
STO EEX FV FV
2.4. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Dois capitais são equivalentes a uma taxa de juros quando levados a uma mesma data, a essa
taxa, resultarem valores iguais. A data de comparação dos capitais é chamada Data Focal.
Dois fluxos de caixa (conjuntos de capitais) são equivalentes a uma determinada taxa de juros se
seus valores presentes (soma de suas parcelas levadas à data focal zero a essa taxa) forem
iguais.
No regime de capitalização simples a equivalência de capitais depende da data focal escolhida, e
por esse motivo não é utilizada na prática.
No regime de capitalização composta a data focal pode ser qualquer uma, pois se dois ou mais
capitais são equivalentes em uma data, eles o serão em qualquer outra.
Exercícios
1. Dados dois títulos de valores nominais $15.208,18 e $17.107,13, vencíveis de hoje a 5 e 8
meses respectivamente, e considerando a taxa exponencial de 4% ao mês, verifique se são
equivalentes. Resp. Sim.
Na HP 12C:
15208,18 CHS PV
4 i
3 n
FV
2. Uma pessoa deve duas prestações de $2.000,00, a vencer daqui a 1 e 2 meses. Se resolvesse
liquidar a dívida com um único pagamento para 90 dias, qual seria o valor desse pagamento,
considerando uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês? Resp.: $4.151,25
Na HP 12C:
2000 CHS PV
2,5 i
2 n
FV STO 1
2000 CHS PV
2,5 i
1 n
FV RCL 1 +
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 11
f FIN
3. Uma dívida deve ser paga da seguinte forma: uma parcela no valor de $1.000,00 e outra de
$1.500,00 ao final de 2 e 6 meses respectivamente. Considerando uma taxa de juros
compostos mensal de 1,5%, calcular o valor do pagamento único em 4 meses que liquida essa
dívida. Resp.: $2.486,22
Na HP 12C:
1000 CHS PV
1,5 i
2 n
FV STO 1
f FIN
1500 CHS FV
1,5 i
2 n
PV RCL 1 +
4. Na compra de um eletrodoméstico cujo valor à vista é de $140,00, o comprador deve pagar
uma entrada mais uma prestação de $90,00 com 30 dias. Qual deverá ser o valor da entrada
se a loja cobra juros compostos de 2,8% ao mês? Resp.: $52,45
Na HP 12C:
90 CHS FV
2,8 i
1 n
PV 140
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 12
3.SÉRIES DE CAPITAIS
Nas operações financeiras o capital pode ser pago (ou recebido) de uma só vez ou através de uma
sucessão de pagamentos (ou recebimentos) que denominamos Série de Capitais.
Abordaremos as séries finitas cujos termos (pagamentos ou recebimentos) são iguais e
consecutivos (série uniforme) sob o regime de capitalização composta. Denotaremos os termos
(prestações) por PMT.
Trataremos de dois tipos de Séries Uniformes Finitas: Postecipadas (quando o intervalo de tempo
entre o início da operação e a data do primeiro termo é igual ao período da série) e Antecipadas
(quando o primeiro termo ocorre na data zero, ou seja, no início da operação).
3.1. SÉRIES UNIFORMES FINITAS POSTECIPADAS
Cosideremos uma série uniforme postecipada com n termos, representada no fluxo de
caixa abaixo:
PV FV
0 1 2 3 . . . n-1 n
PMT PMT PMT PMT PMT
O valor presente PV dessa série, calculado um período antes do primeiro termo, a uma taxa
de juros compostos i, é dado por:
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 13
O valor futuro FV dessa série, calculado na data do último termo, à mesma taxa de juros
compostos , é dado por:
3.2. UTILIZAÇÃO DA HP 12C PARA SÉRIES UNIFORMES
A utilização da HP 12C para série de capitais segue os mesmos passos da utilização da HP 12C
no regime de capitalização composta, além da tecla PMT para o calculo do valor da prestação.
