MATEMÁTICA - Grupo de Orientação Pré-Militar · II. Divide-se o primeiro termo de P(x) pelo...

PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71


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Polinômios e Equações Algébricas

Em Alexandria, na segunda metade do séc. III d.C., Diofanto produziu o primeiro tratado de Álge-bra conhecido, denominado “Aritmética”, resultado de uma evolução gradual de trabalhos como os de Euclides e Heron. Foi um dos primeiros a adotar o chamado método sincopado que mesclava palavras abreviadas e variáveis.

Os matemáticos hindus, destacando-se Brah-magupta e Bhaskara, se aproximaram mais de uma notação abreviada, inclusive com a introdução do conceito de número negativo.

Os árabes também alcançaram grandes avan-ços, com destaque para os “Rubaiyat” de Omar Khayyam e a “Álgebra” de Al-Khowarizmi (de onde provém o vocábulo algarismo) e que usou pela pri-meira vez o termo álgebra que significa “trocar de termo” (um termo de uma equação).

No Renascimento (séc. XVI) diversos matemá-ticos desenvolveram a Álgebra e particularmente os polinômios, notadamente a escola italiana com Girolano Cardano (1501-1576), Niccolo Tartaglia (1500-1557) e Ludovico Ferrari (1522-1565).

Um importante marco foi a demonstração, em 1798, pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) do Teorema Fundamental da Álgebra.

Atualmente, diversos matemáticos desenvol-vem trabalhos avançados sobre polinômios tanto em Matemática pura como aplicada.

PolinômioChama-se polinômio inteiro em x a função P:

C C dada por:P(x) = anx

n + an–1 xn 1 +an 2x

n 2 + ... + a1x + a0 = 0

onde an, an – 1, ..., a1, a0 são chamados coeficientes e podem ser números reais ou complexos.

Monômio: • é o polinômio que possui um único termo. Ex.: p(x) = – 3 x 3.

Polinômio completo: • é aquele que não possui coeficientes nulos. Um polinômio completo de grau n possui n+1 termos.

Valor numéricoO valor numérico de p(x) em b (b C) é a ima-

gem de b pela função p, ou seja, P(x) = aobn + a1b

n–1 + a2b

n–2 + ... + an–1b + an

Exemplos: `

P(x) = 2x4 – 5x3 + 2x2 – x +1 P(2) = 2 . 24 –5 . 23 + 2 . 22 –2 + 1 = –1

P(x) = x3 – 2ix2 – x + (3i – 2) P(i) = i3 – 4i.i2 – i + (3i –2) = 5i –2

P(x) = x3 + 3x2 + 2x P(–1) = (–1)3 + 3.(–1)2 + 2.(–1) = 0

P(1) = ao + a1 +a2 + ... + an−1 + an é a soma dos coeficientes.

P(0) = ao é o termo independente.


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RaízesChamam-se raízes do polinômio P(x) os valores

de x ∈ C tais que P(x) = 0.

Um polinômio de grau n possui exatamente n raízes reais ou complexas. Dessa forma, a quantidade de raízes reais é no máximo n.

Exemplo: `

O polinômio P(x) = x3 + 2x2 − x − 2 é um polinômio com-pleto de grau 3 e possui três raízes reais: −1 , 1 e 2.

GrauDado um polinômio P(x) com pelo menos um

termo de coeficiente não-nulo, o grau de P, indicado por gr(P) é o maior dos expoentes da variável x nos termos com coeficientes não-nulos.

Se P tem todos os coeficientes nulos, não se define o grau de P.

Exemplos: `

P(x) = 2x3 −x + 1 ⇒ gr(P) = 3

P(x) = 1 + 2x −x4 ⇒ gr(P) = 4

P(x) = 3 ⇒ gr(P) = 0

P(x) = 0 ⇒ não se define gr(P)

Operações com polinômios

Adição e subtração de polinômios

A adição e a subtração de polinômios são feitas somando-se ou subtraindo-se os coeficientes dos termos de mesmo grau em todas as variáveis.

Exemplos: `

(4x1) 2 − 3x) − (x2 −4x − 3) = 3x2 + x + 3

(x2) 3 − 1) + (x4 − x3 +1) = x4

Frequentemente na subtração de polinômios é preciso eliminar parênteses. Deve-se atentar para

o fato do sinal menos incidir sobre todos os termos entre parênteses de acordo com a propriedade distributiva da multiplicação.

Exemplo: `

x2 − 3x + 1 − (x2 − 5x + 1) =

x2 − 3x + 1 − x2 + 5x − 1 = 2x

Multiplicação de polinômiosPara multiplicar polinômios basta aplicar a dis-

tributividade da multiplicação.

Exemplo: `

(x3 +2x −1)⋅(x2 + x + 2) = x5 + x4 + 2x3 + 2x3 + 2x2 + 4x − x2 − x − 2 = x5 + x4 + 4x3 + x2 + 3x − 2

Note que se o produto de dois polinômios é nulo, pelo menos um dos polinômios deve ser nulo.

p ⋅ q = 0 ⇔ p = 0 ou q = 0

O grau do produto é a soma dos graus dos fatores.

gr(p ⋅ q) = gr(p) +gr(q)

No exemplo acima, o produto de fatores de graus 3 e 2 teve graus 2 + 3 = 5.

Divisão de polinômiosDados dois polinômios P(x) e D(x), de graus p e

q, respectivamente, dividir P(x) por D(x) é encontrar dois polinômios Q(x) e R(x), denominados quociente e resto, respectivamente, que satisfazem

P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x)

onde o grau de R(x) deve ser menor que o grau de D(x) ou R(x) = 0.

Se gr(P) < gr(D), então Q(x) = 0 e R(x) = P(x).

Se gr(P) ≥ gr(D), a divisão pode ser efetuada pelo seguinte algoritmo denominado Método da Chave.

Ordenam-se P(x) e D(x) segundo as potências I. decrescentes de x, inclusive com os termos do dividendo que possuem coeficiente 0.


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Divide-se o primeiro termo de P(x) pelo pri-II. meiro termo de D(x), obtendo-se o primeiro termo do quociente.

Multiplica-se D(x) pelo primeiro termo do III. quociente e subtrai-se o resultado de P(x), obtendo-se o primeiro resto parcial.

Com o primeiro resto parcial e o divisor IV. D(x) repetem-se as operações, obtendo-se o segundo termo do quociente e assim su-cessivamente até se encontrar um resto de grau menor que o divisor.

Exemplo: `

Calcular (x3 + 2x –1) : (x2 + x + 2)

x3 + 0x2 + 2x − 1 x2 + x + 2

−x3 − x2 − 2x x − 1

− x2 + 0x − 1

x2 + x + 2

x + 1

Q(x) = x − 1 e R(x) = x + 1

O grau do quociente é a diferença dos graus do dividendo e do divisor.

gr(Q) = gr(P) −gr(D)

No exemplo acima, o quociente tem grau 1 = 3 − 2.

Identidade de polinômiosDois polinômios são ditos idênticos quando têm

sempre o mesmo valor, qualquer que seja o valor atribuído à variável.

Dois polinômios idênticos são sempre de mes-

mo grau e têm todos os coeficientes iguais.

Exemplos: `

Calcular a, b e c de modo que se tenha, 1) ∀x ∈ R, ax4 +(b +1)x2 + (2c −1) = x2 +1.

A igualdade se verifica ∀x ∈ R se os polinômios forem idênticos, assim:

ax4 +(b + 1)x2 + (2c −1) = x2 +1 ⇔

a = 0b + 1 = 1 b = 02c – 1 = 1 c = 2

Obtenha A e B de forma que2)

1x(x +1)

= Ax +

Bx + 1 para todo x ≠ 0 e x ≠ −1.

1x(x +1)

= Ax +

Bx + 1 ⇔ 1 = A(x + 1) + Bx ⇔

1 = (A + B)x + A

Igualando os coeficientes temos:

A = 1

A + B = 1 + B = 0 B = –1

A divisão de polinômios também pode ser efetuada pelo método de Descartes ou método dos coeficientes a determinar, que é uma aplicação da identidade de polinômios. Nesse método, parte-se da expressão P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x), onde gr(Q) = gr(P) −gr(D) e gr(R)MAX = gr(D) −1. O quociente e o resto são obtidos então igualando-se os coeficientes dos dois lados.

Exemplos: `

Dividir P(x) = x1) 4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 e D(x) =x3 + 1.

