[Matemática][Memorex]

MATEMTICA E SUAS TECNOLOGIAS

ENEM2011

MATAMTICA

SETOR I

Mdulo 1. Equao do 1 grau e problemas do 1 grauEquao do 11. grau

ax + b = 0 , com a 0 V ba

=

Problemas do 12. grauLer o enunciado e identificar a incgnita.I. Relacionar as informaes com a incgnita, numa II.

equao.Resolver a equao.III. Apresentar os resultados.IV.

Mdulo 2. Equao do 2 grau (I)Frmula resolutiva (Bhaskara)1. ax2 + bx + c = 0, com a 0

xb

acom b ac= = D D

242,

Existncia das razes2. DI. < 0 Nenhuma raiz realDII. = 0 Duas razes reais e iguais (uma raiz dupla)DIII. > 0 Duas razes reais e distintas

Mdulo 3. Equao do 2 grau (II)Relaes de Girard1.

ax bx c

S x xb

a

P x xca

2

1 2

1 2

0+ + =

= + =

= =

Obteno da equao do 22. grau a partir de suas razes

S x x

P x x

x Sx P

= +

=

+ =

1 2

1 2

2 0

Mdulo 4. Mudana de varivel e equao irracionalMudana de varivel1.

Substituir a varivel de tal forma que a equao fique I. do 2 grau.

Resolver a equao.II. Retornar varivel inicial.III.

Equao irracional2. Isolar um radical.I. Elevar a igualdade, membro a membro, a um determi-II.

nado expoente de tal forma que se elimine a raiz.Resolver a equao.III. Verificar os resultados, caso o termo tenha sido eleva-IV.

do a um expoente par.

Enem e Vestibular Dose Dupla 01

Matematica

Mdulo 6. Operaes com conjuntosUnio de conjuntos1. A B = {x / x A ou x B}

Interseco de conjuntos2. A B = {x / x A e x B}

Diferena de conjuntos3. A B = {x / x A e x B}

Conjunto complementar4. C A B para B AA

B =

Nmero de elementos da unio de conjuntos5. n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

Mdulo 7. Conjuntos numricosNotao e constituio1.

Nmeros naturais: I. Nmeros inteiros: II. Nmeros racionais: III. Nmeros reais: IV.

Intervalos reais2.

a b c

x

x x a ou b x c a b c <

Mdulo 9 Funo: domnio de funo realFuno real1. toda funo em que o domnio e o contradomnio so subconjuntos, no vazios, de .

Definio2. Quando o domnio e o contradomnio de uma funo real no forem especificados, sendo apresentada somente a sen-

tena que a define, diremos:Domnio de uma funo real o mais amplo subconjunto de a) para o qual so possveis todas as operaes indica-

das na sentena (lei da funo).Contradomnio de uma funo real o conjunto b) .

Determinao do domnio3.

f xN

E xD x E x

f x E x n N D x E xn

( )( )

{ / ( ) }

( ) ( ), * { / ( ) }

= =

= =

0

02

Mdulo 10 Funo constante e funo do 1o grau

Funo constante1. Sentena: f(x) = k, k Grfico: reta paralela ao eixo Ox

y

k

0 x

D= CD= Im={k}

Funo do 12. o grauSentena: f(x) = ax + b, com a 0

Raiz: ax + b = 0 x = ba

Grfico: reta crescente para a

reta decrescente para a

> 0

x

y

Raiz

b

ba

a < 0

y

b

x

Raiz

ba

Funo crescente Funo decrescente

D = CD = Im =


Matematica

Mdulo 11 Funo do 2o grau: introduoApresentao1.

Sentena: f(x) = ax 2 + bx + c, com a 0Grfico: parbola

Razes: xb

a= D

2, com D = b2 4ac

Domnio e contradomnio: D = e CD =

Vrtice: V(x v ; yv) com xba

e yav v

= = 2 4

D

ConjuntoImagem:a > 0 Im={y / y yv}a < 0 Im={y / y yv}

Resumo grfico2.

D > 0 D = 0 D < 0

a > 0c

xv

yv

x1 x2x

y

0

v

c

yv = 0x

y

x1 yx2 yxv

c

xv

yvx

y

0v

a < 0

c

xv

yv

x1 x2x

y

0

v

yv = 0

c

x

y

x1 yx2 yxvxv

yv

c

c

x

y

0v

Mdulo 12 Funo do 2o grau: pontos extremosPontos extremos1. A funo do 2o grau atinge o seu valor extremo na orde-

nada do vrtice. Essa ordenada representa o valor mnimo quando a funo representada graficamente por uma pa-rbola de concavidade voltada para cima, e o valor mximo quando a parbola tem a concavidade voltada para baixo.

Ordenada do vrtice: y3. vGraficamente, o yv representa o ponto extremo da fun-

o do 2o grau. Se a > 0, yv o ponto de mnimo valor da funo. Se a < 0, yv o ponto de mximo valor da funo.

O valor de yv pode ser obtido, tambm, substituindo-se a varivel, na sentena, pelo xv. Assim:

y = f(x ) ou, ainda:


Matematica


Matematica

Abscissa do vrtice: x2. vGraficamente, o xv o ponto por onde passa o eixo de

simetria da parbola. dado por:

a > 0

v

a < 0

v

vbx

2a

a > 0

vyv

y

Ponto de mnimo

a < 0

vyv

y

Ponto de mximo

yv 4a$

Mdulo 13 Funo do 2o grau: exercciosAplicao

Situaes do cotidiano, nas mais diversas reas de conhecimento, so resolvidas estudando-se os pontos extremos (mximo e mnimo) das razes, o sinal e a taxa de variao da funo do 2o grau.

AResposta:

C

20 40150

h16

y

x

f x ax bx c

f x a x x x x

f x a x x

f a

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) (

= + += = =

2

1 2

40

20 20 =

=

=

20 16

125

125

40

)

( ) ( )

a

f x x x

(Unifesp) A figura mostra um arco parablico, ACB, de 1. altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M o ponto mdio de AB:

C

MA B

A altura do arco, em centmetros, em um ponto da base que dista 5 cm de M, :

15a) 14b) 13c)

12d) 10e)


Matematica

PV2D-09-22

Mdulos 14/15 Inequaes de 1o e 2o grausPropriedades das desigualdades1. P1: a > b e b > c a > cP2: a > b a + c > b + cConsequncia: a + b > c a + b b > c b a > c bP3: a > b e c 0

a c b c c

a c b c c

> > < + + < +

0

0

0 0

0

a

A resoluo de uma inequao do 1o grau feita com o mesmo procedimento matemtico de resoluo da equao do 1o grau, respeitando-se as propriedades das desigualdades.

Inequao do 23. o grauax bx c

ax bx c com

ax bx c

ax bx c

2

2

2

2

0

0 0

0

0

+ + >+ + + +

0

0

0

0

a

Mdulo 23 Inequao modularIntroduo1. Para resoluo das inequaes modulares, assim como

ocorreu com as equaes modulares, alm da definio de mdulo e de sua interpretao geomtrica, so importantes as propriedades dos mdulos, em especial duas delas, que recordaremos a seguir.

Propriedades dos mdulos2. P 7: |x| < a a < x < a P 8: |x| > a x < a ou x > a

Mdulo 24 Equao exponenciala a E x E x

a b Logaritmo

E x E x

E x E x

1 2

1 2

1 2( ) ( )( ) ( )

= ( ) = ( )=

Para as bases positivas, distintas e diferentes de 1

Mdulo 25 Funo exponencialApresentao1.

Sentena: f(x) = a x, com a > 0 e a 1.Domnio e contradomnio: D = e CD = .Conjunto imagem: *+ (reais positivos).