Devemos também observar que:
ativando a função azul END (g END), o valor presente PV da série está localizado um período antes do primeiro termo e o valor futuro FV na data do último termo, como
mostra o fluxo de caixa abaixo:
PV FV
0 1 2 3 . . . n-1 n
PMT PMT PMT PMT PMT
ativando a função azul BEG (g BEG), o valor presente PV da série está localizado na data do primeiro termo e o valor futuro FV um período após o último termo, como
mostra o fluxo de caixa abaixo:
PV FV
0 1 2 3 . . . n-1 n
PMT PMT PMT PMT PMT
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 14
3.3. UTILIZAÇÃO DO EXCEL PARA SÉRIES UNIFORMES
Utilizaremos as mesmas funções financeiras do Excel que são utilizadas na capitalização
composta, além da função financeira PGTO, para o cálculo do valor da prestação.
Com qualquer das funções financeiras apresentadas devemos escolher o Tipo:
“0” (ou não especificado) para o valor presente PV da série um período antes do primeiro termo e o valor futuro FV na data do último termo;
“1” para o valor presente PV da série na data do primeiro termo e o valor futuro FV um período após o último termo.
QUADRO RESUMO
Quando trabalhamos na HP 12C no modo g END ou no Excel com o tipo “0”, o valor presente está
um período antes da primeira prestação e o valor futuro na data da última prestação. Por outro
lado, no modo g BEG na HP 12C ou com o tipo “1” no Excel, o valor presente está na data da
primeira prestação e o valor futuro um período depois da última prestação.
PV FV
0 1 2 3 . . . n-1 n
PMT PMT PMT PMT PMT
PV calculado um período antes da primeira prestaçãoFV na data da última prestação.
PV FV
0 1 2 3 . . . n-1 n
PMT PMT PMT PMT PMTPV calculado na data da primeira prestaçãoFV um período após a última prestação.
Exercícios1. Dado o fluxo de caixa abaixo e supondo uma taxa de juros exponencial mensal de 4%,
considerando cada situação indicada, calcule o que se pede:
a) Considerando que o fluxo refere-se ao pagamento a prazo de um bem que foi comprado
em fevereiro, calcular o seu valor a vista.
b) Considerando que o fluxo refere-se ao pagamento a prazo de um bem que foi comprado
em março, calcular o seu valor a vista.
c) Considerando que o fluxo refere-se a uma aplicação, calcular o valor de resgate em julho.
d) d) Considerando que o fluxo refere-se a uma aplicação, calcular o valor de resgate em
agosto.
Resp.: a) $445,18; b) $462,99; c) $541,63; d) $563,30.
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 15
Mar Abr Mai Jun Jul
100 100 100 100 100
Na HP 12C:g END
100 CHS PMT
4 i
5 n PV
g BEG PV
f FIN
g END
100 CHS PMT
4 i
5 n FV
G BEG FV
No Excel: utilizando as funções financeiras VP e VF. VP
Taxa 4% = 0,04Nper 5 = 5Pgto 100 = 100Vf = númeroTipo = número
= -445,1822
VP
Taxa 4% = 0,04Nper 5 = 5Pgto 100 = 100Vf = númeroTipo 1 = número
= -462,9895
VF
Taxa 4% = 0,04Nper 5 = 5Pgto 100 = 100Vp = númeroTipo = número
= -541,6322
VF
Taxa 4% = 0,04Nper 5 = 5Pgto 100 = 100Vp = númeroTipo 1 = número
= -563,2575
2. Um bem cujo preço a vista é de $2.000,00 será pago em 6 prestações mensais e iguais ao
final de cada mês. Considerando que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês, calcular o
valor das prestações.
Na HP 12C:g END
2000 CHS PV
3 i
6 n
PMT
No Excel: utilizando a função financeira PGTO.PGTO
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 16
Taxa 3% = 0,03Nper 6 = 6Vp -2000 = -2000Vf = númeroTipo = número
= 369,1950009
Observação:Às vezes a referência temporal da taxa de juros é maior do que o período de capitalização dos
juros. Nesse caso a taxa é chamada Taxa Nominal. A taxa que deve ser utilizada nos cálculos é a
taxa proporcional à taxa nominal, na mesma unidade de tempo do período da capitalização, e é
chamada Taxa Efetiva.
