MATEMTICA BSICA2009FernandoGuerraInder Jeet TanejaMinistriodaEducaoMECCoordenaodeAperfeioamentodePessoaldeNvelSuperiorCAPESDiretoriadeEducaoaDistnciaDEDUniversidadeAbertadoBrasilUABProgramaNacionaldeFormaoemAdministraoPblicaPNAPBachareladoemAdministraoPblicaG934mGuerra, FernandoMatemtica bsica / Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja. Florianpolis : Departamentode Cincias da Administrao / UFSC; [Braslia] : CAPES : UAB, 2009.164p. : il.Inclui bibliografiaBacharelado em Administrao PblicaISBN: 978-85-61608-73-61. Matemtica - Estudo e ensino. 2. Teoria dos conjuntos. 3. Fraes. 4. Equaes.5. Potenciao, radiciaoeracionalizao. 6. Educao a distncia. I. Taneja, Inder Jeet.II. CoordenaodeAperfeioamento de Pessoal de NvelSuperior (Brasil).III. UniversidadeAbertadoBrasil. IV. Ttulo.CDU: 51Catalogaonapublicaopor:OnliaSilvaGuimaresCRB-14/071 2009. Universidade Federal de Santa Catarina UFSC. Todos os direitos reservados.A responsabilidade pelo contedo e imagens desta obra do(s) respectivos autor(es). O contedo desta obra foi licenciado temporria egratuitamente para utilizao no mbito do Sistema Universidade Aberta do Brasil, atravs da UFSC. O leitor se compromete a utilizar ocontedo desta obra para aprendizado pessoal, sendo que a reproduo e distribuio ficaro limitadas ao mbito interno dos cursos.A citao desta obra em trabalhos acadmicos e/ou profissionais poder ser feita com indicao da fonte. A cpia desta obra sem autorizaoexpressa ou com intuito de lucro constitui crime contra a propriedade intelectual, com sanes previstas no Cdigo Penal, artigo 184, Pargrafos1 ao 3, sem prejuzo das sanes cveis cabveis espcie.PRESIDENTEDAREPBLICALuizIncioLuladaSilvaMINISTRODAEDUCAOFernandoHaddadPRESIDENTEDACAPESJorgeAlmeidaGuimaresUNIVERSIDADEFEDERALDESANTACATARINAREITORlvaroToubesPrataVICE-REITORCarlosAlbertoJustodaSilvaCENTROSCIO-ECONMICODIRETORRicardoJosdeArajoOliveiraVICE-DIRETORAlexandreMarinoCostaDEPARTAMENTODECINCIASDAADMINISTRAOCHEFEDODEPARTAMENTOJooNiloLinharesSUBCHEFEDODEPARTAMENTOGilbertodeOliveiraMoritzSECRETARIA DE EDUCAO A DISTNCIASECRETRIODEEDUCAOADISTNCIACarlosEduardoBielschowskyDIRETORIADEEDUCAOADISTNCIADIRETORDEEDUCAOADISTNCIACelsoJosdaCostaCOORDENAOGERALDEARTICULAOACADMICANaraMariaPimentelCOORDENAOGERALDESUPERVISOEFOMENTOGraceTavaresVieiraCOORDENAOGERALDEINFRAESTRUTURADEPOLOSFranciscodasChagasMirandaSilvaCOORDENAOGERALDEPOLTICASDEINFORMAOAdiBalbinotJuniorCOMISSODEAVALIAOEACOMPANHAMENTOPNAPAlexandreMarinoCostaClaudinJordodeCarvalhoElianeMoreiraSdeSouzaMarcosTanureSanabioMariaAparecidadaSilvaMarinaIsabeldeAlmeidaOrestePretiTeresaCristinaJanesCarneiroMETODOLOGIAPARAEDUCAOADISTNCIAUniversidadeFederaldeMatoGrossoCOORDENAOTCNICADEDAndrValentedeBarrosBarretoSorayaMatosdeVasconcelosTatianeMichelonTatianePacanaroTrincaAUTORESDOCONTEDOFernandoGuerraInderJeetTanejaEQUIPEDEDESENVOLVIMENTODERECURSOSDIDTICOSCAD/UFSCCoordenadordoProjetoAlexandreMarinoCostaCoordenaodeProduodeRecursosDidticosDeniseAparecidaBunnSupervisodeProduodeRecursosDidticosFlaviaMariadeOliveiraDesignerInstrucionalDeniseAparecidaBunnAndrezaReginaLopesdaSilvaSupervisoraAdministrativaErikaAlessandraSalmeronSilvaCapaAlexandreNoronhaIlustraoIgor BaranenkoProjetoGrficoeFinalizaoAnnyeCristinyTessaroEditoraoRitaCastelanRevisoTextualSergioMeiraCrditos da imagem da capa: extrada do banco de imagens Stock.xchng sob direitos livres para uso de imagem.PREFCIOOsdoi spri nci pai sdesaf i osdaat ual i dadenareaeducacionaldopassoaqualificaodosprofessoresqueatuamnasescolasdeeducaobsicaeaqualificaodoquadrofuncionalatuantenagestodoEstadoBrasileiro,nasvriasi nst nci asadmi ni st rat i vas. OMi ni st ri odaEducaoest enfrentandooprimeirodesafioatravsdoPlanoNacionaldeFormaodeProfessores,quetemcomoobjetivoqualificarmaisde300.000professoresemexerccionasescolasdeensinofundamentalemdio,sendometadedesseesfororealizadopeloSistemaUniversidadeAbertadoBrasil(UAB).Emrelaoaosegundodesafio,oMEC,pormeiodaUAB/CAPES,lanaoProgramaNacionaldeFormaoemAdministraoPblica(PNAP).EsseProgramaenglobaumcursodebachareladoetrsespecializaes(GestoPblica,GestoPblicaMunicipaleGestoemSade)evisacolaborarcomoesforodequalificaodosgestorespbl i cosbrasi l ei ros,comespeci al atenonoatendimentoaointeriordopas,atravsdosPolosdaUAB.OPNAPumProgramacomcaractersticasespeciais.Emprimeiro lugar, tal Programa surgiu do esforo e da reflexo de umaredecompostapelaEscolaNacionaldeAdministraoPblica(ENAP), do Ministrio do Planejamento, pelo Ministrio da Sade,peloConselhoFederaldeAdministrao,pelaSecretariadeEducao a Distncia (SEED) e pormais de 20 instituies pblicasdeensinosuperior,vinculadasUAB,quecolaboraramnaelaborao do Projeto Poltico Pedaggico dos cursos. Em segundolugar, esse Projeto ser aplicado por todas as Instituies e pretendemanterumpadrodequalidadeemtodoopas,masabrindomargemparaquecadaInstituio,queofertaroscursos,possaincluirassuntosematendimentosdiversidadeseconmicaseculturaisdesuaregio.Outroelementoimportanteaconstruocoletivadomaterialdidtico.AUABcolocardisposiodasInstituiesum material didtico mnimo de referncia para todas as disciplinasobrigatriaseparaalgumasoptativas,essematerialestsendoelaboradoporprofissionaisexperientesdareadaadministraopblica de mais de 30 diferentes Instituies, com apoio de equipemultidisciplinar.Porltimo,aproduocoletivaantecipadadosmateriais didticos libera o corpo docente das Instituies para umadedicaomaioraoprocessodegestoacadmicadoscursos;uniformizaumelevadopatamardequalidadeparaomaterialdidtico e garante o desenvolvimento ininterrupto dos cursos, semparalisaesquesemprecomprometemoentusiasmodosalunos.Portudoisso,estamossegurosdequemaisumimportantepassoemdireodemocratizaodoensinosuperiorpblicoede qualidade est sendo dado, desta vez, contribuindo tambm paraa melhoria da gesto pblica brasileira, compromisso deste governo.CelsoJosdaCostaDiretordeEducaoaDistnciaCoordenadorNacionaldaUABCAPES-MECSUMRIOApresentao....................................................................................................11Unidade 1 Conjuntos NumricosConjuntosNumricos...................................................................................15Conjuntos numricos fundamentais............................................................... 18Conjuntosdosnmerosnaturais............................................................19Conjuntosdosnmerosinteiros...............................................................19Conjuntosdosnmerosracionais...............................................................20Conjuntosdosnmerosirracionais...............................................................21Conjuntosdosnmerosreais...............................................................22Interval os...................................................................................23Conjuntos: vazio, unitrio, finito e infinito..................................................... 25Operaescomconjunto.............................................................................27Unidade 2 Produtos Notveis e FraesProdutosnotveis...................................................................................43Fraes..........................................................................................................48Operaescomfraes...............................................................51Unidade 3 Razes, Propores e PorcentagemIntroduo.....................................................................................................67Razo.....................................................................................................69Razesespeciais.........................................................................................70Proporo.....................................................................................................73Nmerosproporci onai s...............................................................75Regradetrssimpleseregradetrscomposta............................................76Porcentagem.....................................................................................................81Taxapercentual......................................................................................82Unidade 4 Potenciao, Radiciao e RacionalizaoIntroduo.....................................................................................................95Potenciao.....................................................................................................97Tipos de potenciao..................................................................................... 97Propriedades de potenciao......................................................................... 100Radiciao.....................................................................................................105Racionalizao..................................................................................................... 107Logaritmo e exponencial...................................................................................... 111Propriedades......................................................................................112Logaritmonatural......................................................................................113Unidade 5 Equaes de 1 e 2 Graus, Inequaes de 1 GrauEquaes do 1 grau com uma varivel.............................................................. 123Resoluo de uma equao............................................................................ 127Equaes do 2 Grau ou Equaes Quadrticas................................................. 133Inequaes do 1 Grau...................................................................................... 138Relao de Ordem em .............................................................................. 138Propriedades das desigualdades..................................................................... 139Consideraesfinais.................................................................................151Referncias....................................................................................................152Minicurrculo.................................................................................................... 