Resumo grfico2.

a > 1 0 < a < 1

x0

y

1x

0

y

1

crescente decrescente

Mdulo 26 Inequao exponencial

aa a E x E x

a a E x E x

E x E x

E x E x>

> ( ) > ( )< ( ) < ( )

( ) ( )( ) ( )1

1 2

1 2

1 2

1 2

0 11 2

1 2

1 2

1 2

< ( ) < ( )< ( ) > ( )

( ) ( )

( ) ( )aa a E x E x

a a E x E x

E x E x

E x E x

Para a , a > 0 e a 1


Matematica

Mdulo 27 Logaritmos: definioDefinio e nomenclatura1.

log N a N

N

a base

aritmoa = =

a

aa

logaritmando

log

Decorrncias da definio2.

loga1 = 0 logaan = n

logaa = 1 a Na Nlog =

Mdulo 28 Logaritmos: condies de existncia Condies de existncia1.

log N a N

N

a

aa = =

>>

a a

0

0

1

Logaritmo neperiano2. dn x = loge x, sendo e = 2,718282... O nmero e irra-

cional. Ele dito nmero de Euler. Anotaodologaritmoneperianodexpodeserdn x.

Mdulo 29 Logaritmos: propriedadesGarantidasas condiesdeexistnciados logaritmos,

tem-se:P 1: loga(N M) = logaN + logaM

P 2: logaNM

= logaN logaM

P 3: logaBn = n logaB

P 4: loga B nn = 1 logaB

P 5: loganB = 1n

logaB

Mdulo 30 Logaritmos: equaes logartmicasEquao logartmica1. Garantidasascondiesdeexistnciadoslogaritmos,

tem-se:log a E(x) = a E(x) = aalog a E1(x) = Log a E2(x) E1(x) = E2(x)

Cologaritmo2.

colog a N = log a N = loga 1N

Antilogaritmo3. antilog a a = N log a N = a

Mdulo 31 Logaritmos: mudana de baseGarantidasascondiesdeexistnciados logaritmos,

tem-se:

log Nlog Nlog aa

c

c=

Consequnciasdamudanadebase:

log Nlog a

a N N

aN

c a c

=

=

1

log log log


Matematica

Mdulo 32 Logaritmos: funo logartmicaApresentao1. Sentena:f(x)=log a x, com a > 0 e a 1Domnio: D = *+Contradomnio e conjunto imagem: CD = e Im =

Resumo grfico2. a > 1

y

0 1x

crescente

0 < a < 1y

0 1x

decrescente

Mdulo 33 Logaritmos: inequao logartmicaGarantidasascondiesdeexistnciadoslogaritmos,tem-se:

alog E x log E x E x E x

log E x log E x E xa a

a a>

> ><

1 1 2 1 2

1 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )) ( )< E x2

0 1 1 2 1 2

1 2 1< 2

Para a , a > 0 e a 1

Mdulo 34 Progresso aritmtica: definio e termo geral

Definio1. a n = an1 + r, sendo n * e r a razo da PA

Classificao2. r > 0: progresso aritmtica crescenter < 0: progresso aritmtica decrescenter = 0: progresso aritmtica constante

Termo geral3. a n = a1 + (n 1) r, com n *

Artifcios4. PAcomtrstermos:(ar,a,a+r) razo: rPA com quatro termos: (a 3r, a r, a + r, a + 3r)

razo: 2rPA com cinco termos: (a 2r, a r, a, a + r, a + 2r)

razo: r

Propriedade5. Sejama,bectrstermosconsecutivosdeumaPA.Tem-

se que:b

a c= +2

(O termo mdio a mdia aritmtica dos

outros dois termos.)

Mdulo 35 Progresso aritmtica: soma dos termosTermos equidistantes dos extremos1. Considere-se a PA: a1, a2, a3, ... ap, ... aq, ... an 2, an 1, an.

Os termos ap e aq sero ditos equidistantes dos extremos se, e somente se, p + q = n + 1.

A soma de dois termos equidistantes dos extremos igual soma desses extremos.

p + q = n + 1 ap + aq = an + a1

Soma dos n primeiros termos da PA2. Seja Snanotaoquerepresentaasomadosnprimeiros

termos de uma progresso aritmtica. Assim:

Sa a n

nn= + ( )1

2


Matematica

Mdulo 36 Progresso geomtrica: definio e termo geral

Definio1. a n = an1 q, sendo n * e r a razo da PG.

Classificao2. a 1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1: progresso geom-

trica crescente.a 1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1: progresso geom-

trica decrescente.q = 1: progresso geomtrica constanteq < 0: progresso geomtrica alternantea 1 = 0 ou q = 0: progresso geomtrica singular

Termo geral3. a n = a1 q

n1, com n *.

Artifcios4.

PGcomtrstermos: aq

a a q; ;

razo: q

PG com quatro termos:aq

aq

a q a q3

3; ; ;

razo: q

2

PG com cinco termos: aq

aq

a a q a q2

2; ; ; ;

razo: q

Propriedade5. Sejama,b e c trs termos consecutivosdeumaPG.

Tem-se que:b a c b a c= = 2 (O termo mdio a mdia geo-

mtrica dos outros dois termos.)

Mdulo 37 Progresso geomtrica: soma dos termosSeja Sn a notao que representa a soma dos n primeiros termos de uma progresso geomtrica. Assim:

Sa q

qnn

= ( )

( )1 1

1, para q 1 Sn = a1 n, para q = 1

Mdulo 38 Progresso geomtrica convergenteCondio1.

1 < q < 1, ou seja, | q | < 1

Limite da soma dos infinitos termos2.

Sa

q=

1

1

Mdulo 39 Nmeros complexos: apresentaoForma algbrica1.

z = a + bi, com a e b

a a parte real a = Re(z).bi a parte imaginria.b o coeficiente da parte imaginria b = Im(z).i a unidade imaginria i2 = 1.b = 0 z um nmero real.a = 0 e b 0 z um nmero imaginrio puro.

Igualdade de nmeros complexos 2. na forma algbrica

a + bi = c + di a = c e b = d

Adio e subtrao de nmeros 3. complexos na forma algbrica

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i

Multiplicao de nmeros 4. complexos na forma algbrica

(a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i

Nmero complexo conjugado5. z = a + bi z a bi


Matematica

Mdulo 40 Nmeros complexos: divisoDiviso de nmeros complexos 1.

na forma algbricaa bi

c di

a bi c di

c di c di

a bi c di

c d

+( )+( ) =

+( ) ( )+( ) ( ) =

+( ) ( )+2 2

Potncias, de expoente natural, 2. da unidade imaginria

i0 = 1 i1 = i i2 = 1 i3 = i

in = ir, sendo r o resto da diviso do nmero natural n por 4.

Mdulo 41 Nmeros complexos: forma trigonomtricaPlano complexo Plano de Argand-Gauss1.

Re(z)

Im(z)

Q = arg(z)

R = |z|

b

0 a

P (a, b)

r = |z| = a b2 2+ (mdulo de z)

cosqr

qr

= =a e sen b (q argumento de z, 0 q < 2p)

P afixo de z

Propriedades dos mdulos2. 1) |z| = |z|

2) |z w| = |z| |w|

3) |zn| = |z|n

4) zw

zw

= , para w 0

Nmero complexo na forma trigonomtrica3.

z = r (cos q + i sen q)

Mdulo 42 Nmeros complexos: operaes na forma trigonomtrica

Multiplicao e diviso1. z1 = r1 (cos q1 + i sen q1) e z2 = r2 (cos q2 + i sen q2)

z1 z2 = r1 r2 [cos(q1 + q2) + i sen(q1 + q2)]

zz

1

2

1

2= r

r [cos(q1 q2) + i sen(q1 q2)]

Potenciao2. z = r (cos q + i sen q)

zn = rn [cos(n q) + i sen(n q)]


Matematica

Mdulo 43 Polinmios: introduoApresentao1.