3. Quanto se deve aplicar hoje em um investimento para retirar $1.000,00 no final de cada mês,
durante os próximos 10 meses, se a taxa de juros nominal é de 36% ao ano.
Na HP 12C:g END
10 n
3 i
1000 PMT
PV
No Excel: utilizando a função financeira VP. VP
Taxa 3% = 0,03Nper 10 = 10Pgto 1000 = 1000Vf = númeroTipo = número
= -8530,202837
4. Quanto uma pessoa acumularia ao final de 1 ano se depositasse todo início de mês $150,00
em uma aplicação que paga juros efetivos de 2% ao mês?
Na HP 12C:g BEG
12 n
2 i
150 CHS PMT
FV
No Excel: utilizando a função financeira VF.VF
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 17
Taxa 2% = 0,02Nper 12 = 12Pgto -150 = -150Vp = número Tipo 1 = 1
= 2052,049728
5. Determine o tempo necessário para liquidar um financiamento de $1.004,35 com prestações
mensais, iguais e postecipadas de $210,00, considerando uma taxa nominal de juros
compostos de 18% ao ano, capitalizados mensalmente.
Na HP 12C:g END
1004,35 PV
1,5 i
210 CHS PMT
n
No Excel: utilizando a função financeira NPER.NPER
Taxa 1,5% = 0,015Pgto -210 = -210Vp 1004,35 = 1004,35Vf = númeroTipo = número
= 4,999971862
6. Uma pessoa recebeu $7.000,00 pelo seu carro usado na compra de um novo, cujo valor a vista
é de $16.200,00. O saldo será pago em 18 prestações mensais postecipadas. Considerando
uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, determinar o valor das prestações.
Na HP 12C:g END
9200 PV
2,5 i
18 n
PMT
No Excel: utilizando a função financeira PGTO.PGTO
Taxa 2,5% = 0,025Nper 18 = 18Vp 9200 = 9200Vf = númeroTipo 0 = 0
= -640,964741
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 18
7. Calcular a taxa de juros mensal efetiva à qual foi tomado um empréstimo no valor de
$250.000,00, que será liquidado em 24 prestações mensais de $11.300,00, considerando 2
situações:
a) prestações postecipadas Resp.: 0,66% ao mês
b) prestações antecipadas Resp.: 0,72% ao mês
Na HP 12C:
g END
24 n
250000 PV
11300 CHS PMT
i
g BEG
i
No Excel: utilizando a função financeira TAXA para o item a.TAXA
Nper 24 = 24Pgto -11300 = -11300Vp 250000 = 250000Vf = número Tipo = número
= 0,006616792
8. Para compra a prazo numa loja, o cliente tem a opção de pagar em 8 prestações mensais, com
vencimento da primeira 3 meses após a compra. Nesse caso, cobra uma taxa mensal
exponencial de 6,9%. Se um cliente faz uma compra no valor de $950,00, calcule o valor das
prestações.
Na HP 12C:g END
950 CHS PV
2 n
6,9 i FV
f FIN PV
6,9 i
8 n
PMT
No Excel: utilizando a função financeira PGTO.
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 19
PGTO
Taxa 6,9% = 0,069Nper 8 = 8Vp -950*(1,069^2) = -1.085,62295Vf = númeroTipo = número
= 181,102921
4. MÉTODOS DE ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS
Os critérios de avaliação de investimentos de capital que estudaremos a seguir levam em
consideração fatores econômicos e o objetivo é a escolha das alternativas de maior rentabilidade,
embora a meta do investidor possa não ser somente esta. Às vezes as propostas de investimentos
mais rentáveis não podem ser realizadas por causa da limitação de recursos, ou porque
apresentam um risco muito grande.
