20ª aula

Sistemas de Equações Lineares

Em que situações devemos resolver um sistema de

equações

Resolver sistemas de equações é necessário em qualquer estudo onde se

pesquise a interação de variáveis em determinado fenômeno ou experimento.

ExemplosCircuitos Elétricos: Descobrir as correntes.

I1 I2 + I3 = 0

4I1 + I2 = 8

I2 + 4I3 = 16

ExemplosBalanceamento de equações químicas

wNH3 + x O2 yN2 + zH2O

w = 2y3w = 2z2x = z

Exemplos• Distribuição de temperatura numa placa

“A temperatura em cada ponto interior P de uma placa metálica é aproximadamente a

média aritmética das temperaturas nos pontos adjacentes a P.”

4t1 – t2 = 250

t1 + 4t2 – t3 = 50

t2 + 4t3 = 200

O que é uma equação linear?Equação com certo número de variáveis onde

cada termo não pode ter grau diferente de 1.Exemplo:3x + y – 6z + w =3xy + 5z = 7Produto de duas variáveis de grau 1 tem grau 2.

Equivale x-1, o grau não é 1

√2

1x−3y+z=10

Sistemas de Equações Lineares• Conjunto de equações lineares.Exemplos: x + y – z = 7 x + y – 3z + w = 0 x –

2y + z = 82x – 4y + z = 0 x – y + z + 2w = 5 3x

+ y – z = 1x + y = 3 2x – y – z – w = 3 x + y + z

= 2 x – y – 3z

= 133 equações 3 equações

4 equações3 incógnitas 4 incógnitas

3 incógnitas

Solução de Um sistema

A maioria PENSA que SABE e que é FÁCIL resolver um sistema de equações lineares.

Resolva o seguinte sistema o mais rápido que puder:x + 2 y + 3z = 12x + y + z = 23x y + 2z = 1

S = {( 67 , 57 ,− 37 )}

Tipos de soluçãoUma solução.Exemplo:x + y – z = 72x – 4y + z = 0x + y = 3

S={ }, ou seja, x = 8/3, y = 1/3 e z = 4.

(83 , 13 ,−4)

Tipos de solução

Infinitas soluções:Exemplo:x + y – 3z + w = 0x – y + z + 2w = 52x – y – z – w = 3 Possui infinitas soluções, pois neste caso o

sistema possui mais incógnitas do que equações. Algumas quádruplas que verificam o sistema: (13, 15, 9, -1) e (1, -2, 0, 1).

Tipos de soluçãoNenhuma soluçãoExemplo:x + y – z = 72x – 4y + z = 0x + y – z = 3

Absurdo!Não existe trio x, y e z que

satisfaça essas equações ao mesmo tempo.

Classificação de um sistema em relação ao número de soluções:

SistemaSistema

Possível e ...Possível e ...

Sistema Impossível SI

Determinado

SPD

Existe uma única solução.

Existe infinitas soluções.

Não existe solução.

Indeterminado

SPI

Sistemas de duas equações e duas incógnitas e sua interpretação geométrica

Sistemas 2x2 são fáceis de resolver, seja qual for o método.

Exemplo:Resolva, em lR:

2x+ y = 3x – 2y = 4

S={(2,1)}

Interpretação GeométricaCada equação linear de duas variáveis é a

equação de uma reta:

2x+y=3 y = 2x + 3 (forma da função afim)

coef. angular a = 2 coef. linear : b = 3

x – 2y = 4

coef. angular coef. linear: b = 2

y=x2−2

a=12

Interpretação Geométrica

Gráficos: 2x+ y = 3 x – 2y = 4

S={(2,-1)}

A solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas é o ponto de intersecção de duas retas representadas por essas equações.

2x+y=32x+y=3

x-2y=4x-2y=4

PP

Posição Relativa entre RetasVimos um exemplo que as retas possuem um

ponto de intersecção , associado ao conjunto solução do sistema: UMA ÙNICA SOLUÇÃO.

Chamamos essa posição de: RETAS CONCORRENTES.

Posição Relativa entre Retas

Exemplo: 6x – 3y = 1 2x – y = 3Sistema Impossível.Como são as retas associadas às equações?

Não possuindo intersecção , as retassão: PARALELAS.

6x-3y=16x-3y=1

2x-y=32x-y=3

Posição Relativa entre Retas

Exemplo: 2x + 2y = 8 x + y = 4Infinitas soluções.São duas maneiras diferentes de apresentar a mesma equação.

Nessa situação dizemos que as retassão COINCIDENTES.

2x+2y=82x+2y=8

x+y=4x+y=4

ExercíciosResolva os sistemas abaixo e determine a

posição relativa entre as retas relacionadas:

(a) r: 3x + 4y = - 7 e s: x + y = -1 (b) t: 5x – 10y = 7 e r: x – 2y = 6(c) v: 2x + 4y = 14 e u: x + 2y = 7 (d) s: 2x – 3y = 11 e v : 6x – 4y = 3.