Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos

4ª. Edição

Resolução dos Exercícios

Propostos

Entre os méritos deste livro, que fazem dele um dos preferidos pelos estudantes e professores, está explicar os diferentes assuntos da matemática financeira e da análise de investimentos por meio de uma grande quantidade de exemplos e de exercícios apresentados ao longo dos capítulos. Nesta quarta edição, disponibilizamos aos leitores as resoluções detalhadas dos 366 exercícios propostos no livro. Esperamos que este novo recurso facilite a compreensão e o estudo dos diversos assuntos tratados. Agradeço às pessoas que colaboraram na elaboração deste material, especialmente a Eduardo Estellita, do curso de Engenharia de Produção da PUC-Rio, pela valiosa colaboração.

O autor

CAPÍTULO 1

Exercícios Propostos Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 dias. 1. Qual é a taxa anual de juros simples obtida em uma aplicação de $1.300 que produz, após um ano, um montante de $1.750? Dados: P = $1.300, S = $1.750, i = ?

S P (1 i) $1.750 $1.300 (1 i) i 34,61% a.a.= × + ⇒ = × + ⇒ =

2. Qual é a remuneração obtida em um capital de $2.400 aplicado durante 17 meses à taxa de juros simples de 60% a.a.? Dados: P = $2.400, i = 60% a.a., n = 17 meses, J = ?

0,6J P i n J $2.400 17 J= $2.04012= × × ⇒ = × × ⇒

3. Calcular o rendimento de um capital de $80.000 aplicado durante 28 dias à taxa de juros simples de 26% a.m.. Dados: P = $80.000, i = 26% a.m., n = 28 dias, J = ?

0,26J P i n J $80.000 28 J= $19.413,33

30= × × ⇒ = × × ⇒

4. Aplicando $80.000 durante 17 meses, resgatamos $140.000. Qual é a taxa anual de juros simples obtida na operação? Dados: P = $80.000, S = $140.000, n = 17 meses, i = ?

iS P (1 i n) $140.000 $80.000 (1 17) i 52,94% a.a.

12= × + × ⇒ = × + × ⇒ =

5. Em quantos meses um capital de $28.000, aplicado à taxa de juros simples de 48% a.a., produz um montante de $38.080? Dados: P = $28.000, S = $38.080, i = 48% a.a., n = ?

0,48S P (1 i n) $38.080 $28.000 (1 n) n= 9 meses

12= × + × ⇒ = × + × ⇒

6. Um capital aplicado transformou-se em $13.000. Considerando-se uma taxa de juros simples de 42% a.a e uma remuneração de $4.065,29, determinar o prazo da aplicação. Dados: S = $13.000, i = 42% a.a., J = $4.065,29, n = ? (meses)

0, 42$13.000 × × n S × i × n 12J = $4.065, 29 =

0, 421 + i × n 1 + × n 12

455 × n $4.065, 29 = n = 13 meses

1 + 0, 035 × n

⇒

⇒ ⇒

7. Um capital de $135.000 transformou-se em $180.000 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa de juros obtida na operação. Dados: P = $135.000, S = $180.000, n = 44 dias, i = ?

2

iS P (1 i n) $180.000 $135.000 (1 44) i 22,73% a.m.

30= × + × ⇒ = × + × ⇒ =

8. João tem uma dívida de $35.000 que vence em 16 meses. Pretende pagar $12.000 no fim de 158 dias e $13.000 189 dias depois desse primeiro pagamento. Quanto deve pagar na data de vencimento para liquidar a dívida? Considere juros simples de 50% a.a. e data focal no vencimento da dívida. Dados: i = 50% a.a.

0 158 347 480

- $12.000 - $13.000 $35.000 133 dias 322 dias

0,50 0,50

Valor no vencimento $35.000 - $12.000 1 322 $13.000 1 133 $2.231,95360 360

= + × − + × =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9. Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma $156.400. O mesmo capital diminuído de seus juros de nove meses é reduzido a $88.400. Calcular o capital e a taxa de juros simples obtida. Dados: S1 = $156.400, S2 = $88.400, n1 = 21 meses, n2 = 9 meses, P = ?, i = ? Podemos montar 2 equações para 2 incógnitas:

108.800P a.a.) .m.(25%2,083333%ai 400.88$9iPP156.400$12iPP

==⇒=××−=××+

10. Um capital de $4.500 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. A primeira a juros simples de 4% a.t., a segunda a juros simples de 6% a.t. e a terceira a juros simples de 10% a.t.. Considerando-se que o rendimento da primeira parcela foi $160 e o rendimento das três parcelas totalizou $ 1.320, calcular o valor de cada parcela. Dados: P1 + P2 + P3 = $4.500, i1 = 4% a.t., i2 = 6% a.t., i3 = 10% a.t., n = 1 ano = 4 trimestres, J1 = $160, J1 + J2 + J3 = $1.320, P1 = ?, P2 = ?, P3 = ?

J P i n= × × Logo,

J1 P1 i1 n $160 P1 4 P1 $1.000

J2 P2 i2 n

J3 P3 i3 n

J1 + J2+ J3 (P1 i1 P2 i2 P3 i3 n $1.320 ( P2 P3 4 P2 P3 $290

0,04

+ + ) 40 + 0,06 + 0,1) 0,06 + 0,1 =

= × × ⇒ = × × ⇒ =

= × ×

= × ×

= × × × × ⇒ = × × × ⇒ × ×Portanto,

2 3

2 3

2 3

P 0,06+ P 0,1 = $ 290P = $1.500, P = $2.000

P + P = $3.500× ×⎧ ⎫

⇒⎨ ⎬⎩ ⎭

11. Dois capitais, um de $2.400 e outro de $1.800, foram aplicados a uma mesma taxa de juros simples. Calcular a taxa, considerando-se que o primeiro capital em 48 dias rendeu $17,00 a mais que o segundo em 30 dias. Dados: J1 – J2 = $17, n1 = 48 dias, n2 = 30 dias, P1 = $2.400, P2 = $1.800, i = ?

1 2 1 1 2 2i iJ - J (P n - P n ) $17 ( $2.400 48 - $1.800 30) i 0,833% a.m.

30 30= × × × ⇒ = × × × ⇒ =

3

12. Um capital foi aplicado a juros simples de 42% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital, considerando-se que, se a diferença entre ele e os juros obtidos fosse aplicada à mesma taxa, renderia $988,75 em um trimestre. Dados: i = 42% a. a., n1 = 50 dias, n2 = 90 dias, P = ?

( )1 =

0,42juros obtidos no prazo de 50 dias = P i n P 50360

0,42 0,42 0,42 0,42P- P 50 90 $988,75 P 1 50 90 $988,75 P= $10.000360 360 360360

× × × ×

⎛ ⎞× × × × = ⇒ × − × × × = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

13. Certo capital foi aplicado a juros simples de 30% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital e o rendimento obtido, considerando-se que, se a diferença entre ambos, acrescida de $10.000, fosse aplicada à mesma taxa, renderia $95.000 no prazo de um ano. Dados: i = 30% a. a., n1 = 50 dias, n2 = 1 ano, P = ?

( ) ( )1 1

1 2

J = P i n

0,30P-J + $10.000 i n $95.000 P 1 50 0, 30 1+ $10.000 0, 30 1 $95.000360

P= $320.000

× ×

× × = ⇒ × − × × × × × =

⇒Logo,

1 1 1 10,3J = P i n J = $320.000 50 J = $13.333,33360⇒ ⇒× × × ×

14. Uma pessoa aplicou dois capitais a juros simples, o primeiro a 33% a.a. e o segundo a 45% a.a. Considerando-se que o rendimento de ambas as aplicações totalizou $52.500 no prazo de um ano, determinar o valor dos capitais, sabendo-se que o primeiro é 37,5% menor que o segundo. Dados: P1 = (1 – 0,375) P2, i1 = 33% a.a., i2 = 45% a.a., n = 1 ano, S1 + S2 = $52.500

1 2 1 1 2 2 2

2

J P i n

J J = P i + P i n $52.500 0,625 0,33 + 1 0,45 1 P

P = $80.000 + ( ) ( )

= × ×

× × × ⇒ = × × × ×

⇒

Logo, 1P = $50.000 15. Há 13 meses e dez dias um capital de $10.000 foi aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. Se hoje for aplicada a importância de $8.000 a juros simples de 12% a.a. e o primeiro capital continuar aplicado à mesma taxa, em que prazo os montantes respectivos serão iguais? Dados: n1 = 400 dias, P1 = $ 10.000, P2 = $ 8.000, i1 = 6% a.a., i2 = 12% a.a.., n = ? Na data focal,

S P (1 i n)

0,06 0,12$10.000 1 (n+400) $8.000 1 n

360 360

n = 2.667 dias = 7 anos, 4 meses e 27 dias

= × + ×

× + × = × + ×

⇒

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

16. Uma empresa obteve um empréstimo de $200.000 a juros simples de 10% a.a.. Algum tempo depois liquidou a dívida, inclusive os juros, e tomou um novo empréstimo de $300.000 a juros simples de 8% a.a.. Dezoito meses após o primeiro empréstimo, liquidou todos os seus débitos, tendo pago $35.000 de juros totais nos dois empréstimos. Determinar os prazos (em meses) dos dois empréstimos. Dados: J1 + J2 = $35.000, n1 + n2 = 18 meses, P1 = $200.000, P2 = $300.000, i1 = 10% a.a., i2 = 8% a.a., n1 = ?, n2 = ?

4

1 21 2 1 1 2 2 1 1

1 2

i i 0,1J + J P n + P n $35.000 $200.000 n + $300.000 (18 n )12 12 12 12

n 3 meses, n 15 meses

⎛ ⎞ ⎛= × × × × ⇒ = × × × − ×⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⇒ = =

0,08 ⎞⎟⎠

17. Uma pessoa tomou um empréstimo a juros simples de 9% a.a.. Quarenta e cinco dias depois, pagou a dívida e contraiu um novo empréstimo duas vezes maior que o primeiro, pelo prazo de dez meses a juros simples de 6% a.a.. Sabendo-se que pagou ao todo $111.250 de juros pelos dois empréstimos, calcular o valor do primeiro. Dados: J1 + J2 = $111.250, n1 = 45 dias, n2 = 10 meses, P2 = 2 P1, i1 = 9% a.a.., i2 = 6% a.a., P1 = ?

1 21 2 1 1 2 2 1

1

i i 0,09 0,06J + J P n + P n $111.250 P 45 + 2 10360 12 360 12

P $1.000.000

⎛ ⎞ ⎛= × × × × ⇒ = × × × ×⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⇒ =

⎞⎟⎠

18. Um capital foi dividido em duas parcelas e aplicado a taxas e prazos diferentes. A primeira foi aplicada a juros simples de 10% a.m. durante seis meses, e a segunda a juros simples de 2% a.m. durante 12 meses. Sabendo-se que a primeira parcela foi $50 maior e rendeu $60 a mais que a segunda, determinar os valores de ambas as parcelas. Dados: J1 - J2 = $60, n1 = 6 meses, n2 = 12 meses, i1 = 10% a.m., i2 = 2% a.m., P1= $50 + P2, P1 = ?, P2 = ?

( )1 21 2 1 1 2 2

1 2

i iJ - J P n - P2 n $60 $50+P 6 0,1 - P2 12 0,02 12 12

P $133,33, P $83,33

⎛ ⎞= × × × × ⇒ = × × × ×⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ = =

19. Aplicado a juros simples pelo prazo de um ano, um capital transformou-se em $13.000. Esse montante foi reaplicado por mais dois anos a uma taxa 20% maior que a taxa ganha na primeira aplicação, obtendo-se um montante final de $22.360. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado e a taxa de juros ao ano à qual ele foi aplicado. Dados: S1 = $13.000, S2 = $22.360, n1 = 1 ano, n2 = 2 anos, i2 = 1,2×i1, P1 = ?, i1 = ?

22 1 2 2 2 2 1

1,2 (1 ) $22.360 $13.000 (1 2) 36% a.a. = 30% a.a.iS S i n i i i= × + × ⇒ = × + × ⇒ = ⇒ =

Por outro lado, 1 1 1 1 1 1S P (1 i n ) $13.000 P (1 0,3 1) P $10.000= × + × ⇒ = × + × ⇒ =

20. Um pessoa aplicou um capital em uma conta remunerada que rende juros simples de 30% a.a.. Depois de três anos, resgatou metade dos juros obtidos e reaplicou a outra metade por um ano à taxa simples de 32% a.a., obtendo um rendimento de $20,16 nessa última aplicação. Calcular o valor do capital aplicado inicialmente. Dados: P2 = 0,5.× J1, J2 = $20,16,-n1 = 3 anos, n2 = 1 ano, i1 = 30% a.a., i2 = 32% a.a., P = ?

( )( )

Juros ganhos ao término dos 3 anos:

valor reaplicado ao término do terceiro ano:

rendimento do capital reaplicado ao término de 1 ano:

P 0,30 30,50 P 0,30 3

$20,16 = 0,50 P 0,30 3 0,32 1

× ×

× × ×

× × × × ×⎡ ⎤⎣ ⎦ P= $140⇒

21. Dois capitais foram aplicados a juros simples. O primeiro à taxa de 20% a.a., e o segundo a 40% a.a.. Calcular os capitais, considerando-se que, somados, eles perfazem $500 e que os dois, em um ano, renderam juros totais de $130. Dados: P1 + P2 = $500 , i1 = 20% a.a., i2 = 40% a.a., n = 1 ano, J1+ J2 = $130, P1 = ?, P2 = ?,

5

( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 J + J P i + P i n $130 P 0,2 + ($500 - P ) 0,4 1 P = $350 P = $150 = × × × ⇒ = × × × ⇒ ⇒

22. Um capital de $50.000, aplicado a juros simples, rendeu $1.875 em um determinado prazo. Se o prazo fosse 36 dias maior, o rendimento aumentaria em $250. Calcular a taxa de juros simples ao ano e o prazo da operação em dias. Dados: P = $50.000, J1 = $1.875, J2 - J1 = $250, n2- n = 36 dias, i = ?, n = ?,

( )2 1 2

1

in

360i

360

J J P i - n $250 $50.000 36 i = 5% a.a.

J P i n $1.875 $50.000 n n = 270 dias = 9 meses

- = × × ⇒ = × × ⇒

= × × ⇒ = × × ⇒

23. Uma pessoa levantou um empréstimo de $3.000 a juros simples de 18% a.a. para ser liquidado depois de 270 dias. Considerando-se que a pessoa amortizou $1.000 no 75o dia, quanto deverá pagar na data de vencimento de modo a liquidar a dívida? (data focal: 270o dia).

270 dias 0 75 270

$3.000 - $1.000

195 dias

0,18 0,18

Valor de resgate: $3.000 1 270 -$1.000 1 195 $2.307,50360 360

= + × + × =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

24. Uma empresa tem duas dívidas a pagar. A primeira de $2.500, contratada a juros simples de 2,5% a.m., com vencimento em 45 dias; e a segunda, de $3.500, a juros simples de 3% a.m., com vencimento em 90 dias. Calcular a quantia necessária para liquidação de ambas as dívidas em 180 dias, considerando-se que no 30o dia do seu prazo a primeira dívida foi amortizada com $1.500, e no 60o dia do seu prazo a segunda foi amortizada com $3.000 (efetuar os cálculos na data focaldo 180o dia). 150 dias 30 45 180

-$1.500 $2.500

135 dias

120 dias 60 90 180

- $3.000 $3.500

90 dias

0,025 0,025Valor do resgate $2.500 1 135 - $1.500 1 150 ...

30 300,03 0,03 ...+ $3.500 1 90 - $3.000 1 120 $1.548,7530 30

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × + × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

25. Uma pessoa tem duas dívidas a pagar: a primeira de $1.000, com vencimento em 45 dias, e a segunda, de $3.500, com vencimento em 120 dias. A pessoa pretende liquidar as dívidas por meio de dois pagamentos iguais com vencimentos em 90 e 180 dias, respectivamente. Calcular o importe de cada pagamento, considerando-se que ambas as dívidas foram contratadas a juros simples de 2% a.m. (data focal: 180o dia) 90 dias 0 45 90 120 180

$1.000 -X $3.500 -X 60 dias 135 dias

0,02 0,02 0,02X = $1.000 1 135 + $3.500 1 60 X 1 9030 30 30

X =$2.296,12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ × + × − + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒

26. Determinar: a. O tempo necessário para que seja triplicado um capital aplicado a juros simples de 5% a.m..

S P (1 i n)

3P = P (1 0,05 n) n = 40 meses

= × + ×

× + × ⇒

b. O tempo necessário para que seja quintuplicado um capital aplicado a juros simples de 15%

a.t.. S P (1 i n)

5P = P (1 0,15 n) n = 26,67 trimestres = 80 meses

= × + ×

× + × ⇒

c. O tempo em que um capital de $12.000 rende $541,68 quando aplicado a juros simples de

12,5% a.a.. J P i n

0,125$541,68 $12.000 n n = 130 dias360

= × ×

= × × ⇒

d. O tempo necessário para que um capital de $7.000 transforme-se em um montante de

$7.933,34 quando aplicado a juros simples de 24% a.a..

0,24360

S P (1 i n)

$7.933,34 $7.000 (1 n) n = 200 dias

= × + ×

= × + × ⇒

27. Determinar: a. A taxa de juros simples anual que produz um rendimento de $60 em 36 dias a partir de um capital de $2.000.

J P i ni$60 $2.000 36 i = 30% a.a.360

= × ×

= × × ⇒

b. A taxa de juros simples mensal que produz um rendimento de $6.000 em 30 meses a partir de

um capital de $8.000. J P i n

$6.000 $8.000 30 i = 2,5% a.m.i= × ×

= × × ⇒

c. A taxa de juros simples anual embutida na compra de um bem cujo valor à vista é de $3.000,

sendo que o pagamento consiste de uma entrada de $1.000 mais uma parcela de $2.200 para 60 dias.

7

$2.2001+ i 2

valor à vista = valor da entrada + valor presente da parcela

$3.000 $1.000 + i = 60% a.a.×

= ⇒

28. Calcular: a. O valor do capital que, aplicado a juros simples de 24% a.a., rende $300 em 126 dias.

J P i n

0,24$300 P 126 P = $3.571,43

360

= × ×

= × × ⇒

b. O valor do capital que, aplicado a juros simples de 26% a.a., rende $800 em 7 trimestres.

J P i n

0,26$800 P 7 P = $1.758,24

4

= × ×

= × × ⇒

c. O rendimento de uma aplicação de $10.000 por 446 dias a juros simples de 24% a.a..

0,24J P i n $10.000 446 = $2.973,33

360= × × = × ×

29. Calcular:

a. O rendimento de um capital de $2.000 aplicado a juros simples de 2,5% a.m. desde o dia 12 de março até o dia 5 de junho do mesmo ano.

0,025J P i n $2.000 (156-71) = $141,66

30= × × = × ×

b. O valor do capital que rendeu $3.000 no período compreendido entre 4 de abril e 31 de maio

do mesmo ano a juros simples de 2% a.m.. J P i n

0,02$3.000 P (151- 94) P = $78.947,37

30

= × ×

= × × ⇒

c. O valor de resgate de um capital de $5.000 aplicado a juros simples de 2% a.m. pelo período

compreendido entre 6 de abril e 26 de junho do mesmo ano.

( )0,02S P (1 i n) $5.000 1 (177-96) = $5.27030= × + × = × + ×

d. O valor do capital que se transformou em um montante de $20.000 no período compreendido

entre 30 de junho e 31 de dezembro do corrente ano, a juros simples de 2% a.m..

( )30

S P (1 i n)

0,02$20.000 P 1 (365-181) P = $17.814,73

= × + ×

= × + × ⇒

e. A taxa de juros simples mensal ganha por uma aplicação de $24.000 que rendeu $2.800 no

período compreendido entre 23 de maio e 18 de agosto do mesmo ano. J P i n

i$2.800 $24.000 (230-143) i = 4,023% a.m.

30

= × ×

= × × ⇒

30. No dia 26 de maio foi contratado um empréstimo de $7.000 a juros simples de 24% a.a. para ser totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16 de junho foram amortizados $3.000, e no dia 11 de julho, $2.500. Determinar a data de vencimento da dívida e o valor da quantia que deverá ser paga naquela data para liquidar a dívida (considerar ano civil e data focal no 90o dia).

8

Dados: i = 24% a.a.

Determinação da data de resgate da aplicação usando a Tábua para Contagem de Dias do ano civil:

número de dias da data posterior (?) = +n número de dias da data anterior (26 de maio) = −146 prazo: 90 Logo, n - 146 = 90 → n =236, que na a tábua para contagem de dias entre duas datas (capítulo 1 do livro) corresponde ao dia 24 de agosto .

44 dias

90 dias 26/ 05 16/ 06 11/ 07 24/ 08

$7.000 - $3.000 - $2.500

69 dias

0,24 0,24alor de resgate $7.000 1 90 -$3.000 1 69 $2.50⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × + × −

0,240 1 44 $1.708,67360 360 360

⎛ ⎞+ × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1. Determinar o rendimento de um capital de $2.000 aplicado do dia 3 de m rço até o dia 28 de junho

do corrente ano. A taxa de juros simples inicialmente contratada foi 3% a.m., mas posteriormente teve ueda para 2,8% a.m. no dia 16 de abril e para 2,6% a.m. no dia 16 de junho.

P = $2.000, i1 = 3% a.m., i2 = 2,8% a.m., i3 = 2,6% a.m., J = ?

n = 03/03 até 16/04 = 106-62 n = 44 diasn = 16/04 até 16/06 = 167-106 n = 61 dias

⇒⇒

V

3 a

qDados:

1 1

2 2

3 3n = 16/06 até 28/06 = 179-167 n = 12 dias⇒

1 1 2 3 3J P (i n + i n + i n $2.000 44 + 61 + 30 30 30

× × ×20,0

)= × × × × = ×3 0,028 0,026

12 = $222,67⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

32. Uma dívida de $2.000 contraída no dia 8 de junho para ser liquidada no dia 8 de julho foi ontratada originalmente a juros simples de 2% a.m.. Calcular o rendiment da aplicação, sabendo-se ue a taxa de juros subiu para 2,5% a.m. no dia 12 de junho, para 3% a.m o dia 24 de junho e para

3,5% a.m. no dia 3 de julho (considerar o ano civil). ados: P = $2.000, i1 = 2% a.m., i2 = 2,5% a.m., i3 = 3% a.m., i4 = 3,5% a.m., J = ?

n = 08/06 até 12/06 = 163-159 n = 4 diasn = 12/06 até 24/06 = 175-163 n = 12 diasn = 24/06 até 03/07 = 1 -175 n = 9 dias

⇒⇒⇒

c o q . n

D

1 1

2 2

3 3

4 4n = 03/07 até 08/07 = 189-184 n = 5 dias⇒

84

1 1 2 2 3 3 4 40,02 0,025 0,03 0,035

P (i n + i n + i n + i n ) $2.000 4 + 12 + 9 += × × × × × = × × × ×J 5 = $5530 30 30 30

×⎛ ⎞⎝ ⎠

33. Uma aplicação financeira foi iniciada no dia 2 de junho com $2.000. Posteriormente foram efetuados dois depósitos adicionais de $500 e de $300 nos dias 8 e 16 e um saque de $200 no dia 26 de junho. Considerando-se que inicialmente foi contratada uma taxa de juros simples de 28% a.a., que depois baixou para 26% a.a. no dia 16 de junho, calcular o saldo disponível no dia 1o de julho.

⎜ ⎟

9

14 dias 02/06 08/06 16/06

$2.000 $500 + $300

8 dias

0,28 0,28Valor em 16/06 $2.000 1 14 + $500 1 8 $300 $2.825360 360

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × + × + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 dias 16/06 26/06 01/07

$2.825 - $200

5 dias

0,26 0,26Saldo disponível em 01/07 $2.825 1 15 - $200 1 5 $2.654,50360 360

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34. Hoje uma pessoa tem duas dívidas: a primeira, de $8.000, vence em 36 dias, e a segunda, de $12.000, vence em 58 dias. A pessoa propõe-se a quitá-las por meio de dois pagamentos iguais dentro de 45 e 90 dias, respectivamente. A juros simples de 24% a.a., calcular o valor de cada pagamento (data focal: 90o dia). 45 dias 0 36 45 58 90

$8.000 -X $12.000 - X 32 dias 54 dias

0,24 0,24 0,24X = $8.000 1 54 + $12.000 1 32 X 1 45360 360 360

X $10.120,20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ × + × − + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⇒ =

⎞⎟⎠

35. Resolver o exercício anterior tomando como data focal o 45o dia. - 45 dias 0 36 45 58 90

$8.000 -X $12.000 - X - 13 dias 9 dias

1 10,24 0,24 0,24X = $8.000 1 9 + $12.000 1 13 X 1 45360 360 360

X $10.119,82

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ × + × − + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⇒ =

⎞⎟⎠

CAPÍTULO 2 10

Exercícios Propostos Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 dias. 1. Calcular o montante de uma aplicação de $3.500 pelas seguinte taxas de juros e prazos: a) 4% a.m., 6 meses Dados: P = $3.500, = 4% a.m., n = 6 meses

( )6nS P(1+i) $3.500 1 0,04 $ 4.428,62= = × + = b) 8% a.t., 18 meses Dados: P = $3.500, i = 8% a.t., n = 18 meses = 6 trimestres

( )6nS P(1+i) $3.500 1 0,08 $ 5.554,06= = × + = c)12% a.a., 18 meses Dados: P = $3.500, i =12% a.a., n = 18 meses = 1,5 ano

( )1,5nS P(1+i) $3.500 1 0,12 $ 4.148,54= = × + = 2. Em que prazo um capital de $18.000 acumula um montante de $83.743 à taxa de 15% a.m.? Dados: P = $18.000, S = $83.743, i = 15% a.m., n = ? Podemos aplicar a expressão do montante para, a seguir, destacar o fator financeiro implícito:

( )( )

( )

n

n

n

S P 1 i

$83.743 $18.000 1 0,15

4,65239 1,15

= +

= × +

=

meses 11 1,15 log

4,65239 logn 1,15 logn4,65239 log :logaritmos aplicando ==⇒×=

3. Um investimento resultou em um montante de $43.000 no prazo de três meses. Se a taxa de juros efetiva ganha for 10% a.m., calcular o valor do investimento. Dados: S = $43.000, n = 3 meses, i = 10% a.m., P = ?

( )

( )

n

3

S P 1 i

$43.000 P 1 0,1 P $ 32.306,54

= +

= × + ⇒ =

4. Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000 daqui a quatro anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se as taxas de juros efetivas ganhas forem as seguintes: a) 13% a.t. (ao trimestre) Dados: S = $100.000, i = 13% a.t., n = 4 anos = 16 trimestres, P = ?

( )

n

16

S P(1+i)

$100.000 P 1 0,13 P $ 14.149,62

=

= × + ⇒ =

b) 18% a.a. (ao ano) Dados: S = $100.000, i = 18% a.a., n = 4 anos, P = ?

( )

n

4

S P(1+i)

$100.000 P 1 0,18 P $ 51.578,89

= =

= × + ⇒ =

c) 14% a.s. (ao semestre) Dados: S = $100.000, i = 14% a.s., n = 4 anos = 8 semestres, P = ?

11

( )

n

6

S P(1+i)

$100.000 P 1 0,14 P $ 35.055,91

=

= × + ⇒ =

d) 12% a.m. (ao mês) Dados: S = $100.000, i = 12% a.m., n = 4 anos = 48 meses, P = ?

( )

n

48

S P(1+i)

$100.000 P 1 0,12 P $ 434,05

=

= × + ⇒ =

5. Um capital de $51.879,31 aplicado por seis meses resultou em $120.000. Qual a taxa de juros efetiva ganha? Dados: S = $120.000, P = $51.879,31, n = 6 meses, i = ?

( )nn

1/ 6

SS P 1 i i 1P

$120.000 i 1 15% a.m.$51.879,31

= + ⇒ = −

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

6. Uma pessoa deve pagar três prestações mensais iguais e consecutivas de $3.500 cada, sendo a primeira para 30 dias. Se resolvesse quitar a dívida por meio de um pagamento único daqui a três meses, qual seria o valor desse pagamento, considerando-se uma taxa de juros efetiva de 5% a.m.? 1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento: 3 prestações de $3.500 1 pagamento único para 3 meses n=1, 2, 3 meses O valor do pagamento único deverá ser igual à soma das prestações mensais capitalizada até o terceiro ano:

( ) ( )2P $3.500 1,05 $3.500 1,05 $3.500 $11.033,75= × + × + = 7. Em uma determinada compra, há duas formas de pagamento: a) pagamento à vista de $1.400; e b) dois cheques pré-datados de $763,61 cada, para 30 e 60 dias, respectivamente. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada. Se o cliente obtiver 5% a.m. em suas aplicações financeiras, qual será a melhor opção de compra: à vista ou a prazo? 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $1.400 2 prestações de $736,61 n = 1, 2 meses Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes das prestações:

( )2$736,61 $736,61$1.400 i = 6% a.m.

(1+i) 1+i= + ⇒

Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois os juros efetivos da compra são superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção. 8. Na compra de um bem cujo valor à vista é $140, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de $80 no fim dos próximos dois meses. Considerando-se uma taxa de juros efetiva de 20% a.m., qual o valor da entrada? 1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento (à vista): Entrada + 2 prestações de $80 P= $140 N = 0, 1, 2 meses Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes dos pagamentos:

12

( ) ( )1 2$80 $80$140 E + E $17,781,2 1,2

= + ⇒ =

9. Uma casa está sendo vendida por $261.324,40 à vista. Considerando-se que o comprador se propõe a pagar $638.000 daqui a quatro meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na proposta. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $261.324,40 um pagamento de $638.000 daqui a 4 meses Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente do pagamento único:

( )

1/ 4

4

$638.000 $638.000$261.324,40 i 1 i = 25% a.m. $261.324,401+i

⎛ ⎞= ⇒ = − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

10. Qual o tempo necessário para que seja triplicada uma população que cresce à taxa composta de 3% a.a.? Dados: S = 3P, i = 3% a.a., n = ?

( )( )

n

n n

S P 1 i

3P = P 1 i 3 (1,03)

= +

+ ⇒ =

log 3aplicando logaritmos: log 3 n log 1,03 n 37,17 anoslog 1,03

= × ⇒ = =

11. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% a.a.. Se os juros ganhos foram de $27.473 sobre um capital investido de $83.000, por quanto tempo o capital ficou aplicado? Dados: S = $110.473 ($83.000 + $27.473), P = $83.000, i = 10% a.a., n = ?

( )n

n

S = P 1 i

$110.473 $83.000 (1,10)

+

= ×

log 1,331aplicando logaritmos: log 1,331 n log 1,10 n 3 anoslog 1,1

= × ⇒ = =

12. Nas vendas a crédito, uma loja aumenta em 40% o valor sobre o preço à vista. Desse valor majorado, 20% é exigido como entrada e o resto será quitado em duas prestações mensais de $1.058 cada, sendo a primeira para daqui a um mês. Considerando-se que o valor à vista é de $2.000, determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:P = $2.000 Entrada = 1,4 × 0,2 × $2.000 = $560 mais 2 prestações de $1.058 Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as quantias pagas na segunda forma de pagamento:

( ) ( )1 2$1.058 $1.058$2.000 $560 + + i 30% a.m. 1+i 1+i

= ⇒ =

13. Um produto cujo preço à vista é $450 será pago em duas prestações mensais consecutivas de $280 e $300, a primeira para 30 dias. Considerando-se que a taxa de juros embutida na primeira prestação é 10% a.m., determinar a taxa embutida na segunda.

13

1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:P = $ 450 1ª. prestação = $280, 2ª. prestação = $300 i1 = 10% a.m. Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as quantias pagas na segunda forma de pagamento:

( ) ( )( )2

2 21 22

$280 $300 $300$450 + 1+i i 23,89% a.m. $195,451,10 1+i

= ⇒ = ⇒ =

14. Um apartamento pode ser comprado à vista por $320.000 ou pagando-se 20% de entrada mais duas prestações de $170.000 cada, a primeira para 3 meses e a segunda para 7 meses. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. Se a taxa de juros vigente no mercado para aplicações financeiras for 2% a.m., qual será a melhor opção de compra? 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:P = $320.000 Entrada = 0,2 × $320.000 = $64.000 mais 2 prestações de $170.000 para 3 e 7 meses Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as quantias pagas na segunda forma de pagamento:

( )73

$170.000 $170.000$320.000 $64.000 + i = 5,98% a.m. (1+i) 1+i

= + ⇒

Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois os juros efetivos da compra são superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção. 15. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 20% do valor à vista como entrada e o restante a ser liquidado em três prestações mensais iguais, a primeira para 30 dias. Considerando-se que a taxa de juros efetiva cobrada será 15% a.m., determinar a porcentagem do valor à vista a ser pago como prestação a cada mês. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = P Entrada = 0,2 × P; mais 3 prestações de valor: R = p × P Por equivalência de capitais:

( ) ( )2 31

1 2 3

p P p P p P 0,8 PP 0,2 P + p P = p = 35,05% (1+i) 1 1 11+i 1+i

(1,15) (1,15) (1,15)

× × × ×= × + + ⇒ × ⇒

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

16. Uma loja permite pagamento em três prestações iguais. Considerando-se que cada prestação é igual a um terço do valor à vista, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada), calcular a taxa de juros cobrada. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = P valor das prestações: R = P / 3 Por equivalência de capitais:

( )21

P PP 3 3P + i = 0% a.m. 3 (1+i) 1+i

= + ⇒

17. O valor à vista de um bem é de $6.000. A prazo, paga-se uma entrada mais três parcelas mensais de $2.000 cada, sendo a primeira em um mês. Calcular o valor da entrada, considerando-se que a taxa de juros aplicada é 7% a.m..

14

1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = $6.000 Entrada (E) + 3 prestações de $2.000 cada Por equivalência de capitais:

( )31 2

$2.000 $2.000 $2.000$6.000 E + E = $751,37(1,07) (1,07) 1,07

= + + ⇒

18. Por um equipamento de $360.000 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais consecutivos. Considerando-se que o valor do primeiro pagamento é $180.000 e a taxa de juros efetiva aplicada é de 10% a.m., calcular o valor do segundo pagamento. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = $360.000 E= $72.000; R1 = $180.000, R2 = ? Por equivalência de capitais:

221 2

R$180.000$360.000 $72.000 + R = $150.480(1,10) (1,10)

= + ⇒

19. Uma pessoa pretende, daqui a seis meses, comprar um automóvel no valor de $25.000. Calcular a aplicação necessária a ser efetuada hoje em um investimento que rende juros efetivos de 13% a.m., de modo que o veículo possa ser comprado com os juros ganhos na aplicação. Dados: J = $25.000, i = 13% a.m., n = 6 meses, P = ?

( )( )( )

n

6

os juros obtidos ao término dos seis meses deverão ser iguais ao valor do veículo:

juros = S - P = P 1 i 1

$25.000 = P (1,13) 1 P = $23.106,39

+ −

− ⇒

20. Um capital de $50.000 rendeu $1.000 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses maior, o rendimento aumentaria em $2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e o prazo em meses. Dados: P = $50.000, S1 = $51.000 ($50.000 + $1.000), S2 = $53.060,40 ($51.000 + $2.060,40), n2 = n + 2, n = ?, i = ?

( )n

n

n 2

2

$51.000 $50.000 (1+i)S P 1 i

$53.060, 40 $50.000 (1+i) (1+i)$53.060, 40(1+i) i 2% a.m

$51.000

⎧ ⎫= ×⎪ ⎪= + ⇒ ⎨ ⎬= × ×⎪ ⎪⎩ ⎭

= ⇒ =

aplicando logaritmos: log 1,02 n log 1,02 n 1 mês= × ⇒ = 21. Dois capitais foram aplicados durante dois anos, o primeiro a juros efetivos de 2% a.m. e o segundo a 1,5% a.m.. O primeiro capital é $10.000 maior que o segundo, e seu rendimento excedeu em $6.700 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais. Dados: i1= 2% a.m.; i2 = 1,5% a.m, P1 – P2 = $10.000 , J1 – J2 = $6.700, n = 24 meses, P1 = ?, P2 = ?

( )( ) ( )

1 2 1 2 1 2

24 241 2

1 2

2 1

J - J = S - S - P - P

$6.700 = P 1,02 P 1,015 $10.000P = P + $10.000

P =$3.440,52 P =$13.440,52

⎧ ⎫− −⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⇒

22. Dois capitais, o primeiro de $2.400 e o segundo de $1.800, foram aplicados por 40 e 32 dias, respectivamente. Considerando-se que a taxa efetiva ganha pelo primeiro capital foi 5% a.m. e sabendo-se que esse capital rendeu $100 a mais do que o segundo, determinar a taxa mensal ganha pelo segundo capital. Dados: n1 = 40 dias, n2 = 32 dias, P1 = $2.400, P2 = $1.800, J1 – J2 = $100, i1 = 5% a.m., i2 = ? 15

( )( ) ( )1 2 1 2 1 2

40 30 32 302

3032

2 2

J - J = S - S - P - P

$100 = $2.400 1,05 $1.800 1 i $600

$1.861,32i = 1 i = 3,19% a.m.$1.800

× − × + −

⎛ ⎞ − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

23. Um capital foi aplicado por seis meses a juros efetivos de 15% a.a.. Determinar o valor do capital considerando-se que se o montante, ao término do prazo, diminuído da metade dos juros ganhos, fosse reaplicado à mesma taxa efetiva, renderia em 3 meses juros de $18,42.

( )( )

( )( )

n

0,5

0,50,5

rendimento = P 1 i 1

Montante ao término dos 6 meses: P(1,15)

Valor reaplicado ao término dos 6 meses: P(1,15) 0,5P 1,15 1

Rendimento em 3 meses do valor reaplicado:

P

+ −

⎡ ⎤− −⎣ ⎦

( )( ) ( )( )0,5 3/120,5 (1,15) 0,5P 1,15 1 1,15 1 $18, 42 P = $500⎡ ⎤− − − = ⇒

⎣ ⎦

24. Certo capital, após quatro meses, transformou-se em $850,85. Esse capital, diminuído dos juros ganhos nesse prazo, reduziu-se a $549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação.

( )

( )( )

n

Montante ao término de 4 meses: $850,85 Juros ganhos ao término de 4 meses: $850,85 - P Capital menos os juros ganhos em 4 meses:P- $850,85 - P $549,15 P $700

S =P 1 i

$850,85=$700 1 i

= ⇒ =

+

× + 4 i 5% a.m. ⇒ ≈

25. Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% a.a.. Depois de três anos, resgatou-se a metade dos juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% a.a., obtendo-se um rendimento de $102,30 no prazo de um ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.

( )( )

( )

n

3

3 3

3

juros ganhos = P 1 i 1

Montante ao término de 3 anos: P(1,30)

Valor reaplicado ao término dos 3 anos: P(1,30) 0,5P (1,30) 1

Rendimento em 1 anos do valor reaplicado:

P(1,30)

+ −

⎡ ⎤− −⎣ ⎦

( ) ( )( )13 0,5P (1,30) 1 1,32 1 $102,3, 42 P = $200⎡ ⎤− − − = ⇒⎣ ⎦

26. Um capital foi aplicado por 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital inicial e os juros ganhos fosse aplicada à mesma taxa, renderia em 3 meses juros de $44,02. Determinar o valor do capital. Dados: n1 = 50 dias, n2 = 3 meses, P2 = P1 – J1, J2 = $44,02, i = 3% a.m., P1 = ?

( )( ) ( )( )2n 32 2 2 2J P 1 i 1 $44,02 P 1,03 1 P = $474,73= + − ⇒ = − ⇒

Por outro lado,

16

( ){ } ( ){ }1n 52 1 1 1 1

1

P = P - J = P 2 1+i $474,73 = P 2 1,03

P = $500

− ⇒ − 0 30

27. Um capital foi aplicado durante dez meses à taxa efetiva de 2% a.m.. Ao término desse prazo, seu montante foi reaplicado durante 11 messes a 3% a.m.. A que taxa mensal única deveria ser aplicado o capital durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante? Dados: n = n1+ n2, n1,= 10 meses, n2 = 11 meses, i1 = 2% a.m., i2 = 3% a.m., i = ? Por equivalência de capitais:

( )( ) ( )

1 2n n n1 2

10 11 21

P(1+i ) (1+i ) P(1+i)

1,02 1,03 = (1+i) i 2,523% a.m.

× =

× ⇒ =

28. Um capital aplicado à taxa de 4% a.m. rendeu após um ano $480,83 de juros. Do montante obtido, foram retirados $600 e o saldo restante reaplicado à mesma taxa, resultando em um novo montante de $1.226,15 depois de um certo prazo. Determinar o valor do capital inicial e o prazo da reaplicação. Dados: n1 = 12 meses, P2 = S1 – $600, J1 = $480,83, S2 = $1.226,15, i = 4% a.m., P1 = ?, n2 = ?

( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2

2

n11 1 1 1

121 1 1

n n2 1

12 n

2 2

S = P + J = P 1+i

P + $480,83 = P 1,04 P = $800Por outro lado,

S P 1 i S = S $600 1 i

$1.226,15 $800 1,04 $600 1,04

aplicando logaritmos: log 1,8 n log 1,04 n 15 meses

⇒

= + ⇒ − +

= × −

= × ⇒ =

29. Dois capitais, o primeiro igual ao dobro do segundo, foram aplicados pelo mesmo prazo e à mesma taxa efetiva de 4% a.m.. Sabendo-se que o primeiro capital ganhou $400 de juros e que a soma do primeiro capital mais os juros ganhos pelo segundo totaliza $1.032,91, calcular os capitais e o prazo da aplicação. Dados: P1 = 2 × P2, J1 = $400, P1 + J2 = $1.032,91, i = 4% a.m., P1 = ?, P2 = ?, n = ?

( )( )( ) ( )

n

n n2

2

juros ganhos pelo primeiro capital:

J P 1 i 1

$200$400 = 2 P 1,04 1 1,04 1P

= + −

⎡ ⎤× − ⇒ =⎣ ⎦ +

Por outro lado,

( )

( )

n21

n=1 2

2 222

primeiro capital mais juros do segundo:

P P 1,04 1 $1.032,91

substituindo o valor de 1,04 na equação anterior e P 2P :

$2002P P 1 1 $1.032,91 P = $416,46P

×

×

⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + − = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦1 P = $832,91

17

( )

( )

n

2

n

$2001,04 1P$2001,04 1 1, 48

$416,46aplicando logaritmos: log 1,48 n log 1,04 n 10 meses

= +

= + =

= × ⇒ =

30. Dois capitais, o primeiro de $1.000 e o segundo de $227,27, foram aplicados a juros efetivos de 20% a.a.. O primeiro capital, na metade do tempo do segundo, obteve um rendimento de $100 a mais. Calcular os prazos das duas aplicações. Dados: P1 = $1.000, P2 = $227,27, J1 – J2 = $100, i = 20% a.a., n1 = n2/2, n1 = ?, n2 = ?

( )( ) ( )

( )

1 1

1

1 2 1 2 1 2

n 2 n

n1 2

J - J = S - S - P - P

$100 = $1.000 1, 20 $227,27 1,20 $772,73

1, 20 1, 20 n = 1 ano n = 2 anos

×− −

= ⇒ ⇒

31. Um capital foi aplicado por dois anos a juros efetivos 20% a.a.. Ao término desse prazo, um terço dos juros ganhos foi reaplicado à taxa efetiva de 25% a.a., obtendo-se uma remuneração semestral de $34,62. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.

( )2Juros ganhos ao término de 2 anos: P (1,20) 1−

( )

( ) ( )

2

2 0,5

1o valor reaplicado é igual a um terço dos juros ganhos: P (1,20) 13

rendimento do valor reaplicado ao término de 1 semestre:1 P (1,20) 1 (1,25) 1 $34,62 P = $2.0003

⎡ ⎤× −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤× − − = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦

32. Um capital foi aplicado durante 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital e os juros ganhos, acrescida de $10.000, fosse aplicada à mesma taxa, renderia $12.342,82 ao ano. Calcular o capital. Dados: n1 = 50 dias, n2 = 1 ano, J2 = $12.342,82, P2 = P1 – J1 + $10.000, i = 3% a.m., P1 = ?

( )( )( )( )

2n2 2

122 2

J P 1 i 1

$12.342,82 P 1,03 1 P = $28.990

= + −

= − ⇒

Por outro lado,

( ){ } ( ){ }1n 52 1 1 1 1

1

P - $10.000 = P - J = P 2 1+i $18.990 = P 2 1,03

P = $20.000

− ⇒ − 0 30

33. Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por 3 meses a juros efetivos de 5% a.m., e o segundo por 10 meses a 4% a.m.. Sabendo-se que os juros pagos pelos dois empréstimos totalizaram $11.181,14 e que o primeiro empréstimo é igual à metade do segundo, calcular o valor total dos empréstimos. Dados: i1 = 5% a.m., n1 = 3 meses, i2 = 4% a.m, n2 = 10 meses, 2 x P1 = P2, J1 + J2 = $11.181,14, P1 = ?, P2 = ?

( )( ) ( )

1 2 1 2 1 2

3 101

1 2

J + J = S + S - P + P

$11.181,14 = P 1,05 2 1,04 3

P =$10.000 P =$20.000

⎡ ⎤+ × −⎣ ⎦⇒

Valor total dos empréstimos = $10.000 + $20.000 = $30.000

18

34. Dois capitais, o primeiro igual ao triplo do segundo, foram aplicados, respectivamente, a taxas efetivas de 5% a.m. e 10% a.m.. Determinar o prazo em que os montantes dos dois capitais se igualam. Dados: i1 = 5% a.m., i2 = 10% a.m, P1 = 3 × P2, S1 = S2, n = ?

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

n n1 2

n n2 2

S S

P 1,05 P 1,10

3 P 1,05 P 1,10 1,04762 3n

=

=

× = ⇒ =

aplicando logaritmos: log 3 n log 1,04762 n 23,6159 meses = 23 meses e 18 dias= × ⇒ =

35. Uma empresa tem duas dívidas. A primeira, de $10.000, contratada a juros efetivos de 3% a.m., vence em 48 dias, e a segunda, de $15.000, a juros efetivos de 4% a.m., vence em 63 dias. A empresa pretende liquidar as dívidas com o dinheiro proveniente do desconto financeiro de uma promissória com valor nominal de $27.033 que vence em 90 dias. Calcular a taxa mensal efetiva aplicada pelo banco no desconto do título. Dados: i1 = 3% a.m., n1 = 48 dias, i2 = 4% a.m, n2 = 63 dias, D1 = $10.000, D2 = $15.000, P = $27.033, n = 90 dias, i = ? Por equivalência de capitais:

( )63 3090 30 48 30

$27.033 $10.000 $15.000 i = 5% a.m. (1+i) (1,03) 1,04

= + ⇒

36. Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao o próprio capital, aplicando-se uma taxa efetiva de 5%a.m.? Dados: J = P; i = 5% a.m.; n = ?

( )

( ) ( )

n

n n

J P 1 i 1

P =P 1,05 1 1,05 2

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦⎡ ⎤− ⇒ =⎣ ⎦

aplicando logaritmos: log 2 n log 1,05 n 14,2067 meses 427 dias= × ⇒ = ≈

37. Quanto tempo é necessário para que a relação entre um capital de $8.000, aplicado a juros efetivos de 4% a.m., e seu montante seja igual a 4/10? Dados: P = $8.000, S = (10/4) x P, i = 4% a.m., n = ?

( )

( )

n

nn

P 410P 1 i

$8.000 4 1,04 2,510$8.000 (1,04)

=+

= ⇒ =×

aplicando logaritmos: log 2,5 n log 1,04 n 23,3624 meses = 23 meses e 11 dias= × ⇒ =

38. Três dívidas, a primeira de $2.000 com vencimento em 30 dias, a segunda de $1.000 com vencimento em 60 dias e a terceira de $3.000 com vencimento em 90 dias serão liquidadas por meio de um pagamento único de $6.000. Se a taxa de juros efetiva aplicada for de 3% a.m., determinar daqui a quanto tempo deve ser efetuado esse pagamento. Dados: i = 3% a.m., n1 = 30 dias, n2 = 60 dias, n3 = 90 dias, D1 = $2.000, D2 = $1.000, D3 = $3.000, P = $6.000, n = ? (data focal = valor presente) Por equivalência de capitais:

19

( ) ( )n

2 3n 30 1

$6.000 $2.000 $1.000 $3.000 (1,03) 6,7581(1,03) (1,03) 1,03 1,03

= + + ⇒ =

aplicando logaritmos: log 6,7581 n log 1,03 n 65 dias= × ⇒ =

39. Quanto tempo é necessário para que o montante de um capital de $5.000 aplicado a juros efetivos de 6% a.m. se iguale ao montante de outro capital de $8.000 aplicado à taxa efetiva de 4% a.m.? Dados: i1 = 6% a.m., i2 = 4% a.m, P1 = $5.000, P2 = $8.000, n = ?

( )( ) ( ) ( )

n

n n

S P 1 i

$5.000 1,06 $8.000 1,04 1,01923 1,6

= +

× = × ⇒ =n

aplicando logaritmos: log 1,6 n log 1,01923 n 24,67444 meses = 740 dias= × ⇒ =

40. Calcular o rendimento de um capital de $7.000 aplicado à taxa efetiva de 1% a.m. no período compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano (considere o ano civil). Dados: i= 1% a.m., P = $7.000, J = ?

n= 03/04 até 06/06 = 157-93 n= 64 dias⇒

( ) ( )n 64 30J P 1 i 1 $7.000 1,01 1 $150,18⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

41. Qual a taxa de juros anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses? Dados: S = 2 x P, n = 42 meses, i = ?

( )( )

n

42 12

S P 1 i

2 P = P 1 i i = 21,9% a.a.

= +

× + ⇒

42. Um capital de $20.000 foi aplicado por 90 dias à taxa efetiva diária de 0,1% a.d.. Determinar o rendimento ganho entre o 46o e o 87o dia . Dados: i= 0,1% a.d., P = $20.000, n1 = 46 dias, n2 = 87 dias, = ? 2 1J - J

( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 1

n

n n2 1

87 462 1 2 1

J = P 1 i 1

J - J = P 1 i 1 1 i 1

J - J = $20.000 1,001 1,001 J - J = $875,98

+ −

+ − − + +

⎡ ⎤− ⇒⎣ ⎦

43. Duas dívidas, uma de $20.000 e outra de $30.000, com vencimento em 2 e 4 meses, respectivamente, serão liquidadas por meio de um único pagamento a ser efetuado em 3 meses. Considerando-se juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor desse pagamento. Dados: i= 5% a.m., n1 = 2 meses, n2 = 4 meses, D1 = $20.000, D2 = $30.000, n = 3 meses, P = ? (data focal = valor presente) Por equivalência de capitais:

( )43 2

P $20.000 $30.000 P = $49.571,43(1,05) (1,05) 1,05

= + ⇒

44. Uma pessoa necessita dispor de $20.000 daqui a 8 meses. Para tanto, pretende efetuar duas aplicações em um fundo que rende juros efetivos de 3% a.m.. A primeira aplicação, de $10.000, foi efetuada hoje, e a segunda o será daqui a um mês. De quanto deverá ser esta segunda aplicação de modo que a pessoa possa dispor da quantia necessitada ao término do oitavo mês? Dados: i = 3% a.m., n1 = 8 meses, n2 = 7 meses, P1 = $10.000, D = $20.000, n = 8 meses, P2 = ?

20

(data focal = 1 mês) Por equivalência de capitais:

11 2n-1

12 27

D P (1+i) + P(1+i)$20.000 $10.000 (1,03) + P P = $5.961,83(1,03)

= ×

= × ⇒

45. Um empréstimo de $5.000, contratado à taxa efetiva de 5% a.m., será liquidado por meio de 5 pagamentos mensais consecutivos, sendo o primeiro daqui a 30 dias. Considerando-se que o valor de cada um dos 4 primeiros pagamentos é $1.000, determinar o valor do último pagamento. Dados: i = 5% a.m., ni = i meses, D = $5.000, P1-4 = $1.000, P5 = ? (data focal = valor presente) Por equivalência de capitais:

( ) ( ) ( )5

5 2 4 51 3

$1.000 $1.000 $1.000 $1.000 P$5.000 P = $1.855,78(1,05) (1,05)1,05 1,05 1,05

= + + + + ⇒

46. Determinar o capital que, aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% a.m., produz um montante que excede em $500 o montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros simples de 4% a.m. Dados: i= 4% a.m, n = 3 meses, S1 = S2 +$500, P = ?

( ) ( )( ) ( )

n1 2

3

S P 1 i S P 1 n i

P 1,04 = P 1 + 3 0,04 $500 P = $102.796,05

e= + = + ×

× + ⇒

47. Um capital aplicado a uma determinada taxa de juros efetiva mensal rendeu, no prazo de dois anos, um valor igual a um quarto do próprio capital. Determinar a taxa de juros à qual foi aplicado. Dados: n = 2 anos, Capital = P, Rendimento = 0,25P, i =?

[ ] a.m 0,9341%009341,0i P0,251i)(1P 2 ==⇒×=−+ 48. Uma pessoa depositou $1.000 em um fundo que paga juros efetivos de 5% a.m., com o objetivo de dispor de $1.102,50 dentro de 60 dias. Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% a.m.. Quanto tempo adicional, além dos 60 dias inicialmente previstos, a pessoa terá de esperar para obter o capital requerido? Dados: i1 = 5% a.m., i2 = 4% a.m., n1 = 24 dias, P1 = $10.000, S2 = $1.102,50, P2 = S1, n2 = ?

( )( )

n

24 301 1

S P 1 i

S $10.000 1,05 S P = $10.398,04

= +

= × ⇒ = 2

Por outro lado, ( )( ) ( )2 2n - 24 30 n - 24

2S $1.102,50 $1.039,80 1,04 1,04 5,7925= = × ⇒ = ( )2 aplicando logaritmos: log 5,7925 n - 24 log 1,04 n 69 dias

Dias adicionais: 69 -60 = 9 dias a mais= × ⇒ =

49. Um capital de $4.000 foi aplicado dividido em duas parcelas. A primeira à taxa efetiva de 6% a.t., e a segunda a 2% a.m.. Considerando-se que após 8 meses os montantes de ambas as parcelas se igualam, determinar o valor de cada parcela. Dados: i1 = 6% a.t., i2 = 2% a.m, P1 = $4.000 – P2, S1 = S2, n = 8 meses, P1= ?, P2 = ?

21

( )( ) ( ) ( )

n

8 3 82 2 2 1

S P 1 i

$4.000 P 1,06 P 1,02 P = $1.996,69 P = $2.003,04

= +

− = ⇒ ⇒

50. Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? (considere o ano civil) Dados: S = 2 × P, i = ?

n= 11/07 até 22/12 = 356-192 n= 164 dias⇒

( )( )

n

164 30

S P 1 i

2 P= P 1 i i = 13,52% a.m.

= +

× + ⇒

51. Um financiamento de $5.000 foi contratado a uma taxa efetiva trimestral de 12% a.t.. Considerando-se que ele foi liquidado após 60 dias, calcular o total de juros pagos pelo financiamento. Dados: i = 12% a.t., n = 2 meses, P = $5.000, J = ?

( ) ( )n 2 3J P 1 i 1 $5.000 1,12 1 $392,40⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = × − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

52. Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de $2.000 contratado a juros efetivos de 5% a.m. pelo prazo de 25 dias. Dados: i = 5% a.m., n = 25 dias, P = $2.000, J = ?

( ) ( )n 25 30J P 1 i 1 $2.000 1,05 1 $82,99⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = × − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

53. Um empréstimo de $5.000 foi tomado a juros efetivos em 14 de abril e liquidado por $5.850 em 28 de maio do mesmo ano. Determinar a taxa efetiva mensal contratada. (considere o ano civil) Dados: S = $5.850, P = $5.000, i = ?

n= 14/04 até 28/05 = 148-104 n= 44 dias⇒

( )( )

n

44 30

S P 1 i

$5.850 $5.000 1 i i 11,2988% a.m.

= +

= + ⇒ =

CAPÍTULO 3 Exercícios Propostos

Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 dias.

1. Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre e ao semestre. Dados: ia = 48% a.a.

2 4 12 360a s t m d

1/12m a

1/4t a

1/2s a

(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )i =(1 + i ) - 1 = 3,32% a.m.i =(1 + i ) - 1 = 10,30% a.t.i =(1 + i ) - 1 = 21,66% a.s.

22

2. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral equivalentes à taxa nominal de 60% a.a. capitalizada mensalmente. Dados: j = 60% a.a., k = 12, m = 1

k m 12

a a

2 4 12 360a s t m d

1/12m a

1/4t a

1/2s a

j 0,60(1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 1,796k 12

(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )i =(1 + i ) - 1 = 5,00% a.m.i =(1 + i ) - 1 = 15,76% a.t.i =(1 + i )

×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

- 1 = 34,01% a.s.

3. Determinar a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: diária, mensal, trimestral e semestral. Dados: j = 60% a.a., m = 1

k m

a

360

a

12

a

4

a

j(1 + i ) = 1+k

0,60Diária (k=360) i = 1+ - 1 = 82,12% a.a.360

0,60Mensal (k=12) i = 1+ - 1 = 79,59% a.a.12

0,60Trimestral (k=4) i = 1+ - 1 = 74,90% a.a.4

Semestral (k=

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

a0,602) i = 1+ - 1 = 69,00% a.a.

2⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠

4. Calcular a taxa nominal anual equivalente à taxa efetiva de 40% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: mensal, trimestral e semestral. Dados:ia = 40% a.a., m = 1

k m1 k m

a a

1 12

1 4

1 2

j(1 + i ) = 1+ j = (1 + i ) 1 ×kk

Mensal (k=12) j = (1,40) 1 ×12 = 34,12% a.a.

Trimestral (k=4) j = (1,40) 1 ×4 = 35,10% a.a.

Semestral (k=2) j = (1,40) 1 ×2 = 36,64% a

××⎛ ⎞ ⎡ ⎤⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦ .a.

5. A que taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, uma aplicação de $13.000 resulta em um montante de $23.000 em 7 meses? Dados: P = $13.000, S = $23.000, m = 7/12, k = 12, j = ? % a.a.

( )

k m 1 k m

1 12 7 12

j SS = P 1+ j = 1 ×kk P

$23.000j = 1 ×12= 101,90% a.a.$13.000

× ×

×

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

6. Se uma aplicação de $18.000 à taxa nominal de 180% a.a., capitalizada mensalmente, resultou em um montante de $36.204,48, por quantos meses o capital ficou aplicado? Dados: P = $18.000, S = $36.204,48, j = 180% a.a., k =12, m = ? anos 23

( )

k m

12 m12 m

jS = P 1+k

1,80$36.204,48 $18.000 1+ 1,15 2,01112

×

××

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

=

aplicando logaritmos: log 2,011=12×m×log 1,15 m= 5 meses⇒

7. Determinar: a) a taxa efetiva para dois meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizada mensalmente. Dados: j = 120% a.a., k = 12, m = 2/12 anos, i = ?

k m

a

2 4 12 360a s t m d

j(1 + i ) = 1+k

(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )12 2 121,20i = 1+ 1 21%

12

×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) a taxa efetiva para 18 meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizada semestralmente. Dados: j = 120% a.a., k = 2, m =18/12 anos, i = ?

( )2 18 121,20i = 1+ 1 309,60%2

×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

c) a taxa nominal anual capitalizada mensalmente equivalente à taxa efetiva de 10% em 60 dias. Dados: ib = 10% a.b., k = 12, m = 1 ano, j = ? % a.a.

k m6 6

a b b

6 12 1

j(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×kk

j = (1,10) 1 ×12 = 58,57% a.a.

××

×

⎛ ⎞ k m⎡ ⎤= ⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎡ ⎤−⎣ ⎦

d) a taxa nominal anual capitalizada trimestralmente equivalente à taxa efetiva de 15% a.s.. Dados: is = 15% a.s., k = 4, m = 1 ano, j = ? % a.a.

k m2 2

a s s

2 4 1

j(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×kk

j = (1,15) 1 ×4 = 28,95% a.a.

××

×

⎛ ⎞ k m⎡ ⎤= ⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎡ ⎤−⎣ ⎦

e) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.a. capitalizada diariamente. Dados: j = 24% a.a., k = 360, m = 41/360 anos, i = ?

( )360 41 3600,24i = 1+ 1 2,77 %360

×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

f) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.s., capitalizada diariamente. Dados: j = 24% a.s., k = 180, m = 41/180 anos, i = ?

( )180 41 1800,24i = 1+ 1 5,62 %180

×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

24

8. Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% a.a., capitalizada mensalmente. Calcular a taxa efetiva equivalente para os seguintes prazos: 180 dias, 3 meses, 5 trimestres e 7 semestres. Dados: j = 90% a.a., k = 12, m = 1

k m 12

a a

2 4 12 360a s t m d

j 0,90(1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 2,382k 12

(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )

×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

180 dias

1/2180 dias ai =(1 + i ) - 1 = 54,33%

3 meses 1/4

3 meses ai =(1 + i ) - 1 = 24,23% 5 trimestres

5/45 trimestres ai =(1 + i ) - 1 = 195,89%

7 semestres

7/27 semestres ai =(1 + i ) - 1 = 1.985,24%

9. Uma aplicação de $18.000 rendeu juros efetivos de $4.200 em quatro meses. Qual seria o rendimento em 11 meses? Dados: P = $18.000, S1 = $22.200, n1 = 4 meses, n2 = 11 meses, S2 = ?

( )( ) ( )

n

4m m

S = P 1+i

$22.200 $18.000 1+i 1+i 1,0538= ⇒ =

Por outro lado, ( )11

2 m

2

S = $18.000 1+i $32.043,78J = S - P = $14.043,78

=

10. Quanto devemos aplicar em um CDB que paga uma taxa nominal de 84% a.a. capitalizada mensalmente de modo a obter um montante de $76.000 após quatro meses? Dados: S = $76.000, j = 84% a.a., m = 4/12 anos, k = 12, P = ?

( )

k m

12 4 12

jS = P 1+k

1,84 $76.000 P 1+ P $57.980,0412

×

×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

11. Calcular o montante para um capital de $2.000 aplicado conforme as hipóteses a seguir:

Prazo Taxa nominal Capitalização a) 3 meses 48% a.s. mensal

b) 2 anos 18% a.a. mensal c) 17 dias 35% a.m. diária

k mjS = P 1+

k

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Dados: P = $2.000, j = 48% a.s., m = 3/6 semestres, k = 6, S = ?

30,48S = $2.000 1+ $2.519,426

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

25

b) Dados: P = $2.000, j = 18% a.a., m = 2 anos, k = 12, S = ?

12 20,18S = $2.000 1+ $2.859,0112

×⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Dados: P = $2.000, j = 35% a.m., m = 17/30 meses, k = 30, S = ?

170,35S = $2.000 1+ $2.435,94

30⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

12. A juros nominais de 48% a.a., capitalizados mensalmente, determinar em quantos meses um capital de $10.000 rende juros de $3.685,69. Dados: P = $10.000, S = $13.685,69, j = 48% a.a., k = 12, m = ? anos

( )

k m

12 m12 m

jS = P 1+k

0,48$13.685,69 $10.000 1+ 1,04 1,36812

×

××

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

=

aplicando logaritmos: log 1,368 12 m log 1,04 m= 8 meses= × × ⇒

13. Para os prazos a seguir, calcular as taxas efetivas equivalentes à taxa efetiva de 48% a.a.: a) 8 meses

8/128 mesesi =(1,48) - 1 = 29,87%

b) 11 meses

11/1211 mesesi =(1,48) - 1 = 43,24%

c) 18 dias

18/36018 diasi =(1,48) - 1 = 1,98%

d) 3 meses

3/123 mesesi =(1,48) - 1 = 10,30%

e) 420 dias

420/360420 diasi =(1,48) - 1 = 57,99%

f) 7 meses e 12 dias

222/3607 meses e 12 diasi =(1,48) - 1 = 27,35%

14. Qual é a melhor alternativa: investir à taxa nominal de 240% a.a., capitalizada mensalmente, ou à de 264% a.a., capitalizada bimestralmente? Dados: j1 = 240% a.a., k1 = 12, j2 = 264% a.a., k2 = 6, m = 1 ano, i1 = ? % a.a., i2 = ? % a.a.

ik mi

ii

12

1 1

6

2 2

j(1 + i ) = 1+k

2,40(1 + i ) = 1+ i = 791,61%12

2,64(1 + i ) = 1+ i = 791,61%6

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

26

As alternativas são equivalentes! 15. Qual deve ser a freqüência da capitalização dos juros de uma taxa nominal de 565,98% a.a., de modo que seja equivalente à taxa nominal de 480% a.a., capitalizada bimestralmente? Dados: j1 = 565,98% a.a., j2 = 480% a.a., k2 = 6, m = 1 ano, k1 = ?

1 2

1

k m k m1 2

1 2

k 6

1

j j1+ = 1+k k

5,6598 4,801+ = 1+ 34,01k 6

× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11

1 1

5,6598aplicando logaritmos: log 34,01 3,5266 k log 1+k

Oras, sabemos que k é um divisor de 12, então testando valores obtemos k = 4

⎛ ⎞= = × ⎜ ⎟⎝ ⎠

Logo, a capitalização é trimestral!

16. Em quanto tempo dobra um capital aplicado à taxa nominal de 227,05% a.a., capitalizada mensalmente ? Dados: S = 2 x P, j = 227,05% a.a., k = 12, m = ? anos

( )

k m

12 m12 m

jS = P 1+k

2,27052 1+ 1,189 212

×

××

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

=

aplicando logaritmos: log 2=12×m×log 1,189 m= 4 meses⇒

17. Em 14 meses, uma aplicação de $12.000 rendeu juros brutos de $2.300. Considerando-se a cobrança de um imposto de 2% sobre os rendimentos, calcular a taxa efetiva mensal obtida pela aplicação. Dados: P = $12.000, J = $2.300, Imposto = 2%, im = ? a) Rendimento efetivo em 14 meses:

[ ] rendimento efetivo juros brutos - imposto $2.3000 0,02 $2.300 $2.254

=

= − × =

b) Taxa de rendimento efetivo mensal:

114

m$2.254i 1 1 1,2371% a.m.

$12.000

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

eses à taxa efetiva de 45% a.a.. ados: P = $17.8000, i = 45% a.a., m = 7 meses, J = ?

18. Calcular o rendimento de $17.800 aplicados por sete mD

( )7 12nJ = P (1+i) 1 = $17.800 1,45 1 $4.308,10⎡ ⎤⎡ ⎤− − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

19. Um capital de $24.000 aplicado à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu

ados: P = $24.000, S = $29.040, j = 120% a.a., k = 12, m = ?

$5.040. Determinar o prazo da operação. D

27

( )

k m

12 m12 m

jS = P 1+k

1,20$29.040 $24.000 1+ 1,21 1,112

×

××

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= × ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

'

aplicando logaritmos: log 1,21=12×m×log 1,1 m= 2 meses⇒

20. Em sete meses, um investimento de $15.000 teve um rendimento bruto de $4.000. Considerando-se um imposto de 3% sobre o rendimento e uma comissão de 1,5% sobre o valor aplicado, calcular a taxa de juros efetiva mensal ganha na aplicação. Dados: P = $15.000, J = $4.000, Imposto = 3%, Comissão = 1,5%, im = ? a) Rendimento efetivo em 14 meses:

[ ] [ ] rendimento efetivo juros brutos - imposto - comissão $4.0000 0,03 $4.000 0,015 $15.000 $3.655

=

= − × − × =

b) Taxa de rendimento efetivo mensal:

17

m$3.655i 1 1 3,1642% a.m.

$15.000⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

21.Um investimento rende juros nominais de 6% a.a., capitalizados mensalmente. Calcular a taxa efetiva anual. Dados: j = 6% a.a., k = 12, m = 1 ano, ia = ?

k m

a

12

a

j(1 + i ) = 1+k

0,06i = 1+ 1 6,1678%12

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

22. Em operações de crédito, o Banco A cobra uma taxa efetiva de 30% a.a., e o Banco B cobra juros nominais de 27% a.a., capitalizados mensalmente. Qual é a melhor taxa para o cliente? Dados: i = 30% a.a., j = 27% a.a., k = 12, m = 1 ano

ak×m 12

a

Taxa efetiva anual:Banco A i =30% a.a.

j 0,27 Banco B i = 1+ - 1= 1+ - 1=30,60% a.a.k 12

O oferta A é a melhor para o cliente. Representa a menor taxa efetiva

⇒

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23. Uma aplicação a juros nominais de 24% a.a., capitalizados semestralmente, resultou em um montante de $10.000. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de $15.735,19. Calcular o capital e o prazo da aplicação em anos. Dados: S1 = $10.000, S2 = $15.735,19, j1 = 24% a.a., j1 = 48% a.a., k1 =2, k2 = 4. P = ?, m = ? anos

[ ]

k m

m2

m

jS = P 1+k

0,24 $10.000$10.000 P 1+ P2 1, 2544

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Por outro lado,

28

[ ]$15.735,19 P 1+ 1,2544 1,57354

= ⇒ =⎢ ⎥

k m

m4m

jS = P 1+k

0,48

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎢ ⎥⎣ ⎦

aplicando logaritmos: log 1,5735 m log 1,2544 m= 2 anos P= $6.355,18= × ⇒ ⇒ 24. Em que prazo um capital de $75.000, aplicado à taxa nominal de 22% a.a., capitalizada semestralmente, resulta em um montante de $ 155.712? Dados: P = $75.000, S = $155.712, j = 22% a.a., k = 2, m = ?

( )2 m$155.712 $75.000 1+ 2,076 1,112

k m

2 m

jS = P 1+k

0,22

×

××

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞'

25. Dois capitais foram aplicados. O primeiro de $8.000, à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada trimestralmente, e o segundo de $33.800,80, à taxa nominal de 10% a.a., capitalizada semestralmente. Em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento? Dados: P1 = $8.000, P2 = $33.800,80, j1 = 20% a.a., j1 = 10% a.a., k1 = 4, k2 = 2, J1 = J2, m = ? anos

= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

aplicando logaritmos: log 2,076=2×m×log 1,11 m= 42 meses⇒

( )

k m

4 m 2 m

2m

jrendimento: J = P 1+ 1k

0,20 0,10$8.000 1+ -1 = $33.800,80 1+ -14 2

1,05 3, 2251

×⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⇒ =

⎤⎥⎥⎦

aplicando logaritmos: log 3,2251 m log 1,1025 m = 12 anos= × ⇒

26. Um capital de $12.600 foi aplicado por três anos à taxa nominal de 22% a.a.. Calcular o montante, considerando-se que, no primeiro ano, os juros são capitalizados semestralmente; no segundo, trimestralmente, e no terceiro, bimestralmente. Dados: P = $12.600, j = 22% a.a., k1 = 2, k2 = 4, k3 = 6, m1 = 1 ano, m2 = 1 ano, m3 = 1 ano, S = ?

k m

2 4

S = P 1+k⎜ ⎟

⎝ ⎠ 6

j

$23.870, 48

×⎛ ⎞

0,22 0,22 0,22S $12.600 1+ 1+ 1+ S2 4 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒

27. Um capital de $12.500 aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu juros de $12.172,78. Calcular o prazo da aplicação. Dados: P = $12.500, j = 24% a.a., k = 2, S = $24.672,78, m = ? anos

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝

29

( )$24.672,78 $12.5 0 1 1,9738 1,122

k m

2 m

jS = P 1+k

0,240 +

×

×2 m×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞'

= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos= × × ⇒

28. Três quartos de um capital foram aplicados à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada semestralmente, e o restante a 12% a.s., capitalizada trimestralmente. Considerando-se o prazo de aplicação de quatro anos e sabendo-se que o rendimento ( juros obtidos) da primeira parcela foi $4.726,04 maior que o rendimento da segunda, calcular o capital. Dados: P1 = (3/4) x P, P2 = (1/4) x P, J1 – J2 = $4.726,04, j1 = 20% a.a., k1 = 2, j2 = 12% a.s., k2 = 2, m,=,4 anos = 8 semestres, P = ?

( )k mjS P 1 J - = S - S - P - P

×⎛ ⎞

1 2 1 2 1 2

2 4 2 8

k

3 0, 2 1 0,12 1$4.726,04 = P 1 1 P= $10.0004 2 4 2 2

× ×

J= +⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

29. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $9.738,23. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o rendimento seria de $28.959,76.

zo da aplicação em anos e calcular o valor do capital.

⇒

Determinar o praDados: J = $9.1 738,23, J2 = $28.959,76, j1 = 24% a.a., k1 = 2, j2 = 48% a.a., k2 = 4, P = ?, m = ?

( )

k×m

2×m2×m

jJ = P 1+ -1k

0,24 $9.738,23$9.738,23 = P 1+ -1 1,12 = 12 P

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⇒ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Por outro lado, k×m

4×m

2

jJ = P 1+ -1k

0,48$28.959,76 = P 1+ 14

$9.738,23$28.959,76 = P 1 -1P

$9.738,23$28.959,76 = $9.738,23 2 P= $10.000P

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⇒

⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

( )

2×m $9.738,23 $9.738,231,12 = 1 1P $10.000

+ = +

2×m1,12 = 1,9738aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos= × × ⇒

30. Um capital aplicado durante quatro anos à taxa nominal de 12% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu de juros $12.252 a mais do que teria rendido se a capitalização fosse semestral. Calcular o alor do capital. ados: J1 – J2 = $12.252, j = 12% a.a., k1 = 12, k2 = 2, m = 4 anos, P = ?

vD

30

( )k mjS P 1

×⎛ ⎞= + ⇒⎜⎝

1 2 1 2 1 2

12 4 2 4

J - J = S - S - P - Pk

0,12 0,12$12.252 = P 1 1 P= $666.666,5612 2

× ×

⎟⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

31. Dividir a importância de $2.832.774 em três partes, de modo que, aplicadas à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada semestralmente, produzam, respectivamente, montantes iguais em dois, três e cinco nos, considerando-se que a diferença entre o primeiro e o segundo capital é de $205.627,30. a

Dados: P1 – P2 = $205.627,30, P1 + P2+ P3 = $2.832.774, j = 20% a.a., k = 2, m1= 2 anos, m2 = 3 anos, m3 = 5 anos, P1 = ?, P2 = ?, P3 = ?

( )

1 2k m k mj j× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 2P 1 = P 1k k

+ +

2 2 2 3

2 2 2

1 3

0,2 0,2P + 205.627,30 1 = P 1 P = $979.177,612 2

P = $1.184.804,92 P = $668.791,47

× ×

⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒

32. Dois capitais foram aplicados pelo prazo de dois anos. O primeiro à taxa nominal de 20% a.a.,

⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

capitalizada semestralmente, e o segundo, à de 18% a.a., capitalizada trimestralmente. Considerando-se que os juros obtidos pelo primeiro capital excederam em $6.741,00 os juros obtidos pelo segundo e que o primeiro é $10.000 maior que o segundo, calcular os dois capitais. Dados: P1 – P2 = $10.000, J1 – J2 = $6.741, j1 = 20% a.a., k1 = 2, j2 = 18% a.a., k2 = 4, m = 2 anos, P1 = ?, P = ? 2

( )

( )

1 2 1 2 1 2

2 2 4 2

2 2

2 1

J - J = S - S - P - P

0,20 0,18$6.741 = P + $10.000 1 - P 1 $10.0002 4

P = $50.000,73 P = $60.000,73

× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒

Um capital foi aplicado durante cinco anos à taxa nominal de 5.5% a.a., capitalizada

?

33. semestralmente, e a seguir seu montante foi colocado a juros efetivos de 4% a.a. durante dez anos. A que taxa efetiva anual única o capital poderia ser aplicado durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante? Dados: j1 = 5,5% a.a., k = 2, i = 4% a.a., m = 5 anos, n = 10 anos, n = 15 anos, i = 1 2 1 2

( )

( ) ( ) ( )

k mn

2 510 15 15

jS = P 1+ P 1+ik

0,0551+ 1+0,04 1+i 1+i 1,9416 i = 4,5226% a.a.2

×

×

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ = ⇒ = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

34. Uma pessoa precisa de $10.000 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições: a) a juros nominais de 5% a.a., capitalizados trimestralmente; b) à taxa nominal de 5,375% a.a., capitalizada semestralmente; e c) a juros simples de 5,5% a.a. Qual é a melhor oferta? Dados: j1 = 5% a.a , k1 = 4, j2 = 5,375% a.a , k2 = 2, i3 = 5,5% a.a., n = 2 anos

31

( )

k×m 4×2

k×m 2×2

Juros pagos:

j 0,05Oferta A = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $1.044,86k 4

j 0,05375 Oferta B = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $ .119,12k 2

Oferta C = P 1+i n - P = $10.0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

× ( )00× 1+0,055 2 -$10.000 = $1.100,00A oferta A é a melhor para o cliente. Paga-se menos juros nela.

×

to

ados: P1 = $20.000, P2 = J1, j1 = 18% a.a., j2 = 12% a.a., k1 =2, k2 = 4, m1 = 4 anos, m2 = 15/12 anos, J2 = ?

1

35. Uma pessoa aplicou um capital de $20.000 durante quatro anos à taxa nominal de 18% a.a., capitalizada semestralmente. Ao término desse período, somente os juros obtidos foram reaplicados

l de 12% a.a., capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimenpor mais 15 meses à taxa nominaessa última aplicação. d

D

k mj ×

equação para calcular os juros: J = P 1+ 1k

⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2 4

2 1 2 0,18 P = J = $20.000 1+ 1 P = $19.851,25

2

×⎡ ⎤⎛ ⎞ − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠

o l⎢ ⎥⎣ ⎦

or outr ado, P( )4 15 12

2 20,12J = $19.851,25 1+ 1 J = $3.161,79

4

×⎡ ⎤⎛ ⎞ − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

6. Um banco oferece uma rentabilidade efetiva de 40% a.a.. Considerando-se que o investidor tem

i =(1 + i ) - = 8,78% a.t.

A oferta B (9% a.t.) oferece maior taxa efetiva, portanto maior rentabilidade para o cliente! 37. Um investidor aplicou $25.000 na Bolsa de Valores esperando ganhar uma rentabilidade efetiva de 100% a.a.. Caso tal rentabilidade ocorresse, calcular os juros obtidos ao fim de 20 meses.

5.000, i = 100% a.a., n = 20 meses, J = ?

3condições de ganhar juros efetivos de 9% a.t. em outro banco, qual deve ser a alternativa escolhida? Dados: i1 = 40% a.a, i2 = 9% a.t

2 4 12 360a s t m d(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )

1/4

t1 a 1

Dados: P = $2

( )

( )

n

20 12

J P 1 i 1

J $25.000 2 1 J $54.370,05

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦⎡ ⎤= − ⇒ =⎣ ⎦

38. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $2.294,08. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de $9.903,85. Calcular o capital e o prazo da aplicação. Dados: J1 = $2.294,08, S2 = $9,903,85, j1 = 24% a.a., k1 = 2, j2 = 48% a.a., k2 = 4, P = ?, m = ?

32

( )

k×m

2×m2×m

jJ = P 1+ -1k

0,24 $2.294,08$2.294,08=P 1⎢⎜⎝

+ -1 1,12 = 12 P

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⇒ +⎥⎟⎠

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦Por outro lado,

k×mjJ = P 1+ -1k

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥

22×m⎡ ⎤

2

0,48$9.903,85=P 1+4

$2.294,08$9.903,85=P 1P

$2.294,08 P$9.903,85=$2.294,08 2 P= $4.000P $2.294,08

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

+ + ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦

39. O Produto Interno Bruto (PIB) de um país cresceu 200% em dez anos. Qual foi a taxa de crescimento anual média? Dados: idécada = 200% a.d., i = ?

1.61% a.a. 40. Em 12/10/2006, um foi aplicado à taxa nom a.a., capitalizada diariamente. C cu s os m n r a ivil). Dados: j = 36% a. k = 5, $ = =

nd t c g s iv tre as duas datas (capítulo 1 do livro): e s r d v ro) = +328 e e te e = −285

⎢ ⎥⎣ ⎦

aplicando logaritmos: log 1,5735=2×m×log 1,12 m= 2 anos⇒

a 10 1/10

década a a d(1 + i ) = (1 + i ) i =(1 + i ) - 1 = 1⇒

capital de $2.300 inal de 36%al lar o jur acu ulados em 24/11/2007 (co side ar o no c

a., 36 P = 2.300, m ?, J ?

Determinação do prazo usa o a ábua para onta em de dia do ano c il en

número d dias da data po terio (24 e no emb núm ro d dias da data an rior (12 d outubro)

prazo: 43 dias Prazo total = 365 + =

43 408 dias

k m×

408

j+ ⎞J P ⎛⎢ 1 1

0 $ 8

=k ⎟

⎠

0,36 ⎞J $2.3 0 ⎢ ⎥1+ 1− J = 1.13 ,80365 ⎠

⎡ ⎤−

⎛= × ⎜⎝

bu a o e e e s a

⎥⎜⎝⎢⎣ ⎥⎦

⎡ ⎤⇒⎟

⎢ ⎥⎣ ⎦Tá a p ra c ntag m d dias entr dua dat s

J . AN FEV. MAR ABR.

MAI. JUN. JUL. AGO SET. OUT. NOV DEZ.