Supondo Q(x) = ax + b e R(x) = cx2 + dx + e, temos:

P = QD + R

⇒ x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 = (ax + b)⋅(x3 + 1) + (cx2 + dx + e)

⇒ x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 = ax4 + bx3 + cx2 + (a + d)x + (b + e)


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⇒

a = 1b = 2c = 3a + d = 4 d = 3b + e = 5 e = 3

⇒ Q(x) = x + 2 e R(x) = 3x2 + 3x + 3

Determine p e q de modo que x2) 3 − 6x2 + px − 1 seja divisível por x2 + 3x − q.

Devemos fazer o resto R(x) = 0 e adotar um quo-ciente Q(x) = ax + b do primeiro grau. Assim,

x3 − 6x2 + px − 1 = (x2 + 3x − q) ⋅ (ax + b) ⇔ x3 − 6x2 + px − 1 = ax3 + (b + 3a)x2 + (3b − aq)x −bq

Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos:

a = 1

b + 3a = b + 3 ⋅ 1 = −6 ⇔ b = −9

3b − aq = 3(−9) −1 ⋅ q = p ⇔ p + q = −27

−bq = −1 ⇔ − (−9)q = −1 ⇔ q = −1/9

p = −27 − (−1/9) = −242/9

Polinômio identicamente nulo: É aquele que é nulo para qualquer valor da variável. Um polinômio identicamente nulo tem todos os seus coeficientes iguais a zero.

Se um polinômio de grau n possuir mais de n raízes, então ele é identicamente nulo.

Teorema de D’Alembert

O resto da divisão de um polinômio P(x) por ax +b, com a ≠ 0, é igual a P(−b/a).

Demonstração: na divisão de P(x) por ax +b o resto deve ter grau zero. Assim, podemos dizer que a divisão terá um quociente Q(x) e resto R(x) = R = constante. Logo,

P(x) = (ax + b)⋅Q(x) + R(x) ⇔

P(x) = (ax + b)⋅Q(x) +R

Fazendo x = −b/a, teremos

P(a) = [a(−b/a) +b]⋅Q(−b/a) + R ⇔R = P(−b/a)

Exemplo: `

Calcule o resto de P(x) = x3 + x2 + x + 1 por x + 1.

O resto será P(−1) = (−1)3 + (−1)2 + (−1) + 1 = 0. Logo, −1 é raiz de P(x).

O polinômio P(x) é divisível por ax +b, com a 0 se, e somente se, P(−b/a) = 0.

Exemplo: `

Determine m para que o polinômio P(x) = x3 +2x2 +mx −10 seja divisível por x −2.

P(2) = 23 + 2 ⋅ 22 + m⋅2 − 10 = 0 ⇔ m = −3

Regra de Ruffini-HornerNuma divisão de um polinômio P(x) por x − a:

dispomos a e os coeficientes de P(x), inclu-1.°) sive os nulos;

o coeficiente do primeiro termo do quociente 2.°) é igual ao coeficiente do primeiro termo do dividendo;

o coeficiente do segundo termo do quociente 3.°) é igual ao coeficiente do segundo termo do dividendo mais o produto do coeficiente do primeiro termo do quociente pelo segundo ter-mo do binômio tomado com o sinal trocado;

em geral, o coeficiente do termo de ordem p 4.°) do quociente é igual ao coeficiente do termo da mesma ordem do dividendo, mais o pro-duto do coeficiente do termo antecedente do quociente pelo segundo termo do binômio tomado com o sinal trocado;

finalmente, obtém-se o resto da divisão 5.°) multiplicando o coeficiente do termo cons-tante do quociente pelo segundo termo do binômio tomado com o sinal trocado e adicionando a esse produto o coeficiente do termo constante do dividendo.

Exemplo: `

Dividir 2x1) 3 − 5x2 + 3x − 4 por x − 2

Inicialmente alocar no dispositivo os coeficientes do dividendo e o segundo termo do binômio com o sinal trocado e então proceder como acima:


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2 −5 3 −4

2 2 −1 1 −2

2.2+(−5) 2.(−1)+3 2.1+(−4)

Q(x) = 2x2 − x + 1 e R = −2

Determinar a e b para que o polinômio 2) x3 − ax2 + bx − 10 seja divisível por (x + 2)(x − 1).

1 −a b −10

−2 1 −2−a 4 + a + b −18 − 2a − 2b = 0

1 1 −1−a 3 + b=0

2a + 2b = −18 e b + 3 = 0 ⇔ b = −3 e a = −6

Ao longo da história, muitos matemáticos dedicaram-se ao estudo da resolução das equações polinomiais, tendo sido um dos grandes desafios da Álgebra Clássica.

As primeiras contribuições vieram com o mate-mático árabe AL-Khowarizmi no século IX e Bhaskara no século XII, com importantes conclusões sobre a resolução de equações de 1.o e 2.o graus.

Porém, só no século XVI, no Renascimento, é que os matemáticos italianos Cardano, Tartaglia e Ferrari começaram a propor fórmulas para resolver equações de 3.o e 4.o graus.

Em 1798, Gauss demonstrou que “toda equa-ção de grau n (n N*) admite pelo menos uma raiz complexa”, o que ficou conhecido como o Teorema Fundamental da Álgebra. Em 1824, o matemático norueguês Abel demonstrou que uma equação do 5.o grau não poderia ser resolvida através de fórmulas envolvendo radicais, resultado demonstrado em 1829 por Galois e estendido a todas as equações polino-miais de grau maior que o 4.o.

As descobertas de Abel e Galois não significam, no entanto, que nunca poderemos conhecer as raízes de uma equação de grau maior que 4. Existem teore-mas gerais que, associados a condições particulares, permitem que descubramos soluções de equações deste tipo.

Equação polinomial ou algébrica

Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma:

p(x) = anxn + an-1 x

n-1 +an−2xn−2 + ... + a1x + a0 = 0

onde ao, a1, ..., an são chamados coeficientes e podem ser números reais ou complexos, e an ≠ 0 é chamado coeficiente dominante.

O conjunto solução ou conjunto verdade de uma equação algébrica, no conjunto universo U, é o sub-conjunto de U que contém as raízes da equação.

Duas equações são ditas equivalentes em U, quando apresentam o mesmo conjunto solução nesse domínio.

Quantidade de raízes

Teorema Fundamental da Álgebra: todo polinômio de grau n ≥ 1 admite ao menos uma raiz complexa.

Corolário 1: Toda equação polinomial de grau n admite exatamente n raízes complexas.

Corolário 2: Todo polinômio


n-1 +an−2xn−2 + ... + a1x + a0 = 0

de grau n pode ser colocado na forma fatorada:

P(x) = an (x − r1)⋅(x − r2)⋅...⋅(x − rn)

onde r1, r2, ..., rn são as raízes de P(x).

Corolário 3: Se um polinômio de grau n possuir mais de n raízes, então ele é identicamente nulo.

Exemplo: `

Verificar que uma raiz da equação x3 − 3x2 + 4x − 2 = 0 é o número 1, obter as outras raízes e obter a forma fatorada de P(x).

Podemos aplicar diretamente o algoritmo de Ruffini:

1 −3 4 −2

1 1 −2 2 0

Como o resto da divisão por x −1 é 0, então 1 é raiz de P(x).

O quociente é q(x) = x2 − 2x + 2, cujas raízes são 1 ± i.

Raízes: 1, 1+ i e 1 − i. P(x) = (x − 1)⋅(x − 1 − i)⋅(x −1 + i)

MultiplicidadeDizemos que r é raiz de multiplicidade m (m ≥

1) da equação P(x) = 0 se, e somente se,


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P(x) = (x −r)m⋅Q(x) e Q(r) ≠ 0

ou seja, r é raiz de multiplicidade m de P(x) = 0 quando o polinômio P é divisível por (x−r)m e não é divisível por (x−r)m+1.

Quando m =1 dizemos que r é uma raiz simples; quando m = 2, dupla; tripla quando m = 3 etc.

Exemplos: `

Verificar qual é a multiplicidade da raiz 1) −3 na equa-ção x4 +6x3 +11x2 +12x +18 = 0.

1 6 11 12 18−3 1 3 2 6 0−3 1 0 2 0−3 1 −3 11

⇒ P(x) = (x + 3)2 ⋅ (x2 + 2) ⇒ −3 tem multiplicidade 2

Exemplo: `

Qual é o grau de uma equação polinomial P(x) = 0 2) cujas raízes são 3, 2, −1 com multiplicidades 7, 6 e 10, respectivamente?

