MATEMÁTICA II - Professor Luciano Nóbrega · MATEMÁTICA II Aula 8 Equações Trigonométricas...

MATEMÁTICA II

Aula 8Equações Trigonométricas

Professor Luciano Nóbrega

2º Bimestre

1

2Professor Luciano Nóbrega

RESUMO DA AULA 7

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a

cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b

cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b

tg (a + b) = tg a + tg b

1 – tg a . tg b

tg (a – b) = tg a – tg b

1 + tg a . tg b

sen 2a = 2.sen a.cos a

cos 2a = cos2a – sen2a

cos 2a = 2 . cos2a – 1

cos 2a = 1 – 2 . sen2a

tg 2a = 2tg a

1 – tg2a


TESTANDO OS CONHECIMENTOS1 – Verifique a veracidade das igualdades a seguir.

a)

(1 + cos a).sen a

sen2 a + (1 + cos a)2

(1 + cos a).sen a

sen2a + 1 + 2.cos a + cos2a

(1 + cos a).sen a

2 + 2.cos a

(1 + cos a).sen a

2.(1 + cos a)

sen a

22cossec a



b) 2 – sen2b – sen2b

cos2b cos2b

2 – 2sen2b

cos2b

2.(1 – sen2b)

cos2b

2.(cos2b)

cos2b 2



f) 1º) sec2x – 2.sec x + 1

1 – 2 + 1

cos2x cos x1 – 2.cos x + cos2x

cos2x

2º) tg2x – 2.tg x.sen x + sen2x + 1 – 2.cos x + cos2x

sen2x – 2.sen x.sen x + sen2x + 1 – 2.cos x + cos2x

cos2x cos x

sen2x – 2.sen2x.cos x + 2.cos2x – 2.cos3x

cos2x

1 – cos2x –2.(1–cos2x).cos x+2.cos2x – 2.cos3x

cos2x

1 – cos2x –2.cos x+2cos3x+2.cos2x – 2.cos3x

cos2x


TESTANDO OS CONHECIMENTOS2 – Prove que 2tg(x)/1 + tg

2(x) é idêntica a sen 2x

3 – Calcule seno, cosseno e tangente de:

a) 15º

b) 75º

c) 105º

d) 165º

e) 195º

f) 255º

g) 285º

h) 345º


TESTANDO OS CONHECIMENTOS

4 – Prove que cos (3x) = 4.cos³x – 3.cos x

cos (3x) = cos (2x + x) = cos (2x).cos x – sen (2x).sen x

OBS:

cos 2a = cos2a – sen2a cos 2a = 2 . cos2a – 1

cos 2a = 1 – 2 . sen2a

= (2.cos2x – 1).cos x – (2.sen x.cos x).sen x

= 2.cos3x – cos x – 2.sen2x.cos x

= 2.cos3x – cos x – 2.(1 – cos2x).cos x

= 2.cos3x – cos x – 2.cos x + 2.cos3x

= 4.cos3x – 3.cos x

5 – Analogamente, prove que sen (3x) = –4.sen³x + 3.sen x


EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

As Equações Trigonométricas são equações nas quais a incógnita aparece nos ângulos (ou arcos) das funções trigonométricas.

EXEMPLOS:

São exemplos de equações trigonométricas:

sen x = 1 2.cos x = √3 1 + tg(2x) = 0

NÃO são exemplos de equações trigonométricas:

3x + sen π = 1 2.cos 45º = x/3 x2 + tg π/3 = 0

Para resolvermos Equações Trigonométricas, devemos simplificar as expressões até que obtenhamos uma das três equações básicas:

sen x = sen a cos x = cos a tg x = tg a



EXEMPLO:

Dada a equação sen x = sen Π/5 e o intervalo [ 0, 2Π [,determine os valores que x pode assumir:

SOLUÇÃO: Retirando a função seno nos dois membros

da equação, temos x = Π/5 , esse é um dos valores de x.Mas, lembre-se o valor do seno no 1º quadrante é

igual ao valor do seno no 2º quadrante.

LEMBRE-SE:

sen α = sen (Π – α)

sen x = sen (Π – Π/5 ) sen x = sen 4Π/5 x = 4Π/5


EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICASEXEMPLO: Seja a equação sen x = –1/2 , com x pertencente ao

intervalo [0,2Π [, determine o valor de x:

Perceba a idéia fundamental:

→ Precisamos descobrir “os”ângulos cujos senos resultam -1/2.

sen

++__

sen 30º = 1/2sen (180º -30º ) = sen 150º = 1/2

sen (180º +30º ) = sen 210º = -1/2

sen (360º -30º ) = sen 330º = -1/2

Então, se sen x = -1/2 sen x = sen 210º = sen 330º

Em radianos, temos: sen x = sen 7Π/6 = sen 11Π/6

E portanto, S = { 7Π/6 . 11Π/6 }



11

EXEMPLO: Resolva a equação cos x = cos 5Π/3.Retirando a função cosseno nos dois membros da equação, temos x = 5Π/3 , esse é um dos valores de x. Mas, lembre-se que:

→ O valor do cosseno no 4º quadrante é igual ao valor do cosseno no 1º quadrante.

cos

+

+

_

_

cos 300º = cos 60º = 1/2

→ 5 Π/3 = 5 . (180º)/3 = 5 . (60º) = 300º → 4º quadrante

cos 60º = 1/2

Sendo assim a solução é: S = {x Є R / x = ± 60º + 2kΠ }

Com k Є N



12

EXEMPLO: Estude a equação –1 + cos 3x = 0 , com U = [ 0, 2Π [

Podemos escrever a equação assim:

cos 3x = 1Perceba a idéia fundamental: 1 = cos 0º

Então, cos 3x = cos 0º

Do enunciado, vemos que x Є [0, 2Π [ 3x = 0 + 2.k.ΠAnalisando os casos :

3x = 0 3x = 2Π 3x = 4Π

X = 0 X = 2 Π/3 X = 4 Π/3

S = {0, 2Π/3, 4Π/3 }



13

EXEMPLO: Resolva a equação 2.sen x.cos x + cos x = 0

Colocando “cos x” em evidência, temos:cos x .( 2 sen x + 1) = 0

Podemos concluir que: ou(i) cos x = 0 (ii) 2 . sen x + 1 = 0

cos x = cos Π/2 = cos 3Π/2

x = Π/2 ou x = 3Π/2

2 . sen x = 1 sen x = -1/2

sen x = sen 210º = sen 330ºsen x = sen 7Π/6 = sen 11Π/6

x = 7Π/6 ou sen 11Π/6



EXEMPLOS:

Resolva as seguintes equações de seu livro:

P. 269_13 e 14

Vá correndo acessar...

Você só paga R$ 5,00

(Brincadeirinha... É de graça!)

MATEMÁTICA II - Professor Luciano Nóbrega · MATEMÁTICA II Aula 8 Equações Trigonométricas...

Documents

Transcript of MATEMÁTICA II - Professor Luciano Nóbrega · MATEMÁTICA II Aula 8 Equações Trigonométricas...