Matematica _ Medidas Estatísticas

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Medidas Estatísticas Na prova do ENEM, é certa questões que envolvam conteúdos de medidas estatísticas, como média, moda, mediana, desvio padrão. Veja este artigo que possui teoria, exemplos e os últimos testes do ENEM. Bom estudo!! Medidas de Tendência Central Quando temos um conjunto de dados, nós podemos resumir esta quantidade de informações, utilizando, em estatística, medidas que descrevem, por meio de um só número, características deste conjunto de dados. Esse valor é conhecido por medida de tendência central, pois ela geralmente se localiza em torno do meio ou centro de uma distribuição. Média Aritmética (MA) : é a medida de tendência central mais usada. A média aritmética é o quociente entre a soma de a valores (a 1 , a 2 , ..., a n ) e o número a de valores (n) desse conjunto. É dada por: Exemplo: 1. Rodrigo teve as seguintes notas nas provas de Matemática no ano de 2008: 9,5; 7,5; 9,0;10,0. Para obter uma nota que representará seu aproveitamento no ano, calculamos a média aritmética (MA) de suas notas: 2. Nos 10 primeiros jogos do campeonato brasileiro de futebol, o time do Grêmio teve uma quantidade de gols por partida apresentada na tabela abaixo: Vamos determinar a média, somando o número de gols e dividindo o total obtido pelo número de jogos: Portanto, a média de gols por partida nesses 10 primeiros gols é de 2,6. Média Aritmética Ponderada (MP) : é o somatório do produto de cada elemento pelo seu respectivo peso dividida pela soma dos pesos totais.

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Medidas Estatísticas

Na prova do ENEM, é certa questões que envolvam conteúdos de medidas estatísticas, comomédia, moda, mediana, desvio padrão. Veja este artigo que possui teoria, exemplos e os últimos

testes do ENEM. Bom estudo!!

Medidas de Tendência Central

Quando temos um conjunto de dados, nós podemos resumir esta quantidade de informações,utilizando, em estatística, medidas que descrevem, por meio de um só número, característicasdeste conjunto de dados. Esse valor é conhecido por medida de tendência central, pois elageralmente se localiza em torno do meio ou centro de uma distribuição.

Média Aritmética (MA): é a medida de tendência central mais usada. A média aritmética é o quociente entre a soma

de a valores (a1, a2, ..., an) e o número a de valores (n) desse conjunto. É dada por:

Exemplo:

1. Rodrigo teve as seguintes notas nas provas de Matemática no ano de 2008: 9,5; 7,5; 9,0;10,0. Para obter uma nota querepresentará seu aproveitamento no ano, calculamos a média aritmética (MA) de suas notas:

2. Nos 10 primeiros jogos do campeonato brasileiro de futebol, o time do Grêmio teve uma quantidade de gols por partidaapresentada na tabela abaixo:

Vamos determinar a média, somando o número de gols e dividindo o total obtido pelo número de jogos:

Portanto, a média de gols por partida nesses 10 primeiros gols é de 2,6.

Média Aritmética Ponderada (MP): é o somatório do produto de cada elemento pelo seu respectivo peso dividida pelasoma dos pesos totais.

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Exemplo:

1. Pedro teve as seguintes notas nas provas de Matemática no ano de 2008: 8,5; 7,0; 9,5 e 9,0, nas quais os pesos dasprovas foram 1, 2, 3 e 4, respectivmente. Para obter uma nota que representará seu aproveitamento no bimestre,calculamos a média aritmética ponderada (MP).

2. Um investidor comprou 100 ações com a pretensão de vendê-las nos próximos 3 dias. No primeiro dia vendeu cada açãopor R$ 2,50. Nos dois dias seguintes, verificou que o mercado de ações estava em baixa, reduzindo o valor de venda decada ação. A tabela abaixo informa a quantidade de ações vendidas em cada dia, bem como os diferentes preços devendas.

Qual o valor, em média, de cada ação vendida?

Ou seja, R$ 2,15 é o preço médio de cada ação vendida. Dizemos que se trata de uma média aritmética ponderada dospreços, em que o fator ponderação (que também pode ser chamado de peso) corresponde à quantidade de açõesvendidas ( frequência absoluta) em cada período.