P(x) = k⋅(x − 3)7⋅(x − 2)6⋅(x + 1)10, com k ∈ * ⇒ gr(P) = 23

Pesquisa de raízes

Raízes racionais de equações com coeficientes inteiros

Se r = pq

, p e q inteiros primos entre si, é uma

raiz racional da equação de coeficientes inteiros


n−1 +an−2xn−2 + ... + a1x + a0 = 0

então p é divisor de a0 e q é divisor de an.

Exemplo: `

Verificar se a equação 2x3 + x2 + x − 1 = 0 admite raízes racionais.

pqx= ⇒ p ∈ {1, −1} e q ∈ {1, −1, 2, −2}

pqx= ⇒ ∈ {1, −1,

12 , –

12 }

p(x) = 2x3 + x2 + x − 1

p(1) = 3 p(−1) = −3 P(1/2) = 0 p(−1/2) = −3/2

Logo, a única raiz racional da equação é 1/2.

Raízes complexas de equações com coeficientes reais

Se um complexo z = a + bi, a ∈ R e b ∈ R, é raiz de uma equação algébrica de coeficientes re-ais, então o conjugado z= a – bi também é raiz da equação.

Corolários:

Toda equação algébrica de coeficientes reais 1) e grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.

Se o complexo z é raiz de multiplicidade m 2) de uma equação algébrica de coeficientes reais, então o conjugado z também é raiz de multiplicidade m da equação.

Exemplo: `

Resolver a equação x4 + 4x3 − 17x2 + 26x − 14 = 0 sabendo que 1 −i é uma de suas raízes.

Como trata-se de uma equação de coeficientes reais, se 1 − i é raiz , então 1 + i também é raiz.

Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini:

1 4 −17 26 −14

1 − i 1 5 − i −13 − 6i 7 + 7i 0

1 + i 1 6 −7 0

⇒ x2 + 6x − 7 = 0 ⇒ raízes: x = 1 ou x = −7

⇒ S = {1, −7, 1+i, 1−i}

Vale notar que esse exercício pode ser mais fa-cilmente resolvido aplicando-se as relações de Girard do próximo tópico.

Relações de GirardSeja o polinômio P(x) = anx

n + an−1 xn−1 +an−2x

n−2 + ... + a1x + a0 e Sk a soma dos produtos das raízes tomadas em grupos de k, temos:

Sk = (–1)k an–k

an

Exemplo: `

Sendo o polinômio P(x) = x1) 3 + 6x2 + 11x + 6 cujas raízes são –1, –2 e –3.

S1 = – 1 + (– 2) + (– 3) = (–1)1 61 = – 6

S2 = (– 1)(– 2) + (– 1)(– 3) + (– 2)(– 3) = (– 1)2 111

= 1

S3 = (– 1)(– 2)(– 3) = (– 1)3 61

= – 6


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Se a, b, c e d são as raízes da equação x2) 4 − 2x3 + 3x2 −5x + 7 = 0, calcule o valor da expressão

E = 1a

+ 1b

+ 1c

+ 1d

.

bcd + acd + abd + abcabcd

=

(–5)171

= 57

Se a1) n = 1, o simétrico do coeficiente do 2.º termo é a soma das raízes.

Se a2) n = 1, o termo independente multiplicado por (−1)n é o produto das raízes.

Qualquer raiz inteira não-nula de uma equa-3) ção de coeficientes inteiros é um divisor do termo independente.

Se as raízes da equação são todas positivas, 4) os seus coeficientes são alternadamente positivos e negativos.

Uma equação de coeficientes positivos tem 5) todas as raízes reais negativas.

Teorema de Bolzano Se um polinômio P(x) apresenta valores P(a) e

P(b) tais que P(a).P(b)< 0, então a equação admite um número ímpar (pelo menos uma) de raízes reais entre a e b.

Exemplo: `

P(x) = x3 − 3x2 − x + 3

P(0) = 3 e P(2) = 23 − 3⋅22 − 2 + 3 = −3

Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz entre 0 e 2.

Na verdade, 1 é raiz de P(x).

MMC e MDC de polinômiosO máximo divisor comum (MDC) entre polinô-

mios é o polinômio unitário (coeficiente dominante 1) formado pelos fatores comuns aos polinômios eleva-dos aos seus menores expoentes, de forma que ele é o polinômio de maior grau que divide todos aqueles.

As raízes comuns aos polinômios são também raízes de seu MDC, com a menor multiplicidade.

Se o MDC de dois polinômios é 1, diz-se que eles são primos entre si.

Quando os polinômios não estão na forma fato-rada, o seu MDC pode ser obtido pelo método das divisões sucessivas.

Exemplo: `

Obtenha o MDC dos polinômios p(x) = x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2 e q(x) = x2 − 4x + 3.

x2 + x + 4110

x – 310 ← quocientes

x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2 x2 − 4x + 3 10x −1010x −10 0 ← restos

⇒ MDC(p, q) = 110

(10x – 10) = x – 1


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vale notar que a divisão por 10 se faz necessária para que o MDC seja um polinômio unitário.

O mínimo múltiplo comum (MMC) entre poli-nômios é o polinômio unitário formado por todos os fatores que aparecem nos polinômios, comuns ou não, elevados ao seu maior expoente, de forma que ele é o polinômio de menor grau que é múltiplo de todos aqueles.

Todas as raízes dos polinômios são raízes do seu MMC.

Exemplo: `

P(x) = x(x – 1)2(x – 2)3 e Q (x) = x3(x – 1)(x – 3)2.

MDC (P, Q) = x(x – 1)

MMC (P, Q) = x3(x – 1)2(x – 2)3(x – 3)2

TransformaçõesTransformação de uma equação algébrica P1(x)

= 0 é toda operação com a qual se obtém uma nova equação P2(y) = 0 cujas raízes estejam relacionadas com as raízes da equação inicial através de uma relação conhecida y = f(x).

P1(x) = 0 → equação primitiva

P2(y) = 0 → equação transformada

y = f(x) → relação de transformação

Transformação multiplicativaÉ a transformação em que y = k⋅x (k ≠ 0). Para

obter a equação transformada basta substituir na equação primitiva x = y/k

y = k.x ⇒ x = yk

Exemplo: `

Obter a equação cujas raízes são o dobro das raízes da equação x3 + 5x2 − 7x + 11 = 0.

y = 2x ⇒ x = y2

y2

3

+ 5 y2

– 7 y2

2 + 11 = 0

18

y3 + 54

y2 – 72

y + 11 = 0

⇔ y3 +10y2 − 28y + 88 = 0

Transformação aditivaÉ a transformação em que y = x +a (a ∈ C).

Para obter a equação transformada basta substituir na equação primitiva x = y −a.

y = x + a ⇒ x = y − a

Exemplo: `

Obter a equação cujas raízes são 2 unidades menores que as raízes de 2x3 − 5x − 2 = 0.

y = x − 2 ⇒ x = y + 2

2(y + 2)3 − 5(y + 2) − 2 = 0 ⇔ 2y3 + 12y2 + 19y + 4 = 0

Transformada aditiva e divisão de polinômios

Dada a equação primitiva P1(x) = anxn + an-1

xn−1 +an−2xn–2 + ... + a1x + a0 = 0 a sua transformada

aditiva é

P2(x +a) = Rn⋅(x +a)n +Rn−1⋅(x +a)n−1+ ... +R1⋅(x +a) +Ro = 0

onde Ro, R1, ... , Rn são os restos das divisões sucessi-vas de P1 por x +a, que podem ser facilmente obtidos com o auxílio do algoritmo de Briot-Ruffini.

Exemplo: `

Dada a equação x3 − 2x2 + x + 1 = 0, obter sua trans-formada pela relação y = x + 2.

1 – 2 1 1– 2 1 – 4 9 – 17 R0

– 2 1 – 6 21 R1

– 2 1 – 8 R2

– 2 1 R3

⇒ (x + 2)3 – 8(x + 2)2 + 21(x + 2) − 17 = 0

⇒ y3 – 8y2 + 21y – 17 = 0

Transformação recíproca

É a transformação em que y = 1x

, x 0. Para

obter a equação transformada basta substituir na equação primitiva x = 1

y.

y = 1x

x = 1y


9EM

_V_M

AT

_017

Exemplo: `

Obter a equação cujas raízes são os inversos das raízes da equação 5x3 + x2 − x + 1 = 0.

5 1y

3+ 1

y

2– 1

y + 1 = 0 y3 – y2 + y + 5 = 0

Equações recíprocasUma equação polinomial P(x) = 0 é chamada

recíproca se, e somente se, é equivalente à sua trans-

formada recíproca P 1x

= 0.