Os métodos abaixo tem como base o princípio da equivalência de capitais já visto; isto supõe o uso
de uma taxa de juros. Qual seria essa taxa? Ao se considerar uma nova proposta de investimento,
para ser atrativa, esta precisa render, no mínimo, a taxa de juros equivalente à rentabilidade das
aplicações correntes e de pouco risco. Esta é, portanto, a taxa mínima de atratividade do mercado
e deverá ser usada para comparação com novas propostas de investimento. Como cada pessoa
ou empresa tem possibilidades de investimento diferentes, haverá taxa mínima de atratividade para
cada um.
Estudaremos os seguintes métodos de análise de fluxos de caixa:
Método do Valor Presente Líquido (VPL);
Método da Taxa Interna de Retorno (TIR).
O Valor Presente Líquido de um fluxo de caixa é igual ao valor presente de suas parcelas futuras,
descontadas à taxa de atratividade do mercado, somada algebricamente com a grandeza colocada
na data focal zero. O objetivo do método VPL é encontrar projetos ou alternativas de investimentos
que valham mais do que custam.
A Taxa Interna de Retorno de um fluxo de caixa é a taxa de juros que anula o VPL, isto é, a taxa
que torna equivalente o investimento inicial às parcelas futuras. A regra decisória a ser seguida
neste método é empreender o projeto de investimento de capital se a TIR exceder a taxa mínima
de atratividade do mercado.
4.1. CÁLCULO DO VPL E DA TIR NA HP 12C
A HP 12C dispõe das seguintes funções especiais para tratar fluxos de caixa variáveis:
As funções azuis CF0 , CFj e Nj :
CF0 - serve para registrar o valor do termo do fluxo de caixa do tempo zero (investimento
inicial). Esse valor é armazenado na memória fixa zero da HP 12C.
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 20
CFj - serve para registrar os valores dos outros termos do fluxo de caixa, colocados nos
diversos pontos j, em ordem seqüencial. Esses valores são armazenados nas memórias
fixas de 1 a 9 e 0 a .9, num total de 19 parcelas individuais. Se houver um vigésimo termo,
este será armazenado no registrador FV.
Nj - serve para registrar o número de termos CFj iguais e consecutivos.
É indispensável o registro de todos os termos do fluxo de caixa, inclusive os que tiverem
valor igual a zero.
As funções amarelas NPV e IRR são utilizadas para o cálculo do valor presente líquido e
da taxa interna de retorno, respectivamente.
Para o cálculo do valor presente líquido deverão ser seguidos os seguintes passos:
1. pressione as teclas f FIN;
2. introduza o termo do fluxo de caixa do tempo zero (pressionando a tecla CHS se o
termo for negativo) e em seguida pressione as teclas g CF0 ; se não houver investimento
inicial, introduza o valor zero;
3. introduza o próximo termo do fluxo de caixa (pressionando a tecla CHS se o termo for
negativo) e em seguida pressione as teclas g CF j; se não houver termo, introduza o valor
zero;
4. se existirem termos iguais e consecutivos, pressione o número de vezes que este termo se
repete seguido das teclas g Nj;
5. repita o passo 3 (e o 4, se necessário) para cada um dos termos, até que todos sejam
introduzidos;
6. introduza a taxa de juros e pressione a tecla i;
7. pressione as teclas f NPV.
Para o cálculo da taxa interna de retorno introduza os termos do fluxo de caixa usando os passos
acima (1 ao 6) e em seguida pressione as teclas f IRR.
4.2. CÁLCULO DO VPL E DA TIR NO EXCEL
No Excel calculamos o valor presente líquido e a taxa interna de retorno através das funções
financeiras VPL e TIR. Neste caso, os valores do fluxo de caixa deverão ser inseridos nessas
funções, informando-se o intervalo de células em que se situam (digitamos o número da primeira e
da última célula separados por :). A função financeira VPL calcula o valor presente líquido de um
fluxo de caixa considerando apenas os valores a partir da data 1, inseridos conforme o sinal do
fluxo de caixa; o resultado deverá ser somado algebricamente com o valor da data zero.
