MATEMÁTICA ATUARIAL DE PESSOAS - SUSEP ‐ 2010 - RESOLUÇÃO DA PROVA

PONTO DOS CONCURSOS

MATEMÁTICA ATUARIAL DE PESSOAS SUSEP ‐ 2010

RESOLUÇÃO DA PROVA

André Cunha 22/04/2010

de 14

André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010

Comentários

Caros alunos,

Espero que vocês tenham todo o sucesso do mundo e comecem a trabalhar como analistas técnicos da SUSEP ainda em 2010.

Fiquei muito satisfeito com a aderência do curso ao exame de domingo.

Das 10 questões, a teoria dada em aula foi suficiente para resolver 9 delas e, destas, 6 questões praticamente iguais foram resolvidas em aula e 2 semelhantes também. Não considerei a prova fácil. Mas para quem se dedicou aos estudos com o material do Ponto certamente a prova ficou bem mais tranquila. O mérito é de vocês. Eu apenas tentei ajudar da melhor forma possível.

A prova foi no geral bem feita. Quanto à possibilidade de recurso, a única questão mais polêmica foi a 14, que fala da fórmula de Woolhouse, cujo gabarito oficial preliminar é a opção D. Ela difere da apresentada no item B somente pelo fator 12 multiplicando aquela e não esta.

Historicamente, em se tratando de anuidades mensais a ESAF quase sempre usou o fator de multiplicação 12. Percebendo isso, orientei diversas vezes os alunos do Ponto a, caso tivesse duas opções que diferissem apenas por essa multiplicação, seguirem o histórico da ESAF. Segue trecho de resposta a uma dúvida postada no fórum por uma aluna:

Para tentar fechar a resposta: Em anuidades, para duas respostas idênticas, via de regra eu multiplicaria por 12...

A lógica utilizada é a de não discutir com a banca. Por isso, acredito que a maioria dos nossos alunos deve ter marcado a opção D.

Como externalidade positiva, durante o curso frisamos que o valor esperado dos benefícios pagos é o prêmio puro, o que torna o item C da questão 21, de Matemática Atuarial de Danos, correto. Era só trocar a palavra indenizações por benefícios que poderia ser uma questão de Pessoas.

Vou me despedindo agora. Com toda a sinceridade, gostei muito do período que estivemos juntos.

Boa sorte para vocês.

Prof. André Cunha

de 14


Resolução

11. Assinale a opção que completa de forma correta o seguinte caso:

“Um casal deseja saber qual é a formulação atuarial relativa à probabilidade de que apenas um dos componentes do casal esteja vivo, após os 25 anos seguintes.”

A) yx

yx

x

x

xyllll

llQ 252525

25/___

]1[+++ +=

B) yx

yx

y

y

xyllll

ll

Q 25252525/

___]1[

+++ −=

C) y

y

x

xx

y

yy

x

x

xyl

lx

lll

lll

xl

lQ 2525252525/

___]1[

++++ −+

−=

D) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ++

y

y

x

x

xyl

lx

llQ 2525

25/ 1___

]1[

E) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−= ++++

yx

yx

y

y

x

x

xyllll

ll

llQ 25252525

25/ 1___

]1[

Resolução

Questão praticamente idêntica resolvemos na Aula 0, e várias outras envolvendo probabilidades conjuntas resolvemos na Aula 7. Talvez a mais tranquila da prova.

Para que haja apenas um vivo do casal após 25 anos, dois eventos são possíveis:

• (x) vivo e (y) morto após 25 anos: isso ocorre com

probabilidade y

yy

x

xyx l

llx

llqp 2525

2525++

−=× ;

• (x) morto e (y) vivo após 25 anos: isso ocorre com

probabilidade .25252525

y

y

x

xxyx l

lx

lllpq ++−

=×

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Somando as duas probabilidades, e utilizando a notação empregada na resposta, temos:

y

y

x

xx

y

yy

x

x

xyl

lx

lll

lll

xl

lQ 2525252525/

___]1[

++++ −+

−=

Repare que a banca assumiu a independência das vidas de (x) e (y).