P(x) = a0xn + a1x

n1 + a2xn2 + ... + an1x + an

a 0, a1, a2, ..., an1 e an constantes no nulas (coe-ficientes)

x um nmero qualquer real ou no real (varivel)n, n 1, n 2, ..., 1, 0 expoentes da varivel (n-

meros naturais)

a 0xn, a1x

n1, a2xn2, ..., an1x, an termos do polin-

mio (monmios)

Grau do polinmio2. Grau do monmio de maior grau. O grau do monmio

igual ao expoente da varivel.

Valor numrico do polinmio3. Dado o polinmio P(x), o seu valor numrico para x = a,

a -

titui, no polinmio, a varivel x por a e efetuam-se as opera-es indicadas.

Polinmio nulo4. Um polinmio dito identicamente nulo, ou simples-

mente nulo, quando apresenta valor numrico zero para qualquer valor atribudo varivel. No se define grau para polinmio nulo.

Raiz do polinmio5. Valor da varivel para o qual o valor numrico do poli-

nmio zero.

Polinmios idnticos6. Dois polinmios so ditos idnticos quando apresentam

o mesmo valor numrico para qualquer que seja o valor atri-budo varivel.

Mdulo 44 Polinmios: divisoDiviso de polinmios1.

P x D x

R x Q x

P x D x Q x R x

G G G

RP D Q

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(

= += +

xx ou G GR D) a e < a

A B

C

O

OCAB=2

CD

BA

AB

GQ

a + = 180 e b + q = 180

Consequncias da propriedade

ngulo de segmento3.

A

B

a

P

OA A a

2

Propriedade

Consequncias da propriedade

AB

A

B

O

ngulo de vrtice interno4.

A

B

a

b

P

C

D

xx

x a + b2

Propriedade

O

ngulo de vrtice externo5.

x a b2

Propriedade

A

B

a b P

C

D

xO


Matematica

Mdulo 17 ngulos na circunferncia (II)Posies entre reta e circunfrencia1.

O O O

Reta externa Reta tangente Reta secante

Tr

A

B

Propriedade importante

Circunferncias tangentes internamente2.3.

1 2O Od ,

O1

r1

O2 r2

1 2O O 1 2 1 2d , r r , com r r

OM AB AM MB =

O

A M B

R R

Posies entre duas circunferncias2.

Circunferncias externas2.1.

Circunferncias secantes2.4.

1 2O Od ,

O1

r1

O2r2

1 21 2 O O 1 2 1 2r r d , r r , com r r

O1 r1 O2r2

1 2O Od ,

1 2O O 1 2d , r r

Circunferncias internas

2.5.

1 2O O

d ,

O1

r1O2

r2

1 2O O 1 2 1 2d , r r , com r r


Matematica

Circunferncias tangentes externamente2.2.

1 2O O 1 2d , r r

1 2O Od ,

O1 r1 O2r2

Mdulo 18 Estudo dos polgonosElementos1.

A

B

C

D

E

Vrtice

LadoDiagonal

Nmero de diagonais2.

dn n= ( )3

2

Onde n= nmero de lados do polgono

Soma dos ngulos internos de um polgono 3. convexo

S ni = ( )2 180 Soma dos ngulos externos de um polgono 4.

convexo

Se = 360

Mdulo 19 Polgonos regularesLados congruentes (equiltero) e ngulos congruentes

(equingulo)

ae

ae

ae

ae + ai = 180

ae

ai

ai

ai ai

ai

e360a

n

(n 2) 180ain

ae

Onde n = nmero de lados do polgono.

ImportanteTodo polgono regular pode ser inscrito em uma circun-

ferncia.

A

B

CD

360

n

360m(AB) m(BC) m(CD) ...n


Matematica

Mdulo 20 Teoremas de Tales e da bissetriz internaTeorema de Tales1.

t1 t1t2 t2

a ad dr

s

t

u

b b e

c cf f

r

s

t

u

e

r // s // t // u

ad

be

cf

a b cd e f

= = = + ++ +

Teorema da bissetriz interna (TBI)2.

Sa

Bissetriz

C B

A

AA

c

x y

b

bx

cy

=

Mdulo 21 Semelhana de tringulosDefinio1.

B

A

Ca

bc

E

D

Fd

ef

ABC DEFA D B E C F

e

ad

be

cf

k

~ =

= = =

Mdulo 23 Relaes mtricas na circunferncia

P

A

B

C

D

A

C

D

B P P

A

B

T

PA PB = PC PD PA PB = PC PD PA PB = (PT)2


Matematica

Segmentos tangentesDuas retas tangentes a uma circunferncia por um ponto externo

P

t1

t2

B

A

PA = PB

Mdulo 24 Relaes mtricas no tringulo retnguloA

h

B CH

c b

nma

hb

AH = altura relativa hipotenusaBH = projeo ortogonal do cateto AB sobre a hipote-

nusa BC CH = projeo ortogonal do cateto AC sobre a hipote-

nusa BC

b2 = a n e c2 = a mh2 = m nb c = a hb2 + c2 = a2 (Teorema de Pitgoras)

Mdulo 25 TangnciaPropriedades importantes

OA r1)

A

O

r

PA = PB4)

PA

B


Matematica

O2) 1O2 = R + r

O1 O2R r

O3) 1O2 = R r

O1

O2

Rr

AM = MB5)

A BM

O

Mdulo 26 Teorema dos senosA

R

bc

aB C

a

sen A

b

senB

c

senCR

= = = 2

ObservaoTodo tringulo inscritvel em uma circunferncia.

Os lados de um tringulo so proporcionais aos senos dos ngulos opostos numa razo igual ao dimentro da circunferncia circunscrita ao tringulo.

Mdulo 27 Teorema dos cossenosA

B C

c b

aB

A

C

a2 = b2 + c2 2 b c cos A

b2 = a2 + c2 2 a c cos B

c2 = a2 + b2 2 a b cos C

Em qualquer tringulo, o quadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto dessas medidas pelo cosseno do ngulo por eles formado.

Natureza de um tringuloSe a o maior lado de um tringulo, ento:a2 = b2 + c2 retnguloa2 < b2 + c2 acutnguloa2 > b2 + c2 obtusngulo


Matematica

Mdulo 28 Relaes mtricas nos polgonos regulares

Polgonos regulares: principais aptemas

Tringulo equiltero Quadrado Hexgono regular

R

O

a

d

d

R

O

aa

RR

O

d

d

R

e

aR

=

= =

l

l

33

23

6

R

e

a

=

=

l

l

22

2

R

e

a

=

=

l

l 32

Obs.: O aptema a de um polgono regular o raio da circunferncia inscrita.

Mdulo 29 Circunferncia e arcosMedida de arcos em graus1.

A

B

A

med AB( ) = a

a = medida em graus do ngulo central AOB

Medida de arcos em radianos2.

A

B

R

R

med ABR

( )l=

l = comprimento do AB

R = raio

Comprimento de uma circun3. fe rncia

R

O

C = 2pR


Matematica

Mdulo 30 reas das regies elementares

rea de um quadrado1. a

a

a a S = a2

rea de um retngulo2.

b

a

S = a b

rea de um paralelogramo3.

h

b

S = b h

rea de um tringulo4.

h

b

Sb h= 2

rea de um trapzio5.

h

B

b

SB b

h= + ( )2

rea de um losango6.

d1

d2

Sd d= 1 2

2

Figuras planas equivalentes7. Figuras planas equivalentes so figuras que tm a mes-

ma rea.


Matematica

Mdulo 31 Expresses de rea de um tringulo1. A rea S de um tringulo de lados com medidas b e

c e ngulo compreendido com medida a :

B

CA b

c a

A

S

2= b c sen a

2. A rea S de um tringulo de lados com medidas a, b e c e semipermetro p :

B

CA b

ca

S p p a p b p c= ( )( )( ) (Frmula de Heron)

em que pa b c= + +

2

3. A rea S de um tringulo de semipermetro p e raio da circunferncia inscrita r :

A

CB a

c br

S = p r

4. A rea S de um tringulo de lado r com medidas a, b e c e com raio da circunferncia circunscrita R :

A

CB a

c bR

Sa b c

R=

4

Mdulo 32 rea do crculo e de suas partes (I)Crculo1.