Moda (Mo): é a medida de tendência central definida como o valor mais frequente de um grupo de valores observados.

Exemplo:

1. Dado o conjunto {0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4} a moda é 3.

2. Os dados referem-se a uma pesquisa em um determinado grupo de pessoas.Eles estão apresentados na tabelas e no gráfico a seguir.

Olhando a tabela e o gráfico de colunas percebemos que a maior frequencia é 805 e representa as pessoas com sanguetipo O. Portanto, a moda dessa amostra é o sangue tipo O.

3. Vamos considerar os dados sobre o consumo de combustível, medido em km/l, de 10 automóveis com as mesmas

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características.

O intervalo de maior frequência (classe modal) é [9, 11[. Dessa forma, podemos calcular o ponto médio dessa classe, querepresenta a consumo modal:

Logo, o consumo modal é igual 10 km/l.

Mediana (Me): é o valor que ocupa a posição central de um conjunto de valores previamente ordenados de modo crescenteou decrescente. Este valor divide esse conjunto de valores em duas partes com o mesmo número de termos.

Exemplo:

1. Numa sala de aula, foram registrados as quantidades de faltas durante 11 dias seguidos: 0,2, 3, 3, 3, 1, 0, 3, 5, 5 e 6.

Colocando em ordem crescente, temos:

0, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 6

Veja que temos 5 valores à esquerda da mediana 3 e 5 valores a direita.

2. Os seguintes preços referem-se ao valor do litro de gasolina, coletadosem 8 postos de determinada cidade: R$ 2,59; R$ 2,66; R$ 2,62; R$ 2,70;R$ 2,64; R$ 2,65; R$ 2,68; R$ 2,67.

Colocando em ordem crescente, temos:

R$ 2,59; R$ 2,62; R$ 2,64; R$ 2,65; R$ 2,66; R$ 2,67; R$ 2,68; R$ 2,70

Como temos um número par de valores (8), a mediana é a médiaaritmética entre os dois termos centrais.

3. Durante determinada hora do dia, Pedro fez 5 ligações de seu aparelho celular, pertencente à operadora MATH. O tempo,em minutos, gasto em cada ligação está relacionado abaixo:

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2 5 14 10 5

a) Qual é o tempo médio de duração das ligações feitas por Pedro durante esse período?

Calculando o tempo médio de duração, temos:

b) Qual é o tempo mediano de duração das ligações de Pedro?

Vamos ordenar os valores de duração das ligações: 2 5 5 10 14

Como o tempo um número ímpar de valores (5), basta encontrar o termo central, ou seja, o tempo a 3ª posição. Logo, otempo mediano é 5 minutos.

c) Qual é o tempo modal de duração das ligações de Pedro?

O tempo modal é 5 minutos (Mo= 5), já que esse valor é o que aparece mais vezes (tem maior frequência).

d) Sabendo que o valor da tarifa por minuto de ligação na operadora MATH é de R$ 0,50, quanto foi o gasto médio porligação?

Cada ligação de Pedro durou, em média, 7,2 minutos, como vimos no item a. Para calcular o gasto médio por ligação,multiplicamos o tempo médio de cada ligação pelo valor do minuto, que é R$ 0,50. Assim, temos:

Gasto médio por ligação = 7,2 . 0,50 = R$ 3,60. Logo, o gasto médio por ligação que Pedro efetuou foi de R$ 3,60.

4. Pesquisa sobre número de irmãos de cada aluno de uma classe.

Média aritmética:

Obs.: Embora 1,7 irmão aparentemente seja um absurdo, é correto um valor desse tipo, assim como 2,1 gols por partida,6,4 medalhas por Olimpíada, etc., pois a média aritmética ponderada é uma média de tendência.

Mediana:

Como o total de frequências é 40 (número par), os valores centrais são o 20º e 21º.

(40/2 = 20 e 20 + 1 = 21).

Se colocadas na ordem crescente, virão os 8 valores correspondentes a 0 (zero) irmão, seguidos dos 15 valores de 1 irmão,e assim por diante. Assim:

Então, o 20º e o 21º valor serão, ambos, 1 irmão. Portanto:

Moda:

A maior frequência é 15, que corresponde ao valor 1 irmão. Portanto, Mo = 1 irmão.