GABARITO: C

12. Em um seguro contra morte diferido de “n” anos e temporário de “m” anos, cujo prêmio foi calculado pelo regime de capitalização, a alteração do fracionamento de pagamento mensal para pagamento anual, multiplicada a parcela mensal por 12, ou seja, exclusivamente em relação à condição de fracionamento – ceteris paribus – pode-se afirmar que a Parcela de Prêmio Comercial correspondente será:

A) igual, no caso de o pagamento mensal ser antecipado e o pagamento anual ser postecipado, independendo da idade inicial do segurado.

B) igual, no caso de o pagamento mensal ser postecipado e o pagamento anual ser antecipado, independendo da idade inicial do segurado.

C) igual, no caso de o pagamento mensal ser antecipado e o pagamento anual ser postecipado, dependendo da idade inicial do segurado.

D) maior, no caso de o pagamento mensal ser antecipado e o pagamento anual ser postecipado, independendo da idade inicial do segurado.

E) menor, no caso de o pagamento mensal ser antecipado e o pagamento anual ser postecipado, independendo da idade inicial do segurado.

Resolução

Na Aula 5 resolvemos dois exercícios com um raciocínio que mata essa questão.

Antes de mais nada, o enunciado é gigantesco, com várias informações desnecessárias e, pela maneira que está escrito, apesar

de 14


de preciso, com certeza causou muita confusão na hora da prova, num momento de muita tensão.

Questão ideal para tentar eliminar algumas opções. As opções A, B e C são absurdas. Um fluxo anual de pagamentos nunca terá o mesmo VPA de um fluxo mensal, a menos que escolhamos os valores e os obriguemos a gerar VPA`s iguais, o que não foi o caso. Assim, sobram apenas as opções D e E.

Vamos primeiro deletar as informações inúteis para nós:

• Diferido de n e temporário de m;

• O prêmio é comercial. Pela hipótese de serem todas as outras variáveis constantes, podemos raciocinar sobre o prêmio puro.

O que realmente é importante é o fato de querer comparar o pagamento anual postecipado com o mensal antecipado1 de um mesmo benefício, que no caso é o seguro de morte.

Temos então a seguinte pergunta a responder, resumindo todo o enunciado:

Dado um VPA qualquer, qual deve ser o maior prêmio anual para financiá-lo, um postecipado pagável anualmente ou um antecipado pagável mensalmente?

Vamos chamar de Ppa o prêmio postecipado pagável anualmente e de Pam o antecipado pagável mensalmente, definindo de forma análoga as anuidades que constarão dos denominadores.

Temos que pa

pa anuidadePUPP =

amam anuidade

PUPPe =

Como o PUP é o próprio VPA do seguro, ele é igual nas duas equações acima.

Para duas rendas iguais, a que paga mais tarde tem menor VPA. Como a anuidade postecipada paga depois da antecipada, temos

que ampa anuidadeanuidade < . Como as anuidades figuram nos

denominadores, segue que .ampa PP >

Assim, a opção correta é a D.

GABARITO: D

1 Lembrem-se que o nosso conjunto universo de opções nesse momento é {D,E}.

de 14


13. O prêmio puro de um Seguro OV - Mensal, que consista no pagamento de um Benefício unitário ao final do ano, caso ocorra o óbito do segurado naquele ano, e considerando que o prêmio seja pago no início de cada mês, de forma imediata e vitalícia, em ambos os casos – Benefício e pagamento dos Prêmios, independente da condição de ativo ou inválido, pelas funções de comutação subanuais, será dado por:

A) )12(

)12(

x

x

NM

B) )12(x

x

NM

C) )12(

)12(

x

x

Nq

D) )12(x

x

Nq

E)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2411

x

x

x

DN

M

Resolução

Qualquer prêmio periódico é dado por .anuidade

PUPPAP = (0)

Como se trata de um seguro Ordinário vida o PUP é dado por

.x

xx D

MA = (1)

Os prêmios são pagos no início de cada mês, de forma imediata

e vitalícia. Assim, a anuidade em questão é .)12(xa&&

No exercício resolvido 6 da Aula 6 vimos que .)12(

)12(

x

xx D

Na =&& (2)