1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 3352 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 3363 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 3374 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 3385 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 3396 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 3407 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 3418 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 3429 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 34411 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 34512 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 34613 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 34714 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 34815 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349

33

16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 35017 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 35118 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 35219 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 35320 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 35421 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 35522 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 35623 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 35724 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 35825 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 35926 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 36027 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 36128 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 36229 88 119 149 180 210 241 272 302 333 36330 89 120 150 181 211 242 273 303 334 36431 90 151 212 243 304 365

41. Em 31/12/2005, uma pessoa aplicou $10.000 à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada diariamente.

30/06/2007 (considerar o ano civil). Dados: j1 = 24% a.a., j2 = 20% a.a., k =365, P = $10.000, m1 = ?, m1 = ?, S = ?

Considerando-se que, a partir de 01/01/2007, a taxa nominal passou a ser de 20% a.a., calcular o valor de resgate da aplicação no dia

1 1

2 2

m = 31/12/2005 até 01/01/2007 m = 366 dias m = 01/01/2007 até 30/06/2007 m = 180 dias

⇒⇒

k m

366 180

jS P 1+k

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛

0,24 0,20S $10.000 1+ 1+ S $14.037,98365

⎞ ⎛ ⎞= × ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟365

×

⎝ ⎠ 42. Uma aplicação foi feita em duas parcelas. A primeira por quatro anos à taxa nominal de 28% a.a., com capitalização trimestral, e a segunda por dois anos à taxa nominal de 12% a.s., com capitalização mensal. Considerando-se que a primeira parcela excede em $100 a segunda e a diferença dos juros obtidos entre as duas é de $1.404,57, calcular o valor do capital. Dados: P1 – P2 = $100, J1 – J2 = $1.404,57, j1 = 28% a.a., k1 = 4, j2 = 12% a.s., k2 = 6, m1 = 4 anos, m2

4 semestres, P = P + P = ?

⎝ ⎠

= 1 2

( )

( )

1 2 1 2 1 2

4 4 6 4

2 2

J - J = S - S - P - P

0,28 0,12$1.404,57 = P + $100 1 - P 1 $100× ×

2

4 6P = $900 P = $1.000 P= $1.900

⎝ ⎠ ⎠⇒ ⇒1

⎛ ⎞

43. Um capital de $4.000 foi aplicado por 11 meses: nos primeiros três meses à taxa de 24% a.a., capitalizada mensalmente, e nos 8 últimos meses à taxa de 36% a.s., capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimento da aplicação. Dados: j1 = 24% a.a., j2 = 36% a.s., k1 = 12, k2 = 2, P = $4.000, m1 = 3 meses, m2 = 8 meses, J = ?

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

k m

3 2

J P 1+ 1k

0,24 0,36J=$4.000 1+ 1+ 1 $1.910,5012 2

j ×⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

eses: nos primeiros 11 meses à taxa de 48% a.a., capitalizada mensalmente, nos 12 meses seguintes à taxa de 40% a.s., capitalizada trimestralmente, e nos últimos 2 meses à taxa de 36% a.a., capitalizada bimestralmente . Calcular o montante final. Dados: j1 = 48% a.a., j2 = 40% a.s., j3 = 36% a.a., k1 = 12, k2 = 2, k3 = 6, P = $6.000, m1 = 11 meses, m2 = 12 meses, m1 = 2 meses, S = ?

⎢ ⎥

⎣ ⎦ 44. Um capital de $6.000 foi aplicado por 25 m

34

k m

12 (11/12) 2 (12 / 6) 6 (2 /12)

jS P 1+k

0,48 0,40 0,36S $6.000 1+ 1+ 1+ $20.302,4712 2 6⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 45. Dois terços

×

× × ×

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × × =

de um capital foram aplicados por dois anos à taxa de 18% a.s., capitalizada a.t., capitalizada

ensalmente. Considerando-se que o valor do capital é de $12.000 e o rendimento da primeira parcela é $4.048,79 maior que o rendimento da segunda, calcular o prazo em anos da segunda parcela. Dados: P1 = $8.000, P2 = $4.000, J1 – J2 = $1.404,57, j1 = 18% a.s., k1 = 3, j2 = 18% a.t., k2 = 3, m1 = 4 semestres, m2 = ?

bimestralmente, e o restante foi aplicado por um determinado prazo à taxa de 18%m

( )

( ) 23 m1,06 2,012× =

2

1 2 1 2 1 2

3 4 3 m

J - J = S - S - P - P× ×

46. Um capital foi aplicado por 18 meses a juros nominais de 24% a.a., capitalizados mensalmente. Se

inal fossem semestrais, o rendimento seria $1.000 menor. Calcular o alor do capital.

Dados: J1 – J2 = $1.000, j = 24% a.a., k1 = 12, k2 = 2, m = 18 meses, P1 = P2 = P = ?

0,18 0,18$4.048,79 = $8.000 1 - $4.000 1 $4.000

3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

aplicando logaritmos: log 2,012=3×m×log 1,06 m= 4 trimestres = 1 ano⇒

as capitalizações da taxa nomv

( )1 2 1 2 1 2

18 3

J - J = S - S - P - P

$1.000 = P 1⎡ ⎤⎛ 0,24 0,24 P = $42.884,87⎞ ⎛ ⎞ ⇒1

12 2+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 47. Calcular o prazo em que um capital dobra quando aplicado a juros nominais de 120,17% a.a., capitalizados diariamente. Dados: S = 2 × P, j = 120,17% a.a., k = 360, m = ?

( )

k m

360 m360 m

jS P 1k

1,20172 1 1,00334 2360

×

××

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

aplicando logaritmos: log 2=360×m×log 1,00334 m= 208 dias⇒

que prazo devemos aplicar um capital a48. A juros nom

trimestralmente, de modo que ele proporcione o me mo rinais de 20% a.a., capitalizados

endimento obtido se for aplicado durante oito anos a juros efetivos de 5% a.a.? Dados: j = 20% a.a., k = 4, i = 5% a.a., n = 8 anos, m =?

s

( )4×m

4×m8 0,2(1,05) = 1+ 1,477 1,054

⎛ ⎞

k×mn j(1 + i) = 1+

k⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ =

⎜ ⎟⎝ ⎠

35

aplicando logaritmos: log 1,477=4×m×log 1,05 m= 2 anos⇒ 49. Um investidor teria o mesmo rendimento se aplicasse um capital em qualquer uma de duas opções de investimento. A primeira opção permite aplicar o capital durante quatro anos à taxa efetiva composta de 8% a.a., e a segunda, durante dois anos a uma determinada taxa nominal anual,

Dados: k = 2, i = 8% a.a., n = 4 anos, m = 2 anos, j = ?

capitalizada semestralmente. Qual é a taxa nominal?

k×mn j(1 + i) = 1+

k⎛ ⎞⎜ ⎟

2×2

⎝ ⎠

4 j(1,08) = 1+ j 16% a.a.2

⎛ ⎞ ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

50. Em que data um capital de $10.000, aplicado em €20 de setembro de 2006 a juros efetivos de 40% a.a., resultará em um montante de €$19.600? (trabalhar com o ano civil) Dados: i = 40% a.a., P = $10.000, S = $€19.600, n =?

( )( ) ( )

n

n 365 n 365

S P 1+i=

meses) de aplicação de um capital de $20.000 de modo que ele proporcione um ndimento mínimo de $5.000 quando aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada mensalmente?

Dados: S = $25.000, P = $20.0000, j = 24% a.a., k = 12, m = ?

$19.600 $10.000 1,4 1,4 1,96000= × ⇒ =

aplicando logaritmos: 365×log 1,9600=n×log 1,4 n= 730 dias⇒ Logo, o prazo é de dois anos e a data final é 19 de setembro de 2008.

51. Qual o prazo (emre

( )

k m

12 m12 m

jS P 1k

0,241, 25 1 1,02 1,2512

×

××

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

20% a.a., o que motivou o saque de uma siderando-se que, transcorridos seis meses

desse saque, a conta foi encerrada, resgatando-se o saldo total de $20.000, calcular o capital inicialmente aplicado. Dados: P2 = S1 – P1/2, j1 = 24% a.a., j2 = 20% a.a., k = 4, m1 = 1 ano, m2 = 6 meses, S2 = $20.000, P1 = ?

aplicando logaritmos: log 1,25=12×m×log 1,02 m= 12 meses⇒ 52. Um capital foi aplicado em uma conta remunerada que pagava uma taxa de 24% a.a., capitalizada trimestralmente. Depois de um ano, a taxa baixou para quantia igual a 50% do capital inicialmente aplicado. Con

4 1×⎡ ⎤⎞

2 1 1 11 0,24P = S - P = P 1+2 4

⎛⎢⎜⎝ ⎠

2 10,5 P = 0,762 P− ⇒⎥⎟⎢ ⎥⎣ ⎦

Por outro lado, k m

4 0,5

1 1

jS = P 1+k

0,20$20.000 = 0,7625 P 1+ P = $23.791,664

×

×

×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞× ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

36

53. Calcular o valor dos juros pagos por um financiamento de capital de giro de $1.500 por cinco dias contratado à taxa de 3% a.m., capitalizada diariame e. Dados: P = $1.500, j = 3% a.m.. k

nt= 30, m = 5 dias, J = ?

( )k m 30× 5 30j 0,03+ 1 $1.500 1+ 1

k 30

× ⎡ ⎤⎤⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− = − =⎥⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎥⎦ ⎣ ⎦

J P 1 $7,5150⎡⎛= ⎢⎜⎝⎢⎣

s: k = 4, i = 12% a.a., n = m = 1 ano, j = ?

54. Calcular a taxa nominal anual, capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa efetiva de 12% a.a..

adoDk×m

n j(1 + i) = 1+k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

11,50% a.a.4j (1,12) = 1+ j 0,114949⎛ ⎞ ⇒ =

⎝ ⎠

CAPÍTULO 4

=⎜ ⎟

: em contrário, ano comercial de 360

1. Uma duplicata de $180.000 é descontada quatro meses antes de seu vencimento. Considerando-se uma taxa de desconto de 60% a.s., calcular o valor do desconto e o valor liberado na modalidade de

ercial. Dados: N = $180.000, n = 4 meses, d = 60% a.s., D = ?, V = ?

Exercícios Propostos

tenção Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção Adias.

desconto com

D N d n4D = $180.000 0,60 D = $72.0006

= × ×

× × ⇒

Além disso,

o de 15% a.m. e libera $18.900 n três meses, calcular o valor de resgate e a

xa de desconto efetiva linear. Dados: V = $18.900, n = 3 meses, d = 15% a.m, N = ?, i = ?

V N D V= $108.000

s de descont

= − ⇒

2. Considerando-se que um banco aplica uma taxa simpleo desco to comercial de um título com vencimento paran

ta

( )V N 1- d n= × ×

$18.900N = N = $34.363,64 D= $15.463,361- 0,15 3

⇒ ⇒×

Além disso, d 0,15i 27, 27% a.m

1 d n 1 0,15 3ou

D 30 $15.463,36 30i 2V n $18.900 90

= = =− × − ×

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7, 27% a.m

37

3. Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de $120.000 e com vencimento para 180 dias, descontado comercialmente a uma taxa de desconto de 40% a.a.. Dados: N = $120.000, n= 180 dias, d = 40% a.a., V = ?

( )V N 1- d n

1V $120.000 1- 0,4 V = $96.0002

= × ×

⎛ ⎞= × × ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

4. Calcular a taxa de desconto efetiva linear para uma operação de desconto comercial de um título de $135.000 descontado por $120.000 quatro meses antes de seu vencimento. Dados: N = $135.000, V = $120.000, n = 4 meses, i = ?

D N - V D = $15.000= ⇒ Além disso,

D 30 $15.000i 3,125% a.m.V n $120.000 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5. Uma duplicata de $86.000, com prazo de vencimento de três meses, teve valor liberado de $80.000. Determinar a taxa de desconto aplicada na modalidade racional.

ados: N = $86.000, V = $80.000, D = $6.000, n = 3 meses, i = ? D

D V i n$6.000i = 2,5% a.m

$80.000 3.

= × ×

=×

6. Um lote de LTN com valor de resgate de $4.800.000 é adquirido por $4.000.000. Considerando-se um prazo de vencimento de 120 dias, calcular a taxa de desconto (ao ano) e a rentabilidade efetiva linear da operação. Dados: N = $4.800.000, V = $4.000.000, D = $800.000, n = 4 meses, d =?, i = ?

D 360 $800.000 360d 50% a.a.N n $4.800.000 120

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Além disso,

( )d 0,5

% a.a. em operações de compra de LBC. inar o P.U. sobre o qual se

termos de desconto comercial e calcular a taxa de desconto mínima exigida. Dados: i = 180% a.a., n = 90 dias, P.U.= ?, d = ?

i 60% a.a.1 d n 1 0,5 1 3

= = =− × − ×

7. Um banco deseja uma rentabilidade efetiva linear de 180

onsiderando-se que o lote de letras tem vencimento para 90 dias, determCdeve negociar em

( )

( )

d i1 d n/360

d

=− ×⎡ ⎤⎣ ⎦

1,8 d 124,14% a.a.1 d 90/360

= ⇒ =− ×⎡ ⎤⎣ ⎦

Além disso,

( ) [ ]P.U.= 1 d n/360 1 1,2414 90 / 360 = 0,68966− × = − ×⎡ ⎤⎣ ⎦

. Uma duplicata de $880.000 foi descontada comercialmente oito meses antes do vencimento. 8

Considerando-se uma taxa de desconto efetiva linear de 145% a.a., calcular o valor liberado pelo banco. Dados: N = $880.000, i = 145% a.a., n = 8 meses, V = ?

38

D 360 i V n$800.000 - V 360 1,45 = V= $447.457,63

V 240

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞× ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9. Uma promissória de $450 sofreu um desconto de $54. Considerando-se uma taxa de desconto de 6% a.m., calcular o prazo da operação. Dados: N = $450, D = $54, d = 6% a.m., n = ?

D N d n= × ×$54 = $450 0,06 n n = 2 meses× × ⇒

10. Um título de $13.000 que vence em 120 dias foi descontado comercialmente por $11.400. Calcular a taxa de desconto (ao ano) e a taxa de desconto efetiva linear . Dados: N = $13.000, V = $11.400, D = $1.600, n = 120 dias, d = ?, i = ?

D 360 $1.600 360d 36,92% a.a.N n $13.000 120

= × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Além disso,

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

D 360⎛ ⎞ ⎛ $1.600iV n $11.4

⎞= × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 42,11% a.a.00×

=

11. Um título de $240.000 foi descontado 43 dias antes do vencimento pelo desconto comercial simples aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Considerando-se uma taxa de desconto efetiva linear da operação de 6% a.m., calcular o valor liberado. Dados: N = $240.000, i = 6% a.m., n = 43 dias, V = ?

D 30 iV n$240.000 - V 300,06 V= $220.994,48.

V 43

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2. Para operações de desconto comercial, um banco aplica uma taxa de desconto de 27% a.a. e cobra 12% sobre o valor nominal como TSB. Calcular as taxas de desconto efetivas lineares anuais para os prazos de um mês, três meses e seis meses. Dados: d = 27% a.a., TSB = 2%, i1 = ?, i3 = ?, i6 = ?

( )( ) ( )

[ ]

[ ]

1 mês

3 meses

6

n 121 d n 12 - TSB

0,27 1 12 + 0,02 1i = 53,26% a.a.1 0,27 1 12 - 0,02 1 12

0,27 3 12 + 0,02 1i = 38,36% a.a.1 0,27 3 12 - 0,02 3 12

i

⎜ ⎟⎜ ⎟− ×⎡ ⎤ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞×= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− × ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞×= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− × ⎝ ⎠⎝ ⎠

d n 12 + TSB 1 i⎛ ⎞ ⎛ ⎞×

= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟

[ ] meses0,27 6 12 + 0,02 1 = 36,69% a.a.

⎛ ⎞ ⎛ ⎞×= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟1 0,27 6 12 - 0,02 6 12− × ⎝ ⎠⎝ ⎠

13. Uma duplicata de $72.000 com vencimento para cinco meses foi descontada comercialmente a

39

uma taxa de desconto de 2% a.m.. Considerando-se que foi paga uma taxa de serviço bancário de 2,5% sobre o valor nominal do título, calcular o valor líquido liberado pelo banco e a taxa de desconto

Dados: N = $72.000, d = 2% a.m., TSB = 2,5%, n = 5 meses, i = ?, V = ?

efetiva linear da operação.

[ ]

[ ]

d n + TSB 1 i1 d n - TSB n

0,02 5 + 0,025 1i = 2,86% a.m. = 34,29% a.a.1 0,02 5 - 0,025 5

×= ×

− ×

×= ×

− ×

Além disso,

14. Duas letras, uma de $10.000 e outra de $8.000, foram descontadas pelo desconto comercial simples aplicando-se uma taxa de desconto de 36% a.a.. Considerando-se que o valor do desconto

da segunda letra excede em dez dias o prazo da primeira, determinar os

( )( )

V N 1 TSB d n

V $72.000 1 0,025 0,02 5 V $63.000

= − − ×

= − − × ⇒ =

total é de $4.400 e que o prazo prazos e as taxas de desconto efetivas lineares das letras. Dados: N1 = $10.000, N2 = $8.000, d = 36% a.a., D = $4.400, n2 = n1+10 dias, n1 = ?, i1 = ?, i2 = ?

D N d n= × ×

[ ]( )1 1 1 2 10,36$4.400 = $10.000 n +$8.000 n + 10 n =240 dias n = n +10 =250 dias360

× × × ⇒ ⇒

Além disso,

( )

( )

( )

1 1

2 2

d i1 d n/360

0,36i i 47,37% a.a.1 0,36 240/360

0,36i i 48% a.a1 0,36 250/360− ×⎡ ⎤⎣ ⎦

15. Duas letras pagáveis, respectivamente, em 150 e 120 dias, foram descontadas comercialmente a uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $53.000. Determinar os

=− ×⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⇒ =− ×⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⇒ =

tarde, a taxa de desconto seria de 8% a.m a dos valores dos descontos seria de $72.000. Dados: d1 = 5% a.m., D1+ D2= $53.000, D1+ D2= $72.000, d2 = 8% a.m. n1 = 150 dias, n2 = 120 dias, N1 = ?, N2 = ?

valores nominais dos títulos sabendo-se que, se essa operação fosse feita 20 dias mais . e a som

( )

( )

1 21 2

1 21 2

1 2N = $100.000 N = $140.000

D N d n0,05$53.000 = 150 N +120 N $1.060.000 5 N +4 N300,08 $2.700.000 13 N +10 N$72.000 = 130 N +100 N30

= × ×

⎧ ⎫× × ×⎪ ⎪ = × ×⎧ ⎫⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬= × ×⎩ ⎭⎪ ⎪× × ×⎪ ⎪⎩ ⎭

desconto do segundo é de $166.454,55, calcular os valores nominais dos títulos. Dados: d = 6% a.m., N1 –D2= $166.454,55 n1 = 60 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, N2 = ?

⇒ 16. Dois títulos com prazos, respectivamente, de 60 e 90 dias foram descontados comercialmente à

taxa de desconto de 6% a.m., produzindo os mesmos valores liberados para ambos os títulos. Considerando-se que a diferença entre o valor nominal (valor de resgate) do primeiro e o valor do

40

( )( ) ( )1 2 1 2

V N 1 d n

N 1 0,06 2 N 1 0,06 3 N 0,9318 N− × = − × ⇒ = ×

Logo,

= − ×

1 2 2

2 1

D = N d n× ×N = 0,9318 N = $166.454,55 + 0,06 3 N × × ×

N = $221.402,67 N = $206.307,03⇒ 17. Dois títulos vencíveis, respectivamente, em 33 e 66 dias foram descontados comercialmente, o primeiro à taxa de desconto de 40% a.a. e o segundo à taxa de 38% a.a., totalizando um desconto de

iderando-se que o valor nominal do primeiro é a metade do valor nominal do segundo, inais dos dois títulos.

Dados: d1 = 40% a.a., d2 = 38% a.a., D = $1.760, N1 = N2/2, n1 = 33 dias, n2 = 66 dias, N1 = ?, N2 = ?

$1.760. Conscalcular os valores nom

[ ]1 1 1 20,40 0,38$1.760 = N 33 + 2 N 66 N = $10.000 N = $20.000360 360

⎛ ⎞

D N d n= × ×

× ×

que o valor líquido liberado foi de $18.000 e sabendo-se que foi cobrada uma sobre o valor nominal da duplicata, calcular a taxa mensal de desconto e a taxa de

desconto efetiva linear da operação. Dados: N = $20.000, V = $18.000, D = $2.000, n = 120 dias, s = 2%, d = ?, i = ?

disso,

× × × ⇒ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

18. Uma duplicata de $20.000 foi descontada comercialmente 120 dias antes do vencimento. Considerando-se comissão de 2%

( )( )

V N 1 s d n

$18.000 $20.000 1 0,02 d 4 d 2% a.m.

= − − ×

= − − × ⇒ =

Além

[ ] [ ]d n + s 1 0,02 4 + 0,02 1 i = 2,78% a.m.

1 d n - s n 1 0,02 4 - 0,02 4× ×

= ×

ontadas comercialmente a uma xa de desconto de 5% a.m., e a soma dos valores dos descontos totalizou $1.070. Se essa operação

fosse feita dez dias mais tarde, a taxa de desconto seria de 6% a.m. e a soma dos descontos totalizaria $1.184. Calcular os valores nominais dos títulos. Dados: d12 = 5% a.m., D12 = $1.070, d3 = 6% a.m., D3 = $1.184, n1 = 186 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, N2 = ?

= ×− × − ×

19. Duas letras pagáveis, respectivamente, em 186 e 90 dias foram descta

( )

( )

1 21 2

1 21 2

D N d n

$1.070 = 186 N +90 N $7.133,33 2, 67 N +1 N300,06 $59.200 17,6 N +8 N$1.184 = 176 N +80 N

= ×

0,050

×

× × ×⎪ ⎪ = × ×⎧ ⎫

301 2N = $2.000 N = $3.000

⎧ ⎫⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬= × ×⎩ ⎭⎪ ⎪× × ×⎪ ⎪⎩

500, n = 3 meses, d = 1% a.m., V = ?

⎭⇒

20. O possuidor de um título de $20.000, com vencimento para três meses, tem duas possibilidades: vendê-lo por $19.500 a um particular ou descontá-lo comercialmente em um banco que aplica uma taxa de desconto de 1% a.m.. Determinar qual transação é a mais vantajosa. Dados: N = $20.000, G = $19.

( )( )

V N 1- d n

V $20.000 1- 0,01 3 V = $19.400

= × ×

= × × ⇒

41

Como o banco liberará apenas $19.400, a melhor opção é vendê-lo por $19.500!

Analogamente, podemos resolver o problema comparando os descontos:

0 dias, foram descontados racionalmente à taxa de 6% a.m.. Considerando-se ue os dois tiveram o mesmo valor liberado e que a diferença entre o valor nominal do primeiro e o valor do desconto do segundo é de $4.160,91, calcular os valores nominais dos títulos. Dados: d = 6% a.m., N1 – D2 = $4.160,91, V1 = V2, n1 = 60 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, N2 = ?

D N d nD $20.000 0,01 3 D = $600

= × ×= × × ⇒

Como o banco descontará $600, a melhor opção é vendê-lo por $19.500 (um desconto de apenas $500)!

21. Dois títulos, o primeiro com vencimento para 60 dias e o segundo para 9

q

2 2

D V d nD 0,18V

= × ×=

Logo, ( )N = V 1+ d n×

( )1

1 2

N = $4.160,91 + 0,18V = V +0,06 2V = $4.426,50 N = $4.957,68 N = $5.223,27

×

⇒ ⇒

22. Dois títulos foram descontados comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa de desconto de

desconto de $2.000. Considerando-se que o valor de resgate do segundo é o r de resgate do primeiro, calcular os valores de resgate dos títulos.

1

4% a.m., totalizando umdobro do valoDados: d = 4% a.m., D = $2.000, N2 = 2 × N1, n = 60 dias, N1 = ?, N2 = ?

( )1 1 1 2

D N d n$2.000 = 0.04 2 N + 2 N N = $8.333,33 N = $16.666,67

= × ×

× × ⇒ ⇒

23. A soma dos valores dos descontos e dos valores líquidos liberados por duas promissórias descontadas comercialmente totalizaram, respectivamente, $6.300 e $143.700. O valor de resgate da segunda promissória é o dobro do valor de resgate da primeira e vence 30 dias depois. Considerando-se uma taxa de desconto de 2,1% a.m., determinar os valores de resgate e os prazos dos títulos. Dados: d = 2,1% a.m., D1 + D2 = = $6.300, V1 + V2 = $143.700, N2 = 2 × N1, n2 = n1 + 30, N1= ?, N2 = ?, n1 = ?, n2 = ?

( ) ( )1 2 1 1 2 2

1 11

2

N N = D +V D +V $150.000N 2N =$150.000 N = $50.000

N = 2 $50.000 = $100.000

+ + =

+ ⇒×

Além disso,

[ ]( )1 1 1 20,021$6.300 = $50.000 n +$100.000 n +30 n = 40 dias n = 70 dias

30× × ⇒ ⇒

24. Duas letras com prazos, respectivamente, de 40 e 120 dias foram descontadas comercialmente à

D N d n= × ×

o

valores dos descontos comerciais totalizaria $18.500. Determinar os valores nominais das letras. Dados: d = (6% a.m. e 5% a.m. ), D1 + D2 = $24.800, D1 + D2 = $18.500, n1 = 40 dias, n2 = 120 dias, N1 = ?, N2 = ?

taxa de desconto de 6% a.m., e a soma dos valores dos descontos totalizou $24.800. Se a operaçãfosse feita dez dias mais tarde, teria sido aplicada uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos

42

( )

( )

1 21 2

1 21 2

1 2

D N d n0,06$24.800 = 40 N +120 N $310.000 N +3 N300,05 $1.110.000 3 N +11 N$18.500 = 30 N +110 N30

N = $40.000 N = $90.000

= × ×

⎧ ⎫× × ×⎪ ⎪ = ×⎧ ⎫⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ = × ×⎩ ⎭⎪ ⎪× × ×⎪ ⎪⎩ ⎭

⇒

⎬

Calcular o valor total eração se realizasse 30 dias mais tarde, a soma

dos valores dos descontos teria sido de $180. Dados: i = 2% a.m., D1 + D2 = = $300, D1 + D2 = $180, n1 = 90 dias, n2 = 45 dias, V = V1+ V2 = ?

25. Duas letras vencíveis, respectivamente, em 90 e 45 dias foram descontadas racionalmente a uma taxa simples de 2% a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $300. liberado pelas duas letras, sabendo-se que, se essa op

( )

( )

1 2

1 21 2

1 2

D V×i n

V +1 VV +1 V$180 = 60 V +15 V

30V = $4.000 V = $2.000 V= $6.000

= ×

1 20,02$300 = 90 V +45 V $10.000 230

⎧ ⎫× × ×⎪ ⎪ = × ×⎧ ⎫⎪ ⎪0,02 $18.000 4

⇒⎨ ⎬× ⎭× × ×⎪ ⎪⎩ ⎭

⇒ ⇒

26. Uma nota promissória de $5.000 foi descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento à taxa

a.m.. Calcular o valor líquido recebido pelo possuidor do título. Dados: i= 3% a.m., N = $5.000, n = 2 meses, V =?

⎬ ⎨ = ×⎩⎪ ⎪

simples de 3%

N $5.000N V(1+ i n) V= $4.716,98(1+ i n) 1+0,03 2

= × ⇒ = =× ×

27. Um título de $50.000 sofreu um desconto comercial de $4.000. Considerando-se uma taxa de desconto efetiva linear de 10,87% a.m., determinar o prazo da operação. Dados: i = 10,87% a.m., D = $4.000, N = $50.000, n = 60 dias, n =?

D N d n= × ×

n$4.000 = $50.000 d d n = 2,430

× × ⇒ ×⎜ ⎟⎝ ⎠

Além disso,

⎛ ⎞

( )

[ ]

d i1 d n 30

d 20,1087 d = 10% a.m. n = =24 dias1 0,08 0,10

e

=− ×⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⇒−

,4

28. Uma promissória de $22.000 teve um desconto comercial de $2.000. Considerando-se que a taxa efetiva exponencial da operação é de 4,8809% a.m., determinar o prazo da operação e a taxa de esconto contratada.

dDados: ie = 4,8809% a.m., D = $2.000, N = $22.000, n = ?, d = ?

D N d n= × ×

n$2.000 = $22.000 d d n = 2,7270

⎛ ⎞3

× ×

Além disso,

( )

⇒ ×⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )

30/ne

30/n 30/n

i N/V 1

0,048809 $22.000 / $20.000 1 1,048809 = 1,1

= −

= − ⇒

43

aplicando logaritmos: n log 1,048809 30 log 1,1n= 60 dias d= 4,5455% a.m.

× = ×⇒

29. Um banco emprestou $100.000 por 40 dias a juros efetivos compostos de 26% a.a.. Considerando-se que o banco descontará comercialmente uma promissória com valor nominal de $50.022,36 a uma taxa de desconto de 4% a.m., determinar o prazo do desconto de modo que as duas operações roduzam o mesmo rendimento. p

Dados: P = $100.000, i = 26% a.a., n1 = 40 dias, N = $50.022,36, d = 4% a.m., n2 = ?

juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimoD J=

( )

( )

1n2

2 40 3602

N d n = P 1+i 1

n $50.022,36 0,04 $100.000 1,26 1 n = 39 dias 30

⎡ ⎤× × −⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎡ ⎤× × = − ⇒⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

30. Um banco pode emprestar $25.000 a juros efetivos de 42% a.a. ou empregar esse capital em

ercial com prazo de 90 dias. Qual deve ser a taxa de desconto aplicada na operações de desconto comoperação, de modo que o banco tenha um rendimento igual ao obtido no empréstimo? Dados: P = $25.000, i = 42% a.a., n = 90 dias, d = ?

juros obtidos no desconto = juros obtidos no mpr

D J=

( )

( )

n

3 12

e éstimo

N d n = P 1+i 1

$25.000 d 3 $25.000 1,42 1 d= 3,0541% a.m.

⎡ ⎤× × −⎣ ⎦⎡ ⎤× × = − ⇒⎣ ⎦

31. Um título com valor nominal de $240.000 foi descontado comercialmente 60 dias antes do vencimento a uma taxa de desconto de 4% a.m.. Calcular o valor líquido liberado ao seu portador e a

xa de desconto efetiva exponencial anual.

Além disso,

presa descontou comercialmente, 100 dias antes do vencimento, uma duplicata de siderando-se que o valor líquido liberado foi de $19.000, calcular a taxa de desconto

mensal e a taxa de desconto efetiva exponencial anual . Dados: N = $20.000, n = 100 dias, V = $19.000, d = ?, ie = ?

taDados: N = $240.000, n = 60 dias, d = 4% a.m., V = ?, ie = ?

( )V N 1 - d n= ×

( )V = $240.000 1 - 0,04 2 V =× ⇒ $220.800

( )( )

360/ne

360/60e e

i N/V 1

i $240.000 / $220.800 1 i 64,9199% a.a.

= −

= − ⇒ =

32. Uma em$20.000. Con

nV N 1 - d30

100$19.000 = $20.000 1 - d d = 1,5% a.m.

⎛ ⎞

30

= ×⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞× ×⎝ ⎠

⇒⎜ ⎟

Além disso, ( )( )

360/ne

360/100e e

i N/V 1

i $20.000 / $19.000 1 i 20,2804% a.a.

= −

= − ⇒ =

44

33. Calcular o valor nominal de uma nota promissória descontada comercialmente três meses antes do vencimento de modo que seu valor liberado seja igual à soma dos valores liberados por três duplicatas com valores nominais, respectivamente, de $100, $500 e $700 descontadas pelo mesmo prazo e taxa de desconto da nota promissória. Dados: N1 = $100, N2 = $500, N3 = $700, n = 3 meses, d = d123, V = $19.000, N = ?

3

1V V N 1 - d

30n n n n

ii=

1 2N 1 - d = N 1 - d N 1 - d30 30

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛× × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

1 2 3

n

N 1 - d30 30

N = N + N + N N = $1.300

⎛ ⎞= =

× + ×⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

34. Um lote de títulos públicos com vencimento para 180 dias foi negociado a $20.000. Considerando-se que a rentabilidade efetiva exponencial da operação foi de 2% a.m., determinar o P.U. das letras.

30/180 1/ 6

/P.U. 1

0,02 1/ PU 1 1,02 1/ PU PU = 0,887971

−

= − ⇒ = ⇒

35. O quociente entre o valor nominal e o valor liberado por um título descontado comercialmente 60

vencimento é 1,03. Calcular a taxa de desconto efetiva linear e exponencial da operação. Dados: N/V = 1,03, n = 60 dias, i = ?, ie = ?

lém disso,

×⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞ ⎛ ⎞

∑

Dados: ie = 2% a.m., n = 180 dias, V = $20.000, P.U.= ?

(ei 1= )( ) ( )

30/n

dias antes do

( )( )

30/ne

30/60e e

i N/V 1

i 1,03 1 i 1,4889% a.a.

= −

= − ⇒ =

AD 30iV n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ×

( ) 30i 1,03 - 1 i = 1,⎛ ⎞= × ⇒⎜ ⎟ 5% a.m.60

⎜ ⎟

⎝ ⎠

36. Um título com valor nominal de $2.000 foi descontado comercialmente. Considerando-se que a

nto efetiva exponencial foi 3% a.m. e que a antecipação foi de dois meses, calcular a taxa sconto e o valor do desconto.

Dados: ie = 3% a.m., N = $2.000, n = 2 meses, d = ?, D = ?

⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

taxa de descomensal de de

D N d nD = $2.000 2 d D = $4.000 d

= × ×× × ⇒ ×

Além disso,

( )

e

1/2-1/2

i 11 d n

10,03 1 1,03 = 1- 2 d

1/n1

d = 2,8702% a.m. D = $4 00 d = $4000 0,08792 = $114,81

⎛ ⎞= −⎜ ⎟− ×⎝ ⎠

1 d 2⎛ ⎞= − ⇒ ×⎜ ⎟

.0− ×

× 37. Calcular a taxa de juros efetiva composta que um banco deverá adotar para emprestar um capital de €$10.000 por 4 meses, de modo que tenha uma remuneração igual à obtida no desconto comercial de uma duplicata de $20.000 descontada pelo mesmo prazo à taxa de desconto de 2% a.m.. Dados: P = $10.000, N = $20.000, n = 4, d = 2% a.m., € i = ?

⎝ ⎠⇒ ×

45

( )

( )

( ) ( )

n

4

4 1/ 4

juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimoD J

N d n = P 1+i 1

$20.000 0,02 4 $10.000 1+i 1

1+i 1,16 i= 1,16 1 3,7880% a.m.

=

⎡ ⎤× × −⎣ ⎦⎡ ⎤× × = × −⎣ ⎦

⇒ = ⇒ − =

CAPÍTULO 5 Exercícios Propostos

Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 dias e pagamentos postecipados (termos vencidos). 1. Um financiamento de $132.000 será liquidado em 14 prestações mensais. Considerando-se que a taxa de juros efetiva cobrada será de 3% a.m., calcular o valor das prestações na hipótese de serem pagas: a) postecipadamente (final de cada mês); e b) antecipadamente (início de cada mês). Dados: P = $132.000, i =3% a.m., n = 14, R = ? a) prestação postecipada:

( )( )

n i%

1414 3%

14

Financiamento R

P $132.000 $132.000R =$11.685,4811, 296071,03 1

1,03 0,03

a

a

=

= = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

b) prestação antecipada: As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (financiamento menos a primeira prestação paga no ato):

( )( )

n-1 i% n-1 i%

13 3%

13

13

Financiamento efetivo empréstimo - primeira prestação paga no atoR

P - RR

$132.000 RR1,03 1

1,03 0,03

$132.000 RR R =$11.345,1210,63496

a a

a

= =

=

−=

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

−= ⇒

2. Uma pessoa deposita $2.450 todo final de mês em um fundo de investimento que paga juros nominais de 120% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o montante da aplicação no fim do 16o mês. Dados: R = $2.450, J =120% a.a., k =12, n = 16, S = ?

46

m1, 20taxa mensal efetiva: i 1 1 10% a.m.12

⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

16

16 10%(1,10) 1Montante R $2.450 $2.450 35,94973 $88.076,84

0,10s

⎡ ⎤−= × = × = × =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

4

4 22,5043% 4

12

12 7% 12

onde:

(1, 225043) 1 2, 470586(1, 225043) 0, 225043

(1,07) 1 7,942686(1,07) 0,07

a

a

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤−

= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

3. Uma compra no valor de $16.000 será paga com uma entrada de 20% e determinado número de prestações mensais de $4.038,02, a primeira um mês após a compra. Considerando-se juros efetivos de 10% a.m., calcular o número de prestações necessárias para liquidar a dívida. Dados: P = $16.000, E =3.200, R = $4.038,02, i =10% a.m., n = ?

Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente do fluxo pagamentos:

n 10% n 10%

nn

n 10% n

16.000 $3.200 $16.000 $3.200 $4.038,02 3,1698703824.038,02

(1,10) -1 3,169870382 (1,10) 1,464101058(1,10) ×0,1

log (1,464101058) Aplicando logaritmos: nlog

a a

a

=−

= + × ⇒ =

⎡ ⎤⇒ = = ⇒ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

= 4 prestações mensais(1,10)

=

Nas tabelas financeiras do Apêndice deste livro, pode ser observado que o fator n 10% 3,1698704a =

corresponde a n = 4, o que indica que o número de prestações é igual a quatro. 4. Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $307. Considerando-se juros efetivos de 10% a.m., qual deveria ser seu valor à vista? Dados: n = 12, R = $307, i = 10% a.m., P = ?

Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações:

12 12 10% 12

(1,10) -1P 307 307 307 6,81369=$2.091,80(1,10) ×0,1

a⎡ ⎤

= × = × = ×⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

5. Calcular o valor da aplicação mensal necessária que permita acumular, depois de 16 meses, um montante de $2.300.000, considerando-se que a aplicação rende juros efetivos de 6% a.m.. Dados: S = 2.300.000, n = 16, i = 6% a.m, R = ?

36

36

(1,02) 1 S $2.300.000 S = R R = = $89.589,93 0,02 25,67253 (1,02) 1

0,02

⎡ ⎤−× ⇒ =⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥ −⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

47

6. Por uma compra no valor de $5.000 será paga uma entrada de 20% e prestações quinzenais durante dois anos. Considerando-se juros efetivos de 26,9735% a.a., calcular o valor das prestações. Dados: P = $5.000, E = 1.000, i = 26,9735% a.a., n = 48 quinzenas, R = ?

Taxa quinzenal equivalente: iq = (1,269735)1/24 – 1 = 1% a.q.

Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente do fluxo pagamentos:

48 1%48 1%

48

48 1% 48

$5.000 $1.000 $4.000 $5.000 $1.000 R R= 105,3437,97396

(1,01) 1onde: ` 37,97396(1,01) 0,01

a

a

−= + × ⇒ = =

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

7. Um investidor aplicou mensalmente $4.900 durante 14 meses. Considerando-se que no fim do 14o mês o saldo da aplicação foi de $110.497,40, calcular a taxa de juros efetiva ganha. Dados: S = 110.497,40, n = 14, R = $4.900, i = ?

n

14 i% 14 i%

(1+i) -1 S = R i

$110.497,40$110.497, 40 $4.900 = 22,55049 $4.900

s s

⎡ ⎤× ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

= × ⇒ =

• Interpolação linear para aproximar a taxa de juros:

S14 i%

S14 7,,5% = 23,36592

S14 i% = 22,55049

S14 6,5% = 21,76730

6,5% i% 7,5% taxa de juros %

Observando-se o digrama anterior, é possível estabelecer a seguinte proporcionalidade de triângulos e, a seguir, destacar a taxa i:

23,36592 21,76730 22,55049 21,76730 i =7% a.m.7,5 6,5 i 6,5

− −= ⇒

− −

Nas tabelas financeiras do Apêndice deste livro, pode ser observado que o fator 14 i% 22,55049s =

corresponde a uma taxa de juros de 7%. 8. Um bem de $350 pode ser pago com uma entrada mais quatro prestações bimestrais de $100. Considerando-se juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor da entrada. Dados: P = $350, R = $100, n = 4, i = 5% a.m., E = ?

Taxa bimestral equivalente: ib = (1,05)2 –1 = 10,25% a.b.

Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente do fluxo pagamentos:

48

= 4 10,25% 4 10,25%

4

4 10,25% 4

$350 E $100 E=$350 $100 $350 $100 3,15279 $34,72

(1,1025) 1onde: ` 3,15279(1,1025) 0,1025

a a

a

= + × ⇒ − × − × =

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

9. Considerando-se uma remuneração efetiva de 6% a.m., calcular a aplicação necessária que permita sacar mensalmente $3.280 durante os próximos 19 meses. O primeiro saque ocorrerá em 30 dias. Dados: n =19, i = 6% a.m., R = $3.280, P = ?