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 21
Exercícios1. Um bem é vendido a vista por $31.800,00 ou a prazo por $9.000,00 de entrada, mais três
prestações mensais e iguais de $8.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a
entrada. Qual a melhor alternativa para um comprador que pode aplicar seu dinheiro a taxa de
3% ao mês? Resp. VPL = 171,11 > 0 e TIR = 2,61% ao mês, logo é melhor comprar a prazo.
Na HP 12C:22800 g CF0
8000 CHS g CFj
3 g Nj
3 i f NPV
f IRR
2. Uma empresa estuda a possibilidade de reformar uma máquina. A reforma está orçada em
$260.000,00 e dará uma sobrevida de 5 anos ao equipamento, proporcionando uma
diminuição nos custos operacionais da ordem de $75.000,00 ao ano. Considerando um custo
de capital de 15% ao ano, analisar a viabilidade econômica da reforma do equipamento. Resp.
VPL = -8.588,37 > 0 e TIR = 13,60% ao ano, logo não é viável a reforma.
Na HP 12C:260000 CHS g CF0
75000 g CFj
5 g Nj
15 i f NPV
f IRR
3. Um investimento de $5.000,00 gerou o fluxo de caixa abaixo. Determinar a TIR e o VPL considerando uma taxa de atratividade de mercado de 10% ao ano. 1200 1500 1500 2000
(ano) 0 1 2 3 4 5
5000
Na HP 12C:5000 CHS g CF0
1200 g CFj
1500 g CFj
2 g Nj
0 g CFj
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 22
2000 g CFj
f IRR
10 i f NPV
No Excel: utilizando as funções financeiras VPL e TIR.VPL
Taxa 10% = 0,1Valor 1 1200 = 1200Valor 2 1500 = 1500Valor 3 1500 = 1500Valor 4 0 = 0Valor 5 2000 = 2000
= 4699,39336
A1 =VPL(10%;1200;1500;1500;0;2000)-5000
A B
1 -300,61
2
3
TIR
Valores B2:B7 = {-5000;1200;1Estimativa = número
= 0,076117
B8 =TIR(B2:B7)
A B C
1 n Valor2 0 -5.000,003 1 1.200,004 2 1.500,005 3 1.500,006 4 0,007 5 2.000,008 TIR 7,61%
4. Uma empresa apresenta as seguintes opções para um investimento inicial de $75.000,00:
Opção A: retorno em 10 parcelas mensais iguais postecipadas no valor de $9.000,00;
Opção B: retorno em 18 parcelas mensais iguais postecipadas no valor de $5.500,00.
Supondo um taxa de atratividade de mercado de 3% ao mês, determinar a melhor opção de
investimento. Resp.: opção A (VPLA=1.771,82 e VPLB= 644,32)
Na HP 12C:
VPLA :
75000 CHS g CF0
9000 g CFj
10 g Nj
3 i f NPV
VPLB:
75000 CHS g CF0
5500 g CFj
18 g Nj
3 i f NPV
5. Um bem é vendido a vista por $200.000,00. A prazo são oferecidas as seguintes opções:
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 23
Opção 1: uma entrada no valor de $50.000,00 mais 6 prestações mensais no valor de
$8.740,00 seguidas de 6 prestações mensais no valor de $20.100,00.
Opção 2: uma entrada no valor de $60.000,00 mais 10 prestações mensais no valor de
$16.400,00 sendo a primeira 3 meses após a compra.
Se a taxa de juro de mercado for de 2,3% ao mês, qual será a melhor opção para o
comprador? Resp. Opção 1 pois VPL1 = 4.292,79, TIR1 = 1,9% ao mês, VPL2 = 1.419,37 e
TIR2 = 2,16% ao mês.
