Matemática para Economia III 2013.2 Aula 4: Sistemas Lineares homogêneos, Matrizes e Operações...

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Matemática para Economia III 2013.2 Aula 4 : Sistemas Lineares homogêneos, Matrizes e Operações Matriciais

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Matemática para Economia III

2013.2Aula 4: Sistemas Lineares

homogêneos, Matrizes e Operações Matriciais

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Sistemas Lineares Homogêneos

São sistemas da forma:

Um sistema homogêneo é sempre consistente pois x1=0, x2=0,x3=0,...,xn=0

é uma solução chamada solução trivial. O sistema homogêneo pode ter ainda outras soluções (não triviais).

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Sistemas Lineares Homogêneos

Exemplo: Vamos resolver o sistema linear homogêneo:

02

0

0

32

21

321

xx

xx

xxx

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Sistemas Lineares Homogêneos

Sempre que um sistema linear homogêneo envolve mais incógnitas que equações tem soluções não triviais.

Nenhuma das operações elementares sobre linhas altera a coluna final de zeros da matriz aumentada.

Se um sistema linear homogêneo tiver n incógnitas e se a forma escalonada reduzida de sua matriz aumentada tiver r linhas não nulas então o sistema tem n-r variáveis livres.

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MatrizesDefinição 1 (Matriz): Chamamos de Matriz a todo conjunto de

“valores”, dispostos em linhas e colunas. Representamos matrizes com letras maiúsculas do nosso alfabeto.

Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por a ij

onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento.

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

m m m mn m n

a a a a

a a a a

a a a a

A

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3231

2221

1211

aa

aa

aa

A

Exemplo: uma matriz genérica 3x2 teria a forma:

Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los por letras minúsculas em negrito em vez de letras maiúsculas. Assim um vetor linha 1xn arbitrário a e um vetor coluna mx1 arbitrário b podem ser escritos como

m

n

b

b

b

aaa

2

1

21 ,][ ba

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Tipos de Matrizes

Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas.

Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela coluna e vice-versa da matriz original.

632

420

531

A

645

323

201TA

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Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.

diagonal principal

Matriz Nula: Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus elementos são iguais a zero.

000

0000

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Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Se os zeros estão acima da diagonal a matriz é triangular inferior, se estão abaixo da diagonal a matriz é triangular superior

613

025

004

300

050

002

Triangular inferior

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TAA 1 2 0

2 7 4

0 4 3

Matriz Anti-Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos com o sinal trocado.

TAA 0 5 2

5 0 1

2 1 0

Matriz Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.

A

A

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Traço de uma matriz

Se A é uma matriz quadrada então o traço de A, denotado por tr(A), é definido pela soma das entradas na diagonal principal de A. O traço de A não é definido se A não é uma matriz quadrada.

Exemplo:

56)2(1)(

,

632

420

531

Atr

A

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Igualdade de matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo tamanho (ou seja, de mesma ordem), dizemos que A = B se somente se os seus elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes mx n, temos:

A = B <=> aij=bij

Operações sobre matrizes

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Adição e Subtração: Para adicionarmos ou subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam de mesma ordem. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.

Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij + bij

Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij - bij

Exemplo:

212

1113

231

061

423

152BABA

Operações sobre matrizes

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Multiplicação de matrizes:Dada duas matrizes A (m x n) e B (n x p), chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m x p definida por

Observações:• O produto de duas matrizes existe se e somente se o

número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

• Se as matrizes A e B são m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é uma matriz m x p,

Operações sobre matrizes

Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj

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Operações sobre matrizes

Exemplo (Multiplicação):

2422

13

1412

4.51.42.53.4

4.01.12.03.1

4.31.22.33.2

.

42

13

54

01

32

BAC

BeA

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Propriedades

0'4

3

2

1

AA

AMA

ABBA

CBACBA

aqui M representa a matriz nula (0) e A’=(-A)

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Propriedades

Onde 1 é matriz identidade de mesma ordem de A, a e b são escalares (o produto de uma matriz A por um escalar b é a matriz bA obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A por b).

AA

AbAaAba

BaAaBAa

AbaAba

.14

...3

...2

....1

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Propriedades

Em geral A.B≠B.A

)..()..().(4

..).(3

..).(2

)..()..(1

BAkBkABAk

CBCACBA

CABACBA

CBACBA

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Propriedades

ttt

tt

ttt

tt

ABBA

AkAk

BABA

AA

..4

..3

2

1

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Matrizes em blocos (particionadas)Uma matriz pode ser subdividida em blocos ou particionada em matrizes

menores inserindo cortes horizontais e verticais entre linhas e colunas. Por exemplo, as seguintes são três partições possíveis de uma matriz 3X4 arbitrária.

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Multiplicação matricial por Multiplicação matricial por colunas e linhascolunas e linhasA partição de matrizes em blocos tem muitas utilidades, uma das

quais sendo encontrar uma linha ou coluna específica de um produto matricial A.B sem calcular todo o produto.

Exemplo: Sejam

j-ésimo vetor coluna de A.B=A.[j-ésimo vetor coluna de B]

i-ésimo vetor linha de A.B=[i-ésimo vetor linha de A].B

72

10

14

,062

421BA

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Multiplicação matricial por Multiplicação matricial por colunas e linhascolunas e linhasO segundo vetor coluna de A.B pode ser obtido calculando

4

27

7.0)1.(61.2

7.4)1.(21.1

7

1

1

.062

421

Segunda coluna de B

Segunda coluna de A.B

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Sejam

Dizemos que o produto Ax de uma matriz A por um vetor coluna x é uma

combinação linear dos vetores colunas de A com coeficientes provenientes do vetor x

Produtos matriciais como Produtos matriciais como combinações linearescombinações lineares

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Considere o sistema linear com m equações e n incógnitas:

Podemos substituir m equações deste sistema por uma única equação matricial:

Forma matricial de um sistema Forma matricial de um sistema linearlinear

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A matriz mx1 à esquerda desta equação pode ser escrita como um produto:

Denotando estas matrizes por A, x e b, respectivamente, o sistema original de m equações e n incógnitas foi substituído pela única equação matricial:

Forma matricial de um sistema Forma matricial de um sistema linearlinear

Ax = b

Matriz de coeficientes Matriz-coluna

de incógnitas

Matriz-coluna de

constantes