19 6%

19

19 6% 19

P $3.280 $3.280 11,15812=$36.598,62

(1,06) 1onde: 11,15812(1,06) 0,0629

a

a

= × = ×

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

10. Uma pessoa financiou uma compra no valor de $43.000 em 12 prestações mensais de $7.932,64. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês cobrada pelo financiamento. Dados: n = 12, R = $7.932,64, P = $43.000, i = ?

• Cálculo do i pelo método de Baily-Lenzi:

( )( )

para n i 3

12 n-1 hi=h

12-2 n-1 h

× ≤

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2n+1n Ronde: h 1

P P principal R valor da prestação postecipada n número de prestações.

×⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

===

( )( )

( )( )

2 2n+1 12+1n R 12 7.932,64h 1= 1=0,130048298

P 43.000

12 n-1 h 12 12-1 0,130048298i=h 0,130048298 0,15

12-2 n-1 h 12-2 12-1 0,130048298

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− × − ×= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥

× × × ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦≈

• Aproximação por meio de interpolação linear:

Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada:

12 i% 12 i%$43.000$43.000 $7.932,64 5,42064

$7.932,64a a⇒ == × =

O fator pode ser aproximado por meio de uma interpolação linear, de modo a estimar a incógnita i. Podemos começar calculando o fator 12 i%a para diversos valores de taxas de juros e, a seguir, efetuar

a interpolação linear :

Taxa de juros aproximada:

49

i% ( )( )

12

12

1 i 1

1 i i

+ −

+ × ( )5, 4206 5,30693i 15,5% 15,5% 14,5% 15% a.m.

5,53824 5,30693⎡ − ⎤

= − × − =⎢ ⎥−⎣ ⎦

14,5% 5,53834 15,5% 5,30693

Nas tabelas financeiras do Apêndice deste livro, pode ser observado que o fator corresponde a uma taxa de juros de 15%.

42064,5i% 12 =a

11. A juros efetivos de 8% a.m., em que prazo pode ser liquidado um financiamento de $2.300 pagando-se prestações mensais de $278,98? Dados: P = $2.300, i = 8% a.m., R = $278,98, n = ?

( )( )

nn n 5% n

O valor da aplicação inicial deverá ser igual ao valor presente das prestações mensais:

1,08 1 P R $2.300 $278,98 (1,08) 2,937193624

1,08 0,08

Aplic

a⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥×⎣ ⎦

log (2,937193624) ando logaritmos: n 14 prestações mensais log (1,08)

= =

12. Determinar a taxa de juros efetiva ao mês cobrada por um empréstimo de $132.000 que será reembolsado por meio de 13 prestações mensais postecipadas de $15.793,91 cada. Dados: n = 13, R = $15.793,91, P = $132.000, i = ? Cálculo do i pelo método de Baily-Lenzi:

( )( )

para n i 3

12 n-1 hi=h

12-2 n-1 h

× ≤

⎡ ⎤− ×⎢ ⎥

× ×⎢ ⎥⎣ ⎦2

n+1n Ronde:h 1 P

P principal R valor da prestação postecipada n número de prestações.

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠===

( )( )

( )( )

2 2n+1 13+1n R 13 15.793,91h 1= 1=0,065144281

P 132.000

12 n-1 h 12 13-1 0,065144281i=h 0,065144281 0,07

12-2 n-1 h 12-2 13-1 0,065144281

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ×= × ≈⎢ ⎥ ⎢ ⎥

× ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

13. Um eletrodoméstico de $330 será pago dando-se uma entrada de 15% mais oito prestações mensais. A juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor das prestações na hipótese de serem: a) postecipadas; b) antecipadas. Dados: P = $330, E = $49,50, i = 5% a.m., n = 8, R = ? a) prestação postecipada:

50

( )( )

n i%

88 5%

8

Financiamento efetivo R

P-E $330 -$49,50 $280,5R =$43,406,463211,05 1

1,05 0,05

a

a

=

= = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

b) prestação antecipada: As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (financiamento menos a entrada e menos a primeira prestação paga no ato):

( )( )

n-1 i%

7 5%

7

7

Financiamento efetivoR

$330 - $49,50-RR

$280,5 RR1,05 1

1,05 0,05

$280,5 RR R =$41,33 5,78637

a

a

=

=

−=

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

−= ⇒

14. Um investidor pretende acumular um capital de $400.000 depositando semanalmente $9.651,05 em uma aplicação que rende juros efetivos de 36,05% a.m.. Quantos depósitos serão necessários? Dados: S = $400.000, i = 36.05% a.m., R $9.651,05, n = ?

( ) ( )n

n n i%

1,3605 1 S R $400.000 $9.651,05 1,3605 346,9543814

0,3605

log (346,954381) Aplicando logaritmos: n 19 depósitos mensaislog (1,3605)

S⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦

= =

15. Por uma compra no valor de $375, pagam-se 12 prestações mensais antecipadas (a primeira no ato da compra). Considerando-se juros efetivos de 8% a.m., calcular o valor das prestações. Dados: P = $375, i = 8% a.m., n =12, R = ? As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (financiamento menos a primeira prestação paga no ato):

51

( )( )

n-1 i%

11 8%

11

11

Financiamento efetivoR

$375 - RR

$375 - RR1,08 1

1,08 0,08

$375 - RR R =$46,077,138964258

a

a

=

=

=⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

= ⇒

16. Um empréstimo de $1.000.000 será pago em 11 prestações anuais de $150.000. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada na hipótese de as prestações serem: a) postecipadas; b) antecipadas. Dados: n =11, R$150.000, P = $1.000.000, i = ? a) postecipadas:

( )( )

para n i 3

12 n-1 hi=h

12-2 n-1 h

× ≤

⎡ ⎤− ×⎢ ⎥

× ×⎢ ⎥⎣ ⎦Cálculo do i pelo método de Baily-Lenzi:

2n+1n Ronde:h 1

P P principal R valor da prestação postecipada n número de prestações.

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠===

( )( )

( )( )

2 2n+1 11+1n R 11 150.000h 1= 1=0,087044503

P 1.000.000

12 n-1 h 12 11-1 0,087044503i=h 0,087044503 9,4377% a.a.

12-2 n-1 h 12-2 11-1 0,087044503

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ×= × ≈⎢ ⎥ ⎢ ⎥

× ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b) antecipadas: As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (financiamento menos a primeira prestação paga no ato):

n-1 i%

10 i%10 i%

Financiamento efetivo R

$1.000.000 - $150.000$150.000 5,66667

Por aproximações ou pelo método de Bayli-Lenzi: i 11,9291% a.a.

a

aa

=

= ⇒ =

≈

Aplicando a fórmula de Baily-Lenzi

52

( )( ) a.m. %93,11

108791,09212108791,0912108791,0

h1-n2-12h1-n12h=i

108791,01850.000

000.501011efetivo ntoFinanciame

R n=h 1+10

21+n

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××−

×−×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡××

×−×

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

17. Um bem é vendido à vista por $15.000, ou a prazo em prestações mensais de $885,71. A juros efetivos de 3% a.m., calcular o número de prestações necessárias. Dados: P = $15.000, i = 3% a.m., R = $885,71, n = ?

( )( )

nn n 5% n

O valor à vista deverá ser igual ao valor presente das prestações mensais:

1,03 1 P R $15.000 $885,71 (1,03) 2,03279

1,03 0,03

Aplicando logaritmos:

a⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥×⎣ ⎦

log (2,03279) n 24 prestações mensais log (1,03)

= =

Nas tabelas financeiras do Apêndice deste livro, pode ser observado que o fator n 3% 16,93557a =

corresponde a n igual a 24, indicando que o número de prestações é 24. 18. Na compra de um espectrômetro cujo valor à vista é $50.000, um laboratório farmacêutico deverá pagar uma entrada e seis prestações mensais de $8.391,83. A juros efetivos de 7% a.m., calcular o valor da entrada. Dados: P = $50.000, i = 7% a.m., R $8.391,83, n = 6, E = ?

( )( )

6

6

O valor à vista deverá ser igual ao valor presente dos pagamentos:

1,07 1 $50.000 E $8.391,83 E $50.000 - $8.391,83 4,76654 =$10.000

1,07 0,07

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + × ⇒ = ×⎢ ⎥×⎣ ⎦

19. Uma pessoa, ao comprar um carro cujo preço à vista é $14.000, teve seu usado avaliado em $6.000 e aceito como entrada. O saldo será pago em 20 parcelas mensais iguais a juros efetivos de 6% a.m.. Calcular o valor da prestação mensal se a primeira parcela for paga: a) um mês após a compra, b) na data da compra. Dados: P = $14.000, E = $6.000, i = 6% a.m., n = 20, R = ? a) prestação postecipada:

( )( )

20n i% 20 6%

20

Financiamento P-E $14.000 $6.000 $8.000R =$697,4811,469921,06 1

1,06 0,06

a a−

= = = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

b) prestação antecipada: As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (financiamento menos a primeira prestação paga no ato, menos a entrada):

53

( )( )

n-1 i%

19

19

Financiamento efetivoR

$14.000 $6.000 RR1,06 1

1,06 0,06

$8.000 RR R =$65811,15812

a=

− −=

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

−= ⇒

20. Por um equipamento cujo valor à vista é $40.000, paga-se uma entrada de 20% mais 18 prestações mensais com carência de três meses até o início da primeira. Considerando-se juros efetivos de 3% a.m., determinar o valor das prestações. Dados: P = $40.000, E = $8.000, i = 3% a.m., n = 18, c = 3, R = ? Prestação antecipada com carência:

( ) ( )( )

( )

n i%

c-1 2

1818 3%

18

Financiamento capitalizado c-1 meses R

P-E (1+i) $40.000 $8.000 (1,03) $33.948,80R =$2.468,3713,753511,03 1

1,03 0,03

a

a

=

× − ×= = =

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

21. Uma pessoa deposita mensalmente $120 durante 13 meses em uma aplicação que rende juros efetivos de 4% a.m.. Considerando-se que ela pretende resgatar o capital por meio de três saques mensais iguais e consecutivos, o primeiro um mês depois do último depósito, calcular o valor de cada saque. Dados:

( )

o

13

n i%

o

Capital acumulado no 13 mês:

1,04 1 S R $120 =$1.995, 22

0,04

O capital acumulado no 13 mês será resgatado em três saques:

S⎡ ⎤−⎢ ⎥= × = ×⎢ ⎥⎣ ⎦

3 4%

$1.995, 22 $1.995, 22 R= = =718,98 2,77509 a

22. Por política de crédito, nas vendas a prazo, uma loja aumenta em 25% o valor à vista. Desse valor aumentado, 20% é pago como entrada, e o saldo restante é dividido por seis e pago em seis parcelas mensais iguais. Determinar a taxa de juros efetiva mensal cobrada no financiamento. Dados: Valor à vista = P, Entrada (E) = 0,25 (20% de 1,25P), P = 0,25P, R = 0,16667 P (0,80×1,25P/6), n = 6, i = ?

6 i%

6 i% 6 i%

Valor à vista = Entrada + Valor presente das prestações P = 0,25P + 0,16667

1 = 0,25 + 0,16667 4,5000

a

a a

×

× ⇒ =

Por aproximações ou por interpolação linear: i = 8,8950% a.m.

Pela fórmula de Baily-Lenzi: financiamento efetivo = P- Entrada = P- 0,25P = 0,75Pprestação (R) = 0,16667P; n = 6; i =?

54

( )( )

226+1n+1n R 6 0,16667h = 1 1 0,085667362

Financiamento efetivo 0,75

12 n-1 h 12 5 0,085667362i = h 0,085667362 8,8950% a.m.12-2 n-1 h 12 2 5 0,085667362

× ⎛ × ⎞⎛ ⎞ − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤− × ⎛ − × ⎞× = × =⎢ ⎥ ⎜ ⎟× × − × ×⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

23. Um financiamento será pago em oito prestações mensais de $66.000 nos próximos oito meses, e mais 14 prestações de $13.500 nos meses subseqüentes. Considerando-se que as taxas de juros efetivas são de 10% a.m. para o primeiro ano e 15% a.m. para o segundo ano, respectivamente, determinar o valor do pagamento único que quita toda a dívida no quinto mês. Resolução:

4 10% 10 15%8 10% 8 12

valor presente das prestações:$13.500 $13.500

=$66.000(1,10) (1,10)

$13.500 3,16987 $13.500 5,018769=$66.000 5,334932,14359 3,13843

$352.105,13 $19.963,34 $21.588,31 $393.656

a aa +

+

× ×× +

× ×× +

= + + =

o 5

,78

Pagamento único no 5 mês : $393.656,78 (1,10) $633.988,18× =

24. Um eletrodoméstico será pago com uma entrada mais 12 prestações mensais iguais e consecutivas. Considerando-se que cada prestação é igual a 10% do valor à vista, sendo a primeira paga ao término de um período de carência de quatro meses, eque a taxa de juros efetiva composta é de 4% ao mês, calcular o percentual sobre o valor à vista que deve ser pago como entrada. Resolução:

12 4%

Pelo princípio de equivalência de capitais o valor à vista deve ser igual ao valor presente dos pagamentos: P = E+

0,10P P = E+

(1,04)

a×4 1

0,10P 9,38507 P = E+1,124864

P = E+0,83433P E = P - 0,83433P = 0,1657P

−

×

⇒

A entrada representa 16,57% do valor à vista. As prestações são antecipadas, ou seja, a primeira é paga logo ao término do período de carência. 25. Uma instituição financeira concede um período de carência para início dos reembolsos em operações de empréstimo. Um financiamento de $380.000 será pago em sete prestações mensais de $159.748,88 cada. Considerando-se juros efetivos de 15% a.m., determinar o período de carência concedido. Resolução:

55

7 15%1

1 7 15%

Pelo princípio de equivalência de capitais: valor do financiamento = valor presente dos pagamentos

$159.748,88 $380.000 =

(1,15)$159.748,88

(1,15)$

c

c

a

a

−

−

×

×=

( )

1$159.748,88 4,16042 1,74901 (1,15) 1,74901380.000 $380.000

Aplicando logaritmos:Log 1,74901 1 Log1,15 = Log 1,74901 1 5

Log1,15A carência é de cinco meses. As prestações são antecipadas. A

c

c c

−×= = ⇒ =

− × ⇒ = + =

primeira é paga logo ao término do período de carência. 26. O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por $800 ou em oito prestações mensais de $128,83 cada. Se a taxa de juros cobrada for nominal ao ano, calculá-la nas seguintes hipóteses sobre a capitalização dos juros: a) mensal, b) semestral, c) trimestral, d) bimestral e)anual Resolução:

Pela fórmula de Baily-Lenzi:

( )( )

2 2n+1 8+1n R 8 128,83h = 1 1 0,057908785

Financiamento efetivo 800

12 n-1 h 12 7 0,057908785i=h 0,057908785 6% a.m.12-2 n-1 h 12 2 7 0,057908785

× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤− × ⎛ − × ⎞× = × =⎢ ⎥ ⎜ ⎟× × − × ×⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

a) capitalização mensal da taxa nominal

[ ]

m

j(1 i ) 1kj (1,06) 1 j= (1,06) 1 12 72% a.a.

12

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + ⇒ − × =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) capitalização semestral da taxa nominal

s

6 6

j (1 i ) 12j (1,06) 1 j= (1,06) 1 2 83,70% a.a.2

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + ⇒ − × =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

c) capitalização trimestral da taxa nominal

t

3 3

j(1 i ) 14j(1,06) 1 j= (1,06) 1 4 76, 41% a.a.4

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + ⇒ − × =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

d) capitalização bimestral da taxa nominal

b

2 2

j (1 i ) 16j (1,06) 1 j= (1,06) 1 6 74,16% a.a.6

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + ⇒ − × =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

e) capitalização anual da taxa nominal

56

a

12 12

j (1 i ) 11j (1,06) 1 j= (1,06) 1 1 101, 22% a.a.1

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + ⇒ − × =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

27. Uma pessoa deposita mensalmente $280 em um fundo de investimento que paga juros efetivos de 5% a.m.. No futuro pretende resgatar o investimento por meio de cinco saques semestrais de $14.253,54, o primeiro cinco meses após o último depósito. Quantos depósitos serão necessários? Dados:

( )

n 5%

n 5%n 5%

Montante acumulado até o mês n (mês da última aplicação): S = $280

Montante acumulado até o mês anterior (n-1):

$280 266,67

1,05

O montante acumulado até o mês n

s

ss

×

×= ×

6

n 5%

5 34%

-1 será resgatado por meio de 5 saques semestrais de $14.253,54 cada:

taxa semestral = (1,05) -1 34% a.s. 266,67

R =

$14.253,54

sa

≈×

n 5%n 5%

nn

266,67= 120,82076

2,26041

(1,05) 1 =120,82076 (1,05) 7,041040,05

Log 7,04104Aplicando logaritmos: n = 40 aplicações mensaisLog 1,05

ss

×⇒ =

−⇒ ⇒ =

=

28. Um equipamento cujo valor à vista é $33.000 pode ser pago com uma entrada e 18 prestações mensais de $2.489,91. Sabendo-se que há um período de carência de 3 meses para início do pagamento das prestações, calcular o valor da entrada, considerando-se juros efetivos de 5% a.m.. Resolução:

18 5%3 1

Pelo princípio de equivalência de capitais: valor à vista = valor presente dos pagamentos

$2.489,91 $33.000 = E+

(1,05)$2.489,91 11,68959 E = $33.000 - $

1,10250

a−

×

×⇒ = 6.599,98

29. Um equipamento de $6.000 será pago com uma entrada de 50% e tantas prestações mensais de $880 quantas forem necessárias, mais um pagamento residual inferior ao valor da prestação, que deve ser efetuado um mês após a data do vencimento da última parcela. Considerando-se que a primeira prestação vence três meses após a data da compra e a taxa de juros efetiva cobrada é de 7% a.m., determinar o número de prestações necessárias e o valor do pagamento residual. Dados: P = $6.000, entrada (50%) = $3.000, R = $880, i = 7% a.m., c = 3, n = ?, q = ?

Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada:

57

( )

( )

( )

( )

n 7%c 1 c + n

n 7%3 1 3 + n

n 7%2 3 + n

n 7% 3+n

$880 q$6.000 $3.000(1,07) 1,07

$880 q$6.000 $3.000(1,07) 1,07

$880 q$3.000(1,07) 1,07

q$3.000 $768,631,07

a

a

a

a

−

−

×= + +

×= + +

×= +

= × +

Uma solução direta não existe, dado que temos uma única equação e duas incógnitas, n e q. Ignorando o pagamento final (q), o valor presente das prestações é o seguinte:

3 7%

5 7%

se o número de prestações for igual a três (n =3) $768,63 $2.017,12

se o número de prestações for igual a cinco (n =5) $768,63 $3.151,52

a

a

• ⇒

• ⇒

× =

× =

Conseqüentemente, o número de prestações deve ser inferior a cinco, caso contrário o valor presente das prestações excederia o valor do financiamento efetivo ($3.151,52 > $3.000,00). Igualmente, deve ser maior que três, caso contrário o valor do pagamento final será maior que a prestação. Logo, o financiamento será liquidado em quatro prestações de $880 mais um pagamento final no sétimo mês. O valor desse pagamento final é o seguinte:

( )

( )

( )

n 7% 3+n

3+4

7

q$3.000 $768,631,07

q$3.000 $768,63 3,387211,07

q$3.000 $768,63 3,38721 q $636,671,07

a= × +

= × +

= × + ⇒ =

30. Para liquidar um financiamento, são oferecidas duas formas de pagamento financeiramente equivalentes: na primeira, paga-se 13 prestações mensais de $834 e, na segunda, 16 prestações de $708 mais uma determinada quantia paga no fim do 17º mês. Considerando-se juros efetivos de 7% a.m., calcular o valor da referida quantia. Resolução:

Pelo princípio de equivalência de capitais, os valores presentes dos dois esquemas de pagamento devem ser iguais:

( )( )

13 7% 16 7% 17

1713 7% 16 7%

q$834 $708(1,07)

q = $834 $708 (1,07)

= $834 8,35765 $708 9,44665 3,158815211= $890,96

a a

a a

+

⇒ −

−

× = ×

× × ×

× × ×

31. Uma pessoa tomou um empréstimo de $200.000 contratado a juros efetivos de 2% a.m. para ser liquidado através de dez prestações mensais. Depois de serem pagas cinco prestações, ela resolve tomar $80.000 adicionais, incorporando-se essa nova dívida ao saldo da primitiva em um só negócio. Considerando a mesma taxa de juros, calcular o valor da nova dívida e a sua prestação para liquidação nos cinco meses restantes. Resolução:

58

10 2%

o o

$200.000 $200.000Prestação da dívida inicial = $22.265,318,98259

valor total da dívida no final do 5 mês = valor da nova dívida + valor descontado ao 5 mês das últimas 5 prestações

a= =

5 2%

= $80.000 + $22.265,31×

$80.000 + $22.265,31×4,71346

a

=

5 2%

= $184.946,64Nova prestação:

$184.946,64 $184.946,64 R= $39.237,984,71346a

= =

32. Um carro é vendido por $10.000 à vista, ou com uma entrada de 10% mais um determinado número de prestações mensais de $500. Deve-se pagar, também, além das prestações mensais, três parcelas semestrais de $632,82. A juros efetivos de 2% a.m., determinar o número de prestações mensais necessárias. Resolução:

Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente do fluxo pagamentos:

6

s

n 2% 3 12,6162%

3 3 12,61624193% 3

n 2

taxa semestral: i =(1,02) 1 12,61624193% a.s.

$10.000 $1.000 $500 $632,82

(1,126162) 1onde: 2,376623933(1,126162) 0,12616

$10.000 $1.000 $500

a a

a

a

− =

= + × + ×

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

= + × %

n 2%

nn

n 2% n

$632,82 2,376623933

9.000 $632,82 2,376623933 14,99204969500

(1,02) -1 14,99204969 (1,02) 1,428247(1,02) ×0,02

log (1,428247) 0,3Aplicando logaritmos: nlog (1,02)

a

a

+ ×

− ×⇒ = =

⎡ ⎤⇒ = = ⇒ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

= =56447818 18 prestações mensais

0,019802627=

33) Um mutuário deverá fazer um empréstimo pagando 25 prestações mensais de $20.000. Querendo abreviar em um ano o prazo de pagamento, ele propõe efetuar um pagamento extraordinário juntamente com a sexta prestação. Considerando-se juros efetivos de 1% a.m., determinar o valor desse pagamento. Resolução:

59

o o

o o

12 1% 12 1%7prazo entre o 13 e o 6 mês

Pagamento extraordinário no 6 mês valor descontado ao 6 mês das 12 últimas prestações$20.000 $20.000 $20.000 11,25507747= = = =$20

1,072135352(1,01)(1,01)

a a=

× × ×

12

12 1% 12

9.956,28

(1,01) -1onde: 11,25507747 (1,01) ×0,01

a⎡ ⎤

= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

34. Uma pessoa compra um apartamento de $150.000 nas seguintes condições: entrada de $50.000 mais um determinado número de prestações mensais de $1.338,99, com um ano de carência para o início dos pagamentos. Considerando-se uma taxa de juros efetiva contratada de 1% a.m., calcular o número de prestações. Resolução:

Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente do fluxo pagamentos:

11n 1%

n 1%11

nn

n 1% n

$1.338,99 100.000 (1,01)$150.000 $50.000 83,3210117$1.338,99(1,01)

(1,01) -1 83,3210117 (1,01) 5,99580(1,01) ×0,01

log (5,99580) Aplicando logaritmos: nlog

aa

a

× ×= + ⇒ = =

⎡ ⎤= = ⇒ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

= 180 prestações mensais(1,01)

=

As prestações são antecipadas. Seu pagamento ocorre logo ao término da carência. 35. Um bem será pago em quatro prestações trimestrais de $135.000. Para suavizar os pagamentos, o comprador pediu a modificação do prazo para 15 prestações mensais. Considerando-se uma taxa de juros efetiva cobrada de 7% a.m., calcular o valor das prestações mensais. Resolução:

3ttaxa trimestral: i (1,07) 1 22,5043% a.t.= − =

Pelo princípio de equivalência de capitais, os valores presentes das duas formas de pagamento devem seriguais:

4 22,5043% 4 22,5043% 15 7%

15 7%

$135.000 $135.000 2, 470586$135.000 R R= $36.619,709,107914

aa a

a

× ×× = × ⇒ = =

4

4 22,5043% 4

12

12 7% 12

onde:

(1, 225043) 1 2, 470586(1, 225043) 0, 225043

(1,07) 1 7,942686(1,07) 0,07

a

a

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤−

= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

36. Uma máquina é vendida em 18 prestações mensais postecipadas. As prestações de ordem ímpar são de $2.000, e as de ordem par são de $2.800. Considerando-se juros efetivos de 3% a.m., calcular o valor do financiamento.

60

Resolução:

Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente do fluxo pagamentos:

( )( )

2b

9 6,09% 9 6,09%

9

9 7% 9

taxa bimestral: i (1,03) 1 6,09% a.b.

P $2.800 $2.000 1,03

$2.800 6,775130 $2.000 6,775130 1,03 $32.927,13onde:

(1,0629) 1 6,775130(1,0629) 0,0629

a a

a

= − =

= × + × ×

= × + × × =

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

As prestações são antecipadas. Seu pagamento ocorre logo ao término da carência. 37. Por um financiamento, pagam-se cinco prestações mensais de $1.500, a primeira depois do término de um período de carência de cinco meses. Um mês após o pagamento da última prestação, inicia-se o pagamento de mais quatro parcelas mensais de $1.000. Considerando-se juros efetivos de 7% a.m., calcular o valor do financiamento. Resolução:

Pelo princípio de equivalência de capitais, o financiamento será igual ao valor presente do fluxo de pagamentos:

5 7% 4 7%4 9

5 4 5 7% 4 7%5 4

$1.500 $1.000 $1.500 4,100197 $1.000 3,38721P $6.534, 451,3107960 1,8384592(1,07) (1,07)

onde:

(1,07) 1 (1,07) 14,100197(1,07) 0,07 (1,07) 0,07

a a

a a

× × × ×= + = + =

⎡ ⎤ ⎡− −= = =⎢ ⎥ ⎢

× ×⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣3,38721

⎤=⎥

⎥⎦

38. Um funcionário, prevendo sua aposentadoria, resolveu efetuar nos próximos dois anos depósitos mensais iguais em um fundo de pecúlio. A totalidade do capital acumulado será resgatada por meio de 10 saques semestrais de $80.000 cada, o primeiro dois anos após o último depósito. Considerando-se um rendimento efetivo do fundo de 4% a.m., determinar o valor dos depósitos mensais. Resolução:

( )

24 4%

18

6s

valor acumulado na data do último depósito = R =R 39,08260

valor acumulado até 6 meses antes do primeiro saque = R 39,08260 (1,04) 79,17418 R

taxa semestral: i (1,04) 1 26,5319% a.s.

o

s• × ×

• ×

• = − =

• valor de cada um dos 10 saques semestrais de $80.000 é calculado com base valor acumulado até 6 meses antes do primeiro saque :

valor acumulado até 6 meses antes valor de cada saque semestral =

× = ×

10 26,5319%

do primeiro saque

79,17418 R $80.000 = R $3.446,343,41076

a

×⇒ =

39. Um capitalista comprou um prédio de apartamentos pagando $825.000 de entrada e prometendo pagar durante cinco anos prestações trimestrais de $180.000 cada. Considerando-se a taxa de juros efetiva aplicada de 4,5% ao trimestre, pede-se: a) calcular o valor à vista do prédio; b) determinar de quanto deverá ser o pagamento a ser feito no vencimento da 13a. prestação para ficar em dia, caso deixe de efetuar os 12 primeiros pagamentos; c) determinar quanto o cliente deverá pagar depois de 61

realizar oito pagamentos, caso deseje liquidar a dívida com um único pagamento por ocasião do vencimento da 9a prestação; d) determinar quanto o cliente deverá pagar no vencimento da 11a. prestação de modo que liquide a dívida, caso deixe de pagar as dez primeiras prestações. Resolução: a) valor à vista do prédio:

Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor à vista é igual ao valor presente do fluxo de pagamentos:

20 4,5%valor à vista=$825.000 $180.000 $825.000 $180.000 13,00794 $3.166.428,56a+ × = + × =

b) o pagamento a ser feito no vencimento da 13a.prestação, caso não sejam feitos os 12 primeiros pagamentos:

13 4,5%pagamento = 180.000 180.000 17,15991 $3.088.784,39s× = × =

c) pagamento único a ser feito por ocasião do vencimento normal da 9a prestação após pagamento das primeiras oito prestações para liquidar a dívida:

a

11 4,5%

pagamento = 9 prestação + valor descontado das 11 restantes prestações =$180.000 + $180.000 $180.000 +$180.000 8,52892 $1.715.205,05a× = × =

d) pagamento a ser feito por ocasião do vencimento normal da 11a. prestação de modo a liquidar a dívida, caso deixem de ser pagas as primeiras dez prestações:

( )

o

o

10 4,5%

pagamento = valor capitalizado no 11 mês das 10 primeras prestações

+ valor descontado no 11 mês das 10 restantes prestações

= $180.000 s×

( )9 4,5%(1,045) + ( $180.000 + $180.000 )

= $180.000 12,28821 (1,045) +( $180.000 + $180.000 7,26879) =$3.799.794,47

a× ×

× × ×

40. Um financiamento será pago em um determinado número de prestações mensais. Sabe-se que a razão entre o montante das prestações e o valor do financiamento é de 3,1721682. A juros efetivos de 8% a.m., determinar o número de prestações. Resolução:

( )

( )( )

( )

n

nn

n

1,08 -1R

0,08S montante das prestações 3,1721682 1,08 3,1721682 P valor do financiamento 1,08 -1

R1,08 0,08

log (3,1721682) Aplicando logaritmos: n 15 prestaçõeslog (1,08)

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦= = = ⇒ =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

= =

41. Um bem cujo valor à vista é $5.000 será pago com uma entrada de 20%, 18 prestações mensais de $310 mais uma quantia de $905,44 paga junto com a última prestação. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. Dados: P = $5.000, entrada (20%) = $1.000, R = $310, n = 18, q = $905,44 , i = ?

Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada:

62

( )18 i% 18$905,44$5.000 $1.000 $310

1+ia= + × +

18 i% 18

O valor presente líquido (VPL) do fluxo:$905,44 VPL=$4.000 - $310 - (1 i)

a×+

O cálculo manual da taxa de juros requer calcular VPLs para diversas taxas até provocar a mudança no sinal do VPL que permita realizar uma interpolação linear. Taxa aproximada:

(i) VPL ( )179,58i=4,5%+ 5,5% 4,5% 5% a.m. (aproximadamente)

179,58 ( 168,32⎛ ⎞−

× − =⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

4,5% -$179,58 5,5% +$168,32

A interpolação foi realizada entre as taxas de 1,5% e 2%, pois entre essas duas taxas o VPL muda de sinal, o que permite efetuar a interpolação.

42. Um automóvel cujo valor à vista é $20.000 será pago com uma entrada de 10%, 24 prestações mensais de $800 e quatro parcelas semestrais iguais. A juros efetivos de 3% a.m., calcular o valor das parcelas semestrais. Dados: P = $20.000, entrada (10%) = $2.000, n = 24 mensais, n = 4 semestrais, i = 3% a.m., R = ?

Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada:

6s

24 3% 4 19,41%

taxa semestral: i (1,03) 1 19, 41% a.s.

$20.000 $2.000 $800 R

$20.000 $2.000 $800 16,93554 R 2,61795 R=1.700,24

a a

= − =

= + × + ×

= + × + × ⇒

43. Um bem cujo valor à vista é de $8.000 será pago com uma entrada de 25%, nove prestações mensais iguais e um pagamento final de $400 um mês após a última prestação. Considerando-se que será concedida uma carência de três meses para início do pagamento das prestações, calcular o valor dessas prestações a juros efetivos de 3% a.m. Dados: P = $8.000, entrada (25%) = $2.000, q = $400, c = 3, i = 3% a.m., R = ?

Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada:

( )

( )

9 3%2 12

2

2

R $400$8.000 $2.000(1,03) 1,03

R 7,786109 (1,03)$6.000 280,55 R= $6.000 280,55 =779,317,786109(1,03)

a×= + +

⎛ ⎞×= + ⇒ − ×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

As prestações são antecipadas. Seu pagamento ocorre logo ao término da carência. 44. Um veículo cujo valor à vista é de $10.000 será pago com uma entrada de 20%. O saldo será pago em um determinado número de prestações mensais de $530 mais uma quantia residual inferior a 20% do valor da prestação mensal, paga um mês depois da última prestação. Considerando-se juros efetivos de 2% a.m., determinar o número de prestações e o valor da quantia residual. Dados: P = $10.000, entrada (20%) = $2.000, R = $530, i = 2% a.m., n = ?, q = ?

Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada:

63

( )n 2% n 1

q$10.000 $2.000 $5301,02

a+

= + × +

Uma solução direta não existe, dado que temos uma única equação e duas incógnitas, n e q. Ignorando o pagamento final (q), o valor presente das prestações é o seguinte:

18 2%

19 2%

se o número de prestações for igual a 18: $2.000 $530 $2.000 $530 14,992031 $9.945,78

se o número de prestações for igual a 19: $2.000+$530 $2.000 $530 15,678462 $10

a

a

+ × = + × =

× = + × = .309,58

Conseqüentemente, o número de prestações deve ser inferior a 19, caso contrário o valor presente das prestações excederia o valor à vista ($10.309,58 > $10.000). Logo, o financiamento será liquidado em 18 prestações de $530 cada, mais um pagamento final no décimo nono mês. O valor desse pagamento final é o seguinte:

( )

( )( ) ( )

( )

18 2% 19

1918 2% 18 2%19

q$10.000 $2.000 $5301,02

q$8.000 $530 q $8.000 $530 1,021,02

q $8.000 $530 14,992031 1,456811 $

a

a a

− = × +

= × + ⇒ = − × ×

= − × × = 78,99

45. Uma pessoa pretende depositar mensalmente uma determinada quantia fixa durante 17 meses a juros efetivos de 3% a.m.. Considerando-se que o primeiro depósito ocorrerá daqui a 30 dias e que o investidor deseja que os juros ganhos no período totalizem $1.428,48, determinar o valor do depósito mensal. Dados: n =17, i = 3% a.m., juros, ganhos = $1.428,48, R =?

17 3%17 3%

juros ganhos = montante acumulado - aplicação total$1.428,48 $1.428,48 $1.428,48 = R× - R 36 R= $300

17 21,761588 17s

s× ⇒ = =

− −

%46. Um equipamento que custa $15.000 será pago em oito prestações mensais. As três primeiras de $2.000, as três seguintes de $800, a sétima de $3.000 e a oitava de $5.000. Determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. Resolução:

3 i% + + +3 i% 3 7 8

O valor presente das oito prestações deve ser igual ao valor à vista:$800 $3.000 $5.000 $15.000 $2.000

(1 i) (1 i) (1 i)

O valor presente líquido (VPL) do fluxo:

V

aa

×= ×

+ + +

3 i% 3 i% 3 7

$800 $3.000 $5.000PL=$15.000 - $2.000 - - - (1 i) (1 i) (1 i)

aa

××

+ + 8+

O cálculo manual da taxa de juros requer calcular VPLs para diversas taxas até provocar a mudança no sinal do VPL que permita realizar uma interpolação linear.

64

Taxa aproximada: (i) VPL

( )194,03i=1,5%+ 2% 1,5% 1,76% a.m. (aproximadamente)194,03 ( 179,06)

⎛ ⎞−× − ≈⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

1,5% -$194,03 2% +$179,06

A interpolação foi realizada entre as taxas de 1,5% e 2%, pois entre essas duas taxas o VPL muda de sinal, o que permite efetuar a interpolação. 47. Um financiamento será pago em 15 prestações mensais consecutivas, com início logo ao término de um período de carência de seis meses. As primeiras cinco prestações serão de $12.000, as cinco seguintes de $14.000 e as cinco últimas de $17.000. Considerando-se que esse esquema de pagamentos seja trocado por outro em que o mutuário pague 15 prestações mensais iguais, também iniciando logo após um período de carência de seis meses, calcular o valor unitário dessas prestações, tendo em conta que a taxa de juros de 3% a.m. será a mesma para qualquer plano de pagamento. Resolução:

5 3% 5 3% 5 3% + +5 10 14

+ +5 10

Valor presente das 15 prestações:$12.000 $14.000 $17.000

P(1,03) (1,03) (1,03)

$12.000 4,579707 $14.000 4,579707 $17.000 4,57970 P(1,03) (1,03)

a a a× × ×=

× × ×=

15

+ +

c-1 6-1 5

15 3% 15 3% 15 3%

7 $146.585,54(1,03)

P $47.405,95 $47.708, 25 $49.972,18 $145.086,38

Valor de cada prestação uniforme:

P(1+i) $145.086,38 (1,03) $145.086,38 (1,03) $16 R=a a a

=

= =

× ×= = =

8.194,87 $14.089,1111,93794

=

As prestações são antecipadas. Seu pagamento ocorre logo ao término da carência. 48. Uma pessoa deseja comprar um automóvel de $15.000 daqui a três anos. Para tanto, hoje ela começou a fazer aplicações mensais iguais em um banco que paga uma taxa efetiva de 2% a.m. Qual deve ser o valor da aplicação mensal, de modo que o investidor possa comprar o veículo com o montante acumulado na data da última aplicação? Dados: S = 15.000, n = 36, i = 2% a.m, R = ?

36(1,02) 1 $15.000 S = R $15.000=R 51,994367 R= =$288,490,02 51,994367

⎡ ⎤−× ⇒ × ⇒⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

49. Um empréstimo tomado hoje será reembolsado em doze prestações mensais de $2.443,80 cada, a primeira para 30 dias. Considerando-se que os juros a serem pagos durante o período totalizam $5.000, determinar a taxa de juros efetiva mensal contratada. Dados: juros pagos = $5.000, n =12, R = $2.443,80, i = ?

12 i% 12 i%

valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos 12 $2.443,80 $2.443,80 +$5.000 9,95401a a×

= +× = ⇒ =

O fator 12 i% 9,95401a = pode ser aproximado por meio de uma interpolação linear, de modo a

estimar a incógnita i.

• Interpolação linear

65

Embora o fator 20 i%a seja uma função exponencial, podemos admitir que em intervalos pequenos seu

comportamento seja linear. Podemos começar calculando o fator 12 i%a para diversos valores de taxas

de juros e, a seguir, efetuar a interpolação linear :

Taxa de juros aproximada: i% ( )

( )

12

12

1 i 1

1 i i

+ −

+ × ( )9, 45401 9,66333i 3,5% 3,5% 2,5% 3% a.m.

10,25777 9,66333⎡ − ⎤

= − × − ≈⎢ ⎥−⎣ ⎦

2,5% 10,25777 3,5% 9,66333

• Aplicando a fórmula de Baily-Lenzi

Financiamento efetivo = 12×$2.443,80 -$5.000 =$24.325,60

( )( ) a.m. %3

0291762,0112120291762,011120291762,0

h1-n2-12h1-n12h=i

0291762,0124.325,60

80,443.2121efetivo ntoFinanciame

Rn =h 1+12

21+n

2

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××−

×−×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

50. Que taxa de juros efetiva anual transforma 36 prestações mensais de $100 em 12 prestações trimestrais de $309,09 cada? Resolução:

36 i % 12 i %m t

36 i %m

12 i %t

Fazendo a equivalência entre os valores presentes dos dois fluxos de prestações: $100 $309,09

$309,09= 3,090$100

a a

a

a

× = ×

=

( )( )( )( )

36m

36m m

12t

12t t

1+i 1

1+i i9 3,0909

1+i 1

1+i i

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦⇒ =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

1/12 1/ 4a m a

or equivalências entre taxas de juros efetivas temos que:

1+i = 1+i e 1+i = 1+i .t

3a

3 1/12a a

3a

3 1/4a a

P

essas equivalências:

1+i 1

1+i 1+i -1

1+i 1

1+i 1+i -1

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎢

⎢×⎢⎣ ⎦

Substituindo

( )( )( )( )

1/4a

a1/12a

1+i -13,0909 =3,0909 i =0,4258 = 42,48% a.a.

1+i -1= ⇒ ⇒

⎥⎥⎥

51. Um cliente comprou uma motocicleta em 24 prestações mensais de $210, mas propõs sua substituição para 12 prestações bimestrais. Qual será o valor dessas novas prestações, considerando-se uma taxa de juros de 2% a.m.? Resolução:

66

( )( )

2 2b m

24

24 2% 24

Taxa de juros bimestral

i (1 i ) 1 (1, 02) 1 4, 04% a.b.