15310BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica11Mdulo0ApresentaoAPRESENTAOOl,caroestudantedocursodeAdministraoPblica.Sejabem-vindo!EstamosiniciandoadisciplinadeMatemticaBsica.Elafoidesenvolvidacomobjetivoderevisaralgunscontedoseconceitos bsicos estudados no Ensino Fundamental e Mdio paraaplicarnocursodeAdministrao.Aoiniciarosestudosdestadisciplina,algumasperguntasdevempassarpelasuacabea:Qualoseucampodeaplicao?Qualasuautilidadeprtica?Bem,ocampodeaplicaobastanteamplo,poissuastcnicassonecessriaseseroempregadasnasdisciplinasquantitativasdeseucurso.Quantosuautilidadeprtica,vocpodeutilizarnoseucotidiano,como,porexemplo,calcularporcentagensdeganhoseperdas.Paratornararevisomaisprticaeagradvel,adisciplinafoi dividida em 5 (cinco) Unidades, todas elas com muitos exemploseatividades:Unidade1:Conjuntos;Unidade2:ProdutosNotveiseFraes;Unidade3:Razo,ProporoePorcentagem;Unidade4:Potenciao,RadiciaoeLogaritmo;Unidade 5: Equaes de 1 e 2 graus, Inequaes de 1 grau.Oscontedosqueabordaremosnestetextodi dti coenvolvemConjuntos,ConjuntosNumricos,Intervalos,Fraes,Potenciao,Radiciao,ProdutosNotveis,Razo,Proporo,12BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaPorcentagem,Equaesdo1e2grauscomumavariveleInequaesdo1Grau(desigualdades).Nasatividades,vocencontrarproblemasdeAdministraoqueutilizamosconceitosestudados.EssescontedosvoauxiliarvocduranteaaprendizagemdasdisciplinasMatemticaparaAdministradores,MatemticaFinanceiraeaEstatstica.Esperamos que voc tenha sucesso nos estudos que se propsafazeraoiniciarestadisciplina.Bonsestudos!Professores Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja.13Mdulo0ApresentaoUNIDADE1OBJETIVOSESPECFICOSDEAPRENDIZAGEMAofinalizarestaUnidadevocdeversercapazde:Identificareenumerarostiposdeconjuntos,taiscomovazio,unitrio,finito,infinito; Identificar os conjuntos numricos, a reta numrica e intervalos;eUtilizaroperaescomconjuntos,taiscomoainterseco,aunioeadiferena.CONJUNTOSNUMRICOS14BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica15Mdulo0Unidade1ConjuntosNumricosCONJUNTOS NUMRICOSCaroestudante!NestaUnidadevocirreverateoriadosconjuntos.Voclembra dessa teoria, do que ela trata, para que serve e como utilizada? Assim como em outros assuntos da Matemtica,tambmnateoriadosconjuntoscertasnoessoaceitassemdefinioafimdeserviremcomopontoinicialdeestudos, como primitivas. Na teoria dos conjuntos as noesconsideradasprimitivasso:Conjunto;Elemento;ePertinnciaentreelementoeconjunto.Vamosver,resumidamente,cadaumadelas?A noo de conjuntos, fundamental na Matemtica de nossosdias,nosuscetveldedefinioprecisaapartirdenoesmaissimples,ouseja,umanooprimitiva.FoiintroduzidopelomatemticorussoGeorgeCantor(18451918).Oconjuntoumconceitofundamentalemtodososramos da Matemtica. Intuitivamente, um conjunto uma lista, coleo ou classe de objetos bem definidos.Osobjetosemumconjuntopodemser:nmeros,variveis, equaes, operaes, algoritmos, sentenas,nomes, etc.16BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaEmMatemticaestudamosconjuntosde:nmeros,pontos,retas,curvas,funes,etc.Vejaaseguiralgunsexemplosdeconjuntos: Conjunto de livros da rea de Administrao em umabiblioteca; Conjunto dos pontos de um plano;ConjuntodasletrasdapalavraAdministrao;ConjuntodosconselhosregionaisdeAdministrao(CRA)existentesnoBrasil;e Conjunto de escritrios de Contabilidade da regio sul.NotaoVoc sabe para que utilizamos o termo notao?Normalmenteempregamos,nateoriadosconjuntos,anotao, para representarmos ou designarmos um conjunto de sinais.Vejaaseguir:Osconjuntossoindicadosporletrasmaisculas:A, B, C, ..., X, Y, Z; eOselementossoindicadosporletrasminsculas:a, b, c, ..., x, y, z.Assim podemos dizer que temos um dado conjunto A cujosseuselementossoa,b,c,d.Arepresentaodesteconjuntodadapelanotao:A = {a, b, c, d}que se l: A o conjunto finito cujos elementos so a, b, c, d.17Mdulo0Unidade1ConjuntosNumricosVocentendeucomosefazaleituradeconjunto?Leiaoconjunto a seguir. Conjunto dos nomes dos dias da semana que comeampela letra s:B = {segunda,sexta,sbado}Aquisegunda,sextaesbadosoelementosdoconjunto.Relao de pertinnciaParaindicarqueumelementoxpertenceounoaumconjuntoA,escreve-sesimbolicamente:xeAexeAel-se:xpertence a A e x no pertence a A.Relao de inclusoDizemosqueumconjuntoAestcontidoemumconjuntoB, se, e somente se, todo elemento de A tambm elemento de B. Notao: A c B ou BA. Simbolicamente: A c B x e A x e B.Graficamente:BA18BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaObservaes: A, C c A. Quando A c B, dizemos que A um subconjunto de B.CONJUNTOSNUMRICOSFUNDAMENTAISInicialmentefalamossobreconjuntosdeummodogeral.Vamos agora aprender um pouco mais sobre conjuntos numricos.Voc sabe definir que conjuntos so esses? Com certeza estapergunta no traz nenhuma dificuldade de resposta para voc.Mas,semudssemosaperguntapara:Quaisasaplicaesdos conjuntos numricos no dia a dia? Voc saberia responder?De modo geral, nossa pergunta no seria respondida de umaforma to direta, pois quando aprendemos e at quando ensinamosconjuntosnumricos,dificilmentevemosasuaaplicao,asuautilizao;oquetornamuitoscontedossemsentido.ParaaMatemtica,evidentequeosconjuntosdemaiorinteressesoaquelesformadospornmeros.Hcertosconjuntosnumricosquetmimportnciaespecialdevidospropriedadesdasoperaesentreseuselementose,porisso,recebemnomeconvencional.Vamos,ento,estudaressesconjuntosnumricos.19Mdulo0Unidade1ConjuntosNumricosCONJUNTODOSNMEROSNATURAISIniciamosnossoestudosobreconjuntosnumricospeloconjuntodosnmerosnaturais(N).Voc j se perguntou por que naturais?Isso mesmo porque, surgiram naturalmente da necessidadede contar objetos e seres. Por volta de 4000 antes de Cristo, algumascomunidadesprimitivasaprenderamausarferramentasearmasdebronze.Aldeiassituadassmargensdosriostransformavam-seemcidades.Avidaiaficandomaiscomplexa.Novasatividadesiamsurgindo,graas,sobretudoaodesenvolvimentodocomrcio.Osagricultorespassaramaproduziralimentosemquantidadessuperioresssuasnecessidades.Comisso,algumaspessoaspuderamsededicaraoutrasatividades,tornando-seartesos,sacerdotes,comercianteseadministradores. Como consequncia desse desenvolvimento, surgiuaescrita.Partindo-sedessanecessidade,passou-searepresentarquantidades atravs de smbolos. Observe que os nmeros naturaisvieram com a finalidade de contagem.O conjunto dos nmeros naturais :N = {0, 1, 2, ...}CONJUNTODOSNMEROSINTEIROSPertencemaoconjuntodosnmerosinteirososnmerosnegativos e tambm o Conjunto dos Nmeros Naturais.20BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaOs nmeros negativos so opostos aos nmeros positivos eospositivossoopostosaosnegativos.Vamos conhecer qual a notao para os conjuntos dos nmerosinteiros?Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Agoravamosconsiderarosnmerosinteirosordenadossobreumareta.Vejaafiguraaseguir:-3 -2 -1 0 1 2 3 4CONJUNTODOSNMEROSRACIONAISOconjuntodosnmerosracionaisumaextensodoconjunto dos nmeros inteiros com as fraes positivas e negativas,que denotamos por:Q = p, q e q 0 ? 0pqVoc est pronto para conhecer alguns exemplos de nmerosracionais? 21Mdulo0Unidade1ConjuntosNumricosi nteressante,quandofal amosdenmeroraci onal ,considerarmosarepresentaodecimalobtidapeladivisodeppor q, ou seja, pq.Exemplosreferentessdizimasexatasoufinitas:12= 0,5, = 1,25 e = 3,75.547520Exemplosreferentessdzimasinfinitasperidicas:Toda dzima exata ou peridica pode ser representadana forma de nmero racional.CONJUNTODOSNMEROSIRRACIONAISEst econj unt ocompost opord zi masi nf i ni t asnoperidicas, ou seja, os nmeros que no podem ser escritos na formadefrao(divisodedoisinteiros).Como exemplos de nmeros irracionais, podemos citar a raizquadradadedoisearaizquadradadetrs.Vejaaseguir:

2 1,4114213 = K; e3 1,732058.... =22BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaCONJUNTODOSNMEROSREAISOconjuntodosnmerosreais(R)umaexpansodoconjuntodosnmerosracionaisqueenglobanososinteiroseos fracionrios, positivos e negativos, mas tambm todos os nmerosirracionais,ouseja,Conjunto dos nmeros reais a unio dos conjuntosdos nmeros racionais e dos irracionais.Reta numricaUma maneira prtica de representarmos os nmeros reais atravs da reta real. Para constru-la, desenhamos uma reta e, sobreela,escolhemosumpontoarbitrrio,denominadopontoorigem,que representar o nmero zero e outro ponto arbitrrio a sua direita,o ponto 1.Adistnciaentreospontosmencionadoschamamosdeunidadedemedidae,combasenela,marcamosordenadamenteosnmerospositivosparaaquelessituadosdireitadaorigemeosnmerosnegativosparaossituadosesquerda.23Mdulo0Unidade1ConjuntosNumricosINTERVALOSSoparticularmenteimportantesalgunssubconjuntosdosnmeros reais, denominados intervalos, pois eles so fundamentaisnaaprendizagemdeMatemticaparaAdministradoresesoutilizadosparadefinirfunes,limite,continuidadeetc.Vocestpreparadoparaconheceralgunsexemplosdeintervalos? Ento, veja a seguir:Osnmerosdaretareal,compreendidosentre1e6,incluindoosextremos1e6,formamointervalofechado [1, 6], ou seja, [1, 6] = {x e , 1 s x s 6},cujarepresentaonaretarealaseguinte:1 6Ateno! As bolinhas cheias nos pontos 1 e 6 indicama incluso destes extremos no intervalo. Os nmeros da reta real, compreendidos entre 2 e 7, eexcluindoosextremos2e7,formamointervaloaberto(2,7),ouseja,(2,7)={xe,2 , cuja representao na retareal a seguinte:25Mdulo0Unidade1ConjuntosNumricos32 Os nmeros da reta real, situados esquerda de 2, eincluindo o prprio 2, formam ointervalo infinitofechadodireita(,2|,ouseja,(,2|={xe,xs2},cujarepresentaonaretarealaseguinte:28 Os nmeros da reta real, situados esquerda de 1, eexcluindo o prprio 1, formam o intervalo infinitoabertodireita(,1),ouseja,(,1)={xe,x 1} {x , 3 < x < 2}.b) {x , x < 2}{x , x > 0}.c) {x , 3 < x s 1} {x , x > 2}.d) {x , 2 < x s 3}{x , x < 1}.e) (,1) [4, +).32BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaEXEMPLOSPRTICOSVamos ver, agora, alguns exemplos prticos de conjuntos.Exemplo1.1APrefeituramunicipaldacidadedeAlegriapossui630 servidores. Destes, 350 trabalham com Oramento Pblico, 210trabalhamcomLegislaoTributriaeComerciale90trabalhamcomosdoistemas.Pergunta-se:a) quantos servidores trabalham apenas com OramentoPblico(OP)?b)quantosservidorestrabalhamapenascomLegislaoTributria(LT)?c) quantos servidores trabalham com Oramento PblicoouLegislaoTributria?d)quantosservidoresnotrabalhamcomnenhumdosdoistemas?Resoluo:Chamando:n (U) = nmero total de servidores = 630,n(OP)=nmerodeservidoresquetrabalhamcomOramentoPblico=350,n(LT)=nmerodeservidoresquetrabalhamcomLegislaoTributria=210,n(OPLT)=nmerodeservidoresquetrabalhamcomOramentoPblicoeLegislaoTributria=90.33Mdulo0Unidade1ConjuntosNumricos260LTU120OP90Conforme o diagrama apresentado anteriormente, voc tem:Se350servidorestrabalhamcomOramentoPblicoe90delescomOramentoPblicoeLegislaoTri but ri a, ent oonmerodeser vi doresquet rabal hamapenascomOrament oPbl i co350 90 = 260. Se 210 servidores trabalham com Legislao Tributriae90delestrabalhamcomambosostemas,entoonmerodeservidoresquetrabalhamapenascomLegislaoTributria21090=120. 260 + 90 + 120 = 470 servidores. 