A = p R2R

120

AR= p

2

3


Matematica

Setor circular2.

R

R

A

360 2

pa

R

Asetor

Exemplos importantes

Coroa circular3.

R

r

A = pR2 pr2

A R r= p( )2 2

R60

AR= p

2

6

R

AR= p

2

4

Segmento circular4.

R

AR

A = Asetor Atringulo

Observao

AR R sen

tri ngulo = a

2

Mdulo 33 rea do crculo e de suas partes (II) Crculo1.

A = p R2R

120

AR= p

2

3


Matematica

Setor circular2.

R

R

A

360 2

pa

R

Asetor

Exemplos importantes

R60

AR= p

2

6

R

AR= p

2

4

Coroa circular3.

R

r

A = pR2 pr2

A R r= p( )2 2

Segmento circular4.

R

AR

A = Asetor Atringulo

Observao

AR R sen

tri ngulo = a

2

Mdulo 34 Razo entre reasRazo entre reas de dois tringulos semelhantes1.

A

B C

h1

b1

A

B C

h2

b2

ABC A B Cbb

hh

K raz o K

( )12

1

2

2= = = de semelhan a e SS

1

2

rea do tringulo ABC = S1 rea do tringulo ABC = S2

Concluso: a razo entre as reas de dois tringulos semelhantes igual ao quadrado da razo de semelhana.


Matematica

Mdulo 35 Postulados e determinaoPostulados da existncia1.

Existem ponto, reta e plano.

P r

APonto P

Reta r Plano A

Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.

AB

CDE

Observao: os pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta, portanto eles so colineares.

Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.

B

A C

ED

FG

A

Observao: os pontos A, B e C pertencem a um mesmo plano, portanto eles so coplanares.

Determinao de uma reta2. Dois pontos distintos

(Dois pontos distintos determinam uma nica reta.)

A

B

Determinao de um plano3. Trs pontos no colineares

A B

P

A A = (A, B, P)

Uma reta r e um ponto P fora dela

r

P

A A = (r, P)

Mdulo 36 Posies relativas de duas retas

Oblquas

Perpendi-culares

s

r

P

Con

corr

ente

sP

aral

elas

Distintas

Coincidentes

rs

r = s

Retascoplanares

r

sP

A

A

A

A

Ortogonais

No ortogonais

Retasreversas

s

r

s

P

r

A

A

r


Matematica

Mdulo 37 Posies relativas de uma reta e um plano e entre dois planos

Reta e plano1.

Reta secante ao plano (concorrente)1.1.

r

P

A

r a = {P}

Reta contida no plano1.2.

r

A

r a = r

Reta paralela ao plano1.3.

Planos secantes (concorrentes)2.3.

A

B

r

a b = r

Perpendicularismo3.

Reta e plano perpendiculares (r 3.1. a)

A

A

r

s

t

r

A

r a =


Matematica

Dois planos2.

Planos paralelos distintos2.1.

AB

a b =

Planos paralelos coincidentes2.2.

A = B

a b = a = b

Planos perpendiculares (3.2. a b)Existe em a uma reta perpendicular a b.

r

r, r a / r b a b

Projees4.

Projeo ortogonal de um ponto4.1. Dados um ponto P e um plano a, denomina-se P a pro-

jeo ortogonal de P em a, obtida pela interseco de uma reta r, passando por P, perpendicular a a.

r

A

P

P

PV2D-09-52

Mdulo 38 PoliedrosPoliedro convexo1.

Face

ngulopolidrico

Vrtice

Aresta

Teorema de Euler2.

V A + F = 2

A nmero de arestas de um poliedroF nmero de faces de um poliedroV nmero de vrtices de um poliedron nmero de arestas em cada face de um poliedrom nmero de arestas em cada vrtice de um poliedro

Frmulas auxiliares2.1.

An F

Am V= =

2 2


Matematica

Soma dos ngulos das faces2.2. S = (V 2) 360

Poliedros de Plato3. Todas as faces tm um mesmo nmero (n) de arestas.Todos os vrtices tm um mesmo nmero (m) de

arestas.So convexos.

Existem apenas cinco poliedros de Plato:Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Poliedros regulares4. Os poliedros regulares so os poliedros de Plato que

tm como faces polgonos regulares.

Tetraedro regular Hexaedro regular

Octaedro regular Dodecaedro regular

Icosaedro regular

Mdulo 39 Prismas (I)Paraleleppedo1.

reto-retngulo1.1.

(ortoedro)1.2.

D

a

c b

D a b c= + +2 2 2

At = 2(ab + ac + bc)

Al

= 2(ac + bc)

V = abc

Cubo2.

a

df

D

d af = 2

Al

= 4a2

Af = a2

D a= 3

At = 6a2

V = a3


Matematica

Mdulo 40 Prismas (II)Prisma1.

Base

AlturaA // B

B

Prisma reto2. rea lateral (A d)

Ad = soma das reas das faces

rea total (A t)

At = Ad + 2 Ab

Volume (V)

V = Ab h

Aresta lateral(altura)

Aresta de base

Face

Af

Ab

Prisma regular3. o prisma que, alm de ser reto, tem por base um po-

lgono regular.

Base

Mdulo 41 Pirmides (I)Elementos1.

Altura

Vrtice

Aresta lateral

Face lateral

Aresta da baseBase

AB C

D

F E

rea lateral (Ad)

Ad = soma das reas das faces laterais

rea total (At) Volume

At = Ad + Ab

V A hb= 13


Matematica

Pirmide regular2.

V

B C

A DEF

h

Uma pirmide chamada de pirmide regular se, e so-mente se, a base um polgono regular e a projeo ortogo-nal do vrtice sobre o plano da base o centro dessa base.

Aptema de uma pirmide regular3.

h

Aptema da pirmide (m)

Aptema da base (a)

Aptema de uma pirmide regular o segmento cujas extremidades so o vrtice da pirmide e o ponto mdio de uma aresta da base.

Clculo do aptema:

m2 = h2 + a2

Mdulo 42 Pirmides (II)Resumo

h

Aptema da pirmide (m)

Aptema da base (a)

m2 = h2 + a2

rea lateral (Al

)

Al

= soma das reas das faces

rea total (At)

At = Al + Ab

Volume

V A hb= 13

Mdulo 43 CilindrosCilindro reto ou de revoluo1.

r

Eixo

r

h Altura

Base


Matematica

Frmulas2.

rea da base

Ab = r2

rea lateral

Al

= 2rh

rea total

At = Al + 2 AbAt = 2r (r + h)

Volume

V = Ab hV = r2 h

Cilindro equiltero3.

2r

h = 2r

h = 2r

Cilindro equiltero

rr

r

r

h

h

h = 2r

r

Seco meridiana(quadrado)

r

Cone reto ou de revoluo1.

hg

r

Eixo

Geratrizg

Vrtice

h

g

r

g2 = r2 + h2

Frmulas

Superfcie lateralA superfcie lateral equivalente a um setor circular de

raio g e arco 2r.

Mdulo 44 Cones

rea da base (Ab)

Ab = r2

rea lateral (Ad)

Al

= rg

rea total (At)

At = Al + AbAt = r (r + g)

Volume (V)

V A h

V r h

b=

=

1313

2

ggQ

2Pr

= 2 rg

Cone equiltero2.

Cone equiltero

g = 2r g = 2r

2r

g = 2r

Seco meridiana (tringulo equiltero)

g

Base

hr

rr

g = 2r


Matematica

Mdulo 45 EsferaSuperfcie esfrica1. Conjunto de pontos do espao que mantm sempre a

mesma distncia (R) de um ponto (centro).