5. Pesquisa sobre peso (em quilograma) de um grupo de pessoas.

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Com base na tabela em que os pesos estão agrupados em classes, consideramos, em cada classe, o seu valor médio(VM) e anexamos uma nova coluna à tabela. Assim, temos:

44 - 40 = 48 - 44 = 52 - 48 = 56 - 52 = 60 - 56 = 4

4/2 = 2

40 + 2 = 42 ( frequência 1)

44 + 2 = 46 ( frequência 3)

48 + 2 = 50 ( frequência 7)

52 + 2 = 54 ( frequência 6)

56 + 2 = 58 ( frequência 3)

Média aritmética ponderada:

Mediana:

Como o total das frequências é 20 (número par), os dois valores centrais são o 10º e o 11º. Colocados os valores médiosem crescente e de acordo com suas frequências, o 10º é 50 kg e o 11º também.

Logo, a mediana é

Moda:

A frequência maior, 7, indica o intervalo [48, 52[, representado por 50, que é o ponto médio.

Logo, Mo = 50 kg.

Medidas de Dispersão

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Suponhamos que foram feitas medições em vários momentos do dia para coletar a temperatura (em graus Celcius) dacidade de Santa Maria - RS, durante o dia 28 e 29 de julho de 2011. Os resultadosestão registrados a seguir:

1º dia: 2, 3, 4, 4, 5 e 6

2º dia: 1, 2, 3, 4, 6 e 8

Note que a temperatura média de cada um dos dias foi de 4 ºC. Podemos, então,perguntar: Em qual desses dias a temperatura foi mais estável, ou seja, em qualdesses dias a variação de temperatura foi menor?

Recorrer à média não responde a questão, já que nos dois dias a temperatura médiafoi a mesma. Logo, precisaremos de outras medidas que permitam descrever ocomportamento do grupo de valores em torno da média.

Medidas de dipersão ou de variabilidade são medidas estatísticas que descrevem o comportamento de um grupo devalores em torno das medidas de tendência central.

Desvio Médio (DM): é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios.

Voltando ao exemplo das temperaturas de Santa Maria, vamos construir as tabelas a seguir:

Calculando os desvios médios para as temperaturas de cada dia, temos:

Logo, houve maior dispersão ou variabilidade de temperatura no 2º dia (2 ºC), ou seja, a temperatura foi mais estável (tevemenor variação) no 1º dia.

Variância (V): é a média aritmética dos quadrados dos desvios.

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Desvio Padrão (DP): é a raiz quadrada da variância.

Vamos retornar novamente a situação das temperaturas de Santa Maria. Vamos calcular a variância (V) e o desviopadrão (DP) em relação a cada dia. Assim:

Podemos concluir que a maior dispersão ou variabilidade ocorreu no 2º dia (4,67 °C > 1.67 °C). Isto que dizer que o 2º diafoi o que apresentou as temperaturas menos homogêneas. Logo, o 2º dia é menos regular.

Exemplos:

1. O número de acidentes em um trecho de uma rodovia federal brasileira foi computado mês a mês durante o 1º semestrede um determinado ano. Veja os dados obtidos:

Qual o desvio médio e o desvio padrão desses valores coletados?

Inicialmente, vamos calcular a média desses valores:

Em seguida, vamos encontrar o desvio médio.

Agora, vamos calcular a variância. Para isso, fazemos a média aritmética dos quadrados dos desvios em relação à médiados valores observados:

Por fim, vamos obter o desvio padrão. Para isso, basta fazer a raiz quadrada da variância:

Assim, o desvio médio é de 5 acidentes e o desvio padrão é de aproximadamente 5,8 acidentes.

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2. O gráfico mostra o resultado de uma pesquisa sobre a altura, em centímetros, entre os alunos de determinada sala deaula. Determinar o desvio padrão.