630 470 = 160 servidores.Exemplo 1.2 Suponha que numa conta bancria do tipo especial,voc tenha saldo positivo de R$ 527,00. Em seguida, voc d doischeques de R$ 78,50 e cinco cheques de R$ 84,20. Determine qualo seu saldo final.Resoluo:Nesteexemplovoctemoperaescomosconjuntos numricos. Ou seja, para saber o seu saldo final, fazemos:527,00 (2 78,50) (5 84,20) = 527,00 (157,00) (421,00) = 51,00Portanto, voc ficou com saldo negativo no valor de R$ 51,00.Para melhor compreenso vamos fazer um diagrama? Veja suaconstruo, na figura, a seguir:34BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaVamos ver se voc entendeu? Resolva o problema a seguir.A balana eletrnica do restaurante Comida Boa, quandovaziamarca0,450kg.Umclientecolocouoseupratocomarefeionabalanaeelamarcou0,750kg.Seopratoutilizadotinha0,450kg,quantosgramasdecomidahavianoprato?Seopreo do quilo da comida no restaurante de R$ 15,00, quanto oclientepagoupelarefeio?Resposta:OclientepagouR$11,25pelarefeio.Exemplo 1.3 O funcionrio do supermercado Bom Preo pesou5 pacotes de um certo produto. Cada pacote deveria ter 20 kg. Masuns tinham mais e outros menos de 20 kg. O funcionrio anotou adiferena (em kg) em cada pacote: 3 +1 1 1+2Determine o peso (em kg) dos 5 pacotes juntos.Resoluo:Aquivoctemoperaocomoconjuntodosinteirosrelativos.Voccalculaadiferenatotaldoscincopacotes,isto :( 3) + (+1) + ( 1) + ( 1) + (+2) = 2.Comoos5pacotesdeveriamterjuntos100kg,logoelestero 100 kg 2 kg = 98 kg.Portanto, os 5 pacotes juntos pesam 98 kg.35Mdulo0Unidade1ConjuntosNumricosVamos ver se realmente ficou claro trabalhar com conjuntos?Deixamos para voc resolver uma atividade a seguir.UmcarregadorvaisairdeumacmarafrigorficadoSupermercado Bom e Barato onde foi retirar carne bovina. Dentrodela,atemperaturade-19C;foradelaatemperaturade26C.Calculeadiferenaentreessastemperaturas.Resposta:Adiferenaentreastemperaturas45C.Exemplo 1.4 A varivel descreve o lucro que uma empresa esperaobterduranteoatualanofiscal.Odepartamentodevendasdessaempresaestimouumlucrodepelomenos6milhesdereais.Descrever este aspecto da previso do departamento de vendas nalinguagemmatemtica.Resoluo:Odepartamentodevendasrequerquex>6(em que a unidade milhes de reais). Isto equivale a dizer que napreviso do departamento de vendas x dever pertencer ao intervalo[6, ).36BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaAtividades de aprendizagemVamosverificarsevocestacompanhandoosestudospropostosatomomentonestaUni dade?Parai sso,procureresolverasatividadesaseguir.6.ASecretariaMunicipaldeSadedacidadedeArapongas,anali-sandoascarteirasdevacinaodas84crianasdacrecheDonaBenta,verificouque68receberamvacinaSabim,50receberamvacinacontrasarampoe12noforamvacinadas.Quantasdessascrianasreceberamasduasvacinas?7.DuascrechesdaprefeituramunicipaldeSossego,AeB,tmjun-tas 141 servidores. A creche B tem 72 servidores e as creches pos-suememcomum39servidores.Determinaronmerodeservi-doresdacrecheA.8.Doisclubes,AeB,tmjuntos141scios.OclubeBpossui72scioseosclubespossuememcomum39scios.DeterminaronmerodesciosdeA.9.Observeosaldobancriodosclientesabaixoeresponda:CLIENTEZaquelJai rMarceloJoelDani elDani el aKarol i neCarol i naSALDO (EM R$)+180,00-100,00-20,00+135,00-60,00+14,00+80,000,0037Mdulo0Unidade1ConjuntosNumricosa) Quais clientes esto com saldo acima de R$ 120,00 posi-tivos?b) Quais clientes esto com saldo abaixo de R$ 50,00 nega-tivos?c) Quais clientes esto com saldo abaixo de R$ 120,00 posi-tivos,masacimadeR$50,00negativos?10. Uma pessoa tem R$ 20.000,00 na sua conta bancria e faz, suces-sivamente,asseguintesoperaesbancrias:a) Retira R$ 1.200,00;b) Deposita R$ 15.800,00;c) Retira R$ 28.000,00;d) Retira R$ 9.600,00.Osaldofinalficapositivoounegativo?Emquanto?11. O limite do cheque especial do Sr. Epaminondas de R$ 3.000,00.Nofinaldoms,navsperadopagamentodaprefeituramunici-palemqueeraservidor,suacontaapresentavasaldonegativodeR$1.900,00.Nodiaseguinte,comseusalriocreditadoemcon-ta,osaldopassouaserpositivodeR$540,00.Determinarosal-riodoSr.Epaminondas.12. A temperatura num refrigerador da cantina da creche Dona Pepa,daprefeituramunicipaldeToror,erade15C.Faltouenergianacidadeeatemperaturadorefrigeradorsubiu9C.Aquetem-peraturaseencontraagoraorefrigerador?38BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaComplementando.....ParaaprofundarosconceitosestudadosnestaUnidadeconsulte:TeoriaElementardosconjuntosdeEdgarAlencarFilhodisponvelem:.Acessoem:1jun.2009.Ensino Superior: lgebra: Relaes de Ulysses Sodr e Matias J. Q.Neto,disponvelem:.Acessoem:1jun.2009.39Mdulo0Unidade1ConjuntosNumricosResumindoNestaUnidadevocrevisouanoointuitivadecon-juntos,tiposdeconjuntos,conjuntosnumricoseinterva-los.NaprximaUnidade,vocestudarprodutosnotveisefraes.40BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaRespostas dasAtividades de aprendizagem1. 52.2.a)[1,8]. b)(2,4). c)[1,2].d)[4,8]. e) {x e / x < 1 ou x > 4}.3.{1,3,6,8}.4.a){5,6,7,8,9}. b){1,2,5,6,7,8,9}. c) {2,8} .5. a) [1, 2). b) (, +) = . c)C.d)(,3]. e)(2,0].6. 46 crianas.7.108servidores.8. 108.9.a)ZaqueleJoel.b)JaireDaniel.c)Marcelo,Daniela,KarolineeCarolina.10. O saldo fica negativo em R$ 3.000,00.11. R$ 2.440,00.12. - 6 C.41Mdulo0ApresentaoUNIDADE2OBJETIVOSESPECFICOSDEAPRENDIZAGEMAofinalizarestaUnidadevocdeversercapazde:Compreenderprodutosnotveis;Operarcomfraes;eEmpregarasimplificaodefraesalgbricas.PRODUTOSNOTVEISEFRAES42BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica43Mdulo0Unidade2ProdutosNotveiseFraesPRODUTOS NOTVEISNestaUnidadevocvaiaprendertrstiposdeprodutosnotveis,conhecidoscomoquadradodesomadedoisnmeros,quadradodedi ferenadedoi snmerosediferena de quadrado de dois nmeros ou produto de somapel adi ferena.Essesprodutosfaci l i tamal gumassimplificaes.VoctambmvaiaprenderaindanestaUnidadeasfraes.Osprodutosnotveissoutilizadosparasimplificarfraesquandoenvolvemdivisesdefraes.Vamosiniciarnossoestudocomosprodutosnotveis.Lembre-se,contesempreconosco!Voc certamente j ouviu o termo produto notvel, no ?Comooprpri onomej di z, si gni f i camprodut os(multiplicao)quesedestacam.SoasmultiplicaesmaisfamosasdaMatemtica,quefacilitamalgumassimplificaes.Porisso,sorealmentemuitonotveis!Primeiro produto notvelVejamosumdestesprodutosnotveis:(a+b).Chamamoseste produto notvel, de quadrado da soma e sempre que o vemosno meio de uma expresso, podemos substitu-lo por a + 2ab + b.44BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica importante observarmos que (a+b) = a + 2ab +b.L-seamaisbaoquadradoigualaoquadradodoprimeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo,mais o quadrado do segundo.Masvocpodeestarseperguntando:deondetiramostudoisso? Veja a seguir!Sabe-sequeparacalcularumnmeroaoquadradobastamultiplicar este nmero por ele mesmo, por exemplo: 3 = 33, queiguala9.Entocalcular(a+b)ser(a+b)vezes(a+b),certo?Aplicandoapropriedadedistributivadamultiplicao,temos:(a+b) = (a+b)(a+b)= aa + ab + ba + bb= a + 2ab + b, pois ab= ba.Ento verdade que:(a+b) = a + 2ab + bGeometricamenterepresentamosesteprodutodaseguinteforma:baba b2a2aba b45Mdulo0Unidade2ProdutosNotveiseFraesObservequeoquadradodasomadedoistermosigualaoquadradodo1termo,maisduasvezesoproduto do 1 termo pelo segundo, mais o quadradodo 2 termo.Conhea alguns exemplos de produto notvel e no hesite emconsultar seu tutor em caso de dvida. (x+5) = x + 2 x 5 + 5 = x + 10x + 25. (2x+3) = (2x) + 2 (2x) 3 + 3 = 4x + 12x + 9. (a+b) = (a) + 2ab + (b) = a6 + 2ab +b4.Segundo produto notvelExistem trs produtos notveis que voc no pode deixar deconhecer.Oprimeirodelesacabamosdever.Osegundoprodutonotvelqueprecisamosteroconhecimento(antesdasprovas,claro) bem parecido com o primeiro. Veja:(ab) = a 2ab + bDe fato,(ab) = (ab)(ab)= aa + a (b) + (b)a + (b) (b)= a 2ab + b,poisa(b)=(b)a = ab e (b) ( b) = b.Observouqualadiferenaentreoprimeiroeosegundoproduto notvel?46BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaMuito bem a diferena o sinal de menos. Ento tudo o quevimosparaoanteriorvaletambmparaesteaqui!Ateno!Oquadradodadiferenadedoistermosigualaoquadradodo1termo,menosduasvezesoproduto de 1 termo pelo segundo, mais o quadradodo 2 termo.Conhea alguns exemplos do segundo produto notvel. (x5) = x + 2 x (5) + (5) = x 10x + 25. (2x3) = (2x) + 2 (2x) (3) + (3) = 4x 12x + 9. (ab) = (a) + 2a (b) + (b) = a6 2ab +b4.Terceiro produto notvelOterceiroprodutonotvelchamadoprodutodasomapeladiferena.Veja:(a+b) (a b) = a bEste muito fcil de calcular. O importante voc saber queneste caso o resultado ser o quadrado do primeiro termo (a) menoso quadrado do segundo termo (b). Veja:(a+b) (a b) = a a + a (b) + b a + b (a)= a ab + ba + b = a b.47Mdulo0Unidade2ProdutosNotveiseFraes Vamosveralgunsexemplos: (x 5) (x + 5) = x 5 = x 25. (2x + 3) (2x 3) = (2x) 3 = 4x 9. (a + b) (a b) = (a) b = a4 b. (x +y ) (x y ) = (x ) (y ) = x y.Resumindo, os trs produtos notveis so dados por:(a+b)(a+b)ou(a+b),quadradodasomadedois termos. (a b) (ab) ou (ab), quadrado da diferena dedois termos. (a b) (ab), produto da soma pela diferena dedois termos.48BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaFRAESIniciamosestaseocomumapergunta.Paravocoqueuma frao?Frao um nmero que exprime uma ou mais partes iguaisem que foi dividida uma unidade ou um inteiro.Assim,porexemplo,setivermosumabarradechocolatei nt ei raeadi vi di mosemquat ropart esi guai s, cadapart erepresentar uma parte da barra de chocolate, ou seja, uma fraodabarradechocolate.Vejaaseguirmaisumexemplo:Uma pizza inteira Quatro fatias iguais da mesma pizza11/41/41/41/4144 x49Mdulo0Unidade2ProdutosNotveiseFraesSequi sermossaberQualosignificadodeumafrao?,entodizemosqueumafraosignificadividiralgoempartes iguais. Assim: ab indica a : b, sendo a e b nmeros naturais e bdiferente de 0, onde a representa o numerador e b, o denominador.Onumeradorindicaquantaspartessotomadasdointeiroe o denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendoque este nmero inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.Quando o numerador 1 e o denominador um inteiro maiorque 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.Por exemplo, 112 : leitura um doze avos.Leitura de fraes12132458MetadeUm teroDois quartosCinco oitavosNove stimosTrs quartosUm dezoito avos9734118Aseguirresolveremosalgunsexemplosprticosdefraes.50BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaExemplo 2.1 Um livro de Matemtica tem 200 pginas. Uma alunajleu 25desselivro.Quantaspginasfaltamparaelaterminaraleitura?Resoluo:Esteumexemplotpicodefraes.Pararesolverprosseguirmosassim:25x 200 = = = 802 2005x 4005.Encontramos 25comosendo80,ouseja,elajleu80pginas do livro. Como o livro tem 200 pginas, logo, 200 80 =120aresposta,ouseja,aindafaltam120pginasparaterminaro livro.Deixamos para voc resolver a atividade a seguir. Veja se vocentendeu.No armazm do senhor Natanael Bom de Bico h uma latacom 10 kilos de azeitona que ele pretende embalar em pacotes de14kg.Quantospacoteselevaiconseguirfazer?Resposta:40pacotes.Igualdade de fraesDuas fraes abcde so iguais se e somente se a d = b c,ouseja,abcd= ad = bc, b = 0 e d = 0.51Mdulo0Unidade2ProdutosNotveiseFraesNest escasosdi zemosqueasf raes abcdesoequivalentes.Conhea a seguir alguns exemplos de igualdade de fraes: =35915, pois 3 15 = 9 5 = 45.Calculeovalordex,demodoqueasfraessejamiguaisouequivalentes.=1x48.Apl i candoadefi ni odei gual dadedefraespodemosescrever:=1x48 1 8 = 4 x,ouseja,8 = 4x x = = 284.OPERAESCOMFRAESNestasubseovocvaiaprendersobreoperaescomfraes,taiscomosoma,diferena,produtoedivisodefraes.Estasoperaessoimportantesparasimplificarmosasfraes.Soma e diferena de fraesPara fazermos a soma ou a diferena entre fraes devemosprimeiramenteverificarseosdenominadoressoiguais.52BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaSe forem iguais, basta somar ou subtrair o numerador, poisestaremossomandoousubtraindopartesiguaisdointeiro.Vejaos exemplos:+1737=47. Mascasoosdenominadoressejamdiferentes,devemosencontraromnimomltiplocomum(m.m.c.)etransformaremfraesdemesmodenominadorparadepoisefetuarmosasoperaes.Vamosresol veral gunsexempl osparaveri f i carseuentendimento?Exemplo2.2Simplifiqueaseguintefrao: +2358.Resoluo:Parareduziraomesmodenominadorvocdetermina o menor mltiplo comum (m.m.c.) de 3 e 8 que 24, ouseja,m.m.c.(3,8)=24.Logo:+2358= .23+8858= .33+16241524=16 + 15243124= .Portanto,+2358=3124.Exemplo2.3Simplifiqueafraoaseguir: +1234.Resoluo:Aqui,om.m.c.de2e44,ouseja,m.m.c(2,4) = 4 e vem:53Mdulo0Unidade2ProdutosNotveiseFraes+1234= +2434=2 + 3454=.Portanto,+123454=.Exemplo2.4Simplifiqueaseguintefrao: + + .4531016Resoluo:Aqui voctemasomadetrsfraes.Calculandoom.m.cde(5,10,60)temoscomoresultadoonmer o30, ousej a, m. m. c( 5, 10, 60) =30. Ent oasimplificaoficaassim:+ + =4531016+ + =243093053024 + 9 + 5303830=1915. =Portanto,+ + = .45310161915Exemplo2.5Simplifiqueafrao _.3527Resoluo: O m.m.c. de 5 e 7 35, logo:_=_=3527213510351135.Portanto,_=35271135.54BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica. = = .23452.43.5815. . = = .14351.3.24.5.7614027+ .2345_+ .+_. 