Esfera2. Slido limitado pela superfcie esfrica

R RaioCentro

rea da superfcie esfrica

As = 4pR2

Volume da esfera

V R= 43

3p

Seco plana3. Toda seco plana de uma esfera um crculo.

M r A d R O

rea da seco plana

A = p r2

M r A

d R

O

R2 = d2 + r2

Elementos da esfera4.

Polo

Polo

Paralelo

Equador

Meridiano

P2

P1

e

O

R

Mdulo 46 Slidos semelhantes Razes1.

AB

B

v

v

Razo entre medidas lineares

aa

Hh

k12

= =

Razo entre reas

AA

kBb

= 2

Razo entre volumes

VV

k12

3=


Matematica

Mdulo 47 Introduo Geometria AnalticaO sistema cartesiano1.

y

ypP

0 x

Eixo das ordenadas

Eixo dasabscissas

xp

xp = obscissa de Pyp = ordenada de P

Os quadrantes2.

y

0 x

1 quadrante

(+, +)

2 quadrante

(, +)

4 quadrante

(+, )

3 quadrante

(, )

Simetria4.

0

y

x

P2 (a, b) P (a, b)

P3 (a, b) P1 (a, b)

P1 = simtrico de P em relao ao eixo xP2 = simtrico de P em relao ao eixo yP3 = simtrico de P em relao origem

Distncia entre dois pontos5.

yB

AyA

xA xB x

y

d

B

xB xA

yB yA

0

d x x y y

d x y

B A B A= ( ) + ( )= ( ) + ( )

2 2

2 2D D


Matematica

Os quadrantes2.

y

0 x

1 quadrante

(+, +)

2 quadrante

(, +)

4 quadrante

(+, )

3 quadrante

(, )

As bissetrizes dos quadrantes3.

y

0 x

PP (x, x) PI (x, x)

Bissetriz dosquadrantesmpares

Bissetriz dosquadrantespares

Distncia entre dois pontos5.

yB

AyA

xA xB x

y

d

B

xB xA

yB yA

0

d x x y y

d x y

B A B A= ( ) + ( )= ( ) + ( )

2 2

2 2D D

Ponto mdio de um segmento6.

yB

AyA

xA xB x

y

M

B

xM

yM

0

xx x

yy y

MA B

MA B= + = +

2 2

Mdulo 48 rea do tringulo de vrtices1.

Regra prtica para o clculo de D.

xA xB xC

yA yB yC

+

yA

xA

+ +

A (xA, yA), B (xB, yB) e C (xC, yC)

S emque

x y

x y

x y

A A

B B

C C

= =12

1

1

1

D D,

Condio de alinhamento de trs pontos2.

x y

x y

x y

A B e C alinhadosA A

B B

C C

1

1

1

0= ,

rea do polgono convexo de N vrtices3. A(xA, yA), B (xB, yB) , ... , N(xN, yN)

Sp= D

2

+

xA xB xC xN xA...

yA yB yC yAyN...

+ + ++

Observao Dp montado na sequncia anti-horria

rea de polgonos


Matematica

Exerccios de Aplicao

Definio1. Um conjunto de pontos um lugar geomtrico (LG)

quando todos os seus pontos, e apenas eles, tm uma certa propriedade comum.

Equao de um LG2. uma equao nas incgnitas x e y, cujas solues so

os pares (x, y) dos pontos do LG.

Como achar a equao de um LG3. Consideremos um ponto P(x, y) genrico.Aplicamos ao ponto P a propriedade caracterstica

do LG.

Interseco de dois lugares geomtricos4. Resolvemos o sistema determinado pelas equaes dos

dois lugares geomtricos.

(Unifesp) A parbola y = x1. 2 tx + 2 tem vrtice no ponto (xt, yt). O lugar geomtrico dos vrtices da parbola, quando t varia no conjunto dos nmeros reais, :

uma parbola.a) uma elipse.b) um ramo de uma hiprbole.c) uma reta.d) duas retas concorrentes.e)

(Fuvest-SP) O conjunto dos pontos (x, y) do plano car-2. tesiano que satisfazem t2 t 6 = 0, em que t = |x y|, consiste de:

uma reta.a) duas retas.b) quatro retas.c) uma parbola.d) duas parbolas.e)

Mdulo 50 Teoria angularInclinao e coeficiente angular de uma reta1.

y

0 x

r

Ar

ar = inclinao de rmr = tgar = coeficiente angular de r

y

0 x

t

At

at = 90 = inclinao de tmt, pois no definida tg 90

y

0 x

u

au = 0 = inclinao de umu = 0 = coeficiente angular de u

Clculo do coeficiente angular2.

y

0 x

r

yB

yA

xB xA

yA yB

A

BxA xBAA

m m tgy yx x

yxr AB

A B

A B= = =

=a D

D

Condio de alinhamento para trs pontos3.

C

y

x0

B

A

xA = xB = xc

= 90oA B

C

ry

0 x

mAB = mBC

Mdulo 49 Lugar geomtrico


Matematica

Mdulo 51 Equao fundamental da retaReta no paralela ao eixo 0y1.

y

x

O (x0, y0)m = tg A

0

y y0 = m (x x0)

A

Reta paralela ao eixo 0y2.

y

x

O (x0, y0)

0

x = x0

Mdulo 52 Formas de equao da reta

Equao fundamental da reta1.

y y0 = m (x x0)

Equao geral da reta2.

ax + by + c = 0

a = 0 e b 0: reta paralela ao eixo x.b = 0 e a 0: reta paralela ao eixo y.c = 0: reta passa pela origem.

Equao segmentria da reta3.

y

xp

q

0

xp

yq

+ = 1

Equao reduzida da reta4.

y

x

q

0A

y = mx + q

m = coeficiente angular (m = tga)q = coeficiente linear

Equaes paramtricas de uma reta5.

x f t

y g t

= ( )= ( )

, em que t


Matematica

Mdulo 53 Posies relativas entre retasParalelas1. Sendo (r)y = m1x + q1e (s) y = m2x + q2, temos:

y

x

q2

q1

s

r

y

x

q1 = q2

r y s

Concorrentes2. Sendo (r)y = m1x + q1 e (s)y = m2x + q2, temos:

y

x

rs

P

m1 x m2

Observaes:1a) Para se obter P, resolvemos o sistema com as duas

equaes.2a) Se m1 m2 = 1, r e s so perpendiculares.

Paralelas distintasm1 = m2 e q1 q2

Paralelas coincidentesm1 = m2 e q1 = q2

Mdulo 54 DesigualdadesDesigualdades na forma reduzida1. y

x

y

x

y > mx + q

y

x

y

x

y < mx + q

Desigualdades na forma geral2.

ax + by + c > 0 ou ax + by + c < 0

Constri-se o grfico da reta ax + by + c = 01) Toma-se um ponto P(x2) 0, y0) no pertencente reta.

Substituem-se as coordenadas de P na expresso 3) ax + by + c

Se ax4) 0 + by0 + c > 0, temos:ax + by + c > 0 para os pontos do semiplano de P;ax + by + c < 0 para os pontos do semiplano que no

tem P.Se ax5) 0 + by0 + c < 0, temos:

ax + by + c < 0 para os pontos do semiplano de P;ax + by + c > 0 para os pontos do semiplano que no

tem P.

Casos particulares3.

x = x0

x0 x

y

x < x0 x > x0

y = y0

y

x

y > y0

y < y0 y0


Matematica

Mdulo 55 Equaes da circunfernciaEquao reduzida1.

y

x

Rb

a

Centro C (a, b) e raio R

(x a)2 + (y b)2 = R2

Observaes2.

(x a)2 + (y b)2 = k

k > 0 Equao de circunfernciak = 0 Equao do ponto (a, b)k < 0 Equao de um conjunto vazio

Equao geral3.

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

aD

bE

R a b F= = = + 2 2

2 2 2; ;

Reconhecimento4. Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Para que a equao represente uma circunferncia, de-vemos ter:

A = B 1) OC = O2) R3) 2 > O

Lembrar que, para obter R2, devemos dividir a equao por A, de modo que fique na forma geral.