Dada a equação recíproca P(x) = 0, se r é uma raiz de multiplicidade m, então 1

r também é raiz com

a mesma multiplicidade.

Uma equação polinomial P(x) = 0 é recíproca se, e somente se, os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais 2 a 2 ou opostos 2 a 2.

ClassificaçãoEquações recíprocas de 1.ª espécie: • são aquelas em que os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais.

Equações recíprocas de 2.ª espécie: • aquelas em que os coeficientes equidistantes dos extremos são simétricos.

Forma normal: • diz-se que uma equação re-cíproca está na forma normal se ela é de 1.ª espécie e grau par.

Se uma equação é recíproca de 2.ª espécie e grau par, então ela não possui termo central.

PropriedadesToda equação recíproca de 2.ª espécie e grau I. ímpar P(x) = 0 admite raiz 1. A divisão de P(x) por x −1 conduz a uma equação recíproca de 1.ª espécie e grau par.

Toda equação recíproca de 2.ª espécie e grau I.

par P(x) = 0 admite raízes 1 e −1. A divisão de P(x) por x −1 e x +1 conduz a uma equação recíproca de 1.ª espécie e grau par.

Toda equação P(x) = 0, recíproca de 1.ª espé-I. cie e grau ímpar, admite a raiz −1. A divisão de P(x) por x +1 conduz a uma equação recí-proca de 1.ª espécie e grau par.

Resolução da equação recíproca normal

Sendo a equação recíproca normal

P(x) = A0x2k + A1x

2k–1 +...+ A1x + A0 = 0

Dividindo a equação por xk, tem-se

A0 xk + 1xk

+A1 xk–1 + 1xk–1

+...+Ak–1 x+ 1x

+Ak=0

Fazendo y = x + 1x

e usando a identidade

xp+1+ 1xp+1

=y. xp + 1xp

– xp–1 + 1xp–1

, onde p =

1, 2, 3,...

x0 + 1x0

= 2

x1 + 1x1

= y

x2 + 1x2

= y2 – 2

x3 + 1x3

= y3 – 3y ...

Substituindo as expressões obtidas, obtém-se uma equação em y de grau k. Resolvendo a equação em y, pode-se obter os valores de x.

Exemplo: `

Resolva a equação x4 − 4x3 + 5x2 − 4x + 1 = 0.

Observando os coeficientes verificamos que trata-se de uma equação recíproca de 1.ª espécie e grau par, ou seja, na forma normal. Dividindo a equação por x2:

x2 – 4x + 5 – 4x

+ 1x 2

= 0

x2 + 1x2

– 4 x + 1x

+ 5 = 0

Fazendo y = x + 1x

x2 + 1x 2

= y2 – 2

⇒ (y2 −2) −4y + 5 = 0 ⇒ y2 −4y +3 = 0 ⇔

y = 1 ou y = 3

i) x + 1x

= 1 ⇒ x2 − x +1 = 0 x = 1 32


10 EM

_V_M

AT

_017

ii) x + 1x

= 3 ⇒ x2 − 3x +1 = 0 x = 3 52

(UFF) Considere o polinômio p(x) = 1. x4 + x2 + 1x2 – 1

, x 1

e x – 1. Determine o polinômio q(x) e as constantes A,

B e C tais que p(x) = q(x) + Ax2 – 1

e Ax2 – 1

= Bx – 1

+

Cx + 1

, x 1 e x – 1.

Solução: ` A = 3, B = 3/2 e C = – 3/2

x4 +0x3 +x2+ 0x +1

x2 −1

−x4 +x2 x2 +2

2x2 +0x +1

−2x2 +2

3

p(x) = x 4 + x 2 + 1x 2 – 1

= x2 + 2 + 3x2 – 1

q(x) = x2 +2 e A = 3

3x2 – 1

= Bx – 1

+ Cx + 1

3 = B(x +1) + C(x −1) 3 =

(B + C)x + (B − C) B + C = 0B – C = 3

B = 3/2 e C = −3/2

(FGV) O polinômio P(x) = x2. 2 + x + a é divisível por x + b e por x + c, em que a, b e c são números reais, distintos e não-nulos. Então b + c é igual a:

–1a)

–2b)

2c)

0d)

1e)

Solução: ` E

P(−b) = b2 − b + a = 0

P(−c) = c2 − c + a = 0

⇒ b2 − c2 −(b − c) = 0 ⇔ (b − c)⋅(b + c − 1) = 0

Como b ≠ c, então b + c − 1 = 0 e b + c = 1

Outra forma de resolver essa questão é observar que, se P(x) é divisível por x + b e x + c, então −b e −c são raízes de P(x), logo a sua soma é (−b) + (−c) = −1/1 = −1 e b +c = 1.

(PUC-Rio) Considere o polinômio p(x) = x3. 3 + 2x2 – 1

Calcule o valor p(x) para x = 0, a) 1, 2.

Ache as três soluções da equação xb) 3 + 2x2 = 1

Solução: `

p(0) = – 1a)

p(1) = 1 + 2 – 1 = 2,

p(– 1) = – 1 + 2 – 1 = 0,

p(2) = 8 + 8 − 1 = 15 e

p(– 2) = −8 + 8 – 1 = – 1

xb) 3 + 2x2 = 1 ⇔ p(x) = x3 + 2x2 – 1 = 0

Como p(– 1) = 0, então podemos aplicar o algoritmo de Ruffini:

1 2 0 −1

−1 1 1 −1 0

⇒ q(x) = x2 +x −1 = 0 que tem raízes – 1 52

.

⇒ S = {−1, – 1 52

}

p(0) = a) −1, p(1) = 2, p(−1) = 0, p(2) = 15 e p(−2) = −1

S = {b) −1, – 1 52

}

(UERJ) Numa autoestrada verificou-se que a veloci-4. dade média do tráfego V, entre meio-dia e seis horas da tarde, pode ser expressa pela seguinte função:

V(t) = at3 + bt2 + ct + 40

Nesta função, V é medida em quilômetros por hora, t é o número de horas transcorridas após o meio-dia e a, b e c são constantes a serem determinadas. Verificou-se, ainda, que à 1hora, às 5horas e às 6horas da tarde, as velocidades médias eram, respectivamente, 81km/h, 65km/h e 76km/h. O número de vezes, em um determinado dia, em que a velocidade média do tráfego atinge 92km/h, entre meio-dia e seis horas da tarde, é exatamente igual a:

1a)

2b)

3c)

4d)


11EM

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_017

(UERJ) As equações x5. 3 + x + 10 = 0 e x3 − 19x − 30 = 0, em que x , têm uma raiz comum. Determine todas as raízes não-comuns.

Solução: `

Sendo p(x) = x3 + x + 10 e q(x) = x3 − 19x − 30 e r a raiz comum, então p(r) = 0 e q(r) = 0, donde r é raiz de p(x) = q(x).

⇒ x3 + x + 10 = x3 − 19x − 30 ⇔ x = −2 ⇒ r = −2

Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini:

p(x) = x3 + x + 10

1 0 1 10−2 1 −2 5 0

⇒ x2 − 2x + 5 = 0 ⇔ x = 1 ± 2i

q(x) = x3 − 19x −30

1 0 −19 −30−2 1 −2 −15 0

⇒ x2 − 2x − 15 = 0 ⇔ x = 5 ou x = −3

As raízes da 1.ª eq. são 1 2i e da 2.ª são 5 e 3.

(Fatec) Foi apresentado a um exímio calculista, co-6. nhecido como o “homem que calculava”, o sistema de equações

x1 + x2 + x3 = 3730

x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = 12

x1 x2 x3 = 115

e ele rapidamente respondeu: “Uma solução do sistema é x1 = 1

3, x2 = 1

2 e x3 = 2

5.” Em seguida

perguntaram-lhe: qual a soma dos quadrados das raízes da equação 30x3 − 37x2 + 15x − 2 = 0?