45728121443Paraconferirsevocestacompanhando,deixamostrsalternativasparavocresolverantesdeprosseguirseusestudos!a)b)c)Resposta:a)b)c)Produto de fraesO produto de fraes implica na multiplicao do numeradorcomonumeradoredodenominadorcomodenominador.Senecessrio,simplifiqueoproduto.Para b e d diferentes de zero, temos:abcd. = .acbdPor exemplo,55Mdulo0Unidade2ProdutosNotveiseFraes57 92=.=.4514 295723 14== . = = =.212 42323412.12.616//Vocpodesimplificaroitem(ii)daseguintemaneira:Diviso de fraesNadivisodefraes,vamosmultiplicaraprimeirafraopeloinversodasegundaesenecessriodevemossimplificar.Considerando abe cdduasfraes,ondebecsodiferentes de zero, a diviso entre essas duas fraes dada porab dc= =.adbccdabConhea a seguir alguns exemplos de diviso entre fraes.56BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaAgorasuavez!Deixamosparavocresolverasseguintesfraes:a) 35.110b) 325.Resposta:a) 6b) Asegui rapresentaremosal gunsexempl osresol vi dosenvolvendoasfraeseclculosalgbricos.Exemplo2.6Simplifiqueafrao: 23113711 .Resoluo: 23113711 =27// //.Aqui neste exemplo podemos observar que 3 e 11 so comunsao numerador e ao denominador. Nesta situao podemos cancel-losparaencontrarmosasimplificao.Exemplo2.7Simplifiqueafrao: 25abcabx.Resoluo: 25abcabx=2.5.a.b.ca.b.x=.25cx// //Nessafraoobservequeaebestononumeradoredenominador, ento novamente voc pode cancelar, desde que elessejam diferentes de zero, isto , a = 0, b = 0.57Mdulo0Unidade2ProdutosNotveiseFraesExemplo2.8Simplifiqueafrao: a +aba b_.Resoluo: a +aba b_=a .(a +b)(a +b).(a_b)=a(a_b)//.Nessafraonosdeparamoscomasexpressesa+abeabcomofatores.Utilizandoosprodutosnotveis,isto:a+ab = a(a+b) e ab = (ab)(a+b), conseguimos cancelar (a+b)no numerador e no denominador.Vejaseentendeu.Procureresolverasoperaesdefraesque separamos para voc.a) Resposta: b) 2y 5yx 2a6: ._Resposta: Exemplo2.8Simplifiqueafrao: x _2y2y _x.Resoluo: x _yy _x22=_y _xy _x(2 )2=_11=_1.Nessafraovocprimeirocoloca()emevidncianonumerador e depois cancela 2y x (2y = x) que est no numeradore no denominador e obtm como resultado final 1.58BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaExemplo2.9Simplifiqueafrao: x+x _525.Resoluo: Observe que nesta frao primeiro fatoramos o denominadoraplicandooprodutonotvelab=(a+b)(ab)edepoiscancelamosx+5paraencontrarasimplificao.Exemplo2.10Simplifiqueafrao: 52a+.3xResoluo: 52a+=3x5 + 62x aax, pois m.m.c. (2a, x) = 2ax.Exemplo2.11Simplifiqueafrao: 2xy+_.13xyyx 4Resoluo: O m.m.c. (y, 3xy, 4x) = 12xy.Logo,Exemplo2.12Simplifiqueafrao: 21 x __5 1xx_4.Resoluo:Note,nesteexemplo,queosdenominadoresapresent amamesmaexpresso. Nest asi t uaobast asimplificarmososnumeradoresjuntandosuasexpresses.Observeaseguir:21 x __5 1xx_4=21 x __5x4.59Mdulo0Unidade2ProdutosNotveiseFraesVejasevocentendeuaresoluodasfraesresolvendoasseguintesfraes:a) 53 ab:4b3a 5._b) Resposta:a) b) 60BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica( 4). x _x _13( (.2( (.x2_2( (x2+25( (34x_ .Atividades de aprendizagemAntesdeprosseguirmosvamosverificarsevocentendeutudoataqui!Parasaber,procure,ento,realizarasatividadesaseguir.Casotenhadvidas,faaumareleituracui dadosadosconcei tosouresul tadosai ndanoentendidos.1.Desenvolvaosprodutosnotveisabaixo:a)b)c)d)2.Simplifiqueasfraesabaixo:a) 11.13.2311.23.29.b) 80200.c) ac cc_ _c.d) 3 33c + y_3a.e) x _x257_35.61Mdulo0Unidade2ProdutosNotveiseFraes3.Efetueasdivises:a) 37xa._:bx 2b) xa+1._:xa4 _1c) x + yx 7_7y._:x + xyx 74.Efetueasmultiplicaes:a) x +x2.x 2x 2.b) aa 4.a a 16x.c) 15ax 4.xy + ya25.5.UmlivrodeAdministraoFinanceiratem156pginas.AalunaMartaRochajleu 913desselivro.Quantaspginasfaltamparaelaterminaraleitura?6.NaPrefeituraMunicipaldeVitalidadeoprofessordeAtividadesEsportivasverificouque 13dosservidorespraticavoleibol.Seaprefeituratem42servidores,quantosservidores:a)praticamvoleibol?b)nopraticamesteesporte?7.UmalunodocursodeAdministraoPblicanamodalidadeadis-tnciadaUABobrigadoafrequentar,nomnimo 34donmerodehorasaulasdadasduranteoperodoletivo.Seforemdadas900horasaulas,quantashorasaulas,nomnimo,eleterquefrequentar?62BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica8.AsecretariadeobrasdaprefeituradeBomDescansotememseualmoxarifado7.225azulejos.Elestmoformatoquadradoesotodosdomesmotamanho.Usandotodosessesazulejos,elapre-tenderevestirumaparedequadradadacozinhadacrecheTiaLili.Quantosazulejosserocolocadosnaparede?Complementando.......ParaaprofundarosconceitosestudadosnestaUnidadeconsulte:Vencendo a matemtica de Miguel Assis Name.ProdutosnotveisdePaulaRosedisponvelnodoPortalInteraulaAcessoem:1dejun.2009.EnsinoFundamental:FraesdePatrciaE.SilvaeUlyssesSodr,disponvelem:Acessoem:1dejun.2009.63Mdulo0Unidade2ProdutosNotveiseFraesResumindoNestaUnidadevocaprendeucomooperaresimplifi-carfraes,bemcomofazersimplificaoalgbrica.Apren-deutambmasnoesbsicasdeprodutosnotveis.Apar-tirdaprximaUnidadeiremosestudarrazes,proporeseporcentagem.64BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaRespostas dasAtividades de aprendizagem1.a) x 8x + 16 b)x_2319. x +c) x4_. 4d) 9 x16_35425. x +2. a) 1329. b) 25.c) ac 11.d) e) 3. a) 67xab.b) ax 1.c) 1x y.4. a) x 42 x.b) ax+ 4.c) 32yx .5. 48 pginas.6. a) 14. b) 28.7. 675 horas aulas.8.85azulejos.65Mdulo0ApresentaoUNIDADE3OBJETIVOSESPECFICOSDEAPRENDIZAGEMAofinalizarestaUnidadevocdeversercapazde:Descreverecalcularrazo,proporoeporcentagem;Aplicarregradetrs;eAplicargrandezasdiretamenteproporcionais.RAZES,PROPORESEPORCENTAGEM66BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica67Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagemINTRODUOCaroestudante!OquevamosaprendernestaUni dadetemgrandeimportncia,noapenasemMatemticacomo,tambm,em sua vida. Estudaremos assuntos relacionados aplicaodos conceitos de razo, proporo e porcentagem, assuntosconstantesemnossocotidiano.Trabalharemosproblemassi mpl eserpi dos,comoumdescontonumal oj aemliquidaoeproblemasmaiscomplexosrelativosinflaooutaxadejuros,porexemplo.Paratantonecessrioquevocdedi que-seaoestudodestaUni dade,aproveitando-sedestemomentoquefundamentalparasua formao. Leia, pesquise, realize as atividades e busqueauxliodeseututoremcasodedvidas.Bonsestudos.Trataremosderazo,conceitoantigoeessencialparaoconhecimento matemtico e que, a princpio, usado para compararduasquantidadesouduasmedidas.Nasociedademoderna,oconceitoderazosurgenosjornaisenasrevistasparacomunicara concentrao de pessoas em uma determinada cidade ou o fluxode carros em um pedgio. Aparece tambm nas mais variadas reasdoconhecimento,sempreparamelhoraracomparaodevriosdados de um problema.OutrotermoqueiremosestudarnestaUnidadedizrespeito proporo. Embora sem empregar smbolos matemticos fazemosusodaproporoemnossaspalavraseemnossodiaadia.Porexemplo,quandofazemosumcomentriosobreaconstruodeumviaduto,dizendoqueeletemumaextensomuitogrande,68BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicanoestamosnosreferindomedidaabsolutadaextensodoviaduto.Emumviaduto,asuaextensopodeser"muitogrande",mesmo medindo a metade, um quarto ou um dcimo da extensoverdadeira;muitograndeproporcionalmenteaoconjuntodetodooviaduto.Oestudodasproporesparans,nestaUnidade,deinestimvelvalor,poistodosostpicosaseremdesenvolvidos tm nas propores o seu alicerce.OutroassuntoqueiremosabordarnestaUnidaderefere-sesporcentagensquesoutilizadasdesdeofinaldosculoXVetm grande presena na Economia, na Geografia e em vrias outrasreas da atividade humana, como calcular taxas de juros e tambmganhos e perdas. Na Antiguidade, no tempo do imperador romanoAugusto, os soldados tinham parte do seu salrio descontado e estevaloreracalculadomedianteumataxa(razode1para100)denominadacentsimarerumvenalium.Osmbolo%,usadoathoje,foicriadonosculoXVIIporcomerciantesingleses.69Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagemRAZOA palavra razo vem do latim ratio e significa a diviso ou oquociente entre dois nmeros a e b, denotada por abou a : b, ondea chamado de antecedente e b chamado de consequente.Assimpodemosdenominarcomorazodedoisnmeros,diferentesdezero,oquocienteformadoporeles.Porexemplo,suponhamos que numa sala de aula haja 35 estudantes, sendo 28destes, homens. Observe que a razo entre o nmero de estudanteshomens e o total de estudantes da sala dada por 2835.Conheaagoramaisalgunsexemplosderazo: Das 200 pessoas entrevistadas, 70 preferem o candidatoA. Isto , 70200=720. Ou seja, de cada 20 entrevistados,7 preferem o candidato A.Dos1.200inscritosnumconcurso,passaram240candidatos.Isto, 2401.200=15.Ouseja,decada5candidatosinscritos,1foiaprovado. Paracada100convidados,75erammulheres.Isto,75100=34. De cada 4 convidados, 3 eram mulheres.70BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaRazes inversasConsideramos razes inversas aquelas cujo produto iguala1,ouseja, a.bb a=1,oqueimplicaqueasrazes aebb asoinversas. Por exemplo, as razes 34 e 43 so inversas, pois:3.44 3= = 1.1212RAZESESPECIAISGrandezaumarelaonumricaestabelecidacomumobjeto.Assim,aalturadeumedifcio,ovolumedeumtanquedecombustvel,opesodeumequipamento,aquantidadedehorasparaexecutarumatarefa,entreoutros,sograndezas.Grandeza tudo que voc pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.Aseguirexplicaremosrazesespeciaisentregrandezasdiferentesconsiderandosituaesprticas,porexemplo,consumomdio,velocidademdia,densidadeetc.Velocidade mdiaA velocidade mdia a razo entre a distncia percorrida eo tempo gasto em percorr-la. Por exemplo, imagine que uma pessoafez o percurso Rio de Janeiro So Paulo (450 km) em 5 horas.Voc sabe qual a razo entre as medidas dessas grandezas e oque significa essa razo?Razo = = 90Km/h.450Km5h71Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagemMuitobem,estarazonosinformaqueacadahoraforampercorridosemmdia90km.Nestecaso,avelocidademdiafoicalculadapelarazoentredistnciapercorridaetempogasto.Consumo mdioOcalculodoconsumomdioimplicaemdeterminarmosamdiadeconsumoparaumadadadistncia.SuponhaqueseuamigofoideSoPauloaCampinas(92km)decarroegastounesse percurso 8 litros de combustvel. Qual a razo entre a distnciaeocombustvelconsumido?Oquesignificaestarazo?Razo = = 11,5Km/litro.92Km8litrosObservequeacadalitroconsumidoforampercorridosemmdia11,5Km,ouseja,oconsumomdiofoicalculadosobreadistnciapercorridadivididapelocombustvelgasto.Densidade demogrficaAdensidadedemografiaarazoentreonmerodehabitantesdeumaregioeareadessaregio.Porexemplo,oestadodoCear,emumdeseuscensos,teveumapopulaoavaliadaem6.701.924habitantes.Suareade145.694Km.Determinearazoentreonmerodehabitanteseareadesseestado.Oquesignificaessarazo?Razo = = 46 hab/Km.6.701.924 hab145.694KmSignificaqueemcadaquilmetroquadradoexistememmdia46habitantes.72BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaAtividades de aprendizagemAgorachegouahoradeanal i sarmossevocestentendendo o que estudamos at aqui! Para saber, procure,resolverasatividadespropostasaseguir.Lembre-se:vocpodecontarcomoauxiliodeseututor.1. Numa classe de 40 alunos, 32 foram aprovados. Determine a razoentreonmerodealunos:a)aprovadoseototaldealunos;b)reprovadoseototaldealunos;ec)aprovadoseonmerodealunosreprovados.2.Numasaladadefrutasforamutilizados4abacaxis,20bananas,8laranjas, 6 mas e 2 mames. Determine a razo entre o nmero:a)deabacaxiseonmerodelaranja;b)delaranjaseonmerodebananas;c)demaseonmerodemames;d)debananaseonmerodelaranjas;e)debananaseototaldefrutas;ef)totaldefrutaseonmerodemames.3. O pas ZZZ tem uma rea de 500.000 Km e uma populao de 40.000habitantes.Qualasuadensidadedemogrfica?4. A populao do Estado AAAAAA de 16.400.000 habitantes, sendo5.528.000 mulheres. Qual a razo entre o nmero de mulheres e onmerodehabitantes?73Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagemPROPOROChamamosdeproporoacomparaoentreduasrazes.Assim para entendermos o que uma proporo devemos saber oquerazo,jqueproporoaigualdadededuasrazes.Porexemplo: 34= 2736umaproporo,pois3:4=27:36,epodemos ler assim: 3 est para 4 assim como 27 estpara36. 