No gráfico (histograma), os valores da variável são intervalos e, por isso, vamos usar os seus pontos médios:

[153, 159[ → ponto médio = 156 (frequência 2)

[159, 165[ → ponto médio = 162 (frequência 5)

[165, 171[ → ponto médio = 168 (frequência 8)

[171, 177[ → ponto médio = 174 (frequência 6)

[177, 183[ → ponto médio = 180 (frequência 4)

Média aritmética:

Desvio (xi - MA):

156 - 169,2 = -13,2

162 - 169,2 = -7,2

168 - 169,2 = -1,2

174 - 169,2 = 4,8

180 - 169,2 = 10,8

Variância:

Desvio padrão:

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Testes de fixação

01. Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um, 3 doces a R$ 1,50 e 2 doces a R$ 2,00 cada. O preço médio, por doce, foi de: a) R$ 1,75 b) R$ 1,85 c) R$ 1,93 d) R$ 2,00 e) R$ 2,40

02. (PUC - CAMP) Sabe-se que os números x e y fazem parte de um conjunto de 100 números, cuja média aritmética é9,83. Retirando-se x e y desse conjunto, a média aritmética dos números restantes será 8,5. Se 3x - 2y = 125, então:

a) x = 75 b) y = 55 c) x = 85 d) y = 56 e) x = 95

03. (FUVEST) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16. O maior valorque um desses inteiros pode assumir é:

a) 16 b) 20 c) 50 d) 70 e) 100

04. Suponha que o país A receba de volta uma parte de seu território T, que por certo tempo esteve sob a administração dopaís B, devido a um tratado entre A e B. Estimemos a população de A, antes de receber T, em 1,2 bilhão de habitantes, e ade T em 6 milhões de habitantes. Se as médias de idade das populações A e T, antes de se reunirem, eram,respectivamente, 30 anos e 25 anos, então a média de idade após a reunião é

a) superior a 29,9 anos. b) um valor entre 28,5 e 29,5 anos

c) um valor entre 28,4 e 28 anos c) um valor entre 27,5 e 27,9 anos e) inferior a 27,5 anos

05. Em uma sala de aula os alunos têm altura desde 130 cm até 163 cm, cuja média aritmética simples é de 150 cm. Oitodestes alunos possuem exatamente 163 cm. Se estes oito alunos forem retirados desta classe, a nova média aritméticaserá de 148 cm. Quantos alunos há nesta sala de aula?

a) 60 alunos b) 58 alunos c) 55 alunos d) 50 alunos e) 40

06. Um comerciante pretende misturar 30 kg de um produto A, que custa R$ 6,80/kg com um produto B que custa R$4,00/kg para obter um produto de qualidade intermediária que custe R$ 6,00/kg. Quantos quilogramas do produto B serãoutilizados nesta mistura? a) 15 b) 12 c) 10 d) 8 e) 7

07. A média das notas dos 50 alunos de uma classe e 7,7. Se considerarmos apenas as notas dos 15 meninos, a notamédia é igual a 7. Logo, a média das notas se considerarmos apenas as meninas é

a) 6,5 b) 7,5 c) 8 d) 8,3 e) 8,5

08. A média aritmética simples de 4 números pares distintos, pertencentes ao conjunto dos números inteiros não nulos éigual a 44. O maior valor que um desses números pode ter é

a) 8 b) 40 c) 82 d) 144 e) 164

09. (ENEM - 2010) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copade 1930 até a de 2006.

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A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas doMundo?

a) 6 gols. b) 6,5 gols. c) 7 gols. d) 7,3 gols. e) 8,5 gols.

10. (ENEM - 2010) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveriaobter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor dapontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português eConhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é

a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.

b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.

c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.

d) Paulo, pois obteve maior mediana.

e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

11. (ENEM - 2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna daesquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele númerode gols.

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então

a) X = Y < Z. b) Z < X = Y. c) Y < Z < X. d) Z < X < Y. e) Z < Y < X.

12. (ENEM - 2009) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, emBrasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

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De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a

a) R$ 73,10. b) R$ 81,50. c) R$ 82,00. d) R$ 83,00. e) R$ 85,30.

13. (ENEM - 2009) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do númerode toneladas produzidas.

Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção(em toneladas) é

a) inferior a 0,18. b) superior a 0,18 e inferior a 0,50.

c) superior a 0,50 e inferior a 1,50. d) superior a 1,50 e inferior a 2,80.

e) superior a 2,80.

14. (ENEM - 2009) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cadaequipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notasobtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e últimacolocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gamaforam 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.

Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe

a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.

b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.

c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.

d) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.

e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.

15. (ENEM - 2009 - fraudada) Cinco equipes A, B, C, D e E disputarão umaprova de gincana na qual as pontuações recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. Amédia das cinco equipes foi de 2 pontos. As notas das equipes foram colocadasno gráfico a seguir, entretanto, esqueceram de representar as notas da equipe De da equipe E. Mesmo sem aparecer as notas das equipes D e E, pode-seconcluir que os valores da moda e da mediana são, respectivamente,

a) 1,5 e 2,0. b) 2,0 e 1,5. c) 2,0 e 2,0. d) 2,0 e 3,0. e) 3,0 e 2,0

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16. (ENEM - 2009 - fraudada) Segundo a Associação Brasileira de Alumínio (ABAL), o Brasil foi o campeão mundial, pelosétimo ano seguido, na reciclagem de latas de alumínio. Foi reciclado 96,5% do que foi utilizado no mercado interno em2007, o equivalente a 11,9 bilhões de latinhas. Este número significa, em média, um movimento de 1,8 bilhão de reaisanuais em função da reutilização de latas no Brasil, sendo 523 milhões referentes à etapa da coleta, gerando, assim,"emprego" e renda para cerca de 180 mil trabalhadores. Essa renda, em muitos casos, serve como complementação doorçamento familiar e, em outros casos, como única renda da família.

Revista Conhecimento Prático Geografia, nº 22. (adaptado)

Com base nas informações apresentadas, a renda média mensal dos trabalhadores envolvidos nesse tipo de coleta gira emtorno de

a) R$ 173,00 b) R$ 242,00 c) R$ 343,00 d) R$ 504,00 e) R$ 841,00

17. (ENEM - 2009 - fraudada) Nos últimos anos, o aumentoda população, aliado ao crescente consumo de água, temgerado inúmeras preocupações, incluindo o uso desta naprodução de alimentos. O gráfico mostra a quantidade delitros de água necessária para a produção de 1 kg de algunsalimentos. Com base no gráfico, para a produção de 100 kgde milho, 100 kg de trigo, 100 kg de arroz, 100 kg de carnede porco e 600 kg de carne de boi, a quantidade médianecessária de água, por kilograma de alimento produzido, éaproximadamente igual a

a) 415 litros por quilograma.

b) 11.200 litros por quilograma.

c) 27.000 litros por quilograma.

d) 2.240.000 litros por quilograma.

e) 2.700.000 litros por quilograma

18. (ENEM - 2009 -fraudada) Depoisde jogar um dadoem forma de cuboe de facesnumeradas de 1 a6, por 10 vezesconsecutivas, eanotar o númeroobtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de frequências. A média, mediana e moda dessadistribuição de frequências são, respectivamente

a) 3, 2 e 1 b) 3, 3 e 1

c) 3, 4 e 2 d) 5, 4 e 2 e) 6, 2 e 4

19. (IBMEC) Chama-se mediana de um conjunto de 50dados ordenados em ordem crescente o número x dado pela média aritmética entre o 25º e o 26º dado. Observe no gráficoa seguir uma representação para as notas de 50 alunos do primeiro semestre de Ciências Econômicas numa determinadaprova. A mediana das notas dos 50 alunos de Ciências Econômicas nessa prova é igual a:

a) 3

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b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

20. (Femm-MG) Veja a tabela.

Qual é a amostra que possui maior desvio padrão?

a)1 b) 2 c) 3 d) 4

21. (FGV) Em um conjunto de 100 observações numéricas, podemos afirmar que:

a) a média aritmética é maior que a mediana.

b) a mediana é maior que a moda.

c) 50% dos valores estão acima da média aritmética.

d) 50% dos valores estão abaixo da mediana.

e) 25% dos valores estão entre a moda e a mediana.

22. (ENEM - 2010 - reaplicada) Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em que o tempo dosparticipantes mais se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em5 etapas, e o tempo médio de prova indicado pelos organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro, estãorepresentados os dados estatísticos das cinco equipes mais bem classificadas.

Dados estatísticos das equipes mais bem classificadas

Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe

a) I b) II c) III d) IV e) V