Matemática IIaula 19

Profª Débora Bastos

Integral por partes.Das fórmulas básicas da derivação, uma não consta no formulário de integrais:

Embora derivar um produto de funções de x seja simples, aplicar o processo inverso não é tanto. Hoje dedicaremos a aula especialmente para essa antiderivada, a antiderivada do produto de funções que é a integral por partes.

dx

duv

dx

dvu

dx

)vu(d

vdu udv)vu(ddxdx

duv

dx

dvudx

dx

)vu(d

vdu udvvuvdu udv)vu(d

)x(gv

)x(fu

sendo

Integral por partes

Com essa expressão teríamos que ter a soma de duas integrais para poder dizer o resultado direto:

Dificilmente teremos uma expressão assim para resolver e sim, por exemplo:

vdu udvvuvdu udv)vu(d

kxinsxsinxdx xdxcosx

xsinxcosxdx

xsinxd

dvu v dx

xdxcosx sinxdx-xinsx

kxoscxinsx

Integral por partesOu seja, em vez de:

Usaremos:

Nesses casos para resolver uma integral precisaremos de outro, assim não resolvemos a integral de imediato e sim POR PARTES.

kvuvdu udv

vduvuudv

Integral por partes:Diante da igualdade:

Além de identificar quem é u e dv, devemos nos preocupar se a segunda integral será “resolvível”, ou seja, se ela terá solução direta. Então devemos ter esse cuidado.

vduvuudv

Exemplos:

Nada no formulário, pois a integral de ex é ex , então o x fica “sobrando”. Perfeita para a integral por partes.

Cuidado ao escolher quem é u e quem é dv. Temos que escolher u para garantir que du seja mais simples e não “atrapalhe” a integral de vdu.

No nosso caso então x é a melhor escolha para u, e consequentemente, dv será exdx.

u=x du=dx dv=exdx v = ex

vduvuudv

dxxex

k)1x(ekexedxexedxxe xxxxxx

Exemplos:

22 )3x(

dx3

xdxlnx1

xdxcose4 x

3

2xlnx

3

2R 3tA

k1xlnxRta

k3xln

3x

xR 2

22

ta

xdxln2

vduvuudv

kxcosxsin2

eR

xta