Matemática Financeira Juros Simples E Compostos E Descontos

5/6/2018 Matemática Financeira Juros Simples E Compostos E Descontos - slidepdf.com

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CAPÍTULO 1 - JUROS

1.1- Generalidades

Alguns fatores de produção e suas respectivas formas de remuneração:

Trabalho SalárioTerra Aluguel

Tecnologia Royalties

Capital JURO

1.2 - Conceitos

1- Juro ( j )É o preço do dinheiro; é o pagamento efetuado pela oportunidade de se dispor de umacerta quantia de dinheiro (capital - C ) por um determinado período de tempo.

Assim, $ 1.000,00 hoje ≠ $ 1.000,00 daqui a 1 mês

O juro “cria” o valor do dinheiro no tempo.

A Matemática Financeira está centrada na idéia de Equivalência Financeira que tratadas relações entre as quantidades monetárias em diferentes pontos no tempo.

2- Taxa de juro ( i )É um coeficiente que quantifica o juro (pago ou recebido) num dado período de tempo.

Forma unitária:1,00$

0,15$a.m.0,15i == juro produzido por unidade de capital

Forma percentual:100,00$

15,00$a.m15%i == . juro produzido por 100 unidades de

capital

Obs.C

ji = j = C i (1.1)

3- Período de referênciaÉ o intervalo de tempo a que se refere a taxa, no final do qual, os juros são produzidos.



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4- Prazo (n)É o intervalo de tempo em que o capital manteve-se produzindo juros.

5- Montante (M)É a soma do capital com os juros produzidos.

M = C + j => M = C(1+i) (1.2)

Exercício:Calcular o montante produzido pela aplicação de $ 850,00 ao final de 1 trimestre à taxade 5,5 % a.t. R: $ 896,75

6- Fluxo de Caixa – Representação gráficaCorresponde aos ingressos e/ou desembolsos de quantidades monetárias no tempo.

Exemplos1.000

1.200 (+)

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4

1.000 (-) 250400

1.3- Exercícios

1- Calcular os juros e montantes produzidos nos prazos a que se referem as taxas:a) C = $ 2.000,00 ; i = 12 % a.b. R: $ 240,00 e $ 2.240,00

b) C = $ 500,00 ; i = 0,3 % a.d. R: $ 1,50 e $ 501,50

2- Calcular as taxas de juros relativas aos prazos abaixo:a ) C = $ 500,00 ; j = $ 60,00 ; n = 1 s R: 0,12 a.s. ou 12 % a.s.

b) C = $ 650,00 ; M = $ 700,00 ; n = 1 t R: 7,69 % a.t.

c) C= $ 2.800,00; M = $ 2.950,00 ; n = 23 dias R: 5,36 % em 23 dias

3- Calcular a taxa de juros anual nas seguintes situações:a) 12.300 b) 1.500

0 1 0 1

4.100 1.500R: a) 200 % a.a. b) 0 % a.a.



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CAPÍTULO 2 - JUROS SIMPLES

2.1 - Regimes de Capitalização

Um dado capital, aplicado a uma dada taxa de juros durante um determinado prazo, aevolução dos montantes poderá ocorrer, via de regra, segundo dois regimes:

- regime de capitalização simples- regime de capitalização composta

2.2 - Regime de Capitalização Simples (RCS)

Neste regime, no final de cada período a que se refere a taxa, os juros produzidos sãoobtidos pelo produto do capital inicial pela taxa, ou seja: j = C i

Exemplo:

C = $ 1.000,00 ; i = 15% a.m. ; n: de 0 a 5 meses

Mês Juros do mês Montante0 1.000,001 1.000,00 (0,15) = 150,00 1.150,002 1.000,00 (0,15) = 150,00 1.300,003 1.000,00 (0,15) = 150,00 1.450,004 1.000,00 (0,15) = 150,00 1.600,005 1.000,00 (0,15) = 150,00 1.750,00

Gráfico do montante em função de n

Evolução do montante

0

300

600

9001.200

1.500

1.800

0 1 2 3 4 5 6

n

M



4

Obs.- Os pontos do gráfico acima encontram-se alinhados segundo uma linha reta, denotando

um crescimento linear para o montante;- A evolução do montante dá-se segundo uma Progressão Aritmética de razão Ci.

2.3 - Juros Simples

São os juros produzidos segundo o RCS.

2.4 - Cálculo dos Juros Simples

Consideremos um capital C , aplicado durante um certo prazo n (n períodos) a uma taxa i.Quer-se os juros totais produzidos ao final dos n períodos. Assim,

- no final do 1

o

período: j1 = C i- no final do 2o período: j2 = C i - ..................................................- ..................................................- no final do no período: jn = C i

Somando os juros obtidos ao final de cada período, obtém-se os juros totais produzidos aofinal dos n períodos:

niC j j j j j n

n

k k =+++==∑

=

...211

(2.1)

2.5 - Cálculo do Montante a juros simples

Tem-se que M = C + j

Logo, M = C + Cin

Ou seja,

M =C(1+in) (2.2)

Obs.A aplicação das fórmulas (2.1) e (2.2) requerem que i e n estejam referidas nas mesmasunidades.



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Exercício:

O capital de $ 7.000,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano e meio à taxa de 15% a.s.Calcular os juros e o montante obtidos no final deste prazo.

R: j = $ 3.150,00 ; M = $ 10.150,00

2.6 - Taxas de juros proporcionais e taxas de juros equivalentes

Exemplo:

Qual o montante produzido pelo capital de $1.000,00, aplicado a juros simples à taxa de15% a.a. durante 5 anos e 8 meses? R: $ 1.850,00

Obs.- Consideramos que também sejam produzidos juros em frações do período a que se

refere a taxa, no caso, 8 meses;- Requeremos o atendimento da observação quanto às unidades relativas à taxa e aoprazo.

Assim, o problema pode ser resolvido de duas formas:

1a forma:Passamos a parte em meses do prazo para anos: 8 meses = 8/12 anos (completar a solução)

2a forma:Passamos a taxa anual para mensal, utilizando o conceito de taxas proporcionais.A taxa mensal proporcional à taxa anual dada é:

a.m.0,012512

0,15

12

ii a

m ===

Observemos que existe uma proporção entre os valores das taxas e os períodos a que elasse referem:

1

12

%25,1

%15= (completar a solução)

As duas formas acima de resolução ensejam o conceito de taxas equivalentes, ou seja:

Taxas de juros equivalentes são taxas referidas a períodos diferentes, mas, quandoaplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante.

Obs. No regime de juros simples, taxas proporcionais serão sempre equivalentes.



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2.7 - Exercícios

1- O capital de $ 1.650,00 foi aplicado a juros simples durante 10 meses e produziu $55,00 de juros. Calcular a taxa anual utilizada. R: 4% a.a.

2- O capital de $ 900,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 5% a.a., sendo obtidos $15,00 de juros. Calcular o prazo de aplicação. R: 4 meses

3- João aplica 2/5 do seu capital a 6% a.a. e o restante a 5% a.a., ambos a juros simples,recebendo um juro anual total de $324,00. Calcular o capital empregado. R: $ 6.000,00

4- Em quanto tempo um capital aplicado à taxa de juros simples de 2,5% a.m. rende jurosequivalentes a 2/5 do seu valor? R: 1 ano e 4 meses

5- Calcular o prazo necessário para um capital triplicar o seu valor caso seja aplicado a

juros simples e à taxa de 10% a.t. R: 5 anos 6- Um capital foi aplicado a juros simples durante 1 ano e 4 meses, produzindo neste

período um montante equivalente a 7/5 do seu valor. Calcular a taxa mensal destaaplicação. R: 2,5% a.m.

