Matemática volume único edwaldo bianchini e herval paccola
443
Click here to load reader
-
Upload
adriana-barbosa -
Category
Education
-
view
621 -
download
203
Transcript of Matemática volume único edwaldo bianchini e herval paccola
Apresenta~ao
E com enorme satisfayao que trazemos aos colegas de magisterio e estudantes esta nova ediyao de Matematica para 0 2 Q grau.
Mantivemos aqui 0 compromisso de tonur mais agradaveis e produtivos tanto 0 ensino como 0 aprendizado, meta essa tambem presente na ediyao anterior.
Voce pode estar questionando a necessidade desta reediyao. Simples: 0 mundo a nossa volta torna-se a cada dia mais e mais dinamico. Dessa forma, por mais atualizado e ajustado que um livro seja, em determinado momento, ele pode estar subestimando assuntos que mereyam uma abordagem mais aprofundada.
Assim, acompanhando a moderna tendencia do ensino de estreitar a relayao aprendiza do/cotidiano, procuramos trabalhar os conceitos de forma criativa e motivadora, privilegian do sua aplicayao em problemas que estimulem 0 interesse do aluno. Tambem nos exemplos resolvidos enos "Exerdcios propostos", sempre que possivel, procuramos trabalhar com situayoes retiradas da realidade do estudante.
A respeito dos temas estudados, destacamos a inclusao de um capitulo sobre Matematica Financeira, no volume 1, e outro sobre Estatistica, no volume 3. Foram acrescentados em vista de sua import:lncia no mundo moderno e tambem em funyao do elevado numero de questoes sobre esses assuntos nos (tltimos vestibulares.
Uma outra novidade desta reediyao e 0 "Tunel do tempo", uma seyao que, como 0
proprio nome sugere, leva 0 aluno a relacionar 0 tema em estudo com 0 momenta historico em que foi desenvolvido.
No final de cada capitulo, antes dos "Exerdcios complementares" e dos "Testes", urn resumo do assunto estudado auxilia 0 aluno na resoluyao das atividades.
Procuramos tambem aliar linguagem comunicativa, metodologia e rigor conceitual, com vistas a atender as necessidades do estudante, tanto na qualidade de cidadao como na de futuro vestibulando.
Temos perfeita consciencia de que nenhum livro substitui 0 trabalho do professor. Mas acreditamos que, ao proporcionar uma solida base conceitual e didatica ao estudante, estamos dando a nossa contribuiyao no sentido de auxiliar 0 mestre em sua tarefa de ensinar e formar pessoas.
Atendendo a solicitayoes recebidas de diversas partes do pais, este trabalho esta sendo apresentado em duas versoes. Na versao Alfa, as progressoes aritmeticas e geometricas sao estudadas no volume 1, e a trigonometria e vista no volume 2. Na versao Beta, essa ordem se inverte.
Finalmente, queremos registrar aqui nossos sinceros agradecimentos a todos os profes sores que, no decorrer desses anos, nos enviaram seu incentiyo na forma de criticas e su gestoes. Esperamos continuar merecendo a mesma acolhida nesta nova ediyao e, para tanto, contamos com 0 seu apoio - e ele que, afinal, torna 0 nosso trabalho mais adequado e efi ciente.
