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8/2/2019 matematica unicamp

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2 Fase Matemtica


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Prova comentada de Matemtica Segunda Fase

INTRODUOAs doze questes de matemtica da segunda fase so apresentadas em or-dem crescente de diculdade. As quatro primeiras questes procuram avaliaros contedos e as habilidades pertinentes s quatro primeiras sries do ensinofundamental, especialmente leitura e compreenso de enunciados, raciocniolgico e operaes elementares. As quatro questes intermedirias focalizam amatemtica usualmente presente nas ltimas sries do ensino fundamental e noincio do Ensino Mdio. As ltimas questes envolvem problemas mais elabora-dos, que exigem raciocnio mais complexo e contedos mais avanados. Questesenvolvendo polinmios e suas razes tm sido freqentes e os resultados, nestecontedo, insatisfatrios.

Em uma sala h uma lmpada, uma televiso [TV] e um aparelho de arcondicionado [AC]. O consumo da lmpada equivale a 2/3 do consumoda TV e o consumo do AC equivale a 10 vezes o consumo da TV. Se almpada, a TV e o AC forem ligados simultaneamente, o consumo totalde energia ser de 1,05 quilowatts hora [kWh]. Pergunta-se:

a) Se um kWh custa R$0,40, qual ser o custo para manter a lmpada, aTV e o AC ligados por 4 horas por dia durante 30 dias?

b) Qual o consumo, em kWh, da TV?

RESPOSTA ESPERADA

a) (2 pontos)

Seja L o consumo da lmpada, TV o consumo da televiso e AC o consumo doaparelho de ar condicionado. Ento, L + TV + AC = 1,05 kWh.

Assim, o custo mensal dado por R$ 0,40 x 30 x 4 x 1,05.

Resposta: R$ 50,40.

b) (3 pontos)

L = (2/3) TV. AC = 10 TV.

Ento: TV + (2/3) TV + 10 TV = 1,05.

3 TV + 2 TV + 30 TV = 3,15.

35 TV = 3,15.

Portanto, TV = 0,09 kWh. O consumo da TV igual a 0,09 kWh.

QUESTO 1


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EXEMPLO ACIMA DA MDIA

EXEMPLO ABAIXO DA MDIA

COMENTRIOS

Questo simples, envolvendo apenas aritmtica elementar. Seu propsitoera analisar a capacidade dos candidatos de interpretar problemas co-tidianos que envolvem matemtica. Quase todos os candidatos tentaramresolver a questo e a enorme maioria acertou o item a. Dois teros doscandidatos obtiveram nota mxima e cerca de 90% receberam nota maiorque 2. S 2,6% tiraram menos que 1 ponto.


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Sabe-se que o nmero natural D, quando dividido por 31, deixa restoe que o mesmo nmero D, quando dividido por 17, deixa resto 2r.

a) Qual o maior valor possvel para o nmero natural r?

b) Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quociente for igual a7, calcule o valor numrico de D.

RESPOSTA ESPERADA

a) (3 pontos)

.

Assim, . Resposta: o maior valor possvel para r 8.

b) (2 pontos)

. .

Ento, .

Assim, , ou seja, r = 5.

Resposta: D = 129.


QUESTO 2


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COMENTRIOS

Questo tida como de fcil resoluo. Apesar disso, foi vericada uma diculdademaior do que a esperada, devido a uma diversidade de respostas apresentadas.Frases e at pargrafos inteiros foram apresentados como justicativa da resposta,contrapondo-se notao matemtica. Apenas 28,3% dos candidatos obtiveramnota mxima enquanto que 25,0% no resolveram a questo ou resolveram er-roneamente.

Um tringulo eqiltero tem o mesmo permetro que um hexgono regu-lar cujo lado mede 1,5 cm. Calcule:

a) O comprimento de cada lado do tringulo.

b) A razo entre as reas do hexgono e do tringulo.

RESPOSTA ESPERADA

a) (2 pontos)Seja L o comprimento do lado do tringulo, ento 3L = 6 . 1,5 = 9. Logo L = 3.

Resposta: cada lado do tringulo mede 3 cm.

b) (3 pontos)

A rea Ah

do hexgono regular com lado 1,5 cm igual a

cm.

A rea do tringulo eqiltero com lado 3 cm cm.