7- Determinar o capital que diminuído dos seus juros simples de 18 meses, à taxa de6% a.a. fica reduzido a $ 8.736,00. R: $ 9.600,00

8- Dois capitais, C’ e C”, com C’ < C” , foram colocados a juros simples, o 1o a 4%a.m. durante 8 meses e o 2o a 3% a.m. durante 9 meses. Calcular esses capitais,

sabendo que nesses prazos renderam juros iguais e que a diferença entre eles é de $12.500,00. R: C’= $ 67.500,00 ; C’’ = $ 80.000,00

9- Pedro empregou o seu capital à taxa de juros simples de 5% a.a . No fim de 6 mesesretirou o capital e os juros e os empregou, também a j.s. à taxa de 6% a.a. durante 4meses, resultando no final deste prazo um total de $ 20.910,00. Calcular o capitalinicialmente empregado. R: $ 20.000,00

10- Um capital aplicado a juros simples com o juro correspondente a 4 meses eleva-se a $62.000,00. O mesmo capital com o juro de 9 meses eleva-se a $ 64.500,00. Calcular ocapital e a taxa empregados. R: C = $ 60.000,00 ; i = 0,833% a.m.

11- Carlos deposita num banco um capital a juros simples que, no fim de 3 meses eleva-se juntamente com os juros produzidos a $ 18.180,00. Este valor rendendo juros, aplicado amesma taxa, produz ao final de 6 meses o valor de $ 18.543,00. Calcular a taxa e ocapital empregados. R: i = 4% a.a. ; C = $ 18.000,00

12- Dois capitais, o 1o de $ 50.000,00 e o 2o de $ 80.000,00 foram aplicados a jurossimples na mesma data. Calcular o prazo comum das aplicações para que o montante



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produzido pelo 2o capital seja o triplo daquele produzido pelo 1o. O 1o foi aplicado à4% a.m. e o 2o à taxa de 11,875% a.m. R: 20 meses

13- O capital de $ 20.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 7,5% a.m. Após certoprazo, a taxa foi majorada para 10% a.m. Quatro meses após esta majoração, o

montante apurado durante todo o prazo de investimento resultou em $ 37.000,00.Calcular o 1o prazo de aplicação. R: 6 meses

14- Uma loja concede 5% de desconto para as suas vendas à vista e cobra 15% de jurospara as vendas que faz com prazo de 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simplescobrada pela loja? R: 7,02% a.m

15- João investe 20% do seu capital em um fundo de ações e o restante em um fundo derenda fixa durante 1 mês. Sabendo que neste período as quotas do fundo de ações e derenda fixa valorizaram 30% e 10% respectivamente, calcular a rentabilidade do capitalde João. R: 14% a.m.

16- Uma mercadoria é vendida por $ 600,00 à vista ou com uma entrada de 22% mais umpagamento $ 542,88 após 32 dias.Calcular a taxa mensal de juros simples ocorrida naoperação. R: 15% a.m.

17- Um banco empresta dinheiro por 1 mês à taxa de 8 % a.m. Porém, como práticabancária, cobra esses juros antecipadamente. Calcular a taxa mensal efetivamentecobrada pelo banco. R: 8,6957 % a.m.

18- Uma pessoa tomou um empréstimo de $ 20.000,00 para pagar, depois de 8 meses, ocapital mais os juros simples de 12% a.m. Dois meses antes da liquidação da dívida,

procurou o credor e propôs um pagamento imediato de $ 24.400,00, comprometendo-se a pagar $ 12.700,00 dois meses depois com o aceite do credor.a) quanto o devedor devia pagar no final dos 8 meses? R: $ 39.200,00 b) feito o acordo, após o pagamento de $ 24.400,00, quanto ficou devendo se sua

dívida foi calculada até aquela data? R: $ 10.000,00c) que taxa de juros mensal propôs pagar sobre o saldo devedor remanescente?

R: 13,5% a.m.

19- O capital de $ 1.000,00 é aplicado a juros simples a 10% a.a. Na mesma data, o capitalde $ 800,00 é aplicado também a juros simples a 15% a.a. Após quantos anos omontante obtido pela aplicação do 2o capital superará o montante obtido pela aplicaçãodo 1o capital? R: 10 anos

20- Uma loja coloca um artigo à venda através de uma entrada de $ 200,00 mais umaparcela de $ 550,00 dada 1 mês após a compra. Sabendo que a loja cobra juros simplesà taxa de 96 % a.a., calcular o seu preço à vista R: $ 709,26



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2.8 - Juros Exatos, Comerciais e a Regra dos Bancos

É comum certas operações financeiras ocorrerem por um ou mais dias. Neste caso,temos as modalidades acima referidas para o cálculo dos juros.

Exemplo:O capital de $ 1.200,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 15% a.a. de 20/05/99 a08/06/99. Calcular os juros produzidos.

2.8.1 - Juros Exatos- Ano civil: 365 dias (ou 366, se bissexto)- Meses: 30 ou 31 dias

Solução:Contagem exata dos dias via HP-12C:

g D.MY20.051999 ENTER8.061999 g ∆DYS ⇒ 19 cálculo dos juros:

j = C i n = 1.200(0,15/365)19 = $ 9,37

2.8.2 - Juros Comerciais- Ano comercial: 360 dias- Mês comercial: 30 dias

Solução:Contagem dos dias:

g D.MY20.051999 ENTER8.061999g ∆DYS 19 (dias exatos) cálculo dos juros:

x ⇌ y ⇒ 18 (base: mês comercial) j = C i n = 1.200(0,15/360)18 = $ 9,00

2.8.3 - Juros pela Regra dos Bancos (Forma Mista)- Contagem exata dos dias entre as datas;- Ano ou mês comercial.

Solução:

Contagem dos dias

g D.MY20.051999 ENTER8.061999 cálculo dos juros:g ∆DYS ⇒ 19 j = C i n = 1.200(0,15/360)19 = $ 9,50



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2.8.4 - Cálculo de datas via HP- 12C

- Cálculo de uma data futura - Exemplo:

Um cheque foi emitido em 5/8/2000 para ser resgatado 87 dias após a sua emissão.

Obter a data do resgate.Solução:

g D.MY5.082000 ENTER87g DATE => 31.10.2000 2

- Cálculo de uma data passada - Exemplo:

Uma NP (nota promissória) tem o seu vencimento para o dia 10/7/2000 e foi emitida93 dias antes do seu vencimento. Obter a data de emissão da referida nota.

Solução:

g DMY10.072000 ENTER93 CHSg DATE => 8.04.2000 6

2.9 - Exercícios1- Qual o tempo necessário para o capital de $ 1.000,00 produzir juros simples de

$ 81,00 à taxa de 18% a.a. (juros comerciais). R: 5 meses e 12 dias

2- O capital de $ 2.500,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 25% a.a. em 12/02/99.Se o resgate foi em 02/05/99, qual o juro recebido pelo aplicador ? (Regra dos Bancos)

R: $ 137,15

3- O capital de $ 5.000,00 rendeu $ 625,00 de juros. Sabendo que a taxa de juros simplescontratada foi de 30% a.a. e que a aplicação foi feita em 18/03/95, qual a data dovencimento? (Regra dos Bancos) R: 15/08/95

4- O capital de $ 32.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 30% a.a. produziu em08/10/94 o montante de $ 34.920,00. Calcular a data da aplicação (Regra dos Bancos).

R: 20/06/94

5- No dia 20/03/90 foram aplicados $ 125.000,00 a juros simples à taxa de 20% a.m.Determinar o montante obtido avaliado em 10/06/90 (Regra dos Bancos).

R: $ 193.333,33



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CAPÍTULO 3 - DESCONTOS DESCONTOS SIMPLES

3.1 - Conceitos

1- TítuloTítulo é um nome genérico para um documento que expressa um dado compromissofinanceiro. Exemplos: duplicata, nota promissória, cheque, letra de câmbio etc.

2- Valor Nominal do título ( N ) É o valor de resgate do título, expresso no mesmo, na data do seu vencimento.

3- Operação de DescontoÉ o ato do portador de um título resgatá-lo antes da data do seu vencimento, o que fazsurgir o “desconto” - D.

4- Valor Descontado ou Valor Atual ( A ) É a diferença entre o valor nominal ( N ) e o desconto ( D ).

N D

A A = N - D (3.1)

0 n

O desconto pode ser de dois tipos: Racional e Comercial.

3.2 - Desconto Racional Simples (Desconto por Dentro)

3.2.1 - Exemplo introdutório

Tenho uma dívida no valor de $ 1.000,00 com vencimento para daqui a 3 meses e queropagá-la hoje. A taxa de juros simples é de 5% a.m. Quanto pagarei e qual o descontoracional obtido?