56= 1012 uma proporo, pois 5 : 6 = 10 : 12. 27=621 uma proporo, pois 2 : 7 = 6 : 21.Dados quatro nmeros racionais a, b, c e d, no nulos,nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporoquando a razo do primeiro para o segundo for igual razo do terceiro para o quarto. Assima cb d=ou a : b = c : d,onde a e d so osextremos e b e c so osmeios.74BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaPropriedadesAsproporesapresent amal gumaspropri edadesfundamentais,dadasaseguir.P1. Em toda proporo, o produto dos meios igual aoproduto dos extremos.a cb d= a d = b cExemplos: 512= 1024 5 24 = 12 10. 27=621 2 21 = 7 6.Determineovalordesconhecidonaproporo58= 15x obtido da seguinte forma:5 x = 8 15 5x = 120 1205x= = 24.P2. A soma (diferena) dos antecedentes est para a soma(diferena)dosconsequentes,assimcomocadaantecedente est para o seu consequente, ou seja numaproporo ab=cd, temos: a + cb + d= , ouaba + cb + d=.cd a cb d= , ouaba cb d=.cdExemplo:Na proporo, 1524=58 voc tem15 + 524 + 8=ou=,152415 + 524 + 85875Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagemouainda,15 524 8=ou=.152415 524 858NMEROSPROPORCIONAISHdoistiposdeproporcionalidadeentreosnmerosracionais,umadiretamenteeoutraindiretamente.Diretamente: Osnmerosraci onai sa,becsodiretamenteproporcionaisaosnmerosracionaisx,yezquando se tem:ax= = =byczk, onde k uma constante.Exemplo3.1 Verificarseosnmeros4,10e30sodiretamenteproporcionais aos nmeros 8, 20 e 60.Resoluo: Voc tem a=4; b=10 e c=30, x=8; y=20 e z=60.Logo,48=,=,=.12102012306012Como 48= = =,1020306012portanto,osnmeros4,10e30so diretamente proporcionais aos nmeros 8, 20 e 60 e k=.12Exemplo 3.2 Verificar se os nmeros 12, 48 e 96 so diretamenteproporcionais aos nmeros 20, 80 e 160. Logo,Resoluo:Como 1220= = =,48809616035podemosdizerqueos nmeros 12, 48 e 96 so diretamente proporcionais aos nmeros20, 80 e 160 ek=35 uma constante.76BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaInversamente: Osnmerosraci onai sa,becsoinversamenteproporcionaisaosnmerosracionaisx,yezquando se tem:x a = y b = z c = k, onde k uma constante.Exemplo3.3Veri f i carseosnmeros120, 30e16soinversamenteproporcionaisaosnmeros2,8e15.Resoluo.Voctema=120;b=30ec=16,x=2;y=8ez=15. Logo,120 2 = 240 30 8 = 240 16 15 = 240.Como 120 2 = 30 8 = 16 15 = 240, portanto os nmerosso inversamente proporcionais e k = 240.Exemplo3.4Verificarseosnmeros2,3e6soinversamenteproporcionais aos nmeros 18, 12 e 6.Resoluo. Como 2 18 = 3 12 = 6 6 = 36, podemosdizer que os nmeros 2, 3 e 6 so inversamente proporcionais aosnmeros 18, 12 e 6 e k = 36 uma constante.REGRA DE TRS SIMPLES E REGRA DE TRS COMPOSTAAregradetrssimplesumprocessoprticopararesolverproblemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trsdeles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs jconhecidos.Podemos dizer ainda que a regra de trs uma tcnica pararesolver problemas que envolvem duas grandezas proporcionais, ea regra de trs composta uma tcnica para resolver problemasque envolvem mais de duas grandezas.77Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagemQuandoduasgrandezasvariamsemprenamesmarazodaoutra,dizemosqueessasgrandezassodiretamenteproporcionais.Quandovariamsempreumanarazoinversadaoutra,dizemosqueessasgrandezassoinversamenteproporcionais.Exemplo 3.5 Um ingresso de show custa R$ 20,00, ento, o custode 5 bilhetes ser?Grandeza 1: Nmero do bilheteGrandeza 2: Preo do bilheteResoluo: 1 bilhete = R$ 20,00 5 bilhetes = R$ 20,00 5 Total: R$ 100,00Chegou a sua vez! Veja se voc entendeu resolvendo a questoque separamos para voc.Um automvel percorre um espao de 200 km em 4 horas. Quantoskm ele percorrer em 6 horas?Resposta:300km.Passosutilizadosnumaregradetrssimples:1passo: Construi rumatabel a,agrupandoasgrandezas da mesma espcie em colunas e mantendonamesmalinhaasgrandezasdeespciesdiferentesem correspondncia.2passo: Identificar se as grandezas so diretamenteou inversamente proporcionais.3passo: Montar a proporo e resolver a equao.78BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaAteno: como sugesto inicialmente voc pode colocar umasetaparabaixonacolunaquecontmagrandezaprocurada.Emseguida, nas demais colunas, voc coloca a seta na mesma direopara as grandezas diretamente proporcionais e em direo contrriaparaasgrandezasinversamenteproporcionais.Paraummelhorentendimentoacompanhecomatenoosexemplos, a seguir, que separamos para voc.Exemplo3.6Umtratorfaz150metrosdeestradaem30dias.Trabalhando do mesmo modo em quantos dias far 350 metros deestrada?Resoluo:Comprimento (m) tempo (dias)150 30350150350x30x x = 70 dias.=Portanto,trabalhandodomesmomodootratorfar350metros de estrada em 70 dias.Exemplo3.7Umautomvelcomvelocidademdiade80Km/hpercorrecertadistnciaem5horas.Emquantotempopercorreressamesmadistnciaemvelocidademdiade100Km/h?Resoluo:Velocidade (Km/h) tempo (dias)80 510010080x5x x = 4 horas.=79Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagemObserve que o tempo para percorrer a mesma distncia de4horas.Agora se voc precisar resolver problemas com mais de duasgrandezas, direta ou inversamente proporcionais, voc deve utilizararegradetrscomposta.Vejaalgunsexemplos.Exemplo 3.8 Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160 m deareia.Em5horas,quantoscaminhesseronecessriosparadescarregar125m?Resoluo:Igualando a razo que contm o termo com o produto dasoutras razes de acordo com o sentido das setas, voc tem20x=x16012558 = 25. xPortanto,seronecessrios25caminhes.Teste seu entendimento resolvendo a atividade a seguir.Umpintor,gasta5galesdetintaparapintarummurode20 metros de comprimento e 5 metros de altura. Quantos gales elegastariaparapintarummurode15metrosdecomprimentoe3metrosdealtura?Resposta:2,25gales.80BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaAtividades de aprendizagemVamosverificarsevocestacompanhandotudoataqui!Parasaber,procure,ento,respondersati vi dadespropostasaseguir.Casotenhadvidas,faaumareleituracui dadosadosconcei tosouresul tadosai ndanoentendidos.5. Determine o valor dek, sabendo que os nmeros 4k 1, 50,k+5 e20formamumaproporonessaordem.6. Num restaurante, de cada 10 cervejas vendidas, 6 so da marca D.Numdomingoforamvendidas500cervejas.QuantascervejasdamarcaDforamvendidas?7.Umavioconsome400litrosdegasolinaporhora.Calculeocon-sumodessaaeronaveem3,5horasdevo.8.Determineovalordesconhecidonasproporesabaixo.a) xx + 32 1=, . x4512b) 34=, x 0.1578x81Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagemPORCENTAGEMAporcentagempodeserdefinidacomoacentsimapartede uma grandeza, ou o clculo baseado em 100 unidades. comumas pessoas ou o prprio mercado usarem expresses de acrscimooureduonospreosdeprodutosouservios.Vejaalgunsexemplos: O Leite teve um aumento de 25%. Isto quer dizer queem cada R$ 100,00 houve um acrscimo de R$ 25,00. O cliente teve um desconto de 15% na compra de umacala jeans. Isto quer dizer que em cada R$ 100,00 aloja deu um desconto de R$ 15,00.Seemumaempresa,decada100funcionrios,75sodedicadosaotrabalho,podemosdizerque,dosfuncionriosquetrabalhamnaempresa,75%sodedicados.Tambmobservamosexemplosdeporcentagememnossodiaadia,atravsdeexpressescomo: Desconto de at 40% na grande liquidao de inverno. A inflao registrada em maio de 2008 foi de 1,23%. O rendimento da caderneta de poupana foi de 4,15%notrimestre. 25% da populao da cidade B preferem o candidatoAnaeleioparapresidentedaRepblica.Todas estas expresses envolvem uma razo especial qualdamos o nome de porcentagem ou percentagem.82BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaTAXA PERCENTUALSuponhamosqueumalunotenhaacertadoemumexame12das15questesapresentadas.Arazoentreonmerodequestesacertadaseonmerototaldequestes 1215.Sabemosque esta razo pode ser representada por uma infinidade de numeraisracionais:121545= = = = =...810202580100Quandoumarazoforapresentadacomoconsequente(denominador) 100, no nosso exemplo 80100, ela chamadarazocentesimal.Exemplo 3.9Escrevaarazo 34emformadetaxapercentual.Resoluo: 34x100= = 75. xPortanto, 34 na forma de taxa 75%.Exemplo3.10Escreva2,5%emformaderazoirredutvel.Resoluo: 2,5100140=.2,5% =Portanto, 2,5% na forma de razo irredutvel 140.Elementos do clculo percentualVi mosque:1215=80100,ondeao12denomi namospercentagem, ao 15, principal e ao 80, taxa, ou seja,83Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagempercentagemprincipal=taxa100.Observeasseguintesdefinies:Taxaovalorquerepresentaaquantidadedeunidades tomadas em 100.Notao: i.Percentagemovalorquerepresentaaquantidadetomada de outra, proporcionalmente a uma taxa.Notao: p.Principalovalordagrandezadaqualsecalculaapercentagem.Notao: P.Oprincipal,apercentagemeataxasooselementosdoclculo percentual. E, genericamente tem-se que:Pode-setambmrepresentaraexpressoaci mapor:pP i x100=.Exemplo3.11Umvendedortem4%decomissonosnegciosquefaz.QualsuacomissonumavendadeR$460,00?Resoluo:1Resoluo 2ResoluoP = 460,00 e i = 4.100% R$ 460,004% pAssim,p4604100= p460 4100x=.= 18,40 100% p = 4% R$ 460,00Portanto, a comisso de R$ 18,40.84BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaExemplo3.12Emumcolgio,28%dosalunossomeninas.Quantos alunos possui o colgio, se elas so em nmero de 196?Resoluo:1Resoluo 2ResoluoP = 196 e i = 28.100%28% 196PAssim,100% 196 = 28% PP = 700.Logo, o colgio possui 700 alunos.Vejasevocestacompanhandoasexplicaes.Resolvaaatividade a seguir:UmautomvelfoiadquiridoporR$20.000,00evendidocom um lucro de R$ 2.400,00. Qual a percentagem, de lucro?Resposta:12%.Exemplo3.13EmumsupermercadoopreodalatadeazeitemarcaSade,emdeterminadoperododetempo,subiudeR$5,97 para R$ 6,25. Qual o percentual de aumento?Resoluo:Esteexemplotratadeproporo,quevocverificacomfrequnciaemvriossupermercadosdesuacidade.Paracal cul aroaumentovocinicial mentecal cul afazendo6,255,97=0,28,ouseja,alatadeazeitesubiuR$0,28,logoR$ 0,28 est para R$ 5,97 assim como x est para 100, onde x opercentualdeaumento,assimaplicandoaregradetrstemos:85Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagemPortanto, o percentual de aumento de 4,69%.Avalie seu entendimento resolvendo a atividade a seguir.UmimvelfoivendidoporR$75.000,00,recebendoointermedirio4%dacomisso.Calculeacomisso.Resposta:R$3.000,00.Agora mudamos um pouco o enunciado da atividade anterior.Busqueresolverestanovasituao.Um corretor de imveis recebe R$ 75.000,00 pela venda deduas casas, tendo sido de 4% a taxa de comisso. Qual o valor devendadaspropriedades?Resposta:R$1.875.000,00.86BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaAtividades de aprendizagemParasabersevocestentendendo,procureresolverasati vi dadespropostasasegui r.Semprequesenti rdi fi cul dades,retorneaosconcei toseexempl osapresentadosesenecessriobusqueoauxliodeseututor.Bonsestudos!9.Emumaliquidao,umacamisaquecustavaR$46,00foivendidacom15%deabatimento.Dequantofoioabatimento?10.UmcorretordeimveisrecebedecomissoR$84.000,00pelavenda de duas casas, tendo sido de 6,5% a taxa de comisso. Qualovalordevendadaspropriedades?11. Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 3.500,00; quantos porcentodadvidaforampagos?12.Escrevasobaformadetaxapercentualcadaumadasseguintesrazes:a) 25.b) 120.c) 52.d) 0,24.e)0,012.87Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagem13.Escrevaastaxaspercentuaisabaixocomorazes,sobaformamaissimplespossvel:a) 80%.b)25,2%.c)0,48%.d)18,6%.14. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 15,00, paraobterumlucrode30%?15.UmanotapromissriacujovaloreraR$500,00foipagacomumdescontodeR$25,00.Qualataxadedesconto?16. Um jornal recebia por ms R$ 4.200,00 de anncios. Os preos dosannciosforamaumentadosem6%.Qualseranovareceitamensaldojornal?17.UmimvelfoivendidoporR$96.000,00,recebendoointermedi-rio3%decomisso.Calculeacomisso.18.Umvendedorrecebe3%decomissosobreasvendasqueefe-tua.Qualaquantiaareceberpelasvendascujosvaloresso:R$ 800,00; R$ 375,00; e R$ 950,00?19.EmumdosGrandesPrmiosdeFrmula1,largaram24carroseterminaramacompetio10carros.Dequantoporcentofoionmerodecarrosquenoterminaramacorrida?20. Um comerciante comprou 120 bons a R$ 22,00 cada um. Vendeua metade a R$ 26.40 e o restante a R$ 30,80. De quanto por centofoiolucro?21.OgabinetedoprefeitodacidadedeFelizEsperaumasalacom15metrosdecomprimento.Estecomprimentorepresentadonumdesenhopor5cm.Qualaescaladodesenho?88BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica22.ASecretariadeObrasdaPrefeituradeCidadeAlegreplanejaconstruirasuaprpriasedeeemsuamaqueteaalturadasedede 80 cm. Qual a altura real da sede da secretaria de obras, saben-do-sequeessamaquetefoifeitautilizandoaescala1:25?23.NumconcursopblicorealizadopelaPrefeituraMunicipaldeCi-dadeAlegrehavia90candidatos.Tendosidoaprovados30,deter-minearazoentreonmerodereprovadoseonmerodeapro-vados.24.AcantinadaSecretariadeobrasdomunicpiodeAraracomprouumrefrigeradorcujopreodepautaR$2.500,00.Comoopaga-mentofoifeitovistahouveumdescontode7,5%.Calcularovalorpagoapsodesconto.25.SobreosalriodeR$840,00doservidorArapongasdaSecretariaMunicipal de Finanas da cidade Radar so descontados 2% para aassociaodeclasse.Calcularovalordodesconto.Complementando....ParaaprofundarosconceitosestudadosnestaUnidadesconsulte:Vencendo a matemtica de Miguel Assis Name.Ensino Fundamental: Aplicaes das Razes e Propores de DesireF.BalieloeUlyssesSodr,disponvelem:. Acesso em: 1jun.2009.Razo,proporoeporcentagem:aplicaesnafarmacologiadeVilmontes Rocha e Douglas Pires de Oliveira, disponvel em: Acesso em: 1 jun. 2009.Razo,proporoeporcentagemdisponvel nosite.Acessoem:1jun.2009.Razo e proporo Porcentagem Regra de trs disponvel no site.Acessoem:1jun.2009.89Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagemResumindoNestaUnidadevoccompreendeuasnoesbsicasderazes,proporeseporcentagem.EstestrsassuntossoimportantesnoconhecimentobsicodeMatemtica,principalmenteoassuntodeporcentagem,queutilizadodiaadia.TambmvocaprendeuaaplicaresteassuntonadisciplinadeMatemticaFinanceira.Apartirdeagorava-mosestudarpotenciao,radiciaoelogaritmo.90BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaRespostas dasAtividades de aprendizagem1.a) 45.b) 15.c) 41.2. a) 12.b) 25.c) 31.d)e)52.f) 201.3. 225.4. 6912.050.5. k = 9.6. D = 300.7.1.400litrosdegasolina.8. a) 193. x =b) 730. x =9. R$ 6,90.10. R$ 1.292.307,69.11. 17,5%12. a) 40%. b)5%. c) 250%.d)24%. e)1,2%.13. a) 45.b)c) 1225.d) 93500.e) 2003.14. R$ 19,50.15. 5%.16. R$ 4.452,00.91Mdulo0Unidade3Razes,ProporesePorcentagem17. R$ 2.880,00.18. R$ 63,75.19. 58,33%.20. 30%.21. 1:300.22. 20 metros.23. 2:1.24. R$ 2.312,50.25. R$ 16,80.UNIDADE4OBJETIVOSESPECFICOSDEAPRENDIZAGEMAofinalizarestaUnidadevocdeversercapazde:Revisarcontedosdepotenciao,radiciao,logaritmoeexpo-nencial; Identificar e escrever os tipos e as propriedades de potenciao;Identificareescreveraspropriedadesderacionalizao;Aplicaraspropriedadesdelogaritmo;eUtilizarestesconceitosemoperaescompotnciasdemesmabase,porexemplo,naracionalizaoderadicaiseoperaescomlogaritmos.POTENCIAO,RADICIAOERACIONALIZAO94BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica95Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaoINTRODUONaUni dadeanteri orvocrel embrouoquerazo,proporo,porcentagem,regradetrsevriasregrasquetmgrandeimportncianosemMatemticacomo,tambm,nasuavida.Agora,vocvairevisaroquepotenciao,radiciaoeracionalizao.Bonsestudos!Ahumanidadedemoroumilharesdeanosparachegardacontagem simples at os clculos de potenciao. Uma importanteetapadessepercursofoidesenvolvidaporArquimedes,naGrciaantiga.EssematemticoviveunosculoIIIa.C.efezimportantescontribuiestantonodesenvolvimentoterico,comoprticodacincia.Em suas especulaes, Arquimedes resolveu calcular quantosgrosdeareiaeramnecessriosparaencheroUniverso.EssaquestopareciafundamentalaArquimedes.Emsuapoca,oUniversoeraconsideradoumsistemadeesferascomomesmocentro:oSol.Osplanetasestavamfixadosnasuperfciedecadaesfera.Apotenciao,oupotncia,umaferramentatilparasimplificar clculos com nmeros grandes foi, alis, desenvolvidacomesseintuito,comomostraahistriadacriaodapotncia.Di z-sequeapot enci aof aci l i t aoscl cul osmat emt i cosprincipalmentegraasspropriedadesqueelatem.96BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaOobjetivoapresentarasprincipaistcnicasutilizadasnaracionalizaodedenominadoresdefraesirracionais,umavezque no possvel estabelecer uma regra geral face infinidade deformasqueessesdenominadorespodemassumir.AinvenodevriosartifciosparaoensinodaAritmticadeve-seaomatemticoescocsJohnNapier,barodeMerchiston(1550-1617),queseinteressoufundamentalmentepeloclculonumricoepelatrigonometria.Em1614,eaofimde20anosdetrabalho,elepublicouaobraLogarithmorumcanonisdescriptio,ondeexplicacomoseutilizamoslogaritmos,masnorelataoprocesso como chegou a eles.NestaUnidadeapresentaremosapotenciaoeasregrasde resoluo de potncias. Tambm apresentaremos a radiciao earacionalizaoenvolvendofraes.97Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaoPOTENCIAOApotenciaoindicamultiplicaesdefatoresiguais.Porexemplo,oproduto444podeserindicadonaforma4.Vejamaisexemplos: 2 = 2 2 2 = 8. (3) = (3) (3) = 9. (5) = (5) (5) (5) = 125. 34( (34=.=.34916Nestaseoexplicaremosostiposdepotenciaoesuaspropriedades.Lembramosnovamentequeapotenciaoumamultiplicaodefatoresiguais.TIPOSDEPOTENCIAOAseguirexplicaremosvriostiposdepotenciao.98BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaPotncia com expoente inteiro positivoSejama=0,chamadodebase,enchamadoexpoente,nmerosreais,entoa = 1a a a = x...a a a a ... a .n= x x x xn vezesExemplos: 4 = 4. 34 = 3333 = 81. (2) = (2)(2)(2) = 8.Potncia com expoente nuloa0 = 1 para qualquer a = 0.Exemplos: 90 = 1. Potncia com expoente negativo1aa a1=, 0. 1 aa a2=, 0. ...1ana an=, 0. ab( (ba= , 0, 0. a b n( (n99Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaoExemplos: 414=.1 1(2)= =. (2)214Vamos ver se voc entendeu? Separamos para voc simplificarasseguintesexpresses.Mas,lembre-se:nohesiteemperguntar em caso de dvida.a) .212( (b) _.323( (_c) .245( (Resposta:a) 4.b) _.278c) .2516Potncia com expoente fracionrioPodemos tambm aplicar as regras de potenciao, quandoapotnciafracionria.Todapotnciacomexpoentefracionriopode ser escrita em forma de radical e todo radical pode ser escritonaformadepotenciaocomexpoentefracionrio. Porexemplo,100BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica 153 = 3 . 5 435 = 5 . 34 25 = 25 = (5) = 5 = 5.121222 PROPRIEDADESDEPOTENCIAOAseguirvocirrevisaralgumaspropriedadesimportantesde potenciao. Estas propriedades sero utilizadas frequentementeemclculosmatemticos.P1. Produto de potncias de mesma baseConsidere o exemplo 4 46. Por definio de potncia voctem:4 46 = (44) (444444) = 48.Agora, sejam a = 0 e m e n nmeros reais, ento am an = am+n.Exemplos: (5)3 (5)4 = (5)3+4 = (5)7. 42 46 = 42+6 = 48. 1252a . a = a = a . +12 32 34 33 = 32+4+3 = 39.101Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaoP2. Diviso de potncia de mesma baseConsidere o exemplo 335. Pela definio de potncia voc tem:335=3 33x x x xx x3 3 33 33 31x=31= 3 = 9. =/ / // / /Sejam a = 0 e m e n nmeros reais, ento aamn= a .m - nExemplo: 335= = 3 = 9. 35-3 bb= =. b b2545252545+ 323( (3-223( (23( ( 23= = =.223( (Para verificar se voc est acompanhando os estudos propostosat o momento nesta Unidade, separamos algumas expressesqueprecisamsersimplificadas.a) 6774.b) 1266.12Resposta:a) 49b) 1102BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaP3. Potncia de uma fraoSejaoseguinteexemplo 323( (.Peladefiniodepotnciatemos:Sejam b = 0 e n nmeros reais ento nab( (=.abnnExemplos: 323( (= =.23827 -257( (= = =.275( (754925 Vamos ver se voc entendeu? Reservamos para voc algumasfraesqueprecisamsersimplificadas:a) 43( (.3b) 43( (.2c) 12( (...212( (2312( (1Resposta:a) 6427.103Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaob) c) P4. Potncia de potnciaConsidereoseguinteexemplo(5).Peladefiniodepotnciavoctem:(5) = 5 5 = (555) (555) = 56 = 15.625.Sejam a = 0 e m e n nmeros reais, ento (am)n = amn.Exemplos: (53)2 = 532 = 56 = 15.625. (32)4 = 324 = 38. Voc sabe agora como calcular a potncia de outra potncia?De acordo com esta propriedade, resolva as duas alternativasa seguir:a) 53( (.312( (b) (4).34Resposta:a) 35( (.32b) 4.32104BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaAtividades de aprendizagemAtomomentorevi samospotenci aoesuaspropriedades.Vamosverificarsevoccompreendeuasdefi ni esapresentadas?Entoresol vaosexerc ci ospropostosaseguir.1.Resolvaasexpressesabaixo:a) 34 32.b) 23 24.c) 101 105.d) 94( (.2e)(53)6.f) 35( (..335( (3g) 45x( (.23( (h) 45x( (.32. Se a = 35, b = 33 e c = 37. Calcule o valor de:a) 3abc.b) a cb.2 2c) abc3.105Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaoRADICIAOO termo radiciao pode ser entendido como uma operaoque tem por finalidade, se fornecida uma potncia de um nmero eoseugrau,determinaressenmero.Porexemplo,suponhaquetenhamos um determinado nmero elevado sexta potncia. Numaoperao de extrao de raiz de ndice 6, teremos como resultadoo nmero a, ou seja, a a6= ( ) =6a616.Exemplo4.1Determinearaizcbicadonmero27.Resoluo:Primeiramentedevemosnosperguntarqualonmero que multiplicado por ele mesmo trs vezes resulta o nmero27, ou seja, determinar qual o nmero que elevado na potncia 3resulta o nmero 27?Agora ficou fcil no ? O nmero o 3, pois 3 = 27.Vamosconhecermaisalgunsexemplos:1253 5, pois 53 = 125;164 2, pois 24 = 16; 164 2, pois (2)4 = 16;273. 3, pois (3) = 16;25no existe em .Com base nesta exemplificao podemos identificar que umnmero b chamado de raiz ensima de um nmero a, isto , se, e somente se, a = bn, onde106BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica o radical,a o radicando,b a raiz,n o ndice do radical, ouExemplos: 64 = 43, pois 43 = 64. 32243( (=, pois = =.52323( (5235532243 8 = 2 = (2 ) = 2. 