Resposta: a razo entre as reas do hexgono e do tringulo dada por At/A

h=

1,5.

QUESTO 3


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O item b admite uma soluo alternativa, observando-se que o hexgono consistede 6 tringulos eqilteros de lado 1,5 cm. Mas tal tringulo tem rea que 4vezes menor que a do tringulo com lado 3 cm. Ento a razo solicitada iguala 4/6 = 1,5.



COMENTRIOS

A questo exige conhecimento de noes bastante simples de geometria, tais

como permetro e rea. O item a no representou diculdades para os alunos. Amaioria dos alunos resolveu o item b calculando as reas das duas guras. Houvecandidatos que no conheciam o que um hexgono, outros erraram ao escreverque ele tem 7 ou ainda 8 lados... Era bastante comum encontrar frmulas erradas


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para a rea de tringulo. Alguns alunos calcularam as reas aproximadamente e,em seguida, obtiveram, para a razo, valores esquisitos. Foi relativamente comumtambm errar nas duas reas, mas de modo a obter a razo correta. Quase ametade dos vestibulandos resolveu completamente a questo, enquanto os zerosforam em torno de 6%. A grande maioria dos candidatos resolveu o item a.

Sejam a e b nmeros inteiros e seja N(a, b) a soma do quadrado da dife-rena entre a e b com o dobro do produto de a por b.

a) Calcule N(3, 9).

b) Calcule N(a, 3a) e diga qual o algarismo nal de N(a, 3a) para

qualquer .

RESPOSTA ESPERADA

a) (3 pontos)

.

Resposta: .

b) (2 pontos)

.

Logo, o algarismo nal de N(a, 3a) igual a zero.


QUESTO 4


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COMENTRIOS

Questo de resoluo simples, que visa avaliar a capacidade dos alunos do EnsinoMdio em denir e manipular funes de duas variveis. Infelizmente, muitos can-didatos interpretaram a expresso ... o dobro do produto de a por b ... como

. O nmero de notas elevadas foi alto, como esperado pela banca. Maisde um tero dos candidatos obtiveram nota 5 e cerca de dois teros dos estu-dantes obtiveram nota maior ou igual a 4. Apesar disso, um quinto dos candidatosno entendeu a questo, tirando nota 0.

Entre todos os tringulos cujos lados tm como medidas nmeros inteirose permetro igual a 24 cm, apenas um deles eqiltero e apenas umdeles retngulo. Sabe-se que um dos catetos do tringulo retngulomede 8 cm.

a) Calcule a rea do tringulo eqiltero.

b) Encontre o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo retngulo.

RESPOSTA ESPERADA

a) (2 pontos)

L = 8 cm.

.

Resposta: a rea do tringulo eqiltero igual a cm2

QUESTO 5


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b) (3 pontos)

e .

Logo, e .

Assim, , ou seja, ,

ou ainda, a = 10 cm.

O raio da circunferncia , neste caso, igual metade da hipotenusa do tringulo.

Portanto, o raio da circunferncia igual a 5 cm.



COMENTRIOS

Questo tida como de fcil resoluo. Vrios candidatos tentaram, de alguma for-ma, mostrar seu conhecimento no assunto, no caso, geometrias plana e mtrica.A nota mxima foi obtida por 35,4% dos candidatos e apenas 5,8% deixaram aquesto em branco ou apresentaram resoluo errada.


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Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questo, a partir da segunda, o dobro de tempogasto para resolver a questo anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questes, exceto a ltima,ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questes, exceto as duas ltimas, ele tenha gasto 31,5minutos. Calcule:

a) O nmero total de questes da referida prova.

b) O tempo necessrio para que aquele aluno resolva todas as questes da prova.

RESPOSTA ESPERADA

a) (3 pontos)

Sejam os valores do tempo gasto para resolver as questes .

Subtraindo, temos: . Portanto, .

Assim,

Logo,

Portanto, n = 8. Resposta: a prova tem 8 questes.

b) (2 pontos)

Do item a, temos n = 8. Ento, minuto.

Logo o tempo necessrio para a resoluo de todas questes ser

.Resposta: o tempo necessrio para o aluno resolver toda a prova equivale a 127,5 minutos.