N = 1.000,00

Ar i= 5% a.m Dr = N - Ar (3.2)

0 3



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3.2.2 - Conceito e formulário

O desconto racional Dr são os juros simples produzidos pelo valor descontado racional ( Ar )durante os n períodos faltantes para o vencimento, juros estes calculados à taxa i.

Dr = Ar i n (3.3)

como Ar + Dr = N ⇒ Ar + Ar in = N ⇒ N = Ar (1+in) (3.4)

ou seja,in

N Ar

+=

1(3.5)

levando a (3.5) na (3.3) temos: in Nin Dr +

= 1 (3.6)

A solução do exemplo fica:

57,.

869$0,05.31

0001 Ar =

+= e Dr = 869,57(0,05)3 = $ 130,43

Obs.

A taxa de juros simples ocorrida na operação é a mesma taxa a que o título foi descontado(5% a .m.), pois

a.m.0,053

1869,57

0001

i =

−

=

.

Obs. Este fato não ocorre na operação de desconto comercial.

3.3 - Desconto Comercial Simples (Desconto por Fora)

3.3.1 - Exemplo introdutório

O Banco X oferece-me um empréstimo de $ 1.000,00 a ser pago daqui a 3 meses. O Bancopratica a operação de desconto comercial e aplica sobre o valor emprestado uma taxa dedesconto de 5% a.m. Quanto efetivamente me foi emprestado e qual o desconto comercialocorrido?



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N = 1.000,00d = 5% a.m.

Ac Dc = N - Ac (3.7)

0 3

3.3.2 - Conceito e formulário

O Desconto Comercial ( Dc ), impropriamente falando, são os juros simples produzidospelo valor nominal ( N ) durante os n períodos faltantes para o vencimento, juros estescalculados à taxa de desconto d .

Assim,

Dc = N d n (3.8)

e pela (3.7), Ac = N(1- dn) (3.9)

A solução do exemplo fica:

Dc = 1.000 (0,05)3 = $ 150,00 e Ac = 1.000(1 - 0,05.3) = $ 850,00

Obs. Dc > Dr logo Ac < Ar

3.4 - Taxa implícita de juros na operação de desconto comercial

No exemplo visto, o cliente recebe hoje $ 850,00 e paga ao banco daqui a 3 meses$1.000,00. Assim, a taxa de juros ocorrida na operação é:

.

.

a.m0,05883

1850

0001

i =

−

=

Na operação de desconto comercial ocorrem sempre duas taxas: a taxa de desconto do títuloanunciada (d = 5% a.m.) e a taxa de juros efetivamente ocorrida na operação (i = 5,88%a.m.) que corresponde, ou que é equivalente à taxa de desconto d anunciada. Esta taxade juros ( i ) é dita taxa implícita ou taxa efetiva de juros da operação.



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3.5 - Relação entre i e d

Na operação de desconto comercial tem-se a taxa de desconto d tal que Ac = N(1- dn)

e a taxa de juros implícita na operação i é tal que: Ac (1 + in) = N

d N Ac i

0 n

ou seja:

N(1- dn)(1 + in) = N ⇒ 11

1−−= dnin ⇒ dn

d i −= 1 (3.10)

e da (3.10) temos:

in

id

+=

1(3.11)

3.6 - Exercícios

1- Um título de $ 10.000,00 com vencimento em 23/09/99 foi resgatado em 15/06/99.Calcular os descontos racional e comercial obtidos se a taxa de juros simples e dedesconto utilizada foi de 27% a.a. R: D r = $ 697,67 ; D c = $ 750,00

2- Um título foi descontado racionalmente à taxa de juros simples de 2 % a.m. Se o valornominal do título foi de $ 7.144,40 e o respectivo valor descontado de $ 6.740,00 qualfoi o prazo de antecipação? R: 3 meses

3- Na operação de desconto de um título a vencer daqui a 5 meses, o desconto comercialexcede em $ 140,00 o desconto racional. Calcular o valor nominal do título, sabendo quea taxa empregada nos descontos é de 24% a.a. R: $ 15.400,00

4- Um título no valor de $ 120.000,00 foi descontado comercialmente por $ 110.000,00,faltando 80 dias para o seu vencimento. Calcular as taxas semestrais de desconto e de juros implícita equivalente. R: d = 18,75% a.s. i = 20,45% a.s.

5- Um título foi descontado comercialmente com 40 dias de antecipação à taxa de descontode 5% a.m. e, na mesma data, o seu valor atual foi aplicado a juros simples à taxa de 8%



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a.m. durante 90 dias. Sabendo que o montante resultante desta aplicação foi de $173.600,00, calcular o valor nominal do título. R: $ 150.000,00

6- Uma NP no valor de $ 52.400,00 foi descontada racionalmente à taxa de juros simples de5% a.t., faltando 4 meses e 20 dias para o seu vencimento. Calcular o valor do desconto

e o valor recebido pela nota. R: D r = $ 3.781,44 ; Ar = $ 48.618,56 7- Uma NP foi emitida em 20/02/99 com vencimento marcado para 20/07/99. No dia

12/05/99 foi descontada por $ 28.300,00. Determinar o valor do desconto comercialobtido, se a taxa de desconto simples utilizada foi de 10% a.q. R: $ 1.726,53

8- O desconto de um título foi de $ 2.570,00 e a taxa de desconto comercial simplesutilizada foi de 48% a.b. O valor nominal era de $ 12.850,00 e o seu vencimento em09/08/99. Calcular a data em que o mesmo foi descontado e a taxa de juros implícita naoperação. R: 15/07/99 ; 60% a.b.

9- Se uma financeira deseja ganhar 24% a.a. de taxa efetiva de juros, que taxa de descontocomercial simples deverá aplicar nas operações de desconto de duplicatas cujo prazo deantecipação é de 35 dias. R: 23,45% a.a.

10- Calcular o valor nominal de um título cujos descontos comercial e racional são,respectivamente, $ 1.800,00 e $ 1.200,00. R: $ 3.600,00

11- Uma NP foi descontada por $25.000,00 no dia 10/10/99 à taxa de desconto comercialsimples de 15% a.s. e o desconto obtido foi de $ 2.930,00. Calcular a data devencimento da NP e o seu valor. R: 13/02/2000 ; $ 27.930,00

12- Um título foi descontado racionalmente com 5 meses de antecipação por $ 2.841,18. Seo prazo de antecipação fosse 2 meses, pagar-se-ia $ 3.389,83. Qual o valor nominal dotítulo e a taxa empregada? R: $ 3.890,71 ; 7,38% a.m.

13- Um comerciante possui em mãos uma série de títulos com um prazo médio devencimento de 60 dias. Esses títulos podem ser descontados em um banco a uma taxade desconto comercial simples de 3,5% a.m. Se o comerciante pode investir o capitalobtido na operação a uma taxa de juros simples de 3,6% a.m., vale a pena o descontodos títulos? R: não

14- Uma pessoa aplicou o capital de $ 12.000,00 em letras de câmbio para resgatar o valorde $ 14.520,00 após 90 dias. Faltando 15 dias para o vencimento da letra, descontou-acom desconto comercial à taxa de 8% a.m. e depositou o valor apurado numa contacom rendimentos de 10% a.m. (juros simples) por 60 dias. Calcular:

a) - o rendimento obtido considerando todas as operações; R: $ 4.727,04b) - a taxa mensal média de juros simples correspondente ao rendimento.

R: 8,75% a.m.

15- Um banco descontou uma NP de $ 5.000,00 para um cliente 90 dias antes de seuvencimento e depositou o valor obtido em sua conta corrente. O extrato da conta acusou



15

um depósito de $ 3.180,00, sendo costume do banco a cobrança de uma taxa de 0,4% sobreo valor nominal do título. Calcular a taxa de desconto comercial utilizada pelo banco.

R: 12% a.m.