Mdulo 56 Distncia entre ponto e retaDistncia de ponto a reta 1.

sem frmula especial

r

t

P

P'

d

1) Obtemos a equao da reta t, que passa por P e perpendicular a r.

Obtemos o ponto P, interseco de r e t.1) Obtemos a distncia entre P e P, que a distncia 2)

procurada.

Equao de reta conhecendo um ponto4.

A (xA, yA)

dr

P (x0, y0)

Dados: ponto A, ponto P e dPedido: equao de r

Escrevemos a equao fundamental da reta r com o 1) ponto A conhecido, deixando m como incgnita.

y yA = m (x xA)


Matematica

Frmula para clculo da 2. distncia de ponto a reta

(r) ax + by + c = 0

P (x0, y0)

d

dax by c

a b=

+ ++

0 02 2

Distncia entre retas paralelas3.

Pd

r

s

Obtemos um ponto qualquer da reta r.1) Calculamos a distncia entre P e a reta s.2)

Colocamos a equao de r na forma geral.2) Calculamos m usando a frmula da distncia entre 3)

ponto e reta, j que conhecemos P e d.

Equao de reta conhecendo a declividade5.

drP (x0, y0)

mr = m

Dados: mr, ponto P e dPedido: equao de r

Escrevemos a equao reduzida de r, conhecendo m 1) e deixando q como incgnita.

y = mx + q

Colocamos a equao de r na forma geral.2) Calculamos q usando a frmula da distncia entre 3)

ponto e reta, j que conhecemos P e d.

Mdulos 57/58 Posies relativasPonto e circunferncia1.

P(x0, y0) e () (x a)2 + (y b)2 = R2

C P

P L

CP

P externo a L

C P

P interno a L

(x0 a)2 + (y0 b)

2 R2 = 0 (x0 a)2 + (y0 b)

2 R2 > 0 (x0 a)2 + (y0 b)

2 R2 < 0

Reta e circunferncia2. (r) ax + by + c = 0 () (x a)2 + (y b)2 = R2

Tangente Secante Externa

dC,r = R

ou

ax + by + c = 0 ax + by + c = 0 ax + by + c = 0

dC,r < R dC,r > R


Matematica

Duas circunferncias3. (1) centro C1 e raio R1 (2) centro C2 e raio R2

Externas Tangentes externamente Secantes

d > R1 + R2 d = R1 + R2 |R1 R2| < d < R1 + R2

Tangente internamente Internas Concntricas

d = |R1 R2| d < |R1 R2| d = 0


Matematica

MATEMTICA E SUAS TECNOLOGIAS

ENEM2011

MATAMTICA

SETOR III

Mdulo 1. Radiciaoa +; b + e n *

a b b an n= =

a * ; b * ; n * e n mpar

a b b an n= =

Importante:

Para a *+ , b *+ e m, n, p , temos:

P a b a b

Pab

ab

P a a

P a a

P a

n n n

n

nn

n m mn

mn n m

m pn p

1

2

3

4

5

:

:

:

:

:

=

=

( ) ==

=

aamn

a a2 = a amn mn=

Mdulo 2. Racionalizao de denominadoresA

a

A

a

a

a=

n> m

A

a

A

a

a

amn mnn mn

n mn=

A

a b

A

a b

a b

a b+=

+

A

a b

A

a b

a b

a b=

+

+

Mdulo 3. Razes trigonomtricas no tringulo retngulo (I)

ab

Cateto op

osto

Cateto adjacentec

C

AB

B

A

sencatetoopostohipotenusa

ba

catetoadjacentehipotenu

= =

=cosssa

ca

tgcatetooposto

catetoadjacentebc

tgsen

c

=

= = = cos

cose

= = =

=

hipotenusacatetooposto

ab sen

chipotenusa

ca

cosec

se

1

ttetoadjacenteac

catetoadjacentecatetoopo

= =

=

sec

cotg

1cos

sstocb tg sen

= = =cotg

1 cos

b b b

b+ =

==

=

90

cos

sec

sen

tg

cosec

cotg


Matematica

45

d

d

d d 2

30

60 60

d d 3

2

2

2

Mdulo 4. Razes trigonomtricas no tringulo retngulo (II)

30 45 60

sen12

22

32

cos 32

22

12

tg3

31 3


Matematica

Mdulo 5 Identidades trigonomtricas

cos A

sen A cosec A cossec2 A = 1 + cotg2 A

sec2 A = 1 + tg2 Asec A

cotg A

tg A

sen2 A + cos2 A = 11

tg Acotg A =sen A

cos Atg A = cos A

sen Ae cotg A =

1seccos

A A

1cossecAsen

A

Mdulo 6 Medidas de arcos e ngulosMedida de um arco em grausOs submltiplos do grauAdio e subtrao de medidas de arcos em graus, minutos e segundosMedida de um arco em gradosMedida de um arco em radianosConverses de unidades de medidas de arcosAs velocidades dos movimentos dos ponteiros de um relgio

Mdulo 7 Seno, cosseno e tangente no ciclo trigonomtrico Ciclo trigonomtrico

A' A

B'

B

raio= 1

O

180 0

270

90

O

2o Q 1o Q

3o Q 4o Q360

0O 2P

2o Q 1o Q

3o Q 4o Q

P2

3P2

P

Seno Cosseno Tangente

1

1

1 sen A 1

sen A

A

11

1 cos A 1

A

cos A

1

< tg A < +

A

0

tg A


Matematica

Mdulo 8 Reduo ao primeiro quadrante

180 A(P A)

180 + A (P + A)

360 A (2P A)

A

2o quadrante

P1 (P A)T

P (A)

A

T1

O

sen (p a) = sen acos (p a) = cos atg (p a) = tg a

3o quadrante

P2 (P + A)

T T2P (A)

AO

sen (p + a) = sen acos (p + a) = cos atg (p + a) = tg a

4o quadrante

TP (A)

AO

T3P3 (2P A) ( A)

sen (2p a) = sen acos (2p a) = cos atg (2p a) = tg a ousen (a) = sen acos (a) = cos atg (a) = tg a

Lembrar:

sen

tg

p a a

p a a

p a a

2

2

2

=

=

=

cos

sec

cotg

cosec


Matematica

Mdulo 9 Equaes trigonomtricas na primeira volta

sen x1P A A A A

a

0

1

cos x1

2P A P + A

a1 0

atg x

0

I. Equao na forma sen x = a II. Equao na forma cos x = a III. Equao na forma tg x = a

sen x = a cos x = a tg x = a oux = A

x = P Aou

x = A

x = 2P Aou

x = A

x = P + A

Mdulo 10 Adio e subtrao de arcos

sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos asen (a b) = sen a cos b sen b cos a

cos (a + b) = cos a cos b sen a sen bcos (a b) = cos a cos b + sen a sen b

tg a b tg a tg btg a tg b

tg a b tg a tg btg a tg b

( ) ( )+ = +

= + 1 1

Mdulos 11/12 Arco duplo

sen (a + a) = sen a cos a + sen a cos a = 2 sen a cos a

sen (2a) = 2 sen a cos a

cos (a + a) = cos a cos a sen a sen a = cos2 a sen2 a

cos (2a) = cos2 a sen2 a

tg (a + a) = tg a tg a

tg a tg atg atg a

+

=12

1 2

tg atgatg a

( )22

1 2=

Importante:cos (2a) = cos2 a sen2 a = 1 2 sen2 a = 2 cos2 a 1

Mdulo 13 Transformao em produtoa b p

a b qa

p qe b

p q+ = =

= + = 2 2

++ = + =

sen ab s

ena b

sen b

a

sen a b sena b sen b a( )cos cos

( ) cos cos+ + = sen a b sen a b sena b( ) ( ) cos2

+ = + =

sen ab s

ena b

sen b

a

sen a b sena b sen b a( )cos cos

( ) cos cos+ = sen a b sen a b sen b a( ) ( ) cos2

senp senq senp q p q+ = +

2 2 2

cos

senp senq senp q p q =

+

2 2 2

cos


Matematica

Mdulo 14 Arcos trigonomtricos: determinaoComo achar a 11. a determinao

Arco em graus Arco em radianos

Com extremidade em M

M

A

x = a + 2k, k

Com extremidade em M e N (dia-metralmente opostos)

N

A

M

x = a + k, k

Com extremidade em P 1, P2,..., Pn (vrtices de um polgono regular)

AP1

P2P3

P4

PnPn1

x kn

k= + a 2 ,

Expresso geral dos arcos2.