Valor presente das 24 parcelas mensais de $210 cada:

1,02 1 P=$210 P $210

1,02 0,a

= + − = − =

−× ⇒ = ×

×

( )( )

12

12

$210 18, 913926 $3.971, 9202

Valor das 12 parcelas bimestrais equivalentes:

$3.971, 92 $3.971, 92 R $424, 209, 363331,0404 1

1,0404 0,0404

⎡ ⎤⎢ ⎥ = × =⎢ ⎥⎣ ⎦

= = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

52. Um empréstimo de $20.000, contratado a juros efetivos de 2% ao mês, será reembolsado em dois anos por meio de pagamentos a cada 90 dias. Considerando-se que durante o primeiro ano devem ser amortizados 40% do empréstimo e o restante no segundo, calcular o valor do pagamento trimestral a ser efetuado em cada ano, tendo em conta que há incidência de juros sobre os saldos pendentes não amortizados Dados: P = $20.000, i = 2 % a.m., n = 8 trimestres, R = ?

( )

3 3t m

4 6,1208% 4

Taxa de juros trimestral:

i (1 i ) 1 (1,02) 1 6,1208 a.t.

Valor do pagamento trimestral durante o primeiro ano:

$8.000 0,4 $20.000 R R1,061208 1

1,06120

a

= + − = − =

× = × ⇒ =−

( )

( )( )

4

4 4 6,1208% 4

4

$8.000 $2.315,123, 455542

8 0,061208

Valor do pagamento trimestral durante o segundo ano:

$15.218,90 $15 $12.000 (1.061208) R R1,061208 1

1,061208 0,061208

a

= =⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

× = × ⇒ = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

.218,90 4.404, 203,455542

Sobre o saldo não amortizado no primeiro ano incidem juros durante 4 trimestres, resultando em um saldo devedor de $15.218,90 ao término do primeiro ano. As prestações do se

=

gundo ano são calculadas sobre esse valor.

53. Uma empresa tomou um empréstimo de $10.000 contratado a juros efetivos de 2% ao mês para ser reembolsado em 16 pagamentos trimestrais iguais. Imediatamente após efetuar o décimo pagamento, a empresa decide liquidar o resto da dívida. Qual o importe a ser pago? Dados: P = $10.000, i =2 % a.m., n = 16 trimestres, saldo no 10o treimestre = ?

67

( )( )

3 3t m

16 6,1208% n

Taxa de juros trimestral:

i (1 i ) 1 (1, 02) 1 6,1208 a.t.

Valor do pagamento trimestral:

$10.000 P R R $997, 75 1,061208 1

1,061208 0,061208

Valor par

a

= + − = − =

= × ⇒ = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ × ⎥⎣ ⎦

( )( )

6

= =6 6,1208% 6

a pagamento à vista (no final do décimo mês) das últimas seis parcelas trimestrais:

1,061208 1 P R $997, 75 $997, 75 4,898716 $4.887, 68

1,061208 0,061208a

⎡ ⎤−⎢ ⎥= × × = × =⎢ ⎥×⎣ ⎦

54. Uma pessoa pode comprar um carro à vista por $17.000 ou a crédito pagando 20 prestações trimestrais postecipadas de $3.000 cada. Considerando-se que a pessoa pode aplicar seus recursos ganhando uma taxa efetiva de 5% a.m., qual é a melhor alternativa? Dados: P = $17.000, n = 20 meses, R = $3.000, i = ?, P = ?

20 10%

20 i% 20 i%

P = R

$17.000 $3.000 5,66667

a

a a

×

= × ⇒ =

O fator 20 i% 5, 66667a = pode ser aproximado por meio de uma interpolação linear, de modo a

estimar a incógnita i.

• Interpolação linear Embora o fator 20 i%a seja uma função exponencial, podemos admitir que em intervalos pequenos seu

comportamento seja linear. Podemos começar calculando o fator 20 i%a para diversos valores de taxas

de juros e, a seguir, efetuar a interpolação linear :

Taxa de juros aproximada: i% ( )

( )

20

20

1 i 1

1 i i

+ −

+ × ( )5, 66667 5, 62777i 17% 17% 16% 16,87% a.t.

5, 92884 5, 62777⎡ − ⎤

= − × − =⎢ ⎥−⎣ ⎦

16% 5,92884 17% 5,62777

• Aplicando a fórmula de Baily-Lenzi

( )( ) a.t. %87,16

11029944,01921211029944,0191211029944,0

h1-n2-12h1-n12h=i

11029944,0120.000

000.3201efetivo ntoFinanciame

Rn =h 1+20

21+n

2

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××−

×−×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Taxa efetiva ao mês:

68

( )1/3m m(1 i ) 1,1687 i =5,33% a.m.

pelo fato desta taxa efetiva ser superior à taxa ganha nas aplicações financeiras (5% a.m.), então será melhor compra à vista.

+ = ⇒

⇒

55. Com o objetivo de retirar $778,26 a cada 30 dias, foram aplicados $10.000 em um investimento que rende uma taxa efetiva de 2% a.m.. Considerando-se o primeiro saque ocorrerá daqui a um mês, quantos saques poderão ser feitos? Dados: P = $10.000, i = 2% a.m., R = $778,26, n = ?

( )( )

nn n 5% n

O valor da aplicação inicial deverá ser igual ao valor presente das retiradas mensais:

1,02 1 P R $10.000 $778,26 (1,02) 1, 345865

1,02 0,02

Aplicand

a⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥×⎣ ⎦

log (1, 345865) o logaritmos: n 15 saques mensais log (1,02)

= =

56. Um equipamento cujo valor à vista é $8.000 é comprado em 02 de maio, pagando-se uma entrada de $4.000 e prestações de $923,90 a cada 30 dias. Quantas prestações serão necessárias para liquidar totalmente o financiamento? Em que data será paga a última? Considere que o banco financiador cobra uma taxa de juros efetiva de 5% a.m. Utilize a tábua do Capítulo 1. Dados: P = $8.000, i =5% a.m., E = $4.000, R = $923,90, n = ?, data = ?

( )( )

n

n 5% n

O valor à vista deverá ser igual ao valor da entrada mais o valor presente das n parcelas mensais:

1,05 1 P E + R $8.000 $4.000 + $923,90

1,05 0,05a

⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = ×⎢ ⎥×⎣ ⎦

n (1,05) 1,276281

log (1,276281) Aplicando logaritmos: n 5 prestações pagas a cada 30 diaslog (1,05)

⇒ =

= =

Para determinar a data de vencimento da última prestação, podemos usar a tábua para contagem de dias entre duas datas do ano civil (Seção 12 do Capítulo 1): Tábua para contagem de dias entre duas datas

JAN. FEV. MAR ABR.

MAI. JUN. JUL. AGO SET. OUT. NOV DEZ.

1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 3352 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 3363 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 3374 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 3385 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 3396 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 3407 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 3418 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 3429 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 34411 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 34512 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 34613 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 34714 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 34815 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 34916 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 35017 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 35118 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 35219 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 35320 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 35421 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 35522 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 35623 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 35724 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 35825 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 35926 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 36027 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 36128 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 36229 88 119 149 180 210 241 272 302 333 36330 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364

69

31 90 151 212 243 304 365 Como as parcelas são pagas a cada 30 dias, a quinta será paga no 150º dia. O procedimento consiste em subtrair, do número de dias correspondente à data posterior, o número que corresponde à data anterior:

número de dias da data posterior (?) = +n número de dias da data anterior (02 de maio) = −122 prazo: 150 dias Logo: n – 122 = 150 → n = 272, que na tábua corresponde ao dia 29 de setembro.

57. Um empréstimo contratado à taxa efetiva de 4% am. foi liquidado em 12 prestações mensais postecipadas. de $500 cada. Quanto foi pago de juros no período? Dados: i = 4% a.m., , n = 12, R = $500, juros pagos = ?

( )( )12

valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos

1, 04 1 12 $500 $500 J

1, 04 0,04

−×

×

= +

⎡ ⎤⎢ ⎥× = +⎢ ⎥⎣ ⎦

12

12 $500 $500 9, 385074 J J= $1.307,46 ×× = + ⇒ 58. Um empréstimo contratado a juros efetivos de 3% am. foi liquidado em 20 prestações mensais postecipadas. Considerando-se que os juros pagos no período totalizaram $1.024,51, determinar o valor das prestações. Dados: i = 3% a.m., , juros pagos = $1.024,51, n = 20, R = ?

( )( )20

valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos

1, 03 1 20 R R $1.024,51

1, 03 0,03

−×

×

= +

⎡ ⎤⎢ ⎥× = +⎢ ⎥⎣ ⎦

20

20 R R 14,877475 $1.024,51 20 R - R 14,877475 $1.024,51

5,122525 R $1.024,51

×

×

× = +× =

× = ⇒$1.024,51R $200 5,122525

= =

59. Um bem pode ser financiado a juros efetivos de 2% a.m. e pago por meio de uma entrada de 20% mais doze parcelas mensais de $55,2969 cada, a primeira para 30 dias. Calcular o valor à vista. Dados: R = $55,2969, i = 2% a.m., n = 12, P = ?

12 2%

O valor à vista deverá ser igual ao valor da entrada mais o valor presente das 12 parcelas mensais: P 0, 20×P $55,2969

0,8 P $5

a= + ×

=( )

( )

12

12

1,02 15,2969

1,02 0,023

$55,2969 10, 575341 0,8 P $55,2969 10, 575341 P= =$730,980,8

⎡ ⎤−⎢ ⎥×⎢ ⎥×⎣ ⎦

×= × ⇒

60. Desejando dispor de $10.000 dentro de doze meses, uma pessoa começou hoje a aplicar mensalmente uma determinada quantia constante a juros efetivos de 2% a.m.. Qual o valor de cada aplicação de modo que ela consiga acumular o capital na data do último depósito? Dados: S = $10.000, i = 2% a.m., n = 12, R = ?

70

( )12

n i%

Para obter um capital de $10.000 na data da última aplicação, o depósito mensal será:

1,02 1 $10.000 S R $10.000 R R $745,600,02 13,412090

S⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ = =⎢ ⎥⎣ ⎦

61. Quantos depósitos trimestrais de $300 são necessários para se acumular um montante de $3.000 a uma taxa efetiva de 3% a.t.? Dados: S = $3.000, i = 3% a.t., R = $300, n = ?

( )nn n i%

1,03 1 S R $3.000 $300 (1,03) 1, 3

0,03

log (1, 3) Aplicando logaritmos: n 8,88 depósitos trimestraislog (1,03)

Devem ser efetuados 8 depósitos trimestrais

S⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦

= =

o

o

de $300 mais um último de $252,27 no 9 trimestre.

O capital acumulado no 9 trimestre pelos 8 depósitos trimestrais mais o último depósito residual deve ser igual a $3.000:

( )81,03 1

$3.000 $300 (1,03) q 0,03

$3.000 $300 8,892336 1, 03 q q $252,27

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟= × × +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦= × × + ⇒ =

62. A juros efetivos de 1% a.m., quantos depósitos mensais de $150 cada serão necessários para acumular um capital de $2.000 até a data do último depósito? Dados: S = $2.000, i = 1% a.m., R = $150, n = ?

( )nn n i%

1,01 1 S R $2.000 $150 (1,01) 1,133333

0,01

log (1,133333) Aplicando logaritmos: n 12, 58 depósitos mensais

log (1,01)

Devem ser efetuados 12 depósitos mens

S⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦

= =

o

o

ais de $150 mais um último de $78,60 no 13 mês.

O capital acumulado no 13 mês pelos 12 depósitos mensais mais o último depósito residual deve ser igual a $2.000:

$2.000 =( )121,01 1

$150 (1,01) q 0,01

$2.000 $150 12, 682503 1, 01 q q $78,60

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟× × +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦= × × + ⇒ =

63. Para poder sacar $500/mês, uma pessoa aplicou hoje $12.000 à taxa efetiva de 3% a.m.. Quantos saques mensais poderão ser efetuados se o primeiro ocorrer um mês depois da aplicação inicial? Dados: P = $12.000, i = 3% a.m., R = $500, n = ?

71

( )( )

nn n 5% n

1,03 1 P R $12.000 $500 (1,03) 3, 571420

1,03 0,03

log(3, 571420) Aplicando logaritmos: n 43, 0655536log(1,03)

Podem ser efetuados 43 saques mensais de $5

a⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥×⎣ ⎦

= =

( )( )

o

43

43 44

00 e um último de $33,22 no 44 mês:

1,03 1 q $12.000 $500

(1,03)1,03 0,03

q $12.000 $500 23, 981902 q $33,223, 671452

⎡ ⎤−⎢ ⎥= × +⎢ ⎥×⎣ ⎦

= × + ⇒ =

64. Uma pessoa deve pagar 22 parcelas trimestrais postecipadas de $350 cada. Considerando-se que no vencimento da 15a parcela ela decide liquidar a dívida, qual o valor a ser pago, sabendo-se que a taxa efetiva aplicada foi de 9% a.t.? Dados: i = 9% a.t., n = 22, R = $350, saldo a pagar na data da 15a parcela = ?

( )( )

a

7

7 9% 7

Na data da 15 parcela deve pagar a própria parcela desse mês, mais o valor descontado das restantes sete parcelas:

1,09 1 Valor a pagar = R + R $350 $350

1,09 0,09a

⎡ ⎤−⎢ ⎥× = + ×⎢ ×⎣ ⎦

$2.111,53=⎥

65. À taxa efetiva é de 2% a.m., substituir quatro prestações mensais postecipadas de $500 por nove prestações equivalentes antecipadas. Dados: i = 2% a.m., n = 4, R = ? a) valor presente das prestações postecipadas:

( )( )

4

n i% 4

1,02 1P=R $500 $1.903,86

1,02 0,02a

⎡ ⎤−⎢ ⎥× = × =⎢ ⎥×⎣ ⎦

b) prestação antecipada: Como a primeira prestação é paga no ato, temos:

( ) ( )

n-1 i%

9-1 2%8 2%

P R + R

$1.903,86 $1.903,86$1.903,86 R + R R =$228,681 7,355481

a

aa

×

× ⇒

=

= = =++

66. Um financiamento contratado à taxa efetiva de 10% a.m. foi quitado em cinco prestações mensais postecipadas. Considerando-se que os juros pagos no período totalizaram $3.189,87, calcular o valor das prestações mensais.. Dados: i = 10% a.m., juros pagos = $3.189,87, n = 5, R = ?

72

( )( )

5

5

valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos

1,10 1 5 R R $3.189,87

1,10 0,10

××

= +

⎡ ⎤−⎢ ⎥× = +⎢ ⎥⎣ ⎦

5 R R 3,79079 $3.189,87 5 R R 3,79079 $3.189,87 1,20921R $3.189,87

×

×

× = +× − =

=$3.189,87 R $2.637,971,20921

= =

67. Um financiamento a juros efetivos de 2% a.m. foi quitado em um determinado número de prestações mensais postecipadas de $4.243,17 cada. Considerando-se que os juros pagos no período totalizaram $1.215,84, determinar o número de prestações contratadas. Dados: i = 2% a.m., R = $4.243,17, juros pagos = $1.215,84, n = ? valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos n R P $1.215,84

= +× = +

( )( )

( ) ( )

n

n n

n1,02 1 n $4.243,17 $4.243,17 $1.215,84

1,02 0,02

50,28654 1,02 n 1,02 =50 P

−

××

⎡ ⎤−⎢ ⎥× = +⎢ ⎥⎣ ⎦

⇒ × ×

or aproximações: n 5 prestações⇒ ≈

68. Uma pessoa aplicou mensalmente $1.000 durante 36 meses em um fundo de renda fixa. Sabendo-se que na data da última aplicação o extrato do fundo mostrou que foram obtidos ao todo $15.994,37 de juros, calcular a taxa efetiva mensal ganha. Dados: n = 36, R = $1.000, juros ganhos = $15.994,37, i = ?

36 i% 36 i%

juros ganhos = montante acumulado - aplicação total $15.994,37=$1.000 - $1.000 36 51,99437s s× × ⇒ =

• Interpolação linear para aproximar a taxa de juros:

S18 i%

S36 2,,5% = 57,30141

S36 i%= 51,99437

S36 1,5% =47,27597

1,5% i% 2,5% taxa de juros %

Observando o digrama anterior, podemos estabelecer a seguinte proporcionalidade de triângulos e, a seguir, destacar a taxa i:

57,30141 47,27597 51,99437 47,27597 i 2% a.m.2,5 1,5 i 1,5

− −= ⇒

− −≈

Pelo método de Baily-Lenzi: Montante = $15.994,37 + $36.000 = $51.994,37

73

( )

( )( )

( ) a.m. 2%021228850,01+362+12

021228850,01+3612021228850,0h1+n2+12

h1+n12h=i

021228850,011.000 36

51.994,371R n

Sh1-36

21-n

2

≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡××

×+×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡××

×+×

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×=

CAPÍTULO 6 Exercícios Propostos

1. Qual a quantia a ser aplicada hoje num investimento que rende juros efetivos de 10% a.m., de modo que possamos efetuar futuramente oito saques mensais? O primeiro saque, de $36.000, será feito daqui a dois meses, formando com os outros sete saques uma série em progressão aritmética crescente.

( )( )

o

n

n

Dados: G $36.000; n (mês do último saque) 9 mês; i 10% a.m.; P ?

Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente postecipada:

1 i 1G P -n ii 1 i

= = =

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥=⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ ( )

=

[ ]

n i%n

9 10%9

G s ni 1 i

$36.000 s 9 $152.675,14 13,57948 9 $699.172, 290,10 (1,10)

⎡ ⎤= −⎣ ⎦+

⎡ ⎤= × − = × − =⎣ ⎦×

2. Uma pessoa deve pagar 13 prestações mensais. A primeira prestação, de $8.310, deve ser paga em dois meses, formando com as restantes uma progressão aritmética crescente. A pessoa propõe pagar a dívida por meio de cinco prestações mensais iguais, a primeira iniciando em um mês. Considerando-se juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor dessas prestações.

( )( )

o

n

n

Dados: G $8.310; n (mês da última prestação) 14 mês; i 5% a.m. R ?

Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente postecipada:

1 i 1G G P -n ii 1 i i 1

= = =

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= =⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ ( )

=

[ ]

n i%n

14 5%14

s ni

$8.310 s 14 $83.942,29 19,598638 14 $469.962,010,05 (1,05)

⎡ ⎤−⎣ ⎦+

⎡ ⎤= × − = × − =⎣ ⎦×

( )( )

55 5%

5

Valor da prestação uniforme equivalente paga daqui a um mês:

P $469.962,01 $469.962,01 R $108.549,384,329481,05 1

1,05 0,05

a= = = =

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

3. Uma pequena empresa projeta, para os próximos 24 meses, desembolsos mensais com a sua folha de pagamento. O primeiro desembolso, de $480, deve ocorrer em um mês, e os restantes de forma consecutiva, formando uma progressão aritmética decrescente em que cada desembolso decresce em $20 com relação ao do mês anterior. O Gerente da empresa pretende aplicar hoje uma determinada

74

quantia em um investimento que rende juros efetivos de 5% a.m., de modo que possa efetuar nos próximos 24 meses saques mensais que permitam pagar a folha. Qual o valor o dessa aplicação?

( )( )

o

nn

n

Dados: G $20; n (mês da última prestação) 24 mês; i 5% a.m. P ?

Valor presente de uma série em progressão aritmética decrescente:

1 i 1G G P n (1 i) - ii 1 i i 1

= = = =

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= × + =⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ ( )

[ ]

nn i%n

2424 5%24

n (1 i) -si

$20 24 (1,05) -s 124,03 77,40 44,502 $4.080,540,05 (1,05)

⎡ ⎤× +⎣ ⎦+

⎡ ⎤= × × = × − =⎣ ⎦×

4. Os dividendos pagos por uma ação devem dobrar todo ano, segundo uma progressão geométrica. Considerando que os dividendos são pagos ao término de cada ano, sendo o primeiro igual a $10, calcular o valor presente dos dividendos dos próximos 24 anos a um custo do capital de 1% a.a..

Utilizando a fórmula da soma das progressões geométricas, obtém-se uma expressão para o valor presente da série:

( )( )( )

( )n 24n 24

n 24

Dados: A $10; n 24 anos; i 1% a.a., c 1, h 2, P ?

Valor presente de uma progressão geométrica crescente

h 1 i 2 (1,01)A $10 Ph 1 i 2 (1,01)(1,01)1 i

= = = = = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎢ ⎥ ⎢= = ×

− + −⎢ ⎥ ⎢+ ⎣ ⎦ ⎣$133.466.323,58⎥ =

⎥⎦

5. Um capital foi financiado a juros efetivos de 5% a.m. para ser pago em vinte prestações mensais. A primeira prestação de $12.000 vence um mês depois de contratado o financiamento, e as outras são gradativamente crescentes, formando uma progressão aritmética. Calcular o valor do financiamento.

( )( )

o

n i% n

Dados: G $12.000; n (mês do último saque) 20 mês; i 5% a.m. ;P ?

Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente antecipada:

G n P 1 ii 1 i

$12.000 0,05

a

= =

⎡ ⎤⎢ ⎥= + × −⎢ ⎥+⎣ ⎦

=

= =

[ ]

20 5% 2020(1,05)

(1,05)

$240.000 (1,05) 12,46221 7,53779 $1.331.407, 49

a⎡ ⎤

× × −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= × × − =

6. Um financiamento de $548,66 será pago em oito parcelas mensais. A primeira, de $20, vence um mês depois de ter sido contratado o financiamento, e as outras são gradativamente crescentes, formando uma progressão aritmética. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento.

75

( )( )n i% n

8

Dados: G $20; n 8; P $548,66

Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente antecipada:

G n P 1 ii 1 i

$20 (1 i) 1 $548,66 (1 i)i

a

= = =

⎡ ⎤⎢ ⎥= + × −⎢ ⎥+⎣ ⎦

+ −= × + × 8 8

8

8 8

FATOR A SER INTERPOLAD O

8(1 i) i (1 i)

(1 i) (1 i) 1 827, 4330 i 5% a.m.i (1 i) i (1 i) i

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ × +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞+ + −= × − ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ × + ×⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦144444424444443

Seguindo o procedimento de interpolação mostrado no exercício resolvido 6.5, encontra-se o valor para i.

7. Um financiamento será pago em oito parcelas mensais. A primeira, de $20, vence um mês depois de contratado o financiamento, e as outras são gradativamente crescentes, formando uma progressão aritmética. Considerando que seja proposto um esquema alternativo de pagamento em que o mutuário se obriga a pagar dez prestações mensais iguais, calcular o valor dessas prestações a juros efetivos de 5% a.m..

.

( )( )n i% n

8 5% 8$20 8 (1,05) $400,05 (1,05)

a⎡ ⎤

Dados: G $20; n 8; i 5% a.m. ;R ?

Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente antecipada:

G n P 1 ii 1 i

a

= = = =

⎡ ⎤⎢ ⎥= + × −⎢ ⎥+⎣ ⎦

= × × − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[

]0 (1,05) 6,46321 5, 41471 $548,66× × − =

Valor da prestação uniforme equivalente:

( )( )

1010 5%

10

P R $71,057,7217381,05 1

1,05 0,05

a= = = =

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦

8. A juros efetivos de 9% a.m., calcular o valor presente de uma perpetuidade postecipada de $10.000 que cresce a uma taxa constante de 7% a.m..

$548,66 $548,66

76

Dados: Se a perpetuidade postecipada cresce a uma taxa constante c, seu valor presente é dado por:

RP =

i

c− para i>c; onde: i = taxa de juros efetiva; c = taxa de crescimento

R $10.000P $500.000i 0,09 0,07

c

= = =− −

9. Calcular o valor presente de quatro mensalidades postecipadas que decrescem a uma taxa constante de 3% a.m., considerando-se que a primeira é igual a $13.000 e a taxa de juros efetiva é de 5% a.m..

Utilizando a fórmula da soma das progressões geométricas, obtém-se uma expressão para o valor presente da série:

( )( )( )

nn⎡ ⎤n 4

03, h 0,97 (1 ); P ?

Valor presente de uma progressão geométrica crescente

h 1 iA $13.000 Ph 1 i (1,05)1 i

c= − =

− += = ×⎢ ⎥

− ++ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Dados: A $13.000; n 4 ; i 5% a.m.; 0,c= = = =

4 40,97 (1,05) $44.145,960,97 (1,05)

⎡ ⎤−=⎢ ⎥−⎣ ⎦

10. Uma ação promete pagar a partir do próximo ano, em perpetuidade, um dividendo de $2,00/ano. Considerando-se que o crescimento projetado dos dividendos é 5% a.a. e que o custo de oportunidade o capital é de 12% a.a., determinar o preço unitário da ação.

d

Se a perpetuidade postecipada cresce a uma taxa constante c, seu valor presente é dado por:

RP =i c− para i>c, onde: i = taxa de juros efetiva, c = taxa de crescimento

R $2P $28,57= = =i 0,12 0,05

c− −

11. Uma dívida de $2.000 será paga em quatro prestações trimestrais, a primeira com vencimento em um mês. Considerando-se juros efetivos de 3% a.m., calcular o valor das quatro prestações, sabendo que formam uma progressão aritmética crescente com razão igual ao valor da primeira prestação.

77

( )( )n i% n

Dados: n 8; P $2.000, i 3% a.m.;G ?

Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente antecipada:

G n P 1 ii 1 i

G $2.000 (1,03)0,03

= × ×

a

= = = =

⎡ ⎤⎢ ⎥= + × −⎢ ⎥+⎣ ⎦

4

da); $655,35(terceira); $873,80(quarta)

⎡ ⎤⎛ ⎞4 4

(1,03) 1 4(1,03) 0,3 (1,03)

G $218,45(primeira prestação) $436,90(segun

−−⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟×⎢ ⎥⎝ ⎠

12. Calcular o primeiro termo de uma série de vinte anuidades crescentes geometricamente cujo valor presente é $5.000, a razão de crescimento é 1,04 e as anuidades são capitalizadas a juros efetivos de 5% a.a..

⎣ ⎦⇒ =

( )( )( )

nn

n

Dados: n 20 ; i 5% a.m.; h 1,04; P $5.000;A ?

Valor presente de uma progressão geométrica crescente:

h 1 iA Ph 1 i1 i

A $5.000(

= = = = =

⎡ ⎤− +⎢ ⎥=

− +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

=( )20 20

20

1,04 (1,05) A $287,05

1,04 (1,05)1,05)

⎡ ⎤−⎢ ⎥× ⇒ =

−⎢ ⎥⎣ ⎦

13. Calcular o valor presente de um empréstimo que será amortizado em 24 parcelas trimestrais postecipadas a juros efetivos de 3% a.t.. A primeira parcela é igual a $500 e irá crescendo à taxa de 5% em relação à anterior. Dados: n 24 ; i 3% a.t.; h 1,05; A $500; P ?= = = = =

( )( )( )

( )n 24n

n 24

Valor presente de uma progressão geométrica crescente:

h 1 i 1,05 (1,03A $500 Ph 1 i (1,03)1 i

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥= = ×

− +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

24)$14.663,39

1,05 (1,03)

⎡ ⎤⎢ ⎥ =

−⎢ ⎥⎣ ⎦

14. Um empréstimo de $5.000 será pago em oito parcelas mensais postecipadas (a primeira para daqui a dois meses) em progressão aritmética crescente. Considerando-se que a taxa de juros efetiva é de 6%, calcular o valor do gradiente da série de parcelas.

( )( )

o

Dados: n (mês da última parcela) 9 mês; i 6% a.m. P 5.000;G ?; = = = =

n

n

Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente postecipada:

1 i 1G P -nii 1 i

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥=⎢+ ⎣ ⎦ ( )

[ ]

n i%n

9 6%9

9

G s ni 1 i

G $5.000 s 90,06 (1,06)

G 5.000 11,49132 9 G $203, 440,06 (1,06)

⎡ ⎤= −⎣ ⎦⎥ +

⎡ ⎤= × −⎣ ⎦×

= × − ⇒ =×

78

15. Um empréstimo de $6.630,14 será pago em um determinado número de parcelas mensais que terão um crescimento geométrico de 9% ao mês. Considerando-se juros efetivos de 6% a.m., determinar o número de parcelas, sabendo-se que o valor da primeira é de $500.

( )( )( )

nn

n

Dados: P $6.630,14; i 6% a.m.; h 1,09; A $500; n ?

Valor presente de uma progressão geométrica crescente:

h 1 iA Ph 1 i1 i

= = = = =

⎡ ⎤− +⎢ ⎥=

− +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

( )n n

n

1,09 (1,06)$500 $6.630,14 n 121,09 (1,06)(1,06)

⎡ ⎤−⎢ ⎥= ×

16. Um empréstimo de $5.000 será pago em dez parcelas mensais postecipadas que terão um crescimento geométrico de 2% em cada uma. Considerando-se juros efetivos de 4% a.m., calcular o valor da primeira parcela.

⇒ =−⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )( )

nn

n

Dados: P $5.000; i 4% a.m.; h 1,02; n 10 ; A ?

Valor presente de uma progressão geométrica crescente:

h 1 iA Ph 1 i1 i

= = = = =

⎡ ⎤− +⎢ ⎥=

− +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

( )10 10

10

1,02 (1,04)A $5.000 A $566,601,02 (1,04)(1,04)

⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ =

−⎢ ⎥⎣ ⎦ 17. Um financiamento será pago em oito parcelas trimestrais postecipadas que crescerão à taxa de 2% a.t. Se a primeira parcela é de $1.500, a juros efetivos de 4% a.t.., determ

inar o valor do ento. financiam

Dados: i 4% a.t.; h 1,= =

( )( )( )

( )n 8n

n 8

02; n 8 ; A $1.500; P ?

Valor presente de uma progressão geométrica crescente:

h 1 i 1,02 (1,04A $1.500 Ph 1 i (1,04)

= = =

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥= = ×

− +⎢ ⎥+1 i ⎣ ⎦

8)$10.791

1,02 (1,04)

⎡ ⎤⎢ ⎥ =

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Um financiamento de $5.000 será pago em dez parcelas mensais postecipadas que crescerão 18.geometricamente a uma determinada taxa. Considerando-se que o valor da primeira parcela é de $571,50 e a taxa de juros efetiva é de 5% a.m.., calcular a taxa de crescimento das parcelas.

79

( )( )( )

nn

Valor presente de uma progressão geométrica crescente:

h 1 iA ⎡ − +

n

dos: i 5% a.m.; n 10 ; A $571,50; P $5.000, h ?

Ph 1 i1 i

= = = = =

⎢=− +⎢+ ⎣

Da

( )10 10

10

h (1,05)$571,50$5.000 h 1,03 h (1,05)(1,05)

logo: h 1 1,03 0,03 3% a.m. (aproximadamente)c c c

⎥⎥⎦

⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ =

−⎢ ⎥⎣ ⎦+ = + = ⇒ = =

19. Um canal de irrigação tem um custo de construção de $40.000. Para mantê-lo em condições a reforma integral ao custo de $8.000 a cada cinco anos,

lar seu custo capitalizado a uma taxa efetiva de 8% a.a..

Dados:

) Capital a ser aplicado hoje:

⎤

operacionais, deve ser efetuada umindefinidamente. Calcu

a

65,045.17$1(1,08)

$8.000 1i)(1

SP5k

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+=

b) Custo capitalizado do canal de irrigação: 65,045.57$65,045.17$000.40$PCF =+=+=

20. Uma ponte tem um custo de construção de $30.000 e sua vida útil é de dez anos. Depois desse tempo, deve ser reformada a cada dez anos, indefinidamente, a um custo de $15.000. Calcular seu

ados:

) Capital a ser aplicado hoje:

custo capitalizado a uma taxa efetiva de 1% ao mês.

D

a

1(1,01)1i)(1 120k −⎦

⎢⎣ −+ 64,20P⎡

= 5.6$$15.000 S==⎥

⎤

b) Custo capitalizado do canal de irrigação: F 64,520.36$64,520.6$$000.0$3PC =+=+=

1. A prefeitura de uma cidade recebeu duas propostas para construir uma passarela para pedestres. A

de $4.000 a s, indefinidamente. A segunda propõe construí-la de aço ao custo de $20.000, com um

Considerando-se um custo do capital de 6% a.a., selecionar a melhor proposta.

ados:

er aplicado hoje:

2primeira propõe construí-la de madeira ao custo de $10.000, com um custo de manutenção cada três anocusto de manutenção de $6.000 a cada seis anos.

D

Passarela de madeira:

a) Capital a s

80

65,940.20$1(1,06)

1i)(1

P3k

=−

=⎥⎦

⎢⎣ −+

= $4.000S ⎤⎡

b) Custo capitalizado: 65,940.30$65,940.20$000.10$PCF =+=+=

Passarela de aço:

a) Capital a ser aplicado hoje:

26,336.14$1(1,06)

1i)(1

P6k

=−

=⎥⎢−+

=

) Custo capitalizado:

$6.000S ⎤⎡

⎦⎣

b26,336.34$26,336.14$000.0$2PCF =+=+=

Deve ser selecionada a passarela de madeira, pois tem o menor custo capitalizado.

CAPÍTULO 7 Exercícios Propostos

equivalente: δ = ln (1 + i) = ln (1,15) = 13,9762% a.a.

2. Calcular a taxa efetiva ao ano equivalente à taxa instantânea de 13,9762% a.a..

inal: ia = (1 + j/k)k – 1 = (1+0,60/4)4–1 = 74,90% a.a.

Taxa contínua equivalente: δ = ln (1 + ia) = ln (1,7490) = 0,55904777 = 55,91% a.a.

. Calcular a taxa nominal ao ano capitalizada mensalmente equivalente à taxa instantânea de 24% a.a.. Resolução: Taxa efetiva anual equivalente à taxa instantânea de 24% a.a.:

Taxa nominal equivalente à taxa efetiva anual de 27,13% a.a.: (1 + ia) = (1 + j/k)k

(1,2713) = (1 + j/12)12 → j = [(1,2713)1/12–1] × 12 = 0,242416 = 24,24% a.a. 5. Calcular a taxa efetiva semestral equivalente a uma taxa instantânea de 20% a.a.

1. Determinar a taxa contínua (instantânea) ao ano equivalente à taxa efetiva de 15% a.a.. Resolução: Taxa contínua

Resolução: Taxa efetiva anual equivalente à taxa instantânea:

a.a. 15% 1-e1ei 0,139762δa ==−=

3. Qual a taxa instantânea anual equivalente a uma taxa nominal de 60% ao ano capitalizada trimestralmente? Resolução: Taxa efetiva anual equivalente à taxa nom

4

a.a. 27,13% 1-e1ei 0,24δa ==−=

81

Resolução: Taxa efetiva anual equivalente à taxa instantânea de 20% a.a.:

Taxa efetiva semestral equivalente à taxa efetiva anual de 22,14% a.a.: (1 + ia) = (1 + is)2 → is = (1,2214)1/2–1 = 10,5171% a.s.

6. Determinar a taxa efetiva para o período de 41 dias equivalente a uma taxa instantânea de 30% a.a.. Resolução: Taxa efetiva anual equivalente à taxa instantânea de 30% a.a.:

Taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa efetiva anual de 34,9859% a.a.: i41d = (1,349859)41/360–1 = 3,4757% em 41 dias

. Calcular o montante de uma aplicação de $1.000 por 15 meses à taxa instantânea de 4% a.m.. esolução:

ital que resulta num montante de $1.000 quando aplicado por 18 meses à taxa instantânea

Resolução:

a.a. %14,22 1-e1ei 0,20δs ==−=

a.a. %9859,34 1-e1ei 0,30δs ==−=

7R

12,822.1$ e000.1$ePS 5104,0mδ =×=×= ×× 8. Qual o capde 6% a.m.?

39,603$ e000.1$e$1.000

eSP ePS 5104,0

8106.0mδmδ =×==⇒×= ×

×××

9. Se um capital fosse aplicado por sete meses a uma determinada taxa instantânea, resultaria em um montante 50% maior que o montante obtido a juros efetivos de 4% a.m.. Determinar a taxa instantânea. Resolução:

δ 7 7

7

montante a juros continuos 1,5 montante a juros efetivos:

P e 1,5 P (1,04) cancelando P e aplicando logaritnos naturais:

ln[1,5δ 7 ln[(1,04) ] δ

×

= ×

× = × ×

×× = ⇒ =

7(1,04) ] ln[1,873898] 0,68 0,0971443 9,7144% a.m7 7 7

10. Considerando-se juros efetivos de 10% a.a., calcular os valores uniformemente distribuídos equivalentes aos seguintes valores discretos: $1.450; $235.980 e $45.789.000. Resolução:

= = =

valor discret- m

01-e P = Q

mδ⎡ ⎤⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

o equivalente a uma quantía uniformemente distribuída:δ ×

valor da quan

0- m

-0,0

tia uniformemente distribuída:P

Q onde: ln(1,10) 0,09531 m 11-e

m

$1.450 primeiro valor: Q1-e

eδ

δ

δ

×= = = =

⎡ ⎤⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

=9531 1

$1.450 $1.520, 200,953824

0,09531 1

$235.980

0,953824

×= =

⎡ ⎤⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

segundo valor: Q $247.404, 260,953824

$45.789.000 terceiro valor: Q $48.005.736

= =

= = ,05

82

11. Considerando-se juros contínuos equivalentes à taxa efetiva de 15% a.a., calcular os valores discretos equivalentes aos seguintes valores uniformemente distribuídos: $2.000; $324.000 e $1.289.000 Resolução:

- m

0

valor discreto equivalente a um valor uniformemente distribuído:

1-e P = Q onde: ln(1,15) 0,139762 m 1 m

eδ

δδ

×⎡ ⎤= = =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

-0,139762 1

0

0

1-e primeiro valor: P $2.000 $2.000 0,933264 $1.866,530,139762 1

segundo valor: P $324.000 0,933264 $302.377,52

×⎡ ⎤= × = × =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦= ×× =

0 terceiro valor: P $1.289.000 0,933264 $1.202.977, 23= ×× =

12. Uma mina de ouro durante a sua vida útil de oito anos proporcionou receitas operacionais líquidas de $500.000/mês. Considerando-se juros contínuos equivalentes à taxa efetiva de 42,5761% a.a., alcular o valor presente da receita total, tendo em conta a realização em regime de fluxo c

uniformemente distribuído. Resolução: A fórmula transforma os valores em regime de fluxo uniforme para valores discretos no início do ano respectivo. Ou seja, em fluxos antecipadados discretos.

valor presente de uma série de 96 re95

95

ceitas mensais antecipadas de $492.682,58 cada:

(1,03) 1 P $492.682,58 $492.682,58 $15.924.809,35(1,03) 0,03

⎡ ⎤−= + × =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

13. Um equipamento tem vida útil de 15 anos e um custo de manutenção de $4.500/ano. fluxo uniformemente distribuído, estimar o valor presente desse

usto a juros contínuos equivalentes à taxa efetiva de 10% a.a.. Resolução:

t a.a

i 1valor da mensalid a antecipada, equivalente à receit da men

−

Considerando-se a realização em c

1/1

ensal equivalente à

(1, 425761)ade iscret

= 2m

taxa efetiva m axa efetiva de 42,5761%

0,0 .=

.:

3 3% a.m=d a líqui

- m -0,0295588 ×1

sal ente distribuído:

1-e 1-e Q $500.000 $500.000 0,9 65 $492.682, m 0,0295588 1

onde: ln(1,03 0,0295588 me

δ

δ

×⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

× ×⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣= =

de fluxo uniform

853 58

δ ) 1=⎥⎦

83

taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.: ln(1,10) 0,09531018

idade discreta antecipada, equivalente aos custos de manutenção de fluxo uniδ = =

valor da anu formente- m -0,09531018 1

distribuído:

1-e 1-e $4.500 $4.500 0,95382352 $4.292,21 δ × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= × = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Qm 0,09531018 1

m 1 (porque cada anuidade corresponde a um ano) A fórmula trans

δ × ×⎢ ⎥

ores discretos no início do ano u seja, em fluxos antecipadados discretos.

valor presente de uma série de 15 anuidades discreta

⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

forma os valores em regime de fluxo uniforme para valrespectivo. O

14

14

s antecipadas de $4.292,21 cada:

(1,15) 1 P $4.292, 21 $4.292, 21 $35.911,55(1,15) 0,15

⎡ ⎤−= + × =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

rá os se cros líq$5; $ Consi ivalente tiva dea.a., calcular o valor presente dos lucros, ua realizaçã e de fluniforme. Resolução:

0,09531018 valo as anuida cretas antecipadas, ucros líqu e fluxo

δ = =

14. roje eusUm p

$6; $5;to em cada um dos s3; $4 e $2 milhões.

seis anos de vida útil proporcionaderando-se juros contínuos equ

tendo em conta a s

guintes lus à taxa efe

uidos: 10%

uxo o em regim

taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.: ln(1,10)

r d des dis equivalentes aos l idos d

- m

un e dist dos:

1-e Q m

δ

δ

×⎡ ⎤⎢ ⎥×⎣ ⎦

iformentribuí

84

-0,09531018 1

-0,09531018 1

1-e $5 $5 0,95382352 $4,7691 0,09531018 1

1-e $6 $6 0,95382352 $5,7229 0,09531018 1

1- $5

×

×

⎡ ⎤× = × =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

× = × =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

×-0,09531018 1

-0,09531018 1

-0,09531018 1

e $5 0,95382352 $4,7691 0,09531018 1

1-e $3 $3 0,95382352 $2,8615 0,09531018 1

1-e $40,095

×

×

×

⎡ ⎤= × =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

× = × =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

×

-0,09531018 1

$4 0,95382352 $3,8153 31018 1

1-e $2 $2 0,95382352 $1,9077 0,09531018 1

m 1 (porque cada anuidade corr

×

⎡ ⎤= × =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

× = × =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

=

esponde a um ano)

A fórmula transforma os valores em regime de fluxo uniforme para valores discretos no início do ano respectivo. Ou seja, em fluxos antecipadados discretos.

valor presente da série de c inco a

2 3 4 5

nuidades discretas antecipadas:$5,7229

+$4,7 $2,8 ,8153 P 691 $19,853472 milhões(1,10) (1,10) (1 0) (1,10)

Logo: P = $19.853.47

= =

15. Nos próximos dez anos, a evol custos onais de um rada de ferro deverá aumentar à razão de $2 m ando-se que no prim é de $3 mi es a ju os ntes à ta de 12% a.a., calcular o valor presente desses cu s em regi o unifResolução:

ua anual equiv e iva de 1 ln(1,12) 0,11332869

adas, equivalentes aos custos de fluxo uniformente dδ = =

691+

615 $3 +$1,9077 $4,7

1,10+

,12

ução dos operaci a estilhões por ano. Consider

ros contínueiro ano o custo operacional

lhõ equivale xa efetiva stos, supondo que sejam realizado me de flux orme.

taxa contín alent à taxa efet 0% a.a.: valor das anuidades discretas antecip

- m -0,113328698 1

istribuído:

1-e 1-e AJUSTE 0,94541692 m 0,11332869 1

δ × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦

(milhões)

FATOR DEδ × ×⎢⎣

Ano Custo operacional anual em fluxo

uniforme

(a)

Custo operacional anual discreto equivalente

antecipado 0,94541692 (a)(b) ×=

Fator de desconto: (1,12)Ano-1

(c)

Valor presente dos custos

discretos anuais equivalentes (d) = (b)/(c)

1 3 2,83625 1,00000 2,83625

2 5 4,72708 1,12000 4,22061

3 7 6,61792 1,25440 5,27576

4 9 8,50875 1,40493 6,05636

5 11 10,39959 1,57352 6,60913

85

6 13 12,29042 1,76234 6,97391

7 15 14,18125 1,97382 7,18466

8 17 16,07209 2,21068 7,27020

9 19 17,96292 2,47596 7,25492

10 21 19,85376 2,77308 7,15946

So ma: 60,841274 16. O custo anu tenção permanente recho a é de US$200.000. Considerando-se ju os es à tax de 14 lcular o valor presente desses c end s des consta izadas de fluxo uniforme. Resolução:

ln 31valor da uidade te uivalente s de m de fluxo uni

δ =

al de manu de um t de estradros contínu equivalent a efetiva % a.a., ca

ustos, t o em conta a perpetuida ntes real em regime

taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.: (1,14) 0,1= 028262

an discreta an cipada, eq aos custo anutenção-1-e m 8262 1

formente distribuído:

Q 0 0,9 $187.451,19 m 0 2 1

m 1 (porque cad co e a um ano

valor p

δ × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤× =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

-0,131021-e$200.000= × $200.00= 37255942,13102826

a anuidade rrespond )

δ × ×

resente de u a discretas adas d indeterminada:87. P 87.45 $1.526.3

0,

17. A receita operacional de um e nto será d 00/ano mento tem vida útil de dez anos e custa US . C VPL, co -se ju uos equivalentes à taxa efetiva d % a.a. e ali regime d iformeResolução:

ma série de nuidades antecip e duração $1 451,19$$1= 1,19 +

14= 88, 25

quipame e $120.0 . O equipa$1 milhão alcular o nsiderando ros contín

e 20 receitas re zadas em e fluxo un .

