Operações com Arcos 1 (Soma e Diferença de Arcos)

FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!

PROFº: GEORGE CHRIST

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IBUL

AR –

200

9

CONTEÚDO

A Certeza de Vencer

08

2

KL 220408

1. INTRODUÇÃO. Estudaremos fórmulas que permitem determinar o seno, cosseno e a tangente da soma e da diferença entre dois arcos a e b, quando são conhecidos os valores do seno, cosseno e da tangente dos arcos a e b. 2. FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENTRE ARCOS. Sejam a e b dois arcos quaisquer. São válidas as seguintes fórmulas: SENO DA SOMA DE DOIS ARCOS

SENO DE DIFERENÇA DE DOIS ARCOS

Exemplos: 01. Determine o sen 75º . Resolução: Escrevemos o arco de 75º como uma soma entre dois arcos cujos senos e cossenos são conhecidos e em seguida aplicamos a fórmula:

( )sen 75º sen 45º 30ºsen 75º sen 45º .cos 30º sen 30º .cos 45º

2 3 1 2sen 75º . .2 2 2 26 2sen 75º4 46 2sen 75º

4

= += +

= +

= +

+=

COSSENO DA SOMA DE DOIS ARCOS

COSSENO DA DIFERENÇA DE DOIS ARCOS

Exemplos:

02. Determine o cos 105º . Resolução: Escrevemos o arco de 105º como uma soma entre dois arcos cujos senos e cossenos são conhecidos e em seguida aplicamos a fórmula:

( )cos 105º cos 60º 45ºcos 105º cos 60º .cos 45º sen 60º .sen 45º

1 2 3 2cos 105º . .2 2 2 2

2 6cos 105º4 42 6cos 105º

4

= += −

= −

= −

−=

03. Determine o cos 15º . Resolução: Escrevemos o arco de 15º como uma diferença entre dois arcos cujos senos e cossenos são conhecidos e em seguida aplicamos a fórmula:

( )cos 15º cos 60º 45ºcos 15º cos 60º .cos 45º sen 60º .sen 45º

1 2 3 2cos 15º . .2 2 2 2

2 6cos 15º4 42 6cos 15º

4

= −= +

= +

= +

+=

Sejam a e b dois arcos tais que a k .2π

≠ + π ,

b k .2π

≠ + π e a b k . e k2π

+ ≠ + π ∈ . São válidas as

seguintes fórmulas: TANGENTE DA SOMA DE DOIS ARCOS

TANGENTE DA DIFERENÇA DE DOIS ARCOS

Exemplos: 04. Determine o tg 15º . Resolução: Escrevemos o arco de 15º como uma diferença entre dois arcos cujos senos e cossenos são conhecidos e em seguida aplicamos a fórmula:

( )

( )( )

x 3 3

x 3 3

tg 15º tg 45º 30ºtg 45º tg30ºtg 15º

1 tg 45º . tg30º31

3tg 15º31 1.

33 3

3 33tg 15º3 3 3 3

39 3 3 3 3 3tg 15º9 3 3 3 3 312 6 6tg 15º

6tg 15º 2 6

−

−

= −−

=+

−=

+

−−

= =+ +

− − +=

− + −−

=

= −

( )sen a b sena.cosb senb.cosa+ = +

( )sen a b sena.cosb senb.cosa− = −

( )cos a b cosa.cosb sena.senb+ = −

( )cos a b cosa.cosb sena.senb− = +

( ) tga tgbtg a b1 tga. tgb

++ =

−

( ) tga tgbtg a b1 tga. tgb

−− =

+

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2009

3. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL) 01. (FEI) Se 3cos x

5= e x 0,

2π⎡ ⎡∈ ⎢ ⎢⎣ ⎣

, calcular

sen x2π⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠.

02. (PUC) A expressão ( )sen

cos .cosα − β

α β é igual a:

a) tg tgα − β b) cotg cotgα − β c) sec secα − β d) cossec cossecα − β e) cos co sα − β

03. (UFRN) Sabendo-se que 1sen x3

= e que x está no

1º quadrante, qual o valor de cos x3π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠?

04. (UCDB) Considere x ∈ , y ∈ e 0 x2π

≤ ≤ . Se

3sen x5

= , então ( )5.cos x y+ é igual a:

a) 3 sen y 4cos y+ b) 3 sen y 4 cos y− c) 4 sen y 3 cos y− d) 4 sen y 3 cos y+ e) 4 cos y 3 sen y−

05. (UFPR) A expressão 3sen x cos x2 2π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ é

equivalente a: a) 2cos x b) cos x c) sen x cos x+ d) sen x cos x− e) cos x sen x−

06. (PUC) Se 1tg x3

= e 1tg y5

= , então ( )tg x y− é

igual a:

a) 34

b) 23

c) 47

d) 18

e) 115

−

07. (PUC) Se ( )tg x y 33+ = e tg x 3= , então tg y é igual a: a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6

08. (UFPA) Sendo a e b dois ângulos tais que 1tg a2

= e

1tg b3

= , encontre, em graus, o valor do ângulo a b+ .

GABARITO

01 35

02 A

03 2 2 36+

04 E

05 E

06 D

07 B

08 45º k .180º , k+ ∈