De pronto ele respondeu corretamente. A sua resposta foi:

7300

a)

47450

b)

101600

c)

437750

d)

469900

e)

Solução: ` E

A equação proposta é a equação de raízes x1, x2 e x3, então a soma dos quadrados das raízes da equação é

13

2

+ 12

2

+ 25

2

= 19

+ 14

+ 425

= 100+225+4.36900

= 469900

Solução: `

V(1) = 81 a + b + c + 40 = 81⇒ a +b +c = 41

V(5) = 65 125a + 25b + 5c + 40 = 65 ⇒ 25a + 5b + c = 5

V(6) = 76 216a + 36b + 6c + 40 = 76 ⇒ 36a + 6b + c = 6

a + b + c = 4125a + 5b + c = 536a + 6b + c + 6

6a + b = 911a + b = 1

5a = 10

a = 2b = – 21c = 60

V(t) = 2t3 −21t2 + 60t + 40

V(t) = 2t3 − 21t2 + 60t + 40 = 92 ⇒

2t3 −21t2 + 60t − 52 = 0

Para t = 2 16 − 84 + 120 – 52 = 0

Aplicando o algoritmo de Ruffini:

2 −21 60 −52

2 2 −17 26 0

q(x) = 2t2 − 17t + 26 onde ∆ = 289 − 208 = 81 e t

= 17 94

, então t = 6,5 ou t = 2.

Logo, a equação apresenta raiz 2 (dupla) e raiz 6,5 que não pertence ao domínio estabelecido. Portanto, a velocidade em questão só é atingida uma vez, como pode ser visto no gráfico abaixo.

80

60

40

20

0 1 2 3 4 5 x

v = 92

v = 2t3 – 21t2 + 60t + 40


12 EM

_V_M

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(FGV) Podemos afirmar que a equação 7.

x6 – 5x5 + 10x3 – 3x2 – 5x + 2 = 0 admite:

duas raízes duplas e duas raízes simples.a)

duas raízes duplas e uma raiz tripla.b)

uma raiz simples, uma raiz dupla e uma raiz tripla.c)

uma raiz tripla e três raízes simples.d)

duas raízes triplas.e)

Solução: ` A

As possíveis raízes racionais são ±1 e ±2. Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini:

1 – 5 0 10 – 3 – 5 21 1 – 4 – 4 6 3 – 2 01 1 – 3 – 7 – 1 2 0

– 1 1 – 4 – 3 2 0– 1 1 – 5 2 0

x2 – 5x + 2 = 0 5 172

Logo, a equação possui duas raízes duplas e duas raízes simples.

Sabendo-se que a, b e c são as raízes da equação 9. x3 − x2 − 1 = 0, formar uma nova equação, cujas raízes sejam os números b + c, c + a e a + b.

Solução: `

a + b + c = −(− 1)/1 = 1

⇒ b + c = 1 − a; c + a = 1 − b; a + b = 1 − c

⇒ y = 1 − x ⇔ x = 1 − y

(1 − y)3 −(1 − y)2 − 1 = 0 ⇒ y3 − 2y2 + y + 1 = 0

y3 − 2y2 + y + 1 = 0

(ITA) Determine a e b para que a equação 10. 6x4 − ax3 + 62x2 − 35x + b − a = 0 seja recíproca de primeira classe e resolva-a.

Solução: `

Recíproca de 1.ª classe ⇒ b – a = 6– a = – 35

⇒ a = 35

b = 41

⇒ 6x4 − 35x3 + 62 x2 − 35x + 6 = 0 ( x2)

⇒ 6x2 – 35x + 62 – 35x

+ 6x2

= 0

6 x2 + 1x2

– 35 x2 + 1x

+ 62 = 0

Fazendo y = x + 1x

x2 + 1x2

= y2 – 2

⇒ 6(y2 − 2) − 35y + 62 = 0 ⇒ 6y2 − 35y + 50 = 0

⇒ y = 10/3 ou y = 5/2

x + 1x

= 52

⇔ 2x2 − 5x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ou x = 1/2

x + 1x

= 103

⇔ 3x2 −10x + 3 = 0 ⇔ x = 3 ou x = 1/3

S = {1/3, 1/2, 2, 3}

a = 35, b = 41 e S = {1/3, 1/2, 2, 3}

(UFF) Resolva a equação 11. 2x6 − 5x5 + 2x4 − 2x2 + 5x − 2 = 0.

(UERJ) Um ciclista e um corredor começam, juntos, 8. uma competição. A curva abaixo, cuja equação é e = t3 + at2 + bt + c, representa a posição e, em me-tros, do ciclista, em função do tempo t, em segundos, em que a, b, e c são números reais fixos.

No instante em que o ciclista parte da posição zero, o corredor inicia um movimento, descrito pela equação e = 4t, na mesma pista e no mesmo sentido.

Determine a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar.

Solução: `

Por meio da análise do gráfico e da equação, verifi-

camos que existem três raízes reais: 0 é raiz simples e 3 é raiz dupla.

Então e = t ⋅ (t − 3)2 ⇒ e = t3 − 6t2 + 9t

Para determinar os instantes dos encontros:

t3 − 6t2 + 9t = 4t ⇔ t3 6t2 + 5t = 0 ⇔ t ⋅ (t2– 6t + 5) = 0

⇒ t = 0s; t = 1s e t = 5s

⇒ posição dos encontros: 0m; 4m e 20m

Posição mais afastada = 20m


13EM

_V_M

AT

_017

Solução: `

2x6 − 5x5 + 2x4 − 2x2 + 5x − 2 = 0

Temos uma equação recíproca de 2.ª espécie e grau par, então:

2 – 5 2 0 – 2 5 – 21 2 – 3 – 1 – 1 – 3 2 0– 1 2 – 5 4 – 5 2 0

Dividindo por (x −1) e (x +1), obtivemos um equação recíproca normal:

2x4 − 5x3 + 4x2 − 5x + 2 = 0 ( x2)

2x2 – 5x + 4 – 5x

+ 2x2

= 0

2 x2 + 1x2

– 5 x + 1x

+ 4 = 0

Fazendo ⇒ y1 = x + 1x

x2 + 1x2 = y2 – 2

⇒ 2(y2 − 2) − 5y + 4 = 0 ⇒ 2y2 − 5y = 0 ⇒ y = 0 ou y = 5/2

x + 1x

= 0 ⇔ x2 + 1 = 0 ⇔ x = ± i

x + 1x

= 52

⇔ 2x2 − 5x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ou x = 1/2

⇒ S = {± i, 2, 1/2}

(Fatec) O polinômio f(x) dividido por ax + b, com a 1. ≠ 0, tem quociente q(x) e resto r

O resto da divisão de x⋅f(x) por x + ba

é:

ra) 2

ab

b) r

ba

c) r

– d) ba

r

– e) ab

r

(FGV) O polinômio P(x) = ax2. 3 + bx2 + cx + 2 satisfaz as

seguintes condições: P

P x P x x

( )

( ) ( )

− =

− − =

1 03, qualquer que

seja x real. Então:

P(1) = a) −1

P(1) = 0b)

P(2) = 0c)

P(2) = d) −8

P(2) = 12e)

(UFRJ) O polinômio P(x) = x3. 3 – 2x2 – 5x + d, d∈R, é divisível por (x – 2).

Determine d.a)

Calcule as raízes da equação P(x) = 0.b)

(UFF) Um aluno dividiu o polinômio p(x) = ax4. 2+ bx+c, sucessivamente, por (x – 1), (x – 2) e (x – 3) e en-controu, respectivamente, restos 0, 0 e 1. Determine o polinômio p(x).

Dois carros participam de um rally de regularidade. A 12. função s1 = t3 – 6t2 +16t – 6, representa a posição, em quilômetros, do 1.º carro, em função do tempo t, em horas. A posição do 2.º carro é representada pela função s2 = 5t. Sabendo que eles se encontram 3 vezes durante o percurso, obtenha a equação que deve respeitar o movimento do 1.º carro para que, sem modificar a equação do movimento do 2.º carro, os encontros ocorram todos 1 hora mais tarde.

Solução: `

Encontro:

s1 = s2 ⇒ t3 − 6t2 + 16t − 6 = 5t ⇒

t3 − 6t2 + 11t − 6 = 0

Para os encontros ocorrerem 1 hora mais tarde, devemos formar uma nova equação de raízes y = t +1, então

(y − 1)3 − 6(y − 1)2 + 11(y − 1) − 6 = 0

y3 − 9y2 + 26y − 24 = 0

Como a equação do 2.º carro não muda, devemos ter:

y3 − 9y2 + 31y − 24 = 5y ⇒ s1’= t3 − 9t2 + 31t − 24

O gráfico abaixo mostra as duas situações.

10

y = 5 x y = x3 – 9x2

0,5 1 1,5 2,5 3,5 4,52 3 4

s1’= t3 – 9t2 + 31t – 24


14 EM

_V_M

AT

_017

(UFF) Considere o polinômio de coeficiente reais 5. p(x) = x2 + ax + b. Determine os valores dos números reais a e b para os quais sejam satisfeitas, simultanea-mente, as seguintes condições:

p(x) seja divisível por x I. − 1;

o resto da divisão de p(x) por x II. − 2 seja igual ao resto da divisão de p(x) por x − 3.