50,91413582 1 182,0m ⎣⎦⎣ ×δ

ilhões) 321557

e-1e-1 AJUSTE DE

:odistribuíd euniforment fluxo de custos aos esequivalent s,antecipada discretas anuidades

10 de iva à eequivalent anual contínua taxa

1 182321557,0-m-

=⎥⎦

⎤⎢⎡

×=⎥

⎤⎢⎡

=××δ

:a.a. %efet taxa182321557,0)20,1ln( ==δ

dasvalor

FATOR

(mAno Custo operacional

anual em regime de fluxo uniforme (a)

Custo operacional discreto anual equivalente antecipado

50,91413 (a)(b) 582×=

Fator de desconto: (1,20)Ano-1

(c)

Valor presente dos custos discretos

equivalentes (d) = (b)/(c)

1 120.000 109.696,30 1,00000 109.696,30

2 120.000 109.696,30 1,20000 91.413,58

3 120.000 109.696,30 1,44000 76.177,99

4 120.000 109.696,30 1,72800 63.481,65

5 120.000 109.696,30 2,07360 52.901,38

6 120.000 109. ,48832 44.084,48 696,30 2

7 1 109.696,30 2,98598 36.737,07 20.000

8 12 109.696, ,58318 30.614,22 0.000 30 3

9 12 109.696, ,29982 25.511,85 0.000 30 4

10 120. 696, 15978 21.259,88 000 109. 30 5,

Soma: 551.878,41

86

VPL = -$1.000 551.878,4.000 + $ 1 = − $448.121

ngo de sua vida útil de 15 anos, um poço de gás natural rendeu lucros totais de $25 milhões. equivalentes à taxa efetiva de 20% a.a., calcular o valor presente realizados em regime de fluxo uniforme.

,59 < 0

18. Ao loConsiderando-se juros contínuos

eremdesses lucros na hipótese de sResolução: valor presente de uma quantía uniformemente distribuída (25 milhões)

- m -ln (1,20) 15

0

durante o prazo de 15 anos:

1-e 1-e P = Q $25.000.000 m ln(1,

δ

δ

× ×⎡ ⎤= ×⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

20) 15

000 0,341921363 $8.548.034,08

⎡ ⎤⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦× =

a.a. e realização em regime de fluxo uniforme, valiar economicamente o projeto, usando o valor presente líquido (VPL).

Resolu nua an te à taxa ef iva de 20% a.a

,1823215575valor da nuidad ant quivalen ndime l com fluxo uni

δ =

$25.000.=

19. Um projeto requer um investimento de $25 milhões a ser despendido em três anos. Ao longo de sua vida útil de 25 anos, o projeto renderá $2,8 milhões/ano já a partir do primeiro ano. Considerando-se uma taxa contínua equivalente à taxa efetiva de 20% a

ção:taxa contí ual equivalen et .:

ln(1,20) 0= a e discreta ecipada, e te ao re nto anua

- m -0,18232155758

formente distribuí :

e Q 00 $2.80 ,914135825 $2.559.580,31 m 2321557

m 1 ( e c de c de a um a

δ

δ

×

=× ×

=

×1 ⎤

do

1-⎡ 1-e⎡ ⎢ $2.800.=⎥ 0× ⎢ 0.000 0×

0,18⎣ 5 1⎦porqu ada anuida orrespon no)

⎤=⎥

⎣ ⎦

24 ⎤14 0, 20× ⎥⎦

valor presente de 25 discretas das de 80,31 cada:

(1,2 P .559.5 .559 $15(1,20)

valor pr

⎡= + × =⎢

⎢⎣

uma série de anuidades antecipa $2.559.5

0) 1−⎥$$2 80,31 $2 .580,31 .196.495,58

esen- m 8232155758

te do i de $ es gasto os em ormente distribuído:

-e Q .0000 0m 15575

δ

δ

× ×

⎥× ×⎥⎦

70244074 $19.256.101,86

3 (porque o investimento foi realizado em três anos em regime de fluxo uniforme)

=

=

15.196.495,58 $4.049.606, 28 0= − +

= − <

-0,1 3

nvestimento 25 milhõ em três an fluxo unif

1⎡ ⎤⎢

1-e⎡× ⎢$25.000= $25.00

⎤=⎥ .0000 0,7×

0,18232⎢⎣ 3⎥⎦⎢⎣ m

Cálculo do VPL: VPL valor presente do investimento valor presente dos rendimentos $19.256.101,86 $= − +

CAPÍTULO 8 Exerc os P tosíci ropos

87

1. Uma in stria to stado 00 conco saldar o débito em oito pagamentos anuais po cipado tivos .a. pela T e. Calcular: a) a prestação anual; b) o saldo dev or logo pag ) a amort quarto Tabela Price

dú mou empre $2.000.0 rdando emste s a juros efe de 36% a abela Priced após o sexto amento; c ização do ano.

ano Saldo devedor Juros Amortização Prestação0 2. 000.000,00 1 1. 67.932.731,52 720.000,00 268,48 787.268,482 1. 91. 787.841.246,39 695.783,35 485,13 268,483 1.716.826, 124. 787.62 662.848,70 419,78 268,484 1.547.615,72 618.057,58 169.210,89 787.268,485 1.317.488,91 557.141,66 230.126,82 787.268,486 1.004.516,44 474.296,01 312.972,47 787.268,487 578.873,88 361.625,92 425.642,56 787.268,488 0,00 208.394,60 578.873,88 787.268,48

Dados:

préstimo = $2.000.000 Respostas:

Valor do empréstimo = $2.000.000 Taxa efetiva (i) = 36% a.a. Prazo = 8 anos Valor do em

a) prestação anual = $787.268,48 b) saldo devedor após o ento = $1.004.516,44 sexto pagamc) amorti ão do quar $169.21 2. Uma dívida de $1.500.000 contratad os nominais de 36% a.a., capitalizados trimestralmente, será amortizada pela Tabela Price em oito anos por me agamento strais. Calcular: a) o

edor ao fim do terceiro ano; b) o saldo devedor ao término do 14o trimestre; c) a distribuição da; d) o total de juros pagos no período.

zaç to ano = 0,89

a a jurio de p s trime

saldo devdo 20o pagamento em juros e amortização da dívi

trimestre Saldo devedor Juros Amortização Prestação0 1.500.000,00 1 1.490.855,72 135.000,00 9.144,28 144.144,282 1.480.888,46 134.177,01 9.967,26 144.144,283 1.470.024,14 133.279,96 10.864,32 144.144,284 1.458.182,03 132.302,17 11.842,11 144.144,285 1.445.274,14 131.236,38 12.907,90 144.144,286 1.431.204,53 130.074,67 14.069,61 144.144,287 1.415.868,66 128.808,41 15.335,87 144.144,288 1.399.152,56 127.428,18 16.716,10 144.144,289 1.380.932,01 125.923,73 18.220,55 144.144,28

10 1.361.071,61 124.283,88 19.860,40 144.144,2811 1.339.423,77 122.496,44 21.647,83 144.144,2812 1.315.827,64 120.548,14 23.596,14 144.144,2813 1.290.107,84 118.424,49 25.719,79 144.144,2814 1.262.073,27 116.109, 144.71 28.034,57 144,2815 1.231.515,59 113.586, 144.59 30.557,68 144,2816 1. 110 33. 14198.207,71 .836,40 307,88 4.144,2817 1. 107 36. 14161.902,12 .838,69 305,59 4.144,2818 1. 104 39. 14122.329,04 .571,19 573,09 4.144,2819 1. 101.0 4 14079.194,37 09,61 3.134,67 4.144,2820 1.032.177,58 97.127,49 47. 144.016,79 144,2821 980.929, 895, 51. 144.29 92. 98 248,30 144,28

88

22 925.068,64 88. 55.860,64 14283,64 4.144,2823 864.180,54 83.256,18 60.888,10 144.144,2824 797.812,51 77.776,25 66.368,03 144.144,2825 725.471,36 71.803,13 72.341,15 144.144,2826 646.619,50 65.292,42 78.851,86 144.144,2827 560.670,98 58.195,76 85.948,52 144.144,2828 466.987,09 50.460,39 93.683,89 144.144,2829 364.871,65 42.028,84 102.115,44 144.144,2830 253.565,81 32.838,45 111.305,83 144.144,2831 132.242,46 22.820,92 121.323,36 144.144,2832 0,00 11.901,82 132.242,46 144.144,28

Total de juros pagos: 3.112.616,93

ados: DValor do emprTaxa n al

éstimo = $1.500.000 (j)

Freqüência das capitalizações da taxa no (k) = 4Taxa trim tral efeti %/4 = 9% a.t.Prazo = 8 os = 32 Respostas:

omin = 36% a.a. minal (trimestralmente)

es va = j/k = 36 an trimestres

a) saldo d edor ao f ceiro a 315.827,ev inal do ter no = $1. 64 b) saldo devedor ao final do 14o trime .262.073stre = $1 ,27 c) distribuição do 20o pagamento em dívida: $$97.127,49 e $47.016,79 juros e amortização dad) total de ju os pagos no período = $ 6,93

00 será pago pela Tabela Price em oito parcelas mensais a juros capitalização mensal. Calcular os juros embutidos na sexta prestação.

r 3.112.61

100.03. Um financiamento de $ a.a., comnominais de 72%

mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação0 100.000,00 1 89.896,41 6.000,00 10.103,59 16.103,592 79.186,60 5.393,78 10.709,81 16.103,593 67.834,20 4.751,20 11.352,40 16.103,594 55.800,65 4.070,05 12.033,54 16.103,595 43.045,10 3.348,04 12.755,55 16.103,596 29.524,21 2.582,71 13.520,89 16.103,597 15.192,07 1.771,45 14.332,14 16.103,598 0,00 911,52 15.192,07 16.103,59

Dados: Valor do empréstimo = $100.000

. Taxa nominal (j) = 72% a.aapitalizaçõFreqüência das c

axa mensal efetiva = j/k = 72%/12 = 6% a.mes da taxa nominal (k) = 12(mensalmente)

. ses

TPrazo = 8 me Resposta: a) juros embutidos na sexta prestação = $2.582,71 4. Um financiamento de $2.000.000 será pago pela Tabela Price em 18 parcelas mensais a juros

os efetivos de 10% a.m.. Calcular: a) o valor da prestação; b) a soma das amortizações dos três primeirmeses; c) a amortização introduzida pela 13a prestação.

mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação0 2.000.000,00

89

1 1.956.139,56 200.000,00 43.860,44 243.860,442 1.907.893,07 195.613,96 48.246,49 243.860,443 1.854.821,93 190.789,31 53.071,14 243.860,444 1.796.443,68 185.482,19 58.378,25 243.860,445 1.732.227,60 179.644,37 64.216,08 243.860,446 1.661.589,92 173.222,76 70.637,68 243.860,447 1.583.888,46 166.158,99 77.701,45 243.860,448 1.498.416,87 158.388,85 85.471,60 243.860,449 1.404.398,11 149.841,69 94.018,76 243.860,44

10 1.300.977,47 140.439,81 103.420,63 243.860,4411 1.187.214,78 130.097,75 113.762,70 243.860,4412 1.062.075,8 243.1 118.721,48 125.138,97 860,4413 924.422,95 ,58106.207 137.652, 243.86 860,4414 773.004,80 92.442,29 .41 243.860,44151 8,1515 606.444,83 77.300,48 166.55 243.860,9,96 4416 423.228,87 60.644,48 183.215, 243.860,96 4417 221.691,31 42. 89 537, 243.322, 201. 56 860,4418 0,00 ,13 9 24322.169 221.6 1,31 .860,44

Dados: Valor do empr 2.000.0Taxa efetiva (i) = 10% a.m. Prazo = 18 meses Respostas:

éstimo = $ 00

a) valor da prestação = 243.860,44 b) so das amortizações dos três primeiros meses ma .860,4 6,49 + 5 = $145= 43 4 + 48.24 3.071,14 .178,07 c) am izaç da 13o prestação = 137.652,86 5.Um prést .000.00 dado p ez emestrais a juros efetivos de 9% a.s. Calcular o valor do saldo devedor do empréstimo logo após a terceira prestação.

ort ão

em imo de $2 0 será sal ela Tabela Price em d parcelas s

se estrem Saldo devedor Juros Amortização Prestação0 2.000.000,00 1 1.868.359,82 180.000,00 131.640,18 311.640,182 1.724.872,02 168.152,38 143.487,80 311.640,183 1.568.470,33 155.238,48 156.401,70 311.640,18

4 1.397.992,48 141.162,33 170.477,85 311.640,185 1.212.171,62 125.819,32 185.820,86 311.640,186 1.009.626,89 109.095,45 202.544,73 311.640,18

7 788.853,12 90.866,42 220.773,76 311.640,188 548.209,73 70.996,78 240.643,40 311.640,189 285.908,42 49.338,88 262.301,30 311.640,18

10 0,00 25.731,76 285.908,42 311.640,18Dados:

do empréstimo = $2.000.000 Valor Taxa efetiva (i) = 9% a.s.

estres Prazo = 10 sem Resposta: a) saldo devedor ao final do terceiro semestre = $1.568.470,33 6. Um financiamento de $10.000 será pago pela Tabela Price em cinco parcelas mensais a juros nominais de 120% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular: a) a amortização do quarto mês; b) a

90

soma dos juros pagos no segundo e terceiro mês; c) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação.

mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação0 10.000,00 1 8.362,03 1.000,00 1.637,97 2.637,972 6.560,25 836,20 1.801,77 2.637,973 4.578,30 656,03 1.981,95 2.637,97

4 2.398,16 457,83 2.180,14 972.637,5 0,00 239,82 2.398,16 2.637,97

Dados: Valor do empréstiTaxa nominal (j) = 120% a.a. Freq cia das ações d minal (k nsalmentTaxa mensal efetiva = j/k = 120%/12 = 10% a.mPrazo = 5 mese Respostas:

mo = $10.000

üên capitaliz a taxa no ) = 12(me e) .

s

a)am ização mês = $2.180,14 ort do quartob) so dos juros pagos no segundo e terceiro m 0 + 656,0 ,23 c) saldo devedor logo após o p da terce ção = $4. 7. U inancia e $500 pago p la Price e arcelas m jurosefetiv de 4% lcular: tização mês; b) a juros pa undo e terceiro mês; o deved pós o pa da terceira .

Tabela

ma ês = 836,2 3 = $1.429agamento ira presta 578,30

m f mento d .000 será ela Tabe m cinco p ensais a os a.m.. Ca a) a amor do quarto soma dos

gos no seg

c) o sald or logo a gamento prestação

Price mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação

0 500.000,00 1 407.686,44 20.000,00 92.313,56 112.313,562 311.680,34 16.307,46 96.006,10 112.313,563 211.834,00 12.467,21 99.846,34 112.313,56

4 107.993,80 8.473,36 103.840,20 112.313,565 0,00 4.319,75 107.993,80 112.313,56

61.567,78 561.567,78DV

ados: al empré 0.00

Tax tiva (i) Prazo = 5meses Respostas:

or doa e

stimo = $50=

0 ef 4% a.m.

a) am tização do ês = $103.840,20 or quarto mb) so dos juros pagos no segundo e terceiro mês 46 + 12 28.774c) saldo devedor logo após o pagam $211.834,00 8. U $500.00 go pelo SAC em rcelas juros efetiv de 4% a. ular: a) a ção do ) a soma pagos o e no

rceira prestação.

ma = 16.307,

.467,21 = $ ,67 ento da terceira prestação =

m financiamento de 0 será pa Sistema cinco pa mensais aos m.. Calc amortiza 4o mês; b dos juros no segund

terceiro mês; c) o saldo devedor logo após o pagamento da te Tabela SAC

mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação0 500.000,00 1 400.000,00 20.000,00 100.000,00 120.000,002 300.000,00 16.000,00 100.000,00 116.000,00

91

3 200.000,00 12.000,00 100.000,00 112.000,00

4 100.000,00 8.000,00 100.000,00 108.000,005 0,00 4.000,00 100.000,00 104.000,00

60.000,00 560.000,00 Dados: Valor do empréstimo = $500.000

fetiva (i) = 4% a.m. Taxa ePrazo = Respostas:

5meses

a) amortização do quarto mês = $100.000,00 b) soma dos juros pagos no segundo e no terceiro mês = 16.000,00 + 12.000,00 = $28.000,00 c) saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação = $200.000,00 9. Um financiamento de $500.000 será pago pelo Sistema Misto (Sacre) em cinco parcelas mensais a juros efetivos de 4% a.m.. Calcular: a) a amortização do quarto mês; b) a soma dos juros pagos no

gundo e no terceiroseda prestação do quarto m

mês; ) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação; d) o valor ês; e) a soma de todas as prestações pagas; f) a soma de todos os juros pagos.

Dados:Valor do empréstimo = $500.000 Taxa efet (i) = 4%Prazo = 5 Respostas: Na tabela acre, os rresp média a dos va abela Price e SAC. Logo, calculando essas mé com os calculad rcício os :

iva a.m. meses

S valores co ondem à ritmética lores na Tdias valores os nos exe 7 e 8, tem

a) amortização do quarto mês = ($100.000,00 + $103.840,20)/2 = $101.920,10 b) som juros undo e n iro mêc) saldo d edor log amento da terceira prestação: = ( 00.000,0 34,00 5.917 d) valor da prestação do quarto mês = ($112.313,56 + $108.000,00)/2 = $110.156,78 e) soma de todas as prestações pagas = ($561.567,78 + $560.000,00)/2 = $560.783,89 f) soma d odos os j = ($6 + $60.00 $60.78 10. Um capital de $400.000 será pago de acordo com o a Am 15 meses a juros

serão pagos periodicamente e será constituído um fundo de amortização do empréstimo (Sinking Fund) com depósitos trim unerados à taxa efetiva de 6% a.t.. Calcular: a quota do fundo d ortização do e stimo; b) o total de juros pagos; c) o desencaixe periódico; d) o valor do fundo de amortização do empréstim do quarto trimestre; e) o custo etivo do ento ( na de reto

a dos pagos no seg o terce s = ($28.000,00 + $28.774,67)/2 = $28.387,34 ev o após o pag$2 0 + $211.8 )/2 = $20

e t uros pagos 1.567,78 0,00)/2 = 3,89

Sistem ericano emefetivos de 8% a.t.. Os juros

estrais rem a) trimestral e am mpré

o no fim ef financiam taxa inter rno).

Mês (n)

Juros pagos (J = i´P)

Quota do fundo de amortização

(QFA)

Desencaixe total (D =

J+QFA)

Saldo devedor

do empréstimo

Valor do sinking

fund

1 400.000,00 fator n i%s

2 400.000,00 3 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 75.216,07

4 400.000,00

92

5 400.000,00

6 32.000,00 174,63 2,06000 70.958,56 102.958,56 400.000,00 146.

7 400.000,00

8 400.000,00

9 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 225.903,67 3,18360

10 400.000,00

11 400.000,00

12 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 310.416,45 4,37462

13 400.000,00

14 400.000,00

15 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 400.000,00 5,63709

Dados: Valor do empréstimo = $400.000 Taxa efet (i) = 8% aTaxa efet do fundo a.t. Prazo = 15 meses Respostas:

ortização do empréstimo = $70.958,56

d) valo fundo ão do em o no f trimestre = $310.416,45 e) custo e ivo do finaTIR:

+ 400.000 – 102.958,56/(1+TIR) 958,56/(1+T ......... –1 6/(1+TIR)5 = 0

= R = 9,04555% a.t.

. 1. Um empréstimo de $400.000 contratado à taxa efetiva de 16% a.a. será pago em 12 parcelas

postecipadas de acordo com o Sistema Americano. Elaborar as planilhas, sabendo-se que o réstimo (Sinking Fund) terá depósitos mensais remunerados à taxa

lar a taxa interna de retorno (custo efetivo do financiamento).

alor do empréstimo = $400.000 (i) = 16% a.a. (1,244514% a.m.)

Tax ePrazo =

iva .t iva (is) = 6%

a) quota trimestral do fundo de amb) total de juros pagos = $32.000 x 5 = $160.000 c) desencaixe periódico = $102.958,56

r do de amortizaç préstim im do quartofet nciamento (taxa interna de retorno):

– 102. IR)2 – 02.958,5

= TI

1mensais fundo de amortização do empefetiva de 12% a.a., e calcuDados: VTaxa efetiva

a ef tiva do fundo (is) = 12% a.a. (0,948879% a.m.) 12 meses

Mês (n)

Juros pagos (J = i´P)

Quota do fundo de amortização

(QFA)

Desencaixe total (D = J+QFA)

Saldo devedor do empréstimo

Valor do sinking fund

fator n i%s 0 - - - - -

1 4.978,06 ,00 31.929,43 1,00000 31.629,31 36.607,36 400.000

2 4.978,06 ,00 63.558,74 2,00949 31.629,31 36.607,36 400.000

3 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 95.791,15 3,02856

4 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 128.329,40 4,05729

5 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 161.176,40 5,09579

6 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 194.335,08 6,14415

7 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 227.808,40 7,20245

93

8 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 261.599,33 8,27079

9 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 295.710,90 9,34927

10 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 330.146,15 10,43798

11 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 364.908,15 11,53703

1 4.978, 1 06 31.629,3 36.607,36 4 0, 40 12,64650 00.00 00 0.000,00 2

RespostaTIR:

+ 0.000 9 ) – 36.607,39/(1+TIR)2 –.........–36.607,39/(1+TIR)1

= = 1,171691% a.m. (19,16% a.a.)

12. Um empréstimo de $100.000 foi contratado a juros efetivos d 24% a. er p is parcelas nsais p as rdo co te a Americano. O fundo de amortização do empréstim terá dep ensais remunerad s de 0% a.a. r: a) os

me is; b) as quotas do fundo de am o c) os dese caixes; do d e ortização após o sexto desencaixe; e) os juros acumulados após o sexto desencaixe; f) os

desencaixes acumulados após o sexto termo; g) a taxa interna de retorno (custo efetivo do financiamento).

:

40 – 36.607,3 /(1+TIR 2 = 0

= TIR

e a. para s ago em seme ostecipad de aco m o Sis mo ósitos m os a juro efetivos 2 . Calcula o valor d

juros am

nsa ortizaçã ; n d) o sal o fundo d

Mês (n

Juros pagos (J = i´P)

Quota do fundo de amortização

(QFA)

Desencaixe total (D = J+QFA)

Saldo devedor do empréstimo

Valor do sinking fund

n i%s fator

0 - - - - -

1 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 16.285,64 2 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 35.288,17 2,200003 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 58.385,88 3,64000

1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 86.103,14 4 5,368005 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 119.363,84 7,441606 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 100.000,00 6,23438

107.093,02 DaValor do empréstimTaxa efetiva (i) = 24% a.a. (1,8088% a.m.) Taxa e iva do f = 20% a (1,533 % a.mPrazo = 6 meses Respostas: a) valo os juro = b) quot do fund rt 16.04c) desencaixes = 17.848,84 d) sald o fundo tiza s o s n ixe = 100 00 ) juros acumulados após o sexto desencaixe = 1.808,76 x 6 = 10.852,56

f) desencaixes acumulados após o sexto termo = 107.093,02

+100.000 – 17.848,84/(1+TIR) – 17.848,84/(1+TIR)2 –.........–17.848,84/(1+TIR)6 = 0

presa contratou a juros efetivos de 5% a.m. um financiamento de $600.000 que será mortizado por meio de seis prestações mensais postecipadas. Pede-se: a) no Sistema de Amortizações

C ( e soma res das prestações dos três primeiros meses; b) na Tabela Price, calcular a soma dos va amortizações do primeiro e do segundo mês; c) no Siste ort Sacre) ar o valor da prestação do segundo mês; d) na Tabela Price alcular

dos: o = $100.000

fet undo (is) .a. 09 .)

r d s mensais 1.808,76as o de amo ização = 0,08

o d de amor ção apó exto dese ca .0e

g) taxa interna de retorno (custo efetivo do financiamento). TIR:

== TIR = 1,993790% a.m. (26,7316% a.a.) 13. Uma ema

onstantes SAC), det rminar a dos valolores das

ma Misto de Am izações ( , calcul, c a soma dos valores das seis prestações.

94

SAC mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação

0 600. 000,00 1 500. 30 100.000,00 130.000,00000,00 .000,002 400. 25 100.000,00 125.000,00000,00 .000,003 300. 20 100.000,00 120.000,00000,00 .000,00

4 200. 15 100.000,00 115.000,00000,00 .000,005 100. 10 100.000,00 110.000,00000,00 .000,006 0,00 5.000,00 100.000,00 105.000,00

Price

mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação0 600.000,00 1 511.789,52 30.000,00 88.210,48 118.210,482 419.16 25 .621,00 118.210,488,51 .589,48 923 321.916, 252,06 118.210,4846 20.958,43 97.4 219.801,80 16.095,82 102.114,66 118.210,485 112.581,41 10.990,09 .220,39 118.210,481076 0,00 5.629,07 581,41 118.210,48112.

SOMA: 709.262,88 Sacre

mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação0 600.000,00 0,00 0,00 0,001 505.894,76 30.000,00 .105,24 124.105,24942 409.584,26 25.294,74 .310,50 121.605,24963 310.958,23 20.479,21 .626,03 119.105,24984 209.900,90 15.547,91 .057,33 116.605,241015 106.290,71 10.495,05 .610,20 114.105,241036 0,00 5.314,54 .290,71 111.605,24106

Dados: alor do empréstimo = $600.000

espostas: , a das p ões d pri

= $130.000 + 125.000 + 120.000 = $375.000 b) na Tabela Price, a soma das amortizações do primeiro e segundo mês

= $88.210,48 + $92.621,00 = $180.831 c) no Sacre, o valor da prestação do segundo mês = $121.605,24 d) na abela o alores das seis prestações = $709.262,88 14. Uma em nt jur de 5% a.m. u cia $6 samo zado p de çõe postecipadas. No Sistema d zaç tan(SA , determ so valo estações os trê iros e na Prcalcular a som lo mortizações do primei e segu ses

VTaxa efetiva (i) = 5% a.m. Prazo = 6meses Ra) no SAC soma restaç os três meiros meses

T Price, a s ma dos v

presa co ratou a os efetivos m finan mento de .000 que erá rti or meio 6 presta s mensais e Amorti ões Cons tes C) inar a ma dos res das pr d s prime meses, Tabela ice,

a dos va res das a ro ndo me .

SAC mês Saldo devedor Juros Am açãortiz o Prestação

0 6.0 00,00 1 5.000,00 300,00 1.000, 0 1.300,0002 4.000,00 250,00 1.000,00 1.250,003 3.000,00 200,00 1.000,00 1.200,00

95

4 2.000,00 150,00 1.000,00 1.150,005 1.000,00 100,00 1.000,00 1.100,006 0,00 50,00 1.000,00 1.050,00

Price

mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação0 6.000, 00 1 5.117, 0 882,10 1.182,1090 300, 02 4.191, 8 926,21 1.182,1069 255, 93 3.219, 209,5 972,52 1.182,1016 84 2.198, 160,96 1.021,15 1.182,1002 5 1.125, 109,90 1.072,20 1.182,1081 6 0, 56,29 1.125,81 1.182,1000

Dados: Valor do empré $6.0Taxa efetiva (i) = 5% a.m. Prazo = 6meses

a soma das amortizações do primeiro e segundo meses

=$ 882,10 + $926,21 = $1.808,31

ÍT O 9

stimo = 00

Respostas: • No SAC, a soma das prestações dos três primeiros meses = $1300 + $1.250 + $1.200 =

$3.750 • Na Tabela Price,

CAP UL

1. Um financiam o de $12 0 foi contratado sob as seguintes condições: carência de três trimestres (durante esse período serão pagos unicamente os juros); juros de 15% a.t.; IOF de 2% sobre o pr pago ); co de a de crédito d bre o fino õe pada bela ariação d FGV de 3% a.t.. C ne form cons planilha de pagamentos se erar atualização

onetária e calcular o custo efetivo real do financiamento. esolução:

Exercícios Propostos ent .00

incipal ( no ato missão bertura e 1% so anciamento (paga no ato); ito prestaç s anteci s trimestrais segundo a Ta Price; v o IGPM/om base ssas in ações, truir a m consid

mREsquema de pagamento e fluxo de caixa:

Trimestre Saldo devedor

Juros Amortização Comissão IOF Prestação Fluxo de caixa

0 12.000,00 - - 120 240 360,00 11.640,00 1 12.000,00 1.800,00 - 1.800,00 (1.800,00) 2 12.000,00 1.800,00 - 1.800,00 (1.800,00) 3 11.125,80 1.800,00 874,20 2.674,20 (2.674,20) 4 10.120,47 1.668,87 1.005,33 2.674,20 (2.674,20) 5 8.964,34 1.518,07 1.156,13 2.674,20 (2.674,20) 6 7.634,79 1.344,65 1.329,55 2.674,20 (2.674,20) 7 6.105,81 5,2 8 ,20 1.14 2 1.52 ,98 2.674 (2.674,20)8 4.347,48 915,87 1.728,33 2.674,20 ) (2.674,209 2.323,40 652,12 2.022, 4,20 ( 20) 08 2.67 2.674,10 - 348,81 2.325, 4,20 ( 20) 40 2.67 2.674,

96

8 15%

2 34,20IR)

− 4 10

$12.000 $12.000

1.800 1.80 2.67 2.611. .... T a.t.(1 T TIR) (1 T (1 TIR) )+ + + +

O cu efeti anciam nto é de ,7454% sse v ont lcul taxa interna de retorno do fluxo de caixa. são antecipadas, ou seja, a primimediatament nce cia 2. No xercíc d per arênci os juros pita e in os ao princ l, qual s sald or a carênc , sem co atu moResolução:

a de pagamento e fluxo de caixa:

Prestação $2.674, 204,487322a

= = =

0−

74,20 .−2.674,20..1 TI

−+

640- 0 = ⇒ IR 15,7454%=IR) (1

−( R

sto vo do fin e 15 a.t.. E alor é enc rado ca ando-se a As prestações

. eira é paga

e após ve r a carên

io no.1, se e urante o íodo de c a fossem ca lizados corporadipa eria o o deved o fim da ia nsiderar a alização netária?

Esquem

Trimestre Saldo dev. Juros Amortização Comissão IOF Prestação Fluxo de caixa

0 12.000,00 - - 120 240 360,00 11.640,00 1 13.800,00 - – 2 15.870,00 - – 3 14.713,87 2.380,50 1.156,13 3.536,63 -3.536,63 4 13.384,32 2.207,08 1.329,55 3.536,63 -3.536,63 5 11.855,34 2.007,65 1.528,98 3.536,6 -3.536,63 3 6 10.097,00 1.778,30 1.758,33 3.536,63 -3.536,63 7 8.074,92 1.514,55 2.022,08 3.536,63 -3.536,63 8 5.749,53 1.211,24 2.325,39 3.536,63 -3.536,63 9 3.075,33 862,43 2.674,20 3.536,63 -3.536,63 10 0,00 461,30 3.075,33 3.536,63 -3.536,63

a.t. %24,52TIR 0TIR)(1

3.536,63.......TIR)(1

3.536,63TIR)(1

3.536,63TIR)(1

3.536,63 11.640

3.536,63$4,48732215% 8a15.870,0015.870,00o

10543=⇒=

+−

+−

+−

+−

===

. No exercício no.1, calcular o valor das prestações, admitindo-se que sejam atualizadas monetariamente segundo as variações do IGP-M/FGV.

esolução:

Prestaçã

Considerando prestações antecipadas, ou seja, a última paga logo ao término da carência, o saldo devedor nessa ocasião é de $14.713,87. 3

R

Trimestre Prestação Indexador Prestação atualizada

0 360 1,000000 360,00 1 1.800,00 1,030000 1.854,00 2 1.800,00 1,060900 1.909,62 3 2.674,20 1,092727 2.922,17 4 2.674,20 1,125509 3.009,84 5 2.674,20 1,159274 3.100,13 6 2.674,20 1,194052 3.193,13 7 2.674,20 1,229874 3.288,93 8 2.674,20 1,266770 3.387,60 9 2.674,20 1,304773 3.489,22

10 2.674,20 1,343916 3.593,90

97

4. No exercício no.1, se durante o período de carência os juros fossem capitalizados e incorporados ao principal, qual seria o valor das prestações sem atualização monetária? E o valor das prestações atualizadas monetariamente segundo as variações do IGPM/FGV? Resolução:

Trimestre Prestação sem

atualização

Indexador Prestação atualizada

0 360 1,000000 360,001 – 1,030000 –2 – 1,060900 –3 3.536,63 1,092727 3.864,574 3.536,63 1,125509 3.980,515 3.536,63 1,159274 4.099,926 3.536,63 1,194052 4.222,927 3.536,63 1,229874 4.349,618 3.536,63 1,266770 4.480,109 3.536,63 1,304773 4.614,50

10 3.536,63 1,343916 4.752,93 5. No exercício no.1, considerando-se a atualização monetária de acordo com as variações do IGPM/FGV, calcular o custo efetivo aparente do financiamento. Resolução: Trimestre Saldo

devedor Juros Amorti

zação Comissão IOF Prestação Fluxo de

caixa Indexador

Fluxo de caixa

atualizado

0 12.000,00 - - -120 -240 11.640,00 1,000000 11.640,00

1 12.000,00 -1.800,00 - -1.800,00 1,030000 -1.854,00

2 12.000,00 -1.800,00 - -1.800,00 1,060900 -1.909,62

3 11.125,80 1.800,00 874,20 2.674,20 -2.674,20 1,092727 -2.922,17

4 10.120,47 1.668,87 1.005,33 2.674,20 -2.674,20 1,125509 -3.009,84

5 8.964,34 1.518,07 1.156,13 2.674 -2.674,20 1,159274 -3.100,13,20

6 7.634,79 1.344,65 1.329,55 2.674,20 -2.674,20 1,194052 -3.193,14

7 6.105,80 1.145,22 1.528,98 2.674,20 -2.674,20 1,229874 -3.288,93

8 4.347,47 915,87 1.758,33 2.674,20 -2.674,20 1,266770 -3.387,60

9 2.325,39 652,12 2.022,08 2.674,20 -2.674,20 1,304773 -3.489,23

10 0,00 348,81 2.325,39 2.674,20 -2.674,20 1,343916 -3.593,90

TIR : 19,22% A TIR do fluxo de caixa € é de 19,22% a.t.. Representa o custo efetivo aparente do financiamento. 6. No exercício no.1, considerando-se a atualização monetária de acordo com as variações do IGPM/FGV, determinar o valor do saldo devedor do financiamento ao fim do sexto trimestre. Resolução:

Trimestre Saldo devedor Indexador Saldo devedor atualizado

0 12.000,00 1,000000 12.000,00

1 12.000,00 1,030000 12.360,00

2 12.000,00 1,060900 12.730,80

98

3 11.125,80 1,092727 12.157,46

4 10.120,47 1,125509 11.390,68

5 8.964,34 1,159274 10.392,12

6 7.634,79 1,194052 9.116,33

7 6.105,80 1,229874 7.509,37

8 4.347,47 1,266770 5.507,25

9 2.325,39 1,304773 3.034,11

10 0,00 1,343916 0,00

7. Considerando-se que nos últimos quatro meses os impostos arrecadados por uma prefeitura e o IGP-di evoluíram de acordo com a tabela abaixo, estimar o crescimento ou o decréscimo real dos impostos no período considerado.

Mês Imposto nominal valor do IGP-di

Setembro $40.000,00 200,00 Outubro $48.000,00 236,00

Novembro $59.040,00 287,92 Dezembro $67.896,00 348,38

Resolução: Mês Imposto

nominal (1)

Valor do IGP-di

(2)

Variação do IGP-di

(3)

Deflator (4)

Imposto deflacionado (5) = (1)/(4)

Setembro 40.000 200,00 1,00000 40.000,00

Outubro 48.000 236,00 18,00% 1,18000 40.677,97

Novembro 59.040 287,92 22,00% 1,43960 41.011,39

Dezembro 67.896 348,38 21,00% 38.978,13 1,74190 Por meio dos valores deflacionados podemos calcular a variação real dos imposto:

Set./Out.= 1,6949% Out./Nov.= 0,8197% Nov./Dez= -4,9578% Set./Dez.= -2,5547% 8. A quantia de $81.600 foi financiada a juros de 5% a.m. a ser paga em quatro prestações mensais. pela Tabela Price. Um imposto de 2% sobre o financiamento foi pago no ato do contrato. Considerando-se uma variação constante de 10% a.m. para a taxa de inflação, construir a tabela de pagamentos mostrando as prestações em valores atualizados monetariamente.