Os Autores
Capitulo I - CONJUNTOS
1. Primeiras noc;6es 1 2. Representac;ao de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio 4 4. Conjuntos iguais 4 5. Conjunto universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6. Alguns slmbolos da linguagem dos conjuntos 5 7. Subconjuntos 7 8. Operac;6es com conjuntos 10 9. Numero de elementos da reuniao entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
Capitulo 2 - CONJUNTOS NUMERICOS
1. Introduc;ao 23 2. Conjunto dos numeros naturais 23 3. Conjunto dos numeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24 4. Conjunto dos numeros racionais ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25 5. Conjunto dos numeros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28 6. Conjunto dos numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29 7. Intervalos 30 8. Operac;6es com intervalos ',' . . . . . . . . . . . . . . . .. 33 9. Valor absoluto ou modulo de urn numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
Capitulo 3 - FUN<;:OES
1. Introduc;ao 42 2. Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 3. Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44 4. Noc;ao de relac;ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47 5. Noc;ao matematica de func;ao 49 6. Linguagem das func;6es 51 7. Dominio de uma func;ao real de variavel real 53 8. Grafico de uma func;ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54 9. Analise de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
10. Func;ao bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64 11. Func;6es inversas 67 12. Func;ao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70
Capitulo 4 - FUN<;:AO DO 12 GRAU
1. Func;ao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79 2. Func;ao do 1Q grau 80 3. Estudo do sinal da func;ao do 1Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86 4. InequaC;6es do 1Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
Capitulo 5 - FUN<;:AO DO 22 GRAU
1. Introduc;ao 100 2. Grafico da func;ao do 2 Q grau 101
3. Vertice da parabola 104 4. Raizes da func;ao do 2 Q grau 109 5. Estudo do sinal da func;ao do 2 Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6. Inequac;oes do 2 Q grau 113
Capitulo 6 - FUNC;::AO MODULAR
1. Introduc;ao 123 2. Func;ao definida por duas ou mais sentenc;as 123 3. Func;ao modular 126 4. Equac;oes modulares 132 5. Inequac;oes modulares 134
Capitulo 7 - FUNC;::AO EXPONENCIAL
1. Revisao de potencia de expoente racional 145 2. Conceito de func;ao exponencial 146 3. Grafico da func;ao exponencial 147 4. Equac;oes exponenciais 149 5. Inequac;oes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Capitulo 8 - LOGARITMOS
1. Introduc;ao 162 2. Definic;ao de logaritmo 162 3. Propriedades dos logaritmos 168 4. Sistemas de logaritmos '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5. Propriedades dos logaritmos de mesma base 171 6. Mudanc;a de base 180 7. A func;ao logaritmica 183 8. Dominio da func;ao logaritmica 186 9. Inequac;oes logaritmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Capitulo 9 - CALCULO E APLlCAC;::OES DOS LOGARITMOS DECIMAlS
1. Introduc;ao 197 2. Calculadora cientifica ou tabua de logaritmos? 199 3. 0 dlculo com logaritmos decimais 209 4. Algumas aplicac;oes dos logaritmos 214
Capitulo 10 - NOC;::OES SOBRE MATEMATICA FINANCEIRA
1. Porcentagem 221 2. Juros 229
Capitulo II -TRIGONOMETRIA NOTRIANGULO RETANGULO
1. Introduc;ao 239 2. Revendo conceitos ja estudados sobre triangulos redngulos 240 3. Aprendendo novos canceitos 241 4. Popriedades e relac;oes do seno, do casseno e de tangente de urn angulo agudo
de urn triangulo redngulo 244 :" . (:omo calcular os valoes das razoes trigonometricas 246
,_Q .-\ lei dos senos 257 7 .\ lei dos cassenos 259
Capitulo 12 - TRIGONOMETRIA - ARCOS E ANGULOS
1. Introdus:ao 269 2. Arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 3. Medida de um angulo central 274 4. 0 eiclo trigonometrieo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 5. 0 arco trrigonometrieo 279
Capitulo 13 - FUNC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. Introduc;ao 285 2. A funs:ao sene 286 3. A funs:ao cosseno 295 4. Os grafieos das funs:oes sene e eosseno 308 5. A func;ao tangente 311 6. Outt'as funs:oes trigonometrieas 318 7. Relas:oes entre as funs:oes trigonometrieas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 8. Identidades trigonometricas ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 9. Recorreneia a um area do primeiro quadrante .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10. Cilculo dos valores das funs:oes trigonometrieas 332 11. Func;oes trigonometrieas inversas 336
Capitulo 14 - FORMULAS DE TRANSFORMAC;:.o.O
1. Introduc;ao 349 2. Arco soma e area diferrens:a 351 3. 0 arco duplo " 356 4. 0 area metade 359 5. Funs:oes trigonometrieas de um area que mede a, em funs:ao da tangente do
area metade "..................... 362 6. Transformas:ao de soma em produto " " 364
Capitulo IS - EQUAC;:OES E INEQUAC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. Introdus:ao 373 2. Equac;oes trigonometrieas 374 3. Inequac;oes tt'igonometrieas 384
Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
I. Primeiras no~oes
As primeiras nos;oes sobre conjul1tos voce as adquiriu no curso de 1 Q grau. Vamos reve las e ampliar esses conhecimel1tos introduzindo novos simbolos, liteis nao somente no estu do da matematica como tambem em outras areas.
