8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Anlise Combinatria I

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Anlise Combinatria

Anlise Combinatria

Definio Anlise combinatria a parte da matemtica que estuda os mtodos de contagem.

A Operao Fatorial

Se temos um nmero n (nZ+), n fatorial ser:

n! = n (n-1) (n-2) (n-3). ... . 3 . 2 . 1

Obs.:se n=0 ; 0! = 1se n=1 ; 1! = 1

Ex.1:Calcule o valor de 6!

Teremos:6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 16! = 720

Ex.2: Calcule o valor da expresso E= 4! * 3! / 6! :

Teremos:E = 4! * 3! / 6*5*4!E = 3! / 6*5E = 3*2 / 6*5E = 1/5

Princpio Fundamental da Contagem

Se um determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa podeocorrer de p1 maneiras diferentes, a segunda de p2 maneiras, a terceira de p3 maneiras, at pn, onmero total de maneiras de ocorrer o acontecimento :

T = p1 p2 p3 ... pn

Ex.: Se tivermos um dado de 4 faces e um de 6 faces, logicamente, o primeiro pode apresentar 4resultados diferentes, e o segundo, 6. Os dois juntos podem apresentar, ento, 6*4=24 resultadosdiferentes.

Permutaes Simples

Permutaes so os agrupamentos de um determinado nmero de elementos variando apenas asua ordem. Ex.:

XYZ, XZY, YXZ, YZX,ZXY, ZYX.

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O nmero de agrupamentos de uma permutao simples de n elementos dado por n!.

Ex.: De quantas formas podemos agrupar as sete cores do arco-ris?

R: 7! = 504 Anlise Combinatria

Permutaes com Elementos Repetidos

Se formos fazer permutaes con n elementos, mas existe um elemento repetido 'a' vezes, outro 'b'vezes, outro 'c' vezes, etc, o nmero de possibilidades de permutaes :

n!Pn(a,b,c) =

a! b! c!

Determine o nmero de anagramas (combinaes de letras formando palavras com ou sem sentido)que podemos formar com PATA. E com MACACA.R:P1= 4!/2! = 12P2= 6!/(3!*2!) = 60

Obs.: Exemplos de anagramas comPATA :AAPT, AATP, APTA, ATPA, PTAA, TPAA, PATA, TAPA, APAT, ATAP, PAAT, TAAP.

Arranjos Simples Imagine que temos um conjunto de 'n' elementos. O arranjo simples de taxa 'K' todoagrupamento de 'K' elementos distintos, podendo variar a ordem em que aparecem.

Ex.: A={X,Y,Z}

arranjo de taxa 1: X,Y,Z.arranjo de taxa 2: XY, YX, XZ, ZX, YZ, ZY.arranjo de taxa 3: XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX.

O nmero total de arranjos de 'n' elementos, taxa 'K' :

n!An,K=

(n-K)!

Quantos anagramas de trs letras podemos formar pelo nosso alfabeto (com 26 letras)?

R: A26,3 = 26!/23! = 26*25*24 = 15600

Combinaes Simples

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As combinaes so parecidas com os arranjos, mas apenas h a preocupao com a existnciado elemento (no com a ordem). Ex.:

Combinaes de taxa 1 do conjunto A={A,B,C,D}A, B, C, D.

Combinaes de taxa 2 do conjunto A={A,B,C,D}AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Combinaes de taxa 3 do conjunto A={A,B,C,D}ABC, ABD, ACD.

Combinaes de taxa 4 do conjunto A={A,B,C,D}ABCD.

A frmula :

n!CnK=

K!(n-K)!

Exemplo: Um jogo possui um carto com 60 nmeros. Deve-se marcar 6 deles. De quantas formapode-se fazer isso?

R: C606 = 60!/(6!*54!) = 50063860