Na HP 12C:
VPL1 e TIR1:
150000 g CF0
8740 CHS g CFj
6 g Nj
20100 CHS g CFj
6 g Nj
2,3 i f NPV
f IRR
VPL2 e TIR2:
140000 g CF0
0 g CFj
2 g Nj
16400 CHS g CFj
10 g Nj
2,3 i f NPV
f IRR
6. Para a venda de um imóvel são apresentadas duas propostas:
Proposta 1 - entrada de $80.000,00, 12 parcelas mensais de $4.000,00, seguidas de 12
parcelas mensais de $9.000,00.
Proposta 2 - entrada de $80.000,00, 36 prestações mensais de $3.000,00 e 3 parcelas anuais
intermediárias de $20.000,00.
Sabendo-se que a taxa de juros vigente é de 2,5% ao mês, qual é a melhor opção para o
vendedor? Resp. A proposta 1 pois PV1=189.676,05 e PV2=184.819,25.
Na HP 12C:
PV1:
80000 g CF0
4000 g CFj
12 g Nj
9000 g CFj
12 g Nj
2,5 i f NPV
PV1:
80000 g CF0
3000 g CFj
11 g Nj
23000 g CFj
3000 g CFj
11 g Nj
23000 g CFj
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 24
3000 g CFj
11 g Nj
23000 g CFj
2,5 i f NPV
No Excel: utilizando a função financeira VPL .A25 = VPL(2,5%;A1:A24)+80000
A B
1 40002 40003 4000
12 400013 900014 900015 9000
24 900025 189.676,05
A37 = VPL(2,5%;A1:A36)+80000
A B
1 30002 30003 3000
11 300012 2300013 300014 3000
23 300024 2300025 300026 3000
353000
36 2300037 184.819,25
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 25
5. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
No processo de reembolso de empréstimos de longo e médio prazo são utilizados diversos
sistemas de amortização. Nestes sistemas a dívida é liquidada através de pagamentos periódicos
(prestações), que consistem de amortização (devolução do principal emprestado) e encargos
(juros, taxas, seguros, impostos, etc). Com relação aos encargos, vamos considerar apenas os
juros, já que os demais variam conforme o contrato estabelecido entre as partes.
Denotaremos a k-ésima prestação por PMTk e podemos escrever:
sendo Ak a parcela da amortização e Jk o juro, referentes à k-ésima prestação. O juro Jk é calculado da seguinte forma:
onde SDk-1 é o saldo devedor do período k – 1.
Destacaremos os seguintes sistemas de amortização de empréstimos:
Sistema de Amortização Constante (SAC);
Sistema Francês de Amortização (SAF) - Tabela Price;
5.1. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTENesse sistema a amortização contida em cada prestação é constante e calculada dividindo-se o
valor do principal pelo número de prestações n.
Exemplo:
1. Um financiamento no valor de $90.000,00 será pago pelo SAC em 180 prestações mensais
postecipadas a uma taxa de juros nominal de 18% ao ano.
a) Construir a planilha de amortização do empréstimo.
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego
kkk J+A=PMT
1kk SDiJ
26
b) Considerando uma carência total, com o pagamento da primeira prestação 3 meses após o
contrato, construir a planilha de amortização do empréstimo.
