Matemática volume único edwaldo bianchini e herval paccola

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Apresenta~ao
E com enorme satisfayao que trazemos aos colegas de magisterio e estudantes esta nova ediyao de Matematica para 0 2 Q grau.
Mantivemos aqui 0 compromisso de tonur mais agradaveis e produtivos tanto 0 ensino como 0 aprendizado, meta essa tambem presente na ediyao anterior.
Voce pode estar questionando a necessidade desta reediyao. Simples: 0 mundo a nossa volta torna-se a cada dia mais e mais dinamico. Dessa forma, por mais atualizado e ajustado que um livro seja, em determinado momento, ele pode estar subestimando assuntos que mereyam uma abordagem mais aprofundada.
Assim, acompanhando a moderna tendencia do ensino de estreitar a relayao aprendiza­ do/cotidiano, procuramos trabalhar os conceitos de forma criativa e motivadora, privilegian­ do sua aplicayao em problemas que estimulem 0 interesse do aluno. Tambem nos exemplos resolvidos enos "Exerdcios propostos", sempre que possivel, procuramos trabalhar com situayoes retiradas da realidade do estudante.
A respeito dos temas estudados, destacamos a inclusao de um capitulo sobre Matematica Financeira, no volume 1, e outro sobre Estatistica, no volume 3. Foram acrescentados em vista de sua import:lncia no mundo moderno e tambem em funyao do elevado numero de questoes sobre esses assuntos nos (tltimos vestibulares.
Uma outra novidade desta reediyao e 0 "Tunel do tempo", uma seyao que, como 0
proprio nome sugere, leva 0 aluno a relacionar 0 tema em estudo com 0 momenta historico em que foi desenvolvido.
No final de cada capitulo, antes dos "Exerdcios complementares" e dos "Testes", urn resumo do assunto estudado auxilia 0 aluno na resoluyao das atividades.
Procuramos tambem aliar linguagem comunicativa, metodologia e rigor conceitual, com vistas a atender as necessidades do estudante, tanto na qualidade de cidadao como na de futuro vestibulando.
Temos perfeita consciencia de que nenhum livro substitui 0 trabalho do professor. Mas acreditamos que, ao proporcionar uma solida base conceitual e didatica ao estudante, estamos dando a nossa contribuiyao no sentido de auxiliar 0 mestre em sua tarefa de ensinar e formar pessoas.
Atendendo a solicitayoes recebidas de diversas partes do pais, este trabalho esta sendo apresentado em duas versoes. Na versao Alfa, as progressoes aritmeticas e geometricas sao estudadas no volume 1, e a trigonometria e vista no volume 2. Na versao Beta, essa ordem se inverte.
Finalmente, queremos registrar aqui nossos sinceros agradecimentos a todos os profes­ sores que, no decorrer desses anos, nos enviaram seu incentiyo na forma de criticas e su­ gestoes. Esperamos continuar merecendo a mesma acolhida nesta nova ediyao e, para tanto, contamos com 0 seu apoio - e ele que, afinal, torna 0 nosso trabalho mais adequado e efi­ ciente.