(UFF) O resto da divisão de p(x)= x6. 3 + 2x2 + a por q(x)= x2 + 1 é um polinômio cujo termo independente é 8. Determine o valor do número real a.

(PUC-Rio) Se o polinômio p(x) = x7. 5 + 2ax4 + 2b é divi-sível por (x + 1)2, então a soma a + b vale:

1a)

–1b)

2c)

−d) 1/2

1/2e)

(PUC-Rio) Dado que as raízes do pol inômio 8. p(x) = x3 + ax2 + bx + c são 0, 1 e −1, calcule p(2).

(UFF) Determine as constantes reais r, s e t de modo que 9. o polinômio p(x) = rx2 + sx + t satisfaça às seguintes condições:

p (0) = 1; eI.

a divisão de p(x) por xII. 2 + 1 tem como resto o poli-nômio 3x + 5.

(UFF) O resto da divisão do polinômio p(x) por (x 10. − 1)3 é o polinômio r(x). Sabendo que o resto da divisão de r(x) por x –1 é igual a 5, encontre o valor de p(1).

(UFSC) Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e 11. por (x – 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1) . (x − 2) é da forma ax + b, com a, b ∈ R. O valor numérico da expressão a + b é:

(UFF) Considere os polinômios p(x) = 2x12. 3 + 2x2 + 7x – 1 e q(x) = 2x2 − x − 1. Calcule:

os valores do número complexo z tais que p (z) = a) q (z);

o número real k e o polinômio do primeiro grau r(x) b) tais que p(x) = (x – k) q(x) + r(x).

(UENF) O gráfico abaixo é a representação cartesiana 13. do polinômio y = x3 − 3x2 − x + 3.

Determine o valor de B.a)

Resolva a inequação xb) 3 −3x2 −x +3 > 0.

(UERJ) Os zeros do polinômio p(x) = x14. 3 −12x2 +44x − 48 formam uma PA. O conjunto solução da equação p(x) = 0 pode ser descrito por:

{0, 4, 8}a)

{2, 4, 6}b)

{–1, 4, 9}c)

{–2, –4, –6}d)

(Fatec) Sabe-se que 15. −1 é raiz dupla do polinômio

P(x) = 2x4 + x3 − 3x2 − x + 1. As outras raízes são números:

imaginários puros.a)

reais negativos.b)

irracionais.c)

racionais.d)

pares.e)

(FGV) Um polinômio P, de coeficientes reais, apresenta 16. 2 + 3i e − 2 − 3i como suas raízes (i é a unidade imagi-nária). Qual o menor grau possível de P? Justifique.

(FGV) Resolva a equação x17. 5 + x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 3 = 0 no conjunto dos números complexos.

(FGV) Dado o polinômio P(x) = x18. 4 + x3 − 6x2 − 4x + k:

Resolva a equação P(x) = 0, para k = 8.a)

Determine o valor de k de modo que as raízes este-b) jam em progressão aritmética de razão igual a 3.

(FGV) 19.

Sejam a, b e c as raízes da equação a) x3 − 4x2 + 6x − 1 = 0.

Calcule o valor da expressão: 1 1 1ab ac bc

+ + .

Resolva a equação xb) 3 − 2x2 − 5x + 6 = 0, sabendo que a soma de duas raízes vale 4.


15EM

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(FGV) 20.

Um polinômio P do 3.º grau com coeficientes reais a) é tal que P(2) = 0 e P(2 + i) = 0, onde i é a unidade imaginária. Obtenha P sabendo-se que P(1) = 4.

A equação polinomial xb) 3 + x2 + x + k = 0 tem uma raiz igual a − 1. Obtenha o valor de k e as outras raízes.

(Fuvest) O produto de duas das raízes do polinômio 21. p(x) = 2x3 − mx2 + 4x + 3 é igual a −1. Determinar:

o valor de m.a)

as raízes de p.b)

(UFRJ) Encontre as raízes de x22. 3 + 15x2 + 66x + 80 = 0, sabendo que são reais e estão em progressão aritmé-tica.

(UFF) A função f: 23. → definida por f(x) = mx3 + nx2 + px + q, m ≠ 0, é sempre crescente e possui raízes distintas. Sabendo-se que uma raiz é real, pode-se afirmar que as outras

são complexas.a)

têm sinais contrários.b)

são nulas.c)

são positivas.d)

têm módulo unitário.e)

(UFF) Três raízes de um polinômio p(x) do 4.24. o grau estão escritas sob a forma i576, i42 e i297. O polinômio p(x) pode ser representado por:

xa) 4 + 1

xb) 4 − 1

xc) 4 + x2 + 1

xd) 4 − x2 + 1

xe) 4 − x2 −1

(UFMG) Seja p(x) = x25. 3 + ax2 + bx + 2 um polinômio em que a e b são números inteiros. Sabe-se que 1 2+ é uma raiz de p(x). Considerando essas informações.

Determine os coeficientes a e b.a)

Determine todas as raízes de p(x).b)

(UFC) O polinômio P(x) = 2x26. 3 – x2 + ax + b, em que a e b são números reais, possui o número complexo i como uma de suas raízes. Então o produto a⋅b é igual a:

− a) 2

− b) 1

0c)

1d)

2e)

(Unicamp) Sabendo que a equação x27. 3 − 2x2 + 7x − 4 = 0 tem raízes a, b e c, escreva, com seus coeficientes numéricos, uma equação cúbica que tem como raízes a + 1, b + 1 e c + 1.

(Unicamp) Ache todas as raízes inclusive complexas da 28. equação x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1 = 0.

(Unicamp) Considere a equação:29.

21

71

4 022x

xx

x+

+ +

+ = .

Mostre que x = i é raiz dessa equação.a)

Encontre as outras raízes da mesma equação.b)

(Unicamp) Para resolver equações do tipo x30. 4 + ax3 + bx2 + ax +1 = 0, podemos proceder do seguinte modo: como x = 0 não é raiz, divide-se a equação por x2 e,

após fazer a mudança de variáveis u xx

= + 1 , resolve-se

a equação obtida (na variável u). Observe que se x ∈ R e x > 0, então u ≥ 2.

Ache as 4 raízes da equação xa) 4 − 3x3 + 4x2 − 3x + 1 = 0.

Encontre os valores de b b) ∈ R para os quais a equa-ção x4 − 3x3 + bx2 − 3x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz positiva.

Transformar a equação x31. 3 − 3x2 − x + 5 = 0 em outra desprovida do termo do 2.º grau.

Dada a equação 32. x x x3 252

34

2 0− + − = . Reduzi-la à forma

inteira, conservando porém o coeficiente do seu primeiro termo igual à unidade.

(UERJ) A figura abaixo representa o polinômio P definido 33. por P(x) = x3 − 4x.

Determine as raízes desse polinômio.a)

Substituindo-se, em P(x), x por x b) − 3, obtém-se um novo polinômio definido por y = P(x − 3). Determi-ne as raízes desse novo polinômio.


16 EM

_V_M

AT

_017

(IME) Forme a equação recíproca de segunda classe e 34. do 4.º grau que admite −2 como raiz.

(ITA) Para que 2x35. 4 + bx3 − bx − 2 = 0 tenha quatro soluções reais distintas, devemos ter:

b um número real qualquer.a)

b = 0.b)

b > 0.c)

b < d) −1.

b > 4.e)

(ITA) Multiplicando por 2 as raízes da equação x36. 3 – 2x2 + 2x – 1 = 0 vamos obter raízes da seguinte equação:

2ya) 3 − 6y2 + 6y − 4 = 0

yb) 3 − 4y2 + 8y − 8 = 0

8yc) 3 − 8y2 + 4y − 1 = 0

yd) 3 − 8y2 + 8y + 8 = 0

4ye) 3 − 4y2 − 4y − 8 = 0

(ITA) Considere as afirmações:37.

A equação 3xI. 4 − 10x3 + 10x − 3 = 0 só admite raízes reais.

Toda equação recíproca admite um número par de II. raízes.

As raízes da equação xIII. 3 + 4x2 − 4x − 16 = 0 são exa-tamente o dobro das raízes de x3 + 2x2 − x − 2 = 0.