3 313Comoestseuentendimentosobreradiciao?Procureresolverasquestespropostasnasequncia.a) 8.3b)32.5Resposta:a)2b) 2107Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaoRACIONALIZAOEstatcnicaconsisteemmultiplicarafraodadaporumnmero que no altere o seu valor (apenas a sua apresentao).Vamos pensar juntos? Qual nmero pode ser multiplicado porqualquer outro sem alterar seu valor? Isso mesmo, 1 (um).Ou seja, qualquer nmero multiplicado por 1 continua como mesmo valor, por exemplo 3 1 = 3, 12 1 = 12. Tambm sabemosquetodafraocujosnumeradoresedenominadoressoiguais,podemospensaremumnmerointeiropararepresent-lavale1,ou seja, 55= 1,1515= 1,= 1.77Agorasimvamosverracionalizaodefraes.Vocestpronto?Podemoscomear?Emalgunsclculosalgbricos,vocpodesedepararcomrazesnodenominadordafrao.Paraquepossaprosseguircomosclculos,convenientequevocelimineessasrazesdodenomi nadorprocessochamadoderaci onal i zaodedenominadores.Isto,transforma-seumdenominadorirracionalemracional.108BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaRacionalizarumafraocujonumeradoroudenominadorcontmumradicalencontraroutrafraoequivalentefraodada cujo numerador ou denominador no contenha mais o radical.O mais comum racionalizar o denominador, que significa eliminartodos os radicais que existem no denominador da frao, sem alteraro seu valor.Voc lembra de produto notvel, (x+y)(xy) =xy,assuntoestudadonaUnidade2.Dizemosquex+yconjugado de xy porque (x+y)(xy) = xy. Assim:i) chama-se conjugado da soma (x+y) a diferena (xy); eii) chama-se conjugado da diferena (xy) a soma (x+y).Vejaagoraalgunsexemplosderacionalizao.Exemplos4.2Racionalizeasfraes:a) 13.Resoluo:Multiplicando-seambosostermosdafrao13 por3e simplificando, voc tem1313=1=. x x= = =13 33( 3) 333 33Portanto, racionalizando 13 voc obtm 33.b) 57 + 3.Resoluo:Multiplicando-seambosostermosdafraopeloconjugadododenominador,aquioconjugadode 7 + 37 3 , voc tem:109Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaoPortanto,racionalizando 57 + 3,temos 47 3( ( 5.Vamosversevocent endeu?Separamosparavocracionalizarasseguintesexpresses:a) 1 2 x.b) 32.8Resposta:a) 2 x.x 2 b) 42 .3110BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaAtividades de aprendizagemHoradetestarseusconhecimentos.Vocestpronto?Responda,ento,satividadespropostas!3.Calculeovalordasexpressesabaixo:a)25.b) 162.c) 625.4d) 34( (.36e) 27100( (.3f) 4981x( (.g) 5yx6( (.364.Calculeovalorde:a) 12 + 275 248a =.b) x em 123x.=35.Racionalizeasexpressesabaixo:a) 3.2b) a.a + 1c) 111Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaoLOGARITMO E EXPONENCIALNestaseovocserlevadoarevisarocontedodelogaritmoeequaesexponenciais,apresentadoavocnoensinomdio.Vamoscomear?Sejam a e b nmeros reais positivos, a = 1. O logaritmo de bna base a, escreve-se logab, igual a x, dado porlogab = x ax = b, a>0, b>0, a = 1 x e ,onde a base, b anti-logaritmo e x logaritmo, ou seja, dizemosquexlogaritmodebnabasea.ax consideradocomoaexponencialx.Quandoabasea=10,voctemologaritmodecimal cuja notao log10b ou simplesmente log b.Comoconsequnciadestadefiniotemosasseguintespropriedades:P1.logaa=1,poispeladefiniodelogaritmovemlogaa = 1 a = a.P2.loga1=0,poispeladefiniodelogaritmovemloga1 = 0 a0 = 1.Conhea alguns exemplos de resoluo de logaritmo: log28 = 3, pois 23 = 8. log2512, 5= pois 12. 25= 5 log319= _2, pois _2319=. log10(1.000) = 3 ou log (1.000) = 3, pois 103 = 1.000.112BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica log55 = 1, pois 51 = 5. log12=1,12 pois 12=.121( ( log41 = 0, pois 40 = 1. log121 = 0, pois 12=. 10( (PROPRIEDADESSejam a, b, c e *+ , onde *+ = + {0} com a = 1. Entovalemasseguintespropriedades:Logaritmo de produtologa (xy) = loga x + loga y.Exemplos: log2 (32 64) = log2 32 + log2 64 = 5 + 6 = 11. log 20 + log 12 = log 12( (20x = log 10 = 1.Logaritmo de quocienteloga xy( ( = loga x loga y.Exemplos: log5 502( ( = log5 50 log5 2. log3 405 log3 5 = log3 4055( ( = log3 81 = 4.113Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaoLogaritmo de uma potncialoga bx = xloga b, x e .Exemplos: log 127 = log 7=x log 7.12 log5 43 = 3 log5 4. log5 54 = 4 log5 5 = 4 1 = 4, pois log5 5. ( (235log 5=log pois log = 5 . 1 = 5, = 1.2323( (2323( (23LOGARITMONATURALVoc sabe que logab =x ax =b,a>0, b>0,a= 1. Se abase for a = e (nmero irracional e ~ 2,718281828...), vem:logeb = 1n b = x ex = b.Assim,1nb = logeb,b>0,a=echamadodenmerodeNeper e logeb = 1n b de logaritmo neperiano ou logaritmo natural. comum indic-lo por 1n x.A seguir acompanhe os exemplos resolvidos.Exemplos4.3Calculeoslogaritmosaseguir:a) log216 .Resoluo: log216 = log2 4 =log2 22 = 2log2 2 = 2.b)log2. 116Resoluo:114BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaouAlternativamente, fazendo x =log2. 116, temos:( (116= 214x( (12x44=( (12_1( (124x=( (12_14=_1= _. x x Antesdeprosseguirmos,precisamossabersevocestentendendo. Para tanto resolva a alternativa a seguir:a) 16=.x_1132Resposta: Exemplo 4.4 Se log (x + y) = 15 e log (x y) = 8, calcule o valorde log (x y).Resoluo:Aprendemosnoitemprodutosnotveis,Unidade 2, que (x y) = (x + y) (x y), lembra?Logo, log(x y) = log(x + y)(x y).Agora, aplicando a propriedade loga(xy) = logax + logay,temoslog(xy)=log(x+y)(xy)=log(x+y)+log (x y) = 15 + 8 = 23.Portanto, log(x y) = 23.115Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaoVamos ver se voc entendeu?Considerandol og(x+y)=15el og(xy)=8,resol vaasalternativasaseguir:a) log.1(x + y)b) log.1(x y + )Resposta:a)30.b)69.Exemplo 4.5 Se log (x + y) = 15 e log (x y) = 8, calcule o valorde .130 log (x+y) + .18 log (xy).Resoluo: Voc tem .130 log (x+y) + .18 log (xy) ==.130 15 + .18 8= + = + 1=1530881232.Portanto, .130 log (x+y) + .18 log (xy) = .32Tabelas de logaritmosAntesdoadventodocomputadoredacal cul adora, usarlogaritmossignificavausartabelasdelogaritmos,quetinhamdesercri adasmanual mente.Essastabelasderamorigemsfamosasrguasdeclculoqueeramusadasporengenheiros,fsicoseeconomistasatoin-ciodadcadade70,quandoapopularizaodoscomputado-resedasmquinasdecalculartornoucompletamenteobsole-tasasrguasdeclculobemcomoastabelasdelogaritmos.Hojeemdia,oslogaritmosnosomaisutilizados,explicita-mente, paracl cul oscorri quei rosenotmmai ssenti doaprenderouensi narousodastai stbuas.Saiba mais116BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaAtividades de aprendizagemAtaqui fi coucl aro?Paracerti fi car-sedequevocaprendeu,resolvaasatividadespropostas.6.Efetueasoperaesabaixo:a) log5 223( (+ log5 35( ( log5 45( (.b) 2 log a 3 log b 2 log c + 13 log d.7. Se log3a log3b = 3, calcule ab.8. Se log2a = 2, log2b = 5 e log2c = 3, calcule o valor de log2abc( (.9. Se log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, log a = log 10a, calcule o valor de:a)log12.b)log32 .c)log242.3d) 10x = 5.e) 14. 10=xf) 2x = 100.117Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaoComplementando...ParaaprofundarosconceitosestudadosnestaUnidadeconsulte:Matemtica de Manoel J. Bezerra.Vencendo a matemtica de Miguel Assis Name.Pot enci ao: def i ni oeexempl os. Di spon vel em: .Acessoem:1jun.2009.PortalSMatemticaparaconhecermaissobreradiciaoacesse.Acessoem: 1 jun. 2009.FunesLogartmicaseExponencialdisponvelem:. Acesso em:1jun.2009.118BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaResumindoNesta Unidade voc compreendeu a utilizao das pro-priedadesdepotenciao.Tambmaprendeuracionaliza-odefraese,finalmente,utilizouaspropriedadesdelogaritmo.VamosestudarnaUnidadeseguinteequaesdoprimeiroesegundograuetambminequaes(oudesi-gualdades)doprimeirograu.119Mdulo0Unidade4Potenciao,RadiciaoeRacionalizaoRespostas dasAtividades de aprendizagem1.a) 9. b) 128. c) 10.000.d) 1681. e) 1518 .f) 1.g) 4.096 .15.625x6. h) 2. a) 1. b)330. c) 1243.3.a) 5. b) 116.c) 5.d) 916.e) _3.1010.3f) 79x.g) 2536xy22.4. a) 72. a=b) x = 2.5. a) 322.b) a aa(_1)_1.c) (_1) x.x_1( 1) x+6.a)log5112.( (b)log7. 27.8. 52.9. a) 1,0791. b) 0,7525. c) 0,15903.d) 0,699. e) 0,6020. f) 6,64452.UNIDADE5OBJETIVOSESPECFICOSDEAPRENDIZAGEMAofinalizarestaUnidadevocdeversercapazde:Revisaroconceitodeequaodeprimeiroedesegundograudeumavarivel;Resolverexercciosdeinequaodeprimeirograuusandosuaspropriedades;eResolverexercciosdeequaodesegundograuaplicandoaregradeBhaskara.EQUAESDE1E2GRAUS,INEQUAESDE1GRAU122BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica123Mdulo0Unidade5Equaesde1e2Graus,Inequaesde1GrauEQUAES DO 1 GRAUCOM UMA VARIVELPrezadoestudante!Comovocjsabe,nossoobjetivonestaUnidadelevarvocarevisarconceitosrelacionadossequaesdeprimeiroedesegundograudeumavarivel,relembrarassuntosrelacionadosinequaodeprimeirograu,almdeauxili-lonaresoluodeequaesdesegundograuquenecessitemdaregradeBhaskara.Noseassuste!Vamos dar um passo de cada vez, de maneira que voc possaacompanharacaminhada.Paratanto,muitoimportantequevocsedediqueaoestudodaUnidade,aproveitando-sedomomentoquefundamentalparasuaformaopessoaleprofissional.Bonsestudos!Estas equaes e inequaes so importantes em resoluode algumas situaes prticas. Enquanto as resolues de equaesde 1 grau sempre so os pontos fixos e as inequaes de 1 grausempre so os intervalos na reta real, as equaes do segundo grau(s vezes chamamos de polinmios de segunda ordem) sempre sosoluescomdoisvaloresfixos.Vamosentendermelhorestaexplicaonasprximaspginas.Pararesolvermosumproblemamatemtico,quasesempredevemostransformarumasentenaapresentadacompalavrasemuma sentena escrita em linguagem matemtica. Esta a parte maisimportante e talvez seja a mais difcil da Matemtica. Veja o exemploaseguir:124BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicavApalavraincgnitasignificadesconhecidaeequaotemoprefixoequaqueprovmdoLatimesignificaigual.Normalmente,nasentenamatemtica,aparecemletrasconhecidascomovariveisouincgnitas.Apartirdaqui,aMatemticaseposicionaperantediferentessituaesesernecessrio conhecer o valor de algo desconhecido; este o objetivodoestudodeequaes.Porexemplo,adotandoademostraoanteriorvocpodecalcularquantopesacadabarradechocolatemarcaAAA?Voc sabe como fazer este clculo? Vamos l?Bem, se voc tem 8 barras de chocolate marca AAA + 6Kg=14Kg,bastausarumaletraqualquer,porexemplo,x,parasimbolizaropesodecadabarradechocolate.Assim,aequaopoderserescrita,dopontodevistamatemtico,comosendo:8x + 6 = 14Portanto, x = 1 o que nos permite afirmar que cada barra dechocolate tem 1kg.Observequeesteumexemplosimplesdeumaequaocontendo uma varivel, mas que extremamente til e aparece emmuitassituaesreais.Valorizeesteexemplosimples!Antes de prosseguirmos importante observar que todas asequaestm:Umaoumaisletrasindicandovaloresdesconhecidos,quesodenominadasvariveisouincgnitas; Um sinal de igualdade, denotado por =; Uma expresso esquerda da igualdade, denominadaprimeiro membro ou membro da esquerda; eSENTENA COM PALAVRAS8barrasdechocolatesmarcaAAA+6Kg=14KgSENTENA MATEMTICA8x + 6 = 14125Mdulo0Unidade5Equaesde1e2Graus,Inequaesde1GrauUmaexpressodireitadaigualdade,denominadasegundo membro ou membro da direita.Portanto,8X + 61membro142membro=SinaldeigualdadeObserve que neste exemplo a letra x a incgnita da equaoe as expresses do primeiro e segundo membro da equao so ostermos da equao. Para resolver essa equao e encontrar o valorde x podemos utilizar o seguinte processo para obter o valor de x.8x+6 = 14 equaooriginal8x+6 6 = 14 6 subtramos6dosdoismembros8x = 8 dividimos por 8 os dois membros da equaox = 1 soluo.Ateno! Quando adicionamos (ou subtramos) valoresi guai semambososmembrosdaequao,el apermaneceemequilbrio.Damesmaforma,semultiplicamosoudividimosambososmembrosdaequao por um valor no nulo, a equao permaneceem equilbrio. Este processo nos permite resolver umaequao, ou seja, permite obter as razes da equao.A resoluo de equaes e inequaes pertence a uma parteda Matemtica chamada lgebra. Essas equaes surgem no nossocotidiano,nasatividadescientficasenaresoluodeproblemas.Osprocedimentosderesoluodeequaesedesistemasde equaes foram descobertos por matemticos que se ocuparam126BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicadeste tema durante muitos anos e em diferentes pocas da histriadaMatemticaAqui, vamos descrever as equaes do 1 e 2 segundo graue as inequaes de 1 grau com seus mtodos de resolues. Estasltimasaparecemnocontextodavidacotidianaparacompararofertas,pressupostosetc.Para voc o que uma equao?Muito bem equao toda sentena matemtica aberta queexprimeumarelaodeigualdade.Assimpodemosdizerqueaequao envolve um sinal de igualdade e uma varivel. Por exemplo, 2x+8 = 0; 5x 6 = 6x+8; 5x 3x = 6+18.Em funo de nossos objetivos, podemos distinguir trs tiposdeequaes:equaesdedefinio,equaesdecomportamentoeequaesdecondiesdeequilbrio.Equaodedefinio:estabeleceumaidentidadeentreduasexpressesalternativasquepossuemexatamente o mesmo significado. Por exemplo, o lucrototal (LT) definido como sendo o excesso da receitatotal (RT) sobre o custo total (CT) e podemos escrever:LT = RT CT.Equaodecomportamento:especificaamaneirapelaqualumavarivelsecomportaemrespostaamudanasemoutrasvariveis.Istopodeenvolvercomportamentohumano(opadrodeconsumoemrelaorenda),aspectostecnolgicos(afunodeproduo) e legais (carga tributria). Por exemplo, sejao custo total dado por CT = 200 + 10x, onde x denota127Mdulo0Unidade5Equaesde1e2Graus,Inequaesde1Graua quantidade de determinado produto. O custo fixo (ovalordeCTquandox=0)200.medidaquexaumenta,CTaumenta. Equao de condies de equilbrio: temos quandoummodelomatemticoeconmicoenvolveanoodeequilbrio.DuasdasmaisfrequentescondiesdeequilbrioemEconomiaso:Qp = Qo(quantidade procurada = quantidade ofertada).S = I (poupana planejada = investimento planejado).RESOLUODEUMAEQUAOResolver uma equao ou problema por ela proposto significadeterminar o seu conjunto soluo (S), dentro do conjunto universo(U)consideradoquetornaaequaoverdadeira.Asequaesde1grausodotipoax+b=0.Pararesolv-las,normalmenteisolamosavarivelnoladoesquerdodaexpresso.Exemplos 5. 