Recordemos que se entende por conjunto qualquer coleS;ao de objetos. Esses objetos podem ser de qualquer natureza. Podemos falar em conjul1to de casas, de
alunos, de logotipos, de figuras geometricas, de numeros etc. o quadro abaixo mostra um conjunto de logotipos de algumas emissoras de televisao de
Sao Paulo.
Wi,r CULTURIl Fundat;:ao Padre Anchieta
Dm conjunto geralmente e indicado por uma letra maiuscula do alfabeto. Os objetos que compoem um conjul1to sao chamados elementos. Assim, por exemplo, chamando de L 0 conjunto dos logotipos acima, temos que cada um
deles e elemento de L. Indica-se que um elemento x pertence a um conjunto A escrevendo-se:
x E A (le-se: x pertence a A) I
Se x nao pertence ao conjunto A, "cortamos" 0 simbolo com um tras;o, escrevendo:
I x f/= A (le-se: x nao pertence a A) I Esse tipo de indicaS;ao e utilizado em muitas outras situas;oes. Voce pode verificar isso no
conjunto a seguir, onde os sinais sao cortados, indicando proibiS;ao.
Proibido fumar. Proibida a presen~a
de cachorros.
Proibido fazer fogueira.
2. Representa~ao de conjuntos Existem varias maneiras de se representar um conjunto. Uma delas e indicar todos os seus
elementos entre chaves. Vamos, como exemplo, representar os seguintes conjuntos:
a) 0 conjunto A formado pelos algarismos pares do numeral 6280 (extensao aproxima da, em quilometros, do Rio Amazonas).
Temos: A = 10,2,6,81
Rio Amazonas.
b) 0 conjunto IN dos nllmeros naturais. Como se trata de um conjunto infinito, nao epos sivel enumerar todos os seus elementos. Escrevemos, entao, apenas as primeiros elementos, seguidos de reticencias:
IN = 10, 1,2,3, ... }
c) 0 conjunto B dos numeros naturais impares menores que 100. Como sao muitos os elementos do conjunto B, por comodidade escrevemos os primeiros elementos, seguidos de reticencias, e finalmente os ultimos elementos. Assim:
B = (1,3,5,7, ... ,97,991
d) 0 conjunto T dos numeros que expressam as medidas dos lados do triangulo EDU, sendo ED = 15,2 cm, EU = 16,4 cm e DU = 10,8 cm:
T= (15,2; 16,4; 10,81
e) 0 conjunto H dos algarismos do numeral 149 597 870 (disrancia media, em quilome tros, entre 0 centro da Terra e 0 centro do Sol). a representas:ao de um conjunto nao repe timos os elementos. Assil11, 0 conjunto H tem exatamente sete elementos. Observe:
H = 10, 1,4,5,7,8, 9}
Ul11a outra maneira de se representar um conjunto e indicar entre chaves uma proprieda de que caracteriza seus elementos. Vamos considerar 0 conjunto:
A = (janeiro, junho, julho I
Observe que todos os elementos desse conjunto sao meses do ana e seus nomes comec;:am pela letra j. Essa e uma propriedade caracteristica dos elementos desse conjunto. Podemos, entao, escrever:
A = (x Ix e mes do ano cujo nome COl11ec;:a pela letra il
(U-se A e 0 conjunto de todo x, tal que x e mes do ana cujo nome comec;:a pela letra j.)
