Matematica_capitulo Poliedros

5/11/2018 Matematica_capitulo Poliedros - slidepdf.com

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1.PoliedrosInúmeros objetos utilizados pela humanidade podem representar sólidos geo-

métricos; um dado, uma borracha, uma roda, um livro, etc.Entre os sólidos, os poliedros podem ser intuitivamente descritos como “sóli-

dos limitados por superfícies planas”. Para escrever uma definição mais formal,deve ser apresentado primeiramente o conceito de conjunto convexo.

Um conjunto A de pontos é convexo quando qualquer segmento de reta de

extremos pertencentes a A está inteiramente contido em A.

Definição

Poliedro é a união de um número finito de polígonos, denominados faces,

com a região do espaço limitada por eles, em que são válidas as seguintes

afirmações.

Cada lado de um desses polígonos é também lado de um único outro

polígono.

A intersecção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um

vértice, ou é vazia.

Definição

Abaixo são representados alguns objetos do cotidiano, que aparentam es-tar totalmente preenchidos, e que dão ideia de figuras convexas.

Enuncia-se, então, a seguinte definição, mais formal, de poliedro.

Se a afirmação “Qualquer segmento de reta de extremos pertencentes aopoliedro está inteiramente contido nele” for acrescentada à definição acima,então se tem um poliedro convexo, que será o objeto de estudo deste mó-dulo. Caso essa terceira afirmação não seja satisfeita, diz-se que o poliedro énão convexo.

Cada lado de um polígono, que é comum aexatamente duas faces, é denominado aresta do poliedro, e cada vértice de uma face é deno-minado vértice do poliedro.

ExemplosPoliedro convexo Poliedro não convexo

face aresta vértice

Nomenclatura para

poliedros convexosOs poliedros convexos`

são nomeados de acordo

com o número de faces

que apresentam. A seguir,

apresentam-se alguns

exemplos.

Númerode faces

Nome dopoliedro

4 tetraedro

5 pentaedro

6 hexaedro

7 heptaedro

8 octaedro

9 eneaedro

10 decaedro

11 undecaedro

12 dodecaedro

20 icosaedro

Saiba mais

hexaedro heptaedro



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Sólidos8

Relação de Euler

São dados dois poliedros convexos em que são conhecidos o número defaces F, o número de vértices V e o número de arestas A de cada um deles.

F 5 8V 5 12 Æ F 1 V 5 8 1 12 5 20

A 1 2 5 18 1 2 5 20 A 5 18

A quantidade de vértices, de arestas e de faces pode ser diferente para doispoliedros convexos distintos. Há uma relação entre essas quantidades paracada poliedro. Trata-se da relação de Euler, enunciada abaixo e admitidaneste livro sem demonstração.

Em todo poliedro convexo, o número de faces adicionado ao número devértices é igual ao número de arestas adicionado de duas unidades.

Teorema

F 1 V 5 A 1 2

Verifica-se essa relação para os dois poliedros convexos representadosacima.

Poliedro I:F 1 V 5 6 1 6 5 12

A 1 2 5 10 1 2 5 12 Poliedro II:F 1 V 5 7 1 10 5 17

A 1 2 5 15 1 2 5 17

De acordo com o teorema, todo poliedro convexo satisfaz à relação de Eu-ler. Nem todo poliedro que satisfaz a relação de Euler, porém, é um poliedroconvexo. É o que ocorre, por exemplo, com o poliedro representado abaixo,que satisfaz a relação de Euler, mas não é um poliedro convexo.

F 5 6V 5 6

A 5 10

F 5 7V 5 10

A 5 15

I II

Leonhard Paul Euler

(1707-1783)

Leonhard Euler.

Leonhard Euler [1707-1783]nasceu na Basileia, na Suíça,onde frequentou a universida-de. [...]

Na Academia de Berlim, eleaplicou a matemática a diversosassuntos, como órbitas planetá-rias, balística, construção naval,

navegação, óptica e acústica.Aperfeiçoou também a nomen-clatura (conjunto de nomes etermos) matemática, introduzin-do a letra grega S (sigma) parasignificar soma; p (pi) para a ra-zão entre a circunferência de umcírculo e seu raio; a letra e comobase para os logaritmos natu-rais; i, para representar a raizquadrada de21 (números imagi-nários); e ƒ( x) para função. [...]

Durante toda a vida, Eu-ler produziu mais de 800 dis-sertações. Após sua morte, aAcademia de São Petersburgocontinuou a imprimir trabalhosinéditos por cerca de 50 anos.

Tiner, John Hudson. 100 cientistas quemudaram a história do mundo. Tradução:Marise Chinetti. Rio de Janeiro: Ediouro,2004. p. 69-70.

Um pouco de história

Exercício resolvido

Conhecendo-se as faces de um poliedro convexo, determinar o número de arestas.1.

ResoluçãoCaso geralSuponha que as faces do poliedro são organizadas em grupos; o grupo dos triângulos, o dos

quadriláteros, o dos pentágonos, etc. Sejam F 3 a quantidade de triângulos, F 4 a de quadriláte-

ros, ..., F n a de polígonos de n lados.

Cada polígono tem tantos lados comuns a outros polígonos quantos são seus lados. Então,

inicialmente, é preciso multiplicar o número de triângulos por 3, o de quadriláteros por 4 eassim por diante. Depois, calcula-se a soma 3F 3 + 4F 4 + ... + nF n.

Como cada aresta é comuma exatamente duas faces, a

soma obtida na etapa anterior

representa o dobro do número de

arestas, A, do poliedro. Logo

A 5 3F 3 1 4F 4 1 ... 1 nF n ___________________

2

Exemplo

Determinar o número de arestas de um poliedro convexoque tem 6 faces quadradas, 2 faces hexagonais e 24 faces

triangulares.