CAPÍTULO 4 - EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO RCS

A Equivalência de Capitais ou Equivalência Financeira é a idéia central em MatemáticaFinanceira. Este assunto será estudado segundo os regimes de capitalização simples ecomposta. Primeiramente o tema será abordado segundo o RCS. Uma importante aplicaçãoé aquela que se refere à análise relativa à antecipação ou à postergação (rolagem) de títulos.

Somar ou subtrair capitais (valores monetários), estando esses capitais disponíveis empontos distintos no tempo, embora seja uma prática comum, é um procedimento errado. Istoporque o dinheiro tem valor no tempo, ou seja, financeiramente falando, o dinheiro nunca

ficará guardado sob o colchão. Capitais somente podem ser somados (ou subtraídos)quando se encontrarem disponíveis num mesmo ponto no tempo. Caso isso não ocorra, oque normalmente é o comum, os capitais devem ser “conduzidos” para um mesmo ponto notempo, mediante uma taxa de juros (ou de desconto).

Para o fluxo abaixo, se tivermos interesse em calcular o valor acumulado dos recebimentosabaixo no final do 3o mês, o valor acumulado não será $ 370,00, pois sempre se partirá dopressuposto que todo o dinheiro disponível poderá ser aplicado a uma certa taxa de juros.Se a taxa de juros simples for de 5% a.m., tem-se:

150 TOTAL100 120 TOTAL = 100(1+5%.3) +150(1+5%.2) +120(1+5%.1)

TOTAL = 115 + 165 + 126 = $ 406,000 1 2 3

Ou seja, o capital $ 100,00, hoje, “conduzido” para a data 3, à taxa de 5% a.m. é igual a $115,00. Dizemos que $ 1.000,00, hoje, “equivale” a $115,00 na data 3; o capital $ 150,00na data 1 equivale a $ 165 na data 3 e $120,00 na data 2 equivale a $ 126,00, na data 3.Assim, na data 3, obtém-se o total de $ 406,00.

4.1 - Equivalência via taxa de juros ou de descontos

Em geral, quando buscamos o equivalente monetário de um dado capital numa certa datafutura, calculamos o seu valor futuro; caso contrário, buscamos o seu valor atual.

A equivalência financeira no RCS pode ser analisada através de uma dada taxa de juros (via juros simples) ou de uma taxa de descontos (via desconto comercial simples). Assim,sendo n o número de períodos que distam os capitais X e Y, tem-se:



16

n

n

A) via juros simples:

YX i

B) via descontos simples

YX d

Obs.A não ser que seja expresso nos exercícios, o estudo da equivalência no RCS será realizadovia desconto comercial simples, utilizando-se as equações (4.2).

Exercícios:

Calcular os valores equivalentes aos capitais dados nos pontos de tempo considerados e àstaxas consideradas.

1) 800 Xi = 3% a.m.

0 5 m

2) A i = 4% a.m. 1.000

2 7 m

3) 1.000A d = 4% a.m.

3 8 m

Obs.A seguir, conceitos e observações sobre a equivalência de capitais no RCS.

Y = X (1 + i n) eni1

YX

+= (4.1)

X = Y(1- d n) end1

XY

−= (4.2)



17

4.2 - Exemplo introdutório

Consideremos dois títulos de valores nominais N 1 = $ 487,50 e N 2 = $ 650,00 comvencimentos para daqui a 2 e 4 meses respectivamente. Objetivamos calcular os seusvalores descontados (atuais) na data de hoje (data “zero”), utilizando, para isso, uma taxa

de desconto d =10% a.m. (logo, a operação será realizada via desconto comercial).487,50 650,00 A = N(1 - dn)

A1 , A2

A1 = 487,50(1 - 0,10 .2) = $ 390,00 A2 = 650,00(1 - 0,10 .4) = $ 390,00

0 2 4

Os valores monetários de $ 487,50 e $ 650,00 daqui a 2 e 4 meses, respectivamente,equivalem hoje, a uma taxa de desconto de 10% a.m., a $ 390,00.

4.3 - Conceito

Sejam dois capitais N 1 e N 2 disponíveis nas datas X e Y respectivamente e uma taxa dedescontos d . N 1 e N 2 são equivalentes numa dada data Z (data focal ou de referência), àtaxa considerada, se os seus valores calculados na data Z forem iguais.

N 2 equação de equivalência

N 1 A1 = A2 (4.3) A1=A2 N 1 (1 - dn1 ) = N 2 (1 - dn2 )

Z X Yn1

n2

Obs.- O conceito acima estende-se naturalmente para um número maior de capitais;

- Caso a data focal Z seja posterior às datas onde os capitais estão disponíveis, a equaçãode equivalência (4.3) tomará a forma abaixo:

N 1 = N 2 N 1 = N 2

A1 A2

2

2

1

1

11 dn

A

dn

A

−=

−(4.4)

X Y Zn2

n1



18

- A equação de equivalência (4.3) também poderia ser modelada segundo a política dos juros simples, (desconto racional) ou seja:

)1()1( 2

2

1

1

21

in

N

in

N

A A

+=

+

=

(4.5)

- Utilizaremos as formulações (4.3) ou (4.4), ou seja, via desconto comercial.

Exercício:

Tenho uma dívida de $ 1.000,00 para daqui a 5 meses e quero trocá-la por outra para daquia 3 meses. Qual o valor da nova dívida a uma taxa de desconto de 10% a.m.? Ou seja, nadata atual (zero), os valores $1.000,00 e X devem representar o mesmo valor monetário, ouseja, devem ser equivalentes.

X 1.000,00

0 3 5

Mostrar que os capitais acima, equivalentes na data “zero”, não são equivalentes na data 9,também à taxa de 10% a.m. No RCS, capitais que são equivalentes numa certa data, não oserão em outra.

4.4 - Valor Atual de um conjunto de capitais

Conceito

O valor atual de um conjunto de capitais, calculado numa determinada data focal e a umadada taxa de desconto, é a soma dos valores atuais desses capitais referidos à data e à taxaconsideradas.

Para dois capitais e tomando como data de referência a data “zero”, temos o diagrama e aequação correspondente:

A N 1 A = N 1(1 - dn1) + N 2(1 - dn2) (4.6) N 2

0 n1 n2



19

Exercício:

Uma dívida atual de $ 18.500,00 será paga por meio de 3 NPs de mesmo valor vencíveisem 30, 60 e 90 dias. Calcular o valor das notas, sabendo que a taxa de desconto simplesutilizada é de 10% a.q. R: $ 6.491,22

4.5 - Conjuntos de capitais equivalentes

Conceito

Dois conjuntos de capitais são equivalentes numa determinada data e a uma dada taxa dedesconto, se as somas dos valores desses capitais de cada um dos conjuntos, calculados nadata e à taxa considerada, forem iguais.

Consideremos os dois conjuntos ( I e II ) abaixo e como data focal a data “zero”.

I II A I N 2 A II

N 1 M 1 M 2 M 3

0 n1 n2 0 m1 m2 m3

A equivalência entre os conjuntos I e II ocorrerá se

A I = A II (4.7) N 1(1 - dn1) + N 2(1 - dn2 ) = M 1(1 - dm1 ) + M 2 (1 - dm2 ) + M 3 (1 - dm3 )

4.6 - Exercícios

1- Uma dívida representada por duas NPs de $ 40.000,00 e $ 90.000,00, vencíveisrespectivamente em 60 e 90 dias, será substituída por duas outras NPs de mesmo valorvencíveis em 120 e 180 dias. Calcular os valores nominais desses novos títulos se a taxa

de descontos utilizada é de 1,5% a.m. R: $ 67.432,43

2- Uma NP de $ 30.000,00, vencível em 45 dias, será substituída por outra vencível em 25dias. Calcular o valor dessa outra, se a taxa de desconto é de 30% a.a. R: $ 29.489, 36

3- Um título no valor de $ 12.500,00, vencível em 75 dias, será substituído por outro novalor de $ 12.566,81 vencível em 92 dias. Calcular a taxa de desconto simplessemestral utilizada. R: 5,5% a.s.