Veja outros exemplos:
a) B = 10,5,10,15,20, ... } B = Ixlxe numero natural multiplo de 5}
2
b) M = Im) a) t) e) i) c} M = {xix eletra da palavra matemtitica)
},,IA={
Podemos ainda representar um conjunto utilizando 0 diagrama de Venn, que consiste em colocar os elementos no interior de uma curva fechada simples. Como exemplo vamos repre sentar 0 conjunto
das bandeiras dos palses finalistas da Copa do Mundo de Futebol, de 1994:
A
·88 EXERCiclOS PROPOSTOS _
1. Os conjuntos a seguir estao representados por uma propriedade caracterfstica de seus elementos. Escreva-os indicando esses elementos.
a) A = {x Ix e um numero natural menor que 10}. b) B = {xix e um numero fmpar maior que 5}. c) C = {xlxe numero multiplo de 3, maior que 10 e menor que 100}. d) 0 = {xix e numero natural e 3x 2
- 7x + 2 = O}.
2. Agora temos 0 inverso. Os conjuntos estao escritos com seus elementos indicados. Escreva-os indi cando uma propriedade caracterfstica de seus elementos.
a) A = {1, 3, 5, ... } b) B = {segunda-feira, sexta-feira, sabado}
c) C = {a, 4, 8, 12, ... , 60} d) 0 = {10, 15,20,25, 30}
3. Represente 0 conjunto por uma propriedade que caracteriza seus elementos.
A o verde
o amarelo
o azul
'0 branco
4. Indica-se 0 numero de elementos de um conjunto A por n(A). Assim, dados os conjuntos abaixo, determine n(A), n(B) e n(C).
a) A = {xix e numero natural e x 2 - 12x + 35 = a}.
b) B = {xix e letra da palavra Recife}. c) C = {a, 3, 6, 9, ... , 120}
5. Dados os conjuntos A = {a, 2, 4, 6} e B = {x Ix2 - 11 x + 18 = O}, use 0 sfmbolo E ou f£ para
relacionar:
a) °eA b) °e B c) 2 eA d) 2 e B e) 9 eA f) 4 e B
3
3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio A ideia de conjunto em matematica tern urn sentido mais amplo do que aquele que nor
malmente esugerido pela propria palavra. Assim eque admitiremos conjuntos com urn so ele mento, chamados conjuntos unitarios, e conjunto sem elementos, chamado conjunto vazio. 0 conjunto vazio erepresentado por 0 ou I }.
Veja os exemplos: a) 0 conjunto do mamifero voador e 0 conjunto unitario Imorcego }. b) 0 conjunto dos numeros naturais maiores que 2 e menores que 3 e 0 conjunto 0.
-o morcego e0 unico mamffero voador.
'"c:
EXERCiclO PROPOSTO 6. Classifique cada conjunto como unitario ou vazio.
a) A = {xlxe natural e 2x = 5}. b) B = {xlxe natural e 2x = 6}. c) C = {xlxe natural e Ox = 6}. d) 0 = {xlxe natural par e primo}.
4. Conjuntos iguais Dois ou mais conjuntos sao iguais quando possuem os mesmos elementos. Assim, se A e0 conjunto das letras da palavra "arte": A = la) r, t) c} e Be 0 conjunto das
letras da palavras "reta": B = Ir, c) t) a}, temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, nao importando a ordem em que foram escritos. Se A nao fosse igual a B, escre veriamos A =F B (le-se: A ediferente de B).
EXERCiclO PROPOSTO 7. Verifique se A = B ou A i' B, nos seguintes casos:
a) A = {x Ix e letra da palavra amoral e B = {x Ix e letra da palavra roma}. b) A = {O, 1,2,3, 4} e B = {xix e numero natural menor que 4}. c) A = {2, 5} e B = {xlx 2
- ax + 12 = OJ.
