Matemática Mód 1

Material didático de apoio

Curso: Técnico de Comércio Ano: 1º

Disciplina: Matemática

Módulo nº1Designação: Geometria 36 horas

Escola Profissional do Fundão

Docente: Jorge Gamboa Ano Letivo: 2012/2013

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MatemáticaMÓDULO 1 – A1 - Geometria

Objetivos de Aprendizagem

Neste módulo de Geometria, os objetivos de aprendizagem que se pretende que os estudantes atinjam, são os

seguintes:

construir modelos (maquetes e desenhos) úteis e adequados à resolução de problemas, com recurso

a medições e escalas;

mobilizar resultados matemáticos básicos necessários apropriados para simplificar o trabalho na

resolução de problemas;

comunicar, oralmente e por escrito, aspetos dos processos de trabalho e crítica dos resultados;

identificar as vantagens do uso de um referencial;

instalar um referencial numa figura (ou uma figura num referencial) de forma a obter “as melhores

coordenadas”;

reconhecer as relações entre as coordenadas de pontos simétricos relativamente aos eixos

coordenados e, no espaço, relativamente aos planos coordenados;

escrever a equação de uma reta representada graficamente e vice-versa.

Critérios de Avaliação

Parâmetros / Instrumentos de Avaliação

Domínio CognitivoTeste escrito 60%

Redação matemática individual 20%

Domínio das atitudes e valores e Responsabilidade / Autonomia 20%

Bibliografia / Outros Recursos

Costa, B & Rodrigues, E. (2006). Espaço B – Ensino Secundário 10º Ano. Rio Tinto: Edições Asa.

Ferreira, D., Ferreira, A., Carvalho, P. & Carvalho, J. (2008). Matemática A1 – Ensino Profissional.

Maia: Areal Editores.

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Exemplo

Informação Teórica – Áreas e Volumes


Polígono é uma região fechada e limitada por segmentos de reta, que se dizem os seus lados. Os extremos

desses segmentos de reta são os vértices do polígono.

Dois triângulos dizem-se semelhantes se, de um para o outro, têm os ângulos iguais e os lados proporcionais.

Teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos

catetos.

Considere a figura ao lado.

O ponto E está no topo da árvore e a sua sombra está no ponto A. Colocou-se

verticalmente uma vara no ponto B de maneira a que a sombra da sua

extremidade C esteja, também, no ponto A.

A altura da vara é de 0,8 m e os comprimentos de [AB] e [BD] são 2 m e 10 m,

respetivamente.

Áreas Volumes

Triângulo

b –base

h – altura

A=b×h2

Cubo

l – lado V=l3

Quadrado

l – ladoA=l2

Paralelepípedo

c – comprimento

l – largura

h – altura

V=c×l×h

Retângulo

c – comprimento

l – largura

A=c× lPirâmide

Ab – Área da base

h – altura

V=13Ab×h

Circunferência

r – raioA=π r2

Cone


h – altura

V=13Ab×h

Cilindro


h – altura

V=Ab×h

Esfera

r – raioV= 4

3π r3

Nota: Poliedros são sólidos limitados por superfícies planas. Os polígonos que limitam um poliedro são as faces; os lados do

polígono são as arestas do poliedro e os vértices do polígono são os vértices do poliedro.

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Exemplo

Exemplo

Informação Teórica – Secções de sólidos

Informação Teórica – Referenciais no plano


A Teresa e a Carla compraram uma tenda de campismo. A tenda tem a forma de um prisma triangular, cuja

base é um triângulo equilátero com 1,8 m de lado e com 2,3 m de profundidade.

1. A entrada da tenda tem de altura, aproximadamente, 1,6 m.

Determine, com uma casa decimal, o volume da tenda.

2. Para montar a tenda são necessários 7 ferros. Indique dois ferros paralelos e dois ferros

perpendiculares.

A figura representa um dos vulcões de água da Alameda do Parque da Nações em

Lisboa.

As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metros.

As circunferências indicadas na figura têm 1,8 m e 0,6 m de comprimento de raio.

A altura do cone é 6 m.

Determine, em metros cúbicos, o volume do vulcão de água.

A intersecção de um sólido com um plano secante é uma figura plana a que se

chama secção.

Um referencial cartesiano é constituído por dois eixos perpendiculares (eixo das

abcissas ou eixo dos xx e eixo das ordenadas ou eixo dos yy) que dividem o plano

em quatro regiões, que são os quadrantes, e que se intersectam num ponto, que

é a origem do referencial.