Mdulo 15 Equaes trigonomtricas em

I. sen x = sen a

sen x

AP A

x = a + k 2 ou

x = ( a) + k 2;k

II. cos x = cos a

A

cos x

x = a + k 2 ;k

III. tg x = tg a

Atg x

x = a + k ;k

Equaes da forma


Matematica

Mdulo 16 Inequaes trigonomtricas em

66 65

65P

tg x = 1 tg x > 1

1 12

sen x = 21 sen x > 2

1

21

21

21

cos x = 21

21

cos x > 21

3P

4P

4P

3P

P3

5P4

5P4

3P4

P3

x k x k + < < + / 6

256

2

x k x k + < < + / 3

23

2

x k x k + < < + / 4 2

Mdulo 17 Funes trigonomtricasFuno seno1.

P 0 2P

1

y

x

1 Senoide

2P 3

2P 5

2PP P

2

x 02

32

2

cos x 1 0 1 0 1

Domnio Imagem [1; 1]Perodo 2Funo par cos (x) = cos x


Matematica

x 02

32

2

sen x 0 1 0 1 0

Domnio Imagem [1; 1]Perodo 2Funo mpar sen (x) = sen x

Funo cosseno2.

P P 2P2P 3P

25P2

0

y

x

1Cossenoide

1

P2

Funo tangente3.

P P 2P

2P 3P

25P2

0

y

x

Tangentoide

P2

x 02

32

2

tg x 0 E 0 E 0

Domnio +

2

k k

Imagem Perodo Funo mpar tg ( x) = tg x

Mdulo 18 Funes trigonomtricas: generalizao

Grficos de funes trigonomtricas

Funo f(x) = a + sen x1) Perodo = 2PImagem = [a 1, a + 1]

P 2P 3

2P

a + 1

a 1

y

a

x

Deslocam-sea unidades

2P0

Funo f(x) = sen (mx)3)

Perodo =2mP

Imagem = [ 1, 1]

P 2P2P 3

2P2

mP0 x

Modifica-se operodo

1

1

mP

y


Matematica

Funo f(x) = b sen x2) Perodo = 2PImagem = [ b, b]

y

P 2P2P 3

2P

b

b

x

Modifica-se a imagem

1

1

0

Funo f(x) = sen (x + n)4) Perodo = 2PImagem = [ 1, 1]

P P n

2P n

2P2P 3

2P x

Deslocam-se nunidades

1

1

n

y

0

Funo f(x) = a + b sen (mx + n) (b 5) 0 e m 0)

Perodo = 2m

Imagem = [a b, a + b]

Funo f(x) = a + b cos (mx + n) (b 6) 0 e m 0)

Perodo = 2m

Imagem = [a b, a + b]

Funo f(x) = a + b tg (mx + n)7)

Domnio = x mx n k k + +

/ , 2

Perodo = m

Imagem =

Mdulos 19/20 Princpio fundamental da contagem (I)Fatorial1. Sendo n um nmero natural maior que 1, a funo fato-

rial de n(n!) o produto de todos os naturais de n at 1.Assim, n! = n (n 1) (n 2) ... 3 2 1O smbolo n! tambm pode ser lido como n fatorial.Em particular, definimos:0! = 1 e 1! = 1

Propriedade do fatorial2. n! = n (n 1)!n! = n (n 1) (n 2)!

Princpio fundamental da contagem3. Se um acontecimento pode ter o nmero de possibili-

dades de ocorrncia analisado em etapas sucessivas e inde-pendentes, de modo que:

n1 = n de possibilidades de ocorrncia da 1a etapa,n2 = n de possibilidades de ocorrncia da 2a etapa,n3 = n de possibilidades de ocorrncia da 3a etapa,

nk = no de possibilidades de ocorrncia da k-sima eta-

pa, ento o acontecimento poder ocorrer de n1 n2 n3 ... nk modos diferentes.

Princpio da preferncia4. Para evitar impasses no clculo do nmero de possi-

bilidades, devemos sempre priorizar o estudo das etapas com maiores restries, isto , com menores nmeros de possibilidades.

Exerccios caractersticos de contagem5. 1o tipo Formao de nmeros

O nmero com n algarismos que comea por zero, na verdade, tem (n 1) algarismos.

Quando as condies impostas geram impasses na contagem, devemos dividir o problema em dois ou mais ca-sos.

Nmeros mltiplos de 5 tm unidade 0 ou 5.Nmeros mltiplos de 3 tm algarismos com soma

mltipla de 3.Quando estamos contando os nmeros com pelo me-

nos dois algarismos repetidos, mais fcil contar todos os nmeros com ou sem repetio e subtrair a quantidade de nmeros com algarismos distintos.

2o tipo Comisses com cargos definidos


Matematica

Mdulo 21 Princpio fundamental da contagem (II)Princpio fundamental da contagem1. Se um acontecimento pode ter o nmero de possibili-

dades de ocorrncia analisado em etapas sucessivas e inde-pendentes, de modo que:

n1 = no de possibilidades de ocorrncia da 1a etapa,



nk = no de possibilidades de ocorrncia da k-sima eta-

pa, ento o acontecimento poder ocorrer de n1 n2 n3 ... nk modos diferentes.

Princpio da preferncia2. Para evitar impasses no clculo do nmero de possi-

bilidades, devemos sempre priorizar o estudo das etapas com maiores restries, isto , com menores nmeros de possibilidades.

Exerccios caractersticos de contagem3. 3o tipo Anagramas sem repetio de letras

Para calcular o nmero de anagramas de uma palavra de n letras, sendo que x dessas letras permanecem juntas numa determinada ordem, devemos considerar as x letras como uma nica letra e, assim, permutar (n x + 1) letras.

Para calcular o nmero de anagramas de uma palavra de n letras, sendo que x dessas letras permanecem juntas, devemos considerar as x letras como uma nica letra e, em seguida, considerar a permutao das x letras. Assim, o total ser (n x + 1)! x!.

n elementos podem trocar de ordem de n! modos.1) O princpio fundamental da contagem (PFC) prev a 2)

troca de ordem de todos os elementos.Para desprezar a troca de ordem de n elementos, 3)

considerada no PFC, devemos dividir por n! o nmero obtido com o PFC.

Exerccios caractersticos de contagem4o tipo Anagramas com repetio de letras

Quando a palavra da qual desejamos contar os anagra-mas apresenta letras repetidas, consideramos inicialmente como se a ela no tivesse repetio; em seguida, desprezamos a troca de ordem das letras que se repetem, usando o PDO.

Mdulo 22 Princpio do desprezo da ordem (I)5o tipo Ocupao de lugares definidos

Para efetuar a contagem, podemos utilizar dois ra-ciocnios: escolher elementos para os lugares ou escolher lugares para os elementos.

Quando houver mais lugares do que elementos para ocupar os lugares, complementamos os elementos com fan-tasmas e, depois de utilizarmos o princpio fundamental da contagem, desfazemos as trocas de lugares dos fantas-mas, usando o princpio do desprezo da ordem.