a) C3 =B$2/180
B3 =B2-C3
D3 =0,015*B2
E3 =C3+D3
A B C D E
1 k SDk Ak Jk PMTk2 0 90.000,00 - - -3 1 89.500,00 500,00 1.350,00 1.850,004 2 89.000,00 500,00 1.342,50 1.842,505 3 88.500,00 500,00 1.335,00 1.835,006 4 88.000,00 500,00 1.327,50 1.827,507 5 87.500,00 500,00 1.320,00 1.820,00
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.179 177 1.500,00 500,00 30,00 530,00180 178 1.000,00 500,00 22,50 522,50181 179 500,00 500,00 15,00 515,00182 180 0,00 500,00 7,50 507,50
b)D3 =0,015*B2
B3 =B2+D3
C5 =B$4/180
B5 =B4-C5
A B C D E
1 k SDk Ak Jk PMTk2 0 90.000,00 3 1 91.350,00 1.350,00 1.350,004 2 92.720,25 1.370,25 1.370,255 3 92.205,14 515,11 1.390,80 1.905,926 4 91.690,03 515,11 1.383,08 1.898,197 5 91.174,91 515,11 1.375,35 1.890,468 8 89.629,58 515,11 1.352,17 1.867,289
989.114,46 515,11 1.344,44 1.859,56
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 27
181 179 1.545,34 515,11 30,91 546,02182 180 1.030,22 515,11 23,18 538,29183 181 515,11 515,11 15,45 530,57184 182 0,00 515,11 7,73 522,84
5.2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS
Nesse sistema, o principal mais os juros são devolvidos em prestações iguais e periódicas,
calculadas segundo uma série uniforme postecipada. Há programas específicos nas calculadoras
financeiras para os cálculos no SAF.
Um caso particular desse sistema é a Tabela Price, em que normalmente a taxa de juros é anual, e
as prestações são mensais (taxa nominal). Nesse caso utiliza-se a taxa mensal proporcional.
Utilizaremos o mesmo exemplo do sistema anterior.
Exemplos:
1. Faremos o mesmo exemplo anterior, ou seja, um capital no valor de $90.000,00, financiado em
180 prestações mensais postecipadas a uma taxa de juros nominal de 18% ao ano.
Apresentamos a seguir a planilha de amortização desse empréstimo pelo SAF.
E3 =PGTO(1,5%;180;-90000)
D3 =0,015*B2
C3 =E3-D3
B3 =B2-C3
A B C D E
1 k SDk Ak Jk PMTk2 0 90.000,00 3 1 89.900,62 99,38 1.350,00 1.449,384 2 89.799,75 100,87 1.348,51 1.449,385 3 89.697,37 102,38 1.347,00 1.449,386 4 89.593,45 103,92 1.345,46 1.449,387 5 89.487,97 105,48 1.343,90 1.449,38
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.179 177 4.220,88 1.365,58 83,80 1.449,38180 178 2.834,82 1.386,07 63,31 1.449,38181 179 1.427,96 1.406,86 42,52 1.449,38182 180 0,00 1.427,96 21,42 1.449,38
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 28
2. Um capital no valor de $90.000,00 foi financiado no prazo de 15 anos, com prestações mensais, sendo o pagamento da primeira prestação 3 meses após o contrato, a uma taxa de juros de 18% ao ano, pela Tabela Price. Apresentamos a seguir a planilha de amortização desse empréstimo.
D3 =0,015*B2
B3 =B2+D3
E5 =PGTO(1,5%;178;-B$4)
B5 =B4-C5
A B C D E
1 k SDk Ak Jk PMTk2 0 90.000,00 3 1 91.350,00 1.350,00 4 2 92.720,25 1.370,25 5 3 92.614,54 105,71 1.390,80 1.496,526 4 92.507,24 107,30 1.389,22 1.496,527 5 92.398,33 108,91 1.387,61 1.496,52
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..9999999999999999999
999179 177 4.358,15 1.409,99 86,52 1.496,52180 178 2.927,01 1.431,14 65,37 1.496,52181 179 1.474,40 1.452,61 43,91 1.496,52182 180 0,00 1.474,40 22,12 1.496,52
5.3. UTILIZAÇÃO DA HP 12C NO SAF
A função amarela AMORT permite o desdobramento das prestações do SAF em suas parcelas de
amortização e juros, e obtém o valor do saldo devedor após o pagamento de uma determinada
prestação. Veremos a utilização da tecla AMORT através dos exemplos abaixo.