5. Conjunto universo o conjunto que tern todos os elementos com os quais se deseja trabalhar chama-se con…
E com enorme satisfayao que trazemos aos colegas de magisterio e estudantes esta nova ediyao de Matematica para 0 2 Q grau.
Mantivemos aqui 0 compromisso de tonur mais agradaveis e produtivos tanto 0 ensino como 0 aprendizado, meta essa tambem presente na ediyao anterior.
Voce pode estar questionando a necessidade desta reediyao. Simples: 0 mundo a nossa volta torna-se a cada dia mais e mais dinamico. Dessa forma, por mais atualizado e ajustado que um livro seja, em determinado momento, ele pode estar subestimando assuntos que mereyam uma abordagem mais aprofundada.
Assim, acompanhando a moderna tendencia do ensino de estreitar a relayao aprendiza do/cotidiano, procuramos trabalhar os conceitos de forma criativa e motivadora, privilegian do sua aplicayao em problemas que estimulem 0 interesse do aluno. Tambem nos exemplos resolvidos enos "Exerdcios propostos", sempre que possivel, procuramos trabalhar com situayoes retiradas da realidade do estudante.
A respeito dos temas estudados, destacamos a inclusao de um capitulo sobre Matematica Financeira, no volume 1, e outro sobre Estatistica, no volume 3. Foram acrescentados em vista de sua import:lncia no mundo moderno e tambem em funyao do elevado numero de questoes sobre esses assuntos nos (tltimos vestibulares.
Uma outra novidade desta reediyao e 0 "Tunel do tempo", uma seyao que, como 0
proprio nome sugere, leva 0 aluno a relacionar 0 tema em estudo com 0 momenta historico em que foi desenvolvido.
No final de cada capitulo, antes dos "Exerdcios complementares" e dos "Testes", urn resumo do assunto estudado auxilia 0 aluno na resoluyao das atividades.
Procuramos tambem aliar linguagem comunicativa, metodologia e rigor conceitual, com vistas a atender as necessidades do estudante, tanto na qualidade de cidadao como na de futuro vestibulando.
Temos perfeita consciencia de que nenhum livro substitui 0 trabalho do professor. Mas acreditamos que, ao proporcionar uma solida base conceitual e didatica ao estudante, estamos dando a nossa contribuiyao no sentido de auxiliar 0 mestre em sua tarefa de ensinar e formar pessoas.
Atendendo a solicitayoes recebidas de diversas partes do pais, este trabalho esta sendo apresentado em duas versoes. Na versao Alfa, as progressoes aritmeticas e geometricas sao estudadas no volume 1, e a trigonometria e vista no volume 2. Na versao Beta, essa ordem se inverte.
Finalmente, queremos registrar aqui nossos sinceros agradecimentos a todos os profes sores que, no decorrer desses anos, nos enviaram seu incentiyo na forma de criticas e su gestoes. Esperamos continuar merecendo a mesma acolhida nesta nova ediyao e, para tanto, contamos com 0 seu apoio - e ele que, afinal, torna 0 nosso trabalho mais adequado e efi ciente.
