MATEMÁTICA II - Professor Luciano Nóbrega · A matriz do exemplo é do tipo 3x3 (lê-se: 3 por...

MATEMÁTICA II

Aula 11Matrizes

Professor Luciano Nóbrega

3º Bimestre

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MATRIZES

DEFINIÇÃO – Uma matriz é uma tabela com “m” linhas e “n” colunas que contém “m . n” elementos.

_ INTRODUÇÃO

EXEMPLO:

Ângulo 30º 45º 60º

seno

cosseno

tangente

2

1

2

1

2

3

2

3

2

2

2

2

3

331

2

1

2

1

2

3

2

3

2

2

2

2

3

331

OBSERVAÇÕES:

Uma matriz pode ser escrita entre (parênteses), [colchetes] ou ║barras duplas║.

A matriz do exemplo é do tipo 3x3 (lê-se: 3 por 3), isto é, possui

3 linhas e 3 colunas. Também podemos dizer que é de ordem 3.

Cada elemento é representado pelo símbolo aij ,em que “i”

indica a linha que o elemento ocupa e “j” indica a coluna.


TESTANDO OS CONHECIMENTOS

1 – Dadas as seguintes matrizes, responda o que se pede:

B =

a) De que tipo (ordem) são as matrizes?

b) Qual o valor dos elementos:

a23 = b21 = c31 = d11 = e12 =

2 – Escreva as matrizes:

a) A = (aij)2x3 tal que aij = i2 + j3

b) M = (mij)2x3 com 1≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 2 tal que aij = 3j + 2i – 5

c) X = (xij)4x2 tal que aij = 3i2 – j/id) Matriz de ordem 2, tal que dij = 4i – 3j

e) Matriz de ordem 3, tal que aij = 0 para i > j, aij = (i + j)2,

para i = j e aij = –2, para i < j.

CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES

Matriz NulaÉ a matriz onde todos os elementos são nulos.

Matriz LinhaÉ uma matriz que só tem uma linha.

Matriz ColunaÉ uma matriz que só tem uma coluna.

Matriz OpostaSeja a matriz A, então dizemos que –A é a matriz oposta de A, tal

que para cada elemento aij, temos na outra matriz o elemento

correspondente –aij.

Matriz QuadradaÉ uma matriz que tem o mesmo

número de linhas e colunas.




Matriz Triangular

Superior – É uma matriz quadrada que apresenta aij = 0 para i > j.

Inferior – É uma matriz quadrada que apresenta aij = 0 para i < j.

Matriz DiagonalÉ uma matriz quadrada em que todos os elementos

que não estão na diagonal principal são nulos.Matriz IdentidadeÉ uma matriz quadrada em que todos os elementos da

diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos.

É representada por In, sendo “n” a ordem da matriz.

.



Matriz Transposta

É uma matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se

ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas.

Mt = ?

Matriz Simétrica

É uma matriz quadrada de ordem “n” tal que A = At . A matriz A é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4,

ou seja, temos sempre aij = aji. Matriz AntissimétricaÉ uma matriz quadrada de ordem “n”

tal que A = -At que apresenta

todos os elementos da DP iguais

a zero e aij = -aji

M =


OPERAÇÕES COM MATRIZES

Igualdade de MatrizesDuas matrizes, A e B, de mesma ordem m x n, são iguais se, e

somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição

são iguais. Exemplo:

Sejam as matrizes A e B determine b e c de modo que as matrizes A e B

sejam iguais.

Soma e Subtração de MatrizesDadas as matrizes A e B, impreterivelmente, de mesma ordem

definimos por soma dessas matrizes a matriz tal que

Cij = aij + bij. E, por diferença, Cij = aij – bij.Exemplos:

–



Multiplicação de um número real por uma matrizDados um número real “x” e uma matriz “A” de ordem m x n, o

produto de “x” por “A” é uma matriz “B” de mesma ordem

obtida pela multiplicação de cada elemento de “A” por “x”, ou

seja, bij = x.aij Exemplo:

Multiplicação de Matrizes1º) Sejam duas matrizes, A e B nessa ordem, o produto entre

essas duas matrizes só existe se o número de colunas da matriz

A for igual ao número de linhas da matriz B.


TESTANDO OS CONHECIMENTOS3 – (Multiplicação de Matrizes) Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de Futebol

(2010), o grupo G era formado por 4 países: Brasil, Portugal, Costa do Marfim e

Coreia do Norte. Observe os resultados registrados na tabela:

Vitória Empate Derrota

Brasil 2 1 0

Portugal 1 2 0

C. Marfin 1 1 1

Coreia do N. 0 0 3

Pelo regulamento da Copa, a vitória

vale 3 pontos, o empate vale 1 ponto

e a derrota zero. Segue as matrizes:

Determine quantos pontos fez cada equipe.

4 – Sejam as matrizes “A” e “B” dadas a seguir, determine:

a) A.B

b) B.A :

5 – Sejam as matrizes “A” e “B” dadas a seguir, determine:

a) A.B b) B.A c) A.A d) A + B e) A+ Bt f) 2.At – 3.B

g) (A.B)t h) Bt.At i) At.Bt



Matriz InversaDada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz

A-1, de mesma ordem, tal que A.A-1 = A-1.A = In ,

então A-1é matriz inversa de A .

EXEMPLO:Seja as matrizes dadas a seguir, determine, se existir, a matriz inversa.

C =

D =

E

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6 – (UFCE) Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = At. Assim, se a matriz

abaixo é simétrica, então

x + y + z é igual a: a) –2 b) –1 c) 1 d) 3 e) 5

7 – (UFCE) Se A, B e C são matrizes do tipo 2x3, 3x1 e 1x4,

respectivamente, então o produto A . B . C

a) É matriz do tipo 4x2 b) É matriz do tipo 2x4 c) É matriz do tipo 3x4

d) É matriz do tipo 4x3 e) Não é definido.

8 – (Mack) O traço de uma matriz quadrada é dado pela soma dos elementos de sua

diagonal principal. O traço da matriz A = (aij)3x3, tal que aij = 3.ij, é:

A) 96 B) 32 C) 81 D) 225 E) 243

9 – (UFPB) Dadas as matrizes A e B abaixo então, calculando-se o determinante da

matriz resultante da expressão ( A + B )2 , obtém-se:

A) 121 B) 61 C) 6 D) 81 E) 23

10 – Sabe-se que a matriz M dada a seguir é anti-simétrica. Os termos a12 , a13 e a23 de M

valem respectivamente:

A) 4, 2 e –4 B) -4, -2 e 4 C) 4, -2 e -4 D) 2, -4 e 2

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12 – (UFRN / 2004) A matriz ao lado é 7x7 e foi formada com o

número 1 em cada posição da primeira linha, um 0 e um 2,

alternadamente, nas posições da segunda linha, dois 0 e um 3,

também alternadamente, nas posições da terceira linha, e assim

sucessivamente. Numa matriz 100x100, construída com o mesmo

critério, qual a quantidade de números diferentes de zero na

décima coluna?



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13 – Considerando as matrizes: e , determine:

a) a matriz X que satisfaz a sentença: A + X = B

b) resolva o sistema



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14 – Utilize as matrizes A, B e C indicadas a seguir para determinar X, tal que:

a) X + A = C b) X + C = B c) 3.(X – A) = 2.(B + X) d) 2A – 3B = 2X

15 –

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