Mês Saldo devedor Juros Amortização Imposto Prestação Inflator Prestação atualizada

0 81.600,00 - - -1.632 - 1,0000 -

1 62.667,83 4.080,00 18.932,17 23.012,17 1,1000 25.313,38

2 42.789,06 3.133,39 19.878,77 23.012,17 1,2100 27.844,72

3 21.916,35 2.139,45 20.872,71 23.012,17 1,3310 30.629,19

4 0,00 1.095,82 21.916,35 23.012,17 1,4641 33.692,11

9. No exercício no.8 , estimar o custo efetivo real e aparente (nominal) do financiamento.

Mês Saldo devedor

Juros Amorti zação

Imposto Fluxo de caixa não

atualizado

Inflator Fluxo de caixa atualizado

0 81.600,00 - - -1632 -79.968,00 1,0000 -79.968,00

1 62.667,83 4.080,00 18.932,17 23.012,17 1,1000 25.313,38

2 42.789,06 3.133,39 19.878,77 23.012,17 1,2100 27.844,72

3 21.916,35 2.139,45 17 1,3310 30.629,19 20.872,71 23.012,

99

4 0,00 1. 1,4641 33.692,11 095,82 21.916,35 23.012,17

TIR: 5,88% TIR: 16,46% •

Dados: I = 1

Custo efetivo aparente: 5,88% • Custo efetivo real: 16,46% 10. Calcular a taxa de juros mensal aparente (nominal) que permita a uma financeira auferir juros reais de 4% a.m., considerando-se as seguintes hipóteses de inflação: a) 12% a.m.

2% a.m., i = 4% a.m, i = ? ,12)-1= 16,48% a.m.

r

ri (1 i ) (1 I)-1 = i (1,04) (1= + × + ⇒ = ×

b) 420% a.a Dados: I = 420% a.a., i = 4% a.m, i = ?

I)-1 = i (1,04) (5,20) -1= 19,32% a.m.⇒ = × c) 200% a.s.

ados: I = 200% a.s., i = 4% a.m, i = ? ,00) -1= 24,90% a.m.

11. Uma aplicação de $430.000 rendeu $22.500 no prazo de nove meses. Considerando-se que a taxa de inflação foi constante e igual a 3,8% a.m., qual a rentabilidade mensal aparente e real do investimento? Dados: P = $430.000, n = 9 meses, I = 3,8% a.m., rendimento aparente = $22.500, ir = ?, i = ?

r 1/12

ri (1 i ) (1= + × +

D r 1/6

ri (1 i ) (1 I)-1 = i (1,04) (3= + × + ⇒ = ×

Rentabilidade aparente:

1/9s: (1,052326) 1 0,5683%− =

Rendimento aparente $22.500 i 5,2326% em 9 mesesAplicação $430.000

ao mê a.m.

= = =

r r (1 i) (1 i ) (1 I) i 1(1 I) 1,038+

Rentabilidade real:(1 i) 1,005683 1 0,03113 3,1134% a.m.+

+ = + × + ⇒ = − = − = − = −

12. Um equipamento é vendido por $250.000 à vista ou em 18 prestações mensais iguais com atualização monetária prefixada. Calcular o valor unitário das prestações, considerando-se juros reais de 9% a.a. e uma variação projetada de 96% a.a. para o indexador delas. Dados: P = $250.000, n = 18 meses, I = 96% a.a., ir = 9% a.a., R = ?

Taxa de juros nominal (aparente) mensal:

1/12 1/12ri (1 i ) (1 I)-1 i (1,09) (1,96) -1 6,5304= + × + ⇒ = × = % a.m.

( )( )

( )( )

18

n 18× ,

Valor da prestação mensal:P $250. =n

000 $250.000R $24.017,31 10,409161+i 1 1,065304 1

1+i i 1,065304 0 065304×

= = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2% a.m. mais atualização monetária de cordo com as variações do IGPM/FGV. Considerando-se que a variação anual do índice foi de 300%

a.a. (taxa mensal constante ao longo do período), qual o montante a ser recebido pelo investidor após eses de aplicação?

Dados: P = $132.000, n = 11 meses, I = 300% a.a., ir = 2% a.m., S = ?

13. Uma aplicação de $132.000 obteve juros efetivos dea

11 m

100

1/12r

n 11

Taxa de juros nominal (aparente) mensal:

i (1 i ) (1 I)-1 i (1,02) (4,00) -1 14,4911% a.m.

Montante ao término do prazo:

S=P(1+i) $132.000(1,144911) $584.876, 46

= + × + ⇒ = × =

= =

14. Jo de $140.000 a juros de 5% a.m. mais atualização monetária pela inflaçã r 30% da dívida daqui a 30 dias, e o saldo três meses depois. Qual será o valor desse segundo pagamento, considerando-se uma inflação de 240% a.a. (taxa mensal constante ao longo do período)?

ados: P = $140.000, I = 240% a.a., i r= 5% a.m., primeiro pagamento = 30%, segundo pagamento

i (1 i ) (1 I)-1 i (1,05) (3,40) -1 16,2731% a.m.

Valor do undo pagamento:

q=0,70 $140.000 (1,162731) $179.119,52

= + × + ⇒ = × =

× × =

15. Um financiamento de $180.000 será pago em dez prestações mensais fixas de $29.294,16 cada. onsiderando-se uma inflação de 7% a.m., calcular a taxa de juros real paga pelo financiamento.

.

ão tomou um financiamentoo do período. Pretende paga

D(q) = ?

axa de juros nominal (aparente) mensal:T1/12

r

4

seg

CDados: P = $180.000, n = 10 meses, R = $29.294,16, I = 7% a.m., ir = ? Taxa de juros nominal (aparente) mensal:

1/12 1/12r I)-1 i (1,09) (1,96) -1 6,5304% a.m+ ⇒ = × =

i (1 i ) (1= + ×

( )( )n

×1+i i

10 i% 10 i%

Valor da prestação mensal:

1+i 1P=R

Podemos destacar i (taxa de juros apoarente) usando a fórmula de Baily-Lenzi (capítulo 5):

⎡ ⎤−⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

n

$180.000 6,14457a= ⇒ =a×$29.294,16

h

( )( )

2 2n+1 10+110 29.294,161 1 0,092587176

anciamento efetivo 180.000×⎛ ⎞− = − =⎟ ⎜ ⎟

⎠ ⎝ ⎠

n R =Fin⎜

⎝⎛ ⎞

12 n-1 h 12 9 0,092587176 i=h 0,092587176 10% a.m.12-2 n-1 h 12 2 9 0,092587176

Taxa de real:

⎡ ⎤− ⎛ − × ⎞= × ≈⎢ ⎥ ⎜ ⎟− × ×⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

r r(1 I) (1,0+(1 i =

+i) (1,10)-1 i -1= 2,8% a.m 7)

⇒ =

16. Uma pessoa aplicou $200.000 em um plano de capitalização. Após oito meses, resgatou o investimento cujo saldo bruto na época foi de $280.000. Considerando-se que o banco cobra taxas administrativas de 4% sobre o valor resgatado e que foi pago um imposto de 3,5% sobre o rendimento da aplicação, calcular a rentabilidade efetiva aparente e real da aplicação, tendo em conta que a inflação no período foi de 26% Dados: P = $200.000, n = 8 meses, S = $280.000, tsb = 4%, imposto = 3,5%, I = 26%, i = ?, i r= ?

101

102

Rendimento líquido da aplicação = Montante bruto - tarifa bancária - impostoRendimento líquido da aplicação = $280.000 - 0,04 $280.000 - 0,035 ($280.000-$200.000)-$200.000 Rendimento líquido da apl

× ×

r

r r

icação = $66.000

$66.000Taxa de rendimento aparente (i) no período= 33%$200.000

Taxa de rendimento real (i ) no período:

1+i 1,33 i = -1 i -1= 5,56% no período1+i 1,26

=

⇒ =

17. Uma empresa tomou emprestados $800.000 pelo prazo de nove meses a juros efetivos de 15% a.a mais atualização monetária definida pelas variações do IGPM. Correm por conta da empresa o imposto sobre operações financeiras (IOF) de 0,4% e uma taxa de abertura de crédito de 4% sobre o valor do empréstimo (pagos no ato da liberação do empréstimo). Se o empréstimo fosse liquidado por meio de um único pagamento ao final do prazo, qual seria o custo efetivo aparente e real do financiamento, considerando-se uma variação de 100% no período para o IGPM? Dados: P = $800.000, n = 9 meses, IOF = 0,4%, tac = 4%, I = 100%, i Br B= 15% a.a., iBr B= ? Valor líquido liberado = Empréstimo - tarifa de abertura de crédito - imposto

0,4 = $800.000 - 0,04 $800.000 - $800.000100

= $764.

× ×

1/12 1/9r

n 9

800

Taxa de juros nominal (aparente) ao mês:

i (1 i ) (1 I)-1 i (1,15) (2,0) -1 9,2713% a.m

Montante ao término do prazo:

S=P(1+i) $800.000(1,092713) $1.776.819,71 Custo ef

= + × + ⇒ = × =

= =

1/9

etivo aparente do empréstimo:Montante $1.776.819,71 i = -1 i -1= 132,32% no período

Valor líquido liberado $764.800

ao mês: (2,3232) 1 9,8189% a.m.

Custo efetivo real do empréstimo:

⇒ =

− =

r

1/9

1+i 2,3232 i -1= -1=16,16 no período 1+I 2,0000

ao mês: (1,1616) 1 1,6786% a.m.

=

− =

UCAPÍTULO 10 Exercícios Propostos

1. Calcular a TIR dos seguintes fluxos de caixa:

103

a) b) c) d) ano fluxo de caixa ano fluxo de caixa ano fluxo de caixa ano fluxo de caixa 0 - $100 0 $100 0 $400 0 -$200 1 $700 1 -$200 1 $400 1 $700 2 -$1.200 2 $150 2 -$1.000 2 -$600 Resolução: a) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação:

01.200X700100X:(-1)por ndomultiplica e TIR)(1X fazendo

01.200-TIR)(1700TIR)(1100

0)TIR1(

200.1TIR)(1

700100-

2

2

2

=+−

+==+++−

=+

−+

+

Resolvendo a equação quadrática do tipo aXP

2 P+ bX + c = 0:

%200 131XTIR %300141XTIR :Assim

3.X e 4X :Logo

200

1007000012

)200.1(100)(4(-700))00(-7-

2a4acbb-=X

22

=−=−==−=−=

==

±=

×

××−±=

−±

b) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação:

2

2

2

200 150100- 0(1 TIR) (1 TIR)

100(1 TIR) 200(1 TIR)+150 0fazendo X (1 TIR)

100X 200X 150 0

− =+ +

+ − + == +

− + =

Resolvendo a equação quadrática do tipo aXP

2 P+ bX + c = 0:

5,01XTIR :Assim

5,01X :Logo

5,010012

)150(100)(4(-200))00(-2-

2a4acbb-=X

22

−±=−=

−±=

−±=×

××−±=

−±

A TIR encontrada representa números imaginários, sem nenhum sentido na análise econômica de alternativas de investimento. c) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação:

2

2

2

400 1000400+ 0(1 TIR) (1 TIR)

400(1 TIR) 400(1 TIR)-1000 0fazendo X (1 TIR)

400X 400X-1000 0

− =+ +

+ + + == +

+ =

Resolvendo a equação quadrática do tipo aXP

2 P+ bX + c = 0:

22 -(400) (400) 4 (400) ( 1000)-b b 4ac 400 1326,65X=

2a 2 400 800± − × × −± − − ±

= =×

logo: X 1,1583 e X 2,1583.Assim: TIR X 1 1,1583 1 15,83%

= = −= − = − =

104

O valor negativo é descartado. d) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação:

2

2

2

700 600-200 0(1 TIR) (1 TIR)

200(1 TIR) 700(1 TIR)-600 0fazendo X (1 TIR) e multiplicando por (-1):

200X 700X 600 0

+ − =+ +

− + + + == +

− + =

Resolvendo a equação quadrática do tipo aXP

2 P+ bX + c = 0 :

22 -(-700) (-700) 4 (200) (600)-b b 4ac 700 100X= 2a 2 200 400

Logo: X 2 e X 1,5.Assim: TIR X 1 2 1 100% TIR X 1 1,5 1 50%

± − × ×± − ±= =

×= =

= − = − == − = − =

2. Calcular a TIR de um projeto que requer um investimento inicial de $2.000.000 e produz um fluxo de caixa de $240.000/ano durante 15 anos. Resolução: Basicamente, trata-se de resolver a TIR na seguinte expressão:

0TIR)(1

$240.000.........TIR)(1

$240.000TIR)(1

$240.000000.000.2$VPL 152 =+

−−+

−+

−=

• Interpolação linear: Taxa aproximada:

Taxa VPL TIR( i*) = 8% + ( ) %4418,8%8%9

)(65.434,78-54.274,89-89,274.54

=−×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

8% -54.274,89 9% +65.434,78

3. A RIOLUX instalou um sistema de geração de energia elétrica a um custo de $30 milhões. Os custos operacionais do equipamento são de $120.000/mês, e sua vida é estimada em 15 anos. Considerando-se que a empresa deseja uma rentabilidade mínima de 12% a.m., determinar o custo mensal que deve ser repassado aos usuários do sistema de modo que cubra os gastos operacionais e remunere adequadamente o capital empregado. Resolução: Considerando uma perpetuidade:

180

180 12% 180

120.00030.000.000 30.000.000 1.000.000 31.000.0000,12

31.000.000 3.720.0008,3333

(1,12) 1 723.176.125,3 8,333386.781.135,15(1,12) 0,12

VPL

CAE

a

= + = + =

= =

⎡ ⎤−= = =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

4. Uma empresa industrial estuda a viabilidade econômica de um projeto de investimento orçado em R$ 981.815,00. Considerando-se que o projeto tem duração prevista de vinte anos e que o estudo de viabilidade econômico-financeira projetou fluxos de caixa líquidos de R$ 100.000 por ano, calcular a TIR do projeto. Resolução: Podemos encontrar a TIR deste problema resolvendo a seguinte equação:

105

2 20100.000 100.000 100.000981.815 0 8%(1 ) (1 ) (1 )

TIRTIR TIR TIR

− + + + + = → =+ + +

K

5. Considere as seguintes alternativas de investimento mutuamente exclusivas: Fluxos de Caixa

Considerando-se um custo do capital de 10% a.a., pede-se: a) a TIR das alternativas; b) a TIR do fluxo incremental A-B; c) o VPL das alternativas e do fluxo incremental; d) identifique pela análise do fluxo incremental qual é a alternativa preferível. Resolução: a) Cálculo da TIR:

225 125100 + 0 25%

(1+TIR) (1+TIR)TIR− + = → =

b) Cálculo da TIR do fluxo incremental:

270 800 + =0¨ 14, 285%

(1+TIR) (1+TIR) A BTIR −− − → =

c) Cálculo dos VPL’s

A 2

B 2

incremental 2

25 125PL =-100+ + =$26,03(1,1) (1,1)

95 45VPL =-100+ + =$23,55(1,1) (1,1)

70 80VPL =0- + =$2,479(1,1) (1,1)

V

d) Como TIRBA-BB > 10% A é preferível. 6. Considere as seguintes alternativas mutuamente exclusivas: Fluxo de Caixa

ALTERNATIVAS ano 0 ano 1 ano 2 alternativa α -$100 $120 $30 alternativa β -$100 $40 $140

Determinar a taxa de desconto que faz as duas alternativas ser igualmente atrativas para o investidor. Resolução:

280 1100+ - =0 TIR 37,5%

(1+TIR) (1+TIR) α β−→ =

7. Uma empresa estuda a possibilidade de substituir um equipamento. Ela dispõe de duas alternativas mutuamente exclusivas, o equipamento N e o equipamento V. Os fluxos de caixa estimados são os seguintes:

Fluxo de Caixa ALTERNATIVAS ano 0 ano 1 ano 2 Equipamento N -$100 $1.000 $200 Equipamento V -$90 $300 $1.400

Considerando-se um custo do capital de 10% a.a., pede-se identificar qual é a melhor escolha: a) pela análise do fluxo incremental; b) pela comparação dos VPLs individuais das alternativas. Resolução: a) Cálculo do fluxo incremental N-V:

ALTERNATIVAS ano 0 ano 1 ano 2 Alternativa A -$100 $25 $125 Alternativa B -$100 $95 $45

106

N-V 2700 1200VPL = 10 $ 365,4(1,1) (1,1)

− + − = −

Assim, como VPLBN-V B foi negativo, será melhor escolher o projeto V. b) Analisando-se individualmente:

N 21000 200VPL =-100+ + =$974,38(1,1) (1,1)

V 2300 1400VPL =-90+ + =$1.339,75(1,1) (1,1)

Como VPLBV B > VPLBN B , então a melhor alternativa é o equipamento V. 8. Uma empresa estuda a troca de uma máquina velha por uma nova. Com as seguintes informações, determinar se a máquina deve ou não ser substituída.

Umáquina velha (V)U Umáquina nova (N)U

Investimento inicial - $25.000 Custo operacional $12.000/ano $8.000/ano Vida útil 2 anos 6 anos custo do capital 6% a.a. 6% a.a.

Resolução: Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos o CAE como critério de seleção:

V

N6 6%

N V

CAE $12.000$25.000CAE 8.000 5.084,18 8.000 13.084,18

Como CAE >CAE melhor manter o equipamento.

a

=

= + = + =

⇒

9. Determinar qual projeto é preferível: 10. Determinar qual projeto é preferível: Projeto X Projeto Y Projeto A Projeto B investimento inicial $1.000 $600 investimento inicial $210.000 $360.000 fluxo de caixa $200/ano $100/ano custo operacional/ano $72.000 $82.000 vida útil 100 anos 90 anos vida útil 10 anos 12 anos custo do capital 10% a.a. 10% a.a. custo do capital 15% a.a. 18% a.a. valor residual 0 0 receitas/ano $160.000 $210.000 valor residual 0 $50.000 Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de seleção: Resolução:

107

x

100

x 100 10% 100

y

Para x considerando o fluxo em perpetuidade:200VPL =-1000+ =10000,1

1000 (1,1) 1AE = =$99,60 onde: 10,01610,016 (1,1) 0,1

Para y considerando o fluxo em perpetuidade:

VPL =-600+

a⎡ ⎤−

= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

90

y 90 10% 90

100 =4000,1

400 (1,1) 1AE = =$40 onde: 9,9989,998 (1,1) 0,1

a⎡ ⎤−

= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

Conclui-se que o projeto X é o melhor. 10. Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de seleção: Resolução:

A 10

10

A 10 15% 10

B

Para A:160.000-72.000 160.000-72.000PL =-210.000+ +L+ $231.651,64

1,15 (1,15)

231.651,64 (1,15) 1AE $46.155 onde: 5,0195,019 (1,15) 0,15

Para B :210.000 82.00VPL =-360.000

V

a

=

⎡ ⎤−= = = =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

−+ 12

12

B 12 18% 12

B A

0 210.000 82.000 $260.435,871,18 (1,18)

260.435 (1,18) 1AE $54.325,38 onde: 4,7944,794 (1,18) 0,18

AE >AE O projeto B é melhor.

a

−+ + =

⎡ ⎤−= = = =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦⇒

L

11. Qual dos equipamentos, A ou B, é mais adequado economicamente? Considerar um custo de oportunidade do capital de 10% a.a..

Equipamento Investimento Custo operacional/ano Vida útil A $18.000 $2.860 13 anos B $28.000 $1.960 18 anos

Resolução: Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos o CAE como critério de seleção:

108

A 2 13

13

A 13 10% 13

B 2

Para A:2.860 2.860 2.860VPL =18.000+ + +L+ =$38.315,601,1 (1,1) (1,1)

$38.315,60 (1,1) 1AE = =$5.394,05 onde: 7,10337,1033 (1,1) 0,1

Para B :1.960 1.960 1.960VPL =28.000+ + +

1,1 (1,1) (1

C a⎡ ⎤−

= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

18

18

B 18 10% 18

B A

=$44.074,76,1)

$44.074,76 (1,1) 1CAE = =$5.374 onde: 8,20148,2014 (1,1) 0,1

CAE <CAE O projeto B é melhor.

a⎡ ⎤−

= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

⇒

12. Calcular o VPL e a anuidade uniforme equivalente nas alternativas mutuamente exclusivas a seguir. Determinar qual delas representa a melhor escolha econômica. U alternativa XU Ualternativa Y investimento inicial $5.000 $8.000 fluxo de caixa $1.672/ano $1.594/ano duração 5 anos 10 anos custo do capital 10% a.a. 10% a.a. Resolução: Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de seleção:

X 2 5

5

X 5 10% 5

Y 2 10

Para X:1.672 1.672 1.672VPL =-5.000+ + $1.338,20

1,1 (1,1) (1,1)

$1.338,20 (1,1) 1AE = =$353 onde: 3,7903,790 (1,1) 0,1

Para Y :1.594 1.594 1.594PL =-8.000+ + $1.794

1,1 (1,1) (1,1)

a

V

+ + =

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + =

L

L

10

Y 10 10% 10

Y X

,44

$1.794,44 (1,1) 1AE $292 onde: 6,144656,14465 (1,1) 0,1

AE <AE A alternativa X é melhor.

a⎡ ⎤−

= = = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

→

13. Uma empresa cujo custo de oportunidade do capital é de 7% a.a. estuda a possibilidade de comprar uma máquina. Ela pode escolher entre a máquina A e a máquina B, e dispõe das seguintes informações sobre as alternativas de investimento: máquina A máquina B Investimento inicial $19.000 $25.000 Fluxo de Caixa $12.000/ano $8.000/ano Vida útil 4 anos 6 anos Valor Residual 0 0 Para as duas alternativas de investimento, calcular: 1) o Valor Presente Líquido; 2) A Taxa Interna de Retorno; 3) a anuidade uniforme equivalente.Determinar qual projeto é preferível. Resolução: Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de seleção:

109

A 2 3 4

4

A 4 7% 4

Para máquina A:12.000 12.000 12.000 12.000VPL =-19.000+ + + + =$21.646,54(1,07) (1,07) (1,07) (1,07)

$21.646,54 (1,07) 1AE = =$6.390,67 onde: 3,38823,3882 (1,07) 0,07

12.000 119.000+ +(1+TIR)

a⎡ ⎤−

= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

− A2 3 4

B 2 6

6

B 6 7%

2.000 12.000 12.000+ + =0 ÞTIR =51,01%(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)

Para máquina B :8.000 8.000 8.000VPL =-25.000+ $13.132,32(1,07) (1,07) (1,07)

$13.132,32 (1,07) 1AE = =$2.755,11 onde: 4,76658 (

a

+ + + =

−=

L

6

B2 6

B A

4,766581,07) 0,07

8.000 8.000 8.000-25.000+ + +L+ =0 TIR =22,56%(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)

AE <AE A maquina A é melhor.

⎡ ⎤=⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

⇒

⇒

14. Qual das alternativas mutuamente exclusivas, A ou B, é melhor, considerando-se um custo do capital de 5% a.a.? Fluxos de Caixa ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 alternativa A -$14 $8 $8 alternativa B -$11 $5 $5 $5 Resolução:

A 2

2

A 2 5% 2

B 2 3

B

Alternativa A:8 8VPL =-14+ + =$0,8753

(1,05) (1,05)

0,8753 (1,05) 1AE $0,4707 onde: 1,859411,85941 (1,05) 0,05

Alternativa B:5 5 5VPL =-11+ + + =$2,6162

(1,05) (1,05) (1,05)

2,6162AE2,

a⎡ ⎤−

= = = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

=3

3 5% 3

B A

(1,05) 1$0,960672 onde: 2,72337233 (1,05) 0,05

AE >AE Þ A alternativa B é melhor.

a⎡ ⎤−

= = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

15. Uma empresa industrial pretende terceirizar durante três anos a fabricação de determinada peça.Um estudo mostrou que para produzir 8.000 peças/ano é necessário um investimento inicial de $200.000 em equipamentos e custos operacionais totais de $18.000/ano se a peça for fabricada internamente. Se a fabricação for terceirizada, o preço de compra será de $12/peça. Considerando um custo do capital de 8% a.a., determinar se a fabricação da peça deve ou não ser terceirizada. Resolução:

110

fabricar 2 3

2

fabricar 3 8% 2

terceirizar

18.000 18.000 18.000VPL =200.000+ + + =$246.387,74(1,08) (1,08) (1,08)

$246.387,74 (1,08) 1CAE = =$95.606 onde: 2,577122,57712 (1,08) 0,08

Para terceirizar:CAE =$96

a⎡ ⎤−

= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

terceirizar fabricar

.000CAE >CAE ÞO melhor é fabricar .

16. Uma bomba hidráulica instalada em um poço artesiano tem custos operacionais de $450/ano, considerados muito altos para o tipo de instalação. Trocá-la por um equipamento mais moderno representaria um investimento líquido de $1.230 sem valor residual. Uma projeção indica que a nova bomba teria os seguintes custos operacionais/ano ao longo de sua vida útil:

ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 5

custos operacionais: 0 $250 $200 $150 $100 $50

Considerando um custo de oportunidade do capital de 2% a.a., calcular o custo anual uniforme equivalente (CAE) das duas alternativas (trocar e não trocar a bomba) e determinar se a bomba deve ou não ser substituída. Não levar em consideração efeitos fiscais. Resolução:

2 5

5

NT 5 2% 5

Não trocar a bomba:450 450 450VPL= $2.121,05

(1,02) (1,02) (1,02)

$2.121,05 (1,02) 1CAE = =$449,98 onde: 4,71374,7137 (1,02) 0,02

Trocando o Equipamento:250VPL=-1.230+

(1,02)

a

+ + + =

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

L

2 3 4 5

5

T 5 2% 5

NT T

200 150 100 50+ $1.946,35(1,02) (1,02) (1,02) (1,02)

$1.946,35 (1,02) 1CAE = $412,92 onde: 4,71374,7137 (1,02) 0,02

CAE >CAE O melhor é comprar um novo equipamento .

a

+ + + =

⎡ ⎤−= = =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦⇒

17. Atualmente, a operação de um equipamento produz uma receita líquida de $200/ano. Existe a possibilidade de trocá-lo por um novo equipamento orçado em $4.800 com vida útil de cinco anos e sem valor residual. No caso da troca de equipamentos, o fluxo de caixa líquido aumentará geometricamente nos próximos cinco anos de acordo A seguinte projeção:

ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 5

Fluxo de caixa: -$4.800 $200 $400 $800 $1.600 $3.200

Considerando um custo de oportunidade do capital de 5% a.a., calcular as anuidades uniformes equivalentes (AE) para as duas alternativas (trocar e não trocar o equipamento) e determinar se o equipamento deve ou não ser substituído. Não considerar efeitos fiscais. Resolução:

111

2 5

5

NT 5 5% 5

2 3 4

Não trocar :200 200 200VPL= $865,90

(1,05) (1,05) (1,05)

865,90 (1,05) 1AE = =$200 onde: 4,329454,32945 (1,05) 0,05

Trocar:200 400 800 1.600 3.VPL=-4.800

(1,05) (1,05) (1,05) (1,05)

a

+ + + =

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + + +

L

5

5

T 5 5% 5

NT T

200 $267,97(1,05)

267,97 (1,05) 1AE = =$61,90 onde: 4,329454,32945 (1,05) 0,05

AE >AE O melhor é manter o equipamento .

a

=

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦⇒

18. Para as seguintes alternativas mutuamente exclusivas, calcular a TIR e o VPL. Se o custo do capital for de 10% a.a., determinar a melhor alternativa.

Fluxos de Caixa ano A B C D 0 -$1.500 -$1.500 -$1.500 -$1.500 1 150 0 150 300 2 1.350 0 300 450 3 150 450 450 750 4 -150 1.050 600 750 5 -600 1.950 1.875 900

Resolução:

A2 3 4 5

B2 3 4 5

Calculando os valores da TIR:150 1.350 150 150 600-1.500+ + + - - =0 TIR =-200%

(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)0 0 450 1.050 1.950-1.500+ + + + =0 TIR =20,9%

(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)15-1.500+

⇒

+ ⇒

C2 3 4 5

D2 3 4 5

A

0 300 450 600 1.875+ + + + =0 TIR =22,8%(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)

300 450 750 750 900-1.500+ + + + + =0 TIR =25,4%(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)

Calculando os valores do VPL:150VPL =-1.500+(1

⇒

⇒

2 3 4 5

B 2 3 4 5

C 2 3 4 5

D

1.350 150 150 600+ + - - =$-610,22,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)0 0 450 1.050 1.950VPL =-1.500+ + + + + =$766,03

(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)150 300 450 600 1.875VPL =-1.500+ + + + + =$796,43(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)

VPL =-1. 2 3 4 5300 450 750 750 900500+ + + + + =$779,19(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)

A melhor alternativa é a opção C (€O VPL é o critério apropriado, pois as alternativas tem a mesma e escala e prazo). 19. Uma prensa hidráulica nova custa $90.000. A máquina pode ser operada até o término de sua vida útil de quatro anos ou substituída antes desse prazo. O equipamento será depreciado linearmente em quatro anos e gera um fluxo de caixa operacional líquido de $30.000/ano. A um custo do capital de

112

20% a.a., determinar a época ótima de substituição da máquina. A empresa dispõe das seguintes informações sobre os valores de mercado de máquinas similares usadas:

Anos de uso da máquina: 1 2 3 4 Valor de mercado (no final do respectivo ano): $80.000 $72.000 $68.000 $34.000 Resolução:

1

1

1 1 20% 1

2

Calculando os VPLs e as anuidades equivalentes das alternativas:30.000+80.000VPL =-90.000+ =$1.666

(1,2)

1.666 (1, 2) 1AE = =$1.999,20 onde: 0,83330,8333 (1, 2) 0,2

VPL =-90.000

a⎡ ⎤−

= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

2

2

2 2 20% 2

3 2 3

3

30.000 30.000 72.000 $5.833,33(1,2) (1, 2)

5.833,33 (1,2) 1AE = =$3.818,37 onde: 1,52771,5277 (1,2) 0,2

30.000 30.000 30.000 68.000VPL =-90.000+ + $12.546,29(1,2) (1,2) (1,2)

12AE =

a

++ + =

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

++ =

3

3 20% 3

4 2 3 4

4

.546,29 (1, 2) 1=$7.859,11 onde: 1,59641,5964 (1, 2) 0, 2

30.000 30.000 30.000 30.000+34.000VPL =-90.000+ + + + =$4.058,44(1,2) (1,2) (1,2) (1,2)

4.058,44AE = =$1.567,73 onde2,58873

a⎡ ⎤−

= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

4

4 20% 4(1, 2) 1: 2,58873

(1,2) 0, 2a

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

A época ótima para substituição seria o terceiro ano. 20. Um equipamento pode ser usado por cinco anos ou substituído antes desse prazo. Considerando-se um custo do capital de 10% a.a. e com os seguintes VPLs para cada uma das alternativas de substituição, calcular as anuidades uniformes equivalentes (AE) e determinar o período ótimo de substituição do equipamento.

ano: 1 2 3 4 5 VPL: $2.000 $5.000 $7.000 $8.000 $10.000

Observação: cada alternativa de substituição do equipamento (substituir no primeiro, segundo ou quinto ano) é mutuamente exclusiva em relação às outras. Resolução:

113

1

1 1 10% 1

2

2 2 10% 2

3

2.000 (1,1) 1 0,1AE = $2.200 onde: 0,90900,9090 0,11(1,1) 0,1

5.000 (1,1) 1AE = $2.880,95 onde: 1,7355371,735537 (1,1) 0,1

7.000AE $2.814,80 2,48685

a

a

−= = = =

×

⎡ ⎤−= = =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

= =3

3 10% 3

4

4 4 10% 4

5

5 5 10% 5

(1,1) 1onde: 2, 48685(1,1) 0,1

8.000 (1,1) 1AE $2.523,76 onde: 3,1698653,169865 (1,1) 0,1

10.000 (1,1) 1AE $2.637,98 onde: 3,79078 (1,1) 0,1

a

a

a

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤−

= = = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤−= = = ⎢

×⎢⎣3,79078=⎥

⎥⎦

O período ótimo de substituição é o segundo período. 21. O fluxo de caixa de um projeto de plantação de eucaliptos para fabricação de papel e celulose é dado em função do tempo: FBtB = 10.000 (1 + t) P

1/2P. O VPL do projeto com t anos de duração pode ser

expresso por: VPLBtB = FBt B eP

-k tP - C

onde: k = 5% a.a.(custo do capital) C = $15.000 (investimento inicial) T = tempo. Determinar o tempo ótimo de corte das árvores usando como critério decisório o método do VPL. Resolução:

( ) ( )( )

( )

( )

12

1 1-2 2

-kt-kt

VPL(t)=p[(1+t) ×exp(-Kt)]-CMaximizar VPL(t):d VPL(t) =0

dt

d VPL(t) 1=p[ (1+t) ×exp(-Kt)-k 1+t ×exp -kt ]=0dt 2

e =k× 1+t×e2× 1+t2k 1+t =1

1t= -12k

k=0,05 t=9 anos

22. Uma empresa deve arrendar operacionalmente um equipamento. O valor do equipamento é de $27.000, com vida útil de três anos. A sociedade arrendadora propõe um contrato de três anos, comprometendo-se a arcar com os gastos gerais de manutenção, estimados em $3.000/ano. A alíquota de IR da arrendadora é de 30%, e seu custo do capital é de 10% a.a.. Calcular o valor da prestação anual mínima líquida do IR a ser cobrada da arrendatária. Resolução: Dados da operação: • valor do equipamento = $27.000; • vida útil do equipamento = 3 anos; • prazo da operação = 3anos; • alíquota de IR do arrendador = 30%; • custo do capital do arrendador = 10% a.a.; • gastos de manutenção = $3.000/ano.

114

O quadro abaixo mostra os fluxos de caixa relevantes à análise da operação do ponto de vista do arrendador:

Fluxo de Caixa ITEM ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 • Valor do equipamento • Gastos de manutenção

-27.000

-3.000

-3.000

-3.000

• Efeitos fiscais dos gastos de manutenção (a) da depreciação do equipamento (b)

900 2.700

900 2.700

900 2.700

Fluxo de caixa incremental líquido -27.000

600 600 600

No quadro, observam-se dois itens relativos aos efeitos fiscais: (a) e (b). Vejamos o significado: (a) A operação de Leasing Operacional proporciona vantagens fiscais ao arrendador, uma vez que este pode deduzir como despesa os gastos gerais de manutenção, administrativos , seguros etc. incorridos no arrendamento do bem. O benefício fiscal será igual ao valor da despesa vezes a alíquota de I.R ($3.000 × 0,30 = $600). (b) Como proprietário do equipamento, o arrendador ganha o benefício fiscal da depreciação, que será igual à alíquota de imposto de renda vezes o valor da quota de depreciação anual (0,30 × $27.000/3 = $3.000). • Cálculo do VPL Valor presente líquido do investimento realizado pelo arrendador usando como fator de desconto seu custo de oportunidade do capital de 10%:

( ) ( )

89,507.25$10,1600$

10,1600$

10,1600$000.27$VPL(7%)

32=−−−=

• Cálculo da prestação mínima A prestação mínima a ser cobrada da arrendatária será igual a uma anuidade uniforme equivalente calculada sobre o VPL do arrendador:

3 10

VPL $25.507,89 AE= $10.257,102, 48685a

= =

O valor da anuidade ou prestação, acima calculada, permite ao arrendador auferir uma rentabilidade compatível com seu custo de oportunidade do capital. Como essa prestação representa uma receita operacional na contabilidade do arrendador sobre a qual deverá pagar IR, a prestação mínima líquida a ser cobrada da arrendatária será:

653.14$)30,01(

10,257,10$=T)-(1

AEmínima prestação =−

=

onde T é a alíquota de imposto do arrendador. Logo, podemos concluir que, considerando unicamente os aspectos financeiros da operação, a prestação de equilíbrio financeiro é de $14.653. 23. Determinar qual é a melhor alternativa do ponto de vista financeiro: comprar o equipamento ou contratar uma operação de leasing financeiro. Dados da operação:

• valor do equipamento (igual ao valor da operação) = VO = $21.000; • valor residual diluído nas prestações; • prazo de depreciação do equipamento (igual ao prazo do arrendamento) = 15 períodos; • alíquota de IR = 35%; • taxa de juros cobrada no leasing (iBA B) = 7% por período; • taxa de juros da empresa (i) = 10% por período.

Resolução: Trata-se de avaliar uma operação de leasing financeiro (pessoa jurídica) abordada na Seção 10.10 do livro. A seguir, são calculados os valores necessários para avaliar o contrato usando o modelo de

115

MDB (Myers, Dill e Bautista). O modelo permite determinar, em termos de valor presente, a vantagem ou desvantagem do leasing em relação à compra financiada. • Cálculo da taxa de arrendamento e das prestações:

1515 7%n %A

15

t

100% 100% 100%TA = 10,9795% por período(1,07) 1i

(1,07) 0,07R VO TA $21.000 10,9795% /100 $2.305,69 por período

a a= = =

⎡ ⎤−⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦= × = × =

• Cálculo da quota de depreciação por período:

períodopor 4001$= 15

000.21$ N

VOD t ==

• Cálculo do numerador do somatório da fórmula: $1.988,70$1.4000,350,35)-(169,305.2$DTT)(1R tt =×+×=×+− ¨

• Cálculo da taxa de juros (após IR) da empresa: iP

* P= i × (1–T) = 10% × (1–0,35) = 6,5%

• Cálculo do valor presente da vantagem financeira do leasing em relação à compra:

( )

glea

a

sin o selecionar 0 V Como 094,300.2$40267,91.988,70-$21.000

1.988,70-$21.000i1

DTT)(1RVOV

C-L

4L

1t

6,5% 15t*

tt

C-L

⇒>>=×=

=

×=+

×+−−= ∑

=

=

24. Calcular a taxa de arrendamento e o valor das contraprestações para uma operação de leasing financeiro de $20.000 com prazo de 24 meses sem valor residual e com contraprestações pagas ao fim de cada mês. Considerar uma taxa de juros de 5% a.m. fixada pela instituição financeira que intermedia o financiamento. Resolução: Taxa de arrendamento sem valor residual:

24n %A

24

0

100% 100% 100%TA 7, 2471%13,79864(1,05) 1i

(1,05) 0,057,2471Prestação mensal: R=V ×TA=20.000 $1.449, 42

100

a= = = =

⎡ ⎤−⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

× =

25. A taxa de arrendamento para uma operação de leasing financeiro sem valor residual e com prazo de 36 meses é de 5,2887% a.m.. Calcular a taxa de juros aplicada pela instituição financeira. Resolução:

36n % AA

36A A

36 36A A A

A

Taxa de juros sem valor residual:100% 100%TA 5,2887%

(1+i ) 1i (1+i ) i

5,2887 (1+i ) 1 100 [(1+i ) i ]

Pelo método das tentativas e aproximações i 4% a.m.

a= = =

⎡ ⎤−⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤× − = × ×⎣ ⎦⇒ =

26. Calcular a taxa de juros aplicada em uma operação de leasing financeiro com prazo de 48 meses, taxa de arrendamento de 3,9195% a.m. e valor residual de 4% a ser cobrado ao término da operação. Resolução:

116

An %A

A48A

48A A

48 48A A A A

Taxa de juros com valor residual:(100% VRG%) TA + i ×VRG%

i100% 4%3,9195% i 4%

(1+i ) 1 (1+i ) i

3,9195 (1+i ) 1 96 [(1+i ) i ] 4 i

Pelo método das tentativas e apr

a−

=

−= + ×

⎡ ⎤−⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤× − = × × + ×⎣ ⎦

Aoximações i 3% a.m.⇒ =

27. Considerando uma taxa de juros aplicada pela instituição financeira de 5% a.m., determinar a taxa de arrendamento e o valor da contraprestação para uma operação de leasing financeiro no valor de US$200.000, com prazo de 28 meses e valor residual garantido de 5% cobrado ao fim da operação. Resolução:

An %A

28

28

0

Taxa de arrendamento com valor residual:(100%-VRG%)TA= i VRG%

i100% 5% 95%TA 0,05 5% 0, 25% 6,6266% a.m.

2,920129(1,05) 1 0,19600(1,05) 0,05

Prestação mensal: R=V ×TA=200.000×

a+ ×

−= + × = + =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦×⎢ ⎥⎣ ⎦6,6264 =US$13.253,28

100⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

28. No exercício anterior, se for concedido um período de carência de 2 meses para o início do pagamento das prestações, calcular a taxa de arrendamento e o valor das prestações. Resolução:

( )

( )

AA

A

c

cn c i %

2

26 5%

Taxa de arrendamento para carência de dois meses:

100% 1 i VRG%TA i VRG%

100% 1,05 5% 0,05 5% 7,571% a.m

7,571Prestação mensal: R $200.000 US$15.14100

a

a

−

× + −= + ×

× −= + × =

= × = 3,29

29. Uma concessionária vende por meio de leasing um veículo cujo valor à vista é $20.000,00. Devem ser pagas uma entrada de 20% e 36 prestações mensais iguais. Considerando-se que a instituição financeira aplica juros de 3% a.m., calcular a taxa de arrendamento e o valor das prestações. Resolução:

A

36n i %

36

0

Taxa de arrendamento e prestação:(100% -VRG%) 100%-20% 80%TA= = =3,6643% a.m.