Os Autores
Capitulo I - CONJUNTOS
1. Primeiras noc;6es 1 2. Representac;ao de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio 4 4. Conjuntos iguais 4 5. Conjunto universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6. Alguns slmbolos da linguagem dos conjuntos 5 7. Subconjuntos 7 8. Operac;6es com conjuntos 10 9. Numero de elementos da reuniao entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
Capitulo 2 - CONJUNTOS NUMERICOS
1. Introduc;ao 23 2. Conjunto dos numeros naturais 23 3. Conjunto dos numeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24 4. Conjunto dos numeros racionais ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25 5. Conjunto dos numeros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28 6. Conjunto dos numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29 7. Intervalos 30 8. Operac;6es com intervalos ',' . . . . . . . . . . . . . . . .. 33 9. Valor absoluto ou modulo de urn numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
Capitulo 3 - FUN<;:OES
1. Introduc;ao 42 2. Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 3. Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44 4. Noc;ao de relac;ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47 5. Noc;ao matematica de func;ao 49 6. Linguagem das func;6es 51 7. Dominio de uma func;ao real de variavel real 53 8. Grafico de uma func;ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54 9. Analise de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
10. Func;ao bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64 11. Func;6es inversas 67 12. Func;ao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70
Capitulo 4 - FUN<;:AO DO 12 GRAU
1. Func;ao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79 2. Func;ao do 1Q grau 80 3. Estudo do sinal da func;ao do 1Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86 4. InequaC;6es do 1Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
Capitulo 5 - FUN<;:AO DO 22 GRAU
1. Introduc;ao 100 2. Grafico da func;ao do 2 Q grau 101
3. Vertice da parabola 104 4. Raizes da func;ao do 2 Q grau 109 5. Estudo do sinal da func;ao do 2 Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6. Inequac;oes do 2 Q grau 113
Capitulo 6 - FUNC;::AO MODULAR
1. Introduc;ao 123 2. Func;ao definida por duas ou mais sentenc;as 123 3. Func;ao modular 126 4. Equac;oes modulares 132 5. Inequac;oes modulares 134
Capitulo 7 - FUNC;::AO EXPONENCIAL
1. Revisao de potencia de expoente racional 145 2. Conceito de func;ao exponencial 146 3. Grafico da func;ao exponencial 147 4. Equac;oes exponenciais 149 5. Inequac;oes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Capitulo 8 - LOGARITMOS
1. Introduc;ao 162 2. Definic;ao de logaritmo 162 3. Propriedades dos logaritmos 168 4. Sistemas de logaritmos '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5. Propriedades dos logaritmos de mesma base 171 6. Mudanc;a de base 180 7. A func;ao logaritmica 183 8. Dominio da func;ao logaritmica 186 9. Inequac;oes logaritmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Capitulo 9 - CALCULO E APLlCAC;::OES DOS LOGARITMOS DECIMAlS
1. Introduc;ao 197 2. Calculadora cientifica ou tabua de logaritmos? 199 3. 0 dlculo com logaritmos decimais 209 4. Algumas aplicac;oes dos logaritmos 214
Capitulo 10 - NOC;::OES SOBRE MATEMATICA FINANCEIRA
1. Porcentagem 221 2. Juros 229
Capitulo II -TRIGONOMETRIA NOTRIANGULO RETANGULO
1. Introduc;ao 239 2. Revendo conceitos ja estudados sobre triangulos redngulos 240 3. Aprendendo novos canceitos 241 4. Popriedades e relac;oes do seno, do casseno e de tangente de urn angulo agudo
de urn triangulo redngulo 244 :" . (:omo calcular os valoes das razoes trigonometricas 246
,_Q .-\ lei dos senos 257 7 .\ lei dos cassenos 259
Capitulo 12 - TRIGONOMETRIA - ARCOS E ANGULOS
1. Introdus:ao 269 2. Arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 3. Medida de um angulo central 274 4. 0 eiclo trigonometrieo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 5. 0 arco trrigonometrieo 279
Capitulo 13 - FUNC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. Introduc;ao 285 2. A funs:ao sene 286 3. A funs:ao cosseno 295 4. Os grafieos das funs:oes sene e eosseno 308 5. A func;ao tangente 311 6. Outt'as funs:oes trigonometrieas 318 7. Relas:oes entre as funs:oes trigonometrieas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 8. Identidades trigonometricas ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 9. Recorreneia a um area do primeiro quadrante .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10. Cilculo dos valores das funs:oes trigonometrieas 332 11. Func;oes trigonometrieas inversas 336
Capitulo 14 - FORMULAS DE TRANSFORMAC;:.o.O
1. Introduc;ao 349 2. Arco soma e area diferrens:a 351 3. 0 arco duplo " 356 4. 0 area metade 359 5. Funs:oes trigonometrieas de um area que mede a, em funs:ao da tangente do
area metade "..................... 362 6. Transformas:ao de soma em produto " " 364
Capitulo IS - EQUAC;:OES E INEQUAC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. Introdus:ao 373 2. Equac;oes trigonometrieas 374 3. Inequac;oes tt'igonometrieas 384
Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
I. Primeiras no~oes
As primeiras nos;oes sobre conjul1tos voce as adquiriu no curso de 1 Q grau. Vamos reve las e ampliar esses conhecimel1tos introduzindo novos simbolos, liteis nao somente no estu do da matematica como tambem em outras areas.