De (0), (1) e (2),

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)12()12(x

x

x

x

x

x

NM

DNDM

PAP ==

GABARITO: B

14. Segundo o RC – Regime de Capitalização, uma das funções possíveis de uso para )12(

10/ xa , pela fórmula de Woolhouse, é dado

por:

A) 12]24/11/)[( 1101 ×−−= +++ xxx DNN

B) )]/1(*24/11/)[( 101101 xxxxx DDDNN ++++ −+−=

C) ]24/11/)[( 1101 +−= +++ xxx DNN

D) 12)]/1(*24/11/)[( 101101 ×−+−= ++++ xxxxx DDDNN

E) 12)]/(*24/13/)[( 101101 ×−−= ++++ xxxxx DDDNN

Resolução

Vimos, pela fórmula de Woolhouse, que

( )xmnxnxmnxmn EEaa +−⋅+=2411

/)12(

/

Do enunciado, n = 0 e m = 10, o que gera

( )xxxx EEaa 10010/)12(

10/ 2411

−⋅+=

Substituindo ,110110/

x

xxx D

NNa +++ −= e

DDE

x

xx ,10

10+= ,10 =xE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+

−= ++++

x

x

x

xxx D

DD

NNa 101101)12(10/ 1

2411

E a opção correta seria a B, lembrando que )12(10/ xa é o VPA de uma

renda postecipada de uma u.m. paga por ano, em 12 vezes de 1/12, durante dez anos. Está errado multiplicar o resultado da equação acima por 12.

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A resposta certa é B. Só que a minha opinião e a opinião da comunidade atuarial não importa na hora da prova.

O QUE IMPORTA É A OPINIÃO DA BANCA, E PARA A BANCA, A RESPOSTA CORRETA É A CONTIDA NA OPÇÃO D.

Vou reproduzir abaixo trecho da Aula 5, que foi apenas uma das inúmeras vezes, tanto em aula quanto no fórum, que eu orientei os alunos a seguir o costume da ESAF de multiplicar tudo por 12.

Mas não podemos discutir com a banca. Caso se trate de renda mensal e unitária, escolha sempre a opção que multiplica por 12.

GABARITO: D

15. Um determinado seguro, para uma pessoa de idade “x”, tem o prêmio puro e único de R$ 1.000,00. Se os carregamentos forem de: R$ 200,00 per capita para despesa única de cadastramento, 30% do prêmio comercial para despesas de angariação e de corretagem e 20%, também do prêmio comercial para despesa administrativa e margem de lucro, pode-se afirmar que:

A) o prêmio comercial único será de R$ 2.400,00.

B) o prêmio comercial anual será de R$ 2.400,00.

C) o prêmio comercial anual será de R$ 2.400,00, para um benefício básico de R$ 100.000,00.

D) o prêmio comercial único será de R$ 2.400,00, para um benefício básico de R$ 100.000,00.

E) o prêmio comercial único será de R$ 1.600,00.

Resolução

O Exemplo 1 resolvido na Aula 6 é igual a essa questão. Só não copiaram com os mesmos números porque certamente seria anulada, mas é a mesma questão.

A resolução será a mesma, só vamos trocar os números (se a ESAF pode, porque não poderíamos?).

Do enunciado temos:

PUP = 1.000

VF = 200, pois foi dado em u.m.

5,0%50%20%30 ou=+=α

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Assim, 400.25,01200000.1

1=

−+

=−+

=α

VFPUPPUC

GABARITO: A

16. Considerando que uma Seguradora deseja implementar um Plano de seguro para riscos pessoais, cujo levantamento preliminar lhe forneceu os seguintes parâmetros: idade média atuarial de 40 anos (idade esta calculada pela tábua AT 83) e sendo a massa a ser captada de 100.000 riscos, frente ao custo inicial e único de R$ 100.000,00 para implementar a carteira, de forma imediata. Qual a formulação atuarial para a amortização atuarial desse valor, considerando que o fracionamento dos prêmios será: mensal (no início de cada período), antecipado, imediato e dentro dos próximos 10 anos?

A) )12(10/

00,100$

xaR

B) xx

Ea

R10)12(

10/

00,100$×

C) 12

00,100$)12(

10/ ×xaR&&

D) xnx

EaR

10)12(10/ 12

00,1$×

×+&&

E) )12(10/

00,1$

xaR

&&

Resolução

Fizemos 3 questões muito parecidas com essa na Aula 6. Aqui o enunciado usou a palavra “amortização” ao invés de “fracionamento”, mas a resolução não muda praticamente em nada.