Então:

Apenas (I) é verdadeira.a)

Apenas (II) é falsa.b)

Apenas (III) é verdadeira.c)

Todas são verdadeiras.d)

n.d.a.e)

(UFF) O polinômio p(x) = x1. 4 − 2x3 + 5x2 − 8x + 4 também pode ser escrito sob a forma: p (x) = (x − 1)n (x2 + s), n ∈N e s ∈ R.

O valor de n + s é:

1a)

4b)

0c)

6d)

2e)

(UFF) Os gráficos da função polinomial p e da reta r 2. estão representados na figura abaixo.

Calcule o resto da divisão de p(x) por x a) − 3.

Escreva a equação de r.b)

Determine a expressão que define p, sabendo que c) as três únicas raízes de p são reais.

(UFF) A equação –x3. 4 + 11x3 − 38x2 + 52x − 24 = 0 tem duas raízes iguais a 2. Dadas as funções reais f e g de-finidas, respectivamente, por f(x) = −x4 + 11x3 − 38x2 + 52x − 24 e g(x) = log(f(x)), determine o domínio de g.

(UFF) Uma parte do esboço do gráfico de uma função 4. polinomial f é dada na figura:

Sabe-se que a função f possui somente três raízes: a raiz x = 2 e outras duas que são reais e simétricas. Determine:

a expressão polinomial que define f.a)

o(s) intervalo(s) em que f é positiva.b)

(UFJF) Sabendo que os polinômios q5. 1(x) = x2 – 9 e

q2(x) = x2 − 5x + 6 dividem o polinômio

p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, onde a, b, c e d são reais, é incorreto afirmar que:

o polinômio qa) 1(x) ⋅ q2(x) divide p(x).

2, 3 e b) − 3 são raízes de p(x).


17EM

_V_M

AT

_017

o polinômio p(x) não possui raízes complexas.c)

se d = 36, então a = 0.d)

se d é irracional, então p(x) possui uma raiz irra-e) cional.

(UFJF) A figura abaixo representa, no plano cartesiano, 6. parte do gráfico do polinômio com coeficientes reais p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, intersectando o eixo x nos pontos de abscissas x1, 0 e x2.

Com base no gráfico é correto afirmar que:

d a) ≠ 0.

p(x) tem raiz complexa.b)

(x c) − α) divide p(x)

o resto da divisão de p(x) por (x d) − β) é igual a M.

existe x e) [α, β] tal que p(x) < m.

(UFMG) Seja o polinômio 7.

P(x) =

( ) ( ) ( )n j x nx n x n x x xj n n

j

n

+ − = + − + − + + +−

=∑ 1 1 2 22 3 1

1

K

em que o resto da divisão de P(x) por x −1 é 55. Determine n.

(Unicamp) Considere o polinômio p(x) = x8. 3 – 2x2 + 5x + 26.

Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse a) polinômio.

Prove que p(x) > 0 para todo número real x > - 2 .b)

(UFC) Seja P(x) um polinômio de grau n 9. ≥ 1, com co-eficientes reais. Sabendo que P(3 + i) = 2 − 4i, onde i2 = − 1, calcule P(3 − i).

(IME) Prove que o polinômio 11.

x x x x x9999 8888 7777 2222 1111 1+ + + + + +K

é divisível por x x x x x9 8 7 2 1+ + + + + +K ..

(UERJ) Para fazer uma caixa sem tampa com um único 12. pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de 16cm de largura por 30cm de comprimento. De cada um dos quatro cantos desse retângulo foram retirados quadra-dos de área idêntica e, depois, foram dobradas para cima as abas resultantes. Determine a medida do lado do maior quadrado a ser cortado do pedaço de papelão, para que a caixa formada tenha:

área lateral de 204cma) 2;

volume de 600cmb) 3.

(FGV) 13.

A equação 2xa) 3 − 8x2 + mx + 16 = 0, sendo m um número real, tem raízes a, b e c, tais que: a = b +c. Determine o valor de S, tal que S = 1

ab + 1

bc + 1

ac .

O polinômio P(x) = 3xb) 4 − 22x3 + 64x2 − 58x +13 é

(UnB) Uma viga metálica de seção transversal variá-10. vel está presa nas suas extremidades, A e B, e sofre uma deflexão (medida em metros) na vertical, em relação ao segmento horizontal AB, dada por

y xx x x

( ).

= − +3 226 1603 600

em um ponto de AB que dista x metros de A, conforme ilustra a figura abaixo.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

(1) A distância entre os pontos A e B é igual a 10m.

(2) No ponto C do segmento AB, distante 4m de B, a deflexão da viga é menor que 10cm.

(3) Sabendo-se que a maior deflexão da viga é

igual a 225

m e que uma das raízes do polinômio

x x x3 226 1603 600

− +.

= 225

é igual a 18, conclui-se

que a maior deflexão ocorre em um ponto D

que dista mais de 5m do ponto A.

(4) O peso da viga e a sua dilatação devido ao aumento da temperatura ambiente são fatores que contribuem para a referida deflexão.


18 EM

_V_M

AT

_017

divisível por x −

13

. Encontre as raízes da equa-

ção P(x) = 0 no conjunto dos números complexos.

(UFPR) Sabendo-se que i, 3 e 14. 12

32

14

+

i são raízes de

p(x) = x6 − 6x5 + 7x4 − x3 + 18x2 + ax + 12, onde i é a uni-

dade imaginária e a é número real, é correto afirmar:

1 também é raiz de p(x). )(

4 também é raiz de p(x). )(

O produto das raízes de p(x) é 14. )(

p(x) é divisível por x )( 2 + x + 1.

(UFSC) Marque a(s) proposição(ões) 15. correta(s).

(01) O número real 1 (um) é uma das raízes do polinômio p(x) = 2x4 − 5x3 + 5x2 −5x –3.

(02) Se o polinômio x3 + ax2 + bx + 3 admite três raízes reais distintas, então uma das possibilidades é que elas sejam 1, − 1 e 3.

(04) O polinômio x3 + 3x − 2 possui (pelo menos) uma raiz real.

(08) O polinômio f(x) = x3 + mx − 5 é divisível por x − 3 quando m é igual a 4.

Soma ( )

(Unesp) Considere a função polinomial de 3.º grau 16. p(x) = x3 − 3x +1.

Calcule p(a) −2), p(0), p(1) e p(2) e esboce o gráfico.

Com base no item (a), responda, justificando, quan-b) tas raízes reais e quantas raízes complexas (não re-ais) tem p(x).

(UERJ) As dimensões de um paralelepípedo retângulo 17. são dadas pelas raízes do polinômio 3x3 −13x2 +7x −1. Em relação a esse paralelepípedo, determine:

a razão entre a sua área total e o seu volume;a)

suas dimensões.b)

(Unesp) Considere a matriz 18. A

x x

xx

x

= −

1

0 12

2 0

. O determi-

nante de A é um polinômio p(x).

Verifique se 2 é uma raiz de p(x).a)

Determine todas as raízes de p(x).b)

(Fuvest) Considere dois números reais 19. λ e μ tais que λ ≠ − 1, μ ≠ 1 e λ⋅μ ≠ 0.

Determine uma relação entre a) λ e μ, para que as equações polinomiais λx3 − μx2 − x − (λ + 1) = 0 e

λx2 − x − (λ + 1) = 0 possuam uma raiz comum.

Nesse caso, determine a raiz comum.b)

(Unicamp) 20.

Resolva a equação: xa) 4 − 5x − 6 = 0.

Mostre que, se a e b são números reais e se não b) são ambos nulos, então as raízes da equação x4 + ax + b = 0 não podem ser todas reais.

(Unicamp) Seja a um número real e seja 21.

p x

x

a x

x

( ) det=− −

− −−

3 1 2

0 1

0 4 1

Para a = 1, encontre todas as raízes da equação a) p(x) = 0.

Encontre os valores de a para os quais a equação b) p(x) = 0 tem uma única raiz real.

(Unicamp) Dada a equação polinomial com coeficientes 22. reais x3 − 5x2 +9x −a = 0.

Encontre o valor numérico de a de modo que o núme-a) ro complexo 2 + i seja uma das raízes da equação.

Para o valor de a encontrado no item anterior, de-b) termine as outras duas raízes da mesma equação.

(UFF) Uma fábrica utiliza dois tanques para armaze-23. nar combustível. Os níveis de combustível, H1 e H2, em cada tanque, são dados pelas expressões: H1(t) = 150 t3 − 190 t + 30 e H2(t) = 50 t3 + 35 t + 30, sendo t o tempo em hora.