Um referencial diz-se monométrico quando se toma a mesma unidade de

comprimento nos dois eixos.

P (x1 , y1 )x1−abcissa

y1−ordenada

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Informação Teórica – Simetria

Informação Teórica – Condições e conjuntos no plano


Dado um ponto no plano, pode definir-se pelas suas coordenadas o seu

simétrico em relação a cada um dos eixos coordenados e em relação à

origem.

A figura apresenta

A1 simétrico de A em relação ao eixo dos xx;

A2 simétrico de A em relação ao eixo dos yy;

A3 simétrico de A em relação à origem do referencial.

A condição y = b define uma reta horizontal.

A condição x = a define uma reta vertical.

A condição y = x define a bissetriz dos quadrantes impares.

A condição y = -x define a bissetriz dos quadrantes pares.

Domínios Planos

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y ≥ -xy ≥ xy ≥ -2x ≤ 2

Informação Teórica – Referenciais no espaço

Informação Teórica – Condições e conjuntos no espaço

Informação Teórica – Estudo da reta


Um referencial cartesiano no espaço é constituído por três eixos perpendiculares (eixo das abcissas ou eixo

dos xx, o eixo das ordenadas ou eixo dos yy e o eixo das cotas ou

eixo dos zz) que se intersectam num ponto, que é a origem do

referencial.

Os três eixos definem três planos xOy, yOz e xOz, que se chamam os

planos coordenados. O espaço fica assim dividido em oito regiões,

que são os octantes.

Tal como no plano, pode definir-se pelas suas coordenadas o

simétrico de um ponto em relação a cada um dos eixos coordenados

e em relação à origem. Também se pode definir o simétrico de um

ponto em relação a cada um dos planos coordenados.

A condição z = 0 define o plano xOy.

A condição x = 0 define o plano yOz.

A condição y = 0 define o plano xOz.

Dados dois pontos A (x1 , y1 ) e B (x2 , y2 ), o declive da recta AB (não vertical) é dado por:

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( x > -2 ⋀ x ≤ -1 ⋀ y ≥ 0 ⋀ y ≤ -x) ⋁ (x ≥ 0 ⋀ y ≤ 3 ⋀ y > x )

Exemplo

Exercícios propostos


m=y2− y1x2−x1

A equação reduzida de uma reta é do tipo y=mx+b, com m ,b∈R.

m - declive b - ordenada na origem

Considera as seguintes retas:

r : y=2 x+5 s : y=−3 x+7 t : x−2 y=4

1. Relativamente a cada uma delas indique o declive e a ordenada na origem.

2. Averigue se o ponto A (2, -4) pertence à reta s.

3. Indique as coordenadas de dois pontos distintos da reta r.

4. Determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas t e s.

1. Determine o valor exato do comprimento da diagonal espacial de um paralelepípedo retângulo com

as medidas 3 cm, 3 cm e 6 cm.

2. Calcule o volume de uma esfera com 4 cm de diâmetro.

3. Calcule o volume da maior esfera que cabe dentro de um cubo de volume 27 centímetros cúbicos.

4. A figura representa, num referencial ortogonal e

monométrico do espaço, uma pirâmide quadrangular

regular. Sabe-se que D (1, 1, 0) e B (5, 5, 0).

4.1. Determina as coordenadas dos pontos A e C.

4.2. Sendo M o centro da base, mostre que M tem de

coordenadas (3, 3, 0).

4.3. Sabendo que o volume da pirâmide é 32 cm3,

determina as coordenadas do ponto V.

4.4. Escreve a equação do plano que contém M e é perpendicular ao eixo Oy.

5. Considere num referencial ortogonal e monométrico do plano, os pontos

A (-2, 3) e D ( 1, 7) e a reta r de equação y = -2x + 9.

5.1. Mostre que o ponto D pertence à reta r.

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5.2. Escreva a equação reduzida da reta AD.

5.3. Determine as coordenadas do ponto de intersecção de r com os eixos coordenados.

5.4. Escreve a equação reduzida da reta s que contém A e é paralela a r.

6. A figura representa uma pirâmide uma pirâmide quadrangular regular

de volume 256 cm3 e altura 12 cm.

6.1. Mostre que a aresta da base tem comprimento 8 cm.

6.2. Determina o valor exato da área da secção produzida na

pirâmide pelo plano BVD.

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