20

4- Um título no valor de $ 16.000,00, vencível em 35 dias, será substituído por outro no

valor de $ 16.845,48. A taxa de desconto utilizada foi de 30% a.s. Determinar o prazopara o vencimento do título. R: 63 dias

5- Uma NP no valor de $ 28.000,00 vencível em 95 dias será substituída por outras 3 notasvencíveis em 72, 100 e 125 dias respectivamente. Calcular o valor de cada nota, sabendoque a 2a nota é 75% do valor da 1a e que a 3a nota é 25% maior do que a 2a. Utilizaruma taxa de desconto simples de 12 % a.s.

R: N 1 = $ 10.443,15 ; N 2 = $ 7.832,36 ; N 3 = $ 9.790,45

6- Dois títulos, sendo o valor nominal do primeiro 20% maior do que o do segundo, foramdescontados com taxas de desconto de 4% a.m. e 5% a.m., respectivamente, 21 diasantes dos seus respectivos vencimentos, resultando no valor líquido total de $ 57.543,30.Determinar os valores nominais desses títulos. R: N1 = $ 32.397,47; N2 = $ 26.997,89

7- Uma dívida, representada por 3 NPs para daqui a 30, 50 e 80 dias, nos valores de $800,00, $1.000,00 e $1.000,00, respectivamente, será substituída por outra representadapelas notas nos valores de $1.200,00 e N, dadas, na data atual e para daqui a 60 diasrespectivamente. Calcular N se a taxa de desconto simples utilizada é de 2,5% a.m.

R: $ 1.549,12

8- Mostrar que os capitais de $ 1.000,00 e de $ 1.097,67 disponíveis nos meses 2 e 5,respectivamente, são equivalentes no mês 7, mas não o são no mês 4, a uma taxa dedesconto comercial de 2,8% a.m.

9- Uma dívida no valor de $ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende resgatá-

la pagando $ 4.800,00 hoje, $ 14.000,00 daqui a 2 meses, e o restante 1 mês após a datado vencimento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a data focal daoperação, calcular o valor deste último pagamento. A taxa de desconto é de 30% a.a.

R: $ 27.412,59

10- Para refinanciar uma dívida de $ 2.000,00 em 45 dias, João paga $ 850,00 no momentoda negociação e é emitido um novo título para 100 dias. Se a taxa de descontocomercial simples utilizada foi de 2,5 % a.m. e, a data de referência for o momento danegociação, calcular o valor deste novo título. R: $ 1.172,73

11-Uma dívida de $ 15.000,00 com vencimento para 15/11/03 foi renegociada no dia05/07/03. A renegociação envolveu o pagamento de 3 NP

spara os dias 15/08/03,

20/09/03 e 18/10/03, respectivamente. O valor da 2a nota é 80% do valor da 1a nota e, ovalor da 3a é 20% superior ao da 1a nota. Calcular os valores das referidas NPs, sabendoque a taxa de descontos acordada foi de 4% a.m.

R: N 1 = $4.578,51; N 2 = $3.662,81; N 3 = $ 5.494,21



21

CAPÍTULO 5 - JUROS COMPOSTOS

5.1- Regime de Capitalização Composta (RCC)

Neste regime, no final de cada período a que se refere a taxa, os juros produzidos sãoincorporados ao montante do período anterior (os juros são capitalizados) para, juntos,formarem novos juros.

5.2- Juros Compostos

São os juros produzidos segundo o RCC .

Obs.- Utilizaremos no trato dos juros compostos a simbologia PV (valor presente) e FV (valor

futuro) para denotar, respectivamente, o capital inicialmente empregado e o montanteobtido. - faremos constar no visor da HP-12C a letra “c”. Para isso tecla-se STO EEX.

Exemplo:

PV = $ 1.000,00 ; i = 15% a.m. ; n de 0 a 5 meses

Mês Juros do mês Montante0 1.000,001 1.000,00 (0,15) = 150,00 1.150,002 1.150,00 (0,15) = 172,50 1.322,503 1.322,50 (0,15) = 198,38 1.520,884 1.520,88 (0,15) = 228,13 1.749,015 1.749,01 (0,15) = 262,35 2.011,36

Gráfico do montante FV em função do prazo n

Evolução do montante

0300600900

1200150018002100

0 1 2 3 4 5

n

FV



22

Obs.- Os pontos do gráfico acima encontram-se alinhados segundo uma curva, que define um

crescimento exponencial para o montante;- A evolução do montante dá-se segundo uma Progressão Geométrica de razão (1+i ).

5.3 - Cálculo do montante a juros compostos

Consideremos o capital PV aplicado a juros compostos à taxa i por n períodos.

- final do 1o período: FV 1 = PV + PVi = PV(1+i) - final do 2o período: FV 2 = FV 1 + FV 1i = FV 1(1+i) = PV(1+i)2 - final do 3o período: FV 3 = FV 2 + FV 2i = FV 2(1+i) = PV(1+i)3

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- final do no período:

FV n = FV = PV(1+i) n (5.1)

Observação:Como j = FV – PV , temos:

j = PV(1+i)n – PV => j = PV[(1+i)n –1] (5.2)

5.4 - Conceito

O fator (1+i)

n

na fórmula acima, é chamado Fator de Capitalização (ou de acumulaçãode capital e representa o montante obtido pela aplicação de “uma unidade de capital”(PV = $ 1,00), à taxa de juros compostos i, por n períodos.

Exercício:

Calcular o montante obtido no final do 5o mês para um aplicador que investe $ 1.000,00 a juros compostos durante 5 meses à taxa de 15% a.m.

Solução:FV = PV(1+i) n FV = 1.000 (1+0,15) 5 = $ 2.011,36

Via HP-12C:1000 CHS PV

5 n15 iFV 2.011,36



23

5.5 - Exercícios

1- Um Banco remunera as aplicações dos seus clientes a juros compostos a uma taxa de 3%a.m. Se uma pessoa aplica hoje $ 8.500,00 e $ 10.000,00 daqui a 3 meses, quanto obterádaqui a 6 meses? R: $ 21.076,71

2- Calcular o capital que aplicado à taxa composta de 11% a.a. produz o montante de $3.800,00 após 12 anos. R: $ 1.086,20

3- O capital de $ 2.500,00 é aplicado durante 4 meses a juros compostos produzindo omontante de $ 3.500,00. Calcular a taxa mensal de juros compostos. Qual a taxa de juros simples necessária para o referido capital produzir o mesmo montante no prazoconsiderado? R: 8,776% a.m. (j.c.) e 10% a.m. (j.s.)

4- Durante quanto tempo o capital de $ 1.000,00 deve ser aplicado a juros compostos à taxade 10% a.a. para que produza o montante de $ 1.580,00? R: 4 anos, 9 meses e 18 dias

5- Determinar o capital que aplicado à taxa composta de 5% a.m. rende juros de $ 850,00no período de 4 meses. R: $ 3.944,20

6- O capital de $ 30.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 13 meses. Sabendo quea taxa de juros dos 8 primeiros foi de 3% a.m. e que o montante ao final de todo o prazofoi de $ 46.065,78, calcular a taxa relativa ao período restante. R: 3,923% a.m.

7- Um investidor colocou ¼ do seu capital a 6% a.t. e o restante a 15% a.s. ambos a juroscompostos. No final de 3 anos retirou o montante de $ 33.119,23. Qual o capitalempregado? R: $ 14.799,61

8- Em quanto tempo um capital dobra se for colocado à taxa de 10% a.m.a) a juros compostos R: 7 meses e 8 diasb) a juros simples R: 10 meses

9- Qual a taxa mensal de juros simples que corresponde à taxa de 10% a.m. de juroscompostos durante 1 ano? R: 17,82% a.m.

10- Um cidadão coloca 1/3 do seu capital a juros simples à taxa de 5 % a.m. durante 100dias e o restante a juros compostos à taxa de 12% a.a. pelo mesmo prazo, resultando nofinal o valor de $ 5.800,00. Calcular o capital aplicado. R: $ 5.385,89

11- Uma loja oferece uma mercadoria com desconto de 3,5 % sobre o preço tabelado paraa compra à vista. Pagando com um cheque pré-datado para 30 dias, paga-se o preçotabelado e com cheque para 60 dias há um acréscimo de 4,0%. Se os rendimentos dasaplicações forem da ordem de 2,5% a.m., qual a melhor forma de um cidadão adquirira mercadoria - à vista ou a prazo? R: à vista



24

5.6 - Taxas proporcionais e equivalentes em juros compostos

Exemplo1:

O capital de $ 1.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 15% a.a. durante 2 anos.