3 ? 241 4 ? 6 1 6 ? 2 5 54

Portanto,

A 5 54 ___ 2

5 27

Um poliedro queatende às condições

é representado ao

lado.



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Poliedros regulares

Entre os poliedros convexos, há os que são denominados poliedros regu-lares, cuja definição é dada a seguir.

Um poliedro convexo é regular caso satisfaça às seguintes condições.

Todas as suas faces são polígonos regulares e congruentes.

Em todos os seus vértices concorrem o mesmo número de arestas.

Definição

De acordo com a definição acima, enuncia-se o seguinte teorema, que seráadmitido sem demonstração.

Existem apenas cinco poliedros convexos regulares.

Teorema

Os cinco poliedros a que se refere o teorema estão representados abaixo.

Tetraedro regular Hexaedro regular Octaedro regular

O tetraedro regular tem 4 faces,4 vértices e 6 arestas.

Todas as faces são triângulos

equiláteros congruentes.Em todos os vértices concorrem

três arestas.

O hexaedro regular (ou cubo)tem 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.

Todas as faces são quadrados

congruentes.Em todos os vértices concorrem

três arestas.

O octaedro regular tem 8 faces,6 vértices e 12 arestas.

Todas as faces são triângulos

equiláteros congruentes.Em todos os vértices concorrem

quatro arestas.

Dodecaedro regular Icosaedro regular

O dodecaedro regular tem 12 faces, 20 vértices e 30arestas.

Todas as faces são pentágonos regulares congruentes.

Em todos os vértices concorrem três arestas.

O icosaedro regular tem 20 faces, 12 vértices e 30arestas.

Todas as faces são triângulos equiláteros congruentes.

Em todos os vértices concorrem cinco arestas.



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Sólidos8

Um poliedro convexo tem seis arestas, e o núme-2.

ro de faces é igual ao número de vértices. Deter-

minar o número de faces desse poliedro e dese-

nhar um poliedro que satisfaça essas condições.

Resolução

De acordo com o enunciado, tem-se que F 5 V 5 n

e A 5 6. Como o poliedro é convexo, satisfaz a

relação de Euler.

F 1 V 5 A 1 2Æ n 1 n 5 6 1 2Æ

Æ 2n 5 8Æ n 5 4

Portanto, esse poliedro tem 4 faces.

O poliedro desenhado de-

ve satisfazer às seguintes

condições: ser convexo,

ter 4 faces, 4 vértices e 6

arestas.

Um possível poliedro érepresentado ao lado.

Calcular o número de vértices de um poliedro3.convexo que tem seis faces quadrangulares equatro faces triangulares.

Resolução

Como são conhecidas as faces do poliedro, é pos-sível determinar seu número A de arestas utili-zando-se a seguinte relação.

A 5 3F 3 1 4F 4 1 ... 1 nF n ___________________

2

De acordo com o enunciado e a notação estabeleci-da na teoria, tem-se que F 4 5 6 e F 3 5 4.

A 5 3F 3 1 4F 4 _________

2 5

3 ? 4 1 4 ? 6 ____________ 2

5

5 12 1 24 _______

2 5

36 ___ 2

5 18

Como o poliedro é convexo, satisfaz a relação deEuler.

F 1

V

5

A

1

2Æ

(61

4)1

V

5

181

2Æ

V

5

10Portanto, esse poliedro tem 10 vértices.

Validação.4. O poliedro abaixo é convexo.

Determine o número de faces, vértices e arestasdesse poliedro e verifique se os números obtidossatisfazem a relação de Euler.

Um poliedro tem duas faces hexagonais e seis fa-5.ces quadrangulares. Determine o número de ares-tas e vértices desse poliedro.

Em um poliedro convexo, o número de faces é6.igual ao número de vértices, e o número de ares-tas excede em três o número de faces. Determineo número de vértices desse poliedro.

Em um poliedro convexo, de cada um dos seis vér-7.

tices saem quatro arestas. Determine o número dearestas e de faces desse poliedro.

Analise a veracidade da seguinte afirmação.8.

Se em todos os vértices concorrem o mesmo nú-

mero de arestas, então todas as faces têm o mes-

mo número de arestas.

Investigação e pesquisa.9. Dados três números na-turais não nulos, representados porV , F e A, que sa-tisfazem a relação de Euler, é possível afirmar queexiste um poliedro que tenha V vértices, A arestase F faces? Justifique sua resposta.

A bola de futebol utilizada na10.

Copa do Mundo de 1970 foi ins-

pirada em um poliedro convexo,

formado por doze faces penta-

gonais e vinte faces hexagonais.

Determine o número de vértices

e arestas desse poliedro.

Validação.11. Desenhe um poliedro convexo que te-

nha mais que doze arestas e verifique se ele satis-

faz a relação de Euler.

Um poliedro convexo tem vinte faces triangulares e12.

em todas elas concorrem cinco arestas. Determine

o número de vértices desse poliedro.

Considere as características de um poliedro convexo.13.

Alguns triângulos e alguns quadrados formam

suas faces.

O número de faces triangulares e o número de

faces quadrangulares são diretamente propor-

cionais a 2 e 3, respectivamente.

O número de arestas desse poliedro é o dobro

do número de vértices.

Quantas faces tem esse poliedro?

Um poliedro convexo tem apenas faces hexagonais14.

e quadrangulares. Sabendo que ele tem trinta ares-

tas e dezoito vértices, determine o número de fa-

ces hexagonais e o número de faces quadrangula-

res desse poliedro.

Exercícios propostosResponda a todas as questões em seu caderno.

Exercícios resolvidos

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