Recordemos que se entende por conjunto qualquer coleS;ao de objetos. Esses objetos podem ser de qualquer natureza. Podemos falar em conjul1to de casas, de
alunos, de logotipos, de figuras geometricas, de numeros etc. o quadro abaixo mostra um conjunto de logotipos de algumas emissoras de televisao de
Sao Paulo.
Wi,r CULTURIl Fundat;:ao Padre Anchieta
Dm conjunto geralmente e indicado por uma letra maiuscula do alfabeto. Os objetos que compoem um conjul1to sao chamados elementos. Assim, por exemplo, chamando de L 0 conjunto dos logotipos acima, temos que cada um
deles e elemento de L. Indica-se que um elemento x pertence a um conjunto A escrevendo-se:
x E A (le-se: x pertence a A) I
Se x nao pertence ao conjunto A, "cortamos" 0 simbolo com um tras;o, escrevendo:
I x f/= A (le-se: x nao pertence a A) I Esse tipo de indicaS;ao e utilizado em muitas outras situas;oes. Voce pode verificar isso no
conjunto a seguir, onde os sinais sao cortados, indicando proibiS;ao.
Proibido fumar. Proibida a presen~a
de cachorros.
Proibido fazer fogueira.
2. Representa~ao de conjuntos Existem varias maneiras de se representar um conjunto. Uma delas e indicar todos os seus
elementos entre chaves. Vamos, como exemplo, representar os seguintes conjuntos:
a) 0 conjunto A formado pelos algarismos pares do numeral 6280 (extensao aproxima da, em quilometros, do Rio Amazonas).
Temos: A = 10,2,6,81
Rio Amazonas.
b) 0 conjunto IN dos nllmeros naturais. Como se trata de um conjunto infinito, nao epos sivel enumerar todos os seus elementos. Escrevemos, entao, apenas as primeiros elementos, seguidos de reticencias:
IN = 10, 1,2,3, ... }
c) 0 conjunto B dos numeros naturais impares menores que 100. Como sao muitos os elementos do conjunto B, por comodidade escrevemos os primeiros elementos, seguidos de reticencias, e finalmente os ultimos elementos. Assim:
B = (1,3,5,7, ... ,97,991
d) 0 conjunto T dos numeros que expressam as medidas dos lados do triangulo EDU, sendo ED = 15,2 cm, EU = 16,4 cm e DU = 10,8 cm:
T= (15,2; 16,4; 10,81
e) 0 conjunto H dos algarismos do numeral 149 597 870 (disrancia media, em quilome tros, entre 0 centro da Terra e 0 centro do Sol). a representas:ao de um conjunto nao repe timos os elementos. Assil11, 0 conjunto H tem exatamente sete elementos. Observe:
H = 10, 1,4,5,7,8, 9}
Ul11a outra maneira de se representar um conjunto e indicar entre chaves uma proprieda de que caracteriza seus elementos. Vamos considerar 0 conjunto:
A = (janeiro, junho, julho I
Observe que todos os elementos desse conjunto sao meses do ana e seus nomes comec;:am pela letra j. Essa e uma propriedade caracteristica dos elementos desse conjunto. Podemos, entao, escrever:
A = (x Ix e mes do ano cujo nome COl11ec;:a pela letra il
(U-se A e 0 conjunto de todo x, tal que x e mes do ana cujo nome comec;:a pela letra j.)