Exemplos
1. Um capital no valor de $90.000,00 foi financiado em 180 prestações mensais a uma taxa de
juros nominal de 18% ao ano, pelo SAF. Utilizando a HP 12C temos:
Na HP 12C: 90000 CHS PV
180 n
1,5 i PMT (1.449,38)
1 f AMORT (juros do 1o período = 1.350,00)
(amortização do 1o período = 99,38)
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 29
RCL PV (saldo devedor após pagamento da 1a prestação = 89.900,62)
1 f AMORT (juros do 2o período = 1.348,51)
(amortização do 2o período =100,87)
RCL PV (saldo devedor após pagamento da 2a prestação = 89.799,75)
. . . 2. Um cliente solicita num banco um CDC de veículo no valor de $20.000,00 para ser pago em 10
prestações mensais. Sabendo que a taxa de juros cobrada é de 3% ao mês, faça o que se
pede:
a) determine o valor da prestação;
b) se na data do pagamento da 6a prestação o cliente desejar liquidar a dívida, qual o valor
que deverá ser pago?
Na HP 12C: 20000 CHS PV
3 i
10 n PMT (Resp. a) 2.344,61)
6 f AMORT (total de juros do 1o semestre = 2.782,81)
RCL PV (Resp. b) saldo devedor após pagamento das 6 prestações = 8.715,15)
Observações:
Ao digitar um número qualquer n e as teclas f AMORT, obteremos os juros acumulados
correspondentes aos n períodos; se, em seguida, digitamos outro número m seguido das
teclas f AMORT teremos os juros acumulados dos m períodos seguintes.
Após obtermos os juros acumulados de n períodos, obteremos a amortização acumulada
desse mesmo período pressionando-se a tecla . Pressionando-se RCL PV obteremos
o saldo devedor.
Exercícios
1. O financiamento de um equipamento no valor de $57.000,00 é feito pela Tabela Price, em 6
meses, a uma taxa de 15% a.a., com a primeira prestação vencendo daqui a 1 mês.
Determinar:
a) o principal amortizado nos 3 primeiros meses;
b) o juro, a amortização e o saldo devedor correspondentes à 4a prestação;
Resp.: a) $27.969,00; b) $362,89; $9.557,04; $19.473,96.
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 30
2. Suponhamos um financiamento de $180.000,00 em 100 meses, pelo SAF, à taxa de 1% ao
mês. Encontrar a prestação, juros, amortização e saldo devedor correspondentes ao 71o mês.
Resp.: a) $2.855,83; b) $737,03; c) $2.118,80; d) $71.583,72
5.4. SAF com correção monetáriaExemplo:
1. Um financiamento no valor de $60.000,00 será pago pelo SAF em 180 prestações mensais
postecipadas a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, com correção mensal da prestação e
anual do saldo devedor pela TR de 0,2% ao mês. Construir a planilha de amortização do
empréstimo.B3 =B2*(1,004)
E3 =PGTO(1%;180;-60000)
D3 =$B3*0,01
C3 =$E3-$D3
B4 =$B3-$C3
E27 =PGTO(1%;168;-61586,39)
A B C D E
1 k SDk Ak Jk PMTk2 0 60.000,00 3 1 60.240,00 117,70 602,40 720,104 60.122,30 5 2 60.362,79 116,47 603,63 720,106 60.246,32 7 3 60.487,30 115,23 604,87 720,108 60.372,07 9 4 60.613,56 113,97 606,14 720,1010 60.499,60 11 5 60.741,59 112,68 607,42 720,1012 60.628,91 13 6 60.871,43 111,39 608,71 720,1014 60.760,04 15 7 61.003,08 110,07 610,03 720,1016 60.893,01 17 8 61.136,58 108,74 611,37 720,1018 61.027,85 19 9 61.271,96 107,38 612,72 720,1020 61.164,58 21 10 61.409,23 106,01 614,09 720,1022 61.303,23 23 11 61.548,44 104,62 615,48 720,1024 61.443,82 25 12 61.689,60 103,20 616,90 720,1026 61.586,39
Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 31
27 13 61.832,74 140,07 618,33 758,3928 61.692,67
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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