QUESTO 6


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COMENTRIOS

A questo exige raciocnios com progresso geomtrica. Os dois itens po-dem ser resolvidos de modos independentes. Ressaltamos que vrios alu-nos resolveram primeiro o item b e em seguida o utilizaram na resoluode a. A questo era considerada pela banca de nvel mdio e os resultadoscomprovaram essa expectativa. Temos que ressaltar que uma boa partedos alunos no tm conhecimentos bsicos sobre progresses e, comoconseqncia, 50% dos vestibulandos obtiveram 0 na questo.

A funo fornece o nvel de iluminao, em luxes, de umobjeto situado a x metros de uma lmpada.

a) Calcule os valores numricos das constantes a e b, sabendo que um ob-jeto a 1 metro de distncia da lmpada recebe 60 luxes e que um objetoa 2 metros de distncia recebe 30 luxes.

b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distncia entrea lmpada e esse objeto.

RESPOSTA ESPERADA

a) (2 pontos)

Logo,

Assim, a = 120.

b) (3 pontos)

Assim, Por-tanto, x = 3.

Resposta: a lmpada dista 3 metros do objeto.

QUESTO 7


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COMENTRIOSEsta questo avaliou se os candidatos eram capazes de resolver um problemaprtico envolvendo as funes exponencial e logartmica. As notas, muito baixasem uma questo que podia ser resolvida em poucas linhas, indicam a necessi-dade de que o assunto receba mais ateno por parte dos professores do EnsinoMdio. Uma parcela considervel dos candidatos no foi capaz de formular osistema de equaes exigido no item a. Muitos sequer conheciam a constante ee, imaginando tratar-se de uma varivel do problema, tentaram determinar seuvalor. A questo teve 41% de notas abaixo de 1 e apenas 9% de notas acima de4, podendo ser considerada difcil. 71% dos candidatos no chegaram aos doispontos, conrmando a pouca familiaridade dos alunos do Ensino Mdio com afuno exponencial e com logaritmos.

Dada a equao polinomial com coecientes reais :

a) Encontre o valor numrico de a de modo que o nmero complexo 2 + iseja uma das razes da referida equao.

b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duasrazes da mesma equao.

RESPOSTA ESPERADA

a) (3 pontos)

b) (2 pontos)

. Resposta: as razes da equao so ,

e .


QUESTO 8


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COMENTRIOS

Questo tida como de diculdade mdia. Pode-se inferir, aqui, que o importanteassunto, equaes polinomiais e relaes entre razes e coecientes, no estsendo devidamente abordado no Ensino Mdio, isto , est muito aqum do de-sejado. Apenas 33,6% obtiveram nota mxima enquanto que 45,8% deixaram aquesto em branco ou no resolveram de modo a pontuar.

Considere o conjunto dos dgitos {1, 2, 3, ..., 9} e forme com eles nmerosde nove algarismos distintos.

a) Quantos desses nmeros so pares?

b) Escolhendo-se ao acaso um dos nmeros do item (a), qual a probabili-dade de que este nmero tenha exatamente dois dgitos mpares juntos?

RESPOSTA ESPERADA

a) (2 pontos)

O ltimo algarismo de um nmero par ser 2, 4, 6, 8. Logo teremos 4.8! nmeros

pares que satisfazem o enunciado.

b) (3 pontos)

Temos 4.5 = 20 maneiras diferentes de formar um nmero de dois algarismosdistintos entre 1, 3, 5, 7, 9. Ainda existem 4! maneiras distintas de combinar estenmero de dois algarismos com os trs algarismos mpares restantes, e 4! manei-ras de combinar os algarismos pares.

Logo a quantidade dos nmeros pares com exatamente dois dgitos impares con-secutivos igual a 5. 4! . 4! = 5.(4!)2.

A probabilidade de escolhermos um tal nmero igual a

.

QUESTO 9


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COMENTRIOSA questo 9 comprovou (mais uma vez) que os vestibulandos continuam encont-rando diculdades com problemas do gnero. Observamos que o maior obstculopara os alunos foi o de interpretar o enunciado de modo adequado. A previso dabanca era de uma questo de diculdade mdia/difcil, e os resultados conrma-ram essa previso. Aproximadamente a metade dos candidatos obteve nota 0; en-tre as notas positivas, houve maior concentrao para a nota 2. Tradicionalmenteas questes de combinatria (contagem) apresentam diculdades para os alunos,o que conrmou a nossa observao. Muitos alunos no conseguiram fazer osclculos corretos mesmo no item a da questo, ou os zeram erroneamente.