Veja outros exemplos:
a) B = 10,5,10,15,20, ... } B = Ixlxe numero natural multiplo de 5}
2
b) M = Im) a) t) e) i) c} M = {xix eletra da palavra matemtitica)
},,IA={
Podemos ainda representar um conjunto utilizando 0 diagrama de Venn, que consiste em colocar os elementos no interior de uma curva fechada simples. Como exemplo vamos repre sentar 0 conjunto
das bandeiras dos palses finalistas da Copa do Mundo de Futebol, de 1994:
A
·88 EXERCiclOS PROPOSTOS _
1. Os conjuntos a seguir estao representados por uma propriedade caracterfstica de seus elementos. Escreva-os indicando esses elementos.
a) A = {x Ix e um numero natural menor que 10}. b) B = {xix e um numero fmpar maior que 5}. c) C = {xlxe numero multiplo de 3, maior que 10 e menor que 100}. d) 0 = {xix e numero natural e 3x 2
- 7x + 2 = O}.
2. Agora temos 0 inverso. Os conjuntos estao escritos com seus elementos indicados. Escreva-os indi cando uma propriedade caracterfstica de seus elementos.
a) A = {1, 3, 5, ... } b) B = {segunda-feira, sexta-feira, sabado}
c) C = {a, 4, 8, 12, ... , 60} d) 0 = {10, 15,20,25, 30}
3. Represente 0 conjunto por uma propriedade que caracteriza seus elementos.
A o verde
o amarelo
o azul
'0 branco
4. Indica-se 0 numero de elementos de um conjunto A por n(A). Assim, dados os conjuntos abaixo, determine n(A), n(B) e n(C).
a) A = {xix e numero natural e x 2 - 12x + 35 = a}.
b) B = {xix e letra da palavra Recife}. c) C = {a, 3, 6, 9, ... , 120}
5. Dados os conjuntos A = {a, 2, 4, 6} e B = {x Ix2 - 11 x + 18 = O}, use 0 sfmbolo E ou f£ para
relacionar:
a) °eA b) °e B c) 2 eA d) 2 e B e) 9 eA f) 4 e B
3
3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio A ideia de conjunto em matematica tern urn sentido mais amplo do que aquele que nor
malmente esugerido pela propria palavra. Assim eque admitiremos conjuntos com urn so ele mento, chamados conjuntos unitarios, e conjunto sem elementos, chamado conjunto vazio. 0 conjunto vazio erepresentado por 0 ou I }.
Veja os exemplos: a) 0 conjunto do mamifero voador e 0 conjunto unitario Imorcego }. b) 0 conjunto dos numeros naturais maiores que 2 e menores que 3 e 0 conjunto 0.
-o morcego e0 unico mamffero voador.
'"c:
EXERCiclO PROPOSTO 6. Classifique cada conjunto como unitario ou vazio.
a) A = {xlxe natural e 2x = 5}. b) B = {xlxe natural e 2x = 6}. c) C = {xlxe natural e Ox = 6}. d) 0 = {xlxe natural par e primo}.
4. Conjuntos iguais Dois ou mais conjuntos sao iguais quando possuem os mesmos elementos. Assim, se A e0 conjunto das letras da palavra "arte": A = la) r, t) c} e Be 0 conjunto das
letras da palavras "reta": B = Ir, c) t) a}, temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, nao importando a ordem em que foram escritos. Se A nao fosse igual a B, escre veriamos A =F B (le-se: A ediferente de B).
EXERCiclO PROPOSTO 7. Verifique se A = B ou A i' B, nos seguintes casos:
a) A = {x Ix e letra da palavra amoral e B = {x Ix e letra da palavra roma}. b) A = {O, 1,2,3, 4} e B = {xix e numero natural menor que 4}. c) A = {2, 5} e B = {xlx 2
- ax + 12 = OJ.
5. Conjunto universo o conjunto que tern todos os elementos com os quais se deseja trabalhar chama-se con…