MATEMÁTICA

UNIDADE 2

Conteúdo: Matrizes

Duração: 10 40’

04/04/13

Matemática –MATRIZES André Luiz

AGRONEGÓCIO - TURMA 2º A

MATRIZES Definição:

Uma matriz é uma tabela de números reais dispostos segundo linhas horizontais e colunas verticais.

Mat Fis Qui

João 6,0 7,0 6,0

Brenda 8,0 4,0 7,0

MATRIZES Definição:

Uma matriz é uma tabela de números reais dispostos segundo linhas horizontais e colunas verticais.

748

676A

MATRIZES Tipo ou Ordem de uma matriz:

As matrizes são classificadas de acordo com o seu número de linhas e de colunas. Assim, a matriz representada abaixo é denominada matriz do tipo, ou ordem, 3 x 4 (Le-se: três por quatro), pois possuem três linhas e quatro colunas.

MATRIZES Representação genérica de uma matriz:

Em geral, representamos uma matriz por uma letra maiúscula (A, B, C, D,...), indicando a sua ordem no lado inferior direito da letra.

m x n

MATRIZES Representação genérica de uma matriz: Para indicar uma matriz qualquer, de modo

genérico, usamos a seguinte notação:

Onde i representa a linha, e j a coluna em que se encontra o elemento; o m a quantidade de linha e n a quantidade de coluna.

S u a ç e s Exemplos

a) Dado a matriz, determine a sua ordem e a localização (linha e a coluna) que cada elemento pertence.

Ordem da Matriz: A3x3

a11= 3a12 =5a13 =0

a21= -2a22 = 4a23 = 1

a31= -1a32 = 2a33 = 6

S u a ç e s Exemplos

b) Calcule os elementos da matriz

em que bij = 2i + j

Como a matriz B é da ordem 3x2, conclui-se que ela possui 3 linhas e 2 colunas.

3231

2221

1211

bb

bb

bb

B

Calculando os valores numéricos. Bij = 2i +jb11 →b11 = 2*1 +1 = 3 b12 →b12 = 2*1 +2 = 4 b21 →b21 = 2*2 +1 = 5 b22 →b22 = 2*2 +2 = 6 b31 →b31 = 2*3 +1 = 7 b32 →b32 = 2*3 +2 = 8

S u a ç e s Exemplos

b) Calcule os elementos da matriz

em que bij = 2i + j

Como a matriz B é da ordem 3x2, conclui-se que ela possui 3 linhas e 2 colunas.

87

65

43

B

3231

2221

1211

bb

bb

bb

B

S u a ç e s Exemplos

c) Calcule os elementos da matriz [Cij]2x3

em que cij = 2i + 3j

Como a matriz C é da ordem 2x3, conclui-se que ela possui 2 linhas e 3 colunas.

232221

131211

ccc

cccC

Calculando os valores numéricos dos elementos. Cij = 2i +3jc11 →c11 = 2*1 +3*1 = 5 c12 →c12 = 2*1 +3*2 = 8 c13 →c13 = 2*1 +3*3 = 11 c21 →c21 = 2*2 +3*1 = 7 c22 →c22 = 2*2 +3*2 = 10 c23 →c23 = 2*3 +3*3 = 15

S u a ç e s Exemplos

c) Calcule os elementos da matriz [Cij]2x3

em que cij = 2i + 3j

Como a matriz C é da ordem 2x3, conclui-se que ela possui 2 linhas e 3 colunas.

15107

1185C

232221

131211

ccc

cccC

S u a ç e s Exemplos

d) Calcule a matriz D dada por D=[dij]3x3 em que dij= 2*i² - 3*j

MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a FORMA Para uma matriz do tipo m x n de elementos,

temos as seguintes classificações: a) Retangular Se o número de linhas é diferente do número

de colunas.

53

05442

12520

43201

MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a FORMA Para uma matriz do tipo m x n de elementos,

temos as seguintes classificações: b) Quadrada Se o número de linhas é igual do número de

colunas.

33

731

310

251

MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a FORMA Para uma matriz do tipo m x n de elementos,

temos as seguintes classificações: c) Linha Se o número de linhas é igual a um .

3 1 215

MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a FORMA Para uma matriz do tipo m x n de elementos,

temos as seguintes classificações: d) Coluna Se o número de colunas é igual a um .

13

101

MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a

NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS Para uma matriz do tipo m x n de elementos,

temos as seguintes classificações: a) Nula se todos os seus elementos são nulos

000

000W

MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a

NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS Para uma matriz do tipo m x n de elementos,

temos as seguintes classificações: b) Triangular Superior Uma matriz quadrada em que os elementos

abaixo da diagonal principal são nulos.

5000620003007211

MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a

NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS Para uma matriz do tipo m x n de elementos,

temos as seguintes classificações: c) Triangular Inferior Uma matriz quadrada em que os elementos

acima da diagonal principal são nulos.

5103022000250001

MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a

NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS Para uma matriz do tipo m x n de elementos,

temos as seguintes classificações: d) Diagonal Uma matriz quadrada em que os elementos

não principais são nulos.

5000020000000001

MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a

NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS Para uma matriz do tipo m x n de elementos,

temos as seguintes classificações: e) Escalar Uma matriz diagonal em que os elementos

principais são iguais.

2000020000200002

MATRIZES IGUALDADE ENTRE MATRIZES Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo,

dizemos que A = B se somente se os seus elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo mx n, temos:

A = B <=> aij=bij

S u a ç e s Exemplos: Igualdade entre matrizes

S u a ç e s Exemplos: Igualdade entre matrizes

Dada as matrizes K e L, determine a, b, c, d para que as matrizes sejam iguais

dcb

cbaK

2

2

81

56L

MATRIZES OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES: ADIÇÃO Somamos os elementos correspondentes das

matrizes, por isso, é necessário que as matrizes sejam da mesma ordem

A = B <=> aiJ=bij

S u a ç e s Exemplos: Adição entre matrizes

S u a ç e s Exemplos: Adição entre matrizes

Seja a matriz dada por A=[aij]3x3 em que

aij= 2*i² + 3*j e a matriz B =[bij]3x3 em que bij= i - 3*j , determine A + B.

MATRIZES OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES: SUBTRAÇÃO Para subtrair os elementos correspondentes

das matrizes, é necessário que as matrizes sejam da mesma ordem

A = B <=> aiJ=bij

S u a ç e s Exemplos: Adição entre matrizes

Seja a matriz dada por A=[aij]3x3 em que

aij= 2*i² + 3*j e a matriz B =[bij]3x3 em que bij= i - 3*j , determine A - B.

MATRIZES OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES: MUTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL Sendo k pertencente aos Reais e A uma matriz

de ordem m x n, a matriz K * A é obtida multiplicando-se todos os elementos de A por K.

MATRIZES OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES:

MUTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES

(Material para próxima aula)