Calcular o montante obtido.Solução:

FV 1 = 1.000(1 + 0,15)2 = $ 1.322,50

Exemplo2:

O capital de $ 1.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 1,25% a.m. durante 2 anos.Calcular o montante obtido.

Solução: A taxa mensal: im= 1,25% a.m. é a taxa mensal proporcional `a taxa anual ia = 15% a.a.,

ou seja: im = ia / 12 e, neste caso,

FV 2 = 1.000(1 + 0,0125)24 = $ 1.347,35

Ou seja: ⇒ FV 1 ≠ FV 2

Obs. No RCC taxas proporcionais não são equivalentes, ou seja, taxas referidas a períodosdiferentes, quando aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo prazo, conduzem amontantes diferentes.

5.6.1 - Equações de equivalência

No caso acima, qual deve ser a taxa mensal equivalente à anual?

Solução: condição de equivalência:

FV 2 = FV 1 ⇒ 1.000(1 + im )24 = 1.000(1 + 0,15)2⇒ (1 + im )24 = (1 + 0,15)2

⇒ im = (1 + 0,15)1 / 12 - 1 ⇒ im = 1,1715% a.m.

Do exemplo acima, a equação de equivalência entre taxas mensais e anuais é:(1 + im )12 = 1 + ia

Da mesma forma, entre taxas anuais e bimestrais: (1 + ib )6 = 1 + ia

E generalizando:



25

1 + ia = (1 + id )

360 = (1 + im )12 = (1 + ib )6 = (1 + it )4 = (1 + iq )3

= (1 + is )2 (5.3)

Exemplos:

1) Calcular a taxa de juros compostos bimestral equivalente à anual de 20% a.a.Solução:

1 + ia = (1+ib )6 => 1,20 = (1+ib )6 Via HP-12C:

1,20 FV1 CHS PV6 ni 3,0853 (3,0853% a.b.)

2) Calcular a taxa de juros compostos anual equivalente à mensal de 2,5% a.m.

Solução: 1+ ia = (1+im)12 => 1+ia = (1+0,025)12

Via HP-12C:2,5 i12 n1 CHS PVFV 1 - 0,3449 (34,49% a.a.)

5.6.2 - Procedimento prático para conversão de taxas equivalentes

As equações de equivalência (5.3) ensejam a utilização de um procedimento bastanteprático e útil para as conversões de taxas efetivas em juros compostos. Este procedimentorequer que os períodos a que se referem as taxas sejam expressos em dias.

Exemplo:Dada a taxa de 6 % a.b., expressar a fórmula para o cálculo da taxa trimestral equivalente.Solução:

(1 + ib )6 = (1 + it )4 => .a.t %9,1337 1)i(1i 2

3

bt =−+=⇒−+= 10,06)(1i 60

90

t

A equação em negrito, acima, nos leva ao procedimento prático abaixo, de fácilmemorização aplicável a todos os casos de conversão entre taxas efetivas.

1)i1(i tenho.per

quero.per

tenhoquero −+= (5.4)



26

A rotina na HP-12C para o exemplo acima, fica:

1,06 ENTER90 ENTER 60 ÷ y x 1 – 100 x => 9,1337

5.6.3 - Exercícios

1- Calcular a taxa anual equivalente à taxa mensal de 0,5% a.m. R: 6,1678% a.a.

2- Calcular a taxa bimestral equivalente à taxa de 3% a.m. R: 6,0900% a.b.

3- Calcular a taxa diária equivalente à taxa de 15% a.m. R: 0,4670% a.d.

4- Calcular a taxa mensal equivalente à taxa de 5,5% a.b. R: 2,7132 % a.m.

5- Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa de 10,5% a.s. R: 5,1190% a.t.

6- Calcular a taxa anual equivalente à taxa de 12% a.q. R: 40,4928% a.a.

7- Calcular a taxa para 25 dias equivalente à taxa de 4% a.m. R: 3,3224% a.p.

8- Calcular a taxa para 44 dias equivalente à taxa de 15,91484% para 252 diasR: 2,6122% a.p.

9- Calcular o montante obtido pela aplicação de $1.000,00 durante 22 dias à taxa de 3,8%a.m. R: $ 1.027,73

10- O que é preferível: aplicar $ 1.000,00 por 1 ano à taxa de 2,5% a.b. ou à taxa de3,77334 % a.t.? R: é indiferente

11- Um corretor propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% a.a. Se oinvestidor souber de outra aplicação onde possa ganhar 9% a.t. qual deve ser a suaescolha? R: 9% a.t.

12- Que taxa mensal de juros compostos fará um capital dobrar em 1 ano? Qual a taxa

anual equivalente? R: 5,9463% a.m. ; 100% a.a.

13- No 1o semestre de 2003, noticiou-se que as taxas de juros no “cheque especial” eramda ordem de 177% a.a. Qual a sua equivalente mensal? R: 8,8612% a.m.



27

5.7 - Taxas Nominais e Taxas Efetivas

Quando se diz que uma taxa de juros compostos é de 24% a.a. significa que ao final decada ano são produzidos juros à taxa de 24%, que são agregados ao capital para, juntos,formarem novos juros no final do ano seguinte. Esta é a regra e deveria ser o usual, ou seja,

os juros são produzidos e capitalizados nos finais dos períodos a que se refere a taxa. Naprática, porém, isto não acontece, existindo o hábito de dissociar o período a que a taxa serefere (período de referência), do período em que os juros são incorporados ao capital(período de capitalização) como no exemplo abaixo:

“24% ao ano com capitalização mensal” ⇒ 24% a.a./m.

período de referência 24% a. a. / m. período de capitalização

Taxas assim referidas são chamadas taxas nominais, ou seja, não há homogeneidade entre

os períodos de referência e de capitalização. Isto ocasiona a não possibilidade do seu usonas formulação utilizada. Neste caso, busca-se uniformizar os períodos referidos,calculando-se a taxa efetiva de juros correspondente à taxa nominal dada. Esta taxa efetivaé a que será utilizada nos formulários, sendo calculada via taxas proporcionais. Ou seja:

taxa nominal: i N = 24% a.a./m. taxa efetiva mensal: im = 24/12 = 2% a.m./m.

se quisermos a taxa efetiva anual equivalente, teremos:(1 + im )12 = 1 + ia ⇒ ia = (1+0,02)12 – 1 ⇒ ia= 26,82% a.a./a.

Visualizando o que foi feito acima:24% a.a./m.

via proporção taxas ditas equivalentes

2% a.m./m 26,82% a.a./a.via rel. equivalência

Obs.- A taxa efetiva apresenta os períodos de referência e de capitalização nas mesmas

unidades e corresponde à taxa de juros compostos que efetivamente está sendo praticada.O que “manda” no RCC é o período de capitalização! ”

- A partir de agora, ao nos referirmos a uma taxa de juros compostos, o faremos citando operíodo de referência e o de capitalização, salientando assim o fato de se tratar de umataxa de juros efetiva ou nominal, como p.e., 2,5% a.m./m. (efetiva) ou 8,5 % a.a./b.(nominal).



28

Exemplo:

Para emprestar dinheiro, um agiota cobra dos clientes uma taxa de juros de 120% a.a./m.Calcular: a) a taxa nominal de juros pagos; b) a taxa efetiva mensal; c) a taxa efetivaanual.

5.8 - Exercícios

1- Calcular a taxa anual capitalizada anualmente que equivale à taxa de 30% a.a./m.R: 34,49 % a.a./a.

2- Calcular a taxa anual capitalizada anualmente que equivale à taxa de 1,5% a.m./m.R: 19,56% a.a./a.

3- Calcular a taxa semestral com capitalização semestral equivalente à taxa de 16%a.a./a. R: 7,7033% a.s./s.

4- Calcular a taxa anual capitalizada trimestralmente que produz o mesmo rendimento quea taxa de 28% a.a./a. R: 25,46% a.a./t.