Mdulo 23 Princpio do desprezo da ordem (II)n elementos podem trocar de ordem de n! modos. O princpio fundamental da contagem (PFC) prev a

troca de ordem de todos os elementos.Para desprezar a troca de ordem de n elementos, con-

siderada no PFC, devemos dividir por n! o nmero obtido com o PFC.

Exerccios caractersticos de contagem

6o tipo Comisses sem cargos definidosNa contagem das comisses em que os integrantes

no tm cargos definidos, inicialmente consideramos como se a ordem no agrupamento ficasse associada a al-gum cargo e, posteriormente, desprezamos a troca de or-dem (PDO), pelo fato de os cargos no existirem.

7o tipo Distribuio em gruposPara estudar o nmero de modos pelos quais n ele-

mentos podem ser distribudos em grupos, imaginamos os n elementos em fila e os associamos ordem na fila dos grupos que queremos formar. No podemos nos esquecer de utilizar o princpio do desprezo da ordem em duas situa-es: nos grupos em que os elementos no ocupam cargos e nos grupos iguais que no se diferenciam por cargos.

8o tipo Figuras geomtricasQuando agrupamos pontos para formar figuras geo-

mtricas, devemos ficar atentos necessidade ou no da utilizao do princpio do desprezo da ordem.

Assim: AB

e BA

so semirretas diferentes. AB

e BA

so as mesmas retas. DABC e DBCA so os mesmos tringulos.


Matematica

Mdulo 24 Frmulas de contagemArranjos1. So agrupamentos que diferem pela natureza e pela or-

dem de seus elementos: An

n pn p,!

!=

( )An,0 = 1

Combinaes2. So agrupamentos que diferem apenas pela natureza de

seus elementos: CA

pn

n p pn pn p

,,

!!! !

= =( )

Cn,0 = 1

Permutaes3. So agrupamentos que diferem apenas pela ordem de

seus elementos: Pn = n!

Mdulo 25 Nmeros binomiaisDefinio1.

n

pn

n p pn p

=

( ) ( )!

! !

Note que: n

pCn p

= ,

Nmeros binomiais complementares2. n

p

n

n p

=

Relao de Stifel3. n

p

n

p

n

p

+

+

=

++

1

1

1

Igualdade4.

Sen

p

n

q

=

, ento:

p = q ou p + q = n


Matematica

Tringulo de Pascal5.

n n n n n n n0 1 2 3 4 5 n

001 10 12 2 20 1 23 3 3 30 1 2 34 4 4 4 40 1 2 3 45 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

Linha 0

Linha 1

Linha 2

Linha 3

Linha 4

Linha 5

Linha 6

Col

una

0

Col

una

1

Col

una

2

Col

una

3

Col

una

4

Col

una

5

Col

una

n

Linha 0 1

1 1

1 12

1 3 13

1 6 4 14

1 10 10 5 15

Linha 1

Linha 2

Linha 3

Linha 4

Linha 5

Col

una

0

Col

una

1

Col

una

2

Col

una

3

Col

una

4

Col

una

5

Propriedades6. P1) Em qualquer linha, dois binomiais equidistantes

dos extremos so complementares e, portanto, iguais.Consideremos, como exemplo, a linha 5.

1 5 10 10 5 1

5 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

P2) A soma de dois binomiais consecutivos de uma mesma linha igual ao binomial situado imediatamente abaixo do binomial da direita.

00

1 10 1

2 2 20 1 2

3 3 3 30 1 2 3

4 4 4 4 40 1 2 3 4

5 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

1

1 1

1 2 1

1 3 + 3 1

1 4 6 4 + 1

1 5 10 10 5 1

P3) A soma de todos os binomiais da linha n do tringulo de Pascal 2n.

001 10 12 2 20 1 23 3 3 30 1 2 34 4 4 4 40 1 2 3 45 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

1=20

1+1=21

1+2+1=22

1+3+3+1=23

1+4+6+4+1=24

1+5+10+10+5+1=25

P4) A soma dos elementos de uma coluna do tringulo de Pascal (comeando no primeiro elemento da coluna) igual ao elemento que est avanado uma linha e uma coluna sobre a ltima parcela.

n

n

n

n

n

n

n k

n

n k

n

+

+

+

+

+ +

+

=

+ ++

1 2 11

...

+

=

+ ++

=

ou

n p

n

n k

np

k

0

1

1


Matematica

Mdulo 26 Binmio de NewtonDesenvolvimento do binmio1.

( )x an

x an

x an

xn n

T

n

T

n+ =

+

+

0 1 2

0 1

1 2

+ +

+ =

+

2 2 0

3 1

an

nx a

x an

pa x

T

n

T

n p n

n

...

( ) ppp

n

=

0

Observaes2. No desenvolvimento do binmio (x + a)n, segundo expo-

entes decrescentes de x, temos:1a) o desenvolvimento de um binmio de grau n tem

n + 1 termos;2a) a soma dos expoentes de a e x, em qualquer termo,

o grau n do binmio;3a) o expoente de x, no primeiro termo, n e vai

decrescendo, de um em um, at atingir zero no ltimo termo;4a) o expoente de a, no primeiro termo, zero e vai

crescendo, de um em um, at atingir n no ltimo termo;5a) os coeficientes dos termos extremos so iguais a um

ne

n

n0

;

6a) o coeficiente de qualquer termo um nmero binomial de numerador n e denominador igual ao nmero de termos precedentes. Assim, o coeficiente do 6o

termo n

5

;

7a) os coeficientes do desenvolvimento de (x + a)n so os elementos da linha n do tringulo de Pascal;

8a) a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x + a)n 2n.

Desenvolvimento de um 3. binmio segundo Newton

( ) ...x an

x an

x an

nn n

T

n

T

+ =

+

+ +

0 1 1

0 1 1

1 2

+

+

x an

nx an

T

n

Tn n

1 1 0

1

Termo geral (com expoentes 4. decrescentes para x)

Tn

kx ak

n k k+

=

1

Mdulo 27 Probabilidades: conceitoConceitos iniciais1.

Experimento aleatrioEspao amostralEvento de experimento

Tipos de eventos2. Evento elementarEvento certoEvento impossvelEvento complementar

Probabilidade terica e 3. probabilidade estatstica

Probabilidade terica de um evento A4.

P An An U

n mero de casos favor veis a An mero de casos poss v

( )( )( )

= = eeis

Propriedades das probabilidades5. P1) Probabilidade de um evento impossvel: P() = 0P2) Probabilidade de um evento certo: P(U) = 1P3) Valores possveis de probabilidade de um evento A: 0 P(A) 1P4) Probabilidade de no acontecer um evento A: P(A) = 1 P(A)

Mdulo 28 Probabilidades: adioProbabilidade da unio1.

U

A B

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

Eventos mutuamente exclusivos2. Se A B = , dizemos que A e B so eventos mutua-

mente exclusivos, e ento:P(A B) = P(A) + P(B)

Probabilidade num espao 3. amostral no equiprovvel

Sejam U = {a1, a2, a3, ..., an} e P(a1), P(a2), ..., P(an) probabilidades de ocorrncia dos resultados a1, a2, ..., an, respectivamente.

P(a1) + P(a2) + ... + P(an) = 1


Matematica

Mdulo 29 Probabilidades: multiplicaoProbabilidade condicional1. Notao: P(A/B) = probabilidade de ocorrer o evento A,

dado que o evento B j ocorreu.

U

A B

P A Bn A B

n B( / )

( )( )

=

Consequncia:

P A B

n A Bnn Bn

( / )

( )

( )=

( )

( )

P A Bn A B

P B( / )

( )= ( )

Probabilidade da interseco2. P(A B) = P(A) P(B/A)

ou aindaP(A B) = P(B) P(A/B)

Eventos independentes3. Dois eventos so independentes se, e somente se:P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)Observao:Se A independe de B, imediato que B independe de A.

Assim: P(A B) = P(A) P(B)


Matematica


Matematica

Matemtica 1Matemtica 2Matemtica 3

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