Os Autores
Capitulo I - CONJUNTOS
1. Primeiras noc;6es 1 2. Representac;ao de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio 4 4. Conjuntos iguais 4 5. Conjunto universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6. Alguns slmbolos da linguagem dos conjuntos 5 7. Subconjuntos 7 8. Operac;6es com conjuntos 10 9. Numero de elementos da reuniao entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
Capitulo 2 - CONJUNTOS NUMERICOS
1. Introduc;ao 23 2. Conjunto dos numeros naturais 23 3. Conjunto dos numeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24 4. Conjunto dos numeros racionais ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25 5. Conjunto dos numeros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28 6. Conjunto dos numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29 7. Intervalos 30 8. Operac;6es com intervalos ',' . . . . . . . . . . . . . . . .. 33 9. Valor absoluto ou modulo de urn numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
Capitulo 3 - FUN<;:OES
1. Introduc;ao 42 2. Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 3. Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44 4. Noc;ao de relac;ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47 5. Noc;ao matematica de func;ao 49 6. Linguagem das func;6es 51 7. Dominio de uma func;ao real de variavel real 53 8. Grafico de uma func;ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54 9. Analise de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
10. Func;ao bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64 11. Func;6es inversas 67 12. Func;ao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70
Capitulo 4 - FUN<;:AO DO 12 GRAU
1. Func;ao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79 2. Func;ao do 1Q grau 80 3. Estudo do sinal da func;ao do 1Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86 4. InequaC;6es do 1Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
Capitulo 5 - FUN<;:AO DO 22 GRAU
1. Introduc;ao 100 2. Grafico da func;ao do 2 Q grau 101
3. Vertice da parabola 104 4. Raizes da func;ao do 2 Q grau 109 5. Estudo do sinal da func;ao do 2 Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6. Inequac;oes do 2 Q grau 113
Capitulo 6 - FUNC;::AO MODULAR
1. Introduc;ao 123 2. Func;ao definida por duas ou mais sentenc;as 123 3. Func;ao modular 126 4. Equac;oes modulares 132 5. Inequac;oes modulares 134
Capitulo 7 - FUNC;::AO EXPONENCIAL
1. Revisao de potencia de expoente racional 145 2. Conceito de func;ao exponencial 146 3. Grafico da func;ao exponencial 147 4. Equac;oes exponenciais 149 5. Inequac;oes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Capitulo 8 - LOGARITMOS
1. Introduc;ao 162 2. Definic;ao de logaritmo 162 3. Propriedades dos logaritmos 168 4. Sistemas de logaritmos '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5. Propriedades dos logaritmos de mesma base 171 6. Mudanc;a de base 180 7. A func;ao logaritmica 183 8. Dominio da func;ao logaritmica 186 9. Inequac;oes logaritmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Capitulo 9 - CALCULO E APLlCAC;::OES DOS LOGARITMOS DECIMAlS
1. Introduc;ao 197 2. Calculadora cientifica ou tabua de logaritmos? 199 3. 0 dlculo com logaritmos decimais 209 4. Algumas aplicac;oes dos logaritmos 214
Capitulo 10 - NOC;::OES SOBRE MATEMATICA FINANCEIRA
1. Porcentagem 221 2. Juros 229
Capitulo II -TRIGONOMETRIA NOTRIANGULO RETANGULO
1. Introduc;ao 239 2. Revendo conceitos ja estudados sobre triangulos redngulos 240 3. Aprendendo novos canceitos 241 4. Popriedades e relac;oes do seno, do casseno e de tangente de urn angulo agudo
de urn triangulo redngulo 244 :" . (:omo calcular os valoes das razoes trigonometricas 246
,_Q .-\ lei dos senos 257 7 .\ lei dos cassenos 259
Capitulo 12 - TRIGONOMETRIA - ARCOS E ANGULOS
1. Introdus:ao 269 2. Arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 3. Medida de um angulo central 274 4. 0 eiclo trigonometrieo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 5. 0 arco trrigonometrieo 279
Capitulo 13 - FUNC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. Introduc;ao 285 2. A funs:ao sene 286 3. A funs:ao cosseno 295 4. Os grafieos das funs:oes sene e eosseno 308 5. A func;ao tangente 311 6. Outt'as funs:oes trigonometrieas 318 7. Relas:oes entre as funs:oes trigonometrieas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 8. Identidades trigonometricas ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 9. Recorreneia a um area do primeiro quadrante .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10. Cilculo dos valores das funs:oes trigonometrieas 332 11. Func;oes trigonometrieas inversas 336
Capitulo 14 - FORMULAS DE TRANSFORMAC;:.o.O
1. Introduc;ao 349 2. Arco soma e area diferrens:a 351 3. 0 arco duplo " 356 4. 0 area metade 359 5. Funs:oes trigonometrieas de um area que mede a, em funs:ao da tangente do
area metade "..................... 362 6. Transformas:ao de soma em produto " " 364
Capitulo IS - EQUAC;:OES E INEQUAC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. Introdus:ao 373 2. Equac;oes trigonometrieas 374 3. Inequac;oes tt'igonometrieas 384
Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
I. Primeiras no~oes
As primeiras nos;oes sobre conjul1tos voce as adquiriu no curso de 1 Q grau. Vamos reve­ las e ampliar esses conhecimel1tos introduzindo novos simbolos, liteis nao somente no estu­ do da matematica como tambem em outras areas.