Se o custo da carteira é de 100.000 para 100.000 riscos, o custo a ser amortizado (fracionado) é de 1 real por pessoa.

Vimos que para amortizar um custo inicial CA ao longo de t anos, mensalmente, de forma imediata e antecipada a expressão

correta é .)12(/ xt aCA&&

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Como CA = R$ 1 e t= 10, temos .00,1$)12(

10/ xaR

&&

GABARITO: E

17. Analisando as sentenças abaixo e indicando por V – Verdadeira e por F – Falsa, indique a opção correta correspondente.

I. O RRS – Regime de Repartição Simples utiliza a taxa de risco como base para a precificação.

II. O RC – Regime de Capitalização deve ser utilizado para os Benefícios de Sobrevivência (Renda), podendo ser utilizado para Benefícios de Morte.

III. O RCC – Regime de Capitais de Cobertura é utilizado basicamente para o Benefício de Pensão por invalidez.

A) V V V

B) V V F

C) V F F

D) V F V

E) F V F

Resolução

Afirmativa I: Vimos que o RRS não forma reservas. Assim, a cada período, todo o dinheiro pago vai para o pagamento de benefícios (riscos). VERDADEIRA

Afirmativa II: O RC é o mais apropriado para benefícios de renda, por ser o mais efetivo no controle do déficit atuarial. Além disso, pode (eu até diria que deve) ser usado para benefícios de morte, como vimos várias vezes calculando prêmios nas Aulas 4 e 6. VERDADEIRA

Afirmativa III: Em tese, qualquer benefício pode ser custeado pelo RCC. Na prática, este regime é mais apropriado para grupos fechados e benefícios cujas despesas se mantenham aproximadamente constantes ao longo do tempo, como auxílio-doença, invalidez, dentre outros. Logo, não é utilizado o RCC basicamente para benefício de pensão por invalidez. FALSA

GABARITO: B

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18. Indique a opção que completa de forma correta o caso abaixo, considerando um benefício de sobrevivência.

“O resgate, o saldamento e o prolongamento constituem-se nos principais tipos de Valores Garantidos. Quanto a estas três figuras atuariais, pode-se afirmar que sua concessão é exclusivamente no período.”

A) de fracionamento do prêmio.

B) de diferimento do Benefício, tanto no caso de o Prêmio ser pago a vista, quanto fracionado.

C) após o pagamento do Prêmio e antes do recebimento do Benefício.

D) de fracionamento do Prêmio para o saldamento e o prolongamento e a qualquer tempo para o resgate, sempre antes da conclusão do pagamento do benefício.

E) de fracionamento do Prêmio para o saldamento e a qualquer tempo para o resgate e o prolongamento, sempre antes da conclusão do pagamento do benefício.

Resolução

A Resolução CNSP 25, de 22 de dezembro de 1994 define:

Resgate: consiste na restituição ao participante do montante acumulado na provisão matemática relativa ao seu benefício.

Saldamento: é a interrupção definitiva do pagamento das contribuições ao plano, mantendo- se o direito à percepção proporcional do benefício originalmente contratado.

Benefício Prolongado: é a interrupção definitiva do pagamento das contribuições ao plano, mantendo-se o direito à percepção, de forma temporária, do mesmo valor do benefício originalmente contratado.

Para qualquer benefício há 3 períodos: Pagamento de prêmios, durante o recebimento do benefício, e após o recebimento do benefício.

Em primeiro lugar, não há que se falar de valores garantidos após o recebimento do benefício.

Quanto ao resgate, sempre há provisão (reserva) matemática enquanto o benefício não foi pago por completo. Assim, o resgate pode ser concedido a qualquer tempo.

Já quanto ao saldamento e prolongamento, como ambos envolvem interrupção de pagamentos, só faz sentido serem concedidos

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enquanto os prêmios estão sendo pagos, ou seja, no período de fracionamento do prêmio.