O nível de combustível de um tanque é igual ao do outro no instante inicial (t = 0) e, também, no instante:

t = 0,5ha)

t = 1,0hb)

t = 1,5hc)

t = 2,0h d)

t = 2,5he)

(IME) Considere a, b e c números reais que a < b < c. 24. Prove que a equação abaixo possui exatamente duas raízes, x1 e x2, que satisfazem a condição: a < x1 < b < x2 < c.


19EM

_V_M

AT

_017

1x - a

1x - b

1x - c

+ + = 0

(ITA) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais 25. e grau 6 é recíproca de 2.ª espécie e admite i como raiz.

Se p(2) = − 1058

e p(−2) = 2558

, então a soma de todas

as raízes de p(x) é igual a:

10a)

8b)

6c)

2d)

1e)

(Fuvest) Dado o polinômio p(x) = x26. 2 ⋅ (x − 1) ⋅ (x2 − 4), o gráfico da função y = p(x − 2) é melhor representado por:

(IME) Seja a equação x27. 3 + px2 + qx + r = 0 cujas raízes são: a, b, c. Determine s, t, u em função de p, q, r, para que a equação x3 + sx2 + tx + u = 0 tenha raízes bc, ca e ab.

Dada a equação x28. 3 + px + q = 0 obter a transformada dos quadrados das diferenças das raízes.

(UFJF) Sendo a, b e c as raízes de x29. 3 + x2 + 3x + 1 = 0, forme a equação cujas raízes são a2, b2 e c2.

(ITA) Sabendo-se que a equação ax30. 4 + bx3 + 5x + 3 = 0 é recíproca e tem 1 como raiz, o produto das raízes reais desta equação é:

2a)

− b) 1

1c)

3d)

4e)

(ITA) Sejam a e b constantes reais. Sobre a equação 31. x4 − (a + b)x3 + (ab + 2)x2 −(a + b)x + 1 = 0 podemos afirmar que:

não possui raiz real se a < b < a) −3.

não possui raiz real se a > b > 3.b)

todas as raízes são reais e c) a ≥ 2 e b ≥ 2.

possui pelo menos uma raiz real se d) −1 < a ≤ b < 1.

n.d.a.e)

(ITA) Sejam P(x) = x32. 4 + a0x3 + a1x

2 + a2x + a3 e

Q(x) = a3x4 + a2x

3 + a1x2 + a0x − 1 dois polinômios,

sabendo-se que P(x) > 0 para todo x real, temos:

Q(aa) 3) > −2

Q(ab) 3) < −3

−c) 2 < Q(a3) < −1

Q(ad) 3) > −3

Nda.e)

(ITA) Sabendo-se que a equação, de coeficientes reais, 33. x6 − (a + b + c)x5 + 6x4 + (a − 2b)x3 − 3cx2 + 6x − 1 = 0 é uma equação recíproca de segunda classe, então o número de raízes reais desta equação é:

0a)

2b)

3c)

4d)

6e)

(ITA) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 34. 2x6 − 4x5 + 4x − 2 = 0. Sobre os elementos de S pode-mos afirmar que:

todos são números reais.a)

4 são números reais positivos.b)

4 não são números reais.c)


20 EM

_V_M

AT

_017

3 são números reais positivos e 2 não são reais.d)

3 são números reais negativos.e)

(ITA) Seja a um número real tal que o polinômio 35. p(x) = x6 + 2x5 + ax4 − ax2 − 2x −1 admite apenas raízes reais. Então:

a a) ∈ [2 , ∞[

a b) ∈ [-1 , 1]

a c) ∈ ]-∞ , − 7]

a d) ∈ [-2 , − 1[

a e) ∈ ]1 , 2[

A velocidade de um carro é expressa por V(t) = 36. 6t4 − 35t3 + 62t2 − 35t + 86, onde V(t) é medida em quilômetros por hora e t é o número de horas de viagem. Esse veículo possui um sistema que toca um alarme quando o carro atinge a velocidade de 80km/h. O número de vezes que o alarme toca após a primeira hora de viagem é:

1a)

2b)

3c)

4d)

(IME) 37.

Mostre que se p(x) = aa) 0 + a1x + a2x2 + a1x

3 + a0x4,

então existe polinômio g(x) do 2.º grau, tal que p(x) = x2 ⋅ g(x +x−1).

Determine todas as raízes do polinômio b) p(x) = 1 + 4x + 5x2 + 4x3 + x4.


21EM

_V_M

AT

_017

D1.

C 2.

P(−1) = −a + b −c + 2 = 0

P(x) – P(– x) = x3 = 2ax3 + 2cx

a b= = − =12

32

0; ; c

3.

d = 10a)

S = {2, b) 5 , − 5 }

p(x) = 4. x2

2 −

3

2x + 1

a = 5. −5 e b = 4

a = 106.

E7.

68.

r = 9. −4, s = 3 e t = 1

510.

511.

12.

z = 0 ou z = 2i ou z = –2ia)

k r xx= − =3

219

212

e +( )b)

13.

B = a) −3

S = ]b) −1, 1[ ∪ ]3, + ∞[

B14.

D15.

416.

S = {17. −1, i, −i, i 3 , −i 3 }

18.

S = {1, a) −2, 2}

k = 11305/256 b)

19.

4a)

S = {b) −2, 1, 3}


22 EM

_V_M

AT

_017

20.

P(x) = a) −2x3 +12x2 −26x +20

k = 1 e S = {b) −1, ± i}

21.

m = 7a)

32

1 2; ±

b)

S = {22. −8, −5, −2}

A23.

B24.

25.

a = a) −4 e b = 3

S = {2,b) 1 2± }

A26.

y27. 3 − 5y2 + 14y − 14 = 0

1, 28. 1 i 3

2, − 1 i 3

229.

Resposta pessoal.a)

S i= ±− + − −

, ,

7 334

7 334

b)

30.

1 (dupla) e a) 1 i 3

2b b) ≤ 4

y31. 3 − 4y + 2 = 0

y32. 3 − 5y2 + 3y − 16 = 0

33.

{ a) − 2, 0, 2}

S = {1, 3, 5}b)

2x34. 4 + 5x3 − 5x − 2 = 0

E35.

B36.

B37.

D 1.

2.

4a)

y = b) 2

3x + 2

p(x) = – c) 1

3 (x − 1)(x + 3)(x − 4)

Dom(g) = ]1, 6[ 3. − {2}

4.

f(x) = 0,25 a) ⋅ (x − 2) ⋅ (x − 3) ⋅ (x + 3)

]b) −3, 2[ ∪ ]3, +∞[

A5.

D6.

107.

8.

a) Sima)

O trinômio y = xb) 2 − 4x + 13 possui ∆ = −36 < 0, logo é positivo.

∀ x∈ R. p(x) = (x2 − 4x + 13) ⋅ (x + 2) > 0 ⇔ x + 2 > 0 ⇔ x > − 2

2 + 4i9.

C, C, E, C10.

B x x x x xxx

B

= + + + + + + = −−

=9999 8888 7777 2222 11111111 10

11111

11

...( )

== + + + +( ) ( ) ...x x x1111 9 1111 8 1111 1

11.

Logo, B é divisível por A.

12.

3cma)

5cmb)

13.

S = a) −1/2

V = {1/3, 1, 3 +2i, 3 b) −2i}

F, V, F, V14.

(02 + 04) = 0615.

16.

p(a) −2) = −1, p(0) = 1, p(1) = −1, p(2) = 3

3 raízes reais e nenhuma não-real.b)


23EM

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_017

17.

14a)

1/3, 2 + b) 3 , 2 – 3

p(x) = det(A) = x18. 3 + 1 – x

2 . 2 – 2x2

x3 + 1 – 1 – x

2 . 2 – 2x2

p(x) = x3 − 2x2 − x + 2

19.

μa) = −2λ

−b) 1

20.

211i1±a) , −1, 2

Resposta pessoal.b)

21.

S = {3, 1 + 2i, 1 a) − 2i}

]b) −3, 5]

22.

a = 5a)

S = {2 + i, 2 b) − i, 1}

C23.

Resposta pessoal.24.

C25.

A26.

s = 27. −q, t = pr e u = −r2

y28. 3 + 6py2 + 9p2y + 4p3 + 27q2 = 0

x29. 3 + 5x2 + 7y − 1 = 0

B30.

C31.

A32.

D33.

D34.

C35.

B36.

37.

αg(x) = aa) 0x2 + a1x + (a2 − 2a0)

S = b) – 1 i 3

2, – 3 i 5

2


24 EM

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MATEMÁTICA - Grupo de Orientação Pré-Militar · II. Divide-se o primeiro termo de P(x) pelo...

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