Recordemos que se entende por conjunto qualquer coleS;ao de objetos. Esses objetos podem ser de qualquer natureza. Podemos falar em conjul1to de casas, de
alunos, de logotipos, de figuras geometricas, de numeros etc. o quadro abaixo mostra um conjunto de logotipos de algumas emissoras de televisao de
Sao Paulo.
Wi,r CULTURIl Fundat;:ao Padre Anchieta
Dm conjunto geralmente e indicado por uma letra maiuscula do alfabeto. Os objetos que compoem um conjul1to sao chamados elementos. Assim, por exemplo, chamando de L 0 conjunto dos logotipos acima, temos que cada um
deles e elemento de L. Indica-se que um elemento x pertence a um conjunto A escrevendo-se:
x E A (le-se: x pertence a A) I
Se x nao pertence ao conjunto A, "cortamos" 0 simbolo com um tras;o, escrevendo:
I x f/= A (le-se: x nao pertence a A) I Esse tipo de indicaS;ao e utilizado em muitas outras situas;oes. Voce pode verificar isso no
conjunto a seguir, onde os sinais sao cortados, indicando proibiS;ao.
Proibido fumar. Proibida a presen~a
de cachorros.
Proibido fazer fogueira.
2. Representa~ao de conjuntos Existem varias maneiras de se representar um conjunto. Uma delas e indicar todos os seus
elementos entre chaves. Vamos, como exemplo, representar os seguintes conjuntos:
a) 0 conjunto A formado pelos algarismos pares do numeral 6280 (extensao aproxima­ da, em quilometros, do Rio Amazonas).
Temos: A = 10,2,6,81
Rio Amazonas.
b) 0 conjunto IN dos nllmeros naturais. Como se trata de um conjunto infinito, nao epos­ sivel enumerar todos os seus elementos. Escrevemos, entao, apenas as primeiros elementos, seguidos de reticencias:
IN = 10, 1,2,3, ... }
c) 0 conjunto B dos numeros naturais impares menores que 100. Como sao muitos os elementos do conjunto B, por comodidade escrevemos os primeiros elementos, seguidos de reticencias, e finalmente os ultimos elementos. Assim:
B = (1,3,5,7, ... ,97,991
d) 0 conjunto T dos numeros que expressam as medidas dos lados do triangulo EDU, sendo ED = 15,2 cm, EU = 16,4 cm e DU = 10,8 cm:
T= (15,2; 16,4; 10,81
e) 0 conjunto H dos algarismos do numeral 149 597 870 (disrancia media, em quilome­ tros, entre 0 centro da Terra e 0 centro do Sol). a representas:ao de um conjunto nao repe­ timos os elementos. Assil11, 0 conjunto H tem exatamente sete elementos. Observe:
H = 10, 1,4,5,7,8, 9}
Ul11a outra maneira de se representar um conjunto e indicar entre chaves uma proprieda­ de que caracteriza seus elementos. Vamos considerar 0 conjunto:
A = (janeiro, junho, julho I
Observe que todos os elementos desse conjunto sao meses do ana e seus nomes comec;:am pela letra j. Essa e uma propriedade caracteristica dos elementos desse conjunto. Podemos, entao, escrever:
A = (x Ix e mes do ano cujo nome COl11ec;:a pela letra il
(U-se A e 0 conjunto de todo x, tal que x e mes do ana cujo nome comec;:a pela letra j.)