GABARITO: D

19. Em relação aos métodos Prospectivo e Retrospectivo, é correto afirmar que: a Reserva Matemática representa, na data de cálculo, o valor atual dos compromissos

A) futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do segurado, se calculado pelo método Prospectivo, e o valor final (idade do benefício), se calculado pelo método retrospectivo.

B) passados do segurado menos o valor atual dos compromissos passados do segurador, se calculado pelo método retrospectivo, e o valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do segurado, se calculado pelo método Prospectivo, devendo os valores serem iguais.

C) passados do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do segurado, se calculado pelo método retrospectivo, e o valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos passados do segurado, se calculado pelo método Prospectivo, podendo ambos os valores serem iguais.

D) passados do segurado menos o valor atual dos compromissos passados do segurador, se calculado pelo método retrospectivo, e o valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do segurado, se calculado pelo método Prospectivo, podendo os valores serem diferentes, face o respectivo método.

E) passados do segurador menos o valor passado dos Benefícios do segurado, se calculado pelo método retrospectivo, e o valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do segurado, se calculado pelo método Prospectivo, devendo ambos os valores serem iguais.

Resolução

Essa questão de reservas não traz novidades em relação às resolvidas na aula 6. Basta aplicar a definição dos métodos prospectivo e retrospectivo.

Pelo método retrospectivo, ,BPPPt VPAVPAV −= ou seja, temos

que a reserva matemática é a diferença entre o VPA dos prêmios

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pagos (compromissos passados do segurado) e o VPA do custo da cobertura (compromissos passados do segurador).

Já pelo método prospectivo, ,PFBFt VPAVPAV −= ou seja, a

reserva matemática é a diferença entre o VPA dos benefícios futuros (compromissos futuros do segurador) e o VPA dos prêmios futuros (compromissos futuros do segurado).

GABARITO: B

20. Para o risco de morte num dado seguro, cujo prêmio seja calculado com fracionamento mensal, considerando todas as demais variáveis e parâmetros iguais - ceteris paribus, a opção falsa, ou seja, que não se pode afirmar é:

A) o Prêmio calculado pelo RCC – Regime de Repartição de Capitais de Cobertura é menor, em relação ao calculado pelo RC – Regime de Capitalização, nas idades iniciais.

B) o Prêmio calculado pelo RRS – Regime de Repartição Simples é inicialmente menor, em relação ao calculado pelo RC – Regime de Capitalização.

C) o Prêmio calculado pelo RRS – Regime de Repartição Simples é maior, em relação ao calculado pelo RC – Regime de Capitalização, para as idades mais elevadas.

D) o Prêmio calculado pelo RRS – Regime de Repartição Simples é igual ao calculado pelo RCC – Regime de Repartição de Capitais de Cobertura, em qualquer faixa etária.

E) o Prêmio calculado pelo RCC – Regime de Repartição de Capitais de Cobertura é inicialmente maior, em relação ao calculado pelo RC – Regime de Capitalização.

Resolução

Temos de escolher a única opção falsa.

Quase uma questão de raciocínio lógico. Repare nas opções A e E. Como ao menos uma delas tem de ser verdadeira (pois só há uma falsa dentre as 5), a outra obrigatoriamente é falsa. Isso implica que as opções B, C e D são verdadeiras e não precisariam ser analisadas na prova.

Na resolução do exercício de fixação 6 da Aula 8, vimos praticamente tudo de que precisamos para resolver essa questão. O restante encontra-se no parágrafo abaixo.

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A única diferença do regime de repartição de capitais de cobertura (RCC) para o regime de repartição simples (RRS) é que naquele é constituída reserva. Esta reserva, a cada período, deve ser suficiente para pagar os benefícios que são concedidos no próprio período. No caso de risco de sobrevivência (rendas), os prêmios calculados pelos dois regimes diferem devido à constituição de reservas no RCC para pagar essa renda. Para risco de morte não, pois o pagamento esgota o compromisso (o que responde o item D).

Dessa forma, como vimos na questão 6 citada, os prêmios pagos no RRS são menores, inicialmente, que os pagos no RC. Portanto, os prêmios pagos no RCC são também menores, inicialmente, que os pagos no RC. Dessa forma, a opção E é falsa.

GABARITO: E

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