5- Dada a taxa de 5% a.t./t. calcular:a) a taxa anual c/ cap/ trimestral equivalente; R: 20% a.a./t. b) a taxa anual efetiva equivalente; R: 21,55% a.a./a. c) a taxa mensal efetiva equivalente. R: 1,640% a.m./m.

6- Calcular a taxa anual capitalizada bimestralmente que equivale à taxa de 2%a.m./m. R: 24,24% a.a./b.

7- Calcular a taxa semestral com capitalização bimestral que equivale à taxa de 28%a.t./m. R: 58,6133 % a.s./b.

8- O capital de $ 950,00 foi aplicado à taxa de 30% a.a./m. Determinar o montanteavaliando-o ao final de 2 anos e 4 meses. Resolva o exercício utilizando a taxa anualefetiva equivalente. R: $ 1.896,67

9- Calcular a taxa anual capitalizada bimestralmente necessária para o capital de $5.458,00 produzir no final de 7 anos o montante de $ 7.552,86. R: 4,6586% a.a./b.

10- Calcular o capital que aplicado à taxa de 5% a.t./t. produziu no prazo de 3 anos e 6meses o montante de $ 15.980,00. R: $ 8.070,98

11- O capital de $ 500,00 foi aplicado à taxa de 30% a.a./s. Determinar o prazo necessáriopara produzir o montante de $ 1.758,94. R: 4 anos e 6 meses



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12- Uma pessoa deseja fazer uma aplicação pelo prazo de 1 ano. São oferecidas a ela asseguintes taxas: a) 48,2% a.a./a. ; b) 3,2% a.m./m. ; c) 38% a.a./t.

Qual a melhor opção? R: (a)

13- Um automóvel tem o seu preço tabelado em $ 12.800,00. Como forma de intensificar as

vendas, a loja faz a seguinte oferta: “compre hoje e só pague daqui a 3 meses pelopreço de tabela”. Se a taxa de juros compostos para aplicações é da ordem de 1,5%a.m./m., qual o desconto que a loja poderia dar a um cliente que optasse pelopagamento à vista? R: $ 559,14

14- A Caderneta de Poupança, além da atualização monetária, paga juros de 6% a.a./m.Calcular: a) a taxa nominal de juros pagos; R: 6% a.a./m.

b) a taxa efetiva mensal; R: 0,5% a.m./m. c) a taxa efetiva anual. R: 6,1678% a.a./a.

15- No início de set/99 apliquei uma quantia à taxa de 4% a.m./m. Depois de 5 meses, com

a elevação da taxa para 12% a.m./m., o meu capital ficou ainda empregado por mais 3meses a essa nova taxa, quando então retirei o montante de $ 17.093,10. Calcular:a) o capital inicialmente empregado; R: $ 10.000,00 b) a taxa média mensal efetiva de juros compostos ocorrida. R: 6,93% a.m./m

16- Certo capital esteve empregado durante 1 ano da seguinte forma: a 5 % a.m./m. nos 6primeiros meses; a 7 % a.m./m. nos 3 meses seguintes e a 10% a.m./m. nos últimos 3meses. Calcular:

a) a taxa efetiva anual a que o capital esteve empregado; R: 118,51% a.a./a.b) a taxa média mensal equivalente. R: 6,7307% a.m./m.

17- João necessita de um empréstimo e vai a 3 Bancos, A, B e C que praticam as seguintestaxas de juros: Banco A: 24 % a.a./t. ; Banco B: 13,5 % a.a./ b.; Banco C: 2 %a.m./m. Determine, qual o Banco “mais atrativo” para João tomar o seu empréstimo e,neste caso, se ele tomar emprestado $ 25.000,00, qual será sua dívida final de um anoe meio? R: Banco B - $ 30.542,87

18- O Banco A remunera as aplicações à taxa de 30% a.a./m. O Banco B oferece uma taxaanual, mas com capitalização trimestral. Qual deve ser esta taxa nominal para queum cliente sinta-se indiferente quanto a escolha do Banco? R: 30,756% a.a./t.

19- Uma loja de automóveis, objetivando intensificar as suas vendas faz a seguinte oferta:“Compre hoje e só pague daqui a 6 meses. Pagando à vista, tem um desconto de 30%no preço do carro.” Qual a taxa mensal de juros compostos praticada pela loja? Quala taxa anual c/ cap/ mensal equivalente? R: 6,125% a.m./m. - 73,5% a.a./m.

20- Uma loja coloca suas mercadorias à venda oferecendo duas opções ao comprador:a) pagar o preço tabelado somente após 90 dias da compra;b) oferecer um desconto de 15% sobre o preço tabelado para pagamento à vista.

Determinar a melhor opção para um comprador que possui o dinheiro para pagar àvista, se a taxa de juros para aplicações é de 6% a.m./m. R: melhor a prazo



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21- Um cidadão faz uma aplicação de 30% do seu capital a 15% a.a./m. por 125 dias e orestante a 6% a.s./s. pelo mesmo período. Ao final deste prazo, reaplicou o montanteobtido à taxa de 3% a.b./b. por mais 15 meses, resultando finalmente no valor de $12.800,00. Calcular o capital aplicado. R: $ 9.814,76

22- Pedro Hinves Thidor possui $ 10.000,00 para investir pelo prazo de 1 ano e meio elhe são oferecidas as seguintes alternativas:Banco A : 10,5% a.a./a. ;Banco B: 9,6% a.a./m. ;Banco C: a juros compostos à taxa de 0,75% a.m./m no primeiro ano e a a juros

simples à taxa de 1,2% a.m. nos últimos 6 meses.Qual a melhor opção para Pedro? Banco C (maior montante: $ 11.725,61)

23- Um cidadão aplicou 30% do seu capital na Financeira A, à 16% a.a./t. e o restante naFinanceira B à 18% a.a./s. Depois de 3 anos, recebeu $ 10.800,00 de juros daFinanceira B. Calcular o valor dos juros recebidos da Financeira A. R: $ 4.108,58

5.8 - Montante a Juros Compostos Para Prazo FracionárioConvenções Linear e Exponencial

A expressão: FV = PV(1+i)n foi demonstrada para n sendo um prazo inteiro de períodosa que se refere a taxa (taxa efetiva). Para n fracionário, temos estabelecidas duasconvenções - a convenção linear e a convenção exponencial. Se a taxa anunciada fornominal, calculamos primeiro a taxa efetiva relativa ao período de capitalização.

Exemplo:Calcular o montante obtido a partir da aplicação do capital de $ 1.000,00, à taxa de15 % a .a./a. no prazo de 3 anos e 6 meses.

5.8.1 - Convenção Exponencial

“ Por esta convenção o montante é obtido aplicando-se a fórmula FV = PV(1+i)n paratodo o prazo de aplicação.”

Solução: FV EXP = FV = 1.000 (1 + 0,15)3,5 = $ 1.630,96

Via HP-12C:

STO EEX ( coloca o “c” no visor)1000 CHS PV3,5 n15 iFV ⇒ 1.630,96



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5.8.2 - Convenção Linear

“ Por esta convenção, é calculado o montante a juros compostos durante a parte inteira doprazo a que se refere a taxa, calculando-se a seguir os juros simples sobre este montantedurante a parte fracionária”.

FV

FV 4

FV LIN

⇒ FV

3FV

EXP

3 3 + 6/12 4 n

Solução:

FV LIN = FV 3 (1 + 0,15. 6/12) = 1000 ( 1 + 0,15)3 [1 + 0,15. 6/12] = $ 1.634,94

Via HP-12C:

STO EEX (suprime o “c” do visor)1000 CHS PV3,5 n15 iFV ⇒ 1.634,94

Generalizando, temos a expressão abaixo para o cálculo de FV pela convenção linear:

FV LIN = PV(1 + i) n [1 + i. p/q] (5.5)

Obs.- valor de n na (5.5) corresponde à parte inteira do prazo;

- FV EXP < FV LIN o que pode ser verificado na figura anterior.



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5.8.3 - Exercícios

1- O capital de $ 12.500,00 foi aplicado à taxa de 12% a.a./a. Calcular o montante,avaliando-o pelas duas convenções no prazo de 5 anos, 8 meses e 10 dias.