Veja outros exemplos:
a) B = 10,5,10,15,20, ... } B = Ixlxe numero natural multiplo de 5}
2
b) M = Im) a) t) e) i) c} M = {xix eletra da palavra matemtitica)
},,IA={
Podemos ainda representar um conjunto utilizando 0 diagrama de Venn, que consiste em colocar os elementos no interior de uma curva fechada simples. Como exemplo vamos repre­ sentar 0 conjunto
das bandeiras dos palses finalistas da Copa do Mundo de Futebol, de 1994:
A
·88 EXERCiclOS PROPOSTOS _
1. Os conjuntos a seguir estao representados por uma propriedade caracterfstica de seus elementos. Escreva-os indicando esses elementos.
a) A = {x Ix e um numero natural menor que 10}. b) B = {xix e um numero fmpar maior que 5}. c) C = {xlxe numero multiplo de 3, maior que 10 e menor que 100}. d) 0 = {xix e numero natural e 3x 2
- 7x + 2 = O}.
2. Agora temos 0 inverso. Os conjuntos estao escritos com seus elementos indicados. Escreva-os indi­ cando uma propriedade caracterfstica de seus elementos.
a) A = {1, 3, 5, ... } b) B = {segunda-feira, sexta-feira, sabado}
c) C = {a, 4, 8, 12, ... , 60} d) 0 = {10, 15,20,25, 30}
3. Represente 0 conjunto por uma propriedade que caracteriza seus elementos.
A o verde
o amarelo
o azul
'0 branco
4. Indica-se 0 numero de elementos de um conjunto A por n(A). Assim, dados os conjuntos abaixo, determine n(A), n(B) e n(C).
a) A = {xix e numero natural e x 2 - 12x + 35 = a}.
b) B = {xix e letra da palavra Recife}. c) C = {a, 3, 6, 9, ... , 120}
5. Dados os conjuntos A = {a, 2, 4, 6} e B = {x Ix2 - 11 x + 18 = O}, use 0 sfmbolo E ou f£ para
relacionar:
a) °eA b) °e B c) 2 eA d) 2 e B e) 9 eA f) 4 e B
3
3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio A ideia de conjunto em matematica tern urn sentido mais amplo do que aquele que nor­
malmente esugerido pela propria palavra. Assim eque admitiremos conjuntos com urn so ele­ mento, chamados conjuntos unitarios, e conjunto sem elementos, chamado conjunto vazio. 0 conjunto vazio erepresentado por 0 ou I }.
Veja os exemplos: a) 0 conjunto do mamifero voador e 0 conjunto unitario Imorcego }. b) 0 conjunto dos numeros naturais maiores que 2 e menores que 3 e 0 conjunto 0.
-o morcego e0 unico mamffero voador.
'"c:
EXERCiclO PROPOSTO 6. Classifique cada conjunto como unitario ou vazio.
a) A = {xlxe natural e 2x = 5}. b) B = {xlxe natural e 2x = 6}. c) C = {xlxe natural e Ox = 6}. d) 0 = {xlxe natural par e primo}.
4. Conjuntos iguais Dois ou mais conjuntos sao iguais quando possuem os mesmos elementos. Assim, se A e0 conjunto das letras da palavra "arte": A = la) r, t) c} e Be 0 conjunto das
letras da palavras "reta": B = Ir, c) t) a}, temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, nao importando a ordem em que foram escritos. Se A nao fosse igual a B, escre­ veriamos A =F B (le-se: A ediferente de B).
EXERCiclO PROPOSTO 7. Verifique se A = B ou A i' B, nos seguintes casos:
a) A = {x Ix e letra da palavra amoral e B = {x Ix e letra da palavra roma}. b) A = {O, 1,2,3, 4} e B = {xix e numero natural menor que 4}. c) A = {2, 5} e B = {xlx 2
- ax + 12 = OJ.
5. Conjunto universo o conjunto que tern todos os elementos com os quais se deseja trabalhar chama-se con­…