1,898278(1,03) -1 0,086948(1,03) ×0,03

3,6643Prestação: R=V ×TA=$20.000× =$732,86100

a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

117

30. Por um veículo adquirido pelo sistema leasing, paga-se determinada entrada e mais 24 prestações mensais iguais. Considerando-se uma taxa de arrendamento de 4% a.m. e que a instituição financeira aplica uma taxa de juros efetiva de 3% a.m., calcular a porcentagem paga como entrada. Resolução:

An i %

24

24

Porcentagem paga com entrada(VRG):(100% VRG%)TA=

100% VRG% 100% VRG%4% 4%1,032794(1,03) 1 0,06098(1,03) 0,03

67,746%=100%-VRG% VRG=32,254%

a−

− −= ⇒ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦×⎢ ⎥⎣ ⎦⇒

31. A taxa de arrendamento de uma operação de leasing é de 5,0954% a.m. Considerando-se um VRG de 15% pago ao término da operação e que a instituição financeira que intermedia o financiamento aplica uma taxa de juros de 4% a.m., determinar o prazo da operação em meses. Resolução:

An i %

n

n

n n

Prazo em meses:(100% VRG%) TA

100% 15%5,0954%(1,04) 1

(1,04) 0,04

5,0954%×[(1,04) -1]=85%×[(1,04) ×0,04]por tentativa, temos que: n =36 meses.

a−

=

−=

⎡ ⎤−⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

32. Determinar a taxa de juros aplicada em um arrendamento de 24 meses em que o VRG de 20% é pago na entrada e a taxa de arrendamento é de 4,7238% a.m.. Resolução:

A

An i %

A24

24

24 24A A A A

Taxa de juros aplicadas em operação:(100% VRG%) TA +i ×VRG%

100%-20%4,7238%= +i ×20%(1+i) -1 (1+i) ×i

4,7238%×[(1+i ) -1]-i ×20%=80%×[(1+i ) ×i ]Por aproximações e tentativas, t

a−

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Aemos que: i =3% a.m.

33. O quadro a seguir mostra os fluxos de caixa de quatro projetos mutuamente exclusivos:

Ano Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D 0 -85.000 -150.000 -250.000 -378.000 1 40.000 78.000 0 390.000 2 40.000 78.000 0 0 3 40.000 78.000 0 0 4 40.000 78.000 700.000 150.000

Vida útil (anos) 4 4 4 4

Admitindo-se que o custo do capital adequado para análise econômica seja de 20% a.a., pede-se: a) Estimar os seguintes indicadores de rentabilidade para cada projeto: VPL, TIR, Relação Custo-

Benefício (B/C), Pay-back (PB), Anuidade Uniforme Equivalente (AE). b) Selecionar a melhor alternativa usando o VPL e a AE. c) Fazer uma análise que mostre o processo de seleção entre as alternativas A e C como função do

custo de oportunidade do capital.

118

Resolução: a) Podemos calcular as TIRs das alternativas a partir das seguintes equações:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )%99,23TIR 0

TIR1$150.000

TIR1$390.000$378.000

%36,29TIR 0TIR1

$700.000$250.000

%42,37TIR 0TIR1

$78.000TIR1

$78.000TIR1

$78.000TIR1

$78.000$150.000

%15,13TIR 0TIR1

$40.000TIR1

$40.000TIR1

$40.000TIR1

$40.000$85.000

D4D

1D

C4C

B4B

3B

2B

1B

A4A

3A

2A

1A

=⇒=+

++

+−

=⇒=+

+−

=⇒=+

++

++

++

+−

=⇒=+

++

++

++

+−

Podemos calcular os VPLs do seguinte modo:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )338.19

1,2$150.000

1,2$390.000$378.000VPL

577.872,1

$700.000$250.000VPL

921.511,2

$78.0001,2

$78.0001,2

$78.0002),(1

$78.000$150.000VPL

549.1820,1

$40.0001,20

$40.00020,1

$40.00020,1

$40.000$85.000VPL

41D

4C

4321B

4321A

=++−=

=+−=

=++++−=

=++++−=

Podemos calcular as AE do seguinte modo:

A 4 20%4 20%

B4 20%

C4 20%

D4 20%

18.549AE 7.165 onde 2,58874

51.921AE 20.057

87.577AE 33.830

19.338AE 7.470

aa

a

a

a

= = =

= =

= =

= =

Podemos calcular os índices custo-benefício do seguinte modo:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )05,1$378.000/

1,2$150.000

1,2$390.000B/C

35,1$250.000/1,2

$700.000B/C

35,1$150.000/1,2

$78.0001,2

$78.0001,2

$78.000(1,2)

$78.000B/C

22,1$85.000/1,20

$40.0001,20

$40.0001,20

$40.0001,20

$40.000B/C

41D

4C

4321B

4321A

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

Resumo: Indicador Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D

TIR 31,15% 37,42% 29,36% 23,99% B/C 1,22 1,35 1,35 1,05 PB 4 3 4 4 VPL $18.549 $51.921 $87.577 $19.338 AE $7.165 $20.057 $33.830 $7.470

119

b) Pelo VPL e AE, selecionamos C. Os dois indicadores conduzem à mesma seleção. c) No quadro a seguir, são calculados os VPLs das alternativas A e C para diferentes custos do capital (K). A última coluna mostra a alternativa selecionada (a de maior VPL):

K VPL (alternativa A)

VPL (alternativa C)

Alternativa selecionada

18% $22.602,47 $111.052,21 C 20% $18.549,38 $87.577,16 C 24% $11.171,07 $46.081,52 C 26% $7.807,57 $27.725,57 C 28% $4.638,71 $10.770,32 C 30% $1.649,63 -$4.910,54 A 36% -$6.367,83 -$45.382,67 A 40% -$11.030,82 -$67.784,26 A

34. Uma empresa de transportes planeja a renovação da sua frota de caminhões. Após um estudo técnico, chegou à conclusão de que somente as marcas Fiat, Ford, Honda e Toyota fabricam modelos adequados às suas necessidades. O quadro a seguir mostra as diversas características operacionais e de custo dos caminhões dessas quatro marcas:

MARCA Custo de aquisição do

caminhão

Desempenho do caminhão (quilômetros por litro de

óleo diesel )

Custos de manutenção anual ($/ano)

Vida útil do caminhão (anos)

Fiat $25.000 10 $3.000 5Ford 28.000 11 2.800 6 Honda 35.000 16 2.300 8 Toyota 33.000 14 2.200 7

Admitindo-se que cada caminhão, independentemente da marca, rode em torno de 40.000 km por ano e que o custo do óleo diesel seja constante e igual a $1 por litro e considerando-se que o custo do capital da empresa é de 20% a.a., determinar qual marca de caminhão deve ser escolhida. Desconsiderar impostos e valores residuais. Resolução: Como o prazo de vida útil dos caminhões (prazo das alternativas) é diferente, usamos como critério de seleção o custo anual equivalente (CAE).

35. Uma indústria do setor de alumínio pretende investir em uma nova planta. Encomendou um estudo de mercado que recomendou três possíveis tamanhos de planta: a planta A requer um investimento de $10 milhões; a planta B, um investimento de $12 milhões; e a planta C, um investimento de $18

120

milhões. O estudo de engenharia projetou uma vida útil de 10 anos para a planta A, de 15 anos para a B e de 18 anos para a C. De acordo com o estudo de viabilidade, os fluxos de caixa econômicos dependem do investimento requerido e da vida útil da planta específica de acordo com a seguinte função: FC (I,N) = 1.300.000 + 0,1 × I + 100.000 × N, onde FC refere-se ao fluxo de caixa anual (constante), I refere-se ao investimento requerido e N, à vida útil da planta específica. Considerando-se um custo do capital de 20% a.a. e que não há impostos nem valor residual, determinar o tamanho da planta economicamente adequado. Resolução: Como os prazos das alternativas são diferentes, usamos como critério de seleção a anuidade equivalente (AE).

A

B

Fluxos de caixa:FC(I,N) 1.300.000 0,1 INVESTIMENTO 1 00.000 PRAZO

FC $1.300.00 0,1 $10.000.000 $100.000 10 3,3 milhõesFC $1.300.00 0,1 $12.000.000 $100.000 15 4,0 milhõesF

= + × + ×

= + × + × == + × + × =

C

10 20%AA 10 20%

10 20% 10 20%

BB

15 20%

C $1.300.00 0,1 $18.000.000 $100.000 18 4,9 milhões

Anuidades equivalentes:$10 $3,3VPL

AE $914.772 4,19247

$12 VPLAE

aa

a a

a

= + × + × =

− + ×= = = =

−= = 15 20%

15 20%15 20%

C 18 10%C 18 20%

18 20% 18 20%

$4,0$1.433.414 4,67547

$18 $4,9VPLAE $1.159.503 4,81219

Tamanho selecionado: plan

aa

a

aa

a a

+ ×= =

− + ×= = = =

⇒ ta B, pois tem a maior AE.

36. Considere um custo de capital de 10% e admita que lhe sejam oferecidos os seguintes projetos: Projeto Investimento em t

= 0 Fluxo em

T = 1 Fluxo em

T = 2 A -$100 $60 $60 B -$10.000 $8.000 $8.000

a) Considerando que os dois projetos sejam independentes, utilizar o critério da TIR e do VPL para analisar a viabilidade de ambos os projetos.

b) Considerando os dois projetos como mutuamente exclusivos, utilizar o critério correto para identificar qual projeto deverá ser escolhido.

c) Na possibilidade de investir em um terceiro projeto, C, determinar se ele é mais vantajoso do que o escolhido no item b.

Projeto Investimento Fluxo em t = 1 Fluxo em t = 2 Fluxo em t = 3

C -$10.000 $6.000 $6.000 $6.000

Resolução: a) Podemos calcular as TIRs das alternativas a partir das seguintes equações:

121

( ) ( )

( ) ( )

A1 2A A

B1 2B B

$60 $60$100 0 TIR 13,07%1 TIR 1 TIR

$8.000 $8.000$10.000 0 TIR 37,982%1 TIR 1 TIR

− + + = ⇒ =+ +

− + + = ⇒ =+ +

Podemos calcular os VPLs das alternativas a partir das seguintes equações:

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

$60 $60$100 4,131,10 1,10

$8.000 $8.000$10.000 $3.884,301,10 1,10

− + + =

− + + =

Observamos que tanto pela TIR quanto pelo VPL, a alternativa selecionada é a B. b) Como as alternativas são mutuamente exclusivas, analisamos a seleção por meio do fluxo incremental B-A:

( ) ( )

( ) ( )

B-A1 2B-A B-A

B-A 1 2

$7.940 $7.940$9.900 0 TIR 38, 22% 10%1 TIR 1 TIR

$7.940 $7.940VPL $9.900 $3.880,17 01,10 1,10

− + + = ⇒ = >+ +

= − + + = >

Como a TIR do fluxo incremental é maior que o custo do capital e o VPL é positivo, então a alternativa B é a melhor. c) Como as alternativas B e C têm prazos diferentes, o método a ser usado deve ser a anuidade equivalente:

B2 10%

2 3

C3 10%

3.884,30AE $2.238,10

6.000 6.000 6.00010.000(1,10) (1,10) (1,10)AE $1.978,85 selecionar alternativa B(maior AE).

a

a

= =

− + + += =

Resumo:

projeto VPL TIR projeto Anuidade equivalente (AE)

A $4,13 13,07% B $2.238,10 ⇒ Selecionar B B $3.884,30 37,98% C $1.978,85

B-A $3.880,17 38,22% ⇒ Selecionar B

37. Uma empresa analisa três alternativas de investimento mutuamente exclusivas. Determinar a alternativa mais adequada, considerando-se um custo do capital de 9% a.a. e as seguintes informações sobre as alternativas:

Alternativa Investimento líquido

Fluxo de caixaanual

Vida útil (anos)

Valor de liquidação (valor residual ao término da vida útil)

A $480 $113 5 $149 B 620 120 7 140 C 750 142 7 187

Resolução:

122

5 9% 5A

A 5 9%5 9% 5 9%

7 9% 7B

B7 9% 7 9%

Anuidades equivalentes:$149$480 $113

VPL $56,37(1,09)AE $14, 49 3,889653,88965

$140$620 $120VPL $60,54(1,09)AE

5,0

aa

a a

a

a a

− + × += = = = =

− + × += = = 7 %

7 9% 7C

C 7 9%7 9% 7 9%

$12,03 5,032953295

$187$750 $142VPL $66,97 (1,09)AE $13,31 5,03295

5,03295

selecionar a alternativa A, pois tem a ma

a

aa

a a

= =

− + × += = = = =

⇒ ior AE. Resumo:

Alternativa VPL Anuidade equivalente (AE) A $56,37 $14,49 ⇒ Selecionar A B 60,54 12,03 C 66,97 13,31

UCAPÍTULO 11 Exercícios Propostos

1. A compra de um equipamento com vida útil de três anos e sem valor residual exige um investimento inicial de $1.180.000. O equipamento permitirá diminuir os custos operacionais em $388.000/ano e aumentar a receita operacional em $210.000/ano. Considerando-se que a alíquota de IR é de 30% e o custo do capital é de 10%, calcular o VPL e a TIR do projeto. Justifica-se o projeto do ponto de vista econômico? (obs.: considerar os efeitos fiscais dos fluxos de caixa: por exemplo, efeito fiscal devido ao aumento da receita, diminuição de custos, aumento da depreciação).

Resolução: FLUXO DE CAIXA

ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Liquidação UFluxos de investimento U Investimento inicial -1.180.000 0 UFluxos operacionais U Diminuição dos custos operacionais 388.000 388.000 388.000 Aumento da receita operacional 210.000 210.000 210.000 UEfeitos fiscais U Do aumento da depreciação (a) 118.000 118.000 118.000 Da diminuição do custo operacional (b) -116.400 -116.400 -116.400 Do aumento da receita operacional (c) -63.000 -63.000 -63.000 Fluxo de caixa econômico -1.180.000 536.600 536.600 536.600 0

Obs.: todos os fluxos, menos o de investimento, foram considerados fluxos postecipados (fluxos no final do respectivo ano). Os efeitos fiscais são calculados multiplicando-se cada fluxo pela alíquota de IR: (a) alíquota de IR × (depreciação anual) = 0,30 × ($1.180.000/3)

123

(b) alíquota de IR × (diminuição do custo operacional) = 0,30 × ($388.000) (c) alíquota de IR × ( aumento da receita operacional) = 0,30 × ($210.000) Cálculo do VPL e avaliação econômica:

2 3

2 3

$536.600 $ 536.000 $536.000VPL(10%) $1.180.000 $155.439,52 >0 (1,10) (1,10) (1,10)

Pela TIR:$536.600 $ 536.000 $536.000 $1.180.000 TIR=17,34% >10% (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)

= − + + + =

− + + + ⇒

Como o VPL >0 e a 0TIR>10% ⇒ A compra do equipamento está justificada. 2. Uma empresa estuda a compra de um determinado equipamento que permita uma redução de custos no seu processo operacional. O preço do equipamento é de $5.000, e a vida útil é de cinco anos com valor residual igual a 10% do valor de aquisição. Se o custo de oportunidade do capital é 10% a.a., de quanto deve ser, no mínimo, a redução anual de custos proporcionada pelo equipamento de modo que se justifique a compra? Desconsidere todo tipo de efeito fiscal. Resolução:

FLUXO DE CAIXA

ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Liquidação UFluxos de investimento U Investimento inicial -5.000 500 UFluxos operacionais U Diminuição dos custos X X X X X Fluxo de caixa econômico - 5.000 X X X X X 500

Para a compra se justificar, o VPL deverá ser positivo:

3. Uma empresa pretende investir $220.000 na compra de um equipamento com vida útil de quatro anos sem nenhum valor residual de liquidação. O equipamento deve proporcionar uma diminuição nos custos operacionais da ordem de $52.000/ano e um incremento na receita operacional da ordem de

124

$30.000/ano. Considerando-se que a alíquota de IR da empresa é de 30% e seu custo do capital é de 12% a.a., analisar a viabilidade econômica do projeto pelo critério da TIR. Resolução: FLUXO DE CAIXA

ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação UFluxos de investimento U Compra do equipamento -220.000 0 UFluxos operacionais U Diminuição dos custos operacionais Incremento da receita operacional

52.000 30.000

52.000 30.000

52.000 30.000

52.000 30.000

UEfeitos fiscais U

Da depreciação (a) Da diminuição dos custos operacionais (b) Do incremento da receita operacional (c)

16.500 -15.600 -9.000

16.500 -15.600 -9.000

16.500 -15.600 -9.000

16.500 -15.600 -9.000

Fluxo de caixa econômico -220.000 73.900 73.900 73.900 73.900 0

Os efeitos fiscais são calculados multiplicando-se cada fluxo pela alíquota de IR:

(a) IR × depreciação anual = 0,30 × (220.000/4) (b) IR × diminuição dos custos operacionais = 0,30 × $52.000 (c) IR × incremento da receita operacional = 0,30 × $30.000

Cálculo da TIR:

2 3 4$73.900 $73.900 $73.900 $73.900$220.00 0 TIR=12,96%>12%(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)

− + + + + = ⇒

⇒ A compra do equipamento se justifica economicamente 4. Uma empresa estuda a possibilidade de substituir uma bateria de tornos mecânicos por outra com comando numérico. Se forem substituídos, os tornos mecânicos podem ser vendidos hoje no mercado de ativos usados pelo seu valor contábil de $21.000; caso contrário, poderão operar unicamente por mais quatro anos. O valor contábil dos tornos mecânicos pode ser depreciado linearmente em três anos. O valor da nova bateria de tornos com comando numérico é de $200.000, com vida útil de dez anos e depreciáveis pelo mesmo período. Admite-se que o novo equipamento possa ser vendido em qualquer ano ao longo de sua vida útil por um preço 30% maior que seu valor contábil daquele ano. Espera-se que a substituição do equipamento acarrete uma diminuição nos custos operacionais da ordem de $30.000/ano e um aumento nas necessidades de capital de giro da ordem de $5.000 (considerado investimento inicial). Para executar o projeto, a empresa pretende levantar um empréstimo de $160.000 que será quitado por meio de três prestações anuais, segundo a Tabela Price, a juros de 10% a.a.. Considerando-se um custo do capital de 12% a.a. e uma alíquota de IR de 30%, analisar o projeto e determinar a sua viabilidade econômico-financeira . Resolução: Como os tornos mecânicos podem operar unicamente por mais quatro anos e a vida útil do novo equipamento é de dez anos, as duas alternativas são comparáveis somente durante os primeiros quatro anos. Conforme o Capítulo 8, podemos montar a Tabela Price de amortização do financiamento: Quadro de Amortização do Financiamento (Tabela Price)

ano Saldo devedor Amortização Juros Prestação 0 160.000,00 - - - 1 111.661,63 48.338,37 16.000,00 64.338,37 2 58.489,43 53.172,21 11.166,16 64.338,37 3 0 58.489,43 5.848,94 64.338,37

125

Cálculo da prestação na Tabela Price:

33 10%

3

$160.000 $160.000 $64.338,37(veja capítulo 8 para sistemas de amortização)(1,10) 1

(1,10) 0,10

a= =

⎡ ⎤−⎢ ⎥

×⎢ ⎥⎣ ⎦

FLUXO DE CAIXA

ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação UFluxos de investimento U Compra dos tornos com controle numérico -200.000 156.000 (f) Venda dos tornos mecânicos 21.000 Aumento das necessidades de cap. giro -5.000 5.000 (g) UFluxos operacionais U Diminuição dos custos operacionais 30.000 30.000 30.000 30.000 UEfeitos fiscais U Da depreciação diferencial (a) 3.900 3.900 3.900 6.000 Da diminuição dos custos operacionais (b) -9.000 -9.000 -9.000 -9.000 Da venda dos tornos de controle numérico -10.800 (h) Dos juros pagos pelo financiamento (c) 4.800 3.350 1.755 UFluxos do financiamento U Financiamento tomado (d) 160.000 Prestações pagas pelo financiamento (e) -64.338 -64.338 -64.338 Fluxo econômico-financeiro -24.000 -34.638 -36.088 -37.683 27.000 150.200

Os efeitos fiscais são calculados multiplicando-se cada fluxo pela alíquota de IR:

(a) IR × depreciação diferencial = 0,30 × (depreciação da máquina nova – depreciação da máquina velha) = 0,30 ×($200.000/10 – $21.000/3)

(b) IR × diminuição dos custos operacionais = 0,30 × $30.000 (c) IR × juros do financiamento em cada ano: 0,3 × $16.000,00; 0,3 × $11.166,16; 0,3 × $5.848,94 (d) Financiamento = $160.000 (e) prestações pagas pelo financiamento (Tabela Price) – ver quadro de amortização (f) Admite-se que o novo equipamento possa ser vendido em qualquer ano ao longo de sua vida útil por um preço 30% maior do que seu valor contábil daquele ano. Assim, se for vendido ao término do quarto ano, o será por: 1,30 × [valor contábil] 1,30 × [valor de aquisição – depreciação acumulada até o quarto ano] 1,30 × [$200.000 – 4 × ($200.000/10)] (g) o capital de giro é recuperado por liquidação ao término do prazo

(h) na venda das máquinas novas, ao término do quarto ano, haverá imposto a pagar sobre o ganho de capital nessa venda:

= IR × [ganho de capital na venda das máquinas novas ao término do quarto ano] = 0,30 × [Valor de venda no quarto ano – Valor contábil no quarto ano] = 0,30 × [$156.000 – (6/10) × $200.000] Cálculo do VPL:

126

2 3 4-$34.638 -$36.088 $37.683 $27.000+$150.200VPL(12%) $24.000 $2.095,87>0

(1,12) (1,12) (1,12) (1,12)= − + + + + =

Como VPL> 0 ⇒ A substituição justifica-se do ponto de vista econômico-financeiro. 5. A instalação de um moderno equipamento de trituração de minério orçado em $28 milhões possibilitará que uma mina opere por mais quatro anos antes de encerrar suas operações por esgotamento da jazida. O equipamento adquirido será depreciado linearmente em dois anos (vida útil) sem valor residual ao término. Atualmente, a receita operacional e os custos operacionais totalizam $60 milhões/ano e $6 milhões/ano, respectivamente. Um estudo indica que a instalação do novo equipamento incrementará a receita operacional em 30% e diminuirá os custos operacionais em 10%, mas exigirá um investimento adicional de $3milhões em capital de giro. Considerando-se uma alíquota de imposto de renda de 30% e um custo do capital de 12% a.a., analisar a viabilidade econômica da aquisição do equipamento. Resolução: O fluxo deve ser projetado durante quatro anos: FLUXO DE CAIXA (milhões)

ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação UFluxos de investimento U Compra do equipamento -28,00 Capital de giro -3,00 3,00 UFluxos operacionais U Aumento da receita operacional diminuição dos custos operacionais

18,00 0,60

18,00 0,60

18,00 0,60

18,00 0,60

UEfeitos fiscais U Da depreciação (a) 4,20 4,20

-0,18 -0,18 -0,18 -0,18 Da diminuição dos custos operacionais Do aumento da receita operacional -5,40 -5,40 -5,40 -5,40 Fluxo de caixa econômico -31,00 17,22 17,22 13,02 13,02 3,00

Os efeitos fiscais são calculados multiplicando-se cada fluxo pela alíquota de IR: IR × depreciação

= 0,30 × (custo de aquisição/prazo de depreciação) = 0,30 × ($28/2)

Cálculo do VPL:

2 3 4$17,22 $17,22 $13,02 $13,02+$3VPL(12%) $31 $17,56>0(1,12) (1,12) (1,12) (1,12)

= − + + + + =

VPL (12%) = $17,56 milhões > 0 ⇒ A compra do equipamento se justifica economicamente. 6. Uma empresa pretende trocar uma prensa hidráulica antiga por outra nova. O valor do novo equipamento é de $60.000, depreciáveis linearmente ao longo de sua vida útil de seis anos. O novo equipamento pode operar até o término de sua vida útil ou pode ser vendido em qualquer época por um preço igual ao seu valor contábil na data. O equipamento antigo ainda pode ser usado por mais três anos, mas será vendido no mercado de equipamentos usados por $10.000 no ato da compra do novo. Atualmente, seu valor contábil é de $6.000, que podem ser depreciados linearmente em três anos. Um estudo realizado indica que o novo equipamento incrementará a receita operacional em $30.000/ano e diminuirá os custos operacionais em $4.000/ano. Cinqüenta por cento do valor do novo equipamento virão de um empréstimo a juros efetivos de 15% a.a., pagável em três prestações anuais de acordo com a Tabela Price. A alíquota de IR da empresa é de 30%, e seu custo do capital é de 20% a.a.. O projeto é viável do ponto de vista econômico? E do ponto de vista dos acionistas? Considere um custo do capital de 20%. a.a. e um custo do capital próprio de 22% a.a.. Resolução:

127

O período de comparação está limitado ao tempo de duração do equipamento antigo (3 anos). Quadro de Amortização do Financiamento (Tabela Price)

ano Saldo devedor Amortização Juros Prestação 0 30.000,00 - - - 1 21.360,69 8.639,31 4.500,00 13.139,31 2 11.425,50 9.935,21 3.204,10 13.139,31 3 - 11.425,50 1.713,82 13.139,31

FLUXO DE CAIXA

ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Liquidação UFluxos de investimento U Compra do equipamento novo -60.000,00 30.000,00 Venda do equipamento antigo 10.000,00 UFluxos operacionais U Diminuição dos custos operacionais 4.000,00 4.000,00 4.000,00 Aumento da receita operacional 30.000,00 30.000,00 30.00,00 UEfeitos fiscais U Da depreciação diferencial 2.400,00 2.400,00 2.400,00 Da diminuição do custo operacional -1.200,00 -1.200,00 -1.200,00 Do aumento da receita operacional Da venda do equipamento antigo

-1.200,00

-9.000,00

-9.000,00 -9.000,00

Fluxo econômico -51.200,00 26.200,00 26.200,00 26.200,00 30.000,00 Empréstimo Prestações do empréstimo Efeito fiscal dos juros

30.000,00

-13.139,31

1.350,00

-13.139,31

961,23

-13.139,31

514,15

Fluxo econômico-financeiro -21.200,00 14.410,69 14.021,92 13.574,84 30.000,00

VPLBECONÔMICO B(20%) = $21.351 > 0 ⇒ Viável economicamente. VPLBECONÔMICO-FINANCEIRO B(22%) = $24,030 > 0 ⇒ Viável econômico-financeiramente. 7. Uma indústria pretende investir $4 milhões na compra de um equipamento. A vida útil do equipamento é de quatro anos, e ele será instalado em um terreno da própria empresa, cujo valor de mercado é de $1 milhão. Ao término da vida útil, o bem estará contabilmente depreciado, mas na data poderá ser liquidado por $1,2 milhão no mercado de equipamentos usados. A receita operacional projetada obtida da operação do equipamento será de $2 milhões/ano, com custos operacionais de $0,4 milhão/ano e gastos indiretos de $0,2 milhão/ano. As necessidades de capital de giro serão de 15% sobre os incrementos das vendas. A alíquota de IR da firma é 30% . Pede-se montar o fluxo de caixa econômico do projeto. Resolução:

FLUXO DE CAIXA (em milhões) ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação Receitas operacionais 2,00 2,00 2,00 2,00 Investimentos Equipamento -4,00 0,84 (a) Terreno -1,00 1,00 Mudanças no capital de giro (b) -0,30 0,30 (c) Custos Custos operacionais -0,40 -0,40 -0,40 -0,40 Gastos indiretos -0,20 -0,20 -0,20 -0,20 Depreciação (d) -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 Lucro tributável 0,40 0,40 0,40 0,40 – Impostos (30%) -0,12 -0,12 -0,12 -0,12 + Depreciação (e) 1,00 1,00 1,00 1,00 FLUXO ECONÔMICO -5,30 1,28 1,28 1,28 1,28 2,14

(a) Valor de liquidação = valor de venda – impostos sobre ganho de capital = $1,2 – 0,30 × ($1,20 – 0,00)

(b) mudanças do capital de giro em t = 0,15 × (Receitas Bt B– Receitas Bt-1 B).

128

O capital. de giro é recuperado no final (c) recuperação do capital de giro (d) $4,0/4

(e) a depreciação é somada novamente, pois se trata de uma despesa não-caixa

8. Uma empresa do setor de confecções contratou, ao custo de $30.000, uma empresa de consultoria para efetuar o estudo de viabilidade da modernização de sua atual linha de produção de calças jeans. O estudo estimou que, com os equipamentos atuais, a linha de produção conseguirá operar por apenas mais quatro anos antes de se tornar antieconômica. Os atuais equipamentos têm um valor contábil de $200.000 que pode ser depreciado linearmente em 4 anos. Se forem substituídos agora, esses equipamentos poderão ser vendidos por $250.000 no mercado de ativos usados. A modernização da linha de produção requer a compra de novos equipamentos orçados em $1.500.000, permitindo que a linha de produção possa operar por mais seis anos a partir do momento em que os equipamentos forem adquiridos. Estima-se que os novos equipamentos tenham uma vida útil de seis anos, podendo ser usados até o término desse prazo ou substituídos e vendidos em qualquer época por um valor 10% abaixo do seu valor contábil na data. Admitindo-se depreciação linear, alíquota de imposto de renda de 30% e custo de oportunidade do capital de 20% a.a., efetuar a análise econômica do empreendimento. O quadro a seguir apresenta informações sobre a capacidade de produção, custos fixos, custos variáveis e preço de venda do produto produzido para as situações antes e depois da modernização. Pede-se montar o fluxo de caixa e efetuar a análise econômica do projeto de modernização.

Situação Capacidade de produção Custos variáveis de produção

Custos fixos de produção

Preço de venda

ANTES 200.000 unidades/ano $2,0/unidade $350.000/ano $4,0/ unidade DEPOIS 300.000 unidades/ano $1,5/unidade $300.000/ano $4,5/ unidade

Resolução:

FLUXO DE CAIXA ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação Aumento de receitas (a) 550.000 550.000 550.000 550.000 Investimentos Investimento inicial líquido -1.265.000 (b) 450.000 (c) Custos Aumento custos variáveis (d) -50.000 -50.000 -50.000 -50.000 Diminuição custos fixos (e) 50.000 50.000 50.000 50.000 Depreciação diferencial (f) -200.000 -200.000 -200.000 -200.000 Lucro tributável (a) + (d) + (e) + (f) 350.000 350.000 350.000 350.000 -Impostos (30%) -105.000 -105.000 -105.000 -105.000 +Depreciação diferencial (g) 200.000 200.000 200.000 200.000 FLUXO ECONÔMICO -1.265.000 445.000 445.000 445.000 445.000 450.000

(a) 300.000 unidades × $4,5/unidade – 200.000 unidades × $4/unidade = $550.000/ano (b) custo dos novos equipamentos...................................................................$1.500.000

caixa gerado pela venda dos equipamentos substituídos...............................(250.000) impostos sobre ganho de capital na venda: 0,30 × (250.000 – 200.000) U....15.000 investimento inicial líquido.........$1.265.000

(c) 0,90 × {1.500.000 – (4/6) × 1.500.000} (d) 300.000 unidades × $1,5/unidade – 200.000 unidades × $2,0/unidade = $50.000/ano

(e) $350.000/ano – $300.000/ano = $50.000/ano (f) ($1.500.000/6 – $200.000/4) = $200.000/ano (g) a depreciação é somada novamente, pois se trata de uma despesa não-caixa.

129

Análise Econômica: (TIRBE B= 23,81% a.a.) > 20% a.a. ⇒ O projeto é economicamente viável.

9. Uma empresa da área metal-mecânica estuda a modernização de sua principal linha de produção que produz rolamentos. Basicamente, o projeto consiste na substituição do principal equipamento da linha por um equipamento tecnologicamente mais moderno e eficiente. Ao custo de $200.000, contratou a Balman Consultores Associados Ltda para fazer o estudo de viabilidade. O referido estudo mostrou que o equipamento adequado custa $24.000.000 e estimou por informações do fabricante que ele poderá ser usado operacionalmente durante seis anos. O estudo da consultora, junto com o departamento de engenharia da empresa, determinou que o atual equipamento poderá, se for o caso, ser usado por mais quatro anos até tornar-se imprestável. Segundo o departamento de contabilidade da empresa e o relatório da consultoria, atualmente o valor contábil do equipamento é de $4.000.000, depreciáveis linearmente nesse prazo. O equipamento poderia ser vendido por $6.000.000 no mercado de equipamentos usados. O estudo estimou, por comparação, que o novo equipamento poderá ser vendido em qualquer época por um valor 50% maior que seu valor contábil da época. O quadro seguinte apresenta informações do relatório da consultora sobre o atual e sobre o novo equipamento:

Equipamento Produção (unidades/ano)

Custo operacional fixo por ano

Custos variáveis unitários ($/unidade)

Preço de venda unitário

Novo 2.000.000 $9.800.000 $6,60 $14 Atual 1.600.000 $12.200.000 $5,00 $10

Dada a maior produção decorrente do novo equipamento, a Balman estima que seja necessário um investimento adicional no capital de giro da empresa da ordem de $3.000.000. A consultora recomenda que a compra do equipamento seja financiada em 40% por meio de um empréstimo a juros de 12% a.a amortizável em dez anos pelo Sistema de Amortizações Constantes. Ela usou como custo do capital da empresa 20% a.a, e estimou que os acionistas estimam uma rentabilidade mínima esperada de 25%. A alíquota de IR da empresa é de 34%, e admite-se que ela possa quitar integralmente o saldo devedor do empréstimo em qualquer época. Pede-se para replicar a análise de viabilidade econômica e financeira do relatório apresentado pela consultora. O que você acha que a consultora recomendou à empresa sobre o projeto? Resolução: Quadro de Amortização do Financiamento – Sistema SAC ( em milhões)

ano Saldo devedor Juros Amortização Prestação 0 9,60 1 8,64 1,15 0,96 2,11 2 7,68 1,04 0,96 2,00 3 6,72 0,92 0,96 1,88 4 5,76 0,81 0,96 1,77

FLUXO DE CAIXA (milhões)

ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação Compra do novo equipamento -24,00 Venda (liquidação) do novo equipamento 12,00 (a) efeito fiscal na liquidação do novo -1,36 (b) Venda do atual equipamento 6,00 efeito fiscal na venda do atual - 0,68 (c) Capital de giro - 3,00 3,00 Receita operacional (d) 12,00 12,00 12,00 12,00 Aumento dos custos fixos (e) 2,40 2,40 2,40 2,40 Diminuição do custo variável (f) - 5,20 - 5,20 - 5,20 - 5,20 -Depreciação diferencial (g) - 3,00 - 3,00 - 3,00 - 3,00 Lucro tributável (d) + (e) + (f) + (g) 6,20 6,20 6,20 6,20 IR (34%) - 2,11 - 2,11 - 2,11 - 2,11 +Depreciação diferencial 3,00 3,00 3,00 3,00 FLUXO ECONÔMICO - 21,68 7,09 7,09 7,09 7,09 13,64 +Empréstimo (h) 9,60 - 5,76 (i) -Prestações - 2,11 - 2,00 - 1,88 - 1,77

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+Benefício fiscal dos juros 0,39 0,35 0,31 0,27 FLUXO ECONÔMICO-FINANC. -12,08 5,37 5,45 5,52 5,60 7,88

(a) 1,5 × 2 × ($24/6) (b) 0,34 × (valor de venda – valor contábil) = 0,34 × ($12 – $8)

(c) 0,34 × ($6 – $4) (d) 2.000.000 unidades × $14/unidade – 1.600.000 unidades × $10/unidade (e) $12,2 – $9,8 (f) 2.000.000 unidades × $6,6/unidade – 1.600.000 unidades × $5/unidade

(g) ($24/6 – $4/4) (h) 0,40 × $24 (i) empréstimo liquidado pelo seu saldo devedor do quarto ano.

Observação: o valor pago à consultoria é um custo afundado irrecuperável para efeitos do cômputo do fluxo incremental, e o capital de giro foi considerado fluxo antecipado (fluxo no início do respectivo ano). VPLBECONÔMICO B(20%) = $3,26 milhões > 0 ⇒ Viável economicamente. VPLBECONÔMICO-FINANCEIRO B(25%) = $4,05 milhões > 0 ⇒ Viável econômico-financeiramente. 10. O salário atual de um empregado de uma oficina mecânica é de $14.400 por ano. Como ele está insatisfeito com o salário, pretende montar uma oficina própria. Para isso, pretende usar $25.000 que estão aplicados em uma caderneta de poupança mais o valor de um empréstimo que pretende levantar no banco a juros de 10% a.a. Atualmente, a poupança rende juros de 6% a.a.. Os investimentos e os custos operacionais associados ao empreendimento são: Investimentos requeridos: • Custo de máquinas e equipamentos: $60.000 (depreciável em dez anos sem valor residual) • Capital de giro inicial: $5.000 Custos operacionais: • Custos fixos: $4.000/ano • Custos variáveis: $24.000/ano Outras informações: • Para simplificar, admita que os juros pagos em cada ano pelo empréstimo serão calculados sempre

sobre o empréstimo inicial. Ou seja, o empréstimo não será amortizado anualmente (é uma perpetuidade constante).

• Alíquota de IR: 34%. Pede-se: calcular o valor da Receita Mínima de Equilíbrio Econômico que torna o projeto economicamente viável. Resolução:

Origem dos recursos 65.000 Despesas operacionais e financeiras 38.000 Capital próprio (poupança) 25.000 Custos fixos 4.000 Empréstimo bancário 40.000 Custos variáveis 24.000 Juros pagos pelo empréstimo (a) 4.000 Aplicação dos recursos 65.000 Depreciação das máquinas e equipamentos (b) 6.000 Máquinas e equipamentos 60.000 Custos de oportunidade 15.900 Capital de giro inicial 5.000 Salário alternativo (c) 14.400 Rendimento da poupança (d) 1.500

(a) 0,10 ×$40.000 (b) $60.000/10 (c) salário que deixará de ganhar (d) 0,06 × $25.000 A depreciação não é um desembolso. Logo, o valor das despesas operacionais e financeiras deve ser diminuído da depreciação para calcular o valor dos desembolsos operacionais e financeiros :

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desembolsos operacionais e financeiros = Despesas operacionais e financeiras – depreciação = $38.000 – $6.000 = $32.000 Cálculo da receita mínima de equilíbrio: RBminB = desembolsos operacionais e financeiros + custos de oportunidade + imposto de renda RBminB = $32.000 + $15.900 + 0,34 ×( RBmin B– $38.000) → RBminB $53.000

11. Um técnico em telecomunicações, que recentemente ficou desempregado, estuda a possibilidade de investir em um restaurante de modo a garantir seu sustento e de sua família. Estima-se que o investimento inicial necessário seja de $20.000 em capital de giro, $10.000 em uma campanha de publicidade e $25.000 em equipamentos que têm uma vida útil de cinco anos sem valor residual (depreciados linearmente). Os custos operacionais anuais são: $48.000 de aluguel do local, $36.000 de mão-de-obra e $55.000 de insumos diversos. Cinqüenta por cento do investimento requerido virão de recursos próprios, que atualmente estão aplicados no mercado de capitais rendendo em média 10% a.a.. O restante será financiado por meio de um empréstimo bancário a juros de 15% a.a.. Para efeitos de simplicidade, admita que o empréstimo não é amortizado, permanecendo o saldo devedor constante ao longo do tempo, e que os juros pagos em cada ano serão calculados sempre sobre o empréstimo inicial. O negócio está sujeito a uma tributação de 20%. Pede-se para calcular a receita mínima de equilíbrio econômico do restaurante. Resolução:

Origem dos recursos 55.000 Despesas operacionais e financeiras 148.125 Capital próprio (50%) 27.500 Aluguel do local 48.000 Empréstimo bancário (50%) 27.500 Insumos diversos 55.000 Mão-de-obra 36.000 Aplicação dos recursos 55.000 Juros pagos pelo empréstimo (a) 4.125 Campanha de publicidade 10.000 Depreciação de equipamentos (b) 5.000 Equipamentos 25.000 Custos de oportunidade 2.750 Capital de giro inicial 20.000 Rendimento do capital próprio (c) 2.750

(a) 0,15 × $27.500 (b) $25.000/5 (c) 0,10 × $27.500 Receita mínima = “desembolsos” operacionais e financeiros + custos de oportunidade + impostos RBminB = ($148.125 – $5.000) + $2.750 + 0,20 × ( RBminB–$148.125) → RBmin B= $145.312,50