1 Resolver as seguintes equaes em: 2x + 3 = 5.Resoluo: Para resolver 2x + 3 = 5, voc adiciona 3 aambososmembrosdest aequaoobt endoumaequaoequivalente,assim2x + 3 = 5 2x + 3 3 = 5 3 2x + 0 = 8 (pois zero o elemento neutro da adio) 2x = 8.Agora, voc multiplica ambos os membros de 2x = 8 por12 e tem:128BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsica2x = 8 12 2x = 12 8 22x = _82 = 4, pois 1 o elemento neutro da multiplicao. 1x = 4 x = 4.Omi t i ndoal gumaset apasreal i zadasaci ma, apscompreend-las, para resolver a equao 2x + 3 = 5, voc isola avarivel x no lado esquerdo de 2x + 3 = 5, vem 2x + 3 = 5 2x = 5 3 2x = 8 x = _82 = 4.Portanto, S = { 4}. 5x = 30.5x = 30 x = 305 = 6.Portanto, S = {6}. 3x + 5x = 2. 3x + 5x = 2 2x = 2 x = 22 = 1.Portanto, S = { 1}. 3 ( 5 + x) x = 7x + 1. 3 ( 5 + x) x = 7x + 1. 15 3x x = 7x + 1 7x 4x = 15 + 1 = 14 3x = 14 x = _143 = 143_.Portanto, 143_. S=129Mdulo0Unidade5Equaesde1e2Graus,Inequaesde1GrauExemplos5.2Determineoconjuntosoluodasseguintesequaes: _83y6=.Resoluo: Portanto, S = { 16}..Resoluo: Portanto, S = {3}.Para verificar se voc entendeu, reservamos algumas equaespara voc resolver:a) Resposta: 49_. S=130BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicab) 22x _3++ 15x_=+ 510x_.Resposta:S={2}.Agora que voc j sabe tudo sobre equao de 1 grau vamosveralgunsexemplosprticos?Exemplo5.3Olucromensal(L)daempresaFalidadadoporL = 30x 4.000,00, onde x a quantidade mensal vendida de seuproduto. Qual a quantidade que deve ser vendida mensalmente paraque o lucro da empresa Falida seja igual a R$ 11.000,00?Resoluo: Sendo L = 30x 4.000,00 a equao do lucromensal da empresa Falida e como ela pretende ter um lucro mensalde R$ 11.000,00, voc tem a seguinte equao:30x 4.000,00 = 11.000,00e resolvendo,30x 4.000,00 = 11.000,00 30x = 11.000,00 + 4.000,00 = 15.000,00 30x = 15.000,00x= 15.000,0030= 500.Portanto,aquantidadequedeveservendidamensalmentepara que o lucro seja R$ 11.000,00 500 itens de seu produto.131Mdulo0Unidade5Equaesde1e2Graus,Inequaesde1GrauExemplo5.4Ocustomensal(C)deproduodex,xe,computadoresmarcaAAAdeumafbricaC=800+25x.Determinar a quantidade mensal produzida sabendo-se que o customensal R$ 15.000,00.Resoluo:VoctemocustomensaldeproduoqueC=800+25x.Ecomoafbricadesejacalcularaquantidademensal produzida para um custo mensal de R$ 15.000,00, tem-se aseguinteequao.800 + 25x = 15.000e resolvendo temos:800 + 25x = 15.000 25x = 15.000 800 = 14.200 25x = 14.200x= 14.20025= 568.Portanto,aquantidademensalproduzidadecomputadoresmarcaAAA568.132BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaAtividades de aprendizagem1.Resolverasseguintesequaesde1grauemR:a) 3z + 1 = 7z 3.b) c) 3_2 y=.642.Resolverasseguintesequaesde1grauemR:a) x _63=. 5_7 xb) 2 + 13x+x 32_= = = ===x 46_c) 34x _2+x 32_= 5_3_x2 46_x 12x.+3. A demanda de certo produto pelo consumidor de D(p) = 200p + 12.000unidadesporms,ondepopreodemercado,emreais,porunidade.Determineopreodemercadoporunidadequandoademandade8.000unidadesporms.Agoraquerevisamosoconceitodeequaodeprimeirograuprocureresolverasatividadesaseguir.133Mdulo0Unidade5Equaesde1e2Graus,Inequaesde1GrauEQUAES DO 2 GRAU OUEQUAESQUADRTICASAs equaes do segundo grau so abordadas na histria daMatemtica desde a poca dos egpcios, babilnios, gregos, hindusechineses.O primeiro registro das equaes polinomiais do 2 grau foifeitapelosbabilnios.Elestinhamumalgebrabemdesenvolvidaeresolviamequaesdesegundograupormtodossemelhantesaosatuaisoupelomtododecompletarquadrados.Comoasresolues dos problemas eram interpretadas geometricamente, nofazia sentido falar em razes negativas. O estudo de razes negativasfoi feito a partir do Sculo XVIII.Na Grcia, a Matemtica tinha um cunho filosfico e poucoprtico.Euclides,nosElementos,resolveequaespolinomiaisdo2grauatravsdemtodosgeomtricos.Buscandocontribuirnabusca da resoluo de equaes do 2 grau Diophanto apresentououtra representao da equao introduzindo alguns smbolos, poisatentoaequaoesuasoluoeramrepresentadosemformadiscursiva.Na ndia as equaes polinomiais do 2 grau eram resolvidascompletandoquadrados.Estaformaderesoluofoiapresentadageometricamente por Al-Khowrizmi, no sculo IX. Eles descartavamas razes negativas, por serem inadequadas e aceitavam as razesirracionais.Tinhamtambmumareceitaparaasoluodasequaesdeformapuramentealgbrica.NoBrasil,costuma-sechamardefrmuladeBhaskaraquelaquedassoluesdaequaodosegundograu.So134BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaequaes do tipo ax + bx + c = 0, com a, b e c nmeros reais ea = 0. Suas solues so dadas porPararesolvermosumaequaodosegundograudevemos lembrar:i)A,l-sedelta,doalfabetogregoeA=b4acchamado descriminante da equao ax + bx + c = 0,ii) Se A = b 4ac > 0 ento a equao ax + bx + c = 0possuisoluesreaisedistintas;iii) Se A = b 4ac = 0 ento a equao ax + bx + c = 0possuisoluesreaiseiguais;iv) Se A = b 4ac < 0 ento a equao ax + bx + c = 0 nopossuisoluesreais.Ateno! Se a = 0 em ax + bx + c = 0, vem 0x + bx + c = 0ou0+bx+c=0,aindabx+c=0evoctemumaequaodoprimeirograuemx.Seb=0ouc=0,aequao est na forma incompleta.Exemplos5.5Resolverasequaesem. x 5x + 6 = 0.Resoluo: Na equao x 5x + 6 = 0, voc tem a = 1;b = 5 e c = 6. Aplicando a frmula acima, voc tem:x_x + x = 5 6 = 0 _(_5) (_5) _4.1.62.1_+5 25 24 2_+=5 12_+=ouseja,x = 5_1= 22oux = 5+1= 32soassoluesdaequaox 5x + 6 = 0.135Mdulo0Unidade5Equaesde1e2Graus,Inequaesde1GrauPortanto, S = {2, 3}. x 4x + 3 = 0.Resoluo: Na equao x 4x + 3 = 0, voc tem, a = 1;b = 4 e c = 3. Aplicando a frmula acima, teremos:x 4x + 3 = 0 x =_(_4) (_4) _4.1.32.1=_+4 16 _122_+=4 22_+ouseja,x1 = 4 2= 12_oux = 4+2= 32soassoluesdaequaox 4x + 3 = 0.Portanto, S = {1, 3}.Paraverificarmossevocentendeu,separamosalgumasequaes para voc resolver:x + 6x 9 = 0.Resposta:S={3}.Voc pode estar se perguntando: qual o lado prtico de equaodo segundo grau? Veja na sequncia.Exemplo5.6Olucromensal,emreais,deumaempresadadopor L = 100x + 1000x 1600, em que x a quantidade vendida.Para que valores de x o lucro igual a R$ 900,00?Resoluo.ParaqueolucrosejaigualaR$900,00voctem L = 900, ou seja,100x + 1.000x 1.600 = 900.136BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaParaencontrarosvaloresdexbastaresolveraequaodosegundo grau:100x + 1.000x 1.600 = 900.Dividindo ambos os membros da equao 100x + 1.000x 1.600 = 900 por 100 voc tem: x + 10x 16 = 9 x + 10x 16 9 = 0 x + 10x 25 = 0,onde a = 1, b = 10 e c = 25.Aplicando a frmula de Bhaskara para a equao ax + bx + c = 0,voc tem:_b b_aca 42_+. x =Assim,voctem:_b b_aca 42_+x ==x_10 4 (2_x 10_1) (25)(_1)xx_+=x_10 _42x 100 25(_1) x_+=x_10 _100 100_2_+=x_10 0_2_+_10 0_2_+_10_25,= = =ouseja,x = 5.Portanto, para que o lucro seja igual a R$ 900,00 necessrioqueaquantidadevendidaseja5unidades.137Mdulo0Unidade5Equaesde1e2Graus,Inequaesde1GrauAtividades de aprendizagemParaverificarsevoccompreendeucomoresolverumaequaodosegundograu,busquerealizarasatividadespropostasabaixo.4.Resolvaasequaesaseguir:a) x 3x = 0.b) x + 3x (x 12) = 0.c)3_x=0.13xd)4 _=0.x95.Determineasoluoparaasequaesabaixo:a) x (x 3) + 2 = 0.b) c) x + 2x 8 = 0.6. Determinar o valor de m para que a equao x 6x + 3m = 0 admitarazesreaiseiguais.7.Sabendoqueareceitadiriadeestacionamentoparaautomveisdo Shopping Center Aurora R(p) = 400p 20p, onde p o preo,emreais,cobradopordiadeestacionamentoporcarro,calculeopreoquedevesercobradoparadarumareceitadiriadeR$ 1.500,00.138BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicaINEQUAES DO1 GRAUAntesdecomearmosafalarsobreinequaesdo1grauveremos a relao de ordem em R (nmeros reais).RELAO DE ORDEM EM Arelaodeordem(maioroumenor)emconjuntodosnmerosreaisdefinidapor:a > b a b > 0, a, b e , ou seja,a maior que b se e somente se a b for positivo. a < b a b < 0, a, b e , ou seja,a menor que b se e somente se a b for negativo.Osignificadogeomtricodadesigualdadeaa(leia-sebmaiorquea)significaquebestdiretadea.Umnmeroapositivoounegativoconformea > 0 oua 0 e l-se a maior ou igual a zero. Domesmo modo, a > b significa que a>b ou a = b. Assim, 5 > 3 e 5 > 5sodesigualdadesverdadeiras.Assim como o conjunto dos Nmeros Reais, as desigualdadestambmapresentampropriedadesfundamentais,dadasaseguir.139Mdulo0Unidade5Equaesde1e2Graus,Inequaesde1GrauPROPRIEDADESDASDESIGUALDADESParaquai squernmerosreai sa,b,ced,val emaspropriedades:P1.a 0 4 3 < 6 3.P5. a < b e c < 0 a c > b c. Por exemplo, 4 < 6 e3 < 0 4 (3) > 6 (3).P6. 0 < a < b e 0 < c < d a c < b d. Por exemplo,0 < 4 < 7 e 0 < 5 < 8 4 5 < 7 8.Agora que j falamos sobre a relao de ordem em R e vimosalgumas propriedades das desigualdades, vamos iniciar nossoestudosobreasinequaesdo1grau.Vocestpronto?Podemoscomear?Denominamosinequaodo1grauatodaexpressoquepodeserreduzidasformas:ax + b > 0, ax + b > 0, ax + b s 0 ou ax + b < 0.A resoluo de uma inequao (ou desigualdade) do 1 grau feita de modo anlogo ao das equaes do 1 grau, porm vocdevelembrarque,quandomultiplicamosoudividimosambosos140BachareladoemAdministraoPblicaMatemticaBsicamembros da inequao (ou desigualdade) por um nmero negativo,muda ou inverte o sentido da inequao (ou desigualdade).Observaes gerais sobre InequaesObservandoascondiesdevidadapopulaodoBrasil,obviamenteencontraremosumgrandemardedesequilbrio.Essasdesigualdadespodemserencontradasemdiversasreas,masasquemaisdedestacamsoasocialeaeconmica.Vejaalgunsexemplosdedesigualdades: Salarial: enquanto muitos brasileiros esto com faixasdesalriosbaixas,malpodendosesustentar,algunsoutrostmseussalriosaltos.Habitao:muitosbrasileirostmcasasboasembairrosecidadesnobres,outrosnotmcondiesdetersuacasaprpria.Moradia:Onmerodepessoasquevivemnasruasaumentacadavezmaiscomopassardosanos.Alimentao:Cercade40%dapopulaoqueviveemambienterural,nocampo,vivememsituaoprecria.Se pudssemos pesar estas diferenas apresentadas em umabalana,veramoscommaisclarezaasgrandesdesigualdades.Conhea agora alguns exemplos de inequaes do 1 grau.Exemplo5.7Resolvaasinequaesemaseguir:Resoluo:5x 3 s 2x + 12 5x 2x s 12 + 3 15 5. x x 3x153141Mdulo0Unidade5Equaesde1e2Graus,Inequaesde1GrauPortanto,S = {x e , x s 5} = {x e