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Os pontos A, B, C e D pertencem ao grco da funo Asabcissas de A, B e C so iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmentoAB paralelo ao segmento CD.

a) Encontre as coordenadas do ponto D.

b) Mostre que a reta que passa pelos pontos mdios dos segmentos AB eCD passa tambm pela origem.

RESPOSTA ESPERADA

a) (2 pontos)

Os quatro pontos a que se refere o enunciado so

Uma vez que o segmento AB paralelo ao segmento CD, temos

.

Logo, , ou seja, , donde obte-

mos .

Assim, .

b) (3 pontos)

O ponto mdio da reta AB

O ponto mdio da reta CD .

Assim, .

Portanto, a reta dada por 6y x = 0, que passa pela origem.

QUESTO 10


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COMENTRIOS

Esta questo exigiu do candidato o conhecimento de vrios tpicos matemticos

do Ensino Mdio, como a hiprbole e seu grco, a equao da reta, a determina-o do ponto mdio de um segmento de reta e a demonstrao de uma hiptesesimples (que a reta que passa pelos pontos mdios passa pela origem). Emboranenhum dos assuntos possa ser considerado particularmente difcil, a combinaodeles no foi bem assimilada pelos candidatos, mais acostumados com problemasque envolvem um nico tema e tm resoluo mais direta. Questo bastantedifcil, teve 73,5% de notas abaixo de 1 e 83% de notas abaixo de 2. Apenas8,3% dos candidatos tiraram nota igual ou superior a 4.


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Dado o sistema linear homogneo:

a) Encontre os valores de para os quais esse sistema admite soluo

no-trivial, isto , soluo diferente da soluo .

b) Para o valor de encontrado no item (a) que est no intervalo, encontre uma soluo no-trivial do sistema.

RESPOSTA ESPERADA

a) (2 pontos)

Para que haja soluo no trivial, preciso que

,

ou seja, . Logo,

.

Assim, , ou .

b) (3 pontos)

Escolhendo , temos

.

QUESTO 11


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COMENTRIOS

Pode-se inferir, aqui, que o importante assunto trigonometria, envolvendo, emparticular, relaes e equaes trigonomtricas, no est sendo devidamenteabordado no Ensino Mdio, isto , est muito aqum do desejado. Questo tidacomo de difcil resoluo, apresentou o mais alto ndice de notas zero ou provasem branco, 88,6%, enquanto que apenas 0,2% obtiveram nota mxima.


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O quadriltero convexo ABCD, cujos lados medem, consecutivamente, 1,3, 4 e 6 cm, est inscrito em uma circunferncia de centro O e raio R.

a) Calcule o raio R da circunferncia.

b) Calcule o volume do cone reto cuja base o crculo de raio R e cujaaltura mede 5 cm.

RESPOSTA ESPERADA

a) (4 pontos)

Considere, no desenho, os dois ngulos opostos e , temos que + = pois o quadriltero inscrito.

Ento para a diagonal x temos x = 2R2[1 cs(2)] = 4R2 sen2. Segundoa lei do cosseno, temos x2 = 10 6 cos = 10 + 6 cos , e analogamentex2 = 52 48 cos .

Logo cos = 7/9 e sen2 = 1 49/81 = 32/81.

Ento 4R2.(32/81) = 10 + 6.(7/9) = 132/9 e 4R2 = (132.81)/(9.32) = 297/8,

donde R2 = 297/32 e

b) (1 ponto)

O volume V do cone igual a V = (1/3) R2h onde h a altura. Logo

cm2.


QUESTO 12


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COMENTRIOS

Os resultados conrmaram a previso da banca elaboradora. Trs entre quatrovestibulandos obtiveram 0 na questo, e as notas acima de 1 ponto representaram1% do total. Ressaltamos que o item a foi o mais difcil, e ele no trata de geome-tria espacial. Esse resultado indica que os alunos tm que prestar mais ateno geometria plana e mais especicamente s questes que envolvem aplicao derelaes mtricas, tais como as leis do seno e do cosseno.

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