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Matemática

SÉRIES NUMÉRICAS

Professor Dudan

Uma série numérica é uma sequencia de números que respeita uma “regra” , uma lei de formação. Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia. Exemplos: 2,10,12,16,17,18,19, ? 2,4,6,8,10, ? 2,4,8,16,32, ?

Séries Numéricas

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética. Alguns exemplos de progressões aritméticas: 1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma progressão aritmética em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3.

-2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. em que r = -2.

6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com r = 0.

Progressão Aritmética

Exemplo Na série (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, ...) r = a2 – a1 = 9 – 5 = 4 ou r = a3 – a2 = 13 – 9 = 4 ou r = a4 – a3 = 17 – 13 = 4 e assim por diante.

DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada subtraindo um termo qualquer pelo seu antecessor.


TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo Numa P.A. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência. Atenção! a20 = a1 + 19r ou a20 = a7 + 13r ou a20 = a14 + 6r


Exemplo Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica.


Exemplo Dada a progressão aritmética (8, 11, 14, 17, ...), determine: a) razão b) décimo termo c) a14


Exemplo Calcule a razão da P.A. onde o terceiro termo vale 14 e o décimo primeiro termo vale 40.


Exemplo A razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é –12 vale: a) -5 b) -9 c) -6 d) -7 e) 0


TERMO GERAL ou MÉDIO

Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é,


Exemplos: Na P.A (2, 4, 6, 8, 10,...) veremos que:

DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.A, o termo central é a média dos seus dois vizinhos, ou seja, a soma dos extremos é o dobro do termo central. Além disso a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.


Exemplo Determine a razão da P.A. (x+2, 2x, 13).


Exemplo As idades das três filhas de Carlos estão em progressão aritmética. Colocando em ordem crescente tem-se (1 + 3x, 4x + 2, 7x + 1). Calcule a idade da filha mais nova. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


SOMA DOS “n” TERMOS

Sendo n o número de termos que se deseja somar, temos:

DICA: Essa fórmula pode ser lembrada como a soma do primeiro e do último termos , multiplicada pelo número de casais (n/2).


Exemplo Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15,...), determine a soma dos 20 primeiros termos. 1)Cálculo da razão da PA 2)Determinando o 20º termo da PA


3) Calculando a Soma dos termos


Exemplo A soma dos 12 primeiros termos de uma P.A. é 180. Se o primeiro termo vale 8, calcule o último termo dessa progressão.


Exemplo Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação, precisou-se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi: a) 384 b) 192 c) 168 d) 92 e) 80


Matemática

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Professor Dudan

Uma progressão geométrica (abreviadamente, P. G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica.

Progressão Geométrica

Alguns exemplos de progressões geométrica:s 1, 2, 4, 8, 16, ..., é uma progressão geométrica em que a razão é igual a 2. -1, -3, -9, -27, -81, ..., é uma P.G. em que q = 3. 6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.G. com q = 1. (3, 9, 27, 81, 243, ...) → é uma P.G Crescente de razão q = 3

(90, 30, 10, 10/3, ...) → é uma P.G Decrescente de razão q= 1/3


Exemplo Na série(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...) q = a2 / a1 = 2/1 = 2 ou q = a3 /a2 = 4/2 = 2 ou q = a4 /a3 = 8/4= 2 e assim por diante.

DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada dividindo um termo qualquer pelo seu antecessor.


TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo Numa P.G. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência. Atenção! a20 = a1q19 ou a20 = a7.q13 ou a20 = a14.q6 ou a20 = a18.q2


Exemplo Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 6º termo dessa PG.


Exemplo Dada a progressão geométrica (5, 10, 20, 40, ...), determine: a) razão b) oitavo termo c) a10


Exemplo Calcule a razão da P.G. na qual o primeiro termo vale 2 é o quarto termo vale 54.


TERMO GERAL ou MÉDIO

Numa progressão geométrica, a partir do segundo termo, o termo central é a média geométrica do termo antecessor e do sucessor, isto é,


Exemplo Na P.G (2,4,8,16,...) veremos que :

DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.G, o termo central é a média geométrica dos seus dois vizinhos, ou seja, o produto dos extremos é o quadrado do termo central.


Exemplo Na P.G. cujos três primeiros termos são x-10, x e 3x, o valor positivo de x é a) 15. b) 10. c) 5. d) 20. e) 45.


SOMA DOS FINITOS TERMOS

Caso deseja-se a soma de uma quantidade exata de termos, usaremos:


Exemplo : Considerando a PG ( 1, 3, 9, 27, 81, ...), determine a soma dos seus 7 primeiros elementos .


SOMA DOS INFINITOS TERMOS

Para calcular a soma de uma quantidade infinita de termos de uma P.G usaremos:

DICA: Essa fórmula é usada quando o texto confirma o desejo pela soma de uma quantidade infinita de termos e também quando temos 0 < q < 1.


Exemplo : Calcule a soma dos infinitos termos da progressão :

... ,

43 , , ,

2336


Exemplo : A soma da série infinita é

...511 ++++

1251

251


Exemplo Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 500 mil litros? a) Nada se pode concluir, já que não é dada a quantidade despejada em 1986. b) Seis. c) Quatro. d) Dois. e) Um.


PROGRESSÕES

COMO A FEPESE

COBRA ISSO?

Um alpinista escala uma montanha vertical com 10 metros de altura. No primeiro dia ele sobe verticalmente 0,8 metros, no segundo dia, mais 1,6 metros, no terceiro, mais 2,4 metros e assim sucessivamente. Quantos dias serão necessários para o alpinista chegar ao topo?

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8

MPE/SC - 2014

Um navio petroleiro sofre uma avaria e derrama 100 litros de óleo no mar. A cada hora, a vazão aumenta em 8% em relação a vazão da hora anterior. Se fizermos uma tabela de vazão do óleo, hora a hora, obteremos uma progressão:

a) aritmética de razão 1,08. b) aritmética de razão 1,8. c) geométrica de razão 0,8. d) geométrica de razão 1,08. e) geométrica de razão 8.

FATMA - 2012

Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma seqüência de "T" (a inicial de seu nome), conforme a figura

Supondo que o guri conseguiu formar 10 "T“completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: A.Exatamente 41 bolas de gude. B.menos de 220 bolas de gude. C.pelo menos 230 bolas de gude. D.mais de 300 bolas de gude. E.exatamente 300 bolas de gude.

TRT-SC - 2012

Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é:

A. menor que 824 B. igual a 1024 C. igual a 1030 D. igual a 1320 E. maior que 1502

TRT-SC - 2012

Uma universidade é fundada em certa cidade e, para seu funcionamento, no primeiro ano são contratados 6 técnicos. No segundo ano são contratados mais 36 técnicos e no terceiro ano mais 216 técnicos.

Caso esta progressão seja mantida, podemos afirmar corretamente que no quarto ano serão contratados mais:

a) 648 técnicos. b) 1246 técnicos. c) 1296 técnicos. d) 1686 técnicos. e) 1896 técnicos.

UFFS - 2012

PREF TIJUCAS /SC - 2013

GABARITOS Questões FEPESE : B-D-C-C-C-D

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