R: $ 23.833,03 (conv. exp.) - $ 23.865,04 (conv. lin.)

2- Calcular o capital que aplicado à taxa de 12% a.a./b. produziu o montante de $23.850,00 no prazo de 3 anos e 9 meses. Utilizar as duas convenções.R: $ 15.275,12 (conv. exp.) - $ 15.274,37 (conv. lin.)

3- Calcular, via convenção exponencial, o prazo necessário para o capital de $ 5.000,00produzir o montante de $ 7.646,29 a uma taxa de 8% a.a./a. R: 5a, 6m e 7d

4- Calcular o capital que aplicado à taxa de 5,5% a.s./t. produziu o montante de $51.300,00 no prazo de 4 anos, 8 meses e 16 dias. Utilizar as duas convenções.


5- Calcular o capital que aplicado à taxa de 30% a.a./q. produziu o montante de $ 35.794,00no prazo de 10 anos e 8 meses. R: $ 1.695,29

6- O capital de $ 5.720,00 foi aplicado à taxa de 24% a.a./t. Calcular o montante, avaliando-o pelas duas convenções, no prazo de 3 anos, 8 meses e 20 dias.


7- O Banco Alfa concede empréstimos aos seus clientes a uma taxa de 12% a.a./b. Umcliente procura o Banco Alfa e toma emprestado a quantia de $ 5.000,00 pelo prazo de 1ano e 3 meses. Utilizando a convenção exponencial, qual o valor da dívida no final doprazo? R: $ 5.800,58

8- O Banco Beta remunera as aplicações dos seus clientes a uma taxa de 12% a.a./b. Umcliente procura o Banco Beta e aplica a quantia de $ 3.500,00 pelo prazo de 1 ano e 5meses. Utilizando a convenção linear, qual o montante produzido ao final do prazoconsiderado? R: $ 4.141,82

9- João Pokagrana necessita de um empréstimo de $ 3.500,00 que será pago ao final doprazo de 1 ano e meio. São oferecidas as seguintes opcões:A) - à taxa de 12% a.a./a. via convenção linear; R: $4.155,20 B) - à taxa de 8% a.a./s.; R: $ 3.937,03 C) - a juros simples nos primeiros 12 meses à taxa de 1,5 % a.m., passando a incidir,

sobre o montante produzido, juros compostos à taxa de 1 % a.b./b. nos últimos 6meses. R: $ 4.255,14

Determinar a opção “mais atrativa” para João. R: opção B

10- Um cidadão procura o Banco X para obter um empréstimo. O Banco X pratica umataxa de 18% a.a./a e utiliza a convenção linear. Sabendo que o empréstimo foi por 3anos e que o mesmo foi pago com 2 meses de atraso, totalizando o valor de $5.800,00, calcular o valor do empréstimo. R: $ 3.427,24



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CAPÍTULO 6 - EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO RCC

O grande número de aplicações práticas, fazem da equivalência de capitais no RCC o fococentral da Matemática Financeira.

A idéia da equivalência financeira no RCC é análoga à equivalência no RCS. Porexemplo, o capital $ 1.000,00, hoje, é equivalente ao capital $ 1.157,63, daqui a 3 meses, àtaxa de 5% a.m./m. Ou seja, “conduzindo” o valor $ 1.000,00, hoje, para a data 3, obtém-se $ 1.157,63.

1.157,631.000 5 % a.m./m 1.000 (1+5%)3 = 1.157,63

0 3

Da mesma forma, o capital $ 2.500,00, daqui a 5 meses, equivale hoje a $ 2.209,64 a umataxa de juros de 2,5% a.m./m.

2.5002.209,64 2,5% a.m./m

5%)5,21(

500.264,209.2

+=

0 5

Observamos que a “movimentação” dos capitais no tempo é realizada pela aplicação dafórmula FV = PV(1+i)n.

6.1 - Capitais equivalentes

“Sejam dois capitais N 1 e N 2 disponíveis nas datas X e Y respectivamente e uma taxa de juros compostos i. N 1 e N 2 são equivalentes numa dada data Z (data focal ou dereferência), à taxa considerada, se os seus valores calculados na data Z forem iguais”.

N 2

A1=A2 N 1 21 )1()1(

21

21

nn i

N

i

N

A A

+=

+

=

(6.1)

Z X Yn1

n2



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Obs.A juros compostos, se dois capitais são equivalentes numa determinada data, a uma certataxa de juros, também o serão em outra data.

Exercício 1:Calcular o capital X para que os capitais abaixo sejam equivalentes na data de hoje à taxade 12% a.a./m. Após, mostrar que os referidos capitais também são equivalentes na data 9.

1.000X

0 3 5 (mês)

6.2 - Valor Atual de um conjunto de capitais

“O valor atual de um conjunto de capitais, calculado numa determinada data focal e a umadada taxa de juros compostos i, é a soma dos valores atuais desses capitais referidos àdata e à taxa consideradas.”

Para dois capitais e tomando, como data de referência a data “zero”, temos o diagrama e aequação correspondente:

A N 1 21 )1()1(

21

nn i

N

i

N A

++

+= (6.2)

N 2

0 n1 n2

Exercício 2:

Uma loja vende um eletrodoméstico da seguinte forma: entrada de $ 300,00, mais duas

prestações mensais, a 1a de $ 350,00 e a 2a de $ 400,00. Se a loja opera a uma taxa de jurosde 3% a.m./m., calcular o seu preço à vista. R: $ 1.016,85

6.3 - Conjuntos de capitais equivalentes

“Dois conjuntos de capitais são equivalentes numa determinada data e a uma dada taxa de juros compostos i se as somas dos valores dos capitais de cada um dos conjuntos,calculados na data e à taxa consideradas, forem iguais.”



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Consideremos os dois conjuntos ( I e II ) abaixo e como data focal a data “zero”.

I II A I N 2 A II

N 1 M 1 M 2 M 3

0 n1 n2 0 m1 m2 m3

A equivalência entre os conjuntos I e II ocorrerá se

32121 )1()1()1()1()1(32121

mmmnn

II I

i

M

i

M

i

M

i

N

i

N

A A

++

++

+=

++

+

=

(6.3)

6.4 - Exercícios

1- Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: uma entrada de $ 1.000,00 maisuma parcela de $ 1.200,00 após 1 mês. Um cliente propõe pagar uma entrada de $ 600,00mais duas prestações mensais iguais, vencendo a 1a dois meses após a compra. Se a taxa de juros praticada é de 4,5% a.m./m., calcular o valor das parcelas de modo que as duasformas de pagamento sejam equivalentes. R: $ 864,02

2- Uma mercadoria está à venda na seguinte condição: uma entrada de $ 250,00 mais 4parcelas mensais de $ 200,00 cada. A uma taxa de juros de 60% a.a./m., calcular o seupreço à vista. R: $ 959,20

3- O preço de um equipamento é de $ 2.500,00. Quanto deverá ser dado de entrada para osaldo ser pago em 3 prestações mensais de $ 800,00 cada? A taxa de juros é de 15% a.a./s.

R: $ 157,05

4- Uma loja de artigos esportivos põe à venda um equipamento de ginástica na seguintecondição: entrada de $ 2.500,00, mais 6 prestações mensais de $ 850,00 cada, vencendo aprimeira 120 dias após a entrada. Um cliente propõe pagá-lo dando uma entrada de $

3.000,00 e o restante em 4 prestações mensais iguais, vencendo a primeira 180 dias após aentrada. Calcular o valor dessas prestações se a taxa de juros embutida no financiamento éde 18% a.m./m. R: $ 1.113,61

5- Solicitei hoje um empréstimo de $ 4.648,58 para ser pago no final de um ano, acrescido de juros calculados à taxa de 24% a.b./m. Se pagar $ 3.856,48 daqui a 120 dias, $ 3.000,55no fim de 6 meses e $ 469,36 no fim de 11 meses, haverá saldo a pagar na data dovencimento? Quanto? R: $ 2.114,03



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Matemática Financeira Juros Simples E Compostos E Descontos

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